equações diferenciais - uniasselvi
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2012
EquaccedilotildeEs DifErEnciais
Prof Ruy Piehowiak
Copyright copy UNIASSELVI 2012
Elaboraccedilatildeo
Prof Ruy Piehowiak
Revisatildeo Diagramaccedilatildeo e Produccedilatildeo
Centro Universitaacuterio Leonardo da Vinci ndash UNIASSELVI
Ficha catalograacutefica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri
UNIASSELVI ndash Indaial
51535 P613ePiehowiak Ruy Equaccedilotildees diferenciais Ruy Piehowiak Indaial Uniasselvi 2012
211 p il
ISBN 978-85-7830-595-6
1 Equaccedilotildees diferenciais I Centro Universitaacuterio Leonardo da Vinci
Impresso por
III
aprEsEntaccedilatildeo
Caro(a) acadecircmico(a) Seja bem-vindo(a) agrave disciplina de Equaccedilotildees Diferenciais
Para estudar Equaccedilotildees Diferenciais natildeo haacute como desvincular o estudo do Caacutelculo Diferencial e Integral pois as palavras equaccedilatildeo e diferencial sugerem que estudemos equaccedilotildees que envolvam derivadas As derivadas satildeo estudadas no segmento da matemaacutetica chamado de caacutelculo diferencial que consequentemente nos leva ao caacutelculo integral O caacutelculo utiliza ideias da matemaacutetica elementar e as estende para situaccedilotildees mais gerais ou seja o caacutelculo consiste na matemaacutetica elementar (aacutelgebra geometria trigonometria) aperfeiccediloada pelo processo do limite
Nesta disciplina vocecirc iraacute aprimorar seus conhecimentos sobre o Caacutelculo Diferencial e Integral Se vocecirc jaacute se interessou pelo que foi estudado no caacutelculo vai ver que neste caderno teraacute toacutepicos mais abrangentes e tambeacutem interessantes
A disciplina fornece uma seacuterie de ferramental necessaacuteria a outras disciplinas como por exemplo a Fiacutesica
O caacutelculo eacute considerado um dos maiores feitos do intelecto humano Espero que aleacutem de perceber a utilidade tambeacutem perceba a beleza matemaacutetica O entendimento do conteuacutedo e das nuances que circundam este estudo eacute apenas a ponta do iceberg principalmente para aqueles acadecircmicos que pretendem avanccedilar seus estudos como em especializaccedilatildeo mestrado etc
Prof Ruy Piehowiak
Quero enfatizar a postura que um(a) acadecircmico(a) de matemaacutetica deve ter ao estudar Inicialmente para ler um texto de matemaacutetica principalmente na modalidade de ensino a distacircncia eacute bastante diferente de ler uma revista ou um jornal Assim natildeo desanime se precisar ler um conceito ou a resoluccedilatildeo de um exemplo mais de uma vez para entendecirc-lo Sugiro que possua um papel laacutepis e computador com software matemaacutetico (por exemplo o winplot) agrave sua matildeo para entender o conteuacutedo trabalhado no Caderno de Estudos e desenvolver ainda mais a sua habilidade algeacutebrica
UNI
IV
Vocecirc jaacute me conhece das outras disciplinas Natildeo Eacute calouro Enfim tanto para vocecirc que estaacute chegando agora agrave UNIASSELVI quanto para vocecirc que jaacute eacute veterano haacute novidades em nosso material
Na Educaccedilatildeo a Distacircncia o livro impresso entregue a todos os acadecircmicos desde 2005 eacute o material base da disciplina A partir de 2017 nossos livros estatildeo de visual novo com um formato mais praacutetico que cabe na bolsa e facilita a leitura
O conteuacutedo continua na iacutentegra mas a estrutura interna foi aperfeiccediloada com nova diagramaccedilatildeo no texto aproveitando ao maacuteximo o espaccedilo da paacutegina o que tambeacutem contribui para diminuir a extraccedilatildeo de aacutervores para produccedilatildeo de folhas de papel por exemplo
Assim a UNIASSELVI preocupando-se com o impacto de nossas accedilotildees sobre o ambiente apresenta tambeacutem este livro no formato digital Assim vocecirc acadecircmico tem a possibilidade de estudaacute-lo com versatilidade nas telas do celular tablet ou computador Eu mesmo UNI ganhei um novo layout vocecirc me veraacute frequentemente e surgirei para apresentar dicas de viacutedeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questatildeo
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos para que vocecirc nossa maior prioridade possa continuar seus estudos com um material de qualidade
Aproveito o momento para convidaacute-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes ndash ENADE Bons estudos
UNI
V
VI
VII
sumaacuterio
UNIDADE 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 1
TOacutePICO 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS 31 INTRODUCcedilAtildeO 32 RECORDANDO A FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL 33 FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 5 31 GRAacuteFICOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 134 FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 15RESUMO DO TOacutePICO 1 18AUTOATIVIDADE 19
TOacutePICO 2 ndash CURVAS DE NIacuteVEL 211 INTRODUCcedilAtildeO 212 CURVAS DE NIacuteVEL 22RESUMO DO TOacutePICO 2 28AUTOATIVIDADE 29
TOacutePICO 3 ndash LIMITE E CONTINUIDADE 311 INTRODUCcedilAtildeO 312 DEFINICcedilOtildeES BAacuteSICAS 313 LIMITE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 344 CONTINUIDADE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 38RESUMO DO TOacutePICO 3 41AUTOATIVIDADE 42
TOacutePICO 4 ndash DERIVADAS PARCIAIS 431 INTRODUCcedilAtildeO 432 RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVACcedilAtildeO 433 DERIVADAS PARCIAIS 44 31 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS 44 32 INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA 514 GENERALIZACcedilAtildeO 535 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 54LEITURA COMPLEMENTAR 59RESUMO DO TOacutePICO 4 63AUTOATIVIDADE 64
UNIDADE 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS 65
TOacutePICO 1 ndash REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA 671 INTRODUCcedilAtildeO 672 REGRA DA CADEIA 673 DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA 75RESUMO DO TOacutePICO 1 79
VIII
AUTOATIVIDADE 80
TOacutePICO 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE 811 INTRODUCcedilAtildeO 812 DIFERENCIABILIDADE 813 DIFERENCIAL 854 GRADIENTE 895 DERIVADAS DIRECIONAIS 95RESUMO DO TOacutePICO 2 99AUTOATIVIDADE 100
TOacutePICO 3 ndash MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS 1031 INTRODUCcedilAtildeO 1032 EXTREMOS LOCAIS 1033 PROBLEMAS ENVOLVENDO MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 111RESUMO DO TOacutePICO 3 117AUTOATIVIDADE 118
TOacutePICO 4 ndash INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS 1191 INTRODUCcedilAtildeO 1192 INTEGRAL DUPLA 119 21 INTEGRAL DUPLA SOBRE RETAcircNGULO 119 22 INTEGRAIS ITERADAS 120 23 INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIOtildeES GENEacuteRICAS 124LEITURA COMPLEMENTAR 134RESUMO DO TOacutePICO 4 136AUTOATIVIDADE 137
UNIDADE 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS 139
TOacutePICO 1 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 1411 INTRODUCcedilAtildeO 1412 DEFINICcedilOtildeES E TERMINOLOGIAS 141 21 TIPOS DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 142 22 ORDEM DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 142 23 LINEARIDADE DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 143 24 SOLUCcedilAtildeO DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 143 241 Soluccedilatildeo geral 145 242 Soluccedilatildeo particular 1453 EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL SEPARAacuteVEL 148 31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1494 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ordf ORDEM 158 41 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1595 EQUACcedilOtildeES EXATAS 168 51 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 169RESUMO DO TOacutePICO 1 175AUTOATIVIDADE 176
TOacutePICO 2 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES 1771 INTRODUCcedilAtildeO 1772 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI 177
IX
21 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1773 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS HOMOGEcircNEAS 184 31 FUNCcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 184 32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 186 321 Meacutetodo de resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial 187RESUMO DO TOacutePICO 2 193AUTOATIVIDADE 194
TOacutePICO 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 1951 INTRODUCcedilAtildeO 1952 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 1953 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ordf ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES 199 31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 200LEITURA COMPLEMENTAR 204RESUMO DO TOacutePICO 3 207AUTOATIVIDADE 208REFEREcircNCIAS 209
X
1
UNIDADE 1
FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Ao final desta unidade vocecirc deveraacute ser capaz de
bull conhecer os principais conceitos que envolvem funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull identificar o domiacutenio de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull reconhecer as curvas de niacuteveis de forma algeacutebrica
bull reconhecer as curvas de niacuteveis geometricamente
bull calcular os limites de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull identificar a continuidade de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull calcular as derivadas parciais
bull interpretar geometricamente as derivadas parciais
Esta unidade estaacute dividida em quatro toacutepicos apresentando os conceitos e a utilizaccedilatildeo das funccedilotildees de diversas variaacuteveis No Toacutepico 1 eacute apresentado o estudo do domiacutenio de uma funccedilatildeo de diversas variaacuteveis e as curvas de niacutevel seguido de vaacuterios exemplos para auxiliaacute-lo(a) na compreensatildeo e resoluccedilatildeo dos exerciacutecios propostos no final de cada toacutepico No Toacutepico 2 daremos uma atenccedilatildeo especial agraves curvas de niacutevel tanto na representaccedilatildeo graacutefica como no seu reconhecimento algeacutebrico No Toacutepico 3 seratildeo estendidos os conceitos de limite e continuidade estudados para as funccedilotildees de uma variaacutevel No Toacutepico 4 aprenderemos como derivar funccedilotildees de diversas variaacuteveis e sobretudo entender o significado geomeacutetrico das derivadas parciais Finalizamos a unidade com um texto complementar onde seraacute dada ecircnfase agraves personalidades matemaacuteticas que contribuiacuteram no desenvolvimento do caacutelculo diferencial e integral e consequentemente das equaccedilotildees diferenciais
TOacutePICO 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
TOacutePICO 2 ndash CURVAS DE NIacuteVEL
TOacutePICO 3 ndash LIMITES E CONTINUIDADE
TOacutePICO 4 ndash DERIVADAS PARCIAIS
2
3
TOacutePICO 1UNIDADE 1
FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
1 INTRODUCcedilAtildeO
Vocecirc jaacute estudou limites derivadas e integrais conceitos vistos em funccedilotildees de uma variaacutevel Nesta unidade estudaremos as funccedilotildees de duas ou mais variaacuteveis e veremos que as regras do caacutelculo para funccedilotildees de uma variaacutevel permanecem essencialmente as mesmas
Funccedilotildees com mais de uma variaacutevel independente se apresentam mais costumeiramente em modelos matemaacuteticos aplicados agrave engenharia por exemplo do que funccedilotildees de uma variaacutevel Os estudos de probabilidade estatiacutestica dinacircmica dos fluidos e trabalho satildeo exemplos que conduzem de uma maneira natural a funccedilotildees de mais de uma variaacutevel daiacute a importacircncia do seu estudo
2 RECORDANDO A FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL
Representamos a funccedilatildeo de uma variaacutevel por duas variaacuteveis x e y sendo que chamamos de x a variaacutevel independente da funccedilatildeo e de y a variaacutevel dependente da funccedilatildeo Assim denotamos a relaccedilatildeo entre as variaacuteveis por y = f (x) deixando expliacutecito que y depende de x
Exemplo 1 y = 2x + 1
Exemplo 2 f (x) = 3 + x
2 - x
Habitualmente ao trabalharmos com funccedilotildees um dos primeiros cuidados que devemos ter eacute em relaccedilatildeo ao conjunto domiacutenio das funccedilotildees isto eacute para que valores reais as funccedilotildees estatildeo definidas Entatildeo dada uma funccedilatildeo f(x) devemos encontrar valores para os quais a funccedilatildeo tenha imagem
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
4
Exemplo 3Encontre o domiacutenio da funccedilatildeo f(x) =
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo f(x) eacute uma funccedilatildeo racional pois temos a variaacutevel x no denominador
Esta funccedilatildeo tem dois cuidados a serem tomados em relaccedilatildeo ao domiacutenio
(i) Desde que iniciamos nossos estudos com fraccedilotildees sabemos que natildeo eacute possiacutevel ter zero no denominador das fraccedilotildees Assim
(ii) Temos a variaacutevel x no radicando da raiz quadrada Como estamos considerando f(x) uma funccedilatildeo real o radicando natildeo pode assumir valores negativos Logo
xsup2 ndash 16 ge 0
Assim juntando as condiccedilotildees (i) e (ii) teremos xsup2 ndash 16 gt 0
Observe que temos que resolver uma inequaccedilatildeo do 2ordm grau Para isso consideramos inicialmente apenas a equaccedilatildeo (igualdade) a fim de obtermos as raiacutezes
xsup2 - 16 = 0
Determinando as raiacutezes desta equaccedilatildeo do segundo grau incompleta
xsup2 = 16x = x =
Analisando a funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = xsup2 - 16 sabemos que seu graacutefico corresponde a uma paraacutebola com concavidade voltada para cima e zeros de funccedilatildeo em x = - 4 e x = 4 Logo os valores de x que satisfazem a inequaccedilatildeo satildeo x lt - 4 ou x gt 4
Assim D(f) = x isin R | x lt - 4 ou x gt 4
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
5
FIGURA 1 ndash ANAacuteLISE DO SINAL DA FUNCcedilAtildeO f (x) = xsup2 - 16 ATRAVEacuteS DE SEU ESBOCcedilO GRAacuteFICO
FONTE O autor
3 FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
Definiccedilatildeo 131 Suponha que D seja um conjunto de pares ordenados de nuacutemeros reais (xy) Uma funccedilatildeo real f de duas variaacuteveis em D eacute uma regra que associa um uacutenico nuacutemero real z = f(xy) a cada par ordenado (xy) em D O conjunto D(f) eacute o domiacutenio de f(xy)
Os nuacutemeros x y e z satildeo denominados variaacuteveis Como os valores da funccedilatildeo f(xy) dependem de x e de y e os valores de z dependem da escolha de x e de y entatildeo x e y satildeo denominadas variaacuteveis independentes e z eacute denominada variaacutevel dependente
Uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis eacute uma funccedilatildeo cujo domiacutenio eacute um subconjunto do R2 e cuja imagem eacute um subconjunto de R Uma maneira de visualizaacute-la eacute atraveacutes de um diagrama de flechas conforme a seguir
FIGURA 2 ndash DIAGRAMA DE FLECHAS REPRESENTANDO O DOMIacuteNIO E A IMAGEM DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS
FONTE O autor
+ +
ndashndash 4 4
R
y
(x y)
x
f
f(x y) 0
z
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
6
Exemplo 4Dada a funccedilatildeo que calcula o periacutemetro de um
retacircngulo f(xy) = 2(x + y) calcule o valor de f (25)
ResoluccedilatildeoBasta substituir em f(xy) o x por 2 o y por 5 e calcularEntatildeof(25) = 2(2 + 5)f(25) = 2 middot 7f(25) = 14
Exemplo 5A funccedilatildeo T (xy) = 60 - 2xsup2 - 3ysup2 representa a temperatura em qualquer
ponto de uma chapa A temperatura oscila em relaccedilatildeo agrave distacircncia percorrida no sentido dos eixos positivos x e y Calcule a temperatura da chapa (Figura 3) no ponto (3 1) em graus Celsius
ResoluccedilatildeoT (31) = 60 - 2 middot 3sup2 - 3 middot 1sup2T (31) = 60 - 2 middot 9 - 3 middot 1T (31) = 39deg C
x
y
FIGURA 3 ndash AQUECIMENTO DE UMA CHAPA
FONTE O autor
Exemplo 6Dada a funccedilatildeo f(xy) = xsup2 + ysup2 calcule f(1 - 2)
chapa
x
y
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
7
Resoluccedilatildeof(xy) = xsup2 + ysup2 f(1 ndash 2) = 1sup2 + (ndash2)sup2f(1 ndash 2) = 1 + 4f(1 ndash 2) = 5
No estudo do domiacutenio de uma funccedilatildeo devemos avaliar quais nuacutemeros reais satildeo possiacuteveis atribuir para as variaacuteveis x e y para obtermos valores reais para z = f(xy) Vamos relembrar algumas restriccedilotildees
Consideremos os casos a seguir em que A e B satildeo expressotildees em funccedilatildeo de x e y
Se f(xy) = AB entatildeo necessariamente B ne 0
Se f(xy) = onde n eacute par entatildeo necessariamente A ge 0
Se f (xy) = logc A com c gt 0 e c ne 1 entatildeo necessariamente A gt 0
Exemplo 7Encontre o conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo natildeo apresenta nenhuma restriccedilatildeo para os valores de x e yPortanto D(f) = (x y) isin R2 ou D( f ) = R2
Exemplo 8Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o radicando
3x ndash 2y natildeo pode ser negativo3x ndash 2y ge 0 ndash 2y ge ndash 3x
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (ndash1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
2y le 3x y le 3
2 x
NOTA
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
8
Portanto
Para fazer o graacutefico do conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (x y) do exemplo anterior primeiro trace o graacutefico de y = 3
2 x e depois determine qual a regiatildeo correspondente agrave desigualdade y le 3
2 x
O graacutefico de y = 32 x corresponde a uma reta crescente que conteacutem a
origem Note que esta reta divide o plano em duas regiotildees Para identificar qual regiatildeo expressa o domiacutenio de f (xy) atente para a desigualdade estabelecida Neste exemplo como se trata de uma reta e a relaccedilatildeo de ordem eacute dada pelo sinal ldquolerdquo entatildeo isto implica que o domiacutenio eacute expresso pelos infinitos pontos que se encontram na reta e abaixo dela
FIGURA 4 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
Exemplo 9Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = 5x
y ndash xsup2
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o denominador
y ndash xsup2 natildeo pode tornar-se nulo
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
9
Entatildeoy ndash xsup2 ne 0 y ne xsup2
Portanto
Para fazer o graacutefico do conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (xy) = 5xy ndash xsup2
procedemos do mesmo modo que no exemplo anterior A funccedilatildeo que expressa o domiacutenio eacute dada por y ne xsup2 cuja representaccedilatildeo no plano eacute uma paraacutebola com concavidade voltada para cima e que possui seu veacutertice na origem A relaccedilatildeo de diferenccedila poreacutem implica que pertencem ao domiacutenio todos os pontos do plano exceto os que se encontram sobre a paraacutebola expressa pela relaccedilatildeo y = xsup2
FIGURA 5 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
Exemplo 10Determine o conjunto domiacutenio de f(xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o radicando
3xsup2 + ysup2 ndash 18 natildeo pode ser negativo
3xsup2 + ysup2 ndash 18 ge 03xsup2 + ysup2 ge 18
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
10
Dividindo ambos os membros da desigualdade por 18
3x sup2 y sup2 1818 18 18
+ ge
A funccedilatildeo xsup2 ysup26 18 + = 1 representa uma elipse centrada na origem do
plano cartesiano cujo eixo maior definido sobre o eixo das ordenadas eacute igual a 2 848 e cujo eixo menor definido sobre os eixos das abscissas eacute igual a 2
490
Atribuiacutedas as caracteriacutesticas geomeacutetricas da funccedilatildeo que define o domiacutenio traccedilamos o seu graacutefico A relaccedilatildeo de desigualdade estabelecida eacute ldquogerdquo Isto implica que os pontos que pertencem ao domiacutenio se encontram sobre a elipse e fora dela
Ao sentir dificuldade em caracterizar as funccedilotildees quanto agrave sua representaccedilatildeo geomeacutetrica retome os estudos realizados na disciplina de Geometria Analiacutetica
FIGURA 6 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
ATENCAO
xsup2 ysup26 18 + ge 1
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
11
Exemplo 11Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = In (x minus 3y + 1) e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoComo In (x minus 3y + 1) eacute definido somente quando x minus 3y + 1 gt 0 entatildeo x minus 3y + 1 gt 0x minus 3y gt minus 1minus 3y gt minus x minus 1
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
3y lt x + 1y lt x + 1
3
Neste exemplo a funccedilatildeo domiacutenio expressa pela desigualdade y lt x + 1 3
representa no plano uma regiatildeo que se encontra abaixo da reta y = x + 1 3 Observe
que os pontos sobre a reta natildeo pertencem ao conjunto domiacutenio
FIGURA 7 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
12
Exemplo 12Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y A expressatildeo que
representa o radicando 4 ndash xsup2 ndash ysup2 natildeo pode ser negativa4 ndash xsup2 ndash ysup2 ge 0 ndash xsup2 ndash ysup2 ge ndash 4
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
xsup2 + ysup2 le 4
O conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f(xy) = expresso pela desigualdade xsup2 + ysup2 le 4 compreende os infinitos pontos interiores juntamente com os infinitos pontos pertencentes agrave circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano de raio 2
FIGURA 8 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
13
31 GRAacuteFICOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
Se f eacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis com domiacutenio D entatildeo o graacutefico de f eacute o conjunto de todos os pontos (xyz) em R3 tal que z = f (xy) e (xy) isin D
Fazer a representaccedilatildeo graacutefica das funccedilotildees de duas variaacuteveis eacute normalmente complicado e requer habilidade manual Assim vamos recorrer ao uso de programas computacionais matemaacuteticos que fazem os graacuteficos de superfiacutecies O objetivo aqui eacute apenas mostrar os graacuteficos das funccedilotildees de duas variaacuteveis e natildeo a construccedilatildeo manual dos graacuteficos
Os graacuteficos que vocecirc encontraraacute ao longo do Caderno de Estudos foram construiacutedos atraveacutes do Winplot que eacute um software livre disponiacutevel na internet e do Maple 11 um software comercial que possui inuacutemeros recursos matemaacuteticos
Caro(a) acadecircmico(a) Vocecirc pode baixar o software Winplot diretamente da internet ou do material de apoio da disciplina no AVA
Exemplo 13Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = 2 ndash 3x ndash 4y
Resoluccedilatildeo
FIGURA 9 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = 2 ndash 3x ndash 4y
FONTE O autor
DICAS
30
20
10
0
ndash10
ndash20ndash30
ndash 50
5 ndash 4 ndash 2 0 2 4x y
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
14
Exemplo 14Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
Resoluccedilatildeo
FIGURA 10 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
Exemplo 15Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy)
Resoluccedilatildeo
FIGURA 11 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) =
FONTE O autor
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
15
Exemplo 16Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = sen x middot sen y
Resoluccedilatildeo
FIGURA 12 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = sen x middot sen y
FONTE O autor
4 FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Definiccedilatildeo 141 Seja D um subconjunto de Rn Uma funccedilatildeo real f de n variaacuteveis reais definida em D eacute uma relaccedilatildeo entre D e R que associa a cada ponto (x1 x2 xn) isin D um uacutenico valor real z denotado por z = f (x1 x2 xn)
Notaccedilatildeo
As variaacuteveis (x1 x2 xn) satildeo as variaacuteveis independentes e z eacute a variaacutevel dependente O conjunto de todos os valores possiacuteveis de f eacute chamado imagem de f e eacute denotado por lm(f) Assim
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
16
Definiccedilatildeo 142 Seja f uma funccedilatildeo de n variaacuteveis com domiacutenio D O graacutefico de f eacute o conjunto de todos os pontos do espaccedilo Rn+1 dado por
( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 n 1 2 n 1 2 ngraf f x x x y R y f x x x x x xn com D+= isin = isin
No caso em que n = 1 f seraacute uma funccedilatildeo de uma variaacutevel e seu graacutefico seraacute uma curva C com equaccedilatildeo y = f (x1)
Quando n = 2 f seraacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis e seu graacutefico seraacute uma superfiacutecie S com equaccedilatildeo z = f (x1x2)
Quando n = 3 natildeo podemos esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f pois ele estaacute no espaccedilo de dimensatildeo 4
Exemplo 17Esboce o graacutefico da funccedilatildeo f (xy) = 6 ndash 2x + 3y
ResoluccedilatildeoPara esboccedilar o graacutefico de uma funccedilatildeo temos que conhecer o domiacutenio desta
funccedilatildeo O domiacutenio desta funccedilatildeo f eacute D(f) = Rsup2 e o graacutefico da funccedilatildeo f eacute o conjunto
graf (f) = (xyz) isin Rsup3 | z = 6 ndash 2x + 3y
Geometricamente o graacutefico de f representa um plano
Vamos fazer algumas consideraccedilotildees sobre a funccedilatildeo e os eixos como se focircssemos traccedilar o graacutefico manualmente Entatildeo comeccedilamos encontrando os pontos onde o plano intercepta cada um dos trecircs eixos coordenados
Se na equaccedilatildeo z = 6 ndash 2x ndash 3y fizermosx = 0 e y = 0 vem z = 6x = 0 e z = 0 vem y = 2y = 0 e z = 0 vem x = 3
Obtemos assim os pontos A1 = (0 0 6) A2 = (0 2 0) e A3 = (3 0 0) nos quais o plano intercepta os eixos coordenados A porccedilatildeo do graacutefico que estaacute no primeiro octante estaacute esboccedilada na figura a seguir
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
17
FIGURA 13 ndash PLANO COM EIXOS COORDENADOS
FONTE O autor
Exemplo 18Determine o conjunto domiacutenio e o conjunto imagem da funccedilatildeo f (x y z) =
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo natildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x y e zAssim D(f) = R sup3 (todo o espaccedilo)Jaacute para o conjunto imagem teremos apenas os reais natildeo negativosLogo Im (f) = R+
x
y
z
(020)
(300)
(006)
18
Neste toacutepico os principais assuntos estudados foram
bull Definiccedilatildeo de funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
bull Conjunto domiacutenio e conjunto imagem de funccedilatildeo
bull Representaccedilatildeo graacutefica do domiacutenio
bull Representaccedilatildeo graacutefica das superfiacutecies z = f (xy) usando recurso computacional
bull Listamos algumas situaccedilotildees envolvendo o estudo do domiacutenio para funccedilotildees de diversas variaacuteveis que impotildeem restriccedilotildees ao conjunto domiacutenio
bull Consideremos os casos a seguir em que A e B satildeo expressos em funccedilatildeo de x e y
uuml Se f (xy) = entatildeo devemos considerar B ne 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar A ge 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar A ge 0 e B ne 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar B gt 0
uuml Se f (xy) = logc A com c gt 0 e c ne 1 entatildeo devemos considerar A gt 0
RESUMO DO TOacutePICO 1
19
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre funccedilotildees de diversas variaacuteveis
1 Nos problemas a seguir calcule o valor da funccedilatildeo nos pontos especiacuteficos
a) f (xy) = (x ‒ 1)sup2 + 2xysup3 f (2 ‒ 1) f (12)
b) f (xy) = 3x+2y2x+3y
f (12) f ( ‒ 46)
c) g (xy) = y -x2 2 g (45) g (‒ 12)
d) g (uv) = 10u frac12 v ⅔ g (1627) g (4 ‒1331)
e) f (xy) = y xx y+ f (12) f(2 ‒3)
2 Nos problemas a seguir descreva o domiacutenio das funccedilotildees e represente-o graficamente
a) f (xy) = 5x + 2y4x + 3y
b) g (xy) = 36 - x - y2 2
c) f (xy) = radicx + y ‒ 2
d) f (xy) = 3x + 5y
xsup2 + 2ysup2 ‒ 4e) f (xy) = In (x + y ‒ 4)
f) g (xy) = exy
radicx ‒ 2y
AUTOATIVIDADE
20
21
TOacutePICO 2
CURVAS DE NIacuteVEL
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico veremos como representar uma superfiacutecie (figura tridimensional) em um graacutefico bidimensional Talvez vocecirc jaacute tenha visto algum graacutefico nesta situaccedilatildeo na praacutetica satildeo chamados mapas topograacuteficos
Nestes mapas uma paisagem tridimensional como a extensatildeo de uma montanha por exemplo estaacute representada por linhas de contorno bidimensionais ou curvas de elevaccedilatildeo constante conforme pode ser visto na figura a seguir
FIGURA 14 ndash MAPA DE CONTORNO DE UMA MONTANHA
FONTE Disponiacutevel em lthttparqaulaswordpresscomcategorytopografiagt Acesso em 11 jul 2011
O objetivo deste toacutepico eacute mostrar como reconhecer algebricamente e geometricamente as curvas de niacutevel Muitas das curvas que encontraremos correspondem a graacuteficos de funccedilotildees jaacute conhecidas as quais vocecirc estudou na disciplina de Geometria Analiacutetica tais como reta paraacutebola cuacutebica circunferecircncia elipse e hipeacuterbole
S1
S2
S3
S6
A
B
C
DE
F
G
H
I
A B C D E F G H I
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
22
2 CURVAS DE NIacuteVEL
O conjunto de todos os pontos onde uma funccedilatildeo f (xy) tem um valor constante c isin R eacute chamado de curva de niacutevel de f
Definiccedilatildeo 231 Seja c um nuacutemero real O conjunto de pontos no plano onde uma funccedilatildeo f (xy) tem um valor constante f (xy) = c eacute chamado de curva de niacutevel de f
Exemplo 1
Identifique as curvas de niacutevel para g (xy) = 4 ‒ x ‒ y em c = 0 e c = 6 Represente graficamente
Resoluccedilatildeog (xy) = c para c = 0
g (xy) = 4 ‒ x ‒ y0 = 4 ‒ x ‒ y
y = 4 ‒ xy = ‒ x + 4
Esta funccedilatildeo representa uma reta decrescente (coeficiente angular ndash1) que intercepta o eixo y em 4
g (xy) = c para c = 6g (xy) = 4 ‒ x ‒ y
6 = 4 ‒ x ‒ yy = 4 ‒ 6 ‒ xy = ‒ x ‒ 2
Esta funccedilatildeo representa uma reta decrescente (coeficiente angular ndash1) que intercepta o eixo y em ndash2
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
23
FIGURA 15 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE g (xy) = 4 ndash x ndash y
FONTE O autor
Outro exemplo que ilustra as curvas de niacutevel eacute o que muitos autores chamam de mapa de contorno conforme figura a seguir
FIGURA 16 ndash MAPA DE CONTORNO DE g (xy) = 4 ndash x ndash y
FONTE O autor
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
24
Considerando diferentes valores para a constante c igualmente espaccedilados obtemos um conjunto de curvas de niacutevel chamado mapa de contorno representadas no mesmo plano cartesiano
Exemplo 2Identifique as curvas de niacutevel para f (xy) = xsup2 ‒ ysup2 em c = 0 c = ndash3 e c = 4
Represente graficamente
Resoluccedilatildeof (xy) = c para c = 0
xsup2 ndash ysup2 = 0ysup2 = xsup2
y = x ou y = ndashx
Estas duas equaccedilotildees representam duas retas (Figura 17) A reta de equaccedilatildeo y = x representa no plano a bissetriz dos quadrantes iacutempares enquanto que a reta de equaccedilatildeo y = - x representa a bissetriz dos quadrantes pares
f (xy) = c para c = ‒ 3xsup2 ‒ ysup2 = ‒ 3
‒xsup2 ysup2 ‒3‒3 ‒3 ‒3=
xsup2 ysup23 3+ = 1‒
A equaccedilatildeo xsup2 ysup23 3+ = 1‒ representa uma hipeacuterbole equilaacutetera com
a = b = radic3 que tem uma concavidade voltada para cima e a outra para baixo (Figura 17)
f (xy) = c para c = 4xsup2 ‒ ysup2 = 4
‒xsup2 ysup2 4 4 4 4=
‒xsup2 ysup2 4 4 = 1
IMPORTANTE
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
25
Esta equaccedilatildeo representa uma hipeacuterbole equilaacutetera com a = b = 2 centrada na origem do plano cartesiano com uma concavidade voltada para a direita e outra para a esquerda (Figura 17)
FIGURA 18 ndash MAPA DE CONTORNO DE f (xy) = xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
FIGURA 17 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
y
x
c = 0
c = -3
c = 4
c = 0
c = 4
c = -3
420-2-4
-2
-4
0
2
4
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
26
Caro(a) acadecircmico(a) Para desenhar os mapas de contorno sugiro que utilize um software matemaacutetico como por exemplo o Winplot Na internet vocecirc encontra diversos tutoriais sobre o Winplot inclusive onde baixar o programa que eacute freeware Agora tente vocecirc identifique as curvas de niacutevel para g (xy) = 4 ndash 2xsup2 ndash ysup2 em c = 0 e c = ndash 2 e as represente graficamente
Exemplo 3Identifique as curvas de niacutevel para f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 em c = 1 e c = 2
Represente graficamente
Resoluccedilatildeof (xy) = c para c = 1
radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 15 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 1
‒ x sup2 ‒ y sup2 = ‒ 4 (-1)xsup2 + ysup2 = 4
Esta equaccedilatildeo representa uma circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano com raio igual a 2 (Figura 19)
f (xy) = c para c = 2
radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 25 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 4
‒ x sup2 ‒ y sup2 = ‒ 1 ( ‒ 1)x sup2 + y sup2 = 1
Esta equaccedilatildeo representa uma circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano com raio igual a 1 (Figura 19)
DICAS
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
27
FIGURA 19 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2
FONTE O autor
FIGURA 20 ndash MAPA DE CONTORNO DE f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2
FONTE O autor
c = 1
c = 2
-3 -2 -1
1
-1
-2
-3
2 31
2
3
x
y
-2
-1
0
1
22 1 0 ndash 1 ndash 2
x
y
28
RESUMO DO TOacutePICO 2
Neste toacutepico fizemos anaacutelises e representaccedilotildees graacuteficas das curvas de niacutevel de uma funccedilatildeo f
bull Reconhecimento algeacutebrico das curvas de niacutevel
29
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
1 Associe as superfiacutecies de 1 a 4 aos mapas de contorno de A a D
(1)
(A)
(2)
(B)
y ndash 2 ndash 1 ndash 1
ndash 2
ndash 3
x
1 2 3
1
2
3
1
05
0
ndash 05
ndash 1ndash 3ndash 2ndash 1 0 1 2 3 3 2 1 0ndash 1ndash 2ndash 3
ndash 3
ndash2
ndash 1
ndash 1ndash 2ndash 3 1
1
2
2
3
3 y
x
30
(3) (C)
(4) (D)
2 Nas questotildees a seguir identifique algebricamente as curvas de niacutevel para valores de c dados
a) f (xy) = x sup2 + y sup2 ‒ 9 c isin ‒ 4 ‒ 2 ‒ 1 0b) f (xy) = y sup2 ‒ x c isin 0 1 2 3
3 Nas questotildees a seguir represente graficamente as curvas de niacutevel das funccedilotildees Agora vocecirc escolheraacute alguns valores para c Eacute importante que vocecirc faccedila os graacuteficos manualmente e se for possiacutevel utilize o software Winplot para conferir ou como apoio nos estudos
a) f (xy) = x sup2 + 9y sup2b) f (xy) = y ‒ xsup3c) g (xy) = 3 + 2x ‒ y
3 2 1 0 ndash 1 ndash 2 ndash 33
2
1
0
ndash 1
ndash 2
ndash 3
y
ndash 3 ndash 2 ndash 1 0 1 2 3
3
2
1
0
ndash 1
ndash 2
ndash 3
y
x
20
10
0
ndash 10
ndash 20ndash 3
ndash 1ndash 2 0 1 2 3 ndash 2 ndash 1 0 1 2 3
x y
ndash 3 ndash 2 ndash 1 2 3
321ndash 1ndash 2ndash 300
x y
31
TOacutePICO 3
LIMITE E CONTINUIDADE
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 DEFINICcedilOtildeES BAacuteSICAS
O que estudaremos agora jaacute foi estudado no Caacutelculo Diferencial e Integral onde o conceito de limite e continuidade foi empregado para funccedilatildeo de uma variaacutevel
Neste toacutepico estenderemos o conceito de limite agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis um conceito fundamental do caacutelculo do qual decorrem outros como por exemplo a noccedilatildeo de continuidade Para isso enunciaremos algumas definiccedilotildees de Anaacutelise Matemaacutetica Tente entender os conceitos e soacute depois avance para a proacutexima seccedilatildeo
Definiccedilatildeo 321 Sejam P = (x1 x2 xn) e A = (a1 a2an) pontos em Rn A distacircncia entre P e A denotada por P ‒ A eacute dada por
P ‒ A = radic (x1 ‒ a1)sup2 + (x2 ‒ a2)sup2 + + (xn ‒ an)sup2
Exemplo 1Dados os pontos P = (1 ‒ 2 3) e A = (3 1 ‒ 2) em Rsup3 encontre P ‒ A
Resoluccedilatildeo P ‒ A = radic (1 ‒ 3)sup2 + (‒2 ‒1)sup2 + (3 ‒ (‒ 2))sup2 = radic8 uc
Definiccedilatildeo 322 Sejam A = (a1 a2 an) isin Rn e r gt 0 um nuacutemero real A bola aberta de centro em A e raio r que indicaremos por B(A r) eacute definida como sendo o conjunto de todos os pontos P = (x1 x2 xn) tais que P ‒ Alt r ou seja
B(A r) = (x1 x2xn) isin Rn radic (x1 ‒ a1)sup2 + (x2 ‒ a2)sup2 ++ (xn ‒ an)sup2 lt r
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
32
Exemplo 2a) Em R a bola aberta B(a r) eacute o intervalo aberto (a ‒ r a + r)
FIGURA 21 ndash INTERVALO EM R
FONTE O autor
b) Em Rsup2 a bola aberta B((a1 a2) r) representa o conjunto dos pontos internos agrave circunferecircncia de centro em (a1 a2) e raio r
FIGURA 22 ndash r de A
FONTE O autor
Definiccedilatildeo 321 Seja S um subconjunto de Rn Um ponto A eacute um ponto de acumulaccedilatildeo de S se toda bola aberta de centro em A possui uma infinidade de pontos de S mesmo que A natildeo necessariamente pertenccedila a S
Exemplo 3Seja S = (xy) isin Rsup2 | x gt 0 e y gt 2 Mostre que todos os pontos pertencentes
ao conjunto S satildeo pontos de acumulaccedilatildeo
ResoluccedilatildeoTodos os pontos pertencentes a S satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S pois
atendem agrave Definiccedilatildeo 321 Ainda os pontos (0y) com y ge 2 e (x 2) com x gt 0 satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S e natildeo pertencem a S (Figura 23)
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
33
FIGURA 23 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO CONJUNTO S
FONTE O autor
Exemplo 4Seja S = (xy) isin Z2 | ‒ 2 le x le 4 e 1 le y le 5 Mostre que o conjunto S natildeo
possui pontos de acumulaccedilatildeo
ResoluccedilatildeoMostraremos que os pontos de S natildeo satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S pois
natildeo atendem agrave Definiccedilatildeo 321 Para qualquer ponto P(xy) isin R2 a bola aberta de centro P e raio r lt 1 natildeo conteacutem uma infinidade de pontos de S
Portanto o conjunto S natildeo possui pontos de acumulaccedilatildeo (Figura 24)
FIGURA 24 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO CONJUNTO S
FONTE O autor
y
x
1098
654
21
34
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
3 LIMITE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
A seguir definiremos limite de uma funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 331 Sejam f S sub Rn rarr R uma funccedilatildeo e A um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que o limite de f (X) quando X se aproxima de A eacute um nuacutemero real L se dado ε gt 0 existir δ gt 0 tal que |f (X) ndash L| lt ε sempre que X isin S e 0 lt X ndash A lt δ
Neste caso escrevemos
lim f (X) = L x rarr A
O estudo de funccedilotildees de trecircs ou mais variaacuteveis (n ge 3) difere pouco do estudo de funccedilotildees de duas variaacuteveis Desta forma por simplicidade de apresentaccedilatildeo vamos estudar as funccedilotildees de duas variaacuteveis no restante desta unidade Comeccedilaremos reescrevendo a definiccedilatildeo de limite de funccedilotildees de duas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 332 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo e (a b) um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que o limite de f (xy) quando (xy) se aproxima de (ab) eacute um nuacutemero real L se dado ε gt 0 existir δ gt 0 tal que
|f (xy) ndash L| lt ε sempre que (xy) isin S e 0 lt radic(x ‒ a)2 + (y ‒ b)2 lt δ
Neste caso escrevemos
lim f (xy) = L (xy) rarr (ab)
A definiccedilatildeo de limite de funccedilatildeo pode ser reformulada utilizando o conceito de bola aberta que vimos anteriormente De fato escrever lim f (xy) = L equivale
a dizer que dado qualquer ε gt 0 podemos encontrar δ gt 0 tal que para todo (xy) isin B ((ab) δ) tenhamos f (xy) isin (L ndash ε L + ε) A figura a seguir ilustra no caso de uma funccedilatildeo f A sub Rn rarr R a definiccedilatildeo de limite
FIGURA 25 ndash FUNCcedilAtildeO f A sub Rn rarr R
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwicmcuspbr~cmmendesCalculoIICalculo2DiferenciaE7E3opdfgt Acesso em 18 jun 2011
(xy) rarr (ab)
A sub Rn
P₀
f
L ndash ε
L + εL
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
35
Exemplo 5Usando a definiccedilatildeo de limite mostre que lim (4x ndash 3y) = 5 (xy) rarr (21)
ResoluccedilatildeoDevemos mostrar que forall ε gt 0 exist δ gt 0 tal que (4x ‒ 3y) ‒ 5 lt ε sempre que
(xy) ‒ (21)lt δ
Com o objetivo de encontrar o δ desejado trabalharemos com a desigualdade que envolve ε Assim usando propriedades do valor absoluto podemos escrever
(4x ‒ 3y) ‒ 5=4x ‒ 3y ‒ (8 ‒ 3)=4x ‒ 8 ‒ 3y + 3=4x ‒ 8 ‒ (3y ‒ 3)=4 (x ‒ 2) ‒ 3(y ‒ 1)le 4x ‒ 2+ 3 y ‒ 1
Como 0 lt radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ podemos escrever x ‒ 2 le
radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ e y ‒ 1 le radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ temos que 4x ‒ 2 + 3y ‒ 1lt 4 δ + 3 δ
Assim tomando δ = ε7 temos(4x ‒ 3y) ‒ 5le 4x ‒ 2+ 3y ‒ 1lt
4 ε7 + 3 ε
7 = ε sempre que 0 lt radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ
Portanto lim (4x ‒ 3y) = 5 (xy) rarr (21)
Teorema 331 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis S1 e S2 subconjuntos de S e (ab) um ponto de acumulaccedilatildeo de S1 e S2 Se f (xy) tem limites diferentes quando (xy) tende (ab) atraveacutes dos pontos de S1 e S2 entatildeo lim f (xy) natildeo existe (xy) rarr (ab)
Lembre-se de que o fato de o ponto (ab) ser um ponto de acumulaccedilatildeo de S1 e
S2 natildeo significa que (ab) isin S
1 cap S
2
Exemplo 6Usando a definiccedilatildeo de limite mostre que lim 5xy
x2 + y2 natildeo existe
ATENCAO
(xy) rarr (21)
36
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Resoluccedilatildeo
Observemos que o conjunto domiacutenio de f eacute R2 ‒ (00) Para mostrar que o limite natildeo existe usaremos o Teorema 331
Consideremos o conjunto de retas que passam pela origem y = kxk isin R (xy) isin R2
Calculando f (xy) com y = kx temos
f (xkx) = 5xkx
x2 + (kx)2
= 5kx2
x2 (1+ k2)
= 5k
1+ k2
Entatildeo lim f (x kx) = lim 5k
1+ k2 (xy) rarr (00) (xy) rarr (00)
Assim o limite de f depende do percurso do ponto (xy) quando ele tende agrave origem Por exemplo considere k = 0 e k = 1 (dois caminhos diferentes)
lim f (xx) = lim 5 11+1
= 522
e lim f (xa) = 5 01 0
02+=
(xy) rarr (00) (xy) rarr (00)
Note que f assume um valor constante sobre cada reta que passa pela
origem De fato para cada coeficiente angular k isin R f (xkx) = 5k
1+k2 qualquer que
seja x isin R corroborando assim o caacutelculo do limite desenvolvido anteriormente
Portanto concluiacutemos atraveacutes do Teorema 331 que lim 5xy
x2 + y2 natildeo
existe (xy) rarr (00)
O teorema a seguir eacute muito parecido com o que jaacute foi visto em caacutelculo nas propriedades de limites de funccedilotildees de uma variaacutevel
Teorema 332 Se lim f (xy) = L e lim g (xy) = M e c isin R entatildeo (xy) rarr (ab) (xy) rarr (ab)
(xy) rarr (00)
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
37
Vamos utilizar este teorema nos exemplos a seguir
Exemplo 7
Calcule
Resoluccedilatildeo
Exemplo 8
Calcule
Resoluccedilatildeo
Temos lim (x3 ‒ x2y) = 0 e lim (x2 ‒ y2) = 0 (xy) rarr (22) (xy) rarr (22)
Neste caso temos uma indeterminaccedilatildeo do tipo 00
Para resolver o limite
fatoram-se o numerador e denominador fazendo as simplificaccedilotildees possiacuteveis como faziacuteamos com limites indeterminados no caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral
Entatildeo
38
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
4 CONTINUIDADE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Vocecirc se recorda da definiccedilatildeo de continuidade estudada na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral Agora estudaremos esta definiccedilatildeo aplicada agraves funccedilotildees de diversas variaacuteveis Acompanhe a seguir
Definiccedilatildeo 341 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo e (ab) isin S um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que f eacute contiacutenua no ponto (ab) se as seguintes condiccedilotildees forem satisfeitas
(i) f estaacute definida no ponto (ab)(ii) lim f(xy) existe
(xy) rarr (ab)
(iii) lim f(xy) = f(ab) (xy) rarr (ab)
Quando uma ou mais destas condiccedilotildees natildeo eacute satisfeita dizemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no ponto (ab)
Dizemos que f eacute contiacutenua se f for contiacutenua em todos os pontos do domiacutenio de f
Exemplo 9
Considere a funccedilatildeo de duas variaacuteveis f(xy) = 3x + y2
a) Mostre que f eacute contiacutenua no ponto (2 3)
b) Mostre que f eacute contiacutenua
+
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
39
Resoluccedilatildeo
a) Precisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(i) f (23) = 32 + 32 = 15(ii) lim f(xy) = lim (3x + y2) = 32 + 32 = 15 (xy) rarr (23) (xy) rarr (23)
(iii) lim (3x + y2) = f (23) (xy) rarr (23)
Logo f eacute contiacutenua no ponto (2 3)
b) Seja (ab) isin D (f) = R2
lim f(xy) = lim (3x + y2) = 3a + b2 = f (ab) (xy) rarr (ab) (xy) rarr (ab)
Como (ab) eacute um ponto qualquer segue que f (xy) eacute contiacutenua
Exemplo 10
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = In (xy + 3x) eacute contiacutenua no ponto (32)
Resoluccedilatildeo
Verificaremos se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
Logo f eacute contiacutenua no ponto (3 2)
40
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 11
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = eacute contiacutenua no ponto (33)
Resoluccedilatildeo
Precisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(i) f (33) = 5 pois x = y
(ii) = infin portanto o limite natildeo existe
(iii) Como lim f(xy) ne f(33) concluiacutemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no ponto (33) (xy) rarr (33)
Teorema 341 Se g(x) for contiacutenua em a e h(y) for contiacutenua em b entatildeo f(xy) = g(x) middot h(y) eacute contiacutenua em (ab)
Teorema 342 Se h(x y) for contiacutenua em (ab) e g(u) for contiacutenua em u = h (ab) entatildeo a composiccedilatildeo f(xy) = g(h(xy)) eacute contiacutenua em (ab)
Exemplo 12Use o Teorema 341 para mostrar que a funccedilatildeo f(xy) = 7x3y5 eacute contiacutenua
Resoluccedilatildeo
Os polinocircmios g(x) = 7x3 e h(y) = y5 satildeo contiacutenuos em cada ponto da reta real
Logo pelo Teorema 341 a funccedilatildeo f(xy) = 7x3 y5 eacute contiacutenua em cada ponto (xy) do plano xy ou seja f(xy) eacute contiacutenua
Exemplo 13Use o Teorema 342 para mostrar que a funccedilatildeo f(xy) = cos (7x3 y5) eacute contiacutenua
ResoluccedilatildeoComo h(xy) = 7x3 y5 eacute contiacutenua em cada ponto do plano xy e g(u) = cos u eacute
contiacutenua em cada ponto u da reta real segue do Teorema 342 que a composiccedilatildeo f(xy) = cos (7x3 y5) eacute contiacutenua em todo R2
41
RESUMO DO TOacutePICO 3
Caro(a) acadecircmico(a) Neste toacutepico os principais assuntos estudados foram
bull O conceito de limite de funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
bull Definiccedilatildeo de funccedilatildeo contiacutenua e suas propriedades Eacute importante saber analisar se uma funccedilatildeo eacute contiacutenua ou natildeo
bull Destacamos a Definiccedilatildeo 341 que trata da continuidade Lembre que se f S sub R2 rarr R eacute uma funccedilatildeo e (ab) isin S eacute um ponto de acumulaccedilatildeo de S dizemos
que f eacute contiacutenua no ponto (ab) se as seguintes condiccedilotildees forem satisfeitas
(i) f estaacute definida no ponto (ab)
(ii) lim f(xy) existe
(xy) rarr (ab)
(iii) lim f(xy) = f(ab)
(xy) rarr (ab)
Lembre-se de que se uma destas condiccedilotildees natildeo for satisfeita a funccedilatildeo eacute descontiacutenua em (ab)
42
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre limite e continuidade de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
1 Use a definiccedilatildeo de limite para mostrar que lim (2x + 6y) = 12 (xy) rarr (31)
2 Nos exerciacutecios a seguir calcule os limites
a) lim (x2y3 ‒ 2xy + 4) (xy) rarr (2 ‒1)
b) lim (xy) rarr (2 ‒1)
c) lim (xy) rarr (00)
d) lim x2 ‒ xy
radic radicx + y (xy) rarr (00)
x + 4y2x2 + 3xy
x3 + 2x2 + xy2 + 2y2
x2 + y2
3 Mostre que lim x2y
x4 + y2 natildeo existe (xy) rarr (00)
4 Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f (xy) = 3x2 + y2 +5
5 Verifique se a funccedilatildeo f(xy) = 4x2 ‒ 3x + yx2 + y2 ‒ 1
eacute contiacutenua no ponto (13)
6 Verifique se a funccedilatildeo f(xy) = xy5x2 + y2
0 (xy) = (00)
(xy) ne (00) eacute contiacutenua
43
TOacutePICO 4
DERIVADAS PARCIAIS
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
Vocecirc se recorda das regras de derivaccedilatildeo estudadas na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral
Aqui veremos como elas se aplicam agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis independentes que permitem uma visualizaccedilatildeo graacutefica possibilitando um entendimento de maneira simples do conceito de derivadas parciais Os resultados aqui obtidos podem ser generalizados para os casos de funccedilotildees com um nuacutemero maior de variaacuteveis
As regras de derivaccedilatildeo que vocecirc aprendeu na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral seratildeo utilizadas neste momento novamente
2 RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVACcedilAtildeO
Se u eacute uma funccedilatildeo real e c α isin R entatildeo
(c)prime = 0 (eu)prime = eu sdot u prime(c sdot u)prime = c sdot uprime (sen u)prime = cos u sdot u prime(u α)prime = α sdot u αminus1 sdot uprime (cos u)prime = minussen u sdot u prime
Exemplo 1Se f(x) = 5x3 minus 4x + 3ex minus 5 entatildeo f prime(x) = 15x2 minus 4 + 3ex
Lembre-se que se y = f (x) entatildeo a taxa de variaccedilatildeo de y em relaccedilatildeo a x eacute dada pela derivada de f em relaccedilatildeo a x que eacute definida por
f(x + Δx) minus f(x)Δx
f prime(x) = limΔx rarr 0
44
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
3 DERIVADAS PARCIAIS
Nesta seccedilatildeo estudaremos sobre as derivadas parciais Acompanhe
31 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS
A definiccedilatildeo de derivada parcial de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis eacute parecida com a enunciada para funccedilotildees de uma variaacutevel sendo utilizadas as mesmas regras de derivaccedilatildeo A diferenccedila aqui eacute que como se tem duas variaacuteveis uma delas deve ser mantida fixa enquanto se daacute acreacutescimos para a outra conforme veremos nas definiccedilotildees a seguir
Definiccedilatildeo 4311 Seja f A sube R2 rarr R uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis As derivadas parciais de f em relaccedilatildeo a x e a y satildeo funccedilotildees partf
partx e partf
party definidas por
partfpartx
= limh rarr 0
f (x + hy) ‒ f (xy)h
partfparty
= limh rarr 0
f (xy + h) ‒ f (xy)h
desde que os limites existam
O siacutembolo ldquopartrdquo chama-se ldquoD-rondrdquo (pronuncia-se derron) que significa D-redondo em francecircs Esta notaccedilatildeo eacute apenas um outro tipo de simbologia para a derivada que quando trabalhamos com funccedilotildees de uma variaacutevel era representada por ldquodrdquo Eacute conveniente ter essa maneira distinta de estender a notaccedilatildeo diferencial de Leibniz para um contexto de diversas variaacuteveis pois aqui natildeo tem sentido falarmos simplesmente em derivada apenas em derivadas parciais
Existem outras notaccedilotildees para representar as derivadas parciais Se z = f (xy)
denotamos
partfpartx
= fx (xy) = = Dx fpartzpartx
partfparty
= fy (xy) = = Dy fpartzparty
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
45
Preste muita atenccedilatildeo na simbologia de derivada Quando estamos derivando
uma funccedilatildeo de uma variaacutevel por exemplo y = f (x) entatildeo a derivada eacute identificada por dydx
Mas quando estamos derivando uma funccedilatildeo de duas ou mais variaacuteveis por exemplo z = f
(xy) entatildeo as derivadas satildeo identificadas por part zpart x
e part zpart y
Exemplo 2
Aplicar a definiccedilatildeo para achar partfpartx
e partfparty
para f (xy) = 3x2 ‒ 2xy
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= limh rarr 0
f (x + hy) ‒ f (xy)h
= limh rarr 0
3 (x + h)2 ‒ 2 (x + h)y ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
3x2 + 6xh + 3h2 ‒ 2xy ‒ 2hy ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
6xh + 3h2 ‒ 2hyh
= limh rarr 0
h (6x + 3h ‒ 2y)h
= lim 6x + 3h ‒ 2yh rarr 0
= 6x ‒ 2y
partfparty
= limh rarr 0
f (xy + h)‒ f (xy)h
ATENCAO
46
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
= limh rarr 0
3x2 ‒ 2x (y + h) ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
3x2 ‒ 2xy ‒ 2xh ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
‒ 2xhh
= lim (‒ 2x)h rarr 0
= ‒ 2x
Logo obtemos partfpartx
= 6x ‒ 2y e partfparty
= ‒ 2x
Exemplo 3Encontre as derivadas parciais de f (xy) = 5x3 ‒ 4xy + 3exysup3 ‒ 5
ResoluccedilatildeoPara encontrar a derivada parcial de f em relaccedilatildeo a x devemos olhar para
a variaacutevel y da funccedilatildeo f como uma constante e derivamos apenas a variaacutevel x ou seja aplicaremos as regras de derivaccedilatildeo somente na variaacutevel x
partfpartx
= 5 ∙ 3x2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ y + 3exysup3 ∙ 1 ∙ y3 ‒ 0
= 15x2 ‒ 4y + 3y3 exysup3
De forma anaacuteloga para derivar parcialmente f em relaccedilatildeo a y devemos olhar para a variaacutevel x da funccedilatildeo f como uma constante e derivamos apenas a variaacutevel y ou seja aplicaremos as regras de derivaccedilatildeo somente na variaacutevel y
partfparty
= 0 ‒ 4x ∙ 1 + 3exysup3 ∙ x ∙ 3y2 ‒ 0
= ‒ 4x + 9xy2 exysup3
Exemplo 4Encontre as derivadas parciais de f (xy) = 3x2 ‒ xy + y
ResoluccedilatildeoDerivando f em relaccedilatildeo a x (lembre-se de considerar y como constante)
partfpartx
= 6x ‒ y
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
47
E derivando f em relaccedilatildeo a y (agora considere x como constante)
partfparty
= ‒ x + 1
Exemplo 5Encontre as derivadas parciais de f (xy) = ex ‒ y ‒ ey ‒ x
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= ex ‒ y ∙ 1 ‒ ey ‒ x ∙ (‒ 1)
= ex ‒ y + ey ‒ x
partfparty
= ex ‒ y ∙ (‒ 1) ‒ ey ‒ x ∙ 1
= ex ‒ y ‒ ey ‒ x
Exemplo 6Calcule as derivadas parciais de f (xy) = (x + y) sen (x ‒ y)
ResoluccedilatildeoObserve que a funccedilatildeo f eacute um produto de outras duas funccedilotildees u e v Assim
lembramos que (u sdot v)prime = u prime sdot v + u sdot v prime
partfpartx
= 1sen(x ‒ y) + (x + y) ∙ 1 ∙ cos (x ‒ y)
= sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ cos (x ‒ y)
partfparty
= 1∙ sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ (‒1) ∙ cos (x ‒ y)
= sen (x ‒ y) ‒ (x + y) ∙ cos (x ‒ y)
Exemplo 7Calcule as derivadas parciais de f (xy) = exy + In (x2 + y)
Resoluccedilatildeopartpart
= ++
fxy e x
x yxy
22
Utilizamos a regra
lnu uu
fyx e
x yxy
( )prime = prime
partpart
= ++1
2
48
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Ateacute aqui estivemos preocupados com o caacutelculo da derivada parcial de uma funccedilatildeo em relaccedilatildeo a uma de suas variaacuteveis Isso quer dizer que calculamos a derivada ao longo de uma curva sem ponto fixado Passemos a ver como se calcula a derivada fixando um ponto da superfiacutecie
Se (x0 y0) for um ponto do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (xy) o plano vertical y = y0 cortaraacute a superfiacutecie z = f (xy) na curva z = f (x y0) (Figura 26)
Definiccedilatildeo 4312 A derivada parcial da funccedilatildeo f em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x eacute representada por partf
partx e eacute definida num ponto P (x0 y0) do domiacutenio por
(x0 y0) = limΔ x rarr 0
partfpartx
f (x0 + Δ x y0) ‒ f (x0 y0)Δ x
se este limite existir
FIGURA 26 ndash FUNCcedilAtildeO f (xy)
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
Se (x0 y0) for um ponto do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (xy) o plano vertical x = x0 cortaraacute a superfiacutecie z = f (xy) na curva z = f (xy0) (Figura 27)
Definiccedilatildeo 4313 A derivada parcial da funccedilatildeo f em relaccedilatildeo agrave variaacutevel y eacute representada por partf
party e eacute definida num ponto P (x0 y0) do domiacutenio por
(x0 y0) = limΔ x rarr 0
partfparty
f (x0 y0 + Δ y ) ‒ f (x0 y0)Δ y
se este limite existir
Eixo horizontal no plano y = y₀
Eixo vertical no plano y = y₀
Reta tangente
A curva z = f (xy0)no plano y = y₀
z
z = f (xy)
y
y₀
(x₀ y₀)(x₀ + h y₀)
x
x₀0
P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
49
FIGURA 27 ndash FUNCcedilAtildeO f (xy)
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
Exemplo 8Sendo f (xy) = 2x2y ndash 4y3 calcule partf
partx partfparty
partfpartx
(31) partfparty
(31)
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= 2 sdot 2x sdot y ndash 0 partfpartx
(31) = 4 sdot 3 sdot 1 = 12
partfpartx
= 4xy
partfparty = 2x 2 sdot 1 ndash 4 sdot 3y 2
partfparty (31) = 2 sdot 32 ndash 12 sdot 12
partf party
= 2x 2 ndash 12y 2 partfparty
(31) = 2 sdot 9 ndash 12 sdot 1 = 18 ndash 12 = 6
Exemplo 9
Sendo f (xy) = 5xy2x + 3y
0 se (xy) = (00)
se (xy) ne (00) calcule partf
partx e partf
party
Eixo vertical no plano x = x₀
Reta tangente
A curva z = f (x y0)no plano x = x₀
Eixo horizontal no plano x = x₀
x₀
x(x₀ y₀)
(x₀ y₀ + k)
z = f (xy)
z
y
y₀
P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))
50
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
ResoluccedilatildeoNos pontos (xy) ne (00) podemos aplicar as regras de derivaccedilatildeo Assim
temos
partfpartx
5y middot (2x + 3y) ‒ 5xy middot 2(2x + 3y)2
=
10xy + 15y 2 ‒ 10xy(2x + 3y)2
=
15y 2
(2x + 3y)2=
partfparty
5x middot (2x + 3y) ‒ 5xy middot 3(2x + 3y)2
=
10x2
(2x + 3y)2=
Para calcularmos as derivadas de f na origem usamos a definiccedilatildeo de derivada parcial
(00) = limh rarr 0
partfpartx
f (0 + h 0 ) ‒ f (00)h
= limh rarr 0
5h middot 0 2h
h
‒ 0( (( (
(00) = limh rarr 0
partfparty
f (00 + h) ‒ f (00)h( (
= limh rarr 0
5 middot 0 middot h 3h
h
‒ 0( (= 0
= 0
Assim obtemos as derivadas parciais da funccedilatildeo f com relaccedilatildeo a x e com relaccedilatildeo a y em todos os pontos (xy) do domiacutenio
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
51
32 INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
A interpretaccedilatildeo das derivadas parciais eacute anaacuteloga agrave interpretaccedilatildeo da derivada simples Sabemos que para a funccedilatildeo y = f (x) a derivada f prime (x0) pode ser interpretada ou como a taxa de variaccedilatildeo de y em relaccedilatildeo a x no ponto x0 ou como a inclinaccedilatildeo da reta tangente ao graacutefico de f no ponto x0
Para interpretar as derivadas parciais consideramos a funccedilatildeo z = f (xy) e
as suas derivadas parciais no ponto (x0 y0) Vamos interpretar partfpartx
(x0 y0) suponha
que C1 eacute a interseccedilatildeo da superfiacutecie z = f (xy) com o plano y = y0 (o que equivale a
considerar y como constante) Geometricamente partfpartx
(x0 y0) pode ser interpretada
como a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva C1 no ponto (x0 y0) que se denota por partfpartx
(x0 y0) = tg α
Da mesma forma supondo C2 a interseccedilatildeo da superfiacutecie z = f (xy) com
o plano x = x0 (o que equivale a considerar x como constante) interpretamos partfparty
(x0 y0)geometricamente como a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva C2 no ponto
(x0 y0) que se denota por partfparty
(x0 y0) = tg b Veja na Figura 28 a situaccedilatildeo descrita
anteriormente
A derivada parcial partfpartx
(x0 y0) tambeacutem pode ser interpretada como a taxa de variaccedilatildeo de z em relaccedilatildeo a x ao longo da curva C1 E a derivada parcial partf
party (x0 y0)
tambeacutem pode ser interpretada como a taxa de variaccedilatildeo de z em relaccedilatildeo a y ao longo da curva C2 Assim estes valores representam a velocidade com que z cresce (ou decresce) quando apenas uma variaacutevel estaacute sendo alterada
FIGURA 28 ndash INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
y
x
z
x₀
c₂ c₁
y₀
b
α
52
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 10A funccedilatildeo T (xy) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto
de uma chapa Encontre a razatildeo de variaccedilatildeo da temperatura em relaccedilatildeo agrave distacircncia percorrida ao longo da chapa na direccedilatildeo dos eixos positivos x e y no ponto (1 2) Considere a temperatura medida em graus Celsius e a distacircncia em cm
Resoluccedilatildeo
partTpartx = 0 ‒ 2 sdot 2x = ‒ 4x
partTpartx (1 2) = ‒ 4 sdot 1 = ‒ 4degC cm
Assim podemos interpretar o valor ‒ 4degC cm obtido na derivada em x da seguinte forma a temperatura estaacute diminuindo 4degC agrave medida que x aumenta uma unidade
partTparty = 0 ‒ 2 middot 3y = ‒ 6y
partTparty (1 2) = ‒ 6 middot 2 = ‒ 12degC cm
Assim o valor ‒ 12degC cm significa que a temperatura diminui 12degC agrave medida que y aumenta uma unidade
Exemplo 11Suponha que D = radicx 2 + y 2 eacute o comprimento da diagonal de um retacircngulo
cujos lados tecircm comprimentos x e y que satildeo permitidos variar Determine uma foacutermula para a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x se x varia com y considerado constante e utilize esta foacutermula para determinar a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x no ponto x = 3 e y = 4
ResoluccedilatildeoA foacutermula para a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x eacute
D = radicx 2 + y 2 D = (x 2 + y 2)frac12
partDpartx
= 12
(x 2 + y 2)-frac12 (2x)
partDpartx
= radic
xx 2 + y 2
A taxa de variaccedilatildeo instantacircnea de D em relaccedilatildeo a x no ponto (3 4) eacute
partDpartx
(3 4) = radic
332 + 42
= 35
Assim D aumenta a uma taxa de 35
de unidade para cada unidade de aumento de x no ponto (3 4)
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
53
4 GENERALIZACcedilAtildeO
Na seccedilatildeo anterior estudamos as derivadas parciais de funccedilotildees de duas variaacuteveis Agora vamos generalizar este conceito para as derivadas parciais de funccedilotildees de n variaacuteveis reais
Definiccedilatildeo 441 Seja f A sube Rn rarr R uma funccedilatildeo de n variaacuteveis e seja x = (x1 x2 xn) isin A Definimos a derivada parcial de f no ponto x em relaccedilatildeo a xi por
partpart
+ minusrarr
fxi h
i n (x) = f (x x h x f (x
lim )
01 1 xx
hn ) quando esse limite existir
Definiccedilatildeo 442 Seja f A sub Rn rarr R uma funccedilatildeo de n variaacuteveis e seja B sube A o
conjunto formado por todos os pontos x tais que partfpartxi
(x) existe Definimos a funccedilatildeo
derivada parcial de 1ordf ordem de f em relaccedilatildeo a xi como a funccedilatildeo que a cada x isin B associa
o nuacutemero partfpartxi
(x) dado por partfpartxi
(x) = limf (x1 xi + h xn) ‒ f (x1 xi xn)
h( (h rarr 0
Exemplo 12Calcule as derivadas de primeira ordem da funccedilatildeo f (x y z) = 1 + xy 2 ‒ 2z3
ResoluccedilatildeoAo derivar f em relaccedilatildeo a x lembre-se de considerar y e z como constantes
partfpartx
= y 2
Derivando f em relaccedilatildeo a y (agora considere x e z como constantes)
partfparty
= 2xy
E derivando f em relaccedilatildeo a z (considere x e y como constantes)
partfpartz
= ‒ 6z2
Exemplo 13Calcule as derivadas de primeira ordem da funccedilatildeo f (x y z) = yz In (xy)
ResoluccedilatildeoObserve primeiramente que a funccedilatildeo eacute dada por um uacutenico termo e teremos
que usar as regras do produto e do logaritmo natural
54
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Derivando f em relaccedilatildeo a x (considere y e z como constantes) Como a variaacutevel x aparece apenas no logaritmando usaremos a regra do logaritmo natural
partfpartx
= yz ∙ yxy
= yzx
Derivando f em relaccedilatildeo a y (considere x e z como constantes)
Como a variaacutevel y aparece no fator que multiplica o logaritmo e tambeacutem no logaritmando entatildeo aplicaremos a regra do produto junto agrave regra do logaritmo natural
partfparty
= z In (xy) + yz middot xxy
= z In (xy) + z
E derivando f em relaccedilatildeo a z (considere x e y como constantes) a variaacutevel z aparece apenas no fator que multiplica o logaritmo entatildeo aplicaremos a regra da derivada simples em z
partfpartz
= y In (xy)
5 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
As derivadas parciais partfpartx
e partfparty
satildeo funccedilotildees de x e y e assim elas mesmas
podem ter derivadas parciais Com isso teremos outras quatro derivadas parciais estas de segunda ordem de f as quais satildeo definidas por
Exemplo 14Sendo f (xy) = y2 ex + 5y calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
55
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= y2 ex partf
party= 2y ex + 5
Para fazermos as derivadas parciais de segunda ordem vamos derivar parcialmente cada uma das derivadas de primeira ordem em relaccedilatildeo a x e a y Fique atento(a) agrave notaccedilatildeo
Exemplo 15Sendo f (xy) = x2 cos y + y2 sen x encontre as derivadas parciais de segunda
ordem de f
Resoluccedilatildeo
56
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 16Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de f (xy) = x + 3y
ResoluccedilatildeoPrimeiro devemos escrever a funccedilatildeo na forma de potecircnciaf (xy) = (x + 3y)frac12
Observe que devemos aplicar a regra da potecircncia para a derivaccedilatildeo (u α)prime = α uαminus1 uprime
radic
Exemplo 17Dada a funccedilatildeo f (xy) = x3y + 4x2y3 calcule
a) part2fpartypartx
b) part2fpartx2
c) part3fpartxpartypartx
d) part3fpartypartx2
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
57
Resoluccedilatildeo
partpart part
=partpart
partpart
partpart part
=partpart
+( )partpart part
= +
2
22 3
22
3 8
3 24
fy x y
fx
fy x y
x y xy
fy x
x xyy2
partpart
= +
part
part= +
fx
x y xy
fx
xy y
3 8
6 8
2 3
2
23
partpart
= +
partpart part
= +
partpart part part
= +
fx
x y xy
fy x
x xy
fx y x
x y
3 8
3 24
6 24
2 3
22 2
32
partpart
= +
part
part= +
part
part part= +
fx
x y xy
fx
xy y
fy x
x y
3 8
6 8
6 24
2 3
2
23
3
22
Talvez vocecirc tenha percebido nos exemplos que as derivadas mistas de segunda ordem part2f
partxparty e part2f
partypartx satildeo iguais Seraacute que isto ocorre sempre
Respondendo agrave pergunta A igualdade entre as derivadas parciais mistas
ocorre quando a funccedilatildeo f (xy) e suas derivadas parciais part2fpartx2
part2fpartxparty
part2fpartypartx
e part2fparty2
forem todas contiacutenuas fato este que nem sempre ocorre
Caro(a) acadecircmico(a) mostre que partpart part
( ) = partpart part
( ) =2 2
0 0 0 0 0 1f
x yf
y x e considerando a
funccedilatildeo f x yxyx y
x y
x y
( ) = +
( ) ne ( )
( ) =
3
2 20 0
0 0 0
se
se (( )
UNI
UNI
a) b)
c) d)
58
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Este fato se repete para funccedilatildeo de trecircs variaacuteveis isto eacute teremos a igualdade
das seis derivadas parciais mistas part2fpartxparty
part2fpartypartx
= part2fpartxpartz
part2fpartzpartx
= e part2fpartypartz
part2fpartzparty
= se f
(x y z) e todas as suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contiacutenuas
Verifique se de fato as derivadas mistas satildeo iguais para a funccedilatildeo f (x y z) = x y2z3 + 3 yz
Teorema 451 (Teorema de Schwarz) Suponhamos que f seja uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis x e y definida em bola aberta B com derivadas parciais de segunda
ordem contiacutenuas em B Entatildeo part2fpartxparty
part2fpartypartx
(a b) = (a b) para todo (a b) isin B
Como consequecircncia do teorema se a funccedilatildeo z = f (xy) tem todas as derivadas parciais contiacutenuas em uma bola aberta entatildeo a ordem da derivada natildeo importa Por exemplo
A seguir apresentaremos a biografia de dois grandes matemaacuteticos Johann Bernoulli e Leonhard Euler que entre outros tambeacutem contribuiacuteram bastante para o desenvolvimento do caacutelculo diferencial e integral
UNI
UNI
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
59
LEITURA COMPLEMENTAR
JOHANN BERNOULLI (1667-1748)
Johann Bernoulli irmatildeo de Jacques Bernoulli nasceu no dia 27 de julho na Basileia Seus pais Nicolaus e Margaretha Bernoulli queriam que ele fosse comerciante ou meacutedico Johann pode ter sido influenciado quando crianccedila pelo seu irmatildeo Jacques que jaacute estava na carreira matemaacutetica
Em 1682 com 15 anos de idade trabalhou no comeacutercio durante um ano poreacutem natildeo gostou da atividade Em 1683 ingressou na Universidade da Basileia para estudar Medicina apesar de ter sempre gostado de Matemaacutetica Quatro anos depois seu irmatildeo foi nomeado professor de Matemaacutetica na Universidade e de 1687 a 1690 Johann e Jacques Bernoulli estudaram juntos as teorias de Leibniz sobre o Caacutelculo Na eacutepoca essas teorias natildeo tinham sido compreendidas por nenhum outro matemaacutetico e os irmatildeos Bernoulli foram os primeiros a estudaacute-las Os dois irmatildeos e Leibniz iniciaram uma seacuterie de artigos publicados na Acta Eruditorum dando origem agrave difusatildeo do Caacutelculo Leibniziano tornando-o amplamente conhecido
Em 1691 Johann foi agrave Franccedila onde conheceu o marquecircs de LrsquoHospital O marquecircs interessou-se pelo novo Caacutelculo e ofereceu um bom salaacuterio para que Johann lhe ensinasse O acordo permitia ao marquecircs usar todo o conteuacutedo ensinado como o desejasse A consequecircncia disso foi a importante contribuiccedilatildeo de Johann Bernoulli conhecida como Regra de LrsquoHospital publicada pelo marquecircs em seu primeiro livro sobre Caacutelculo em 1696 No prefaacutecio do livro LrsquoHospital fez menccedilatildeo a Johann Bernoulli mas natildeo lhe atribuiu o famoso teorema Soacute depois da morte do marquecircs Johann contestou a autoria poreacutem havia perdido a credibilidade no assunto devido agraves desavenccedilas puacuteblicas principalmente com seu irmatildeo Jacques Bernoulli Esse reconhecimento soacute aconteceu em 1922 quando encontraram uma coacutepia do curso na Basileia
60
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
A determinaccedilatildeo da equaccedilatildeo da catenaacuteria foi o primeiro problema importante resolvido por Johann Bernoulli em 1691 Esse problema existia haacute mais de 50 anos e Galileo em 1636 sugerira uma soluccedilatildeo Em 1646 Huygens provou que a soluccedilatildeo de Galileo era falsa mas tambeacutem natildeo conseguiu resolver o problema A catenaacuteria eacute a forma assumida por uma corda ou corrente suspensa livremente por dois pontos O problema era determinar sua equaccedilatildeo Utilizando o Caacutelculo Leibniziano Johann Bernoulli resolveu o problema e esse foi o primeiro sucesso puacuteblico do novo Caacutelculo
Em 1694 ele estudou as curvas exponenciais y = ax e y = xx Para Bernoulli a integraccedilatildeo era a operaccedilatildeo inversa da diferenciaccedilatildeo Tal concepccedilatildeo permaneceu ateacute a eacutepoca de Cauchy
Johann teve trecircs filhos Nicolaus (1695-1726) Daniel (1700-1782) e Johann (1710-1790) Todos eles foram matemaacuteticos e Daniel produziu um trabalho sobre Hidrodinacircmica conhecido como Princiacutepio de Bernoulli
Johann nunca chegou a publicar seu livro sobre o Caacutelculo poreacutem escreveu sobre a isoacutecrona soacutelidos de resistecircncia miacutenima trajetoacuterias problemas isoperimeacutetricos conseguindo tal reconhecimento pelo seu trabalho que apoacutes a morte de seu irmatildeo em 1705 foi chamado para ocupar a cadeira dele na Universidade de Basileia
Johann Bernoulli morreu no dia 1ordm de janeiro de 1748 na Basileia
FONTE E-CAacuteLCULO Mapa da histoacuteria Leibniz Disponiacutevel em lthttpecalculoifuspbrhistoriabernoulli1htmgt Acesso em 10 jun 2008
EULER LEONHARD (1707-1783)
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
61
Nascido na Basileia Suiacuteccedila Leonhard Euler foi a figura matemaacutetica dominante do seu seacuteculo e o matemaacutetico mais proliacutefico de que se tem notiacutecia Era tambeacutem astrocircnomo fiacutesico engenheiro e quiacutemico Foi o primeiro cientista a dar importacircncia ao conceito de funccedilatildeo estabelecendo desse modo uma base soacutelida para o desenvolvimento do caacutelculo e de outras aacutereas da matemaacutetica A coleccedilatildeo completa dos livros e trabalhos de Euler (mais de 870 artigos e livros) chega a mais de 80 volumes Ele contribuiu enormemente no campo da geometria analiacutetica da trigonometria do caacutelculo e da teoria dos nuacutemeros
Ainda jovem Euler demonstrou um futuro promissor como matemaacutetico apesar de seu pai preferir que estudasse teologia Felizmente Johann Bernoulli convenceu o pai a permitir que Euler se concentrasse no estudo da matemaacutetica Graduou-se pela Universidade da Basileia defendendo uma tese em que comparava o trabalho de Descartes ao de Newton Euler conseguiu uma posiccedilatildeo em Satildeo Petersburgo e durante alguns anos foi meacutedico na Marinha russa Em 1733 tornou-se professor de Matemaacutetica na Academia de Ciecircncias de Satildeo Petersburgo Em 1736 publicou a obra Mechanica em dois volumes na qual aplicou sistematicamente o caacutelculo agrave matemaacutetica de uma massa e incorporou muitas equaccedilotildees diferenciais novas agrave mecacircnica Em 1738 ele perdeu a vista direita Em 1741 conseguiu uma posiccedilatildeo como diretor matemaacutetico da Academia de Ciecircncias de Berlim Laacute desenvolveu alguns trabalhos como a traduccedilatildeo e a melhoria de Principles of Gunnery de Robin a publicaccedilatildeo de Scienia navalis em 1749 e Letters to a german princess de 1768 a 1772 e o ensino de Lagrange por correspondecircncia Em 1766 Euler retornou agrave Ruacutessia a convite de Catarina a Grande Em 1771 perdeu a visatildeo no olho esquerdo ficando completamente cego Seu trabalho foi do caacutelculo e da anaacutelise agrave medida que publicou sua trilogia Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis e Institutiones calculi integralis Esses trabalhos que perfaziam um total de seis volumes fizeram da funccedilatildeo uma parte central do caacutelculo e tratavam de aacutelgebra trigonometria geometria analiacutetica e teoria dos nuacutemeros Por meio desses tratados Euler influenciou grandemente o ensino da matemaacutetica Diz-se que todos os livros didaacuteticos de caacutelculo desde 1748 satildeo essencialmente coacutepias de Euler ou coacutepias de coacutepias dele Algumas de suas contribuiccedilotildees para as equaccedilotildees diferenciais satildeo as seguintes a reduccedilatildeo da ordem o fator integrante coeficientes indeterminados a teoria das equaccedilotildees lineares de segunda ordem e soluccedilotildees das seacuteries de potecircncias Ele tambeacutem incorporou o caacutelculo vetor e as equaccedilotildees diferenciais em seus trabalhos
Euler deu agrave geometria analiacutetica moderna e agrave trigonometria o que o livro Elements de Euclides deu agrave geometria e a tendecircncia resultante de apresentar a matemaacutetica e a fiacutesica em termos matemaacuteticos prosseguiu desde entatildeo Euler enriqueceu a matemaacutetica com muitos conceitos teacutecnicos e notaccedilotildees ainda em uso nos dias de hoje Ele deu ordem ao caos da notaccedilatildeo matemaacutetica Estabeleceu a maior parte da notaccedilatildeo que utilizamos hoje (seno co-seno e pi i sigma f para funccedilatildeo) A contribuiccedilatildeo de Euler para a teoria dos nuacutemeros e para a fiacutesica foi igualmente impressionante Em sua obra Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (Theory of the motions of rigid bodies) de 1765 ele fundou as bases da mecacircnica contiacutenua e da teoria lunar Sua influecircncia no campo da fiacutesica matemaacutetica
62
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
foi tatildeo difusa que a maior parte das descobertas natildeo eacute creditada a ele No entanto temos as equaccedilotildees de Euler para a rotaccedilatildeo de um corpo riacutegido fluxo de um fluido ideal incompressiacutevel flexatildeo de vigas elaacutesticas e carregamentos para empenamento de colunas Ele calculava sem esforccedilo aparente como os homens respiram ou como as aacuteguias se sustentam no vento Euler foi o Shakespeare da matemaacutetica universal ricamente detalhista e incansaacutevel
Teoremas principais adiccedilatildeo de seacuteries teorema das pontes de Koumlnigsberg
Principais obras Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis Institutiones calculi integrali Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum Mechanica Letters to a German princess
FONTE GUIA para a histoacuteria do Caacutelculo Euler Leonhard Disponiacutevel em lthttpcwxprenhallcombookbindpubbooksthomas_brchapter1medialibcustom3bioseulerhtmgt Acesso em 17 jul 2011
63
RESUMO DO TOacutePICO 4
Caro(a) acadecircmico(a) Neste toacutepico foram estudadas as derivadas parciais
bull Vocecirc deve ter percebido que o seu caacutelculo eacute similar ao caacutelculo de derivadas simples a diferenccedila estaacute no fato de ter agora duas variaacuteveis e ter que derivar a funccedilatildeo em termos de uma delas enquanto a outra eacute considerada como constante
Ou seja partfpartx
estamos derivando f (xy) em relaccedilatildeo a x considerando y como constante
bull A derivada parcial partfpartx
(x0 y0) eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva da superfiacutecie
z = f (xy) no plano vertical y = y0
bull Analogamente partfparty
(x0 y0) eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva da superfiacutecie
z = f (xy) no plano vertical x = x0
64
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre derivadas parciais
1 A funccedilatildeo T (xy) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto de
uma chapa Foram calculadas as derivadas parciais no ponto (2 3) e chegou-
se aos resultados partzpartx
(2 3) = ‒ 8 e partzparty
(2 3) = ‒ 18 Decirc os significados para
os dois valores obtidos com as derivadas parciais no ponto (2 3)
2 Nos exerciacutecios a seguir calcule as derivadas parciais partfpartx
e partfparty
das funccedilotildeesa) f (xy) = 2x2 ‒ 3y ‒ 4b) f (xy) = (x2 ‒ 1) (y + 2)c) f (xy) = (xy ‒ 1)2
d) f (xy) = 1x + y
e) f (xy) = ex + y + 1
f) f (xy) = In (2x + y)
3 Calcule as derivadas parciais de segunda ordem part2fpartx2
part2fpartxparty
part2fpartypartx
e part2fparty 2
das funccedilotildees a seguir
a) f (xy) = e3x sen yb) f (xy) = xey + y + 1
65
UNIDADE 2
DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Nessa unidade vamos
bull conhecer os principais conceitos que envolvem derivadas de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
bull aplicar a regra da cadeia nas derivadas parciaisbull calcular implicitamente as derivadas de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveisbull entender o conceito de diferenciabilidadebull entender o conceito de vetor gradiente e saber calculaacute-lobull entender o conceito de derivada direcional e saber calculaacute-labull calcular os miacutenimos e maacuteximos locais de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveisbull resolver problemas envolvendo minimizaccedilatildeo e maximizaccedilatildeo de funccedilotildees
de vaacuterias variaacuteveisbull aplicar o conceito de integrais muacuteltiplasbull calcular as integrais muacuteltiplas
Esta unidade estaacute dividida em quatro toacutepicos apresentando os conceitos e a utilizaccedilatildeo das derivadas parciais e tambeacutem a integraccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Dando continuidade ao estudo da unidade anterior seguimos com a regra da cadeia e a derivaccedilatildeo impliacutecita de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis resolven-do diversos exemplos para auxiliaacute-lo(a) na compreensatildeo e resoluccedilatildeo dos exer-ciacutecios propostos no final de cada toacutepico como vocecirc jaacute estaacute habituado em nossos cadernos de estudos Nos toacutepicos seguintes continuamos explorando outros conceitos e aplicaccedilotildees relacionados com as derivadas parciais tais como dife-renciabilidade de uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis diferencial vetor gradiente derivadas direcionais extremos locais e problemas envolvendo a otimizaccedilatildeo (minimizaccedilatildeo e maximizaccedilatildeo) de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Encerramos esta unidade com o estudo das integrais muacuteltiplas que eacute a integraccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Esperamos que este material possa auxiliaacute-lo em seus estudos
TOacutePICO 1 ndash REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
TOacutePICO 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE
TOacutePICO 3 ndash MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
TOacutePICO 4 ndash INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
66
67
TOacutePICO 1
REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
A regra para funccedilotildees compostas eacute tradicionalmente chamada de regra da cadeia Nesta seccedilatildeo vamos apresentar a regra da cadeia para funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
2 REGRA DA CADEIA
Inicialmente consideramos dois casos especiacuteficos de funccedilotildees de duas variaacuteveis e em seguida apresentamos a regra da cadeia generalizada
Teorema 121 (Regra da Cadeia ndash derivada total) Suponha que z = f (xy) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x e y onde x = x (t) e y = y (t) satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis de t Entatildeo a funccedilatildeo z = f (x(t) y (t)) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de t e
dzdt
zxdxdt
zydydt
=partpart
sdot +partpart
sdot
FIGURA 29 ndash DIAGRAMA DA AacuteRVORE PARA A REGRA DA CADEIA
FONTE O autor
partpartzx
partpartzy
dxdt
dydt
z
x y
t t
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
68
Exemplo 1Sejam z = f (xy) = 4x 3 y 2 x = t 4 e y = 3t 2
ResoluccedilatildeoComeccedilamos calculando as derivadas parciais partzpartx
= 12x2y2
partzparty
= 8x 3y
e em seguida calculamos as outras derivadas
partxpartt
= 4t 3
dydt
= 6t
Aplicamos a regra da cadeia substituindo as derivadas calculadas anteriormente
Substituindo x = t 4 e y = 3t 2 na expressatildeo acima temos
dzdt
= 12(t 4)2 (3t 2)2 ∙ 4t 3 + 8(t 4)3
∙ 3t 2 ∙ 6t
= 144t 15 + 144t 15
= 288t 15
Exemplo 2Sejam z = f (xy) = In (3x 2 + y) x = t + 1 e y = 5t
a) Calcule partzpartt
usando a regra da cadeiab) Determine a funccedilatildeo composta z = f (t + 15 t) e calcule dz
dt
Resoluccedilatildeo
a) Aplicaremos a regra da cadeia
Sabendo que y = In u rArr y prime = u primeu
calcularemos separadamente
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
69
Agora aplicamos
Substituindo x = t + 1 e y = 5t na expressatildeo anterior temos
ou seja
dzdt
6t + 113(t + 1)2 + 5t
=
dzdt
6(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t
=
b) A funccedilatildeo composta eacutez = f (t + 15 t)z = In (3(t + 1)2 + 5 t)
A derivada de z em relaccedilatildeo a t (calculada a partir desta expressatildeo) eacute
dzdt
32(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t
=
dzdt
6t + 113(t + 1)2 + 5t
=
Compare os resultados obtidos nos itens (a) e (b) do Exemplo 2 A facilidade do uso da regra da cadeia estaacute em derivar funccedilotildees ldquomenoresrdquo e posteriormente na substituiccedilatildeo ter menos trabalho algeacutebrico
UNI
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
70
Exemplo 3Sejam z = x2 + 2xy + y2 x = cos t e y = sen t Determine dz
dt
ResoluccedilatildeoUsando a regra da cadeia
dz = partz dx + partz dydt partx dt party dt
= (2x + 2y) (‒ sen t) + (2x + 2y) (cos t) = (2x + 2y) (cos t ‒ sen t) = 2(cos t + sen t) (cos t ‒ sen t)ou seja
dz = 2(cos2 t ‒ sen2 t)dt
Vimos no Teorema 121 como aplicar a regra da cadeia no caso da derivada total quando a funccedilatildeo tem duas variaacuteveis independentes Vamos generalizar esta derivada total para funccedilotildees com mais de duas variaacuteveis
Se a funccedilatildeo tiver mais de duas variaacuteveis representaremos por f (x1 x2 x3 xn) onde x1(t ) x2(t ) x3(t ) xn (t ) satildeo funccedilotildees de t Sua derivada em relaccedilatildeo a t eacute dada pela regra da cadeia
Como a derivada acima possui muitas parcelas eacute possiacutevel reescrever a regra usando o somatoacuterio
Exemplo 4Dada a funccedilatildeo f (xyz) = 3x ‒ 2y 3 + z2 onde x = sen t y = e2t e z = 4t 2 ‒ 3
encontre a derivada de f com relaccedilatildeo a t
ResoluccedilatildeoUsando a regra da cadeia
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
71
dfdt
fxdxdt
fydydt
fzdzdt
xx y z d
dt
=partpart
sdot +partpart
sdot +partpartsdot
=partpart
minus +( ) sdot se3 2 3 2 nn
ty
x y z ddte
zx y z d
dttt( ) + part
partminus +( ) sdot ( ) + part
partminus +( ) sdot minus( )3 2 3 2 4 33 2 2 3 2 2
s
= ( ) + minus( )( ) + sdot
= minus +
=
3 6 2 2 8
3 12 16
3
2 2
2 2
co t y e z t
t y e zt
t
tcos
coos
cos
t e e t t
t t t
t t
t
minus ( ) + minus( )= minus + minus
12 16 4 3
3 12 64 48
2 2 2 2
6 3
ou seja
ddfdt
t e t tt t= minus + minus+3 12 64 484 2 32cos
Exemplo 5A que taxa estaacute crescendo a aacuterea de um retacircngulo se seu comprimento eacute de
8 cm e estaacute crescendo a uma taxa de 05 cms enquanto que sua largura eacute de 6 cm e estaacute crescendo 02 cms
Resoluccedilatildeo
A aacuterea de um retacircngulo pode ser escrita como A (xy) = xy consideremos
x o comprimento e y a largura Atraveacutes do enunciado percebe-se que devemos
calcular dAdt
jaacute que as outras taxas dadas satildeo dx = 05dt
e dy = 02dt
O caacutelculo da
derivada deve ser feito para o ponto de coordenadas (8 6)
Como a aacuterea estaacute em funccedilatildeo de duas variaacuteveis x e y e estas por sua vez estatildeo relacionadas ao tempo atraveacutes da regra da cadeia temos
Calculamos as derivadas parciais para A (xy) = xy obtendo
partA = ypartx e
partA = xparty
Substituindo na regra da cadeia
dA = y middot 05 + x middot 02dt = 6 sdot 05 + 8 sdot 02 = 46
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
72
Dizer que dA = 46dt
cm2s significa que a aacuterea de um retacircngulo de dimensotildees
8x6 estaacute crescendo 46 cm2 a cada segundo
Exemplo 6Uma peccedila ciliacutendrica tem 12 cm de raio e 18 cm de altura Se o raio diminuir
agrave razatildeo de 002 cms e a altura aumentar agrave razatildeo de 003 cms entatildeo determine a taxa de variaccedilatildeo do volume em relaccedilatildeo ao tempo
ResoluccedilatildeoSejam r e h o raio e a altura de uma peccedila ciliacutendrica respectivamente e seja t
o tempo em segundos Podemos interpretar as taxas dadas como derivadas
drdt
dhdt
= minus =0 02 0 03 e + no instante em que r = 12 e h = 18
Queremos calcular dVdt
nesse instante Para isso usamos a foacutermula V (r h) = pr 2h do volume do cilindro para obter
dV =
partV dr +
partV dh dt partr dt parth dt
= 2prh dr + pr 2 dh dt dt
Substituindo os dados na regra da cadeia temos
dV = 2p12 18 (‒002) + p122 003dt = ‒864p + 432p = ‒432p
Portanto dV = ‒432pdt
cm3s significa que o volume de um cilindro de 12 cm de raio e 18 cm de altura estaacute diminuindo 432p cm3 a cada segundo
Teorema 122 (Regra da cadeia para derivadas parciais) Suponha que z = f (uv) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de u e v onde u = u (xy) e v = v (xy) satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis de x e de y Entatildeo z = f (u(xy)v(xy)) eacute uma funccedilatildeo de x e y e
Vamos construir um esquema denominado de diagrama da aacutervore para melhor compreensatildeo e execuccedilatildeo da regra da cadeia Proceda da seguinte forma
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
73
I) Trace um diagrama em aacutervore exprimindo as relaccedilotildees entre as variaacuteveis envolvidas
II) Para cada ramificaccedilatildeo da aacutervore determine a derivada parcial com relaccedilatildeo a estas variaacuteveis
III) Multiplique as derivadas determinadas em cada passo ao longo do caminhoIV) Some as contribuiccedilotildees de cada caminho
FIGURA 30 ndash DIAGRAMA DA AacuteRVORE PARA A REGRA DA CADEIA PARA DERIVADAS PARCIAIS
FONTE O autor
Exemplo 7Se z = f (uv) = eu cos v onde u = xy e v = x + y 2 determine
partz partx
e partz party
usando a regra da cadeia
Resoluccedilatildeo
partpart
=partpart
sdotpartpart
+partpart
sdotpartpart
zx
fu
ux
fv
vx
=partpart ( ) sdot partpart ( ) + part
part ( ) sdot partpart +( )
= sdot minus
ue v
xxy
ve v
xx y
e v y se
u u
u
cos cos
cos
2
nnv e
e y x y x y
u
xy
sdot
= +( ) minus +( )
cos
1
2 2sen
e
partpart
=partpart
sdotpartpart
+partpart
sdotpartpart
zy
fu
uy
fv
vy
Z
U V
yx yx
partpartzu
partpartzv
partpartux
partpartuy
partpartvx
partpartvy
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
74
Teorema 123 (Regra da cadeia generalizada) Suponha que w = f (u1 u2 un) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de n variaacuteveis u1 u2 un onde cada uj eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de m variaacuteveis x1 x2 xm Entatildeo w eacute uma funccedilatildeo de x1 x2 xm e
para cada i = 1 2 m
Exemplo 8Suponha que todas as funccedilotildees sejam diferenciaacuteveis w = f (x y z) x = x (r θ
γ) y = y (r θ γ) e z = z (r θ γ) Determine partw partr
partw partθ
e partw partγ
ResoluccedilatildeoAplicando o Teorema 123 temos
Exemplo 9Utilize a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais partz
parts e partz
partt para
as funccedilotildees z = x2 + xy + y2 x = s + t e y = st
ResoluccedilatildeoAplicando o Teorema 122 temos
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
75
3 DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
Vimos no estudo das funccedilotildees de uma variaacutevel (no Caderno de Estudos da disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral) que uma equaccedilatildeo do tipo F (xy) = 0 define y implicitamente como uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x ou seja y = f (x) Nesta seccedilatildeo vamos estudar a derivaccedilatildeo parcial de funccedilotildees dadas de forma impliacutecita Consideraremos duas situaccedilotildees especiacuteficas
Suponhamos que a funccedilatildeo y = f (x) seja definida implicitamente pela equaccedilatildeo
F (xy) = 0 Se f e F satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis e partpart
( )( ) neFyx f x 0 entatildeo podemos
encontrar a derivada dydx
derivando ambos os lados da equaccedilatildeo F (xy) = 0 em
relaccedilatildeo a x Usando a regra da cadeia temos
partpart
sdot +partpart
sdot =Fxdxdx
Fydydx
isin
Como partpart
( )( ) neFyx f x 0 e dx
dx= isin1 segue
A situaccedilatildeo colocada anteriormente pode ser escrita sob condiccedilatildeo da funccedilatildeo F estar definida em uma bola aberta conforme estamos tratando as funccedilotildees de duas variaacuteveis A seguir veremos como aplicar a derivada impliacutecita neste contexto
0
partpart
sdot = minuspartpart
sdot
=minuspartpartpartpart
Fydydx
Fxdxdx
dydx
FxFy
isin
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
76
Exemplo 10Supondo que a funccedilatildeo y = f (x) eacute definida implicitamente pela equaccedilatildeo
In (x2 y) + 2x3 = 4y determine sua derivada dydx
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo dada pode ser escrita da seguinte formaF (xy) = In (x2y) + 2x3 ‒ 4y = 0
Calculando as derivadas parciais temos
partF = 2xy + 6x2 = 2 + 6x2
partx x2 y x
e
partF = x2 ‒ 4 = 1 ‒ 4
party x2 y y
Aplicando a foacutermula do Teorema 131 obtemos
Se F eacute definida numa bola aberta contendo (ab) onde F (ab) = 0 partF = (ab) ne 0party
e partF partx
e partF party
satildeo funccedilotildees contiacutenuas nessa bola entatildeo a equaccedilatildeo F (xy) = 0 define y
como uma funccedilatildeo de x perto do ponto (ab) e a derivada dessa funccedilatildeo eacute dada pela
foacutermula obtida anteriormente
Essa relaccedilatildeo nos daacute um caminho mais simples para encontrar derivadas de funccedilotildees definidas implicitamente
Teorema 131 Suponha que F (xy) seja diferenciaacutevel e que a equaccedilatildeo F (xy) = 0 define y como uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x Entatildeo em qualquer ponto onde partF ne 0
party
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
77
Vamos ver como fica o Teorema da Funccedilatildeo Impliacutecita para funccedilotildees de duas variaacuteveis independentes
Suponhamos que a funccedilatildeo z = f (xy) seja dada implicitamente pela equaccedilatildeo F
(xyz) = 0 Se f e F satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis e partF (x y f (xy)) ne 0partz
podemos aplicar a
regra da cadeia para obter as partzpartx
e partzparty
Derivando os dois membros da equaccedilatildeo F
(xyz) = 0 em relaccedilatildeo a x temos
Mas part (x) = 1partx
e part (y) = 0partx
portanto
De modo semelhante obteacutem-se
Como no caso anterior estamos assumindo que a equaccedilatildeo F (xyz) = 0 define z implicitamente como funccedilatildeo de x e y Outra versatildeo do Teorema da Funccedilatildeo Impliacutecita fornece as condiccedilotildees para que a hipoacutetese seja vaacutelida
Teorema 132 Suponha que F (xyz) seja continuamente diferenciaacutevel e que
z = f (xy) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel que satisfaz a equaccedilatildeo F (xyz) = 0 Entatildeo em
qualquer ponto (xyz) onde partF ne 0partz
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
78
Exemplo 11Determine partz
partx e partz
party se x4 + y4 + z4 = 5xyz ‒ 2
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo x4 + y4 + z4 = 5xyz ‒ 2 pode ser escrita da seguinte forma F (xyz) = x4 + y4 + z4 ‒ 5xyz + 2 e esta funccedilatildeo eacute continuamente diferenciaacutevel
Vamos calcular as derivadas parciais de F
Entatildeo pelo Teorema 132 temos
Exemplo 12Suponha que a funccedilatildeo diferenciaacutevel z = f (xy) seja definida pela equaccedilatildeo
xy + zez = 0
Resoluccedilatildeo
79
RESUMO DO TOacutePICO 1
Neste toacutepico vocecirc viu que
bull Se a funccedilatildeo tiver mais de duas variaacuteveis representaremos por f (x1 x2 x3 xn) onde x1(t) x2(t) x3(t) xn(t) satildeo funccedilotildees de t entatildeo a sua derivada em relaccedilatildeo a ldquotrdquo eacute dada pela regra da cadeia
bull Se z = f (xy) eacute uma funccedilatildeo das variaacuteveis x e y que dependem de duas outras variaacuteveis digamos u e v Entatildeo
z = f (x(u v) y (u v)) eacute uma funccedilatildeo composta de u e v Dizemos que u e v satildeo as variaacuteveis independentes
bull Se w = f (u1 u2 un) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de n variaacuteveis u1 u2 un onde cada uj eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de m variaacuteveis x1 x2 xm Entatildeo w eacute uma funccedilatildeo de x1 x2 xm e
para cada i = 1 2 m
bull A derivada impliacutecita eacute usada para encontrar as derivadas parciais partzpartx
e partzparty
quando z estiver definida implicitamente por uma equaccedilatildeo F (x y z) = 0 Entatildeo em
qualquer ponto (x y z) onde partF ne 0partz
80
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre diferenciabilidade de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
1 Considere as funccedilotildees f (xy) = 4y ‒ 3x2 x (t) = t3 ‒ 1 e y (t) = 1 ‒ t3
Calcule a funccedilatildeo composta z = f (x(t) y(t))
Encontre dzdt
usando a funccedilatildeo composta
Encontre dzdt
usando a regra da cadeia
2 Use a regra da cadeia para determinar partzpartx
e partzparty
sabendo que z = u 2 + v 2 u = x 2 ‒ y 2 e v = e2xy
3 Determine a derivada da funccedilatildeo impliacutecita f tal que y = f (x) estaacute definida pela equaccedilatildeo x4 ‒ y + 4xy3 ‒ 78 = 0
4 Se x3 ‒ xy + 4xz ‒ 5 = 0 calcular partzpartx
e partzparty
usando a regra de derivaccedilatildeo de funccedilatildeo impliacutecita
5 Mostre que a equaccedilatildeo F (xy) = x2y + sen y = 0 define implicitamente uma funccedilatildeo derivaacutevel y = f (x)
6 O raio da base de um cone circular reto estaacute aumentando a uma taxa de 3 cms e a altura estaacute diminuindo a uma taxa de 2 cms A que taxa estaacute variando o volume do cone no instante em que a altura eacute igual a 20 cm e o raio eacute igual a 14 cm
7 Um carro A estaacute viajando para o norte na rodovia 16 e um carro B estaacute viajando para o oeste na rodovia 83 Os dois carros se aproximam da interseccedilatildeo dessas rodovias Em certo momento o carro A estaacute a 03 km da interseccedilatildeo viajando a 90 kmh ao passo que o carro B estaacute a 04 km da interseccedilatildeo viajando a 80 kmh Qual a taxa de variaccedilatildeo da distacircncia entre os carros nesse instante
8 Determine partzpartx
e partzparty
se xyz3 = cos (x + y + z)
9 Determine partzpartx
e partzparty
se yz = In (x + z)
81
TOacutePICO 2
DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico vamos estender o conceito de diferenciabilidade de funccedilatildeo de uma variaacutevel agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis Esse conceito tem consequecircncias muito importantes no caacutelculo assim como nos problemas de otimizaccedilatildeo que estudaremos no proacuteximo toacutepico Tambeacutem seraacute estudado o vetor gradiente e as derivadas direcionais conceitos que possuem grande aplicabilidade nas engenharias
2 DIFERENCIABILIDADE
Vamos entatildeo introduzir o conceito de diferenciabilidade que entre outras propriedades garante a continuidade da funccedilatildeo Introduziremos este importante assunto por analogia com o conceito de diferenciabilidade de funccedilotildees de uma variaacutevel
Considere uma funccedilatildeo f de uma variaacutevel real Dizer que f eacute diferenciaacutevel
em x = x0 significa que o existe ou seja eacute um nuacutemero real Em
outras palavras f eacute diferenciaacutevel em x0 quando existe um nuacutemero real denotado
por f prime (x0) tal que
Podemos reescrever este limite da seguinte forma
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
82
que eacute equivalente a
Assim f eacute diferenciaacutevel em x0 se existir um nuacutemero real f prime (x0) tal que
Neste caso se uma funccedilatildeo eacute derivaacutevel num ponto ela eacute contiacutenua no ponto
Com isso temos condiccedilotildees de apresentar a definiccedilatildeo de diferenciabilidade de funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 221 Seja f A sub R2 rarr R uma funccedilatildeo definida no conjunto aberto A Dizemos que f eacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0) isin A se as derivadas parciais partf (x0 y0)partx
e partf (x0 y0)party existem e se
Quando f eacute diferenciaacutevel em todos os pontos de seu domiacutenio dizemos que f eacute diferenciaacutevel
Da Definiccedilatildeo 221 podemos destacar alguns pontos
bull Para provar que uma funccedilatildeo eacute diferenciaacutevel em (x0 y0) usando a definiccedilatildeo devemos mostrar que as derivadas parciais existem em (x0 y0) e aleacutem disso que o limite
bull Se uma das derivadas parciais natildeo existe no ponto (x0 y0) f natildeo eacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
83
bull Se o limite
for diferente de zero ou natildeo existir f natildeo seraacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0) mesmo se existirem as derivadas parciais nesse ponto
Exemplo 1Use a Definiccedilatildeo 221 para mostrar que f (xy) = 5x + 2y eacute diferenciaacutevel
ResoluccedilatildeoSeja (x0 y0) isin D (f ) = R 2 Para mostrar que f eacute diferenciaacutevel em (x0 y0) devemos
mostrar que partf (x0 y0)partx e partf (x0 y0)party
existem e que o limite da Definiccedilatildeo 121 eacute zero
A funccedilatildeo f tem derivadas parciais em (x0 y0) e satildeo dadas por partf (x0 y0) = 5partx
e partf (x0 y0) = 2party
Agora
Como (x0 y0) eacute um ponto qualquer em R 2 temos que f eacute diferenciaacutevel
Teorema 221 Se f eacute diferenciaacutevel em A sub R2 entatildeo f eacute contiacutenua em cada ponto de A
Exemplo 2
Verifique se a funccedilatildeo f (x y) = eacute contiacutenua no ponto (33)
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
84
ResoluccedilatildeoPrecisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(Unidade 1)
(i) f (33) = 5 pois x = y
(ii) portanto este limite
natildeo existe
Como concluiacutemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no
ponto (33) Mostramos que f eacute descontiacutenua no ponto (33) portanto pelo Teorema 221 f natildeo eacute diferenciaacutevel em (33)
Nem sempre eacute faacutecil usar a Definiccedilatildeo 221 para verificar a diferenciabilidade de uma funccedilatildeo O teorema a seguir fornece uma condiccedilatildeo suficiente para que uma funccedilatildeo seja diferenciaacutevel
Teorema 222 Se as derivadas parciais partf partx
e partf party
existem em algum conjunto
aberto A contendo (x0 y0) e satildeo contiacutenuas em (x0 y0) entatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em (x0 y0)
Exemplo 3Mostre que a funccedilatildeo f (xy) = cos (xy) eacute diferenciaacutevel em todo R2
ResoluccedilatildeoPara mostrar que f eacute diferenciaacutevel aplicaremos o Teorema 222 Para isso
calcularemos as derivadas parciais
partf partx
= ‒y sen(xy) e partf party
= ‒x sen(xy)
Temos que as derivadas parciais satildeo contiacutenuas em todo ponto (xy) isin R2
Logo pelo Teorema 222 a funccedilatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em todo ponto de R2
Exemplo 4Os polinocircmios (funccedilotildees polinomiais) em vaacuterias variaacuteveis satildeo claramente
diferenciaacuteveis em todo ponto de Rn
Exemplo 5Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = x2 ‒ 3y2 eacute diferenciaacutevel em R2
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
85
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo f tem derivadas parciais em todos os pontos de R2 e satildeo dadas
por partf partx
= 2x e partf party
= ‒6y
As derivadas parciais satildeo contiacutenuas pois satildeo funccedilotildees polinomiais
Portanto f eacute diferenciaacutevel em R2
Exemplo 6Verifique se a funccedilatildeo g (xy) = ex+y eacute diferenciaacutevel em R2
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo g tem derivadas parciais em todos os pontos de R2 Estas satildeo
dadas por partg partx
= ex+y e partg party
= ex+y
Daiacute segue que as funccedilotildees derivadas parciais satildeo contiacutenuas em R2
Portanto g eacute diferenciaacutevel em R2
3 DIFERENCIAL
Suponha que saibamos o valor de uma funccedilatildeo derivaacutevel em um ponto (x0y0) e que desejamos prever a variaccedilatildeo que esse valor sofreraacute se formos para um ponto x0 + dx Como os valores da reta satildeo mais simples de calcular o caacutelculo da variaccedilatildeo da reta nos oferece um modo praacutetico de estimar a variaccedilatildeo em f conforme podemos observar na Figura 31
FIGURA 31 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DA DIFERENCIAL DA FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwslidesharenetrafaelmmoreiraunifei-clculo-1-exerccios-aula-25gt Acesso em 23 jun 2011
y
y₀ + ∆y
y₀
0 x
A
α
x₀
dxα
C
B
∆y
∆x x₀ + ∆x
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
86
Dessa definiccedilatildeo decorre que ∆y representa a variaccedilatildeo da altura da curva y = f (x)
Nesta seccedilatildeo vamos definir a diferencial de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis z = f (xy) e veremos que esta representa uma boa aproximaccedilatildeo para o acreacutescimo da variaacutevel z quando os acreacutescimos das variaacuteveis independentes satildeo pequenos
Se z = f (xy) entatildeo o incremento (aumento ou diminuiccedilatildeo) de z eacute ∆z = f (x + ∆x y + ∆y) ‒ f (xy)
Definiccedilatildeo 231 Seja z = f (xy) uma funccedilatildeo diferenciaacutevel A diferencial de f denotada por df ou dz eacute dada por dz = partz
partx dx + partz
party dy onde dx e dy satildeo as
diferenciais das variaacuteveis independentes x e y respectivamente
A diferencial dz tambeacutem eacute chamada de diferencial total de f (xy) a mesma que estudamos no toacutepico anterior
Se nos movermos de (x0y0) para um ponto (x0 + ∆x y0 + ∆y) proacuteximo a variaccedilatildeo resultante eacute dada por df (x0y0) = partf
partx (x0y0) dx + partf
party (x0y0) dy
Exemplo 7Calcule a diferencial dz da funccedilatildeo z = 4x2y3 ‒ 3y2 + 6
ResoluccedilatildeoPara calcular a diferencial de z temos primeiro que calcular as derivadas
parciais partz partx
= 8xy3 e partz party
= 12x2y2 ‒ 6y
Pela Definiccedilatildeo 231 temos
dz = partz partx
dx + partz party
dy
dz = 8xy3 dx + (12x2y2 ‒ 6y) dy
Exemplo 8Calcule a diferencial de f (xy) = x2 + y2 no ponto (12)
ResoluccedilatildeoA diferencial de f no ponto (12) eacute dada por
dz = partf partx
(12) dx + partf party
(12) dy
Como partf partx
(12) = 2 e partf party
(12) = 4 temos
dz = 2dx + 4dy
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
87
Podemos estimar a variaccedilatildeo com diferenciais Suponha que conheccedilamos os valores de uma funccedilatildeo diferenciaacutevel f (xy) e suas derivadas parciais em um ponto (x0y0) e queiramos predizer quanto o valor de f variaraacute se nos movermos para um ponto (x0 + ∆x y0 + ∆y) proacuteximo Em outras palavras podemos estimar a variaccedilatildeo ∆z de z pelo valor do diferencial dz em que dx eacute a variaccedilatildeo em x e dy eacute a variaccedilatildeo em y
Exemplo 9Considere a funccedilatildeo z = 7x + 3y2
a) Determine a diferencial total dzb) Calcule ∆z e dz se x variar de 2 para 205 e y variar de 1 para 098 Compare os
valores de ∆z e dz
Resoluccedilatildeoa) Da Definiccedilatildeo 231 temos a diferencial total
dz = partf partx dx +
partf party dy
dz = 7dx + 6y dy
b) O ponto (x0y0) = (21) dx = ∆x = 005 e dy = ∆y = ‒ 002O incremento de z eacute ∆z = f (205 098) ‒ f (21)∆z = 7 (205) + 3 (098)2 ‒ (7 2 + 3 12) = 02312e a diferencial total eacute dz = 7(005) + 6 1(‒002) = 023
Portanto observe que ∆z asymp dz
Exemplo 10O raio e a altura de um cilindro satildeo medidos com 3 m e 8 m respectivamente
com possiacuteveis erros de 005 m Use diferenciais para calcular o erro maacuteximo no caacutelculo do volume
ResoluccedilatildeoPrimeiro recordamos a foacutermula do caacutelculo do volume de um cilindroV = p r 2 h
Para estimarmos a variaccedilatildeo de V calculamos
dV (r0h0) = partV partr (r0h0) dr +
partV parth (r0h0) dh
dV = 2p r0 h0 dr + p r02 dh
= 2p 3 8 005 + p 32 005 = 24p + 045p = 285p asymp 895 m3
Portanto o erro de 005 m nas medidas do raio e da altura pode nos levar a um erro de 895 m3
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
88
Exemplo 11Ao redor do ponto (10) f (xy) = x2 (y + 1) eacute mais sensiacutevel a variaccedilotildees em x ou y
ResoluccedilatildeoPrimeiro vamos entender o que o enunciado estaacute nos pedindo Querer
saber sobre a sensibilidade agrave variaccedilatildeo eacute o mesmo que pedir para estimar a variaccedilatildeo da funccedilatildeo no ponto Assim vamos calcular a diferencial de f
dz = partf partx (10) dx +
partf party (10) dy
Para facilitar o caacutelculo das derivadas parciais escrevemos f (xy) = x2y + x2 daiacute seguepartf partx = 2xy + 2x e
partf party = x2
partf partx (10) = 2 e
partf party (10) = 1
Entatildeo temos o caacutelculo da variaccedilatildeo da funccedilatildeo causada por pequenas variaccedilotildees dx e dy
dz = 2dx + 1dy
Portanto uma variaccedilatildeo de x em uma unidade variaraacute f em cerca de 2 unidades e uma variaccedilatildeo de y em uma unidade variaraacute f em cerca de 1 unidade A funccedilatildeo eacute 2 vezes mais sensiacutevel a uma pequena variaccedilatildeo de x que a uma pequena variaccedilatildeo de tamanho igual a de y
Exemplo 12O comprimento e a largura de um retacircngulo satildeo medidos com erros de
no maacuteximo 3 e 5 respectivamente Use diferenciais para aproximar o erro percentual maacuteximo na aacuterea calculada
ResoluccedilatildeoA aacuterea do retacircngulo dado por x de comprimento e y de largura eacute a funccedilatildeo
A(xy) = xy
Temos partpart
=partpart
=Ax
y Ay
x e
Cada erro eacute de no maacuteximo 3 e 5 isto eacute |∆x| le 003x e |∆y| le 005y Para achar o erro maacuteximo na aacuterea tomamos o maior erro nas medidas de x e y Daiacute tomamos dx = 003x e dy = 005y
Calculando a diferencial obtemos
dz zx
dx zy
dy=partpart
+partpart
sdot sdot sdot sdot
sdot
= y x 003 + x y 005 = 008 xy
dz = A 0 0 88
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
89
Estimamos que o erro percentual maacuteximo em A eacute de 8
4 GRADIENTE
Vimos nas seccedilotildees anteriores que as derivadas parciais nos fornecem taxas de variaccedilatildeo de uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis e que estas taxas dependem da escolha da direccedilatildeo e sentido da variaccedilatildeo Como essas variaccedilotildees satildeo indicadas por vetores eacute natural usar vetores para descrever a derivada de f numa direccedilatildeo e sentido especiacuteficos Nesta seccedilatildeo vamos definir o gradiente de uma funccedilatildeo que aparece em diversas aplicaccedilotildees matemaacuteticas
Definiccedilatildeo 241 Seja z = f (xy) uma funccedilatildeo que admite derivadas parciais no ponto (x0y0) O gradiente de f no ponto (x0y0) denotado por ∆f (x0y0) eacute um vetor cujos componentes satildeo as derivadas de f nesse ponto ou seja
∆f (x0y0) = partf partx (x0y0)
partf party (x0y0) =
partf partx (x0y0) i +
partf party (x0y0) j
O gradiente
∆
f associa um vetor
∆
f (x0y
0) a cada ponto (x
0y
0) do domiacutenio de f
Usamos a notaccedilatildeo ab para o par ordenado que se refere a um vetor para natildeo confundir
com o par ordenado (ab) que corresponde a um ponto no plano
Ao representar vetores com a notaccedilatildeo
v = ai + bj lembramos que i e
j
representam os vetores canocircnicos ou seja vetores no R2 onde suas respectivas coordenadas
satildeo dadas por
i = 10 e
j = 01
NOTA
NOTA
Quando trabalhamos com um ponto geneacuterico (xy) escrevemos
∆f (xy) = partf partx
partf party =
partf partx i +
partf party j
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
90
O siacutembolo ∆f eacute lido como ldquogradiente de frdquo
O siacutembolo
∆
denominado ldquodelrdquo eacute um delta grego maiuacutesculo invertido O uso de
∆
para o gradiente foi popularizado pelo fiacutesico escocecircs P G Tait (1831 ndash 1901) que o denominava ldquonablardquo Em hebraico nabla significa harpa e se refere agrave semelhanccedila de um
∆
com uma harpa antiga de dez cordas O grande fiacutesico James Clerk Maxwell relutou em adotar essa notaccedilatildeo e chamava o gradiente de ldquoinclinaccedilatildeordquo Em 1871 escreveu ao seu amigo Tait provocando ldquoAinda harpejando naquela nablardquo (ROGAWKI 2009 p 809)
Em seguida estendemos a definiccedilatildeo de gradiente para funccedilotildees com n variaacuteveis
Definiccedilatildeo 242 Sejam A sub Rn aberto p = (x1 x2 xn) isin A e f A rarr R uma funccedilatildeo tal que as derivadas parciais existem em p O gradiente de f no ponto p eacute o vetor do Rn denotado por ∆f (p) e definido por
∆f (p) = partf
partx1 (p)
partf partx2
(p) partf
partxn (p)
Exemplo 13Determine o gradiente da funccedilatildeo f (xy) = 3x2 ‒ 2xy + 5y
ResoluccedilatildeoPrimeiro precisamos calcular as derivadas parciais de f
partf partx = 6x ‒ 2y e
partf party
= ‒ 2x + 5
Em seguida escrevemos o vetor gradiente de acordo com a Definiccedilatildeo 241 ∆f (xy) = 6x ‒ 2y ‒ 2x + 5
Exemplo 14Calcule o gradiente da funccedilatildeo f (xy) = 3x2y ‒ x⅔ y2 no ponto (13)
ResoluccedilatildeoFaremos o mesmo que no Exemplo 11 acrescentando apenas o caacutelculo do
vetor no ponto (13)partf partx
= 6xy ‒ 2 3
x -⅓ y2 e partf party
= 3x2 ‒ 2x ⅔y
Entatildeo ∆f = 6xy ‒ 2 3
x -⅓ y2 3x2 ‒ 2x ⅔y
Agora no ponto ∆f (13)
∆f (13) = 6 sdot 1 sdot 3 ‒ 2 3
sdot 1 -⅓ sdot 32 3 sdot 12 ‒ 2 sdot 1 ⅔ sdot 3 = 12 ‒3 Portanto o gradiente de f no ponto (13) eacute o vetor ∆f (13) = 12 ‒3
Exemplo 15Determine o gradiente da funccedilatildeo g(xyz) = xyz2 em um ponto (xyz)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
91
FIGURA 32 ndash VETORES GRADIENTES DE f (xy) = 1 6
(x2 + y3)
FONTE Disponiacutevel em lthttpptscribdcomdoc5885209818Gradiente-Curva-de-NC2B4C4B1vel-SuperfC2B4C4B1cie-de-NC2B4C4B1velgt Acesso em 5 set 2011
ResoluccedilatildeoTemos
partg partx = yz2
partg party = xz2 e
partg partz = 2xyz
Entatildeo ∆g (xyz) = yz2 xz2 2xyz
Exemplo 16Encontre o gradiente de f(xy) = 1
6 (x2 + y3) em (0 ‒2) e esboce alguns vetores gradientes
Resoluccedilatildeo
As derivadas parciais satildeo partpart
=partpart
=fx
x fy
y26
36
2
e
∆f (xy) = 1 3 x i +
1 2 y2 j
Para construir o graacutefico formado pelos vetores gradientes procedemos da seguinte forma escolhemos um ponto por exemplo (x0y0) O ponto (x0y0) eacute o iniacutecio do vetor e o vetor gradiente ∆f (x0y0) = ab fornece o representante do vetor que iraacute no ponto (ab) Lembramos que um vetor de componentes ab tem iniacutecio na origem do plano e extremidade no ponto (a b) Quando desejamos graficar um vetor fora da origem usamos um representante do vetor ab Em seguida eacute mostrado como representar graficamente o vetor gradiente no ponto (0 ‒ 2) Temos
∆f (0‒ 2) = 2 j isto eacute o vetor 02 ndash tem origem no ponto (0 0) e extremidade no ponto (0 2) Conforme podemos ver na Figura 32
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
92
Do graacutefico construiacutedo no Exemplo 16 eacute possiacutevel pensar num campo de vetores gradiente de uma funccedilatildeo que podem ser representados geometricamente por um conjunto de vetores que fornece em cada ponto distinto do plano o vetor gradiente da funccedilatildeo
Como vimos o gradiente eacute um vetor Talvez vocecirc esteja agora se perguntando e se calcularmos || ∆f (xy)|| (norma do vetor gradiente) a que isso corresponde Vamos responder resolvendo o Exemplo 17
Exemplo 17Encontre o gradiente de f (xy) = x2 ‒ y2 e esboce alguns vetores gradientes
ResoluccedilatildeoAs derivadas parciais satildeo
partf partx = 2x e
partf party = ‒2y
Entatildeo ∆f = 2x i ‒ 2y j
Vamos calcular alguns vetores gradiente em pontos especiacuteficos e suas normas
(xy) ∆f (xy) || ∆f (xy)||
(00) (00) ₀
(10) (20) ₂
(x0) (2x0) ₂x
(0y) (0‒2y) ₂y
(11) (2‒2) ₂radic 2(xy) (2x‒2y) 2||(xy)||
Interpretando a coluna da direita percebe-se que agrave medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradiente aumenta ficando igual a duas vezes a distacircncia do ponto agrave origem
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
93
FIGURA 33 ndash GRAacuteFICO DOS VETORES GRADIENTES E DAS CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = x2 ndash y2
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwimeuerjbr~calculoLivroIIIcampospdfgt Acesso em 5 set 2011
Teorema 241 Suponha que z = f (xy) seja diferenciaacutevel numa bola aberta centrada em P0 (x0y0) e que ∆f (x0y0) ne 0
i) Entatildeo ∆f (x0y0) eacute normal agrave curva de niacutevel passando por P0 (x0y0)
ii) A taxa maacutexima de crescimento de γ no ponto P0 (x0y0) ocorre na direccedilatildeo e no sentido do gradiente Analogamente a taxa miacutenima de crescimento de γ no ponto P0 (x0y0) ocorre na direccedilatildeo contraacuteria a do gradiente
Lembramos que um vetor eacute normal agrave curva se o vetor eacute perpendicular
O gradiente de γ no ponto P0(x
0y
0) aponta na direccedilatildeo de maior variaccedilatildeo da
funccedilatildeo numa vizinhanccedila do ponto
NOTA
NOTA
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
94
A figura a seguir ilustra o Teorema 241
FIGURA 34 ndash VETOR GRADIENTE NORMAL Agrave CURVA DE NIacuteVEL
FONTE O autor
Exemplo 18O potencial eleacutetrico V em (xyz) eacute dado por V = x2 + 4y 2 + 9z2 Ache a direccedilatildeo
e a taxa maacutexima de variaccedilatildeo de V em (3‒21)
ResoluccedilatildeoDe acordo com o Teorema 251 a direccedilatildeo onde ocorre a taxa maacutexima de
variaccedilatildeo eacute dada pelo vetor gradiente EntatildeopartV partx
= 2x partV party = 8y e partV
partz = 18z
Assim ∆V = 2x 8y 18z
Calculando o gradiente no ponto (3‒21) obtemos∆V (3‒21) = 6 ‒16 18 que nos indica a direccedilatildeo de crescimento do potencial eleacutetrico
E a taxa de variaccedilatildeo do gradiente eacute dada pela sua norma
nabla ( ) = partpart
+
partpart
+
partpart
nabla minus( ) =
V x y zx
Vy
Vz
V
V
2 2 2
3 2 1 66 18 616
3 2 1 24 8
2 2+ minus( ) + =
nabla minus( ) asymp16
2
V
y
x
γ
P₀ (x₀ y₀)
∆f(P₀)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
95
5 DERIVADAS DIRECIONAIS
Caro acadecircmico Jaacute estudamos as derivadas parciais que nos fornecem a variaccedilatildeo da funccedilatildeo em duas direccedilotildees diferentes na direccedilatildeo do eixo x atraveacutes de partf partx
(x0y0) e na direccedilatildeo do eixo y atraveacutes de partf party
(x0y0) Nesta seccedilatildeo veremos como
utilizar a derivada para determinar a inclinaccedilatildeo em qualquer direccedilatildeo para isto definiremos um novo tipo de derivada chamada direcional
Suponha que uma funccedilatildeo f (xy) seja definida em uma regiatildeo R no plano xy que P(x0y0) seja um ponto em R e que u = u1i + u2j
seja um versor Entatildeo as equaccedilotildees
x = x0 + su1 e y = y0 + su2
parametrizam a reta que passa por P paralelamente a u Se o paracircmetro s mede o comprimento de arco de P na direccedilatildeo de u encontramos a taxa de variaccedilatildeo de f em P na direccedilatildeo de u calculando df
ds em P (Figura 7)
Lembramos que versor eacute um vetor unitaacuterio ou seja um vetor cuja norma eacute 1
Definiccedilatildeo 251 A derivada de f em P(x0y0) na direccedilatildeo do versor u = u1i + u2j
eacute o nuacutemero
desde que o limite exista
Portanto o gradiente ∆V (3‒21) = 6 ‒16 18 nos daacute a direccedilatildeo onde a taxa de variaccedilatildeo eacute maacutexima || ∆V (3‒21)|| asymp 248
NOTA
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
96
FIGURA 35 ndash A TAXA DE VARIACcedilAtildeO DE f EM P NA DIRECcedilAtildeO DE u
FONTE O autor
Quando u = i a derivada direcional em P eacute partf partx
calculada em (x0y0) Quando
u = j a derivada direcional em P eacute partf party
calculada em (x0y0) A derivada direcional
generaliza as duas derivadas parciais Entatildeo assim eacute possiacutevel encontrar a taxa de
variaccedilatildeo de f em qualquer direccedilatildeo u
Teorema 251 Se f (xy) for diferenciaacutevel em P (x0y0) entatildeo
eacute o produto escalar do gradiente de f em P e u
A expressatildeo do Teorema 251 por ser escrita como
Em seguida apresentaremos a definiccedilatildeo de derivada direcional para uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis fazendo uma extensatildeo da Definiccedilatildeo 251
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
97
Definiccedilatildeo 252 Sejam A cap Rn aberto P (x1 x2 xn) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo e u um vetor unitaacuterio em Rn A derivada direcional de f no ponto (x1 x2 xn) e na direccedilatildeo do versor u eacute denotada por
Esta definiccedilatildeo generaliza o conceito de derivada parcial isto eacute as derivadas parciais de uma funccedilatildeo podem ser obtidas como casos particulares das derivadas direcionais
Exemplo 19Calcule a derivada direcional da funccedilatildeo f (xy) = x3y + 2y 2 no ponto (1‒2) na
direccedilatildeo do vetor v = 4i + 3j
ResoluccedilatildeoNote que v natildeo eacute um versor (vetor unitaacuterio) e a Definiccedilatildeo 251 pede que o
vetor direccedilatildeo seja unitaacuterio Assim vamos primeiro calcular o vetor unitaacuterio u na direccedilatildeo de v
Agora calculamos o vetor gradiente de f no ponto (1‒2)
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
98
Portanto pelo Teorema 251 temos
partpart
minus( ) = nabla minus( ) sdot
minus minus sdot
f 2 f
u u
=(
1 1 2
6 8 45
3
) 55
6 4 8 35
=minus sdot + minus( ) sdot
= minus485
A derivada direcional partf partu
(1‒2) representa a taxa de variaccedilatildeo de z na
direccedilatildeo de u Isto eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva obtida pela interseccedilatildeo da
superfiacutecie f (xy) = x3y + 2y 2 e o plano vertical que passa por (1‒20) na direccedilatildeo de u
99
RESUMO DO TOacutePICO 2
Neste toacutepico vocecirc viu
bull O conceito de diferenciabilidade atraveacutes do caacutelculo de limite
bull Destacamos o Teorema 221 Se f eacute diferenciaacutevel em A cap R2 entatildeo f eacute contiacutenua em cada ponto de A
bull Outro resultado importante Teorema 222 Se as derivadas parciais partf partx
e partf party
existe em algum conjunto aberto A contendo (x0y0) e satildeo contiacutenuas em (x0y0)
entatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em (x0y0)
bull A aplicaccedilatildeo da diferencial e como se calcula a diferencial de f denotada por df
ou dz eacute dada por dz = partz partx dx +
partz party dy
bull O gradiente de uma funccedilatildeo f eacute o vetor das derivadas parciais
bull Geometricamente o vetor gradiente eacute normal agrave curva de niacutevel de f (xy) por P
bull A derivada direcional Se f (xy) for diferenciaacutevel em P (x0y0) entatildeo
o produto escalar do gradiente de f em P e u
100
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre diferenciabilidade e gradiente
Mostre que as funccedilotildees a seguir satildeo diferenciaacuteveis em R2
1 f (xy) = 3x2y + 4xy 2
2 f (xy) = x2 ‒ 7xy + 2xy 2
3 f (xy) = sen (xy 2)
4 Se z = x2 ‒ xy + 3y2 e (xy) varia de (3 ‒1) a (296 ‒095) compare os valores de dz e ∆z
5 O comprimento e a largura de um retacircngulo foram medidos como 30 cm e 24 cm respectivamente com um erro de medida de no maacuteximo 01 cm Utilize a diferencial para estimar o erro maacuteximo cometido no caacutelculo da aacuterea do retacircngulo
6 O periacuteodo T de um pecircndulo simples com uma pequena oscilaccedilatildeo eacute calculado
da foacutermula T = 2p L
g radic onde L eacute o comprimento do pecircndulo e g eacute a aceleraccedilatildeo
da gravidade Suponha que os valores de L e g tenham erros de no maacuteximo 005 e 001 respectivamente Use diferencias para aproximar o erro percentual maacuteximo no valor calculado de T
7 O raio de um cilindro circular reto eacute medido com um erro de no maacuteximo 2 e altura eacute medida com um erro de no maacuteximo 4 Qual o erro percentual maacuteximo possiacutevel no volume calculado
Nas questotildees de 8 a 10 determine o vetor gradiente das seguintes funccedilotildees nos pontos indicados
8 z = x2y + 3xy + y2 P (03)
9 f (xy) = xy ‒ sen (x + y) P = p
2 0
10 f (xyz) = xy + xz + yz P (‒135)
101
11 Se T (xy) = 10xy
x2 + 4y 2 + 4 eacute a temperatura em graus Celsius sobre uma
lacircmina metaacutelica x e y medidos em cm determine a direccedilatildeo de crescimento maacuteximo de T a partir do ponto (11) e a taxa maacutexima de crescimento de T nesse ponto
102
103
TOacutePICO 3
MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES
DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EXTREMOS LOCAIS
Uma aplicaccedilatildeo importante de caacutelculo diferencial de vaacuterias variaacuteveis eacute a da otimizaccedilatildeo de funccedilotildees Otimizar uma funccedilatildeo significa encontrar seu desempenho maacuteximo ou miacutenimo No Caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral vocecirc jaacute estudou como encontrar os maacuteximos e miacutenimos de funccedilotildees de uma variaacutevel Quando as derivadas primeiras forem nulas temos pontos extremos que podem ser maacuteximos ou miacutenimos
Vamos fazer algo parecido neste toacutepico para as funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Veremos como usar as derivadas parciais para localizar os pontos de maacuteximo e miacutenimo de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Suponha que um fabricante produza dois modelos de um determinado produto o modelo de luxo e o modelo padratildeo e que o custo total para produzir x unidades do modelo de luxo e y unidades do modelo padratildeo seja dado pela funccedilatildeo C (x y) Como determinar o niacutevel de produccedilatildeo x = a e y = b para o qual o custo eacute miacutenimo
Iniciaremos definindo os extremos locais que satildeo chamados de maacuteximos e miacutenimos de uma funccedilatildeo
Definiccedilatildeo 321 Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo
i) P (x0 y0) eacute um ponto de maacuteximo local de f se f (x y) le f (x0 y0) para todo (x y) numa vizinhanccedila de (x0 y0)
ii) P (x0 y0) eacute um ponto de miacutenimo local de f se f (x y) ge f (x0 y0) para todo (x y) numa vizinhanccedila de (x0 y0)
Definiccedilatildeo 322 Dizemos que um ponto P (x0 y0) do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (x y) eacute um ponto criacutetico (ou estacionaacuterio) se
104
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
i) partf partx
(x0 y0) = 0 e partf party
(x0 y0) = 0 ou
ii) pelo menos uma das derivadas parciais partf partx
(x0 y0) partf party
(x0 y0) natildeo existe
O teorema a seguir nos diz que os extremos locais ocorrem em pontos criacuteticos assim como acontece em funccedilatildeo de uma variaacutevel
Teorema 321 Se f (x y) tem um miacutenimo ou maacuteximo local em (x0 y0) entatildeo (x0 y0) eacute um ponto criacutetico de f (x y)
Geometricamente um ponto eacute ponto criacutetico de uma funccedilatildeo quando o graacutefico da funccedilatildeo nesse ponto natildeo tem plano tangente ou o plano tangente eacute horizontal
Vamos ver no exemplo a seguir como encontrar os pontos criacuteticos de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Exemplo 1Encontre os pontos criacuteticos da funccedilatildeo f (x y) = 9x3 +
y3 3 ‒ 4xy
ResoluccedilatildeoQueremos encontrar os pontos criacuteticos da funccedilatildeo f (x y) = 9x3 +
y3 3 ‒ 4xy
Aplicando a Definiccedilatildeo 322 devemos igualar as derivadas parciais a zero
Calculando as derivadas parciais temos partf partx
= 27x2 ‒ 4y e partf party
= y2 ‒ 4x
Igualando as derivadas parciais a zero e resolvendo as equaccedilotildees obtemos
27 4 04 0
2
2
x yy x
minus =
minus =
Isola-se x na segunda equaccedilatildeo x = y2 4 e substitui na primeira equaccedilatildeo
27 4 0
274
4 0
27 64 0
27 64 0
0
2
2 2
4
3
x y
y y
y y
y y
y
minus =
minus =
minus =
minus( ) == ou 277y
e y
3
3
2 1
64 0642743
0
minus =
=
= =
y
y
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
105
Substituiacutemos os valores de y na segunda equaccedilatildeo
x = y2 4 x =
y2 4
x1 = 02 4 x2 =
43
2
4
x1 = 0 x2 = 4 9
Portanto (00) e 4 9
4 3
satildeo os pontos criacuteticos de f (x y)
Lembre-se de que jaacute estudamos gradiente de uma funccedilatildeo
∆f (xy) em que
∆f (xy) = partf partx
partf party Entatildeo na Definiccedilatildeo 322 poderiacuteamos dizer que P (x
0y
0) eacute um ponto
criacutetico se
∆
f (x0y
0) = 0 ou se
∆
f (xy) natildeo existe
Exemplo 2Mostre que f (xy) = x2 + y2 ‒ xy + x tem um ponto criacutetico
ResoluccedilatildeoSegundo a Definiccedilatildeo 322 devemos igualar as derivadas parciais a zero
para encontrar os pontos criacuteticos se existem
As derivadas parciais satildeo partf partx
= 2x ‒ y + 1 e partf party
= ‒ x + 2y Entatildeo igualando
as derivadas parciais a zero e resolvendo o par de equaccedilotildees temos
2x ‒ y + 1 = 0‒ x + 2y = 0
NOTA
106
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
agora resolvemos o sistema pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
y = ‒ 1 3
Assim x = ‒ 2 3 e y = ‒ 1
3 Existe apenas um ponto criacutetico P ‒ 2 3 ‒ 1
3
Para sabermos se este ponto criacutetico eacute um ponto maacuteximo ou miacutenimo da funccedilatildeo podemos aplicar a Definiccedilatildeo 321 o que pode ser complicado em algumas situaccedilotildees Poreacutem podemos usar o recurso graacutefico tanto da superfiacutecie como das curvas de niacutevel (mapa de contornos) atraveacutes de um software computacional como veremos na Figura 37
FIGURA 36 ndash GRAacuteFICO DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = x2 + y2 ndash xy + x
FIGURA 37 ndash MAPA DE CONTORNOS DE f (xy) = x2 + y2 ndash xy + x
FONTE O autor
FONTE O autor
80
60
40
20
04
20ndash 2
ndash 44 2 0 ndash 2 ndash 4
x
y
4 2 0 ndash 2 ndash 4
0
2
4
ndash 2
ndash 4
y
x
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
107
Pelo graacutefico da funccedilatildeo (Figura 36) eacute possiacutevel dizer que o ponto P
‒ 2 3 ‒ 1
3 eacute miacutenimo local e na Figura 37 as curvas de niacutevel satildeo curvas fechadas
que circundam o ponto P indicando assim um extremo local
Acabamos de ver que eacute possiacutevel determinar o tipo de ponto criacutetico a partir do mapa de contorno entatildeo podemos classificar os pontos criacuteticos atraveacutes das seguintes caracteriacutesticas graacuteficas
i) se P (x0 y0) eacute um miacutenimo local entatildeo as curvas de niacutevel proacuteximas de P satildeo curvas fechadas que circundam P e o mapa de contornos mostra que f (x y) cresce em todas as direccedilotildees a partir de P (Figura 37)
ii) se P (x0 y0) eacute um maacuteximo local entatildeo as curvas de niacutevel proacuteximas de P satildeo curvas fechadas que circundam P e o mapa de contornos mostra que f (x y) decresce em todas as direccedilotildees a partir de P
iii) se P (x0 y0) eacute um ponto de sela entatildeo as curvas de niacutevel de f (x y) que passam por P consistem em duas retas que se intersectam e dividem a vizinhanccedila de P em quatro regiotildees O mapa de contornos mostra que f (x y) eacute decrescente na direccedilatildeo x e crescente na direccedilatildeo y (Figura 38)
iv) se P (x0 y0) eacute um ponto de sela ndash outra situaccedilatildeo entatildeo as curvas de niacutevel em (x0 y0) tem uma forma padratildeo ldquonuacutemero oitordquo (Figura 39)
FIGURA 38 ndash MAPA DE CONTORNOS DESTACANDO O PONTO DE SELA
FIGURA 39 ndash MAPA DE CONTORNOS ndash PONTO DE SELA PADRAtildeO ldquoNUacuteMERO OITOrdquo
FONTE O autor
FONTE O autor
4
2
0
ndash2
ndash 4
y
4 2 0 ndash 2 ndash 4x
2
2
1
0
ndash 1
ndash2
0 1ndash 1ndash 2x
y
2
108
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Segue da Definiccedilatildeo 322 e do Teorema 321 que os extremos relativos ocorrem nos pontos criacuteticos Contudo uma funccedilatildeo natildeo precisa ter um extremo relativo em cada ponto criacutetico isto quer dizer que um ponto criacutetico nem sempre eacute um ponto extremante Um ponto criacutetico que natildeo eacute um maacuteximo relativo nem um miacutenimo relativo eacute chamado de ponto de sela
Nas funccedilotildees de duas variaacuteveis natildeo temos pontos de inflexatildeo como em funccedilotildees de uma variaacutevel Podemos ter um ponto de sela quando numa direccedilatildeo a funccedilatildeo atinge um maacuteximo num ponto e em outra direccedilatildeo um miacutenimo no mesmo ponto O nome se daacute pela semelhanccedila com uma sela de cavalo maacuteximo na direccedilatildeo das pernas do cavaleiro (transversal ao cavalo ) e miacutenimo na direccedilatildeo longitudinal (dorso) do cavalo
Em seguida vamos estudar um meacutetodo que permite classificar os pontos criacuteticos com criteacuterios bem definidos Mas antes definiremos a hessiana
Definiccedilatildeo 323 Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo de classe C2 A matriz hessiana de f representada por H(f) eacute dada por
Exemplo 3Seja f (xy) = 3x2 + y2 Calcule a matriz hessiana de f no ponto (00)
ResoluccedilatildeoPela Definiccedilatildeo 323 calculamos as derivadas parciais no ponto dado
partf partx
= 6x partf party
= 2y part2f partx2
= 6 part2f partxparty
= 0 part2f partypartx
= 0 e part2f party2
= 2
Portanto H (00) = 6 00 2
eacute a matriz hessiana de f no ponto (00)
Teorema 322 (Teste da segunda derivada) Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo de classe C2 Suponhamos que P (x0 y0) seja um ponto criacutetico da funccedilatildeo f
NOTA
H x y
fxx y f
x yx y
fy x
x y fyx
0 0
2
2 0 0
2
0 0
2
0 0
2
2 0
( ) =
part
part( ) part
part part( )
partpart part
( ) part
party0( )
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
109
i) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) gt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto miacutenimo local de f
ii) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto maacuteximo local de f
iii) Se det H (x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto de sela
iv) Se det H (x0y0) = 0 nada se conclui
Para facilitar o entendimento e visualizar a classificaccedilatildeo dos pontos criacuteticos apresentamos o graacutefico e um texto explicativo
Os pontos P e Q satildeo pontos de maacuteximo porque qualquer deslocamento em sua vizinhanccedila iraacute descer O ponto S eacute uma sela porque nos sentidos SP e SQ sobe mas no sentido SL ou ST desce
FONTE CANESIN Wilson Funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis ndash Notas de aula ndash parte II Disponiacutevel em lthttpwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 28 out 2011
FIGURA 40 ndash GRAacuteFICO DE SUPERFIacuteCIE
FONTE Disponiacutevel em lthttpwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 28 out 2011
Veremos em seguida exemplos onde aplicaremos o Teorema 322
Exemplo 4Considere a funccedilatildeo f (xy) = x2 + y2 ‒ xy + x Determine caso existam os pontos
de maacuteximo e os pontos de miacutenimo local da funccedilatildeo
Resoluccedilatildeo
Vimos no Exemplo 2 que o ponto ‒ 2 3 ‒ 1
3 eacute o uacutenico ponto criacutetico de f
Para classificaacute-lo vamos usar o Teorema 322 Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
P
S
Q
T
L
F(xy)
110
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
part2f partx2
= 2 part2f partxparty
= ‒1 part2f partypartx
= ‒1 e part2f party2
= 2 Entatildeo
det H minus minus
=
minusminus
=2
3
1
3
2 1
1 23
Como H ‒ 2 3 ‒ 1
3 gt 0 e part2f partx2 ‒ 2
3 ‒ 1 3 gt 0 segue que ‒ 2
3 ‒ 1 3 eacute
um ponto miacutenimo local de f
Exemplo 5Encontre os maacuteximos e miacutenimos de f (xy) = 1
3 x3 + 1 3 y3 ‒ x ‒ 4y + 20 caso
existam
ResoluccedilatildeoVamos encontrar inicialmente os pontos criacuteticos de f fazendo partf
partx = 0 e partf
party = 0
partf partx
= x2 ‒ 1 e partf party
= y2 ‒ 4
x2 ‒ 1 = 0y2 ‒ 4 = 0
Resolvendo o sistema temos os pontos criacuteticos (12) (1‒2) (‒12) e (‒1‒2)
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
part2f partx2
= 2x part2f partxparty
= 0 part2f partypartx
= 0 e part2f party2
= 2y
Agora calculamos o determinante hessiano Entatildeo
det det
det
H H
H
1 22 0
0 48 1 2
2 0
0 48
1 22 0
0 48
( ) = = minus( ) =minus
= minus
minus( ) =minus
= minus
e
e det H minus minus( ) =minus
minus=1 2
2 0
0 48
Para classificar os pontos criacuteticos usaremos o Teorema 322
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
111
Vamos analisar o ponto (12)
Temos det H (12) gt 0 e part2f partx2 (12) gt 0 logo (12) eacute um ponto miacutenimo local de f
Vamos analisar o ponto (1‒2)
Temos det H (1‒2) lt 0 logo (1‒2) eacute um ponto de sela de f
Vamos analisar o ponto (1‒2)
Temos det H (‒12) lt 0 logo (‒12) eacute um ponto de sela de f
Vamos analisar o ponto (‒1‒2)
Temos det H (‒1‒2) gt 0 e part2f partx2 (‒1‒2) lt 0 logo (‒1‒2) eacute um ponto maacuteximo local de f
Os graacuteficos (Figura 41 e Figura 42) gerado por computador usando o software Maple 11 ilustram os caacutelculos apresentados anteriormente
FIGURA 41 ndash GRAacuteFICO DA SUPERFIacuteCIE DE f FIGURA 42 ndash MAPA DE CONTORNOS DE f
FONTE O autor FONTE O autor
3 PROBLEMAS ENVOLVENDO MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
O estudo feito no item anterior pode ser perfeitamente aplicado em problemas de maximizaccedilatildeo e minimizaccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Como por exemplo em problemas geomeacutetricos fiacutesicos econocircmicos entre outros
Exemplo 6Determine as dimensotildees de uma caixa retangular aberta no topo com um
volume de 32 cm3 e que requer uma quantidade miacutenima de material para a sua construccedilatildeo
30
25
20
15
103 2 1 0ndash 1ndash 2ndash 3 2 1 0 ndash 1ndash 2 ndash 3
yx
ndash 4
ndash 4
ndash 2
ndash 2 0 2 4x
2
4
y
112
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Resoluccedilatildeox comprimento da caixa (cm)y largura da caixa (cm)z altura da caixa (cm)A aacuterea da superfiacutecie da caixa (cm2)V volume da caixa (cm3)
V = xyz rArr xyz = 32 rArr z = 32 xy
Queremos minimizar a aacuterea de superfiacutecie
A = xy + 2xz + 2yz com a restriccedilatildeo do volume
Substituindo z obtemos
A = xy + 2x 32 xy + 2y 32
xy
A(xy) = xy + 64 y + 64
x x gt 0 e y gt 0
Como a regiatildeo eacute aberta o miacutenimo deve ocorrer num ponto criacutetico de A Passemos entatildeo a determinaacute-los
partApartx
= y ‒ 64 x2 partA
party = x ‒ 64
y2
y ‒ 64 x2 = 0 x ‒ 64
y2 = 0
y = 64 x2 x ‒
64
64x2
2 = 0
y2 = 4 x ‒ x4 64 = 0
x 1 ‒ x3
64 = 0
x1 = 0 e x2 = 4
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
113
Assim o ponto (44) eacute ponto criacutetico de A
Usando o teste da segunda derivada (Teorema 322) obtemospart2Apartx2 = 128
x3 part2A partxparty = 1 part2A
partypartx = 1 part2fparty2 = 128
y3
Calculando o determinante hessiano temos
det H (44) = 2 11 2
= 4 ‒ 1 = 3
Daiacute det H (44) gt 0 e part2Apartx2 (44) gt 0 portanto o ponto (44) eacute o miacutenimo local de A
Logo a caixa que usa o miacutenimo de material tem altura z = 2 e base quadrada x = y = 4
Exemplo 7A funccedilatildeo T (xy) = x2 + y2 ‒ 8x + 5y + 20 daacute a temperatura em graus Celsius
de cada ponto (x y) de uma chapa circular (exceto as bordas que eacute constituiacuteda de outro material) de raio 6 cm localizada no centro do plano xy Determine o ponto mais quente e o mais frio no interior da chapa se existir
Resoluccedilatildeo A funccedilatildeo T (xy) = x2 + y2 ‒ 8x + 5y + 20 tem domiacutenio D(T) = (xy) | x2 + y2 lt 36
Calculando as derivadas parciais de primeira ordem temos
partT partx
= 2x ‒ 8 e partT party
= 2y + 5
2x ‒ 8 = 02y + 5 = 0
Resolvendo o sistema temos o uacutenico ponto criacutetico 4 ‒ 52
e T 4 ‒ 52
= - 94
= ‒ 225 degC
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
part2Tpartx2 = 2 part2T
partxparty = 0 part2T partypartx = 0 part2T
party2 = 2
114
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Agora calculamos o determinante hessiano Entatildeo
det H 4 ‒ 52
= 2 00 2
= 4
Pelo Teorema 322 temos det H 4 ‒ 52
gt 0 e part2Tpartx2 gt 0 assim o ponto
4 ‒ 52
eacute miacutenimo
Portanto o ponto mais frio da chapa tem temperatura de ndash 225ordmC e estaacute
localizado no ponto 4 ‒ 52
Exemplo 8Para o projeto de uma calha tem-se uma folha metaacutelica de 12 cm de
largura que se deseja dobrar de forma a se ter uma capacidade maacutexima
Resoluccedilatildeo
A aacuterea da seccedilatildeo da calha eacute formada pela aacuterea do retacircngulo mais a aacuterea dos dois triacircngulos conforme a figura
A = 2 (triacircngulo) + retacircngulo
A = 2 x cos θ x sen θ2
+ (12 ‒ 2x) x sen θ
A = f (xθ) = x2 cos θ sen θ + 12x sen θ ‒ 2x2 sen θ
Agora vamos estudar os extremos (maacuteximos e miacutenimos) da funccedilatildeo Deriva-se a funccedilatildeo obtendo
partf partx
= 2x sen θ cos θ + 12 sen θ ‒ 4x sen θ
partf partθ
= ‒ x2 sen2 θ + x2 cos2 θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
115
Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema temos
‒ x2 sen2 θ + x2 cos2 θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x2 (‒ sen2 θ + cos2 θ) + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x2 cos 2θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x (2 cos2 θ ‒ 1) ‒ 2x cos θ + 12 cos θ = 0
x (2 cos2 θ ‒ 2 cos θ ‒ 1) + 12 cos θ = 0
2x sen θ cos θ + 12 sen θ ‒ 4x sen θ = 0
2x cos θ = 4x ‒ 12
cos θ = 4x ‒ 12
2x
cos θ = 2 ‒ 6x
Substituiacutemos o valor cos θ = 2 ‒ 6x
na segunda equaccedilatildeo e resolvendo
encontra-se x = 4 que resulta em cos θ = 2 ‒ 6x
= 12
cos θ = 12
rArr θ = p3
rad ou θ = 60deg
O ponto (460deg) encontrado parece ser bastante razoaacutevel omitiremos o teste da segunda derivada tambeacutem por causa do trabalho que estas dariam Mas para ter certeza podemos calcular a aacuterea A para valores de x e θ
116
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
x θ A4 30 149284 36 170134 42 186624 48 198464 54 205534 60 207854 66 205624 72 199194 78 18904
Entatildeo pelos valores obtidos na tabela confirmamos que a capacidade eacute maacutexima no ponto (460deg)
FONTE Disponiacutevel em ltwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 30 maio 2012
117
RESUMO DO TOacutePICO 3
Neste toacutepico vocecirc estudou alguns conceitos e teoremas importantes
bull Dizemos que P (x0y0) eacute um ponto criacutetico de f (xy) se partf partx
(x0 y0) = partf party
(x0 y0) = 0 ou se natildeo existir uma das duas derivadas parciais
bull Definimos a matriz hessiana de f (xy) por
bull O Teorema 322 (Teste da segunda derivada) facilita bastante na classificaccedilatildeo do ponto criacutetico de f (xy) Suponhamos que P (x0y0) seja um ponto criacutetico da funccedilatildeo f
i) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) gt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto miacutenimo local de f
ii) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto maacuteximo local de f
iii) Se det H (x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto de sela
iv) Se det H (x0y0) = 0 nada se conclui
118
Nos exerciacutecios 1 e 2 encontre os pontos criacuteticos das funccedilotildees dadas
1 f (xy) = x2 + y2 + xy ‒ 6x + 2
2 f (xy) = x2 + 8y4 + xy ‒ 3y2 ‒ y3
Nos exerciacutecios 3 a 7 encontre os pontos criacuteticos e os extremos locais das funccedilotildees dadas
3 f (xy) = x3 + y3 ‒ 6xy
4 f (xy) = ‒ 13
x4 + 23
x3 + 4xy ‒ y2
5 f (xy) = x3 + y2 ‒ 6xy + 6x + 3y ‒ 2
6 f (xy) = 4x ‒ 3x3 ‒ 2xy2
7 f (xy) = x4 + y4 ‒ 4xy
8 A temperatura T (degC) em cada ponto de um painel plano eacute dada pela equaccedilatildeo T (xy) = 16x2 + 24x ‒ 40y2 Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da regiatildeo
9 Um supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha com duas marcas de suco de laranja uma marca local que custa no atacado R$ 030 a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa no atacado R$ 040 a garrafa O dono do supermercado estima que se cobrar x centavos pela garrafa da marca local e y centavos pela garrafa da marca nacional venderiam 70 ‒ 5x + 4y garrafas da marca local e 80 + 6x + 7y garrafas da marca nacional por dia Por quanto o dono do supermercado deve vender as duas marcas de suco de laranja para maximizar o lucro
AUTOATIVIDADE
119
TOacutePICO 4
INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
Na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral estudamos que a integral indefinida int f (x) dx resulta em outra funccedilatildeo denominada funccedilatildeo primitiva de f (x)
Estudamos tambeacutem que a integral definida eacute dada por
desde que tal limite exista O valor calculado na integral definida quando f (x) ge 0 tem como interpretaccedilatildeo imediata o caacutelculo da aacuterea da regiatildeo compreendida entre o eixo x o graacutefico de f (x) e as retas x = a e x = b
Neste toacutepico vamos estudar a integral dupla definida cuja interpretaccedilatildeo geomeacutetrica quando f (xy) ge 0 corresponde ao caacutelculo do volume do soacutelido delimitado superiormente pelo graacutefico de z = f (xy) e inferiormente pela regiatildeo definida sobre o plano xy
2 INTEGRAL DUPLA
21 INTEGRAL DUPLA SOBRE RETAcircNGULO
Definiccedilatildeo 4211 (Volume sob uma superfiacutecie) Se f eacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis contiacutenua e natildeo negativa numa regiatildeo R do plano xy entatildeo o volume do soacutelido compreendido entre a superfiacutecie z = f (xy) e a regiatildeo R eacute definido por
A ideia envolvida na Definiccedilatildeo 4211 eacute a mesma empregada na integral definida simples Assim a regiatildeo R eacute dividida em sub-retacircngulos Faremos isso com o intervalo em x (∆x) e com o intervalo y (∆y) formando os sub-retacircngulos Rij cada um com aacuterea ∆A = ∆x∆y
120
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 43 ndash INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DA INTEGRAL DUPLA QUANDO f (xy) ge 0
FONTE Disponiacutevel em ltwwwpucrsbrfamatbeatrizcalculoIIINTEGRAL_DUPLAdocgt Acesso em 30 maio 2012
Definiccedilatildeo 4212 A integral dupla de f sobre o retacircngulo R eacute
se esse limite existir
A soma presente nas duas definiccedilotildees acima eacute chamada de soma dupla de Riemann e eacute usada como uma aproximaccedilatildeo do valor da integral dupla
22 INTEGRAIS ITERADAS
Nas integrais duplas que estudaremos neste toacutepico seratildeo consideradas apenas as integrais duplas definidas E na sua resoluccedilatildeo aplicaremos o Teorema Fundamental do Caacutelculo O caacutelculo da integral dupla eacute muito complicado pela definiccedilatildeo entatildeo veremos como calcular a integral dupla atraveacutes da integral iterada cujo valor pode ser obtido calculando-se duas integrais de funccedilotildees de uma variaacutevel real A expressatildeo iterada quer dizer repetida
Este procedimento segue a mesma ideia para calcular as derivadas parciais
UNI
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
121
Suponha que f seja uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis contiacutenua no retacircngulo R = [ab]x[cd]
bull A integral intf (xy) dy
d
c significa que a variaacutevel x eacute mantida fixa (como constante) e
f (xy) eacute integrado em relaccedilatildeo a variaacutevel y com y variando de c ateacute d
bull Como intf (xy) dy
d
c eacute um nuacutemero que depende do valor de x ele define uma
funccedilatildeo de x
F (x) = intf (xy) dy
d
c
bull Integrando a funccedilatildeo F(x) em relaccedilatildeo a variaacutevel x de a ateacute b obtemos
Lembre-se quando a integral eacute definida aplicamos o Teorema Fundamental do
Caacutelculo intf (x) dx = F(b) ‒ F(a)b
a
Exemplo 1
Calcular a integral
ResoluccedilatildeoResolvendo a integral dupla como integral iterada temos
Vamos resolver primeiro a integral que estaacute dentro dos colchetes considerando como constante a variaacutevel x jaacute que a funccedilatildeo estaacute sendo integrada primeiramente em relaccedilatildeo a variaacutevel y (pois a diferencial nesta integral eacute dy)
IMPORTANTE
122
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Assim intxy2 dy = 3x
2
‒1
Agora substituiacutemos este resultado na integral final E verifique que a integral que falta resolver eacute uma integral apenas na variaacutevel x
Portanto
Exemplo 2
Calcular a integral
ResoluccedilatildeoResolvendo a integral dupla como integral iterada temos
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
123
Vamos resolver primeiro a integral que estaacute dentro dos colchetes considerando como constante a variaacutevel y jaacute que a funccedilatildeo estaacute sendo integrada primeiramente em relaccedilatildeo a variaacutevel x (pois a diferencial nesta integral eacute dx)
Assim int (x + y + 1) dx = 2y + 2
1
‒1
Agora substituiacutemos este resultado na integral final E verifique que a integral que falta resolver eacute uma integral apenas na variaacutevel y
= 1
Portanto
Teorema 3221 (Teorema de Fubini) Se f for contiacutenua no retacircngulo R = [ab]x[cd] entatildeo
124
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Verifique a aplicaccedilatildeo do teorema de Fubini no Exemplo 2
23 INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIOtildeES GENEacuteRICAS
Vamos considerar funccedilotildees contiacutenuas definidas sobre regiotildees fechadas que denotaremos por D onde D cap R2
Conveacutem separarmos a regiatildeo plana D em dois casos que chamaremos de Tipo I e Tipo II
bull Uma regiatildeo plana D eacute dita do tipo I se estaacute contida entre o graacutefico de duas funccedilotildees contiacutenuas de x ou seja
D = (xy) a le x le b g1(x) le y le g2(x) onde g1(x) e g2(x) satildeo contiacutenuas em [ab]
FIGURA 44 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
UNI
D
a b
y
x
y₂ = g₂(x)
y₁ = g₁(x)
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
125
Definiccedilatildeo 3231 Se f eacute contiacutenua em uma regiatildeo D do tipo I tal que
D = (xy) a le x le b g1(x) le y le g2(x)
entatildeo
Exemplo 3
Escreva intintf (xy) dAD
sobre a regiatildeo D que estaacute compreendida entre o
graacutefico das funccedilotildees y = radic1 ‒ x 2 e y = 1 ‒ x
ResoluccedilatildeoVamos escrever esta integral considerando a regiatildeo do tipo I
Assim g1 (x) = 1 ‒ x e g2 (x) = radic1 ‒ x 2
Entatildeo usaremos
126
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 45 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
bull Uma regiatildeo plana D eacute dita do tipo II se estaacute contida entre o graacutefico de duas funccedilotildees contiacutenuas de y ou seja
D = (xy) c le y le d h1(y) le x le h2(y)
onde h1(y) e h2(y) satildeo contiacutenuas em [cd]
FIGURA 46 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
y
x₂ = h₂(y)
x₁ = h₁(y)
d
c x
D
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
127
Definiccedilatildeo 3232 Se f eacute contiacutenua em uma regiatildeo D do tipo II tal que
D = (xy) c le y le d h1(y) le x le h2(y)
entatildeo
Exemplo 4
Escreva intintf (xy) dAD
sobre a regiatildeo D que estaacute compreendida entre o
graacutefico das funccedilotildees y = radic1 ‒ x 2 e y = 1 ‒ x
ResoluccedilatildeoVamos escrever esta integral considerando a regiatildeo do tipo II
FIGURA 47 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim h1 (y) = 1 ‒ y e h2 (y) = radic1 ‒ y 2
Entatildeo usaremos
128
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Exemplo 5Seja f (xy) = xy calcule intintf (xy) dA
D
sobre a regiatildeo D compreendida entre y =
12
x y = radicx x = 2 e x = 4
ResoluccedilatildeoConforme pode ser observada a regiatildeo no graacutefico convecircm aplicar o tipo I
FIGURA 48 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
129
= 116
Portanto intintf (xy) dA = 116D
Exemplo 6
Calcule intint(xy ‒ y 3) dAD
sobre a regiatildeo D mostrada no graacutefico abaixo
ResoluccedilatildeoConforme pode ser observada a regiatildeo no graacutefico vamos aplicar o tipo II
A projeccedilatildeo da regiatildeo D sobre o eixo dos y daacute o intervalo 0 le y le 1 e as funccedilotildees tem que estar na variaacutevel y Entatildeo
h1 (y) = y 4 e h2 (y) = y 12
130
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 49 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim
x
y
2
1
21
y = xsup2
y = xsup1 ⁴
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
131
Vocecirc estudou integraccedilatildeo no final do Caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral e verificou que eacute possiacutevel calcular a aacuterea entre duas curvas utilizando a integral simples Vamos ver agora que tambeacutem eacute possiacutevel calcular a aacuterea entre duas curvas utilizando a integral dupla
Exemplo 7
Calcule a aacuterea compreendida entre as curvas y = 12
x y = radicx x = 2 e x = 4
ResoluccedilatildeoA aacuterea compreendida entre as curvas dadas eacute a mesma mostrada no
Exemplo 5
Assim aplicamos o a integral dupla do tipo I Para a montagem da integral o procedimento eacute o mesmo feito no exemplo 5
UNI
132
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 50 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Portanto a aacuterea definida entre as curvas eacute dada por
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
133
Concluindo a ideia do caacutelculo da aacuterea entre curvas verifique que a montagem da integral dupla tem o mesmo procedimento mostrado no item 23 A uacutenica diferenccedila eacute que devemos considerar a funccedilatildeo integrante como a constante unitaacuteria isto eacute f (xy) = 1
Exemplo 8Calcule a aacuterea entre as curvas y = 5 ‒ x2 e y = x + 3
ResoluccedilatildeoA aacuterea compreendida entre as curvas dadas acima estaacute representada a
seguir
Assim aplicamos a integral dupla do tipo I Para a montagem da integral o procedimento eacute o mesmo feito anteriormente
Precisamos encontrar os limites numeacutericos da variaacutevel x igualando a variaacutevel y
FIGURA 51 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
IMPORTANTE
y = 5 ndash xsup2
y = x + 3
ndash 2 ndash 1 21x
1
2
3
4
5y
134
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
= 92
Portanto a aacuterea definida entre as curvas eacute dada por 92
LEITURA COMPLEMENTAR
GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN (1826 - 1866)
Nasceu no dia 17 de setembro de 1826 em Breselenz Alemanha Era filho de um ministro luterano e teve uma boa instruccedilatildeo estudando em Berlim e Goumlttingen mas em condiccedilotildees muito modestas por causa de sua sauacutede fraacutegil e de sua timidez Ainda no ensino secundaacuterio estudou os trabalhos de Euler e Legendre
Aos 19 anos Riemann foi com todo o apoio do pai para a Universidade de Goumlttingen estudar teologia com o objetivo de tornar-se cleacuterigo Mais tarde pediu permissatildeo ao pai e mudou o foco dos seus estudos para a Matemaacutetica transferindo-se um ano depois para a Universidade de Berlim onde atraiu o interesse de Dirichlet e Jacobi
Em 1849 retornou a Goumlttingen onde obteve o grau de doutor em 1851 Sua brilhante tese foi desenvolvida no campo da teoria das funccedilotildees complexas Nessa tese encontram-se as chamadas equaccedilotildees diferenciais de Cauchy-Riemann - conhecidas poreacutem antes do tempo de Riemann - que garantem a analiticidade de uma funccedilatildeo de variaacutevel complexa e o produtivo conceito de superfiacutecie de Riemann que introduziu consideraccedilotildees topoloacutegicas na anaacutelise
Trecircs anos mais tarde foi nomeado Privatdozent cargo considerado o primeiro degrau para a escalada acadecircmica Com a morte de Gauss em 1855 Dirichlet foi chamado a Goumlttingen como seu sucessor e passou a incentivar Riemann primeiro com um pequeno salaacuterio e depois com uma promoccedilatildeo a professor assistente Em 1859 morreu Dirichlet e Riemann foi nomeado professor titular para substituiacute-lo
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
135
O periacuteodo de 1851 a 1859 do ponto de vista econocircmico foi o mais difiacutecil da vida de Riemann mas ele criou suas maiores obras justamente nesses anos
Riemann era um matemaacutetico de muacuteltiplos interesses e mente feacutertil contribuindo natildeo soacute para o desenvolvimento da geometria e da teoria dos nuacutemeros como tambeacutem para o da anaacutelise matemaacutetica
Riemann tornou claro o conceito de integrabilidade de uma funccedilatildeo atraveacutes da definiccedilatildeo do que atualmente chamamos Integral de Riemann
Durante uma conferecircncia-teste generalizou todas as geometrias euclidianas e natildeo euclidianas estabelecendo a Geometria Riemanniana que serviu de suporte para a Teoria da Relatividade de Einstein
Em 1859 publicou seu uacutenico trabalho em Teoria dos Nuacutemeros um artigo dedicado ao Teorema dos Nuacutemeros Primos no qual partindo de uma identidade notaacutevel descoberta por Euler chegou a uma funccedilatildeo que ficou conhecida como Funccedilatildeo Zeta de Riemann Nesse artigo provou vaacuterias propriedades importantes dessa funccedilatildeo e enunciou vaacuterias outras sem provaacute-las Durante um seacuteculo depois de sua morte muitos matemaacuteticos tentaram provaacute-las e acabaram criando novos ramos da anaacutelise matemaacutetica
Riemann morreu de tuberculose no dia 20 de Julho de 1866 em Selasca na Itaacutelia durante a uacuteltima de suas vaacuterias viagens para fugir do clima frio e uacutemido do norte da Alemanha
FONTE Disponiacutevel em lthttpecalculoifuspbrhistoriariemannhtmgt Acesso em 12 jun 2008
136
RESUMO DO TOacutePICO 4
Estudamos no Toacutepico 4 as integrais muacuteltiplas Primeiramente vimos que o procedimento do caacutelculo destas integrais eacute feito por iteraccedilatildeo isto eacute repeticcedilatildeo Resolvendo a integral de dentro (interna) para a de fora e substituindo os limites de integraccedilatildeo pelo Teorema Fundamental do Caacutelculo
Depois estudamos como calcular aacutereas de formas irregulares utilizando as integrais duplas por dois processos
Projetando a regiatildeo sobre o eixo dos x que chamamos de tipo I e escrevemos a
integral como
Projetando a regiatildeo sobre o eixo dos y que chamamos de tipo II e escrevemos a
integral como
E finalizando tambeacutem estudamos a possibilidade de calcular a aacuterea entre curvas usando a integral dupla com o mesmo procedimento revisto acima onde a funccedilatildeo integrante eacute dada por f (xy) = 1
137
Calcule a integral onde R 0 le x le 2 1 le y le 4
1 intintx2 dxdyR
2 intintxy2 dxdyR
Calcule a integral onde R 0 le x le 2 0 le y le x
3 intintx3y dxdyR
4 intinte x + y dxdyR
5 Encontre a aacuterea da regiatildeo no primeiro quadrante limitada por xy = 2 y = 1 e y = x + 1
Calcule por integraccedilatildeo dupla a aacuterea da regiatildeo limitada determinada pelo par de curvas dado
6 x2 = 4y e 2y ‒ x ‒ 4 = 0
7 y = x e x = 4y ‒ y2
8 x + y = 5 e xy = 6
AUTOATIVIDADE
138
139
UNIDADE 3
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Ao final desta unidade vocecirc deveraacute ser capaz de
bull conhecer os principais conceitos que envolvem as equaccedilotildees diferenciais
bull identificar os diferentes tipos de equaccedilotildees diferenciais
bull diferenciar as equaccedilotildees diferenciais
bull resolver as equaccedilotildees diferenciais
Na Unidade 3 estudaremos as equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias de primeira ordem e algumas equaccedilotildees diferenciais de segunda ordem Neste intuito a unidade seraacute dividida em trecircs toacutepicos O Toacutepico 1 inicia com a definiccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais ordem e classificaccedilatildeo Na sequecircncia seratildeo apresenta-das as equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias de primeira ordem separaacuteveis linea-res e exatas e seus respectivos meacutetodos de resoluccedilatildeo No toacutepico 2 destacare-mos as equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem que envolvem substituiccedilotildees em suas resoluccedilotildees em particular as equaccedilotildees de Bernoulli e as equaccedilotildees homogecircneas Finalizamos a unidade com o Toacutepico 3 estudando as equaccedilotildees diferenciais lineares de segunda ordem Nesse toacutepico nosso estudo se res-tringiraacute agraves equaccedilotildees lineares homogecircneas com coeficientes constantes
TOacutePICO 1 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
TOacutePICO 2 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
TOacutePICO 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
140
141
TOacutePICO 1
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico vamos abordar as caracteriacutesticas de uma equaccedilatildeo diferencial quanto ao seu tipo a sua ordem e a sua linearidade Na sequecircncia discutiremos os processos de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem segundo sua classificaccedilatildeo em separaacuteveis lineares ou exatas
Vejamos alguns exemplos de equaccedilotildees diferenciais
Uma equaccedilatildeo que relaciona uma funccedilatildeo desconhecida a uma ou mais de suas derivadas eacute chamada de uma equaccedilatildeo diferencial
As equaccedilotildees satildeo classificadas quanto ao tipo agrave ordem e agrave linearidade
2 DEFINICcedilOtildeES E TERMINOLOGIAS
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
142
Uma equaccedilatildeo diferencial pode ser classificada como ordinaacuteria ou parcial Se a funccedilatildeo envolvida for uma funccedilatildeo de somente uma variaacutevel dizemos que a equaccedilatildeo eacute ordinaacuteria (EDO) Se uma equaccedilatildeo diferencial conteacutem pelo menos uma derivada parcial entatildeo eacute denominada de equaccedilatildeo diferencial parcial (EDP) Vejamos alguns exemplos
i) partu party
= ndash 5 partupartx
u = u(x y) parcial
ii) d 2 y dx2 ndash 6 dy
dx + 8y = 0 ordinaacuteria
iii) part2z
partx2 + part
2zparty2
ndash 2 partzparty
= 0 z = z(x y) parcial
21 TIPOS DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Quanto agrave ordem uma equaccedilatildeo diferencial pode ser de 1ordf de 2ordf de n-eacutesima ordem dependendo da derivada de maior ordem presente na equaccedilatildeo
i) yprime ndash 3xy = x 1deg ordem
ii) yPrime + yprime = cos t 2deg ordem
iii) d y dx
2
+ 3y = 2 1deg ordem
iv) d 2 y dx2 ndash 6 dy
dx + 8y = 0 2deg ordem
v) d 3 y dt 3 ndash t
dydt + (t 2 ndash 1)y = et 3deg ordem
vi) xyprime ndash 5y = 0 1deg ordem
22 ORDEM DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
143
Uma equaccedilatildeo diferencial eacute dita linear se a funccedilatildeo e suas derivadas envolvidas na equaccedilatildeo forem de primeiro grau Caso contraacuterio dizemos que a EDO eacute natildeo linear Vejamos alguns exemplos
i) dydx + 3y = 2 linear
ii) dydx + sen y = 2 natildeo linear
iii) d 3 y dx3 ndash x dy
dx + 7y = ex linear
iv) d 3 y dt 3 +
dydt + t (y 2 ndash 1) = et natildeo linear
23 LINEARIDADE DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Uma funccedilatildeo y = y(x) eacute soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial em um dado intervalo I se a equaccedilatildeo diferencial for satisfeita para todo x isin I ou seja se y(x) e suas derivadas satisfizerem agrave equaccedilatildeo diferencial neste intervalo para todo x isin I
Exemplo 1
Verifique se a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 eacute soluccedilatildeo de yprime(x) + 2xy = x
Resoluccedilatildeo
Dado a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 vamos encontrar a derivada de primeira ordem
yprime(x) = 32
(ndash 2x)endashx 2
yprime(x) = ndash3xendashx 2
Agora substituiacutemos y e yprime na equaccedilatildeo diferencial yprime (x) + 2xy = x
24 SOLUCcedilAtildeO DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
144
Entatildeo a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial e portanto
y eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial dada
Exemplo 2Verifique se a funccedilatildeo y(x) = e2x eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
d 2 y dx2 ndash 5
dydx + 6y = 0
ResoluccedilatildeoDado a funccedilatildeo y(x) = e2x vamos encontrar as derivadas de primeira e
segunda ordem
dydx = 2e2x e
d 2 y dx2 = 4e2x
Agora vamos substituiacute-las na equaccedilatildeo diferencial d 2 y dx2 ndash 5 dy
dx + 6y = 0
4e2x ndash 5 middot 2e2x + 6e2x = 0
4e2x ndash 10e2x + 6e2x = 0
De fato a funccedilatildeo y(x) = e2x satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial
Exemplo 3Verifique se a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
xyprime(x) ndash y(x) = 2xIn x
ResoluccedilatildeoDado a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x vamos encontrar a derivada de primeira
ordem
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
145
Agora substituiacutemos y e yprime na equaccedilatildeo diferencial xyprime(x) ndash y(x) = 2xln x obtendo
2x In x = 2x In x
Portanto a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial
Dada uma equaccedilatildeo diferencial dizemos que a sua soluccedilatildeo eacute uma funccedilatildeo que satisfaz a identidade proposta por esta equaccedilatildeo Esta funccedilatildeo expressa por y = F(x) + c conteacutem uma constante arbitraacuteria oriunda do processo de integraccedilatildeo Entatildeo dizemos que y = F(x) + c c isinR eacute uma famiacutelia de soluccedilotildees da EDO e assim para cada valor arbitraacuterio de c temos uma soluccedilatildeo (funccedilatildeo) diferente para a mesma EDO Poreacutem observe que derivando-as obteremos as mesmas funccedilotildees tendo em vista que a derivada de uma constante eacute zero
Por exemplo dada a equaccedilatildeo diferencial yprime(x) = 5x ndash 2 sua soluccedilatildeo geral eacute dada por
y(x) = 52
x2 ndash 2x + c Vamos considerar c = ndash1 e c = 3 entatildeo y1(x) = 52
x2 ndash 2x ndash 1 e y2(x) = 52
x2 ndash 2x + 3 Agora vamos derivar estas soluccedilotildees (funccedilotildees) yprime1 (x) = 5x ndash 2 e yprime2 (x) = 5x ndash 2
Podemos ver que as derivadas satildeo iguais Daiacute o fato da soluccedilatildeo y = F(x) + c c isinR ser denominada de soluccedilatildeo geral da
EDO
241 Soluccedilatildeo geral
A soluccedilatildeo deduzida da soluccedilatildeo geral atribuindo-se valores particulares agrave constante arbitraacuteria c eacute chamada de soluccedilatildeo particular
Quando uma equaccedilatildeo diferencial eacute utilizada como um modelo matemaacutetico em alguma aplicaccedilatildeo haacute normalmente uma condiccedilatildeo inicial y(x0) = y0 que torna possiacutevel calcular a constante arbitraacuteria c que aparece na soluccedilatildeo geral
242 Soluccedilatildeo particular
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
146
Um problema com uma equaccedilatildeo diferencial satisfazendo alguma condiccedilatildeo adicional (por exemplo y(x
0) = y
0 eacute denominado problema do valor inicial (PVI)
Exemplo 4
Considerando dydx = 2x entatildeo y = x2 + c eacute uma soluccedilatildeo geral da EDO c isinR
ResoluccedilatildeoVamos encontrar a soluccedilatildeo particular utilizando a condiccedilatildeo adicional y(3)
= 4 Desse modo a partir da soluccedilatildeo geral y = x2 + c atribuiacutemos a x o valor 3 e a y o valor 4 determinando assim a constante c
y = x2 + c4 = 32 + c4 = 9 + cc = ndash5
Substituindo o valor de c na soluccedilatildeo geral obtemos a soluccedilatildeo particular da EDO
y = x2 ndash 5
Caros acadecircmico(a) Leia com bastante atenccedilatildeo o texto a seguir sobre as EDOs Assim vamos saber um pouco mais sobre o que estamos estudando e quais satildeo as suas finalidades
O que uma ED de primeira ordem pode nos dizer
Vamos imaginar por um momento que temos uma equaccedilatildeo diferencial
de primeira ordem na forma normal dydx = f (xy) e aleacutem disso que natildeo podemos
encontrar nem inventar um meacutetodo para resolvecirc-la analiticamente Essa situaccedilatildeo natildeo eacute tatildeo ruim quanto parece uma vez que muitas vezes eacute possiacutevel juntar informaccedilotildees uacuteteis sobre a natureza das soluccedilotildees diretamente da proacutepria
equaccedilatildeo diferencial Por exemplo jaacute vimos que quando f (xy) e partfparty
satisfazem
NOTA
ESTUDOS FUTUROS
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
147
determinadas condiccedilotildees de continuidade as questotildees qualitativas sobre a existecircncia e a unicidade de soluccedilotildees podem ser respondidas Veremos nesta seccedilatildeo que outras questotildees qualitativas sobre propriedades da soluccedilatildeo ndash Como uma soluccedilatildeo se comporta nas proximidades de um determinado ponto Como uma soluccedilatildeo se comporta quando x rarr infin ndash podem frequentemente ser respondidas quando a funccedilatildeo f depende somente da variaacutevel y Vamos comeccedilar poreacutem
com um conceito simples de caacutelculo a derivada dydx de uma funccedilatildeo diferenciaacutevel
y = y(x) daacute as inclinaccedilotildees das retas tangentes em pontos sobre seu graacutefico
Inclinaccedilatildeo
Como uma soluccedilatildeo y = y(x) de uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem dydx = f (xy) eacute necessariamente uma funccedilatildeo diferenciaacutevel em seu intervalo I a curva integral correspondente em I natildeo deve ter interrupccedilotildees e deve ter uma reta tangente em cada ponto (xy(x)) A inclinaccedilatildeo da reta tangente em (xy(x)) sobre uma curva integral eacute o valor de sua derivada primeira
dydx nesse ponto e isso
eacute sabido da equaccedilatildeo diferencial f (xy(x)) Suponha agora que (xy) representa qualquer ponto em uma regiatildeo do plano xy sobre o qual a funccedilatildeo f estaacute definida O valor f (xy) que a funccedilatildeo atribui ao ponto representa a inclinaccedilatildeo de uma reta ou como iremos pensar um segmento de reta denominado elemento linear Por exemplo consideramos a equaccedilatildeo
dydx = 02xy onde f (xy) = 02xy No ponto de
coordenadas (2 3) por exemplo a inclinaccedilatildeo de um elemento linear eacute f (23) = 12 A figura (a) mostra um segmento de reta com inclinaccedilatildeo positiva passando por (23) Conforme mostrado na figura (b) se uma curva integral tambeacutem passar por (23) faraacute isto tangenciando esse segmento de reta em outras palavras o elemento linear eacute uma miniatura da reta tangente nesse ponto
Figura 11a elemento linear em um pontoFigura 2 ndash Figura 11b o elemento linear eacute uma tangente agrave curva integral que passa pelo ponto
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
148
Campos de Direccedilotildees
Se sistematicamente calcularmos f sobre uma malha retangular de pontos (xy) no plano xy e em cada ponto (xy) desenharmos um elemento linear com a inclinaccedilatildeo (xy) a coleccedilatildeo de todos os elementos lineares seraacute chamada
de campo de direccedilotildees ou campo de inclinaccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial dydx
= f
(xy) Visualmente o campo de direccedilotildees sugere a aparecircncia ou forma de uma
famiacutelia de curvas integrais da equaccedilatildeo diferencial e consequentemente pode ser possiacutevel vislumbrar determinados aspectos qualitativos das soluccedilotildees ndash por exemplo regiotildees no plano nas quais uma soluccedilatildeo exibe um comportamento natildeo usual Uma uacutenica curva integral que segue seu caminho em um campo de direccedilotildees deve acompanhar o padratildeo de fluxo do campo ela eacute tangente a um elemento linear quando intercepta um ponto da malha
FONTE Zill (2003 p 41-42)
Estudaremos alguns tipos de equaccedilotildees diferenciais que requerem meacutetodos distintos de resoluccedilatildeo Vamos iniciar pelas equaccedilotildees diferenciais separaacuteveis caracterizando-as e determinando seu processo de resoluccedilatildeo
Definiccedilatildeo 131 A equaccedilatildeo yprime = f (xy) seraacute separaacutevel se f puder ser expressa como um produto de uma funccedilatildeo p(x) e uma funccedilatildeo q(y) com q(y) ne 0 Assim a equaccedilatildeo diferencial teraacute a forma
3 EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL SEPARAacuteVEL
yprime = p(x) q(y) ou
dydx = p(x) q(y) ou
yprime 1
q(y) = p(x)
onde p(x) e q(y) satildeo contiacutenuas em seu domiacutenio
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
149
Considerando a equaccedilatildeo diferencial dada o primeiro passo para resolvecirc-lo eacute separar as variaacuteveis y e x juntamente com as suas respectivas diferenciais obtendo a seguinte igualdade
1q(y)
dy = p(x)dx
A seguir integramos ambos os lados da igualdade
int 1q(y)
dy = int p(x)dx
E sempre que for possiacutevel escrevemos a funccedilatildeo (soluccedilatildeo geral da EDO) na sua forma expliacutecita
Vamos resolver um exemplo para aplicarmos o meacutetodo
Exemplo 5
Resolva a equaccedilatildeo diferencial dydx = 6ex
Resoluccedilatildeo
dydx = 6ex
Inicialmente vamos separar as variaacuteveis
31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
dy = 6ex dx
Integrando ambos os lados da igualdade
int dy = int 6ex dx
int dy = 6 int ex dx
y + c1 = 6ex + c2
Isolando a variaacutevel y
y = 6ex + c2 ndash c1
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
150
Para deixar uma uacutenica constante na funccedilatildeo consideramos c = c2 ndash c1 donde temos que
y = 6ex + c
Exemplo 6Resolva a equaccedilatildeo diferencial
dydx =
xy2
Resoluccedilatildeo
dydx =
xy2
Dada a equaccedilatildeo diferencial acima vamos separar as variaacuteveis
Multiplicando ambos os lados da igualdade por y2 temos
y 2 dy = x dx
Integrando ambos os lados da igualdade
int y 2 dy = int x dx
y3
3 + c1 = x2
2 + c2
Isolando a variaacutevel y
y3
3 = x2
2 + c2 ndash c1
y 3 = 3x2
2 + 3(c2 ndash c1)
Para deixar uma uacutenica constante na funccedilatildeo consideramos c = 3(c2 ndash c1)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
151
Portanto as soluccedilotildees da EDO dada satildeo da forma c isinR
Natildeo haacute necessidade de usar duas constantes na integraccedilatildeo de uma equaccedilatildeo
separaacutevel int q(y) dy = int
p(x) dx pois se escrevermos Q(y) + c1 = P(x) + c
2 a diferenccedila c
2 ndash
c1 poderaacute ser substituiacuteda por uma uacutenica constante c resultando Q(y) = P(x) + c Em vaacuterias
ocasiotildees ao longo deste toacutepico renomearemos constantes de forma conveniente Por exemplo muacuteltiplos de constantes ou combinaccedilotildees de constantes podem algumas vezes ser substituiacutedas por uma uacutenica constante
Definiccedilatildeo 132 Chamamos de famiacutelia de funccedilotildees ao conjunto de vaacuterias funccedilotildees da forma y = f (x) + c c isinR ou seja ao conjunto formado pelas funccedilotildees que tem o mesmo comportamento a menos da constante c isinR
Exemplo a famiacutelia de funccedilotildees y(x) = x 3 ndash 2xsup2 + c
FIGURA 52 ndash Figura 12
FONTE O autor
NOTA
ndash 4
ndash 3
ndash 2
ndash 1
ndash 1ndash 2 1 2 3 4x
y
1
2
3
4x 3 ndash 2xsup2 + c
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
152
Exemplo 7Resolva a equaccedilatildeo diferencial yprime y + x = 0
ResoluccedilatildeoPodemos reescrever a equaccedilatildeo dada como
dydx
y + x = 0
Subtraindo x em ambos os lados da igualdade obtemos
dydx
y = ndashx
y dydx = ndashx
y d y dx
dx = ndashx dx
y dy = ndashx dx
int y dy = ndashint x dx
Vamos escrever apenas uma constante ao lado direito da igualdade junto agrave variaacutevel x
y x c
y x c
2 2
22
2 323
2
=minus
+
=minus
+
Considerando k = 2c temos
y x k222
3=minus
+
Podemos deixar a funccedilatildeo na forma impliacutecita
23
2 2x y k+ =
Neste caso eacute interessante deixar esta soluccedilatildeo na forma impliacutecita pois facilita a identificaccedilatildeo quanto ao tipo de curva obtida Neste exemplo obtemos uma elipse
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
153
OBSERVACcedilAtildeO Note que para natildeo carregar a notaccedilatildeo aplicamos a ideia de escrever apenas uma letra para as constantes que surgem no caacutelculo
Exemplo 8Determine a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo diferencial
dydx = sen (2x)
ResoluccedilatildeoRepetindo o procedimento utilizado nos exemplos anteriores temos
dy = sen (2x) dx
Integrando os dois lados da igualdade
int dy = int sen (2x) dx
Para resolver a integral obtida do lado direito da igualdade vamos aplicar a teacutecnica de substituiccedilatildeo
y = 12
int sen u du u = 2x
y = 12
(ndashcos u) + c du = 2 dx
y = ndash 12
cos (2x) + c 12
du = dx
FIGURA 53 ndash GRAacuteFICO DAS SOLUCcedilOtildeES DA EDO
FONTE O autor
-3
-2
-2-2 -2
-1-1-1
-1
0
00 0 x
1
11 1
2
22 2
33
3y
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
154
Exemplo 9Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo diferencial dy
dt = e t ndash y
Resoluccedilatildeodydt
= e t ndash y
Primeiramente vamos recordar a propriedade do produto de potecircncias de mesma base onde am an = a m + n com a m n isin R
Utilizaremos a propriedade da direita para a esquerda ou seja separando a expressatildeo am+n em um produto de duas potecircncias de mesma base
dydt
= e t middot e ndashy
dy = e t middot e ndashy dt
ey dy = et dt
int ey dy = int et dt
ey = et + c
Para isolar y precisamos aplicar o logaritmo natural (ln) a ambos os membros da igualdade
In ey = In (et + c)
Pelas propriedades operatoacuterias dos logaritmos em particular a propriedade da potecircncia do logaritmo temos que In ak = k middot In a e portanto
y In e = In (et + c)
Como In e = 1 temos
y = In (et + c)
Portanto y(t) = In (et + c) eacute soluccedilatildeo da EDO proposta
A
c isin R
Exemplo 10Resolva a equaccedilatildeo diferencial (2 + y) dt + (t ndash 3) dy = 0
ResoluccedilatildeoNa equaccedilatildeo (2 + y) dt + (t ndash 3) dy = 0 devemos separar as variaacuteveis Neste
caso deixamos y do lado esquerdo da igualdade e t do lado direito da igualdade
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
155
(t ndash 3) dy = ndash(2 + y) dt
dy2 + y = ndash dt
t ndash 3
Agora basta integrar os dois lados da igualdade
int dy2 + y = ndashint dt
t ndash 3
Estas integrais satildeo resolvidas aplicando a teacutecnica de substituiccedilatildeo donde obtemos
In(2 + y) = ndash In(t ndash 3) + c
In(2 + y) + In(t ndash 3) = c
Agora aplicamos a propriedade do produto de logaritmos de mesma base para a qual teremos In (a middot b) = In a + In b Utilizaremos a propriedade da direita para a esquerda ou seja multiplicaremos os logaritmandos e obteremos assim
In[(2 + y) middot (t ndash 3)] = c
Portanto a igualdade (2 + y) middot (t ndash 3) = ec
A
c isin R eacute uma soluccedilatildeo na forma impliacutecita da EDO proposta
Exemplo 11Resolva a equaccedilatildeo diferencial y prime = x e y ndash x
ResoluccedilatildeoPrimeiramente vamos mudar a notaccedilatildeo da derivada
dydx = x e y ndash x
Para resolver a equaccedilatildeo devemos separar as variaacuteveis
dydx = x e y e ndashx
Para isso multiplicamos ambos os lados da igualdade por e ndashy
e ndashy dydx = xe ndashx
e ndashy dy = xe ndashx dx
Integramos ambos os lados da igualdade
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
156
Para resolver a integral (1) utilizaremos a teacutecnica da substituiccedilatildeo
w = ndash y rArr dw = ndash dy
int e ndashy dy = ndashint ew dw = ndash ew + c1 = ndash e ndashy + c1
Enquanto que para a integral (2) aplicaremos a teacutecnica da integraccedilatildeo por partes
int udv = u middot v ndashint vdu u = x
int xe ndashx dx = x middot (ndash endashx) ndash int (ndash endashx) dx du = dx
int xe ndashx dx = ndash xendashx ndash endashx + c2 dv = endashx dx
v = ndash endashx
Retomando a igualdade int e ndashy dy = int xendashx dx temos
int e ndashy dy = int xendashx dx
ndashe ndashy + c1 = ndashxendashx ndashendashx + c2
Vamos escrever apenas uma constante do lado direto da igualdade e multiplicar ambos os lados por (-1) obtendo
e ndashy = xendashx + endashx + c
Colocando a expressatildeo endashx em evidecircncia no lado direito da igualdade
e ndashy = endashx (x + 1) + c
Para isolar a variaacutevel y aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade
In e ndashy = In [endashx (x + 1) + c]
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
157
Pela propriedade operatoacuteria da potecircncia do logaritmo temos
ndashy = In [endashx (x + 1) + c]
Portanto y(x) = ndashIn [endashx (x + 1) + c] eacute soluccedilatildeo da EDO proposta
A
c isin R
Exemplo 12
Encontre a soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo diferencial yprime = xy ndash yy + 1 no ponto
y(2) = 1
Resoluccedilatildeo
Deixamos a soluccedilatildeo na forma impliacutecita Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
158
c = 1
A funccedilatildeo y que satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial e atende agrave condiccedilatildeo y(2) = 1 eacute dada por
y(2) = 1
Continuamos a busca por soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem examinando a seguir as equaccedilotildees lineares
Definiccedilatildeo 141 Uma EDO da forma
yprime + p(x)y = q(x) ou
dydx + p(x)y = q(x)
onde p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees contiacutenuas em algum intervalo I eacute chamada de equaccedilatildeo diferencial linear de primeira ordem
4 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ordf ORDEM
Observe a forma deste tipo de EDO Cada equaccedilatildeo diferencial que estudaremos possui uma forma-padratildeo diferente Fique bastante atento
Teorema 141 A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
dydx + p(x)y = q(x) eacute
NOTA
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
159
y = 1
v(x) int v(x) q(x)dx
onde v(x) = eH(x) com H(x) = int p(x)dx A funccedilatildeo v(x) eacute chamada fator integrante
Desafie-se e faccedila a demonstraccedilatildeo matemaacutetica da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial linear
41 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Vamos descrever os passos para resolver uma equaccedilatildeo diferencial linear a qual utilizaremos o fator integrante
bull Escreva a equaccedilatildeo linear dada na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
bull Encontre uma primitiva de p(x) isto eacute resolva intp(x)dx
bull Encontre o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
bull Multiplique ambos os lados da equaccedilatildeo diferencial yprime + p(x)y = q(x) pela funccedilatildeo v(x)
bull Identifique do lado esquerdo da igualdade da derivada do produto
bull Resolva a equaccedilatildeo e se possiacutevel decirc a soluccedilatildeo na forma expliacutecita
Aplicaremos o meacutetodo em alguns exemplos para entendecirc-lo melhor
Exemplo 13Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprime + 3y = 12 (meacutetodo do fator integrante)
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
onde p(x) = 3 e q(x) = 12
O primeiro passo eacute calcular a primitiva de p(x)
H(x) = intp(x)dx entatildeo temos
UNI
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
160
H(x) = int3dx = 3x
Escrevendo o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = e3x
Agora multipliquemos a EDO por v(x)
e3x yprime + 3e3x y = 12e3x
Observemos o lado esquerdo nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = e3x teremos uprime = yprime e vprime = 3e3x Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
e3x y = 12inte3xdx
Atente para o fato de que a integral inte3xdx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
e3x y = 123
e3x + c
e3x y = 4e3x + c
Isolando a variaacutevel y
y = 4e3x middot endash3x + c endash3x
Portanto y(x) = 4 + c endash3x c isin R eacute soluccedilatildeo geral da EDO
Vamos deduzir um modelo de soluccedilatildeo geral para as equaccedilotildees lineares ordinaacuterias de primeira ordem com coeficientes constantes (deduccedilatildeo do fator integrante) ou seja
dydt + ay = b ou yprime + ay = b
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
161
Comparando a EDO apresentada com a forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x) identificamos que p(x) = a e q(x) = b Assim p(x) e q(x) satildeo constantes Neste caso
H(x) = intp(x)dx
H(x) = intadx = ax
e o fator integrante v(x) = eintp(x)dx fica
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eax
Multiplicando a EDO por v(x)
eax yprime + aeax y = beax
Observe o lado esquerdo da equaccedilatildeo nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = eax teremos uprime = yprime e vprime = aeax Entatildeo
Integrando ambos os membros da igualdade
eax y = binteaxdx
A integral inteaxdx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
eax y = ba
eax + c
Isolando a variaacutevel y
y = ba
eax endashax + c endashax
Portanto y(x) = ba
+ c endashax c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO yprime + ay = b
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
162
Caro(a) acadecircmico(a) Que tal voltar ao exemplo 13 e resolvecirc-lo usando o resultado demonstrado anteriormente
Exemplo 14Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprime + y = x
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
com p(x) =1 e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = intp(x)dx entatildeo temos
H(x) = intdx = x
Assim o fator integrante v(x) = eintp(x)dx eacute
v(x) = eH(x) rArr v(x) = ex
Multiplicamos a EDO por v(x)
ex yprime + ex y = xex
Observe o lado esquerdo da igualdade e identifique a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = ex teremos uprime = yprime e vprime = ex Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
ex y = intx ex dx
UNI
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
163
Para resolver esta integral intx ex dx precisaremos aplicar o meacutetodo da integraccedilatildeo por partes Considerando u = x e dv = ex dx teremos du = dx e v = ex Entatildeo
aplicando a foacutermula da integraccedilatildeo por partes intu dv = u middot v ndash intv du
ex y = xex ndash intex dx
ex y = xex ndash ex + c
Isolando a variaacutevel y
y = xexendashx ndash exendashx + c endashx
Portanto y(x) = x ndash 1 + c endashx c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 15Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo x
dydx = x2 ndash 5y
ResoluccedilatildeoVeja que a equaccedilatildeo diferencial natildeo estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
Entatildeo primeiro temos que reescrevecirc-la na forma-padratildeo
Assim identificamos p(x) = 5x e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = int 5x
dx = 5 In x
= In x5
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
164
E assim o fator integrante v(x) = eintp(x)dx pode ser escrito como
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eIn x 5
v(x) = x5
Multiplicando a EDO por v(x)
x5 yprime + x5 5x
y = x x5
x5 yprime + 5x4 y = x6
Observe o lado esquerdo da igualdade Nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = x5 teremos uprime = yprime e vprime = 5x 4 Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
x5 y = intx6 dx
x5 y = x7
7 + c
y = x7
7 x ndash5 + cx ndash5
Portanto y(x) = x2
7 + cx ndash5 eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
A
x isin R
Exemplo 16
Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo dydx + 4x3 y = 20x3
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x)
Identificamos p(x) = 4x3 e q(x) = 20x3
Vamos calcular a primitiva de p(x)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
165
H(x) = intp(x) dx entatildeo temos
H(x) = int4x3 dx = x 4
Escrevemos o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = ex 4
Multiplicamos a EDO por v(x)
ex 4 yprime + 4x3 ex 4 y = 20x3 ex 4
Observamos o lado esquerdo da igualdade nele devemos identificar a derivada do produto (u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = ex 4 teremos uprime = yprime e vprime = 4x3 ex 4 Entatildeo
Integramos ambos os lados da igualdade
ex 4 y = 20 intx3 ex 4 dx
A integral intx3 ex 4 dx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
e y e c
y e e c e
x x
x x x
4 4
4 4 4
20 14
5
= sdot +
= sdot sdot + sdotminus minus
Portanto y c e x= + sdot minus54
A
x isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
O exemplo a seguir traz uma aplicaccedilatildeo praacutetica de EDO no movimento retiliacuteneo uniformemente variado
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
166
Exemplo 17Sabe-se que no movimento retiliacuteneo uniformemente variado a aceleraccedilatildeo
a = dvdt eacute constante Supondo que o movimento parte do repouso e sabendo que
v = dsdt determine s(t)
ResoluccedilatildeoPartimos da primeira EDO apresentada
dvdt = a
dsdt = v
intdv = inta dt dsdt = at + v0
v = at + c1 intds = int(at + v0) dt
v(t) = at + c1 s = at 2
2 + v0t + c2
s(t) = at 2
2 + v0t + c2
Fazendo c1 = v0 onde v0 seraacute a velocidade inicialbullbull bull
v(t) = at + v0 Substituindo c2 = s0 onde s0 seraacute a posiccedilatildeo inicial
bullbull bull s(t) = at 2
2 + v0t + s0
O proacuteximo exemplo traz um problema de valor inicial (PVI) Vamos entender como se resolve um problema que apresenta uma condiccedilatildeo inicial
Exemplo 18Resolva o seguinte problema do valor inicial yprime + 2
x y = x x gt 0 y(2) = 3
ResoluccedilatildeoIdentificamos p(x) = 2
x e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = int 2x
dx = 2 In |x|
H(x) = In x 2
Escrevemos o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eIn x 2
v(x) = x 2
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
167
Multiplicamos a EDO por v(x)
x 2 yprime + x 2 2x
y = x 2 x
x 2 yprime + 2xy = x 3
Observando o lado esquerdo devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = x 2 teremos uprime = yprime e vprime = 2x Entatildeo
Integramos ambos os lados da EDO
x 2 y = intx 3 dx
x 2 y = x 4
4 + C
Portanto y(x) = x 2
4 + C
x 2
A
x isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado y(2) = 3 para encontrarmos a soluccedilatildeo particular
y = 2 2
4 + C
2 2 = 3
1 + C4
= 3
C4
= 2
C = 8
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
168
Portanto y(x) = x 2
4 + 8
x 2
A
x gt 0 eacute a soluccedilatildeo particular da EDO
Observe que a soluccedilatildeo deste problema de valor inicial eacute vaacutelida em todo intervalo ]0 +infin[ conforme a figura a seguir mostra esta soluccedilatildeo
FIGURA 54 ndash SOLUCcedilAtildeO DO PROBLEMA
FONTE O autor
Estudaremos outro tipo de equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem as chamadas equaccedilotildees diferenciais exatas onde destacamos o uso das derivadas parciais A seguir veremos a definiccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial exata e o teorema que estabelece um criteacuterio para identificar se uma EDO eacute exata
Definiccedilatildeo 151 Uma expressatildeo diferencial M(xy) dx + N(xy) dy eacute uma diferencial exata em uma regiatildeo R do plano xy se ela corresponde agrave diferencial total de alguma funccedilatildeo F(xy) ou seja dF= M(xy) dx + N(xy) dy
Teorema 151 (Criteacuterio para diferencial exata) Sejam M(xy) e N(xy) contiacutenuas e com derivadas parciais de primeira ordem contiacutenuas em uma regiatildeo R (retangular) definida por a lt x lt b e c lt y lt d Entatildeo uma condiccedilatildeo necessaacuteria e suficiente para que M(xy) dx + N(xy) dy seja uma diferencial exata eacute partM
party = partN
partx
5 EQUACcedilOtildeES EXATAS
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
169
51 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
bull Verificar se a equaccedilatildeo M(xy) dx + N(xy) dy eacute exata
bull Se for exata entatildeo existe uma funccedilatildeo f para a qual partf partx
= M(xy)
bull Integrando a equaccedilatildeo exata em relaccedilatildeo a variaacutevel x (mantendo o y constante) para encontrar f obtemos f (xy) = intM(xy) dx + o (y) onde a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) eacute a constante de integraccedilatildeo
bull Agora precisamos encontrar a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) Derive a funccedilatildeo f (xy) em relaccedilatildeo a variaacutevel y encontrada anteriormente e supomos que partf
party = N(xy) Da
comparaccedilatildeo determina-se oprime(y)
bull Finalmente integramos oprime (y) em relaccedilatildeo a y e substituiacutemos o valor encontrado para o (y) na funccedilatildeo f (xy)
bull A soluccedilatildeo eacute a funccedilatildeo impliciacuteta f (xy) = c
Exemplo 19Resolva a equaccedilatildeo diferencial (x+y)dx + (e y + x)dy = 0
ResoluccedilatildeoEm primeiro lugar precisamos verificar se esta equaccedilatildeo eacute exata
Sendo M(xy) = x + y e N(xy) = e y + x verificaremos se partM party
= partN partx
Como partM party
= 1 e partN partx
= 1 a EDO eacute exata
Entatildeo existe f (xy) tal que partf partx = x + y
Vamos integrar partf partx = x + y em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x (mantendo o y constante)
para encontrar f
f (xy) = int(x + y) dx
f (xy) = x 2
2 + xy + o (y)
Para encontrar a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivemos a funccedilatildeo f (xy) em relaccedilatildeo agrave y
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
170
Comparando a derivada parcial encontrada partf party
= x + oprime (y) com N(xy) partf party
= N(xy)
x + oprime (y) = e y + x daiacute temos
oprime (y) = e y
Agora vamos integrar oprime (y) = e y Entatildeo
intoprime(y)dy = int e dyy
o (y) = e y + c
Voltando na f (xy) e substituindo o (y) temos
f (xy) = x 2
2 + xy + e y + c c isin R
Definiccedilatildeo 152 Chamamos de curvas integrais as vaacuterias funccedilotildees (soluccedilotildees) de uma EDO
Exemplo 20Encontre as curvas integrais de 2xy dx + (x 2 ndash 1) dy = 0
ResoluccedilatildeoSendo M (xy) = 2xy e N (xy) = x 2 ndash 1 temos
partM party
= 2x = partN partx
Assim a EDO eacute exata
Entatildeo existe f (xy) tal que partf partx
= 2xy
Integrando partf partx
= 2xy em relaccedilatildeo a x obtemos
f (xy) = int2xy dx
f (xy) = x 2 y + o (y)
Agora encontraremos a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivando f (xy) em y
partf party
= x 2 + oprime (y)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
171
Comparamos a derivada parcial encontrada acima com N (xy) partf party
= N (xy)
x 2 + oprime (y) = x 2 ndash 1 daiacute
oprime (y) = ndash1
Agora integramos oprime (y) = ndash1 Entatildeo
o (y) = ndash intdy
o (y) = ndash y + c
Logo f (xy) = x 2 y ndash y + c c isin R
Nos exemplos 19 e 20 a funccedilatildeo f (xy) estaacute na forma impliacutecita Escreva a funccedilatildeo na forma expliacutecita y = f (x)
Exemplo 21Resolva a EDO (y cos x + 2x e y) dx + (sen x + x 2 e y ndash 1) dy = 0
ResoluccedilatildeoVerifiquemos se a equaccedilatildeo diferencial eacute exata
Sendo M (xy) = y cos x + 2x e y e N (xy) = sen x + x 2 e y ndash 1 temos
partM party = cos x + 2x e y =
partN partx
Assim a EDO eacute exata
Logo existe f (xy) tal que partf partx
= y cos x + 2x e y
Integrando partf partx
= y cos x + 2x e y em relaccedilatildeo agrave x obtemos
f (xy) = int(y cos x + 2x e y) dx
f (xy) = y sen x + x 2 e y + o (y)
Agora encontraremos a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivando f (xy) em y
UNI
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
172
partf party
= sen x + x 2 e y + oprime (y)
Comparemos a derivada parcial encontrada partf party
= sen x + x 2 e y + oprime (y) com N (xy)
sen x + x 2 e y + oprime (y) = sen x + x 2 e y ndash 1
oprime (y) = ndash 1
Entatildeo
o (y) = ndash intdy
o (y) = ndashy + c c isin R
Logo f (xy) = y sen x + x 2 e y ndash y + c
Exemplo 22
Verifique se a equaccedilatildeo (x In y ndash e ndashxy) dx + 1y
+ y In x dy = 0 eacute exata
ResoluccedilatildeoSejam M (xy) = x In y ndash e ndashxy e N (xy) = 1
y + y In x
Entatildeo partM party
= x middot 1y
+ xe ndashxy e partN partx
= y middot 1x
vsAssim partM party
ne partN partx
Portanto a EDO natildeo eacute exata
OBSERVACcedilAtildeO Para resolver esta equaccedilatildeo diferencial eacute preciso utilizar um outro procedimento que natildeo veremos neste caderno mas que vocecirc pode encontrar por exemplo em BOYCE W DI PRIMA R C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores de contorno 7ordf Ed Satildeo Paulo LTC 2002
UNI
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
173
Exemplo 23Encontre a curva integral da equaccedilatildeo (2x sen y + e x cos y) dx + (x 2 cos y ndash e x
sen y) dy = 0 que passa pelo ponto y (0) = p4
ResoluccedilatildeoO enunciado do exemplo 23 nos traz um problema de valor inicial para
uma EDO exata
Verificaremos se a EDO eacute exata
Sendo M (xy) = 2x sen y + e x cos y e N (xy) = x 2 cos y ndash e x sen y temos
partM party
= 2x cos y ndash e x sen y = partN partx
Assim a EDO eacute exata
Como a equaccedilatildeo eacute exata entatildeo existe f (xy) tal que partf partx
= 2x sen y + e x cos y
Integrando partf partx
= 2x sen y + e x cos y em relaccedilatildeo a x obtemos
f (xy) = int(2x sen y + e x cos y) dx
f (xy) = x 2 sen y + e x cos y + o (y)
partf party
= x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y)
Comparamos a derivada parcial encontrada partf party
= x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y) com N (xy)
x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y) = x 2 cos y ndash e x sen y
oprime (y) = 0
Agora integramos oprime (y) = 0 Entatildeo
o (y) = c
Logo f (xy) = x 2 sen y + e x cos y + c c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado y (0) =
p4
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
174
x 2 sen y + e x cos y = c
02 sen p4 + e 0 cos
p4 = c
c = radic22
Portanto x 2 sen y + e x cos y = radic22 eacute a soluccedilatildeo particular da EDO ou seja a
curva integral que passa pelo ponto y (0) = p4
Caro(a) acadecircmico(a) Se depois da leitura do Toacutepico 1 e da realizaccedilatildeo dos exerciacutecios ainda tiver duacutevidas procure esclarececirc-las antes de iniciar o estudo do Toacutepico 2 Bons estudos
NOTA
175
Neste toacutepico estudamos as Equaccedilotildees Diferenciais de Primeira Ordem
bull Iniciamos conhecendo os termos e conceitos relativos agraves equaccedilotildees diferenciais e a partir daiacute estudamos trecircs tipos de equaccedilotildees diferenciais
bull O primeiro tipo de equaccedilatildeo estudada foi a Separaacutevel cuja forma-padratildeo eacute dada
por yprime = p(x) middot q(y) ou dydx
= p(x) middot q(y) ou yprime q(y) = p(x) A resoluccedilatildeo deste tipo de
EDO eacute feita atraveacutes da separaccedilatildeo das variaacuteveis e em seguida faz-se a integraccedilatildeo da igualdade
bull O segundo tipo de equaccedilatildeo estudada foi a Equaccedilatildeo Diferencial Linear de Primeira
Ordem que tem a forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) ou dydx
+ p(x) y = q(x) Para a sua
resoluccedilatildeo utilizamos o fator integrante v(x) = eH(x) onde H(x) = intp(x)dx
bull E o terceiro tipo de equaccedilatildeo diferencial estudada foi a Equaccedilatildeo Exata cuja forma-padratildeo eacute expressa por M (xy) dx + N (xy) dy O procedimento de resoluccedilatildeo requer
que trabalhemos com partf partx
= M (xy) e partf party
= N (xy) seguindo todo o procedimento
jaacute estudado
RESUMO DO TOacutePICO 1
176
Nos problemas 1 e 2 resolva por separaccedilatildeo de variaacuteveis as equaccedilotildees diferenciais dadas
1 dydx
= (x + 1)2
2 dydt
= t 2
y 2
Nos problemas 3 e 4 resolva as equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem dadas
3 dydx
ndash 3x
y = x
4 dydx
+ y = e 3x
Nos problemas 5 e 6 resolva as equaccedilotildees diferenciais exatas
5 (5x + 4y)dx + (4x ndash 8y3)dy = 0
6 (sen y ndash y sen x)dx + (cos x + x cos y)dy = 0
Nas EDO a seguir identifique o tipo de EDO e encontre a funccedilatildeo desconhecida
7 yprime + 3x 2 y = x 2
8 dydx
= 3x 2 + 4x + 2
2 (y ndash 1) y (0) = 1
9 (3x 2 ndash 2xy + 2) + (6y 2 ndash x 2 + 3) yprime = 0
10 dydx
= e 3x + 2y
AUTOATIVIDADE
177
TOacutePICO 2
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE
PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI
21 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
No Toacutepico 2 estudaremos mais tipos de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem tais como Equaccedilotildees de Bernoulli e Equaccedilotildees homogecircneas A resoluccedilatildeo destas equaccedilotildees requer algum tipo de substituiccedilatildeo
Definiccedilatildeo 221 Uma equaccedilatildeo de primeira ordem da forma yprime + p(x) y = q(x) y n onde p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees definidas e contiacutenuas em algum intervalo I e n eacute um nuacutemero real tal que n ne 0 e n ne 1 eacute chamada de equaccedilatildeo de Bernoulli
bull Escrever a equaccedilatildeo na forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) y n
bull Identificar as funccedilotildees p(x) q(x) e o valor de n
bull Indicar a substituiccedilatildeo que seraacute feita e aplicar a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
bull Agora a EDO eacute uma linear de primeira ordem sendo uprime + p(x) u = q(x)
bull Calcular o fator integrante e obter a soluccedilatildeo
178
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
A equaccedilatildeo de Bernoulli y + p(x) y = q(x) y n que embora seja de primeira ordem e natildeo linear (quando n ne 1) se transforma em uma equaccedilatildeo diferencial linear atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y 1 ndash n
Vamos mostrar como que se chega agrave foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
Seja a equaccedilatildeo de Bernoulli dada por
yprime + p(x) y = q(x) y n
Multipliquemos a equaccedilatildeo por u = y ndashn
yprime y ndashn + p(x) yy ndashn = q(x) yn y ndashn
yprime y ndashn + p(x) y 1 ndash n = q(x) Vamos fazer uma substituiccedilatildeo u = y 1 ndash n Daiacute
uprime = (1 ndash n) y ndashn yprime
yprime = uprime
(1 ndash n) y ndashn
Retornando agrave equaccedilatildeo e fazendo as substituiccedilotildees obtemos
uprime(1 ndash n)
+ p(x) u = q(x)
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
Exemplo 1Encontre as curvas integrais para a equaccedilatildeo x dy
dx + y = x 2 y 2
ResoluccedilatildeoPrimeiro precisamos escrever a EDO na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de
Bernoulli
Seja xyprime + y = x 2 y 2 Multiplicando ambos os lados da igualdade por 1x
com x ne 0 obtemos
1x
middot (xyprime + y) = 1x
middot x 2 y 2
NOTA
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
179
1x
middot xyprime + 1x
middot y = 1x
middot x 2 y 2
yprime + 1x
y = xy 2
Agora a EDO estaacute na forma yprime + p(x) y = q(x) y n e poderemos transformaacute-la numa equaccedilatildeo diferencial linear considerando u = y ndash1 e
p(x) = 1x
q(x) = x e n = 2
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 2) middot 1x
middot u = (1 ndash 2) middot x
uprime + (ndash1) 1x
u = (ndash1) x
uprime ndash 1x
u = ndashx
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 1x
dx
H(x) = ndashIn x
v(x) = e ndashIn x
v(x) = x ndash1
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash1 em ambos os lados da igualdade obtemos
x ndash1 uprime ndash 1x
x ndash1 u = ndashxx ndash1
x ndash1 u = ndash intdx
x ndash1 u = ndashx + c
u = ndashx 2 + cx
180
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash1 feita no iniacutecio
y ndash1 = ndashx 2 + cx
y = (ndashx 2 + cx)ndash1
Portanto y(x) = 1
ndashx 2 + cx c isin R
Exemplo 2Resolva a EDO yprime + 4y = 3e 2x y 4
ResoluccedilatildeoA EDO jaacute estaacute na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de Bernoulli
Entatildeo aplicamos a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x) para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash3 e
p(x) = 4 q(x) = 3e 2x e n = 4
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 4) middot 4 middot u = (1 ndash 4) middot 3e 2x
uprime + (ndash3) middot 4u = (ndash3) middot 3e 2x
uprime ndash12u = ndash9e 2x
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int(ndash12) dx
H(x) = ndash12x
v(x) = e ndash12x
Multiplicando o fator integrante v(x) = e ndash12x em ambos os membros da igualdade obtemos
e ndash12x uprime ndash 12 e ndash12x u = e ndash12x (ndash9e 2x)
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
181
e ndash12x u = int(ndash9e ndash10x) dx
Para resolver esta integral vamos aplicar o meacutetodo da substituiccedilatildeo considerando
w = ndash10x rArr dw = ndash10 dx
Entatildeo e ndash12x u = 910
intew dw
e ndash12x u = 910
ew + c
e ndash12x u = 910
e ndash10x + c
e ndash12x e12x u = 910
e ndash10x e12x + c middot e12x
u = 910
e 2x + c middot e12x
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash3 feita no iniacutecio
u = 910
e 2x + c middot e12x
y ndash3 = 910
e 2x + c middot e12x
Portanto y(x) = 910
e 2x + c middot e12x
ndash⅓
c isin R eacute soluccedilatildeo geral da EDO proposta
Exemplo 3Encontre a soluccedilatildeo geral para a equaccedilatildeo xyprime + y = ndashxy 2
ResoluccedilatildeoEscrevendo a EDO na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de Bernoulli
Seja xyprime + y = ndashxy 2 multiplicamos ambos os lados da igualdade por 1x
1x
middot xyprime + 1x
middot y = ndash 1x
xy 2
yprime + 1x
y = ndashy 2
Assim a EDO estaacute na forma yprime + p(x) y = q(x) y n
Entatildeo aplicamos a foacutermula mostrada acima para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash1
182
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
p(x) = 1x
q(x) = ndash1 e n = 2
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 2) middot 1x
middot u = (1 ndash 2) (ndash1)
uprime + (ndash1) 1x
u = (ndash1) (ndash1)
uprime ndash 1x
u = 1
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 1x
dx
H(x) = ndashIn x
v(x) = e ndashIn x
v(x) = x ndash1
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash1 na equaccedilatildeo obtemos
x ndash1 uprime ndash 1x
x ndash1 u = x ndash1
x u - x u = x-1 -2
derivada do produto
-1prime
ddx
x u = x-1 -1
x ndash1 u = int 1x
dx
x ndash1 u = In x + c
u = x In x + cx
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = u = y ndash1 feita no iniacutecio
y ndash1 = x In x + cx
Portanto y(x) = 1
x In x + cx c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 4Encontre as curvas integrais para a equaccedilatildeo yprime + 2
x y =
y 3
x 2
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
183
ResoluccedilatildeoA EDO eacute uma equaccedilatildeo de Bernoulli Entatildeo aplicamos a foacutermula uprime + (1 ndash n)
p(x) u = (1 ndash n) q(x) para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash2
p(x) = 2x
q(x) = 1x 2 e n = 3
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 3) middot 2x
middot u = (1 ndash 3) 1x 2
uprime + (ndash2) 2x
u = (ndash2) 1x 2
uprime ndash 4x
u = ndash2x ndash2
Logo obtemos uma EDO linear Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 4x
dx
H(x) = ndash 4 In x
v(x) = e ndash 4 In x
v(x) = e In x ndash 4
v(x) = x ndash 4
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash 4 na equaccedilatildeo obtemos
x ndash 4 uprime ndash 4x
x ndash 4 u = ndash 2xndash2 middot x ndash 4
x ndash4 u = ndash 2 intx ndash6 dx
x ndash4 u = ndash 2 x ndash5
ndash5 + c
x ndash4 u = 25
x ndash5 + c
x 4 middot x ndash4 u = 25
x ndash5 middot x 4 + c middot x 4
184
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
u = 25
x ndash1 + c middot x 4
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash2 feita no iniacutecio
y ndash2 = 25x
+ cx 4
Portanto c isin R satildeo curvais integrais (soluccedilotildees) da EDO
3 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS HOMOGEcircNEAS
31 FUNCcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
Vamos estudar equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem que podem ser transformadas em equaccedilotildees jaacute estudadas em seccedilotildees anteriores
Definiccedilatildeo 2311 Uma funccedilatildeo f = f (xy) eacute dita homogecircnea de grau n se substituindo-se x por λx e y por λy for verdadeira a igualdade f (λxλy) = λn f (xy) para todo real λ ne 0
Por exemplo as funccedilotildees listadas a seguir satildeo homogecircneas de graus
respectivamente trecircs um e zero f (xy) = xy 2 + x 2 y f (xy) = f (xy) = x + yx ndash 3y
Exemplo 5
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = xy 2 + x 2 y eacute homogecircnea e se for indique o grau
ResoluccedilatildeoPara mostrar que f eacute homogecircnea devemos verificar a igualdade f (λxλy)
= λn f (xy) λ isin IR
f (λxλy) = λx (λy) 2 + (λx) 2 λy
f (λxλy) = λxλ2 y 2 + λ2x 2 λy
f (λxλy) = λ3xy 2 + λ3x 2y
f (λxλy) = λ3 (xy 2 + x 2y)
f (λxλy) = λ3 f (xy)
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
185
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau 3
Exemplo 6Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = eacute homogecircnea e se for indique o
grau
Resoluccedilatildeo
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau 1
Exemplo 7Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = xy 2 + ex + y eacute homogecircnea e se for indique o grau
Resoluccedilatildeo
f (λxλy) = λx (λy) 2 + eλx + λy
f (λxλy) = λxλ2y 2 + eλx + λy
f (λxλy) = λ3xy 2 + eλ(x + y)
f (λxλy) ne λn f (xy)
Portanto a funccedilatildeo f natildeo eacute homogecircnea
186
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Exemplo 8Verifique se a funccedilatildeo f (xy) =
x + yx ndash 3y
eacute homogecircnea e se for indique o grau
Resoluccedilatildeo
f (λxλy) = λx + λy
λx ndash 3λy
f (λxλy) = λ(x + y)
λ(x ndash 3y)
f (λxλy) = x + yx ndash 3y
f (λxλy) = f (xy)
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau zero
32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
Definiccedilatildeo 2321 Uma equaccedilatildeo diferencial homogecircnea eacute uma equaccedilatildeo da forma
yprime = f (xy)
onde f = f (xy) eacute uma funccedilatildeo homogecircnea de grau zero ou seja
f (λxλy) = f (xy)
A
λ ne 0
Definiccedilatildeo 2322 As equaccedilotildees diferenciais homogecircneas podem ser transformadas em equaccedilotildees do tipo M (xy) dx + N (xy) dy = 0 onde M e N satildeo funccedilotildees homogecircneas do mesmo grau
Isto quer dizer que a equaccedilatildeo M (xy) dx + N (xy) dy = 0 seraacute homogecircnea se M (λxλy) = λn M (xy) λ isin IR e N (λxλy) = λn N (xy) λ isin IR
Exemplo 9Verifique se a equaccedilatildeo (x 2 ndash y 2) dx ndash 5xy dy = 0 eacute homogecircnea
ResoluccedilatildeoTemos que verificar se M (λxλy) = λn M (xy) e N (λxλy) = λn N (xy) tecircm
mesmo grau
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
187
321 Meacutetodo de resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
Seja uma EDO homogecircnea de primeira ordem vejamos como proceder para resolver esta equaccedilatildeo diferencial homogecircnea
O primeiro passo eacute colocar a equaccedilatildeo na forma dydx
= g yx onde g eacute uma
funccedilatildeo contiacutenua de uma uacutenica variaacutevel
Fazendo v = yx entatildeo y = vx e
dydx
= x dvdx
+ v e g yx fica g (v)
Entatildeo a equaccedilatildeo pode ser escrita como
x dvdx
+ v = g (v)
que pode ser reescrita na forma
dvg (v) ndash v
= dxx
Note que essa equaccedilatildeo eacute separaacutevel Entatildeo podemos resolvecirc-la como uma equaccedilatildeo diferencial separaacutevel e escrever a soluccedilatildeo em funccedilatildeo de x e de y
substituindo v por yx
M (xy) = x 2 ndash y 2 N (xy) = ndash5xy
M (λxλy) = (λx) 2 ndash (λy) 2 N (λxλy) = ndash5 (λx) (λy)
M (λxλy) = λ2 x 2 ndash λ2 y 2 N (λxλy) = ndash5 λ2xy
M (λxλy) = λ2 (x 2 ndash y 2) N (λxλy) = λ2 (ndash5xy)
M (λxλy) = λ2 M (xy) N (λxλy) = λ2 N (xy)
Portanto a equaccedilatildeo (x 2 ndash y 2) dx ndash 5xy dy = 0 eacute homogecircnea
Pode-se resolver uma equaccedilatildeo diferencial homogecircnea transformando-a em uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis fazendo uma substituiccedilatildeo adequada
188
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Vejamos outra situaccedilatildeo seja uma equaccedilatildeo homogecircnea dada na forma M
(xy) dx + N (xy) dy = 0
Entatildeo M (xy) dx = -N (xy) dy rArr dydx
= M (xy)N (xy)
Como a equaccedilatildeo eacute homogecircnea M e N tecircm o mesmo grau de homogeneidade
n Entatildeo se dividirmos M e N por λn transformaremos ndash M (xy)N (xy)
numa funccedilatildeo do
tipo dydx
= g yx
Daiacute segue o mesmo procedimento acima
Exemplo 10Mostre que a equaccedilatildeo diferencial yprime =
3x 2 + y 2
xy eacute homogecircnea e encontre sua
soluccedilatildeo geral
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo eacute homogecircnea pois supondo λ ne 0
f (λxλy) = 3(λx) 2 + (λy) 2
(λx) (λy)
f (λxλy) = λ2 (3x 2 + y 2)
λ2 (xy)
f (λxλy) = 3x 2 + y 2
xy
f (λxλy) = f (xy)
Definindo v = yx e substituindo na equaccedilatildeo diferencial temos
Como y = vx entatildeo dydx = x
dvdx + v
Logo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
3 + v 2
v
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
189
x dvdx =
3 + v 2
v ndash v
x dvdx =
3v
v dv = 3x
dx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
intv dv = int 3x
dx
v 2
2 = 3 In |x| + c c isin R
v 2 = 6 In |x| + 2c c isin R
Substituindo v por yx e k = 2c temos
y 2
x 2 = 6 In |x| + k k isin R
Logo a soluccedilatildeo geral tem a forma y 2 = 6x 2 In |x| + x2k k isin R
Exemplo 11Mostre que a equaccedilatildeo yprime =
2y 4 + x 4
xy 3 eacute homogecircnea e resolva a equaccedilatildeo diferencial
ResoluccedilatildeoVamos mostrar que a EDO eacute homogecircnea de grau zero supondo λ isin IR
f (λxλy) = 2(λy) 4 + (λx) 4
(λx) (λy) 3
f (λxλy) = 2λ4 y 4 + λ4 x 4
λ4xy 3
f (λxλy) = λ4 (2y 4 + x 4)
λ4xy 3
f (λxλy) = f (xy)
Definindo v = yx e substituindo na equaccedilatildeo diferencial temos
190
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
dydx =
2y 4 + x 4
xy 3
dydx =
2v 4 + 1v 3
Como y = vx entatildeo dydx = x
dvdx + v
Logo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
2v 4 + 1v 3
x dvdx =
2v 4 + 1v 3 ndash v
x dvdx =
v 4 + 1v 3
v 3
v 4 + 1 dv = dxx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
intv 3
v 4 + 1 dv = intdxx
14
In (v 4 + 1) = In |x| + c c middot R
In (v 4 + 1) = 4 In |x| + 4c
eIn (v 4 + 1) = e 4 In |x| + 4c
v 4 + 1 = e In x 4 + 4c
v 4 + 1 = x 4 e 4c c isin R
Fazendo k = e 4c temos
v 4 + 1 = kx 4
Isso nos daacute
v 4 = kx 4 ndash 1 k middot R
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
191
Substituindo v por yx temos
y 4
x 4 = kx 4 ndash 1
Logo y 4 = kx 8 ndash x 4 k isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 12
Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo homogecircnea yprime = y 2 ndash x 2
2xy
ResoluccedilatildeoSejam y = vx e
dydx = x
dvdx + v A EDO natildeo linear homogecircnea assume a forma
dydx =
y 2 ndash x 2
2xy
dydx =
v 2 ndash 12v
Entatildeo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
v 2 ndash 12v
x dvdx =
v 2 ndash 12v ndash v
x dvdx =
ndashv 2 ndash 12v
2vv 2 + 1
dv = ndash dxx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
int2v
v 2 + 1 dv = ndashintdxx
In |v 2 + 1| = ndashIn |x| + c c isin R
In |v 2 + 1| + In |x| = c
192
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
eIn |v 2 + 1| + In |x| = e c
eIn |v 2 + 1| e In |x| = e c
|v 2 + 1||x| = ec
Substituindo v por yx e k = ec temos
Portanto y 2
x + x = k k isin R eacute soluccedilatildeo da EDO
193
Neste toacutepico vimos outros dois tipos de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem
bull As equaccedilotildees de Bernoulli e as equaccedilotildees exatas
bull A diferenccedila das equaccedilotildees estudadas no toacutepico anterior eacute que nestas precisamos fazer alguma substituiccedilatildeo para resolvecirc-las
bull A equaccedilatildeo linear de Bernoulli tem a forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) y n A substituiccedilatildeo que temos que fazer eacute dada por u = y 1ndashn e utilizamos a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x) Com isso a equaccedilatildeo eacute reduzida a uma equaccedilatildeo linear
bull A outra equaccedilatildeo estudada foi a equaccedilatildeo homogecircnea com forma-padratildeo M (xy)
dx + N (xy) dy = 0 onde M e N satildeo funccedilotildees homogecircneas do mesmo grau
Para obter a soluccedilatildeo devemos escrever a EDO na forma dydx
= g yx e fazer a
substituiccedilatildeo v = yx
RESUMO DO TOacutePICO 2
194
AUTOATIVIDADE
Nos problemas 1 e 2 resolva as equaccedilotildees diferenciais lineares de Bernoulli
1 x dydx + y =
1y 2
2 yprime = y (xy 3 ndash 1)
3 Resolva a equaccedilatildeo diferencial homogecircnea (x ndash y) dx + x dy = 0
Nas EDO a seguir identifique o tipo de EDO e encontre a funccedilatildeo desconhecida
4 xy 2 dydx = y 3 ndash x 3 y (1) = 2
5 x 2 dydx + y 2 = xy
6 (x 2 + y 2) dx + xy dy = 0
195
TOacutePICO 3
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES
DE SEGUNDA ORDEM
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
Finalizamos a unidade com o Toacutepico 3 as equaccedilotildees diferenciais lineares de segunda ordem Aqui estudaremos apenas as equaccedilotildees lineares homogecircneas com coeficientes constantes Estas equaccedilotildees satildeo de resoluccedilatildeo mais simples devido a um procedimento de substituiccedilatildeo por uma equaccedilatildeo de segundo grau chamada de equaccedilatildeo caracteriacutestica ou auxiliar
Definiccedilatildeo 321 Uma equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem eacute da forma
a1 (x) d 2 y
dx 2 + a2 (x) dy
dx + a3 (x)y = o (x)
onde os coeficientes a1 (x) a2
(x) a3 (x) satildeo contiacutenuos e o (x) tambeacutem eacute uma
funccedilatildeo contiacutenua em algum intervalo I
Definiccedilatildeo 322 Uma equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem da forma
a1 (x) d 2 y
dx 2 + a2 (x) dy
dx + a3 (x)y = 0
eacute chamada de homogecircnea onde os coeficientes a1 (x) a2
(x) a3 (x) satildeo
contiacutenuos em algum intervalo I
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
196
Para as equaccedilotildees lineares homogecircneas eacute vaacutelido o princiacutepio da superposiccedilatildeo que diz que se y
1 (x) e y
2 (x) satildeo soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial entatildeo
y (x) = c1 y
1 (x) + c
2 y
2 (x)
tambeacutem o eacute para todas as constantes c1 e c
2 A expressatildeo colocada anteriormente eacute
chamada combinaccedilatildeo linear de y1 (x) e y
2 (x)
Isso eacute o que diz o teorema da superposiccedilatildeo onde a soma ou superposiccedilatildeo de duas ou mais soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo
Teorema 321 (Princiacutepio da superposiccedilatildeo ndash Equaccedilotildees Homogecircneas) Se y1
(x) e y2 (x) satildeo soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea em algum intervalo I
entatildeo a combinaccedilatildeo linear
y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2
(x)
onde c1 e c2 satildeo constantes arbitraacuterias eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo no intervalo I
Definiccedilatildeo 323 Para as equaccedilotildees diferenciais lineares homogecircneas fixadas as soluccedilotildees y1
(x) e y2 (x) definimos o wronskiano dessas soluccedilotildees pelo determinante
Joacutezef Maria Wronski (1778-1853) foi um matemaacutetico polonecircs O wronskiano eacute definido como um determinante cuja primeira linha eacute ocupada pelas funccedilotildees e as linhas seguintes satildeo formadas pelas suas derivadas ateacute a ordem n ndash 1 E o wronskiano pode ser utilizado como um teste de independecircncia linear para as soluccedilotildees das EDOs
Suponha que y1 (x) e y2
(x) sejam duas soluccedilotildees Entatildeo a combinaccedilatildeo linear dessas duas soluccedilotildees eacute uma soluccedilatildeo geral dada por
y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2
(x)
NOTA
UNI
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
197
Derivando y (x) temos
yprime (x) = c1 yprime 1 (x) + c2 yprime
2 (x)
Substituindo-se x = x 0 nas equaccedilotildees obtemos o sistema de equaccedilotildees
y (x0) = c1 y1 (x0) + c2 y2
(x0)yprime (x0) = c1 yprime 1
(x0) + c2 yprime 2 (x0)
que pode ser escrito na forma A bull X = B em que
Logo o determinante da matriz A leva o nome de Wronskiano e eacute denotado por
W (y1 y2) (t) = det
Exemplo 1As funccedilotildees y1(x) = e 5x e y2(x) = e ndash 5x satildeo ambas soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial
linear homogecircnea yprimeprime ndash 25y = 0 no intervalo ]ndashinfin infin[ Verifique que o wronskiano eacute diferente de zero e escreva a soluccedilatildeo da EDO
ResoluccedilatildeoSejam y1(x) = e 5x e y2(x) = e ndash 5x Precisamos derivar as funccedilotildees para calcular o
wronskiano
yprime1(x) = 5e 5x e yprime2(x) = ndash5e ndash 5x entatildeo
W(x) = ndash5e ndash 5x middot e 5x ndash 5e 5x middot e ndash 5x = ndash 10 ne 0
W(x) =
Conforme o teorema acima a soluccedilatildeo dessa EDO tem a forma y (x) = c1 y1
(x) + c2 y2 (x)
Entatildeo y (x) = c1 e 5x + c2 e ndash 5x
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
198
Teorema 322 Sejam y1 (x) e y2
(x) soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea em algum intervalo I Entatildeo o conjunto de soluccedilotildees seraacute linearmente independente em I se e somente se W (x) ne 0 Ax isin I
Em resumo do que vimos sobre o wronskiano podemos concluir para que y1 (x)
e y2
(x) formem um conjunto fundamental de soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea basta que o wronskiano W (x) ne 0
A
x isin I
Exemplo 2Mostre que y1
(t) = t frac12 e y2 (t) = t ndash 1 formam um conjunto fundamental de
soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea 2t 2 yprimeprime + 3typrime ndash y = 0 no intervalo ]0 infin[
ResoluccedilatildeoPrecisamos verificar primeiro se y1
(t) e y2 (t) satildeo soluccedilotildees da EDO
Se y1 (t) = t frac12 entatildeo yprime1
(t) = 12
t ndash frac12 e yprimeprime1 (t) = -
14t- 32
Se y2 (t) = t ndash 1 entatildeo yprime2
(t) = ndasht ndash 2 e yprimeprime2 (t) = 2t ndash 3
Substituindo y1 (t) e suas derivadas na EDO temos
2t - 14
t + 3t 12
t -t = 0
- 12
t + 32
t -t = 0
2 - -32
12
12
12
12
12
Portanto y1 (t) eacute soluccedilatildeo da EDO
Agora substituindo y2 (t) e suas derivadas na EDO temos
2t 2 (2t ndash 3) + 3t (ndash t ndash 2) ndash t ndash 1 = 0
4t ndash 1 ndash 3t ndash 1 ndash t ndash 1 = 0
Portanto y2 (t) eacute soluccedilatildeo da EDO
Para que as funccedilotildees y1 (t) e y2
(t) formem um conjunto fundamental de soluccedilotildees
NOTA
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
199
da EDO pelos teoremas anteriores basta verificarmos que o wronskiano eacute diferente de zero para algum t gt 0 Assim
W (x) = ndasht ndash 3 2 ndash 12
t ndash 3 2 = ndash 32
t ndash 3 2 ne 0
Logo y1 (t) = t frac12 e y2
(t) = t ndash 1 formam um conjunto fundamental de soluccedilotildees da equaccedilatildeo 2t 2 yprimeprime + 3typrime ndash y = 0 Assim y (t) = c1t frac12 + c2t ndash 1
3 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ordf ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES
Vamos considerar apenas equaccedilotildees diferenciais da forma
a d 2 ydx 2 + b dy
dx + cy = 0
onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 Para esta equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea existem valores constantes de λ tais que y = eλx eacute uma soluccedilatildeo
Substituindo-se y = eλx dydx = λeλx e d
2 ydx 2 = λ2eλx na EDO obtemos
aλ2eλx + bλeλx + eλx = 0
eλx (aλ2+ bλ + c) = 0
Como eλx ne 0 entatildeo y = eλx eacute soluccedilatildeo de a d 2 ydx 2 + b dy
dx + cy = 0 se e somente se λ eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo aλ2+ bλ + c = 0
Definiccedilatildeo 331 A equaccedilatildeo aλ2+ bλ + c = 0 eacute chamada de equaccedilatildeo caracteriacutestica ou equaccedilatildeo auxiliar da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
200
31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
A natureza das soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea a d 2 y
dx 2 + b
dydx + cy = 0 depende da natureza das raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica correspondente
Para escrever as soluccedilotildees das equaccedilotildees diferenciais teremos trecircs casos a considerar Vamos empregar o teorema apresentado a seguir
Teorema 3311 Dada a equaccedilatildeo ayprimeprime + byprime + cy = 0 formamos a equaccedilatildeo caracteriacutestica aλ2+ bλ + c = 0
i) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes reais distintas λ1 e λ2 entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2eλ2x
ii) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem apenas uma raiz real λ entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2xeλx ou
y = (C1 + C2x) eλx
iii) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes complexas λ1 = α + bi e λ2 = α ndash bi entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eαx cos bx + c2eαx sen bx ou
y = eαx (c1 cos bx + c2 sen bx)
As raiacutezes λ1 e λ
2 da equaccedilatildeo caracteriacutestica satildeo chamados de autovalores
Exemplo 3Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 4yprime + 4y = 0
ResoluccedilatildeoConforme vimos acima devemos escrever a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 4λ + 4 = 0 e encontrar as suas raiacutezes
NOTA
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
201
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 42
λ = ndash 2
Assim a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1endash2x + c2xendash2x
Exemplo 4Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime ndash 15y = 0 Depois encontre a
soluccedilatildeo particular que satisfaz as condiccedilotildees iniciais y (0) = 0 e yprime (0) = ndash1
ResoluccedilatildeoResolvendo a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ ndash 15 = 0 temos
λ = ndash 2 plusmn 8
2
λ1 = ndash 2 ndash 8
2 = ndash 5
λ2 = ndash 2 + 8
2 = 3
A soluccedilatildeo geral eacute y = c1endash 5x + c2e3x
Substituindo as condiccedilotildees iniciais y (0) = 0 e yprime (0) = ndash1 na soluccedilatildeo geral obtemos
y = c1endash 5x + c2e3x e y (0) = 0 entatildeo
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
202
c1endash 5 bull 0 + c2e3 bull 0 = 0
c1 + c2 = 0
Agora yprime = ndash 5c1endash 5x + 3c2e3x e yprime (0) = ndash1 entatildeo
ndash 5c1endash 5 bull 0 + 3c2e3 bull 0 = ndash1
ndash 5c1 + 3c2= ndash1
Resolvendo o sistema c1 + c2 = 0ndash 5c1 + 3c2= ndash1
encontramos c1 = 18
e c2 = ndash 18
Portanto a soluccedilatildeo que satisfaz as condiccedilotildees iniciais eacute dada por
y = 18
endash 5x ndash 18
e3x
Exemplo 5Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime + 5y = 0
ResoluccedilatildeoConforme vimos acima devemos escrever a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ + 5 = 0 e encontrar as suas raiacutezes
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 2 plusmn 4i
2
λ = ndash 1 plusmn 2i
λ1 = ndash 1 ndash 2i
λ2 = ndash 1 + 2i
Assim pelo teorema a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = endashx (c1 cos 2x + c2 sen 2x)
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
203
Exemplo 6Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime + y = 0
ResoluccedilatildeoResolvemos a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ + 1 = 0
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 22
λ = ndash1
Assim a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1endashx + C2 xendashx
No graacutefico a seguir (Figura a seguir) estatildeo algumas soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial yprimeprime + 2yprime + y = 0
FIGURA 55 ndash ALGUMAS SOLUCcedilOtildeES DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
FONTE O autor
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
204
Exemplo 7Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 12y = 0
ResoluccedilatildeoResolvemos a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 12 = 0 temos
λ2 = ndash12
λ = plusmn radicndash12
λ = plusmn radic12i
λ = plusmn radic22 bull 3i
λ = plusmn 2 radic3i
λ1 = 2 radic3i
λ2 = ndash2 radic3i
Daiacute temos que α = 0 e b = 2 radic3
y = c1e0 bull x cos (2 radic3 x) + c2e0 bull x sen (2 radic3 x)
Portanto a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1 cos (2 radic3 x) + c2 sen (2 radic3 x)
LEITURA COMPLEMENTAR
Equaccedilotildees Diferenciais como Modelos Matemaacuteticos
MODELOS MATEMAacuteTICOS Eacute frequentemente desejaacutevel descrever o comportamento de algum sistema ou fenocircmeno da vida real em termos matemaacuteticos quer sejam eles fiacutesicos socioloacutegicos ou mesmo econocircmicos A descriccedilatildeo matemaacutetica de um sistema ou fenocircmeno chamada de modelo matemaacutetico eacute constituiacutedo levando-se em consideraccedilatildeo determinadas metas Por exemplo talvez queiramos compreender os mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populaccedilotildees de animais nesse sistema ou datar foacutesseis por meio da anaacutelise do decaimento radioativo de uma substacircncia que esteja no foacutessil ou no extrato no qual foi descoberta
A construccedilatildeo de um modelo matemaacutetico de um sistema comeccedila com
(i) a identificaccedilatildeo das variaacuteveis responsaacuteveis pela variaccedilatildeo do sistema Podemos a princiacutepio optar por incorporar todas essas variaacuteveis no modelo Nesta capa estamos especificando o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
205
A seguir
(ii) elaboramos um conjunto de hipoacuteteses razoaacuteveis ou pressuposiccedilotildees sobre o sistema que estamos tentando descrever Essas hipoacuteteses deveratildeo incluir tambeacutem quaisquer empiacutericas aplicaacuteveis ao sistema
Para alguns propoacutesitos pode ser perfeitamente razoaacutevel nos contentarmos com um modelo de baixa resoluccedilatildeo Por exemplo vocecirc provavelmente jaacute sabe que nos cursos baacutesicos de Fiacutesica a forccedila retardadora do atrito com o ar eacute agraves vezes ignorada na modelagem do movimento de um corpo em queda nas proximidades da superfiacutecie da Terra mas se vocecirc for um cientista cujo trabalho eacute predizer precisamente o percurso de um projeacutetil de longo alcance teraacute de levar em conta a resistecircncia do ar e outros fatores como curvatura da Terra
Como as hipoacuteteses sobre um sistema envolvem frequentemente uma taxa de variaccedilatildeo de uma ou mais das variaacuteveis a descriccedilatildeo matemaacutetica de todas essas hipoacuteteses pode ser uma ou mais equaccedilotildees envolvendo derivadas Em outras palavras o modelo matemaacutetico pode ser uma equaccedilatildeo diferencial ou sistema de equaccedilotildees diferenciais
Depois de formular um modelo matemaacutetico que eacute uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciais estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvecirc-los Se pudermos resolvecirc-lo julgaremos o modelo razoaacutevel se suas soluccedilotildees forem consistentes com dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema
Poreacutem se as prediccedilotildees obtidas pela soluccedilatildeo forem pobres poderemos elevar o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo ou levantar hipoacuteteses alternativas sobre o mecanismo de mudanccedila no sistema As etapas do processo de modelagem satildeo entatildeo repetidas conforme disposto no seguinte diagrama
FIGURA 56 ndash DIAGRAMA
HIPOacuteTESES
COMPARE AS PREDICcedilOtildeES DO
MODELO COM OS FATOS CONHECIDOS
FORMULACcedilAtildeO MATEMAacuteTICA
OBTENHA AS SOLUCcedilOtildeES
Expresse as hipoacuteteses em termos de equaccedilotildees
diferenciais
Exponha as prediccedilotildees do modelo (por exemplo
graficamente)
Resolva as EDsSe necessaacuterio altere as hipoacuteteses ou aumente a
resoluccedilatildeo do modelo
FONTE O autor
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
206
Naturalmente aumentando a resoluccedilatildeo aumentaremos a complexidade do modelo matemaacutetico e assim a probabilidade de natildeo conseguirmos obter uma soluccedilatildeo explicita
Um modelo matemaacutetico de um sistema fiacutesico frequentemente envolve a variaacutevel tempo t Uma soluccedilatildeo do modelo oferece entatildeo o estado do sistema em outras palavras os valores da variaacutevel (ou variaacuteveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado presente e futuro
DINAcircMICA POPULACIONAL Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio da matemaacutetica foi feita pelo economista inglecircs Thomas Malthus em 1978 Basicamente a ideia por traacutes do modelo malthusiano eacute a hipoacutetese de que a taxa segundo a qual a populaccedilatildeo de um paiacutes cresce em um determinado instante eacute proporcional agrave populaccedilatildeo total do paiacutes naquele instante Em outras palavras quanto mais pessoas houver em um instante t mais pessoas existiratildeo no futuro
Em termos matemaacuteticos se P(t) for a populaccedilatildeo no instante t entatildeo essa hipoacutetese pode ser expressa por
dPdt infin P ou
dPdt = k middot P (1)
onde k eacute uma constante de proporcionalidade Esse modelo simples embora natildeo leve em conta muitos fatores que podem influenciar a populaccedilatildeo humana tanto em seu crescimento quanto em seu decliacutenio (imigraccedilatildeo e emigraccedilatildeo por exemplo) natildeo obstante resulta ser razoavelmente preciso na previsatildeo da populaccedilatildeo dos Estados Unidos entre os anos de 1970 e 1980 As populaccedilotildees que crescem agrave taxa descriccedilatildeo por (1) satildeo raras entretanto (1) eacute ainda usada para modelar o crescimento de pequenas populaccedilotildees em um curto intervalo de tempo (crescimento de bacteacuterias em placas de Petri por exemplo)
FONTE Zill (2003 p 22-24)
207
Neste toacutepico vimos
bull A equaccedilatildeo diferencial na forma-padratildeo a d 2 y
dx 2 + b dydx + cy = 0 A sua resoluccedilatildeo se
resume em encontrar as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau aλ2+ bλ + c = 0 Apoacutes encontrar as raiacutezes da equaccedilatildeo aplica-se o teorema a seguir
bull Teorema 3311 Dada a equaccedilatildeo ayprimeprime + byprime + cy = 0 formamos a equaccedilatildeo caracteriacutestica aλ2+ bλ + c = 0
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes reais distintas λ1 e λ2 entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2eλ2x
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem apenas uma raiz real λ entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2xeλx ou
y = (C1 + C2x) eλx
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes complexas λ1 = α + bi e λ2 = α ndash bi entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eαx cos bx + c2eαx sen bx ou
y = eαx (c1 cos bx + c2 sen bx)
RESUMO DO TOacutePICO 3
208
AUTOATIVIDADE
Encontre a soluccedilatildeo geral das seguintes EDOs
1 yprimeprime ndash 3yprime + 2y = 0
2 8yprimeprime + 4yprime + y = 0
3 4yprimeprime + yprime = 0
4 yprimeprime ndash yprime ndash 6y = 0
5 yprimeprime + 9y = 0
6 12yprimeprime ndash 5yprime ndash 2y = 0
7 yprimeprime ndash 4yprime + 5y = 0
8 yprimeprime ndash 2yprime + y = 0
209
REFEREcircNCIAS
ANTON H BIVENS I DAVIS S Caacutelculo v 2 Poro Alegre Bookman 2007
BOYCE Willian E DIPRIMA Richard C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores de contorno Rio de Janeiro LTC 2002
FINNEY R WEIR M GIORDANO F Caacutelculo de George B Thomas Jr v 2 Satildeo Paulo Addison Wesley 2002
FLEMMING Diva Mariacutelia GONCcedilALVES Mirian Buss CAacuteLCULO B funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis integrais duplas e triplas 2deg ed Satildeo Paulo Makron Books do Brasil 2007
LEITHOLD Louis O Caacutelculo com geometria analiacutetica v 2 3deg ed Satildeo Paulo Harbra 1994
SIMMONS George F Caacutelculo com geometria analiacutetica v 2 Satildeo Paulo Pearson Makron Books 1987
ROGAWKI Jon Caacutelculo v 2 Porto Alegre Bookman 2009
STEWART James Caacutelculo v 2 Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 2006
ZILL Dennis G Equaccedilotildees diferenciais com aplicaccedilotildees em modelagem Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 2003
210
ANOTACcedilOtildeES
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Copyright copy UNIASSELVI 2012
Elaboraccedilatildeo
Prof Ruy Piehowiak
Revisatildeo Diagramaccedilatildeo e Produccedilatildeo
Centro Universitaacuterio Leonardo da Vinci ndash UNIASSELVI
Ficha catalograacutefica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri
UNIASSELVI ndash Indaial
51535 P613ePiehowiak Ruy Equaccedilotildees diferenciais Ruy Piehowiak Indaial Uniasselvi 2012
211 p il
ISBN 978-85-7830-595-6
1 Equaccedilotildees diferenciais I Centro Universitaacuterio Leonardo da Vinci
Impresso por
III
aprEsEntaccedilatildeo
Caro(a) acadecircmico(a) Seja bem-vindo(a) agrave disciplina de Equaccedilotildees Diferenciais
Para estudar Equaccedilotildees Diferenciais natildeo haacute como desvincular o estudo do Caacutelculo Diferencial e Integral pois as palavras equaccedilatildeo e diferencial sugerem que estudemos equaccedilotildees que envolvam derivadas As derivadas satildeo estudadas no segmento da matemaacutetica chamado de caacutelculo diferencial que consequentemente nos leva ao caacutelculo integral O caacutelculo utiliza ideias da matemaacutetica elementar e as estende para situaccedilotildees mais gerais ou seja o caacutelculo consiste na matemaacutetica elementar (aacutelgebra geometria trigonometria) aperfeiccediloada pelo processo do limite
Nesta disciplina vocecirc iraacute aprimorar seus conhecimentos sobre o Caacutelculo Diferencial e Integral Se vocecirc jaacute se interessou pelo que foi estudado no caacutelculo vai ver que neste caderno teraacute toacutepicos mais abrangentes e tambeacutem interessantes
A disciplina fornece uma seacuterie de ferramental necessaacuteria a outras disciplinas como por exemplo a Fiacutesica
O caacutelculo eacute considerado um dos maiores feitos do intelecto humano Espero que aleacutem de perceber a utilidade tambeacutem perceba a beleza matemaacutetica O entendimento do conteuacutedo e das nuances que circundam este estudo eacute apenas a ponta do iceberg principalmente para aqueles acadecircmicos que pretendem avanccedilar seus estudos como em especializaccedilatildeo mestrado etc
Prof Ruy Piehowiak
Quero enfatizar a postura que um(a) acadecircmico(a) de matemaacutetica deve ter ao estudar Inicialmente para ler um texto de matemaacutetica principalmente na modalidade de ensino a distacircncia eacute bastante diferente de ler uma revista ou um jornal Assim natildeo desanime se precisar ler um conceito ou a resoluccedilatildeo de um exemplo mais de uma vez para entendecirc-lo Sugiro que possua um papel laacutepis e computador com software matemaacutetico (por exemplo o winplot) agrave sua matildeo para entender o conteuacutedo trabalhado no Caderno de Estudos e desenvolver ainda mais a sua habilidade algeacutebrica
UNI
IV
Vocecirc jaacute me conhece das outras disciplinas Natildeo Eacute calouro Enfim tanto para vocecirc que estaacute chegando agora agrave UNIASSELVI quanto para vocecirc que jaacute eacute veterano haacute novidades em nosso material
Na Educaccedilatildeo a Distacircncia o livro impresso entregue a todos os acadecircmicos desde 2005 eacute o material base da disciplina A partir de 2017 nossos livros estatildeo de visual novo com um formato mais praacutetico que cabe na bolsa e facilita a leitura
O conteuacutedo continua na iacutentegra mas a estrutura interna foi aperfeiccediloada com nova diagramaccedilatildeo no texto aproveitando ao maacuteximo o espaccedilo da paacutegina o que tambeacutem contribui para diminuir a extraccedilatildeo de aacutervores para produccedilatildeo de folhas de papel por exemplo
Assim a UNIASSELVI preocupando-se com o impacto de nossas accedilotildees sobre o ambiente apresenta tambeacutem este livro no formato digital Assim vocecirc acadecircmico tem a possibilidade de estudaacute-lo com versatilidade nas telas do celular tablet ou computador Eu mesmo UNI ganhei um novo layout vocecirc me veraacute frequentemente e surgirei para apresentar dicas de viacutedeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questatildeo
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos para que vocecirc nossa maior prioridade possa continuar seus estudos com um material de qualidade
Aproveito o momento para convidaacute-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes ndash ENADE Bons estudos
UNI
V
VI
VII
sumaacuterio
UNIDADE 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 1
TOacutePICO 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS 31 INTRODUCcedilAtildeO 32 RECORDANDO A FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL 33 FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 5 31 GRAacuteFICOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 134 FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 15RESUMO DO TOacutePICO 1 18AUTOATIVIDADE 19
TOacutePICO 2 ndash CURVAS DE NIacuteVEL 211 INTRODUCcedilAtildeO 212 CURVAS DE NIacuteVEL 22RESUMO DO TOacutePICO 2 28AUTOATIVIDADE 29
TOacutePICO 3 ndash LIMITE E CONTINUIDADE 311 INTRODUCcedilAtildeO 312 DEFINICcedilOtildeES BAacuteSICAS 313 LIMITE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 344 CONTINUIDADE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 38RESUMO DO TOacutePICO 3 41AUTOATIVIDADE 42
TOacutePICO 4 ndash DERIVADAS PARCIAIS 431 INTRODUCcedilAtildeO 432 RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVACcedilAtildeO 433 DERIVADAS PARCIAIS 44 31 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS 44 32 INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA 514 GENERALIZACcedilAtildeO 535 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 54LEITURA COMPLEMENTAR 59RESUMO DO TOacutePICO 4 63AUTOATIVIDADE 64
UNIDADE 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS 65
TOacutePICO 1 ndash REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA 671 INTRODUCcedilAtildeO 672 REGRA DA CADEIA 673 DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA 75RESUMO DO TOacutePICO 1 79
VIII
AUTOATIVIDADE 80
TOacutePICO 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE 811 INTRODUCcedilAtildeO 812 DIFERENCIABILIDADE 813 DIFERENCIAL 854 GRADIENTE 895 DERIVADAS DIRECIONAIS 95RESUMO DO TOacutePICO 2 99AUTOATIVIDADE 100
TOacutePICO 3 ndash MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS 1031 INTRODUCcedilAtildeO 1032 EXTREMOS LOCAIS 1033 PROBLEMAS ENVOLVENDO MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 111RESUMO DO TOacutePICO 3 117AUTOATIVIDADE 118
TOacutePICO 4 ndash INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS 1191 INTRODUCcedilAtildeO 1192 INTEGRAL DUPLA 119 21 INTEGRAL DUPLA SOBRE RETAcircNGULO 119 22 INTEGRAIS ITERADAS 120 23 INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIOtildeES GENEacuteRICAS 124LEITURA COMPLEMENTAR 134RESUMO DO TOacutePICO 4 136AUTOATIVIDADE 137
UNIDADE 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS 139
TOacutePICO 1 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 1411 INTRODUCcedilAtildeO 1412 DEFINICcedilOtildeES E TERMINOLOGIAS 141 21 TIPOS DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 142 22 ORDEM DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 142 23 LINEARIDADE DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 143 24 SOLUCcedilAtildeO DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 143 241 Soluccedilatildeo geral 145 242 Soluccedilatildeo particular 1453 EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL SEPARAacuteVEL 148 31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1494 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ordf ORDEM 158 41 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1595 EQUACcedilOtildeES EXATAS 168 51 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 169RESUMO DO TOacutePICO 1 175AUTOATIVIDADE 176
TOacutePICO 2 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES 1771 INTRODUCcedilAtildeO 1772 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI 177
IX
21 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1773 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS HOMOGEcircNEAS 184 31 FUNCcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 184 32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 186 321 Meacutetodo de resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial 187RESUMO DO TOacutePICO 2 193AUTOATIVIDADE 194
TOacutePICO 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 1951 INTRODUCcedilAtildeO 1952 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 1953 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ordf ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES 199 31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 200LEITURA COMPLEMENTAR 204RESUMO DO TOacutePICO 3 207AUTOATIVIDADE 208REFEREcircNCIAS 209
X
1
UNIDADE 1
FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Ao final desta unidade vocecirc deveraacute ser capaz de
bull conhecer os principais conceitos que envolvem funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull identificar o domiacutenio de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull reconhecer as curvas de niacuteveis de forma algeacutebrica
bull reconhecer as curvas de niacuteveis geometricamente
bull calcular os limites de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull identificar a continuidade de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull calcular as derivadas parciais
bull interpretar geometricamente as derivadas parciais
Esta unidade estaacute dividida em quatro toacutepicos apresentando os conceitos e a utilizaccedilatildeo das funccedilotildees de diversas variaacuteveis No Toacutepico 1 eacute apresentado o estudo do domiacutenio de uma funccedilatildeo de diversas variaacuteveis e as curvas de niacutevel seguido de vaacuterios exemplos para auxiliaacute-lo(a) na compreensatildeo e resoluccedilatildeo dos exerciacutecios propostos no final de cada toacutepico No Toacutepico 2 daremos uma atenccedilatildeo especial agraves curvas de niacutevel tanto na representaccedilatildeo graacutefica como no seu reconhecimento algeacutebrico No Toacutepico 3 seratildeo estendidos os conceitos de limite e continuidade estudados para as funccedilotildees de uma variaacutevel No Toacutepico 4 aprenderemos como derivar funccedilotildees de diversas variaacuteveis e sobretudo entender o significado geomeacutetrico das derivadas parciais Finalizamos a unidade com um texto complementar onde seraacute dada ecircnfase agraves personalidades matemaacuteticas que contribuiacuteram no desenvolvimento do caacutelculo diferencial e integral e consequentemente das equaccedilotildees diferenciais
TOacutePICO 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
TOacutePICO 2 ndash CURVAS DE NIacuteVEL
TOacutePICO 3 ndash LIMITES E CONTINUIDADE
TOacutePICO 4 ndash DERIVADAS PARCIAIS
2
3
TOacutePICO 1UNIDADE 1
FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
1 INTRODUCcedilAtildeO
Vocecirc jaacute estudou limites derivadas e integrais conceitos vistos em funccedilotildees de uma variaacutevel Nesta unidade estudaremos as funccedilotildees de duas ou mais variaacuteveis e veremos que as regras do caacutelculo para funccedilotildees de uma variaacutevel permanecem essencialmente as mesmas
Funccedilotildees com mais de uma variaacutevel independente se apresentam mais costumeiramente em modelos matemaacuteticos aplicados agrave engenharia por exemplo do que funccedilotildees de uma variaacutevel Os estudos de probabilidade estatiacutestica dinacircmica dos fluidos e trabalho satildeo exemplos que conduzem de uma maneira natural a funccedilotildees de mais de uma variaacutevel daiacute a importacircncia do seu estudo
2 RECORDANDO A FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL
Representamos a funccedilatildeo de uma variaacutevel por duas variaacuteveis x e y sendo que chamamos de x a variaacutevel independente da funccedilatildeo e de y a variaacutevel dependente da funccedilatildeo Assim denotamos a relaccedilatildeo entre as variaacuteveis por y = f (x) deixando expliacutecito que y depende de x
Exemplo 1 y = 2x + 1
Exemplo 2 f (x) = 3 + x
2 - x
Habitualmente ao trabalharmos com funccedilotildees um dos primeiros cuidados que devemos ter eacute em relaccedilatildeo ao conjunto domiacutenio das funccedilotildees isto eacute para que valores reais as funccedilotildees estatildeo definidas Entatildeo dada uma funccedilatildeo f(x) devemos encontrar valores para os quais a funccedilatildeo tenha imagem
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
4
Exemplo 3Encontre o domiacutenio da funccedilatildeo f(x) =
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo f(x) eacute uma funccedilatildeo racional pois temos a variaacutevel x no denominador
Esta funccedilatildeo tem dois cuidados a serem tomados em relaccedilatildeo ao domiacutenio
(i) Desde que iniciamos nossos estudos com fraccedilotildees sabemos que natildeo eacute possiacutevel ter zero no denominador das fraccedilotildees Assim
(ii) Temos a variaacutevel x no radicando da raiz quadrada Como estamos considerando f(x) uma funccedilatildeo real o radicando natildeo pode assumir valores negativos Logo
xsup2 ndash 16 ge 0
Assim juntando as condiccedilotildees (i) e (ii) teremos xsup2 ndash 16 gt 0
Observe que temos que resolver uma inequaccedilatildeo do 2ordm grau Para isso consideramos inicialmente apenas a equaccedilatildeo (igualdade) a fim de obtermos as raiacutezes
xsup2 - 16 = 0
Determinando as raiacutezes desta equaccedilatildeo do segundo grau incompleta
xsup2 = 16x = x =
Analisando a funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = xsup2 - 16 sabemos que seu graacutefico corresponde a uma paraacutebola com concavidade voltada para cima e zeros de funccedilatildeo em x = - 4 e x = 4 Logo os valores de x que satisfazem a inequaccedilatildeo satildeo x lt - 4 ou x gt 4
Assim D(f) = x isin R | x lt - 4 ou x gt 4
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
5
FIGURA 1 ndash ANAacuteLISE DO SINAL DA FUNCcedilAtildeO f (x) = xsup2 - 16 ATRAVEacuteS DE SEU ESBOCcedilO GRAacuteFICO
FONTE O autor
3 FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
Definiccedilatildeo 131 Suponha que D seja um conjunto de pares ordenados de nuacutemeros reais (xy) Uma funccedilatildeo real f de duas variaacuteveis em D eacute uma regra que associa um uacutenico nuacutemero real z = f(xy) a cada par ordenado (xy) em D O conjunto D(f) eacute o domiacutenio de f(xy)
Os nuacutemeros x y e z satildeo denominados variaacuteveis Como os valores da funccedilatildeo f(xy) dependem de x e de y e os valores de z dependem da escolha de x e de y entatildeo x e y satildeo denominadas variaacuteveis independentes e z eacute denominada variaacutevel dependente
Uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis eacute uma funccedilatildeo cujo domiacutenio eacute um subconjunto do R2 e cuja imagem eacute um subconjunto de R Uma maneira de visualizaacute-la eacute atraveacutes de um diagrama de flechas conforme a seguir
FIGURA 2 ndash DIAGRAMA DE FLECHAS REPRESENTANDO O DOMIacuteNIO E A IMAGEM DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS
FONTE O autor
+ +
ndashndash 4 4
R
y
(x y)
x
f
f(x y) 0
z
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
6
Exemplo 4Dada a funccedilatildeo que calcula o periacutemetro de um
retacircngulo f(xy) = 2(x + y) calcule o valor de f (25)
ResoluccedilatildeoBasta substituir em f(xy) o x por 2 o y por 5 e calcularEntatildeof(25) = 2(2 + 5)f(25) = 2 middot 7f(25) = 14
Exemplo 5A funccedilatildeo T (xy) = 60 - 2xsup2 - 3ysup2 representa a temperatura em qualquer
ponto de uma chapa A temperatura oscila em relaccedilatildeo agrave distacircncia percorrida no sentido dos eixos positivos x e y Calcule a temperatura da chapa (Figura 3) no ponto (3 1) em graus Celsius
ResoluccedilatildeoT (31) = 60 - 2 middot 3sup2 - 3 middot 1sup2T (31) = 60 - 2 middot 9 - 3 middot 1T (31) = 39deg C
x
y
FIGURA 3 ndash AQUECIMENTO DE UMA CHAPA
FONTE O autor
Exemplo 6Dada a funccedilatildeo f(xy) = xsup2 + ysup2 calcule f(1 - 2)
chapa
x
y
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
7
Resoluccedilatildeof(xy) = xsup2 + ysup2 f(1 ndash 2) = 1sup2 + (ndash2)sup2f(1 ndash 2) = 1 + 4f(1 ndash 2) = 5
No estudo do domiacutenio de uma funccedilatildeo devemos avaliar quais nuacutemeros reais satildeo possiacuteveis atribuir para as variaacuteveis x e y para obtermos valores reais para z = f(xy) Vamos relembrar algumas restriccedilotildees
Consideremos os casos a seguir em que A e B satildeo expressotildees em funccedilatildeo de x e y
Se f(xy) = AB entatildeo necessariamente B ne 0
Se f(xy) = onde n eacute par entatildeo necessariamente A ge 0
Se f (xy) = logc A com c gt 0 e c ne 1 entatildeo necessariamente A gt 0
Exemplo 7Encontre o conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo natildeo apresenta nenhuma restriccedilatildeo para os valores de x e yPortanto D(f) = (x y) isin R2 ou D( f ) = R2
Exemplo 8Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o radicando
3x ndash 2y natildeo pode ser negativo3x ndash 2y ge 0 ndash 2y ge ndash 3x
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (ndash1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
2y le 3x y le 3
2 x
NOTA
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
8
Portanto
Para fazer o graacutefico do conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (x y) do exemplo anterior primeiro trace o graacutefico de y = 3
2 x e depois determine qual a regiatildeo correspondente agrave desigualdade y le 3
2 x
O graacutefico de y = 32 x corresponde a uma reta crescente que conteacutem a
origem Note que esta reta divide o plano em duas regiotildees Para identificar qual regiatildeo expressa o domiacutenio de f (xy) atente para a desigualdade estabelecida Neste exemplo como se trata de uma reta e a relaccedilatildeo de ordem eacute dada pelo sinal ldquolerdquo entatildeo isto implica que o domiacutenio eacute expresso pelos infinitos pontos que se encontram na reta e abaixo dela
FIGURA 4 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
Exemplo 9Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = 5x
y ndash xsup2
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o denominador
y ndash xsup2 natildeo pode tornar-se nulo
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
9
Entatildeoy ndash xsup2 ne 0 y ne xsup2
Portanto
Para fazer o graacutefico do conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (xy) = 5xy ndash xsup2
procedemos do mesmo modo que no exemplo anterior A funccedilatildeo que expressa o domiacutenio eacute dada por y ne xsup2 cuja representaccedilatildeo no plano eacute uma paraacutebola com concavidade voltada para cima e que possui seu veacutertice na origem A relaccedilatildeo de diferenccedila poreacutem implica que pertencem ao domiacutenio todos os pontos do plano exceto os que se encontram sobre a paraacutebola expressa pela relaccedilatildeo y = xsup2
FIGURA 5 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
Exemplo 10Determine o conjunto domiacutenio de f(xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o radicando
3xsup2 + ysup2 ndash 18 natildeo pode ser negativo
3xsup2 + ysup2 ndash 18 ge 03xsup2 + ysup2 ge 18
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
10
Dividindo ambos os membros da desigualdade por 18
3x sup2 y sup2 1818 18 18
+ ge
A funccedilatildeo xsup2 ysup26 18 + = 1 representa uma elipse centrada na origem do
plano cartesiano cujo eixo maior definido sobre o eixo das ordenadas eacute igual a 2 848 e cujo eixo menor definido sobre os eixos das abscissas eacute igual a 2
490
Atribuiacutedas as caracteriacutesticas geomeacutetricas da funccedilatildeo que define o domiacutenio traccedilamos o seu graacutefico A relaccedilatildeo de desigualdade estabelecida eacute ldquogerdquo Isto implica que os pontos que pertencem ao domiacutenio se encontram sobre a elipse e fora dela
Ao sentir dificuldade em caracterizar as funccedilotildees quanto agrave sua representaccedilatildeo geomeacutetrica retome os estudos realizados na disciplina de Geometria Analiacutetica
FIGURA 6 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
ATENCAO
xsup2 ysup26 18 + ge 1
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
11
Exemplo 11Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = In (x minus 3y + 1) e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoComo In (x minus 3y + 1) eacute definido somente quando x minus 3y + 1 gt 0 entatildeo x minus 3y + 1 gt 0x minus 3y gt minus 1minus 3y gt minus x minus 1
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
3y lt x + 1y lt x + 1
3
Neste exemplo a funccedilatildeo domiacutenio expressa pela desigualdade y lt x + 1 3
representa no plano uma regiatildeo que se encontra abaixo da reta y = x + 1 3 Observe
que os pontos sobre a reta natildeo pertencem ao conjunto domiacutenio
FIGURA 7 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
12
Exemplo 12Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y A expressatildeo que
representa o radicando 4 ndash xsup2 ndash ysup2 natildeo pode ser negativa4 ndash xsup2 ndash ysup2 ge 0 ndash xsup2 ndash ysup2 ge ndash 4
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
xsup2 + ysup2 le 4
O conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f(xy) = expresso pela desigualdade xsup2 + ysup2 le 4 compreende os infinitos pontos interiores juntamente com os infinitos pontos pertencentes agrave circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano de raio 2
FIGURA 8 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
13
31 GRAacuteFICOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
Se f eacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis com domiacutenio D entatildeo o graacutefico de f eacute o conjunto de todos os pontos (xyz) em R3 tal que z = f (xy) e (xy) isin D
Fazer a representaccedilatildeo graacutefica das funccedilotildees de duas variaacuteveis eacute normalmente complicado e requer habilidade manual Assim vamos recorrer ao uso de programas computacionais matemaacuteticos que fazem os graacuteficos de superfiacutecies O objetivo aqui eacute apenas mostrar os graacuteficos das funccedilotildees de duas variaacuteveis e natildeo a construccedilatildeo manual dos graacuteficos
Os graacuteficos que vocecirc encontraraacute ao longo do Caderno de Estudos foram construiacutedos atraveacutes do Winplot que eacute um software livre disponiacutevel na internet e do Maple 11 um software comercial que possui inuacutemeros recursos matemaacuteticos
Caro(a) acadecircmico(a) Vocecirc pode baixar o software Winplot diretamente da internet ou do material de apoio da disciplina no AVA
Exemplo 13Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = 2 ndash 3x ndash 4y
Resoluccedilatildeo
FIGURA 9 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = 2 ndash 3x ndash 4y
FONTE O autor
DICAS
30
20
10
0
ndash10
ndash20ndash30
ndash 50
5 ndash 4 ndash 2 0 2 4x y
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
14
Exemplo 14Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
Resoluccedilatildeo
FIGURA 10 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
Exemplo 15Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy)
Resoluccedilatildeo
FIGURA 11 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) =
FONTE O autor
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
15
Exemplo 16Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = sen x middot sen y
Resoluccedilatildeo
FIGURA 12 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = sen x middot sen y
FONTE O autor
4 FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Definiccedilatildeo 141 Seja D um subconjunto de Rn Uma funccedilatildeo real f de n variaacuteveis reais definida em D eacute uma relaccedilatildeo entre D e R que associa a cada ponto (x1 x2 xn) isin D um uacutenico valor real z denotado por z = f (x1 x2 xn)
Notaccedilatildeo
As variaacuteveis (x1 x2 xn) satildeo as variaacuteveis independentes e z eacute a variaacutevel dependente O conjunto de todos os valores possiacuteveis de f eacute chamado imagem de f e eacute denotado por lm(f) Assim
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
16
Definiccedilatildeo 142 Seja f uma funccedilatildeo de n variaacuteveis com domiacutenio D O graacutefico de f eacute o conjunto de todos os pontos do espaccedilo Rn+1 dado por
( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 n 1 2 n 1 2 ngraf f x x x y R y f x x x x x xn com D+= isin = isin
No caso em que n = 1 f seraacute uma funccedilatildeo de uma variaacutevel e seu graacutefico seraacute uma curva C com equaccedilatildeo y = f (x1)
Quando n = 2 f seraacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis e seu graacutefico seraacute uma superfiacutecie S com equaccedilatildeo z = f (x1x2)
Quando n = 3 natildeo podemos esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f pois ele estaacute no espaccedilo de dimensatildeo 4
Exemplo 17Esboce o graacutefico da funccedilatildeo f (xy) = 6 ndash 2x + 3y
ResoluccedilatildeoPara esboccedilar o graacutefico de uma funccedilatildeo temos que conhecer o domiacutenio desta
funccedilatildeo O domiacutenio desta funccedilatildeo f eacute D(f) = Rsup2 e o graacutefico da funccedilatildeo f eacute o conjunto
graf (f) = (xyz) isin Rsup3 | z = 6 ndash 2x + 3y
Geometricamente o graacutefico de f representa um plano
Vamos fazer algumas consideraccedilotildees sobre a funccedilatildeo e os eixos como se focircssemos traccedilar o graacutefico manualmente Entatildeo comeccedilamos encontrando os pontos onde o plano intercepta cada um dos trecircs eixos coordenados
Se na equaccedilatildeo z = 6 ndash 2x ndash 3y fizermosx = 0 e y = 0 vem z = 6x = 0 e z = 0 vem y = 2y = 0 e z = 0 vem x = 3
Obtemos assim os pontos A1 = (0 0 6) A2 = (0 2 0) e A3 = (3 0 0) nos quais o plano intercepta os eixos coordenados A porccedilatildeo do graacutefico que estaacute no primeiro octante estaacute esboccedilada na figura a seguir
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
17
FIGURA 13 ndash PLANO COM EIXOS COORDENADOS
FONTE O autor
Exemplo 18Determine o conjunto domiacutenio e o conjunto imagem da funccedilatildeo f (x y z) =
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo natildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x y e zAssim D(f) = R sup3 (todo o espaccedilo)Jaacute para o conjunto imagem teremos apenas os reais natildeo negativosLogo Im (f) = R+
x
y
z
(020)
(300)
(006)
18
Neste toacutepico os principais assuntos estudados foram
bull Definiccedilatildeo de funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
bull Conjunto domiacutenio e conjunto imagem de funccedilatildeo
bull Representaccedilatildeo graacutefica do domiacutenio
bull Representaccedilatildeo graacutefica das superfiacutecies z = f (xy) usando recurso computacional
bull Listamos algumas situaccedilotildees envolvendo o estudo do domiacutenio para funccedilotildees de diversas variaacuteveis que impotildeem restriccedilotildees ao conjunto domiacutenio
bull Consideremos os casos a seguir em que A e B satildeo expressos em funccedilatildeo de x e y
uuml Se f (xy) = entatildeo devemos considerar B ne 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar A ge 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar A ge 0 e B ne 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar B gt 0
uuml Se f (xy) = logc A com c gt 0 e c ne 1 entatildeo devemos considerar A gt 0
RESUMO DO TOacutePICO 1
19
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre funccedilotildees de diversas variaacuteveis
1 Nos problemas a seguir calcule o valor da funccedilatildeo nos pontos especiacuteficos
a) f (xy) = (x ‒ 1)sup2 + 2xysup3 f (2 ‒ 1) f (12)
b) f (xy) = 3x+2y2x+3y
f (12) f ( ‒ 46)
c) g (xy) = y -x2 2 g (45) g (‒ 12)
d) g (uv) = 10u frac12 v ⅔ g (1627) g (4 ‒1331)
e) f (xy) = y xx y+ f (12) f(2 ‒3)
2 Nos problemas a seguir descreva o domiacutenio das funccedilotildees e represente-o graficamente
a) f (xy) = 5x + 2y4x + 3y
b) g (xy) = 36 - x - y2 2
c) f (xy) = radicx + y ‒ 2
d) f (xy) = 3x + 5y
xsup2 + 2ysup2 ‒ 4e) f (xy) = In (x + y ‒ 4)
f) g (xy) = exy
radicx ‒ 2y
AUTOATIVIDADE
20
21
TOacutePICO 2
CURVAS DE NIacuteVEL
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico veremos como representar uma superfiacutecie (figura tridimensional) em um graacutefico bidimensional Talvez vocecirc jaacute tenha visto algum graacutefico nesta situaccedilatildeo na praacutetica satildeo chamados mapas topograacuteficos
Nestes mapas uma paisagem tridimensional como a extensatildeo de uma montanha por exemplo estaacute representada por linhas de contorno bidimensionais ou curvas de elevaccedilatildeo constante conforme pode ser visto na figura a seguir
FIGURA 14 ndash MAPA DE CONTORNO DE UMA MONTANHA
FONTE Disponiacutevel em lthttparqaulaswordpresscomcategorytopografiagt Acesso em 11 jul 2011
O objetivo deste toacutepico eacute mostrar como reconhecer algebricamente e geometricamente as curvas de niacutevel Muitas das curvas que encontraremos correspondem a graacuteficos de funccedilotildees jaacute conhecidas as quais vocecirc estudou na disciplina de Geometria Analiacutetica tais como reta paraacutebola cuacutebica circunferecircncia elipse e hipeacuterbole
S1
S2
S3
S6
A
B
C
DE
F
G
H
I
A B C D E F G H I
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
22
2 CURVAS DE NIacuteVEL
O conjunto de todos os pontos onde uma funccedilatildeo f (xy) tem um valor constante c isin R eacute chamado de curva de niacutevel de f
Definiccedilatildeo 231 Seja c um nuacutemero real O conjunto de pontos no plano onde uma funccedilatildeo f (xy) tem um valor constante f (xy) = c eacute chamado de curva de niacutevel de f
Exemplo 1
Identifique as curvas de niacutevel para g (xy) = 4 ‒ x ‒ y em c = 0 e c = 6 Represente graficamente
Resoluccedilatildeog (xy) = c para c = 0
g (xy) = 4 ‒ x ‒ y0 = 4 ‒ x ‒ y
y = 4 ‒ xy = ‒ x + 4
Esta funccedilatildeo representa uma reta decrescente (coeficiente angular ndash1) que intercepta o eixo y em 4
g (xy) = c para c = 6g (xy) = 4 ‒ x ‒ y
6 = 4 ‒ x ‒ yy = 4 ‒ 6 ‒ xy = ‒ x ‒ 2
Esta funccedilatildeo representa uma reta decrescente (coeficiente angular ndash1) que intercepta o eixo y em ndash2
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
23
FIGURA 15 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE g (xy) = 4 ndash x ndash y
FONTE O autor
Outro exemplo que ilustra as curvas de niacutevel eacute o que muitos autores chamam de mapa de contorno conforme figura a seguir
FIGURA 16 ndash MAPA DE CONTORNO DE g (xy) = 4 ndash x ndash y
FONTE O autor
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
24
Considerando diferentes valores para a constante c igualmente espaccedilados obtemos um conjunto de curvas de niacutevel chamado mapa de contorno representadas no mesmo plano cartesiano
Exemplo 2Identifique as curvas de niacutevel para f (xy) = xsup2 ‒ ysup2 em c = 0 c = ndash3 e c = 4
Represente graficamente
Resoluccedilatildeof (xy) = c para c = 0
xsup2 ndash ysup2 = 0ysup2 = xsup2
y = x ou y = ndashx
Estas duas equaccedilotildees representam duas retas (Figura 17) A reta de equaccedilatildeo y = x representa no plano a bissetriz dos quadrantes iacutempares enquanto que a reta de equaccedilatildeo y = - x representa a bissetriz dos quadrantes pares
f (xy) = c para c = ‒ 3xsup2 ‒ ysup2 = ‒ 3
‒xsup2 ysup2 ‒3‒3 ‒3 ‒3=
xsup2 ysup23 3+ = 1‒
A equaccedilatildeo xsup2 ysup23 3+ = 1‒ representa uma hipeacuterbole equilaacutetera com
a = b = radic3 que tem uma concavidade voltada para cima e a outra para baixo (Figura 17)
f (xy) = c para c = 4xsup2 ‒ ysup2 = 4
‒xsup2 ysup2 4 4 4 4=
‒xsup2 ysup2 4 4 = 1
IMPORTANTE
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
25
Esta equaccedilatildeo representa uma hipeacuterbole equilaacutetera com a = b = 2 centrada na origem do plano cartesiano com uma concavidade voltada para a direita e outra para a esquerda (Figura 17)
FIGURA 18 ndash MAPA DE CONTORNO DE f (xy) = xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
FIGURA 17 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
y
x
c = 0
c = -3
c = 4
c = 0
c = 4
c = -3
420-2-4
-2
-4
0
2
4
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
26
Caro(a) acadecircmico(a) Para desenhar os mapas de contorno sugiro que utilize um software matemaacutetico como por exemplo o Winplot Na internet vocecirc encontra diversos tutoriais sobre o Winplot inclusive onde baixar o programa que eacute freeware Agora tente vocecirc identifique as curvas de niacutevel para g (xy) = 4 ndash 2xsup2 ndash ysup2 em c = 0 e c = ndash 2 e as represente graficamente
Exemplo 3Identifique as curvas de niacutevel para f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 em c = 1 e c = 2
Represente graficamente
Resoluccedilatildeof (xy) = c para c = 1
radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 15 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 1
‒ x sup2 ‒ y sup2 = ‒ 4 (-1)xsup2 + ysup2 = 4
Esta equaccedilatildeo representa uma circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano com raio igual a 2 (Figura 19)
f (xy) = c para c = 2
radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 25 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 4
‒ x sup2 ‒ y sup2 = ‒ 1 ( ‒ 1)x sup2 + y sup2 = 1
Esta equaccedilatildeo representa uma circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano com raio igual a 1 (Figura 19)
DICAS
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
27
FIGURA 19 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2
FONTE O autor
FIGURA 20 ndash MAPA DE CONTORNO DE f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2
FONTE O autor
c = 1
c = 2
-3 -2 -1
1
-1
-2
-3
2 31
2
3
x
y
-2
-1
0
1
22 1 0 ndash 1 ndash 2
x
y
28
RESUMO DO TOacutePICO 2
Neste toacutepico fizemos anaacutelises e representaccedilotildees graacuteficas das curvas de niacutevel de uma funccedilatildeo f
bull Reconhecimento algeacutebrico das curvas de niacutevel
29
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
1 Associe as superfiacutecies de 1 a 4 aos mapas de contorno de A a D
(1)
(A)
(2)
(B)
y ndash 2 ndash 1 ndash 1
ndash 2
ndash 3
x
1 2 3
1
2
3
1
05
0
ndash 05
ndash 1ndash 3ndash 2ndash 1 0 1 2 3 3 2 1 0ndash 1ndash 2ndash 3
ndash 3
ndash2
ndash 1
ndash 1ndash 2ndash 3 1
1
2
2
3
3 y
x
30
(3) (C)
(4) (D)
2 Nas questotildees a seguir identifique algebricamente as curvas de niacutevel para valores de c dados
a) f (xy) = x sup2 + y sup2 ‒ 9 c isin ‒ 4 ‒ 2 ‒ 1 0b) f (xy) = y sup2 ‒ x c isin 0 1 2 3
3 Nas questotildees a seguir represente graficamente as curvas de niacutevel das funccedilotildees Agora vocecirc escolheraacute alguns valores para c Eacute importante que vocecirc faccedila os graacuteficos manualmente e se for possiacutevel utilize o software Winplot para conferir ou como apoio nos estudos
a) f (xy) = x sup2 + 9y sup2b) f (xy) = y ‒ xsup3c) g (xy) = 3 + 2x ‒ y
3 2 1 0 ndash 1 ndash 2 ndash 33
2
1
0
ndash 1
ndash 2
ndash 3
y
ndash 3 ndash 2 ndash 1 0 1 2 3
3
2
1
0
ndash 1
ndash 2
ndash 3
y
x
20
10
0
ndash 10
ndash 20ndash 3
ndash 1ndash 2 0 1 2 3 ndash 2 ndash 1 0 1 2 3
x y
ndash 3 ndash 2 ndash 1 2 3
321ndash 1ndash 2ndash 300
x y
31
TOacutePICO 3
LIMITE E CONTINUIDADE
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 DEFINICcedilOtildeES BAacuteSICAS
O que estudaremos agora jaacute foi estudado no Caacutelculo Diferencial e Integral onde o conceito de limite e continuidade foi empregado para funccedilatildeo de uma variaacutevel
Neste toacutepico estenderemos o conceito de limite agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis um conceito fundamental do caacutelculo do qual decorrem outros como por exemplo a noccedilatildeo de continuidade Para isso enunciaremos algumas definiccedilotildees de Anaacutelise Matemaacutetica Tente entender os conceitos e soacute depois avance para a proacutexima seccedilatildeo
Definiccedilatildeo 321 Sejam P = (x1 x2 xn) e A = (a1 a2an) pontos em Rn A distacircncia entre P e A denotada por P ‒ A eacute dada por
P ‒ A = radic (x1 ‒ a1)sup2 + (x2 ‒ a2)sup2 + + (xn ‒ an)sup2
Exemplo 1Dados os pontos P = (1 ‒ 2 3) e A = (3 1 ‒ 2) em Rsup3 encontre P ‒ A
Resoluccedilatildeo P ‒ A = radic (1 ‒ 3)sup2 + (‒2 ‒1)sup2 + (3 ‒ (‒ 2))sup2 = radic8 uc
Definiccedilatildeo 322 Sejam A = (a1 a2 an) isin Rn e r gt 0 um nuacutemero real A bola aberta de centro em A e raio r que indicaremos por B(A r) eacute definida como sendo o conjunto de todos os pontos P = (x1 x2 xn) tais que P ‒ Alt r ou seja
B(A r) = (x1 x2xn) isin Rn radic (x1 ‒ a1)sup2 + (x2 ‒ a2)sup2 ++ (xn ‒ an)sup2 lt r
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
32
Exemplo 2a) Em R a bola aberta B(a r) eacute o intervalo aberto (a ‒ r a + r)
FIGURA 21 ndash INTERVALO EM R
FONTE O autor
b) Em Rsup2 a bola aberta B((a1 a2) r) representa o conjunto dos pontos internos agrave circunferecircncia de centro em (a1 a2) e raio r
FIGURA 22 ndash r de A
FONTE O autor
Definiccedilatildeo 321 Seja S um subconjunto de Rn Um ponto A eacute um ponto de acumulaccedilatildeo de S se toda bola aberta de centro em A possui uma infinidade de pontos de S mesmo que A natildeo necessariamente pertenccedila a S
Exemplo 3Seja S = (xy) isin Rsup2 | x gt 0 e y gt 2 Mostre que todos os pontos pertencentes
ao conjunto S satildeo pontos de acumulaccedilatildeo
ResoluccedilatildeoTodos os pontos pertencentes a S satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S pois
atendem agrave Definiccedilatildeo 321 Ainda os pontos (0y) com y ge 2 e (x 2) com x gt 0 satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S e natildeo pertencem a S (Figura 23)
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
33
FIGURA 23 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO CONJUNTO S
FONTE O autor
Exemplo 4Seja S = (xy) isin Z2 | ‒ 2 le x le 4 e 1 le y le 5 Mostre que o conjunto S natildeo
possui pontos de acumulaccedilatildeo
ResoluccedilatildeoMostraremos que os pontos de S natildeo satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S pois
natildeo atendem agrave Definiccedilatildeo 321 Para qualquer ponto P(xy) isin R2 a bola aberta de centro P e raio r lt 1 natildeo conteacutem uma infinidade de pontos de S
Portanto o conjunto S natildeo possui pontos de acumulaccedilatildeo (Figura 24)
FIGURA 24 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO CONJUNTO S
FONTE O autor
y
x
1098
654
21
34
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
3 LIMITE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
A seguir definiremos limite de uma funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 331 Sejam f S sub Rn rarr R uma funccedilatildeo e A um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que o limite de f (X) quando X se aproxima de A eacute um nuacutemero real L se dado ε gt 0 existir δ gt 0 tal que |f (X) ndash L| lt ε sempre que X isin S e 0 lt X ndash A lt δ
Neste caso escrevemos
lim f (X) = L x rarr A
O estudo de funccedilotildees de trecircs ou mais variaacuteveis (n ge 3) difere pouco do estudo de funccedilotildees de duas variaacuteveis Desta forma por simplicidade de apresentaccedilatildeo vamos estudar as funccedilotildees de duas variaacuteveis no restante desta unidade Comeccedilaremos reescrevendo a definiccedilatildeo de limite de funccedilotildees de duas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 332 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo e (a b) um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que o limite de f (xy) quando (xy) se aproxima de (ab) eacute um nuacutemero real L se dado ε gt 0 existir δ gt 0 tal que
|f (xy) ndash L| lt ε sempre que (xy) isin S e 0 lt radic(x ‒ a)2 + (y ‒ b)2 lt δ
Neste caso escrevemos
lim f (xy) = L (xy) rarr (ab)
A definiccedilatildeo de limite de funccedilatildeo pode ser reformulada utilizando o conceito de bola aberta que vimos anteriormente De fato escrever lim f (xy) = L equivale
a dizer que dado qualquer ε gt 0 podemos encontrar δ gt 0 tal que para todo (xy) isin B ((ab) δ) tenhamos f (xy) isin (L ndash ε L + ε) A figura a seguir ilustra no caso de uma funccedilatildeo f A sub Rn rarr R a definiccedilatildeo de limite
FIGURA 25 ndash FUNCcedilAtildeO f A sub Rn rarr R
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwicmcuspbr~cmmendesCalculoIICalculo2DiferenciaE7E3opdfgt Acesso em 18 jun 2011
(xy) rarr (ab)
A sub Rn
P₀
f
L ndash ε
L + εL
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
35
Exemplo 5Usando a definiccedilatildeo de limite mostre que lim (4x ndash 3y) = 5 (xy) rarr (21)
ResoluccedilatildeoDevemos mostrar que forall ε gt 0 exist δ gt 0 tal que (4x ‒ 3y) ‒ 5 lt ε sempre que
(xy) ‒ (21)lt δ
Com o objetivo de encontrar o δ desejado trabalharemos com a desigualdade que envolve ε Assim usando propriedades do valor absoluto podemos escrever
(4x ‒ 3y) ‒ 5=4x ‒ 3y ‒ (8 ‒ 3)=4x ‒ 8 ‒ 3y + 3=4x ‒ 8 ‒ (3y ‒ 3)=4 (x ‒ 2) ‒ 3(y ‒ 1)le 4x ‒ 2+ 3 y ‒ 1
Como 0 lt radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ podemos escrever x ‒ 2 le
radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ e y ‒ 1 le radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ temos que 4x ‒ 2 + 3y ‒ 1lt 4 δ + 3 δ
Assim tomando δ = ε7 temos(4x ‒ 3y) ‒ 5le 4x ‒ 2+ 3y ‒ 1lt
4 ε7 + 3 ε
7 = ε sempre que 0 lt radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ
Portanto lim (4x ‒ 3y) = 5 (xy) rarr (21)
Teorema 331 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis S1 e S2 subconjuntos de S e (ab) um ponto de acumulaccedilatildeo de S1 e S2 Se f (xy) tem limites diferentes quando (xy) tende (ab) atraveacutes dos pontos de S1 e S2 entatildeo lim f (xy) natildeo existe (xy) rarr (ab)
Lembre-se de que o fato de o ponto (ab) ser um ponto de acumulaccedilatildeo de S1 e
S2 natildeo significa que (ab) isin S
1 cap S
2
Exemplo 6Usando a definiccedilatildeo de limite mostre que lim 5xy
x2 + y2 natildeo existe
ATENCAO
(xy) rarr (21)
36
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Resoluccedilatildeo
Observemos que o conjunto domiacutenio de f eacute R2 ‒ (00) Para mostrar que o limite natildeo existe usaremos o Teorema 331
Consideremos o conjunto de retas que passam pela origem y = kxk isin R (xy) isin R2
Calculando f (xy) com y = kx temos
f (xkx) = 5xkx
x2 + (kx)2
= 5kx2
x2 (1+ k2)
= 5k
1+ k2
Entatildeo lim f (x kx) = lim 5k
1+ k2 (xy) rarr (00) (xy) rarr (00)
Assim o limite de f depende do percurso do ponto (xy) quando ele tende agrave origem Por exemplo considere k = 0 e k = 1 (dois caminhos diferentes)
lim f (xx) = lim 5 11+1
= 522
e lim f (xa) = 5 01 0
02+=
(xy) rarr (00) (xy) rarr (00)
Note que f assume um valor constante sobre cada reta que passa pela
origem De fato para cada coeficiente angular k isin R f (xkx) = 5k
1+k2 qualquer que
seja x isin R corroborando assim o caacutelculo do limite desenvolvido anteriormente
Portanto concluiacutemos atraveacutes do Teorema 331 que lim 5xy
x2 + y2 natildeo
existe (xy) rarr (00)
O teorema a seguir eacute muito parecido com o que jaacute foi visto em caacutelculo nas propriedades de limites de funccedilotildees de uma variaacutevel
Teorema 332 Se lim f (xy) = L e lim g (xy) = M e c isin R entatildeo (xy) rarr (ab) (xy) rarr (ab)
(xy) rarr (00)
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
37
Vamos utilizar este teorema nos exemplos a seguir
Exemplo 7
Calcule
Resoluccedilatildeo
Exemplo 8
Calcule
Resoluccedilatildeo
Temos lim (x3 ‒ x2y) = 0 e lim (x2 ‒ y2) = 0 (xy) rarr (22) (xy) rarr (22)
Neste caso temos uma indeterminaccedilatildeo do tipo 00
Para resolver o limite
fatoram-se o numerador e denominador fazendo as simplificaccedilotildees possiacuteveis como faziacuteamos com limites indeterminados no caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral
Entatildeo
38
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
4 CONTINUIDADE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Vocecirc se recorda da definiccedilatildeo de continuidade estudada na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral Agora estudaremos esta definiccedilatildeo aplicada agraves funccedilotildees de diversas variaacuteveis Acompanhe a seguir
Definiccedilatildeo 341 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo e (ab) isin S um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que f eacute contiacutenua no ponto (ab) se as seguintes condiccedilotildees forem satisfeitas
(i) f estaacute definida no ponto (ab)(ii) lim f(xy) existe
(xy) rarr (ab)
(iii) lim f(xy) = f(ab) (xy) rarr (ab)
Quando uma ou mais destas condiccedilotildees natildeo eacute satisfeita dizemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no ponto (ab)
Dizemos que f eacute contiacutenua se f for contiacutenua em todos os pontos do domiacutenio de f
Exemplo 9
Considere a funccedilatildeo de duas variaacuteveis f(xy) = 3x + y2
a) Mostre que f eacute contiacutenua no ponto (2 3)
b) Mostre que f eacute contiacutenua
+
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
39
Resoluccedilatildeo
a) Precisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(i) f (23) = 32 + 32 = 15(ii) lim f(xy) = lim (3x + y2) = 32 + 32 = 15 (xy) rarr (23) (xy) rarr (23)
(iii) lim (3x + y2) = f (23) (xy) rarr (23)
Logo f eacute contiacutenua no ponto (2 3)
b) Seja (ab) isin D (f) = R2
lim f(xy) = lim (3x + y2) = 3a + b2 = f (ab) (xy) rarr (ab) (xy) rarr (ab)
Como (ab) eacute um ponto qualquer segue que f (xy) eacute contiacutenua
Exemplo 10
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = In (xy + 3x) eacute contiacutenua no ponto (32)
Resoluccedilatildeo
Verificaremos se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
Logo f eacute contiacutenua no ponto (3 2)
40
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 11
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = eacute contiacutenua no ponto (33)
Resoluccedilatildeo
Precisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(i) f (33) = 5 pois x = y
(ii) = infin portanto o limite natildeo existe
(iii) Como lim f(xy) ne f(33) concluiacutemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no ponto (33) (xy) rarr (33)
Teorema 341 Se g(x) for contiacutenua em a e h(y) for contiacutenua em b entatildeo f(xy) = g(x) middot h(y) eacute contiacutenua em (ab)
Teorema 342 Se h(x y) for contiacutenua em (ab) e g(u) for contiacutenua em u = h (ab) entatildeo a composiccedilatildeo f(xy) = g(h(xy)) eacute contiacutenua em (ab)
Exemplo 12Use o Teorema 341 para mostrar que a funccedilatildeo f(xy) = 7x3y5 eacute contiacutenua
Resoluccedilatildeo
Os polinocircmios g(x) = 7x3 e h(y) = y5 satildeo contiacutenuos em cada ponto da reta real
Logo pelo Teorema 341 a funccedilatildeo f(xy) = 7x3 y5 eacute contiacutenua em cada ponto (xy) do plano xy ou seja f(xy) eacute contiacutenua
Exemplo 13Use o Teorema 342 para mostrar que a funccedilatildeo f(xy) = cos (7x3 y5) eacute contiacutenua
ResoluccedilatildeoComo h(xy) = 7x3 y5 eacute contiacutenua em cada ponto do plano xy e g(u) = cos u eacute
contiacutenua em cada ponto u da reta real segue do Teorema 342 que a composiccedilatildeo f(xy) = cos (7x3 y5) eacute contiacutenua em todo R2
41
RESUMO DO TOacutePICO 3
Caro(a) acadecircmico(a) Neste toacutepico os principais assuntos estudados foram
bull O conceito de limite de funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
bull Definiccedilatildeo de funccedilatildeo contiacutenua e suas propriedades Eacute importante saber analisar se uma funccedilatildeo eacute contiacutenua ou natildeo
bull Destacamos a Definiccedilatildeo 341 que trata da continuidade Lembre que se f S sub R2 rarr R eacute uma funccedilatildeo e (ab) isin S eacute um ponto de acumulaccedilatildeo de S dizemos
que f eacute contiacutenua no ponto (ab) se as seguintes condiccedilotildees forem satisfeitas
(i) f estaacute definida no ponto (ab)
(ii) lim f(xy) existe
(xy) rarr (ab)
(iii) lim f(xy) = f(ab)
(xy) rarr (ab)
Lembre-se de que se uma destas condiccedilotildees natildeo for satisfeita a funccedilatildeo eacute descontiacutenua em (ab)
42
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre limite e continuidade de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
1 Use a definiccedilatildeo de limite para mostrar que lim (2x + 6y) = 12 (xy) rarr (31)
2 Nos exerciacutecios a seguir calcule os limites
a) lim (x2y3 ‒ 2xy + 4) (xy) rarr (2 ‒1)
b) lim (xy) rarr (2 ‒1)
c) lim (xy) rarr (00)
d) lim x2 ‒ xy
radic radicx + y (xy) rarr (00)
x + 4y2x2 + 3xy
x3 + 2x2 + xy2 + 2y2
x2 + y2
3 Mostre que lim x2y
x4 + y2 natildeo existe (xy) rarr (00)
4 Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f (xy) = 3x2 + y2 +5
5 Verifique se a funccedilatildeo f(xy) = 4x2 ‒ 3x + yx2 + y2 ‒ 1
eacute contiacutenua no ponto (13)
6 Verifique se a funccedilatildeo f(xy) = xy5x2 + y2
0 (xy) = (00)
(xy) ne (00) eacute contiacutenua
43
TOacutePICO 4
DERIVADAS PARCIAIS
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
Vocecirc se recorda das regras de derivaccedilatildeo estudadas na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral
Aqui veremos como elas se aplicam agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis independentes que permitem uma visualizaccedilatildeo graacutefica possibilitando um entendimento de maneira simples do conceito de derivadas parciais Os resultados aqui obtidos podem ser generalizados para os casos de funccedilotildees com um nuacutemero maior de variaacuteveis
As regras de derivaccedilatildeo que vocecirc aprendeu na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral seratildeo utilizadas neste momento novamente
2 RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVACcedilAtildeO
Se u eacute uma funccedilatildeo real e c α isin R entatildeo
(c)prime = 0 (eu)prime = eu sdot u prime(c sdot u)prime = c sdot uprime (sen u)prime = cos u sdot u prime(u α)prime = α sdot u αminus1 sdot uprime (cos u)prime = minussen u sdot u prime
Exemplo 1Se f(x) = 5x3 minus 4x + 3ex minus 5 entatildeo f prime(x) = 15x2 minus 4 + 3ex
Lembre-se que se y = f (x) entatildeo a taxa de variaccedilatildeo de y em relaccedilatildeo a x eacute dada pela derivada de f em relaccedilatildeo a x que eacute definida por
f(x + Δx) minus f(x)Δx
f prime(x) = limΔx rarr 0
44
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
3 DERIVADAS PARCIAIS
Nesta seccedilatildeo estudaremos sobre as derivadas parciais Acompanhe
31 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS
A definiccedilatildeo de derivada parcial de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis eacute parecida com a enunciada para funccedilotildees de uma variaacutevel sendo utilizadas as mesmas regras de derivaccedilatildeo A diferenccedila aqui eacute que como se tem duas variaacuteveis uma delas deve ser mantida fixa enquanto se daacute acreacutescimos para a outra conforme veremos nas definiccedilotildees a seguir
Definiccedilatildeo 4311 Seja f A sube R2 rarr R uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis As derivadas parciais de f em relaccedilatildeo a x e a y satildeo funccedilotildees partf
partx e partf
party definidas por
partfpartx
= limh rarr 0
f (x + hy) ‒ f (xy)h
partfparty
= limh rarr 0
f (xy + h) ‒ f (xy)h
desde que os limites existam
O siacutembolo ldquopartrdquo chama-se ldquoD-rondrdquo (pronuncia-se derron) que significa D-redondo em francecircs Esta notaccedilatildeo eacute apenas um outro tipo de simbologia para a derivada que quando trabalhamos com funccedilotildees de uma variaacutevel era representada por ldquodrdquo Eacute conveniente ter essa maneira distinta de estender a notaccedilatildeo diferencial de Leibniz para um contexto de diversas variaacuteveis pois aqui natildeo tem sentido falarmos simplesmente em derivada apenas em derivadas parciais
Existem outras notaccedilotildees para representar as derivadas parciais Se z = f (xy)
denotamos
partfpartx
= fx (xy) = = Dx fpartzpartx
partfparty
= fy (xy) = = Dy fpartzparty
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
45
Preste muita atenccedilatildeo na simbologia de derivada Quando estamos derivando
uma funccedilatildeo de uma variaacutevel por exemplo y = f (x) entatildeo a derivada eacute identificada por dydx
Mas quando estamos derivando uma funccedilatildeo de duas ou mais variaacuteveis por exemplo z = f
(xy) entatildeo as derivadas satildeo identificadas por part zpart x
e part zpart y
Exemplo 2
Aplicar a definiccedilatildeo para achar partfpartx
e partfparty
para f (xy) = 3x2 ‒ 2xy
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= limh rarr 0
f (x + hy) ‒ f (xy)h
= limh rarr 0
3 (x + h)2 ‒ 2 (x + h)y ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
3x2 + 6xh + 3h2 ‒ 2xy ‒ 2hy ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
6xh + 3h2 ‒ 2hyh
= limh rarr 0
h (6x + 3h ‒ 2y)h
= lim 6x + 3h ‒ 2yh rarr 0
= 6x ‒ 2y
partfparty
= limh rarr 0
f (xy + h)‒ f (xy)h
ATENCAO
46
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
= limh rarr 0
3x2 ‒ 2x (y + h) ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
3x2 ‒ 2xy ‒ 2xh ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
‒ 2xhh
= lim (‒ 2x)h rarr 0
= ‒ 2x
Logo obtemos partfpartx
= 6x ‒ 2y e partfparty
= ‒ 2x
Exemplo 3Encontre as derivadas parciais de f (xy) = 5x3 ‒ 4xy + 3exysup3 ‒ 5
ResoluccedilatildeoPara encontrar a derivada parcial de f em relaccedilatildeo a x devemos olhar para
a variaacutevel y da funccedilatildeo f como uma constante e derivamos apenas a variaacutevel x ou seja aplicaremos as regras de derivaccedilatildeo somente na variaacutevel x
partfpartx
= 5 ∙ 3x2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ y + 3exysup3 ∙ 1 ∙ y3 ‒ 0
= 15x2 ‒ 4y + 3y3 exysup3
De forma anaacuteloga para derivar parcialmente f em relaccedilatildeo a y devemos olhar para a variaacutevel x da funccedilatildeo f como uma constante e derivamos apenas a variaacutevel y ou seja aplicaremos as regras de derivaccedilatildeo somente na variaacutevel y
partfparty
= 0 ‒ 4x ∙ 1 + 3exysup3 ∙ x ∙ 3y2 ‒ 0
= ‒ 4x + 9xy2 exysup3
Exemplo 4Encontre as derivadas parciais de f (xy) = 3x2 ‒ xy + y
ResoluccedilatildeoDerivando f em relaccedilatildeo a x (lembre-se de considerar y como constante)
partfpartx
= 6x ‒ y
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
47
E derivando f em relaccedilatildeo a y (agora considere x como constante)
partfparty
= ‒ x + 1
Exemplo 5Encontre as derivadas parciais de f (xy) = ex ‒ y ‒ ey ‒ x
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= ex ‒ y ∙ 1 ‒ ey ‒ x ∙ (‒ 1)
= ex ‒ y + ey ‒ x
partfparty
= ex ‒ y ∙ (‒ 1) ‒ ey ‒ x ∙ 1
= ex ‒ y ‒ ey ‒ x
Exemplo 6Calcule as derivadas parciais de f (xy) = (x + y) sen (x ‒ y)
ResoluccedilatildeoObserve que a funccedilatildeo f eacute um produto de outras duas funccedilotildees u e v Assim
lembramos que (u sdot v)prime = u prime sdot v + u sdot v prime
partfpartx
= 1sen(x ‒ y) + (x + y) ∙ 1 ∙ cos (x ‒ y)
= sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ cos (x ‒ y)
partfparty
= 1∙ sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ (‒1) ∙ cos (x ‒ y)
= sen (x ‒ y) ‒ (x + y) ∙ cos (x ‒ y)
Exemplo 7Calcule as derivadas parciais de f (xy) = exy + In (x2 + y)
Resoluccedilatildeopartpart
= ++
fxy e x
x yxy
22
Utilizamos a regra
lnu uu
fyx e
x yxy
( )prime = prime
partpart
= ++1
2
48
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Ateacute aqui estivemos preocupados com o caacutelculo da derivada parcial de uma funccedilatildeo em relaccedilatildeo a uma de suas variaacuteveis Isso quer dizer que calculamos a derivada ao longo de uma curva sem ponto fixado Passemos a ver como se calcula a derivada fixando um ponto da superfiacutecie
Se (x0 y0) for um ponto do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (xy) o plano vertical y = y0 cortaraacute a superfiacutecie z = f (xy) na curva z = f (x y0) (Figura 26)
Definiccedilatildeo 4312 A derivada parcial da funccedilatildeo f em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x eacute representada por partf
partx e eacute definida num ponto P (x0 y0) do domiacutenio por
(x0 y0) = limΔ x rarr 0
partfpartx
f (x0 + Δ x y0) ‒ f (x0 y0)Δ x
se este limite existir
FIGURA 26 ndash FUNCcedilAtildeO f (xy)
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
Se (x0 y0) for um ponto do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (xy) o plano vertical x = x0 cortaraacute a superfiacutecie z = f (xy) na curva z = f (xy0) (Figura 27)
Definiccedilatildeo 4313 A derivada parcial da funccedilatildeo f em relaccedilatildeo agrave variaacutevel y eacute representada por partf
party e eacute definida num ponto P (x0 y0) do domiacutenio por
(x0 y0) = limΔ x rarr 0
partfparty
f (x0 y0 + Δ y ) ‒ f (x0 y0)Δ y
se este limite existir
Eixo horizontal no plano y = y₀
Eixo vertical no plano y = y₀
Reta tangente
A curva z = f (xy0)no plano y = y₀
z
z = f (xy)
y
y₀
(x₀ y₀)(x₀ + h y₀)
x
x₀0
P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
49
FIGURA 27 ndash FUNCcedilAtildeO f (xy)
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
Exemplo 8Sendo f (xy) = 2x2y ndash 4y3 calcule partf
partx partfparty
partfpartx
(31) partfparty
(31)
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= 2 sdot 2x sdot y ndash 0 partfpartx
(31) = 4 sdot 3 sdot 1 = 12
partfpartx
= 4xy
partfparty = 2x 2 sdot 1 ndash 4 sdot 3y 2
partfparty (31) = 2 sdot 32 ndash 12 sdot 12
partf party
= 2x 2 ndash 12y 2 partfparty
(31) = 2 sdot 9 ndash 12 sdot 1 = 18 ndash 12 = 6
Exemplo 9
Sendo f (xy) = 5xy2x + 3y
0 se (xy) = (00)
se (xy) ne (00) calcule partf
partx e partf
party
Eixo vertical no plano x = x₀
Reta tangente
A curva z = f (x y0)no plano x = x₀
Eixo horizontal no plano x = x₀
x₀
x(x₀ y₀)
(x₀ y₀ + k)
z = f (xy)
z
y
y₀
P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))
50
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
ResoluccedilatildeoNos pontos (xy) ne (00) podemos aplicar as regras de derivaccedilatildeo Assim
temos
partfpartx
5y middot (2x + 3y) ‒ 5xy middot 2(2x + 3y)2
=
10xy + 15y 2 ‒ 10xy(2x + 3y)2
=
15y 2
(2x + 3y)2=
partfparty
5x middot (2x + 3y) ‒ 5xy middot 3(2x + 3y)2
=
10x2
(2x + 3y)2=
Para calcularmos as derivadas de f na origem usamos a definiccedilatildeo de derivada parcial
(00) = limh rarr 0
partfpartx
f (0 + h 0 ) ‒ f (00)h
= limh rarr 0
5h middot 0 2h
h
‒ 0( (( (
(00) = limh rarr 0
partfparty
f (00 + h) ‒ f (00)h( (
= limh rarr 0
5 middot 0 middot h 3h
h
‒ 0( (= 0
= 0
Assim obtemos as derivadas parciais da funccedilatildeo f com relaccedilatildeo a x e com relaccedilatildeo a y em todos os pontos (xy) do domiacutenio
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
51
32 INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
A interpretaccedilatildeo das derivadas parciais eacute anaacuteloga agrave interpretaccedilatildeo da derivada simples Sabemos que para a funccedilatildeo y = f (x) a derivada f prime (x0) pode ser interpretada ou como a taxa de variaccedilatildeo de y em relaccedilatildeo a x no ponto x0 ou como a inclinaccedilatildeo da reta tangente ao graacutefico de f no ponto x0
Para interpretar as derivadas parciais consideramos a funccedilatildeo z = f (xy) e
as suas derivadas parciais no ponto (x0 y0) Vamos interpretar partfpartx
(x0 y0) suponha
que C1 eacute a interseccedilatildeo da superfiacutecie z = f (xy) com o plano y = y0 (o que equivale a
considerar y como constante) Geometricamente partfpartx
(x0 y0) pode ser interpretada
como a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva C1 no ponto (x0 y0) que se denota por partfpartx
(x0 y0) = tg α
Da mesma forma supondo C2 a interseccedilatildeo da superfiacutecie z = f (xy) com
o plano x = x0 (o que equivale a considerar x como constante) interpretamos partfparty
(x0 y0)geometricamente como a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva C2 no ponto
(x0 y0) que se denota por partfparty
(x0 y0) = tg b Veja na Figura 28 a situaccedilatildeo descrita
anteriormente
A derivada parcial partfpartx
(x0 y0) tambeacutem pode ser interpretada como a taxa de variaccedilatildeo de z em relaccedilatildeo a x ao longo da curva C1 E a derivada parcial partf
party (x0 y0)
tambeacutem pode ser interpretada como a taxa de variaccedilatildeo de z em relaccedilatildeo a y ao longo da curva C2 Assim estes valores representam a velocidade com que z cresce (ou decresce) quando apenas uma variaacutevel estaacute sendo alterada
FIGURA 28 ndash INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
y
x
z
x₀
c₂ c₁
y₀
b
α
52
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 10A funccedilatildeo T (xy) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto
de uma chapa Encontre a razatildeo de variaccedilatildeo da temperatura em relaccedilatildeo agrave distacircncia percorrida ao longo da chapa na direccedilatildeo dos eixos positivos x e y no ponto (1 2) Considere a temperatura medida em graus Celsius e a distacircncia em cm
Resoluccedilatildeo
partTpartx = 0 ‒ 2 sdot 2x = ‒ 4x
partTpartx (1 2) = ‒ 4 sdot 1 = ‒ 4degC cm
Assim podemos interpretar o valor ‒ 4degC cm obtido na derivada em x da seguinte forma a temperatura estaacute diminuindo 4degC agrave medida que x aumenta uma unidade
partTparty = 0 ‒ 2 middot 3y = ‒ 6y
partTparty (1 2) = ‒ 6 middot 2 = ‒ 12degC cm
Assim o valor ‒ 12degC cm significa que a temperatura diminui 12degC agrave medida que y aumenta uma unidade
Exemplo 11Suponha que D = radicx 2 + y 2 eacute o comprimento da diagonal de um retacircngulo
cujos lados tecircm comprimentos x e y que satildeo permitidos variar Determine uma foacutermula para a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x se x varia com y considerado constante e utilize esta foacutermula para determinar a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x no ponto x = 3 e y = 4
ResoluccedilatildeoA foacutermula para a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x eacute
D = radicx 2 + y 2 D = (x 2 + y 2)frac12
partDpartx
= 12
(x 2 + y 2)-frac12 (2x)
partDpartx
= radic
xx 2 + y 2
A taxa de variaccedilatildeo instantacircnea de D em relaccedilatildeo a x no ponto (3 4) eacute
partDpartx
(3 4) = radic
332 + 42
= 35
Assim D aumenta a uma taxa de 35
de unidade para cada unidade de aumento de x no ponto (3 4)
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
53
4 GENERALIZACcedilAtildeO
Na seccedilatildeo anterior estudamos as derivadas parciais de funccedilotildees de duas variaacuteveis Agora vamos generalizar este conceito para as derivadas parciais de funccedilotildees de n variaacuteveis reais
Definiccedilatildeo 441 Seja f A sube Rn rarr R uma funccedilatildeo de n variaacuteveis e seja x = (x1 x2 xn) isin A Definimos a derivada parcial de f no ponto x em relaccedilatildeo a xi por
partpart
+ minusrarr
fxi h
i n (x) = f (x x h x f (x
lim )
01 1 xx
hn ) quando esse limite existir
Definiccedilatildeo 442 Seja f A sub Rn rarr R uma funccedilatildeo de n variaacuteveis e seja B sube A o
conjunto formado por todos os pontos x tais que partfpartxi
(x) existe Definimos a funccedilatildeo
derivada parcial de 1ordf ordem de f em relaccedilatildeo a xi como a funccedilatildeo que a cada x isin B associa
o nuacutemero partfpartxi
(x) dado por partfpartxi
(x) = limf (x1 xi + h xn) ‒ f (x1 xi xn)
h( (h rarr 0
Exemplo 12Calcule as derivadas de primeira ordem da funccedilatildeo f (x y z) = 1 + xy 2 ‒ 2z3
ResoluccedilatildeoAo derivar f em relaccedilatildeo a x lembre-se de considerar y e z como constantes
partfpartx
= y 2
Derivando f em relaccedilatildeo a y (agora considere x e z como constantes)
partfparty
= 2xy
E derivando f em relaccedilatildeo a z (considere x e y como constantes)
partfpartz
= ‒ 6z2
Exemplo 13Calcule as derivadas de primeira ordem da funccedilatildeo f (x y z) = yz In (xy)
ResoluccedilatildeoObserve primeiramente que a funccedilatildeo eacute dada por um uacutenico termo e teremos
que usar as regras do produto e do logaritmo natural
54
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Derivando f em relaccedilatildeo a x (considere y e z como constantes) Como a variaacutevel x aparece apenas no logaritmando usaremos a regra do logaritmo natural
partfpartx
= yz ∙ yxy
= yzx
Derivando f em relaccedilatildeo a y (considere x e z como constantes)
Como a variaacutevel y aparece no fator que multiplica o logaritmo e tambeacutem no logaritmando entatildeo aplicaremos a regra do produto junto agrave regra do logaritmo natural
partfparty
= z In (xy) + yz middot xxy
= z In (xy) + z
E derivando f em relaccedilatildeo a z (considere x e y como constantes) a variaacutevel z aparece apenas no fator que multiplica o logaritmo entatildeo aplicaremos a regra da derivada simples em z
partfpartz
= y In (xy)
5 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
As derivadas parciais partfpartx
e partfparty
satildeo funccedilotildees de x e y e assim elas mesmas
podem ter derivadas parciais Com isso teremos outras quatro derivadas parciais estas de segunda ordem de f as quais satildeo definidas por
Exemplo 14Sendo f (xy) = y2 ex + 5y calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
55
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= y2 ex partf
party= 2y ex + 5
Para fazermos as derivadas parciais de segunda ordem vamos derivar parcialmente cada uma das derivadas de primeira ordem em relaccedilatildeo a x e a y Fique atento(a) agrave notaccedilatildeo
Exemplo 15Sendo f (xy) = x2 cos y + y2 sen x encontre as derivadas parciais de segunda
ordem de f
Resoluccedilatildeo
56
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 16Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de f (xy) = x + 3y
ResoluccedilatildeoPrimeiro devemos escrever a funccedilatildeo na forma de potecircnciaf (xy) = (x + 3y)frac12
Observe que devemos aplicar a regra da potecircncia para a derivaccedilatildeo (u α)prime = α uαminus1 uprime
radic
Exemplo 17Dada a funccedilatildeo f (xy) = x3y + 4x2y3 calcule
a) part2fpartypartx
b) part2fpartx2
c) part3fpartxpartypartx
d) part3fpartypartx2
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
57
Resoluccedilatildeo
partpart part
=partpart
partpart
partpart part
=partpart
+( )partpart part
= +
2
22 3
22
3 8
3 24
fy x y
fx
fy x y
x y xy
fy x
x xyy2
partpart
= +
part
part= +
fx
x y xy
fx
xy y
3 8
6 8
2 3
2
23
partpart
= +
partpart part
= +
partpart part part
= +
fx
x y xy
fy x
x xy
fx y x
x y
3 8
3 24
6 24
2 3
22 2
32
partpart
= +
part
part= +
part
part part= +
fx
x y xy
fx
xy y
fy x
x y
3 8
6 8
6 24
2 3
2
23
3
22
Talvez vocecirc tenha percebido nos exemplos que as derivadas mistas de segunda ordem part2f
partxparty e part2f
partypartx satildeo iguais Seraacute que isto ocorre sempre
Respondendo agrave pergunta A igualdade entre as derivadas parciais mistas
ocorre quando a funccedilatildeo f (xy) e suas derivadas parciais part2fpartx2
part2fpartxparty
part2fpartypartx
e part2fparty2
forem todas contiacutenuas fato este que nem sempre ocorre
Caro(a) acadecircmico(a) mostre que partpart part
( ) = partpart part
( ) =2 2
0 0 0 0 0 1f
x yf
y x e considerando a
funccedilatildeo f x yxyx y
x y
x y
( ) = +
( ) ne ( )
( ) =
3
2 20 0
0 0 0
se
se (( )
UNI
UNI
a) b)
c) d)
58
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Este fato se repete para funccedilatildeo de trecircs variaacuteveis isto eacute teremos a igualdade
das seis derivadas parciais mistas part2fpartxparty
part2fpartypartx
= part2fpartxpartz
part2fpartzpartx
= e part2fpartypartz
part2fpartzparty
= se f
(x y z) e todas as suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contiacutenuas
Verifique se de fato as derivadas mistas satildeo iguais para a funccedilatildeo f (x y z) = x y2z3 + 3 yz
Teorema 451 (Teorema de Schwarz) Suponhamos que f seja uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis x e y definida em bola aberta B com derivadas parciais de segunda
ordem contiacutenuas em B Entatildeo part2fpartxparty
part2fpartypartx
(a b) = (a b) para todo (a b) isin B
Como consequecircncia do teorema se a funccedilatildeo z = f (xy) tem todas as derivadas parciais contiacutenuas em uma bola aberta entatildeo a ordem da derivada natildeo importa Por exemplo
A seguir apresentaremos a biografia de dois grandes matemaacuteticos Johann Bernoulli e Leonhard Euler que entre outros tambeacutem contribuiacuteram bastante para o desenvolvimento do caacutelculo diferencial e integral
UNI
UNI
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
59
LEITURA COMPLEMENTAR
JOHANN BERNOULLI (1667-1748)
Johann Bernoulli irmatildeo de Jacques Bernoulli nasceu no dia 27 de julho na Basileia Seus pais Nicolaus e Margaretha Bernoulli queriam que ele fosse comerciante ou meacutedico Johann pode ter sido influenciado quando crianccedila pelo seu irmatildeo Jacques que jaacute estava na carreira matemaacutetica
Em 1682 com 15 anos de idade trabalhou no comeacutercio durante um ano poreacutem natildeo gostou da atividade Em 1683 ingressou na Universidade da Basileia para estudar Medicina apesar de ter sempre gostado de Matemaacutetica Quatro anos depois seu irmatildeo foi nomeado professor de Matemaacutetica na Universidade e de 1687 a 1690 Johann e Jacques Bernoulli estudaram juntos as teorias de Leibniz sobre o Caacutelculo Na eacutepoca essas teorias natildeo tinham sido compreendidas por nenhum outro matemaacutetico e os irmatildeos Bernoulli foram os primeiros a estudaacute-las Os dois irmatildeos e Leibniz iniciaram uma seacuterie de artigos publicados na Acta Eruditorum dando origem agrave difusatildeo do Caacutelculo Leibniziano tornando-o amplamente conhecido
Em 1691 Johann foi agrave Franccedila onde conheceu o marquecircs de LrsquoHospital O marquecircs interessou-se pelo novo Caacutelculo e ofereceu um bom salaacuterio para que Johann lhe ensinasse O acordo permitia ao marquecircs usar todo o conteuacutedo ensinado como o desejasse A consequecircncia disso foi a importante contribuiccedilatildeo de Johann Bernoulli conhecida como Regra de LrsquoHospital publicada pelo marquecircs em seu primeiro livro sobre Caacutelculo em 1696 No prefaacutecio do livro LrsquoHospital fez menccedilatildeo a Johann Bernoulli mas natildeo lhe atribuiu o famoso teorema Soacute depois da morte do marquecircs Johann contestou a autoria poreacutem havia perdido a credibilidade no assunto devido agraves desavenccedilas puacuteblicas principalmente com seu irmatildeo Jacques Bernoulli Esse reconhecimento soacute aconteceu em 1922 quando encontraram uma coacutepia do curso na Basileia
60
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
A determinaccedilatildeo da equaccedilatildeo da catenaacuteria foi o primeiro problema importante resolvido por Johann Bernoulli em 1691 Esse problema existia haacute mais de 50 anos e Galileo em 1636 sugerira uma soluccedilatildeo Em 1646 Huygens provou que a soluccedilatildeo de Galileo era falsa mas tambeacutem natildeo conseguiu resolver o problema A catenaacuteria eacute a forma assumida por uma corda ou corrente suspensa livremente por dois pontos O problema era determinar sua equaccedilatildeo Utilizando o Caacutelculo Leibniziano Johann Bernoulli resolveu o problema e esse foi o primeiro sucesso puacuteblico do novo Caacutelculo
Em 1694 ele estudou as curvas exponenciais y = ax e y = xx Para Bernoulli a integraccedilatildeo era a operaccedilatildeo inversa da diferenciaccedilatildeo Tal concepccedilatildeo permaneceu ateacute a eacutepoca de Cauchy
Johann teve trecircs filhos Nicolaus (1695-1726) Daniel (1700-1782) e Johann (1710-1790) Todos eles foram matemaacuteticos e Daniel produziu um trabalho sobre Hidrodinacircmica conhecido como Princiacutepio de Bernoulli
Johann nunca chegou a publicar seu livro sobre o Caacutelculo poreacutem escreveu sobre a isoacutecrona soacutelidos de resistecircncia miacutenima trajetoacuterias problemas isoperimeacutetricos conseguindo tal reconhecimento pelo seu trabalho que apoacutes a morte de seu irmatildeo em 1705 foi chamado para ocupar a cadeira dele na Universidade de Basileia
Johann Bernoulli morreu no dia 1ordm de janeiro de 1748 na Basileia
FONTE E-CAacuteLCULO Mapa da histoacuteria Leibniz Disponiacutevel em lthttpecalculoifuspbrhistoriabernoulli1htmgt Acesso em 10 jun 2008
EULER LEONHARD (1707-1783)
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
61
Nascido na Basileia Suiacuteccedila Leonhard Euler foi a figura matemaacutetica dominante do seu seacuteculo e o matemaacutetico mais proliacutefico de que se tem notiacutecia Era tambeacutem astrocircnomo fiacutesico engenheiro e quiacutemico Foi o primeiro cientista a dar importacircncia ao conceito de funccedilatildeo estabelecendo desse modo uma base soacutelida para o desenvolvimento do caacutelculo e de outras aacutereas da matemaacutetica A coleccedilatildeo completa dos livros e trabalhos de Euler (mais de 870 artigos e livros) chega a mais de 80 volumes Ele contribuiu enormemente no campo da geometria analiacutetica da trigonometria do caacutelculo e da teoria dos nuacutemeros
Ainda jovem Euler demonstrou um futuro promissor como matemaacutetico apesar de seu pai preferir que estudasse teologia Felizmente Johann Bernoulli convenceu o pai a permitir que Euler se concentrasse no estudo da matemaacutetica Graduou-se pela Universidade da Basileia defendendo uma tese em que comparava o trabalho de Descartes ao de Newton Euler conseguiu uma posiccedilatildeo em Satildeo Petersburgo e durante alguns anos foi meacutedico na Marinha russa Em 1733 tornou-se professor de Matemaacutetica na Academia de Ciecircncias de Satildeo Petersburgo Em 1736 publicou a obra Mechanica em dois volumes na qual aplicou sistematicamente o caacutelculo agrave matemaacutetica de uma massa e incorporou muitas equaccedilotildees diferenciais novas agrave mecacircnica Em 1738 ele perdeu a vista direita Em 1741 conseguiu uma posiccedilatildeo como diretor matemaacutetico da Academia de Ciecircncias de Berlim Laacute desenvolveu alguns trabalhos como a traduccedilatildeo e a melhoria de Principles of Gunnery de Robin a publicaccedilatildeo de Scienia navalis em 1749 e Letters to a german princess de 1768 a 1772 e o ensino de Lagrange por correspondecircncia Em 1766 Euler retornou agrave Ruacutessia a convite de Catarina a Grande Em 1771 perdeu a visatildeo no olho esquerdo ficando completamente cego Seu trabalho foi do caacutelculo e da anaacutelise agrave medida que publicou sua trilogia Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis e Institutiones calculi integralis Esses trabalhos que perfaziam um total de seis volumes fizeram da funccedilatildeo uma parte central do caacutelculo e tratavam de aacutelgebra trigonometria geometria analiacutetica e teoria dos nuacutemeros Por meio desses tratados Euler influenciou grandemente o ensino da matemaacutetica Diz-se que todos os livros didaacuteticos de caacutelculo desde 1748 satildeo essencialmente coacutepias de Euler ou coacutepias de coacutepias dele Algumas de suas contribuiccedilotildees para as equaccedilotildees diferenciais satildeo as seguintes a reduccedilatildeo da ordem o fator integrante coeficientes indeterminados a teoria das equaccedilotildees lineares de segunda ordem e soluccedilotildees das seacuteries de potecircncias Ele tambeacutem incorporou o caacutelculo vetor e as equaccedilotildees diferenciais em seus trabalhos
Euler deu agrave geometria analiacutetica moderna e agrave trigonometria o que o livro Elements de Euclides deu agrave geometria e a tendecircncia resultante de apresentar a matemaacutetica e a fiacutesica em termos matemaacuteticos prosseguiu desde entatildeo Euler enriqueceu a matemaacutetica com muitos conceitos teacutecnicos e notaccedilotildees ainda em uso nos dias de hoje Ele deu ordem ao caos da notaccedilatildeo matemaacutetica Estabeleceu a maior parte da notaccedilatildeo que utilizamos hoje (seno co-seno e pi i sigma f para funccedilatildeo) A contribuiccedilatildeo de Euler para a teoria dos nuacutemeros e para a fiacutesica foi igualmente impressionante Em sua obra Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (Theory of the motions of rigid bodies) de 1765 ele fundou as bases da mecacircnica contiacutenua e da teoria lunar Sua influecircncia no campo da fiacutesica matemaacutetica
62
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
foi tatildeo difusa que a maior parte das descobertas natildeo eacute creditada a ele No entanto temos as equaccedilotildees de Euler para a rotaccedilatildeo de um corpo riacutegido fluxo de um fluido ideal incompressiacutevel flexatildeo de vigas elaacutesticas e carregamentos para empenamento de colunas Ele calculava sem esforccedilo aparente como os homens respiram ou como as aacuteguias se sustentam no vento Euler foi o Shakespeare da matemaacutetica universal ricamente detalhista e incansaacutevel
Teoremas principais adiccedilatildeo de seacuteries teorema das pontes de Koumlnigsberg
Principais obras Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis Institutiones calculi integrali Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum Mechanica Letters to a German princess
FONTE GUIA para a histoacuteria do Caacutelculo Euler Leonhard Disponiacutevel em lthttpcwxprenhallcombookbindpubbooksthomas_brchapter1medialibcustom3bioseulerhtmgt Acesso em 17 jul 2011
63
RESUMO DO TOacutePICO 4
Caro(a) acadecircmico(a) Neste toacutepico foram estudadas as derivadas parciais
bull Vocecirc deve ter percebido que o seu caacutelculo eacute similar ao caacutelculo de derivadas simples a diferenccedila estaacute no fato de ter agora duas variaacuteveis e ter que derivar a funccedilatildeo em termos de uma delas enquanto a outra eacute considerada como constante
Ou seja partfpartx
estamos derivando f (xy) em relaccedilatildeo a x considerando y como constante
bull A derivada parcial partfpartx
(x0 y0) eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva da superfiacutecie
z = f (xy) no plano vertical y = y0
bull Analogamente partfparty
(x0 y0) eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva da superfiacutecie
z = f (xy) no plano vertical x = x0
64
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre derivadas parciais
1 A funccedilatildeo T (xy) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto de
uma chapa Foram calculadas as derivadas parciais no ponto (2 3) e chegou-
se aos resultados partzpartx
(2 3) = ‒ 8 e partzparty
(2 3) = ‒ 18 Decirc os significados para
os dois valores obtidos com as derivadas parciais no ponto (2 3)
2 Nos exerciacutecios a seguir calcule as derivadas parciais partfpartx
e partfparty
das funccedilotildeesa) f (xy) = 2x2 ‒ 3y ‒ 4b) f (xy) = (x2 ‒ 1) (y + 2)c) f (xy) = (xy ‒ 1)2
d) f (xy) = 1x + y
e) f (xy) = ex + y + 1
f) f (xy) = In (2x + y)
3 Calcule as derivadas parciais de segunda ordem part2fpartx2
part2fpartxparty
part2fpartypartx
e part2fparty 2
das funccedilotildees a seguir
a) f (xy) = e3x sen yb) f (xy) = xey + y + 1
65
UNIDADE 2
DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Nessa unidade vamos
bull conhecer os principais conceitos que envolvem derivadas de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
bull aplicar a regra da cadeia nas derivadas parciaisbull calcular implicitamente as derivadas de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveisbull entender o conceito de diferenciabilidadebull entender o conceito de vetor gradiente e saber calculaacute-lobull entender o conceito de derivada direcional e saber calculaacute-labull calcular os miacutenimos e maacuteximos locais de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveisbull resolver problemas envolvendo minimizaccedilatildeo e maximizaccedilatildeo de funccedilotildees
de vaacuterias variaacuteveisbull aplicar o conceito de integrais muacuteltiplasbull calcular as integrais muacuteltiplas
Esta unidade estaacute dividida em quatro toacutepicos apresentando os conceitos e a utilizaccedilatildeo das derivadas parciais e tambeacutem a integraccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Dando continuidade ao estudo da unidade anterior seguimos com a regra da cadeia e a derivaccedilatildeo impliacutecita de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis resolven-do diversos exemplos para auxiliaacute-lo(a) na compreensatildeo e resoluccedilatildeo dos exer-ciacutecios propostos no final de cada toacutepico como vocecirc jaacute estaacute habituado em nossos cadernos de estudos Nos toacutepicos seguintes continuamos explorando outros conceitos e aplicaccedilotildees relacionados com as derivadas parciais tais como dife-renciabilidade de uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis diferencial vetor gradiente derivadas direcionais extremos locais e problemas envolvendo a otimizaccedilatildeo (minimizaccedilatildeo e maximizaccedilatildeo) de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Encerramos esta unidade com o estudo das integrais muacuteltiplas que eacute a integraccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Esperamos que este material possa auxiliaacute-lo em seus estudos
TOacutePICO 1 ndash REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
TOacutePICO 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE
TOacutePICO 3 ndash MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
TOacutePICO 4 ndash INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
66
67
TOacutePICO 1
REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
A regra para funccedilotildees compostas eacute tradicionalmente chamada de regra da cadeia Nesta seccedilatildeo vamos apresentar a regra da cadeia para funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
2 REGRA DA CADEIA
Inicialmente consideramos dois casos especiacuteficos de funccedilotildees de duas variaacuteveis e em seguida apresentamos a regra da cadeia generalizada
Teorema 121 (Regra da Cadeia ndash derivada total) Suponha que z = f (xy) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x e y onde x = x (t) e y = y (t) satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis de t Entatildeo a funccedilatildeo z = f (x(t) y (t)) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de t e
dzdt
zxdxdt
zydydt
=partpart
sdot +partpart
sdot
FIGURA 29 ndash DIAGRAMA DA AacuteRVORE PARA A REGRA DA CADEIA
FONTE O autor
partpartzx
partpartzy
dxdt
dydt
z
x y
t t
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
68
Exemplo 1Sejam z = f (xy) = 4x 3 y 2 x = t 4 e y = 3t 2
ResoluccedilatildeoComeccedilamos calculando as derivadas parciais partzpartx
= 12x2y2
partzparty
= 8x 3y
e em seguida calculamos as outras derivadas
partxpartt
= 4t 3
dydt
= 6t
Aplicamos a regra da cadeia substituindo as derivadas calculadas anteriormente
Substituindo x = t 4 e y = 3t 2 na expressatildeo acima temos
dzdt
= 12(t 4)2 (3t 2)2 ∙ 4t 3 + 8(t 4)3
∙ 3t 2 ∙ 6t
= 144t 15 + 144t 15
= 288t 15
Exemplo 2Sejam z = f (xy) = In (3x 2 + y) x = t + 1 e y = 5t
a) Calcule partzpartt
usando a regra da cadeiab) Determine a funccedilatildeo composta z = f (t + 15 t) e calcule dz
dt
Resoluccedilatildeo
a) Aplicaremos a regra da cadeia
Sabendo que y = In u rArr y prime = u primeu
calcularemos separadamente
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
69
Agora aplicamos
Substituindo x = t + 1 e y = 5t na expressatildeo anterior temos
ou seja
dzdt
6t + 113(t + 1)2 + 5t
=
dzdt
6(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t
=
b) A funccedilatildeo composta eacutez = f (t + 15 t)z = In (3(t + 1)2 + 5 t)
A derivada de z em relaccedilatildeo a t (calculada a partir desta expressatildeo) eacute
dzdt
32(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t
=
dzdt
6t + 113(t + 1)2 + 5t
=
Compare os resultados obtidos nos itens (a) e (b) do Exemplo 2 A facilidade do uso da regra da cadeia estaacute em derivar funccedilotildees ldquomenoresrdquo e posteriormente na substituiccedilatildeo ter menos trabalho algeacutebrico
UNI
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
70
Exemplo 3Sejam z = x2 + 2xy + y2 x = cos t e y = sen t Determine dz
dt
ResoluccedilatildeoUsando a regra da cadeia
dz = partz dx + partz dydt partx dt party dt
= (2x + 2y) (‒ sen t) + (2x + 2y) (cos t) = (2x + 2y) (cos t ‒ sen t) = 2(cos t + sen t) (cos t ‒ sen t)ou seja
dz = 2(cos2 t ‒ sen2 t)dt
Vimos no Teorema 121 como aplicar a regra da cadeia no caso da derivada total quando a funccedilatildeo tem duas variaacuteveis independentes Vamos generalizar esta derivada total para funccedilotildees com mais de duas variaacuteveis
Se a funccedilatildeo tiver mais de duas variaacuteveis representaremos por f (x1 x2 x3 xn) onde x1(t ) x2(t ) x3(t ) xn (t ) satildeo funccedilotildees de t Sua derivada em relaccedilatildeo a t eacute dada pela regra da cadeia
Como a derivada acima possui muitas parcelas eacute possiacutevel reescrever a regra usando o somatoacuterio
Exemplo 4Dada a funccedilatildeo f (xyz) = 3x ‒ 2y 3 + z2 onde x = sen t y = e2t e z = 4t 2 ‒ 3
encontre a derivada de f com relaccedilatildeo a t
ResoluccedilatildeoUsando a regra da cadeia
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
71
dfdt
fxdxdt
fydydt
fzdzdt
xx y z d
dt
=partpart
sdot +partpart
sdot +partpartsdot
=partpart
minus +( ) sdot se3 2 3 2 nn
ty
x y z ddte
zx y z d
dttt( ) + part
partminus +( ) sdot ( ) + part
partminus +( ) sdot minus( )3 2 3 2 4 33 2 2 3 2 2
s
= ( ) + minus( )( ) + sdot
= minus +
=
3 6 2 2 8
3 12 16
3
2 2
2 2
co t y e z t
t y e zt
t
tcos
coos
cos
t e e t t
t t t
t t
t
minus ( ) + minus( )= minus + minus
12 16 4 3
3 12 64 48
2 2 2 2
6 3
ou seja
ddfdt
t e t tt t= minus + minus+3 12 64 484 2 32cos
Exemplo 5A que taxa estaacute crescendo a aacuterea de um retacircngulo se seu comprimento eacute de
8 cm e estaacute crescendo a uma taxa de 05 cms enquanto que sua largura eacute de 6 cm e estaacute crescendo 02 cms
Resoluccedilatildeo
A aacuterea de um retacircngulo pode ser escrita como A (xy) = xy consideremos
x o comprimento e y a largura Atraveacutes do enunciado percebe-se que devemos
calcular dAdt
jaacute que as outras taxas dadas satildeo dx = 05dt
e dy = 02dt
O caacutelculo da
derivada deve ser feito para o ponto de coordenadas (8 6)
Como a aacuterea estaacute em funccedilatildeo de duas variaacuteveis x e y e estas por sua vez estatildeo relacionadas ao tempo atraveacutes da regra da cadeia temos
Calculamos as derivadas parciais para A (xy) = xy obtendo
partA = ypartx e
partA = xparty
Substituindo na regra da cadeia
dA = y middot 05 + x middot 02dt = 6 sdot 05 + 8 sdot 02 = 46
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
72
Dizer que dA = 46dt
cm2s significa que a aacuterea de um retacircngulo de dimensotildees
8x6 estaacute crescendo 46 cm2 a cada segundo
Exemplo 6Uma peccedila ciliacutendrica tem 12 cm de raio e 18 cm de altura Se o raio diminuir
agrave razatildeo de 002 cms e a altura aumentar agrave razatildeo de 003 cms entatildeo determine a taxa de variaccedilatildeo do volume em relaccedilatildeo ao tempo
ResoluccedilatildeoSejam r e h o raio e a altura de uma peccedila ciliacutendrica respectivamente e seja t
o tempo em segundos Podemos interpretar as taxas dadas como derivadas
drdt
dhdt
= minus =0 02 0 03 e + no instante em que r = 12 e h = 18
Queremos calcular dVdt
nesse instante Para isso usamos a foacutermula V (r h) = pr 2h do volume do cilindro para obter
dV =
partV dr +
partV dh dt partr dt parth dt
= 2prh dr + pr 2 dh dt dt
Substituindo os dados na regra da cadeia temos
dV = 2p12 18 (‒002) + p122 003dt = ‒864p + 432p = ‒432p
Portanto dV = ‒432pdt
cm3s significa que o volume de um cilindro de 12 cm de raio e 18 cm de altura estaacute diminuindo 432p cm3 a cada segundo
Teorema 122 (Regra da cadeia para derivadas parciais) Suponha que z = f (uv) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de u e v onde u = u (xy) e v = v (xy) satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis de x e de y Entatildeo z = f (u(xy)v(xy)) eacute uma funccedilatildeo de x e y e
Vamos construir um esquema denominado de diagrama da aacutervore para melhor compreensatildeo e execuccedilatildeo da regra da cadeia Proceda da seguinte forma
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
73
I) Trace um diagrama em aacutervore exprimindo as relaccedilotildees entre as variaacuteveis envolvidas
II) Para cada ramificaccedilatildeo da aacutervore determine a derivada parcial com relaccedilatildeo a estas variaacuteveis
III) Multiplique as derivadas determinadas em cada passo ao longo do caminhoIV) Some as contribuiccedilotildees de cada caminho
FIGURA 30 ndash DIAGRAMA DA AacuteRVORE PARA A REGRA DA CADEIA PARA DERIVADAS PARCIAIS
FONTE O autor
Exemplo 7Se z = f (uv) = eu cos v onde u = xy e v = x + y 2 determine
partz partx
e partz party
usando a regra da cadeia
Resoluccedilatildeo
partpart
=partpart
sdotpartpart
+partpart
sdotpartpart
zx
fu
ux
fv
vx
=partpart ( ) sdot partpart ( ) + part
part ( ) sdot partpart +( )
= sdot minus
ue v
xxy
ve v
xx y
e v y se
u u
u
cos cos
cos
2
nnv e
e y x y x y
u
xy
sdot
= +( ) minus +( )
cos
1
2 2sen
e
partpart
=partpart
sdotpartpart
+partpart
sdotpartpart
zy
fu
uy
fv
vy
Z
U V
yx yx
partpartzu
partpartzv
partpartux
partpartuy
partpartvx
partpartvy
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
74
Teorema 123 (Regra da cadeia generalizada) Suponha que w = f (u1 u2 un) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de n variaacuteveis u1 u2 un onde cada uj eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de m variaacuteveis x1 x2 xm Entatildeo w eacute uma funccedilatildeo de x1 x2 xm e
para cada i = 1 2 m
Exemplo 8Suponha que todas as funccedilotildees sejam diferenciaacuteveis w = f (x y z) x = x (r θ
γ) y = y (r θ γ) e z = z (r θ γ) Determine partw partr
partw partθ
e partw partγ
ResoluccedilatildeoAplicando o Teorema 123 temos
Exemplo 9Utilize a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais partz
parts e partz
partt para
as funccedilotildees z = x2 + xy + y2 x = s + t e y = st
ResoluccedilatildeoAplicando o Teorema 122 temos
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
75
3 DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
Vimos no estudo das funccedilotildees de uma variaacutevel (no Caderno de Estudos da disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral) que uma equaccedilatildeo do tipo F (xy) = 0 define y implicitamente como uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x ou seja y = f (x) Nesta seccedilatildeo vamos estudar a derivaccedilatildeo parcial de funccedilotildees dadas de forma impliacutecita Consideraremos duas situaccedilotildees especiacuteficas
Suponhamos que a funccedilatildeo y = f (x) seja definida implicitamente pela equaccedilatildeo
F (xy) = 0 Se f e F satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis e partpart
( )( ) neFyx f x 0 entatildeo podemos
encontrar a derivada dydx
derivando ambos os lados da equaccedilatildeo F (xy) = 0 em
relaccedilatildeo a x Usando a regra da cadeia temos
partpart
sdot +partpart
sdot =Fxdxdx
Fydydx
isin
Como partpart
( )( ) neFyx f x 0 e dx
dx= isin1 segue
A situaccedilatildeo colocada anteriormente pode ser escrita sob condiccedilatildeo da funccedilatildeo F estar definida em uma bola aberta conforme estamos tratando as funccedilotildees de duas variaacuteveis A seguir veremos como aplicar a derivada impliacutecita neste contexto
0
partpart
sdot = minuspartpart
sdot
=minuspartpartpartpart
Fydydx
Fxdxdx
dydx
FxFy
isin
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
76
Exemplo 10Supondo que a funccedilatildeo y = f (x) eacute definida implicitamente pela equaccedilatildeo
In (x2 y) + 2x3 = 4y determine sua derivada dydx
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo dada pode ser escrita da seguinte formaF (xy) = In (x2y) + 2x3 ‒ 4y = 0
Calculando as derivadas parciais temos
partF = 2xy + 6x2 = 2 + 6x2
partx x2 y x
e
partF = x2 ‒ 4 = 1 ‒ 4
party x2 y y
Aplicando a foacutermula do Teorema 131 obtemos
Se F eacute definida numa bola aberta contendo (ab) onde F (ab) = 0 partF = (ab) ne 0party
e partF partx
e partF party
satildeo funccedilotildees contiacutenuas nessa bola entatildeo a equaccedilatildeo F (xy) = 0 define y
como uma funccedilatildeo de x perto do ponto (ab) e a derivada dessa funccedilatildeo eacute dada pela
foacutermula obtida anteriormente
Essa relaccedilatildeo nos daacute um caminho mais simples para encontrar derivadas de funccedilotildees definidas implicitamente
Teorema 131 Suponha que F (xy) seja diferenciaacutevel e que a equaccedilatildeo F (xy) = 0 define y como uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x Entatildeo em qualquer ponto onde partF ne 0
party
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
77
Vamos ver como fica o Teorema da Funccedilatildeo Impliacutecita para funccedilotildees de duas variaacuteveis independentes
Suponhamos que a funccedilatildeo z = f (xy) seja dada implicitamente pela equaccedilatildeo F
(xyz) = 0 Se f e F satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis e partF (x y f (xy)) ne 0partz
podemos aplicar a
regra da cadeia para obter as partzpartx
e partzparty
Derivando os dois membros da equaccedilatildeo F
(xyz) = 0 em relaccedilatildeo a x temos
Mas part (x) = 1partx
e part (y) = 0partx
portanto
De modo semelhante obteacutem-se
Como no caso anterior estamos assumindo que a equaccedilatildeo F (xyz) = 0 define z implicitamente como funccedilatildeo de x e y Outra versatildeo do Teorema da Funccedilatildeo Impliacutecita fornece as condiccedilotildees para que a hipoacutetese seja vaacutelida
Teorema 132 Suponha que F (xyz) seja continuamente diferenciaacutevel e que
z = f (xy) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel que satisfaz a equaccedilatildeo F (xyz) = 0 Entatildeo em
qualquer ponto (xyz) onde partF ne 0partz
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
78
Exemplo 11Determine partz
partx e partz
party se x4 + y4 + z4 = 5xyz ‒ 2
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo x4 + y4 + z4 = 5xyz ‒ 2 pode ser escrita da seguinte forma F (xyz) = x4 + y4 + z4 ‒ 5xyz + 2 e esta funccedilatildeo eacute continuamente diferenciaacutevel
Vamos calcular as derivadas parciais de F
Entatildeo pelo Teorema 132 temos
Exemplo 12Suponha que a funccedilatildeo diferenciaacutevel z = f (xy) seja definida pela equaccedilatildeo
xy + zez = 0
Resoluccedilatildeo
79
RESUMO DO TOacutePICO 1
Neste toacutepico vocecirc viu que
bull Se a funccedilatildeo tiver mais de duas variaacuteveis representaremos por f (x1 x2 x3 xn) onde x1(t) x2(t) x3(t) xn(t) satildeo funccedilotildees de t entatildeo a sua derivada em relaccedilatildeo a ldquotrdquo eacute dada pela regra da cadeia
bull Se z = f (xy) eacute uma funccedilatildeo das variaacuteveis x e y que dependem de duas outras variaacuteveis digamos u e v Entatildeo
z = f (x(u v) y (u v)) eacute uma funccedilatildeo composta de u e v Dizemos que u e v satildeo as variaacuteveis independentes
bull Se w = f (u1 u2 un) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de n variaacuteveis u1 u2 un onde cada uj eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de m variaacuteveis x1 x2 xm Entatildeo w eacute uma funccedilatildeo de x1 x2 xm e
para cada i = 1 2 m
bull A derivada impliacutecita eacute usada para encontrar as derivadas parciais partzpartx
e partzparty
quando z estiver definida implicitamente por uma equaccedilatildeo F (x y z) = 0 Entatildeo em
qualquer ponto (x y z) onde partF ne 0partz
80
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre diferenciabilidade de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
1 Considere as funccedilotildees f (xy) = 4y ‒ 3x2 x (t) = t3 ‒ 1 e y (t) = 1 ‒ t3
Calcule a funccedilatildeo composta z = f (x(t) y(t))
Encontre dzdt
usando a funccedilatildeo composta
Encontre dzdt
usando a regra da cadeia
2 Use a regra da cadeia para determinar partzpartx
e partzparty
sabendo que z = u 2 + v 2 u = x 2 ‒ y 2 e v = e2xy
3 Determine a derivada da funccedilatildeo impliacutecita f tal que y = f (x) estaacute definida pela equaccedilatildeo x4 ‒ y + 4xy3 ‒ 78 = 0
4 Se x3 ‒ xy + 4xz ‒ 5 = 0 calcular partzpartx
e partzparty
usando a regra de derivaccedilatildeo de funccedilatildeo impliacutecita
5 Mostre que a equaccedilatildeo F (xy) = x2y + sen y = 0 define implicitamente uma funccedilatildeo derivaacutevel y = f (x)
6 O raio da base de um cone circular reto estaacute aumentando a uma taxa de 3 cms e a altura estaacute diminuindo a uma taxa de 2 cms A que taxa estaacute variando o volume do cone no instante em que a altura eacute igual a 20 cm e o raio eacute igual a 14 cm
7 Um carro A estaacute viajando para o norte na rodovia 16 e um carro B estaacute viajando para o oeste na rodovia 83 Os dois carros se aproximam da interseccedilatildeo dessas rodovias Em certo momento o carro A estaacute a 03 km da interseccedilatildeo viajando a 90 kmh ao passo que o carro B estaacute a 04 km da interseccedilatildeo viajando a 80 kmh Qual a taxa de variaccedilatildeo da distacircncia entre os carros nesse instante
8 Determine partzpartx
e partzparty
se xyz3 = cos (x + y + z)
9 Determine partzpartx
e partzparty
se yz = In (x + z)
81
TOacutePICO 2
DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico vamos estender o conceito de diferenciabilidade de funccedilatildeo de uma variaacutevel agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis Esse conceito tem consequecircncias muito importantes no caacutelculo assim como nos problemas de otimizaccedilatildeo que estudaremos no proacuteximo toacutepico Tambeacutem seraacute estudado o vetor gradiente e as derivadas direcionais conceitos que possuem grande aplicabilidade nas engenharias
2 DIFERENCIABILIDADE
Vamos entatildeo introduzir o conceito de diferenciabilidade que entre outras propriedades garante a continuidade da funccedilatildeo Introduziremos este importante assunto por analogia com o conceito de diferenciabilidade de funccedilotildees de uma variaacutevel
Considere uma funccedilatildeo f de uma variaacutevel real Dizer que f eacute diferenciaacutevel
em x = x0 significa que o existe ou seja eacute um nuacutemero real Em
outras palavras f eacute diferenciaacutevel em x0 quando existe um nuacutemero real denotado
por f prime (x0) tal que
Podemos reescrever este limite da seguinte forma
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
82
que eacute equivalente a
Assim f eacute diferenciaacutevel em x0 se existir um nuacutemero real f prime (x0) tal que
Neste caso se uma funccedilatildeo eacute derivaacutevel num ponto ela eacute contiacutenua no ponto
Com isso temos condiccedilotildees de apresentar a definiccedilatildeo de diferenciabilidade de funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 221 Seja f A sub R2 rarr R uma funccedilatildeo definida no conjunto aberto A Dizemos que f eacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0) isin A se as derivadas parciais partf (x0 y0)partx
e partf (x0 y0)party existem e se
Quando f eacute diferenciaacutevel em todos os pontos de seu domiacutenio dizemos que f eacute diferenciaacutevel
Da Definiccedilatildeo 221 podemos destacar alguns pontos
bull Para provar que uma funccedilatildeo eacute diferenciaacutevel em (x0 y0) usando a definiccedilatildeo devemos mostrar que as derivadas parciais existem em (x0 y0) e aleacutem disso que o limite
bull Se uma das derivadas parciais natildeo existe no ponto (x0 y0) f natildeo eacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
83
bull Se o limite
for diferente de zero ou natildeo existir f natildeo seraacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0) mesmo se existirem as derivadas parciais nesse ponto
Exemplo 1Use a Definiccedilatildeo 221 para mostrar que f (xy) = 5x + 2y eacute diferenciaacutevel
ResoluccedilatildeoSeja (x0 y0) isin D (f ) = R 2 Para mostrar que f eacute diferenciaacutevel em (x0 y0) devemos
mostrar que partf (x0 y0)partx e partf (x0 y0)party
existem e que o limite da Definiccedilatildeo 121 eacute zero
A funccedilatildeo f tem derivadas parciais em (x0 y0) e satildeo dadas por partf (x0 y0) = 5partx
e partf (x0 y0) = 2party
Agora
Como (x0 y0) eacute um ponto qualquer em R 2 temos que f eacute diferenciaacutevel
Teorema 221 Se f eacute diferenciaacutevel em A sub R2 entatildeo f eacute contiacutenua em cada ponto de A
Exemplo 2
Verifique se a funccedilatildeo f (x y) = eacute contiacutenua no ponto (33)
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
84
ResoluccedilatildeoPrecisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(Unidade 1)
(i) f (33) = 5 pois x = y
(ii) portanto este limite
natildeo existe
Como concluiacutemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no
ponto (33) Mostramos que f eacute descontiacutenua no ponto (33) portanto pelo Teorema 221 f natildeo eacute diferenciaacutevel em (33)
Nem sempre eacute faacutecil usar a Definiccedilatildeo 221 para verificar a diferenciabilidade de uma funccedilatildeo O teorema a seguir fornece uma condiccedilatildeo suficiente para que uma funccedilatildeo seja diferenciaacutevel
Teorema 222 Se as derivadas parciais partf partx
e partf party
existem em algum conjunto
aberto A contendo (x0 y0) e satildeo contiacutenuas em (x0 y0) entatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em (x0 y0)
Exemplo 3Mostre que a funccedilatildeo f (xy) = cos (xy) eacute diferenciaacutevel em todo R2
ResoluccedilatildeoPara mostrar que f eacute diferenciaacutevel aplicaremos o Teorema 222 Para isso
calcularemos as derivadas parciais
partf partx
= ‒y sen(xy) e partf party
= ‒x sen(xy)
Temos que as derivadas parciais satildeo contiacutenuas em todo ponto (xy) isin R2
Logo pelo Teorema 222 a funccedilatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em todo ponto de R2
Exemplo 4Os polinocircmios (funccedilotildees polinomiais) em vaacuterias variaacuteveis satildeo claramente
diferenciaacuteveis em todo ponto de Rn
Exemplo 5Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = x2 ‒ 3y2 eacute diferenciaacutevel em R2
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
85
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo f tem derivadas parciais em todos os pontos de R2 e satildeo dadas
por partf partx
= 2x e partf party
= ‒6y
As derivadas parciais satildeo contiacutenuas pois satildeo funccedilotildees polinomiais
Portanto f eacute diferenciaacutevel em R2
Exemplo 6Verifique se a funccedilatildeo g (xy) = ex+y eacute diferenciaacutevel em R2
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo g tem derivadas parciais em todos os pontos de R2 Estas satildeo
dadas por partg partx
= ex+y e partg party
= ex+y
Daiacute segue que as funccedilotildees derivadas parciais satildeo contiacutenuas em R2
Portanto g eacute diferenciaacutevel em R2
3 DIFERENCIAL
Suponha que saibamos o valor de uma funccedilatildeo derivaacutevel em um ponto (x0y0) e que desejamos prever a variaccedilatildeo que esse valor sofreraacute se formos para um ponto x0 + dx Como os valores da reta satildeo mais simples de calcular o caacutelculo da variaccedilatildeo da reta nos oferece um modo praacutetico de estimar a variaccedilatildeo em f conforme podemos observar na Figura 31
FIGURA 31 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DA DIFERENCIAL DA FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwslidesharenetrafaelmmoreiraunifei-clculo-1-exerccios-aula-25gt Acesso em 23 jun 2011
y
y₀ + ∆y
y₀
0 x
A
α
x₀
dxα
C
B
∆y
∆x x₀ + ∆x
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
86
Dessa definiccedilatildeo decorre que ∆y representa a variaccedilatildeo da altura da curva y = f (x)
Nesta seccedilatildeo vamos definir a diferencial de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis z = f (xy) e veremos que esta representa uma boa aproximaccedilatildeo para o acreacutescimo da variaacutevel z quando os acreacutescimos das variaacuteveis independentes satildeo pequenos
Se z = f (xy) entatildeo o incremento (aumento ou diminuiccedilatildeo) de z eacute ∆z = f (x + ∆x y + ∆y) ‒ f (xy)
Definiccedilatildeo 231 Seja z = f (xy) uma funccedilatildeo diferenciaacutevel A diferencial de f denotada por df ou dz eacute dada por dz = partz
partx dx + partz
party dy onde dx e dy satildeo as
diferenciais das variaacuteveis independentes x e y respectivamente
A diferencial dz tambeacutem eacute chamada de diferencial total de f (xy) a mesma que estudamos no toacutepico anterior
Se nos movermos de (x0y0) para um ponto (x0 + ∆x y0 + ∆y) proacuteximo a variaccedilatildeo resultante eacute dada por df (x0y0) = partf
partx (x0y0) dx + partf
party (x0y0) dy
Exemplo 7Calcule a diferencial dz da funccedilatildeo z = 4x2y3 ‒ 3y2 + 6
ResoluccedilatildeoPara calcular a diferencial de z temos primeiro que calcular as derivadas
parciais partz partx
= 8xy3 e partz party
= 12x2y2 ‒ 6y
Pela Definiccedilatildeo 231 temos
dz = partz partx
dx + partz party
dy
dz = 8xy3 dx + (12x2y2 ‒ 6y) dy
Exemplo 8Calcule a diferencial de f (xy) = x2 + y2 no ponto (12)
ResoluccedilatildeoA diferencial de f no ponto (12) eacute dada por
dz = partf partx
(12) dx + partf party
(12) dy
Como partf partx
(12) = 2 e partf party
(12) = 4 temos
dz = 2dx + 4dy
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
87
Podemos estimar a variaccedilatildeo com diferenciais Suponha que conheccedilamos os valores de uma funccedilatildeo diferenciaacutevel f (xy) e suas derivadas parciais em um ponto (x0y0) e queiramos predizer quanto o valor de f variaraacute se nos movermos para um ponto (x0 + ∆x y0 + ∆y) proacuteximo Em outras palavras podemos estimar a variaccedilatildeo ∆z de z pelo valor do diferencial dz em que dx eacute a variaccedilatildeo em x e dy eacute a variaccedilatildeo em y
Exemplo 9Considere a funccedilatildeo z = 7x + 3y2
a) Determine a diferencial total dzb) Calcule ∆z e dz se x variar de 2 para 205 e y variar de 1 para 098 Compare os
valores de ∆z e dz
Resoluccedilatildeoa) Da Definiccedilatildeo 231 temos a diferencial total
dz = partf partx dx +
partf party dy
dz = 7dx + 6y dy
b) O ponto (x0y0) = (21) dx = ∆x = 005 e dy = ∆y = ‒ 002O incremento de z eacute ∆z = f (205 098) ‒ f (21)∆z = 7 (205) + 3 (098)2 ‒ (7 2 + 3 12) = 02312e a diferencial total eacute dz = 7(005) + 6 1(‒002) = 023
Portanto observe que ∆z asymp dz
Exemplo 10O raio e a altura de um cilindro satildeo medidos com 3 m e 8 m respectivamente
com possiacuteveis erros de 005 m Use diferenciais para calcular o erro maacuteximo no caacutelculo do volume
ResoluccedilatildeoPrimeiro recordamos a foacutermula do caacutelculo do volume de um cilindroV = p r 2 h
Para estimarmos a variaccedilatildeo de V calculamos
dV (r0h0) = partV partr (r0h0) dr +
partV parth (r0h0) dh
dV = 2p r0 h0 dr + p r02 dh
= 2p 3 8 005 + p 32 005 = 24p + 045p = 285p asymp 895 m3
Portanto o erro de 005 m nas medidas do raio e da altura pode nos levar a um erro de 895 m3
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
88
Exemplo 11Ao redor do ponto (10) f (xy) = x2 (y + 1) eacute mais sensiacutevel a variaccedilotildees em x ou y
ResoluccedilatildeoPrimeiro vamos entender o que o enunciado estaacute nos pedindo Querer
saber sobre a sensibilidade agrave variaccedilatildeo eacute o mesmo que pedir para estimar a variaccedilatildeo da funccedilatildeo no ponto Assim vamos calcular a diferencial de f
dz = partf partx (10) dx +
partf party (10) dy
Para facilitar o caacutelculo das derivadas parciais escrevemos f (xy) = x2y + x2 daiacute seguepartf partx = 2xy + 2x e
partf party = x2
partf partx (10) = 2 e
partf party (10) = 1
Entatildeo temos o caacutelculo da variaccedilatildeo da funccedilatildeo causada por pequenas variaccedilotildees dx e dy
dz = 2dx + 1dy
Portanto uma variaccedilatildeo de x em uma unidade variaraacute f em cerca de 2 unidades e uma variaccedilatildeo de y em uma unidade variaraacute f em cerca de 1 unidade A funccedilatildeo eacute 2 vezes mais sensiacutevel a uma pequena variaccedilatildeo de x que a uma pequena variaccedilatildeo de tamanho igual a de y
Exemplo 12O comprimento e a largura de um retacircngulo satildeo medidos com erros de
no maacuteximo 3 e 5 respectivamente Use diferenciais para aproximar o erro percentual maacuteximo na aacuterea calculada
ResoluccedilatildeoA aacuterea do retacircngulo dado por x de comprimento e y de largura eacute a funccedilatildeo
A(xy) = xy
Temos partpart
=partpart
=Ax
y Ay
x e
Cada erro eacute de no maacuteximo 3 e 5 isto eacute |∆x| le 003x e |∆y| le 005y Para achar o erro maacuteximo na aacuterea tomamos o maior erro nas medidas de x e y Daiacute tomamos dx = 003x e dy = 005y
Calculando a diferencial obtemos
dz zx
dx zy
dy=partpart
+partpart
sdot sdot sdot sdot
sdot
= y x 003 + x y 005 = 008 xy
dz = A 0 0 88
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
89
Estimamos que o erro percentual maacuteximo em A eacute de 8
4 GRADIENTE
Vimos nas seccedilotildees anteriores que as derivadas parciais nos fornecem taxas de variaccedilatildeo de uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis e que estas taxas dependem da escolha da direccedilatildeo e sentido da variaccedilatildeo Como essas variaccedilotildees satildeo indicadas por vetores eacute natural usar vetores para descrever a derivada de f numa direccedilatildeo e sentido especiacuteficos Nesta seccedilatildeo vamos definir o gradiente de uma funccedilatildeo que aparece em diversas aplicaccedilotildees matemaacuteticas
Definiccedilatildeo 241 Seja z = f (xy) uma funccedilatildeo que admite derivadas parciais no ponto (x0y0) O gradiente de f no ponto (x0y0) denotado por ∆f (x0y0) eacute um vetor cujos componentes satildeo as derivadas de f nesse ponto ou seja
∆f (x0y0) = partf partx (x0y0)
partf party (x0y0) =
partf partx (x0y0) i +
partf party (x0y0) j
O gradiente
∆
f associa um vetor
∆
f (x0y
0) a cada ponto (x
0y
0) do domiacutenio de f
Usamos a notaccedilatildeo ab para o par ordenado que se refere a um vetor para natildeo confundir
com o par ordenado (ab) que corresponde a um ponto no plano
Ao representar vetores com a notaccedilatildeo
v = ai + bj lembramos que i e
j
representam os vetores canocircnicos ou seja vetores no R2 onde suas respectivas coordenadas
satildeo dadas por
i = 10 e
j = 01
NOTA
NOTA
Quando trabalhamos com um ponto geneacuterico (xy) escrevemos
∆f (xy) = partf partx
partf party =
partf partx i +
partf party j
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
90
O siacutembolo ∆f eacute lido como ldquogradiente de frdquo
O siacutembolo
∆
denominado ldquodelrdquo eacute um delta grego maiuacutesculo invertido O uso de
∆
para o gradiente foi popularizado pelo fiacutesico escocecircs P G Tait (1831 ndash 1901) que o denominava ldquonablardquo Em hebraico nabla significa harpa e se refere agrave semelhanccedila de um
∆
com uma harpa antiga de dez cordas O grande fiacutesico James Clerk Maxwell relutou em adotar essa notaccedilatildeo e chamava o gradiente de ldquoinclinaccedilatildeordquo Em 1871 escreveu ao seu amigo Tait provocando ldquoAinda harpejando naquela nablardquo (ROGAWKI 2009 p 809)
Em seguida estendemos a definiccedilatildeo de gradiente para funccedilotildees com n variaacuteveis
Definiccedilatildeo 242 Sejam A sub Rn aberto p = (x1 x2 xn) isin A e f A rarr R uma funccedilatildeo tal que as derivadas parciais existem em p O gradiente de f no ponto p eacute o vetor do Rn denotado por ∆f (p) e definido por
∆f (p) = partf
partx1 (p)
partf partx2
(p) partf
partxn (p)
Exemplo 13Determine o gradiente da funccedilatildeo f (xy) = 3x2 ‒ 2xy + 5y
ResoluccedilatildeoPrimeiro precisamos calcular as derivadas parciais de f
partf partx = 6x ‒ 2y e
partf party
= ‒ 2x + 5
Em seguida escrevemos o vetor gradiente de acordo com a Definiccedilatildeo 241 ∆f (xy) = 6x ‒ 2y ‒ 2x + 5
Exemplo 14Calcule o gradiente da funccedilatildeo f (xy) = 3x2y ‒ x⅔ y2 no ponto (13)
ResoluccedilatildeoFaremos o mesmo que no Exemplo 11 acrescentando apenas o caacutelculo do
vetor no ponto (13)partf partx
= 6xy ‒ 2 3
x -⅓ y2 e partf party
= 3x2 ‒ 2x ⅔y
Entatildeo ∆f = 6xy ‒ 2 3
x -⅓ y2 3x2 ‒ 2x ⅔y
Agora no ponto ∆f (13)
∆f (13) = 6 sdot 1 sdot 3 ‒ 2 3
sdot 1 -⅓ sdot 32 3 sdot 12 ‒ 2 sdot 1 ⅔ sdot 3 = 12 ‒3 Portanto o gradiente de f no ponto (13) eacute o vetor ∆f (13) = 12 ‒3
Exemplo 15Determine o gradiente da funccedilatildeo g(xyz) = xyz2 em um ponto (xyz)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
91
FIGURA 32 ndash VETORES GRADIENTES DE f (xy) = 1 6
(x2 + y3)
FONTE Disponiacutevel em lthttpptscribdcomdoc5885209818Gradiente-Curva-de-NC2B4C4B1vel-SuperfC2B4C4B1cie-de-NC2B4C4B1velgt Acesso em 5 set 2011
ResoluccedilatildeoTemos
partg partx = yz2
partg party = xz2 e
partg partz = 2xyz
Entatildeo ∆g (xyz) = yz2 xz2 2xyz
Exemplo 16Encontre o gradiente de f(xy) = 1
6 (x2 + y3) em (0 ‒2) e esboce alguns vetores gradientes
Resoluccedilatildeo
As derivadas parciais satildeo partpart
=partpart
=fx
x fy
y26
36
2
e
∆f (xy) = 1 3 x i +
1 2 y2 j
Para construir o graacutefico formado pelos vetores gradientes procedemos da seguinte forma escolhemos um ponto por exemplo (x0y0) O ponto (x0y0) eacute o iniacutecio do vetor e o vetor gradiente ∆f (x0y0) = ab fornece o representante do vetor que iraacute no ponto (ab) Lembramos que um vetor de componentes ab tem iniacutecio na origem do plano e extremidade no ponto (a b) Quando desejamos graficar um vetor fora da origem usamos um representante do vetor ab Em seguida eacute mostrado como representar graficamente o vetor gradiente no ponto (0 ‒ 2) Temos
∆f (0‒ 2) = 2 j isto eacute o vetor 02 ndash tem origem no ponto (0 0) e extremidade no ponto (0 2) Conforme podemos ver na Figura 32
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
92
Do graacutefico construiacutedo no Exemplo 16 eacute possiacutevel pensar num campo de vetores gradiente de uma funccedilatildeo que podem ser representados geometricamente por um conjunto de vetores que fornece em cada ponto distinto do plano o vetor gradiente da funccedilatildeo
Como vimos o gradiente eacute um vetor Talvez vocecirc esteja agora se perguntando e se calcularmos || ∆f (xy)|| (norma do vetor gradiente) a que isso corresponde Vamos responder resolvendo o Exemplo 17
Exemplo 17Encontre o gradiente de f (xy) = x2 ‒ y2 e esboce alguns vetores gradientes
ResoluccedilatildeoAs derivadas parciais satildeo
partf partx = 2x e
partf party = ‒2y
Entatildeo ∆f = 2x i ‒ 2y j
Vamos calcular alguns vetores gradiente em pontos especiacuteficos e suas normas
(xy) ∆f (xy) || ∆f (xy)||
(00) (00) ₀
(10) (20) ₂
(x0) (2x0) ₂x
(0y) (0‒2y) ₂y
(11) (2‒2) ₂radic 2(xy) (2x‒2y) 2||(xy)||
Interpretando a coluna da direita percebe-se que agrave medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradiente aumenta ficando igual a duas vezes a distacircncia do ponto agrave origem
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
93
FIGURA 33 ndash GRAacuteFICO DOS VETORES GRADIENTES E DAS CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = x2 ndash y2
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwimeuerjbr~calculoLivroIIIcampospdfgt Acesso em 5 set 2011
Teorema 241 Suponha que z = f (xy) seja diferenciaacutevel numa bola aberta centrada em P0 (x0y0) e que ∆f (x0y0) ne 0
i) Entatildeo ∆f (x0y0) eacute normal agrave curva de niacutevel passando por P0 (x0y0)
ii) A taxa maacutexima de crescimento de γ no ponto P0 (x0y0) ocorre na direccedilatildeo e no sentido do gradiente Analogamente a taxa miacutenima de crescimento de γ no ponto P0 (x0y0) ocorre na direccedilatildeo contraacuteria a do gradiente
Lembramos que um vetor eacute normal agrave curva se o vetor eacute perpendicular
O gradiente de γ no ponto P0(x
0y
0) aponta na direccedilatildeo de maior variaccedilatildeo da
funccedilatildeo numa vizinhanccedila do ponto
NOTA
NOTA
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
94
A figura a seguir ilustra o Teorema 241
FIGURA 34 ndash VETOR GRADIENTE NORMAL Agrave CURVA DE NIacuteVEL
FONTE O autor
Exemplo 18O potencial eleacutetrico V em (xyz) eacute dado por V = x2 + 4y 2 + 9z2 Ache a direccedilatildeo
e a taxa maacutexima de variaccedilatildeo de V em (3‒21)
ResoluccedilatildeoDe acordo com o Teorema 251 a direccedilatildeo onde ocorre a taxa maacutexima de
variaccedilatildeo eacute dada pelo vetor gradiente EntatildeopartV partx
= 2x partV party = 8y e partV
partz = 18z
Assim ∆V = 2x 8y 18z
Calculando o gradiente no ponto (3‒21) obtemos∆V (3‒21) = 6 ‒16 18 que nos indica a direccedilatildeo de crescimento do potencial eleacutetrico
E a taxa de variaccedilatildeo do gradiente eacute dada pela sua norma
nabla ( ) = partpart
+
partpart
+
partpart
nabla minus( ) =
V x y zx
Vy
Vz
V
V
2 2 2
3 2 1 66 18 616
3 2 1 24 8
2 2+ minus( ) + =
nabla minus( ) asymp16
2
V
y
x
γ
P₀ (x₀ y₀)
∆f(P₀)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
95
5 DERIVADAS DIRECIONAIS
Caro acadecircmico Jaacute estudamos as derivadas parciais que nos fornecem a variaccedilatildeo da funccedilatildeo em duas direccedilotildees diferentes na direccedilatildeo do eixo x atraveacutes de partf partx
(x0y0) e na direccedilatildeo do eixo y atraveacutes de partf party
(x0y0) Nesta seccedilatildeo veremos como
utilizar a derivada para determinar a inclinaccedilatildeo em qualquer direccedilatildeo para isto definiremos um novo tipo de derivada chamada direcional
Suponha que uma funccedilatildeo f (xy) seja definida em uma regiatildeo R no plano xy que P(x0y0) seja um ponto em R e que u = u1i + u2j
seja um versor Entatildeo as equaccedilotildees
x = x0 + su1 e y = y0 + su2
parametrizam a reta que passa por P paralelamente a u Se o paracircmetro s mede o comprimento de arco de P na direccedilatildeo de u encontramos a taxa de variaccedilatildeo de f em P na direccedilatildeo de u calculando df
ds em P (Figura 7)
Lembramos que versor eacute um vetor unitaacuterio ou seja um vetor cuja norma eacute 1
Definiccedilatildeo 251 A derivada de f em P(x0y0) na direccedilatildeo do versor u = u1i + u2j
eacute o nuacutemero
desde que o limite exista
Portanto o gradiente ∆V (3‒21) = 6 ‒16 18 nos daacute a direccedilatildeo onde a taxa de variaccedilatildeo eacute maacutexima || ∆V (3‒21)|| asymp 248
NOTA
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
96
FIGURA 35 ndash A TAXA DE VARIACcedilAtildeO DE f EM P NA DIRECcedilAtildeO DE u
FONTE O autor
Quando u = i a derivada direcional em P eacute partf partx
calculada em (x0y0) Quando
u = j a derivada direcional em P eacute partf party
calculada em (x0y0) A derivada direcional
generaliza as duas derivadas parciais Entatildeo assim eacute possiacutevel encontrar a taxa de
variaccedilatildeo de f em qualquer direccedilatildeo u
Teorema 251 Se f (xy) for diferenciaacutevel em P (x0y0) entatildeo
eacute o produto escalar do gradiente de f em P e u
A expressatildeo do Teorema 251 por ser escrita como
Em seguida apresentaremos a definiccedilatildeo de derivada direcional para uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis fazendo uma extensatildeo da Definiccedilatildeo 251
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
97
Definiccedilatildeo 252 Sejam A cap Rn aberto P (x1 x2 xn) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo e u um vetor unitaacuterio em Rn A derivada direcional de f no ponto (x1 x2 xn) e na direccedilatildeo do versor u eacute denotada por
Esta definiccedilatildeo generaliza o conceito de derivada parcial isto eacute as derivadas parciais de uma funccedilatildeo podem ser obtidas como casos particulares das derivadas direcionais
Exemplo 19Calcule a derivada direcional da funccedilatildeo f (xy) = x3y + 2y 2 no ponto (1‒2) na
direccedilatildeo do vetor v = 4i + 3j
ResoluccedilatildeoNote que v natildeo eacute um versor (vetor unitaacuterio) e a Definiccedilatildeo 251 pede que o
vetor direccedilatildeo seja unitaacuterio Assim vamos primeiro calcular o vetor unitaacuterio u na direccedilatildeo de v
Agora calculamos o vetor gradiente de f no ponto (1‒2)
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
98
Portanto pelo Teorema 251 temos
partpart
minus( ) = nabla minus( ) sdot
minus minus sdot
f 2 f
u u
=(
1 1 2
6 8 45
3
) 55
6 4 8 35
=minus sdot + minus( ) sdot
= minus485
A derivada direcional partf partu
(1‒2) representa a taxa de variaccedilatildeo de z na
direccedilatildeo de u Isto eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva obtida pela interseccedilatildeo da
superfiacutecie f (xy) = x3y + 2y 2 e o plano vertical que passa por (1‒20) na direccedilatildeo de u
99
RESUMO DO TOacutePICO 2
Neste toacutepico vocecirc viu
bull O conceito de diferenciabilidade atraveacutes do caacutelculo de limite
bull Destacamos o Teorema 221 Se f eacute diferenciaacutevel em A cap R2 entatildeo f eacute contiacutenua em cada ponto de A
bull Outro resultado importante Teorema 222 Se as derivadas parciais partf partx
e partf party
existe em algum conjunto aberto A contendo (x0y0) e satildeo contiacutenuas em (x0y0)
entatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em (x0y0)
bull A aplicaccedilatildeo da diferencial e como se calcula a diferencial de f denotada por df
ou dz eacute dada por dz = partz partx dx +
partz party dy
bull O gradiente de uma funccedilatildeo f eacute o vetor das derivadas parciais
bull Geometricamente o vetor gradiente eacute normal agrave curva de niacutevel de f (xy) por P
bull A derivada direcional Se f (xy) for diferenciaacutevel em P (x0y0) entatildeo
o produto escalar do gradiente de f em P e u
100
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre diferenciabilidade e gradiente
Mostre que as funccedilotildees a seguir satildeo diferenciaacuteveis em R2
1 f (xy) = 3x2y + 4xy 2
2 f (xy) = x2 ‒ 7xy + 2xy 2
3 f (xy) = sen (xy 2)
4 Se z = x2 ‒ xy + 3y2 e (xy) varia de (3 ‒1) a (296 ‒095) compare os valores de dz e ∆z
5 O comprimento e a largura de um retacircngulo foram medidos como 30 cm e 24 cm respectivamente com um erro de medida de no maacuteximo 01 cm Utilize a diferencial para estimar o erro maacuteximo cometido no caacutelculo da aacuterea do retacircngulo
6 O periacuteodo T de um pecircndulo simples com uma pequena oscilaccedilatildeo eacute calculado
da foacutermula T = 2p L
g radic onde L eacute o comprimento do pecircndulo e g eacute a aceleraccedilatildeo
da gravidade Suponha que os valores de L e g tenham erros de no maacuteximo 005 e 001 respectivamente Use diferencias para aproximar o erro percentual maacuteximo no valor calculado de T
7 O raio de um cilindro circular reto eacute medido com um erro de no maacuteximo 2 e altura eacute medida com um erro de no maacuteximo 4 Qual o erro percentual maacuteximo possiacutevel no volume calculado
Nas questotildees de 8 a 10 determine o vetor gradiente das seguintes funccedilotildees nos pontos indicados
8 z = x2y + 3xy + y2 P (03)
9 f (xy) = xy ‒ sen (x + y) P = p
2 0
10 f (xyz) = xy + xz + yz P (‒135)
101
11 Se T (xy) = 10xy
x2 + 4y 2 + 4 eacute a temperatura em graus Celsius sobre uma
lacircmina metaacutelica x e y medidos em cm determine a direccedilatildeo de crescimento maacuteximo de T a partir do ponto (11) e a taxa maacutexima de crescimento de T nesse ponto
102
103
TOacutePICO 3
MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES
DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EXTREMOS LOCAIS
Uma aplicaccedilatildeo importante de caacutelculo diferencial de vaacuterias variaacuteveis eacute a da otimizaccedilatildeo de funccedilotildees Otimizar uma funccedilatildeo significa encontrar seu desempenho maacuteximo ou miacutenimo No Caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral vocecirc jaacute estudou como encontrar os maacuteximos e miacutenimos de funccedilotildees de uma variaacutevel Quando as derivadas primeiras forem nulas temos pontos extremos que podem ser maacuteximos ou miacutenimos
Vamos fazer algo parecido neste toacutepico para as funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Veremos como usar as derivadas parciais para localizar os pontos de maacuteximo e miacutenimo de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Suponha que um fabricante produza dois modelos de um determinado produto o modelo de luxo e o modelo padratildeo e que o custo total para produzir x unidades do modelo de luxo e y unidades do modelo padratildeo seja dado pela funccedilatildeo C (x y) Como determinar o niacutevel de produccedilatildeo x = a e y = b para o qual o custo eacute miacutenimo
Iniciaremos definindo os extremos locais que satildeo chamados de maacuteximos e miacutenimos de uma funccedilatildeo
Definiccedilatildeo 321 Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo
i) P (x0 y0) eacute um ponto de maacuteximo local de f se f (x y) le f (x0 y0) para todo (x y) numa vizinhanccedila de (x0 y0)
ii) P (x0 y0) eacute um ponto de miacutenimo local de f se f (x y) ge f (x0 y0) para todo (x y) numa vizinhanccedila de (x0 y0)
Definiccedilatildeo 322 Dizemos que um ponto P (x0 y0) do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (x y) eacute um ponto criacutetico (ou estacionaacuterio) se
104
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
i) partf partx
(x0 y0) = 0 e partf party
(x0 y0) = 0 ou
ii) pelo menos uma das derivadas parciais partf partx
(x0 y0) partf party
(x0 y0) natildeo existe
O teorema a seguir nos diz que os extremos locais ocorrem em pontos criacuteticos assim como acontece em funccedilatildeo de uma variaacutevel
Teorema 321 Se f (x y) tem um miacutenimo ou maacuteximo local em (x0 y0) entatildeo (x0 y0) eacute um ponto criacutetico de f (x y)
Geometricamente um ponto eacute ponto criacutetico de uma funccedilatildeo quando o graacutefico da funccedilatildeo nesse ponto natildeo tem plano tangente ou o plano tangente eacute horizontal
Vamos ver no exemplo a seguir como encontrar os pontos criacuteticos de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Exemplo 1Encontre os pontos criacuteticos da funccedilatildeo f (x y) = 9x3 +
y3 3 ‒ 4xy
ResoluccedilatildeoQueremos encontrar os pontos criacuteticos da funccedilatildeo f (x y) = 9x3 +
y3 3 ‒ 4xy
Aplicando a Definiccedilatildeo 322 devemos igualar as derivadas parciais a zero
Calculando as derivadas parciais temos partf partx
= 27x2 ‒ 4y e partf party
= y2 ‒ 4x
Igualando as derivadas parciais a zero e resolvendo as equaccedilotildees obtemos
27 4 04 0
2
2
x yy x
minus =
minus =
Isola-se x na segunda equaccedilatildeo x = y2 4 e substitui na primeira equaccedilatildeo
27 4 0
274
4 0
27 64 0
27 64 0
0
2
2 2
4
3
x y
y y
y y
y y
y
minus =
minus =
minus =
minus( ) == ou 277y
e y
3
3
2 1
64 0642743
0
minus =
=
= =
y
y
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
105
Substituiacutemos os valores de y na segunda equaccedilatildeo
x = y2 4 x =
y2 4
x1 = 02 4 x2 =
43
2
4
x1 = 0 x2 = 4 9
Portanto (00) e 4 9
4 3
satildeo os pontos criacuteticos de f (x y)
Lembre-se de que jaacute estudamos gradiente de uma funccedilatildeo
∆f (xy) em que
∆f (xy) = partf partx
partf party Entatildeo na Definiccedilatildeo 322 poderiacuteamos dizer que P (x
0y
0) eacute um ponto
criacutetico se
∆
f (x0y
0) = 0 ou se
∆
f (xy) natildeo existe
Exemplo 2Mostre que f (xy) = x2 + y2 ‒ xy + x tem um ponto criacutetico
ResoluccedilatildeoSegundo a Definiccedilatildeo 322 devemos igualar as derivadas parciais a zero
para encontrar os pontos criacuteticos se existem
As derivadas parciais satildeo partf partx
= 2x ‒ y + 1 e partf party
= ‒ x + 2y Entatildeo igualando
as derivadas parciais a zero e resolvendo o par de equaccedilotildees temos
2x ‒ y + 1 = 0‒ x + 2y = 0
NOTA
106
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
agora resolvemos o sistema pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
y = ‒ 1 3
Assim x = ‒ 2 3 e y = ‒ 1
3 Existe apenas um ponto criacutetico P ‒ 2 3 ‒ 1
3
Para sabermos se este ponto criacutetico eacute um ponto maacuteximo ou miacutenimo da funccedilatildeo podemos aplicar a Definiccedilatildeo 321 o que pode ser complicado em algumas situaccedilotildees Poreacutem podemos usar o recurso graacutefico tanto da superfiacutecie como das curvas de niacutevel (mapa de contornos) atraveacutes de um software computacional como veremos na Figura 37
FIGURA 36 ndash GRAacuteFICO DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = x2 + y2 ndash xy + x
FIGURA 37 ndash MAPA DE CONTORNOS DE f (xy) = x2 + y2 ndash xy + x
FONTE O autor
FONTE O autor
80
60
40
20
04
20ndash 2
ndash 44 2 0 ndash 2 ndash 4
x
y
4 2 0 ndash 2 ndash 4
0
2
4
ndash 2
ndash 4
y
x
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
107
Pelo graacutefico da funccedilatildeo (Figura 36) eacute possiacutevel dizer que o ponto P
‒ 2 3 ‒ 1
3 eacute miacutenimo local e na Figura 37 as curvas de niacutevel satildeo curvas fechadas
que circundam o ponto P indicando assim um extremo local
Acabamos de ver que eacute possiacutevel determinar o tipo de ponto criacutetico a partir do mapa de contorno entatildeo podemos classificar os pontos criacuteticos atraveacutes das seguintes caracteriacutesticas graacuteficas
i) se P (x0 y0) eacute um miacutenimo local entatildeo as curvas de niacutevel proacuteximas de P satildeo curvas fechadas que circundam P e o mapa de contornos mostra que f (x y) cresce em todas as direccedilotildees a partir de P (Figura 37)
ii) se P (x0 y0) eacute um maacuteximo local entatildeo as curvas de niacutevel proacuteximas de P satildeo curvas fechadas que circundam P e o mapa de contornos mostra que f (x y) decresce em todas as direccedilotildees a partir de P
iii) se P (x0 y0) eacute um ponto de sela entatildeo as curvas de niacutevel de f (x y) que passam por P consistem em duas retas que se intersectam e dividem a vizinhanccedila de P em quatro regiotildees O mapa de contornos mostra que f (x y) eacute decrescente na direccedilatildeo x e crescente na direccedilatildeo y (Figura 38)
iv) se P (x0 y0) eacute um ponto de sela ndash outra situaccedilatildeo entatildeo as curvas de niacutevel em (x0 y0) tem uma forma padratildeo ldquonuacutemero oitordquo (Figura 39)
FIGURA 38 ndash MAPA DE CONTORNOS DESTACANDO O PONTO DE SELA
FIGURA 39 ndash MAPA DE CONTORNOS ndash PONTO DE SELA PADRAtildeO ldquoNUacuteMERO OITOrdquo
FONTE O autor
FONTE O autor
4
2
0
ndash2
ndash 4
y
4 2 0 ndash 2 ndash 4x
2
2
1
0
ndash 1
ndash2
0 1ndash 1ndash 2x
y
2
108
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Segue da Definiccedilatildeo 322 e do Teorema 321 que os extremos relativos ocorrem nos pontos criacuteticos Contudo uma funccedilatildeo natildeo precisa ter um extremo relativo em cada ponto criacutetico isto quer dizer que um ponto criacutetico nem sempre eacute um ponto extremante Um ponto criacutetico que natildeo eacute um maacuteximo relativo nem um miacutenimo relativo eacute chamado de ponto de sela
Nas funccedilotildees de duas variaacuteveis natildeo temos pontos de inflexatildeo como em funccedilotildees de uma variaacutevel Podemos ter um ponto de sela quando numa direccedilatildeo a funccedilatildeo atinge um maacuteximo num ponto e em outra direccedilatildeo um miacutenimo no mesmo ponto O nome se daacute pela semelhanccedila com uma sela de cavalo maacuteximo na direccedilatildeo das pernas do cavaleiro (transversal ao cavalo ) e miacutenimo na direccedilatildeo longitudinal (dorso) do cavalo
Em seguida vamos estudar um meacutetodo que permite classificar os pontos criacuteticos com criteacuterios bem definidos Mas antes definiremos a hessiana
Definiccedilatildeo 323 Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo de classe C2 A matriz hessiana de f representada por H(f) eacute dada por
Exemplo 3Seja f (xy) = 3x2 + y2 Calcule a matriz hessiana de f no ponto (00)
ResoluccedilatildeoPela Definiccedilatildeo 323 calculamos as derivadas parciais no ponto dado
partf partx
= 6x partf party
= 2y part2f partx2
= 6 part2f partxparty
= 0 part2f partypartx
= 0 e part2f party2
= 2
Portanto H (00) = 6 00 2
eacute a matriz hessiana de f no ponto (00)
Teorema 322 (Teste da segunda derivada) Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo de classe C2 Suponhamos que P (x0 y0) seja um ponto criacutetico da funccedilatildeo f
NOTA
H x y
fxx y f
x yx y
fy x
x y fyx
0 0
2
2 0 0
2
0 0
2
0 0
2
2 0
( ) =
part
part( ) part
part part( )
partpart part
( ) part
party0( )
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
109
i) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) gt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto miacutenimo local de f
ii) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto maacuteximo local de f
iii) Se det H (x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto de sela
iv) Se det H (x0y0) = 0 nada se conclui
Para facilitar o entendimento e visualizar a classificaccedilatildeo dos pontos criacuteticos apresentamos o graacutefico e um texto explicativo
Os pontos P e Q satildeo pontos de maacuteximo porque qualquer deslocamento em sua vizinhanccedila iraacute descer O ponto S eacute uma sela porque nos sentidos SP e SQ sobe mas no sentido SL ou ST desce
FONTE CANESIN Wilson Funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis ndash Notas de aula ndash parte II Disponiacutevel em lthttpwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 28 out 2011
FIGURA 40 ndash GRAacuteFICO DE SUPERFIacuteCIE
FONTE Disponiacutevel em lthttpwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 28 out 2011
Veremos em seguida exemplos onde aplicaremos o Teorema 322
Exemplo 4Considere a funccedilatildeo f (xy) = x2 + y2 ‒ xy + x Determine caso existam os pontos
de maacuteximo e os pontos de miacutenimo local da funccedilatildeo
Resoluccedilatildeo
Vimos no Exemplo 2 que o ponto ‒ 2 3 ‒ 1
3 eacute o uacutenico ponto criacutetico de f
Para classificaacute-lo vamos usar o Teorema 322 Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
P
S
Q
T
L
F(xy)
110
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
part2f partx2
= 2 part2f partxparty
= ‒1 part2f partypartx
= ‒1 e part2f party2
= 2 Entatildeo
det H minus minus
=
minusminus
=2
3
1
3
2 1
1 23
Como H ‒ 2 3 ‒ 1
3 gt 0 e part2f partx2 ‒ 2
3 ‒ 1 3 gt 0 segue que ‒ 2
3 ‒ 1 3 eacute
um ponto miacutenimo local de f
Exemplo 5Encontre os maacuteximos e miacutenimos de f (xy) = 1
3 x3 + 1 3 y3 ‒ x ‒ 4y + 20 caso
existam
ResoluccedilatildeoVamos encontrar inicialmente os pontos criacuteticos de f fazendo partf
partx = 0 e partf
party = 0
partf partx
= x2 ‒ 1 e partf party
= y2 ‒ 4
x2 ‒ 1 = 0y2 ‒ 4 = 0
Resolvendo o sistema temos os pontos criacuteticos (12) (1‒2) (‒12) e (‒1‒2)
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
part2f partx2
= 2x part2f partxparty
= 0 part2f partypartx
= 0 e part2f party2
= 2y
Agora calculamos o determinante hessiano Entatildeo
det det
det
H H
H
1 22 0
0 48 1 2
2 0
0 48
1 22 0
0 48
( ) = = minus( ) =minus
= minus
minus( ) =minus
= minus
e
e det H minus minus( ) =minus
minus=1 2
2 0
0 48
Para classificar os pontos criacuteticos usaremos o Teorema 322
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
111
Vamos analisar o ponto (12)
Temos det H (12) gt 0 e part2f partx2 (12) gt 0 logo (12) eacute um ponto miacutenimo local de f
Vamos analisar o ponto (1‒2)
Temos det H (1‒2) lt 0 logo (1‒2) eacute um ponto de sela de f
Vamos analisar o ponto (1‒2)
Temos det H (‒12) lt 0 logo (‒12) eacute um ponto de sela de f
Vamos analisar o ponto (‒1‒2)
Temos det H (‒1‒2) gt 0 e part2f partx2 (‒1‒2) lt 0 logo (‒1‒2) eacute um ponto maacuteximo local de f
Os graacuteficos (Figura 41 e Figura 42) gerado por computador usando o software Maple 11 ilustram os caacutelculos apresentados anteriormente
FIGURA 41 ndash GRAacuteFICO DA SUPERFIacuteCIE DE f FIGURA 42 ndash MAPA DE CONTORNOS DE f
FONTE O autor FONTE O autor
3 PROBLEMAS ENVOLVENDO MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
O estudo feito no item anterior pode ser perfeitamente aplicado em problemas de maximizaccedilatildeo e minimizaccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Como por exemplo em problemas geomeacutetricos fiacutesicos econocircmicos entre outros
Exemplo 6Determine as dimensotildees de uma caixa retangular aberta no topo com um
volume de 32 cm3 e que requer uma quantidade miacutenima de material para a sua construccedilatildeo
30
25
20
15
103 2 1 0ndash 1ndash 2ndash 3 2 1 0 ndash 1ndash 2 ndash 3
yx
ndash 4
ndash 4
ndash 2
ndash 2 0 2 4x
2
4
y
112
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Resoluccedilatildeox comprimento da caixa (cm)y largura da caixa (cm)z altura da caixa (cm)A aacuterea da superfiacutecie da caixa (cm2)V volume da caixa (cm3)
V = xyz rArr xyz = 32 rArr z = 32 xy
Queremos minimizar a aacuterea de superfiacutecie
A = xy + 2xz + 2yz com a restriccedilatildeo do volume
Substituindo z obtemos
A = xy + 2x 32 xy + 2y 32
xy
A(xy) = xy + 64 y + 64
x x gt 0 e y gt 0
Como a regiatildeo eacute aberta o miacutenimo deve ocorrer num ponto criacutetico de A Passemos entatildeo a determinaacute-los
partApartx
= y ‒ 64 x2 partA
party = x ‒ 64
y2
y ‒ 64 x2 = 0 x ‒ 64
y2 = 0
y = 64 x2 x ‒
64
64x2
2 = 0
y2 = 4 x ‒ x4 64 = 0
x 1 ‒ x3
64 = 0
x1 = 0 e x2 = 4
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
113
Assim o ponto (44) eacute ponto criacutetico de A
Usando o teste da segunda derivada (Teorema 322) obtemospart2Apartx2 = 128
x3 part2A partxparty = 1 part2A
partypartx = 1 part2fparty2 = 128
y3
Calculando o determinante hessiano temos
det H (44) = 2 11 2
= 4 ‒ 1 = 3
Daiacute det H (44) gt 0 e part2Apartx2 (44) gt 0 portanto o ponto (44) eacute o miacutenimo local de A
Logo a caixa que usa o miacutenimo de material tem altura z = 2 e base quadrada x = y = 4
Exemplo 7A funccedilatildeo T (xy) = x2 + y2 ‒ 8x + 5y + 20 daacute a temperatura em graus Celsius
de cada ponto (x y) de uma chapa circular (exceto as bordas que eacute constituiacuteda de outro material) de raio 6 cm localizada no centro do plano xy Determine o ponto mais quente e o mais frio no interior da chapa se existir
Resoluccedilatildeo A funccedilatildeo T (xy) = x2 + y2 ‒ 8x + 5y + 20 tem domiacutenio D(T) = (xy) | x2 + y2 lt 36
Calculando as derivadas parciais de primeira ordem temos
partT partx
= 2x ‒ 8 e partT party
= 2y + 5
2x ‒ 8 = 02y + 5 = 0
Resolvendo o sistema temos o uacutenico ponto criacutetico 4 ‒ 52
e T 4 ‒ 52
= - 94
= ‒ 225 degC
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
part2Tpartx2 = 2 part2T
partxparty = 0 part2T partypartx = 0 part2T
party2 = 2
114
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Agora calculamos o determinante hessiano Entatildeo
det H 4 ‒ 52
= 2 00 2
= 4
Pelo Teorema 322 temos det H 4 ‒ 52
gt 0 e part2Tpartx2 gt 0 assim o ponto
4 ‒ 52
eacute miacutenimo
Portanto o ponto mais frio da chapa tem temperatura de ndash 225ordmC e estaacute
localizado no ponto 4 ‒ 52
Exemplo 8Para o projeto de uma calha tem-se uma folha metaacutelica de 12 cm de
largura que se deseja dobrar de forma a se ter uma capacidade maacutexima
Resoluccedilatildeo
A aacuterea da seccedilatildeo da calha eacute formada pela aacuterea do retacircngulo mais a aacuterea dos dois triacircngulos conforme a figura
A = 2 (triacircngulo) + retacircngulo
A = 2 x cos θ x sen θ2
+ (12 ‒ 2x) x sen θ
A = f (xθ) = x2 cos θ sen θ + 12x sen θ ‒ 2x2 sen θ
Agora vamos estudar os extremos (maacuteximos e miacutenimos) da funccedilatildeo Deriva-se a funccedilatildeo obtendo
partf partx
= 2x sen θ cos θ + 12 sen θ ‒ 4x sen θ
partf partθ
= ‒ x2 sen2 θ + x2 cos2 θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
115
Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema temos
‒ x2 sen2 θ + x2 cos2 θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x2 (‒ sen2 θ + cos2 θ) + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x2 cos 2θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x (2 cos2 θ ‒ 1) ‒ 2x cos θ + 12 cos θ = 0
x (2 cos2 θ ‒ 2 cos θ ‒ 1) + 12 cos θ = 0
2x sen θ cos θ + 12 sen θ ‒ 4x sen θ = 0
2x cos θ = 4x ‒ 12
cos θ = 4x ‒ 12
2x
cos θ = 2 ‒ 6x
Substituiacutemos o valor cos θ = 2 ‒ 6x
na segunda equaccedilatildeo e resolvendo
encontra-se x = 4 que resulta em cos θ = 2 ‒ 6x
= 12
cos θ = 12
rArr θ = p3
rad ou θ = 60deg
O ponto (460deg) encontrado parece ser bastante razoaacutevel omitiremos o teste da segunda derivada tambeacutem por causa do trabalho que estas dariam Mas para ter certeza podemos calcular a aacuterea A para valores de x e θ
116
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
x θ A4 30 149284 36 170134 42 186624 48 198464 54 205534 60 207854 66 205624 72 199194 78 18904
Entatildeo pelos valores obtidos na tabela confirmamos que a capacidade eacute maacutexima no ponto (460deg)
FONTE Disponiacutevel em ltwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 30 maio 2012
117
RESUMO DO TOacutePICO 3
Neste toacutepico vocecirc estudou alguns conceitos e teoremas importantes
bull Dizemos que P (x0y0) eacute um ponto criacutetico de f (xy) se partf partx
(x0 y0) = partf party
(x0 y0) = 0 ou se natildeo existir uma das duas derivadas parciais
bull Definimos a matriz hessiana de f (xy) por
bull O Teorema 322 (Teste da segunda derivada) facilita bastante na classificaccedilatildeo do ponto criacutetico de f (xy) Suponhamos que P (x0y0) seja um ponto criacutetico da funccedilatildeo f
i) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) gt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto miacutenimo local de f
ii) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto maacuteximo local de f
iii) Se det H (x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto de sela
iv) Se det H (x0y0) = 0 nada se conclui
118
Nos exerciacutecios 1 e 2 encontre os pontos criacuteticos das funccedilotildees dadas
1 f (xy) = x2 + y2 + xy ‒ 6x + 2
2 f (xy) = x2 + 8y4 + xy ‒ 3y2 ‒ y3
Nos exerciacutecios 3 a 7 encontre os pontos criacuteticos e os extremos locais das funccedilotildees dadas
3 f (xy) = x3 + y3 ‒ 6xy
4 f (xy) = ‒ 13
x4 + 23
x3 + 4xy ‒ y2
5 f (xy) = x3 + y2 ‒ 6xy + 6x + 3y ‒ 2
6 f (xy) = 4x ‒ 3x3 ‒ 2xy2
7 f (xy) = x4 + y4 ‒ 4xy
8 A temperatura T (degC) em cada ponto de um painel plano eacute dada pela equaccedilatildeo T (xy) = 16x2 + 24x ‒ 40y2 Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da regiatildeo
9 Um supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha com duas marcas de suco de laranja uma marca local que custa no atacado R$ 030 a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa no atacado R$ 040 a garrafa O dono do supermercado estima que se cobrar x centavos pela garrafa da marca local e y centavos pela garrafa da marca nacional venderiam 70 ‒ 5x + 4y garrafas da marca local e 80 + 6x + 7y garrafas da marca nacional por dia Por quanto o dono do supermercado deve vender as duas marcas de suco de laranja para maximizar o lucro
AUTOATIVIDADE
119
TOacutePICO 4
INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
Na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral estudamos que a integral indefinida int f (x) dx resulta em outra funccedilatildeo denominada funccedilatildeo primitiva de f (x)
Estudamos tambeacutem que a integral definida eacute dada por
desde que tal limite exista O valor calculado na integral definida quando f (x) ge 0 tem como interpretaccedilatildeo imediata o caacutelculo da aacuterea da regiatildeo compreendida entre o eixo x o graacutefico de f (x) e as retas x = a e x = b
Neste toacutepico vamos estudar a integral dupla definida cuja interpretaccedilatildeo geomeacutetrica quando f (xy) ge 0 corresponde ao caacutelculo do volume do soacutelido delimitado superiormente pelo graacutefico de z = f (xy) e inferiormente pela regiatildeo definida sobre o plano xy
2 INTEGRAL DUPLA
21 INTEGRAL DUPLA SOBRE RETAcircNGULO
Definiccedilatildeo 4211 (Volume sob uma superfiacutecie) Se f eacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis contiacutenua e natildeo negativa numa regiatildeo R do plano xy entatildeo o volume do soacutelido compreendido entre a superfiacutecie z = f (xy) e a regiatildeo R eacute definido por
A ideia envolvida na Definiccedilatildeo 4211 eacute a mesma empregada na integral definida simples Assim a regiatildeo R eacute dividida em sub-retacircngulos Faremos isso com o intervalo em x (∆x) e com o intervalo y (∆y) formando os sub-retacircngulos Rij cada um com aacuterea ∆A = ∆x∆y
120
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 43 ndash INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DA INTEGRAL DUPLA QUANDO f (xy) ge 0
FONTE Disponiacutevel em ltwwwpucrsbrfamatbeatrizcalculoIIINTEGRAL_DUPLAdocgt Acesso em 30 maio 2012
Definiccedilatildeo 4212 A integral dupla de f sobre o retacircngulo R eacute
se esse limite existir
A soma presente nas duas definiccedilotildees acima eacute chamada de soma dupla de Riemann e eacute usada como uma aproximaccedilatildeo do valor da integral dupla
22 INTEGRAIS ITERADAS
Nas integrais duplas que estudaremos neste toacutepico seratildeo consideradas apenas as integrais duplas definidas E na sua resoluccedilatildeo aplicaremos o Teorema Fundamental do Caacutelculo O caacutelculo da integral dupla eacute muito complicado pela definiccedilatildeo entatildeo veremos como calcular a integral dupla atraveacutes da integral iterada cujo valor pode ser obtido calculando-se duas integrais de funccedilotildees de uma variaacutevel real A expressatildeo iterada quer dizer repetida
Este procedimento segue a mesma ideia para calcular as derivadas parciais
UNI
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
121
Suponha que f seja uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis contiacutenua no retacircngulo R = [ab]x[cd]
bull A integral intf (xy) dy
d
c significa que a variaacutevel x eacute mantida fixa (como constante) e
f (xy) eacute integrado em relaccedilatildeo a variaacutevel y com y variando de c ateacute d
bull Como intf (xy) dy
d
c eacute um nuacutemero que depende do valor de x ele define uma
funccedilatildeo de x
F (x) = intf (xy) dy
d
c
bull Integrando a funccedilatildeo F(x) em relaccedilatildeo a variaacutevel x de a ateacute b obtemos
Lembre-se quando a integral eacute definida aplicamos o Teorema Fundamental do
Caacutelculo intf (x) dx = F(b) ‒ F(a)b
a
Exemplo 1
Calcular a integral
ResoluccedilatildeoResolvendo a integral dupla como integral iterada temos
Vamos resolver primeiro a integral que estaacute dentro dos colchetes considerando como constante a variaacutevel x jaacute que a funccedilatildeo estaacute sendo integrada primeiramente em relaccedilatildeo a variaacutevel y (pois a diferencial nesta integral eacute dy)
IMPORTANTE
122
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Assim intxy2 dy = 3x
2
‒1
Agora substituiacutemos este resultado na integral final E verifique que a integral que falta resolver eacute uma integral apenas na variaacutevel x
Portanto
Exemplo 2
Calcular a integral
ResoluccedilatildeoResolvendo a integral dupla como integral iterada temos
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
123
Vamos resolver primeiro a integral que estaacute dentro dos colchetes considerando como constante a variaacutevel y jaacute que a funccedilatildeo estaacute sendo integrada primeiramente em relaccedilatildeo a variaacutevel x (pois a diferencial nesta integral eacute dx)
Assim int (x + y + 1) dx = 2y + 2
1
‒1
Agora substituiacutemos este resultado na integral final E verifique que a integral que falta resolver eacute uma integral apenas na variaacutevel y
= 1
Portanto
Teorema 3221 (Teorema de Fubini) Se f for contiacutenua no retacircngulo R = [ab]x[cd] entatildeo
124
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Verifique a aplicaccedilatildeo do teorema de Fubini no Exemplo 2
23 INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIOtildeES GENEacuteRICAS
Vamos considerar funccedilotildees contiacutenuas definidas sobre regiotildees fechadas que denotaremos por D onde D cap R2
Conveacutem separarmos a regiatildeo plana D em dois casos que chamaremos de Tipo I e Tipo II
bull Uma regiatildeo plana D eacute dita do tipo I se estaacute contida entre o graacutefico de duas funccedilotildees contiacutenuas de x ou seja
D = (xy) a le x le b g1(x) le y le g2(x) onde g1(x) e g2(x) satildeo contiacutenuas em [ab]
FIGURA 44 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
UNI
D
a b
y
x
y₂ = g₂(x)
y₁ = g₁(x)
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
125
Definiccedilatildeo 3231 Se f eacute contiacutenua em uma regiatildeo D do tipo I tal que
D = (xy) a le x le b g1(x) le y le g2(x)
entatildeo
Exemplo 3
Escreva intintf (xy) dAD
sobre a regiatildeo D que estaacute compreendida entre o
graacutefico das funccedilotildees y = radic1 ‒ x 2 e y = 1 ‒ x
ResoluccedilatildeoVamos escrever esta integral considerando a regiatildeo do tipo I
Assim g1 (x) = 1 ‒ x e g2 (x) = radic1 ‒ x 2
Entatildeo usaremos
126
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 45 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
bull Uma regiatildeo plana D eacute dita do tipo II se estaacute contida entre o graacutefico de duas funccedilotildees contiacutenuas de y ou seja
D = (xy) c le y le d h1(y) le x le h2(y)
onde h1(y) e h2(y) satildeo contiacutenuas em [cd]
FIGURA 46 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
y
x₂ = h₂(y)
x₁ = h₁(y)
d
c x
D
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
127
Definiccedilatildeo 3232 Se f eacute contiacutenua em uma regiatildeo D do tipo II tal que
D = (xy) c le y le d h1(y) le x le h2(y)
entatildeo
Exemplo 4
Escreva intintf (xy) dAD
sobre a regiatildeo D que estaacute compreendida entre o
graacutefico das funccedilotildees y = radic1 ‒ x 2 e y = 1 ‒ x
ResoluccedilatildeoVamos escrever esta integral considerando a regiatildeo do tipo II
FIGURA 47 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim h1 (y) = 1 ‒ y e h2 (y) = radic1 ‒ y 2
Entatildeo usaremos
128
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Exemplo 5Seja f (xy) = xy calcule intintf (xy) dA
D
sobre a regiatildeo D compreendida entre y =
12
x y = radicx x = 2 e x = 4
ResoluccedilatildeoConforme pode ser observada a regiatildeo no graacutefico convecircm aplicar o tipo I
FIGURA 48 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
129
= 116
Portanto intintf (xy) dA = 116D
Exemplo 6
Calcule intint(xy ‒ y 3) dAD
sobre a regiatildeo D mostrada no graacutefico abaixo
ResoluccedilatildeoConforme pode ser observada a regiatildeo no graacutefico vamos aplicar o tipo II
A projeccedilatildeo da regiatildeo D sobre o eixo dos y daacute o intervalo 0 le y le 1 e as funccedilotildees tem que estar na variaacutevel y Entatildeo
h1 (y) = y 4 e h2 (y) = y 12
130
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 49 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim
x
y
2
1
21
y = xsup2
y = xsup1 ⁴
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
131
Vocecirc estudou integraccedilatildeo no final do Caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral e verificou que eacute possiacutevel calcular a aacuterea entre duas curvas utilizando a integral simples Vamos ver agora que tambeacutem eacute possiacutevel calcular a aacuterea entre duas curvas utilizando a integral dupla
Exemplo 7
Calcule a aacuterea compreendida entre as curvas y = 12
x y = radicx x = 2 e x = 4
ResoluccedilatildeoA aacuterea compreendida entre as curvas dadas eacute a mesma mostrada no
Exemplo 5
Assim aplicamos o a integral dupla do tipo I Para a montagem da integral o procedimento eacute o mesmo feito no exemplo 5
UNI
132
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 50 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Portanto a aacuterea definida entre as curvas eacute dada por
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
133
Concluindo a ideia do caacutelculo da aacuterea entre curvas verifique que a montagem da integral dupla tem o mesmo procedimento mostrado no item 23 A uacutenica diferenccedila eacute que devemos considerar a funccedilatildeo integrante como a constante unitaacuteria isto eacute f (xy) = 1
Exemplo 8Calcule a aacuterea entre as curvas y = 5 ‒ x2 e y = x + 3
ResoluccedilatildeoA aacuterea compreendida entre as curvas dadas acima estaacute representada a
seguir
Assim aplicamos a integral dupla do tipo I Para a montagem da integral o procedimento eacute o mesmo feito anteriormente
Precisamos encontrar os limites numeacutericos da variaacutevel x igualando a variaacutevel y
FIGURA 51 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
IMPORTANTE
y = 5 ndash xsup2
y = x + 3
ndash 2 ndash 1 21x
1
2
3
4
5y
134
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
= 92
Portanto a aacuterea definida entre as curvas eacute dada por 92
LEITURA COMPLEMENTAR
GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN (1826 - 1866)
Nasceu no dia 17 de setembro de 1826 em Breselenz Alemanha Era filho de um ministro luterano e teve uma boa instruccedilatildeo estudando em Berlim e Goumlttingen mas em condiccedilotildees muito modestas por causa de sua sauacutede fraacutegil e de sua timidez Ainda no ensino secundaacuterio estudou os trabalhos de Euler e Legendre
Aos 19 anos Riemann foi com todo o apoio do pai para a Universidade de Goumlttingen estudar teologia com o objetivo de tornar-se cleacuterigo Mais tarde pediu permissatildeo ao pai e mudou o foco dos seus estudos para a Matemaacutetica transferindo-se um ano depois para a Universidade de Berlim onde atraiu o interesse de Dirichlet e Jacobi
Em 1849 retornou a Goumlttingen onde obteve o grau de doutor em 1851 Sua brilhante tese foi desenvolvida no campo da teoria das funccedilotildees complexas Nessa tese encontram-se as chamadas equaccedilotildees diferenciais de Cauchy-Riemann - conhecidas poreacutem antes do tempo de Riemann - que garantem a analiticidade de uma funccedilatildeo de variaacutevel complexa e o produtivo conceito de superfiacutecie de Riemann que introduziu consideraccedilotildees topoloacutegicas na anaacutelise
Trecircs anos mais tarde foi nomeado Privatdozent cargo considerado o primeiro degrau para a escalada acadecircmica Com a morte de Gauss em 1855 Dirichlet foi chamado a Goumlttingen como seu sucessor e passou a incentivar Riemann primeiro com um pequeno salaacuterio e depois com uma promoccedilatildeo a professor assistente Em 1859 morreu Dirichlet e Riemann foi nomeado professor titular para substituiacute-lo
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
135
O periacuteodo de 1851 a 1859 do ponto de vista econocircmico foi o mais difiacutecil da vida de Riemann mas ele criou suas maiores obras justamente nesses anos
Riemann era um matemaacutetico de muacuteltiplos interesses e mente feacutertil contribuindo natildeo soacute para o desenvolvimento da geometria e da teoria dos nuacutemeros como tambeacutem para o da anaacutelise matemaacutetica
Riemann tornou claro o conceito de integrabilidade de uma funccedilatildeo atraveacutes da definiccedilatildeo do que atualmente chamamos Integral de Riemann
Durante uma conferecircncia-teste generalizou todas as geometrias euclidianas e natildeo euclidianas estabelecendo a Geometria Riemanniana que serviu de suporte para a Teoria da Relatividade de Einstein
Em 1859 publicou seu uacutenico trabalho em Teoria dos Nuacutemeros um artigo dedicado ao Teorema dos Nuacutemeros Primos no qual partindo de uma identidade notaacutevel descoberta por Euler chegou a uma funccedilatildeo que ficou conhecida como Funccedilatildeo Zeta de Riemann Nesse artigo provou vaacuterias propriedades importantes dessa funccedilatildeo e enunciou vaacuterias outras sem provaacute-las Durante um seacuteculo depois de sua morte muitos matemaacuteticos tentaram provaacute-las e acabaram criando novos ramos da anaacutelise matemaacutetica
Riemann morreu de tuberculose no dia 20 de Julho de 1866 em Selasca na Itaacutelia durante a uacuteltima de suas vaacuterias viagens para fugir do clima frio e uacutemido do norte da Alemanha
FONTE Disponiacutevel em lthttpecalculoifuspbrhistoriariemannhtmgt Acesso em 12 jun 2008
136
RESUMO DO TOacutePICO 4
Estudamos no Toacutepico 4 as integrais muacuteltiplas Primeiramente vimos que o procedimento do caacutelculo destas integrais eacute feito por iteraccedilatildeo isto eacute repeticcedilatildeo Resolvendo a integral de dentro (interna) para a de fora e substituindo os limites de integraccedilatildeo pelo Teorema Fundamental do Caacutelculo
Depois estudamos como calcular aacutereas de formas irregulares utilizando as integrais duplas por dois processos
Projetando a regiatildeo sobre o eixo dos x que chamamos de tipo I e escrevemos a
integral como
Projetando a regiatildeo sobre o eixo dos y que chamamos de tipo II e escrevemos a
integral como
E finalizando tambeacutem estudamos a possibilidade de calcular a aacuterea entre curvas usando a integral dupla com o mesmo procedimento revisto acima onde a funccedilatildeo integrante eacute dada por f (xy) = 1
137
Calcule a integral onde R 0 le x le 2 1 le y le 4
1 intintx2 dxdyR
2 intintxy2 dxdyR
Calcule a integral onde R 0 le x le 2 0 le y le x
3 intintx3y dxdyR
4 intinte x + y dxdyR
5 Encontre a aacuterea da regiatildeo no primeiro quadrante limitada por xy = 2 y = 1 e y = x + 1
Calcule por integraccedilatildeo dupla a aacuterea da regiatildeo limitada determinada pelo par de curvas dado
6 x2 = 4y e 2y ‒ x ‒ 4 = 0
7 y = x e x = 4y ‒ y2
8 x + y = 5 e xy = 6
AUTOATIVIDADE
138
139
UNIDADE 3
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Ao final desta unidade vocecirc deveraacute ser capaz de
bull conhecer os principais conceitos que envolvem as equaccedilotildees diferenciais
bull identificar os diferentes tipos de equaccedilotildees diferenciais
bull diferenciar as equaccedilotildees diferenciais
bull resolver as equaccedilotildees diferenciais
Na Unidade 3 estudaremos as equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias de primeira ordem e algumas equaccedilotildees diferenciais de segunda ordem Neste intuito a unidade seraacute dividida em trecircs toacutepicos O Toacutepico 1 inicia com a definiccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais ordem e classificaccedilatildeo Na sequecircncia seratildeo apresenta-das as equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias de primeira ordem separaacuteveis linea-res e exatas e seus respectivos meacutetodos de resoluccedilatildeo No toacutepico 2 destacare-mos as equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem que envolvem substituiccedilotildees em suas resoluccedilotildees em particular as equaccedilotildees de Bernoulli e as equaccedilotildees homogecircneas Finalizamos a unidade com o Toacutepico 3 estudando as equaccedilotildees diferenciais lineares de segunda ordem Nesse toacutepico nosso estudo se res-tringiraacute agraves equaccedilotildees lineares homogecircneas com coeficientes constantes
TOacutePICO 1 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
TOacutePICO 2 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
TOacutePICO 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
140
141
TOacutePICO 1
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico vamos abordar as caracteriacutesticas de uma equaccedilatildeo diferencial quanto ao seu tipo a sua ordem e a sua linearidade Na sequecircncia discutiremos os processos de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem segundo sua classificaccedilatildeo em separaacuteveis lineares ou exatas
Vejamos alguns exemplos de equaccedilotildees diferenciais
Uma equaccedilatildeo que relaciona uma funccedilatildeo desconhecida a uma ou mais de suas derivadas eacute chamada de uma equaccedilatildeo diferencial
As equaccedilotildees satildeo classificadas quanto ao tipo agrave ordem e agrave linearidade
2 DEFINICcedilOtildeES E TERMINOLOGIAS
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
142
Uma equaccedilatildeo diferencial pode ser classificada como ordinaacuteria ou parcial Se a funccedilatildeo envolvida for uma funccedilatildeo de somente uma variaacutevel dizemos que a equaccedilatildeo eacute ordinaacuteria (EDO) Se uma equaccedilatildeo diferencial conteacutem pelo menos uma derivada parcial entatildeo eacute denominada de equaccedilatildeo diferencial parcial (EDP) Vejamos alguns exemplos
i) partu party
= ndash 5 partupartx
u = u(x y) parcial
ii) d 2 y dx2 ndash 6 dy
dx + 8y = 0 ordinaacuteria
iii) part2z
partx2 + part
2zparty2
ndash 2 partzparty
= 0 z = z(x y) parcial
21 TIPOS DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Quanto agrave ordem uma equaccedilatildeo diferencial pode ser de 1ordf de 2ordf de n-eacutesima ordem dependendo da derivada de maior ordem presente na equaccedilatildeo
i) yprime ndash 3xy = x 1deg ordem
ii) yPrime + yprime = cos t 2deg ordem
iii) d y dx
2
+ 3y = 2 1deg ordem
iv) d 2 y dx2 ndash 6 dy
dx + 8y = 0 2deg ordem
v) d 3 y dt 3 ndash t
dydt + (t 2 ndash 1)y = et 3deg ordem
vi) xyprime ndash 5y = 0 1deg ordem
22 ORDEM DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
143
Uma equaccedilatildeo diferencial eacute dita linear se a funccedilatildeo e suas derivadas envolvidas na equaccedilatildeo forem de primeiro grau Caso contraacuterio dizemos que a EDO eacute natildeo linear Vejamos alguns exemplos
i) dydx + 3y = 2 linear
ii) dydx + sen y = 2 natildeo linear
iii) d 3 y dx3 ndash x dy
dx + 7y = ex linear
iv) d 3 y dt 3 +
dydt + t (y 2 ndash 1) = et natildeo linear
23 LINEARIDADE DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Uma funccedilatildeo y = y(x) eacute soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial em um dado intervalo I se a equaccedilatildeo diferencial for satisfeita para todo x isin I ou seja se y(x) e suas derivadas satisfizerem agrave equaccedilatildeo diferencial neste intervalo para todo x isin I
Exemplo 1
Verifique se a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 eacute soluccedilatildeo de yprime(x) + 2xy = x
Resoluccedilatildeo
Dado a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 vamos encontrar a derivada de primeira ordem
yprime(x) = 32
(ndash 2x)endashx 2
yprime(x) = ndash3xendashx 2
Agora substituiacutemos y e yprime na equaccedilatildeo diferencial yprime (x) + 2xy = x
24 SOLUCcedilAtildeO DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
144
Entatildeo a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial e portanto
y eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial dada
Exemplo 2Verifique se a funccedilatildeo y(x) = e2x eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
d 2 y dx2 ndash 5
dydx + 6y = 0
ResoluccedilatildeoDado a funccedilatildeo y(x) = e2x vamos encontrar as derivadas de primeira e
segunda ordem
dydx = 2e2x e
d 2 y dx2 = 4e2x
Agora vamos substituiacute-las na equaccedilatildeo diferencial d 2 y dx2 ndash 5 dy
dx + 6y = 0
4e2x ndash 5 middot 2e2x + 6e2x = 0
4e2x ndash 10e2x + 6e2x = 0
De fato a funccedilatildeo y(x) = e2x satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial
Exemplo 3Verifique se a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
xyprime(x) ndash y(x) = 2xIn x
ResoluccedilatildeoDado a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x vamos encontrar a derivada de primeira
ordem
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
145
Agora substituiacutemos y e yprime na equaccedilatildeo diferencial xyprime(x) ndash y(x) = 2xln x obtendo
2x In x = 2x In x
Portanto a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial
Dada uma equaccedilatildeo diferencial dizemos que a sua soluccedilatildeo eacute uma funccedilatildeo que satisfaz a identidade proposta por esta equaccedilatildeo Esta funccedilatildeo expressa por y = F(x) + c conteacutem uma constante arbitraacuteria oriunda do processo de integraccedilatildeo Entatildeo dizemos que y = F(x) + c c isinR eacute uma famiacutelia de soluccedilotildees da EDO e assim para cada valor arbitraacuterio de c temos uma soluccedilatildeo (funccedilatildeo) diferente para a mesma EDO Poreacutem observe que derivando-as obteremos as mesmas funccedilotildees tendo em vista que a derivada de uma constante eacute zero
Por exemplo dada a equaccedilatildeo diferencial yprime(x) = 5x ndash 2 sua soluccedilatildeo geral eacute dada por
y(x) = 52
x2 ndash 2x + c Vamos considerar c = ndash1 e c = 3 entatildeo y1(x) = 52
x2 ndash 2x ndash 1 e y2(x) = 52
x2 ndash 2x + 3 Agora vamos derivar estas soluccedilotildees (funccedilotildees) yprime1 (x) = 5x ndash 2 e yprime2 (x) = 5x ndash 2
Podemos ver que as derivadas satildeo iguais Daiacute o fato da soluccedilatildeo y = F(x) + c c isinR ser denominada de soluccedilatildeo geral da
EDO
241 Soluccedilatildeo geral
A soluccedilatildeo deduzida da soluccedilatildeo geral atribuindo-se valores particulares agrave constante arbitraacuteria c eacute chamada de soluccedilatildeo particular
Quando uma equaccedilatildeo diferencial eacute utilizada como um modelo matemaacutetico em alguma aplicaccedilatildeo haacute normalmente uma condiccedilatildeo inicial y(x0) = y0 que torna possiacutevel calcular a constante arbitraacuteria c que aparece na soluccedilatildeo geral
242 Soluccedilatildeo particular
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
146
Um problema com uma equaccedilatildeo diferencial satisfazendo alguma condiccedilatildeo adicional (por exemplo y(x
0) = y
0 eacute denominado problema do valor inicial (PVI)
Exemplo 4
Considerando dydx = 2x entatildeo y = x2 + c eacute uma soluccedilatildeo geral da EDO c isinR
ResoluccedilatildeoVamos encontrar a soluccedilatildeo particular utilizando a condiccedilatildeo adicional y(3)
= 4 Desse modo a partir da soluccedilatildeo geral y = x2 + c atribuiacutemos a x o valor 3 e a y o valor 4 determinando assim a constante c
y = x2 + c4 = 32 + c4 = 9 + cc = ndash5
Substituindo o valor de c na soluccedilatildeo geral obtemos a soluccedilatildeo particular da EDO
y = x2 ndash 5
Caros acadecircmico(a) Leia com bastante atenccedilatildeo o texto a seguir sobre as EDOs Assim vamos saber um pouco mais sobre o que estamos estudando e quais satildeo as suas finalidades
O que uma ED de primeira ordem pode nos dizer
Vamos imaginar por um momento que temos uma equaccedilatildeo diferencial
de primeira ordem na forma normal dydx = f (xy) e aleacutem disso que natildeo podemos
encontrar nem inventar um meacutetodo para resolvecirc-la analiticamente Essa situaccedilatildeo natildeo eacute tatildeo ruim quanto parece uma vez que muitas vezes eacute possiacutevel juntar informaccedilotildees uacuteteis sobre a natureza das soluccedilotildees diretamente da proacutepria
equaccedilatildeo diferencial Por exemplo jaacute vimos que quando f (xy) e partfparty
satisfazem
NOTA
ESTUDOS FUTUROS
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
147
determinadas condiccedilotildees de continuidade as questotildees qualitativas sobre a existecircncia e a unicidade de soluccedilotildees podem ser respondidas Veremos nesta seccedilatildeo que outras questotildees qualitativas sobre propriedades da soluccedilatildeo ndash Como uma soluccedilatildeo se comporta nas proximidades de um determinado ponto Como uma soluccedilatildeo se comporta quando x rarr infin ndash podem frequentemente ser respondidas quando a funccedilatildeo f depende somente da variaacutevel y Vamos comeccedilar poreacutem
com um conceito simples de caacutelculo a derivada dydx de uma funccedilatildeo diferenciaacutevel
y = y(x) daacute as inclinaccedilotildees das retas tangentes em pontos sobre seu graacutefico
Inclinaccedilatildeo
Como uma soluccedilatildeo y = y(x) de uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem dydx = f (xy) eacute necessariamente uma funccedilatildeo diferenciaacutevel em seu intervalo I a curva integral correspondente em I natildeo deve ter interrupccedilotildees e deve ter uma reta tangente em cada ponto (xy(x)) A inclinaccedilatildeo da reta tangente em (xy(x)) sobre uma curva integral eacute o valor de sua derivada primeira
dydx nesse ponto e isso
eacute sabido da equaccedilatildeo diferencial f (xy(x)) Suponha agora que (xy) representa qualquer ponto em uma regiatildeo do plano xy sobre o qual a funccedilatildeo f estaacute definida O valor f (xy) que a funccedilatildeo atribui ao ponto representa a inclinaccedilatildeo de uma reta ou como iremos pensar um segmento de reta denominado elemento linear Por exemplo consideramos a equaccedilatildeo
dydx = 02xy onde f (xy) = 02xy No ponto de
coordenadas (2 3) por exemplo a inclinaccedilatildeo de um elemento linear eacute f (23) = 12 A figura (a) mostra um segmento de reta com inclinaccedilatildeo positiva passando por (23) Conforme mostrado na figura (b) se uma curva integral tambeacutem passar por (23) faraacute isto tangenciando esse segmento de reta em outras palavras o elemento linear eacute uma miniatura da reta tangente nesse ponto
Figura 11a elemento linear em um pontoFigura 2 ndash Figura 11b o elemento linear eacute uma tangente agrave curva integral que passa pelo ponto
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
148
Campos de Direccedilotildees
Se sistematicamente calcularmos f sobre uma malha retangular de pontos (xy) no plano xy e em cada ponto (xy) desenharmos um elemento linear com a inclinaccedilatildeo (xy) a coleccedilatildeo de todos os elementos lineares seraacute chamada
de campo de direccedilotildees ou campo de inclinaccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial dydx
= f
(xy) Visualmente o campo de direccedilotildees sugere a aparecircncia ou forma de uma
famiacutelia de curvas integrais da equaccedilatildeo diferencial e consequentemente pode ser possiacutevel vislumbrar determinados aspectos qualitativos das soluccedilotildees ndash por exemplo regiotildees no plano nas quais uma soluccedilatildeo exibe um comportamento natildeo usual Uma uacutenica curva integral que segue seu caminho em um campo de direccedilotildees deve acompanhar o padratildeo de fluxo do campo ela eacute tangente a um elemento linear quando intercepta um ponto da malha
FONTE Zill (2003 p 41-42)
Estudaremos alguns tipos de equaccedilotildees diferenciais que requerem meacutetodos distintos de resoluccedilatildeo Vamos iniciar pelas equaccedilotildees diferenciais separaacuteveis caracterizando-as e determinando seu processo de resoluccedilatildeo
Definiccedilatildeo 131 A equaccedilatildeo yprime = f (xy) seraacute separaacutevel se f puder ser expressa como um produto de uma funccedilatildeo p(x) e uma funccedilatildeo q(y) com q(y) ne 0 Assim a equaccedilatildeo diferencial teraacute a forma
3 EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL SEPARAacuteVEL
yprime = p(x) q(y) ou
dydx = p(x) q(y) ou
yprime 1
q(y) = p(x)
onde p(x) e q(y) satildeo contiacutenuas em seu domiacutenio
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
149
Considerando a equaccedilatildeo diferencial dada o primeiro passo para resolvecirc-lo eacute separar as variaacuteveis y e x juntamente com as suas respectivas diferenciais obtendo a seguinte igualdade
1q(y)
dy = p(x)dx
A seguir integramos ambos os lados da igualdade
int 1q(y)
dy = int p(x)dx
E sempre que for possiacutevel escrevemos a funccedilatildeo (soluccedilatildeo geral da EDO) na sua forma expliacutecita
Vamos resolver um exemplo para aplicarmos o meacutetodo
Exemplo 5
Resolva a equaccedilatildeo diferencial dydx = 6ex
Resoluccedilatildeo
dydx = 6ex
Inicialmente vamos separar as variaacuteveis
31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
dy = 6ex dx
Integrando ambos os lados da igualdade
int dy = int 6ex dx
int dy = 6 int ex dx
y + c1 = 6ex + c2
Isolando a variaacutevel y
y = 6ex + c2 ndash c1
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
150
Para deixar uma uacutenica constante na funccedilatildeo consideramos c = c2 ndash c1 donde temos que
y = 6ex + c
Exemplo 6Resolva a equaccedilatildeo diferencial
dydx =
xy2
Resoluccedilatildeo
dydx =
xy2
Dada a equaccedilatildeo diferencial acima vamos separar as variaacuteveis
Multiplicando ambos os lados da igualdade por y2 temos
y 2 dy = x dx
Integrando ambos os lados da igualdade
int y 2 dy = int x dx
y3
3 + c1 = x2
2 + c2
Isolando a variaacutevel y
y3
3 = x2
2 + c2 ndash c1
y 3 = 3x2
2 + 3(c2 ndash c1)
Para deixar uma uacutenica constante na funccedilatildeo consideramos c = 3(c2 ndash c1)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
151
Portanto as soluccedilotildees da EDO dada satildeo da forma c isinR
Natildeo haacute necessidade de usar duas constantes na integraccedilatildeo de uma equaccedilatildeo
separaacutevel int q(y) dy = int
p(x) dx pois se escrevermos Q(y) + c1 = P(x) + c
2 a diferenccedila c
2 ndash
c1 poderaacute ser substituiacuteda por uma uacutenica constante c resultando Q(y) = P(x) + c Em vaacuterias
ocasiotildees ao longo deste toacutepico renomearemos constantes de forma conveniente Por exemplo muacuteltiplos de constantes ou combinaccedilotildees de constantes podem algumas vezes ser substituiacutedas por uma uacutenica constante
Definiccedilatildeo 132 Chamamos de famiacutelia de funccedilotildees ao conjunto de vaacuterias funccedilotildees da forma y = f (x) + c c isinR ou seja ao conjunto formado pelas funccedilotildees que tem o mesmo comportamento a menos da constante c isinR
Exemplo a famiacutelia de funccedilotildees y(x) = x 3 ndash 2xsup2 + c
FIGURA 52 ndash Figura 12
FONTE O autor
NOTA
ndash 4
ndash 3
ndash 2
ndash 1
ndash 1ndash 2 1 2 3 4x
y
1
2
3
4x 3 ndash 2xsup2 + c
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
152
Exemplo 7Resolva a equaccedilatildeo diferencial yprime y + x = 0
ResoluccedilatildeoPodemos reescrever a equaccedilatildeo dada como
dydx
y + x = 0
Subtraindo x em ambos os lados da igualdade obtemos
dydx
y = ndashx
y dydx = ndashx
y d y dx
dx = ndashx dx
y dy = ndashx dx
int y dy = ndashint x dx
Vamos escrever apenas uma constante ao lado direito da igualdade junto agrave variaacutevel x
y x c
y x c
2 2
22
2 323
2
=minus
+
=minus
+
Considerando k = 2c temos
y x k222
3=minus
+
Podemos deixar a funccedilatildeo na forma impliacutecita
23
2 2x y k+ =
Neste caso eacute interessante deixar esta soluccedilatildeo na forma impliacutecita pois facilita a identificaccedilatildeo quanto ao tipo de curva obtida Neste exemplo obtemos uma elipse
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
153
OBSERVACcedilAtildeO Note que para natildeo carregar a notaccedilatildeo aplicamos a ideia de escrever apenas uma letra para as constantes que surgem no caacutelculo
Exemplo 8Determine a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo diferencial
dydx = sen (2x)
ResoluccedilatildeoRepetindo o procedimento utilizado nos exemplos anteriores temos
dy = sen (2x) dx
Integrando os dois lados da igualdade
int dy = int sen (2x) dx
Para resolver a integral obtida do lado direito da igualdade vamos aplicar a teacutecnica de substituiccedilatildeo
y = 12
int sen u du u = 2x
y = 12
(ndashcos u) + c du = 2 dx
y = ndash 12
cos (2x) + c 12
du = dx
FIGURA 53 ndash GRAacuteFICO DAS SOLUCcedilOtildeES DA EDO
FONTE O autor
-3
-2
-2-2 -2
-1-1-1
-1
0
00 0 x
1
11 1
2
22 2
33
3y
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
154
Exemplo 9Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo diferencial dy
dt = e t ndash y
Resoluccedilatildeodydt
= e t ndash y
Primeiramente vamos recordar a propriedade do produto de potecircncias de mesma base onde am an = a m + n com a m n isin R
Utilizaremos a propriedade da direita para a esquerda ou seja separando a expressatildeo am+n em um produto de duas potecircncias de mesma base
dydt
= e t middot e ndashy
dy = e t middot e ndashy dt
ey dy = et dt
int ey dy = int et dt
ey = et + c
Para isolar y precisamos aplicar o logaritmo natural (ln) a ambos os membros da igualdade
In ey = In (et + c)
Pelas propriedades operatoacuterias dos logaritmos em particular a propriedade da potecircncia do logaritmo temos que In ak = k middot In a e portanto
y In e = In (et + c)
Como In e = 1 temos
y = In (et + c)
Portanto y(t) = In (et + c) eacute soluccedilatildeo da EDO proposta
A
c isin R
Exemplo 10Resolva a equaccedilatildeo diferencial (2 + y) dt + (t ndash 3) dy = 0
ResoluccedilatildeoNa equaccedilatildeo (2 + y) dt + (t ndash 3) dy = 0 devemos separar as variaacuteveis Neste
caso deixamos y do lado esquerdo da igualdade e t do lado direito da igualdade
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
155
(t ndash 3) dy = ndash(2 + y) dt
dy2 + y = ndash dt
t ndash 3
Agora basta integrar os dois lados da igualdade
int dy2 + y = ndashint dt
t ndash 3
Estas integrais satildeo resolvidas aplicando a teacutecnica de substituiccedilatildeo donde obtemos
In(2 + y) = ndash In(t ndash 3) + c
In(2 + y) + In(t ndash 3) = c
Agora aplicamos a propriedade do produto de logaritmos de mesma base para a qual teremos In (a middot b) = In a + In b Utilizaremos a propriedade da direita para a esquerda ou seja multiplicaremos os logaritmandos e obteremos assim
In[(2 + y) middot (t ndash 3)] = c
Portanto a igualdade (2 + y) middot (t ndash 3) = ec
A
c isin R eacute uma soluccedilatildeo na forma impliacutecita da EDO proposta
Exemplo 11Resolva a equaccedilatildeo diferencial y prime = x e y ndash x
ResoluccedilatildeoPrimeiramente vamos mudar a notaccedilatildeo da derivada
dydx = x e y ndash x
Para resolver a equaccedilatildeo devemos separar as variaacuteveis
dydx = x e y e ndashx
Para isso multiplicamos ambos os lados da igualdade por e ndashy
e ndashy dydx = xe ndashx
e ndashy dy = xe ndashx dx
Integramos ambos os lados da igualdade
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
156
Para resolver a integral (1) utilizaremos a teacutecnica da substituiccedilatildeo
w = ndash y rArr dw = ndash dy
int e ndashy dy = ndashint ew dw = ndash ew + c1 = ndash e ndashy + c1
Enquanto que para a integral (2) aplicaremos a teacutecnica da integraccedilatildeo por partes
int udv = u middot v ndashint vdu u = x
int xe ndashx dx = x middot (ndash endashx) ndash int (ndash endashx) dx du = dx
int xe ndashx dx = ndash xendashx ndash endashx + c2 dv = endashx dx
v = ndash endashx
Retomando a igualdade int e ndashy dy = int xendashx dx temos
int e ndashy dy = int xendashx dx
ndashe ndashy + c1 = ndashxendashx ndashendashx + c2
Vamos escrever apenas uma constante do lado direto da igualdade e multiplicar ambos os lados por (-1) obtendo
e ndashy = xendashx + endashx + c
Colocando a expressatildeo endashx em evidecircncia no lado direito da igualdade
e ndashy = endashx (x + 1) + c
Para isolar a variaacutevel y aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade
In e ndashy = In [endashx (x + 1) + c]
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
157
Pela propriedade operatoacuteria da potecircncia do logaritmo temos
ndashy = In [endashx (x + 1) + c]
Portanto y(x) = ndashIn [endashx (x + 1) + c] eacute soluccedilatildeo da EDO proposta
A
c isin R
Exemplo 12
Encontre a soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo diferencial yprime = xy ndash yy + 1 no ponto
y(2) = 1
Resoluccedilatildeo
Deixamos a soluccedilatildeo na forma impliacutecita Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
158
c = 1
A funccedilatildeo y que satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial e atende agrave condiccedilatildeo y(2) = 1 eacute dada por
y(2) = 1
Continuamos a busca por soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem examinando a seguir as equaccedilotildees lineares
Definiccedilatildeo 141 Uma EDO da forma
yprime + p(x)y = q(x) ou
dydx + p(x)y = q(x)
onde p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees contiacutenuas em algum intervalo I eacute chamada de equaccedilatildeo diferencial linear de primeira ordem
4 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ordf ORDEM
Observe a forma deste tipo de EDO Cada equaccedilatildeo diferencial que estudaremos possui uma forma-padratildeo diferente Fique bastante atento
Teorema 141 A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
dydx + p(x)y = q(x) eacute
NOTA
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
159
y = 1
v(x) int v(x) q(x)dx
onde v(x) = eH(x) com H(x) = int p(x)dx A funccedilatildeo v(x) eacute chamada fator integrante
Desafie-se e faccedila a demonstraccedilatildeo matemaacutetica da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial linear
41 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Vamos descrever os passos para resolver uma equaccedilatildeo diferencial linear a qual utilizaremos o fator integrante
bull Escreva a equaccedilatildeo linear dada na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
bull Encontre uma primitiva de p(x) isto eacute resolva intp(x)dx
bull Encontre o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
bull Multiplique ambos os lados da equaccedilatildeo diferencial yprime + p(x)y = q(x) pela funccedilatildeo v(x)
bull Identifique do lado esquerdo da igualdade da derivada do produto
bull Resolva a equaccedilatildeo e se possiacutevel decirc a soluccedilatildeo na forma expliacutecita
Aplicaremos o meacutetodo em alguns exemplos para entendecirc-lo melhor
Exemplo 13Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprime + 3y = 12 (meacutetodo do fator integrante)
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
onde p(x) = 3 e q(x) = 12
O primeiro passo eacute calcular a primitiva de p(x)
H(x) = intp(x)dx entatildeo temos
UNI
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
160
H(x) = int3dx = 3x
Escrevendo o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = e3x
Agora multipliquemos a EDO por v(x)
e3x yprime + 3e3x y = 12e3x
Observemos o lado esquerdo nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = e3x teremos uprime = yprime e vprime = 3e3x Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
e3x y = 12inte3xdx
Atente para o fato de que a integral inte3xdx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
e3x y = 123
e3x + c
e3x y = 4e3x + c
Isolando a variaacutevel y
y = 4e3x middot endash3x + c endash3x
Portanto y(x) = 4 + c endash3x c isin R eacute soluccedilatildeo geral da EDO
Vamos deduzir um modelo de soluccedilatildeo geral para as equaccedilotildees lineares ordinaacuterias de primeira ordem com coeficientes constantes (deduccedilatildeo do fator integrante) ou seja
dydt + ay = b ou yprime + ay = b
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
161
Comparando a EDO apresentada com a forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x) identificamos que p(x) = a e q(x) = b Assim p(x) e q(x) satildeo constantes Neste caso
H(x) = intp(x)dx
H(x) = intadx = ax
e o fator integrante v(x) = eintp(x)dx fica
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eax
Multiplicando a EDO por v(x)
eax yprime + aeax y = beax
Observe o lado esquerdo da equaccedilatildeo nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = eax teremos uprime = yprime e vprime = aeax Entatildeo
Integrando ambos os membros da igualdade
eax y = binteaxdx
A integral inteaxdx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
eax y = ba
eax + c
Isolando a variaacutevel y
y = ba
eax endashax + c endashax
Portanto y(x) = ba
+ c endashax c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO yprime + ay = b
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
162
Caro(a) acadecircmico(a) Que tal voltar ao exemplo 13 e resolvecirc-lo usando o resultado demonstrado anteriormente
Exemplo 14Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprime + y = x
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
com p(x) =1 e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = intp(x)dx entatildeo temos
H(x) = intdx = x
Assim o fator integrante v(x) = eintp(x)dx eacute
v(x) = eH(x) rArr v(x) = ex
Multiplicamos a EDO por v(x)
ex yprime + ex y = xex
Observe o lado esquerdo da igualdade e identifique a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = ex teremos uprime = yprime e vprime = ex Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
ex y = intx ex dx
UNI
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
163
Para resolver esta integral intx ex dx precisaremos aplicar o meacutetodo da integraccedilatildeo por partes Considerando u = x e dv = ex dx teremos du = dx e v = ex Entatildeo
aplicando a foacutermula da integraccedilatildeo por partes intu dv = u middot v ndash intv du
ex y = xex ndash intex dx
ex y = xex ndash ex + c
Isolando a variaacutevel y
y = xexendashx ndash exendashx + c endashx
Portanto y(x) = x ndash 1 + c endashx c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 15Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo x
dydx = x2 ndash 5y
ResoluccedilatildeoVeja que a equaccedilatildeo diferencial natildeo estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
Entatildeo primeiro temos que reescrevecirc-la na forma-padratildeo
Assim identificamos p(x) = 5x e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = int 5x
dx = 5 In x
= In x5
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
164
E assim o fator integrante v(x) = eintp(x)dx pode ser escrito como
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eIn x 5
v(x) = x5
Multiplicando a EDO por v(x)
x5 yprime + x5 5x
y = x x5
x5 yprime + 5x4 y = x6
Observe o lado esquerdo da igualdade Nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = x5 teremos uprime = yprime e vprime = 5x 4 Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
x5 y = intx6 dx
x5 y = x7
7 + c
y = x7
7 x ndash5 + cx ndash5
Portanto y(x) = x2
7 + cx ndash5 eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
A
x isin R
Exemplo 16
Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo dydx + 4x3 y = 20x3
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x)
Identificamos p(x) = 4x3 e q(x) = 20x3
Vamos calcular a primitiva de p(x)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
165
H(x) = intp(x) dx entatildeo temos
H(x) = int4x3 dx = x 4
Escrevemos o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = ex 4
Multiplicamos a EDO por v(x)
ex 4 yprime + 4x3 ex 4 y = 20x3 ex 4
Observamos o lado esquerdo da igualdade nele devemos identificar a derivada do produto (u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = ex 4 teremos uprime = yprime e vprime = 4x3 ex 4 Entatildeo
Integramos ambos os lados da igualdade
ex 4 y = 20 intx3 ex 4 dx
A integral intx3 ex 4 dx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
e y e c
y e e c e
x x
x x x
4 4
4 4 4
20 14
5
= sdot +
= sdot sdot + sdotminus minus
Portanto y c e x= + sdot minus54
A
x isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
O exemplo a seguir traz uma aplicaccedilatildeo praacutetica de EDO no movimento retiliacuteneo uniformemente variado
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
166
Exemplo 17Sabe-se que no movimento retiliacuteneo uniformemente variado a aceleraccedilatildeo
a = dvdt eacute constante Supondo que o movimento parte do repouso e sabendo que
v = dsdt determine s(t)
ResoluccedilatildeoPartimos da primeira EDO apresentada
dvdt = a
dsdt = v
intdv = inta dt dsdt = at + v0
v = at + c1 intds = int(at + v0) dt
v(t) = at + c1 s = at 2
2 + v0t + c2
s(t) = at 2
2 + v0t + c2
Fazendo c1 = v0 onde v0 seraacute a velocidade inicialbullbull bull
v(t) = at + v0 Substituindo c2 = s0 onde s0 seraacute a posiccedilatildeo inicial
bullbull bull s(t) = at 2
2 + v0t + s0
O proacuteximo exemplo traz um problema de valor inicial (PVI) Vamos entender como se resolve um problema que apresenta uma condiccedilatildeo inicial
Exemplo 18Resolva o seguinte problema do valor inicial yprime + 2
x y = x x gt 0 y(2) = 3
ResoluccedilatildeoIdentificamos p(x) = 2
x e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = int 2x
dx = 2 In |x|
H(x) = In x 2
Escrevemos o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eIn x 2
v(x) = x 2
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
167
Multiplicamos a EDO por v(x)
x 2 yprime + x 2 2x
y = x 2 x
x 2 yprime + 2xy = x 3
Observando o lado esquerdo devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = x 2 teremos uprime = yprime e vprime = 2x Entatildeo
Integramos ambos os lados da EDO
x 2 y = intx 3 dx
x 2 y = x 4
4 + C
Portanto y(x) = x 2
4 + C
x 2
A
x isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado y(2) = 3 para encontrarmos a soluccedilatildeo particular
y = 2 2
4 + C
2 2 = 3
1 + C4
= 3
C4
= 2
C = 8
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
168
Portanto y(x) = x 2
4 + 8
x 2
A
x gt 0 eacute a soluccedilatildeo particular da EDO
Observe que a soluccedilatildeo deste problema de valor inicial eacute vaacutelida em todo intervalo ]0 +infin[ conforme a figura a seguir mostra esta soluccedilatildeo
FIGURA 54 ndash SOLUCcedilAtildeO DO PROBLEMA
FONTE O autor
Estudaremos outro tipo de equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem as chamadas equaccedilotildees diferenciais exatas onde destacamos o uso das derivadas parciais A seguir veremos a definiccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial exata e o teorema que estabelece um criteacuterio para identificar se uma EDO eacute exata
Definiccedilatildeo 151 Uma expressatildeo diferencial M(xy) dx + N(xy) dy eacute uma diferencial exata em uma regiatildeo R do plano xy se ela corresponde agrave diferencial total de alguma funccedilatildeo F(xy) ou seja dF= M(xy) dx + N(xy) dy
Teorema 151 (Criteacuterio para diferencial exata) Sejam M(xy) e N(xy) contiacutenuas e com derivadas parciais de primeira ordem contiacutenuas em uma regiatildeo R (retangular) definida por a lt x lt b e c lt y lt d Entatildeo uma condiccedilatildeo necessaacuteria e suficiente para que M(xy) dx + N(xy) dy seja uma diferencial exata eacute partM
party = partN
partx
5 EQUACcedilOtildeES EXATAS
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
169
51 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
bull Verificar se a equaccedilatildeo M(xy) dx + N(xy) dy eacute exata
bull Se for exata entatildeo existe uma funccedilatildeo f para a qual partf partx
= M(xy)
bull Integrando a equaccedilatildeo exata em relaccedilatildeo a variaacutevel x (mantendo o y constante) para encontrar f obtemos f (xy) = intM(xy) dx + o (y) onde a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) eacute a constante de integraccedilatildeo
bull Agora precisamos encontrar a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) Derive a funccedilatildeo f (xy) em relaccedilatildeo a variaacutevel y encontrada anteriormente e supomos que partf
party = N(xy) Da
comparaccedilatildeo determina-se oprime(y)
bull Finalmente integramos oprime (y) em relaccedilatildeo a y e substituiacutemos o valor encontrado para o (y) na funccedilatildeo f (xy)
bull A soluccedilatildeo eacute a funccedilatildeo impliciacuteta f (xy) = c
Exemplo 19Resolva a equaccedilatildeo diferencial (x+y)dx + (e y + x)dy = 0
ResoluccedilatildeoEm primeiro lugar precisamos verificar se esta equaccedilatildeo eacute exata
Sendo M(xy) = x + y e N(xy) = e y + x verificaremos se partM party
= partN partx
Como partM party
= 1 e partN partx
= 1 a EDO eacute exata
Entatildeo existe f (xy) tal que partf partx = x + y
Vamos integrar partf partx = x + y em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x (mantendo o y constante)
para encontrar f
f (xy) = int(x + y) dx
f (xy) = x 2
2 + xy + o (y)
Para encontrar a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivemos a funccedilatildeo f (xy) em relaccedilatildeo agrave y
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
170
Comparando a derivada parcial encontrada partf party
= x + oprime (y) com N(xy) partf party
= N(xy)
x + oprime (y) = e y + x daiacute temos
oprime (y) = e y
Agora vamos integrar oprime (y) = e y Entatildeo
intoprime(y)dy = int e dyy
o (y) = e y + c
Voltando na f (xy) e substituindo o (y) temos
f (xy) = x 2
2 + xy + e y + c c isin R
Definiccedilatildeo 152 Chamamos de curvas integrais as vaacuterias funccedilotildees (soluccedilotildees) de uma EDO
Exemplo 20Encontre as curvas integrais de 2xy dx + (x 2 ndash 1) dy = 0
ResoluccedilatildeoSendo M (xy) = 2xy e N (xy) = x 2 ndash 1 temos
partM party
= 2x = partN partx
Assim a EDO eacute exata
Entatildeo existe f (xy) tal que partf partx
= 2xy
Integrando partf partx
= 2xy em relaccedilatildeo a x obtemos
f (xy) = int2xy dx
f (xy) = x 2 y + o (y)
Agora encontraremos a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivando f (xy) em y
partf party
= x 2 + oprime (y)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
171
Comparamos a derivada parcial encontrada acima com N (xy) partf party
= N (xy)
x 2 + oprime (y) = x 2 ndash 1 daiacute
oprime (y) = ndash1
Agora integramos oprime (y) = ndash1 Entatildeo
o (y) = ndash intdy
o (y) = ndash y + c
Logo f (xy) = x 2 y ndash y + c c isin R
Nos exemplos 19 e 20 a funccedilatildeo f (xy) estaacute na forma impliacutecita Escreva a funccedilatildeo na forma expliacutecita y = f (x)
Exemplo 21Resolva a EDO (y cos x + 2x e y) dx + (sen x + x 2 e y ndash 1) dy = 0
ResoluccedilatildeoVerifiquemos se a equaccedilatildeo diferencial eacute exata
Sendo M (xy) = y cos x + 2x e y e N (xy) = sen x + x 2 e y ndash 1 temos
partM party = cos x + 2x e y =
partN partx
Assim a EDO eacute exata
Logo existe f (xy) tal que partf partx
= y cos x + 2x e y
Integrando partf partx
= y cos x + 2x e y em relaccedilatildeo agrave x obtemos
f (xy) = int(y cos x + 2x e y) dx
f (xy) = y sen x + x 2 e y + o (y)
Agora encontraremos a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivando f (xy) em y
UNI
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
172
partf party
= sen x + x 2 e y + oprime (y)
Comparemos a derivada parcial encontrada partf party
= sen x + x 2 e y + oprime (y) com N (xy)
sen x + x 2 e y + oprime (y) = sen x + x 2 e y ndash 1
oprime (y) = ndash 1
Entatildeo
o (y) = ndash intdy
o (y) = ndashy + c c isin R
Logo f (xy) = y sen x + x 2 e y ndash y + c
Exemplo 22
Verifique se a equaccedilatildeo (x In y ndash e ndashxy) dx + 1y
+ y In x dy = 0 eacute exata
ResoluccedilatildeoSejam M (xy) = x In y ndash e ndashxy e N (xy) = 1
y + y In x
Entatildeo partM party
= x middot 1y
+ xe ndashxy e partN partx
= y middot 1x
vsAssim partM party
ne partN partx
Portanto a EDO natildeo eacute exata
OBSERVACcedilAtildeO Para resolver esta equaccedilatildeo diferencial eacute preciso utilizar um outro procedimento que natildeo veremos neste caderno mas que vocecirc pode encontrar por exemplo em BOYCE W DI PRIMA R C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores de contorno 7ordf Ed Satildeo Paulo LTC 2002
UNI
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
173
Exemplo 23Encontre a curva integral da equaccedilatildeo (2x sen y + e x cos y) dx + (x 2 cos y ndash e x
sen y) dy = 0 que passa pelo ponto y (0) = p4
ResoluccedilatildeoO enunciado do exemplo 23 nos traz um problema de valor inicial para
uma EDO exata
Verificaremos se a EDO eacute exata
Sendo M (xy) = 2x sen y + e x cos y e N (xy) = x 2 cos y ndash e x sen y temos
partM party
= 2x cos y ndash e x sen y = partN partx
Assim a EDO eacute exata
Como a equaccedilatildeo eacute exata entatildeo existe f (xy) tal que partf partx
= 2x sen y + e x cos y
Integrando partf partx
= 2x sen y + e x cos y em relaccedilatildeo a x obtemos
f (xy) = int(2x sen y + e x cos y) dx
f (xy) = x 2 sen y + e x cos y + o (y)
partf party
= x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y)
Comparamos a derivada parcial encontrada partf party
= x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y) com N (xy)
x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y) = x 2 cos y ndash e x sen y
oprime (y) = 0
Agora integramos oprime (y) = 0 Entatildeo
o (y) = c
Logo f (xy) = x 2 sen y + e x cos y + c c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado y (0) =
p4
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
174
x 2 sen y + e x cos y = c
02 sen p4 + e 0 cos
p4 = c
c = radic22
Portanto x 2 sen y + e x cos y = radic22 eacute a soluccedilatildeo particular da EDO ou seja a
curva integral que passa pelo ponto y (0) = p4
Caro(a) acadecircmico(a) Se depois da leitura do Toacutepico 1 e da realizaccedilatildeo dos exerciacutecios ainda tiver duacutevidas procure esclarececirc-las antes de iniciar o estudo do Toacutepico 2 Bons estudos
NOTA
175
Neste toacutepico estudamos as Equaccedilotildees Diferenciais de Primeira Ordem
bull Iniciamos conhecendo os termos e conceitos relativos agraves equaccedilotildees diferenciais e a partir daiacute estudamos trecircs tipos de equaccedilotildees diferenciais
bull O primeiro tipo de equaccedilatildeo estudada foi a Separaacutevel cuja forma-padratildeo eacute dada
por yprime = p(x) middot q(y) ou dydx
= p(x) middot q(y) ou yprime q(y) = p(x) A resoluccedilatildeo deste tipo de
EDO eacute feita atraveacutes da separaccedilatildeo das variaacuteveis e em seguida faz-se a integraccedilatildeo da igualdade
bull O segundo tipo de equaccedilatildeo estudada foi a Equaccedilatildeo Diferencial Linear de Primeira
Ordem que tem a forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) ou dydx
+ p(x) y = q(x) Para a sua
resoluccedilatildeo utilizamos o fator integrante v(x) = eH(x) onde H(x) = intp(x)dx
bull E o terceiro tipo de equaccedilatildeo diferencial estudada foi a Equaccedilatildeo Exata cuja forma-padratildeo eacute expressa por M (xy) dx + N (xy) dy O procedimento de resoluccedilatildeo requer
que trabalhemos com partf partx
= M (xy) e partf party
= N (xy) seguindo todo o procedimento
jaacute estudado
RESUMO DO TOacutePICO 1
176
Nos problemas 1 e 2 resolva por separaccedilatildeo de variaacuteveis as equaccedilotildees diferenciais dadas
1 dydx
= (x + 1)2
2 dydt
= t 2
y 2
Nos problemas 3 e 4 resolva as equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem dadas
3 dydx
ndash 3x
y = x
4 dydx
+ y = e 3x
Nos problemas 5 e 6 resolva as equaccedilotildees diferenciais exatas
5 (5x + 4y)dx + (4x ndash 8y3)dy = 0
6 (sen y ndash y sen x)dx + (cos x + x cos y)dy = 0
Nas EDO a seguir identifique o tipo de EDO e encontre a funccedilatildeo desconhecida
7 yprime + 3x 2 y = x 2
8 dydx
= 3x 2 + 4x + 2
2 (y ndash 1) y (0) = 1
9 (3x 2 ndash 2xy + 2) + (6y 2 ndash x 2 + 3) yprime = 0
10 dydx
= e 3x + 2y
AUTOATIVIDADE
177
TOacutePICO 2
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE
PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI
21 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
No Toacutepico 2 estudaremos mais tipos de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem tais como Equaccedilotildees de Bernoulli e Equaccedilotildees homogecircneas A resoluccedilatildeo destas equaccedilotildees requer algum tipo de substituiccedilatildeo
Definiccedilatildeo 221 Uma equaccedilatildeo de primeira ordem da forma yprime + p(x) y = q(x) y n onde p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees definidas e contiacutenuas em algum intervalo I e n eacute um nuacutemero real tal que n ne 0 e n ne 1 eacute chamada de equaccedilatildeo de Bernoulli
bull Escrever a equaccedilatildeo na forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) y n
bull Identificar as funccedilotildees p(x) q(x) e o valor de n
bull Indicar a substituiccedilatildeo que seraacute feita e aplicar a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
bull Agora a EDO eacute uma linear de primeira ordem sendo uprime + p(x) u = q(x)
bull Calcular o fator integrante e obter a soluccedilatildeo
178
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
A equaccedilatildeo de Bernoulli y + p(x) y = q(x) y n que embora seja de primeira ordem e natildeo linear (quando n ne 1) se transforma em uma equaccedilatildeo diferencial linear atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y 1 ndash n
Vamos mostrar como que se chega agrave foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
Seja a equaccedilatildeo de Bernoulli dada por
yprime + p(x) y = q(x) y n
Multipliquemos a equaccedilatildeo por u = y ndashn
yprime y ndashn + p(x) yy ndashn = q(x) yn y ndashn
yprime y ndashn + p(x) y 1 ndash n = q(x) Vamos fazer uma substituiccedilatildeo u = y 1 ndash n Daiacute
uprime = (1 ndash n) y ndashn yprime
yprime = uprime
(1 ndash n) y ndashn
Retornando agrave equaccedilatildeo e fazendo as substituiccedilotildees obtemos
uprime(1 ndash n)
+ p(x) u = q(x)
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
Exemplo 1Encontre as curvas integrais para a equaccedilatildeo x dy
dx + y = x 2 y 2
ResoluccedilatildeoPrimeiro precisamos escrever a EDO na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de
Bernoulli
Seja xyprime + y = x 2 y 2 Multiplicando ambos os lados da igualdade por 1x
com x ne 0 obtemos
1x
middot (xyprime + y) = 1x
middot x 2 y 2
NOTA
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
179
1x
middot xyprime + 1x
middot y = 1x
middot x 2 y 2
yprime + 1x
y = xy 2
Agora a EDO estaacute na forma yprime + p(x) y = q(x) y n e poderemos transformaacute-la numa equaccedilatildeo diferencial linear considerando u = y ndash1 e
p(x) = 1x
q(x) = x e n = 2
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 2) middot 1x
middot u = (1 ndash 2) middot x
uprime + (ndash1) 1x
u = (ndash1) x
uprime ndash 1x
u = ndashx
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 1x
dx
H(x) = ndashIn x
v(x) = e ndashIn x
v(x) = x ndash1
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash1 em ambos os lados da igualdade obtemos
x ndash1 uprime ndash 1x
x ndash1 u = ndashxx ndash1
x ndash1 u = ndash intdx
x ndash1 u = ndashx + c
u = ndashx 2 + cx
180
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash1 feita no iniacutecio
y ndash1 = ndashx 2 + cx
y = (ndashx 2 + cx)ndash1
Portanto y(x) = 1
ndashx 2 + cx c isin R
Exemplo 2Resolva a EDO yprime + 4y = 3e 2x y 4
ResoluccedilatildeoA EDO jaacute estaacute na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de Bernoulli
Entatildeo aplicamos a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x) para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash3 e
p(x) = 4 q(x) = 3e 2x e n = 4
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 4) middot 4 middot u = (1 ndash 4) middot 3e 2x
uprime + (ndash3) middot 4u = (ndash3) middot 3e 2x
uprime ndash12u = ndash9e 2x
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int(ndash12) dx
H(x) = ndash12x
v(x) = e ndash12x
Multiplicando o fator integrante v(x) = e ndash12x em ambos os membros da igualdade obtemos
e ndash12x uprime ndash 12 e ndash12x u = e ndash12x (ndash9e 2x)
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
181
e ndash12x u = int(ndash9e ndash10x) dx
Para resolver esta integral vamos aplicar o meacutetodo da substituiccedilatildeo considerando
w = ndash10x rArr dw = ndash10 dx
Entatildeo e ndash12x u = 910
intew dw
e ndash12x u = 910
ew + c
e ndash12x u = 910
e ndash10x + c
e ndash12x e12x u = 910
e ndash10x e12x + c middot e12x
u = 910
e 2x + c middot e12x
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash3 feita no iniacutecio
u = 910
e 2x + c middot e12x
y ndash3 = 910
e 2x + c middot e12x
Portanto y(x) = 910
e 2x + c middot e12x
ndash⅓
c isin R eacute soluccedilatildeo geral da EDO proposta
Exemplo 3Encontre a soluccedilatildeo geral para a equaccedilatildeo xyprime + y = ndashxy 2
ResoluccedilatildeoEscrevendo a EDO na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de Bernoulli
Seja xyprime + y = ndashxy 2 multiplicamos ambos os lados da igualdade por 1x
1x
middot xyprime + 1x
middot y = ndash 1x
xy 2
yprime + 1x
y = ndashy 2
Assim a EDO estaacute na forma yprime + p(x) y = q(x) y n
Entatildeo aplicamos a foacutermula mostrada acima para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash1
182
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
p(x) = 1x
q(x) = ndash1 e n = 2
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 2) middot 1x
middot u = (1 ndash 2) (ndash1)
uprime + (ndash1) 1x
u = (ndash1) (ndash1)
uprime ndash 1x
u = 1
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 1x
dx
H(x) = ndashIn x
v(x) = e ndashIn x
v(x) = x ndash1
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash1 na equaccedilatildeo obtemos
x ndash1 uprime ndash 1x
x ndash1 u = x ndash1
x u - x u = x-1 -2
derivada do produto
-1prime
ddx
x u = x-1 -1
x ndash1 u = int 1x
dx
x ndash1 u = In x + c
u = x In x + cx
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = u = y ndash1 feita no iniacutecio
y ndash1 = x In x + cx
Portanto y(x) = 1
x In x + cx c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 4Encontre as curvas integrais para a equaccedilatildeo yprime + 2
x y =
y 3
x 2
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
183
ResoluccedilatildeoA EDO eacute uma equaccedilatildeo de Bernoulli Entatildeo aplicamos a foacutermula uprime + (1 ndash n)
p(x) u = (1 ndash n) q(x) para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash2
p(x) = 2x
q(x) = 1x 2 e n = 3
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 3) middot 2x
middot u = (1 ndash 3) 1x 2
uprime + (ndash2) 2x
u = (ndash2) 1x 2
uprime ndash 4x
u = ndash2x ndash2
Logo obtemos uma EDO linear Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 4x
dx
H(x) = ndash 4 In x
v(x) = e ndash 4 In x
v(x) = e In x ndash 4
v(x) = x ndash 4
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash 4 na equaccedilatildeo obtemos
x ndash 4 uprime ndash 4x
x ndash 4 u = ndash 2xndash2 middot x ndash 4
x ndash4 u = ndash 2 intx ndash6 dx
x ndash4 u = ndash 2 x ndash5
ndash5 + c
x ndash4 u = 25
x ndash5 + c
x 4 middot x ndash4 u = 25
x ndash5 middot x 4 + c middot x 4
184
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
u = 25
x ndash1 + c middot x 4
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash2 feita no iniacutecio
y ndash2 = 25x
+ cx 4
Portanto c isin R satildeo curvais integrais (soluccedilotildees) da EDO
3 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS HOMOGEcircNEAS
31 FUNCcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
Vamos estudar equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem que podem ser transformadas em equaccedilotildees jaacute estudadas em seccedilotildees anteriores
Definiccedilatildeo 2311 Uma funccedilatildeo f = f (xy) eacute dita homogecircnea de grau n se substituindo-se x por λx e y por λy for verdadeira a igualdade f (λxλy) = λn f (xy) para todo real λ ne 0
Por exemplo as funccedilotildees listadas a seguir satildeo homogecircneas de graus
respectivamente trecircs um e zero f (xy) = xy 2 + x 2 y f (xy) = f (xy) = x + yx ndash 3y
Exemplo 5
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = xy 2 + x 2 y eacute homogecircnea e se for indique o grau
ResoluccedilatildeoPara mostrar que f eacute homogecircnea devemos verificar a igualdade f (λxλy)
= λn f (xy) λ isin IR
f (λxλy) = λx (λy) 2 + (λx) 2 λy
f (λxλy) = λxλ2 y 2 + λ2x 2 λy
f (λxλy) = λ3xy 2 + λ3x 2y
f (λxλy) = λ3 (xy 2 + x 2y)
f (λxλy) = λ3 f (xy)
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
185
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau 3
Exemplo 6Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = eacute homogecircnea e se for indique o
grau
Resoluccedilatildeo
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau 1
Exemplo 7Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = xy 2 + ex + y eacute homogecircnea e se for indique o grau
Resoluccedilatildeo
f (λxλy) = λx (λy) 2 + eλx + λy
f (λxλy) = λxλ2y 2 + eλx + λy
f (λxλy) = λ3xy 2 + eλ(x + y)
f (λxλy) ne λn f (xy)
Portanto a funccedilatildeo f natildeo eacute homogecircnea
186
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Exemplo 8Verifique se a funccedilatildeo f (xy) =
x + yx ndash 3y
eacute homogecircnea e se for indique o grau
Resoluccedilatildeo
f (λxλy) = λx + λy
λx ndash 3λy
f (λxλy) = λ(x + y)
λ(x ndash 3y)
f (λxλy) = x + yx ndash 3y
f (λxλy) = f (xy)
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau zero
32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
Definiccedilatildeo 2321 Uma equaccedilatildeo diferencial homogecircnea eacute uma equaccedilatildeo da forma
yprime = f (xy)
onde f = f (xy) eacute uma funccedilatildeo homogecircnea de grau zero ou seja
f (λxλy) = f (xy)
A
λ ne 0
Definiccedilatildeo 2322 As equaccedilotildees diferenciais homogecircneas podem ser transformadas em equaccedilotildees do tipo M (xy) dx + N (xy) dy = 0 onde M e N satildeo funccedilotildees homogecircneas do mesmo grau
Isto quer dizer que a equaccedilatildeo M (xy) dx + N (xy) dy = 0 seraacute homogecircnea se M (λxλy) = λn M (xy) λ isin IR e N (λxλy) = λn N (xy) λ isin IR
Exemplo 9Verifique se a equaccedilatildeo (x 2 ndash y 2) dx ndash 5xy dy = 0 eacute homogecircnea
ResoluccedilatildeoTemos que verificar se M (λxλy) = λn M (xy) e N (λxλy) = λn N (xy) tecircm
mesmo grau
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
187
321 Meacutetodo de resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
Seja uma EDO homogecircnea de primeira ordem vejamos como proceder para resolver esta equaccedilatildeo diferencial homogecircnea
O primeiro passo eacute colocar a equaccedilatildeo na forma dydx
= g yx onde g eacute uma
funccedilatildeo contiacutenua de uma uacutenica variaacutevel
Fazendo v = yx entatildeo y = vx e
dydx
= x dvdx
+ v e g yx fica g (v)
Entatildeo a equaccedilatildeo pode ser escrita como
x dvdx
+ v = g (v)
que pode ser reescrita na forma
dvg (v) ndash v
= dxx
Note que essa equaccedilatildeo eacute separaacutevel Entatildeo podemos resolvecirc-la como uma equaccedilatildeo diferencial separaacutevel e escrever a soluccedilatildeo em funccedilatildeo de x e de y
substituindo v por yx
M (xy) = x 2 ndash y 2 N (xy) = ndash5xy
M (λxλy) = (λx) 2 ndash (λy) 2 N (λxλy) = ndash5 (λx) (λy)
M (λxλy) = λ2 x 2 ndash λ2 y 2 N (λxλy) = ndash5 λ2xy
M (λxλy) = λ2 (x 2 ndash y 2) N (λxλy) = λ2 (ndash5xy)
M (λxλy) = λ2 M (xy) N (λxλy) = λ2 N (xy)
Portanto a equaccedilatildeo (x 2 ndash y 2) dx ndash 5xy dy = 0 eacute homogecircnea
Pode-se resolver uma equaccedilatildeo diferencial homogecircnea transformando-a em uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis fazendo uma substituiccedilatildeo adequada
188
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Vejamos outra situaccedilatildeo seja uma equaccedilatildeo homogecircnea dada na forma M
(xy) dx + N (xy) dy = 0
Entatildeo M (xy) dx = -N (xy) dy rArr dydx
= M (xy)N (xy)
Como a equaccedilatildeo eacute homogecircnea M e N tecircm o mesmo grau de homogeneidade
n Entatildeo se dividirmos M e N por λn transformaremos ndash M (xy)N (xy)
numa funccedilatildeo do
tipo dydx
= g yx
Daiacute segue o mesmo procedimento acima
Exemplo 10Mostre que a equaccedilatildeo diferencial yprime =
3x 2 + y 2
xy eacute homogecircnea e encontre sua
soluccedilatildeo geral
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo eacute homogecircnea pois supondo λ ne 0
f (λxλy) = 3(λx) 2 + (λy) 2
(λx) (λy)
f (λxλy) = λ2 (3x 2 + y 2)
λ2 (xy)
f (λxλy) = 3x 2 + y 2
xy
f (λxλy) = f (xy)
Definindo v = yx e substituindo na equaccedilatildeo diferencial temos
Como y = vx entatildeo dydx = x
dvdx + v
Logo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
3 + v 2
v
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
189
x dvdx =
3 + v 2
v ndash v
x dvdx =
3v
v dv = 3x
dx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
intv dv = int 3x
dx
v 2
2 = 3 In |x| + c c isin R
v 2 = 6 In |x| + 2c c isin R
Substituindo v por yx e k = 2c temos
y 2
x 2 = 6 In |x| + k k isin R
Logo a soluccedilatildeo geral tem a forma y 2 = 6x 2 In |x| + x2k k isin R
Exemplo 11Mostre que a equaccedilatildeo yprime =
2y 4 + x 4
xy 3 eacute homogecircnea e resolva a equaccedilatildeo diferencial
ResoluccedilatildeoVamos mostrar que a EDO eacute homogecircnea de grau zero supondo λ isin IR
f (λxλy) = 2(λy) 4 + (λx) 4
(λx) (λy) 3
f (λxλy) = 2λ4 y 4 + λ4 x 4
λ4xy 3
f (λxλy) = λ4 (2y 4 + x 4)
λ4xy 3
f (λxλy) = f (xy)
Definindo v = yx e substituindo na equaccedilatildeo diferencial temos
190
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
dydx =
2y 4 + x 4
xy 3
dydx =
2v 4 + 1v 3
Como y = vx entatildeo dydx = x
dvdx + v
Logo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
2v 4 + 1v 3
x dvdx =
2v 4 + 1v 3 ndash v
x dvdx =
v 4 + 1v 3
v 3
v 4 + 1 dv = dxx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
intv 3
v 4 + 1 dv = intdxx
14
In (v 4 + 1) = In |x| + c c middot R
In (v 4 + 1) = 4 In |x| + 4c
eIn (v 4 + 1) = e 4 In |x| + 4c
v 4 + 1 = e In x 4 + 4c
v 4 + 1 = x 4 e 4c c isin R
Fazendo k = e 4c temos
v 4 + 1 = kx 4
Isso nos daacute
v 4 = kx 4 ndash 1 k middot R
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
191
Substituindo v por yx temos
y 4
x 4 = kx 4 ndash 1
Logo y 4 = kx 8 ndash x 4 k isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 12
Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo homogecircnea yprime = y 2 ndash x 2
2xy
ResoluccedilatildeoSejam y = vx e
dydx = x
dvdx + v A EDO natildeo linear homogecircnea assume a forma
dydx =
y 2 ndash x 2
2xy
dydx =
v 2 ndash 12v
Entatildeo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
v 2 ndash 12v
x dvdx =
v 2 ndash 12v ndash v
x dvdx =
ndashv 2 ndash 12v
2vv 2 + 1
dv = ndash dxx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
int2v
v 2 + 1 dv = ndashintdxx
In |v 2 + 1| = ndashIn |x| + c c isin R
In |v 2 + 1| + In |x| = c
192
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
eIn |v 2 + 1| + In |x| = e c
eIn |v 2 + 1| e In |x| = e c
|v 2 + 1||x| = ec
Substituindo v por yx e k = ec temos
Portanto y 2
x + x = k k isin R eacute soluccedilatildeo da EDO
193
Neste toacutepico vimos outros dois tipos de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem
bull As equaccedilotildees de Bernoulli e as equaccedilotildees exatas
bull A diferenccedila das equaccedilotildees estudadas no toacutepico anterior eacute que nestas precisamos fazer alguma substituiccedilatildeo para resolvecirc-las
bull A equaccedilatildeo linear de Bernoulli tem a forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) y n A substituiccedilatildeo que temos que fazer eacute dada por u = y 1ndashn e utilizamos a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x) Com isso a equaccedilatildeo eacute reduzida a uma equaccedilatildeo linear
bull A outra equaccedilatildeo estudada foi a equaccedilatildeo homogecircnea com forma-padratildeo M (xy)
dx + N (xy) dy = 0 onde M e N satildeo funccedilotildees homogecircneas do mesmo grau
Para obter a soluccedilatildeo devemos escrever a EDO na forma dydx
= g yx e fazer a
substituiccedilatildeo v = yx
RESUMO DO TOacutePICO 2
194
AUTOATIVIDADE
Nos problemas 1 e 2 resolva as equaccedilotildees diferenciais lineares de Bernoulli
1 x dydx + y =
1y 2
2 yprime = y (xy 3 ndash 1)
3 Resolva a equaccedilatildeo diferencial homogecircnea (x ndash y) dx + x dy = 0
Nas EDO a seguir identifique o tipo de EDO e encontre a funccedilatildeo desconhecida
4 xy 2 dydx = y 3 ndash x 3 y (1) = 2
5 x 2 dydx + y 2 = xy
6 (x 2 + y 2) dx + xy dy = 0
195
TOacutePICO 3
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES
DE SEGUNDA ORDEM
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
Finalizamos a unidade com o Toacutepico 3 as equaccedilotildees diferenciais lineares de segunda ordem Aqui estudaremos apenas as equaccedilotildees lineares homogecircneas com coeficientes constantes Estas equaccedilotildees satildeo de resoluccedilatildeo mais simples devido a um procedimento de substituiccedilatildeo por uma equaccedilatildeo de segundo grau chamada de equaccedilatildeo caracteriacutestica ou auxiliar
Definiccedilatildeo 321 Uma equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem eacute da forma
a1 (x) d 2 y
dx 2 + a2 (x) dy
dx + a3 (x)y = o (x)
onde os coeficientes a1 (x) a2
(x) a3 (x) satildeo contiacutenuos e o (x) tambeacutem eacute uma
funccedilatildeo contiacutenua em algum intervalo I
Definiccedilatildeo 322 Uma equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem da forma
a1 (x) d 2 y
dx 2 + a2 (x) dy
dx + a3 (x)y = 0
eacute chamada de homogecircnea onde os coeficientes a1 (x) a2
(x) a3 (x) satildeo
contiacutenuos em algum intervalo I
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
196
Para as equaccedilotildees lineares homogecircneas eacute vaacutelido o princiacutepio da superposiccedilatildeo que diz que se y
1 (x) e y
2 (x) satildeo soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial entatildeo
y (x) = c1 y
1 (x) + c
2 y
2 (x)
tambeacutem o eacute para todas as constantes c1 e c
2 A expressatildeo colocada anteriormente eacute
chamada combinaccedilatildeo linear de y1 (x) e y
2 (x)
Isso eacute o que diz o teorema da superposiccedilatildeo onde a soma ou superposiccedilatildeo de duas ou mais soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo
Teorema 321 (Princiacutepio da superposiccedilatildeo ndash Equaccedilotildees Homogecircneas) Se y1
(x) e y2 (x) satildeo soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea em algum intervalo I
entatildeo a combinaccedilatildeo linear
y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2
(x)
onde c1 e c2 satildeo constantes arbitraacuterias eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo no intervalo I
Definiccedilatildeo 323 Para as equaccedilotildees diferenciais lineares homogecircneas fixadas as soluccedilotildees y1
(x) e y2 (x) definimos o wronskiano dessas soluccedilotildees pelo determinante
Joacutezef Maria Wronski (1778-1853) foi um matemaacutetico polonecircs O wronskiano eacute definido como um determinante cuja primeira linha eacute ocupada pelas funccedilotildees e as linhas seguintes satildeo formadas pelas suas derivadas ateacute a ordem n ndash 1 E o wronskiano pode ser utilizado como um teste de independecircncia linear para as soluccedilotildees das EDOs
Suponha que y1 (x) e y2
(x) sejam duas soluccedilotildees Entatildeo a combinaccedilatildeo linear dessas duas soluccedilotildees eacute uma soluccedilatildeo geral dada por
y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2
(x)
NOTA
UNI
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
197
Derivando y (x) temos
yprime (x) = c1 yprime 1 (x) + c2 yprime
2 (x)
Substituindo-se x = x 0 nas equaccedilotildees obtemos o sistema de equaccedilotildees
y (x0) = c1 y1 (x0) + c2 y2
(x0)yprime (x0) = c1 yprime 1
(x0) + c2 yprime 2 (x0)
que pode ser escrito na forma A bull X = B em que
Logo o determinante da matriz A leva o nome de Wronskiano e eacute denotado por
W (y1 y2) (t) = det
Exemplo 1As funccedilotildees y1(x) = e 5x e y2(x) = e ndash 5x satildeo ambas soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial
linear homogecircnea yprimeprime ndash 25y = 0 no intervalo ]ndashinfin infin[ Verifique que o wronskiano eacute diferente de zero e escreva a soluccedilatildeo da EDO
ResoluccedilatildeoSejam y1(x) = e 5x e y2(x) = e ndash 5x Precisamos derivar as funccedilotildees para calcular o
wronskiano
yprime1(x) = 5e 5x e yprime2(x) = ndash5e ndash 5x entatildeo
W(x) = ndash5e ndash 5x middot e 5x ndash 5e 5x middot e ndash 5x = ndash 10 ne 0
W(x) =
Conforme o teorema acima a soluccedilatildeo dessa EDO tem a forma y (x) = c1 y1
(x) + c2 y2 (x)
Entatildeo y (x) = c1 e 5x + c2 e ndash 5x
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
198
Teorema 322 Sejam y1 (x) e y2
(x) soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea em algum intervalo I Entatildeo o conjunto de soluccedilotildees seraacute linearmente independente em I se e somente se W (x) ne 0 Ax isin I
Em resumo do que vimos sobre o wronskiano podemos concluir para que y1 (x)
e y2
(x) formem um conjunto fundamental de soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea basta que o wronskiano W (x) ne 0
A
x isin I
Exemplo 2Mostre que y1
(t) = t frac12 e y2 (t) = t ndash 1 formam um conjunto fundamental de
soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea 2t 2 yprimeprime + 3typrime ndash y = 0 no intervalo ]0 infin[
ResoluccedilatildeoPrecisamos verificar primeiro se y1
(t) e y2 (t) satildeo soluccedilotildees da EDO
Se y1 (t) = t frac12 entatildeo yprime1
(t) = 12
t ndash frac12 e yprimeprime1 (t) = -
14t- 32
Se y2 (t) = t ndash 1 entatildeo yprime2
(t) = ndasht ndash 2 e yprimeprime2 (t) = 2t ndash 3
Substituindo y1 (t) e suas derivadas na EDO temos
2t - 14
t + 3t 12
t -t = 0
- 12
t + 32
t -t = 0
2 - -32
12
12
12
12
12
Portanto y1 (t) eacute soluccedilatildeo da EDO
Agora substituindo y2 (t) e suas derivadas na EDO temos
2t 2 (2t ndash 3) + 3t (ndash t ndash 2) ndash t ndash 1 = 0
4t ndash 1 ndash 3t ndash 1 ndash t ndash 1 = 0
Portanto y2 (t) eacute soluccedilatildeo da EDO
Para que as funccedilotildees y1 (t) e y2
(t) formem um conjunto fundamental de soluccedilotildees
NOTA
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
199
da EDO pelos teoremas anteriores basta verificarmos que o wronskiano eacute diferente de zero para algum t gt 0 Assim
W (x) = ndasht ndash 3 2 ndash 12
t ndash 3 2 = ndash 32
t ndash 3 2 ne 0
Logo y1 (t) = t frac12 e y2
(t) = t ndash 1 formam um conjunto fundamental de soluccedilotildees da equaccedilatildeo 2t 2 yprimeprime + 3typrime ndash y = 0 Assim y (t) = c1t frac12 + c2t ndash 1
3 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ordf ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES
Vamos considerar apenas equaccedilotildees diferenciais da forma
a d 2 ydx 2 + b dy
dx + cy = 0
onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 Para esta equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea existem valores constantes de λ tais que y = eλx eacute uma soluccedilatildeo
Substituindo-se y = eλx dydx = λeλx e d
2 ydx 2 = λ2eλx na EDO obtemos
aλ2eλx + bλeλx + eλx = 0
eλx (aλ2+ bλ + c) = 0
Como eλx ne 0 entatildeo y = eλx eacute soluccedilatildeo de a d 2 ydx 2 + b dy
dx + cy = 0 se e somente se λ eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo aλ2+ bλ + c = 0
Definiccedilatildeo 331 A equaccedilatildeo aλ2+ bλ + c = 0 eacute chamada de equaccedilatildeo caracteriacutestica ou equaccedilatildeo auxiliar da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
200
31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
A natureza das soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea a d 2 y
dx 2 + b
dydx + cy = 0 depende da natureza das raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica correspondente
Para escrever as soluccedilotildees das equaccedilotildees diferenciais teremos trecircs casos a considerar Vamos empregar o teorema apresentado a seguir
Teorema 3311 Dada a equaccedilatildeo ayprimeprime + byprime + cy = 0 formamos a equaccedilatildeo caracteriacutestica aλ2+ bλ + c = 0
i) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes reais distintas λ1 e λ2 entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2eλ2x
ii) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem apenas uma raiz real λ entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2xeλx ou
y = (C1 + C2x) eλx
iii) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes complexas λ1 = α + bi e λ2 = α ndash bi entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eαx cos bx + c2eαx sen bx ou
y = eαx (c1 cos bx + c2 sen bx)
As raiacutezes λ1 e λ
2 da equaccedilatildeo caracteriacutestica satildeo chamados de autovalores
Exemplo 3Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 4yprime + 4y = 0
ResoluccedilatildeoConforme vimos acima devemos escrever a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 4λ + 4 = 0 e encontrar as suas raiacutezes
NOTA
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
201
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 42
λ = ndash 2
Assim a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1endash2x + c2xendash2x
Exemplo 4Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime ndash 15y = 0 Depois encontre a
soluccedilatildeo particular que satisfaz as condiccedilotildees iniciais y (0) = 0 e yprime (0) = ndash1
ResoluccedilatildeoResolvendo a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ ndash 15 = 0 temos
λ = ndash 2 plusmn 8
2
λ1 = ndash 2 ndash 8
2 = ndash 5
λ2 = ndash 2 + 8
2 = 3
A soluccedilatildeo geral eacute y = c1endash 5x + c2e3x
Substituindo as condiccedilotildees iniciais y (0) = 0 e yprime (0) = ndash1 na soluccedilatildeo geral obtemos
y = c1endash 5x + c2e3x e y (0) = 0 entatildeo
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
202
c1endash 5 bull 0 + c2e3 bull 0 = 0
c1 + c2 = 0
Agora yprime = ndash 5c1endash 5x + 3c2e3x e yprime (0) = ndash1 entatildeo
ndash 5c1endash 5 bull 0 + 3c2e3 bull 0 = ndash1
ndash 5c1 + 3c2= ndash1
Resolvendo o sistema c1 + c2 = 0ndash 5c1 + 3c2= ndash1
encontramos c1 = 18
e c2 = ndash 18
Portanto a soluccedilatildeo que satisfaz as condiccedilotildees iniciais eacute dada por
y = 18
endash 5x ndash 18
e3x
Exemplo 5Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime + 5y = 0
ResoluccedilatildeoConforme vimos acima devemos escrever a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ + 5 = 0 e encontrar as suas raiacutezes
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 2 plusmn 4i
2
λ = ndash 1 plusmn 2i
λ1 = ndash 1 ndash 2i
λ2 = ndash 1 + 2i
Assim pelo teorema a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = endashx (c1 cos 2x + c2 sen 2x)
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
203
Exemplo 6Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime + y = 0
ResoluccedilatildeoResolvemos a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ + 1 = 0
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 22
λ = ndash1
Assim a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1endashx + C2 xendashx
No graacutefico a seguir (Figura a seguir) estatildeo algumas soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial yprimeprime + 2yprime + y = 0
FIGURA 55 ndash ALGUMAS SOLUCcedilOtildeES DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
FONTE O autor
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
204
Exemplo 7Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 12y = 0
ResoluccedilatildeoResolvemos a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 12 = 0 temos
λ2 = ndash12
λ = plusmn radicndash12
λ = plusmn radic12i
λ = plusmn radic22 bull 3i
λ = plusmn 2 radic3i
λ1 = 2 radic3i
λ2 = ndash2 radic3i
Daiacute temos que α = 0 e b = 2 radic3
y = c1e0 bull x cos (2 radic3 x) + c2e0 bull x sen (2 radic3 x)
Portanto a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1 cos (2 radic3 x) + c2 sen (2 radic3 x)
LEITURA COMPLEMENTAR
Equaccedilotildees Diferenciais como Modelos Matemaacuteticos
MODELOS MATEMAacuteTICOS Eacute frequentemente desejaacutevel descrever o comportamento de algum sistema ou fenocircmeno da vida real em termos matemaacuteticos quer sejam eles fiacutesicos socioloacutegicos ou mesmo econocircmicos A descriccedilatildeo matemaacutetica de um sistema ou fenocircmeno chamada de modelo matemaacutetico eacute constituiacutedo levando-se em consideraccedilatildeo determinadas metas Por exemplo talvez queiramos compreender os mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populaccedilotildees de animais nesse sistema ou datar foacutesseis por meio da anaacutelise do decaimento radioativo de uma substacircncia que esteja no foacutessil ou no extrato no qual foi descoberta
A construccedilatildeo de um modelo matemaacutetico de um sistema comeccedila com
(i) a identificaccedilatildeo das variaacuteveis responsaacuteveis pela variaccedilatildeo do sistema Podemos a princiacutepio optar por incorporar todas essas variaacuteveis no modelo Nesta capa estamos especificando o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
205
A seguir
(ii) elaboramos um conjunto de hipoacuteteses razoaacuteveis ou pressuposiccedilotildees sobre o sistema que estamos tentando descrever Essas hipoacuteteses deveratildeo incluir tambeacutem quaisquer empiacutericas aplicaacuteveis ao sistema
Para alguns propoacutesitos pode ser perfeitamente razoaacutevel nos contentarmos com um modelo de baixa resoluccedilatildeo Por exemplo vocecirc provavelmente jaacute sabe que nos cursos baacutesicos de Fiacutesica a forccedila retardadora do atrito com o ar eacute agraves vezes ignorada na modelagem do movimento de um corpo em queda nas proximidades da superfiacutecie da Terra mas se vocecirc for um cientista cujo trabalho eacute predizer precisamente o percurso de um projeacutetil de longo alcance teraacute de levar em conta a resistecircncia do ar e outros fatores como curvatura da Terra
Como as hipoacuteteses sobre um sistema envolvem frequentemente uma taxa de variaccedilatildeo de uma ou mais das variaacuteveis a descriccedilatildeo matemaacutetica de todas essas hipoacuteteses pode ser uma ou mais equaccedilotildees envolvendo derivadas Em outras palavras o modelo matemaacutetico pode ser uma equaccedilatildeo diferencial ou sistema de equaccedilotildees diferenciais
Depois de formular um modelo matemaacutetico que eacute uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciais estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvecirc-los Se pudermos resolvecirc-lo julgaremos o modelo razoaacutevel se suas soluccedilotildees forem consistentes com dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema
Poreacutem se as prediccedilotildees obtidas pela soluccedilatildeo forem pobres poderemos elevar o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo ou levantar hipoacuteteses alternativas sobre o mecanismo de mudanccedila no sistema As etapas do processo de modelagem satildeo entatildeo repetidas conforme disposto no seguinte diagrama
FIGURA 56 ndash DIAGRAMA
HIPOacuteTESES
COMPARE AS PREDICcedilOtildeES DO
MODELO COM OS FATOS CONHECIDOS
FORMULACcedilAtildeO MATEMAacuteTICA
OBTENHA AS SOLUCcedilOtildeES
Expresse as hipoacuteteses em termos de equaccedilotildees
diferenciais
Exponha as prediccedilotildees do modelo (por exemplo
graficamente)
Resolva as EDsSe necessaacuterio altere as hipoacuteteses ou aumente a
resoluccedilatildeo do modelo
FONTE O autor
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
206
Naturalmente aumentando a resoluccedilatildeo aumentaremos a complexidade do modelo matemaacutetico e assim a probabilidade de natildeo conseguirmos obter uma soluccedilatildeo explicita
Um modelo matemaacutetico de um sistema fiacutesico frequentemente envolve a variaacutevel tempo t Uma soluccedilatildeo do modelo oferece entatildeo o estado do sistema em outras palavras os valores da variaacutevel (ou variaacuteveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado presente e futuro
DINAcircMICA POPULACIONAL Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio da matemaacutetica foi feita pelo economista inglecircs Thomas Malthus em 1978 Basicamente a ideia por traacutes do modelo malthusiano eacute a hipoacutetese de que a taxa segundo a qual a populaccedilatildeo de um paiacutes cresce em um determinado instante eacute proporcional agrave populaccedilatildeo total do paiacutes naquele instante Em outras palavras quanto mais pessoas houver em um instante t mais pessoas existiratildeo no futuro
Em termos matemaacuteticos se P(t) for a populaccedilatildeo no instante t entatildeo essa hipoacutetese pode ser expressa por
dPdt infin P ou
dPdt = k middot P (1)
onde k eacute uma constante de proporcionalidade Esse modelo simples embora natildeo leve em conta muitos fatores que podem influenciar a populaccedilatildeo humana tanto em seu crescimento quanto em seu decliacutenio (imigraccedilatildeo e emigraccedilatildeo por exemplo) natildeo obstante resulta ser razoavelmente preciso na previsatildeo da populaccedilatildeo dos Estados Unidos entre os anos de 1970 e 1980 As populaccedilotildees que crescem agrave taxa descriccedilatildeo por (1) satildeo raras entretanto (1) eacute ainda usada para modelar o crescimento de pequenas populaccedilotildees em um curto intervalo de tempo (crescimento de bacteacuterias em placas de Petri por exemplo)
FONTE Zill (2003 p 22-24)
207
Neste toacutepico vimos
bull A equaccedilatildeo diferencial na forma-padratildeo a d 2 y
dx 2 + b dydx + cy = 0 A sua resoluccedilatildeo se
resume em encontrar as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau aλ2+ bλ + c = 0 Apoacutes encontrar as raiacutezes da equaccedilatildeo aplica-se o teorema a seguir
bull Teorema 3311 Dada a equaccedilatildeo ayprimeprime + byprime + cy = 0 formamos a equaccedilatildeo caracteriacutestica aλ2+ bλ + c = 0
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes reais distintas λ1 e λ2 entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2eλ2x
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem apenas uma raiz real λ entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2xeλx ou
y = (C1 + C2x) eλx
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes complexas λ1 = α + bi e λ2 = α ndash bi entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eαx cos bx + c2eαx sen bx ou
y = eαx (c1 cos bx + c2 sen bx)
RESUMO DO TOacutePICO 3
208
AUTOATIVIDADE
Encontre a soluccedilatildeo geral das seguintes EDOs
1 yprimeprime ndash 3yprime + 2y = 0
2 8yprimeprime + 4yprime + y = 0
3 4yprimeprime + yprime = 0
4 yprimeprime ndash yprime ndash 6y = 0
5 yprimeprime + 9y = 0
6 12yprimeprime ndash 5yprime ndash 2y = 0
7 yprimeprime ndash 4yprime + 5y = 0
8 yprimeprime ndash 2yprime + y = 0
209
REFEREcircNCIAS
ANTON H BIVENS I DAVIS S Caacutelculo v 2 Poro Alegre Bookman 2007
BOYCE Willian E DIPRIMA Richard C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores de contorno Rio de Janeiro LTC 2002
FINNEY R WEIR M GIORDANO F Caacutelculo de George B Thomas Jr v 2 Satildeo Paulo Addison Wesley 2002
FLEMMING Diva Mariacutelia GONCcedilALVES Mirian Buss CAacuteLCULO B funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis integrais duplas e triplas 2deg ed Satildeo Paulo Makron Books do Brasil 2007
LEITHOLD Louis O Caacutelculo com geometria analiacutetica v 2 3deg ed Satildeo Paulo Harbra 1994
SIMMONS George F Caacutelculo com geometria analiacutetica v 2 Satildeo Paulo Pearson Makron Books 1987
ROGAWKI Jon Caacutelculo v 2 Porto Alegre Bookman 2009
STEWART James Caacutelculo v 2 Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 2006
ZILL Dennis G Equaccedilotildees diferenciais com aplicaccedilotildees em modelagem Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 2003
210
ANOTACcedilOtildeES
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211
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III
aprEsEntaccedilatildeo
Caro(a) acadecircmico(a) Seja bem-vindo(a) agrave disciplina de Equaccedilotildees Diferenciais
Para estudar Equaccedilotildees Diferenciais natildeo haacute como desvincular o estudo do Caacutelculo Diferencial e Integral pois as palavras equaccedilatildeo e diferencial sugerem que estudemos equaccedilotildees que envolvam derivadas As derivadas satildeo estudadas no segmento da matemaacutetica chamado de caacutelculo diferencial que consequentemente nos leva ao caacutelculo integral O caacutelculo utiliza ideias da matemaacutetica elementar e as estende para situaccedilotildees mais gerais ou seja o caacutelculo consiste na matemaacutetica elementar (aacutelgebra geometria trigonometria) aperfeiccediloada pelo processo do limite
Nesta disciplina vocecirc iraacute aprimorar seus conhecimentos sobre o Caacutelculo Diferencial e Integral Se vocecirc jaacute se interessou pelo que foi estudado no caacutelculo vai ver que neste caderno teraacute toacutepicos mais abrangentes e tambeacutem interessantes
A disciplina fornece uma seacuterie de ferramental necessaacuteria a outras disciplinas como por exemplo a Fiacutesica
O caacutelculo eacute considerado um dos maiores feitos do intelecto humano Espero que aleacutem de perceber a utilidade tambeacutem perceba a beleza matemaacutetica O entendimento do conteuacutedo e das nuances que circundam este estudo eacute apenas a ponta do iceberg principalmente para aqueles acadecircmicos que pretendem avanccedilar seus estudos como em especializaccedilatildeo mestrado etc
Prof Ruy Piehowiak
Quero enfatizar a postura que um(a) acadecircmico(a) de matemaacutetica deve ter ao estudar Inicialmente para ler um texto de matemaacutetica principalmente na modalidade de ensino a distacircncia eacute bastante diferente de ler uma revista ou um jornal Assim natildeo desanime se precisar ler um conceito ou a resoluccedilatildeo de um exemplo mais de uma vez para entendecirc-lo Sugiro que possua um papel laacutepis e computador com software matemaacutetico (por exemplo o winplot) agrave sua matildeo para entender o conteuacutedo trabalhado no Caderno de Estudos e desenvolver ainda mais a sua habilidade algeacutebrica
UNI
IV
Vocecirc jaacute me conhece das outras disciplinas Natildeo Eacute calouro Enfim tanto para vocecirc que estaacute chegando agora agrave UNIASSELVI quanto para vocecirc que jaacute eacute veterano haacute novidades em nosso material
Na Educaccedilatildeo a Distacircncia o livro impresso entregue a todos os acadecircmicos desde 2005 eacute o material base da disciplina A partir de 2017 nossos livros estatildeo de visual novo com um formato mais praacutetico que cabe na bolsa e facilita a leitura
O conteuacutedo continua na iacutentegra mas a estrutura interna foi aperfeiccediloada com nova diagramaccedilatildeo no texto aproveitando ao maacuteximo o espaccedilo da paacutegina o que tambeacutem contribui para diminuir a extraccedilatildeo de aacutervores para produccedilatildeo de folhas de papel por exemplo
Assim a UNIASSELVI preocupando-se com o impacto de nossas accedilotildees sobre o ambiente apresenta tambeacutem este livro no formato digital Assim vocecirc acadecircmico tem a possibilidade de estudaacute-lo com versatilidade nas telas do celular tablet ou computador Eu mesmo UNI ganhei um novo layout vocecirc me veraacute frequentemente e surgirei para apresentar dicas de viacutedeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questatildeo
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos para que vocecirc nossa maior prioridade possa continuar seus estudos com um material de qualidade
Aproveito o momento para convidaacute-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes ndash ENADE Bons estudos
UNI
V
VI
VII
sumaacuterio
UNIDADE 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 1
TOacutePICO 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS 31 INTRODUCcedilAtildeO 32 RECORDANDO A FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL 33 FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 5 31 GRAacuteFICOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 134 FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 15RESUMO DO TOacutePICO 1 18AUTOATIVIDADE 19
TOacutePICO 2 ndash CURVAS DE NIacuteVEL 211 INTRODUCcedilAtildeO 212 CURVAS DE NIacuteVEL 22RESUMO DO TOacutePICO 2 28AUTOATIVIDADE 29
TOacutePICO 3 ndash LIMITE E CONTINUIDADE 311 INTRODUCcedilAtildeO 312 DEFINICcedilOtildeES BAacuteSICAS 313 LIMITE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 344 CONTINUIDADE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 38RESUMO DO TOacutePICO 3 41AUTOATIVIDADE 42
TOacutePICO 4 ndash DERIVADAS PARCIAIS 431 INTRODUCcedilAtildeO 432 RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVACcedilAtildeO 433 DERIVADAS PARCIAIS 44 31 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS 44 32 INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA 514 GENERALIZACcedilAtildeO 535 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 54LEITURA COMPLEMENTAR 59RESUMO DO TOacutePICO 4 63AUTOATIVIDADE 64
UNIDADE 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS 65
TOacutePICO 1 ndash REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA 671 INTRODUCcedilAtildeO 672 REGRA DA CADEIA 673 DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA 75RESUMO DO TOacutePICO 1 79
VIII
AUTOATIVIDADE 80
TOacutePICO 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE 811 INTRODUCcedilAtildeO 812 DIFERENCIABILIDADE 813 DIFERENCIAL 854 GRADIENTE 895 DERIVADAS DIRECIONAIS 95RESUMO DO TOacutePICO 2 99AUTOATIVIDADE 100
TOacutePICO 3 ndash MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS 1031 INTRODUCcedilAtildeO 1032 EXTREMOS LOCAIS 1033 PROBLEMAS ENVOLVENDO MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 111RESUMO DO TOacutePICO 3 117AUTOATIVIDADE 118
TOacutePICO 4 ndash INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS 1191 INTRODUCcedilAtildeO 1192 INTEGRAL DUPLA 119 21 INTEGRAL DUPLA SOBRE RETAcircNGULO 119 22 INTEGRAIS ITERADAS 120 23 INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIOtildeES GENEacuteRICAS 124LEITURA COMPLEMENTAR 134RESUMO DO TOacutePICO 4 136AUTOATIVIDADE 137
UNIDADE 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS 139
TOacutePICO 1 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 1411 INTRODUCcedilAtildeO 1412 DEFINICcedilOtildeES E TERMINOLOGIAS 141 21 TIPOS DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 142 22 ORDEM DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 142 23 LINEARIDADE DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 143 24 SOLUCcedilAtildeO DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 143 241 Soluccedilatildeo geral 145 242 Soluccedilatildeo particular 1453 EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL SEPARAacuteVEL 148 31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1494 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ordf ORDEM 158 41 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1595 EQUACcedilOtildeES EXATAS 168 51 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 169RESUMO DO TOacutePICO 1 175AUTOATIVIDADE 176
TOacutePICO 2 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES 1771 INTRODUCcedilAtildeO 1772 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI 177
IX
21 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1773 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS HOMOGEcircNEAS 184 31 FUNCcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 184 32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 186 321 Meacutetodo de resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial 187RESUMO DO TOacutePICO 2 193AUTOATIVIDADE 194
TOacutePICO 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 1951 INTRODUCcedilAtildeO 1952 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 1953 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ordf ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES 199 31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 200LEITURA COMPLEMENTAR 204RESUMO DO TOacutePICO 3 207AUTOATIVIDADE 208REFEREcircNCIAS 209
X
1
UNIDADE 1
FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Ao final desta unidade vocecirc deveraacute ser capaz de
bull conhecer os principais conceitos que envolvem funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull identificar o domiacutenio de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull reconhecer as curvas de niacuteveis de forma algeacutebrica
bull reconhecer as curvas de niacuteveis geometricamente
bull calcular os limites de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull identificar a continuidade de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull calcular as derivadas parciais
bull interpretar geometricamente as derivadas parciais
Esta unidade estaacute dividida em quatro toacutepicos apresentando os conceitos e a utilizaccedilatildeo das funccedilotildees de diversas variaacuteveis No Toacutepico 1 eacute apresentado o estudo do domiacutenio de uma funccedilatildeo de diversas variaacuteveis e as curvas de niacutevel seguido de vaacuterios exemplos para auxiliaacute-lo(a) na compreensatildeo e resoluccedilatildeo dos exerciacutecios propostos no final de cada toacutepico No Toacutepico 2 daremos uma atenccedilatildeo especial agraves curvas de niacutevel tanto na representaccedilatildeo graacutefica como no seu reconhecimento algeacutebrico No Toacutepico 3 seratildeo estendidos os conceitos de limite e continuidade estudados para as funccedilotildees de uma variaacutevel No Toacutepico 4 aprenderemos como derivar funccedilotildees de diversas variaacuteveis e sobretudo entender o significado geomeacutetrico das derivadas parciais Finalizamos a unidade com um texto complementar onde seraacute dada ecircnfase agraves personalidades matemaacuteticas que contribuiacuteram no desenvolvimento do caacutelculo diferencial e integral e consequentemente das equaccedilotildees diferenciais
TOacutePICO 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
TOacutePICO 2 ndash CURVAS DE NIacuteVEL
TOacutePICO 3 ndash LIMITES E CONTINUIDADE
TOacutePICO 4 ndash DERIVADAS PARCIAIS
2
3
TOacutePICO 1UNIDADE 1
FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
1 INTRODUCcedilAtildeO
Vocecirc jaacute estudou limites derivadas e integrais conceitos vistos em funccedilotildees de uma variaacutevel Nesta unidade estudaremos as funccedilotildees de duas ou mais variaacuteveis e veremos que as regras do caacutelculo para funccedilotildees de uma variaacutevel permanecem essencialmente as mesmas
Funccedilotildees com mais de uma variaacutevel independente se apresentam mais costumeiramente em modelos matemaacuteticos aplicados agrave engenharia por exemplo do que funccedilotildees de uma variaacutevel Os estudos de probabilidade estatiacutestica dinacircmica dos fluidos e trabalho satildeo exemplos que conduzem de uma maneira natural a funccedilotildees de mais de uma variaacutevel daiacute a importacircncia do seu estudo
2 RECORDANDO A FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL
Representamos a funccedilatildeo de uma variaacutevel por duas variaacuteveis x e y sendo que chamamos de x a variaacutevel independente da funccedilatildeo e de y a variaacutevel dependente da funccedilatildeo Assim denotamos a relaccedilatildeo entre as variaacuteveis por y = f (x) deixando expliacutecito que y depende de x
Exemplo 1 y = 2x + 1
Exemplo 2 f (x) = 3 + x
2 - x
Habitualmente ao trabalharmos com funccedilotildees um dos primeiros cuidados que devemos ter eacute em relaccedilatildeo ao conjunto domiacutenio das funccedilotildees isto eacute para que valores reais as funccedilotildees estatildeo definidas Entatildeo dada uma funccedilatildeo f(x) devemos encontrar valores para os quais a funccedilatildeo tenha imagem
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
4
Exemplo 3Encontre o domiacutenio da funccedilatildeo f(x) =
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo f(x) eacute uma funccedilatildeo racional pois temos a variaacutevel x no denominador
Esta funccedilatildeo tem dois cuidados a serem tomados em relaccedilatildeo ao domiacutenio
(i) Desde que iniciamos nossos estudos com fraccedilotildees sabemos que natildeo eacute possiacutevel ter zero no denominador das fraccedilotildees Assim
(ii) Temos a variaacutevel x no radicando da raiz quadrada Como estamos considerando f(x) uma funccedilatildeo real o radicando natildeo pode assumir valores negativos Logo
xsup2 ndash 16 ge 0
Assim juntando as condiccedilotildees (i) e (ii) teremos xsup2 ndash 16 gt 0
Observe que temos que resolver uma inequaccedilatildeo do 2ordm grau Para isso consideramos inicialmente apenas a equaccedilatildeo (igualdade) a fim de obtermos as raiacutezes
xsup2 - 16 = 0
Determinando as raiacutezes desta equaccedilatildeo do segundo grau incompleta
xsup2 = 16x = x =
Analisando a funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = xsup2 - 16 sabemos que seu graacutefico corresponde a uma paraacutebola com concavidade voltada para cima e zeros de funccedilatildeo em x = - 4 e x = 4 Logo os valores de x que satisfazem a inequaccedilatildeo satildeo x lt - 4 ou x gt 4
Assim D(f) = x isin R | x lt - 4 ou x gt 4
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
5
FIGURA 1 ndash ANAacuteLISE DO SINAL DA FUNCcedilAtildeO f (x) = xsup2 - 16 ATRAVEacuteS DE SEU ESBOCcedilO GRAacuteFICO
FONTE O autor
3 FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
Definiccedilatildeo 131 Suponha que D seja um conjunto de pares ordenados de nuacutemeros reais (xy) Uma funccedilatildeo real f de duas variaacuteveis em D eacute uma regra que associa um uacutenico nuacutemero real z = f(xy) a cada par ordenado (xy) em D O conjunto D(f) eacute o domiacutenio de f(xy)
Os nuacutemeros x y e z satildeo denominados variaacuteveis Como os valores da funccedilatildeo f(xy) dependem de x e de y e os valores de z dependem da escolha de x e de y entatildeo x e y satildeo denominadas variaacuteveis independentes e z eacute denominada variaacutevel dependente
Uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis eacute uma funccedilatildeo cujo domiacutenio eacute um subconjunto do R2 e cuja imagem eacute um subconjunto de R Uma maneira de visualizaacute-la eacute atraveacutes de um diagrama de flechas conforme a seguir
FIGURA 2 ndash DIAGRAMA DE FLECHAS REPRESENTANDO O DOMIacuteNIO E A IMAGEM DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS
FONTE O autor
+ +
ndashndash 4 4
R
y
(x y)
x
f
f(x y) 0
z
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
6
Exemplo 4Dada a funccedilatildeo que calcula o periacutemetro de um
retacircngulo f(xy) = 2(x + y) calcule o valor de f (25)
ResoluccedilatildeoBasta substituir em f(xy) o x por 2 o y por 5 e calcularEntatildeof(25) = 2(2 + 5)f(25) = 2 middot 7f(25) = 14
Exemplo 5A funccedilatildeo T (xy) = 60 - 2xsup2 - 3ysup2 representa a temperatura em qualquer
ponto de uma chapa A temperatura oscila em relaccedilatildeo agrave distacircncia percorrida no sentido dos eixos positivos x e y Calcule a temperatura da chapa (Figura 3) no ponto (3 1) em graus Celsius
ResoluccedilatildeoT (31) = 60 - 2 middot 3sup2 - 3 middot 1sup2T (31) = 60 - 2 middot 9 - 3 middot 1T (31) = 39deg C
x
y
FIGURA 3 ndash AQUECIMENTO DE UMA CHAPA
FONTE O autor
Exemplo 6Dada a funccedilatildeo f(xy) = xsup2 + ysup2 calcule f(1 - 2)
chapa
x
y
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
7
Resoluccedilatildeof(xy) = xsup2 + ysup2 f(1 ndash 2) = 1sup2 + (ndash2)sup2f(1 ndash 2) = 1 + 4f(1 ndash 2) = 5
No estudo do domiacutenio de uma funccedilatildeo devemos avaliar quais nuacutemeros reais satildeo possiacuteveis atribuir para as variaacuteveis x e y para obtermos valores reais para z = f(xy) Vamos relembrar algumas restriccedilotildees
Consideremos os casos a seguir em que A e B satildeo expressotildees em funccedilatildeo de x e y
Se f(xy) = AB entatildeo necessariamente B ne 0
Se f(xy) = onde n eacute par entatildeo necessariamente A ge 0
Se f (xy) = logc A com c gt 0 e c ne 1 entatildeo necessariamente A gt 0
Exemplo 7Encontre o conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo natildeo apresenta nenhuma restriccedilatildeo para os valores de x e yPortanto D(f) = (x y) isin R2 ou D( f ) = R2
Exemplo 8Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o radicando
3x ndash 2y natildeo pode ser negativo3x ndash 2y ge 0 ndash 2y ge ndash 3x
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (ndash1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
2y le 3x y le 3
2 x
NOTA
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
8
Portanto
Para fazer o graacutefico do conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (x y) do exemplo anterior primeiro trace o graacutefico de y = 3
2 x e depois determine qual a regiatildeo correspondente agrave desigualdade y le 3
2 x
O graacutefico de y = 32 x corresponde a uma reta crescente que conteacutem a
origem Note que esta reta divide o plano em duas regiotildees Para identificar qual regiatildeo expressa o domiacutenio de f (xy) atente para a desigualdade estabelecida Neste exemplo como se trata de uma reta e a relaccedilatildeo de ordem eacute dada pelo sinal ldquolerdquo entatildeo isto implica que o domiacutenio eacute expresso pelos infinitos pontos que se encontram na reta e abaixo dela
FIGURA 4 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
Exemplo 9Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = 5x
y ndash xsup2
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o denominador
y ndash xsup2 natildeo pode tornar-se nulo
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
9
Entatildeoy ndash xsup2 ne 0 y ne xsup2
Portanto
Para fazer o graacutefico do conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (xy) = 5xy ndash xsup2
procedemos do mesmo modo que no exemplo anterior A funccedilatildeo que expressa o domiacutenio eacute dada por y ne xsup2 cuja representaccedilatildeo no plano eacute uma paraacutebola com concavidade voltada para cima e que possui seu veacutertice na origem A relaccedilatildeo de diferenccedila poreacutem implica que pertencem ao domiacutenio todos os pontos do plano exceto os que se encontram sobre a paraacutebola expressa pela relaccedilatildeo y = xsup2
FIGURA 5 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
Exemplo 10Determine o conjunto domiacutenio de f(xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o radicando
3xsup2 + ysup2 ndash 18 natildeo pode ser negativo
3xsup2 + ysup2 ndash 18 ge 03xsup2 + ysup2 ge 18
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
10
Dividindo ambos os membros da desigualdade por 18
3x sup2 y sup2 1818 18 18
+ ge
A funccedilatildeo xsup2 ysup26 18 + = 1 representa uma elipse centrada na origem do
plano cartesiano cujo eixo maior definido sobre o eixo das ordenadas eacute igual a 2 848 e cujo eixo menor definido sobre os eixos das abscissas eacute igual a 2
490
Atribuiacutedas as caracteriacutesticas geomeacutetricas da funccedilatildeo que define o domiacutenio traccedilamos o seu graacutefico A relaccedilatildeo de desigualdade estabelecida eacute ldquogerdquo Isto implica que os pontos que pertencem ao domiacutenio se encontram sobre a elipse e fora dela
Ao sentir dificuldade em caracterizar as funccedilotildees quanto agrave sua representaccedilatildeo geomeacutetrica retome os estudos realizados na disciplina de Geometria Analiacutetica
FIGURA 6 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
ATENCAO
xsup2 ysup26 18 + ge 1
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
11
Exemplo 11Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = In (x minus 3y + 1) e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoComo In (x minus 3y + 1) eacute definido somente quando x minus 3y + 1 gt 0 entatildeo x minus 3y + 1 gt 0x minus 3y gt minus 1minus 3y gt minus x minus 1
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
3y lt x + 1y lt x + 1
3
Neste exemplo a funccedilatildeo domiacutenio expressa pela desigualdade y lt x + 1 3
representa no plano uma regiatildeo que se encontra abaixo da reta y = x + 1 3 Observe
que os pontos sobre a reta natildeo pertencem ao conjunto domiacutenio
FIGURA 7 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
12
Exemplo 12Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y A expressatildeo que
representa o radicando 4 ndash xsup2 ndash ysup2 natildeo pode ser negativa4 ndash xsup2 ndash ysup2 ge 0 ndash xsup2 ndash ysup2 ge ndash 4
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
xsup2 + ysup2 le 4
O conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f(xy) = expresso pela desigualdade xsup2 + ysup2 le 4 compreende os infinitos pontos interiores juntamente com os infinitos pontos pertencentes agrave circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano de raio 2
FIGURA 8 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
13
31 GRAacuteFICOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
Se f eacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis com domiacutenio D entatildeo o graacutefico de f eacute o conjunto de todos os pontos (xyz) em R3 tal que z = f (xy) e (xy) isin D
Fazer a representaccedilatildeo graacutefica das funccedilotildees de duas variaacuteveis eacute normalmente complicado e requer habilidade manual Assim vamos recorrer ao uso de programas computacionais matemaacuteticos que fazem os graacuteficos de superfiacutecies O objetivo aqui eacute apenas mostrar os graacuteficos das funccedilotildees de duas variaacuteveis e natildeo a construccedilatildeo manual dos graacuteficos
Os graacuteficos que vocecirc encontraraacute ao longo do Caderno de Estudos foram construiacutedos atraveacutes do Winplot que eacute um software livre disponiacutevel na internet e do Maple 11 um software comercial que possui inuacutemeros recursos matemaacuteticos
Caro(a) acadecircmico(a) Vocecirc pode baixar o software Winplot diretamente da internet ou do material de apoio da disciplina no AVA
Exemplo 13Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = 2 ndash 3x ndash 4y
Resoluccedilatildeo
FIGURA 9 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = 2 ndash 3x ndash 4y
FONTE O autor
DICAS
30
20
10
0
ndash10
ndash20ndash30
ndash 50
5 ndash 4 ndash 2 0 2 4x y
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
14
Exemplo 14Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
Resoluccedilatildeo
FIGURA 10 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
Exemplo 15Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy)
Resoluccedilatildeo
FIGURA 11 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) =
FONTE O autor
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
15
Exemplo 16Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = sen x middot sen y
Resoluccedilatildeo
FIGURA 12 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = sen x middot sen y
FONTE O autor
4 FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Definiccedilatildeo 141 Seja D um subconjunto de Rn Uma funccedilatildeo real f de n variaacuteveis reais definida em D eacute uma relaccedilatildeo entre D e R que associa a cada ponto (x1 x2 xn) isin D um uacutenico valor real z denotado por z = f (x1 x2 xn)
Notaccedilatildeo
As variaacuteveis (x1 x2 xn) satildeo as variaacuteveis independentes e z eacute a variaacutevel dependente O conjunto de todos os valores possiacuteveis de f eacute chamado imagem de f e eacute denotado por lm(f) Assim
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
16
Definiccedilatildeo 142 Seja f uma funccedilatildeo de n variaacuteveis com domiacutenio D O graacutefico de f eacute o conjunto de todos os pontos do espaccedilo Rn+1 dado por
( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 n 1 2 n 1 2 ngraf f x x x y R y f x x x x x xn com D+= isin = isin
No caso em que n = 1 f seraacute uma funccedilatildeo de uma variaacutevel e seu graacutefico seraacute uma curva C com equaccedilatildeo y = f (x1)
Quando n = 2 f seraacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis e seu graacutefico seraacute uma superfiacutecie S com equaccedilatildeo z = f (x1x2)
Quando n = 3 natildeo podemos esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f pois ele estaacute no espaccedilo de dimensatildeo 4
Exemplo 17Esboce o graacutefico da funccedilatildeo f (xy) = 6 ndash 2x + 3y
ResoluccedilatildeoPara esboccedilar o graacutefico de uma funccedilatildeo temos que conhecer o domiacutenio desta
funccedilatildeo O domiacutenio desta funccedilatildeo f eacute D(f) = Rsup2 e o graacutefico da funccedilatildeo f eacute o conjunto
graf (f) = (xyz) isin Rsup3 | z = 6 ndash 2x + 3y
Geometricamente o graacutefico de f representa um plano
Vamos fazer algumas consideraccedilotildees sobre a funccedilatildeo e os eixos como se focircssemos traccedilar o graacutefico manualmente Entatildeo comeccedilamos encontrando os pontos onde o plano intercepta cada um dos trecircs eixos coordenados
Se na equaccedilatildeo z = 6 ndash 2x ndash 3y fizermosx = 0 e y = 0 vem z = 6x = 0 e z = 0 vem y = 2y = 0 e z = 0 vem x = 3
Obtemos assim os pontos A1 = (0 0 6) A2 = (0 2 0) e A3 = (3 0 0) nos quais o plano intercepta os eixos coordenados A porccedilatildeo do graacutefico que estaacute no primeiro octante estaacute esboccedilada na figura a seguir
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
17
FIGURA 13 ndash PLANO COM EIXOS COORDENADOS
FONTE O autor
Exemplo 18Determine o conjunto domiacutenio e o conjunto imagem da funccedilatildeo f (x y z) =
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo natildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x y e zAssim D(f) = R sup3 (todo o espaccedilo)Jaacute para o conjunto imagem teremos apenas os reais natildeo negativosLogo Im (f) = R+
x
y
z
(020)
(300)
(006)
18
Neste toacutepico os principais assuntos estudados foram
bull Definiccedilatildeo de funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
bull Conjunto domiacutenio e conjunto imagem de funccedilatildeo
bull Representaccedilatildeo graacutefica do domiacutenio
bull Representaccedilatildeo graacutefica das superfiacutecies z = f (xy) usando recurso computacional
bull Listamos algumas situaccedilotildees envolvendo o estudo do domiacutenio para funccedilotildees de diversas variaacuteveis que impotildeem restriccedilotildees ao conjunto domiacutenio
bull Consideremos os casos a seguir em que A e B satildeo expressos em funccedilatildeo de x e y
uuml Se f (xy) = entatildeo devemos considerar B ne 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar A ge 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar A ge 0 e B ne 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar B gt 0
uuml Se f (xy) = logc A com c gt 0 e c ne 1 entatildeo devemos considerar A gt 0
RESUMO DO TOacutePICO 1
19
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre funccedilotildees de diversas variaacuteveis
1 Nos problemas a seguir calcule o valor da funccedilatildeo nos pontos especiacuteficos
a) f (xy) = (x ‒ 1)sup2 + 2xysup3 f (2 ‒ 1) f (12)
b) f (xy) = 3x+2y2x+3y
f (12) f ( ‒ 46)
c) g (xy) = y -x2 2 g (45) g (‒ 12)
d) g (uv) = 10u frac12 v ⅔ g (1627) g (4 ‒1331)
e) f (xy) = y xx y+ f (12) f(2 ‒3)
2 Nos problemas a seguir descreva o domiacutenio das funccedilotildees e represente-o graficamente
a) f (xy) = 5x + 2y4x + 3y
b) g (xy) = 36 - x - y2 2
c) f (xy) = radicx + y ‒ 2
d) f (xy) = 3x + 5y
xsup2 + 2ysup2 ‒ 4e) f (xy) = In (x + y ‒ 4)
f) g (xy) = exy
radicx ‒ 2y
AUTOATIVIDADE
20
21
TOacutePICO 2
CURVAS DE NIacuteVEL
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico veremos como representar uma superfiacutecie (figura tridimensional) em um graacutefico bidimensional Talvez vocecirc jaacute tenha visto algum graacutefico nesta situaccedilatildeo na praacutetica satildeo chamados mapas topograacuteficos
Nestes mapas uma paisagem tridimensional como a extensatildeo de uma montanha por exemplo estaacute representada por linhas de contorno bidimensionais ou curvas de elevaccedilatildeo constante conforme pode ser visto na figura a seguir
FIGURA 14 ndash MAPA DE CONTORNO DE UMA MONTANHA
FONTE Disponiacutevel em lthttparqaulaswordpresscomcategorytopografiagt Acesso em 11 jul 2011
O objetivo deste toacutepico eacute mostrar como reconhecer algebricamente e geometricamente as curvas de niacutevel Muitas das curvas que encontraremos correspondem a graacuteficos de funccedilotildees jaacute conhecidas as quais vocecirc estudou na disciplina de Geometria Analiacutetica tais como reta paraacutebola cuacutebica circunferecircncia elipse e hipeacuterbole
S1
S2
S3
S6
A
B
C
DE
F
G
H
I
A B C D E F G H I
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
22
2 CURVAS DE NIacuteVEL
O conjunto de todos os pontos onde uma funccedilatildeo f (xy) tem um valor constante c isin R eacute chamado de curva de niacutevel de f
Definiccedilatildeo 231 Seja c um nuacutemero real O conjunto de pontos no plano onde uma funccedilatildeo f (xy) tem um valor constante f (xy) = c eacute chamado de curva de niacutevel de f
Exemplo 1
Identifique as curvas de niacutevel para g (xy) = 4 ‒ x ‒ y em c = 0 e c = 6 Represente graficamente
Resoluccedilatildeog (xy) = c para c = 0
g (xy) = 4 ‒ x ‒ y0 = 4 ‒ x ‒ y
y = 4 ‒ xy = ‒ x + 4
Esta funccedilatildeo representa uma reta decrescente (coeficiente angular ndash1) que intercepta o eixo y em 4
g (xy) = c para c = 6g (xy) = 4 ‒ x ‒ y
6 = 4 ‒ x ‒ yy = 4 ‒ 6 ‒ xy = ‒ x ‒ 2
Esta funccedilatildeo representa uma reta decrescente (coeficiente angular ndash1) que intercepta o eixo y em ndash2
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
23
FIGURA 15 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE g (xy) = 4 ndash x ndash y
FONTE O autor
Outro exemplo que ilustra as curvas de niacutevel eacute o que muitos autores chamam de mapa de contorno conforme figura a seguir
FIGURA 16 ndash MAPA DE CONTORNO DE g (xy) = 4 ndash x ndash y
FONTE O autor
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
24
Considerando diferentes valores para a constante c igualmente espaccedilados obtemos um conjunto de curvas de niacutevel chamado mapa de contorno representadas no mesmo plano cartesiano
Exemplo 2Identifique as curvas de niacutevel para f (xy) = xsup2 ‒ ysup2 em c = 0 c = ndash3 e c = 4
Represente graficamente
Resoluccedilatildeof (xy) = c para c = 0
xsup2 ndash ysup2 = 0ysup2 = xsup2
y = x ou y = ndashx
Estas duas equaccedilotildees representam duas retas (Figura 17) A reta de equaccedilatildeo y = x representa no plano a bissetriz dos quadrantes iacutempares enquanto que a reta de equaccedilatildeo y = - x representa a bissetriz dos quadrantes pares
f (xy) = c para c = ‒ 3xsup2 ‒ ysup2 = ‒ 3
‒xsup2 ysup2 ‒3‒3 ‒3 ‒3=
xsup2 ysup23 3+ = 1‒
A equaccedilatildeo xsup2 ysup23 3+ = 1‒ representa uma hipeacuterbole equilaacutetera com
a = b = radic3 que tem uma concavidade voltada para cima e a outra para baixo (Figura 17)
f (xy) = c para c = 4xsup2 ‒ ysup2 = 4
‒xsup2 ysup2 4 4 4 4=
‒xsup2 ysup2 4 4 = 1
IMPORTANTE
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
25
Esta equaccedilatildeo representa uma hipeacuterbole equilaacutetera com a = b = 2 centrada na origem do plano cartesiano com uma concavidade voltada para a direita e outra para a esquerda (Figura 17)
FIGURA 18 ndash MAPA DE CONTORNO DE f (xy) = xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
FIGURA 17 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
y
x
c = 0
c = -3
c = 4
c = 0
c = 4
c = -3
420-2-4
-2
-4
0
2
4
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
26
Caro(a) acadecircmico(a) Para desenhar os mapas de contorno sugiro que utilize um software matemaacutetico como por exemplo o Winplot Na internet vocecirc encontra diversos tutoriais sobre o Winplot inclusive onde baixar o programa que eacute freeware Agora tente vocecirc identifique as curvas de niacutevel para g (xy) = 4 ndash 2xsup2 ndash ysup2 em c = 0 e c = ndash 2 e as represente graficamente
Exemplo 3Identifique as curvas de niacutevel para f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 em c = 1 e c = 2
Represente graficamente
Resoluccedilatildeof (xy) = c para c = 1
radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 15 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 1
‒ x sup2 ‒ y sup2 = ‒ 4 (-1)xsup2 + ysup2 = 4
Esta equaccedilatildeo representa uma circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano com raio igual a 2 (Figura 19)
f (xy) = c para c = 2
radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 25 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 4
‒ x sup2 ‒ y sup2 = ‒ 1 ( ‒ 1)x sup2 + y sup2 = 1
Esta equaccedilatildeo representa uma circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano com raio igual a 1 (Figura 19)
DICAS
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
27
FIGURA 19 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2
FONTE O autor
FIGURA 20 ndash MAPA DE CONTORNO DE f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2
FONTE O autor
c = 1
c = 2
-3 -2 -1
1
-1
-2
-3
2 31
2
3
x
y
-2
-1
0
1
22 1 0 ndash 1 ndash 2
x
y
28
RESUMO DO TOacutePICO 2
Neste toacutepico fizemos anaacutelises e representaccedilotildees graacuteficas das curvas de niacutevel de uma funccedilatildeo f
bull Reconhecimento algeacutebrico das curvas de niacutevel
29
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
1 Associe as superfiacutecies de 1 a 4 aos mapas de contorno de A a D
(1)
(A)
(2)
(B)
y ndash 2 ndash 1 ndash 1
ndash 2
ndash 3
x
1 2 3
1
2
3
1
05
0
ndash 05
ndash 1ndash 3ndash 2ndash 1 0 1 2 3 3 2 1 0ndash 1ndash 2ndash 3
ndash 3
ndash2
ndash 1
ndash 1ndash 2ndash 3 1
1
2
2
3
3 y
x
30
(3) (C)
(4) (D)
2 Nas questotildees a seguir identifique algebricamente as curvas de niacutevel para valores de c dados
a) f (xy) = x sup2 + y sup2 ‒ 9 c isin ‒ 4 ‒ 2 ‒ 1 0b) f (xy) = y sup2 ‒ x c isin 0 1 2 3
3 Nas questotildees a seguir represente graficamente as curvas de niacutevel das funccedilotildees Agora vocecirc escolheraacute alguns valores para c Eacute importante que vocecirc faccedila os graacuteficos manualmente e se for possiacutevel utilize o software Winplot para conferir ou como apoio nos estudos
a) f (xy) = x sup2 + 9y sup2b) f (xy) = y ‒ xsup3c) g (xy) = 3 + 2x ‒ y
3 2 1 0 ndash 1 ndash 2 ndash 33
2
1
0
ndash 1
ndash 2
ndash 3
y
ndash 3 ndash 2 ndash 1 0 1 2 3
3
2
1
0
ndash 1
ndash 2
ndash 3
y
x
20
10
0
ndash 10
ndash 20ndash 3
ndash 1ndash 2 0 1 2 3 ndash 2 ndash 1 0 1 2 3
x y
ndash 3 ndash 2 ndash 1 2 3
321ndash 1ndash 2ndash 300
x y
31
TOacutePICO 3
LIMITE E CONTINUIDADE
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 DEFINICcedilOtildeES BAacuteSICAS
O que estudaremos agora jaacute foi estudado no Caacutelculo Diferencial e Integral onde o conceito de limite e continuidade foi empregado para funccedilatildeo de uma variaacutevel
Neste toacutepico estenderemos o conceito de limite agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis um conceito fundamental do caacutelculo do qual decorrem outros como por exemplo a noccedilatildeo de continuidade Para isso enunciaremos algumas definiccedilotildees de Anaacutelise Matemaacutetica Tente entender os conceitos e soacute depois avance para a proacutexima seccedilatildeo
Definiccedilatildeo 321 Sejam P = (x1 x2 xn) e A = (a1 a2an) pontos em Rn A distacircncia entre P e A denotada por P ‒ A eacute dada por
P ‒ A = radic (x1 ‒ a1)sup2 + (x2 ‒ a2)sup2 + + (xn ‒ an)sup2
Exemplo 1Dados os pontos P = (1 ‒ 2 3) e A = (3 1 ‒ 2) em Rsup3 encontre P ‒ A
Resoluccedilatildeo P ‒ A = radic (1 ‒ 3)sup2 + (‒2 ‒1)sup2 + (3 ‒ (‒ 2))sup2 = radic8 uc
Definiccedilatildeo 322 Sejam A = (a1 a2 an) isin Rn e r gt 0 um nuacutemero real A bola aberta de centro em A e raio r que indicaremos por B(A r) eacute definida como sendo o conjunto de todos os pontos P = (x1 x2 xn) tais que P ‒ Alt r ou seja
B(A r) = (x1 x2xn) isin Rn radic (x1 ‒ a1)sup2 + (x2 ‒ a2)sup2 ++ (xn ‒ an)sup2 lt r
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
32
Exemplo 2a) Em R a bola aberta B(a r) eacute o intervalo aberto (a ‒ r a + r)
FIGURA 21 ndash INTERVALO EM R
FONTE O autor
b) Em Rsup2 a bola aberta B((a1 a2) r) representa o conjunto dos pontos internos agrave circunferecircncia de centro em (a1 a2) e raio r
FIGURA 22 ndash r de A
FONTE O autor
Definiccedilatildeo 321 Seja S um subconjunto de Rn Um ponto A eacute um ponto de acumulaccedilatildeo de S se toda bola aberta de centro em A possui uma infinidade de pontos de S mesmo que A natildeo necessariamente pertenccedila a S
Exemplo 3Seja S = (xy) isin Rsup2 | x gt 0 e y gt 2 Mostre que todos os pontos pertencentes
ao conjunto S satildeo pontos de acumulaccedilatildeo
ResoluccedilatildeoTodos os pontos pertencentes a S satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S pois
atendem agrave Definiccedilatildeo 321 Ainda os pontos (0y) com y ge 2 e (x 2) com x gt 0 satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S e natildeo pertencem a S (Figura 23)
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
33
FIGURA 23 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO CONJUNTO S
FONTE O autor
Exemplo 4Seja S = (xy) isin Z2 | ‒ 2 le x le 4 e 1 le y le 5 Mostre que o conjunto S natildeo
possui pontos de acumulaccedilatildeo
ResoluccedilatildeoMostraremos que os pontos de S natildeo satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S pois
natildeo atendem agrave Definiccedilatildeo 321 Para qualquer ponto P(xy) isin R2 a bola aberta de centro P e raio r lt 1 natildeo conteacutem uma infinidade de pontos de S
Portanto o conjunto S natildeo possui pontos de acumulaccedilatildeo (Figura 24)
FIGURA 24 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO CONJUNTO S
FONTE O autor
y
x
1098
654
21
34
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
3 LIMITE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
A seguir definiremos limite de uma funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 331 Sejam f S sub Rn rarr R uma funccedilatildeo e A um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que o limite de f (X) quando X se aproxima de A eacute um nuacutemero real L se dado ε gt 0 existir δ gt 0 tal que |f (X) ndash L| lt ε sempre que X isin S e 0 lt X ndash A lt δ
Neste caso escrevemos
lim f (X) = L x rarr A
O estudo de funccedilotildees de trecircs ou mais variaacuteveis (n ge 3) difere pouco do estudo de funccedilotildees de duas variaacuteveis Desta forma por simplicidade de apresentaccedilatildeo vamos estudar as funccedilotildees de duas variaacuteveis no restante desta unidade Comeccedilaremos reescrevendo a definiccedilatildeo de limite de funccedilotildees de duas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 332 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo e (a b) um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que o limite de f (xy) quando (xy) se aproxima de (ab) eacute um nuacutemero real L se dado ε gt 0 existir δ gt 0 tal que
|f (xy) ndash L| lt ε sempre que (xy) isin S e 0 lt radic(x ‒ a)2 + (y ‒ b)2 lt δ
Neste caso escrevemos
lim f (xy) = L (xy) rarr (ab)
A definiccedilatildeo de limite de funccedilatildeo pode ser reformulada utilizando o conceito de bola aberta que vimos anteriormente De fato escrever lim f (xy) = L equivale
a dizer que dado qualquer ε gt 0 podemos encontrar δ gt 0 tal que para todo (xy) isin B ((ab) δ) tenhamos f (xy) isin (L ndash ε L + ε) A figura a seguir ilustra no caso de uma funccedilatildeo f A sub Rn rarr R a definiccedilatildeo de limite
FIGURA 25 ndash FUNCcedilAtildeO f A sub Rn rarr R
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwicmcuspbr~cmmendesCalculoIICalculo2DiferenciaE7E3opdfgt Acesso em 18 jun 2011
(xy) rarr (ab)
A sub Rn
P₀
f
L ndash ε
L + εL
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
35
Exemplo 5Usando a definiccedilatildeo de limite mostre que lim (4x ndash 3y) = 5 (xy) rarr (21)
ResoluccedilatildeoDevemos mostrar que forall ε gt 0 exist δ gt 0 tal que (4x ‒ 3y) ‒ 5 lt ε sempre que
(xy) ‒ (21)lt δ
Com o objetivo de encontrar o δ desejado trabalharemos com a desigualdade que envolve ε Assim usando propriedades do valor absoluto podemos escrever
(4x ‒ 3y) ‒ 5=4x ‒ 3y ‒ (8 ‒ 3)=4x ‒ 8 ‒ 3y + 3=4x ‒ 8 ‒ (3y ‒ 3)=4 (x ‒ 2) ‒ 3(y ‒ 1)le 4x ‒ 2+ 3 y ‒ 1
Como 0 lt radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ podemos escrever x ‒ 2 le
radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ e y ‒ 1 le radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ temos que 4x ‒ 2 + 3y ‒ 1lt 4 δ + 3 δ
Assim tomando δ = ε7 temos(4x ‒ 3y) ‒ 5le 4x ‒ 2+ 3y ‒ 1lt
4 ε7 + 3 ε
7 = ε sempre que 0 lt radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ
Portanto lim (4x ‒ 3y) = 5 (xy) rarr (21)
Teorema 331 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis S1 e S2 subconjuntos de S e (ab) um ponto de acumulaccedilatildeo de S1 e S2 Se f (xy) tem limites diferentes quando (xy) tende (ab) atraveacutes dos pontos de S1 e S2 entatildeo lim f (xy) natildeo existe (xy) rarr (ab)
Lembre-se de que o fato de o ponto (ab) ser um ponto de acumulaccedilatildeo de S1 e
S2 natildeo significa que (ab) isin S
1 cap S
2
Exemplo 6Usando a definiccedilatildeo de limite mostre que lim 5xy
x2 + y2 natildeo existe
ATENCAO
(xy) rarr (21)
36
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Resoluccedilatildeo
Observemos que o conjunto domiacutenio de f eacute R2 ‒ (00) Para mostrar que o limite natildeo existe usaremos o Teorema 331
Consideremos o conjunto de retas que passam pela origem y = kxk isin R (xy) isin R2
Calculando f (xy) com y = kx temos
f (xkx) = 5xkx
x2 + (kx)2
= 5kx2
x2 (1+ k2)
= 5k
1+ k2
Entatildeo lim f (x kx) = lim 5k
1+ k2 (xy) rarr (00) (xy) rarr (00)
Assim o limite de f depende do percurso do ponto (xy) quando ele tende agrave origem Por exemplo considere k = 0 e k = 1 (dois caminhos diferentes)
lim f (xx) = lim 5 11+1
= 522
e lim f (xa) = 5 01 0
02+=
(xy) rarr (00) (xy) rarr (00)
Note que f assume um valor constante sobre cada reta que passa pela
origem De fato para cada coeficiente angular k isin R f (xkx) = 5k
1+k2 qualquer que
seja x isin R corroborando assim o caacutelculo do limite desenvolvido anteriormente
Portanto concluiacutemos atraveacutes do Teorema 331 que lim 5xy
x2 + y2 natildeo
existe (xy) rarr (00)
O teorema a seguir eacute muito parecido com o que jaacute foi visto em caacutelculo nas propriedades de limites de funccedilotildees de uma variaacutevel
Teorema 332 Se lim f (xy) = L e lim g (xy) = M e c isin R entatildeo (xy) rarr (ab) (xy) rarr (ab)
(xy) rarr (00)
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
37
Vamos utilizar este teorema nos exemplos a seguir
Exemplo 7
Calcule
Resoluccedilatildeo
Exemplo 8
Calcule
Resoluccedilatildeo
Temos lim (x3 ‒ x2y) = 0 e lim (x2 ‒ y2) = 0 (xy) rarr (22) (xy) rarr (22)
Neste caso temos uma indeterminaccedilatildeo do tipo 00
Para resolver o limite
fatoram-se o numerador e denominador fazendo as simplificaccedilotildees possiacuteveis como faziacuteamos com limites indeterminados no caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral
Entatildeo
38
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
4 CONTINUIDADE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Vocecirc se recorda da definiccedilatildeo de continuidade estudada na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral Agora estudaremos esta definiccedilatildeo aplicada agraves funccedilotildees de diversas variaacuteveis Acompanhe a seguir
Definiccedilatildeo 341 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo e (ab) isin S um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que f eacute contiacutenua no ponto (ab) se as seguintes condiccedilotildees forem satisfeitas
(i) f estaacute definida no ponto (ab)(ii) lim f(xy) existe
(xy) rarr (ab)
(iii) lim f(xy) = f(ab) (xy) rarr (ab)
Quando uma ou mais destas condiccedilotildees natildeo eacute satisfeita dizemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no ponto (ab)
Dizemos que f eacute contiacutenua se f for contiacutenua em todos os pontos do domiacutenio de f
Exemplo 9
Considere a funccedilatildeo de duas variaacuteveis f(xy) = 3x + y2
a) Mostre que f eacute contiacutenua no ponto (2 3)
b) Mostre que f eacute contiacutenua
+
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
39
Resoluccedilatildeo
a) Precisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(i) f (23) = 32 + 32 = 15(ii) lim f(xy) = lim (3x + y2) = 32 + 32 = 15 (xy) rarr (23) (xy) rarr (23)
(iii) lim (3x + y2) = f (23) (xy) rarr (23)
Logo f eacute contiacutenua no ponto (2 3)
b) Seja (ab) isin D (f) = R2
lim f(xy) = lim (3x + y2) = 3a + b2 = f (ab) (xy) rarr (ab) (xy) rarr (ab)
Como (ab) eacute um ponto qualquer segue que f (xy) eacute contiacutenua
Exemplo 10
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = In (xy + 3x) eacute contiacutenua no ponto (32)
Resoluccedilatildeo
Verificaremos se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
Logo f eacute contiacutenua no ponto (3 2)
40
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 11
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = eacute contiacutenua no ponto (33)
Resoluccedilatildeo
Precisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(i) f (33) = 5 pois x = y
(ii) = infin portanto o limite natildeo existe
(iii) Como lim f(xy) ne f(33) concluiacutemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no ponto (33) (xy) rarr (33)
Teorema 341 Se g(x) for contiacutenua em a e h(y) for contiacutenua em b entatildeo f(xy) = g(x) middot h(y) eacute contiacutenua em (ab)
Teorema 342 Se h(x y) for contiacutenua em (ab) e g(u) for contiacutenua em u = h (ab) entatildeo a composiccedilatildeo f(xy) = g(h(xy)) eacute contiacutenua em (ab)
Exemplo 12Use o Teorema 341 para mostrar que a funccedilatildeo f(xy) = 7x3y5 eacute contiacutenua
Resoluccedilatildeo
Os polinocircmios g(x) = 7x3 e h(y) = y5 satildeo contiacutenuos em cada ponto da reta real
Logo pelo Teorema 341 a funccedilatildeo f(xy) = 7x3 y5 eacute contiacutenua em cada ponto (xy) do plano xy ou seja f(xy) eacute contiacutenua
Exemplo 13Use o Teorema 342 para mostrar que a funccedilatildeo f(xy) = cos (7x3 y5) eacute contiacutenua
ResoluccedilatildeoComo h(xy) = 7x3 y5 eacute contiacutenua em cada ponto do plano xy e g(u) = cos u eacute
contiacutenua em cada ponto u da reta real segue do Teorema 342 que a composiccedilatildeo f(xy) = cos (7x3 y5) eacute contiacutenua em todo R2
41
RESUMO DO TOacutePICO 3
Caro(a) acadecircmico(a) Neste toacutepico os principais assuntos estudados foram
bull O conceito de limite de funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
bull Definiccedilatildeo de funccedilatildeo contiacutenua e suas propriedades Eacute importante saber analisar se uma funccedilatildeo eacute contiacutenua ou natildeo
bull Destacamos a Definiccedilatildeo 341 que trata da continuidade Lembre que se f S sub R2 rarr R eacute uma funccedilatildeo e (ab) isin S eacute um ponto de acumulaccedilatildeo de S dizemos
que f eacute contiacutenua no ponto (ab) se as seguintes condiccedilotildees forem satisfeitas
(i) f estaacute definida no ponto (ab)
(ii) lim f(xy) existe
(xy) rarr (ab)
(iii) lim f(xy) = f(ab)
(xy) rarr (ab)
Lembre-se de que se uma destas condiccedilotildees natildeo for satisfeita a funccedilatildeo eacute descontiacutenua em (ab)
42
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre limite e continuidade de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
1 Use a definiccedilatildeo de limite para mostrar que lim (2x + 6y) = 12 (xy) rarr (31)
2 Nos exerciacutecios a seguir calcule os limites
a) lim (x2y3 ‒ 2xy + 4) (xy) rarr (2 ‒1)
b) lim (xy) rarr (2 ‒1)
c) lim (xy) rarr (00)
d) lim x2 ‒ xy
radic radicx + y (xy) rarr (00)
x + 4y2x2 + 3xy
x3 + 2x2 + xy2 + 2y2
x2 + y2
3 Mostre que lim x2y
x4 + y2 natildeo existe (xy) rarr (00)
4 Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f (xy) = 3x2 + y2 +5
5 Verifique se a funccedilatildeo f(xy) = 4x2 ‒ 3x + yx2 + y2 ‒ 1
eacute contiacutenua no ponto (13)
6 Verifique se a funccedilatildeo f(xy) = xy5x2 + y2
0 (xy) = (00)
(xy) ne (00) eacute contiacutenua
43
TOacutePICO 4
DERIVADAS PARCIAIS
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
Vocecirc se recorda das regras de derivaccedilatildeo estudadas na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral
Aqui veremos como elas se aplicam agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis independentes que permitem uma visualizaccedilatildeo graacutefica possibilitando um entendimento de maneira simples do conceito de derivadas parciais Os resultados aqui obtidos podem ser generalizados para os casos de funccedilotildees com um nuacutemero maior de variaacuteveis
As regras de derivaccedilatildeo que vocecirc aprendeu na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral seratildeo utilizadas neste momento novamente
2 RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVACcedilAtildeO
Se u eacute uma funccedilatildeo real e c α isin R entatildeo
(c)prime = 0 (eu)prime = eu sdot u prime(c sdot u)prime = c sdot uprime (sen u)prime = cos u sdot u prime(u α)prime = α sdot u αminus1 sdot uprime (cos u)prime = minussen u sdot u prime
Exemplo 1Se f(x) = 5x3 minus 4x + 3ex minus 5 entatildeo f prime(x) = 15x2 minus 4 + 3ex
Lembre-se que se y = f (x) entatildeo a taxa de variaccedilatildeo de y em relaccedilatildeo a x eacute dada pela derivada de f em relaccedilatildeo a x que eacute definida por
f(x + Δx) minus f(x)Δx
f prime(x) = limΔx rarr 0
44
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
3 DERIVADAS PARCIAIS
Nesta seccedilatildeo estudaremos sobre as derivadas parciais Acompanhe
31 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS
A definiccedilatildeo de derivada parcial de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis eacute parecida com a enunciada para funccedilotildees de uma variaacutevel sendo utilizadas as mesmas regras de derivaccedilatildeo A diferenccedila aqui eacute que como se tem duas variaacuteveis uma delas deve ser mantida fixa enquanto se daacute acreacutescimos para a outra conforme veremos nas definiccedilotildees a seguir
Definiccedilatildeo 4311 Seja f A sube R2 rarr R uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis As derivadas parciais de f em relaccedilatildeo a x e a y satildeo funccedilotildees partf
partx e partf
party definidas por
partfpartx
= limh rarr 0
f (x + hy) ‒ f (xy)h
partfparty
= limh rarr 0
f (xy + h) ‒ f (xy)h
desde que os limites existam
O siacutembolo ldquopartrdquo chama-se ldquoD-rondrdquo (pronuncia-se derron) que significa D-redondo em francecircs Esta notaccedilatildeo eacute apenas um outro tipo de simbologia para a derivada que quando trabalhamos com funccedilotildees de uma variaacutevel era representada por ldquodrdquo Eacute conveniente ter essa maneira distinta de estender a notaccedilatildeo diferencial de Leibniz para um contexto de diversas variaacuteveis pois aqui natildeo tem sentido falarmos simplesmente em derivada apenas em derivadas parciais
Existem outras notaccedilotildees para representar as derivadas parciais Se z = f (xy)
denotamos
partfpartx
= fx (xy) = = Dx fpartzpartx
partfparty
= fy (xy) = = Dy fpartzparty
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
45
Preste muita atenccedilatildeo na simbologia de derivada Quando estamos derivando
uma funccedilatildeo de uma variaacutevel por exemplo y = f (x) entatildeo a derivada eacute identificada por dydx
Mas quando estamos derivando uma funccedilatildeo de duas ou mais variaacuteveis por exemplo z = f
(xy) entatildeo as derivadas satildeo identificadas por part zpart x
e part zpart y
Exemplo 2
Aplicar a definiccedilatildeo para achar partfpartx
e partfparty
para f (xy) = 3x2 ‒ 2xy
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= limh rarr 0
f (x + hy) ‒ f (xy)h
= limh rarr 0
3 (x + h)2 ‒ 2 (x + h)y ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
3x2 + 6xh + 3h2 ‒ 2xy ‒ 2hy ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
6xh + 3h2 ‒ 2hyh
= limh rarr 0
h (6x + 3h ‒ 2y)h
= lim 6x + 3h ‒ 2yh rarr 0
= 6x ‒ 2y
partfparty
= limh rarr 0
f (xy + h)‒ f (xy)h
ATENCAO
46
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
= limh rarr 0
3x2 ‒ 2x (y + h) ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
3x2 ‒ 2xy ‒ 2xh ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
‒ 2xhh
= lim (‒ 2x)h rarr 0
= ‒ 2x
Logo obtemos partfpartx
= 6x ‒ 2y e partfparty
= ‒ 2x
Exemplo 3Encontre as derivadas parciais de f (xy) = 5x3 ‒ 4xy + 3exysup3 ‒ 5
ResoluccedilatildeoPara encontrar a derivada parcial de f em relaccedilatildeo a x devemos olhar para
a variaacutevel y da funccedilatildeo f como uma constante e derivamos apenas a variaacutevel x ou seja aplicaremos as regras de derivaccedilatildeo somente na variaacutevel x
partfpartx
= 5 ∙ 3x2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ y + 3exysup3 ∙ 1 ∙ y3 ‒ 0
= 15x2 ‒ 4y + 3y3 exysup3
De forma anaacuteloga para derivar parcialmente f em relaccedilatildeo a y devemos olhar para a variaacutevel x da funccedilatildeo f como uma constante e derivamos apenas a variaacutevel y ou seja aplicaremos as regras de derivaccedilatildeo somente na variaacutevel y
partfparty
= 0 ‒ 4x ∙ 1 + 3exysup3 ∙ x ∙ 3y2 ‒ 0
= ‒ 4x + 9xy2 exysup3
Exemplo 4Encontre as derivadas parciais de f (xy) = 3x2 ‒ xy + y
ResoluccedilatildeoDerivando f em relaccedilatildeo a x (lembre-se de considerar y como constante)
partfpartx
= 6x ‒ y
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
47
E derivando f em relaccedilatildeo a y (agora considere x como constante)
partfparty
= ‒ x + 1
Exemplo 5Encontre as derivadas parciais de f (xy) = ex ‒ y ‒ ey ‒ x
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= ex ‒ y ∙ 1 ‒ ey ‒ x ∙ (‒ 1)
= ex ‒ y + ey ‒ x
partfparty
= ex ‒ y ∙ (‒ 1) ‒ ey ‒ x ∙ 1
= ex ‒ y ‒ ey ‒ x
Exemplo 6Calcule as derivadas parciais de f (xy) = (x + y) sen (x ‒ y)
ResoluccedilatildeoObserve que a funccedilatildeo f eacute um produto de outras duas funccedilotildees u e v Assim
lembramos que (u sdot v)prime = u prime sdot v + u sdot v prime
partfpartx
= 1sen(x ‒ y) + (x + y) ∙ 1 ∙ cos (x ‒ y)
= sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ cos (x ‒ y)
partfparty
= 1∙ sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ (‒1) ∙ cos (x ‒ y)
= sen (x ‒ y) ‒ (x + y) ∙ cos (x ‒ y)
Exemplo 7Calcule as derivadas parciais de f (xy) = exy + In (x2 + y)
Resoluccedilatildeopartpart
= ++
fxy e x
x yxy
22
Utilizamos a regra
lnu uu
fyx e
x yxy
( )prime = prime
partpart
= ++1
2
48
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Ateacute aqui estivemos preocupados com o caacutelculo da derivada parcial de uma funccedilatildeo em relaccedilatildeo a uma de suas variaacuteveis Isso quer dizer que calculamos a derivada ao longo de uma curva sem ponto fixado Passemos a ver como se calcula a derivada fixando um ponto da superfiacutecie
Se (x0 y0) for um ponto do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (xy) o plano vertical y = y0 cortaraacute a superfiacutecie z = f (xy) na curva z = f (x y0) (Figura 26)
Definiccedilatildeo 4312 A derivada parcial da funccedilatildeo f em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x eacute representada por partf
partx e eacute definida num ponto P (x0 y0) do domiacutenio por
(x0 y0) = limΔ x rarr 0
partfpartx
f (x0 + Δ x y0) ‒ f (x0 y0)Δ x
se este limite existir
FIGURA 26 ndash FUNCcedilAtildeO f (xy)
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
Se (x0 y0) for um ponto do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (xy) o plano vertical x = x0 cortaraacute a superfiacutecie z = f (xy) na curva z = f (xy0) (Figura 27)
Definiccedilatildeo 4313 A derivada parcial da funccedilatildeo f em relaccedilatildeo agrave variaacutevel y eacute representada por partf
party e eacute definida num ponto P (x0 y0) do domiacutenio por
(x0 y0) = limΔ x rarr 0
partfparty
f (x0 y0 + Δ y ) ‒ f (x0 y0)Δ y
se este limite existir
Eixo horizontal no plano y = y₀
Eixo vertical no plano y = y₀
Reta tangente
A curva z = f (xy0)no plano y = y₀
z
z = f (xy)
y
y₀
(x₀ y₀)(x₀ + h y₀)
x
x₀0
P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
49
FIGURA 27 ndash FUNCcedilAtildeO f (xy)
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
Exemplo 8Sendo f (xy) = 2x2y ndash 4y3 calcule partf
partx partfparty
partfpartx
(31) partfparty
(31)
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= 2 sdot 2x sdot y ndash 0 partfpartx
(31) = 4 sdot 3 sdot 1 = 12
partfpartx
= 4xy
partfparty = 2x 2 sdot 1 ndash 4 sdot 3y 2
partfparty (31) = 2 sdot 32 ndash 12 sdot 12
partf party
= 2x 2 ndash 12y 2 partfparty
(31) = 2 sdot 9 ndash 12 sdot 1 = 18 ndash 12 = 6
Exemplo 9
Sendo f (xy) = 5xy2x + 3y
0 se (xy) = (00)
se (xy) ne (00) calcule partf
partx e partf
party
Eixo vertical no plano x = x₀
Reta tangente
A curva z = f (x y0)no plano x = x₀
Eixo horizontal no plano x = x₀
x₀
x(x₀ y₀)
(x₀ y₀ + k)
z = f (xy)
z
y
y₀
P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))
50
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
ResoluccedilatildeoNos pontos (xy) ne (00) podemos aplicar as regras de derivaccedilatildeo Assim
temos
partfpartx
5y middot (2x + 3y) ‒ 5xy middot 2(2x + 3y)2
=
10xy + 15y 2 ‒ 10xy(2x + 3y)2
=
15y 2
(2x + 3y)2=
partfparty
5x middot (2x + 3y) ‒ 5xy middot 3(2x + 3y)2
=
10x2
(2x + 3y)2=
Para calcularmos as derivadas de f na origem usamos a definiccedilatildeo de derivada parcial
(00) = limh rarr 0
partfpartx
f (0 + h 0 ) ‒ f (00)h
= limh rarr 0
5h middot 0 2h
h
‒ 0( (( (
(00) = limh rarr 0
partfparty
f (00 + h) ‒ f (00)h( (
= limh rarr 0
5 middot 0 middot h 3h
h
‒ 0( (= 0
= 0
Assim obtemos as derivadas parciais da funccedilatildeo f com relaccedilatildeo a x e com relaccedilatildeo a y em todos os pontos (xy) do domiacutenio
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
51
32 INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
A interpretaccedilatildeo das derivadas parciais eacute anaacuteloga agrave interpretaccedilatildeo da derivada simples Sabemos que para a funccedilatildeo y = f (x) a derivada f prime (x0) pode ser interpretada ou como a taxa de variaccedilatildeo de y em relaccedilatildeo a x no ponto x0 ou como a inclinaccedilatildeo da reta tangente ao graacutefico de f no ponto x0
Para interpretar as derivadas parciais consideramos a funccedilatildeo z = f (xy) e
as suas derivadas parciais no ponto (x0 y0) Vamos interpretar partfpartx
(x0 y0) suponha
que C1 eacute a interseccedilatildeo da superfiacutecie z = f (xy) com o plano y = y0 (o que equivale a
considerar y como constante) Geometricamente partfpartx
(x0 y0) pode ser interpretada
como a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva C1 no ponto (x0 y0) que se denota por partfpartx
(x0 y0) = tg α
Da mesma forma supondo C2 a interseccedilatildeo da superfiacutecie z = f (xy) com
o plano x = x0 (o que equivale a considerar x como constante) interpretamos partfparty
(x0 y0)geometricamente como a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva C2 no ponto
(x0 y0) que se denota por partfparty
(x0 y0) = tg b Veja na Figura 28 a situaccedilatildeo descrita
anteriormente
A derivada parcial partfpartx
(x0 y0) tambeacutem pode ser interpretada como a taxa de variaccedilatildeo de z em relaccedilatildeo a x ao longo da curva C1 E a derivada parcial partf
party (x0 y0)
tambeacutem pode ser interpretada como a taxa de variaccedilatildeo de z em relaccedilatildeo a y ao longo da curva C2 Assim estes valores representam a velocidade com que z cresce (ou decresce) quando apenas uma variaacutevel estaacute sendo alterada
FIGURA 28 ndash INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
y
x
z
x₀
c₂ c₁
y₀
b
α
52
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 10A funccedilatildeo T (xy) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto
de uma chapa Encontre a razatildeo de variaccedilatildeo da temperatura em relaccedilatildeo agrave distacircncia percorrida ao longo da chapa na direccedilatildeo dos eixos positivos x e y no ponto (1 2) Considere a temperatura medida em graus Celsius e a distacircncia em cm
Resoluccedilatildeo
partTpartx = 0 ‒ 2 sdot 2x = ‒ 4x
partTpartx (1 2) = ‒ 4 sdot 1 = ‒ 4degC cm
Assim podemos interpretar o valor ‒ 4degC cm obtido na derivada em x da seguinte forma a temperatura estaacute diminuindo 4degC agrave medida que x aumenta uma unidade
partTparty = 0 ‒ 2 middot 3y = ‒ 6y
partTparty (1 2) = ‒ 6 middot 2 = ‒ 12degC cm
Assim o valor ‒ 12degC cm significa que a temperatura diminui 12degC agrave medida que y aumenta uma unidade
Exemplo 11Suponha que D = radicx 2 + y 2 eacute o comprimento da diagonal de um retacircngulo
cujos lados tecircm comprimentos x e y que satildeo permitidos variar Determine uma foacutermula para a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x se x varia com y considerado constante e utilize esta foacutermula para determinar a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x no ponto x = 3 e y = 4
ResoluccedilatildeoA foacutermula para a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x eacute
D = radicx 2 + y 2 D = (x 2 + y 2)frac12
partDpartx
= 12
(x 2 + y 2)-frac12 (2x)
partDpartx
= radic
xx 2 + y 2
A taxa de variaccedilatildeo instantacircnea de D em relaccedilatildeo a x no ponto (3 4) eacute
partDpartx
(3 4) = radic
332 + 42
= 35
Assim D aumenta a uma taxa de 35
de unidade para cada unidade de aumento de x no ponto (3 4)
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
53
4 GENERALIZACcedilAtildeO
Na seccedilatildeo anterior estudamos as derivadas parciais de funccedilotildees de duas variaacuteveis Agora vamos generalizar este conceito para as derivadas parciais de funccedilotildees de n variaacuteveis reais
Definiccedilatildeo 441 Seja f A sube Rn rarr R uma funccedilatildeo de n variaacuteveis e seja x = (x1 x2 xn) isin A Definimos a derivada parcial de f no ponto x em relaccedilatildeo a xi por
partpart
+ minusrarr
fxi h
i n (x) = f (x x h x f (x
lim )
01 1 xx
hn ) quando esse limite existir
Definiccedilatildeo 442 Seja f A sub Rn rarr R uma funccedilatildeo de n variaacuteveis e seja B sube A o
conjunto formado por todos os pontos x tais que partfpartxi
(x) existe Definimos a funccedilatildeo
derivada parcial de 1ordf ordem de f em relaccedilatildeo a xi como a funccedilatildeo que a cada x isin B associa
o nuacutemero partfpartxi
(x) dado por partfpartxi
(x) = limf (x1 xi + h xn) ‒ f (x1 xi xn)
h( (h rarr 0
Exemplo 12Calcule as derivadas de primeira ordem da funccedilatildeo f (x y z) = 1 + xy 2 ‒ 2z3
ResoluccedilatildeoAo derivar f em relaccedilatildeo a x lembre-se de considerar y e z como constantes
partfpartx
= y 2
Derivando f em relaccedilatildeo a y (agora considere x e z como constantes)
partfparty
= 2xy
E derivando f em relaccedilatildeo a z (considere x e y como constantes)
partfpartz
= ‒ 6z2
Exemplo 13Calcule as derivadas de primeira ordem da funccedilatildeo f (x y z) = yz In (xy)
ResoluccedilatildeoObserve primeiramente que a funccedilatildeo eacute dada por um uacutenico termo e teremos
que usar as regras do produto e do logaritmo natural
54
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Derivando f em relaccedilatildeo a x (considere y e z como constantes) Como a variaacutevel x aparece apenas no logaritmando usaremos a regra do logaritmo natural
partfpartx
= yz ∙ yxy
= yzx
Derivando f em relaccedilatildeo a y (considere x e z como constantes)
Como a variaacutevel y aparece no fator que multiplica o logaritmo e tambeacutem no logaritmando entatildeo aplicaremos a regra do produto junto agrave regra do logaritmo natural
partfparty
= z In (xy) + yz middot xxy
= z In (xy) + z
E derivando f em relaccedilatildeo a z (considere x e y como constantes) a variaacutevel z aparece apenas no fator que multiplica o logaritmo entatildeo aplicaremos a regra da derivada simples em z
partfpartz
= y In (xy)
5 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
As derivadas parciais partfpartx
e partfparty
satildeo funccedilotildees de x e y e assim elas mesmas
podem ter derivadas parciais Com isso teremos outras quatro derivadas parciais estas de segunda ordem de f as quais satildeo definidas por
Exemplo 14Sendo f (xy) = y2 ex + 5y calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
55
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= y2 ex partf
party= 2y ex + 5
Para fazermos as derivadas parciais de segunda ordem vamos derivar parcialmente cada uma das derivadas de primeira ordem em relaccedilatildeo a x e a y Fique atento(a) agrave notaccedilatildeo
Exemplo 15Sendo f (xy) = x2 cos y + y2 sen x encontre as derivadas parciais de segunda
ordem de f
Resoluccedilatildeo
56
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 16Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de f (xy) = x + 3y
ResoluccedilatildeoPrimeiro devemos escrever a funccedilatildeo na forma de potecircnciaf (xy) = (x + 3y)frac12
Observe que devemos aplicar a regra da potecircncia para a derivaccedilatildeo (u α)prime = α uαminus1 uprime
radic
Exemplo 17Dada a funccedilatildeo f (xy) = x3y + 4x2y3 calcule
a) part2fpartypartx
b) part2fpartx2
c) part3fpartxpartypartx
d) part3fpartypartx2
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
57
Resoluccedilatildeo
partpart part
=partpart
partpart
partpart part
=partpart
+( )partpart part
= +
2
22 3
22
3 8
3 24
fy x y
fx
fy x y
x y xy
fy x
x xyy2
partpart
= +
part
part= +
fx
x y xy
fx
xy y
3 8
6 8
2 3
2
23
partpart
= +
partpart part
= +
partpart part part
= +
fx
x y xy
fy x
x xy
fx y x
x y
3 8
3 24
6 24
2 3
22 2
32
partpart
= +
part
part= +
part
part part= +
fx
x y xy
fx
xy y
fy x
x y
3 8
6 8
6 24
2 3
2
23
3
22
Talvez vocecirc tenha percebido nos exemplos que as derivadas mistas de segunda ordem part2f
partxparty e part2f
partypartx satildeo iguais Seraacute que isto ocorre sempre
Respondendo agrave pergunta A igualdade entre as derivadas parciais mistas
ocorre quando a funccedilatildeo f (xy) e suas derivadas parciais part2fpartx2
part2fpartxparty
part2fpartypartx
e part2fparty2
forem todas contiacutenuas fato este que nem sempre ocorre
Caro(a) acadecircmico(a) mostre que partpart part
( ) = partpart part
( ) =2 2
0 0 0 0 0 1f
x yf
y x e considerando a
funccedilatildeo f x yxyx y
x y
x y
( ) = +
( ) ne ( )
( ) =
3
2 20 0
0 0 0
se
se (( )
UNI
UNI
a) b)
c) d)
58
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Este fato se repete para funccedilatildeo de trecircs variaacuteveis isto eacute teremos a igualdade
das seis derivadas parciais mistas part2fpartxparty
part2fpartypartx
= part2fpartxpartz
part2fpartzpartx
= e part2fpartypartz
part2fpartzparty
= se f
(x y z) e todas as suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contiacutenuas
Verifique se de fato as derivadas mistas satildeo iguais para a funccedilatildeo f (x y z) = x y2z3 + 3 yz
Teorema 451 (Teorema de Schwarz) Suponhamos que f seja uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis x e y definida em bola aberta B com derivadas parciais de segunda
ordem contiacutenuas em B Entatildeo part2fpartxparty
part2fpartypartx
(a b) = (a b) para todo (a b) isin B
Como consequecircncia do teorema se a funccedilatildeo z = f (xy) tem todas as derivadas parciais contiacutenuas em uma bola aberta entatildeo a ordem da derivada natildeo importa Por exemplo
A seguir apresentaremos a biografia de dois grandes matemaacuteticos Johann Bernoulli e Leonhard Euler que entre outros tambeacutem contribuiacuteram bastante para o desenvolvimento do caacutelculo diferencial e integral
UNI
UNI
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
59
LEITURA COMPLEMENTAR
JOHANN BERNOULLI (1667-1748)
Johann Bernoulli irmatildeo de Jacques Bernoulli nasceu no dia 27 de julho na Basileia Seus pais Nicolaus e Margaretha Bernoulli queriam que ele fosse comerciante ou meacutedico Johann pode ter sido influenciado quando crianccedila pelo seu irmatildeo Jacques que jaacute estava na carreira matemaacutetica
Em 1682 com 15 anos de idade trabalhou no comeacutercio durante um ano poreacutem natildeo gostou da atividade Em 1683 ingressou na Universidade da Basileia para estudar Medicina apesar de ter sempre gostado de Matemaacutetica Quatro anos depois seu irmatildeo foi nomeado professor de Matemaacutetica na Universidade e de 1687 a 1690 Johann e Jacques Bernoulli estudaram juntos as teorias de Leibniz sobre o Caacutelculo Na eacutepoca essas teorias natildeo tinham sido compreendidas por nenhum outro matemaacutetico e os irmatildeos Bernoulli foram os primeiros a estudaacute-las Os dois irmatildeos e Leibniz iniciaram uma seacuterie de artigos publicados na Acta Eruditorum dando origem agrave difusatildeo do Caacutelculo Leibniziano tornando-o amplamente conhecido
Em 1691 Johann foi agrave Franccedila onde conheceu o marquecircs de LrsquoHospital O marquecircs interessou-se pelo novo Caacutelculo e ofereceu um bom salaacuterio para que Johann lhe ensinasse O acordo permitia ao marquecircs usar todo o conteuacutedo ensinado como o desejasse A consequecircncia disso foi a importante contribuiccedilatildeo de Johann Bernoulli conhecida como Regra de LrsquoHospital publicada pelo marquecircs em seu primeiro livro sobre Caacutelculo em 1696 No prefaacutecio do livro LrsquoHospital fez menccedilatildeo a Johann Bernoulli mas natildeo lhe atribuiu o famoso teorema Soacute depois da morte do marquecircs Johann contestou a autoria poreacutem havia perdido a credibilidade no assunto devido agraves desavenccedilas puacuteblicas principalmente com seu irmatildeo Jacques Bernoulli Esse reconhecimento soacute aconteceu em 1922 quando encontraram uma coacutepia do curso na Basileia
60
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
A determinaccedilatildeo da equaccedilatildeo da catenaacuteria foi o primeiro problema importante resolvido por Johann Bernoulli em 1691 Esse problema existia haacute mais de 50 anos e Galileo em 1636 sugerira uma soluccedilatildeo Em 1646 Huygens provou que a soluccedilatildeo de Galileo era falsa mas tambeacutem natildeo conseguiu resolver o problema A catenaacuteria eacute a forma assumida por uma corda ou corrente suspensa livremente por dois pontos O problema era determinar sua equaccedilatildeo Utilizando o Caacutelculo Leibniziano Johann Bernoulli resolveu o problema e esse foi o primeiro sucesso puacuteblico do novo Caacutelculo
Em 1694 ele estudou as curvas exponenciais y = ax e y = xx Para Bernoulli a integraccedilatildeo era a operaccedilatildeo inversa da diferenciaccedilatildeo Tal concepccedilatildeo permaneceu ateacute a eacutepoca de Cauchy
Johann teve trecircs filhos Nicolaus (1695-1726) Daniel (1700-1782) e Johann (1710-1790) Todos eles foram matemaacuteticos e Daniel produziu um trabalho sobre Hidrodinacircmica conhecido como Princiacutepio de Bernoulli
Johann nunca chegou a publicar seu livro sobre o Caacutelculo poreacutem escreveu sobre a isoacutecrona soacutelidos de resistecircncia miacutenima trajetoacuterias problemas isoperimeacutetricos conseguindo tal reconhecimento pelo seu trabalho que apoacutes a morte de seu irmatildeo em 1705 foi chamado para ocupar a cadeira dele na Universidade de Basileia
Johann Bernoulli morreu no dia 1ordm de janeiro de 1748 na Basileia
FONTE E-CAacuteLCULO Mapa da histoacuteria Leibniz Disponiacutevel em lthttpecalculoifuspbrhistoriabernoulli1htmgt Acesso em 10 jun 2008
EULER LEONHARD (1707-1783)
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
61
Nascido na Basileia Suiacuteccedila Leonhard Euler foi a figura matemaacutetica dominante do seu seacuteculo e o matemaacutetico mais proliacutefico de que se tem notiacutecia Era tambeacutem astrocircnomo fiacutesico engenheiro e quiacutemico Foi o primeiro cientista a dar importacircncia ao conceito de funccedilatildeo estabelecendo desse modo uma base soacutelida para o desenvolvimento do caacutelculo e de outras aacutereas da matemaacutetica A coleccedilatildeo completa dos livros e trabalhos de Euler (mais de 870 artigos e livros) chega a mais de 80 volumes Ele contribuiu enormemente no campo da geometria analiacutetica da trigonometria do caacutelculo e da teoria dos nuacutemeros
Ainda jovem Euler demonstrou um futuro promissor como matemaacutetico apesar de seu pai preferir que estudasse teologia Felizmente Johann Bernoulli convenceu o pai a permitir que Euler se concentrasse no estudo da matemaacutetica Graduou-se pela Universidade da Basileia defendendo uma tese em que comparava o trabalho de Descartes ao de Newton Euler conseguiu uma posiccedilatildeo em Satildeo Petersburgo e durante alguns anos foi meacutedico na Marinha russa Em 1733 tornou-se professor de Matemaacutetica na Academia de Ciecircncias de Satildeo Petersburgo Em 1736 publicou a obra Mechanica em dois volumes na qual aplicou sistematicamente o caacutelculo agrave matemaacutetica de uma massa e incorporou muitas equaccedilotildees diferenciais novas agrave mecacircnica Em 1738 ele perdeu a vista direita Em 1741 conseguiu uma posiccedilatildeo como diretor matemaacutetico da Academia de Ciecircncias de Berlim Laacute desenvolveu alguns trabalhos como a traduccedilatildeo e a melhoria de Principles of Gunnery de Robin a publicaccedilatildeo de Scienia navalis em 1749 e Letters to a german princess de 1768 a 1772 e o ensino de Lagrange por correspondecircncia Em 1766 Euler retornou agrave Ruacutessia a convite de Catarina a Grande Em 1771 perdeu a visatildeo no olho esquerdo ficando completamente cego Seu trabalho foi do caacutelculo e da anaacutelise agrave medida que publicou sua trilogia Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis e Institutiones calculi integralis Esses trabalhos que perfaziam um total de seis volumes fizeram da funccedilatildeo uma parte central do caacutelculo e tratavam de aacutelgebra trigonometria geometria analiacutetica e teoria dos nuacutemeros Por meio desses tratados Euler influenciou grandemente o ensino da matemaacutetica Diz-se que todos os livros didaacuteticos de caacutelculo desde 1748 satildeo essencialmente coacutepias de Euler ou coacutepias de coacutepias dele Algumas de suas contribuiccedilotildees para as equaccedilotildees diferenciais satildeo as seguintes a reduccedilatildeo da ordem o fator integrante coeficientes indeterminados a teoria das equaccedilotildees lineares de segunda ordem e soluccedilotildees das seacuteries de potecircncias Ele tambeacutem incorporou o caacutelculo vetor e as equaccedilotildees diferenciais em seus trabalhos
Euler deu agrave geometria analiacutetica moderna e agrave trigonometria o que o livro Elements de Euclides deu agrave geometria e a tendecircncia resultante de apresentar a matemaacutetica e a fiacutesica em termos matemaacuteticos prosseguiu desde entatildeo Euler enriqueceu a matemaacutetica com muitos conceitos teacutecnicos e notaccedilotildees ainda em uso nos dias de hoje Ele deu ordem ao caos da notaccedilatildeo matemaacutetica Estabeleceu a maior parte da notaccedilatildeo que utilizamos hoje (seno co-seno e pi i sigma f para funccedilatildeo) A contribuiccedilatildeo de Euler para a teoria dos nuacutemeros e para a fiacutesica foi igualmente impressionante Em sua obra Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (Theory of the motions of rigid bodies) de 1765 ele fundou as bases da mecacircnica contiacutenua e da teoria lunar Sua influecircncia no campo da fiacutesica matemaacutetica
62
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
foi tatildeo difusa que a maior parte das descobertas natildeo eacute creditada a ele No entanto temos as equaccedilotildees de Euler para a rotaccedilatildeo de um corpo riacutegido fluxo de um fluido ideal incompressiacutevel flexatildeo de vigas elaacutesticas e carregamentos para empenamento de colunas Ele calculava sem esforccedilo aparente como os homens respiram ou como as aacuteguias se sustentam no vento Euler foi o Shakespeare da matemaacutetica universal ricamente detalhista e incansaacutevel
Teoremas principais adiccedilatildeo de seacuteries teorema das pontes de Koumlnigsberg
Principais obras Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis Institutiones calculi integrali Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum Mechanica Letters to a German princess
FONTE GUIA para a histoacuteria do Caacutelculo Euler Leonhard Disponiacutevel em lthttpcwxprenhallcombookbindpubbooksthomas_brchapter1medialibcustom3bioseulerhtmgt Acesso em 17 jul 2011
63
RESUMO DO TOacutePICO 4
Caro(a) acadecircmico(a) Neste toacutepico foram estudadas as derivadas parciais
bull Vocecirc deve ter percebido que o seu caacutelculo eacute similar ao caacutelculo de derivadas simples a diferenccedila estaacute no fato de ter agora duas variaacuteveis e ter que derivar a funccedilatildeo em termos de uma delas enquanto a outra eacute considerada como constante
Ou seja partfpartx
estamos derivando f (xy) em relaccedilatildeo a x considerando y como constante
bull A derivada parcial partfpartx
(x0 y0) eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva da superfiacutecie
z = f (xy) no plano vertical y = y0
bull Analogamente partfparty
(x0 y0) eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva da superfiacutecie
z = f (xy) no plano vertical x = x0
64
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre derivadas parciais
1 A funccedilatildeo T (xy) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto de
uma chapa Foram calculadas as derivadas parciais no ponto (2 3) e chegou-
se aos resultados partzpartx
(2 3) = ‒ 8 e partzparty
(2 3) = ‒ 18 Decirc os significados para
os dois valores obtidos com as derivadas parciais no ponto (2 3)
2 Nos exerciacutecios a seguir calcule as derivadas parciais partfpartx
e partfparty
das funccedilotildeesa) f (xy) = 2x2 ‒ 3y ‒ 4b) f (xy) = (x2 ‒ 1) (y + 2)c) f (xy) = (xy ‒ 1)2
d) f (xy) = 1x + y
e) f (xy) = ex + y + 1
f) f (xy) = In (2x + y)
3 Calcule as derivadas parciais de segunda ordem part2fpartx2
part2fpartxparty
part2fpartypartx
e part2fparty 2
das funccedilotildees a seguir
a) f (xy) = e3x sen yb) f (xy) = xey + y + 1
65
UNIDADE 2
DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Nessa unidade vamos
bull conhecer os principais conceitos que envolvem derivadas de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
bull aplicar a regra da cadeia nas derivadas parciaisbull calcular implicitamente as derivadas de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveisbull entender o conceito de diferenciabilidadebull entender o conceito de vetor gradiente e saber calculaacute-lobull entender o conceito de derivada direcional e saber calculaacute-labull calcular os miacutenimos e maacuteximos locais de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveisbull resolver problemas envolvendo minimizaccedilatildeo e maximizaccedilatildeo de funccedilotildees
de vaacuterias variaacuteveisbull aplicar o conceito de integrais muacuteltiplasbull calcular as integrais muacuteltiplas
Esta unidade estaacute dividida em quatro toacutepicos apresentando os conceitos e a utilizaccedilatildeo das derivadas parciais e tambeacutem a integraccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Dando continuidade ao estudo da unidade anterior seguimos com a regra da cadeia e a derivaccedilatildeo impliacutecita de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis resolven-do diversos exemplos para auxiliaacute-lo(a) na compreensatildeo e resoluccedilatildeo dos exer-ciacutecios propostos no final de cada toacutepico como vocecirc jaacute estaacute habituado em nossos cadernos de estudos Nos toacutepicos seguintes continuamos explorando outros conceitos e aplicaccedilotildees relacionados com as derivadas parciais tais como dife-renciabilidade de uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis diferencial vetor gradiente derivadas direcionais extremos locais e problemas envolvendo a otimizaccedilatildeo (minimizaccedilatildeo e maximizaccedilatildeo) de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Encerramos esta unidade com o estudo das integrais muacuteltiplas que eacute a integraccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Esperamos que este material possa auxiliaacute-lo em seus estudos
TOacutePICO 1 ndash REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
TOacutePICO 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE
TOacutePICO 3 ndash MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
TOacutePICO 4 ndash INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
66
67
TOacutePICO 1
REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
A regra para funccedilotildees compostas eacute tradicionalmente chamada de regra da cadeia Nesta seccedilatildeo vamos apresentar a regra da cadeia para funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
2 REGRA DA CADEIA
Inicialmente consideramos dois casos especiacuteficos de funccedilotildees de duas variaacuteveis e em seguida apresentamos a regra da cadeia generalizada
Teorema 121 (Regra da Cadeia ndash derivada total) Suponha que z = f (xy) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x e y onde x = x (t) e y = y (t) satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis de t Entatildeo a funccedilatildeo z = f (x(t) y (t)) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de t e
dzdt
zxdxdt
zydydt
=partpart
sdot +partpart
sdot
FIGURA 29 ndash DIAGRAMA DA AacuteRVORE PARA A REGRA DA CADEIA
FONTE O autor
partpartzx
partpartzy
dxdt
dydt
z
x y
t t
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
68
Exemplo 1Sejam z = f (xy) = 4x 3 y 2 x = t 4 e y = 3t 2
ResoluccedilatildeoComeccedilamos calculando as derivadas parciais partzpartx
= 12x2y2
partzparty
= 8x 3y
e em seguida calculamos as outras derivadas
partxpartt
= 4t 3
dydt
= 6t
Aplicamos a regra da cadeia substituindo as derivadas calculadas anteriormente
Substituindo x = t 4 e y = 3t 2 na expressatildeo acima temos
dzdt
= 12(t 4)2 (3t 2)2 ∙ 4t 3 + 8(t 4)3
∙ 3t 2 ∙ 6t
= 144t 15 + 144t 15
= 288t 15
Exemplo 2Sejam z = f (xy) = In (3x 2 + y) x = t + 1 e y = 5t
a) Calcule partzpartt
usando a regra da cadeiab) Determine a funccedilatildeo composta z = f (t + 15 t) e calcule dz
dt
Resoluccedilatildeo
a) Aplicaremos a regra da cadeia
Sabendo que y = In u rArr y prime = u primeu
calcularemos separadamente
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
69
Agora aplicamos
Substituindo x = t + 1 e y = 5t na expressatildeo anterior temos
ou seja
dzdt
6t + 113(t + 1)2 + 5t
=
dzdt
6(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t
=
b) A funccedilatildeo composta eacutez = f (t + 15 t)z = In (3(t + 1)2 + 5 t)
A derivada de z em relaccedilatildeo a t (calculada a partir desta expressatildeo) eacute
dzdt
32(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t
=
dzdt
6t + 113(t + 1)2 + 5t
=
Compare os resultados obtidos nos itens (a) e (b) do Exemplo 2 A facilidade do uso da regra da cadeia estaacute em derivar funccedilotildees ldquomenoresrdquo e posteriormente na substituiccedilatildeo ter menos trabalho algeacutebrico
UNI
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
70
Exemplo 3Sejam z = x2 + 2xy + y2 x = cos t e y = sen t Determine dz
dt
ResoluccedilatildeoUsando a regra da cadeia
dz = partz dx + partz dydt partx dt party dt
= (2x + 2y) (‒ sen t) + (2x + 2y) (cos t) = (2x + 2y) (cos t ‒ sen t) = 2(cos t + sen t) (cos t ‒ sen t)ou seja
dz = 2(cos2 t ‒ sen2 t)dt
Vimos no Teorema 121 como aplicar a regra da cadeia no caso da derivada total quando a funccedilatildeo tem duas variaacuteveis independentes Vamos generalizar esta derivada total para funccedilotildees com mais de duas variaacuteveis
Se a funccedilatildeo tiver mais de duas variaacuteveis representaremos por f (x1 x2 x3 xn) onde x1(t ) x2(t ) x3(t ) xn (t ) satildeo funccedilotildees de t Sua derivada em relaccedilatildeo a t eacute dada pela regra da cadeia
Como a derivada acima possui muitas parcelas eacute possiacutevel reescrever a regra usando o somatoacuterio
Exemplo 4Dada a funccedilatildeo f (xyz) = 3x ‒ 2y 3 + z2 onde x = sen t y = e2t e z = 4t 2 ‒ 3
encontre a derivada de f com relaccedilatildeo a t
ResoluccedilatildeoUsando a regra da cadeia
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
71
dfdt
fxdxdt
fydydt
fzdzdt
xx y z d
dt
=partpart
sdot +partpart
sdot +partpartsdot
=partpart
minus +( ) sdot se3 2 3 2 nn
ty
x y z ddte
zx y z d
dttt( ) + part
partminus +( ) sdot ( ) + part
partminus +( ) sdot minus( )3 2 3 2 4 33 2 2 3 2 2
s
= ( ) + minus( )( ) + sdot
= minus +
=
3 6 2 2 8
3 12 16
3
2 2
2 2
co t y e z t
t y e zt
t
tcos
coos
cos
t e e t t
t t t
t t
t
minus ( ) + minus( )= minus + minus
12 16 4 3
3 12 64 48
2 2 2 2
6 3
ou seja
ddfdt
t e t tt t= minus + minus+3 12 64 484 2 32cos
Exemplo 5A que taxa estaacute crescendo a aacuterea de um retacircngulo se seu comprimento eacute de
8 cm e estaacute crescendo a uma taxa de 05 cms enquanto que sua largura eacute de 6 cm e estaacute crescendo 02 cms
Resoluccedilatildeo
A aacuterea de um retacircngulo pode ser escrita como A (xy) = xy consideremos
x o comprimento e y a largura Atraveacutes do enunciado percebe-se que devemos
calcular dAdt
jaacute que as outras taxas dadas satildeo dx = 05dt
e dy = 02dt
O caacutelculo da
derivada deve ser feito para o ponto de coordenadas (8 6)
Como a aacuterea estaacute em funccedilatildeo de duas variaacuteveis x e y e estas por sua vez estatildeo relacionadas ao tempo atraveacutes da regra da cadeia temos
Calculamos as derivadas parciais para A (xy) = xy obtendo
partA = ypartx e
partA = xparty
Substituindo na regra da cadeia
dA = y middot 05 + x middot 02dt = 6 sdot 05 + 8 sdot 02 = 46
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
72
Dizer que dA = 46dt
cm2s significa que a aacuterea de um retacircngulo de dimensotildees
8x6 estaacute crescendo 46 cm2 a cada segundo
Exemplo 6Uma peccedila ciliacutendrica tem 12 cm de raio e 18 cm de altura Se o raio diminuir
agrave razatildeo de 002 cms e a altura aumentar agrave razatildeo de 003 cms entatildeo determine a taxa de variaccedilatildeo do volume em relaccedilatildeo ao tempo
ResoluccedilatildeoSejam r e h o raio e a altura de uma peccedila ciliacutendrica respectivamente e seja t
o tempo em segundos Podemos interpretar as taxas dadas como derivadas
drdt
dhdt
= minus =0 02 0 03 e + no instante em que r = 12 e h = 18
Queremos calcular dVdt
nesse instante Para isso usamos a foacutermula V (r h) = pr 2h do volume do cilindro para obter
dV =
partV dr +
partV dh dt partr dt parth dt
= 2prh dr + pr 2 dh dt dt
Substituindo os dados na regra da cadeia temos
dV = 2p12 18 (‒002) + p122 003dt = ‒864p + 432p = ‒432p
Portanto dV = ‒432pdt
cm3s significa que o volume de um cilindro de 12 cm de raio e 18 cm de altura estaacute diminuindo 432p cm3 a cada segundo
Teorema 122 (Regra da cadeia para derivadas parciais) Suponha que z = f (uv) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de u e v onde u = u (xy) e v = v (xy) satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis de x e de y Entatildeo z = f (u(xy)v(xy)) eacute uma funccedilatildeo de x e y e
Vamos construir um esquema denominado de diagrama da aacutervore para melhor compreensatildeo e execuccedilatildeo da regra da cadeia Proceda da seguinte forma
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
73
I) Trace um diagrama em aacutervore exprimindo as relaccedilotildees entre as variaacuteveis envolvidas
II) Para cada ramificaccedilatildeo da aacutervore determine a derivada parcial com relaccedilatildeo a estas variaacuteveis
III) Multiplique as derivadas determinadas em cada passo ao longo do caminhoIV) Some as contribuiccedilotildees de cada caminho
FIGURA 30 ndash DIAGRAMA DA AacuteRVORE PARA A REGRA DA CADEIA PARA DERIVADAS PARCIAIS
FONTE O autor
Exemplo 7Se z = f (uv) = eu cos v onde u = xy e v = x + y 2 determine
partz partx
e partz party
usando a regra da cadeia
Resoluccedilatildeo
partpart
=partpart
sdotpartpart
+partpart
sdotpartpart
zx
fu
ux
fv
vx
=partpart ( ) sdot partpart ( ) + part
part ( ) sdot partpart +( )
= sdot minus
ue v
xxy
ve v
xx y
e v y se
u u
u
cos cos
cos
2
nnv e
e y x y x y
u
xy
sdot
= +( ) minus +( )
cos
1
2 2sen
e
partpart
=partpart
sdotpartpart
+partpart
sdotpartpart
zy
fu
uy
fv
vy
Z
U V
yx yx
partpartzu
partpartzv
partpartux
partpartuy
partpartvx
partpartvy
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
74
Teorema 123 (Regra da cadeia generalizada) Suponha que w = f (u1 u2 un) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de n variaacuteveis u1 u2 un onde cada uj eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de m variaacuteveis x1 x2 xm Entatildeo w eacute uma funccedilatildeo de x1 x2 xm e
para cada i = 1 2 m
Exemplo 8Suponha que todas as funccedilotildees sejam diferenciaacuteveis w = f (x y z) x = x (r θ
γ) y = y (r θ γ) e z = z (r θ γ) Determine partw partr
partw partθ
e partw partγ
ResoluccedilatildeoAplicando o Teorema 123 temos
Exemplo 9Utilize a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais partz
parts e partz
partt para
as funccedilotildees z = x2 + xy + y2 x = s + t e y = st
ResoluccedilatildeoAplicando o Teorema 122 temos
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
75
3 DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
Vimos no estudo das funccedilotildees de uma variaacutevel (no Caderno de Estudos da disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral) que uma equaccedilatildeo do tipo F (xy) = 0 define y implicitamente como uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x ou seja y = f (x) Nesta seccedilatildeo vamos estudar a derivaccedilatildeo parcial de funccedilotildees dadas de forma impliacutecita Consideraremos duas situaccedilotildees especiacuteficas
Suponhamos que a funccedilatildeo y = f (x) seja definida implicitamente pela equaccedilatildeo
F (xy) = 0 Se f e F satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis e partpart
( )( ) neFyx f x 0 entatildeo podemos
encontrar a derivada dydx
derivando ambos os lados da equaccedilatildeo F (xy) = 0 em
relaccedilatildeo a x Usando a regra da cadeia temos
partpart
sdot +partpart
sdot =Fxdxdx
Fydydx
isin
Como partpart
( )( ) neFyx f x 0 e dx
dx= isin1 segue
A situaccedilatildeo colocada anteriormente pode ser escrita sob condiccedilatildeo da funccedilatildeo F estar definida em uma bola aberta conforme estamos tratando as funccedilotildees de duas variaacuteveis A seguir veremos como aplicar a derivada impliacutecita neste contexto
0
partpart
sdot = minuspartpart
sdot
=minuspartpartpartpart
Fydydx
Fxdxdx
dydx
FxFy
isin
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
76
Exemplo 10Supondo que a funccedilatildeo y = f (x) eacute definida implicitamente pela equaccedilatildeo
In (x2 y) + 2x3 = 4y determine sua derivada dydx
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo dada pode ser escrita da seguinte formaF (xy) = In (x2y) + 2x3 ‒ 4y = 0
Calculando as derivadas parciais temos
partF = 2xy + 6x2 = 2 + 6x2
partx x2 y x
e
partF = x2 ‒ 4 = 1 ‒ 4
party x2 y y
Aplicando a foacutermula do Teorema 131 obtemos
Se F eacute definida numa bola aberta contendo (ab) onde F (ab) = 0 partF = (ab) ne 0party
e partF partx
e partF party
satildeo funccedilotildees contiacutenuas nessa bola entatildeo a equaccedilatildeo F (xy) = 0 define y
como uma funccedilatildeo de x perto do ponto (ab) e a derivada dessa funccedilatildeo eacute dada pela
foacutermula obtida anteriormente
Essa relaccedilatildeo nos daacute um caminho mais simples para encontrar derivadas de funccedilotildees definidas implicitamente
Teorema 131 Suponha que F (xy) seja diferenciaacutevel e que a equaccedilatildeo F (xy) = 0 define y como uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x Entatildeo em qualquer ponto onde partF ne 0
party
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
77
Vamos ver como fica o Teorema da Funccedilatildeo Impliacutecita para funccedilotildees de duas variaacuteveis independentes
Suponhamos que a funccedilatildeo z = f (xy) seja dada implicitamente pela equaccedilatildeo F
(xyz) = 0 Se f e F satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis e partF (x y f (xy)) ne 0partz
podemos aplicar a
regra da cadeia para obter as partzpartx
e partzparty
Derivando os dois membros da equaccedilatildeo F
(xyz) = 0 em relaccedilatildeo a x temos
Mas part (x) = 1partx
e part (y) = 0partx
portanto
De modo semelhante obteacutem-se
Como no caso anterior estamos assumindo que a equaccedilatildeo F (xyz) = 0 define z implicitamente como funccedilatildeo de x e y Outra versatildeo do Teorema da Funccedilatildeo Impliacutecita fornece as condiccedilotildees para que a hipoacutetese seja vaacutelida
Teorema 132 Suponha que F (xyz) seja continuamente diferenciaacutevel e que
z = f (xy) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel que satisfaz a equaccedilatildeo F (xyz) = 0 Entatildeo em
qualquer ponto (xyz) onde partF ne 0partz
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
78
Exemplo 11Determine partz
partx e partz
party se x4 + y4 + z4 = 5xyz ‒ 2
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo x4 + y4 + z4 = 5xyz ‒ 2 pode ser escrita da seguinte forma F (xyz) = x4 + y4 + z4 ‒ 5xyz + 2 e esta funccedilatildeo eacute continuamente diferenciaacutevel
Vamos calcular as derivadas parciais de F
Entatildeo pelo Teorema 132 temos
Exemplo 12Suponha que a funccedilatildeo diferenciaacutevel z = f (xy) seja definida pela equaccedilatildeo
xy + zez = 0
Resoluccedilatildeo
79
RESUMO DO TOacutePICO 1
Neste toacutepico vocecirc viu que
bull Se a funccedilatildeo tiver mais de duas variaacuteveis representaremos por f (x1 x2 x3 xn) onde x1(t) x2(t) x3(t) xn(t) satildeo funccedilotildees de t entatildeo a sua derivada em relaccedilatildeo a ldquotrdquo eacute dada pela regra da cadeia
bull Se z = f (xy) eacute uma funccedilatildeo das variaacuteveis x e y que dependem de duas outras variaacuteveis digamos u e v Entatildeo
z = f (x(u v) y (u v)) eacute uma funccedilatildeo composta de u e v Dizemos que u e v satildeo as variaacuteveis independentes
bull Se w = f (u1 u2 un) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de n variaacuteveis u1 u2 un onde cada uj eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de m variaacuteveis x1 x2 xm Entatildeo w eacute uma funccedilatildeo de x1 x2 xm e
para cada i = 1 2 m
bull A derivada impliacutecita eacute usada para encontrar as derivadas parciais partzpartx
e partzparty
quando z estiver definida implicitamente por uma equaccedilatildeo F (x y z) = 0 Entatildeo em
qualquer ponto (x y z) onde partF ne 0partz
80
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre diferenciabilidade de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
1 Considere as funccedilotildees f (xy) = 4y ‒ 3x2 x (t) = t3 ‒ 1 e y (t) = 1 ‒ t3
Calcule a funccedilatildeo composta z = f (x(t) y(t))
Encontre dzdt
usando a funccedilatildeo composta
Encontre dzdt
usando a regra da cadeia
2 Use a regra da cadeia para determinar partzpartx
e partzparty
sabendo que z = u 2 + v 2 u = x 2 ‒ y 2 e v = e2xy
3 Determine a derivada da funccedilatildeo impliacutecita f tal que y = f (x) estaacute definida pela equaccedilatildeo x4 ‒ y + 4xy3 ‒ 78 = 0
4 Se x3 ‒ xy + 4xz ‒ 5 = 0 calcular partzpartx
e partzparty
usando a regra de derivaccedilatildeo de funccedilatildeo impliacutecita
5 Mostre que a equaccedilatildeo F (xy) = x2y + sen y = 0 define implicitamente uma funccedilatildeo derivaacutevel y = f (x)
6 O raio da base de um cone circular reto estaacute aumentando a uma taxa de 3 cms e a altura estaacute diminuindo a uma taxa de 2 cms A que taxa estaacute variando o volume do cone no instante em que a altura eacute igual a 20 cm e o raio eacute igual a 14 cm
7 Um carro A estaacute viajando para o norte na rodovia 16 e um carro B estaacute viajando para o oeste na rodovia 83 Os dois carros se aproximam da interseccedilatildeo dessas rodovias Em certo momento o carro A estaacute a 03 km da interseccedilatildeo viajando a 90 kmh ao passo que o carro B estaacute a 04 km da interseccedilatildeo viajando a 80 kmh Qual a taxa de variaccedilatildeo da distacircncia entre os carros nesse instante
8 Determine partzpartx
e partzparty
se xyz3 = cos (x + y + z)
9 Determine partzpartx
e partzparty
se yz = In (x + z)
81
TOacutePICO 2
DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico vamos estender o conceito de diferenciabilidade de funccedilatildeo de uma variaacutevel agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis Esse conceito tem consequecircncias muito importantes no caacutelculo assim como nos problemas de otimizaccedilatildeo que estudaremos no proacuteximo toacutepico Tambeacutem seraacute estudado o vetor gradiente e as derivadas direcionais conceitos que possuem grande aplicabilidade nas engenharias
2 DIFERENCIABILIDADE
Vamos entatildeo introduzir o conceito de diferenciabilidade que entre outras propriedades garante a continuidade da funccedilatildeo Introduziremos este importante assunto por analogia com o conceito de diferenciabilidade de funccedilotildees de uma variaacutevel
Considere uma funccedilatildeo f de uma variaacutevel real Dizer que f eacute diferenciaacutevel
em x = x0 significa que o existe ou seja eacute um nuacutemero real Em
outras palavras f eacute diferenciaacutevel em x0 quando existe um nuacutemero real denotado
por f prime (x0) tal que
Podemos reescrever este limite da seguinte forma
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
82
que eacute equivalente a
Assim f eacute diferenciaacutevel em x0 se existir um nuacutemero real f prime (x0) tal que
Neste caso se uma funccedilatildeo eacute derivaacutevel num ponto ela eacute contiacutenua no ponto
Com isso temos condiccedilotildees de apresentar a definiccedilatildeo de diferenciabilidade de funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 221 Seja f A sub R2 rarr R uma funccedilatildeo definida no conjunto aberto A Dizemos que f eacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0) isin A se as derivadas parciais partf (x0 y0)partx
e partf (x0 y0)party existem e se
Quando f eacute diferenciaacutevel em todos os pontos de seu domiacutenio dizemos que f eacute diferenciaacutevel
Da Definiccedilatildeo 221 podemos destacar alguns pontos
bull Para provar que uma funccedilatildeo eacute diferenciaacutevel em (x0 y0) usando a definiccedilatildeo devemos mostrar que as derivadas parciais existem em (x0 y0) e aleacutem disso que o limite
bull Se uma das derivadas parciais natildeo existe no ponto (x0 y0) f natildeo eacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
83
bull Se o limite
for diferente de zero ou natildeo existir f natildeo seraacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0) mesmo se existirem as derivadas parciais nesse ponto
Exemplo 1Use a Definiccedilatildeo 221 para mostrar que f (xy) = 5x + 2y eacute diferenciaacutevel
ResoluccedilatildeoSeja (x0 y0) isin D (f ) = R 2 Para mostrar que f eacute diferenciaacutevel em (x0 y0) devemos
mostrar que partf (x0 y0)partx e partf (x0 y0)party
existem e que o limite da Definiccedilatildeo 121 eacute zero
A funccedilatildeo f tem derivadas parciais em (x0 y0) e satildeo dadas por partf (x0 y0) = 5partx
e partf (x0 y0) = 2party
Agora
Como (x0 y0) eacute um ponto qualquer em R 2 temos que f eacute diferenciaacutevel
Teorema 221 Se f eacute diferenciaacutevel em A sub R2 entatildeo f eacute contiacutenua em cada ponto de A
Exemplo 2
Verifique se a funccedilatildeo f (x y) = eacute contiacutenua no ponto (33)
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
84
ResoluccedilatildeoPrecisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(Unidade 1)
(i) f (33) = 5 pois x = y
(ii) portanto este limite
natildeo existe
Como concluiacutemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no
ponto (33) Mostramos que f eacute descontiacutenua no ponto (33) portanto pelo Teorema 221 f natildeo eacute diferenciaacutevel em (33)
Nem sempre eacute faacutecil usar a Definiccedilatildeo 221 para verificar a diferenciabilidade de uma funccedilatildeo O teorema a seguir fornece uma condiccedilatildeo suficiente para que uma funccedilatildeo seja diferenciaacutevel
Teorema 222 Se as derivadas parciais partf partx
e partf party
existem em algum conjunto
aberto A contendo (x0 y0) e satildeo contiacutenuas em (x0 y0) entatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em (x0 y0)
Exemplo 3Mostre que a funccedilatildeo f (xy) = cos (xy) eacute diferenciaacutevel em todo R2
ResoluccedilatildeoPara mostrar que f eacute diferenciaacutevel aplicaremos o Teorema 222 Para isso
calcularemos as derivadas parciais
partf partx
= ‒y sen(xy) e partf party
= ‒x sen(xy)
Temos que as derivadas parciais satildeo contiacutenuas em todo ponto (xy) isin R2
Logo pelo Teorema 222 a funccedilatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em todo ponto de R2
Exemplo 4Os polinocircmios (funccedilotildees polinomiais) em vaacuterias variaacuteveis satildeo claramente
diferenciaacuteveis em todo ponto de Rn
Exemplo 5Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = x2 ‒ 3y2 eacute diferenciaacutevel em R2
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
85
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo f tem derivadas parciais em todos os pontos de R2 e satildeo dadas
por partf partx
= 2x e partf party
= ‒6y
As derivadas parciais satildeo contiacutenuas pois satildeo funccedilotildees polinomiais
Portanto f eacute diferenciaacutevel em R2
Exemplo 6Verifique se a funccedilatildeo g (xy) = ex+y eacute diferenciaacutevel em R2
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo g tem derivadas parciais em todos os pontos de R2 Estas satildeo
dadas por partg partx
= ex+y e partg party
= ex+y
Daiacute segue que as funccedilotildees derivadas parciais satildeo contiacutenuas em R2
Portanto g eacute diferenciaacutevel em R2
3 DIFERENCIAL
Suponha que saibamos o valor de uma funccedilatildeo derivaacutevel em um ponto (x0y0) e que desejamos prever a variaccedilatildeo que esse valor sofreraacute se formos para um ponto x0 + dx Como os valores da reta satildeo mais simples de calcular o caacutelculo da variaccedilatildeo da reta nos oferece um modo praacutetico de estimar a variaccedilatildeo em f conforme podemos observar na Figura 31
FIGURA 31 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DA DIFERENCIAL DA FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwslidesharenetrafaelmmoreiraunifei-clculo-1-exerccios-aula-25gt Acesso em 23 jun 2011
y
y₀ + ∆y
y₀
0 x
A
α
x₀
dxα
C
B
∆y
∆x x₀ + ∆x
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
86
Dessa definiccedilatildeo decorre que ∆y representa a variaccedilatildeo da altura da curva y = f (x)
Nesta seccedilatildeo vamos definir a diferencial de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis z = f (xy) e veremos que esta representa uma boa aproximaccedilatildeo para o acreacutescimo da variaacutevel z quando os acreacutescimos das variaacuteveis independentes satildeo pequenos
Se z = f (xy) entatildeo o incremento (aumento ou diminuiccedilatildeo) de z eacute ∆z = f (x + ∆x y + ∆y) ‒ f (xy)
Definiccedilatildeo 231 Seja z = f (xy) uma funccedilatildeo diferenciaacutevel A diferencial de f denotada por df ou dz eacute dada por dz = partz
partx dx + partz
party dy onde dx e dy satildeo as
diferenciais das variaacuteveis independentes x e y respectivamente
A diferencial dz tambeacutem eacute chamada de diferencial total de f (xy) a mesma que estudamos no toacutepico anterior
Se nos movermos de (x0y0) para um ponto (x0 + ∆x y0 + ∆y) proacuteximo a variaccedilatildeo resultante eacute dada por df (x0y0) = partf
partx (x0y0) dx + partf
party (x0y0) dy
Exemplo 7Calcule a diferencial dz da funccedilatildeo z = 4x2y3 ‒ 3y2 + 6
ResoluccedilatildeoPara calcular a diferencial de z temos primeiro que calcular as derivadas
parciais partz partx
= 8xy3 e partz party
= 12x2y2 ‒ 6y
Pela Definiccedilatildeo 231 temos
dz = partz partx
dx + partz party
dy
dz = 8xy3 dx + (12x2y2 ‒ 6y) dy
Exemplo 8Calcule a diferencial de f (xy) = x2 + y2 no ponto (12)
ResoluccedilatildeoA diferencial de f no ponto (12) eacute dada por
dz = partf partx
(12) dx + partf party
(12) dy
Como partf partx
(12) = 2 e partf party
(12) = 4 temos
dz = 2dx + 4dy
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
87
Podemos estimar a variaccedilatildeo com diferenciais Suponha que conheccedilamos os valores de uma funccedilatildeo diferenciaacutevel f (xy) e suas derivadas parciais em um ponto (x0y0) e queiramos predizer quanto o valor de f variaraacute se nos movermos para um ponto (x0 + ∆x y0 + ∆y) proacuteximo Em outras palavras podemos estimar a variaccedilatildeo ∆z de z pelo valor do diferencial dz em que dx eacute a variaccedilatildeo em x e dy eacute a variaccedilatildeo em y
Exemplo 9Considere a funccedilatildeo z = 7x + 3y2
a) Determine a diferencial total dzb) Calcule ∆z e dz se x variar de 2 para 205 e y variar de 1 para 098 Compare os
valores de ∆z e dz
Resoluccedilatildeoa) Da Definiccedilatildeo 231 temos a diferencial total
dz = partf partx dx +
partf party dy
dz = 7dx + 6y dy
b) O ponto (x0y0) = (21) dx = ∆x = 005 e dy = ∆y = ‒ 002O incremento de z eacute ∆z = f (205 098) ‒ f (21)∆z = 7 (205) + 3 (098)2 ‒ (7 2 + 3 12) = 02312e a diferencial total eacute dz = 7(005) + 6 1(‒002) = 023
Portanto observe que ∆z asymp dz
Exemplo 10O raio e a altura de um cilindro satildeo medidos com 3 m e 8 m respectivamente
com possiacuteveis erros de 005 m Use diferenciais para calcular o erro maacuteximo no caacutelculo do volume
ResoluccedilatildeoPrimeiro recordamos a foacutermula do caacutelculo do volume de um cilindroV = p r 2 h
Para estimarmos a variaccedilatildeo de V calculamos
dV (r0h0) = partV partr (r0h0) dr +
partV parth (r0h0) dh
dV = 2p r0 h0 dr + p r02 dh
= 2p 3 8 005 + p 32 005 = 24p + 045p = 285p asymp 895 m3
Portanto o erro de 005 m nas medidas do raio e da altura pode nos levar a um erro de 895 m3
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
88
Exemplo 11Ao redor do ponto (10) f (xy) = x2 (y + 1) eacute mais sensiacutevel a variaccedilotildees em x ou y
ResoluccedilatildeoPrimeiro vamos entender o que o enunciado estaacute nos pedindo Querer
saber sobre a sensibilidade agrave variaccedilatildeo eacute o mesmo que pedir para estimar a variaccedilatildeo da funccedilatildeo no ponto Assim vamos calcular a diferencial de f
dz = partf partx (10) dx +
partf party (10) dy
Para facilitar o caacutelculo das derivadas parciais escrevemos f (xy) = x2y + x2 daiacute seguepartf partx = 2xy + 2x e
partf party = x2
partf partx (10) = 2 e
partf party (10) = 1
Entatildeo temos o caacutelculo da variaccedilatildeo da funccedilatildeo causada por pequenas variaccedilotildees dx e dy
dz = 2dx + 1dy
Portanto uma variaccedilatildeo de x em uma unidade variaraacute f em cerca de 2 unidades e uma variaccedilatildeo de y em uma unidade variaraacute f em cerca de 1 unidade A funccedilatildeo eacute 2 vezes mais sensiacutevel a uma pequena variaccedilatildeo de x que a uma pequena variaccedilatildeo de tamanho igual a de y
Exemplo 12O comprimento e a largura de um retacircngulo satildeo medidos com erros de
no maacuteximo 3 e 5 respectivamente Use diferenciais para aproximar o erro percentual maacuteximo na aacuterea calculada
ResoluccedilatildeoA aacuterea do retacircngulo dado por x de comprimento e y de largura eacute a funccedilatildeo
A(xy) = xy
Temos partpart
=partpart
=Ax
y Ay
x e
Cada erro eacute de no maacuteximo 3 e 5 isto eacute |∆x| le 003x e |∆y| le 005y Para achar o erro maacuteximo na aacuterea tomamos o maior erro nas medidas de x e y Daiacute tomamos dx = 003x e dy = 005y
Calculando a diferencial obtemos
dz zx
dx zy
dy=partpart
+partpart
sdot sdot sdot sdot
sdot
= y x 003 + x y 005 = 008 xy
dz = A 0 0 88
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
89
Estimamos que o erro percentual maacuteximo em A eacute de 8
4 GRADIENTE
Vimos nas seccedilotildees anteriores que as derivadas parciais nos fornecem taxas de variaccedilatildeo de uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis e que estas taxas dependem da escolha da direccedilatildeo e sentido da variaccedilatildeo Como essas variaccedilotildees satildeo indicadas por vetores eacute natural usar vetores para descrever a derivada de f numa direccedilatildeo e sentido especiacuteficos Nesta seccedilatildeo vamos definir o gradiente de uma funccedilatildeo que aparece em diversas aplicaccedilotildees matemaacuteticas
Definiccedilatildeo 241 Seja z = f (xy) uma funccedilatildeo que admite derivadas parciais no ponto (x0y0) O gradiente de f no ponto (x0y0) denotado por ∆f (x0y0) eacute um vetor cujos componentes satildeo as derivadas de f nesse ponto ou seja
∆f (x0y0) = partf partx (x0y0)
partf party (x0y0) =
partf partx (x0y0) i +
partf party (x0y0) j
O gradiente
∆
f associa um vetor
∆
f (x0y
0) a cada ponto (x
0y
0) do domiacutenio de f
Usamos a notaccedilatildeo ab para o par ordenado que se refere a um vetor para natildeo confundir
com o par ordenado (ab) que corresponde a um ponto no plano
Ao representar vetores com a notaccedilatildeo
v = ai + bj lembramos que i e
j
representam os vetores canocircnicos ou seja vetores no R2 onde suas respectivas coordenadas
satildeo dadas por
i = 10 e
j = 01
NOTA
NOTA
Quando trabalhamos com um ponto geneacuterico (xy) escrevemos
∆f (xy) = partf partx
partf party =
partf partx i +
partf party j
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
90
O siacutembolo ∆f eacute lido como ldquogradiente de frdquo
O siacutembolo
∆
denominado ldquodelrdquo eacute um delta grego maiuacutesculo invertido O uso de
∆
para o gradiente foi popularizado pelo fiacutesico escocecircs P G Tait (1831 ndash 1901) que o denominava ldquonablardquo Em hebraico nabla significa harpa e se refere agrave semelhanccedila de um
∆
com uma harpa antiga de dez cordas O grande fiacutesico James Clerk Maxwell relutou em adotar essa notaccedilatildeo e chamava o gradiente de ldquoinclinaccedilatildeordquo Em 1871 escreveu ao seu amigo Tait provocando ldquoAinda harpejando naquela nablardquo (ROGAWKI 2009 p 809)
Em seguida estendemos a definiccedilatildeo de gradiente para funccedilotildees com n variaacuteveis
Definiccedilatildeo 242 Sejam A sub Rn aberto p = (x1 x2 xn) isin A e f A rarr R uma funccedilatildeo tal que as derivadas parciais existem em p O gradiente de f no ponto p eacute o vetor do Rn denotado por ∆f (p) e definido por
∆f (p) = partf
partx1 (p)
partf partx2
(p) partf
partxn (p)
Exemplo 13Determine o gradiente da funccedilatildeo f (xy) = 3x2 ‒ 2xy + 5y
ResoluccedilatildeoPrimeiro precisamos calcular as derivadas parciais de f
partf partx = 6x ‒ 2y e
partf party
= ‒ 2x + 5
Em seguida escrevemos o vetor gradiente de acordo com a Definiccedilatildeo 241 ∆f (xy) = 6x ‒ 2y ‒ 2x + 5
Exemplo 14Calcule o gradiente da funccedilatildeo f (xy) = 3x2y ‒ x⅔ y2 no ponto (13)
ResoluccedilatildeoFaremos o mesmo que no Exemplo 11 acrescentando apenas o caacutelculo do
vetor no ponto (13)partf partx
= 6xy ‒ 2 3
x -⅓ y2 e partf party
= 3x2 ‒ 2x ⅔y
Entatildeo ∆f = 6xy ‒ 2 3
x -⅓ y2 3x2 ‒ 2x ⅔y
Agora no ponto ∆f (13)
∆f (13) = 6 sdot 1 sdot 3 ‒ 2 3
sdot 1 -⅓ sdot 32 3 sdot 12 ‒ 2 sdot 1 ⅔ sdot 3 = 12 ‒3 Portanto o gradiente de f no ponto (13) eacute o vetor ∆f (13) = 12 ‒3
Exemplo 15Determine o gradiente da funccedilatildeo g(xyz) = xyz2 em um ponto (xyz)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
91
FIGURA 32 ndash VETORES GRADIENTES DE f (xy) = 1 6
(x2 + y3)
FONTE Disponiacutevel em lthttpptscribdcomdoc5885209818Gradiente-Curva-de-NC2B4C4B1vel-SuperfC2B4C4B1cie-de-NC2B4C4B1velgt Acesso em 5 set 2011
ResoluccedilatildeoTemos
partg partx = yz2
partg party = xz2 e
partg partz = 2xyz
Entatildeo ∆g (xyz) = yz2 xz2 2xyz
Exemplo 16Encontre o gradiente de f(xy) = 1
6 (x2 + y3) em (0 ‒2) e esboce alguns vetores gradientes
Resoluccedilatildeo
As derivadas parciais satildeo partpart
=partpart
=fx
x fy
y26
36
2
e
∆f (xy) = 1 3 x i +
1 2 y2 j
Para construir o graacutefico formado pelos vetores gradientes procedemos da seguinte forma escolhemos um ponto por exemplo (x0y0) O ponto (x0y0) eacute o iniacutecio do vetor e o vetor gradiente ∆f (x0y0) = ab fornece o representante do vetor que iraacute no ponto (ab) Lembramos que um vetor de componentes ab tem iniacutecio na origem do plano e extremidade no ponto (a b) Quando desejamos graficar um vetor fora da origem usamos um representante do vetor ab Em seguida eacute mostrado como representar graficamente o vetor gradiente no ponto (0 ‒ 2) Temos
∆f (0‒ 2) = 2 j isto eacute o vetor 02 ndash tem origem no ponto (0 0) e extremidade no ponto (0 2) Conforme podemos ver na Figura 32
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
92
Do graacutefico construiacutedo no Exemplo 16 eacute possiacutevel pensar num campo de vetores gradiente de uma funccedilatildeo que podem ser representados geometricamente por um conjunto de vetores que fornece em cada ponto distinto do plano o vetor gradiente da funccedilatildeo
Como vimos o gradiente eacute um vetor Talvez vocecirc esteja agora se perguntando e se calcularmos || ∆f (xy)|| (norma do vetor gradiente) a que isso corresponde Vamos responder resolvendo o Exemplo 17
Exemplo 17Encontre o gradiente de f (xy) = x2 ‒ y2 e esboce alguns vetores gradientes
ResoluccedilatildeoAs derivadas parciais satildeo
partf partx = 2x e
partf party = ‒2y
Entatildeo ∆f = 2x i ‒ 2y j
Vamos calcular alguns vetores gradiente em pontos especiacuteficos e suas normas
(xy) ∆f (xy) || ∆f (xy)||
(00) (00) ₀
(10) (20) ₂
(x0) (2x0) ₂x
(0y) (0‒2y) ₂y
(11) (2‒2) ₂radic 2(xy) (2x‒2y) 2||(xy)||
Interpretando a coluna da direita percebe-se que agrave medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradiente aumenta ficando igual a duas vezes a distacircncia do ponto agrave origem
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
93
FIGURA 33 ndash GRAacuteFICO DOS VETORES GRADIENTES E DAS CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = x2 ndash y2
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwimeuerjbr~calculoLivroIIIcampospdfgt Acesso em 5 set 2011
Teorema 241 Suponha que z = f (xy) seja diferenciaacutevel numa bola aberta centrada em P0 (x0y0) e que ∆f (x0y0) ne 0
i) Entatildeo ∆f (x0y0) eacute normal agrave curva de niacutevel passando por P0 (x0y0)
ii) A taxa maacutexima de crescimento de γ no ponto P0 (x0y0) ocorre na direccedilatildeo e no sentido do gradiente Analogamente a taxa miacutenima de crescimento de γ no ponto P0 (x0y0) ocorre na direccedilatildeo contraacuteria a do gradiente
Lembramos que um vetor eacute normal agrave curva se o vetor eacute perpendicular
O gradiente de γ no ponto P0(x
0y
0) aponta na direccedilatildeo de maior variaccedilatildeo da
funccedilatildeo numa vizinhanccedila do ponto
NOTA
NOTA
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
94
A figura a seguir ilustra o Teorema 241
FIGURA 34 ndash VETOR GRADIENTE NORMAL Agrave CURVA DE NIacuteVEL
FONTE O autor
Exemplo 18O potencial eleacutetrico V em (xyz) eacute dado por V = x2 + 4y 2 + 9z2 Ache a direccedilatildeo
e a taxa maacutexima de variaccedilatildeo de V em (3‒21)
ResoluccedilatildeoDe acordo com o Teorema 251 a direccedilatildeo onde ocorre a taxa maacutexima de
variaccedilatildeo eacute dada pelo vetor gradiente EntatildeopartV partx
= 2x partV party = 8y e partV
partz = 18z
Assim ∆V = 2x 8y 18z
Calculando o gradiente no ponto (3‒21) obtemos∆V (3‒21) = 6 ‒16 18 que nos indica a direccedilatildeo de crescimento do potencial eleacutetrico
E a taxa de variaccedilatildeo do gradiente eacute dada pela sua norma
nabla ( ) = partpart
+
partpart
+
partpart
nabla minus( ) =
V x y zx
Vy
Vz
V
V
2 2 2
3 2 1 66 18 616
3 2 1 24 8
2 2+ minus( ) + =
nabla minus( ) asymp16
2
V
y
x
γ
P₀ (x₀ y₀)
∆f(P₀)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
95
5 DERIVADAS DIRECIONAIS
Caro acadecircmico Jaacute estudamos as derivadas parciais que nos fornecem a variaccedilatildeo da funccedilatildeo em duas direccedilotildees diferentes na direccedilatildeo do eixo x atraveacutes de partf partx
(x0y0) e na direccedilatildeo do eixo y atraveacutes de partf party
(x0y0) Nesta seccedilatildeo veremos como
utilizar a derivada para determinar a inclinaccedilatildeo em qualquer direccedilatildeo para isto definiremos um novo tipo de derivada chamada direcional
Suponha que uma funccedilatildeo f (xy) seja definida em uma regiatildeo R no plano xy que P(x0y0) seja um ponto em R e que u = u1i + u2j
seja um versor Entatildeo as equaccedilotildees
x = x0 + su1 e y = y0 + su2
parametrizam a reta que passa por P paralelamente a u Se o paracircmetro s mede o comprimento de arco de P na direccedilatildeo de u encontramos a taxa de variaccedilatildeo de f em P na direccedilatildeo de u calculando df
ds em P (Figura 7)
Lembramos que versor eacute um vetor unitaacuterio ou seja um vetor cuja norma eacute 1
Definiccedilatildeo 251 A derivada de f em P(x0y0) na direccedilatildeo do versor u = u1i + u2j
eacute o nuacutemero
desde que o limite exista
Portanto o gradiente ∆V (3‒21) = 6 ‒16 18 nos daacute a direccedilatildeo onde a taxa de variaccedilatildeo eacute maacutexima || ∆V (3‒21)|| asymp 248
NOTA
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
96
FIGURA 35 ndash A TAXA DE VARIACcedilAtildeO DE f EM P NA DIRECcedilAtildeO DE u
FONTE O autor
Quando u = i a derivada direcional em P eacute partf partx
calculada em (x0y0) Quando
u = j a derivada direcional em P eacute partf party
calculada em (x0y0) A derivada direcional
generaliza as duas derivadas parciais Entatildeo assim eacute possiacutevel encontrar a taxa de
variaccedilatildeo de f em qualquer direccedilatildeo u
Teorema 251 Se f (xy) for diferenciaacutevel em P (x0y0) entatildeo
eacute o produto escalar do gradiente de f em P e u
A expressatildeo do Teorema 251 por ser escrita como
Em seguida apresentaremos a definiccedilatildeo de derivada direcional para uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis fazendo uma extensatildeo da Definiccedilatildeo 251
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
97
Definiccedilatildeo 252 Sejam A cap Rn aberto P (x1 x2 xn) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo e u um vetor unitaacuterio em Rn A derivada direcional de f no ponto (x1 x2 xn) e na direccedilatildeo do versor u eacute denotada por
Esta definiccedilatildeo generaliza o conceito de derivada parcial isto eacute as derivadas parciais de uma funccedilatildeo podem ser obtidas como casos particulares das derivadas direcionais
Exemplo 19Calcule a derivada direcional da funccedilatildeo f (xy) = x3y + 2y 2 no ponto (1‒2) na
direccedilatildeo do vetor v = 4i + 3j
ResoluccedilatildeoNote que v natildeo eacute um versor (vetor unitaacuterio) e a Definiccedilatildeo 251 pede que o
vetor direccedilatildeo seja unitaacuterio Assim vamos primeiro calcular o vetor unitaacuterio u na direccedilatildeo de v
Agora calculamos o vetor gradiente de f no ponto (1‒2)
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
98
Portanto pelo Teorema 251 temos
partpart
minus( ) = nabla minus( ) sdot
minus minus sdot
f 2 f
u u
=(
1 1 2
6 8 45
3
) 55
6 4 8 35
=minus sdot + minus( ) sdot
= minus485
A derivada direcional partf partu
(1‒2) representa a taxa de variaccedilatildeo de z na
direccedilatildeo de u Isto eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva obtida pela interseccedilatildeo da
superfiacutecie f (xy) = x3y + 2y 2 e o plano vertical que passa por (1‒20) na direccedilatildeo de u
99
RESUMO DO TOacutePICO 2
Neste toacutepico vocecirc viu
bull O conceito de diferenciabilidade atraveacutes do caacutelculo de limite
bull Destacamos o Teorema 221 Se f eacute diferenciaacutevel em A cap R2 entatildeo f eacute contiacutenua em cada ponto de A
bull Outro resultado importante Teorema 222 Se as derivadas parciais partf partx
e partf party
existe em algum conjunto aberto A contendo (x0y0) e satildeo contiacutenuas em (x0y0)
entatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em (x0y0)
bull A aplicaccedilatildeo da diferencial e como se calcula a diferencial de f denotada por df
ou dz eacute dada por dz = partz partx dx +
partz party dy
bull O gradiente de uma funccedilatildeo f eacute o vetor das derivadas parciais
bull Geometricamente o vetor gradiente eacute normal agrave curva de niacutevel de f (xy) por P
bull A derivada direcional Se f (xy) for diferenciaacutevel em P (x0y0) entatildeo
o produto escalar do gradiente de f em P e u
100
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre diferenciabilidade e gradiente
Mostre que as funccedilotildees a seguir satildeo diferenciaacuteveis em R2
1 f (xy) = 3x2y + 4xy 2
2 f (xy) = x2 ‒ 7xy + 2xy 2
3 f (xy) = sen (xy 2)
4 Se z = x2 ‒ xy + 3y2 e (xy) varia de (3 ‒1) a (296 ‒095) compare os valores de dz e ∆z
5 O comprimento e a largura de um retacircngulo foram medidos como 30 cm e 24 cm respectivamente com um erro de medida de no maacuteximo 01 cm Utilize a diferencial para estimar o erro maacuteximo cometido no caacutelculo da aacuterea do retacircngulo
6 O periacuteodo T de um pecircndulo simples com uma pequena oscilaccedilatildeo eacute calculado
da foacutermula T = 2p L
g radic onde L eacute o comprimento do pecircndulo e g eacute a aceleraccedilatildeo
da gravidade Suponha que os valores de L e g tenham erros de no maacuteximo 005 e 001 respectivamente Use diferencias para aproximar o erro percentual maacuteximo no valor calculado de T
7 O raio de um cilindro circular reto eacute medido com um erro de no maacuteximo 2 e altura eacute medida com um erro de no maacuteximo 4 Qual o erro percentual maacuteximo possiacutevel no volume calculado
Nas questotildees de 8 a 10 determine o vetor gradiente das seguintes funccedilotildees nos pontos indicados
8 z = x2y + 3xy + y2 P (03)
9 f (xy) = xy ‒ sen (x + y) P = p
2 0
10 f (xyz) = xy + xz + yz P (‒135)
101
11 Se T (xy) = 10xy
x2 + 4y 2 + 4 eacute a temperatura em graus Celsius sobre uma
lacircmina metaacutelica x e y medidos em cm determine a direccedilatildeo de crescimento maacuteximo de T a partir do ponto (11) e a taxa maacutexima de crescimento de T nesse ponto
102
103
TOacutePICO 3
MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES
DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EXTREMOS LOCAIS
Uma aplicaccedilatildeo importante de caacutelculo diferencial de vaacuterias variaacuteveis eacute a da otimizaccedilatildeo de funccedilotildees Otimizar uma funccedilatildeo significa encontrar seu desempenho maacuteximo ou miacutenimo No Caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral vocecirc jaacute estudou como encontrar os maacuteximos e miacutenimos de funccedilotildees de uma variaacutevel Quando as derivadas primeiras forem nulas temos pontos extremos que podem ser maacuteximos ou miacutenimos
Vamos fazer algo parecido neste toacutepico para as funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Veremos como usar as derivadas parciais para localizar os pontos de maacuteximo e miacutenimo de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Suponha que um fabricante produza dois modelos de um determinado produto o modelo de luxo e o modelo padratildeo e que o custo total para produzir x unidades do modelo de luxo e y unidades do modelo padratildeo seja dado pela funccedilatildeo C (x y) Como determinar o niacutevel de produccedilatildeo x = a e y = b para o qual o custo eacute miacutenimo
Iniciaremos definindo os extremos locais que satildeo chamados de maacuteximos e miacutenimos de uma funccedilatildeo
Definiccedilatildeo 321 Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo
i) P (x0 y0) eacute um ponto de maacuteximo local de f se f (x y) le f (x0 y0) para todo (x y) numa vizinhanccedila de (x0 y0)
ii) P (x0 y0) eacute um ponto de miacutenimo local de f se f (x y) ge f (x0 y0) para todo (x y) numa vizinhanccedila de (x0 y0)
Definiccedilatildeo 322 Dizemos que um ponto P (x0 y0) do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (x y) eacute um ponto criacutetico (ou estacionaacuterio) se
104
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
i) partf partx
(x0 y0) = 0 e partf party
(x0 y0) = 0 ou
ii) pelo menos uma das derivadas parciais partf partx
(x0 y0) partf party
(x0 y0) natildeo existe
O teorema a seguir nos diz que os extremos locais ocorrem em pontos criacuteticos assim como acontece em funccedilatildeo de uma variaacutevel
Teorema 321 Se f (x y) tem um miacutenimo ou maacuteximo local em (x0 y0) entatildeo (x0 y0) eacute um ponto criacutetico de f (x y)
Geometricamente um ponto eacute ponto criacutetico de uma funccedilatildeo quando o graacutefico da funccedilatildeo nesse ponto natildeo tem plano tangente ou o plano tangente eacute horizontal
Vamos ver no exemplo a seguir como encontrar os pontos criacuteticos de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Exemplo 1Encontre os pontos criacuteticos da funccedilatildeo f (x y) = 9x3 +
y3 3 ‒ 4xy
ResoluccedilatildeoQueremos encontrar os pontos criacuteticos da funccedilatildeo f (x y) = 9x3 +
y3 3 ‒ 4xy
Aplicando a Definiccedilatildeo 322 devemos igualar as derivadas parciais a zero
Calculando as derivadas parciais temos partf partx
= 27x2 ‒ 4y e partf party
= y2 ‒ 4x
Igualando as derivadas parciais a zero e resolvendo as equaccedilotildees obtemos
27 4 04 0
2
2
x yy x
minus =
minus =
Isola-se x na segunda equaccedilatildeo x = y2 4 e substitui na primeira equaccedilatildeo
27 4 0
274
4 0
27 64 0
27 64 0
0
2
2 2
4
3
x y
y y
y y
y y
y
minus =
minus =
minus =
minus( ) == ou 277y
e y
3
3
2 1
64 0642743
0
minus =
=
= =
y
y
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
105
Substituiacutemos os valores de y na segunda equaccedilatildeo
x = y2 4 x =
y2 4
x1 = 02 4 x2 =
43
2
4
x1 = 0 x2 = 4 9
Portanto (00) e 4 9
4 3
satildeo os pontos criacuteticos de f (x y)
Lembre-se de que jaacute estudamos gradiente de uma funccedilatildeo
∆f (xy) em que
∆f (xy) = partf partx
partf party Entatildeo na Definiccedilatildeo 322 poderiacuteamos dizer que P (x
0y
0) eacute um ponto
criacutetico se
∆
f (x0y
0) = 0 ou se
∆
f (xy) natildeo existe
Exemplo 2Mostre que f (xy) = x2 + y2 ‒ xy + x tem um ponto criacutetico
ResoluccedilatildeoSegundo a Definiccedilatildeo 322 devemos igualar as derivadas parciais a zero
para encontrar os pontos criacuteticos se existem
As derivadas parciais satildeo partf partx
= 2x ‒ y + 1 e partf party
= ‒ x + 2y Entatildeo igualando
as derivadas parciais a zero e resolvendo o par de equaccedilotildees temos
2x ‒ y + 1 = 0‒ x + 2y = 0
NOTA
106
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
agora resolvemos o sistema pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
y = ‒ 1 3
Assim x = ‒ 2 3 e y = ‒ 1
3 Existe apenas um ponto criacutetico P ‒ 2 3 ‒ 1
3
Para sabermos se este ponto criacutetico eacute um ponto maacuteximo ou miacutenimo da funccedilatildeo podemos aplicar a Definiccedilatildeo 321 o que pode ser complicado em algumas situaccedilotildees Poreacutem podemos usar o recurso graacutefico tanto da superfiacutecie como das curvas de niacutevel (mapa de contornos) atraveacutes de um software computacional como veremos na Figura 37
FIGURA 36 ndash GRAacuteFICO DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = x2 + y2 ndash xy + x
FIGURA 37 ndash MAPA DE CONTORNOS DE f (xy) = x2 + y2 ndash xy + x
FONTE O autor
FONTE O autor
80
60
40
20
04
20ndash 2
ndash 44 2 0 ndash 2 ndash 4
x
y
4 2 0 ndash 2 ndash 4
0
2
4
ndash 2
ndash 4
y
x
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
107
Pelo graacutefico da funccedilatildeo (Figura 36) eacute possiacutevel dizer que o ponto P
‒ 2 3 ‒ 1
3 eacute miacutenimo local e na Figura 37 as curvas de niacutevel satildeo curvas fechadas
que circundam o ponto P indicando assim um extremo local
Acabamos de ver que eacute possiacutevel determinar o tipo de ponto criacutetico a partir do mapa de contorno entatildeo podemos classificar os pontos criacuteticos atraveacutes das seguintes caracteriacutesticas graacuteficas
i) se P (x0 y0) eacute um miacutenimo local entatildeo as curvas de niacutevel proacuteximas de P satildeo curvas fechadas que circundam P e o mapa de contornos mostra que f (x y) cresce em todas as direccedilotildees a partir de P (Figura 37)
ii) se P (x0 y0) eacute um maacuteximo local entatildeo as curvas de niacutevel proacuteximas de P satildeo curvas fechadas que circundam P e o mapa de contornos mostra que f (x y) decresce em todas as direccedilotildees a partir de P
iii) se P (x0 y0) eacute um ponto de sela entatildeo as curvas de niacutevel de f (x y) que passam por P consistem em duas retas que se intersectam e dividem a vizinhanccedila de P em quatro regiotildees O mapa de contornos mostra que f (x y) eacute decrescente na direccedilatildeo x e crescente na direccedilatildeo y (Figura 38)
iv) se P (x0 y0) eacute um ponto de sela ndash outra situaccedilatildeo entatildeo as curvas de niacutevel em (x0 y0) tem uma forma padratildeo ldquonuacutemero oitordquo (Figura 39)
FIGURA 38 ndash MAPA DE CONTORNOS DESTACANDO O PONTO DE SELA
FIGURA 39 ndash MAPA DE CONTORNOS ndash PONTO DE SELA PADRAtildeO ldquoNUacuteMERO OITOrdquo
FONTE O autor
FONTE O autor
4
2
0
ndash2
ndash 4
y
4 2 0 ndash 2 ndash 4x
2
2
1
0
ndash 1
ndash2
0 1ndash 1ndash 2x
y
2
108
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Segue da Definiccedilatildeo 322 e do Teorema 321 que os extremos relativos ocorrem nos pontos criacuteticos Contudo uma funccedilatildeo natildeo precisa ter um extremo relativo em cada ponto criacutetico isto quer dizer que um ponto criacutetico nem sempre eacute um ponto extremante Um ponto criacutetico que natildeo eacute um maacuteximo relativo nem um miacutenimo relativo eacute chamado de ponto de sela
Nas funccedilotildees de duas variaacuteveis natildeo temos pontos de inflexatildeo como em funccedilotildees de uma variaacutevel Podemos ter um ponto de sela quando numa direccedilatildeo a funccedilatildeo atinge um maacuteximo num ponto e em outra direccedilatildeo um miacutenimo no mesmo ponto O nome se daacute pela semelhanccedila com uma sela de cavalo maacuteximo na direccedilatildeo das pernas do cavaleiro (transversal ao cavalo ) e miacutenimo na direccedilatildeo longitudinal (dorso) do cavalo
Em seguida vamos estudar um meacutetodo que permite classificar os pontos criacuteticos com criteacuterios bem definidos Mas antes definiremos a hessiana
Definiccedilatildeo 323 Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo de classe C2 A matriz hessiana de f representada por H(f) eacute dada por
Exemplo 3Seja f (xy) = 3x2 + y2 Calcule a matriz hessiana de f no ponto (00)
ResoluccedilatildeoPela Definiccedilatildeo 323 calculamos as derivadas parciais no ponto dado
partf partx
= 6x partf party
= 2y part2f partx2
= 6 part2f partxparty
= 0 part2f partypartx
= 0 e part2f party2
= 2
Portanto H (00) = 6 00 2
eacute a matriz hessiana de f no ponto (00)
Teorema 322 (Teste da segunda derivada) Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo de classe C2 Suponhamos que P (x0 y0) seja um ponto criacutetico da funccedilatildeo f
NOTA
H x y
fxx y f
x yx y
fy x
x y fyx
0 0
2
2 0 0
2
0 0
2
0 0
2
2 0
( ) =
part
part( ) part
part part( )
partpart part
( ) part
party0( )
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
109
i) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) gt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto miacutenimo local de f
ii) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto maacuteximo local de f
iii) Se det H (x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto de sela
iv) Se det H (x0y0) = 0 nada se conclui
Para facilitar o entendimento e visualizar a classificaccedilatildeo dos pontos criacuteticos apresentamos o graacutefico e um texto explicativo
Os pontos P e Q satildeo pontos de maacuteximo porque qualquer deslocamento em sua vizinhanccedila iraacute descer O ponto S eacute uma sela porque nos sentidos SP e SQ sobe mas no sentido SL ou ST desce
FONTE CANESIN Wilson Funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis ndash Notas de aula ndash parte II Disponiacutevel em lthttpwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 28 out 2011
FIGURA 40 ndash GRAacuteFICO DE SUPERFIacuteCIE
FONTE Disponiacutevel em lthttpwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 28 out 2011
Veremos em seguida exemplos onde aplicaremos o Teorema 322
Exemplo 4Considere a funccedilatildeo f (xy) = x2 + y2 ‒ xy + x Determine caso existam os pontos
de maacuteximo e os pontos de miacutenimo local da funccedilatildeo
Resoluccedilatildeo
Vimos no Exemplo 2 que o ponto ‒ 2 3 ‒ 1
3 eacute o uacutenico ponto criacutetico de f
Para classificaacute-lo vamos usar o Teorema 322 Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
P
S
Q
T
L
F(xy)
110
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
part2f partx2
= 2 part2f partxparty
= ‒1 part2f partypartx
= ‒1 e part2f party2
= 2 Entatildeo
det H minus minus
=
minusminus
=2
3
1
3
2 1
1 23
Como H ‒ 2 3 ‒ 1
3 gt 0 e part2f partx2 ‒ 2
3 ‒ 1 3 gt 0 segue que ‒ 2
3 ‒ 1 3 eacute
um ponto miacutenimo local de f
Exemplo 5Encontre os maacuteximos e miacutenimos de f (xy) = 1
3 x3 + 1 3 y3 ‒ x ‒ 4y + 20 caso
existam
ResoluccedilatildeoVamos encontrar inicialmente os pontos criacuteticos de f fazendo partf
partx = 0 e partf
party = 0
partf partx
= x2 ‒ 1 e partf party
= y2 ‒ 4
x2 ‒ 1 = 0y2 ‒ 4 = 0
Resolvendo o sistema temos os pontos criacuteticos (12) (1‒2) (‒12) e (‒1‒2)
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
part2f partx2
= 2x part2f partxparty
= 0 part2f partypartx
= 0 e part2f party2
= 2y
Agora calculamos o determinante hessiano Entatildeo
det det
det
H H
H
1 22 0
0 48 1 2
2 0
0 48
1 22 0
0 48
( ) = = minus( ) =minus
= minus
minus( ) =minus
= minus
e
e det H minus minus( ) =minus
minus=1 2
2 0
0 48
Para classificar os pontos criacuteticos usaremos o Teorema 322
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
111
Vamos analisar o ponto (12)
Temos det H (12) gt 0 e part2f partx2 (12) gt 0 logo (12) eacute um ponto miacutenimo local de f
Vamos analisar o ponto (1‒2)
Temos det H (1‒2) lt 0 logo (1‒2) eacute um ponto de sela de f
Vamos analisar o ponto (1‒2)
Temos det H (‒12) lt 0 logo (‒12) eacute um ponto de sela de f
Vamos analisar o ponto (‒1‒2)
Temos det H (‒1‒2) gt 0 e part2f partx2 (‒1‒2) lt 0 logo (‒1‒2) eacute um ponto maacuteximo local de f
Os graacuteficos (Figura 41 e Figura 42) gerado por computador usando o software Maple 11 ilustram os caacutelculos apresentados anteriormente
FIGURA 41 ndash GRAacuteFICO DA SUPERFIacuteCIE DE f FIGURA 42 ndash MAPA DE CONTORNOS DE f
FONTE O autor FONTE O autor
3 PROBLEMAS ENVOLVENDO MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
O estudo feito no item anterior pode ser perfeitamente aplicado em problemas de maximizaccedilatildeo e minimizaccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Como por exemplo em problemas geomeacutetricos fiacutesicos econocircmicos entre outros
Exemplo 6Determine as dimensotildees de uma caixa retangular aberta no topo com um
volume de 32 cm3 e que requer uma quantidade miacutenima de material para a sua construccedilatildeo
30
25
20
15
103 2 1 0ndash 1ndash 2ndash 3 2 1 0 ndash 1ndash 2 ndash 3
yx
ndash 4
ndash 4
ndash 2
ndash 2 0 2 4x
2
4
y
112
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Resoluccedilatildeox comprimento da caixa (cm)y largura da caixa (cm)z altura da caixa (cm)A aacuterea da superfiacutecie da caixa (cm2)V volume da caixa (cm3)
V = xyz rArr xyz = 32 rArr z = 32 xy
Queremos minimizar a aacuterea de superfiacutecie
A = xy + 2xz + 2yz com a restriccedilatildeo do volume
Substituindo z obtemos
A = xy + 2x 32 xy + 2y 32
xy
A(xy) = xy + 64 y + 64
x x gt 0 e y gt 0
Como a regiatildeo eacute aberta o miacutenimo deve ocorrer num ponto criacutetico de A Passemos entatildeo a determinaacute-los
partApartx
= y ‒ 64 x2 partA
party = x ‒ 64
y2
y ‒ 64 x2 = 0 x ‒ 64
y2 = 0
y = 64 x2 x ‒
64
64x2
2 = 0
y2 = 4 x ‒ x4 64 = 0
x 1 ‒ x3
64 = 0
x1 = 0 e x2 = 4
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
113
Assim o ponto (44) eacute ponto criacutetico de A
Usando o teste da segunda derivada (Teorema 322) obtemospart2Apartx2 = 128
x3 part2A partxparty = 1 part2A
partypartx = 1 part2fparty2 = 128
y3
Calculando o determinante hessiano temos
det H (44) = 2 11 2
= 4 ‒ 1 = 3
Daiacute det H (44) gt 0 e part2Apartx2 (44) gt 0 portanto o ponto (44) eacute o miacutenimo local de A
Logo a caixa que usa o miacutenimo de material tem altura z = 2 e base quadrada x = y = 4
Exemplo 7A funccedilatildeo T (xy) = x2 + y2 ‒ 8x + 5y + 20 daacute a temperatura em graus Celsius
de cada ponto (x y) de uma chapa circular (exceto as bordas que eacute constituiacuteda de outro material) de raio 6 cm localizada no centro do plano xy Determine o ponto mais quente e o mais frio no interior da chapa se existir
Resoluccedilatildeo A funccedilatildeo T (xy) = x2 + y2 ‒ 8x + 5y + 20 tem domiacutenio D(T) = (xy) | x2 + y2 lt 36
Calculando as derivadas parciais de primeira ordem temos
partT partx
= 2x ‒ 8 e partT party
= 2y + 5
2x ‒ 8 = 02y + 5 = 0
Resolvendo o sistema temos o uacutenico ponto criacutetico 4 ‒ 52
e T 4 ‒ 52
= - 94
= ‒ 225 degC
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
part2Tpartx2 = 2 part2T
partxparty = 0 part2T partypartx = 0 part2T
party2 = 2
114
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Agora calculamos o determinante hessiano Entatildeo
det H 4 ‒ 52
= 2 00 2
= 4
Pelo Teorema 322 temos det H 4 ‒ 52
gt 0 e part2Tpartx2 gt 0 assim o ponto
4 ‒ 52
eacute miacutenimo
Portanto o ponto mais frio da chapa tem temperatura de ndash 225ordmC e estaacute
localizado no ponto 4 ‒ 52
Exemplo 8Para o projeto de uma calha tem-se uma folha metaacutelica de 12 cm de
largura que se deseja dobrar de forma a se ter uma capacidade maacutexima
Resoluccedilatildeo
A aacuterea da seccedilatildeo da calha eacute formada pela aacuterea do retacircngulo mais a aacuterea dos dois triacircngulos conforme a figura
A = 2 (triacircngulo) + retacircngulo
A = 2 x cos θ x sen θ2
+ (12 ‒ 2x) x sen θ
A = f (xθ) = x2 cos θ sen θ + 12x sen θ ‒ 2x2 sen θ
Agora vamos estudar os extremos (maacuteximos e miacutenimos) da funccedilatildeo Deriva-se a funccedilatildeo obtendo
partf partx
= 2x sen θ cos θ + 12 sen θ ‒ 4x sen θ
partf partθ
= ‒ x2 sen2 θ + x2 cos2 θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
115
Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema temos
‒ x2 sen2 θ + x2 cos2 θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x2 (‒ sen2 θ + cos2 θ) + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x2 cos 2θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x (2 cos2 θ ‒ 1) ‒ 2x cos θ + 12 cos θ = 0
x (2 cos2 θ ‒ 2 cos θ ‒ 1) + 12 cos θ = 0
2x sen θ cos θ + 12 sen θ ‒ 4x sen θ = 0
2x cos θ = 4x ‒ 12
cos θ = 4x ‒ 12
2x
cos θ = 2 ‒ 6x
Substituiacutemos o valor cos θ = 2 ‒ 6x
na segunda equaccedilatildeo e resolvendo
encontra-se x = 4 que resulta em cos θ = 2 ‒ 6x
= 12
cos θ = 12
rArr θ = p3
rad ou θ = 60deg
O ponto (460deg) encontrado parece ser bastante razoaacutevel omitiremos o teste da segunda derivada tambeacutem por causa do trabalho que estas dariam Mas para ter certeza podemos calcular a aacuterea A para valores de x e θ
116
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
x θ A4 30 149284 36 170134 42 186624 48 198464 54 205534 60 207854 66 205624 72 199194 78 18904
Entatildeo pelos valores obtidos na tabela confirmamos que a capacidade eacute maacutexima no ponto (460deg)
FONTE Disponiacutevel em ltwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 30 maio 2012
117
RESUMO DO TOacutePICO 3
Neste toacutepico vocecirc estudou alguns conceitos e teoremas importantes
bull Dizemos que P (x0y0) eacute um ponto criacutetico de f (xy) se partf partx
(x0 y0) = partf party
(x0 y0) = 0 ou se natildeo existir uma das duas derivadas parciais
bull Definimos a matriz hessiana de f (xy) por
bull O Teorema 322 (Teste da segunda derivada) facilita bastante na classificaccedilatildeo do ponto criacutetico de f (xy) Suponhamos que P (x0y0) seja um ponto criacutetico da funccedilatildeo f
i) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) gt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto miacutenimo local de f
ii) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto maacuteximo local de f
iii) Se det H (x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto de sela
iv) Se det H (x0y0) = 0 nada se conclui
118
Nos exerciacutecios 1 e 2 encontre os pontos criacuteticos das funccedilotildees dadas
1 f (xy) = x2 + y2 + xy ‒ 6x + 2
2 f (xy) = x2 + 8y4 + xy ‒ 3y2 ‒ y3
Nos exerciacutecios 3 a 7 encontre os pontos criacuteticos e os extremos locais das funccedilotildees dadas
3 f (xy) = x3 + y3 ‒ 6xy
4 f (xy) = ‒ 13
x4 + 23
x3 + 4xy ‒ y2
5 f (xy) = x3 + y2 ‒ 6xy + 6x + 3y ‒ 2
6 f (xy) = 4x ‒ 3x3 ‒ 2xy2
7 f (xy) = x4 + y4 ‒ 4xy
8 A temperatura T (degC) em cada ponto de um painel plano eacute dada pela equaccedilatildeo T (xy) = 16x2 + 24x ‒ 40y2 Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da regiatildeo
9 Um supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha com duas marcas de suco de laranja uma marca local que custa no atacado R$ 030 a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa no atacado R$ 040 a garrafa O dono do supermercado estima que se cobrar x centavos pela garrafa da marca local e y centavos pela garrafa da marca nacional venderiam 70 ‒ 5x + 4y garrafas da marca local e 80 + 6x + 7y garrafas da marca nacional por dia Por quanto o dono do supermercado deve vender as duas marcas de suco de laranja para maximizar o lucro
AUTOATIVIDADE
119
TOacutePICO 4
INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
Na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral estudamos que a integral indefinida int f (x) dx resulta em outra funccedilatildeo denominada funccedilatildeo primitiva de f (x)
Estudamos tambeacutem que a integral definida eacute dada por
desde que tal limite exista O valor calculado na integral definida quando f (x) ge 0 tem como interpretaccedilatildeo imediata o caacutelculo da aacuterea da regiatildeo compreendida entre o eixo x o graacutefico de f (x) e as retas x = a e x = b
Neste toacutepico vamos estudar a integral dupla definida cuja interpretaccedilatildeo geomeacutetrica quando f (xy) ge 0 corresponde ao caacutelculo do volume do soacutelido delimitado superiormente pelo graacutefico de z = f (xy) e inferiormente pela regiatildeo definida sobre o plano xy
2 INTEGRAL DUPLA
21 INTEGRAL DUPLA SOBRE RETAcircNGULO
Definiccedilatildeo 4211 (Volume sob uma superfiacutecie) Se f eacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis contiacutenua e natildeo negativa numa regiatildeo R do plano xy entatildeo o volume do soacutelido compreendido entre a superfiacutecie z = f (xy) e a regiatildeo R eacute definido por
A ideia envolvida na Definiccedilatildeo 4211 eacute a mesma empregada na integral definida simples Assim a regiatildeo R eacute dividida em sub-retacircngulos Faremos isso com o intervalo em x (∆x) e com o intervalo y (∆y) formando os sub-retacircngulos Rij cada um com aacuterea ∆A = ∆x∆y
120
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 43 ndash INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DA INTEGRAL DUPLA QUANDO f (xy) ge 0
FONTE Disponiacutevel em ltwwwpucrsbrfamatbeatrizcalculoIIINTEGRAL_DUPLAdocgt Acesso em 30 maio 2012
Definiccedilatildeo 4212 A integral dupla de f sobre o retacircngulo R eacute
se esse limite existir
A soma presente nas duas definiccedilotildees acima eacute chamada de soma dupla de Riemann e eacute usada como uma aproximaccedilatildeo do valor da integral dupla
22 INTEGRAIS ITERADAS
Nas integrais duplas que estudaremos neste toacutepico seratildeo consideradas apenas as integrais duplas definidas E na sua resoluccedilatildeo aplicaremos o Teorema Fundamental do Caacutelculo O caacutelculo da integral dupla eacute muito complicado pela definiccedilatildeo entatildeo veremos como calcular a integral dupla atraveacutes da integral iterada cujo valor pode ser obtido calculando-se duas integrais de funccedilotildees de uma variaacutevel real A expressatildeo iterada quer dizer repetida
Este procedimento segue a mesma ideia para calcular as derivadas parciais
UNI
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
121
Suponha que f seja uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis contiacutenua no retacircngulo R = [ab]x[cd]
bull A integral intf (xy) dy
d
c significa que a variaacutevel x eacute mantida fixa (como constante) e
f (xy) eacute integrado em relaccedilatildeo a variaacutevel y com y variando de c ateacute d
bull Como intf (xy) dy
d
c eacute um nuacutemero que depende do valor de x ele define uma
funccedilatildeo de x
F (x) = intf (xy) dy
d
c
bull Integrando a funccedilatildeo F(x) em relaccedilatildeo a variaacutevel x de a ateacute b obtemos
Lembre-se quando a integral eacute definida aplicamos o Teorema Fundamental do
Caacutelculo intf (x) dx = F(b) ‒ F(a)b
a
Exemplo 1
Calcular a integral
ResoluccedilatildeoResolvendo a integral dupla como integral iterada temos
Vamos resolver primeiro a integral que estaacute dentro dos colchetes considerando como constante a variaacutevel x jaacute que a funccedilatildeo estaacute sendo integrada primeiramente em relaccedilatildeo a variaacutevel y (pois a diferencial nesta integral eacute dy)
IMPORTANTE
122
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Assim intxy2 dy = 3x
2
‒1
Agora substituiacutemos este resultado na integral final E verifique que a integral que falta resolver eacute uma integral apenas na variaacutevel x
Portanto
Exemplo 2
Calcular a integral
ResoluccedilatildeoResolvendo a integral dupla como integral iterada temos
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
123
Vamos resolver primeiro a integral que estaacute dentro dos colchetes considerando como constante a variaacutevel y jaacute que a funccedilatildeo estaacute sendo integrada primeiramente em relaccedilatildeo a variaacutevel x (pois a diferencial nesta integral eacute dx)
Assim int (x + y + 1) dx = 2y + 2
1
‒1
Agora substituiacutemos este resultado na integral final E verifique que a integral que falta resolver eacute uma integral apenas na variaacutevel y
= 1
Portanto
Teorema 3221 (Teorema de Fubini) Se f for contiacutenua no retacircngulo R = [ab]x[cd] entatildeo
124
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Verifique a aplicaccedilatildeo do teorema de Fubini no Exemplo 2
23 INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIOtildeES GENEacuteRICAS
Vamos considerar funccedilotildees contiacutenuas definidas sobre regiotildees fechadas que denotaremos por D onde D cap R2
Conveacutem separarmos a regiatildeo plana D em dois casos que chamaremos de Tipo I e Tipo II
bull Uma regiatildeo plana D eacute dita do tipo I se estaacute contida entre o graacutefico de duas funccedilotildees contiacutenuas de x ou seja
D = (xy) a le x le b g1(x) le y le g2(x) onde g1(x) e g2(x) satildeo contiacutenuas em [ab]
FIGURA 44 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
UNI
D
a b
y
x
y₂ = g₂(x)
y₁ = g₁(x)
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
125
Definiccedilatildeo 3231 Se f eacute contiacutenua em uma regiatildeo D do tipo I tal que
D = (xy) a le x le b g1(x) le y le g2(x)
entatildeo
Exemplo 3
Escreva intintf (xy) dAD
sobre a regiatildeo D que estaacute compreendida entre o
graacutefico das funccedilotildees y = radic1 ‒ x 2 e y = 1 ‒ x
ResoluccedilatildeoVamos escrever esta integral considerando a regiatildeo do tipo I
Assim g1 (x) = 1 ‒ x e g2 (x) = radic1 ‒ x 2
Entatildeo usaremos
126
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 45 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
bull Uma regiatildeo plana D eacute dita do tipo II se estaacute contida entre o graacutefico de duas funccedilotildees contiacutenuas de y ou seja
D = (xy) c le y le d h1(y) le x le h2(y)
onde h1(y) e h2(y) satildeo contiacutenuas em [cd]
FIGURA 46 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
y
x₂ = h₂(y)
x₁ = h₁(y)
d
c x
D
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
127
Definiccedilatildeo 3232 Se f eacute contiacutenua em uma regiatildeo D do tipo II tal que
D = (xy) c le y le d h1(y) le x le h2(y)
entatildeo
Exemplo 4
Escreva intintf (xy) dAD
sobre a regiatildeo D que estaacute compreendida entre o
graacutefico das funccedilotildees y = radic1 ‒ x 2 e y = 1 ‒ x
ResoluccedilatildeoVamos escrever esta integral considerando a regiatildeo do tipo II
FIGURA 47 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim h1 (y) = 1 ‒ y e h2 (y) = radic1 ‒ y 2
Entatildeo usaremos
128
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Exemplo 5Seja f (xy) = xy calcule intintf (xy) dA
D
sobre a regiatildeo D compreendida entre y =
12
x y = radicx x = 2 e x = 4
ResoluccedilatildeoConforme pode ser observada a regiatildeo no graacutefico convecircm aplicar o tipo I
FIGURA 48 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
129
= 116
Portanto intintf (xy) dA = 116D
Exemplo 6
Calcule intint(xy ‒ y 3) dAD
sobre a regiatildeo D mostrada no graacutefico abaixo
ResoluccedilatildeoConforme pode ser observada a regiatildeo no graacutefico vamos aplicar o tipo II
A projeccedilatildeo da regiatildeo D sobre o eixo dos y daacute o intervalo 0 le y le 1 e as funccedilotildees tem que estar na variaacutevel y Entatildeo
h1 (y) = y 4 e h2 (y) = y 12
130
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 49 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim
x
y
2
1
21
y = xsup2
y = xsup1 ⁴
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
131
Vocecirc estudou integraccedilatildeo no final do Caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral e verificou que eacute possiacutevel calcular a aacuterea entre duas curvas utilizando a integral simples Vamos ver agora que tambeacutem eacute possiacutevel calcular a aacuterea entre duas curvas utilizando a integral dupla
Exemplo 7
Calcule a aacuterea compreendida entre as curvas y = 12
x y = radicx x = 2 e x = 4
ResoluccedilatildeoA aacuterea compreendida entre as curvas dadas eacute a mesma mostrada no
Exemplo 5
Assim aplicamos o a integral dupla do tipo I Para a montagem da integral o procedimento eacute o mesmo feito no exemplo 5
UNI
132
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 50 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Portanto a aacuterea definida entre as curvas eacute dada por
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
133
Concluindo a ideia do caacutelculo da aacuterea entre curvas verifique que a montagem da integral dupla tem o mesmo procedimento mostrado no item 23 A uacutenica diferenccedila eacute que devemos considerar a funccedilatildeo integrante como a constante unitaacuteria isto eacute f (xy) = 1
Exemplo 8Calcule a aacuterea entre as curvas y = 5 ‒ x2 e y = x + 3
ResoluccedilatildeoA aacuterea compreendida entre as curvas dadas acima estaacute representada a
seguir
Assim aplicamos a integral dupla do tipo I Para a montagem da integral o procedimento eacute o mesmo feito anteriormente
Precisamos encontrar os limites numeacutericos da variaacutevel x igualando a variaacutevel y
FIGURA 51 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
IMPORTANTE
y = 5 ndash xsup2
y = x + 3
ndash 2 ndash 1 21x
1
2
3
4
5y
134
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
= 92
Portanto a aacuterea definida entre as curvas eacute dada por 92
LEITURA COMPLEMENTAR
GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN (1826 - 1866)
Nasceu no dia 17 de setembro de 1826 em Breselenz Alemanha Era filho de um ministro luterano e teve uma boa instruccedilatildeo estudando em Berlim e Goumlttingen mas em condiccedilotildees muito modestas por causa de sua sauacutede fraacutegil e de sua timidez Ainda no ensino secundaacuterio estudou os trabalhos de Euler e Legendre
Aos 19 anos Riemann foi com todo o apoio do pai para a Universidade de Goumlttingen estudar teologia com o objetivo de tornar-se cleacuterigo Mais tarde pediu permissatildeo ao pai e mudou o foco dos seus estudos para a Matemaacutetica transferindo-se um ano depois para a Universidade de Berlim onde atraiu o interesse de Dirichlet e Jacobi
Em 1849 retornou a Goumlttingen onde obteve o grau de doutor em 1851 Sua brilhante tese foi desenvolvida no campo da teoria das funccedilotildees complexas Nessa tese encontram-se as chamadas equaccedilotildees diferenciais de Cauchy-Riemann - conhecidas poreacutem antes do tempo de Riemann - que garantem a analiticidade de uma funccedilatildeo de variaacutevel complexa e o produtivo conceito de superfiacutecie de Riemann que introduziu consideraccedilotildees topoloacutegicas na anaacutelise
Trecircs anos mais tarde foi nomeado Privatdozent cargo considerado o primeiro degrau para a escalada acadecircmica Com a morte de Gauss em 1855 Dirichlet foi chamado a Goumlttingen como seu sucessor e passou a incentivar Riemann primeiro com um pequeno salaacuterio e depois com uma promoccedilatildeo a professor assistente Em 1859 morreu Dirichlet e Riemann foi nomeado professor titular para substituiacute-lo
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
135
O periacuteodo de 1851 a 1859 do ponto de vista econocircmico foi o mais difiacutecil da vida de Riemann mas ele criou suas maiores obras justamente nesses anos
Riemann era um matemaacutetico de muacuteltiplos interesses e mente feacutertil contribuindo natildeo soacute para o desenvolvimento da geometria e da teoria dos nuacutemeros como tambeacutem para o da anaacutelise matemaacutetica
Riemann tornou claro o conceito de integrabilidade de uma funccedilatildeo atraveacutes da definiccedilatildeo do que atualmente chamamos Integral de Riemann
Durante uma conferecircncia-teste generalizou todas as geometrias euclidianas e natildeo euclidianas estabelecendo a Geometria Riemanniana que serviu de suporte para a Teoria da Relatividade de Einstein
Em 1859 publicou seu uacutenico trabalho em Teoria dos Nuacutemeros um artigo dedicado ao Teorema dos Nuacutemeros Primos no qual partindo de uma identidade notaacutevel descoberta por Euler chegou a uma funccedilatildeo que ficou conhecida como Funccedilatildeo Zeta de Riemann Nesse artigo provou vaacuterias propriedades importantes dessa funccedilatildeo e enunciou vaacuterias outras sem provaacute-las Durante um seacuteculo depois de sua morte muitos matemaacuteticos tentaram provaacute-las e acabaram criando novos ramos da anaacutelise matemaacutetica
Riemann morreu de tuberculose no dia 20 de Julho de 1866 em Selasca na Itaacutelia durante a uacuteltima de suas vaacuterias viagens para fugir do clima frio e uacutemido do norte da Alemanha
FONTE Disponiacutevel em lthttpecalculoifuspbrhistoriariemannhtmgt Acesso em 12 jun 2008
136
RESUMO DO TOacutePICO 4
Estudamos no Toacutepico 4 as integrais muacuteltiplas Primeiramente vimos que o procedimento do caacutelculo destas integrais eacute feito por iteraccedilatildeo isto eacute repeticcedilatildeo Resolvendo a integral de dentro (interna) para a de fora e substituindo os limites de integraccedilatildeo pelo Teorema Fundamental do Caacutelculo
Depois estudamos como calcular aacutereas de formas irregulares utilizando as integrais duplas por dois processos
Projetando a regiatildeo sobre o eixo dos x que chamamos de tipo I e escrevemos a
integral como
Projetando a regiatildeo sobre o eixo dos y que chamamos de tipo II e escrevemos a
integral como
E finalizando tambeacutem estudamos a possibilidade de calcular a aacuterea entre curvas usando a integral dupla com o mesmo procedimento revisto acima onde a funccedilatildeo integrante eacute dada por f (xy) = 1
137
Calcule a integral onde R 0 le x le 2 1 le y le 4
1 intintx2 dxdyR
2 intintxy2 dxdyR
Calcule a integral onde R 0 le x le 2 0 le y le x
3 intintx3y dxdyR
4 intinte x + y dxdyR
5 Encontre a aacuterea da regiatildeo no primeiro quadrante limitada por xy = 2 y = 1 e y = x + 1
Calcule por integraccedilatildeo dupla a aacuterea da regiatildeo limitada determinada pelo par de curvas dado
6 x2 = 4y e 2y ‒ x ‒ 4 = 0
7 y = x e x = 4y ‒ y2
8 x + y = 5 e xy = 6
AUTOATIVIDADE
138
139
UNIDADE 3
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Ao final desta unidade vocecirc deveraacute ser capaz de
bull conhecer os principais conceitos que envolvem as equaccedilotildees diferenciais
bull identificar os diferentes tipos de equaccedilotildees diferenciais
bull diferenciar as equaccedilotildees diferenciais
bull resolver as equaccedilotildees diferenciais
Na Unidade 3 estudaremos as equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias de primeira ordem e algumas equaccedilotildees diferenciais de segunda ordem Neste intuito a unidade seraacute dividida em trecircs toacutepicos O Toacutepico 1 inicia com a definiccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais ordem e classificaccedilatildeo Na sequecircncia seratildeo apresenta-das as equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias de primeira ordem separaacuteveis linea-res e exatas e seus respectivos meacutetodos de resoluccedilatildeo No toacutepico 2 destacare-mos as equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem que envolvem substituiccedilotildees em suas resoluccedilotildees em particular as equaccedilotildees de Bernoulli e as equaccedilotildees homogecircneas Finalizamos a unidade com o Toacutepico 3 estudando as equaccedilotildees diferenciais lineares de segunda ordem Nesse toacutepico nosso estudo se res-tringiraacute agraves equaccedilotildees lineares homogecircneas com coeficientes constantes
TOacutePICO 1 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
TOacutePICO 2 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
TOacutePICO 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
140
141
TOacutePICO 1
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico vamos abordar as caracteriacutesticas de uma equaccedilatildeo diferencial quanto ao seu tipo a sua ordem e a sua linearidade Na sequecircncia discutiremos os processos de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem segundo sua classificaccedilatildeo em separaacuteveis lineares ou exatas
Vejamos alguns exemplos de equaccedilotildees diferenciais
Uma equaccedilatildeo que relaciona uma funccedilatildeo desconhecida a uma ou mais de suas derivadas eacute chamada de uma equaccedilatildeo diferencial
As equaccedilotildees satildeo classificadas quanto ao tipo agrave ordem e agrave linearidade
2 DEFINICcedilOtildeES E TERMINOLOGIAS
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
142
Uma equaccedilatildeo diferencial pode ser classificada como ordinaacuteria ou parcial Se a funccedilatildeo envolvida for uma funccedilatildeo de somente uma variaacutevel dizemos que a equaccedilatildeo eacute ordinaacuteria (EDO) Se uma equaccedilatildeo diferencial conteacutem pelo menos uma derivada parcial entatildeo eacute denominada de equaccedilatildeo diferencial parcial (EDP) Vejamos alguns exemplos
i) partu party
= ndash 5 partupartx
u = u(x y) parcial
ii) d 2 y dx2 ndash 6 dy
dx + 8y = 0 ordinaacuteria
iii) part2z
partx2 + part
2zparty2
ndash 2 partzparty
= 0 z = z(x y) parcial
21 TIPOS DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Quanto agrave ordem uma equaccedilatildeo diferencial pode ser de 1ordf de 2ordf de n-eacutesima ordem dependendo da derivada de maior ordem presente na equaccedilatildeo
i) yprime ndash 3xy = x 1deg ordem
ii) yPrime + yprime = cos t 2deg ordem
iii) d y dx
2
+ 3y = 2 1deg ordem
iv) d 2 y dx2 ndash 6 dy
dx + 8y = 0 2deg ordem
v) d 3 y dt 3 ndash t
dydt + (t 2 ndash 1)y = et 3deg ordem
vi) xyprime ndash 5y = 0 1deg ordem
22 ORDEM DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
143
Uma equaccedilatildeo diferencial eacute dita linear se a funccedilatildeo e suas derivadas envolvidas na equaccedilatildeo forem de primeiro grau Caso contraacuterio dizemos que a EDO eacute natildeo linear Vejamos alguns exemplos
i) dydx + 3y = 2 linear
ii) dydx + sen y = 2 natildeo linear
iii) d 3 y dx3 ndash x dy
dx + 7y = ex linear
iv) d 3 y dt 3 +
dydt + t (y 2 ndash 1) = et natildeo linear
23 LINEARIDADE DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Uma funccedilatildeo y = y(x) eacute soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial em um dado intervalo I se a equaccedilatildeo diferencial for satisfeita para todo x isin I ou seja se y(x) e suas derivadas satisfizerem agrave equaccedilatildeo diferencial neste intervalo para todo x isin I
Exemplo 1
Verifique se a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 eacute soluccedilatildeo de yprime(x) + 2xy = x
Resoluccedilatildeo
Dado a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 vamos encontrar a derivada de primeira ordem
yprime(x) = 32
(ndash 2x)endashx 2
yprime(x) = ndash3xendashx 2
Agora substituiacutemos y e yprime na equaccedilatildeo diferencial yprime (x) + 2xy = x
24 SOLUCcedilAtildeO DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
144
Entatildeo a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial e portanto
y eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial dada
Exemplo 2Verifique se a funccedilatildeo y(x) = e2x eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
d 2 y dx2 ndash 5
dydx + 6y = 0
ResoluccedilatildeoDado a funccedilatildeo y(x) = e2x vamos encontrar as derivadas de primeira e
segunda ordem
dydx = 2e2x e
d 2 y dx2 = 4e2x
Agora vamos substituiacute-las na equaccedilatildeo diferencial d 2 y dx2 ndash 5 dy
dx + 6y = 0
4e2x ndash 5 middot 2e2x + 6e2x = 0
4e2x ndash 10e2x + 6e2x = 0
De fato a funccedilatildeo y(x) = e2x satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial
Exemplo 3Verifique se a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
xyprime(x) ndash y(x) = 2xIn x
ResoluccedilatildeoDado a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x vamos encontrar a derivada de primeira
ordem
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
145
Agora substituiacutemos y e yprime na equaccedilatildeo diferencial xyprime(x) ndash y(x) = 2xln x obtendo
2x In x = 2x In x
Portanto a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial
Dada uma equaccedilatildeo diferencial dizemos que a sua soluccedilatildeo eacute uma funccedilatildeo que satisfaz a identidade proposta por esta equaccedilatildeo Esta funccedilatildeo expressa por y = F(x) + c conteacutem uma constante arbitraacuteria oriunda do processo de integraccedilatildeo Entatildeo dizemos que y = F(x) + c c isinR eacute uma famiacutelia de soluccedilotildees da EDO e assim para cada valor arbitraacuterio de c temos uma soluccedilatildeo (funccedilatildeo) diferente para a mesma EDO Poreacutem observe que derivando-as obteremos as mesmas funccedilotildees tendo em vista que a derivada de uma constante eacute zero
Por exemplo dada a equaccedilatildeo diferencial yprime(x) = 5x ndash 2 sua soluccedilatildeo geral eacute dada por
y(x) = 52
x2 ndash 2x + c Vamos considerar c = ndash1 e c = 3 entatildeo y1(x) = 52
x2 ndash 2x ndash 1 e y2(x) = 52
x2 ndash 2x + 3 Agora vamos derivar estas soluccedilotildees (funccedilotildees) yprime1 (x) = 5x ndash 2 e yprime2 (x) = 5x ndash 2
Podemos ver que as derivadas satildeo iguais Daiacute o fato da soluccedilatildeo y = F(x) + c c isinR ser denominada de soluccedilatildeo geral da
EDO
241 Soluccedilatildeo geral
A soluccedilatildeo deduzida da soluccedilatildeo geral atribuindo-se valores particulares agrave constante arbitraacuteria c eacute chamada de soluccedilatildeo particular
Quando uma equaccedilatildeo diferencial eacute utilizada como um modelo matemaacutetico em alguma aplicaccedilatildeo haacute normalmente uma condiccedilatildeo inicial y(x0) = y0 que torna possiacutevel calcular a constante arbitraacuteria c que aparece na soluccedilatildeo geral
242 Soluccedilatildeo particular
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
146
Um problema com uma equaccedilatildeo diferencial satisfazendo alguma condiccedilatildeo adicional (por exemplo y(x
0) = y
0 eacute denominado problema do valor inicial (PVI)
Exemplo 4
Considerando dydx = 2x entatildeo y = x2 + c eacute uma soluccedilatildeo geral da EDO c isinR
ResoluccedilatildeoVamos encontrar a soluccedilatildeo particular utilizando a condiccedilatildeo adicional y(3)
= 4 Desse modo a partir da soluccedilatildeo geral y = x2 + c atribuiacutemos a x o valor 3 e a y o valor 4 determinando assim a constante c
y = x2 + c4 = 32 + c4 = 9 + cc = ndash5
Substituindo o valor de c na soluccedilatildeo geral obtemos a soluccedilatildeo particular da EDO
y = x2 ndash 5
Caros acadecircmico(a) Leia com bastante atenccedilatildeo o texto a seguir sobre as EDOs Assim vamos saber um pouco mais sobre o que estamos estudando e quais satildeo as suas finalidades
O que uma ED de primeira ordem pode nos dizer
Vamos imaginar por um momento que temos uma equaccedilatildeo diferencial
de primeira ordem na forma normal dydx = f (xy) e aleacutem disso que natildeo podemos
encontrar nem inventar um meacutetodo para resolvecirc-la analiticamente Essa situaccedilatildeo natildeo eacute tatildeo ruim quanto parece uma vez que muitas vezes eacute possiacutevel juntar informaccedilotildees uacuteteis sobre a natureza das soluccedilotildees diretamente da proacutepria
equaccedilatildeo diferencial Por exemplo jaacute vimos que quando f (xy) e partfparty
satisfazem
NOTA
ESTUDOS FUTUROS
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
147
determinadas condiccedilotildees de continuidade as questotildees qualitativas sobre a existecircncia e a unicidade de soluccedilotildees podem ser respondidas Veremos nesta seccedilatildeo que outras questotildees qualitativas sobre propriedades da soluccedilatildeo ndash Como uma soluccedilatildeo se comporta nas proximidades de um determinado ponto Como uma soluccedilatildeo se comporta quando x rarr infin ndash podem frequentemente ser respondidas quando a funccedilatildeo f depende somente da variaacutevel y Vamos comeccedilar poreacutem
com um conceito simples de caacutelculo a derivada dydx de uma funccedilatildeo diferenciaacutevel
y = y(x) daacute as inclinaccedilotildees das retas tangentes em pontos sobre seu graacutefico
Inclinaccedilatildeo
Como uma soluccedilatildeo y = y(x) de uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem dydx = f (xy) eacute necessariamente uma funccedilatildeo diferenciaacutevel em seu intervalo I a curva integral correspondente em I natildeo deve ter interrupccedilotildees e deve ter uma reta tangente em cada ponto (xy(x)) A inclinaccedilatildeo da reta tangente em (xy(x)) sobre uma curva integral eacute o valor de sua derivada primeira
dydx nesse ponto e isso
eacute sabido da equaccedilatildeo diferencial f (xy(x)) Suponha agora que (xy) representa qualquer ponto em uma regiatildeo do plano xy sobre o qual a funccedilatildeo f estaacute definida O valor f (xy) que a funccedilatildeo atribui ao ponto representa a inclinaccedilatildeo de uma reta ou como iremos pensar um segmento de reta denominado elemento linear Por exemplo consideramos a equaccedilatildeo
dydx = 02xy onde f (xy) = 02xy No ponto de
coordenadas (2 3) por exemplo a inclinaccedilatildeo de um elemento linear eacute f (23) = 12 A figura (a) mostra um segmento de reta com inclinaccedilatildeo positiva passando por (23) Conforme mostrado na figura (b) se uma curva integral tambeacutem passar por (23) faraacute isto tangenciando esse segmento de reta em outras palavras o elemento linear eacute uma miniatura da reta tangente nesse ponto
Figura 11a elemento linear em um pontoFigura 2 ndash Figura 11b o elemento linear eacute uma tangente agrave curva integral que passa pelo ponto
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
148
Campos de Direccedilotildees
Se sistematicamente calcularmos f sobre uma malha retangular de pontos (xy) no plano xy e em cada ponto (xy) desenharmos um elemento linear com a inclinaccedilatildeo (xy) a coleccedilatildeo de todos os elementos lineares seraacute chamada
de campo de direccedilotildees ou campo de inclinaccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial dydx
= f
(xy) Visualmente o campo de direccedilotildees sugere a aparecircncia ou forma de uma
famiacutelia de curvas integrais da equaccedilatildeo diferencial e consequentemente pode ser possiacutevel vislumbrar determinados aspectos qualitativos das soluccedilotildees ndash por exemplo regiotildees no plano nas quais uma soluccedilatildeo exibe um comportamento natildeo usual Uma uacutenica curva integral que segue seu caminho em um campo de direccedilotildees deve acompanhar o padratildeo de fluxo do campo ela eacute tangente a um elemento linear quando intercepta um ponto da malha
FONTE Zill (2003 p 41-42)
Estudaremos alguns tipos de equaccedilotildees diferenciais que requerem meacutetodos distintos de resoluccedilatildeo Vamos iniciar pelas equaccedilotildees diferenciais separaacuteveis caracterizando-as e determinando seu processo de resoluccedilatildeo
Definiccedilatildeo 131 A equaccedilatildeo yprime = f (xy) seraacute separaacutevel se f puder ser expressa como um produto de uma funccedilatildeo p(x) e uma funccedilatildeo q(y) com q(y) ne 0 Assim a equaccedilatildeo diferencial teraacute a forma
3 EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL SEPARAacuteVEL
yprime = p(x) q(y) ou
dydx = p(x) q(y) ou
yprime 1
q(y) = p(x)
onde p(x) e q(y) satildeo contiacutenuas em seu domiacutenio
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
149
Considerando a equaccedilatildeo diferencial dada o primeiro passo para resolvecirc-lo eacute separar as variaacuteveis y e x juntamente com as suas respectivas diferenciais obtendo a seguinte igualdade
1q(y)
dy = p(x)dx
A seguir integramos ambos os lados da igualdade
int 1q(y)
dy = int p(x)dx
E sempre que for possiacutevel escrevemos a funccedilatildeo (soluccedilatildeo geral da EDO) na sua forma expliacutecita
Vamos resolver um exemplo para aplicarmos o meacutetodo
Exemplo 5
Resolva a equaccedilatildeo diferencial dydx = 6ex
Resoluccedilatildeo
dydx = 6ex
Inicialmente vamos separar as variaacuteveis
31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
dy = 6ex dx
Integrando ambos os lados da igualdade
int dy = int 6ex dx
int dy = 6 int ex dx
y + c1 = 6ex + c2
Isolando a variaacutevel y
y = 6ex + c2 ndash c1
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
150
Para deixar uma uacutenica constante na funccedilatildeo consideramos c = c2 ndash c1 donde temos que
y = 6ex + c
Exemplo 6Resolva a equaccedilatildeo diferencial
dydx =
xy2
Resoluccedilatildeo
dydx =
xy2
Dada a equaccedilatildeo diferencial acima vamos separar as variaacuteveis
Multiplicando ambos os lados da igualdade por y2 temos
y 2 dy = x dx
Integrando ambos os lados da igualdade
int y 2 dy = int x dx
y3
3 + c1 = x2
2 + c2
Isolando a variaacutevel y
y3
3 = x2
2 + c2 ndash c1
y 3 = 3x2
2 + 3(c2 ndash c1)
Para deixar uma uacutenica constante na funccedilatildeo consideramos c = 3(c2 ndash c1)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
151
Portanto as soluccedilotildees da EDO dada satildeo da forma c isinR
Natildeo haacute necessidade de usar duas constantes na integraccedilatildeo de uma equaccedilatildeo
separaacutevel int q(y) dy = int
p(x) dx pois se escrevermos Q(y) + c1 = P(x) + c
2 a diferenccedila c
2 ndash
c1 poderaacute ser substituiacuteda por uma uacutenica constante c resultando Q(y) = P(x) + c Em vaacuterias
ocasiotildees ao longo deste toacutepico renomearemos constantes de forma conveniente Por exemplo muacuteltiplos de constantes ou combinaccedilotildees de constantes podem algumas vezes ser substituiacutedas por uma uacutenica constante
Definiccedilatildeo 132 Chamamos de famiacutelia de funccedilotildees ao conjunto de vaacuterias funccedilotildees da forma y = f (x) + c c isinR ou seja ao conjunto formado pelas funccedilotildees que tem o mesmo comportamento a menos da constante c isinR
Exemplo a famiacutelia de funccedilotildees y(x) = x 3 ndash 2xsup2 + c
FIGURA 52 ndash Figura 12
FONTE O autor
NOTA
ndash 4
ndash 3
ndash 2
ndash 1
ndash 1ndash 2 1 2 3 4x
y
1
2
3
4x 3 ndash 2xsup2 + c
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
152
Exemplo 7Resolva a equaccedilatildeo diferencial yprime y + x = 0
ResoluccedilatildeoPodemos reescrever a equaccedilatildeo dada como
dydx
y + x = 0
Subtraindo x em ambos os lados da igualdade obtemos
dydx
y = ndashx
y dydx = ndashx
y d y dx
dx = ndashx dx
y dy = ndashx dx
int y dy = ndashint x dx
Vamos escrever apenas uma constante ao lado direito da igualdade junto agrave variaacutevel x
y x c
y x c
2 2
22
2 323
2
=minus
+
=minus
+
Considerando k = 2c temos
y x k222
3=minus
+
Podemos deixar a funccedilatildeo na forma impliacutecita
23
2 2x y k+ =
Neste caso eacute interessante deixar esta soluccedilatildeo na forma impliacutecita pois facilita a identificaccedilatildeo quanto ao tipo de curva obtida Neste exemplo obtemos uma elipse
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
153
OBSERVACcedilAtildeO Note que para natildeo carregar a notaccedilatildeo aplicamos a ideia de escrever apenas uma letra para as constantes que surgem no caacutelculo
Exemplo 8Determine a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo diferencial
dydx = sen (2x)
ResoluccedilatildeoRepetindo o procedimento utilizado nos exemplos anteriores temos
dy = sen (2x) dx
Integrando os dois lados da igualdade
int dy = int sen (2x) dx
Para resolver a integral obtida do lado direito da igualdade vamos aplicar a teacutecnica de substituiccedilatildeo
y = 12
int sen u du u = 2x
y = 12
(ndashcos u) + c du = 2 dx
y = ndash 12
cos (2x) + c 12
du = dx
FIGURA 53 ndash GRAacuteFICO DAS SOLUCcedilOtildeES DA EDO
FONTE O autor
-3
-2
-2-2 -2
-1-1-1
-1
0
00 0 x
1
11 1
2
22 2
33
3y
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
154
Exemplo 9Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo diferencial dy
dt = e t ndash y
Resoluccedilatildeodydt
= e t ndash y
Primeiramente vamos recordar a propriedade do produto de potecircncias de mesma base onde am an = a m + n com a m n isin R
Utilizaremos a propriedade da direita para a esquerda ou seja separando a expressatildeo am+n em um produto de duas potecircncias de mesma base
dydt
= e t middot e ndashy
dy = e t middot e ndashy dt
ey dy = et dt
int ey dy = int et dt
ey = et + c
Para isolar y precisamos aplicar o logaritmo natural (ln) a ambos os membros da igualdade
In ey = In (et + c)
Pelas propriedades operatoacuterias dos logaritmos em particular a propriedade da potecircncia do logaritmo temos que In ak = k middot In a e portanto
y In e = In (et + c)
Como In e = 1 temos
y = In (et + c)
Portanto y(t) = In (et + c) eacute soluccedilatildeo da EDO proposta
A
c isin R
Exemplo 10Resolva a equaccedilatildeo diferencial (2 + y) dt + (t ndash 3) dy = 0
ResoluccedilatildeoNa equaccedilatildeo (2 + y) dt + (t ndash 3) dy = 0 devemos separar as variaacuteveis Neste
caso deixamos y do lado esquerdo da igualdade e t do lado direito da igualdade
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
155
(t ndash 3) dy = ndash(2 + y) dt
dy2 + y = ndash dt
t ndash 3
Agora basta integrar os dois lados da igualdade
int dy2 + y = ndashint dt
t ndash 3
Estas integrais satildeo resolvidas aplicando a teacutecnica de substituiccedilatildeo donde obtemos
In(2 + y) = ndash In(t ndash 3) + c
In(2 + y) + In(t ndash 3) = c
Agora aplicamos a propriedade do produto de logaritmos de mesma base para a qual teremos In (a middot b) = In a + In b Utilizaremos a propriedade da direita para a esquerda ou seja multiplicaremos os logaritmandos e obteremos assim
In[(2 + y) middot (t ndash 3)] = c
Portanto a igualdade (2 + y) middot (t ndash 3) = ec
A
c isin R eacute uma soluccedilatildeo na forma impliacutecita da EDO proposta
Exemplo 11Resolva a equaccedilatildeo diferencial y prime = x e y ndash x
ResoluccedilatildeoPrimeiramente vamos mudar a notaccedilatildeo da derivada
dydx = x e y ndash x
Para resolver a equaccedilatildeo devemos separar as variaacuteveis
dydx = x e y e ndashx
Para isso multiplicamos ambos os lados da igualdade por e ndashy
e ndashy dydx = xe ndashx
e ndashy dy = xe ndashx dx
Integramos ambos os lados da igualdade
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
156
Para resolver a integral (1) utilizaremos a teacutecnica da substituiccedilatildeo
w = ndash y rArr dw = ndash dy
int e ndashy dy = ndashint ew dw = ndash ew + c1 = ndash e ndashy + c1
Enquanto que para a integral (2) aplicaremos a teacutecnica da integraccedilatildeo por partes
int udv = u middot v ndashint vdu u = x
int xe ndashx dx = x middot (ndash endashx) ndash int (ndash endashx) dx du = dx
int xe ndashx dx = ndash xendashx ndash endashx + c2 dv = endashx dx
v = ndash endashx
Retomando a igualdade int e ndashy dy = int xendashx dx temos
int e ndashy dy = int xendashx dx
ndashe ndashy + c1 = ndashxendashx ndashendashx + c2
Vamos escrever apenas uma constante do lado direto da igualdade e multiplicar ambos os lados por (-1) obtendo
e ndashy = xendashx + endashx + c
Colocando a expressatildeo endashx em evidecircncia no lado direito da igualdade
e ndashy = endashx (x + 1) + c
Para isolar a variaacutevel y aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade
In e ndashy = In [endashx (x + 1) + c]
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
157
Pela propriedade operatoacuteria da potecircncia do logaritmo temos
ndashy = In [endashx (x + 1) + c]
Portanto y(x) = ndashIn [endashx (x + 1) + c] eacute soluccedilatildeo da EDO proposta
A
c isin R
Exemplo 12
Encontre a soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo diferencial yprime = xy ndash yy + 1 no ponto
y(2) = 1
Resoluccedilatildeo
Deixamos a soluccedilatildeo na forma impliacutecita Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
158
c = 1
A funccedilatildeo y que satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial e atende agrave condiccedilatildeo y(2) = 1 eacute dada por
y(2) = 1
Continuamos a busca por soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem examinando a seguir as equaccedilotildees lineares
Definiccedilatildeo 141 Uma EDO da forma
yprime + p(x)y = q(x) ou
dydx + p(x)y = q(x)
onde p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees contiacutenuas em algum intervalo I eacute chamada de equaccedilatildeo diferencial linear de primeira ordem
4 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ordf ORDEM
Observe a forma deste tipo de EDO Cada equaccedilatildeo diferencial que estudaremos possui uma forma-padratildeo diferente Fique bastante atento
Teorema 141 A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
dydx + p(x)y = q(x) eacute
NOTA
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
159
y = 1
v(x) int v(x) q(x)dx
onde v(x) = eH(x) com H(x) = int p(x)dx A funccedilatildeo v(x) eacute chamada fator integrante
Desafie-se e faccedila a demonstraccedilatildeo matemaacutetica da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial linear
41 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Vamos descrever os passos para resolver uma equaccedilatildeo diferencial linear a qual utilizaremos o fator integrante
bull Escreva a equaccedilatildeo linear dada na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
bull Encontre uma primitiva de p(x) isto eacute resolva intp(x)dx
bull Encontre o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
bull Multiplique ambos os lados da equaccedilatildeo diferencial yprime + p(x)y = q(x) pela funccedilatildeo v(x)
bull Identifique do lado esquerdo da igualdade da derivada do produto
bull Resolva a equaccedilatildeo e se possiacutevel decirc a soluccedilatildeo na forma expliacutecita
Aplicaremos o meacutetodo em alguns exemplos para entendecirc-lo melhor
Exemplo 13Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprime + 3y = 12 (meacutetodo do fator integrante)
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
onde p(x) = 3 e q(x) = 12
O primeiro passo eacute calcular a primitiva de p(x)
H(x) = intp(x)dx entatildeo temos
UNI
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
160
H(x) = int3dx = 3x
Escrevendo o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = e3x
Agora multipliquemos a EDO por v(x)
e3x yprime + 3e3x y = 12e3x
Observemos o lado esquerdo nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = e3x teremos uprime = yprime e vprime = 3e3x Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
e3x y = 12inte3xdx
Atente para o fato de que a integral inte3xdx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
e3x y = 123
e3x + c
e3x y = 4e3x + c
Isolando a variaacutevel y
y = 4e3x middot endash3x + c endash3x
Portanto y(x) = 4 + c endash3x c isin R eacute soluccedilatildeo geral da EDO
Vamos deduzir um modelo de soluccedilatildeo geral para as equaccedilotildees lineares ordinaacuterias de primeira ordem com coeficientes constantes (deduccedilatildeo do fator integrante) ou seja
dydt + ay = b ou yprime + ay = b
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
161
Comparando a EDO apresentada com a forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x) identificamos que p(x) = a e q(x) = b Assim p(x) e q(x) satildeo constantes Neste caso
H(x) = intp(x)dx
H(x) = intadx = ax
e o fator integrante v(x) = eintp(x)dx fica
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eax
Multiplicando a EDO por v(x)
eax yprime + aeax y = beax
Observe o lado esquerdo da equaccedilatildeo nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = eax teremos uprime = yprime e vprime = aeax Entatildeo
Integrando ambos os membros da igualdade
eax y = binteaxdx
A integral inteaxdx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
eax y = ba
eax + c
Isolando a variaacutevel y
y = ba
eax endashax + c endashax
Portanto y(x) = ba
+ c endashax c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO yprime + ay = b
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
162
Caro(a) acadecircmico(a) Que tal voltar ao exemplo 13 e resolvecirc-lo usando o resultado demonstrado anteriormente
Exemplo 14Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprime + y = x
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
com p(x) =1 e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = intp(x)dx entatildeo temos
H(x) = intdx = x
Assim o fator integrante v(x) = eintp(x)dx eacute
v(x) = eH(x) rArr v(x) = ex
Multiplicamos a EDO por v(x)
ex yprime + ex y = xex
Observe o lado esquerdo da igualdade e identifique a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = ex teremos uprime = yprime e vprime = ex Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
ex y = intx ex dx
UNI
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
163
Para resolver esta integral intx ex dx precisaremos aplicar o meacutetodo da integraccedilatildeo por partes Considerando u = x e dv = ex dx teremos du = dx e v = ex Entatildeo
aplicando a foacutermula da integraccedilatildeo por partes intu dv = u middot v ndash intv du
ex y = xex ndash intex dx
ex y = xex ndash ex + c
Isolando a variaacutevel y
y = xexendashx ndash exendashx + c endashx
Portanto y(x) = x ndash 1 + c endashx c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 15Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo x
dydx = x2 ndash 5y
ResoluccedilatildeoVeja que a equaccedilatildeo diferencial natildeo estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
Entatildeo primeiro temos que reescrevecirc-la na forma-padratildeo
Assim identificamos p(x) = 5x e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = int 5x
dx = 5 In x
= In x5
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
164
E assim o fator integrante v(x) = eintp(x)dx pode ser escrito como
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eIn x 5
v(x) = x5
Multiplicando a EDO por v(x)
x5 yprime + x5 5x
y = x x5
x5 yprime + 5x4 y = x6
Observe o lado esquerdo da igualdade Nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = x5 teremos uprime = yprime e vprime = 5x 4 Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
x5 y = intx6 dx
x5 y = x7
7 + c
y = x7
7 x ndash5 + cx ndash5
Portanto y(x) = x2
7 + cx ndash5 eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
A
x isin R
Exemplo 16
Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo dydx + 4x3 y = 20x3
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x)
Identificamos p(x) = 4x3 e q(x) = 20x3
Vamos calcular a primitiva de p(x)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
165
H(x) = intp(x) dx entatildeo temos
H(x) = int4x3 dx = x 4
Escrevemos o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = ex 4
Multiplicamos a EDO por v(x)
ex 4 yprime + 4x3 ex 4 y = 20x3 ex 4
Observamos o lado esquerdo da igualdade nele devemos identificar a derivada do produto (u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = ex 4 teremos uprime = yprime e vprime = 4x3 ex 4 Entatildeo
Integramos ambos os lados da igualdade
ex 4 y = 20 intx3 ex 4 dx
A integral intx3 ex 4 dx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
e y e c
y e e c e
x x
x x x
4 4
4 4 4
20 14
5
= sdot +
= sdot sdot + sdotminus minus
Portanto y c e x= + sdot minus54
A
x isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
O exemplo a seguir traz uma aplicaccedilatildeo praacutetica de EDO no movimento retiliacuteneo uniformemente variado
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
166
Exemplo 17Sabe-se que no movimento retiliacuteneo uniformemente variado a aceleraccedilatildeo
a = dvdt eacute constante Supondo que o movimento parte do repouso e sabendo que
v = dsdt determine s(t)
ResoluccedilatildeoPartimos da primeira EDO apresentada
dvdt = a
dsdt = v
intdv = inta dt dsdt = at + v0
v = at + c1 intds = int(at + v0) dt
v(t) = at + c1 s = at 2
2 + v0t + c2
s(t) = at 2
2 + v0t + c2
Fazendo c1 = v0 onde v0 seraacute a velocidade inicialbullbull bull
v(t) = at + v0 Substituindo c2 = s0 onde s0 seraacute a posiccedilatildeo inicial
bullbull bull s(t) = at 2
2 + v0t + s0
O proacuteximo exemplo traz um problema de valor inicial (PVI) Vamos entender como se resolve um problema que apresenta uma condiccedilatildeo inicial
Exemplo 18Resolva o seguinte problema do valor inicial yprime + 2
x y = x x gt 0 y(2) = 3
ResoluccedilatildeoIdentificamos p(x) = 2
x e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = int 2x
dx = 2 In |x|
H(x) = In x 2
Escrevemos o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eIn x 2
v(x) = x 2
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
167
Multiplicamos a EDO por v(x)
x 2 yprime + x 2 2x
y = x 2 x
x 2 yprime + 2xy = x 3
Observando o lado esquerdo devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = x 2 teremos uprime = yprime e vprime = 2x Entatildeo
Integramos ambos os lados da EDO
x 2 y = intx 3 dx
x 2 y = x 4
4 + C
Portanto y(x) = x 2
4 + C
x 2
A
x isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado y(2) = 3 para encontrarmos a soluccedilatildeo particular
y = 2 2
4 + C
2 2 = 3
1 + C4
= 3
C4
= 2
C = 8
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
168
Portanto y(x) = x 2
4 + 8
x 2
A
x gt 0 eacute a soluccedilatildeo particular da EDO
Observe que a soluccedilatildeo deste problema de valor inicial eacute vaacutelida em todo intervalo ]0 +infin[ conforme a figura a seguir mostra esta soluccedilatildeo
FIGURA 54 ndash SOLUCcedilAtildeO DO PROBLEMA
FONTE O autor
Estudaremos outro tipo de equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem as chamadas equaccedilotildees diferenciais exatas onde destacamos o uso das derivadas parciais A seguir veremos a definiccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial exata e o teorema que estabelece um criteacuterio para identificar se uma EDO eacute exata
Definiccedilatildeo 151 Uma expressatildeo diferencial M(xy) dx + N(xy) dy eacute uma diferencial exata em uma regiatildeo R do plano xy se ela corresponde agrave diferencial total de alguma funccedilatildeo F(xy) ou seja dF= M(xy) dx + N(xy) dy
Teorema 151 (Criteacuterio para diferencial exata) Sejam M(xy) e N(xy) contiacutenuas e com derivadas parciais de primeira ordem contiacutenuas em uma regiatildeo R (retangular) definida por a lt x lt b e c lt y lt d Entatildeo uma condiccedilatildeo necessaacuteria e suficiente para que M(xy) dx + N(xy) dy seja uma diferencial exata eacute partM
party = partN
partx
5 EQUACcedilOtildeES EXATAS
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
169
51 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
bull Verificar se a equaccedilatildeo M(xy) dx + N(xy) dy eacute exata
bull Se for exata entatildeo existe uma funccedilatildeo f para a qual partf partx
= M(xy)
bull Integrando a equaccedilatildeo exata em relaccedilatildeo a variaacutevel x (mantendo o y constante) para encontrar f obtemos f (xy) = intM(xy) dx + o (y) onde a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) eacute a constante de integraccedilatildeo
bull Agora precisamos encontrar a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) Derive a funccedilatildeo f (xy) em relaccedilatildeo a variaacutevel y encontrada anteriormente e supomos que partf
party = N(xy) Da
comparaccedilatildeo determina-se oprime(y)
bull Finalmente integramos oprime (y) em relaccedilatildeo a y e substituiacutemos o valor encontrado para o (y) na funccedilatildeo f (xy)
bull A soluccedilatildeo eacute a funccedilatildeo impliciacuteta f (xy) = c
Exemplo 19Resolva a equaccedilatildeo diferencial (x+y)dx + (e y + x)dy = 0
ResoluccedilatildeoEm primeiro lugar precisamos verificar se esta equaccedilatildeo eacute exata
Sendo M(xy) = x + y e N(xy) = e y + x verificaremos se partM party
= partN partx
Como partM party
= 1 e partN partx
= 1 a EDO eacute exata
Entatildeo existe f (xy) tal que partf partx = x + y
Vamos integrar partf partx = x + y em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x (mantendo o y constante)
para encontrar f
f (xy) = int(x + y) dx
f (xy) = x 2
2 + xy + o (y)
Para encontrar a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivemos a funccedilatildeo f (xy) em relaccedilatildeo agrave y
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
170
Comparando a derivada parcial encontrada partf party
= x + oprime (y) com N(xy) partf party
= N(xy)
x + oprime (y) = e y + x daiacute temos
oprime (y) = e y
Agora vamos integrar oprime (y) = e y Entatildeo
intoprime(y)dy = int e dyy
o (y) = e y + c
Voltando na f (xy) e substituindo o (y) temos
f (xy) = x 2
2 + xy + e y + c c isin R
Definiccedilatildeo 152 Chamamos de curvas integrais as vaacuterias funccedilotildees (soluccedilotildees) de uma EDO
Exemplo 20Encontre as curvas integrais de 2xy dx + (x 2 ndash 1) dy = 0
ResoluccedilatildeoSendo M (xy) = 2xy e N (xy) = x 2 ndash 1 temos
partM party
= 2x = partN partx
Assim a EDO eacute exata
Entatildeo existe f (xy) tal que partf partx
= 2xy
Integrando partf partx
= 2xy em relaccedilatildeo a x obtemos
f (xy) = int2xy dx
f (xy) = x 2 y + o (y)
Agora encontraremos a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivando f (xy) em y
partf party
= x 2 + oprime (y)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
171
Comparamos a derivada parcial encontrada acima com N (xy) partf party
= N (xy)
x 2 + oprime (y) = x 2 ndash 1 daiacute
oprime (y) = ndash1
Agora integramos oprime (y) = ndash1 Entatildeo
o (y) = ndash intdy
o (y) = ndash y + c
Logo f (xy) = x 2 y ndash y + c c isin R
Nos exemplos 19 e 20 a funccedilatildeo f (xy) estaacute na forma impliacutecita Escreva a funccedilatildeo na forma expliacutecita y = f (x)
Exemplo 21Resolva a EDO (y cos x + 2x e y) dx + (sen x + x 2 e y ndash 1) dy = 0
ResoluccedilatildeoVerifiquemos se a equaccedilatildeo diferencial eacute exata
Sendo M (xy) = y cos x + 2x e y e N (xy) = sen x + x 2 e y ndash 1 temos
partM party = cos x + 2x e y =
partN partx
Assim a EDO eacute exata
Logo existe f (xy) tal que partf partx
= y cos x + 2x e y
Integrando partf partx
= y cos x + 2x e y em relaccedilatildeo agrave x obtemos
f (xy) = int(y cos x + 2x e y) dx
f (xy) = y sen x + x 2 e y + o (y)
Agora encontraremos a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivando f (xy) em y
UNI
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
172
partf party
= sen x + x 2 e y + oprime (y)
Comparemos a derivada parcial encontrada partf party
= sen x + x 2 e y + oprime (y) com N (xy)
sen x + x 2 e y + oprime (y) = sen x + x 2 e y ndash 1
oprime (y) = ndash 1
Entatildeo
o (y) = ndash intdy
o (y) = ndashy + c c isin R
Logo f (xy) = y sen x + x 2 e y ndash y + c
Exemplo 22
Verifique se a equaccedilatildeo (x In y ndash e ndashxy) dx + 1y
+ y In x dy = 0 eacute exata
ResoluccedilatildeoSejam M (xy) = x In y ndash e ndashxy e N (xy) = 1
y + y In x
Entatildeo partM party
= x middot 1y
+ xe ndashxy e partN partx
= y middot 1x
vsAssim partM party
ne partN partx
Portanto a EDO natildeo eacute exata
OBSERVACcedilAtildeO Para resolver esta equaccedilatildeo diferencial eacute preciso utilizar um outro procedimento que natildeo veremos neste caderno mas que vocecirc pode encontrar por exemplo em BOYCE W DI PRIMA R C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores de contorno 7ordf Ed Satildeo Paulo LTC 2002
UNI
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
173
Exemplo 23Encontre a curva integral da equaccedilatildeo (2x sen y + e x cos y) dx + (x 2 cos y ndash e x
sen y) dy = 0 que passa pelo ponto y (0) = p4
ResoluccedilatildeoO enunciado do exemplo 23 nos traz um problema de valor inicial para
uma EDO exata
Verificaremos se a EDO eacute exata
Sendo M (xy) = 2x sen y + e x cos y e N (xy) = x 2 cos y ndash e x sen y temos
partM party
= 2x cos y ndash e x sen y = partN partx
Assim a EDO eacute exata
Como a equaccedilatildeo eacute exata entatildeo existe f (xy) tal que partf partx
= 2x sen y + e x cos y
Integrando partf partx
= 2x sen y + e x cos y em relaccedilatildeo a x obtemos
f (xy) = int(2x sen y + e x cos y) dx
f (xy) = x 2 sen y + e x cos y + o (y)
partf party
= x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y)
Comparamos a derivada parcial encontrada partf party
= x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y) com N (xy)
x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y) = x 2 cos y ndash e x sen y
oprime (y) = 0
Agora integramos oprime (y) = 0 Entatildeo
o (y) = c
Logo f (xy) = x 2 sen y + e x cos y + c c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado y (0) =
p4
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
174
x 2 sen y + e x cos y = c
02 sen p4 + e 0 cos
p4 = c
c = radic22
Portanto x 2 sen y + e x cos y = radic22 eacute a soluccedilatildeo particular da EDO ou seja a
curva integral que passa pelo ponto y (0) = p4
Caro(a) acadecircmico(a) Se depois da leitura do Toacutepico 1 e da realizaccedilatildeo dos exerciacutecios ainda tiver duacutevidas procure esclarececirc-las antes de iniciar o estudo do Toacutepico 2 Bons estudos
NOTA
175
Neste toacutepico estudamos as Equaccedilotildees Diferenciais de Primeira Ordem
bull Iniciamos conhecendo os termos e conceitos relativos agraves equaccedilotildees diferenciais e a partir daiacute estudamos trecircs tipos de equaccedilotildees diferenciais
bull O primeiro tipo de equaccedilatildeo estudada foi a Separaacutevel cuja forma-padratildeo eacute dada
por yprime = p(x) middot q(y) ou dydx
= p(x) middot q(y) ou yprime q(y) = p(x) A resoluccedilatildeo deste tipo de
EDO eacute feita atraveacutes da separaccedilatildeo das variaacuteveis e em seguida faz-se a integraccedilatildeo da igualdade
bull O segundo tipo de equaccedilatildeo estudada foi a Equaccedilatildeo Diferencial Linear de Primeira
Ordem que tem a forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) ou dydx
+ p(x) y = q(x) Para a sua
resoluccedilatildeo utilizamos o fator integrante v(x) = eH(x) onde H(x) = intp(x)dx
bull E o terceiro tipo de equaccedilatildeo diferencial estudada foi a Equaccedilatildeo Exata cuja forma-padratildeo eacute expressa por M (xy) dx + N (xy) dy O procedimento de resoluccedilatildeo requer
que trabalhemos com partf partx
= M (xy) e partf party
= N (xy) seguindo todo o procedimento
jaacute estudado
RESUMO DO TOacutePICO 1
176
Nos problemas 1 e 2 resolva por separaccedilatildeo de variaacuteveis as equaccedilotildees diferenciais dadas
1 dydx
= (x + 1)2
2 dydt
= t 2
y 2
Nos problemas 3 e 4 resolva as equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem dadas
3 dydx
ndash 3x
y = x
4 dydx
+ y = e 3x
Nos problemas 5 e 6 resolva as equaccedilotildees diferenciais exatas
5 (5x + 4y)dx + (4x ndash 8y3)dy = 0
6 (sen y ndash y sen x)dx + (cos x + x cos y)dy = 0
Nas EDO a seguir identifique o tipo de EDO e encontre a funccedilatildeo desconhecida
7 yprime + 3x 2 y = x 2
8 dydx
= 3x 2 + 4x + 2
2 (y ndash 1) y (0) = 1
9 (3x 2 ndash 2xy + 2) + (6y 2 ndash x 2 + 3) yprime = 0
10 dydx
= e 3x + 2y
AUTOATIVIDADE
177
TOacutePICO 2
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE
PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI
21 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
No Toacutepico 2 estudaremos mais tipos de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem tais como Equaccedilotildees de Bernoulli e Equaccedilotildees homogecircneas A resoluccedilatildeo destas equaccedilotildees requer algum tipo de substituiccedilatildeo
Definiccedilatildeo 221 Uma equaccedilatildeo de primeira ordem da forma yprime + p(x) y = q(x) y n onde p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees definidas e contiacutenuas em algum intervalo I e n eacute um nuacutemero real tal que n ne 0 e n ne 1 eacute chamada de equaccedilatildeo de Bernoulli
bull Escrever a equaccedilatildeo na forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) y n
bull Identificar as funccedilotildees p(x) q(x) e o valor de n
bull Indicar a substituiccedilatildeo que seraacute feita e aplicar a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
bull Agora a EDO eacute uma linear de primeira ordem sendo uprime + p(x) u = q(x)
bull Calcular o fator integrante e obter a soluccedilatildeo
178
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
A equaccedilatildeo de Bernoulli y + p(x) y = q(x) y n que embora seja de primeira ordem e natildeo linear (quando n ne 1) se transforma em uma equaccedilatildeo diferencial linear atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y 1 ndash n
Vamos mostrar como que se chega agrave foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
Seja a equaccedilatildeo de Bernoulli dada por
yprime + p(x) y = q(x) y n
Multipliquemos a equaccedilatildeo por u = y ndashn
yprime y ndashn + p(x) yy ndashn = q(x) yn y ndashn
yprime y ndashn + p(x) y 1 ndash n = q(x) Vamos fazer uma substituiccedilatildeo u = y 1 ndash n Daiacute
uprime = (1 ndash n) y ndashn yprime
yprime = uprime
(1 ndash n) y ndashn
Retornando agrave equaccedilatildeo e fazendo as substituiccedilotildees obtemos
uprime(1 ndash n)
+ p(x) u = q(x)
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
Exemplo 1Encontre as curvas integrais para a equaccedilatildeo x dy
dx + y = x 2 y 2
ResoluccedilatildeoPrimeiro precisamos escrever a EDO na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de
Bernoulli
Seja xyprime + y = x 2 y 2 Multiplicando ambos os lados da igualdade por 1x
com x ne 0 obtemos
1x
middot (xyprime + y) = 1x
middot x 2 y 2
NOTA
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
179
1x
middot xyprime + 1x
middot y = 1x
middot x 2 y 2
yprime + 1x
y = xy 2
Agora a EDO estaacute na forma yprime + p(x) y = q(x) y n e poderemos transformaacute-la numa equaccedilatildeo diferencial linear considerando u = y ndash1 e
p(x) = 1x
q(x) = x e n = 2
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 2) middot 1x
middot u = (1 ndash 2) middot x
uprime + (ndash1) 1x
u = (ndash1) x
uprime ndash 1x
u = ndashx
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 1x
dx
H(x) = ndashIn x
v(x) = e ndashIn x
v(x) = x ndash1
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash1 em ambos os lados da igualdade obtemos
x ndash1 uprime ndash 1x
x ndash1 u = ndashxx ndash1
x ndash1 u = ndash intdx
x ndash1 u = ndashx + c
u = ndashx 2 + cx
180
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash1 feita no iniacutecio
y ndash1 = ndashx 2 + cx
y = (ndashx 2 + cx)ndash1
Portanto y(x) = 1
ndashx 2 + cx c isin R
Exemplo 2Resolva a EDO yprime + 4y = 3e 2x y 4
ResoluccedilatildeoA EDO jaacute estaacute na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de Bernoulli
Entatildeo aplicamos a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x) para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash3 e
p(x) = 4 q(x) = 3e 2x e n = 4
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 4) middot 4 middot u = (1 ndash 4) middot 3e 2x
uprime + (ndash3) middot 4u = (ndash3) middot 3e 2x
uprime ndash12u = ndash9e 2x
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int(ndash12) dx
H(x) = ndash12x
v(x) = e ndash12x
Multiplicando o fator integrante v(x) = e ndash12x em ambos os membros da igualdade obtemos
e ndash12x uprime ndash 12 e ndash12x u = e ndash12x (ndash9e 2x)
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
181
e ndash12x u = int(ndash9e ndash10x) dx
Para resolver esta integral vamos aplicar o meacutetodo da substituiccedilatildeo considerando
w = ndash10x rArr dw = ndash10 dx
Entatildeo e ndash12x u = 910
intew dw
e ndash12x u = 910
ew + c
e ndash12x u = 910
e ndash10x + c
e ndash12x e12x u = 910
e ndash10x e12x + c middot e12x
u = 910
e 2x + c middot e12x
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash3 feita no iniacutecio
u = 910
e 2x + c middot e12x
y ndash3 = 910
e 2x + c middot e12x
Portanto y(x) = 910
e 2x + c middot e12x
ndash⅓
c isin R eacute soluccedilatildeo geral da EDO proposta
Exemplo 3Encontre a soluccedilatildeo geral para a equaccedilatildeo xyprime + y = ndashxy 2
ResoluccedilatildeoEscrevendo a EDO na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de Bernoulli
Seja xyprime + y = ndashxy 2 multiplicamos ambos os lados da igualdade por 1x
1x
middot xyprime + 1x
middot y = ndash 1x
xy 2
yprime + 1x
y = ndashy 2
Assim a EDO estaacute na forma yprime + p(x) y = q(x) y n
Entatildeo aplicamos a foacutermula mostrada acima para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash1
182
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
p(x) = 1x
q(x) = ndash1 e n = 2
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 2) middot 1x
middot u = (1 ndash 2) (ndash1)
uprime + (ndash1) 1x
u = (ndash1) (ndash1)
uprime ndash 1x
u = 1
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 1x
dx
H(x) = ndashIn x
v(x) = e ndashIn x
v(x) = x ndash1
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash1 na equaccedilatildeo obtemos
x ndash1 uprime ndash 1x
x ndash1 u = x ndash1
x u - x u = x-1 -2
derivada do produto
-1prime
ddx
x u = x-1 -1
x ndash1 u = int 1x
dx
x ndash1 u = In x + c
u = x In x + cx
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = u = y ndash1 feita no iniacutecio
y ndash1 = x In x + cx
Portanto y(x) = 1
x In x + cx c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 4Encontre as curvas integrais para a equaccedilatildeo yprime + 2
x y =
y 3
x 2
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
183
ResoluccedilatildeoA EDO eacute uma equaccedilatildeo de Bernoulli Entatildeo aplicamos a foacutermula uprime + (1 ndash n)
p(x) u = (1 ndash n) q(x) para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash2
p(x) = 2x
q(x) = 1x 2 e n = 3
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 3) middot 2x
middot u = (1 ndash 3) 1x 2
uprime + (ndash2) 2x
u = (ndash2) 1x 2
uprime ndash 4x
u = ndash2x ndash2
Logo obtemos uma EDO linear Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 4x
dx
H(x) = ndash 4 In x
v(x) = e ndash 4 In x
v(x) = e In x ndash 4
v(x) = x ndash 4
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash 4 na equaccedilatildeo obtemos
x ndash 4 uprime ndash 4x
x ndash 4 u = ndash 2xndash2 middot x ndash 4
x ndash4 u = ndash 2 intx ndash6 dx
x ndash4 u = ndash 2 x ndash5
ndash5 + c
x ndash4 u = 25
x ndash5 + c
x 4 middot x ndash4 u = 25
x ndash5 middot x 4 + c middot x 4
184
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
u = 25
x ndash1 + c middot x 4
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash2 feita no iniacutecio
y ndash2 = 25x
+ cx 4
Portanto c isin R satildeo curvais integrais (soluccedilotildees) da EDO
3 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS HOMOGEcircNEAS
31 FUNCcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
Vamos estudar equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem que podem ser transformadas em equaccedilotildees jaacute estudadas em seccedilotildees anteriores
Definiccedilatildeo 2311 Uma funccedilatildeo f = f (xy) eacute dita homogecircnea de grau n se substituindo-se x por λx e y por λy for verdadeira a igualdade f (λxλy) = λn f (xy) para todo real λ ne 0
Por exemplo as funccedilotildees listadas a seguir satildeo homogecircneas de graus
respectivamente trecircs um e zero f (xy) = xy 2 + x 2 y f (xy) = f (xy) = x + yx ndash 3y
Exemplo 5
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = xy 2 + x 2 y eacute homogecircnea e se for indique o grau
ResoluccedilatildeoPara mostrar que f eacute homogecircnea devemos verificar a igualdade f (λxλy)
= λn f (xy) λ isin IR
f (λxλy) = λx (λy) 2 + (λx) 2 λy
f (λxλy) = λxλ2 y 2 + λ2x 2 λy
f (λxλy) = λ3xy 2 + λ3x 2y
f (λxλy) = λ3 (xy 2 + x 2y)
f (λxλy) = λ3 f (xy)
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
185
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau 3
Exemplo 6Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = eacute homogecircnea e se for indique o
grau
Resoluccedilatildeo
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau 1
Exemplo 7Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = xy 2 + ex + y eacute homogecircnea e se for indique o grau
Resoluccedilatildeo
f (λxλy) = λx (λy) 2 + eλx + λy
f (λxλy) = λxλ2y 2 + eλx + λy
f (λxλy) = λ3xy 2 + eλ(x + y)
f (λxλy) ne λn f (xy)
Portanto a funccedilatildeo f natildeo eacute homogecircnea
186
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Exemplo 8Verifique se a funccedilatildeo f (xy) =
x + yx ndash 3y
eacute homogecircnea e se for indique o grau
Resoluccedilatildeo
f (λxλy) = λx + λy
λx ndash 3λy
f (λxλy) = λ(x + y)
λ(x ndash 3y)
f (λxλy) = x + yx ndash 3y
f (λxλy) = f (xy)
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau zero
32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
Definiccedilatildeo 2321 Uma equaccedilatildeo diferencial homogecircnea eacute uma equaccedilatildeo da forma
yprime = f (xy)
onde f = f (xy) eacute uma funccedilatildeo homogecircnea de grau zero ou seja
f (λxλy) = f (xy)
A
λ ne 0
Definiccedilatildeo 2322 As equaccedilotildees diferenciais homogecircneas podem ser transformadas em equaccedilotildees do tipo M (xy) dx + N (xy) dy = 0 onde M e N satildeo funccedilotildees homogecircneas do mesmo grau
Isto quer dizer que a equaccedilatildeo M (xy) dx + N (xy) dy = 0 seraacute homogecircnea se M (λxλy) = λn M (xy) λ isin IR e N (λxλy) = λn N (xy) λ isin IR
Exemplo 9Verifique se a equaccedilatildeo (x 2 ndash y 2) dx ndash 5xy dy = 0 eacute homogecircnea
ResoluccedilatildeoTemos que verificar se M (λxλy) = λn M (xy) e N (λxλy) = λn N (xy) tecircm
mesmo grau
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
187
321 Meacutetodo de resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
Seja uma EDO homogecircnea de primeira ordem vejamos como proceder para resolver esta equaccedilatildeo diferencial homogecircnea
O primeiro passo eacute colocar a equaccedilatildeo na forma dydx
= g yx onde g eacute uma
funccedilatildeo contiacutenua de uma uacutenica variaacutevel
Fazendo v = yx entatildeo y = vx e
dydx
= x dvdx
+ v e g yx fica g (v)
Entatildeo a equaccedilatildeo pode ser escrita como
x dvdx
+ v = g (v)
que pode ser reescrita na forma
dvg (v) ndash v
= dxx
Note que essa equaccedilatildeo eacute separaacutevel Entatildeo podemos resolvecirc-la como uma equaccedilatildeo diferencial separaacutevel e escrever a soluccedilatildeo em funccedilatildeo de x e de y
substituindo v por yx
M (xy) = x 2 ndash y 2 N (xy) = ndash5xy
M (λxλy) = (λx) 2 ndash (λy) 2 N (λxλy) = ndash5 (λx) (λy)
M (λxλy) = λ2 x 2 ndash λ2 y 2 N (λxλy) = ndash5 λ2xy
M (λxλy) = λ2 (x 2 ndash y 2) N (λxλy) = λ2 (ndash5xy)
M (λxλy) = λ2 M (xy) N (λxλy) = λ2 N (xy)
Portanto a equaccedilatildeo (x 2 ndash y 2) dx ndash 5xy dy = 0 eacute homogecircnea
Pode-se resolver uma equaccedilatildeo diferencial homogecircnea transformando-a em uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis fazendo uma substituiccedilatildeo adequada
188
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Vejamos outra situaccedilatildeo seja uma equaccedilatildeo homogecircnea dada na forma M
(xy) dx + N (xy) dy = 0
Entatildeo M (xy) dx = -N (xy) dy rArr dydx
= M (xy)N (xy)
Como a equaccedilatildeo eacute homogecircnea M e N tecircm o mesmo grau de homogeneidade
n Entatildeo se dividirmos M e N por λn transformaremos ndash M (xy)N (xy)
numa funccedilatildeo do
tipo dydx
= g yx
Daiacute segue o mesmo procedimento acima
Exemplo 10Mostre que a equaccedilatildeo diferencial yprime =
3x 2 + y 2
xy eacute homogecircnea e encontre sua
soluccedilatildeo geral
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo eacute homogecircnea pois supondo λ ne 0
f (λxλy) = 3(λx) 2 + (λy) 2
(λx) (λy)
f (λxλy) = λ2 (3x 2 + y 2)
λ2 (xy)
f (λxλy) = 3x 2 + y 2
xy
f (λxλy) = f (xy)
Definindo v = yx e substituindo na equaccedilatildeo diferencial temos
Como y = vx entatildeo dydx = x
dvdx + v
Logo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
3 + v 2
v
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
189
x dvdx =
3 + v 2
v ndash v
x dvdx =
3v
v dv = 3x
dx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
intv dv = int 3x
dx
v 2
2 = 3 In |x| + c c isin R
v 2 = 6 In |x| + 2c c isin R
Substituindo v por yx e k = 2c temos
y 2
x 2 = 6 In |x| + k k isin R
Logo a soluccedilatildeo geral tem a forma y 2 = 6x 2 In |x| + x2k k isin R
Exemplo 11Mostre que a equaccedilatildeo yprime =
2y 4 + x 4
xy 3 eacute homogecircnea e resolva a equaccedilatildeo diferencial
ResoluccedilatildeoVamos mostrar que a EDO eacute homogecircnea de grau zero supondo λ isin IR
f (λxλy) = 2(λy) 4 + (λx) 4
(λx) (λy) 3
f (λxλy) = 2λ4 y 4 + λ4 x 4
λ4xy 3
f (λxλy) = λ4 (2y 4 + x 4)
λ4xy 3
f (λxλy) = f (xy)
Definindo v = yx e substituindo na equaccedilatildeo diferencial temos
190
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
dydx =
2y 4 + x 4
xy 3
dydx =
2v 4 + 1v 3
Como y = vx entatildeo dydx = x
dvdx + v
Logo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
2v 4 + 1v 3
x dvdx =
2v 4 + 1v 3 ndash v
x dvdx =
v 4 + 1v 3
v 3
v 4 + 1 dv = dxx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
intv 3
v 4 + 1 dv = intdxx
14
In (v 4 + 1) = In |x| + c c middot R
In (v 4 + 1) = 4 In |x| + 4c
eIn (v 4 + 1) = e 4 In |x| + 4c
v 4 + 1 = e In x 4 + 4c
v 4 + 1 = x 4 e 4c c isin R
Fazendo k = e 4c temos
v 4 + 1 = kx 4
Isso nos daacute
v 4 = kx 4 ndash 1 k middot R
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
191
Substituindo v por yx temos
y 4
x 4 = kx 4 ndash 1
Logo y 4 = kx 8 ndash x 4 k isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 12
Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo homogecircnea yprime = y 2 ndash x 2
2xy
ResoluccedilatildeoSejam y = vx e
dydx = x
dvdx + v A EDO natildeo linear homogecircnea assume a forma
dydx =
y 2 ndash x 2
2xy
dydx =
v 2 ndash 12v
Entatildeo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
v 2 ndash 12v
x dvdx =
v 2 ndash 12v ndash v
x dvdx =
ndashv 2 ndash 12v
2vv 2 + 1
dv = ndash dxx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
int2v
v 2 + 1 dv = ndashintdxx
In |v 2 + 1| = ndashIn |x| + c c isin R
In |v 2 + 1| + In |x| = c
192
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
eIn |v 2 + 1| + In |x| = e c
eIn |v 2 + 1| e In |x| = e c
|v 2 + 1||x| = ec
Substituindo v por yx e k = ec temos
Portanto y 2
x + x = k k isin R eacute soluccedilatildeo da EDO
193
Neste toacutepico vimos outros dois tipos de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem
bull As equaccedilotildees de Bernoulli e as equaccedilotildees exatas
bull A diferenccedila das equaccedilotildees estudadas no toacutepico anterior eacute que nestas precisamos fazer alguma substituiccedilatildeo para resolvecirc-las
bull A equaccedilatildeo linear de Bernoulli tem a forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) y n A substituiccedilatildeo que temos que fazer eacute dada por u = y 1ndashn e utilizamos a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x) Com isso a equaccedilatildeo eacute reduzida a uma equaccedilatildeo linear
bull A outra equaccedilatildeo estudada foi a equaccedilatildeo homogecircnea com forma-padratildeo M (xy)
dx + N (xy) dy = 0 onde M e N satildeo funccedilotildees homogecircneas do mesmo grau
Para obter a soluccedilatildeo devemos escrever a EDO na forma dydx
= g yx e fazer a
substituiccedilatildeo v = yx
RESUMO DO TOacutePICO 2
194
AUTOATIVIDADE
Nos problemas 1 e 2 resolva as equaccedilotildees diferenciais lineares de Bernoulli
1 x dydx + y =
1y 2
2 yprime = y (xy 3 ndash 1)
3 Resolva a equaccedilatildeo diferencial homogecircnea (x ndash y) dx + x dy = 0
Nas EDO a seguir identifique o tipo de EDO e encontre a funccedilatildeo desconhecida
4 xy 2 dydx = y 3 ndash x 3 y (1) = 2
5 x 2 dydx + y 2 = xy
6 (x 2 + y 2) dx + xy dy = 0
195
TOacutePICO 3
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES
DE SEGUNDA ORDEM
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
Finalizamos a unidade com o Toacutepico 3 as equaccedilotildees diferenciais lineares de segunda ordem Aqui estudaremos apenas as equaccedilotildees lineares homogecircneas com coeficientes constantes Estas equaccedilotildees satildeo de resoluccedilatildeo mais simples devido a um procedimento de substituiccedilatildeo por uma equaccedilatildeo de segundo grau chamada de equaccedilatildeo caracteriacutestica ou auxiliar
Definiccedilatildeo 321 Uma equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem eacute da forma
a1 (x) d 2 y
dx 2 + a2 (x) dy
dx + a3 (x)y = o (x)
onde os coeficientes a1 (x) a2
(x) a3 (x) satildeo contiacutenuos e o (x) tambeacutem eacute uma
funccedilatildeo contiacutenua em algum intervalo I
Definiccedilatildeo 322 Uma equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem da forma
a1 (x) d 2 y
dx 2 + a2 (x) dy
dx + a3 (x)y = 0
eacute chamada de homogecircnea onde os coeficientes a1 (x) a2
(x) a3 (x) satildeo
contiacutenuos em algum intervalo I
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
196
Para as equaccedilotildees lineares homogecircneas eacute vaacutelido o princiacutepio da superposiccedilatildeo que diz que se y
1 (x) e y
2 (x) satildeo soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial entatildeo
y (x) = c1 y
1 (x) + c
2 y
2 (x)
tambeacutem o eacute para todas as constantes c1 e c
2 A expressatildeo colocada anteriormente eacute
chamada combinaccedilatildeo linear de y1 (x) e y
2 (x)
Isso eacute o que diz o teorema da superposiccedilatildeo onde a soma ou superposiccedilatildeo de duas ou mais soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo
Teorema 321 (Princiacutepio da superposiccedilatildeo ndash Equaccedilotildees Homogecircneas) Se y1
(x) e y2 (x) satildeo soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea em algum intervalo I
entatildeo a combinaccedilatildeo linear
y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2
(x)
onde c1 e c2 satildeo constantes arbitraacuterias eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo no intervalo I
Definiccedilatildeo 323 Para as equaccedilotildees diferenciais lineares homogecircneas fixadas as soluccedilotildees y1
(x) e y2 (x) definimos o wronskiano dessas soluccedilotildees pelo determinante
Joacutezef Maria Wronski (1778-1853) foi um matemaacutetico polonecircs O wronskiano eacute definido como um determinante cuja primeira linha eacute ocupada pelas funccedilotildees e as linhas seguintes satildeo formadas pelas suas derivadas ateacute a ordem n ndash 1 E o wronskiano pode ser utilizado como um teste de independecircncia linear para as soluccedilotildees das EDOs
Suponha que y1 (x) e y2
(x) sejam duas soluccedilotildees Entatildeo a combinaccedilatildeo linear dessas duas soluccedilotildees eacute uma soluccedilatildeo geral dada por
y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2
(x)
NOTA
UNI
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
197
Derivando y (x) temos
yprime (x) = c1 yprime 1 (x) + c2 yprime
2 (x)
Substituindo-se x = x 0 nas equaccedilotildees obtemos o sistema de equaccedilotildees
y (x0) = c1 y1 (x0) + c2 y2
(x0)yprime (x0) = c1 yprime 1
(x0) + c2 yprime 2 (x0)
que pode ser escrito na forma A bull X = B em que
Logo o determinante da matriz A leva o nome de Wronskiano e eacute denotado por
W (y1 y2) (t) = det
Exemplo 1As funccedilotildees y1(x) = e 5x e y2(x) = e ndash 5x satildeo ambas soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial
linear homogecircnea yprimeprime ndash 25y = 0 no intervalo ]ndashinfin infin[ Verifique que o wronskiano eacute diferente de zero e escreva a soluccedilatildeo da EDO
ResoluccedilatildeoSejam y1(x) = e 5x e y2(x) = e ndash 5x Precisamos derivar as funccedilotildees para calcular o
wronskiano
yprime1(x) = 5e 5x e yprime2(x) = ndash5e ndash 5x entatildeo
W(x) = ndash5e ndash 5x middot e 5x ndash 5e 5x middot e ndash 5x = ndash 10 ne 0
W(x) =
Conforme o teorema acima a soluccedilatildeo dessa EDO tem a forma y (x) = c1 y1
(x) + c2 y2 (x)
Entatildeo y (x) = c1 e 5x + c2 e ndash 5x
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
198
Teorema 322 Sejam y1 (x) e y2
(x) soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea em algum intervalo I Entatildeo o conjunto de soluccedilotildees seraacute linearmente independente em I se e somente se W (x) ne 0 Ax isin I
Em resumo do que vimos sobre o wronskiano podemos concluir para que y1 (x)
e y2
(x) formem um conjunto fundamental de soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea basta que o wronskiano W (x) ne 0
A
x isin I
Exemplo 2Mostre que y1
(t) = t frac12 e y2 (t) = t ndash 1 formam um conjunto fundamental de
soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea 2t 2 yprimeprime + 3typrime ndash y = 0 no intervalo ]0 infin[
ResoluccedilatildeoPrecisamos verificar primeiro se y1
(t) e y2 (t) satildeo soluccedilotildees da EDO
Se y1 (t) = t frac12 entatildeo yprime1
(t) = 12
t ndash frac12 e yprimeprime1 (t) = -
14t- 32
Se y2 (t) = t ndash 1 entatildeo yprime2
(t) = ndasht ndash 2 e yprimeprime2 (t) = 2t ndash 3
Substituindo y1 (t) e suas derivadas na EDO temos
2t - 14
t + 3t 12
t -t = 0
- 12
t + 32
t -t = 0
2 - -32
12
12
12
12
12
Portanto y1 (t) eacute soluccedilatildeo da EDO
Agora substituindo y2 (t) e suas derivadas na EDO temos
2t 2 (2t ndash 3) + 3t (ndash t ndash 2) ndash t ndash 1 = 0
4t ndash 1 ndash 3t ndash 1 ndash t ndash 1 = 0
Portanto y2 (t) eacute soluccedilatildeo da EDO
Para que as funccedilotildees y1 (t) e y2
(t) formem um conjunto fundamental de soluccedilotildees
NOTA
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
199
da EDO pelos teoremas anteriores basta verificarmos que o wronskiano eacute diferente de zero para algum t gt 0 Assim
W (x) = ndasht ndash 3 2 ndash 12
t ndash 3 2 = ndash 32
t ndash 3 2 ne 0
Logo y1 (t) = t frac12 e y2
(t) = t ndash 1 formam um conjunto fundamental de soluccedilotildees da equaccedilatildeo 2t 2 yprimeprime + 3typrime ndash y = 0 Assim y (t) = c1t frac12 + c2t ndash 1
3 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ordf ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES
Vamos considerar apenas equaccedilotildees diferenciais da forma
a d 2 ydx 2 + b dy
dx + cy = 0
onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 Para esta equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea existem valores constantes de λ tais que y = eλx eacute uma soluccedilatildeo
Substituindo-se y = eλx dydx = λeλx e d
2 ydx 2 = λ2eλx na EDO obtemos
aλ2eλx + bλeλx + eλx = 0
eλx (aλ2+ bλ + c) = 0
Como eλx ne 0 entatildeo y = eλx eacute soluccedilatildeo de a d 2 ydx 2 + b dy
dx + cy = 0 se e somente se λ eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo aλ2+ bλ + c = 0
Definiccedilatildeo 331 A equaccedilatildeo aλ2+ bλ + c = 0 eacute chamada de equaccedilatildeo caracteriacutestica ou equaccedilatildeo auxiliar da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
200
31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
A natureza das soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea a d 2 y
dx 2 + b
dydx + cy = 0 depende da natureza das raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica correspondente
Para escrever as soluccedilotildees das equaccedilotildees diferenciais teremos trecircs casos a considerar Vamos empregar o teorema apresentado a seguir
Teorema 3311 Dada a equaccedilatildeo ayprimeprime + byprime + cy = 0 formamos a equaccedilatildeo caracteriacutestica aλ2+ bλ + c = 0
i) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes reais distintas λ1 e λ2 entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2eλ2x
ii) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem apenas uma raiz real λ entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2xeλx ou
y = (C1 + C2x) eλx
iii) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes complexas λ1 = α + bi e λ2 = α ndash bi entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eαx cos bx + c2eαx sen bx ou
y = eαx (c1 cos bx + c2 sen bx)
As raiacutezes λ1 e λ
2 da equaccedilatildeo caracteriacutestica satildeo chamados de autovalores
Exemplo 3Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 4yprime + 4y = 0
ResoluccedilatildeoConforme vimos acima devemos escrever a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 4λ + 4 = 0 e encontrar as suas raiacutezes
NOTA
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
201
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 42
λ = ndash 2
Assim a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1endash2x + c2xendash2x
Exemplo 4Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime ndash 15y = 0 Depois encontre a
soluccedilatildeo particular que satisfaz as condiccedilotildees iniciais y (0) = 0 e yprime (0) = ndash1
ResoluccedilatildeoResolvendo a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ ndash 15 = 0 temos
λ = ndash 2 plusmn 8
2
λ1 = ndash 2 ndash 8
2 = ndash 5
λ2 = ndash 2 + 8
2 = 3
A soluccedilatildeo geral eacute y = c1endash 5x + c2e3x
Substituindo as condiccedilotildees iniciais y (0) = 0 e yprime (0) = ndash1 na soluccedilatildeo geral obtemos
y = c1endash 5x + c2e3x e y (0) = 0 entatildeo
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
202
c1endash 5 bull 0 + c2e3 bull 0 = 0
c1 + c2 = 0
Agora yprime = ndash 5c1endash 5x + 3c2e3x e yprime (0) = ndash1 entatildeo
ndash 5c1endash 5 bull 0 + 3c2e3 bull 0 = ndash1
ndash 5c1 + 3c2= ndash1
Resolvendo o sistema c1 + c2 = 0ndash 5c1 + 3c2= ndash1
encontramos c1 = 18
e c2 = ndash 18
Portanto a soluccedilatildeo que satisfaz as condiccedilotildees iniciais eacute dada por
y = 18
endash 5x ndash 18
e3x
Exemplo 5Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime + 5y = 0
ResoluccedilatildeoConforme vimos acima devemos escrever a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ + 5 = 0 e encontrar as suas raiacutezes
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 2 plusmn 4i
2
λ = ndash 1 plusmn 2i
λ1 = ndash 1 ndash 2i
λ2 = ndash 1 + 2i
Assim pelo teorema a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = endashx (c1 cos 2x + c2 sen 2x)
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
203
Exemplo 6Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime + y = 0
ResoluccedilatildeoResolvemos a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ + 1 = 0
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 22
λ = ndash1
Assim a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1endashx + C2 xendashx
No graacutefico a seguir (Figura a seguir) estatildeo algumas soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial yprimeprime + 2yprime + y = 0
FIGURA 55 ndash ALGUMAS SOLUCcedilOtildeES DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
FONTE O autor
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
204
Exemplo 7Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 12y = 0
ResoluccedilatildeoResolvemos a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 12 = 0 temos
λ2 = ndash12
λ = plusmn radicndash12
λ = plusmn radic12i
λ = plusmn radic22 bull 3i
λ = plusmn 2 radic3i
λ1 = 2 radic3i
λ2 = ndash2 radic3i
Daiacute temos que α = 0 e b = 2 radic3
y = c1e0 bull x cos (2 radic3 x) + c2e0 bull x sen (2 radic3 x)
Portanto a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1 cos (2 radic3 x) + c2 sen (2 radic3 x)
LEITURA COMPLEMENTAR
Equaccedilotildees Diferenciais como Modelos Matemaacuteticos
MODELOS MATEMAacuteTICOS Eacute frequentemente desejaacutevel descrever o comportamento de algum sistema ou fenocircmeno da vida real em termos matemaacuteticos quer sejam eles fiacutesicos socioloacutegicos ou mesmo econocircmicos A descriccedilatildeo matemaacutetica de um sistema ou fenocircmeno chamada de modelo matemaacutetico eacute constituiacutedo levando-se em consideraccedilatildeo determinadas metas Por exemplo talvez queiramos compreender os mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populaccedilotildees de animais nesse sistema ou datar foacutesseis por meio da anaacutelise do decaimento radioativo de uma substacircncia que esteja no foacutessil ou no extrato no qual foi descoberta
A construccedilatildeo de um modelo matemaacutetico de um sistema comeccedila com
(i) a identificaccedilatildeo das variaacuteveis responsaacuteveis pela variaccedilatildeo do sistema Podemos a princiacutepio optar por incorporar todas essas variaacuteveis no modelo Nesta capa estamos especificando o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
205
A seguir
(ii) elaboramos um conjunto de hipoacuteteses razoaacuteveis ou pressuposiccedilotildees sobre o sistema que estamos tentando descrever Essas hipoacuteteses deveratildeo incluir tambeacutem quaisquer empiacutericas aplicaacuteveis ao sistema
Para alguns propoacutesitos pode ser perfeitamente razoaacutevel nos contentarmos com um modelo de baixa resoluccedilatildeo Por exemplo vocecirc provavelmente jaacute sabe que nos cursos baacutesicos de Fiacutesica a forccedila retardadora do atrito com o ar eacute agraves vezes ignorada na modelagem do movimento de um corpo em queda nas proximidades da superfiacutecie da Terra mas se vocecirc for um cientista cujo trabalho eacute predizer precisamente o percurso de um projeacutetil de longo alcance teraacute de levar em conta a resistecircncia do ar e outros fatores como curvatura da Terra
Como as hipoacuteteses sobre um sistema envolvem frequentemente uma taxa de variaccedilatildeo de uma ou mais das variaacuteveis a descriccedilatildeo matemaacutetica de todas essas hipoacuteteses pode ser uma ou mais equaccedilotildees envolvendo derivadas Em outras palavras o modelo matemaacutetico pode ser uma equaccedilatildeo diferencial ou sistema de equaccedilotildees diferenciais
Depois de formular um modelo matemaacutetico que eacute uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciais estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvecirc-los Se pudermos resolvecirc-lo julgaremos o modelo razoaacutevel se suas soluccedilotildees forem consistentes com dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema
Poreacutem se as prediccedilotildees obtidas pela soluccedilatildeo forem pobres poderemos elevar o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo ou levantar hipoacuteteses alternativas sobre o mecanismo de mudanccedila no sistema As etapas do processo de modelagem satildeo entatildeo repetidas conforme disposto no seguinte diagrama
FIGURA 56 ndash DIAGRAMA
HIPOacuteTESES
COMPARE AS PREDICcedilOtildeES DO
MODELO COM OS FATOS CONHECIDOS
FORMULACcedilAtildeO MATEMAacuteTICA
OBTENHA AS SOLUCcedilOtildeES
Expresse as hipoacuteteses em termos de equaccedilotildees
diferenciais
Exponha as prediccedilotildees do modelo (por exemplo
graficamente)
Resolva as EDsSe necessaacuterio altere as hipoacuteteses ou aumente a
resoluccedilatildeo do modelo
FONTE O autor
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
206
Naturalmente aumentando a resoluccedilatildeo aumentaremos a complexidade do modelo matemaacutetico e assim a probabilidade de natildeo conseguirmos obter uma soluccedilatildeo explicita
Um modelo matemaacutetico de um sistema fiacutesico frequentemente envolve a variaacutevel tempo t Uma soluccedilatildeo do modelo oferece entatildeo o estado do sistema em outras palavras os valores da variaacutevel (ou variaacuteveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado presente e futuro
DINAcircMICA POPULACIONAL Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio da matemaacutetica foi feita pelo economista inglecircs Thomas Malthus em 1978 Basicamente a ideia por traacutes do modelo malthusiano eacute a hipoacutetese de que a taxa segundo a qual a populaccedilatildeo de um paiacutes cresce em um determinado instante eacute proporcional agrave populaccedilatildeo total do paiacutes naquele instante Em outras palavras quanto mais pessoas houver em um instante t mais pessoas existiratildeo no futuro
Em termos matemaacuteticos se P(t) for a populaccedilatildeo no instante t entatildeo essa hipoacutetese pode ser expressa por
dPdt infin P ou
dPdt = k middot P (1)
onde k eacute uma constante de proporcionalidade Esse modelo simples embora natildeo leve em conta muitos fatores que podem influenciar a populaccedilatildeo humana tanto em seu crescimento quanto em seu decliacutenio (imigraccedilatildeo e emigraccedilatildeo por exemplo) natildeo obstante resulta ser razoavelmente preciso na previsatildeo da populaccedilatildeo dos Estados Unidos entre os anos de 1970 e 1980 As populaccedilotildees que crescem agrave taxa descriccedilatildeo por (1) satildeo raras entretanto (1) eacute ainda usada para modelar o crescimento de pequenas populaccedilotildees em um curto intervalo de tempo (crescimento de bacteacuterias em placas de Petri por exemplo)
FONTE Zill (2003 p 22-24)
207
Neste toacutepico vimos
bull A equaccedilatildeo diferencial na forma-padratildeo a d 2 y
dx 2 + b dydx + cy = 0 A sua resoluccedilatildeo se
resume em encontrar as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau aλ2+ bλ + c = 0 Apoacutes encontrar as raiacutezes da equaccedilatildeo aplica-se o teorema a seguir
bull Teorema 3311 Dada a equaccedilatildeo ayprimeprime + byprime + cy = 0 formamos a equaccedilatildeo caracteriacutestica aλ2+ bλ + c = 0
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes reais distintas λ1 e λ2 entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2eλ2x
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem apenas uma raiz real λ entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2xeλx ou
y = (C1 + C2x) eλx
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes complexas λ1 = α + bi e λ2 = α ndash bi entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eαx cos bx + c2eαx sen bx ou
y = eαx (c1 cos bx + c2 sen bx)
RESUMO DO TOacutePICO 3
208
AUTOATIVIDADE
Encontre a soluccedilatildeo geral das seguintes EDOs
1 yprimeprime ndash 3yprime + 2y = 0
2 8yprimeprime + 4yprime + y = 0
3 4yprimeprime + yprime = 0
4 yprimeprime ndash yprime ndash 6y = 0
5 yprimeprime + 9y = 0
6 12yprimeprime ndash 5yprime ndash 2y = 0
7 yprimeprime ndash 4yprime + 5y = 0
8 yprimeprime ndash 2yprime + y = 0
209
REFEREcircNCIAS
ANTON H BIVENS I DAVIS S Caacutelculo v 2 Poro Alegre Bookman 2007
BOYCE Willian E DIPRIMA Richard C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores de contorno Rio de Janeiro LTC 2002
FINNEY R WEIR M GIORDANO F Caacutelculo de George B Thomas Jr v 2 Satildeo Paulo Addison Wesley 2002
FLEMMING Diva Mariacutelia GONCcedilALVES Mirian Buss CAacuteLCULO B funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis integrais duplas e triplas 2deg ed Satildeo Paulo Makron Books do Brasil 2007
LEITHOLD Louis O Caacutelculo com geometria analiacutetica v 2 3deg ed Satildeo Paulo Harbra 1994
SIMMONS George F Caacutelculo com geometria analiacutetica v 2 Satildeo Paulo Pearson Makron Books 1987
ROGAWKI Jon Caacutelculo v 2 Porto Alegre Bookman 2009
STEWART James Caacutelculo v 2 Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 2006
ZILL Dennis G Equaccedilotildees diferenciais com aplicaccedilotildees em modelagem Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 2003
210
ANOTACcedilOtildeES
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IV
Vocecirc jaacute me conhece das outras disciplinas Natildeo Eacute calouro Enfim tanto para vocecirc que estaacute chegando agora agrave UNIASSELVI quanto para vocecirc que jaacute eacute veterano haacute novidades em nosso material
Na Educaccedilatildeo a Distacircncia o livro impresso entregue a todos os acadecircmicos desde 2005 eacute o material base da disciplina A partir de 2017 nossos livros estatildeo de visual novo com um formato mais praacutetico que cabe na bolsa e facilita a leitura
O conteuacutedo continua na iacutentegra mas a estrutura interna foi aperfeiccediloada com nova diagramaccedilatildeo no texto aproveitando ao maacuteximo o espaccedilo da paacutegina o que tambeacutem contribui para diminuir a extraccedilatildeo de aacutervores para produccedilatildeo de folhas de papel por exemplo
Assim a UNIASSELVI preocupando-se com o impacto de nossas accedilotildees sobre o ambiente apresenta tambeacutem este livro no formato digital Assim vocecirc acadecircmico tem a possibilidade de estudaacute-lo com versatilidade nas telas do celular tablet ou computador Eu mesmo UNI ganhei um novo layout vocecirc me veraacute frequentemente e surgirei para apresentar dicas de viacutedeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questatildeo
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos para que vocecirc nossa maior prioridade possa continuar seus estudos com um material de qualidade
Aproveito o momento para convidaacute-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes ndash ENADE Bons estudos
UNI
V
VI
VII
sumaacuterio
UNIDADE 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 1
TOacutePICO 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS 31 INTRODUCcedilAtildeO 32 RECORDANDO A FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL 33 FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 5 31 GRAacuteFICOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 134 FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 15RESUMO DO TOacutePICO 1 18AUTOATIVIDADE 19
TOacutePICO 2 ndash CURVAS DE NIacuteVEL 211 INTRODUCcedilAtildeO 212 CURVAS DE NIacuteVEL 22RESUMO DO TOacutePICO 2 28AUTOATIVIDADE 29
TOacutePICO 3 ndash LIMITE E CONTINUIDADE 311 INTRODUCcedilAtildeO 312 DEFINICcedilOtildeES BAacuteSICAS 313 LIMITE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 344 CONTINUIDADE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 38RESUMO DO TOacutePICO 3 41AUTOATIVIDADE 42
TOacutePICO 4 ndash DERIVADAS PARCIAIS 431 INTRODUCcedilAtildeO 432 RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVACcedilAtildeO 433 DERIVADAS PARCIAIS 44 31 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS 44 32 INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA 514 GENERALIZACcedilAtildeO 535 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 54LEITURA COMPLEMENTAR 59RESUMO DO TOacutePICO 4 63AUTOATIVIDADE 64
UNIDADE 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS 65
TOacutePICO 1 ndash REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA 671 INTRODUCcedilAtildeO 672 REGRA DA CADEIA 673 DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA 75RESUMO DO TOacutePICO 1 79
VIII
AUTOATIVIDADE 80
TOacutePICO 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE 811 INTRODUCcedilAtildeO 812 DIFERENCIABILIDADE 813 DIFERENCIAL 854 GRADIENTE 895 DERIVADAS DIRECIONAIS 95RESUMO DO TOacutePICO 2 99AUTOATIVIDADE 100
TOacutePICO 3 ndash MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS 1031 INTRODUCcedilAtildeO 1032 EXTREMOS LOCAIS 1033 PROBLEMAS ENVOLVENDO MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 111RESUMO DO TOacutePICO 3 117AUTOATIVIDADE 118
TOacutePICO 4 ndash INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS 1191 INTRODUCcedilAtildeO 1192 INTEGRAL DUPLA 119 21 INTEGRAL DUPLA SOBRE RETAcircNGULO 119 22 INTEGRAIS ITERADAS 120 23 INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIOtildeES GENEacuteRICAS 124LEITURA COMPLEMENTAR 134RESUMO DO TOacutePICO 4 136AUTOATIVIDADE 137
UNIDADE 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS 139
TOacutePICO 1 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 1411 INTRODUCcedilAtildeO 1412 DEFINICcedilOtildeES E TERMINOLOGIAS 141 21 TIPOS DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 142 22 ORDEM DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 142 23 LINEARIDADE DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 143 24 SOLUCcedilAtildeO DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 143 241 Soluccedilatildeo geral 145 242 Soluccedilatildeo particular 1453 EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL SEPARAacuteVEL 148 31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1494 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ordf ORDEM 158 41 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1595 EQUACcedilOtildeES EXATAS 168 51 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 169RESUMO DO TOacutePICO 1 175AUTOATIVIDADE 176
TOacutePICO 2 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES 1771 INTRODUCcedilAtildeO 1772 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI 177
IX
21 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1773 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS HOMOGEcircNEAS 184 31 FUNCcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 184 32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 186 321 Meacutetodo de resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial 187RESUMO DO TOacutePICO 2 193AUTOATIVIDADE 194
TOacutePICO 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 1951 INTRODUCcedilAtildeO 1952 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 1953 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ordf ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES 199 31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 200LEITURA COMPLEMENTAR 204RESUMO DO TOacutePICO 3 207AUTOATIVIDADE 208REFEREcircNCIAS 209
X
1
UNIDADE 1
FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Ao final desta unidade vocecirc deveraacute ser capaz de
bull conhecer os principais conceitos que envolvem funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull identificar o domiacutenio de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull reconhecer as curvas de niacuteveis de forma algeacutebrica
bull reconhecer as curvas de niacuteveis geometricamente
bull calcular os limites de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull identificar a continuidade de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull calcular as derivadas parciais
bull interpretar geometricamente as derivadas parciais
Esta unidade estaacute dividida em quatro toacutepicos apresentando os conceitos e a utilizaccedilatildeo das funccedilotildees de diversas variaacuteveis No Toacutepico 1 eacute apresentado o estudo do domiacutenio de uma funccedilatildeo de diversas variaacuteveis e as curvas de niacutevel seguido de vaacuterios exemplos para auxiliaacute-lo(a) na compreensatildeo e resoluccedilatildeo dos exerciacutecios propostos no final de cada toacutepico No Toacutepico 2 daremos uma atenccedilatildeo especial agraves curvas de niacutevel tanto na representaccedilatildeo graacutefica como no seu reconhecimento algeacutebrico No Toacutepico 3 seratildeo estendidos os conceitos de limite e continuidade estudados para as funccedilotildees de uma variaacutevel No Toacutepico 4 aprenderemos como derivar funccedilotildees de diversas variaacuteveis e sobretudo entender o significado geomeacutetrico das derivadas parciais Finalizamos a unidade com um texto complementar onde seraacute dada ecircnfase agraves personalidades matemaacuteticas que contribuiacuteram no desenvolvimento do caacutelculo diferencial e integral e consequentemente das equaccedilotildees diferenciais
TOacutePICO 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
TOacutePICO 2 ndash CURVAS DE NIacuteVEL
TOacutePICO 3 ndash LIMITES E CONTINUIDADE
TOacutePICO 4 ndash DERIVADAS PARCIAIS
2
3
TOacutePICO 1UNIDADE 1
FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
1 INTRODUCcedilAtildeO
Vocecirc jaacute estudou limites derivadas e integrais conceitos vistos em funccedilotildees de uma variaacutevel Nesta unidade estudaremos as funccedilotildees de duas ou mais variaacuteveis e veremos que as regras do caacutelculo para funccedilotildees de uma variaacutevel permanecem essencialmente as mesmas
Funccedilotildees com mais de uma variaacutevel independente se apresentam mais costumeiramente em modelos matemaacuteticos aplicados agrave engenharia por exemplo do que funccedilotildees de uma variaacutevel Os estudos de probabilidade estatiacutestica dinacircmica dos fluidos e trabalho satildeo exemplos que conduzem de uma maneira natural a funccedilotildees de mais de uma variaacutevel daiacute a importacircncia do seu estudo
2 RECORDANDO A FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL
Representamos a funccedilatildeo de uma variaacutevel por duas variaacuteveis x e y sendo que chamamos de x a variaacutevel independente da funccedilatildeo e de y a variaacutevel dependente da funccedilatildeo Assim denotamos a relaccedilatildeo entre as variaacuteveis por y = f (x) deixando expliacutecito que y depende de x
Exemplo 1 y = 2x + 1
Exemplo 2 f (x) = 3 + x
2 - x
Habitualmente ao trabalharmos com funccedilotildees um dos primeiros cuidados que devemos ter eacute em relaccedilatildeo ao conjunto domiacutenio das funccedilotildees isto eacute para que valores reais as funccedilotildees estatildeo definidas Entatildeo dada uma funccedilatildeo f(x) devemos encontrar valores para os quais a funccedilatildeo tenha imagem
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
4
Exemplo 3Encontre o domiacutenio da funccedilatildeo f(x) =
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo f(x) eacute uma funccedilatildeo racional pois temos a variaacutevel x no denominador
Esta funccedilatildeo tem dois cuidados a serem tomados em relaccedilatildeo ao domiacutenio
(i) Desde que iniciamos nossos estudos com fraccedilotildees sabemos que natildeo eacute possiacutevel ter zero no denominador das fraccedilotildees Assim
(ii) Temos a variaacutevel x no radicando da raiz quadrada Como estamos considerando f(x) uma funccedilatildeo real o radicando natildeo pode assumir valores negativos Logo
xsup2 ndash 16 ge 0
Assim juntando as condiccedilotildees (i) e (ii) teremos xsup2 ndash 16 gt 0
Observe que temos que resolver uma inequaccedilatildeo do 2ordm grau Para isso consideramos inicialmente apenas a equaccedilatildeo (igualdade) a fim de obtermos as raiacutezes
xsup2 - 16 = 0
Determinando as raiacutezes desta equaccedilatildeo do segundo grau incompleta
xsup2 = 16x = x =
Analisando a funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = xsup2 - 16 sabemos que seu graacutefico corresponde a uma paraacutebola com concavidade voltada para cima e zeros de funccedilatildeo em x = - 4 e x = 4 Logo os valores de x que satisfazem a inequaccedilatildeo satildeo x lt - 4 ou x gt 4
Assim D(f) = x isin R | x lt - 4 ou x gt 4
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
5
FIGURA 1 ndash ANAacuteLISE DO SINAL DA FUNCcedilAtildeO f (x) = xsup2 - 16 ATRAVEacuteS DE SEU ESBOCcedilO GRAacuteFICO
FONTE O autor
3 FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
Definiccedilatildeo 131 Suponha que D seja um conjunto de pares ordenados de nuacutemeros reais (xy) Uma funccedilatildeo real f de duas variaacuteveis em D eacute uma regra que associa um uacutenico nuacutemero real z = f(xy) a cada par ordenado (xy) em D O conjunto D(f) eacute o domiacutenio de f(xy)
Os nuacutemeros x y e z satildeo denominados variaacuteveis Como os valores da funccedilatildeo f(xy) dependem de x e de y e os valores de z dependem da escolha de x e de y entatildeo x e y satildeo denominadas variaacuteveis independentes e z eacute denominada variaacutevel dependente
Uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis eacute uma funccedilatildeo cujo domiacutenio eacute um subconjunto do R2 e cuja imagem eacute um subconjunto de R Uma maneira de visualizaacute-la eacute atraveacutes de um diagrama de flechas conforme a seguir
FIGURA 2 ndash DIAGRAMA DE FLECHAS REPRESENTANDO O DOMIacuteNIO E A IMAGEM DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS
FONTE O autor
+ +
ndashndash 4 4
R
y
(x y)
x
f
f(x y) 0
z
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
6
Exemplo 4Dada a funccedilatildeo que calcula o periacutemetro de um
retacircngulo f(xy) = 2(x + y) calcule o valor de f (25)
ResoluccedilatildeoBasta substituir em f(xy) o x por 2 o y por 5 e calcularEntatildeof(25) = 2(2 + 5)f(25) = 2 middot 7f(25) = 14
Exemplo 5A funccedilatildeo T (xy) = 60 - 2xsup2 - 3ysup2 representa a temperatura em qualquer
ponto de uma chapa A temperatura oscila em relaccedilatildeo agrave distacircncia percorrida no sentido dos eixos positivos x e y Calcule a temperatura da chapa (Figura 3) no ponto (3 1) em graus Celsius
ResoluccedilatildeoT (31) = 60 - 2 middot 3sup2 - 3 middot 1sup2T (31) = 60 - 2 middot 9 - 3 middot 1T (31) = 39deg C
x
y
FIGURA 3 ndash AQUECIMENTO DE UMA CHAPA
FONTE O autor
Exemplo 6Dada a funccedilatildeo f(xy) = xsup2 + ysup2 calcule f(1 - 2)
chapa
x
y
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
7
Resoluccedilatildeof(xy) = xsup2 + ysup2 f(1 ndash 2) = 1sup2 + (ndash2)sup2f(1 ndash 2) = 1 + 4f(1 ndash 2) = 5
No estudo do domiacutenio de uma funccedilatildeo devemos avaliar quais nuacutemeros reais satildeo possiacuteveis atribuir para as variaacuteveis x e y para obtermos valores reais para z = f(xy) Vamos relembrar algumas restriccedilotildees
Consideremos os casos a seguir em que A e B satildeo expressotildees em funccedilatildeo de x e y
Se f(xy) = AB entatildeo necessariamente B ne 0
Se f(xy) = onde n eacute par entatildeo necessariamente A ge 0
Se f (xy) = logc A com c gt 0 e c ne 1 entatildeo necessariamente A gt 0
Exemplo 7Encontre o conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo natildeo apresenta nenhuma restriccedilatildeo para os valores de x e yPortanto D(f) = (x y) isin R2 ou D( f ) = R2
Exemplo 8Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o radicando
3x ndash 2y natildeo pode ser negativo3x ndash 2y ge 0 ndash 2y ge ndash 3x
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (ndash1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
2y le 3x y le 3
2 x
NOTA
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
8
Portanto
Para fazer o graacutefico do conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (x y) do exemplo anterior primeiro trace o graacutefico de y = 3
2 x e depois determine qual a regiatildeo correspondente agrave desigualdade y le 3
2 x
O graacutefico de y = 32 x corresponde a uma reta crescente que conteacutem a
origem Note que esta reta divide o plano em duas regiotildees Para identificar qual regiatildeo expressa o domiacutenio de f (xy) atente para a desigualdade estabelecida Neste exemplo como se trata de uma reta e a relaccedilatildeo de ordem eacute dada pelo sinal ldquolerdquo entatildeo isto implica que o domiacutenio eacute expresso pelos infinitos pontos que se encontram na reta e abaixo dela
FIGURA 4 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
Exemplo 9Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = 5x
y ndash xsup2
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o denominador
y ndash xsup2 natildeo pode tornar-se nulo
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
9
Entatildeoy ndash xsup2 ne 0 y ne xsup2
Portanto
Para fazer o graacutefico do conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (xy) = 5xy ndash xsup2
procedemos do mesmo modo que no exemplo anterior A funccedilatildeo que expressa o domiacutenio eacute dada por y ne xsup2 cuja representaccedilatildeo no plano eacute uma paraacutebola com concavidade voltada para cima e que possui seu veacutertice na origem A relaccedilatildeo de diferenccedila poreacutem implica que pertencem ao domiacutenio todos os pontos do plano exceto os que se encontram sobre a paraacutebola expressa pela relaccedilatildeo y = xsup2
FIGURA 5 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
Exemplo 10Determine o conjunto domiacutenio de f(xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o radicando
3xsup2 + ysup2 ndash 18 natildeo pode ser negativo
3xsup2 + ysup2 ndash 18 ge 03xsup2 + ysup2 ge 18
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
10
Dividindo ambos os membros da desigualdade por 18
3x sup2 y sup2 1818 18 18
+ ge
A funccedilatildeo xsup2 ysup26 18 + = 1 representa uma elipse centrada na origem do
plano cartesiano cujo eixo maior definido sobre o eixo das ordenadas eacute igual a 2 848 e cujo eixo menor definido sobre os eixos das abscissas eacute igual a 2
490
Atribuiacutedas as caracteriacutesticas geomeacutetricas da funccedilatildeo que define o domiacutenio traccedilamos o seu graacutefico A relaccedilatildeo de desigualdade estabelecida eacute ldquogerdquo Isto implica que os pontos que pertencem ao domiacutenio se encontram sobre a elipse e fora dela
Ao sentir dificuldade em caracterizar as funccedilotildees quanto agrave sua representaccedilatildeo geomeacutetrica retome os estudos realizados na disciplina de Geometria Analiacutetica
FIGURA 6 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
ATENCAO
xsup2 ysup26 18 + ge 1
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
11
Exemplo 11Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = In (x minus 3y + 1) e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoComo In (x minus 3y + 1) eacute definido somente quando x minus 3y + 1 gt 0 entatildeo x minus 3y + 1 gt 0x minus 3y gt minus 1minus 3y gt minus x minus 1
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
3y lt x + 1y lt x + 1
3
Neste exemplo a funccedilatildeo domiacutenio expressa pela desigualdade y lt x + 1 3
representa no plano uma regiatildeo que se encontra abaixo da reta y = x + 1 3 Observe
que os pontos sobre a reta natildeo pertencem ao conjunto domiacutenio
FIGURA 7 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
12
Exemplo 12Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y A expressatildeo que
representa o radicando 4 ndash xsup2 ndash ysup2 natildeo pode ser negativa4 ndash xsup2 ndash ysup2 ge 0 ndash xsup2 ndash ysup2 ge ndash 4
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
xsup2 + ysup2 le 4
O conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f(xy) = expresso pela desigualdade xsup2 + ysup2 le 4 compreende os infinitos pontos interiores juntamente com os infinitos pontos pertencentes agrave circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano de raio 2
FIGURA 8 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
13
31 GRAacuteFICOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
Se f eacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis com domiacutenio D entatildeo o graacutefico de f eacute o conjunto de todos os pontos (xyz) em R3 tal que z = f (xy) e (xy) isin D
Fazer a representaccedilatildeo graacutefica das funccedilotildees de duas variaacuteveis eacute normalmente complicado e requer habilidade manual Assim vamos recorrer ao uso de programas computacionais matemaacuteticos que fazem os graacuteficos de superfiacutecies O objetivo aqui eacute apenas mostrar os graacuteficos das funccedilotildees de duas variaacuteveis e natildeo a construccedilatildeo manual dos graacuteficos
Os graacuteficos que vocecirc encontraraacute ao longo do Caderno de Estudos foram construiacutedos atraveacutes do Winplot que eacute um software livre disponiacutevel na internet e do Maple 11 um software comercial que possui inuacutemeros recursos matemaacuteticos
Caro(a) acadecircmico(a) Vocecirc pode baixar o software Winplot diretamente da internet ou do material de apoio da disciplina no AVA
Exemplo 13Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = 2 ndash 3x ndash 4y
Resoluccedilatildeo
FIGURA 9 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = 2 ndash 3x ndash 4y
FONTE O autor
DICAS
30
20
10
0
ndash10
ndash20ndash30
ndash 50
5 ndash 4 ndash 2 0 2 4x y
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
14
Exemplo 14Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
Resoluccedilatildeo
FIGURA 10 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
Exemplo 15Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy)
Resoluccedilatildeo
FIGURA 11 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) =
FONTE O autor
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
15
Exemplo 16Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = sen x middot sen y
Resoluccedilatildeo
FIGURA 12 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = sen x middot sen y
FONTE O autor
4 FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Definiccedilatildeo 141 Seja D um subconjunto de Rn Uma funccedilatildeo real f de n variaacuteveis reais definida em D eacute uma relaccedilatildeo entre D e R que associa a cada ponto (x1 x2 xn) isin D um uacutenico valor real z denotado por z = f (x1 x2 xn)
Notaccedilatildeo
As variaacuteveis (x1 x2 xn) satildeo as variaacuteveis independentes e z eacute a variaacutevel dependente O conjunto de todos os valores possiacuteveis de f eacute chamado imagem de f e eacute denotado por lm(f) Assim
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
16
Definiccedilatildeo 142 Seja f uma funccedilatildeo de n variaacuteveis com domiacutenio D O graacutefico de f eacute o conjunto de todos os pontos do espaccedilo Rn+1 dado por
( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 n 1 2 n 1 2 ngraf f x x x y R y f x x x x x xn com D+= isin = isin
No caso em que n = 1 f seraacute uma funccedilatildeo de uma variaacutevel e seu graacutefico seraacute uma curva C com equaccedilatildeo y = f (x1)
Quando n = 2 f seraacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis e seu graacutefico seraacute uma superfiacutecie S com equaccedilatildeo z = f (x1x2)
Quando n = 3 natildeo podemos esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f pois ele estaacute no espaccedilo de dimensatildeo 4
Exemplo 17Esboce o graacutefico da funccedilatildeo f (xy) = 6 ndash 2x + 3y
ResoluccedilatildeoPara esboccedilar o graacutefico de uma funccedilatildeo temos que conhecer o domiacutenio desta
funccedilatildeo O domiacutenio desta funccedilatildeo f eacute D(f) = Rsup2 e o graacutefico da funccedilatildeo f eacute o conjunto
graf (f) = (xyz) isin Rsup3 | z = 6 ndash 2x + 3y
Geometricamente o graacutefico de f representa um plano
Vamos fazer algumas consideraccedilotildees sobre a funccedilatildeo e os eixos como se focircssemos traccedilar o graacutefico manualmente Entatildeo comeccedilamos encontrando os pontos onde o plano intercepta cada um dos trecircs eixos coordenados
Se na equaccedilatildeo z = 6 ndash 2x ndash 3y fizermosx = 0 e y = 0 vem z = 6x = 0 e z = 0 vem y = 2y = 0 e z = 0 vem x = 3
Obtemos assim os pontos A1 = (0 0 6) A2 = (0 2 0) e A3 = (3 0 0) nos quais o plano intercepta os eixos coordenados A porccedilatildeo do graacutefico que estaacute no primeiro octante estaacute esboccedilada na figura a seguir
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
17
FIGURA 13 ndash PLANO COM EIXOS COORDENADOS
FONTE O autor
Exemplo 18Determine o conjunto domiacutenio e o conjunto imagem da funccedilatildeo f (x y z) =
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo natildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x y e zAssim D(f) = R sup3 (todo o espaccedilo)Jaacute para o conjunto imagem teremos apenas os reais natildeo negativosLogo Im (f) = R+
x
y
z
(020)
(300)
(006)
18
Neste toacutepico os principais assuntos estudados foram
bull Definiccedilatildeo de funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
bull Conjunto domiacutenio e conjunto imagem de funccedilatildeo
bull Representaccedilatildeo graacutefica do domiacutenio
bull Representaccedilatildeo graacutefica das superfiacutecies z = f (xy) usando recurso computacional
bull Listamos algumas situaccedilotildees envolvendo o estudo do domiacutenio para funccedilotildees de diversas variaacuteveis que impotildeem restriccedilotildees ao conjunto domiacutenio
bull Consideremos os casos a seguir em que A e B satildeo expressos em funccedilatildeo de x e y
uuml Se f (xy) = entatildeo devemos considerar B ne 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar A ge 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar A ge 0 e B ne 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar B gt 0
uuml Se f (xy) = logc A com c gt 0 e c ne 1 entatildeo devemos considerar A gt 0
RESUMO DO TOacutePICO 1
19
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre funccedilotildees de diversas variaacuteveis
1 Nos problemas a seguir calcule o valor da funccedilatildeo nos pontos especiacuteficos
a) f (xy) = (x ‒ 1)sup2 + 2xysup3 f (2 ‒ 1) f (12)
b) f (xy) = 3x+2y2x+3y
f (12) f ( ‒ 46)
c) g (xy) = y -x2 2 g (45) g (‒ 12)
d) g (uv) = 10u frac12 v ⅔ g (1627) g (4 ‒1331)
e) f (xy) = y xx y+ f (12) f(2 ‒3)
2 Nos problemas a seguir descreva o domiacutenio das funccedilotildees e represente-o graficamente
a) f (xy) = 5x + 2y4x + 3y
b) g (xy) = 36 - x - y2 2
c) f (xy) = radicx + y ‒ 2
d) f (xy) = 3x + 5y
xsup2 + 2ysup2 ‒ 4e) f (xy) = In (x + y ‒ 4)
f) g (xy) = exy
radicx ‒ 2y
AUTOATIVIDADE
20
21
TOacutePICO 2
CURVAS DE NIacuteVEL
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico veremos como representar uma superfiacutecie (figura tridimensional) em um graacutefico bidimensional Talvez vocecirc jaacute tenha visto algum graacutefico nesta situaccedilatildeo na praacutetica satildeo chamados mapas topograacuteficos
Nestes mapas uma paisagem tridimensional como a extensatildeo de uma montanha por exemplo estaacute representada por linhas de contorno bidimensionais ou curvas de elevaccedilatildeo constante conforme pode ser visto na figura a seguir
FIGURA 14 ndash MAPA DE CONTORNO DE UMA MONTANHA
FONTE Disponiacutevel em lthttparqaulaswordpresscomcategorytopografiagt Acesso em 11 jul 2011
O objetivo deste toacutepico eacute mostrar como reconhecer algebricamente e geometricamente as curvas de niacutevel Muitas das curvas que encontraremos correspondem a graacuteficos de funccedilotildees jaacute conhecidas as quais vocecirc estudou na disciplina de Geometria Analiacutetica tais como reta paraacutebola cuacutebica circunferecircncia elipse e hipeacuterbole
S1
S2
S3
S6
A
B
C
DE
F
G
H
I
A B C D E F G H I
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
22
2 CURVAS DE NIacuteVEL
O conjunto de todos os pontos onde uma funccedilatildeo f (xy) tem um valor constante c isin R eacute chamado de curva de niacutevel de f
Definiccedilatildeo 231 Seja c um nuacutemero real O conjunto de pontos no plano onde uma funccedilatildeo f (xy) tem um valor constante f (xy) = c eacute chamado de curva de niacutevel de f
Exemplo 1
Identifique as curvas de niacutevel para g (xy) = 4 ‒ x ‒ y em c = 0 e c = 6 Represente graficamente
Resoluccedilatildeog (xy) = c para c = 0
g (xy) = 4 ‒ x ‒ y0 = 4 ‒ x ‒ y
y = 4 ‒ xy = ‒ x + 4
Esta funccedilatildeo representa uma reta decrescente (coeficiente angular ndash1) que intercepta o eixo y em 4
g (xy) = c para c = 6g (xy) = 4 ‒ x ‒ y
6 = 4 ‒ x ‒ yy = 4 ‒ 6 ‒ xy = ‒ x ‒ 2
Esta funccedilatildeo representa uma reta decrescente (coeficiente angular ndash1) que intercepta o eixo y em ndash2
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
23
FIGURA 15 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE g (xy) = 4 ndash x ndash y
FONTE O autor
Outro exemplo que ilustra as curvas de niacutevel eacute o que muitos autores chamam de mapa de contorno conforme figura a seguir
FIGURA 16 ndash MAPA DE CONTORNO DE g (xy) = 4 ndash x ndash y
FONTE O autor
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
24
Considerando diferentes valores para a constante c igualmente espaccedilados obtemos um conjunto de curvas de niacutevel chamado mapa de contorno representadas no mesmo plano cartesiano
Exemplo 2Identifique as curvas de niacutevel para f (xy) = xsup2 ‒ ysup2 em c = 0 c = ndash3 e c = 4
Represente graficamente
Resoluccedilatildeof (xy) = c para c = 0
xsup2 ndash ysup2 = 0ysup2 = xsup2
y = x ou y = ndashx
Estas duas equaccedilotildees representam duas retas (Figura 17) A reta de equaccedilatildeo y = x representa no plano a bissetriz dos quadrantes iacutempares enquanto que a reta de equaccedilatildeo y = - x representa a bissetriz dos quadrantes pares
f (xy) = c para c = ‒ 3xsup2 ‒ ysup2 = ‒ 3
‒xsup2 ysup2 ‒3‒3 ‒3 ‒3=
xsup2 ysup23 3+ = 1‒
A equaccedilatildeo xsup2 ysup23 3+ = 1‒ representa uma hipeacuterbole equilaacutetera com
a = b = radic3 que tem uma concavidade voltada para cima e a outra para baixo (Figura 17)
f (xy) = c para c = 4xsup2 ‒ ysup2 = 4
‒xsup2 ysup2 4 4 4 4=
‒xsup2 ysup2 4 4 = 1
IMPORTANTE
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
25
Esta equaccedilatildeo representa uma hipeacuterbole equilaacutetera com a = b = 2 centrada na origem do plano cartesiano com uma concavidade voltada para a direita e outra para a esquerda (Figura 17)
FIGURA 18 ndash MAPA DE CONTORNO DE f (xy) = xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
FIGURA 17 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
y
x
c = 0
c = -3
c = 4
c = 0
c = 4
c = -3
420-2-4
-2
-4
0
2
4
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
26
Caro(a) acadecircmico(a) Para desenhar os mapas de contorno sugiro que utilize um software matemaacutetico como por exemplo o Winplot Na internet vocecirc encontra diversos tutoriais sobre o Winplot inclusive onde baixar o programa que eacute freeware Agora tente vocecirc identifique as curvas de niacutevel para g (xy) = 4 ndash 2xsup2 ndash ysup2 em c = 0 e c = ndash 2 e as represente graficamente
Exemplo 3Identifique as curvas de niacutevel para f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 em c = 1 e c = 2
Represente graficamente
Resoluccedilatildeof (xy) = c para c = 1
radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 15 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 1
‒ x sup2 ‒ y sup2 = ‒ 4 (-1)xsup2 + ysup2 = 4
Esta equaccedilatildeo representa uma circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano com raio igual a 2 (Figura 19)
f (xy) = c para c = 2
radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 25 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 4
‒ x sup2 ‒ y sup2 = ‒ 1 ( ‒ 1)x sup2 + y sup2 = 1
Esta equaccedilatildeo representa uma circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano com raio igual a 1 (Figura 19)
DICAS
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
27
FIGURA 19 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2
FONTE O autor
FIGURA 20 ndash MAPA DE CONTORNO DE f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2
FONTE O autor
c = 1
c = 2
-3 -2 -1
1
-1
-2
-3
2 31
2
3
x
y
-2
-1
0
1
22 1 0 ndash 1 ndash 2
x
y
28
RESUMO DO TOacutePICO 2
Neste toacutepico fizemos anaacutelises e representaccedilotildees graacuteficas das curvas de niacutevel de uma funccedilatildeo f
bull Reconhecimento algeacutebrico das curvas de niacutevel
29
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
1 Associe as superfiacutecies de 1 a 4 aos mapas de contorno de A a D
(1)
(A)
(2)
(B)
y ndash 2 ndash 1 ndash 1
ndash 2
ndash 3
x
1 2 3
1
2
3
1
05
0
ndash 05
ndash 1ndash 3ndash 2ndash 1 0 1 2 3 3 2 1 0ndash 1ndash 2ndash 3
ndash 3
ndash2
ndash 1
ndash 1ndash 2ndash 3 1
1
2
2
3
3 y
x
30
(3) (C)
(4) (D)
2 Nas questotildees a seguir identifique algebricamente as curvas de niacutevel para valores de c dados
a) f (xy) = x sup2 + y sup2 ‒ 9 c isin ‒ 4 ‒ 2 ‒ 1 0b) f (xy) = y sup2 ‒ x c isin 0 1 2 3
3 Nas questotildees a seguir represente graficamente as curvas de niacutevel das funccedilotildees Agora vocecirc escolheraacute alguns valores para c Eacute importante que vocecirc faccedila os graacuteficos manualmente e se for possiacutevel utilize o software Winplot para conferir ou como apoio nos estudos
a) f (xy) = x sup2 + 9y sup2b) f (xy) = y ‒ xsup3c) g (xy) = 3 + 2x ‒ y
3 2 1 0 ndash 1 ndash 2 ndash 33
2
1
0
ndash 1
ndash 2
ndash 3
y
ndash 3 ndash 2 ndash 1 0 1 2 3
3
2
1
0
ndash 1
ndash 2
ndash 3
y
x
20
10
0
ndash 10
ndash 20ndash 3
ndash 1ndash 2 0 1 2 3 ndash 2 ndash 1 0 1 2 3
x y
ndash 3 ndash 2 ndash 1 2 3
321ndash 1ndash 2ndash 300
x y
31
TOacutePICO 3
LIMITE E CONTINUIDADE
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 DEFINICcedilOtildeES BAacuteSICAS
O que estudaremos agora jaacute foi estudado no Caacutelculo Diferencial e Integral onde o conceito de limite e continuidade foi empregado para funccedilatildeo de uma variaacutevel
Neste toacutepico estenderemos o conceito de limite agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis um conceito fundamental do caacutelculo do qual decorrem outros como por exemplo a noccedilatildeo de continuidade Para isso enunciaremos algumas definiccedilotildees de Anaacutelise Matemaacutetica Tente entender os conceitos e soacute depois avance para a proacutexima seccedilatildeo
Definiccedilatildeo 321 Sejam P = (x1 x2 xn) e A = (a1 a2an) pontos em Rn A distacircncia entre P e A denotada por P ‒ A eacute dada por
P ‒ A = radic (x1 ‒ a1)sup2 + (x2 ‒ a2)sup2 + + (xn ‒ an)sup2
Exemplo 1Dados os pontos P = (1 ‒ 2 3) e A = (3 1 ‒ 2) em Rsup3 encontre P ‒ A
Resoluccedilatildeo P ‒ A = radic (1 ‒ 3)sup2 + (‒2 ‒1)sup2 + (3 ‒ (‒ 2))sup2 = radic8 uc
Definiccedilatildeo 322 Sejam A = (a1 a2 an) isin Rn e r gt 0 um nuacutemero real A bola aberta de centro em A e raio r que indicaremos por B(A r) eacute definida como sendo o conjunto de todos os pontos P = (x1 x2 xn) tais que P ‒ Alt r ou seja
B(A r) = (x1 x2xn) isin Rn radic (x1 ‒ a1)sup2 + (x2 ‒ a2)sup2 ++ (xn ‒ an)sup2 lt r
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
32
Exemplo 2a) Em R a bola aberta B(a r) eacute o intervalo aberto (a ‒ r a + r)
FIGURA 21 ndash INTERVALO EM R
FONTE O autor
b) Em Rsup2 a bola aberta B((a1 a2) r) representa o conjunto dos pontos internos agrave circunferecircncia de centro em (a1 a2) e raio r
FIGURA 22 ndash r de A
FONTE O autor
Definiccedilatildeo 321 Seja S um subconjunto de Rn Um ponto A eacute um ponto de acumulaccedilatildeo de S se toda bola aberta de centro em A possui uma infinidade de pontos de S mesmo que A natildeo necessariamente pertenccedila a S
Exemplo 3Seja S = (xy) isin Rsup2 | x gt 0 e y gt 2 Mostre que todos os pontos pertencentes
ao conjunto S satildeo pontos de acumulaccedilatildeo
ResoluccedilatildeoTodos os pontos pertencentes a S satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S pois
atendem agrave Definiccedilatildeo 321 Ainda os pontos (0y) com y ge 2 e (x 2) com x gt 0 satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S e natildeo pertencem a S (Figura 23)
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
33
FIGURA 23 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO CONJUNTO S
FONTE O autor
Exemplo 4Seja S = (xy) isin Z2 | ‒ 2 le x le 4 e 1 le y le 5 Mostre que o conjunto S natildeo
possui pontos de acumulaccedilatildeo
ResoluccedilatildeoMostraremos que os pontos de S natildeo satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S pois
natildeo atendem agrave Definiccedilatildeo 321 Para qualquer ponto P(xy) isin R2 a bola aberta de centro P e raio r lt 1 natildeo conteacutem uma infinidade de pontos de S
Portanto o conjunto S natildeo possui pontos de acumulaccedilatildeo (Figura 24)
FIGURA 24 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO CONJUNTO S
FONTE O autor
y
x
1098
654
21
34
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
3 LIMITE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
A seguir definiremos limite de uma funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 331 Sejam f S sub Rn rarr R uma funccedilatildeo e A um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que o limite de f (X) quando X se aproxima de A eacute um nuacutemero real L se dado ε gt 0 existir δ gt 0 tal que |f (X) ndash L| lt ε sempre que X isin S e 0 lt X ndash A lt δ
Neste caso escrevemos
lim f (X) = L x rarr A
O estudo de funccedilotildees de trecircs ou mais variaacuteveis (n ge 3) difere pouco do estudo de funccedilotildees de duas variaacuteveis Desta forma por simplicidade de apresentaccedilatildeo vamos estudar as funccedilotildees de duas variaacuteveis no restante desta unidade Comeccedilaremos reescrevendo a definiccedilatildeo de limite de funccedilotildees de duas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 332 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo e (a b) um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que o limite de f (xy) quando (xy) se aproxima de (ab) eacute um nuacutemero real L se dado ε gt 0 existir δ gt 0 tal que
|f (xy) ndash L| lt ε sempre que (xy) isin S e 0 lt radic(x ‒ a)2 + (y ‒ b)2 lt δ
Neste caso escrevemos
lim f (xy) = L (xy) rarr (ab)
A definiccedilatildeo de limite de funccedilatildeo pode ser reformulada utilizando o conceito de bola aberta que vimos anteriormente De fato escrever lim f (xy) = L equivale
a dizer que dado qualquer ε gt 0 podemos encontrar δ gt 0 tal que para todo (xy) isin B ((ab) δ) tenhamos f (xy) isin (L ndash ε L + ε) A figura a seguir ilustra no caso de uma funccedilatildeo f A sub Rn rarr R a definiccedilatildeo de limite
FIGURA 25 ndash FUNCcedilAtildeO f A sub Rn rarr R
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwicmcuspbr~cmmendesCalculoIICalculo2DiferenciaE7E3opdfgt Acesso em 18 jun 2011
(xy) rarr (ab)
A sub Rn
P₀
f
L ndash ε
L + εL
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
35
Exemplo 5Usando a definiccedilatildeo de limite mostre que lim (4x ndash 3y) = 5 (xy) rarr (21)
ResoluccedilatildeoDevemos mostrar que forall ε gt 0 exist δ gt 0 tal que (4x ‒ 3y) ‒ 5 lt ε sempre que
(xy) ‒ (21)lt δ
Com o objetivo de encontrar o δ desejado trabalharemos com a desigualdade que envolve ε Assim usando propriedades do valor absoluto podemos escrever
(4x ‒ 3y) ‒ 5=4x ‒ 3y ‒ (8 ‒ 3)=4x ‒ 8 ‒ 3y + 3=4x ‒ 8 ‒ (3y ‒ 3)=4 (x ‒ 2) ‒ 3(y ‒ 1)le 4x ‒ 2+ 3 y ‒ 1
Como 0 lt radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ podemos escrever x ‒ 2 le
radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ e y ‒ 1 le radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ temos que 4x ‒ 2 + 3y ‒ 1lt 4 δ + 3 δ
Assim tomando δ = ε7 temos(4x ‒ 3y) ‒ 5le 4x ‒ 2+ 3y ‒ 1lt
4 ε7 + 3 ε
7 = ε sempre que 0 lt radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ
Portanto lim (4x ‒ 3y) = 5 (xy) rarr (21)
Teorema 331 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis S1 e S2 subconjuntos de S e (ab) um ponto de acumulaccedilatildeo de S1 e S2 Se f (xy) tem limites diferentes quando (xy) tende (ab) atraveacutes dos pontos de S1 e S2 entatildeo lim f (xy) natildeo existe (xy) rarr (ab)
Lembre-se de que o fato de o ponto (ab) ser um ponto de acumulaccedilatildeo de S1 e
S2 natildeo significa que (ab) isin S
1 cap S
2
Exemplo 6Usando a definiccedilatildeo de limite mostre que lim 5xy
x2 + y2 natildeo existe
ATENCAO
(xy) rarr (21)
36
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Resoluccedilatildeo
Observemos que o conjunto domiacutenio de f eacute R2 ‒ (00) Para mostrar que o limite natildeo existe usaremos o Teorema 331
Consideremos o conjunto de retas que passam pela origem y = kxk isin R (xy) isin R2
Calculando f (xy) com y = kx temos
f (xkx) = 5xkx
x2 + (kx)2
= 5kx2
x2 (1+ k2)
= 5k
1+ k2
Entatildeo lim f (x kx) = lim 5k
1+ k2 (xy) rarr (00) (xy) rarr (00)
Assim o limite de f depende do percurso do ponto (xy) quando ele tende agrave origem Por exemplo considere k = 0 e k = 1 (dois caminhos diferentes)
lim f (xx) = lim 5 11+1
= 522
e lim f (xa) = 5 01 0
02+=
(xy) rarr (00) (xy) rarr (00)
Note que f assume um valor constante sobre cada reta que passa pela
origem De fato para cada coeficiente angular k isin R f (xkx) = 5k
1+k2 qualquer que
seja x isin R corroborando assim o caacutelculo do limite desenvolvido anteriormente
Portanto concluiacutemos atraveacutes do Teorema 331 que lim 5xy
x2 + y2 natildeo
existe (xy) rarr (00)
O teorema a seguir eacute muito parecido com o que jaacute foi visto em caacutelculo nas propriedades de limites de funccedilotildees de uma variaacutevel
Teorema 332 Se lim f (xy) = L e lim g (xy) = M e c isin R entatildeo (xy) rarr (ab) (xy) rarr (ab)
(xy) rarr (00)
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
37
Vamos utilizar este teorema nos exemplos a seguir
Exemplo 7
Calcule
Resoluccedilatildeo
Exemplo 8
Calcule
Resoluccedilatildeo
Temos lim (x3 ‒ x2y) = 0 e lim (x2 ‒ y2) = 0 (xy) rarr (22) (xy) rarr (22)
Neste caso temos uma indeterminaccedilatildeo do tipo 00
Para resolver o limite
fatoram-se o numerador e denominador fazendo as simplificaccedilotildees possiacuteveis como faziacuteamos com limites indeterminados no caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral
Entatildeo
38
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
4 CONTINUIDADE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Vocecirc se recorda da definiccedilatildeo de continuidade estudada na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral Agora estudaremos esta definiccedilatildeo aplicada agraves funccedilotildees de diversas variaacuteveis Acompanhe a seguir
Definiccedilatildeo 341 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo e (ab) isin S um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que f eacute contiacutenua no ponto (ab) se as seguintes condiccedilotildees forem satisfeitas
(i) f estaacute definida no ponto (ab)(ii) lim f(xy) existe
(xy) rarr (ab)
(iii) lim f(xy) = f(ab) (xy) rarr (ab)
Quando uma ou mais destas condiccedilotildees natildeo eacute satisfeita dizemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no ponto (ab)
Dizemos que f eacute contiacutenua se f for contiacutenua em todos os pontos do domiacutenio de f
Exemplo 9
Considere a funccedilatildeo de duas variaacuteveis f(xy) = 3x + y2
a) Mostre que f eacute contiacutenua no ponto (2 3)
b) Mostre que f eacute contiacutenua
+
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
39
Resoluccedilatildeo
a) Precisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(i) f (23) = 32 + 32 = 15(ii) lim f(xy) = lim (3x + y2) = 32 + 32 = 15 (xy) rarr (23) (xy) rarr (23)
(iii) lim (3x + y2) = f (23) (xy) rarr (23)
Logo f eacute contiacutenua no ponto (2 3)
b) Seja (ab) isin D (f) = R2
lim f(xy) = lim (3x + y2) = 3a + b2 = f (ab) (xy) rarr (ab) (xy) rarr (ab)
Como (ab) eacute um ponto qualquer segue que f (xy) eacute contiacutenua
Exemplo 10
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = In (xy + 3x) eacute contiacutenua no ponto (32)
Resoluccedilatildeo
Verificaremos se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
Logo f eacute contiacutenua no ponto (3 2)
40
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 11
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = eacute contiacutenua no ponto (33)
Resoluccedilatildeo
Precisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(i) f (33) = 5 pois x = y
(ii) = infin portanto o limite natildeo existe
(iii) Como lim f(xy) ne f(33) concluiacutemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no ponto (33) (xy) rarr (33)
Teorema 341 Se g(x) for contiacutenua em a e h(y) for contiacutenua em b entatildeo f(xy) = g(x) middot h(y) eacute contiacutenua em (ab)
Teorema 342 Se h(x y) for contiacutenua em (ab) e g(u) for contiacutenua em u = h (ab) entatildeo a composiccedilatildeo f(xy) = g(h(xy)) eacute contiacutenua em (ab)
Exemplo 12Use o Teorema 341 para mostrar que a funccedilatildeo f(xy) = 7x3y5 eacute contiacutenua
Resoluccedilatildeo
Os polinocircmios g(x) = 7x3 e h(y) = y5 satildeo contiacutenuos em cada ponto da reta real
Logo pelo Teorema 341 a funccedilatildeo f(xy) = 7x3 y5 eacute contiacutenua em cada ponto (xy) do plano xy ou seja f(xy) eacute contiacutenua
Exemplo 13Use o Teorema 342 para mostrar que a funccedilatildeo f(xy) = cos (7x3 y5) eacute contiacutenua
ResoluccedilatildeoComo h(xy) = 7x3 y5 eacute contiacutenua em cada ponto do plano xy e g(u) = cos u eacute
contiacutenua em cada ponto u da reta real segue do Teorema 342 que a composiccedilatildeo f(xy) = cos (7x3 y5) eacute contiacutenua em todo R2
41
RESUMO DO TOacutePICO 3
Caro(a) acadecircmico(a) Neste toacutepico os principais assuntos estudados foram
bull O conceito de limite de funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
bull Definiccedilatildeo de funccedilatildeo contiacutenua e suas propriedades Eacute importante saber analisar se uma funccedilatildeo eacute contiacutenua ou natildeo
bull Destacamos a Definiccedilatildeo 341 que trata da continuidade Lembre que se f S sub R2 rarr R eacute uma funccedilatildeo e (ab) isin S eacute um ponto de acumulaccedilatildeo de S dizemos
que f eacute contiacutenua no ponto (ab) se as seguintes condiccedilotildees forem satisfeitas
(i) f estaacute definida no ponto (ab)
(ii) lim f(xy) existe
(xy) rarr (ab)
(iii) lim f(xy) = f(ab)
(xy) rarr (ab)
Lembre-se de que se uma destas condiccedilotildees natildeo for satisfeita a funccedilatildeo eacute descontiacutenua em (ab)
42
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre limite e continuidade de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
1 Use a definiccedilatildeo de limite para mostrar que lim (2x + 6y) = 12 (xy) rarr (31)
2 Nos exerciacutecios a seguir calcule os limites
a) lim (x2y3 ‒ 2xy + 4) (xy) rarr (2 ‒1)
b) lim (xy) rarr (2 ‒1)
c) lim (xy) rarr (00)
d) lim x2 ‒ xy
radic radicx + y (xy) rarr (00)
x + 4y2x2 + 3xy
x3 + 2x2 + xy2 + 2y2
x2 + y2
3 Mostre que lim x2y
x4 + y2 natildeo existe (xy) rarr (00)
4 Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f (xy) = 3x2 + y2 +5
5 Verifique se a funccedilatildeo f(xy) = 4x2 ‒ 3x + yx2 + y2 ‒ 1
eacute contiacutenua no ponto (13)
6 Verifique se a funccedilatildeo f(xy) = xy5x2 + y2
0 (xy) = (00)
(xy) ne (00) eacute contiacutenua
43
TOacutePICO 4
DERIVADAS PARCIAIS
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
Vocecirc se recorda das regras de derivaccedilatildeo estudadas na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral
Aqui veremos como elas se aplicam agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis independentes que permitem uma visualizaccedilatildeo graacutefica possibilitando um entendimento de maneira simples do conceito de derivadas parciais Os resultados aqui obtidos podem ser generalizados para os casos de funccedilotildees com um nuacutemero maior de variaacuteveis
As regras de derivaccedilatildeo que vocecirc aprendeu na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral seratildeo utilizadas neste momento novamente
2 RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVACcedilAtildeO
Se u eacute uma funccedilatildeo real e c α isin R entatildeo
(c)prime = 0 (eu)prime = eu sdot u prime(c sdot u)prime = c sdot uprime (sen u)prime = cos u sdot u prime(u α)prime = α sdot u αminus1 sdot uprime (cos u)prime = minussen u sdot u prime
Exemplo 1Se f(x) = 5x3 minus 4x + 3ex minus 5 entatildeo f prime(x) = 15x2 minus 4 + 3ex
Lembre-se que se y = f (x) entatildeo a taxa de variaccedilatildeo de y em relaccedilatildeo a x eacute dada pela derivada de f em relaccedilatildeo a x que eacute definida por
f(x + Δx) minus f(x)Δx
f prime(x) = limΔx rarr 0
44
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
3 DERIVADAS PARCIAIS
Nesta seccedilatildeo estudaremos sobre as derivadas parciais Acompanhe
31 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS
A definiccedilatildeo de derivada parcial de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis eacute parecida com a enunciada para funccedilotildees de uma variaacutevel sendo utilizadas as mesmas regras de derivaccedilatildeo A diferenccedila aqui eacute que como se tem duas variaacuteveis uma delas deve ser mantida fixa enquanto se daacute acreacutescimos para a outra conforme veremos nas definiccedilotildees a seguir
Definiccedilatildeo 4311 Seja f A sube R2 rarr R uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis As derivadas parciais de f em relaccedilatildeo a x e a y satildeo funccedilotildees partf
partx e partf
party definidas por
partfpartx
= limh rarr 0
f (x + hy) ‒ f (xy)h
partfparty
= limh rarr 0
f (xy + h) ‒ f (xy)h
desde que os limites existam
O siacutembolo ldquopartrdquo chama-se ldquoD-rondrdquo (pronuncia-se derron) que significa D-redondo em francecircs Esta notaccedilatildeo eacute apenas um outro tipo de simbologia para a derivada que quando trabalhamos com funccedilotildees de uma variaacutevel era representada por ldquodrdquo Eacute conveniente ter essa maneira distinta de estender a notaccedilatildeo diferencial de Leibniz para um contexto de diversas variaacuteveis pois aqui natildeo tem sentido falarmos simplesmente em derivada apenas em derivadas parciais
Existem outras notaccedilotildees para representar as derivadas parciais Se z = f (xy)
denotamos
partfpartx
= fx (xy) = = Dx fpartzpartx
partfparty
= fy (xy) = = Dy fpartzparty
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
45
Preste muita atenccedilatildeo na simbologia de derivada Quando estamos derivando
uma funccedilatildeo de uma variaacutevel por exemplo y = f (x) entatildeo a derivada eacute identificada por dydx
Mas quando estamos derivando uma funccedilatildeo de duas ou mais variaacuteveis por exemplo z = f
(xy) entatildeo as derivadas satildeo identificadas por part zpart x
e part zpart y
Exemplo 2
Aplicar a definiccedilatildeo para achar partfpartx
e partfparty
para f (xy) = 3x2 ‒ 2xy
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= limh rarr 0
f (x + hy) ‒ f (xy)h
= limh rarr 0
3 (x + h)2 ‒ 2 (x + h)y ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
3x2 + 6xh + 3h2 ‒ 2xy ‒ 2hy ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
6xh + 3h2 ‒ 2hyh
= limh rarr 0
h (6x + 3h ‒ 2y)h
= lim 6x + 3h ‒ 2yh rarr 0
= 6x ‒ 2y
partfparty
= limh rarr 0
f (xy + h)‒ f (xy)h
ATENCAO
46
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
= limh rarr 0
3x2 ‒ 2x (y + h) ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
3x2 ‒ 2xy ‒ 2xh ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
‒ 2xhh
= lim (‒ 2x)h rarr 0
= ‒ 2x
Logo obtemos partfpartx
= 6x ‒ 2y e partfparty
= ‒ 2x
Exemplo 3Encontre as derivadas parciais de f (xy) = 5x3 ‒ 4xy + 3exysup3 ‒ 5
ResoluccedilatildeoPara encontrar a derivada parcial de f em relaccedilatildeo a x devemos olhar para
a variaacutevel y da funccedilatildeo f como uma constante e derivamos apenas a variaacutevel x ou seja aplicaremos as regras de derivaccedilatildeo somente na variaacutevel x
partfpartx
= 5 ∙ 3x2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ y + 3exysup3 ∙ 1 ∙ y3 ‒ 0
= 15x2 ‒ 4y + 3y3 exysup3
De forma anaacuteloga para derivar parcialmente f em relaccedilatildeo a y devemos olhar para a variaacutevel x da funccedilatildeo f como uma constante e derivamos apenas a variaacutevel y ou seja aplicaremos as regras de derivaccedilatildeo somente na variaacutevel y
partfparty
= 0 ‒ 4x ∙ 1 + 3exysup3 ∙ x ∙ 3y2 ‒ 0
= ‒ 4x + 9xy2 exysup3
Exemplo 4Encontre as derivadas parciais de f (xy) = 3x2 ‒ xy + y
ResoluccedilatildeoDerivando f em relaccedilatildeo a x (lembre-se de considerar y como constante)
partfpartx
= 6x ‒ y
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
47
E derivando f em relaccedilatildeo a y (agora considere x como constante)
partfparty
= ‒ x + 1
Exemplo 5Encontre as derivadas parciais de f (xy) = ex ‒ y ‒ ey ‒ x
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= ex ‒ y ∙ 1 ‒ ey ‒ x ∙ (‒ 1)
= ex ‒ y + ey ‒ x
partfparty
= ex ‒ y ∙ (‒ 1) ‒ ey ‒ x ∙ 1
= ex ‒ y ‒ ey ‒ x
Exemplo 6Calcule as derivadas parciais de f (xy) = (x + y) sen (x ‒ y)
ResoluccedilatildeoObserve que a funccedilatildeo f eacute um produto de outras duas funccedilotildees u e v Assim
lembramos que (u sdot v)prime = u prime sdot v + u sdot v prime
partfpartx
= 1sen(x ‒ y) + (x + y) ∙ 1 ∙ cos (x ‒ y)
= sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ cos (x ‒ y)
partfparty
= 1∙ sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ (‒1) ∙ cos (x ‒ y)
= sen (x ‒ y) ‒ (x + y) ∙ cos (x ‒ y)
Exemplo 7Calcule as derivadas parciais de f (xy) = exy + In (x2 + y)
Resoluccedilatildeopartpart
= ++
fxy e x
x yxy
22
Utilizamos a regra
lnu uu
fyx e
x yxy
( )prime = prime
partpart
= ++1
2
48
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Ateacute aqui estivemos preocupados com o caacutelculo da derivada parcial de uma funccedilatildeo em relaccedilatildeo a uma de suas variaacuteveis Isso quer dizer que calculamos a derivada ao longo de uma curva sem ponto fixado Passemos a ver como se calcula a derivada fixando um ponto da superfiacutecie
Se (x0 y0) for um ponto do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (xy) o plano vertical y = y0 cortaraacute a superfiacutecie z = f (xy) na curva z = f (x y0) (Figura 26)
Definiccedilatildeo 4312 A derivada parcial da funccedilatildeo f em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x eacute representada por partf
partx e eacute definida num ponto P (x0 y0) do domiacutenio por
(x0 y0) = limΔ x rarr 0
partfpartx
f (x0 + Δ x y0) ‒ f (x0 y0)Δ x
se este limite existir
FIGURA 26 ndash FUNCcedilAtildeO f (xy)
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
Se (x0 y0) for um ponto do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (xy) o plano vertical x = x0 cortaraacute a superfiacutecie z = f (xy) na curva z = f (xy0) (Figura 27)
Definiccedilatildeo 4313 A derivada parcial da funccedilatildeo f em relaccedilatildeo agrave variaacutevel y eacute representada por partf
party e eacute definida num ponto P (x0 y0) do domiacutenio por
(x0 y0) = limΔ x rarr 0
partfparty
f (x0 y0 + Δ y ) ‒ f (x0 y0)Δ y
se este limite existir
Eixo horizontal no plano y = y₀
Eixo vertical no plano y = y₀
Reta tangente
A curva z = f (xy0)no plano y = y₀
z
z = f (xy)
y
y₀
(x₀ y₀)(x₀ + h y₀)
x
x₀0
P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
49
FIGURA 27 ndash FUNCcedilAtildeO f (xy)
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
Exemplo 8Sendo f (xy) = 2x2y ndash 4y3 calcule partf
partx partfparty
partfpartx
(31) partfparty
(31)
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= 2 sdot 2x sdot y ndash 0 partfpartx
(31) = 4 sdot 3 sdot 1 = 12
partfpartx
= 4xy
partfparty = 2x 2 sdot 1 ndash 4 sdot 3y 2
partfparty (31) = 2 sdot 32 ndash 12 sdot 12
partf party
= 2x 2 ndash 12y 2 partfparty
(31) = 2 sdot 9 ndash 12 sdot 1 = 18 ndash 12 = 6
Exemplo 9
Sendo f (xy) = 5xy2x + 3y
0 se (xy) = (00)
se (xy) ne (00) calcule partf
partx e partf
party
Eixo vertical no plano x = x₀
Reta tangente
A curva z = f (x y0)no plano x = x₀
Eixo horizontal no plano x = x₀
x₀
x(x₀ y₀)
(x₀ y₀ + k)
z = f (xy)
z
y
y₀
P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))
50
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
ResoluccedilatildeoNos pontos (xy) ne (00) podemos aplicar as regras de derivaccedilatildeo Assim
temos
partfpartx
5y middot (2x + 3y) ‒ 5xy middot 2(2x + 3y)2
=
10xy + 15y 2 ‒ 10xy(2x + 3y)2
=
15y 2
(2x + 3y)2=
partfparty
5x middot (2x + 3y) ‒ 5xy middot 3(2x + 3y)2
=
10x2
(2x + 3y)2=
Para calcularmos as derivadas de f na origem usamos a definiccedilatildeo de derivada parcial
(00) = limh rarr 0
partfpartx
f (0 + h 0 ) ‒ f (00)h
= limh rarr 0
5h middot 0 2h
h
‒ 0( (( (
(00) = limh rarr 0
partfparty
f (00 + h) ‒ f (00)h( (
= limh rarr 0
5 middot 0 middot h 3h
h
‒ 0( (= 0
= 0
Assim obtemos as derivadas parciais da funccedilatildeo f com relaccedilatildeo a x e com relaccedilatildeo a y em todos os pontos (xy) do domiacutenio
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
51
32 INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
A interpretaccedilatildeo das derivadas parciais eacute anaacuteloga agrave interpretaccedilatildeo da derivada simples Sabemos que para a funccedilatildeo y = f (x) a derivada f prime (x0) pode ser interpretada ou como a taxa de variaccedilatildeo de y em relaccedilatildeo a x no ponto x0 ou como a inclinaccedilatildeo da reta tangente ao graacutefico de f no ponto x0
Para interpretar as derivadas parciais consideramos a funccedilatildeo z = f (xy) e
as suas derivadas parciais no ponto (x0 y0) Vamos interpretar partfpartx
(x0 y0) suponha
que C1 eacute a interseccedilatildeo da superfiacutecie z = f (xy) com o plano y = y0 (o que equivale a
considerar y como constante) Geometricamente partfpartx
(x0 y0) pode ser interpretada
como a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva C1 no ponto (x0 y0) que se denota por partfpartx
(x0 y0) = tg α
Da mesma forma supondo C2 a interseccedilatildeo da superfiacutecie z = f (xy) com
o plano x = x0 (o que equivale a considerar x como constante) interpretamos partfparty
(x0 y0)geometricamente como a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva C2 no ponto
(x0 y0) que se denota por partfparty
(x0 y0) = tg b Veja na Figura 28 a situaccedilatildeo descrita
anteriormente
A derivada parcial partfpartx
(x0 y0) tambeacutem pode ser interpretada como a taxa de variaccedilatildeo de z em relaccedilatildeo a x ao longo da curva C1 E a derivada parcial partf
party (x0 y0)
tambeacutem pode ser interpretada como a taxa de variaccedilatildeo de z em relaccedilatildeo a y ao longo da curva C2 Assim estes valores representam a velocidade com que z cresce (ou decresce) quando apenas uma variaacutevel estaacute sendo alterada
FIGURA 28 ndash INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
y
x
z
x₀
c₂ c₁
y₀
b
α
52
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 10A funccedilatildeo T (xy) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto
de uma chapa Encontre a razatildeo de variaccedilatildeo da temperatura em relaccedilatildeo agrave distacircncia percorrida ao longo da chapa na direccedilatildeo dos eixos positivos x e y no ponto (1 2) Considere a temperatura medida em graus Celsius e a distacircncia em cm
Resoluccedilatildeo
partTpartx = 0 ‒ 2 sdot 2x = ‒ 4x
partTpartx (1 2) = ‒ 4 sdot 1 = ‒ 4degC cm
Assim podemos interpretar o valor ‒ 4degC cm obtido na derivada em x da seguinte forma a temperatura estaacute diminuindo 4degC agrave medida que x aumenta uma unidade
partTparty = 0 ‒ 2 middot 3y = ‒ 6y
partTparty (1 2) = ‒ 6 middot 2 = ‒ 12degC cm
Assim o valor ‒ 12degC cm significa que a temperatura diminui 12degC agrave medida que y aumenta uma unidade
Exemplo 11Suponha que D = radicx 2 + y 2 eacute o comprimento da diagonal de um retacircngulo
cujos lados tecircm comprimentos x e y que satildeo permitidos variar Determine uma foacutermula para a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x se x varia com y considerado constante e utilize esta foacutermula para determinar a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x no ponto x = 3 e y = 4
ResoluccedilatildeoA foacutermula para a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x eacute
D = radicx 2 + y 2 D = (x 2 + y 2)frac12
partDpartx
= 12
(x 2 + y 2)-frac12 (2x)
partDpartx
= radic
xx 2 + y 2
A taxa de variaccedilatildeo instantacircnea de D em relaccedilatildeo a x no ponto (3 4) eacute
partDpartx
(3 4) = radic
332 + 42
= 35
Assim D aumenta a uma taxa de 35
de unidade para cada unidade de aumento de x no ponto (3 4)
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
53
4 GENERALIZACcedilAtildeO
Na seccedilatildeo anterior estudamos as derivadas parciais de funccedilotildees de duas variaacuteveis Agora vamos generalizar este conceito para as derivadas parciais de funccedilotildees de n variaacuteveis reais
Definiccedilatildeo 441 Seja f A sube Rn rarr R uma funccedilatildeo de n variaacuteveis e seja x = (x1 x2 xn) isin A Definimos a derivada parcial de f no ponto x em relaccedilatildeo a xi por
partpart
+ minusrarr
fxi h
i n (x) = f (x x h x f (x
lim )
01 1 xx
hn ) quando esse limite existir
Definiccedilatildeo 442 Seja f A sub Rn rarr R uma funccedilatildeo de n variaacuteveis e seja B sube A o
conjunto formado por todos os pontos x tais que partfpartxi
(x) existe Definimos a funccedilatildeo
derivada parcial de 1ordf ordem de f em relaccedilatildeo a xi como a funccedilatildeo que a cada x isin B associa
o nuacutemero partfpartxi
(x) dado por partfpartxi
(x) = limf (x1 xi + h xn) ‒ f (x1 xi xn)
h( (h rarr 0
Exemplo 12Calcule as derivadas de primeira ordem da funccedilatildeo f (x y z) = 1 + xy 2 ‒ 2z3
ResoluccedilatildeoAo derivar f em relaccedilatildeo a x lembre-se de considerar y e z como constantes
partfpartx
= y 2
Derivando f em relaccedilatildeo a y (agora considere x e z como constantes)
partfparty
= 2xy
E derivando f em relaccedilatildeo a z (considere x e y como constantes)
partfpartz
= ‒ 6z2
Exemplo 13Calcule as derivadas de primeira ordem da funccedilatildeo f (x y z) = yz In (xy)
ResoluccedilatildeoObserve primeiramente que a funccedilatildeo eacute dada por um uacutenico termo e teremos
que usar as regras do produto e do logaritmo natural
54
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Derivando f em relaccedilatildeo a x (considere y e z como constantes) Como a variaacutevel x aparece apenas no logaritmando usaremos a regra do logaritmo natural
partfpartx
= yz ∙ yxy
= yzx
Derivando f em relaccedilatildeo a y (considere x e z como constantes)
Como a variaacutevel y aparece no fator que multiplica o logaritmo e tambeacutem no logaritmando entatildeo aplicaremos a regra do produto junto agrave regra do logaritmo natural
partfparty
= z In (xy) + yz middot xxy
= z In (xy) + z
E derivando f em relaccedilatildeo a z (considere x e y como constantes) a variaacutevel z aparece apenas no fator que multiplica o logaritmo entatildeo aplicaremos a regra da derivada simples em z
partfpartz
= y In (xy)
5 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
As derivadas parciais partfpartx
e partfparty
satildeo funccedilotildees de x e y e assim elas mesmas
podem ter derivadas parciais Com isso teremos outras quatro derivadas parciais estas de segunda ordem de f as quais satildeo definidas por
Exemplo 14Sendo f (xy) = y2 ex + 5y calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
55
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= y2 ex partf
party= 2y ex + 5
Para fazermos as derivadas parciais de segunda ordem vamos derivar parcialmente cada uma das derivadas de primeira ordem em relaccedilatildeo a x e a y Fique atento(a) agrave notaccedilatildeo
Exemplo 15Sendo f (xy) = x2 cos y + y2 sen x encontre as derivadas parciais de segunda
ordem de f
Resoluccedilatildeo
56
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 16Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de f (xy) = x + 3y
ResoluccedilatildeoPrimeiro devemos escrever a funccedilatildeo na forma de potecircnciaf (xy) = (x + 3y)frac12
Observe que devemos aplicar a regra da potecircncia para a derivaccedilatildeo (u α)prime = α uαminus1 uprime
radic
Exemplo 17Dada a funccedilatildeo f (xy) = x3y + 4x2y3 calcule
a) part2fpartypartx
b) part2fpartx2
c) part3fpartxpartypartx
d) part3fpartypartx2
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
57
Resoluccedilatildeo
partpart part
=partpart
partpart
partpart part
=partpart
+( )partpart part
= +
2
22 3
22
3 8
3 24
fy x y
fx
fy x y
x y xy
fy x
x xyy2
partpart
= +
part
part= +
fx
x y xy
fx
xy y
3 8
6 8
2 3
2
23
partpart
= +
partpart part
= +
partpart part part
= +
fx
x y xy
fy x
x xy
fx y x
x y
3 8
3 24
6 24
2 3
22 2
32
partpart
= +
part
part= +
part
part part= +
fx
x y xy
fx
xy y
fy x
x y
3 8
6 8
6 24
2 3
2
23
3
22
Talvez vocecirc tenha percebido nos exemplos que as derivadas mistas de segunda ordem part2f
partxparty e part2f
partypartx satildeo iguais Seraacute que isto ocorre sempre
Respondendo agrave pergunta A igualdade entre as derivadas parciais mistas
ocorre quando a funccedilatildeo f (xy) e suas derivadas parciais part2fpartx2
part2fpartxparty
part2fpartypartx
e part2fparty2
forem todas contiacutenuas fato este que nem sempre ocorre
Caro(a) acadecircmico(a) mostre que partpart part
( ) = partpart part
( ) =2 2
0 0 0 0 0 1f
x yf
y x e considerando a
funccedilatildeo f x yxyx y
x y
x y
( ) = +
( ) ne ( )
( ) =
3
2 20 0
0 0 0
se
se (( )
UNI
UNI
a) b)
c) d)
58
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Este fato se repete para funccedilatildeo de trecircs variaacuteveis isto eacute teremos a igualdade
das seis derivadas parciais mistas part2fpartxparty
part2fpartypartx
= part2fpartxpartz
part2fpartzpartx
= e part2fpartypartz
part2fpartzparty
= se f
(x y z) e todas as suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contiacutenuas
Verifique se de fato as derivadas mistas satildeo iguais para a funccedilatildeo f (x y z) = x y2z3 + 3 yz
Teorema 451 (Teorema de Schwarz) Suponhamos que f seja uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis x e y definida em bola aberta B com derivadas parciais de segunda
ordem contiacutenuas em B Entatildeo part2fpartxparty
part2fpartypartx
(a b) = (a b) para todo (a b) isin B
Como consequecircncia do teorema se a funccedilatildeo z = f (xy) tem todas as derivadas parciais contiacutenuas em uma bola aberta entatildeo a ordem da derivada natildeo importa Por exemplo
A seguir apresentaremos a biografia de dois grandes matemaacuteticos Johann Bernoulli e Leonhard Euler que entre outros tambeacutem contribuiacuteram bastante para o desenvolvimento do caacutelculo diferencial e integral
UNI
UNI
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
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LEITURA COMPLEMENTAR
JOHANN BERNOULLI (1667-1748)
Johann Bernoulli irmatildeo de Jacques Bernoulli nasceu no dia 27 de julho na Basileia Seus pais Nicolaus e Margaretha Bernoulli queriam que ele fosse comerciante ou meacutedico Johann pode ter sido influenciado quando crianccedila pelo seu irmatildeo Jacques que jaacute estava na carreira matemaacutetica
Em 1682 com 15 anos de idade trabalhou no comeacutercio durante um ano poreacutem natildeo gostou da atividade Em 1683 ingressou na Universidade da Basileia para estudar Medicina apesar de ter sempre gostado de Matemaacutetica Quatro anos depois seu irmatildeo foi nomeado professor de Matemaacutetica na Universidade e de 1687 a 1690 Johann e Jacques Bernoulli estudaram juntos as teorias de Leibniz sobre o Caacutelculo Na eacutepoca essas teorias natildeo tinham sido compreendidas por nenhum outro matemaacutetico e os irmatildeos Bernoulli foram os primeiros a estudaacute-las Os dois irmatildeos e Leibniz iniciaram uma seacuterie de artigos publicados na Acta Eruditorum dando origem agrave difusatildeo do Caacutelculo Leibniziano tornando-o amplamente conhecido
Em 1691 Johann foi agrave Franccedila onde conheceu o marquecircs de LrsquoHospital O marquecircs interessou-se pelo novo Caacutelculo e ofereceu um bom salaacuterio para que Johann lhe ensinasse O acordo permitia ao marquecircs usar todo o conteuacutedo ensinado como o desejasse A consequecircncia disso foi a importante contribuiccedilatildeo de Johann Bernoulli conhecida como Regra de LrsquoHospital publicada pelo marquecircs em seu primeiro livro sobre Caacutelculo em 1696 No prefaacutecio do livro LrsquoHospital fez menccedilatildeo a Johann Bernoulli mas natildeo lhe atribuiu o famoso teorema Soacute depois da morte do marquecircs Johann contestou a autoria poreacutem havia perdido a credibilidade no assunto devido agraves desavenccedilas puacuteblicas principalmente com seu irmatildeo Jacques Bernoulli Esse reconhecimento soacute aconteceu em 1922 quando encontraram uma coacutepia do curso na Basileia
60
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
A determinaccedilatildeo da equaccedilatildeo da catenaacuteria foi o primeiro problema importante resolvido por Johann Bernoulli em 1691 Esse problema existia haacute mais de 50 anos e Galileo em 1636 sugerira uma soluccedilatildeo Em 1646 Huygens provou que a soluccedilatildeo de Galileo era falsa mas tambeacutem natildeo conseguiu resolver o problema A catenaacuteria eacute a forma assumida por uma corda ou corrente suspensa livremente por dois pontos O problema era determinar sua equaccedilatildeo Utilizando o Caacutelculo Leibniziano Johann Bernoulli resolveu o problema e esse foi o primeiro sucesso puacuteblico do novo Caacutelculo
Em 1694 ele estudou as curvas exponenciais y = ax e y = xx Para Bernoulli a integraccedilatildeo era a operaccedilatildeo inversa da diferenciaccedilatildeo Tal concepccedilatildeo permaneceu ateacute a eacutepoca de Cauchy
Johann teve trecircs filhos Nicolaus (1695-1726) Daniel (1700-1782) e Johann (1710-1790) Todos eles foram matemaacuteticos e Daniel produziu um trabalho sobre Hidrodinacircmica conhecido como Princiacutepio de Bernoulli
Johann nunca chegou a publicar seu livro sobre o Caacutelculo poreacutem escreveu sobre a isoacutecrona soacutelidos de resistecircncia miacutenima trajetoacuterias problemas isoperimeacutetricos conseguindo tal reconhecimento pelo seu trabalho que apoacutes a morte de seu irmatildeo em 1705 foi chamado para ocupar a cadeira dele na Universidade de Basileia
Johann Bernoulli morreu no dia 1ordm de janeiro de 1748 na Basileia
FONTE E-CAacuteLCULO Mapa da histoacuteria Leibniz Disponiacutevel em lthttpecalculoifuspbrhistoriabernoulli1htmgt Acesso em 10 jun 2008
EULER LEONHARD (1707-1783)
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
61
Nascido na Basileia Suiacuteccedila Leonhard Euler foi a figura matemaacutetica dominante do seu seacuteculo e o matemaacutetico mais proliacutefico de que se tem notiacutecia Era tambeacutem astrocircnomo fiacutesico engenheiro e quiacutemico Foi o primeiro cientista a dar importacircncia ao conceito de funccedilatildeo estabelecendo desse modo uma base soacutelida para o desenvolvimento do caacutelculo e de outras aacutereas da matemaacutetica A coleccedilatildeo completa dos livros e trabalhos de Euler (mais de 870 artigos e livros) chega a mais de 80 volumes Ele contribuiu enormemente no campo da geometria analiacutetica da trigonometria do caacutelculo e da teoria dos nuacutemeros
Ainda jovem Euler demonstrou um futuro promissor como matemaacutetico apesar de seu pai preferir que estudasse teologia Felizmente Johann Bernoulli convenceu o pai a permitir que Euler se concentrasse no estudo da matemaacutetica Graduou-se pela Universidade da Basileia defendendo uma tese em que comparava o trabalho de Descartes ao de Newton Euler conseguiu uma posiccedilatildeo em Satildeo Petersburgo e durante alguns anos foi meacutedico na Marinha russa Em 1733 tornou-se professor de Matemaacutetica na Academia de Ciecircncias de Satildeo Petersburgo Em 1736 publicou a obra Mechanica em dois volumes na qual aplicou sistematicamente o caacutelculo agrave matemaacutetica de uma massa e incorporou muitas equaccedilotildees diferenciais novas agrave mecacircnica Em 1738 ele perdeu a vista direita Em 1741 conseguiu uma posiccedilatildeo como diretor matemaacutetico da Academia de Ciecircncias de Berlim Laacute desenvolveu alguns trabalhos como a traduccedilatildeo e a melhoria de Principles of Gunnery de Robin a publicaccedilatildeo de Scienia navalis em 1749 e Letters to a german princess de 1768 a 1772 e o ensino de Lagrange por correspondecircncia Em 1766 Euler retornou agrave Ruacutessia a convite de Catarina a Grande Em 1771 perdeu a visatildeo no olho esquerdo ficando completamente cego Seu trabalho foi do caacutelculo e da anaacutelise agrave medida que publicou sua trilogia Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis e Institutiones calculi integralis Esses trabalhos que perfaziam um total de seis volumes fizeram da funccedilatildeo uma parte central do caacutelculo e tratavam de aacutelgebra trigonometria geometria analiacutetica e teoria dos nuacutemeros Por meio desses tratados Euler influenciou grandemente o ensino da matemaacutetica Diz-se que todos os livros didaacuteticos de caacutelculo desde 1748 satildeo essencialmente coacutepias de Euler ou coacutepias de coacutepias dele Algumas de suas contribuiccedilotildees para as equaccedilotildees diferenciais satildeo as seguintes a reduccedilatildeo da ordem o fator integrante coeficientes indeterminados a teoria das equaccedilotildees lineares de segunda ordem e soluccedilotildees das seacuteries de potecircncias Ele tambeacutem incorporou o caacutelculo vetor e as equaccedilotildees diferenciais em seus trabalhos
Euler deu agrave geometria analiacutetica moderna e agrave trigonometria o que o livro Elements de Euclides deu agrave geometria e a tendecircncia resultante de apresentar a matemaacutetica e a fiacutesica em termos matemaacuteticos prosseguiu desde entatildeo Euler enriqueceu a matemaacutetica com muitos conceitos teacutecnicos e notaccedilotildees ainda em uso nos dias de hoje Ele deu ordem ao caos da notaccedilatildeo matemaacutetica Estabeleceu a maior parte da notaccedilatildeo que utilizamos hoje (seno co-seno e pi i sigma f para funccedilatildeo) A contribuiccedilatildeo de Euler para a teoria dos nuacutemeros e para a fiacutesica foi igualmente impressionante Em sua obra Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (Theory of the motions of rigid bodies) de 1765 ele fundou as bases da mecacircnica contiacutenua e da teoria lunar Sua influecircncia no campo da fiacutesica matemaacutetica
62
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
foi tatildeo difusa que a maior parte das descobertas natildeo eacute creditada a ele No entanto temos as equaccedilotildees de Euler para a rotaccedilatildeo de um corpo riacutegido fluxo de um fluido ideal incompressiacutevel flexatildeo de vigas elaacutesticas e carregamentos para empenamento de colunas Ele calculava sem esforccedilo aparente como os homens respiram ou como as aacuteguias se sustentam no vento Euler foi o Shakespeare da matemaacutetica universal ricamente detalhista e incansaacutevel
Teoremas principais adiccedilatildeo de seacuteries teorema das pontes de Koumlnigsberg
Principais obras Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis Institutiones calculi integrali Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum Mechanica Letters to a German princess
FONTE GUIA para a histoacuteria do Caacutelculo Euler Leonhard Disponiacutevel em lthttpcwxprenhallcombookbindpubbooksthomas_brchapter1medialibcustom3bioseulerhtmgt Acesso em 17 jul 2011
63
RESUMO DO TOacutePICO 4
Caro(a) acadecircmico(a) Neste toacutepico foram estudadas as derivadas parciais
bull Vocecirc deve ter percebido que o seu caacutelculo eacute similar ao caacutelculo de derivadas simples a diferenccedila estaacute no fato de ter agora duas variaacuteveis e ter que derivar a funccedilatildeo em termos de uma delas enquanto a outra eacute considerada como constante
Ou seja partfpartx
estamos derivando f (xy) em relaccedilatildeo a x considerando y como constante
bull A derivada parcial partfpartx
(x0 y0) eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva da superfiacutecie
z = f (xy) no plano vertical y = y0
bull Analogamente partfparty
(x0 y0) eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva da superfiacutecie
z = f (xy) no plano vertical x = x0
64
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre derivadas parciais
1 A funccedilatildeo T (xy) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto de
uma chapa Foram calculadas as derivadas parciais no ponto (2 3) e chegou-
se aos resultados partzpartx
(2 3) = ‒ 8 e partzparty
(2 3) = ‒ 18 Decirc os significados para
os dois valores obtidos com as derivadas parciais no ponto (2 3)
2 Nos exerciacutecios a seguir calcule as derivadas parciais partfpartx
e partfparty
das funccedilotildeesa) f (xy) = 2x2 ‒ 3y ‒ 4b) f (xy) = (x2 ‒ 1) (y + 2)c) f (xy) = (xy ‒ 1)2
d) f (xy) = 1x + y
e) f (xy) = ex + y + 1
f) f (xy) = In (2x + y)
3 Calcule as derivadas parciais de segunda ordem part2fpartx2
part2fpartxparty
part2fpartypartx
e part2fparty 2
das funccedilotildees a seguir
a) f (xy) = e3x sen yb) f (xy) = xey + y + 1
65
UNIDADE 2
DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Nessa unidade vamos
bull conhecer os principais conceitos que envolvem derivadas de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
bull aplicar a regra da cadeia nas derivadas parciaisbull calcular implicitamente as derivadas de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveisbull entender o conceito de diferenciabilidadebull entender o conceito de vetor gradiente e saber calculaacute-lobull entender o conceito de derivada direcional e saber calculaacute-labull calcular os miacutenimos e maacuteximos locais de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveisbull resolver problemas envolvendo minimizaccedilatildeo e maximizaccedilatildeo de funccedilotildees
de vaacuterias variaacuteveisbull aplicar o conceito de integrais muacuteltiplasbull calcular as integrais muacuteltiplas
Esta unidade estaacute dividida em quatro toacutepicos apresentando os conceitos e a utilizaccedilatildeo das derivadas parciais e tambeacutem a integraccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Dando continuidade ao estudo da unidade anterior seguimos com a regra da cadeia e a derivaccedilatildeo impliacutecita de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis resolven-do diversos exemplos para auxiliaacute-lo(a) na compreensatildeo e resoluccedilatildeo dos exer-ciacutecios propostos no final de cada toacutepico como vocecirc jaacute estaacute habituado em nossos cadernos de estudos Nos toacutepicos seguintes continuamos explorando outros conceitos e aplicaccedilotildees relacionados com as derivadas parciais tais como dife-renciabilidade de uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis diferencial vetor gradiente derivadas direcionais extremos locais e problemas envolvendo a otimizaccedilatildeo (minimizaccedilatildeo e maximizaccedilatildeo) de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Encerramos esta unidade com o estudo das integrais muacuteltiplas que eacute a integraccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Esperamos que este material possa auxiliaacute-lo em seus estudos
TOacutePICO 1 ndash REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
TOacutePICO 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE
TOacutePICO 3 ndash MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
TOacutePICO 4 ndash INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
66
67
TOacutePICO 1
REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
A regra para funccedilotildees compostas eacute tradicionalmente chamada de regra da cadeia Nesta seccedilatildeo vamos apresentar a regra da cadeia para funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
2 REGRA DA CADEIA
Inicialmente consideramos dois casos especiacuteficos de funccedilotildees de duas variaacuteveis e em seguida apresentamos a regra da cadeia generalizada
Teorema 121 (Regra da Cadeia ndash derivada total) Suponha que z = f (xy) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x e y onde x = x (t) e y = y (t) satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis de t Entatildeo a funccedilatildeo z = f (x(t) y (t)) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de t e
dzdt
zxdxdt
zydydt
=partpart
sdot +partpart
sdot
FIGURA 29 ndash DIAGRAMA DA AacuteRVORE PARA A REGRA DA CADEIA
FONTE O autor
partpartzx
partpartzy
dxdt
dydt
z
x y
t t
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
68
Exemplo 1Sejam z = f (xy) = 4x 3 y 2 x = t 4 e y = 3t 2
ResoluccedilatildeoComeccedilamos calculando as derivadas parciais partzpartx
= 12x2y2
partzparty
= 8x 3y
e em seguida calculamos as outras derivadas
partxpartt
= 4t 3
dydt
= 6t
Aplicamos a regra da cadeia substituindo as derivadas calculadas anteriormente
Substituindo x = t 4 e y = 3t 2 na expressatildeo acima temos
dzdt
= 12(t 4)2 (3t 2)2 ∙ 4t 3 + 8(t 4)3
∙ 3t 2 ∙ 6t
= 144t 15 + 144t 15
= 288t 15
Exemplo 2Sejam z = f (xy) = In (3x 2 + y) x = t + 1 e y = 5t
a) Calcule partzpartt
usando a regra da cadeiab) Determine a funccedilatildeo composta z = f (t + 15 t) e calcule dz
dt
Resoluccedilatildeo
a) Aplicaremos a regra da cadeia
Sabendo que y = In u rArr y prime = u primeu
calcularemos separadamente
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
69
Agora aplicamos
Substituindo x = t + 1 e y = 5t na expressatildeo anterior temos
ou seja
dzdt
6t + 113(t + 1)2 + 5t
=
dzdt
6(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t
=
b) A funccedilatildeo composta eacutez = f (t + 15 t)z = In (3(t + 1)2 + 5 t)
A derivada de z em relaccedilatildeo a t (calculada a partir desta expressatildeo) eacute
dzdt
32(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t
=
dzdt
6t + 113(t + 1)2 + 5t
=
Compare os resultados obtidos nos itens (a) e (b) do Exemplo 2 A facilidade do uso da regra da cadeia estaacute em derivar funccedilotildees ldquomenoresrdquo e posteriormente na substituiccedilatildeo ter menos trabalho algeacutebrico
UNI
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
70
Exemplo 3Sejam z = x2 + 2xy + y2 x = cos t e y = sen t Determine dz
dt
ResoluccedilatildeoUsando a regra da cadeia
dz = partz dx + partz dydt partx dt party dt
= (2x + 2y) (‒ sen t) + (2x + 2y) (cos t) = (2x + 2y) (cos t ‒ sen t) = 2(cos t + sen t) (cos t ‒ sen t)ou seja
dz = 2(cos2 t ‒ sen2 t)dt
Vimos no Teorema 121 como aplicar a regra da cadeia no caso da derivada total quando a funccedilatildeo tem duas variaacuteveis independentes Vamos generalizar esta derivada total para funccedilotildees com mais de duas variaacuteveis
Se a funccedilatildeo tiver mais de duas variaacuteveis representaremos por f (x1 x2 x3 xn) onde x1(t ) x2(t ) x3(t ) xn (t ) satildeo funccedilotildees de t Sua derivada em relaccedilatildeo a t eacute dada pela regra da cadeia
Como a derivada acima possui muitas parcelas eacute possiacutevel reescrever a regra usando o somatoacuterio
Exemplo 4Dada a funccedilatildeo f (xyz) = 3x ‒ 2y 3 + z2 onde x = sen t y = e2t e z = 4t 2 ‒ 3
encontre a derivada de f com relaccedilatildeo a t
ResoluccedilatildeoUsando a regra da cadeia
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
71
dfdt
fxdxdt
fydydt
fzdzdt
xx y z d
dt
=partpart
sdot +partpart
sdot +partpartsdot
=partpart
minus +( ) sdot se3 2 3 2 nn
ty
x y z ddte
zx y z d
dttt( ) + part
partminus +( ) sdot ( ) + part
partminus +( ) sdot minus( )3 2 3 2 4 33 2 2 3 2 2
s
= ( ) + minus( )( ) + sdot
= minus +
=
3 6 2 2 8
3 12 16
3
2 2
2 2
co t y e z t
t y e zt
t
tcos
coos
cos
t e e t t
t t t
t t
t
minus ( ) + minus( )= minus + minus
12 16 4 3
3 12 64 48
2 2 2 2
6 3
ou seja
ddfdt
t e t tt t= minus + minus+3 12 64 484 2 32cos
Exemplo 5A que taxa estaacute crescendo a aacuterea de um retacircngulo se seu comprimento eacute de
8 cm e estaacute crescendo a uma taxa de 05 cms enquanto que sua largura eacute de 6 cm e estaacute crescendo 02 cms
Resoluccedilatildeo
A aacuterea de um retacircngulo pode ser escrita como A (xy) = xy consideremos
x o comprimento e y a largura Atraveacutes do enunciado percebe-se que devemos
calcular dAdt
jaacute que as outras taxas dadas satildeo dx = 05dt
e dy = 02dt
O caacutelculo da
derivada deve ser feito para o ponto de coordenadas (8 6)
Como a aacuterea estaacute em funccedilatildeo de duas variaacuteveis x e y e estas por sua vez estatildeo relacionadas ao tempo atraveacutes da regra da cadeia temos
Calculamos as derivadas parciais para A (xy) = xy obtendo
partA = ypartx e
partA = xparty
Substituindo na regra da cadeia
dA = y middot 05 + x middot 02dt = 6 sdot 05 + 8 sdot 02 = 46
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
72
Dizer que dA = 46dt
cm2s significa que a aacuterea de um retacircngulo de dimensotildees
8x6 estaacute crescendo 46 cm2 a cada segundo
Exemplo 6Uma peccedila ciliacutendrica tem 12 cm de raio e 18 cm de altura Se o raio diminuir
agrave razatildeo de 002 cms e a altura aumentar agrave razatildeo de 003 cms entatildeo determine a taxa de variaccedilatildeo do volume em relaccedilatildeo ao tempo
ResoluccedilatildeoSejam r e h o raio e a altura de uma peccedila ciliacutendrica respectivamente e seja t
o tempo em segundos Podemos interpretar as taxas dadas como derivadas
drdt
dhdt
= minus =0 02 0 03 e + no instante em que r = 12 e h = 18
Queremos calcular dVdt
nesse instante Para isso usamos a foacutermula V (r h) = pr 2h do volume do cilindro para obter
dV =
partV dr +
partV dh dt partr dt parth dt
= 2prh dr + pr 2 dh dt dt
Substituindo os dados na regra da cadeia temos
dV = 2p12 18 (‒002) + p122 003dt = ‒864p + 432p = ‒432p
Portanto dV = ‒432pdt
cm3s significa que o volume de um cilindro de 12 cm de raio e 18 cm de altura estaacute diminuindo 432p cm3 a cada segundo
Teorema 122 (Regra da cadeia para derivadas parciais) Suponha que z = f (uv) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de u e v onde u = u (xy) e v = v (xy) satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis de x e de y Entatildeo z = f (u(xy)v(xy)) eacute uma funccedilatildeo de x e y e
Vamos construir um esquema denominado de diagrama da aacutervore para melhor compreensatildeo e execuccedilatildeo da regra da cadeia Proceda da seguinte forma
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
73
I) Trace um diagrama em aacutervore exprimindo as relaccedilotildees entre as variaacuteveis envolvidas
II) Para cada ramificaccedilatildeo da aacutervore determine a derivada parcial com relaccedilatildeo a estas variaacuteveis
III) Multiplique as derivadas determinadas em cada passo ao longo do caminhoIV) Some as contribuiccedilotildees de cada caminho
FIGURA 30 ndash DIAGRAMA DA AacuteRVORE PARA A REGRA DA CADEIA PARA DERIVADAS PARCIAIS
FONTE O autor
Exemplo 7Se z = f (uv) = eu cos v onde u = xy e v = x + y 2 determine
partz partx
e partz party
usando a regra da cadeia
Resoluccedilatildeo
partpart
=partpart
sdotpartpart
+partpart
sdotpartpart
zx
fu
ux
fv
vx
=partpart ( ) sdot partpart ( ) + part
part ( ) sdot partpart +( )
= sdot minus
ue v
xxy
ve v
xx y
e v y se
u u
u
cos cos
cos
2
nnv e
e y x y x y
u
xy
sdot
= +( ) minus +( )
cos
1
2 2sen
e
partpart
=partpart
sdotpartpart
+partpart
sdotpartpart
zy
fu
uy
fv
vy
Z
U V
yx yx
partpartzu
partpartzv
partpartux
partpartuy
partpartvx
partpartvy
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
74
Teorema 123 (Regra da cadeia generalizada) Suponha que w = f (u1 u2 un) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de n variaacuteveis u1 u2 un onde cada uj eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de m variaacuteveis x1 x2 xm Entatildeo w eacute uma funccedilatildeo de x1 x2 xm e
para cada i = 1 2 m
Exemplo 8Suponha que todas as funccedilotildees sejam diferenciaacuteveis w = f (x y z) x = x (r θ
γ) y = y (r θ γ) e z = z (r θ γ) Determine partw partr
partw partθ
e partw partγ
ResoluccedilatildeoAplicando o Teorema 123 temos
Exemplo 9Utilize a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais partz
parts e partz
partt para
as funccedilotildees z = x2 + xy + y2 x = s + t e y = st
ResoluccedilatildeoAplicando o Teorema 122 temos
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
75
3 DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
Vimos no estudo das funccedilotildees de uma variaacutevel (no Caderno de Estudos da disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral) que uma equaccedilatildeo do tipo F (xy) = 0 define y implicitamente como uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x ou seja y = f (x) Nesta seccedilatildeo vamos estudar a derivaccedilatildeo parcial de funccedilotildees dadas de forma impliacutecita Consideraremos duas situaccedilotildees especiacuteficas
Suponhamos que a funccedilatildeo y = f (x) seja definida implicitamente pela equaccedilatildeo
F (xy) = 0 Se f e F satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis e partpart
( )( ) neFyx f x 0 entatildeo podemos
encontrar a derivada dydx
derivando ambos os lados da equaccedilatildeo F (xy) = 0 em
relaccedilatildeo a x Usando a regra da cadeia temos
partpart
sdot +partpart
sdot =Fxdxdx
Fydydx
isin
Como partpart
( )( ) neFyx f x 0 e dx
dx= isin1 segue
A situaccedilatildeo colocada anteriormente pode ser escrita sob condiccedilatildeo da funccedilatildeo F estar definida em uma bola aberta conforme estamos tratando as funccedilotildees de duas variaacuteveis A seguir veremos como aplicar a derivada impliacutecita neste contexto
0
partpart
sdot = minuspartpart
sdot
=minuspartpartpartpart
Fydydx
Fxdxdx
dydx
FxFy
isin
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
76
Exemplo 10Supondo que a funccedilatildeo y = f (x) eacute definida implicitamente pela equaccedilatildeo
In (x2 y) + 2x3 = 4y determine sua derivada dydx
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo dada pode ser escrita da seguinte formaF (xy) = In (x2y) + 2x3 ‒ 4y = 0
Calculando as derivadas parciais temos
partF = 2xy + 6x2 = 2 + 6x2
partx x2 y x
e
partF = x2 ‒ 4 = 1 ‒ 4
party x2 y y
Aplicando a foacutermula do Teorema 131 obtemos
Se F eacute definida numa bola aberta contendo (ab) onde F (ab) = 0 partF = (ab) ne 0party
e partF partx
e partF party
satildeo funccedilotildees contiacutenuas nessa bola entatildeo a equaccedilatildeo F (xy) = 0 define y
como uma funccedilatildeo de x perto do ponto (ab) e a derivada dessa funccedilatildeo eacute dada pela
foacutermula obtida anteriormente
Essa relaccedilatildeo nos daacute um caminho mais simples para encontrar derivadas de funccedilotildees definidas implicitamente
Teorema 131 Suponha que F (xy) seja diferenciaacutevel e que a equaccedilatildeo F (xy) = 0 define y como uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x Entatildeo em qualquer ponto onde partF ne 0
party
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
77
Vamos ver como fica o Teorema da Funccedilatildeo Impliacutecita para funccedilotildees de duas variaacuteveis independentes
Suponhamos que a funccedilatildeo z = f (xy) seja dada implicitamente pela equaccedilatildeo F
(xyz) = 0 Se f e F satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis e partF (x y f (xy)) ne 0partz
podemos aplicar a
regra da cadeia para obter as partzpartx
e partzparty
Derivando os dois membros da equaccedilatildeo F
(xyz) = 0 em relaccedilatildeo a x temos
Mas part (x) = 1partx
e part (y) = 0partx
portanto
De modo semelhante obteacutem-se
Como no caso anterior estamos assumindo que a equaccedilatildeo F (xyz) = 0 define z implicitamente como funccedilatildeo de x e y Outra versatildeo do Teorema da Funccedilatildeo Impliacutecita fornece as condiccedilotildees para que a hipoacutetese seja vaacutelida
Teorema 132 Suponha que F (xyz) seja continuamente diferenciaacutevel e que
z = f (xy) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel que satisfaz a equaccedilatildeo F (xyz) = 0 Entatildeo em
qualquer ponto (xyz) onde partF ne 0partz
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
78
Exemplo 11Determine partz
partx e partz
party se x4 + y4 + z4 = 5xyz ‒ 2
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo x4 + y4 + z4 = 5xyz ‒ 2 pode ser escrita da seguinte forma F (xyz) = x4 + y4 + z4 ‒ 5xyz + 2 e esta funccedilatildeo eacute continuamente diferenciaacutevel
Vamos calcular as derivadas parciais de F
Entatildeo pelo Teorema 132 temos
Exemplo 12Suponha que a funccedilatildeo diferenciaacutevel z = f (xy) seja definida pela equaccedilatildeo
xy + zez = 0
Resoluccedilatildeo
79
RESUMO DO TOacutePICO 1
Neste toacutepico vocecirc viu que
bull Se a funccedilatildeo tiver mais de duas variaacuteveis representaremos por f (x1 x2 x3 xn) onde x1(t) x2(t) x3(t) xn(t) satildeo funccedilotildees de t entatildeo a sua derivada em relaccedilatildeo a ldquotrdquo eacute dada pela regra da cadeia
bull Se z = f (xy) eacute uma funccedilatildeo das variaacuteveis x e y que dependem de duas outras variaacuteveis digamos u e v Entatildeo
z = f (x(u v) y (u v)) eacute uma funccedilatildeo composta de u e v Dizemos que u e v satildeo as variaacuteveis independentes
bull Se w = f (u1 u2 un) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de n variaacuteveis u1 u2 un onde cada uj eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de m variaacuteveis x1 x2 xm Entatildeo w eacute uma funccedilatildeo de x1 x2 xm e
para cada i = 1 2 m
bull A derivada impliacutecita eacute usada para encontrar as derivadas parciais partzpartx
e partzparty
quando z estiver definida implicitamente por uma equaccedilatildeo F (x y z) = 0 Entatildeo em
qualquer ponto (x y z) onde partF ne 0partz
80
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre diferenciabilidade de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
1 Considere as funccedilotildees f (xy) = 4y ‒ 3x2 x (t) = t3 ‒ 1 e y (t) = 1 ‒ t3
Calcule a funccedilatildeo composta z = f (x(t) y(t))
Encontre dzdt
usando a funccedilatildeo composta
Encontre dzdt
usando a regra da cadeia
2 Use a regra da cadeia para determinar partzpartx
e partzparty
sabendo que z = u 2 + v 2 u = x 2 ‒ y 2 e v = e2xy
3 Determine a derivada da funccedilatildeo impliacutecita f tal que y = f (x) estaacute definida pela equaccedilatildeo x4 ‒ y + 4xy3 ‒ 78 = 0
4 Se x3 ‒ xy + 4xz ‒ 5 = 0 calcular partzpartx
e partzparty
usando a regra de derivaccedilatildeo de funccedilatildeo impliacutecita
5 Mostre que a equaccedilatildeo F (xy) = x2y + sen y = 0 define implicitamente uma funccedilatildeo derivaacutevel y = f (x)
6 O raio da base de um cone circular reto estaacute aumentando a uma taxa de 3 cms e a altura estaacute diminuindo a uma taxa de 2 cms A que taxa estaacute variando o volume do cone no instante em que a altura eacute igual a 20 cm e o raio eacute igual a 14 cm
7 Um carro A estaacute viajando para o norte na rodovia 16 e um carro B estaacute viajando para o oeste na rodovia 83 Os dois carros se aproximam da interseccedilatildeo dessas rodovias Em certo momento o carro A estaacute a 03 km da interseccedilatildeo viajando a 90 kmh ao passo que o carro B estaacute a 04 km da interseccedilatildeo viajando a 80 kmh Qual a taxa de variaccedilatildeo da distacircncia entre os carros nesse instante
8 Determine partzpartx
e partzparty
se xyz3 = cos (x + y + z)
9 Determine partzpartx
e partzparty
se yz = In (x + z)
81
TOacutePICO 2
DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico vamos estender o conceito de diferenciabilidade de funccedilatildeo de uma variaacutevel agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis Esse conceito tem consequecircncias muito importantes no caacutelculo assim como nos problemas de otimizaccedilatildeo que estudaremos no proacuteximo toacutepico Tambeacutem seraacute estudado o vetor gradiente e as derivadas direcionais conceitos que possuem grande aplicabilidade nas engenharias
2 DIFERENCIABILIDADE
Vamos entatildeo introduzir o conceito de diferenciabilidade que entre outras propriedades garante a continuidade da funccedilatildeo Introduziremos este importante assunto por analogia com o conceito de diferenciabilidade de funccedilotildees de uma variaacutevel
Considere uma funccedilatildeo f de uma variaacutevel real Dizer que f eacute diferenciaacutevel
em x = x0 significa que o existe ou seja eacute um nuacutemero real Em
outras palavras f eacute diferenciaacutevel em x0 quando existe um nuacutemero real denotado
por f prime (x0) tal que
Podemos reescrever este limite da seguinte forma
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
82
que eacute equivalente a
Assim f eacute diferenciaacutevel em x0 se existir um nuacutemero real f prime (x0) tal que
Neste caso se uma funccedilatildeo eacute derivaacutevel num ponto ela eacute contiacutenua no ponto
Com isso temos condiccedilotildees de apresentar a definiccedilatildeo de diferenciabilidade de funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 221 Seja f A sub R2 rarr R uma funccedilatildeo definida no conjunto aberto A Dizemos que f eacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0) isin A se as derivadas parciais partf (x0 y0)partx
e partf (x0 y0)party existem e se
Quando f eacute diferenciaacutevel em todos os pontos de seu domiacutenio dizemos que f eacute diferenciaacutevel
Da Definiccedilatildeo 221 podemos destacar alguns pontos
bull Para provar que uma funccedilatildeo eacute diferenciaacutevel em (x0 y0) usando a definiccedilatildeo devemos mostrar que as derivadas parciais existem em (x0 y0) e aleacutem disso que o limite
bull Se uma das derivadas parciais natildeo existe no ponto (x0 y0) f natildeo eacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
83
bull Se o limite
for diferente de zero ou natildeo existir f natildeo seraacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0) mesmo se existirem as derivadas parciais nesse ponto
Exemplo 1Use a Definiccedilatildeo 221 para mostrar que f (xy) = 5x + 2y eacute diferenciaacutevel
ResoluccedilatildeoSeja (x0 y0) isin D (f ) = R 2 Para mostrar que f eacute diferenciaacutevel em (x0 y0) devemos
mostrar que partf (x0 y0)partx e partf (x0 y0)party
existem e que o limite da Definiccedilatildeo 121 eacute zero
A funccedilatildeo f tem derivadas parciais em (x0 y0) e satildeo dadas por partf (x0 y0) = 5partx
e partf (x0 y0) = 2party
Agora
Como (x0 y0) eacute um ponto qualquer em R 2 temos que f eacute diferenciaacutevel
Teorema 221 Se f eacute diferenciaacutevel em A sub R2 entatildeo f eacute contiacutenua em cada ponto de A
Exemplo 2
Verifique se a funccedilatildeo f (x y) = eacute contiacutenua no ponto (33)
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
84
ResoluccedilatildeoPrecisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(Unidade 1)
(i) f (33) = 5 pois x = y
(ii) portanto este limite
natildeo existe
Como concluiacutemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no
ponto (33) Mostramos que f eacute descontiacutenua no ponto (33) portanto pelo Teorema 221 f natildeo eacute diferenciaacutevel em (33)
Nem sempre eacute faacutecil usar a Definiccedilatildeo 221 para verificar a diferenciabilidade de uma funccedilatildeo O teorema a seguir fornece uma condiccedilatildeo suficiente para que uma funccedilatildeo seja diferenciaacutevel
Teorema 222 Se as derivadas parciais partf partx
e partf party
existem em algum conjunto
aberto A contendo (x0 y0) e satildeo contiacutenuas em (x0 y0) entatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em (x0 y0)
Exemplo 3Mostre que a funccedilatildeo f (xy) = cos (xy) eacute diferenciaacutevel em todo R2
ResoluccedilatildeoPara mostrar que f eacute diferenciaacutevel aplicaremos o Teorema 222 Para isso
calcularemos as derivadas parciais
partf partx
= ‒y sen(xy) e partf party
= ‒x sen(xy)
Temos que as derivadas parciais satildeo contiacutenuas em todo ponto (xy) isin R2
Logo pelo Teorema 222 a funccedilatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em todo ponto de R2
Exemplo 4Os polinocircmios (funccedilotildees polinomiais) em vaacuterias variaacuteveis satildeo claramente
diferenciaacuteveis em todo ponto de Rn
Exemplo 5Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = x2 ‒ 3y2 eacute diferenciaacutevel em R2
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
85
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo f tem derivadas parciais em todos os pontos de R2 e satildeo dadas
por partf partx
= 2x e partf party
= ‒6y
As derivadas parciais satildeo contiacutenuas pois satildeo funccedilotildees polinomiais
Portanto f eacute diferenciaacutevel em R2
Exemplo 6Verifique se a funccedilatildeo g (xy) = ex+y eacute diferenciaacutevel em R2
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo g tem derivadas parciais em todos os pontos de R2 Estas satildeo
dadas por partg partx
= ex+y e partg party
= ex+y
Daiacute segue que as funccedilotildees derivadas parciais satildeo contiacutenuas em R2
Portanto g eacute diferenciaacutevel em R2
3 DIFERENCIAL
Suponha que saibamos o valor de uma funccedilatildeo derivaacutevel em um ponto (x0y0) e que desejamos prever a variaccedilatildeo que esse valor sofreraacute se formos para um ponto x0 + dx Como os valores da reta satildeo mais simples de calcular o caacutelculo da variaccedilatildeo da reta nos oferece um modo praacutetico de estimar a variaccedilatildeo em f conforme podemos observar na Figura 31
FIGURA 31 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DA DIFERENCIAL DA FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwslidesharenetrafaelmmoreiraunifei-clculo-1-exerccios-aula-25gt Acesso em 23 jun 2011
y
y₀ + ∆y
y₀
0 x
A
α
x₀
dxα
C
B
∆y
∆x x₀ + ∆x
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
86
Dessa definiccedilatildeo decorre que ∆y representa a variaccedilatildeo da altura da curva y = f (x)
Nesta seccedilatildeo vamos definir a diferencial de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis z = f (xy) e veremos que esta representa uma boa aproximaccedilatildeo para o acreacutescimo da variaacutevel z quando os acreacutescimos das variaacuteveis independentes satildeo pequenos
Se z = f (xy) entatildeo o incremento (aumento ou diminuiccedilatildeo) de z eacute ∆z = f (x + ∆x y + ∆y) ‒ f (xy)
Definiccedilatildeo 231 Seja z = f (xy) uma funccedilatildeo diferenciaacutevel A diferencial de f denotada por df ou dz eacute dada por dz = partz
partx dx + partz
party dy onde dx e dy satildeo as
diferenciais das variaacuteveis independentes x e y respectivamente
A diferencial dz tambeacutem eacute chamada de diferencial total de f (xy) a mesma que estudamos no toacutepico anterior
Se nos movermos de (x0y0) para um ponto (x0 + ∆x y0 + ∆y) proacuteximo a variaccedilatildeo resultante eacute dada por df (x0y0) = partf
partx (x0y0) dx + partf
party (x0y0) dy
Exemplo 7Calcule a diferencial dz da funccedilatildeo z = 4x2y3 ‒ 3y2 + 6
ResoluccedilatildeoPara calcular a diferencial de z temos primeiro que calcular as derivadas
parciais partz partx
= 8xy3 e partz party
= 12x2y2 ‒ 6y
Pela Definiccedilatildeo 231 temos
dz = partz partx
dx + partz party
dy
dz = 8xy3 dx + (12x2y2 ‒ 6y) dy
Exemplo 8Calcule a diferencial de f (xy) = x2 + y2 no ponto (12)
ResoluccedilatildeoA diferencial de f no ponto (12) eacute dada por
dz = partf partx
(12) dx + partf party
(12) dy
Como partf partx
(12) = 2 e partf party
(12) = 4 temos
dz = 2dx + 4dy
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
87
Podemos estimar a variaccedilatildeo com diferenciais Suponha que conheccedilamos os valores de uma funccedilatildeo diferenciaacutevel f (xy) e suas derivadas parciais em um ponto (x0y0) e queiramos predizer quanto o valor de f variaraacute se nos movermos para um ponto (x0 + ∆x y0 + ∆y) proacuteximo Em outras palavras podemos estimar a variaccedilatildeo ∆z de z pelo valor do diferencial dz em que dx eacute a variaccedilatildeo em x e dy eacute a variaccedilatildeo em y
Exemplo 9Considere a funccedilatildeo z = 7x + 3y2
a) Determine a diferencial total dzb) Calcule ∆z e dz se x variar de 2 para 205 e y variar de 1 para 098 Compare os
valores de ∆z e dz
Resoluccedilatildeoa) Da Definiccedilatildeo 231 temos a diferencial total
dz = partf partx dx +
partf party dy
dz = 7dx + 6y dy
b) O ponto (x0y0) = (21) dx = ∆x = 005 e dy = ∆y = ‒ 002O incremento de z eacute ∆z = f (205 098) ‒ f (21)∆z = 7 (205) + 3 (098)2 ‒ (7 2 + 3 12) = 02312e a diferencial total eacute dz = 7(005) + 6 1(‒002) = 023
Portanto observe que ∆z asymp dz
Exemplo 10O raio e a altura de um cilindro satildeo medidos com 3 m e 8 m respectivamente
com possiacuteveis erros de 005 m Use diferenciais para calcular o erro maacuteximo no caacutelculo do volume
ResoluccedilatildeoPrimeiro recordamos a foacutermula do caacutelculo do volume de um cilindroV = p r 2 h
Para estimarmos a variaccedilatildeo de V calculamos
dV (r0h0) = partV partr (r0h0) dr +
partV parth (r0h0) dh
dV = 2p r0 h0 dr + p r02 dh
= 2p 3 8 005 + p 32 005 = 24p + 045p = 285p asymp 895 m3
Portanto o erro de 005 m nas medidas do raio e da altura pode nos levar a um erro de 895 m3
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
88
Exemplo 11Ao redor do ponto (10) f (xy) = x2 (y + 1) eacute mais sensiacutevel a variaccedilotildees em x ou y
ResoluccedilatildeoPrimeiro vamos entender o que o enunciado estaacute nos pedindo Querer
saber sobre a sensibilidade agrave variaccedilatildeo eacute o mesmo que pedir para estimar a variaccedilatildeo da funccedilatildeo no ponto Assim vamos calcular a diferencial de f
dz = partf partx (10) dx +
partf party (10) dy
Para facilitar o caacutelculo das derivadas parciais escrevemos f (xy) = x2y + x2 daiacute seguepartf partx = 2xy + 2x e
partf party = x2
partf partx (10) = 2 e
partf party (10) = 1
Entatildeo temos o caacutelculo da variaccedilatildeo da funccedilatildeo causada por pequenas variaccedilotildees dx e dy
dz = 2dx + 1dy
Portanto uma variaccedilatildeo de x em uma unidade variaraacute f em cerca de 2 unidades e uma variaccedilatildeo de y em uma unidade variaraacute f em cerca de 1 unidade A funccedilatildeo eacute 2 vezes mais sensiacutevel a uma pequena variaccedilatildeo de x que a uma pequena variaccedilatildeo de tamanho igual a de y
Exemplo 12O comprimento e a largura de um retacircngulo satildeo medidos com erros de
no maacuteximo 3 e 5 respectivamente Use diferenciais para aproximar o erro percentual maacuteximo na aacuterea calculada
ResoluccedilatildeoA aacuterea do retacircngulo dado por x de comprimento e y de largura eacute a funccedilatildeo
A(xy) = xy
Temos partpart
=partpart
=Ax
y Ay
x e
Cada erro eacute de no maacuteximo 3 e 5 isto eacute |∆x| le 003x e |∆y| le 005y Para achar o erro maacuteximo na aacuterea tomamos o maior erro nas medidas de x e y Daiacute tomamos dx = 003x e dy = 005y
Calculando a diferencial obtemos
dz zx
dx zy
dy=partpart
+partpart
sdot sdot sdot sdot
sdot
= y x 003 + x y 005 = 008 xy
dz = A 0 0 88
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
89
Estimamos que o erro percentual maacuteximo em A eacute de 8
4 GRADIENTE
Vimos nas seccedilotildees anteriores que as derivadas parciais nos fornecem taxas de variaccedilatildeo de uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis e que estas taxas dependem da escolha da direccedilatildeo e sentido da variaccedilatildeo Como essas variaccedilotildees satildeo indicadas por vetores eacute natural usar vetores para descrever a derivada de f numa direccedilatildeo e sentido especiacuteficos Nesta seccedilatildeo vamos definir o gradiente de uma funccedilatildeo que aparece em diversas aplicaccedilotildees matemaacuteticas
Definiccedilatildeo 241 Seja z = f (xy) uma funccedilatildeo que admite derivadas parciais no ponto (x0y0) O gradiente de f no ponto (x0y0) denotado por ∆f (x0y0) eacute um vetor cujos componentes satildeo as derivadas de f nesse ponto ou seja
∆f (x0y0) = partf partx (x0y0)
partf party (x0y0) =
partf partx (x0y0) i +
partf party (x0y0) j
O gradiente
∆
f associa um vetor
∆
f (x0y
0) a cada ponto (x
0y
0) do domiacutenio de f
Usamos a notaccedilatildeo ab para o par ordenado que se refere a um vetor para natildeo confundir
com o par ordenado (ab) que corresponde a um ponto no plano
Ao representar vetores com a notaccedilatildeo
v = ai + bj lembramos que i e
j
representam os vetores canocircnicos ou seja vetores no R2 onde suas respectivas coordenadas
satildeo dadas por
i = 10 e
j = 01
NOTA
NOTA
Quando trabalhamos com um ponto geneacuterico (xy) escrevemos
∆f (xy) = partf partx
partf party =
partf partx i +
partf party j
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
90
O siacutembolo ∆f eacute lido como ldquogradiente de frdquo
O siacutembolo
∆
denominado ldquodelrdquo eacute um delta grego maiuacutesculo invertido O uso de
∆
para o gradiente foi popularizado pelo fiacutesico escocecircs P G Tait (1831 ndash 1901) que o denominava ldquonablardquo Em hebraico nabla significa harpa e se refere agrave semelhanccedila de um
∆
com uma harpa antiga de dez cordas O grande fiacutesico James Clerk Maxwell relutou em adotar essa notaccedilatildeo e chamava o gradiente de ldquoinclinaccedilatildeordquo Em 1871 escreveu ao seu amigo Tait provocando ldquoAinda harpejando naquela nablardquo (ROGAWKI 2009 p 809)
Em seguida estendemos a definiccedilatildeo de gradiente para funccedilotildees com n variaacuteveis
Definiccedilatildeo 242 Sejam A sub Rn aberto p = (x1 x2 xn) isin A e f A rarr R uma funccedilatildeo tal que as derivadas parciais existem em p O gradiente de f no ponto p eacute o vetor do Rn denotado por ∆f (p) e definido por
∆f (p) = partf
partx1 (p)
partf partx2
(p) partf
partxn (p)
Exemplo 13Determine o gradiente da funccedilatildeo f (xy) = 3x2 ‒ 2xy + 5y
ResoluccedilatildeoPrimeiro precisamos calcular as derivadas parciais de f
partf partx = 6x ‒ 2y e
partf party
= ‒ 2x + 5
Em seguida escrevemos o vetor gradiente de acordo com a Definiccedilatildeo 241 ∆f (xy) = 6x ‒ 2y ‒ 2x + 5
Exemplo 14Calcule o gradiente da funccedilatildeo f (xy) = 3x2y ‒ x⅔ y2 no ponto (13)
ResoluccedilatildeoFaremos o mesmo que no Exemplo 11 acrescentando apenas o caacutelculo do
vetor no ponto (13)partf partx
= 6xy ‒ 2 3
x -⅓ y2 e partf party
= 3x2 ‒ 2x ⅔y
Entatildeo ∆f = 6xy ‒ 2 3
x -⅓ y2 3x2 ‒ 2x ⅔y
Agora no ponto ∆f (13)
∆f (13) = 6 sdot 1 sdot 3 ‒ 2 3
sdot 1 -⅓ sdot 32 3 sdot 12 ‒ 2 sdot 1 ⅔ sdot 3 = 12 ‒3 Portanto o gradiente de f no ponto (13) eacute o vetor ∆f (13) = 12 ‒3
Exemplo 15Determine o gradiente da funccedilatildeo g(xyz) = xyz2 em um ponto (xyz)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
91
FIGURA 32 ndash VETORES GRADIENTES DE f (xy) = 1 6
(x2 + y3)
FONTE Disponiacutevel em lthttpptscribdcomdoc5885209818Gradiente-Curva-de-NC2B4C4B1vel-SuperfC2B4C4B1cie-de-NC2B4C4B1velgt Acesso em 5 set 2011
ResoluccedilatildeoTemos
partg partx = yz2
partg party = xz2 e
partg partz = 2xyz
Entatildeo ∆g (xyz) = yz2 xz2 2xyz
Exemplo 16Encontre o gradiente de f(xy) = 1
6 (x2 + y3) em (0 ‒2) e esboce alguns vetores gradientes
Resoluccedilatildeo
As derivadas parciais satildeo partpart
=partpart
=fx
x fy
y26
36
2
e
∆f (xy) = 1 3 x i +
1 2 y2 j
Para construir o graacutefico formado pelos vetores gradientes procedemos da seguinte forma escolhemos um ponto por exemplo (x0y0) O ponto (x0y0) eacute o iniacutecio do vetor e o vetor gradiente ∆f (x0y0) = ab fornece o representante do vetor que iraacute no ponto (ab) Lembramos que um vetor de componentes ab tem iniacutecio na origem do plano e extremidade no ponto (a b) Quando desejamos graficar um vetor fora da origem usamos um representante do vetor ab Em seguida eacute mostrado como representar graficamente o vetor gradiente no ponto (0 ‒ 2) Temos
∆f (0‒ 2) = 2 j isto eacute o vetor 02 ndash tem origem no ponto (0 0) e extremidade no ponto (0 2) Conforme podemos ver na Figura 32
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
92
Do graacutefico construiacutedo no Exemplo 16 eacute possiacutevel pensar num campo de vetores gradiente de uma funccedilatildeo que podem ser representados geometricamente por um conjunto de vetores que fornece em cada ponto distinto do plano o vetor gradiente da funccedilatildeo
Como vimos o gradiente eacute um vetor Talvez vocecirc esteja agora se perguntando e se calcularmos || ∆f (xy)|| (norma do vetor gradiente) a que isso corresponde Vamos responder resolvendo o Exemplo 17
Exemplo 17Encontre o gradiente de f (xy) = x2 ‒ y2 e esboce alguns vetores gradientes
ResoluccedilatildeoAs derivadas parciais satildeo
partf partx = 2x e
partf party = ‒2y
Entatildeo ∆f = 2x i ‒ 2y j
Vamos calcular alguns vetores gradiente em pontos especiacuteficos e suas normas
(xy) ∆f (xy) || ∆f (xy)||
(00) (00) ₀
(10) (20) ₂
(x0) (2x0) ₂x
(0y) (0‒2y) ₂y
(11) (2‒2) ₂radic 2(xy) (2x‒2y) 2||(xy)||
Interpretando a coluna da direita percebe-se que agrave medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradiente aumenta ficando igual a duas vezes a distacircncia do ponto agrave origem
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
93
FIGURA 33 ndash GRAacuteFICO DOS VETORES GRADIENTES E DAS CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = x2 ndash y2
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwimeuerjbr~calculoLivroIIIcampospdfgt Acesso em 5 set 2011
Teorema 241 Suponha que z = f (xy) seja diferenciaacutevel numa bola aberta centrada em P0 (x0y0) e que ∆f (x0y0) ne 0
i) Entatildeo ∆f (x0y0) eacute normal agrave curva de niacutevel passando por P0 (x0y0)
ii) A taxa maacutexima de crescimento de γ no ponto P0 (x0y0) ocorre na direccedilatildeo e no sentido do gradiente Analogamente a taxa miacutenima de crescimento de γ no ponto P0 (x0y0) ocorre na direccedilatildeo contraacuteria a do gradiente
Lembramos que um vetor eacute normal agrave curva se o vetor eacute perpendicular
O gradiente de γ no ponto P0(x
0y
0) aponta na direccedilatildeo de maior variaccedilatildeo da
funccedilatildeo numa vizinhanccedila do ponto
NOTA
NOTA
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
94
A figura a seguir ilustra o Teorema 241
FIGURA 34 ndash VETOR GRADIENTE NORMAL Agrave CURVA DE NIacuteVEL
FONTE O autor
Exemplo 18O potencial eleacutetrico V em (xyz) eacute dado por V = x2 + 4y 2 + 9z2 Ache a direccedilatildeo
e a taxa maacutexima de variaccedilatildeo de V em (3‒21)
ResoluccedilatildeoDe acordo com o Teorema 251 a direccedilatildeo onde ocorre a taxa maacutexima de
variaccedilatildeo eacute dada pelo vetor gradiente EntatildeopartV partx
= 2x partV party = 8y e partV
partz = 18z
Assim ∆V = 2x 8y 18z
Calculando o gradiente no ponto (3‒21) obtemos∆V (3‒21) = 6 ‒16 18 que nos indica a direccedilatildeo de crescimento do potencial eleacutetrico
E a taxa de variaccedilatildeo do gradiente eacute dada pela sua norma
nabla ( ) = partpart
+
partpart
+
partpart
nabla minus( ) =
V x y zx
Vy
Vz
V
V
2 2 2
3 2 1 66 18 616
3 2 1 24 8
2 2+ minus( ) + =
nabla minus( ) asymp16
2
V
y
x
γ
P₀ (x₀ y₀)
∆f(P₀)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
95
5 DERIVADAS DIRECIONAIS
Caro acadecircmico Jaacute estudamos as derivadas parciais que nos fornecem a variaccedilatildeo da funccedilatildeo em duas direccedilotildees diferentes na direccedilatildeo do eixo x atraveacutes de partf partx
(x0y0) e na direccedilatildeo do eixo y atraveacutes de partf party
(x0y0) Nesta seccedilatildeo veremos como
utilizar a derivada para determinar a inclinaccedilatildeo em qualquer direccedilatildeo para isto definiremos um novo tipo de derivada chamada direcional
Suponha que uma funccedilatildeo f (xy) seja definida em uma regiatildeo R no plano xy que P(x0y0) seja um ponto em R e que u = u1i + u2j
seja um versor Entatildeo as equaccedilotildees
x = x0 + su1 e y = y0 + su2
parametrizam a reta que passa por P paralelamente a u Se o paracircmetro s mede o comprimento de arco de P na direccedilatildeo de u encontramos a taxa de variaccedilatildeo de f em P na direccedilatildeo de u calculando df
ds em P (Figura 7)
Lembramos que versor eacute um vetor unitaacuterio ou seja um vetor cuja norma eacute 1
Definiccedilatildeo 251 A derivada de f em P(x0y0) na direccedilatildeo do versor u = u1i + u2j
eacute o nuacutemero
desde que o limite exista
Portanto o gradiente ∆V (3‒21) = 6 ‒16 18 nos daacute a direccedilatildeo onde a taxa de variaccedilatildeo eacute maacutexima || ∆V (3‒21)|| asymp 248
NOTA
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
96
FIGURA 35 ndash A TAXA DE VARIACcedilAtildeO DE f EM P NA DIRECcedilAtildeO DE u
FONTE O autor
Quando u = i a derivada direcional em P eacute partf partx
calculada em (x0y0) Quando
u = j a derivada direcional em P eacute partf party
calculada em (x0y0) A derivada direcional
generaliza as duas derivadas parciais Entatildeo assim eacute possiacutevel encontrar a taxa de
variaccedilatildeo de f em qualquer direccedilatildeo u
Teorema 251 Se f (xy) for diferenciaacutevel em P (x0y0) entatildeo
eacute o produto escalar do gradiente de f em P e u
A expressatildeo do Teorema 251 por ser escrita como
Em seguida apresentaremos a definiccedilatildeo de derivada direcional para uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis fazendo uma extensatildeo da Definiccedilatildeo 251
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
97
Definiccedilatildeo 252 Sejam A cap Rn aberto P (x1 x2 xn) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo e u um vetor unitaacuterio em Rn A derivada direcional de f no ponto (x1 x2 xn) e na direccedilatildeo do versor u eacute denotada por
Esta definiccedilatildeo generaliza o conceito de derivada parcial isto eacute as derivadas parciais de uma funccedilatildeo podem ser obtidas como casos particulares das derivadas direcionais
Exemplo 19Calcule a derivada direcional da funccedilatildeo f (xy) = x3y + 2y 2 no ponto (1‒2) na
direccedilatildeo do vetor v = 4i + 3j
ResoluccedilatildeoNote que v natildeo eacute um versor (vetor unitaacuterio) e a Definiccedilatildeo 251 pede que o
vetor direccedilatildeo seja unitaacuterio Assim vamos primeiro calcular o vetor unitaacuterio u na direccedilatildeo de v
Agora calculamos o vetor gradiente de f no ponto (1‒2)
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
98
Portanto pelo Teorema 251 temos
partpart
minus( ) = nabla minus( ) sdot
minus minus sdot
f 2 f
u u
=(
1 1 2
6 8 45
3
) 55
6 4 8 35
=minus sdot + minus( ) sdot
= minus485
A derivada direcional partf partu
(1‒2) representa a taxa de variaccedilatildeo de z na
direccedilatildeo de u Isto eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva obtida pela interseccedilatildeo da
superfiacutecie f (xy) = x3y + 2y 2 e o plano vertical que passa por (1‒20) na direccedilatildeo de u
99
RESUMO DO TOacutePICO 2
Neste toacutepico vocecirc viu
bull O conceito de diferenciabilidade atraveacutes do caacutelculo de limite
bull Destacamos o Teorema 221 Se f eacute diferenciaacutevel em A cap R2 entatildeo f eacute contiacutenua em cada ponto de A
bull Outro resultado importante Teorema 222 Se as derivadas parciais partf partx
e partf party
existe em algum conjunto aberto A contendo (x0y0) e satildeo contiacutenuas em (x0y0)
entatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em (x0y0)
bull A aplicaccedilatildeo da diferencial e como se calcula a diferencial de f denotada por df
ou dz eacute dada por dz = partz partx dx +
partz party dy
bull O gradiente de uma funccedilatildeo f eacute o vetor das derivadas parciais
bull Geometricamente o vetor gradiente eacute normal agrave curva de niacutevel de f (xy) por P
bull A derivada direcional Se f (xy) for diferenciaacutevel em P (x0y0) entatildeo
o produto escalar do gradiente de f em P e u
100
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre diferenciabilidade e gradiente
Mostre que as funccedilotildees a seguir satildeo diferenciaacuteveis em R2
1 f (xy) = 3x2y + 4xy 2
2 f (xy) = x2 ‒ 7xy + 2xy 2
3 f (xy) = sen (xy 2)
4 Se z = x2 ‒ xy + 3y2 e (xy) varia de (3 ‒1) a (296 ‒095) compare os valores de dz e ∆z
5 O comprimento e a largura de um retacircngulo foram medidos como 30 cm e 24 cm respectivamente com um erro de medida de no maacuteximo 01 cm Utilize a diferencial para estimar o erro maacuteximo cometido no caacutelculo da aacuterea do retacircngulo
6 O periacuteodo T de um pecircndulo simples com uma pequena oscilaccedilatildeo eacute calculado
da foacutermula T = 2p L
g radic onde L eacute o comprimento do pecircndulo e g eacute a aceleraccedilatildeo
da gravidade Suponha que os valores de L e g tenham erros de no maacuteximo 005 e 001 respectivamente Use diferencias para aproximar o erro percentual maacuteximo no valor calculado de T
7 O raio de um cilindro circular reto eacute medido com um erro de no maacuteximo 2 e altura eacute medida com um erro de no maacuteximo 4 Qual o erro percentual maacuteximo possiacutevel no volume calculado
Nas questotildees de 8 a 10 determine o vetor gradiente das seguintes funccedilotildees nos pontos indicados
8 z = x2y + 3xy + y2 P (03)
9 f (xy) = xy ‒ sen (x + y) P = p
2 0
10 f (xyz) = xy + xz + yz P (‒135)
101
11 Se T (xy) = 10xy
x2 + 4y 2 + 4 eacute a temperatura em graus Celsius sobre uma
lacircmina metaacutelica x e y medidos em cm determine a direccedilatildeo de crescimento maacuteximo de T a partir do ponto (11) e a taxa maacutexima de crescimento de T nesse ponto
102
103
TOacutePICO 3
MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES
DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EXTREMOS LOCAIS
Uma aplicaccedilatildeo importante de caacutelculo diferencial de vaacuterias variaacuteveis eacute a da otimizaccedilatildeo de funccedilotildees Otimizar uma funccedilatildeo significa encontrar seu desempenho maacuteximo ou miacutenimo No Caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral vocecirc jaacute estudou como encontrar os maacuteximos e miacutenimos de funccedilotildees de uma variaacutevel Quando as derivadas primeiras forem nulas temos pontos extremos que podem ser maacuteximos ou miacutenimos
Vamos fazer algo parecido neste toacutepico para as funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Veremos como usar as derivadas parciais para localizar os pontos de maacuteximo e miacutenimo de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Suponha que um fabricante produza dois modelos de um determinado produto o modelo de luxo e o modelo padratildeo e que o custo total para produzir x unidades do modelo de luxo e y unidades do modelo padratildeo seja dado pela funccedilatildeo C (x y) Como determinar o niacutevel de produccedilatildeo x = a e y = b para o qual o custo eacute miacutenimo
Iniciaremos definindo os extremos locais que satildeo chamados de maacuteximos e miacutenimos de uma funccedilatildeo
Definiccedilatildeo 321 Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo
i) P (x0 y0) eacute um ponto de maacuteximo local de f se f (x y) le f (x0 y0) para todo (x y) numa vizinhanccedila de (x0 y0)
ii) P (x0 y0) eacute um ponto de miacutenimo local de f se f (x y) ge f (x0 y0) para todo (x y) numa vizinhanccedila de (x0 y0)
Definiccedilatildeo 322 Dizemos que um ponto P (x0 y0) do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (x y) eacute um ponto criacutetico (ou estacionaacuterio) se
104
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
i) partf partx
(x0 y0) = 0 e partf party
(x0 y0) = 0 ou
ii) pelo menos uma das derivadas parciais partf partx
(x0 y0) partf party
(x0 y0) natildeo existe
O teorema a seguir nos diz que os extremos locais ocorrem em pontos criacuteticos assim como acontece em funccedilatildeo de uma variaacutevel
Teorema 321 Se f (x y) tem um miacutenimo ou maacuteximo local em (x0 y0) entatildeo (x0 y0) eacute um ponto criacutetico de f (x y)
Geometricamente um ponto eacute ponto criacutetico de uma funccedilatildeo quando o graacutefico da funccedilatildeo nesse ponto natildeo tem plano tangente ou o plano tangente eacute horizontal
Vamos ver no exemplo a seguir como encontrar os pontos criacuteticos de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Exemplo 1Encontre os pontos criacuteticos da funccedilatildeo f (x y) = 9x3 +
y3 3 ‒ 4xy
ResoluccedilatildeoQueremos encontrar os pontos criacuteticos da funccedilatildeo f (x y) = 9x3 +
y3 3 ‒ 4xy
Aplicando a Definiccedilatildeo 322 devemos igualar as derivadas parciais a zero
Calculando as derivadas parciais temos partf partx
= 27x2 ‒ 4y e partf party
= y2 ‒ 4x
Igualando as derivadas parciais a zero e resolvendo as equaccedilotildees obtemos
27 4 04 0
2
2
x yy x
minus =
minus =
Isola-se x na segunda equaccedilatildeo x = y2 4 e substitui na primeira equaccedilatildeo
27 4 0
274
4 0
27 64 0
27 64 0
0
2
2 2
4
3
x y
y y
y y
y y
y
minus =
minus =
minus =
minus( ) == ou 277y
e y
3
3
2 1
64 0642743
0
minus =
=
= =
y
y
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
105
Substituiacutemos os valores de y na segunda equaccedilatildeo
x = y2 4 x =
y2 4
x1 = 02 4 x2 =
43
2
4
x1 = 0 x2 = 4 9
Portanto (00) e 4 9
4 3
satildeo os pontos criacuteticos de f (x y)
Lembre-se de que jaacute estudamos gradiente de uma funccedilatildeo
∆f (xy) em que
∆f (xy) = partf partx
partf party Entatildeo na Definiccedilatildeo 322 poderiacuteamos dizer que P (x
0y
0) eacute um ponto
criacutetico se
∆
f (x0y
0) = 0 ou se
∆
f (xy) natildeo existe
Exemplo 2Mostre que f (xy) = x2 + y2 ‒ xy + x tem um ponto criacutetico
ResoluccedilatildeoSegundo a Definiccedilatildeo 322 devemos igualar as derivadas parciais a zero
para encontrar os pontos criacuteticos se existem
As derivadas parciais satildeo partf partx
= 2x ‒ y + 1 e partf party
= ‒ x + 2y Entatildeo igualando
as derivadas parciais a zero e resolvendo o par de equaccedilotildees temos
2x ‒ y + 1 = 0‒ x + 2y = 0
NOTA
106
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
agora resolvemos o sistema pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
y = ‒ 1 3
Assim x = ‒ 2 3 e y = ‒ 1
3 Existe apenas um ponto criacutetico P ‒ 2 3 ‒ 1
3
Para sabermos se este ponto criacutetico eacute um ponto maacuteximo ou miacutenimo da funccedilatildeo podemos aplicar a Definiccedilatildeo 321 o que pode ser complicado em algumas situaccedilotildees Poreacutem podemos usar o recurso graacutefico tanto da superfiacutecie como das curvas de niacutevel (mapa de contornos) atraveacutes de um software computacional como veremos na Figura 37
FIGURA 36 ndash GRAacuteFICO DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = x2 + y2 ndash xy + x
FIGURA 37 ndash MAPA DE CONTORNOS DE f (xy) = x2 + y2 ndash xy + x
FONTE O autor
FONTE O autor
80
60
40
20
04
20ndash 2
ndash 44 2 0 ndash 2 ndash 4
x
y
4 2 0 ndash 2 ndash 4
0
2
4
ndash 2
ndash 4
y
x
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
107
Pelo graacutefico da funccedilatildeo (Figura 36) eacute possiacutevel dizer que o ponto P
‒ 2 3 ‒ 1
3 eacute miacutenimo local e na Figura 37 as curvas de niacutevel satildeo curvas fechadas
que circundam o ponto P indicando assim um extremo local
Acabamos de ver que eacute possiacutevel determinar o tipo de ponto criacutetico a partir do mapa de contorno entatildeo podemos classificar os pontos criacuteticos atraveacutes das seguintes caracteriacutesticas graacuteficas
i) se P (x0 y0) eacute um miacutenimo local entatildeo as curvas de niacutevel proacuteximas de P satildeo curvas fechadas que circundam P e o mapa de contornos mostra que f (x y) cresce em todas as direccedilotildees a partir de P (Figura 37)
ii) se P (x0 y0) eacute um maacuteximo local entatildeo as curvas de niacutevel proacuteximas de P satildeo curvas fechadas que circundam P e o mapa de contornos mostra que f (x y) decresce em todas as direccedilotildees a partir de P
iii) se P (x0 y0) eacute um ponto de sela entatildeo as curvas de niacutevel de f (x y) que passam por P consistem em duas retas que se intersectam e dividem a vizinhanccedila de P em quatro regiotildees O mapa de contornos mostra que f (x y) eacute decrescente na direccedilatildeo x e crescente na direccedilatildeo y (Figura 38)
iv) se P (x0 y0) eacute um ponto de sela ndash outra situaccedilatildeo entatildeo as curvas de niacutevel em (x0 y0) tem uma forma padratildeo ldquonuacutemero oitordquo (Figura 39)
FIGURA 38 ndash MAPA DE CONTORNOS DESTACANDO O PONTO DE SELA
FIGURA 39 ndash MAPA DE CONTORNOS ndash PONTO DE SELA PADRAtildeO ldquoNUacuteMERO OITOrdquo
FONTE O autor
FONTE O autor
4
2
0
ndash2
ndash 4
y
4 2 0 ndash 2 ndash 4x
2
2
1
0
ndash 1
ndash2
0 1ndash 1ndash 2x
y
2
108
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Segue da Definiccedilatildeo 322 e do Teorema 321 que os extremos relativos ocorrem nos pontos criacuteticos Contudo uma funccedilatildeo natildeo precisa ter um extremo relativo em cada ponto criacutetico isto quer dizer que um ponto criacutetico nem sempre eacute um ponto extremante Um ponto criacutetico que natildeo eacute um maacuteximo relativo nem um miacutenimo relativo eacute chamado de ponto de sela
Nas funccedilotildees de duas variaacuteveis natildeo temos pontos de inflexatildeo como em funccedilotildees de uma variaacutevel Podemos ter um ponto de sela quando numa direccedilatildeo a funccedilatildeo atinge um maacuteximo num ponto e em outra direccedilatildeo um miacutenimo no mesmo ponto O nome se daacute pela semelhanccedila com uma sela de cavalo maacuteximo na direccedilatildeo das pernas do cavaleiro (transversal ao cavalo ) e miacutenimo na direccedilatildeo longitudinal (dorso) do cavalo
Em seguida vamos estudar um meacutetodo que permite classificar os pontos criacuteticos com criteacuterios bem definidos Mas antes definiremos a hessiana
Definiccedilatildeo 323 Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo de classe C2 A matriz hessiana de f representada por H(f) eacute dada por
Exemplo 3Seja f (xy) = 3x2 + y2 Calcule a matriz hessiana de f no ponto (00)
ResoluccedilatildeoPela Definiccedilatildeo 323 calculamos as derivadas parciais no ponto dado
partf partx
= 6x partf party
= 2y part2f partx2
= 6 part2f partxparty
= 0 part2f partypartx
= 0 e part2f party2
= 2
Portanto H (00) = 6 00 2
eacute a matriz hessiana de f no ponto (00)
Teorema 322 (Teste da segunda derivada) Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo de classe C2 Suponhamos que P (x0 y0) seja um ponto criacutetico da funccedilatildeo f
NOTA
H x y
fxx y f
x yx y
fy x
x y fyx
0 0
2
2 0 0
2
0 0
2
0 0
2
2 0
( ) =
part
part( ) part
part part( )
partpart part
( ) part
party0( )
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
109
i) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) gt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto miacutenimo local de f
ii) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto maacuteximo local de f
iii) Se det H (x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto de sela
iv) Se det H (x0y0) = 0 nada se conclui
Para facilitar o entendimento e visualizar a classificaccedilatildeo dos pontos criacuteticos apresentamos o graacutefico e um texto explicativo
Os pontos P e Q satildeo pontos de maacuteximo porque qualquer deslocamento em sua vizinhanccedila iraacute descer O ponto S eacute uma sela porque nos sentidos SP e SQ sobe mas no sentido SL ou ST desce
FONTE CANESIN Wilson Funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis ndash Notas de aula ndash parte II Disponiacutevel em lthttpwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 28 out 2011
FIGURA 40 ndash GRAacuteFICO DE SUPERFIacuteCIE
FONTE Disponiacutevel em lthttpwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 28 out 2011
Veremos em seguida exemplos onde aplicaremos o Teorema 322
Exemplo 4Considere a funccedilatildeo f (xy) = x2 + y2 ‒ xy + x Determine caso existam os pontos
de maacuteximo e os pontos de miacutenimo local da funccedilatildeo
Resoluccedilatildeo
Vimos no Exemplo 2 que o ponto ‒ 2 3 ‒ 1
3 eacute o uacutenico ponto criacutetico de f
Para classificaacute-lo vamos usar o Teorema 322 Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
P
S
Q
T
L
F(xy)
110
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
part2f partx2
= 2 part2f partxparty
= ‒1 part2f partypartx
= ‒1 e part2f party2
= 2 Entatildeo
det H minus minus
=
minusminus
=2
3
1
3
2 1
1 23
Como H ‒ 2 3 ‒ 1
3 gt 0 e part2f partx2 ‒ 2
3 ‒ 1 3 gt 0 segue que ‒ 2
3 ‒ 1 3 eacute
um ponto miacutenimo local de f
Exemplo 5Encontre os maacuteximos e miacutenimos de f (xy) = 1
3 x3 + 1 3 y3 ‒ x ‒ 4y + 20 caso
existam
ResoluccedilatildeoVamos encontrar inicialmente os pontos criacuteticos de f fazendo partf
partx = 0 e partf
party = 0
partf partx
= x2 ‒ 1 e partf party
= y2 ‒ 4
x2 ‒ 1 = 0y2 ‒ 4 = 0
Resolvendo o sistema temos os pontos criacuteticos (12) (1‒2) (‒12) e (‒1‒2)
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
part2f partx2
= 2x part2f partxparty
= 0 part2f partypartx
= 0 e part2f party2
= 2y
Agora calculamos o determinante hessiano Entatildeo
det det
det
H H
H
1 22 0
0 48 1 2
2 0
0 48
1 22 0
0 48
( ) = = minus( ) =minus
= minus
minus( ) =minus
= minus
e
e det H minus minus( ) =minus
minus=1 2
2 0
0 48
Para classificar os pontos criacuteticos usaremos o Teorema 322
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
111
Vamos analisar o ponto (12)
Temos det H (12) gt 0 e part2f partx2 (12) gt 0 logo (12) eacute um ponto miacutenimo local de f
Vamos analisar o ponto (1‒2)
Temos det H (1‒2) lt 0 logo (1‒2) eacute um ponto de sela de f
Vamos analisar o ponto (1‒2)
Temos det H (‒12) lt 0 logo (‒12) eacute um ponto de sela de f
Vamos analisar o ponto (‒1‒2)
Temos det H (‒1‒2) gt 0 e part2f partx2 (‒1‒2) lt 0 logo (‒1‒2) eacute um ponto maacuteximo local de f
Os graacuteficos (Figura 41 e Figura 42) gerado por computador usando o software Maple 11 ilustram os caacutelculos apresentados anteriormente
FIGURA 41 ndash GRAacuteFICO DA SUPERFIacuteCIE DE f FIGURA 42 ndash MAPA DE CONTORNOS DE f
FONTE O autor FONTE O autor
3 PROBLEMAS ENVOLVENDO MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
O estudo feito no item anterior pode ser perfeitamente aplicado em problemas de maximizaccedilatildeo e minimizaccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Como por exemplo em problemas geomeacutetricos fiacutesicos econocircmicos entre outros
Exemplo 6Determine as dimensotildees de uma caixa retangular aberta no topo com um
volume de 32 cm3 e que requer uma quantidade miacutenima de material para a sua construccedilatildeo
30
25
20
15
103 2 1 0ndash 1ndash 2ndash 3 2 1 0 ndash 1ndash 2 ndash 3
yx
ndash 4
ndash 4
ndash 2
ndash 2 0 2 4x
2
4
y
112
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Resoluccedilatildeox comprimento da caixa (cm)y largura da caixa (cm)z altura da caixa (cm)A aacuterea da superfiacutecie da caixa (cm2)V volume da caixa (cm3)
V = xyz rArr xyz = 32 rArr z = 32 xy
Queremos minimizar a aacuterea de superfiacutecie
A = xy + 2xz + 2yz com a restriccedilatildeo do volume
Substituindo z obtemos
A = xy + 2x 32 xy + 2y 32
xy
A(xy) = xy + 64 y + 64
x x gt 0 e y gt 0
Como a regiatildeo eacute aberta o miacutenimo deve ocorrer num ponto criacutetico de A Passemos entatildeo a determinaacute-los
partApartx
= y ‒ 64 x2 partA
party = x ‒ 64
y2
y ‒ 64 x2 = 0 x ‒ 64
y2 = 0
y = 64 x2 x ‒
64
64x2
2 = 0
y2 = 4 x ‒ x4 64 = 0
x 1 ‒ x3
64 = 0
x1 = 0 e x2 = 4
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
113
Assim o ponto (44) eacute ponto criacutetico de A
Usando o teste da segunda derivada (Teorema 322) obtemospart2Apartx2 = 128
x3 part2A partxparty = 1 part2A
partypartx = 1 part2fparty2 = 128
y3
Calculando o determinante hessiano temos
det H (44) = 2 11 2
= 4 ‒ 1 = 3
Daiacute det H (44) gt 0 e part2Apartx2 (44) gt 0 portanto o ponto (44) eacute o miacutenimo local de A
Logo a caixa que usa o miacutenimo de material tem altura z = 2 e base quadrada x = y = 4
Exemplo 7A funccedilatildeo T (xy) = x2 + y2 ‒ 8x + 5y + 20 daacute a temperatura em graus Celsius
de cada ponto (x y) de uma chapa circular (exceto as bordas que eacute constituiacuteda de outro material) de raio 6 cm localizada no centro do plano xy Determine o ponto mais quente e o mais frio no interior da chapa se existir
Resoluccedilatildeo A funccedilatildeo T (xy) = x2 + y2 ‒ 8x + 5y + 20 tem domiacutenio D(T) = (xy) | x2 + y2 lt 36
Calculando as derivadas parciais de primeira ordem temos
partT partx
= 2x ‒ 8 e partT party
= 2y + 5
2x ‒ 8 = 02y + 5 = 0
Resolvendo o sistema temos o uacutenico ponto criacutetico 4 ‒ 52
e T 4 ‒ 52
= - 94
= ‒ 225 degC
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
part2Tpartx2 = 2 part2T
partxparty = 0 part2T partypartx = 0 part2T
party2 = 2
114
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Agora calculamos o determinante hessiano Entatildeo
det H 4 ‒ 52
= 2 00 2
= 4
Pelo Teorema 322 temos det H 4 ‒ 52
gt 0 e part2Tpartx2 gt 0 assim o ponto
4 ‒ 52
eacute miacutenimo
Portanto o ponto mais frio da chapa tem temperatura de ndash 225ordmC e estaacute
localizado no ponto 4 ‒ 52
Exemplo 8Para o projeto de uma calha tem-se uma folha metaacutelica de 12 cm de
largura que se deseja dobrar de forma a se ter uma capacidade maacutexima
Resoluccedilatildeo
A aacuterea da seccedilatildeo da calha eacute formada pela aacuterea do retacircngulo mais a aacuterea dos dois triacircngulos conforme a figura
A = 2 (triacircngulo) + retacircngulo
A = 2 x cos θ x sen θ2
+ (12 ‒ 2x) x sen θ
A = f (xθ) = x2 cos θ sen θ + 12x sen θ ‒ 2x2 sen θ
Agora vamos estudar os extremos (maacuteximos e miacutenimos) da funccedilatildeo Deriva-se a funccedilatildeo obtendo
partf partx
= 2x sen θ cos θ + 12 sen θ ‒ 4x sen θ
partf partθ
= ‒ x2 sen2 θ + x2 cos2 θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
115
Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema temos
‒ x2 sen2 θ + x2 cos2 θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x2 (‒ sen2 θ + cos2 θ) + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x2 cos 2θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x (2 cos2 θ ‒ 1) ‒ 2x cos θ + 12 cos θ = 0
x (2 cos2 θ ‒ 2 cos θ ‒ 1) + 12 cos θ = 0
2x sen θ cos θ + 12 sen θ ‒ 4x sen θ = 0
2x cos θ = 4x ‒ 12
cos θ = 4x ‒ 12
2x
cos θ = 2 ‒ 6x
Substituiacutemos o valor cos θ = 2 ‒ 6x
na segunda equaccedilatildeo e resolvendo
encontra-se x = 4 que resulta em cos θ = 2 ‒ 6x
= 12
cos θ = 12
rArr θ = p3
rad ou θ = 60deg
O ponto (460deg) encontrado parece ser bastante razoaacutevel omitiremos o teste da segunda derivada tambeacutem por causa do trabalho que estas dariam Mas para ter certeza podemos calcular a aacuterea A para valores de x e θ
116
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
x θ A4 30 149284 36 170134 42 186624 48 198464 54 205534 60 207854 66 205624 72 199194 78 18904
Entatildeo pelos valores obtidos na tabela confirmamos que a capacidade eacute maacutexima no ponto (460deg)
FONTE Disponiacutevel em ltwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 30 maio 2012
117
RESUMO DO TOacutePICO 3
Neste toacutepico vocecirc estudou alguns conceitos e teoremas importantes
bull Dizemos que P (x0y0) eacute um ponto criacutetico de f (xy) se partf partx
(x0 y0) = partf party
(x0 y0) = 0 ou se natildeo existir uma das duas derivadas parciais
bull Definimos a matriz hessiana de f (xy) por
bull O Teorema 322 (Teste da segunda derivada) facilita bastante na classificaccedilatildeo do ponto criacutetico de f (xy) Suponhamos que P (x0y0) seja um ponto criacutetico da funccedilatildeo f
i) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) gt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto miacutenimo local de f
ii) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto maacuteximo local de f
iii) Se det H (x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto de sela
iv) Se det H (x0y0) = 0 nada se conclui
118
Nos exerciacutecios 1 e 2 encontre os pontos criacuteticos das funccedilotildees dadas
1 f (xy) = x2 + y2 + xy ‒ 6x + 2
2 f (xy) = x2 + 8y4 + xy ‒ 3y2 ‒ y3
Nos exerciacutecios 3 a 7 encontre os pontos criacuteticos e os extremos locais das funccedilotildees dadas
3 f (xy) = x3 + y3 ‒ 6xy
4 f (xy) = ‒ 13
x4 + 23
x3 + 4xy ‒ y2
5 f (xy) = x3 + y2 ‒ 6xy + 6x + 3y ‒ 2
6 f (xy) = 4x ‒ 3x3 ‒ 2xy2
7 f (xy) = x4 + y4 ‒ 4xy
8 A temperatura T (degC) em cada ponto de um painel plano eacute dada pela equaccedilatildeo T (xy) = 16x2 + 24x ‒ 40y2 Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da regiatildeo
9 Um supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha com duas marcas de suco de laranja uma marca local que custa no atacado R$ 030 a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa no atacado R$ 040 a garrafa O dono do supermercado estima que se cobrar x centavos pela garrafa da marca local e y centavos pela garrafa da marca nacional venderiam 70 ‒ 5x + 4y garrafas da marca local e 80 + 6x + 7y garrafas da marca nacional por dia Por quanto o dono do supermercado deve vender as duas marcas de suco de laranja para maximizar o lucro
AUTOATIVIDADE
119
TOacutePICO 4
INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
Na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral estudamos que a integral indefinida int f (x) dx resulta em outra funccedilatildeo denominada funccedilatildeo primitiva de f (x)
Estudamos tambeacutem que a integral definida eacute dada por
desde que tal limite exista O valor calculado na integral definida quando f (x) ge 0 tem como interpretaccedilatildeo imediata o caacutelculo da aacuterea da regiatildeo compreendida entre o eixo x o graacutefico de f (x) e as retas x = a e x = b
Neste toacutepico vamos estudar a integral dupla definida cuja interpretaccedilatildeo geomeacutetrica quando f (xy) ge 0 corresponde ao caacutelculo do volume do soacutelido delimitado superiormente pelo graacutefico de z = f (xy) e inferiormente pela regiatildeo definida sobre o plano xy
2 INTEGRAL DUPLA
21 INTEGRAL DUPLA SOBRE RETAcircNGULO
Definiccedilatildeo 4211 (Volume sob uma superfiacutecie) Se f eacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis contiacutenua e natildeo negativa numa regiatildeo R do plano xy entatildeo o volume do soacutelido compreendido entre a superfiacutecie z = f (xy) e a regiatildeo R eacute definido por
A ideia envolvida na Definiccedilatildeo 4211 eacute a mesma empregada na integral definida simples Assim a regiatildeo R eacute dividida em sub-retacircngulos Faremos isso com o intervalo em x (∆x) e com o intervalo y (∆y) formando os sub-retacircngulos Rij cada um com aacuterea ∆A = ∆x∆y
120
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 43 ndash INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DA INTEGRAL DUPLA QUANDO f (xy) ge 0
FONTE Disponiacutevel em ltwwwpucrsbrfamatbeatrizcalculoIIINTEGRAL_DUPLAdocgt Acesso em 30 maio 2012
Definiccedilatildeo 4212 A integral dupla de f sobre o retacircngulo R eacute
se esse limite existir
A soma presente nas duas definiccedilotildees acima eacute chamada de soma dupla de Riemann e eacute usada como uma aproximaccedilatildeo do valor da integral dupla
22 INTEGRAIS ITERADAS
Nas integrais duplas que estudaremos neste toacutepico seratildeo consideradas apenas as integrais duplas definidas E na sua resoluccedilatildeo aplicaremos o Teorema Fundamental do Caacutelculo O caacutelculo da integral dupla eacute muito complicado pela definiccedilatildeo entatildeo veremos como calcular a integral dupla atraveacutes da integral iterada cujo valor pode ser obtido calculando-se duas integrais de funccedilotildees de uma variaacutevel real A expressatildeo iterada quer dizer repetida
Este procedimento segue a mesma ideia para calcular as derivadas parciais
UNI
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
121
Suponha que f seja uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis contiacutenua no retacircngulo R = [ab]x[cd]
bull A integral intf (xy) dy
d
c significa que a variaacutevel x eacute mantida fixa (como constante) e
f (xy) eacute integrado em relaccedilatildeo a variaacutevel y com y variando de c ateacute d
bull Como intf (xy) dy
d
c eacute um nuacutemero que depende do valor de x ele define uma
funccedilatildeo de x
F (x) = intf (xy) dy
d
c
bull Integrando a funccedilatildeo F(x) em relaccedilatildeo a variaacutevel x de a ateacute b obtemos
Lembre-se quando a integral eacute definida aplicamos o Teorema Fundamental do
Caacutelculo intf (x) dx = F(b) ‒ F(a)b
a
Exemplo 1
Calcular a integral
ResoluccedilatildeoResolvendo a integral dupla como integral iterada temos
Vamos resolver primeiro a integral que estaacute dentro dos colchetes considerando como constante a variaacutevel x jaacute que a funccedilatildeo estaacute sendo integrada primeiramente em relaccedilatildeo a variaacutevel y (pois a diferencial nesta integral eacute dy)
IMPORTANTE
122
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Assim intxy2 dy = 3x
2
‒1
Agora substituiacutemos este resultado na integral final E verifique que a integral que falta resolver eacute uma integral apenas na variaacutevel x
Portanto
Exemplo 2
Calcular a integral
ResoluccedilatildeoResolvendo a integral dupla como integral iterada temos
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
123
Vamos resolver primeiro a integral que estaacute dentro dos colchetes considerando como constante a variaacutevel y jaacute que a funccedilatildeo estaacute sendo integrada primeiramente em relaccedilatildeo a variaacutevel x (pois a diferencial nesta integral eacute dx)
Assim int (x + y + 1) dx = 2y + 2
1
‒1
Agora substituiacutemos este resultado na integral final E verifique que a integral que falta resolver eacute uma integral apenas na variaacutevel y
= 1
Portanto
Teorema 3221 (Teorema de Fubini) Se f for contiacutenua no retacircngulo R = [ab]x[cd] entatildeo
124
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Verifique a aplicaccedilatildeo do teorema de Fubini no Exemplo 2
23 INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIOtildeES GENEacuteRICAS
Vamos considerar funccedilotildees contiacutenuas definidas sobre regiotildees fechadas que denotaremos por D onde D cap R2
Conveacutem separarmos a regiatildeo plana D em dois casos que chamaremos de Tipo I e Tipo II
bull Uma regiatildeo plana D eacute dita do tipo I se estaacute contida entre o graacutefico de duas funccedilotildees contiacutenuas de x ou seja
D = (xy) a le x le b g1(x) le y le g2(x) onde g1(x) e g2(x) satildeo contiacutenuas em [ab]
FIGURA 44 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
UNI
D
a b
y
x
y₂ = g₂(x)
y₁ = g₁(x)
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
125
Definiccedilatildeo 3231 Se f eacute contiacutenua em uma regiatildeo D do tipo I tal que
D = (xy) a le x le b g1(x) le y le g2(x)
entatildeo
Exemplo 3
Escreva intintf (xy) dAD
sobre a regiatildeo D que estaacute compreendida entre o
graacutefico das funccedilotildees y = radic1 ‒ x 2 e y = 1 ‒ x
ResoluccedilatildeoVamos escrever esta integral considerando a regiatildeo do tipo I
Assim g1 (x) = 1 ‒ x e g2 (x) = radic1 ‒ x 2
Entatildeo usaremos
126
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 45 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
bull Uma regiatildeo plana D eacute dita do tipo II se estaacute contida entre o graacutefico de duas funccedilotildees contiacutenuas de y ou seja
D = (xy) c le y le d h1(y) le x le h2(y)
onde h1(y) e h2(y) satildeo contiacutenuas em [cd]
FIGURA 46 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
y
x₂ = h₂(y)
x₁ = h₁(y)
d
c x
D
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
127
Definiccedilatildeo 3232 Se f eacute contiacutenua em uma regiatildeo D do tipo II tal que
D = (xy) c le y le d h1(y) le x le h2(y)
entatildeo
Exemplo 4
Escreva intintf (xy) dAD
sobre a regiatildeo D que estaacute compreendida entre o
graacutefico das funccedilotildees y = radic1 ‒ x 2 e y = 1 ‒ x
ResoluccedilatildeoVamos escrever esta integral considerando a regiatildeo do tipo II
FIGURA 47 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim h1 (y) = 1 ‒ y e h2 (y) = radic1 ‒ y 2
Entatildeo usaremos
128
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Exemplo 5Seja f (xy) = xy calcule intintf (xy) dA
D
sobre a regiatildeo D compreendida entre y =
12
x y = radicx x = 2 e x = 4
ResoluccedilatildeoConforme pode ser observada a regiatildeo no graacutefico convecircm aplicar o tipo I
FIGURA 48 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
129
= 116
Portanto intintf (xy) dA = 116D
Exemplo 6
Calcule intint(xy ‒ y 3) dAD
sobre a regiatildeo D mostrada no graacutefico abaixo
ResoluccedilatildeoConforme pode ser observada a regiatildeo no graacutefico vamos aplicar o tipo II
A projeccedilatildeo da regiatildeo D sobre o eixo dos y daacute o intervalo 0 le y le 1 e as funccedilotildees tem que estar na variaacutevel y Entatildeo
h1 (y) = y 4 e h2 (y) = y 12
130
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 49 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim
x
y
2
1
21
y = xsup2
y = xsup1 ⁴
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
131
Vocecirc estudou integraccedilatildeo no final do Caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral e verificou que eacute possiacutevel calcular a aacuterea entre duas curvas utilizando a integral simples Vamos ver agora que tambeacutem eacute possiacutevel calcular a aacuterea entre duas curvas utilizando a integral dupla
Exemplo 7
Calcule a aacuterea compreendida entre as curvas y = 12
x y = radicx x = 2 e x = 4
ResoluccedilatildeoA aacuterea compreendida entre as curvas dadas eacute a mesma mostrada no
Exemplo 5
Assim aplicamos o a integral dupla do tipo I Para a montagem da integral o procedimento eacute o mesmo feito no exemplo 5
UNI
132
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 50 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Portanto a aacuterea definida entre as curvas eacute dada por
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
133
Concluindo a ideia do caacutelculo da aacuterea entre curvas verifique que a montagem da integral dupla tem o mesmo procedimento mostrado no item 23 A uacutenica diferenccedila eacute que devemos considerar a funccedilatildeo integrante como a constante unitaacuteria isto eacute f (xy) = 1
Exemplo 8Calcule a aacuterea entre as curvas y = 5 ‒ x2 e y = x + 3
ResoluccedilatildeoA aacuterea compreendida entre as curvas dadas acima estaacute representada a
seguir
Assim aplicamos a integral dupla do tipo I Para a montagem da integral o procedimento eacute o mesmo feito anteriormente
Precisamos encontrar os limites numeacutericos da variaacutevel x igualando a variaacutevel y
FIGURA 51 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
IMPORTANTE
y = 5 ndash xsup2
y = x + 3
ndash 2 ndash 1 21x
1
2
3
4
5y
134
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
= 92
Portanto a aacuterea definida entre as curvas eacute dada por 92
LEITURA COMPLEMENTAR
GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN (1826 - 1866)
Nasceu no dia 17 de setembro de 1826 em Breselenz Alemanha Era filho de um ministro luterano e teve uma boa instruccedilatildeo estudando em Berlim e Goumlttingen mas em condiccedilotildees muito modestas por causa de sua sauacutede fraacutegil e de sua timidez Ainda no ensino secundaacuterio estudou os trabalhos de Euler e Legendre
Aos 19 anos Riemann foi com todo o apoio do pai para a Universidade de Goumlttingen estudar teologia com o objetivo de tornar-se cleacuterigo Mais tarde pediu permissatildeo ao pai e mudou o foco dos seus estudos para a Matemaacutetica transferindo-se um ano depois para a Universidade de Berlim onde atraiu o interesse de Dirichlet e Jacobi
Em 1849 retornou a Goumlttingen onde obteve o grau de doutor em 1851 Sua brilhante tese foi desenvolvida no campo da teoria das funccedilotildees complexas Nessa tese encontram-se as chamadas equaccedilotildees diferenciais de Cauchy-Riemann - conhecidas poreacutem antes do tempo de Riemann - que garantem a analiticidade de uma funccedilatildeo de variaacutevel complexa e o produtivo conceito de superfiacutecie de Riemann que introduziu consideraccedilotildees topoloacutegicas na anaacutelise
Trecircs anos mais tarde foi nomeado Privatdozent cargo considerado o primeiro degrau para a escalada acadecircmica Com a morte de Gauss em 1855 Dirichlet foi chamado a Goumlttingen como seu sucessor e passou a incentivar Riemann primeiro com um pequeno salaacuterio e depois com uma promoccedilatildeo a professor assistente Em 1859 morreu Dirichlet e Riemann foi nomeado professor titular para substituiacute-lo
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
135
O periacuteodo de 1851 a 1859 do ponto de vista econocircmico foi o mais difiacutecil da vida de Riemann mas ele criou suas maiores obras justamente nesses anos
Riemann era um matemaacutetico de muacuteltiplos interesses e mente feacutertil contribuindo natildeo soacute para o desenvolvimento da geometria e da teoria dos nuacutemeros como tambeacutem para o da anaacutelise matemaacutetica
Riemann tornou claro o conceito de integrabilidade de uma funccedilatildeo atraveacutes da definiccedilatildeo do que atualmente chamamos Integral de Riemann
Durante uma conferecircncia-teste generalizou todas as geometrias euclidianas e natildeo euclidianas estabelecendo a Geometria Riemanniana que serviu de suporte para a Teoria da Relatividade de Einstein
Em 1859 publicou seu uacutenico trabalho em Teoria dos Nuacutemeros um artigo dedicado ao Teorema dos Nuacutemeros Primos no qual partindo de uma identidade notaacutevel descoberta por Euler chegou a uma funccedilatildeo que ficou conhecida como Funccedilatildeo Zeta de Riemann Nesse artigo provou vaacuterias propriedades importantes dessa funccedilatildeo e enunciou vaacuterias outras sem provaacute-las Durante um seacuteculo depois de sua morte muitos matemaacuteticos tentaram provaacute-las e acabaram criando novos ramos da anaacutelise matemaacutetica
Riemann morreu de tuberculose no dia 20 de Julho de 1866 em Selasca na Itaacutelia durante a uacuteltima de suas vaacuterias viagens para fugir do clima frio e uacutemido do norte da Alemanha
FONTE Disponiacutevel em lthttpecalculoifuspbrhistoriariemannhtmgt Acesso em 12 jun 2008
136
RESUMO DO TOacutePICO 4
Estudamos no Toacutepico 4 as integrais muacuteltiplas Primeiramente vimos que o procedimento do caacutelculo destas integrais eacute feito por iteraccedilatildeo isto eacute repeticcedilatildeo Resolvendo a integral de dentro (interna) para a de fora e substituindo os limites de integraccedilatildeo pelo Teorema Fundamental do Caacutelculo
Depois estudamos como calcular aacutereas de formas irregulares utilizando as integrais duplas por dois processos
Projetando a regiatildeo sobre o eixo dos x que chamamos de tipo I e escrevemos a
integral como
Projetando a regiatildeo sobre o eixo dos y que chamamos de tipo II e escrevemos a
integral como
E finalizando tambeacutem estudamos a possibilidade de calcular a aacuterea entre curvas usando a integral dupla com o mesmo procedimento revisto acima onde a funccedilatildeo integrante eacute dada por f (xy) = 1
137
Calcule a integral onde R 0 le x le 2 1 le y le 4
1 intintx2 dxdyR
2 intintxy2 dxdyR
Calcule a integral onde R 0 le x le 2 0 le y le x
3 intintx3y dxdyR
4 intinte x + y dxdyR
5 Encontre a aacuterea da regiatildeo no primeiro quadrante limitada por xy = 2 y = 1 e y = x + 1
Calcule por integraccedilatildeo dupla a aacuterea da regiatildeo limitada determinada pelo par de curvas dado
6 x2 = 4y e 2y ‒ x ‒ 4 = 0
7 y = x e x = 4y ‒ y2
8 x + y = 5 e xy = 6
AUTOATIVIDADE
138
139
UNIDADE 3
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Ao final desta unidade vocecirc deveraacute ser capaz de
bull conhecer os principais conceitos que envolvem as equaccedilotildees diferenciais
bull identificar os diferentes tipos de equaccedilotildees diferenciais
bull diferenciar as equaccedilotildees diferenciais
bull resolver as equaccedilotildees diferenciais
Na Unidade 3 estudaremos as equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias de primeira ordem e algumas equaccedilotildees diferenciais de segunda ordem Neste intuito a unidade seraacute dividida em trecircs toacutepicos O Toacutepico 1 inicia com a definiccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais ordem e classificaccedilatildeo Na sequecircncia seratildeo apresenta-das as equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias de primeira ordem separaacuteveis linea-res e exatas e seus respectivos meacutetodos de resoluccedilatildeo No toacutepico 2 destacare-mos as equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem que envolvem substituiccedilotildees em suas resoluccedilotildees em particular as equaccedilotildees de Bernoulli e as equaccedilotildees homogecircneas Finalizamos a unidade com o Toacutepico 3 estudando as equaccedilotildees diferenciais lineares de segunda ordem Nesse toacutepico nosso estudo se res-tringiraacute agraves equaccedilotildees lineares homogecircneas com coeficientes constantes
TOacutePICO 1 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
TOacutePICO 2 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
TOacutePICO 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
140
141
TOacutePICO 1
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico vamos abordar as caracteriacutesticas de uma equaccedilatildeo diferencial quanto ao seu tipo a sua ordem e a sua linearidade Na sequecircncia discutiremos os processos de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem segundo sua classificaccedilatildeo em separaacuteveis lineares ou exatas
Vejamos alguns exemplos de equaccedilotildees diferenciais
Uma equaccedilatildeo que relaciona uma funccedilatildeo desconhecida a uma ou mais de suas derivadas eacute chamada de uma equaccedilatildeo diferencial
As equaccedilotildees satildeo classificadas quanto ao tipo agrave ordem e agrave linearidade
2 DEFINICcedilOtildeES E TERMINOLOGIAS
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
142
Uma equaccedilatildeo diferencial pode ser classificada como ordinaacuteria ou parcial Se a funccedilatildeo envolvida for uma funccedilatildeo de somente uma variaacutevel dizemos que a equaccedilatildeo eacute ordinaacuteria (EDO) Se uma equaccedilatildeo diferencial conteacutem pelo menos uma derivada parcial entatildeo eacute denominada de equaccedilatildeo diferencial parcial (EDP) Vejamos alguns exemplos
i) partu party
= ndash 5 partupartx
u = u(x y) parcial
ii) d 2 y dx2 ndash 6 dy
dx + 8y = 0 ordinaacuteria
iii) part2z
partx2 + part
2zparty2
ndash 2 partzparty
= 0 z = z(x y) parcial
21 TIPOS DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Quanto agrave ordem uma equaccedilatildeo diferencial pode ser de 1ordf de 2ordf de n-eacutesima ordem dependendo da derivada de maior ordem presente na equaccedilatildeo
i) yprime ndash 3xy = x 1deg ordem
ii) yPrime + yprime = cos t 2deg ordem
iii) d y dx
2
+ 3y = 2 1deg ordem
iv) d 2 y dx2 ndash 6 dy
dx + 8y = 0 2deg ordem
v) d 3 y dt 3 ndash t
dydt + (t 2 ndash 1)y = et 3deg ordem
vi) xyprime ndash 5y = 0 1deg ordem
22 ORDEM DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
143
Uma equaccedilatildeo diferencial eacute dita linear se a funccedilatildeo e suas derivadas envolvidas na equaccedilatildeo forem de primeiro grau Caso contraacuterio dizemos que a EDO eacute natildeo linear Vejamos alguns exemplos
i) dydx + 3y = 2 linear
ii) dydx + sen y = 2 natildeo linear
iii) d 3 y dx3 ndash x dy
dx + 7y = ex linear
iv) d 3 y dt 3 +
dydt + t (y 2 ndash 1) = et natildeo linear
23 LINEARIDADE DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Uma funccedilatildeo y = y(x) eacute soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial em um dado intervalo I se a equaccedilatildeo diferencial for satisfeita para todo x isin I ou seja se y(x) e suas derivadas satisfizerem agrave equaccedilatildeo diferencial neste intervalo para todo x isin I
Exemplo 1
Verifique se a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 eacute soluccedilatildeo de yprime(x) + 2xy = x
Resoluccedilatildeo
Dado a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 vamos encontrar a derivada de primeira ordem
yprime(x) = 32
(ndash 2x)endashx 2
yprime(x) = ndash3xendashx 2
Agora substituiacutemos y e yprime na equaccedilatildeo diferencial yprime (x) + 2xy = x
24 SOLUCcedilAtildeO DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
144
Entatildeo a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial e portanto
y eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial dada
Exemplo 2Verifique se a funccedilatildeo y(x) = e2x eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
d 2 y dx2 ndash 5
dydx + 6y = 0
ResoluccedilatildeoDado a funccedilatildeo y(x) = e2x vamos encontrar as derivadas de primeira e
segunda ordem
dydx = 2e2x e
d 2 y dx2 = 4e2x
Agora vamos substituiacute-las na equaccedilatildeo diferencial d 2 y dx2 ndash 5 dy
dx + 6y = 0
4e2x ndash 5 middot 2e2x + 6e2x = 0
4e2x ndash 10e2x + 6e2x = 0
De fato a funccedilatildeo y(x) = e2x satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial
Exemplo 3Verifique se a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
xyprime(x) ndash y(x) = 2xIn x
ResoluccedilatildeoDado a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x vamos encontrar a derivada de primeira
ordem
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
145
Agora substituiacutemos y e yprime na equaccedilatildeo diferencial xyprime(x) ndash y(x) = 2xln x obtendo
2x In x = 2x In x
Portanto a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial
Dada uma equaccedilatildeo diferencial dizemos que a sua soluccedilatildeo eacute uma funccedilatildeo que satisfaz a identidade proposta por esta equaccedilatildeo Esta funccedilatildeo expressa por y = F(x) + c conteacutem uma constante arbitraacuteria oriunda do processo de integraccedilatildeo Entatildeo dizemos que y = F(x) + c c isinR eacute uma famiacutelia de soluccedilotildees da EDO e assim para cada valor arbitraacuterio de c temos uma soluccedilatildeo (funccedilatildeo) diferente para a mesma EDO Poreacutem observe que derivando-as obteremos as mesmas funccedilotildees tendo em vista que a derivada de uma constante eacute zero
Por exemplo dada a equaccedilatildeo diferencial yprime(x) = 5x ndash 2 sua soluccedilatildeo geral eacute dada por
y(x) = 52
x2 ndash 2x + c Vamos considerar c = ndash1 e c = 3 entatildeo y1(x) = 52
x2 ndash 2x ndash 1 e y2(x) = 52
x2 ndash 2x + 3 Agora vamos derivar estas soluccedilotildees (funccedilotildees) yprime1 (x) = 5x ndash 2 e yprime2 (x) = 5x ndash 2
Podemos ver que as derivadas satildeo iguais Daiacute o fato da soluccedilatildeo y = F(x) + c c isinR ser denominada de soluccedilatildeo geral da
EDO
241 Soluccedilatildeo geral
A soluccedilatildeo deduzida da soluccedilatildeo geral atribuindo-se valores particulares agrave constante arbitraacuteria c eacute chamada de soluccedilatildeo particular
Quando uma equaccedilatildeo diferencial eacute utilizada como um modelo matemaacutetico em alguma aplicaccedilatildeo haacute normalmente uma condiccedilatildeo inicial y(x0) = y0 que torna possiacutevel calcular a constante arbitraacuteria c que aparece na soluccedilatildeo geral
242 Soluccedilatildeo particular
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
146
Um problema com uma equaccedilatildeo diferencial satisfazendo alguma condiccedilatildeo adicional (por exemplo y(x
0) = y
0 eacute denominado problema do valor inicial (PVI)
Exemplo 4
Considerando dydx = 2x entatildeo y = x2 + c eacute uma soluccedilatildeo geral da EDO c isinR
ResoluccedilatildeoVamos encontrar a soluccedilatildeo particular utilizando a condiccedilatildeo adicional y(3)
= 4 Desse modo a partir da soluccedilatildeo geral y = x2 + c atribuiacutemos a x o valor 3 e a y o valor 4 determinando assim a constante c
y = x2 + c4 = 32 + c4 = 9 + cc = ndash5
Substituindo o valor de c na soluccedilatildeo geral obtemos a soluccedilatildeo particular da EDO
y = x2 ndash 5
Caros acadecircmico(a) Leia com bastante atenccedilatildeo o texto a seguir sobre as EDOs Assim vamos saber um pouco mais sobre o que estamos estudando e quais satildeo as suas finalidades
O que uma ED de primeira ordem pode nos dizer
Vamos imaginar por um momento que temos uma equaccedilatildeo diferencial
de primeira ordem na forma normal dydx = f (xy) e aleacutem disso que natildeo podemos
encontrar nem inventar um meacutetodo para resolvecirc-la analiticamente Essa situaccedilatildeo natildeo eacute tatildeo ruim quanto parece uma vez que muitas vezes eacute possiacutevel juntar informaccedilotildees uacuteteis sobre a natureza das soluccedilotildees diretamente da proacutepria
equaccedilatildeo diferencial Por exemplo jaacute vimos que quando f (xy) e partfparty
satisfazem
NOTA
ESTUDOS FUTUROS
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
147
determinadas condiccedilotildees de continuidade as questotildees qualitativas sobre a existecircncia e a unicidade de soluccedilotildees podem ser respondidas Veremos nesta seccedilatildeo que outras questotildees qualitativas sobre propriedades da soluccedilatildeo ndash Como uma soluccedilatildeo se comporta nas proximidades de um determinado ponto Como uma soluccedilatildeo se comporta quando x rarr infin ndash podem frequentemente ser respondidas quando a funccedilatildeo f depende somente da variaacutevel y Vamos comeccedilar poreacutem
com um conceito simples de caacutelculo a derivada dydx de uma funccedilatildeo diferenciaacutevel
y = y(x) daacute as inclinaccedilotildees das retas tangentes em pontos sobre seu graacutefico
Inclinaccedilatildeo
Como uma soluccedilatildeo y = y(x) de uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem dydx = f (xy) eacute necessariamente uma funccedilatildeo diferenciaacutevel em seu intervalo I a curva integral correspondente em I natildeo deve ter interrupccedilotildees e deve ter uma reta tangente em cada ponto (xy(x)) A inclinaccedilatildeo da reta tangente em (xy(x)) sobre uma curva integral eacute o valor de sua derivada primeira
dydx nesse ponto e isso
eacute sabido da equaccedilatildeo diferencial f (xy(x)) Suponha agora que (xy) representa qualquer ponto em uma regiatildeo do plano xy sobre o qual a funccedilatildeo f estaacute definida O valor f (xy) que a funccedilatildeo atribui ao ponto representa a inclinaccedilatildeo de uma reta ou como iremos pensar um segmento de reta denominado elemento linear Por exemplo consideramos a equaccedilatildeo
dydx = 02xy onde f (xy) = 02xy No ponto de
coordenadas (2 3) por exemplo a inclinaccedilatildeo de um elemento linear eacute f (23) = 12 A figura (a) mostra um segmento de reta com inclinaccedilatildeo positiva passando por (23) Conforme mostrado na figura (b) se uma curva integral tambeacutem passar por (23) faraacute isto tangenciando esse segmento de reta em outras palavras o elemento linear eacute uma miniatura da reta tangente nesse ponto
Figura 11a elemento linear em um pontoFigura 2 ndash Figura 11b o elemento linear eacute uma tangente agrave curva integral que passa pelo ponto
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
148
Campos de Direccedilotildees
Se sistematicamente calcularmos f sobre uma malha retangular de pontos (xy) no plano xy e em cada ponto (xy) desenharmos um elemento linear com a inclinaccedilatildeo (xy) a coleccedilatildeo de todos os elementos lineares seraacute chamada
de campo de direccedilotildees ou campo de inclinaccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial dydx
= f
(xy) Visualmente o campo de direccedilotildees sugere a aparecircncia ou forma de uma
famiacutelia de curvas integrais da equaccedilatildeo diferencial e consequentemente pode ser possiacutevel vislumbrar determinados aspectos qualitativos das soluccedilotildees ndash por exemplo regiotildees no plano nas quais uma soluccedilatildeo exibe um comportamento natildeo usual Uma uacutenica curva integral que segue seu caminho em um campo de direccedilotildees deve acompanhar o padratildeo de fluxo do campo ela eacute tangente a um elemento linear quando intercepta um ponto da malha
FONTE Zill (2003 p 41-42)
Estudaremos alguns tipos de equaccedilotildees diferenciais que requerem meacutetodos distintos de resoluccedilatildeo Vamos iniciar pelas equaccedilotildees diferenciais separaacuteveis caracterizando-as e determinando seu processo de resoluccedilatildeo
Definiccedilatildeo 131 A equaccedilatildeo yprime = f (xy) seraacute separaacutevel se f puder ser expressa como um produto de uma funccedilatildeo p(x) e uma funccedilatildeo q(y) com q(y) ne 0 Assim a equaccedilatildeo diferencial teraacute a forma
3 EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL SEPARAacuteVEL
yprime = p(x) q(y) ou
dydx = p(x) q(y) ou
yprime 1
q(y) = p(x)
onde p(x) e q(y) satildeo contiacutenuas em seu domiacutenio
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
149
Considerando a equaccedilatildeo diferencial dada o primeiro passo para resolvecirc-lo eacute separar as variaacuteveis y e x juntamente com as suas respectivas diferenciais obtendo a seguinte igualdade
1q(y)
dy = p(x)dx
A seguir integramos ambos os lados da igualdade
int 1q(y)
dy = int p(x)dx
E sempre que for possiacutevel escrevemos a funccedilatildeo (soluccedilatildeo geral da EDO) na sua forma expliacutecita
Vamos resolver um exemplo para aplicarmos o meacutetodo
Exemplo 5
Resolva a equaccedilatildeo diferencial dydx = 6ex
Resoluccedilatildeo
dydx = 6ex
Inicialmente vamos separar as variaacuteveis
31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
dy = 6ex dx
Integrando ambos os lados da igualdade
int dy = int 6ex dx
int dy = 6 int ex dx
y + c1 = 6ex + c2
Isolando a variaacutevel y
y = 6ex + c2 ndash c1
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
150
Para deixar uma uacutenica constante na funccedilatildeo consideramos c = c2 ndash c1 donde temos que
y = 6ex + c
Exemplo 6Resolva a equaccedilatildeo diferencial
dydx =
xy2
Resoluccedilatildeo
dydx =
xy2
Dada a equaccedilatildeo diferencial acima vamos separar as variaacuteveis
Multiplicando ambos os lados da igualdade por y2 temos
y 2 dy = x dx
Integrando ambos os lados da igualdade
int y 2 dy = int x dx
y3
3 + c1 = x2
2 + c2
Isolando a variaacutevel y
y3
3 = x2
2 + c2 ndash c1
y 3 = 3x2
2 + 3(c2 ndash c1)
Para deixar uma uacutenica constante na funccedilatildeo consideramos c = 3(c2 ndash c1)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
151
Portanto as soluccedilotildees da EDO dada satildeo da forma c isinR
Natildeo haacute necessidade de usar duas constantes na integraccedilatildeo de uma equaccedilatildeo
separaacutevel int q(y) dy = int
p(x) dx pois se escrevermos Q(y) + c1 = P(x) + c
2 a diferenccedila c
2 ndash
c1 poderaacute ser substituiacuteda por uma uacutenica constante c resultando Q(y) = P(x) + c Em vaacuterias
ocasiotildees ao longo deste toacutepico renomearemos constantes de forma conveniente Por exemplo muacuteltiplos de constantes ou combinaccedilotildees de constantes podem algumas vezes ser substituiacutedas por uma uacutenica constante
Definiccedilatildeo 132 Chamamos de famiacutelia de funccedilotildees ao conjunto de vaacuterias funccedilotildees da forma y = f (x) + c c isinR ou seja ao conjunto formado pelas funccedilotildees que tem o mesmo comportamento a menos da constante c isinR
Exemplo a famiacutelia de funccedilotildees y(x) = x 3 ndash 2xsup2 + c
FIGURA 52 ndash Figura 12
FONTE O autor
NOTA
ndash 4
ndash 3
ndash 2
ndash 1
ndash 1ndash 2 1 2 3 4x
y
1
2
3
4x 3 ndash 2xsup2 + c
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
152
Exemplo 7Resolva a equaccedilatildeo diferencial yprime y + x = 0
ResoluccedilatildeoPodemos reescrever a equaccedilatildeo dada como
dydx
y + x = 0
Subtraindo x em ambos os lados da igualdade obtemos
dydx
y = ndashx
y dydx = ndashx
y d y dx
dx = ndashx dx
y dy = ndashx dx
int y dy = ndashint x dx
Vamos escrever apenas uma constante ao lado direito da igualdade junto agrave variaacutevel x
y x c
y x c
2 2
22
2 323
2
=minus
+
=minus
+
Considerando k = 2c temos
y x k222
3=minus
+
Podemos deixar a funccedilatildeo na forma impliacutecita
23
2 2x y k+ =
Neste caso eacute interessante deixar esta soluccedilatildeo na forma impliacutecita pois facilita a identificaccedilatildeo quanto ao tipo de curva obtida Neste exemplo obtemos uma elipse
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
153
OBSERVACcedilAtildeO Note que para natildeo carregar a notaccedilatildeo aplicamos a ideia de escrever apenas uma letra para as constantes que surgem no caacutelculo
Exemplo 8Determine a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo diferencial
dydx = sen (2x)
ResoluccedilatildeoRepetindo o procedimento utilizado nos exemplos anteriores temos
dy = sen (2x) dx
Integrando os dois lados da igualdade
int dy = int sen (2x) dx
Para resolver a integral obtida do lado direito da igualdade vamos aplicar a teacutecnica de substituiccedilatildeo
y = 12
int sen u du u = 2x
y = 12
(ndashcos u) + c du = 2 dx
y = ndash 12
cos (2x) + c 12
du = dx
FIGURA 53 ndash GRAacuteFICO DAS SOLUCcedilOtildeES DA EDO
FONTE O autor
-3
-2
-2-2 -2
-1-1-1
-1
0
00 0 x
1
11 1
2
22 2
33
3y
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
154
Exemplo 9Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo diferencial dy
dt = e t ndash y
Resoluccedilatildeodydt
= e t ndash y
Primeiramente vamos recordar a propriedade do produto de potecircncias de mesma base onde am an = a m + n com a m n isin R
Utilizaremos a propriedade da direita para a esquerda ou seja separando a expressatildeo am+n em um produto de duas potecircncias de mesma base
dydt
= e t middot e ndashy
dy = e t middot e ndashy dt
ey dy = et dt
int ey dy = int et dt
ey = et + c
Para isolar y precisamos aplicar o logaritmo natural (ln) a ambos os membros da igualdade
In ey = In (et + c)
Pelas propriedades operatoacuterias dos logaritmos em particular a propriedade da potecircncia do logaritmo temos que In ak = k middot In a e portanto
y In e = In (et + c)
Como In e = 1 temos
y = In (et + c)
Portanto y(t) = In (et + c) eacute soluccedilatildeo da EDO proposta
A
c isin R
Exemplo 10Resolva a equaccedilatildeo diferencial (2 + y) dt + (t ndash 3) dy = 0
ResoluccedilatildeoNa equaccedilatildeo (2 + y) dt + (t ndash 3) dy = 0 devemos separar as variaacuteveis Neste
caso deixamos y do lado esquerdo da igualdade e t do lado direito da igualdade
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
155
(t ndash 3) dy = ndash(2 + y) dt
dy2 + y = ndash dt
t ndash 3
Agora basta integrar os dois lados da igualdade
int dy2 + y = ndashint dt
t ndash 3
Estas integrais satildeo resolvidas aplicando a teacutecnica de substituiccedilatildeo donde obtemos
In(2 + y) = ndash In(t ndash 3) + c
In(2 + y) + In(t ndash 3) = c
Agora aplicamos a propriedade do produto de logaritmos de mesma base para a qual teremos In (a middot b) = In a + In b Utilizaremos a propriedade da direita para a esquerda ou seja multiplicaremos os logaritmandos e obteremos assim
In[(2 + y) middot (t ndash 3)] = c
Portanto a igualdade (2 + y) middot (t ndash 3) = ec
A
c isin R eacute uma soluccedilatildeo na forma impliacutecita da EDO proposta
Exemplo 11Resolva a equaccedilatildeo diferencial y prime = x e y ndash x
ResoluccedilatildeoPrimeiramente vamos mudar a notaccedilatildeo da derivada
dydx = x e y ndash x
Para resolver a equaccedilatildeo devemos separar as variaacuteveis
dydx = x e y e ndashx
Para isso multiplicamos ambos os lados da igualdade por e ndashy
e ndashy dydx = xe ndashx
e ndashy dy = xe ndashx dx
Integramos ambos os lados da igualdade
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
156
Para resolver a integral (1) utilizaremos a teacutecnica da substituiccedilatildeo
w = ndash y rArr dw = ndash dy
int e ndashy dy = ndashint ew dw = ndash ew + c1 = ndash e ndashy + c1
Enquanto que para a integral (2) aplicaremos a teacutecnica da integraccedilatildeo por partes
int udv = u middot v ndashint vdu u = x
int xe ndashx dx = x middot (ndash endashx) ndash int (ndash endashx) dx du = dx
int xe ndashx dx = ndash xendashx ndash endashx + c2 dv = endashx dx
v = ndash endashx
Retomando a igualdade int e ndashy dy = int xendashx dx temos
int e ndashy dy = int xendashx dx
ndashe ndashy + c1 = ndashxendashx ndashendashx + c2
Vamos escrever apenas uma constante do lado direto da igualdade e multiplicar ambos os lados por (-1) obtendo
e ndashy = xendashx + endashx + c
Colocando a expressatildeo endashx em evidecircncia no lado direito da igualdade
e ndashy = endashx (x + 1) + c
Para isolar a variaacutevel y aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade
In e ndashy = In [endashx (x + 1) + c]
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
157
Pela propriedade operatoacuteria da potecircncia do logaritmo temos
ndashy = In [endashx (x + 1) + c]
Portanto y(x) = ndashIn [endashx (x + 1) + c] eacute soluccedilatildeo da EDO proposta
A
c isin R
Exemplo 12
Encontre a soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo diferencial yprime = xy ndash yy + 1 no ponto
y(2) = 1
Resoluccedilatildeo
Deixamos a soluccedilatildeo na forma impliacutecita Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
158
c = 1
A funccedilatildeo y que satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial e atende agrave condiccedilatildeo y(2) = 1 eacute dada por
y(2) = 1
Continuamos a busca por soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem examinando a seguir as equaccedilotildees lineares
Definiccedilatildeo 141 Uma EDO da forma
yprime + p(x)y = q(x) ou
dydx + p(x)y = q(x)
onde p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees contiacutenuas em algum intervalo I eacute chamada de equaccedilatildeo diferencial linear de primeira ordem
4 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ordf ORDEM
Observe a forma deste tipo de EDO Cada equaccedilatildeo diferencial que estudaremos possui uma forma-padratildeo diferente Fique bastante atento
Teorema 141 A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
dydx + p(x)y = q(x) eacute
NOTA
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
159
y = 1
v(x) int v(x) q(x)dx
onde v(x) = eH(x) com H(x) = int p(x)dx A funccedilatildeo v(x) eacute chamada fator integrante
Desafie-se e faccedila a demonstraccedilatildeo matemaacutetica da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial linear
41 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Vamos descrever os passos para resolver uma equaccedilatildeo diferencial linear a qual utilizaremos o fator integrante
bull Escreva a equaccedilatildeo linear dada na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
bull Encontre uma primitiva de p(x) isto eacute resolva intp(x)dx
bull Encontre o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
bull Multiplique ambos os lados da equaccedilatildeo diferencial yprime + p(x)y = q(x) pela funccedilatildeo v(x)
bull Identifique do lado esquerdo da igualdade da derivada do produto
bull Resolva a equaccedilatildeo e se possiacutevel decirc a soluccedilatildeo na forma expliacutecita
Aplicaremos o meacutetodo em alguns exemplos para entendecirc-lo melhor
Exemplo 13Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprime + 3y = 12 (meacutetodo do fator integrante)
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
onde p(x) = 3 e q(x) = 12
O primeiro passo eacute calcular a primitiva de p(x)
H(x) = intp(x)dx entatildeo temos
UNI
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
160
H(x) = int3dx = 3x
Escrevendo o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = e3x
Agora multipliquemos a EDO por v(x)
e3x yprime + 3e3x y = 12e3x
Observemos o lado esquerdo nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = e3x teremos uprime = yprime e vprime = 3e3x Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
e3x y = 12inte3xdx
Atente para o fato de que a integral inte3xdx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
e3x y = 123
e3x + c
e3x y = 4e3x + c
Isolando a variaacutevel y
y = 4e3x middot endash3x + c endash3x
Portanto y(x) = 4 + c endash3x c isin R eacute soluccedilatildeo geral da EDO
Vamos deduzir um modelo de soluccedilatildeo geral para as equaccedilotildees lineares ordinaacuterias de primeira ordem com coeficientes constantes (deduccedilatildeo do fator integrante) ou seja
dydt + ay = b ou yprime + ay = b
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
161
Comparando a EDO apresentada com a forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x) identificamos que p(x) = a e q(x) = b Assim p(x) e q(x) satildeo constantes Neste caso
H(x) = intp(x)dx
H(x) = intadx = ax
e o fator integrante v(x) = eintp(x)dx fica
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eax
Multiplicando a EDO por v(x)
eax yprime + aeax y = beax
Observe o lado esquerdo da equaccedilatildeo nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = eax teremos uprime = yprime e vprime = aeax Entatildeo
Integrando ambos os membros da igualdade
eax y = binteaxdx
A integral inteaxdx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
eax y = ba
eax + c
Isolando a variaacutevel y
y = ba
eax endashax + c endashax
Portanto y(x) = ba
+ c endashax c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO yprime + ay = b
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
162
Caro(a) acadecircmico(a) Que tal voltar ao exemplo 13 e resolvecirc-lo usando o resultado demonstrado anteriormente
Exemplo 14Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprime + y = x
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
com p(x) =1 e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = intp(x)dx entatildeo temos
H(x) = intdx = x
Assim o fator integrante v(x) = eintp(x)dx eacute
v(x) = eH(x) rArr v(x) = ex
Multiplicamos a EDO por v(x)
ex yprime + ex y = xex
Observe o lado esquerdo da igualdade e identifique a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = ex teremos uprime = yprime e vprime = ex Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
ex y = intx ex dx
UNI
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
163
Para resolver esta integral intx ex dx precisaremos aplicar o meacutetodo da integraccedilatildeo por partes Considerando u = x e dv = ex dx teremos du = dx e v = ex Entatildeo
aplicando a foacutermula da integraccedilatildeo por partes intu dv = u middot v ndash intv du
ex y = xex ndash intex dx
ex y = xex ndash ex + c
Isolando a variaacutevel y
y = xexendashx ndash exendashx + c endashx
Portanto y(x) = x ndash 1 + c endashx c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 15Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo x
dydx = x2 ndash 5y
ResoluccedilatildeoVeja que a equaccedilatildeo diferencial natildeo estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
Entatildeo primeiro temos que reescrevecirc-la na forma-padratildeo
Assim identificamos p(x) = 5x e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = int 5x
dx = 5 In x
= In x5
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
164
E assim o fator integrante v(x) = eintp(x)dx pode ser escrito como
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eIn x 5
v(x) = x5
Multiplicando a EDO por v(x)
x5 yprime + x5 5x
y = x x5
x5 yprime + 5x4 y = x6
Observe o lado esquerdo da igualdade Nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = x5 teremos uprime = yprime e vprime = 5x 4 Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
x5 y = intx6 dx
x5 y = x7
7 + c
y = x7
7 x ndash5 + cx ndash5
Portanto y(x) = x2
7 + cx ndash5 eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
A
x isin R
Exemplo 16
Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo dydx + 4x3 y = 20x3
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x)
Identificamos p(x) = 4x3 e q(x) = 20x3
Vamos calcular a primitiva de p(x)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
165
H(x) = intp(x) dx entatildeo temos
H(x) = int4x3 dx = x 4
Escrevemos o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = ex 4
Multiplicamos a EDO por v(x)
ex 4 yprime + 4x3 ex 4 y = 20x3 ex 4
Observamos o lado esquerdo da igualdade nele devemos identificar a derivada do produto (u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = ex 4 teremos uprime = yprime e vprime = 4x3 ex 4 Entatildeo
Integramos ambos os lados da igualdade
ex 4 y = 20 intx3 ex 4 dx
A integral intx3 ex 4 dx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
e y e c
y e e c e
x x
x x x
4 4
4 4 4
20 14
5
= sdot +
= sdot sdot + sdotminus minus
Portanto y c e x= + sdot minus54
A
x isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
O exemplo a seguir traz uma aplicaccedilatildeo praacutetica de EDO no movimento retiliacuteneo uniformemente variado
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
166
Exemplo 17Sabe-se que no movimento retiliacuteneo uniformemente variado a aceleraccedilatildeo
a = dvdt eacute constante Supondo que o movimento parte do repouso e sabendo que
v = dsdt determine s(t)
ResoluccedilatildeoPartimos da primeira EDO apresentada
dvdt = a
dsdt = v
intdv = inta dt dsdt = at + v0
v = at + c1 intds = int(at + v0) dt
v(t) = at + c1 s = at 2
2 + v0t + c2
s(t) = at 2
2 + v0t + c2
Fazendo c1 = v0 onde v0 seraacute a velocidade inicialbullbull bull
v(t) = at + v0 Substituindo c2 = s0 onde s0 seraacute a posiccedilatildeo inicial
bullbull bull s(t) = at 2
2 + v0t + s0
O proacuteximo exemplo traz um problema de valor inicial (PVI) Vamos entender como se resolve um problema que apresenta uma condiccedilatildeo inicial
Exemplo 18Resolva o seguinte problema do valor inicial yprime + 2
x y = x x gt 0 y(2) = 3
ResoluccedilatildeoIdentificamos p(x) = 2
x e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = int 2x
dx = 2 In |x|
H(x) = In x 2
Escrevemos o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eIn x 2
v(x) = x 2
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
167
Multiplicamos a EDO por v(x)
x 2 yprime + x 2 2x
y = x 2 x
x 2 yprime + 2xy = x 3
Observando o lado esquerdo devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = x 2 teremos uprime = yprime e vprime = 2x Entatildeo
Integramos ambos os lados da EDO
x 2 y = intx 3 dx
x 2 y = x 4
4 + C
Portanto y(x) = x 2
4 + C
x 2
A
x isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado y(2) = 3 para encontrarmos a soluccedilatildeo particular
y = 2 2
4 + C
2 2 = 3
1 + C4
= 3
C4
= 2
C = 8
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
168
Portanto y(x) = x 2
4 + 8
x 2
A
x gt 0 eacute a soluccedilatildeo particular da EDO
Observe que a soluccedilatildeo deste problema de valor inicial eacute vaacutelida em todo intervalo ]0 +infin[ conforme a figura a seguir mostra esta soluccedilatildeo
FIGURA 54 ndash SOLUCcedilAtildeO DO PROBLEMA
FONTE O autor
Estudaremos outro tipo de equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem as chamadas equaccedilotildees diferenciais exatas onde destacamos o uso das derivadas parciais A seguir veremos a definiccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial exata e o teorema que estabelece um criteacuterio para identificar se uma EDO eacute exata
Definiccedilatildeo 151 Uma expressatildeo diferencial M(xy) dx + N(xy) dy eacute uma diferencial exata em uma regiatildeo R do plano xy se ela corresponde agrave diferencial total de alguma funccedilatildeo F(xy) ou seja dF= M(xy) dx + N(xy) dy
Teorema 151 (Criteacuterio para diferencial exata) Sejam M(xy) e N(xy) contiacutenuas e com derivadas parciais de primeira ordem contiacutenuas em uma regiatildeo R (retangular) definida por a lt x lt b e c lt y lt d Entatildeo uma condiccedilatildeo necessaacuteria e suficiente para que M(xy) dx + N(xy) dy seja uma diferencial exata eacute partM
party = partN
partx
5 EQUACcedilOtildeES EXATAS
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
169
51 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
bull Verificar se a equaccedilatildeo M(xy) dx + N(xy) dy eacute exata
bull Se for exata entatildeo existe uma funccedilatildeo f para a qual partf partx
= M(xy)
bull Integrando a equaccedilatildeo exata em relaccedilatildeo a variaacutevel x (mantendo o y constante) para encontrar f obtemos f (xy) = intM(xy) dx + o (y) onde a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) eacute a constante de integraccedilatildeo
bull Agora precisamos encontrar a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) Derive a funccedilatildeo f (xy) em relaccedilatildeo a variaacutevel y encontrada anteriormente e supomos que partf
party = N(xy) Da
comparaccedilatildeo determina-se oprime(y)
bull Finalmente integramos oprime (y) em relaccedilatildeo a y e substituiacutemos o valor encontrado para o (y) na funccedilatildeo f (xy)
bull A soluccedilatildeo eacute a funccedilatildeo impliciacuteta f (xy) = c
Exemplo 19Resolva a equaccedilatildeo diferencial (x+y)dx + (e y + x)dy = 0
ResoluccedilatildeoEm primeiro lugar precisamos verificar se esta equaccedilatildeo eacute exata
Sendo M(xy) = x + y e N(xy) = e y + x verificaremos se partM party
= partN partx
Como partM party
= 1 e partN partx
= 1 a EDO eacute exata
Entatildeo existe f (xy) tal que partf partx = x + y
Vamos integrar partf partx = x + y em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x (mantendo o y constante)
para encontrar f
f (xy) = int(x + y) dx
f (xy) = x 2
2 + xy + o (y)
Para encontrar a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivemos a funccedilatildeo f (xy) em relaccedilatildeo agrave y
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
170
Comparando a derivada parcial encontrada partf party
= x + oprime (y) com N(xy) partf party
= N(xy)
x + oprime (y) = e y + x daiacute temos
oprime (y) = e y
Agora vamos integrar oprime (y) = e y Entatildeo
intoprime(y)dy = int e dyy
o (y) = e y + c
Voltando na f (xy) e substituindo o (y) temos
f (xy) = x 2
2 + xy + e y + c c isin R
Definiccedilatildeo 152 Chamamos de curvas integrais as vaacuterias funccedilotildees (soluccedilotildees) de uma EDO
Exemplo 20Encontre as curvas integrais de 2xy dx + (x 2 ndash 1) dy = 0
ResoluccedilatildeoSendo M (xy) = 2xy e N (xy) = x 2 ndash 1 temos
partM party
= 2x = partN partx
Assim a EDO eacute exata
Entatildeo existe f (xy) tal que partf partx
= 2xy
Integrando partf partx
= 2xy em relaccedilatildeo a x obtemos
f (xy) = int2xy dx
f (xy) = x 2 y + o (y)
Agora encontraremos a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivando f (xy) em y
partf party
= x 2 + oprime (y)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
171
Comparamos a derivada parcial encontrada acima com N (xy) partf party
= N (xy)
x 2 + oprime (y) = x 2 ndash 1 daiacute
oprime (y) = ndash1
Agora integramos oprime (y) = ndash1 Entatildeo
o (y) = ndash intdy
o (y) = ndash y + c
Logo f (xy) = x 2 y ndash y + c c isin R
Nos exemplos 19 e 20 a funccedilatildeo f (xy) estaacute na forma impliacutecita Escreva a funccedilatildeo na forma expliacutecita y = f (x)
Exemplo 21Resolva a EDO (y cos x + 2x e y) dx + (sen x + x 2 e y ndash 1) dy = 0
ResoluccedilatildeoVerifiquemos se a equaccedilatildeo diferencial eacute exata
Sendo M (xy) = y cos x + 2x e y e N (xy) = sen x + x 2 e y ndash 1 temos
partM party = cos x + 2x e y =
partN partx
Assim a EDO eacute exata
Logo existe f (xy) tal que partf partx
= y cos x + 2x e y
Integrando partf partx
= y cos x + 2x e y em relaccedilatildeo agrave x obtemos
f (xy) = int(y cos x + 2x e y) dx
f (xy) = y sen x + x 2 e y + o (y)
Agora encontraremos a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivando f (xy) em y
UNI
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
172
partf party
= sen x + x 2 e y + oprime (y)
Comparemos a derivada parcial encontrada partf party
= sen x + x 2 e y + oprime (y) com N (xy)
sen x + x 2 e y + oprime (y) = sen x + x 2 e y ndash 1
oprime (y) = ndash 1
Entatildeo
o (y) = ndash intdy
o (y) = ndashy + c c isin R
Logo f (xy) = y sen x + x 2 e y ndash y + c
Exemplo 22
Verifique se a equaccedilatildeo (x In y ndash e ndashxy) dx + 1y
+ y In x dy = 0 eacute exata
ResoluccedilatildeoSejam M (xy) = x In y ndash e ndashxy e N (xy) = 1
y + y In x
Entatildeo partM party
= x middot 1y
+ xe ndashxy e partN partx
= y middot 1x
vsAssim partM party
ne partN partx
Portanto a EDO natildeo eacute exata
OBSERVACcedilAtildeO Para resolver esta equaccedilatildeo diferencial eacute preciso utilizar um outro procedimento que natildeo veremos neste caderno mas que vocecirc pode encontrar por exemplo em BOYCE W DI PRIMA R C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores de contorno 7ordf Ed Satildeo Paulo LTC 2002
UNI
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
173
Exemplo 23Encontre a curva integral da equaccedilatildeo (2x sen y + e x cos y) dx + (x 2 cos y ndash e x
sen y) dy = 0 que passa pelo ponto y (0) = p4
ResoluccedilatildeoO enunciado do exemplo 23 nos traz um problema de valor inicial para
uma EDO exata
Verificaremos se a EDO eacute exata
Sendo M (xy) = 2x sen y + e x cos y e N (xy) = x 2 cos y ndash e x sen y temos
partM party
= 2x cos y ndash e x sen y = partN partx
Assim a EDO eacute exata
Como a equaccedilatildeo eacute exata entatildeo existe f (xy) tal que partf partx
= 2x sen y + e x cos y
Integrando partf partx
= 2x sen y + e x cos y em relaccedilatildeo a x obtemos
f (xy) = int(2x sen y + e x cos y) dx
f (xy) = x 2 sen y + e x cos y + o (y)
partf party
= x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y)
Comparamos a derivada parcial encontrada partf party
= x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y) com N (xy)
x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y) = x 2 cos y ndash e x sen y
oprime (y) = 0
Agora integramos oprime (y) = 0 Entatildeo
o (y) = c
Logo f (xy) = x 2 sen y + e x cos y + c c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado y (0) =
p4
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
174
x 2 sen y + e x cos y = c
02 sen p4 + e 0 cos
p4 = c
c = radic22
Portanto x 2 sen y + e x cos y = radic22 eacute a soluccedilatildeo particular da EDO ou seja a
curva integral que passa pelo ponto y (0) = p4
Caro(a) acadecircmico(a) Se depois da leitura do Toacutepico 1 e da realizaccedilatildeo dos exerciacutecios ainda tiver duacutevidas procure esclarececirc-las antes de iniciar o estudo do Toacutepico 2 Bons estudos
NOTA
175
Neste toacutepico estudamos as Equaccedilotildees Diferenciais de Primeira Ordem
bull Iniciamos conhecendo os termos e conceitos relativos agraves equaccedilotildees diferenciais e a partir daiacute estudamos trecircs tipos de equaccedilotildees diferenciais
bull O primeiro tipo de equaccedilatildeo estudada foi a Separaacutevel cuja forma-padratildeo eacute dada
por yprime = p(x) middot q(y) ou dydx
= p(x) middot q(y) ou yprime q(y) = p(x) A resoluccedilatildeo deste tipo de
EDO eacute feita atraveacutes da separaccedilatildeo das variaacuteveis e em seguida faz-se a integraccedilatildeo da igualdade
bull O segundo tipo de equaccedilatildeo estudada foi a Equaccedilatildeo Diferencial Linear de Primeira
Ordem que tem a forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) ou dydx
+ p(x) y = q(x) Para a sua
resoluccedilatildeo utilizamos o fator integrante v(x) = eH(x) onde H(x) = intp(x)dx
bull E o terceiro tipo de equaccedilatildeo diferencial estudada foi a Equaccedilatildeo Exata cuja forma-padratildeo eacute expressa por M (xy) dx + N (xy) dy O procedimento de resoluccedilatildeo requer
que trabalhemos com partf partx
= M (xy) e partf party
= N (xy) seguindo todo o procedimento
jaacute estudado
RESUMO DO TOacutePICO 1
176
Nos problemas 1 e 2 resolva por separaccedilatildeo de variaacuteveis as equaccedilotildees diferenciais dadas
1 dydx
= (x + 1)2
2 dydt
= t 2
y 2
Nos problemas 3 e 4 resolva as equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem dadas
3 dydx
ndash 3x
y = x
4 dydx
+ y = e 3x
Nos problemas 5 e 6 resolva as equaccedilotildees diferenciais exatas
5 (5x + 4y)dx + (4x ndash 8y3)dy = 0
6 (sen y ndash y sen x)dx + (cos x + x cos y)dy = 0
Nas EDO a seguir identifique o tipo de EDO e encontre a funccedilatildeo desconhecida
7 yprime + 3x 2 y = x 2
8 dydx
= 3x 2 + 4x + 2
2 (y ndash 1) y (0) = 1
9 (3x 2 ndash 2xy + 2) + (6y 2 ndash x 2 + 3) yprime = 0
10 dydx
= e 3x + 2y
AUTOATIVIDADE
177
TOacutePICO 2
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE
PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI
21 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
No Toacutepico 2 estudaremos mais tipos de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem tais como Equaccedilotildees de Bernoulli e Equaccedilotildees homogecircneas A resoluccedilatildeo destas equaccedilotildees requer algum tipo de substituiccedilatildeo
Definiccedilatildeo 221 Uma equaccedilatildeo de primeira ordem da forma yprime + p(x) y = q(x) y n onde p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees definidas e contiacutenuas em algum intervalo I e n eacute um nuacutemero real tal que n ne 0 e n ne 1 eacute chamada de equaccedilatildeo de Bernoulli
bull Escrever a equaccedilatildeo na forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) y n
bull Identificar as funccedilotildees p(x) q(x) e o valor de n
bull Indicar a substituiccedilatildeo que seraacute feita e aplicar a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
bull Agora a EDO eacute uma linear de primeira ordem sendo uprime + p(x) u = q(x)
bull Calcular o fator integrante e obter a soluccedilatildeo
178
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
A equaccedilatildeo de Bernoulli y + p(x) y = q(x) y n que embora seja de primeira ordem e natildeo linear (quando n ne 1) se transforma em uma equaccedilatildeo diferencial linear atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y 1 ndash n
Vamos mostrar como que se chega agrave foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
Seja a equaccedilatildeo de Bernoulli dada por
yprime + p(x) y = q(x) y n
Multipliquemos a equaccedilatildeo por u = y ndashn
yprime y ndashn + p(x) yy ndashn = q(x) yn y ndashn
yprime y ndashn + p(x) y 1 ndash n = q(x) Vamos fazer uma substituiccedilatildeo u = y 1 ndash n Daiacute
uprime = (1 ndash n) y ndashn yprime
yprime = uprime
(1 ndash n) y ndashn
Retornando agrave equaccedilatildeo e fazendo as substituiccedilotildees obtemos
uprime(1 ndash n)
+ p(x) u = q(x)
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
Exemplo 1Encontre as curvas integrais para a equaccedilatildeo x dy
dx + y = x 2 y 2
ResoluccedilatildeoPrimeiro precisamos escrever a EDO na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de
Bernoulli
Seja xyprime + y = x 2 y 2 Multiplicando ambos os lados da igualdade por 1x
com x ne 0 obtemos
1x
middot (xyprime + y) = 1x
middot x 2 y 2
NOTA
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
179
1x
middot xyprime + 1x
middot y = 1x
middot x 2 y 2
yprime + 1x
y = xy 2
Agora a EDO estaacute na forma yprime + p(x) y = q(x) y n e poderemos transformaacute-la numa equaccedilatildeo diferencial linear considerando u = y ndash1 e
p(x) = 1x
q(x) = x e n = 2
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 2) middot 1x
middot u = (1 ndash 2) middot x
uprime + (ndash1) 1x
u = (ndash1) x
uprime ndash 1x
u = ndashx
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 1x
dx
H(x) = ndashIn x
v(x) = e ndashIn x
v(x) = x ndash1
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash1 em ambos os lados da igualdade obtemos
x ndash1 uprime ndash 1x
x ndash1 u = ndashxx ndash1
x ndash1 u = ndash intdx
x ndash1 u = ndashx + c
u = ndashx 2 + cx
180
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash1 feita no iniacutecio
y ndash1 = ndashx 2 + cx
y = (ndashx 2 + cx)ndash1
Portanto y(x) = 1
ndashx 2 + cx c isin R
Exemplo 2Resolva a EDO yprime + 4y = 3e 2x y 4
ResoluccedilatildeoA EDO jaacute estaacute na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de Bernoulli
Entatildeo aplicamos a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x) para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash3 e
p(x) = 4 q(x) = 3e 2x e n = 4
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 4) middot 4 middot u = (1 ndash 4) middot 3e 2x
uprime + (ndash3) middot 4u = (ndash3) middot 3e 2x
uprime ndash12u = ndash9e 2x
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int(ndash12) dx
H(x) = ndash12x
v(x) = e ndash12x
Multiplicando o fator integrante v(x) = e ndash12x em ambos os membros da igualdade obtemos
e ndash12x uprime ndash 12 e ndash12x u = e ndash12x (ndash9e 2x)
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
181
e ndash12x u = int(ndash9e ndash10x) dx
Para resolver esta integral vamos aplicar o meacutetodo da substituiccedilatildeo considerando
w = ndash10x rArr dw = ndash10 dx
Entatildeo e ndash12x u = 910
intew dw
e ndash12x u = 910
ew + c
e ndash12x u = 910
e ndash10x + c
e ndash12x e12x u = 910
e ndash10x e12x + c middot e12x
u = 910
e 2x + c middot e12x
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash3 feita no iniacutecio
u = 910
e 2x + c middot e12x
y ndash3 = 910
e 2x + c middot e12x
Portanto y(x) = 910
e 2x + c middot e12x
ndash⅓
c isin R eacute soluccedilatildeo geral da EDO proposta
Exemplo 3Encontre a soluccedilatildeo geral para a equaccedilatildeo xyprime + y = ndashxy 2
ResoluccedilatildeoEscrevendo a EDO na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de Bernoulli
Seja xyprime + y = ndashxy 2 multiplicamos ambos os lados da igualdade por 1x
1x
middot xyprime + 1x
middot y = ndash 1x
xy 2
yprime + 1x
y = ndashy 2
Assim a EDO estaacute na forma yprime + p(x) y = q(x) y n
Entatildeo aplicamos a foacutermula mostrada acima para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash1
182
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
p(x) = 1x
q(x) = ndash1 e n = 2
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 2) middot 1x
middot u = (1 ndash 2) (ndash1)
uprime + (ndash1) 1x
u = (ndash1) (ndash1)
uprime ndash 1x
u = 1
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 1x
dx
H(x) = ndashIn x
v(x) = e ndashIn x
v(x) = x ndash1
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash1 na equaccedilatildeo obtemos
x ndash1 uprime ndash 1x
x ndash1 u = x ndash1
x u - x u = x-1 -2
derivada do produto
-1prime
ddx
x u = x-1 -1
x ndash1 u = int 1x
dx
x ndash1 u = In x + c
u = x In x + cx
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = u = y ndash1 feita no iniacutecio
y ndash1 = x In x + cx
Portanto y(x) = 1
x In x + cx c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 4Encontre as curvas integrais para a equaccedilatildeo yprime + 2
x y =
y 3
x 2
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
183
ResoluccedilatildeoA EDO eacute uma equaccedilatildeo de Bernoulli Entatildeo aplicamos a foacutermula uprime + (1 ndash n)
p(x) u = (1 ndash n) q(x) para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash2
p(x) = 2x
q(x) = 1x 2 e n = 3
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 3) middot 2x
middot u = (1 ndash 3) 1x 2
uprime + (ndash2) 2x
u = (ndash2) 1x 2
uprime ndash 4x
u = ndash2x ndash2
Logo obtemos uma EDO linear Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 4x
dx
H(x) = ndash 4 In x
v(x) = e ndash 4 In x
v(x) = e In x ndash 4
v(x) = x ndash 4
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash 4 na equaccedilatildeo obtemos
x ndash 4 uprime ndash 4x
x ndash 4 u = ndash 2xndash2 middot x ndash 4
x ndash4 u = ndash 2 intx ndash6 dx
x ndash4 u = ndash 2 x ndash5
ndash5 + c
x ndash4 u = 25
x ndash5 + c
x 4 middot x ndash4 u = 25
x ndash5 middot x 4 + c middot x 4
184
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
u = 25
x ndash1 + c middot x 4
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash2 feita no iniacutecio
y ndash2 = 25x
+ cx 4
Portanto c isin R satildeo curvais integrais (soluccedilotildees) da EDO
3 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS HOMOGEcircNEAS
31 FUNCcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
Vamos estudar equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem que podem ser transformadas em equaccedilotildees jaacute estudadas em seccedilotildees anteriores
Definiccedilatildeo 2311 Uma funccedilatildeo f = f (xy) eacute dita homogecircnea de grau n se substituindo-se x por λx e y por λy for verdadeira a igualdade f (λxλy) = λn f (xy) para todo real λ ne 0
Por exemplo as funccedilotildees listadas a seguir satildeo homogecircneas de graus
respectivamente trecircs um e zero f (xy) = xy 2 + x 2 y f (xy) = f (xy) = x + yx ndash 3y
Exemplo 5
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = xy 2 + x 2 y eacute homogecircnea e se for indique o grau
ResoluccedilatildeoPara mostrar que f eacute homogecircnea devemos verificar a igualdade f (λxλy)
= λn f (xy) λ isin IR
f (λxλy) = λx (λy) 2 + (λx) 2 λy
f (λxλy) = λxλ2 y 2 + λ2x 2 λy
f (λxλy) = λ3xy 2 + λ3x 2y
f (λxλy) = λ3 (xy 2 + x 2y)
f (λxλy) = λ3 f (xy)
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
185
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau 3
Exemplo 6Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = eacute homogecircnea e se for indique o
grau
Resoluccedilatildeo
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau 1
Exemplo 7Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = xy 2 + ex + y eacute homogecircnea e se for indique o grau
Resoluccedilatildeo
f (λxλy) = λx (λy) 2 + eλx + λy
f (λxλy) = λxλ2y 2 + eλx + λy
f (λxλy) = λ3xy 2 + eλ(x + y)
f (λxλy) ne λn f (xy)
Portanto a funccedilatildeo f natildeo eacute homogecircnea
186
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Exemplo 8Verifique se a funccedilatildeo f (xy) =
x + yx ndash 3y
eacute homogecircnea e se for indique o grau
Resoluccedilatildeo
f (λxλy) = λx + λy
λx ndash 3λy
f (λxλy) = λ(x + y)
λ(x ndash 3y)
f (λxλy) = x + yx ndash 3y
f (λxλy) = f (xy)
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau zero
32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
Definiccedilatildeo 2321 Uma equaccedilatildeo diferencial homogecircnea eacute uma equaccedilatildeo da forma
yprime = f (xy)
onde f = f (xy) eacute uma funccedilatildeo homogecircnea de grau zero ou seja
f (λxλy) = f (xy)
A
λ ne 0
Definiccedilatildeo 2322 As equaccedilotildees diferenciais homogecircneas podem ser transformadas em equaccedilotildees do tipo M (xy) dx + N (xy) dy = 0 onde M e N satildeo funccedilotildees homogecircneas do mesmo grau
Isto quer dizer que a equaccedilatildeo M (xy) dx + N (xy) dy = 0 seraacute homogecircnea se M (λxλy) = λn M (xy) λ isin IR e N (λxλy) = λn N (xy) λ isin IR
Exemplo 9Verifique se a equaccedilatildeo (x 2 ndash y 2) dx ndash 5xy dy = 0 eacute homogecircnea
ResoluccedilatildeoTemos que verificar se M (λxλy) = λn M (xy) e N (λxλy) = λn N (xy) tecircm
mesmo grau
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
187
321 Meacutetodo de resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
Seja uma EDO homogecircnea de primeira ordem vejamos como proceder para resolver esta equaccedilatildeo diferencial homogecircnea
O primeiro passo eacute colocar a equaccedilatildeo na forma dydx
= g yx onde g eacute uma
funccedilatildeo contiacutenua de uma uacutenica variaacutevel
Fazendo v = yx entatildeo y = vx e
dydx
= x dvdx
+ v e g yx fica g (v)
Entatildeo a equaccedilatildeo pode ser escrita como
x dvdx
+ v = g (v)
que pode ser reescrita na forma
dvg (v) ndash v
= dxx
Note que essa equaccedilatildeo eacute separaacutevel Entatildeo podemos resolvecirc-la como uma equaccedilatildeo diferencial separaacutevel e escrever a soluccedilatildeo em funccedilatildeo de x e de y
substituindo v por yx
M (xy) = x 2 ndash y 2 N (xy) = ndash5xy
M (λxλy) = (λx) 2 ndash (λy) 2 N (λxλy) = ndash5 (λx) (λy)
M (λxλy) = λ2 x 2 ndash λ2 y 2 N (λxλy) = ndash5 λ2xy
M (λxλy) = λ2 (x 2 ndash y 2) N (λxλy) = λ2 (ndash5xy)
M (λxλy) = λ2 M (xy) N (λxλy) = λ2 N (xy)
Portanto a equaccedilatildeo (x 2 ndash y 2) dx ndash 5xy dy = 0 eacute homogecircnea
Pode-se resolver uma equaccedilatildeo diferencial homogecircnea transformando-a em uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis fazendo uma substituiccedilatildeo adequada
188
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Vejamos outra situaccedilatildeo seja uma equaccedilatildeo homogecircnea dada na forma M
(xy) dx + N (xy) dy = 0
Entatildeo M (xy) dx = -N (xy) dy rArr dydx
= M (xy)N (xy)
Como a equaccedilatildeo eacute homogecircnea M e N tecircm o mesmo grau de homogeneidade
n Entatildeo se dividirmos M e N por λn transformaremos ndash M (xy)N (xy)
numa funccedilatildeo do
tipo dydx
= g yx
Daiacute segue o mesmo procedimento acima
Exemplo 10Mostre que a equaccedilatildeo diferencial yprime =
3x 2 + y 2
xy eacute homogecircnea e encontre sua
soluccedilatildeo geral
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo eacute homogecircnea pois supondo λ ne 0
f (λxλy) = 3(λx) 2 + (λy) 2
(λx) (λy)
f (λxλy) = λ2 (3x 2 + y 2)
λ2 (xy)
f (λxλy) = 3x 2 + y 2
xy
f (λxλy) = f (xy)
Definindo v = yx e substituindo na equaccedilatildeo diferencial temos
Como y = vx entatildeo dydx = x
dvdx + v
Logo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
3 + v 2
v
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
189
x dvdx =
3 + v 2
v ndash v
x dvdx =
3v
v dv = 3x
dx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
intv dv = int 3x
dx
v 2
2 = 3 In |x| + c c isin R
v 2 = 6 In |x| + 2c c isin R
Substituindo v por yx e k = 2c temos
y 2
x 2 = 6 In |x| + k k isin R
Logo a soluccedilatildeo geral tem a forma y 2 = 6x 2 In |x| + x2k k isin R
Exemplo 11Mostre que a equaccedilatildeo yprime =
2y 4 + x 4
xy 3 eacute homogecircnea e resolva a equaccedilatildeo diferencial
ResoluccedilatildeoVamos mostrar que a EDO eacute homogecircnea de grau zero supondo λ isin IR
f (λxλy) = 2(λy) 4 + (λx) 4
(λx) (λy) 3
f (λxλy) = 2λ4 y 4 + λ4 x 4
λ4xy 3
f (λxλy) = λ4 (2y 4 + x 4)
λ4xy 3
f (λxλy) = f (xy)
Definindo v = yx e substituindo na equaccedilatildeo diferencial temos
190
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
dydx =
2y 4 + x 4
xy 3
dydx =
2v 4 + 1v 3
Como y = vx entatildeo dydx = x
dvdx + v
Logo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
2v 4 + 1v 3
x dvdx =
2v 4 + 1v 3 ndash v
x dvdx =
v 4 + 1v 3
v 3
v 4 + 1 dv = dxx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
intv 3
v 4 + 1 dv = intdxx
14
In (v 4 + 1) = In |x| + c c middot R
In (v 4 + 1) = 4 In |x| + 4c
eIn (v 4 + 1) = e 4 In |x| + 4c
v 4 + 1 = e In x 4 + 4c
v 4 + 1 = x 4 e 4c c isin R
Fazendo k = e 4c temos
v 4 + 1 = kx 4
Isso nos daacute
v 4 = kx 4 ndash 1 k middot R
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
191
Substituindo v por yx temos
y 4
x 4 = kx 4 ndash 1
Logo y 4 = kx 8 ndash x 4 k isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 12
Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo homogecircnea yprime = y 2 ndash x 2
2xy
ResoluccedilatildeoSejam y = vx e
dydx = x
dvdx + v A EDO natildeo linear homogecircnea assume a forma
dydx =
y 2 ndash x 2
2xy
dydx =
v 2 ndash 12v
Entatildeo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
v 2 ndash 12v
x dvdx =
v 2 ndash 12v ndash v
x dvdx =
ndashv 2 ndash 12v
2vv 2 + 1
dv = ndash dxx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
int2v
v 2 + 1 dv = ndashintdxx
In |v 2 + 1| = ndashIn |x| + c c isin R
In |v 2 + 1| + In |x| = c
192
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
eIn |v 2 + 1| + In |x| = e c
eIn |v 2 + 1| e In |x| = e c
|v 2 + 1||x| = ec
Substituindo v por yx e k = ec temos
Portanto y 2
x + x = k k isin R eacute soluccedilatildeo da EDO
193
Neste toacutepico vimos outros dois tipos de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem
bull As equaccedilotildees de Bernoulli e as equaccedilotildees exatas
bull A diferenccedila das equaccedilotildees estudadas no toacutepico anterior eacute que nestas precisamos fazer alguma substituiccedilatildeo para resolvecirc-las
bull A equaccedilatildeo linear de Bernoulli tem a forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) y n A substituiccedilatildeo que temos que fazer eacute dada por u = y 1ndashn e utilizamos a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x) Com isso a equaccedilatildeo eacute reduzida a uma equaccedilatildeo linear
bull A outra equaccedilatildeo estudada foi a equaccedilatildeo homogecircnea com forma-padratildeo M (xy)
dx + N (xy) dy = 0 onde M e N satildeo funccedilotildees homogecircneas do mesmo grau
Para obter a soluccedilatildeo devemos escrever a EDO na forma dydx
= g yx e fazer a
substituiccedilatildeo v = yx
RESUMO DO TOacutePICO 2
194
AUTOATIVIDADE
Nos problemas 1 e 2 resolva as equaccedilotildees diferenciais lineares de Bernoulli
1 x dydx + y =
1y 2
2 yprime = y (xy 3 ndash 1)
3 Resolva a equaccedilatildeo diferencial homogecircnea (x ndash y) dx + x dy = 0
Nas EDO a seguir identifique o tipo de EDO e encontre a funccedilatildeo desconhecida
4 xy 2 dydx = y 3 ndash x 3 y (1) = 2
5 x 2 dydx + y 2 = xy
6 (x 2 + y 2) dx + xy dy = 0
195
TOacutePICO 3
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES
DE SEGUNDA ORDEM
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
Finalizamos a unidade com o Toacutepico 3 as equaccedilotildees diferenciais lineares de segunda ordem Aqui estudaremos apenas as equaccedilotildees lineares homogecircneas com coeficientes constantes Estas equaccedilotildees satildeo de resoluccedilatildeo mais simples devido a um procedimento de substituiccedilatildeo por uma equaccedilatildeo de segundo grau chamada de equaccedilatildeo caracteriacutestica ou auxiliar
Definiccedilatildeo 321 Uma equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem eacute da forma
a1 (x) d 2 y
dx 2 + a2 (x) dy
dx + a3 (x)y = o (x)
onde os coeficientes a1 (x) a2
(x) a3 (x) satildeo contiacutenuos e o (x) tambeacutem eacute uma
funccedilatildeo contiacutenua em algum intervalo I
Definiccedilatildeo 322 Uma equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem da forma
a1 (x) d 2 y
dx 2 + a2 (x) dy
dx + a3 (x)y = 0
eacute chamada de homogecircnea onde os coeficientes a1 (x) a2
(x) a3 (x) satildeo
contiacutenuos em algum intervalo I
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
196
Para as equaccedilotildees lineares homogecircneas eacute vaacutelido o princiacutepio da superposiccedilatildeo que diz que se y
1 (x) e y
2 (x) satildeo soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial entatildeo
y (x) = c1 y
1 (x) + c
2 y
2 (x)
tambeacutem o eacute para todas as constantes c1 e c
2 A expressatildeo colocada anteriormente eacute
chamada combinaccedilatildeo linear de y1 (x) e y
2 (x)
Isso eacute o que diz o teorema da superposiccedilatildeo onde a soma ou superposiccedilatildeo de duas ou mais soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo
Teorema 321 (Princiacutepio da superposiccedilatildeo ndash Equaccedilotildees Homogecircneas) Se y1
(x) e y2 (x) satildeo soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea em algum intervalo I
entatildeo a combinaccedilatildeo linear
y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2
(x)
onde c1 e c2 satildeo constantes arbitraacuterias eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo no intervalo I
Definiccedilatildeo 323 Para as equaccedilotildees diferenciais lineares homogecircneas fixadas as soluccedilotildees y1
(x) e y2 (x) definimos o wronskiano dessas soluccedilotildees pelo determinante
Joacutezef Maria Wronski (1778-1853) foi um matemaacutetico polonecircs O wronskiano eacute definido como um determinante cuja primeira linha eacute ocupada pelas funccedilotildees e as linhas seguintes satildeo formadas pelas suas derivadas ateacute a ordem n ndash 1 E o wronskiano pode ser utilizado como um teste de independecircncia linear para as soluccedilotildees das EDOs
Suponha que y1 (x) e y2
(x) sejam duas soluccedilotildees Entatildeo a combinaccedilatildeo linear dessas duas soluccedilotildees eacute uma soluccedilatildeo geral dada por
y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2
(x)
NOTA
UNI
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
197
Derivando y (x) temos
yprime (x) = c1 yprime 1 (x) + c2 yprime
2 (x)
Substituindo-se x = x 0 nas equaccedilotildees obtemos o sistema de equaccedilotildees
y (x0) = c1 y1 (x0) + c2 y2
(x0)yprime (x0) = c1 yprime 1
(x0) + c2 yprime 2 (x0)
que pode ser escrito na forma A bull X = B em que
Logo o determinante da matriz A leva o nome de Wronskiano e eacute denotado por
W (y1 y2) (t) = det
Exemplo 1As funccedilotildees y1(x) = e 5x e y2(x) = e ndash 5x satildeo ambas soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial
linear homogecircnea yprimeprime ndash 25y = 0 no intervalo ]ndashinfin infin[ Verifique que o wronskiano eacute diferente de zero e escreva a soluccedilatildeo da EDO
ResoluccedilatildeoSejam y1(x) = e 5x e y2(x) = e ndash 5x Precisamos derivar as funccedilotildees para calcular o
wronskiano
yprime1(x) = 5e 5x e yprime2(x) = ndash5e ndash 5x entatildeo
W(x) = ndash5e ndash 5x middot e 5x ndash 5e 5x middot e ndash 5x = ndash 10 ne 0
W(x) =
Conforme o teorema acima a soluccedilatildeo dessa EDO tem a forma y (x) = c1 y1
(x) + c2 y2 (x)
Entatildeo y (x) = c1 e 5x + c2 e ndash 5x
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
198
Teorema 322 Sejam y1 (x) e y2
(x) soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea em algum intervalo I Entatildeo o conjunto de soluccedilotildees seraacute linearmente independente em I se e somente se W (x) ne 0 Ax isin I
Em resumo do que vimos sobre o wronskiano podemos concluir para que y1 (x)
e y2
(x) formem um conjunto fundamental de soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea basta que o wronskiano W (x) ne 0
A
x isin I
Exemplo 2Mostre que y1
(t) = t frac12 e y2 (t) = t ndash 1 formam um conjunto fundamental de
soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea 2t 2 yprimeprime + 3typrime ndash y = 0 no intervalo ]0 infin[
ResoluccedilatildeoPrecisamos verificar primeiro se y1
(t) e y2 (t) satildeo soluccedilotildees da EDO
Se y1 (t) = t frac12 entatildeo yprime1
(t) = 12
t ndash frac12 e yprimeprime1 (t) = -
14t- 32
Se y2 (t) = t ndash 1 entatildeo yprime2
(t) = ndasht ndash 2 e yprimeprime2 (t) = 2t ndash 3
Substituindo y1 (t) e suas derivadas na EDO temos
2t - 14
t + 3t 12
t -t = 0
- 12
t + 32
t -t = 0
2 - -32
12
12
12
12
12
Portanto y1 (t) eacute soluccedilatildeo da EDO
Agora substituindo y2 (t) e suas derivadas na EDO temos
2t 2 (2t ndash 3) + 3t (ndash t ndash 2) ndash t ndash 1 = 0
4t ndash 1 ndash 3t ndash 1 ndash t ndash 1 = 0
Portanto y2 (t) eacute soluccedilatildeo da EDO
Para que as funccedilotildees y1 (t) e y2
(t) formem um conjunto fundamental de soluccedilotildees
NOTA
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
199
da EDO pelos teoremas anteriores basta verificarmos que o wronskiano eacute diferente de zero para algum t gt 0 Assim
W (x) = ndasht ndash 3 2 ndash 12
t ndash 3 2 = ndash 32
t ndash 3 2 ne 0
Logo y1 (t) = t frac12 e y2
(t) = t ndash 1 formam um conjunto fundamental de soluccedilotildees da equaccedilatildeo 2t 2 yprimeprime + 3typrime ndash y = 0 Assim y (t) = c1t frac12 + c2t ndash 1
3 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ordf ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES
Vamos considerar apenas equaccedilotildees diferenciais da forma
a d 2 ydx 2 + b dy
dx + cy = 0
onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 Para esta equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea existem valores constantes de λ tais que y = eλx eacute uma soluccedilatildeo
Substituindo-se y = eλx dydx = λeλx e d
2 ydx 2 = λ2eλx na EDO obtemos
aλ2eλx + bλeλx + eλx = 0
eλx (aλ2+ bλ + c) = 0
Como eλx ne 0 entatildeo y = eλx eacute soluccedilatildeo de a d 2 ydx 2 + b dy
dx + cy = 0 se e somente se λ eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo aλ2+ bλ + c = 0
Definiccedilatildeo 331 A equaccedilatildeo aλ2+ bλ + c = 0 eacute chamada de equaccedilatildeo caracteriacutestica ou equaccedilatildeo auxiliar da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
200
31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
A natureza das soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea a d 2 y
dx 2 + b
dydx + cy = 0 depende da natureza das raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica correspondente
Para escrever as soluccedilotildees das equaccedilotildees diferenciais teremos trecircs casos a considerar Vamos empregar o teorema apresentado a seguir
Teorema 3311 Dada a equaccedilatildeo ayprimeprime + byprime + cy = 0 formamos a equaccedilatildeo caracteriacutestica aλ2+ bλ + c = 0
i) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes reais distintas λ1 e λ2 entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2eλ2x
ii) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem apenas uma raiz real λ entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2xeλx ou
y = (C1 + C2x) eλx
iii) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes complexas λ1 = α + bi e λ2 = α ndash bi entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eαx cos bx + c2eαx sen bx ou
y = eαx (c1 cos bx + c2 sen bx)
As raiacutezes λ1 e λ
2 da equaccedilatildeo caracteriacutestica satildeo chamados de autovalores
Exemplo 3Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 4yprime + 4y = 0
ResoluccedilatildeoConforme vimos acima devemos escrever a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 4λ + 4 = 0 e encontrar as suas raiacutezes
NOTA
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
201
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 42
λ = ndash 2
Assim a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1endash2x + c2xendash2x
Exemplo 4Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime ndash 15y = 0 Depois encontre a
soluccedilatildeo particular que satisfaz as condiccedilotildees iniciais y (0) = 0 e yprime (0) = ndash1
ResoluccedilatildeoResolvendo a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ ndash 15 = 0 temos
λ = ndash 2 plusmn 8
2
λ1 = ndash 2 ndash 8
2 = ndash 5
λ2 = ndash 2 + 8
2 = 3
A soluccedilatildeo geral eacute y = c1endash 5x + c2e3x
Substituindo as condiccedilotildees iniciais y (0) = 0 e yprime (0) = ndash1 na soluccedilatildeo geral obtemos
y = c1endash 5x + c2e3x e y (0) = 0 entatildeo
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
202
c1endash 5 bull 0 + c2e3 bull 0 = 0
c1 + c2 = 0
Agora yprime = ndash 5c1endash 5x + 3c2e3x e yprime (0) = ndash1 entatildeo
ndash 5c1endash 5 bull 0 + 3c2e3 bull 0 = ndash1
ndash 5c1 + 3c2= ndash1
Resolvendo o sistema c1 + c2 = 0ndash 5c1 + 3c2= ndash1
encontramos c1 = 18
e c2 = ndash 18
Portanto a soluccedilatildeo que satisfaz as condiccedilotildees iniciais eacute dada por
y = 18
endash 5x ndash 18
e3x
Exemplo 5Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime + 5y = 0
ResoluccedilatildeoConforme vimos acima devemos escrever a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ + 5 = 0 e encontrar as suas raiacutezes
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 2 plusmn 4i
2
λ = ndash 1 plusmn 2i
λ1 = ndash 1 ndash 2i
λ2 = ndash 1 + 2i
Assim pelo teorema a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = endashx (c1 cos 2x + c2 sen 2x)
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
203
Exemplo 6Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime + y = 0
ResoluccedilatildeoResolvemos a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ + 1 = 0
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 22
λ = ndash1
Assim a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1endashx + C2 xendashx
No graacutefico a seguir (Figura a seguir) estatildeo algumas soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial yprimeprime + 2yprime + y = 0
FIGURA 55 ndash ALGUMAS SOLUCcedilOtildeES DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
FONTE O autor
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
204
Exemplo 7Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 12y = 0
ResoluccedilatildeoResolvemos a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 12 = 0 temos
λ2 = ndash12
λ = plusmn radicndash12
λ = plusmn radic12i
λ = plusmn radic22 bull 3i
λ = plusmn 2 radic3i
λ1 = 2 radic3i
λ2 = ndash2 radic3i
Daiacute temos que α = 0 e b = 2 radic3
y = c1e0 bull x cos (2 radic3 x) + c2e0 bull x sen (2 radic3 x)
Portanto a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1 cos (2 radic3 x) + c2 sen (2 radic3 x)
LEITURA COMPLEMENTAR
Equaccedilotildees Diferenciais como Modelos Matemaacuteticos
MODELOS MATEMAacuteTICOS Eacute frequentemente desejaacutevel descrever o comportamento de algum sistema ou fenocircmeno da vida real em termos matemaacuteticos quer sejam eles fiacutesicos socioloacutegicos ou mesmo econocircmicos A descriccedilatildeo matemaacutetica de um sistema ou fenocircmeno chamada de modelo matemaacutetico eacute constituiacutedo levando-se em consideraccedilatildeo determinadas metas Por exemplo talvez queiramos compreender os mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populaccedilotildees de animais nesse sistema ou datar foacutesseis por meio da anaacutelise do decaimento radioativo de uma substacircncia que esteja no foacutessil ou no extrato no qual foi descoberta
A construccedilatildeo de um modelo matemaacutetico de um sistema comeccedila com
(i) a identificaccedilatildeo das variaacuteveis responsaacuteveis pela variaccedilatildeo do sistema Podemos a princiacutepio optar por incorporar todas essas variaacuteveis no modelo Nesta capa estamos especificando o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
205
A seguir
(ii) elaboramos um conjunto de hipoacuteteses razoaacuteveis ou pressuposiccedilotildees sobre o sistema que estamos tentando descrever Essas hipoacuteteses deveratildeo incluir tambeacutem quaisquer empiacutericas aplicaacuteveis ao sistema
Para alguns propoacutesitos pode ser perfeitamente razoaacutevel nos contentarmos com um modelo de baixa resoluccedilatildeo Por exemplo vocecirc provavelmente jaacute sabe que nos cursos baacutesicos de Fiacutesica a forccedila retardadora do atrito com o ar eacute agraves vezes ignorada na modelagem do movimento de um corpo em queda nas proximidades da superfiacutecie da Terra mas se vocecirc for um cientista cujo trabalho eacute predizer precisamente o percurso de um projeacutetil de longo alcance teraacute de levar em conta a resistecircncia do ar e outros fatores como curvatura da Terra
Como as hipoacuteteses sobre um sistema envolvem frequentemente uma taxa de variaccedilatildeo de uma ou mais das variaacuteveis a descriccedilatildeo matemaacutetica de todas essas hipoacuteteses pode ser uma ou mais equaccedilotildees envolvendo derivadas Em outras palavras o modelo matemaacutetico pode ser uma equaccedilatildeo diferencial ou sistema de equaccedilotildees diferenciais
Depois de formular um modelo matemaacutetico que eacute uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciais estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvecirc-los Se pudermos resolvecirc-lo julgaremos o modelo razoaacutevel se suas soluccedilotildees forem consistentes com dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema
Poreacutem se as prediccedilotildees obtidas pela soluccedilatildeo forem pobres poderemos elevar o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo ou levantar hipoacuteteses alternativas sobre o mecanismo de mudanccedila no sistema As etapas do processo de modelagem satildeo entatildeo repetidas conforme disposto no seguinte diagrama
FIGURA 56 ndash DIAGRAMA
HIPOacuteTESES
COMPARE AS PREDICcedilOtildeES DO
MODELO COM OS FATOS CONHECIDOS
FORMULACcedilAtildeO MATEMAacuteTICA
OBTENHA AS SOLUCcedilOtildeES
Expresse as hipoacuteteses em termos de equaccedilotildees
diferenciais
Exponha as prediccedilotildees do modelo (por exemplo
graficamente)
Resolva as EDsSe necessaacuterio altere as hipoacuteteses ou aumente a
resoluccedilatildeo do modelo
FONTE O autor
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
206
Naturalmente aumentando a resoluccedilatildeo aumentaremos a complexidade do modelo matemaacutetico e assim a probabilidade de natildeo conseguirmos obter uma soluccedilatildeo explicita
Um modelo matemaacutetico de um sistema fiacutesico frequentemente envolve a variaacutevel tempo t Uma soluccedilatildeo do modelo oferece entatildeo o estado do sistema em outras palavras os valores da variaacutevel (ou variaacuteveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado presente e futuro
DINAcircMICA POPULACIONAL Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio da matemaacutetica foi feita pelo economista inglecircs Thomas Malthus em 1978 Basicamente a ideia por traacutes do modelo malthusiano eacute a hipoacutetese de que a taxa segundo a qual a populaccedilatildeo de um paiacutes cresce em um determinado instante eacute proporcional agrave populaccedilatildeo total do paiacutes naquele instante Em outras palavras quanto mais pessoas houver em um instante t mais pessoas existiratildeo no futuro
Em termos matemaacuteticos se P(t) for a populaccedilatildeo no instante t entatildeo essa hipoacutetese pode ser expressa por
dPdt infin P ou
dPdt = k middot P (1)
onde k eacute uma constante de proporcionalidade Esse modelo simples embora natildeo leve em conta muitos fatores que podem influenciar a populaccedilatildeo humana tanto em seu crescimento quanto em seu decliacutenio (imigraccedilatildeo e emigraccedilatildeo por exemplo) natildeo obstante resulta ser razoavelmente preciso na previsatildeo da populaccedilatildeo dos Estados Unidos entre os anos de 1970 e 1980 As populaccedilotildees que crescem agrave taxa descriccedilatildeo por (1) satildeo raras entretanto (1) eacute ainda usada para modelar o crescimento de pequenas populaccedilotildees em um curto intervalo de tempo (crescimento de bacteacuterias em placas de Petri por exemplo)
FONTE Zill (2003 p 22-24)
207
Neste toacutepico vimos
bull A equaccedilatildeo diferencial na forma-padratildeo a d 2 y
dx 2 + b dydx + cy = 0 A sua resoluccedilatildeo se
resume em encontrar as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau aλ2+ bλ + c = 0 Apoacutes encontrar as raiacutezes da equaccedilatildeo aplica-se o teorema a seguir
bull Teorema 3311 Dada a equaccedilatildeo ayprimeprime + byprime + cy = 0 formamos a equaccedilatildeo caracteriacutestica aλ2+ bλ + c = 0
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes reais distintas λ1 e λ2 entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2eλ2x
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem apenas uma raiz real λ entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2xeλx ou
y = (C1 + C2x) eλx
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes complexas λ1 = α + bi e λ2 = α ndash bi entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eαx cos bx + c2eαx sen bx ou
y = eαx (c1 cos bx + c2 sen bx)
RESUMO DO TOacutePICO 3
208
AUTOATIVIDADE
Encontre a soluccedilatildeo geral das seguintes EDOs
1 yprimeprime ndash 3yprime + 2y = 0
2 8yprimeprime + 4yprime + y = 0
3 4yprimeprime + yprime = 0
4 yprimeprime ndash yprime ndash 6y = 0
5 yprimeprime + 9y = 0
6 12yprimeprime ndash 5yprime ndash 2y = 0
7 yprimeprime ndash 4yprime + 5y = 0
8 yprimeprime ndash 2yprime + y = 0
209
REFEREcircNCIAS
ANTON H BIVENS I DAVIS S Caacutelculo v 2 Poro Alegre Bookman 2007
BOYCE Willian E DIPRIMA Richard C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores de contorno Rio de Janeiro LTC 2002
FINNEY R WEIR M GIORDANO F Caacutelculo de George B Thomas Jr v 2 Satildeo Paulo Addison Wesley 2002
FLEMMING Diva Mariacutelia GONCcedilALVES Mirian Buss CAacuteLCULO B funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis integrais duplas e triplas 2deg ed Satildeo Paulo Makron Books do Brasil 2007
LEITHOLD Louis O Caacutelculo com geometria analiacutetica v 2 3deg ed Satildeo Paulo Harbra 1994
SIMMONS George F Caacutelculo com geometria analiacutetica v 2 Satildeo Paulo Pearson Makron Books 1987
ROGAWKI Jon Caacutelculo v 2 Porto Alegre Bookman 2009
STEWART James Caacutelculo v 2 Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 2006
ZILL Dennis G Equaccedilotildees diferenciais com aplicaccedilotildees em modelagem Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 2003
210
ANOTACcedilOtildeES
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211
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V
VI
VII
sumaacuterio
UNIDADE 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 1
TOacutePICO 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS 31 INTRODUCcedilAtildeO 32 RECORDANDO A FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL 33 FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 5 31 GRAacuteFICOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 134 FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 15RESUMO DO TOacutePICO 1 18AUTOATIVIDADE 19
TOacutePICO 2 ndash CURVAS DE NIacuteVEL 211 INTRODUCcedilAtildeO 212 CURVAS DE NIacuteVEL 22RESUMO DO TOacutePICO 2 28AUTOATIVIDADE 29
TOacutePICO 3 ndash LIMITE E CONTINUIDADE 311 INTRODUCcedilAtildeO 312 DEFINICcedilOtildeES BAacuteSICAS 313 LIMITE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 344 CONTINUIDADE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 38RESUMO DO TOacutePICO 3 41AUTOATIVIDADE 42
TOacutePICO 4 ndash DERIVADAS PARCIAIS 431 INTRODUCcedilAtildeO 432 RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVACcedilAtildeO 433 DERIVADAS PARCIAIS 44 31 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS 44 32 INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA 514 GENERALIZACcedilAtildeO 535 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 54LEITURA COMPLEMENTAR 59RESUMO DO TOacutePICO 4 63AUTOATIVIDADE 64
UNIDADE 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS 65
TOacutePICO 1 ndash REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA 671 INTRODUCcedilAtildeO 672 REGRA DA CADEIA 673 DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA 75RESUMO DO TOacutePICO 1 79
VIII
AUTOATIVIDADE 80
TOacutePICO 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE 811 INTRODUCcedilAtildeO 812 DIFERENCIABILIDADE 813 DIFERENCIAL 854 GRADIENTE 895 DERIVADAS DIRECIONAIS 95RESUMO DO TOacutePICO 2 99AUTOATIVIDADE 100
TOacutePICO 3 ndash MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS 1031 INTRODUCcedilAtildeO 1032 EXTREMOS LOCAIS 1033 PROBLEMAS ENVOLVENDO MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 111RESUMO DO TOacutePICO 3 117AUTOATIVIDADE 118
TOacutePICO 4 ndash INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS 1191 INTRODUCcedilAtildeO 1192 INTEGRAL DUPLA 119 21 INTEGRAL DUPLA SOBRE RETAcircNGULO 119 22 INTEGRAIS ITERADAS 120 23 INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIOtildeES GENEacuteRICAS 124LEITURA COMPLEMENTAR 134RESUMO DO TOacutePICO 4 136AUTOATIVIDADE 137
UNIDADE 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS 139
TOacutePICO 1 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 1411 INTRODUCcedilAtildeO 1412 DEFINICcedilOtildeES E TERMINOLOGIAS 141 21 TIPOS DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 142 22 ORDEM DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 142 23 LINEARIDADE DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 143 24 SOLUCcedilAtildeO DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 143 241 Soluccedilatildeo geral 145 242 Soluccedilatildeo particular 1453 EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL SEPARAacuteVEL 148 31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1494 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ordf ORDEM 158 41 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1595 EQUACcedilOtildeES EXATAS 168 51 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 169RESUMO DO TOacutePICO 1 175AUTOATIVIDADE 176
TOacutePICO 2 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES 1771 INTRODUCcedilAtildeO 1772 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI 177
IX
21 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1773 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS HOMOGEcircNEAS 184 31 FUNCcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 184 32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 186 321 Meacutetodo de resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial 187RESUMO DO TOacutePICO 2 193AUTOATIVIDADE 194
TOacutePICO 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 1951 INTRODUCcedilAtildeO 1952 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 1953 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ordf ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES 199 31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 200LEITURA COMPLEMENTAR 204RESUMO DO TOacutePICO 3 207AUTOATIVIDADE 208REFEREcircNCIAS 209
X
1
UNIDADE 1
FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Ao final desta unidade vocecirc deveraacute ser capaz de
bull conhecer os principais conceitos que envolvem funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull identificar o domiacutenio de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull reconhecer as curvas de niacuteveis de forma algeacutebrica
bull reconhecer as curvas de niacuteveis geometricamente
bull calcular os limites de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull identificar a continuidade de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull calcular as derivadas parciais
bull interpretar geometricamente as derivadas parciais
Esta unidade estaacute dividida em quatro toacutepicos apresentando os conceitos e a utilizaccedilatildeo das funccedilotildees de diversas variaacuteveis No Toacutepico 1 eacute apresentado o estudo do domiacutenio de uma funccedilatildeo de diversas variaacuteveis e as curvas de niacutevel seguido de vaacuterios exemplos para auxiliaacute-lo(a) na compreensatildeo e resoluccedilatildeo dos exerciacutecios propostos no final de cada toacutepico No Toacutepico 2 daremos uma atenccedilatildeo especial agraves curvas de niacutevel tanto na representaccedilatildeo graacutefica como no seu reconhecimento algeacutebrico No Toacutepico 3 seratildeo estendidos os conceitos de limite e continuidade estudados para as funccedilotildees de uma variaacutevel No Toacutepico 4 aprenderemos como derivar funccedilotildees de diversas variaacuteveis e sobretudo entender o significado geomeacutetrico das derivadas parciais Finalizamos a unidade com um texto complementar onde seraacute dada ecircnfase agraves personalidades matemaacuteticas que contribuiacuteram no desenvolvimento do caacutelculo diferencial e integral e consequentemente das equaccedilotildees diferenciais
TOacutePICO 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
TOacutePICO 2 ndash CURVAS DE NIacuteVEL
TOacutePICO 3 ndash LIMITES E CONTINUIDADE
TOacutePICO 4 ndash DERIVADAS PARCIAIS
2
3
TOacutePICO 1UNIDADE 1
FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
1 INTRODUCcedilAtildeO
Vocecirc jaacute estudou limites derivadas e integrais conceitos vistos em funccedilotildees de uma variaacutevel Nesta unidade estudaremos as funccedilotildees de duas ou mais variaacuteveis e veremos que as regras do caacutelculo para funccedilotildees de uma variaacutevel permanecem essencialmente as mesmas
Funccedilotildees com mais de uma variaacutevel independente se apresentam mais costumeiramente em modelos matemaacuteticos aplicados agrave engenharia por exemplo do que funccedilotildees de uma variaacutevel Os estudos de probabilidade estatiacutestica dinacircmica dos fluidos e trabalho satildeo exemplos que conduzem de uma maneira natural a funccedilotildees de mais de uma variaacutevel daiacute a importacircncia do seu estudo
2 RECORDANDO A FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL
Representamos a funccedilatildeo de uma variaacutevel por duas variaacuteveis x e y sendo que chamamos de x a variaacutevel independente da funccedilatildeo e de y a variaacutevel dependente da funccedilatildeo Assim denotamos a relaccedilatildeo entre as variaacuteveis por y = f (x) deixando expliacutecito que y depende de x
Exemplo 1 y = 2x + 1
Exemplo 2 f (x) = 3 + x
2 - x
Habitualmente ao trabalharmos com funccedilotildees um dos primeiros cuidados que devemos ter eacute em relaccedilatildeo ao conjunto domiacutenio das funccedilotildees isto eacute para que valores reais as funccedilotildees estatildeo definidas Entatildeo dada uma funccedilatildeo f(x) devemos encontrar valores para os quais a funccedilatildeo tenha imagem
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
4
Exemplo 3Encontre o domiacutenio da funccedilatildeo f(x) =
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo f(x) eacute uma funccedilatildeo racional pois temos a variaacutevel x no denominador
Esta funccedilatildeo tem dois cuidados a serem tomados em relaccedilatildeo ao domiacutenio
(i) Desde que iniciamos nossos estudos com fraccedilotildees sabemos que natildeo eacute possiacutevel ter zero no denominador das fraccedilotildees Assim
(ii) Temos a variaacutevel x no radicando da raiz quadrada Como estamos considerando f(x) uma funccedilatildeo real o radicando natildeo pode assumir valores negativos Logo
xsup2 ndash 16 ge 0
Assim juntando as condiccedilotildees (i) e (ii) teremos xsup2 ndash 16 gt 0
Observe que temos que resolver uma inequaccedilatildeo do 2ordm grau Para isso consideramos inicialmente apenas a equaccedilatildeo (igualdade) a fim de obtermos as raiacutezes
xsup2 - 16 = 0
Determinando as raiacutezes desta equaccedilatildeo do segundo grau incompleta
xsup2 = 16x = x =
Analisando a funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = xsup2 - 16 sabemos que seu graacutefico corresponde a uma paraacutebola com concavidade voltada para cima e zeros de funccedilatildeo em x = - 4 e x = 4 Logo os valores de x que satisfazem a inequaccedilatildeo satildeo x lt - 4 ou x gt 4
Assim D(f) = x isin R | x lt - 4 ou x gt 4
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
5
FIGURA 1 ndash ANAacuteLISE DO SINAL DA FUNCcedilAtildeO f (x) = xsup2 - 16 ATRAVEacuteS DE SEU ESBOCcedilO GRAacuteFICO
FONTE O autor
3 FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
Definiccedilatildeo 131 Suponha que D seja um conjunto de pares ordenados de nuacutemeros reais (xy) Uma funccedilatildeo real f de duas variaacuteveis em D eacute uma regra que associa um uacutenico nuacutemero real z = f(xy) a cada par ordenado (xy) em D O conjunto D(f) eacute o domiacutenio de f(xy)
Os nuacutemeros x y e z satildeo denominados variaacuteveis Como os valores da funccedilatildeo f(xy) dependem de x e de y e os valores de z dependem da escolha de x e de y entatildeo x e y satildeo denominadas variaacuteveis independentes e z eacute denominada variaacutevel dependente
Uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis eacute uma funccedilatildeo cujo domiacutenio eacute um subconjunto do R2 e cuja imagem eacute um subconjunto de R Uma maneira de visualizaacute-la eacute atraveacutes de um diagrama de flechas conforme a seguir
FIGURA 2 ndash DIAGRAMA DE FLECHAS REPRESENTANDO O DOMIacuteNIO E A IMAGEM DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS
FONTE O autor
+ +
ndashndash 4 4
R
y
(x y)
x
f
f(x y) 0
z
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
6
Exemplo 4Dada a funccedilatildeo que calcula o periacutemetro de um
retacircngulo f(xy) = 2(x + y) calcule o valor de f (25)
ResoluccedilatildeoBasta substituir em f(xy) o x por 2 o y por 5 e calcularEntatildeof(25) = 2(2 + 5)f(25) = 2 middot 7f(25) = 14
Exemplo 5A funccedilatildeo T (xy) = 60 - 2xsup2 - 3ysup2 representa a temperatura em qualquer
ponto de uma chapa A temperatura oscila em relaccedilatildeo agrave distacircncia percorrida no sentido dos eixos positivos x e y Calcule a temperatura da chapa (Figura 3) no ponto (3 1) em graus Celsius
ResoluccedilatildeoT (31) = 60 - 2 middot 3sup2 - 3 middot 1sup2T (31) = 60 - 2 middot 9 - 3 middot 1T (31) = 39deg C
x
y
FIGURA 3 ndash AQUECIMENTO DE UMA CHAPA
FONTE O autor
Exemplo 6Dada a funccedilatildeo f(xy) = xsup2 + ysup2 calcule f(1 - 2)
chapa
x
y
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
7
Resoluccedilatildeof(xy) = xsup2 + ysup2 f(1 ndash 2) = 1sup2 + (ndash2)sup2f(1 ndash 2) = 1 + 4f(1 ndash 2) = 5
No estudo do domiacutenio de uma funccedilatildeo devemos avaliar quais nuacutemeros reais satildeo possiacuteveis atribuir para as variaacuteveis x e y para obtermos valores reais para z = f(xy) Vamos relembrar algumas restriccedilotildees
Consideremos os casos a seguir em que A e B satildeo expressotildees em funccedilatildeo de x e y
Se f(xy) = AB entatildeo necessariamente B ne 0
Se f(xy) = onde n eacute par entatildeo necessariamente A ge 0
Se f (xy) = logc A com c gt 0 e c ne 1 entatildeo necessariamente A gt 0
Exemplo 7Encontre o conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo natildeo apresenta nenhuma restriccedilatildeo para os valores de x e yPortanto D(f) = (x y) isin R2 ou D( f ) = R2
Exemplo 8Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o radicando
3x ndash 2y natildeo pode ser negativo3x ndash 2y ge 0 ndash 2y ge ndash 3x
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (ndash1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
2y le 3x y le 3
2 x
NOTA
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
8
Portanto
Para fazer o graacutefico do conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (x y) do exemplo anterior primeiro trace o graacutefico de y = 3
2 x e depois determine qual a regiatildeo correspondente agrave desigualdade y le 3
2 x
O graacutefico de y = 32 x corresponde a uma reta crescente que conteacutem a
origem Note que esta reta divide o plano em duas regiotildees Para identificar qual regiatildeo expressa o domiacutenio de f (xy) atente para a desigualdade estabelecida Neste exemplo como se trata de uma reta e a relaccedilatildeo de ordem eacute dada pelo sinal ldquolerdquo entatildeo isto implica que o domiacutenio eacute expresso pelos infinitos pontos que se encontram na reta e abaixo dela
FIGURA 4 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
Exemplo 9Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = 5x
y ndash xsup2
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o denominador
y ndash xsup2 natildeo pode tornar-se nulo
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
9
Entatildeoy ndash xsup2 ne 0 y ne xsup2
Portanto
Para fazer o graacutefico do conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (xy) = 5xy ndash xsup2
procedemos do mesmo modo que no exemplo anterior A funccedilatildeo que expressa o domiacutenio eacute dada por y ne xsup2 cuja representaccedilatildeo no plano eacute uma paraacutebola com concavidade voltada para cima e que possui seu veacutertice na origem A relaccedilatildeo de diferenccedila poreacutem implica que pertencem ao domiacutenio todos os pontos do plano exceto os que se encontram sobre a paraacutebola expressa pela relaccedilatildeo y = xsup2
FIGURA 5 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
Exemplo 10Determine o conjunto domiacutenio de f(xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o radicando
3xsup2 + ysup2 ndash 18 natildeo pode ser negativo
3xsup2 + ysup2 ndash 18 ge 03xsup2 + ysup2 ge 18
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
10
Dividindo ambos os membros da desigualdade por 18
3x sup2 y sup2 1818 18 18
+ ge
A funccedilatildeo xsup2 ysup26 18 + = 1 representa uma elipse centrada na origem do
plano cartesiano cujo eixo maior definido sobre o eixo das ordenadas eacute igual a 2 848 e cujo eixo menor definido sobre os eixos das abscissas eacute igual a 2
490
Atribuiacutedas as caracteriacutesticas geomeacutetricas da funccedilatildeo que define o domiacutenio traccedilamos o seu graacutefico A relaccedilatildeo de desigualdade estabelecida eacute ldquogerdquo Isto implica que os pontos que pertencem ao domiacutenio se encontram sobre a elipse e fora dela
Ao sentir dificuldade em caracterizar as funccedilotildees quanto agrave sua representaccedilatildeo geomeacutetrica retome os estudos realizados na disciplina de Geometria Analiacutetica
FIGURA 6 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
ATENCAO
xsup2 ysup26 18 + ge 1
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
11
Exemplo 11Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = In (x minus 3y + 1) e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoComo In (x minus 3y + 1) eacute definido somente quando x minus 3y + 1 gt 0 entatildeo x minus 3y + 1 gt 0x minus 3y gt minus 1minus 3y gt minus x minus 1
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
3y lt x + 1y lt x + 1
3
Neste exemplo a funccedilatildeo domiacutenio expressa pela desigualdade y lt x + 1 3
representa no plano uma regiatildeo que se encontra abaixo da reta y = x + 1 3 Observe
que os pontos sobre a reta natildeo pertencem ao conjunto domiacutenio
FIGURA 7 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
12
Exemplo 12Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y A expressatildeo que
representa o radicando 4 ndash xsup2 ndash ysup2 natildeo pode ser negativa4 ndash xsup2 ndash ysup2 ge 0 ndash xsup2 ndash ysup2 ge ndash 4
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
xsup2 + ysup2 le 4
O conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f(xy) = expresso pela desigualdade xsup2 + ysup2 le 4 compreende os infinitos pontos interiores juntamente com os infinitos pontos pertencentes agrave circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano de raio 2
FIGURA 8 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
13
31 GRAacuteFICOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
Se f eacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis com domiacutenio D entatildeo o graacutefico de f eacute o conjunto de todos os pontos (xyz) em R3 tal que z = f (xy) e (xy) isin D
Fazer a representaccedilatildeo graacutefica das funccedilotildees de duas variaacuteveis eacute normalmente complicado e requer habilidade manual Assim vamos recorrer ao uso de programas computacionais matemaacuteticos que fazem os graacuteficos de superfiacutecies O objetivo aqui eacute apenas mostrar os graacuteficos das funccedilotildees de duas variaacuteveis e natildeo a construccedilatildeo manual dos graacuteficos
Os graacuteficos que vocecirc encontraraacute ao longo do Caderno de Estudos foram construiacutedos atraveacutes do Winplot que eacute um software livre disponiacutevel na internet e do Maple 11 um software comercial que possui inuacutemeros recursos matemaacuteticos
Caro(a) acadecircmico(a) Vocecirc pode baixar o software Winplot diretamente da internet ou do material de apoio da disciplina no AVA
Exemplo 13Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = 2 ndash 3x ndash 4y
Resoluccedilatildeo
FIGURA 9 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = 2 ndash 3x ndash 4y
FONTE O autor
DICAS
30
20
10
0
ndash10
ndash20ndash30
ndash 50
5 ndash 4 ndash 2 0 2 4x y
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
14
Exemplo 14Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
Resoluccedilatildeo
FIGURA 10 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
Exemplo 15Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy)
Resoluccedilatildeo
FIGURA 11 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) =
FONTE O autor
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
15
Exemplo 16Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = sen x middot sen y
Resoluccedilatildeo
FIGURA 12 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = sen x middot sen y
FONTE O autor
4 FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Definiccedilatildeo 141 Seja D um subconjunto de Rn Uma funccedilatildeo real f de n variaacuteveis reais definida em D eacute uma relaccedilatildeo entre D e R que associa a cada ponto (x1 x2 xn) isin D um uacutenico valor real z denotado por z = f (x1 x2 xn)
Notaccedilatildeo
As variaacuteveis (x1 x2 xn) satildeo as variaacuteveis independentes e z eacute a variaacutevel dependente O conjunto de todos os valores possiacuteveis de f eacute chamado imagem de f e eacute denotado por lm(f) Assim
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
16
Definiccedilatildeo 142 Seja f uma funccedilatildeo de n variaacuteveis com domiacutenio D O graacutefico de f eacute o conjunto de todos os pontos do espaccedilo Rn+1 dado por
( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 n 1 2 n 1 2 ngraf f x x x y R y f x x x x x xn com D+= isin = isin
No caso em que n = 1 f seraacute uma funccedilatildeo de uma variaacutevel e seu graacutefico seraacute uma curva C com equaccedilatildeo y = f (x1)
Quando n = 2 f seraacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis e seu graacutefico seraacute uma superfiacutecie S com equaccedilatildeo z = f (x1x2)
Quando n = 3 natildeo podemos esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f pois ele estaacute no espaccedilo de dimensatildeo 4
Exemplo 17Esboce o graacutefico da funccedilatildeo f (xy) = 6 ndash 2x + 3y
ResoluccedilatildeoPara esboccedilar o graacutefico de uma funccedilatildeo temos que conhecer o domiacutenio desta
funccedilatildeo O domiacutenio desta funccedilatildeo f eacute D(f) = Rsup2 e o graacutefico da funccedilatildeo f eacute o conjunto
graf (f) = (xyz) isin Rsup3 | z = 6 ndash 2x + 3y
Geometricamente o graacutefico de f representa um plano
Vamos fazer algumas consideraccedilotildees sobre a funccedilatildeo e os eixos como se focircssemos traccedilar o graacutefico manualmente Entatildeo comeccedilamos encontrando os pontos onde o plano intercepta cada um dos trecircs eixos coordenados
Se na equaccedilatildeo z = 6 ndash 2x ndash 3y fizermosx = 0 e y = 0 vem z = 6x = 0 e z = 0 vem y = 2y = 0 e z = 0 vem x = 3
Obtemos assim os pontos A1 = (0 0 6) A2 = (0 2 0) e A3 = (3 0 0) nos quais o plano intercepta os eixos coordenados A porccedilatildeo do graacutefico que estaacute no primeiro octante estaacute esboccedilada na figura a seguir
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
17
FIGURA 13 ndash PLANO COM EIXOS COORDENADOS
FONTE O autor
Exemplo 18Determine o conjunto domiacutenio e o conjunto imagem da funccedilatildeo f (x y z) =
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo natildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x y e zAssim D(f) = R sup3 (todo o espaccedilo)Jaacute para o conjunto imagem teremos apenas os reais natildeo negativosLogo Im (f) = R+
x
y
z
(020)
(300)
(006)
18
Neste toacutepico os principais assuntos estudados foram
bull Definiccedilatildeo de funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
bull Conjunto domiacutenio e conjunto imagem de funccedilatildeo
bull Representaccedilatildeo graacutefica do domiacutenio
bull Representaccedilatildeo graacutefica das superfiacutecies z = f (xy) usando recurso computacional
bull Listamos algumas situaccedilotildees envolvendo o estudo do domiacutenio para funccedilotildees de diversas variaacuteveis que impotildeem restriccedilotildees ao conjunto domiacutenio
bull Consideremos os casos a seguir em que A e B satildeo expressos em funccedilatildeo de x e y
uuml Se f (xy) = entatildeo devemos considerar B ne 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar A ge 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar A ge 0 e B ne 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar B gt 0
uuml Se f (xy) = logc A com c gt 0 e c ne 1 entatildeo devemos considerar A gt 0
RESUMO DO TOacutePICO 1
19
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre funccedilotildees de diversas variaacuteveis
1 Nos problemas a seguir calcule o valor da funccedilatildeo nos pontos especiacuteficos
a) f (xy) = (x ‒ 1)sup2 + 2xysup3 f (2 ‒ 1) f (12)
b) f (xy) = 3x+2y2x+3y
f (12) f ( ‒ 46)
c) g (xy) = y -x2 2 g (45) g (‒ 12)
d) g (uv) = 10u frac12 v ⅔ g (1627) g (4 ‒1331)
e) f (xy) = y xx y+ f (12) f(2 ‒3)
2 Nos problemas a seguir descreva o domiacutenio das funccedilotildees e represente-o graficamente
a) f (xy) = 5x + 2y4x + 3y
b) g (xy) = 36 - x - y2 2
c) f (xy) = radicx + y ‒ 2
d) f (xy) = 3x + 5y
xsup2 + 2ysup2 ‒ 4e) f (xy) = In (x + y ‒ 4)
f) g (xy) = exy
radicx ‒ 2y
AUTOATIVIDADE
20
21
TOacutePICO 2
CURVAS DE NIacuteVEL
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico veremos como representar uma superfiacutecie (figura tridimensional) em um graacutefico bidimensional Talvez vocecirc jaacute tenha visto algum graacutefico nesta situaccedilatildeo na praacutetica satildeo chamados mapas topograacuteficos
Nestes mapas uma paisagem tridimensional como a extensatildeo de uma montanha por exemplo estaacute representada por linhas de contorno bidimensionais ou curvas de elevaccedilatildeo constante conforme pode ser visto na figura a seguir
FIGURA 14 ndash MAPA DE CONTORNO DE UMA MONTANHA
FONTE Disponiacutevel em lthttparqaulaswordpresscomcategorytopografiagt Acesso em 11 jul 2011
O objetivo deste toacutepico eacute mostrar como reconhecer algebricamente e geometricamente as curvas de niacutevel Muitas das curvas que encontraremos correspondem a graacuteficos de funccedilotildees jaacute conhecidas as quais vocecirc estudou na disciplina de Geometria Analiacutetica tais como reta paraacutebola cuacutebica circunferecircncia elipse e hipeacuterbole
S1
S2
S3
S6
A
B
C
DE
F
G
H
I
A B C D E F G H I
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
22
2 CURVAS DE NIacuteVEL
O conjunto de todos os pontos onde uma funccedilatildeo f (xy) tem um valor constante c isin R eacute chamado de curva de niacutevel de f
Definiccedilatildeo 231 Seja c um nuacutemero real O conjunto de pontos no plano onde uma funccedilatildeo f (xy) tem um valor constante f (xy) = c eacute chamado de curva de niacutevel de f
Exemplo 1
Identifique as curvas de niacutevel para g (xy) = 4 ‒ x ‒ y em c = 0 e c = 6 Represente graficamente
Resoluccedilatildeog (xy) = c para c = 0
g (xy) = 4 ‒ x ‒ y0 = 4 ‒ x ‒ y
y = 4 ‒ xy = ‒ x + 4
Esta funccedilatildeo representa uma reta decrescente (coeficiente angular ndash1) que intercepta o eixo y em 4
g (xy) = c para c = 6g (xy) = 4 ‒ x ‒ y
6 = 4 ‒ x ‒ yy = 4 ‒ 6 ‒ xy = ‒ x ‒ 2
Esta funccedilatildeo representa uma reta decrescente (coeficiente angular ndash1) que intercepta o eixo y em ndash2
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
23
FIGURA 15 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE g (xy) = 4 ndash x ndash y
FONTE O autor
Outro exemplo que ilustra as curvas de niacutevel eacute o que muitos autores chamam de mapa de contorno conforme figura a seguir
FIGURA 16 ndash MAPA DE CONTORNO DE g (xy) = 4 ndash x ndash y
FONTE O autor
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
24
Considerando diferentes valores para a constante c igualmente espaccedilados obtemos um conjunto de curvas de niacutevel chamado mapa de contorno representadas no mesmo plano cartesiano
Exemplo 2Identifique as curvas de niacutevel para f (xy) = xsup2 ‒ ysup2 em c = 0 c = ndash3 e c = 4
Represente graficamente
Resoluccedilatildeof (xy) = c para c = 0
xsup2 ndash ysup2 = 0ysup2 = xsup2
y = x ou y = ndashx
Estas duas equaccedilotildees representam duas retas (Figura 17) A reta de equaccedilatildeo y = x representa no plano a bissetriz dos quadrantes iacutempares enquanto que a reta de equaccedilatildeo y = - x representa a bissetriz dos quadrantes pares
f (xy) = c para c = ‒ 3xsup2 ‒ ysup2 = ‒ 3
‒xsup2 ysup2 ‒3‒3 ‒3 ‒3=
xsup2 ysup23 3+ = 1‒
A equaccedilatildeo xsup2 ysup23 3+ = 1‒ representa uma hipeacuterbole equilaacutetera com
a = b = radic3 que tem uma concavidade voltada para cima e a outra para baixo (Figura 17)
f (xy) = c para c = 4xsup2 ‒ ysup2 = 4
‒xsup2 ysup2 4 4 4 4=
‒xsup2 ysup2 4 4 = 1
IMPORTANTE
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
25
Esta equaccedilatildeo representa uma hipeacuterbole equilaacutetera com a = b = 2 centrada na origem do plano cartesiano com uma concavidade voltada para a direita e outra para a esquerda (Figura 17)
FIGURA 18 ndash MAPA DE CONTORNO DE f (xy) = xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
FIGURA 17 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
y
x
c = 0
c = -3
c = 4
c = 0
c = 4
c = -3
420-2-4
-2
-4
0
2
4
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
26
Caro(a) acadecircmico(a) Para desenhar os mapas de contorno sugiro que utilize um software matemaacutetico como por exemplo o Winplot Na internet vocecirc encontra diversos tutoriais sobre o Winplot inclusive onde baixar o programa que eacute freeware Agora tente vocecirc identifique as curvas de niacutevel para g (xy) = 4 ndash 2xsup2 ndash ysup2 em c = 0 e c = ndash 2 e as represente graficamente
Exemplo 3Identifique as curvas de niacutevel para f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 em c = 1 e c = 2
Represente graficamente
Resoluccedilatildeof (xy) = c para c = 1
radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 15 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 1
‒ x sup2 ‒ y sup2 = ‒ 4 (-1)xsup2 + ysup2 = 4
Esta equaccedilatildeo representa uma circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano com raio igual a 2 (Figura 19)
f (xy) = c para c = 2
radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 25 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 4
‒ x sup2 ‒ y sup2 = ‒ 1 ( ‒ 1)x sup2 + y sup2 = 1
Esta equaccedilatildeo representa uma circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano com raio igual a 1 (Figura 19)
DICAS
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
27
FIGURA 19 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2
FONTE O autor
FIGURA 20 ndash MAPA DE CONTORNO DE f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2
FONTE O autor
c = 1
c = 2
-3 -2 -1
1
-1
-2
-3
2 31
2
3
x
y
-2
-1
0
1
22 1 0 ndash 1 ndash 2
x
y
28
RESUMO DO TOacutePICO 2
Neste toacutepico fizemos anaacutelises e representaccedilotildees graacuteficas das curvas de niacutevel de uma funccedilatildeo f
bull Reconhecimento algeacutebrico das curvas de niacutevel
29
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
1 Associe as superfiacutecies de 1 a 4 aos mapas de contorno de A a D
(1)
(A)
(2)
(B)
y ndash 2 ndash 1 ndash 1
ndash 2
ndash 3
x
1 2 3
1
2
3
1
05
0
ndash 05
ndash 1ndash 3ndash 2ndash 1 0 1 2 3 3 2 1 0ndash 1ndash 2ndash 3
ndash 3
ndash2
ndash 1
ndash 1ndash 2ndash 3 1
1
2
2
3
3 y
x
30
(3) (C)
(4) (D)
2 Nas questotildees a seguir identifique algebricamente as curvas de niacutevel para valores de c dados
a) f (xy) = x sup2 + y sup2 ‒ 9 c isin ‒ 4 ‒ 2 ‒ 1 0b) f (xy) = y sup2 ‒ x c isin 0 1 2 3
3 Nas questotildees a seguir represente graficamente as curvas de niacutevel das funccedilotildees Agora vocecirc escolheraacute alguns valores para c Eacute importante que vocecirc faccedila os graacuteficos manualmente e se for possiacutevel utilize o software Winplot para conferir ou como apoio nos estudos
a) f (xy) = x sup2 + 9y sup2b) f (xy) = y ‒ xsup3c) g (xy) = 3 + 2x ‒ y
3 2 1 0 ndash 1 ndash 2 ndash 33
2
1
0
ndash 1
ndash 2
ndash 3
y
ndash 3 ndash 2 ndash 1 0 1 2 3
3
2
1
0
ndash 1
ndash 2
ndash 3
y
x
20
10
0
ndash 10
ndash 20ndash 3
ndash 1ndash 2 0 1 2 3 ndash 2 ndash 1 0 1 2 3
x y
ndash 3 ndash 2 ndash 1 2 3
321ndash 1ndash 2ndash 300
x y
31
TOacutePICO 3
LIMITE E CONTINUIDADE
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 DEFINICcedilOtildeES BAacuteSICAS
O que estudaremos agora jaacute foi estudado no Caacutelculo Diferencial e Integral onde o conceito de limite e continuidade foi empregado para funccedilatildeo de uma variaacutevel
Neste toacutepico estenderemos o conceito de limite agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis um conceito fundamental do caacutelculo do qual decorrem outros como por exemplo a noccedilatildeo de continuidade Para isso enunciaremos algumas definiccedilotildees de Anaacutelise Matemaacutetica Tente entender os conceitos e soacute depois avance para a proacutexima seccedilatildeo
Definiccedilatildeo 321 Sejam P = (x1 x2 xn) e A = (a1 a2an) pontos em Rn A distacircncia entre P e A denotada por P ‒ A eacute dada por
P ‒ A = radic (x1 ‒ a1)sup2 + (x2 ‒ a2)sup2 + + (xn ‒ an)sup2
Exemplo 1Dados os pontos P = (1 ‒ 2 3) e A = (3 1 ‒ 2) em Rsup3 encontre P ‒ A
Resoluccedilatildeo P ‒ A = radic (1 ‒ 3)sup2 + (‒2 ‒1)sup2 + (3 ‒ (‒ 2))sup2 = radic8 uc
Definiccedilatildeo 322 Sejam A = (a1 a2 an) isin Rn e r gt 0 um nuacutemero real A bola aberta de centro em A e raio r que indicaremos por B(A r) eacute definida como sendo o conjunto de todos os pontos P = (x1 x2 xn) tais que P ‒ Alt r ou seja
B(A r) = (x1 x2xn) isin Rn radic (x1 ‒ a1)sup2 + (x2 ‒ a2)sup2 ++ (xn ‒ an)sup2 lt r
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
32
Exemplo 2a) Em R a bola aberta B(a r) eacute o intervalo aberto (a ‒ r a + r)
FIGURA 21 ndash INTERVALO EM R
FONTE O autor
b) Em Rsup2 a bola aberta B((a1 a2) r) representa o conjunto dos pontos internos agrave circunferecircncia de centro em (a1 a2) e raio r
FIGURA 22 ndash r de A
FONTE O autor
Definiccedilatildeo 321 Seja S um subconjunto de Rn Um ponto A eacute um ponto de acumulaccedilatildeo de S se toda bola aberta de centro em A possui uma infinidade de pontos de S mesmo que A natildeo necessariamente pertenccedila a S
Exemplo 3Seja S = (xy) isin Rsup2 | x gt 0 e y gt 2 Mostre que todos os pontos pertencentes
ao conjunto S satildeo pontos de acumulaccedilatildeo
ResoluccedilatildeoTodos os pontos pertencentes a S satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S pois
atendem agrave Definiccedilatildeo 321 Ainda os pontos (0y) com y ge 2 e (x 2) com x gt 0 satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S e natildeo pertencem a S (Figura 23)
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
33
FIGURA 23 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO CONJUNTO S
FONTE O autor
Exemplo 4Seja S = (xy) isin Z2 | ‒ 2 le x le 4 e 1 le y le 5 Mostre que o conjunto S natildeo
possui pontos de acumulaccedilatildeo
ResoluccedilatildeoMostraremos que os pontos de S natildeo satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S pois
natildeo atendem agrave Definiccedilatildeo 321 Para qualquer ponto P(xy) isin R2 a bola aberta de centro P e raio r lt 1 natildeo conteacutem uma infinidade de pontos de S
Portanto o conjunto S natildeo possui pontos de acumulaccedilatildeo (Figura 24)
FIGURA 24 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO CONJUNTO S
FONTE O autor
y
x
1098
654
21
34
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
3 LIMITE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
A seguir definiremos limite de uma funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 331 Sejam f S sub Rn rarr R uma funccedilatildeo e A um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que o limite de f (X) quando X se aproxima de A eacute um nuacutemero real L se dado ε gt 0 existir δ gt 0 tal que |f (X) ndash L| lt ε sempre que X isin S e 0 lt X ndash A lt δ
Neste caso escrevemos
lim f (X) = L x rarr A
O estudo de funccedilotildees de trecircs ou mais variaacuteveis (n ge 3) difere pouco do estudo de funccedilotildees de duas variaacuteveis Desta forma por simplicidade de apresentaccedilatildeo vamos estudar as funccedilotildees de duas variaacuteveis no restante desta unidade Comeccedilaremos reescrevendo a definiccedilatildeo de limite de funccedilotildees de duas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 332 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo e (a b) um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que o limite de f (xy) quando (xy) se aproxima de (ab) eacute um nuacutemero real L se dado ε gt 0 existir δ gt 0 tal que
|f (xy) ndash L| lt ε sempre que (xy) isin S e 0 lt radic(x ‒ a)2 + (y ‒ b)2 lt δ
Neste caso escrevemos
lim f (xy) = L (xy) rarr (ab)
A definiccedilatildeo de limite de funccedilatildeo pode ser reformulada utilizando o conceito de bola aberta que vimos anteriormente De fato escrever lim f (xy) = L equivale
a dizer que dado qualquer ε gt 0 podemos encontrar δ gt 0 tal que para todo (xy) isin B ((ab) δ) tenhamos f (xy) isin (L ndash ε L + ε) A figura a seguir ilustra no caso de uma funccedilatildeo f A sub Rn rarr R a definiccedilatildeo de limite
FIGURA 25 ndash FUNCcedilAtildeO f A sub Rn rarr R
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwicmcuspbr~cmmendesCalculoIICalculo2DiferenciaE7E3opdfgt Acesso em 18 jun 2011
(xy) rarr (ab)
A sub Rn
P₀
f
L ndash ε
L + εL
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
35
Exemplo 5Usando a definiccedilatildeo de limite mostre que lim (4x ndash 3y) = 5 (xy) rarr (21)
ResoluccedilatildeoDevemos mostrar que forall ε gt 0 exist δ gt 0 tal que (4x ‒ 3y) ‒ 5 lt ε sempre que
(xy) ‒ (21)lt δ
Com o objetivo de encontrar o δ desejado trabalharemos com a desigualdade que envolve ε Assim usando propriedades do valor absoluto podemos escrever
(4x ‒ 3y) ‒ 5=4x ‒ 3y ‒ (8 ‒ 3)=4x ‒ 8 ‒ 3y + 3=4x ‒ 8 ‒ (3y ‒ 3)=4 (x ‒ 2) ‒ 3(y ‒ 1)le 4x ‒ 2+ 3 y ‒ 1
Como 0 lt radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ podemos escrever x ‒ 2 le
radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ e y ‒ 1 le radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ temos que 4x ‒ 2 + 3y ‒ 1lt 4 δ + 3 δ
Assim tomando δ = ε7 temos(4x ‒ 3y) ‒ 5le 4x ‒ 2+ 3y ‒ 1lt
4 ε7 + 3 ε
7 = ε sempre que 0 lt radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ
Portanto lim (4x ‒ 3y) = 5 (xy) rarr (21)
Teorema 331 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis S1 e S2 subconjuntos de S e (ab) um ponto de acumulaccedilatildeo de S1 e S2 Se f (xy) tem limites diferentes quando (xy) tende (ab) atraveacutes dos pontos de S1 e S2 entatildeo lim f (xy) natildeo existe (xy) rarr (ab)
Lembre-se de que o fato de o ponto (ab) ser um ponto de acumulaccedilatildeo de S1 e
S2 natildeo significa que (ab) isin S
1 cap S
2
Exemplo 6Usando a definiccedilatildeo de limite mostre que lim 5xy
x2 + y2 natildeo existe
ATENCAO
(xy) rarr (21)
36
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Resoluccedilatildeo
Observemos que o conjunto domiacutenio de f eacute R2 ‒ (00) Para mostrar que o limite natildeo existe usaremos o Teorema 331
Consideremos o conjunto de retas que passam pela origem y = kxk isin R (xy) isin R2
Calculando f (xy) com y = kx temos
f (xkx) = 5xkx
x2 + (kx)2
= 5kx2
x2 (1+ k2)
= 5k
1+ k2
Entatildeo lim f (x kx) = lim 5k
1+ k2 (xy) rarr (00) (xy) rarr (00)
Assim o limite de f depende do percurso do ponto (xy) quando ele tende agrave origem Por exemplo considere k = 0 e k = 1 (dois caminhos diferentes)
lim f (xx) = lim 5 11+1
= 522
e lim f (xa) = 5 01 0
02+=
(xy) rarr (00) (xy) rarr (00)
Note que f assume um valor constante sobre cada reta que passa pela
origem De fato para cada coeficiente angular k isin R f (xkx) = 5k
1+k2 qualquer que
seja x isin R corroborando assim o caacutelculo do limite desenvolvido anteriormente
Portanto concluiacutemos atraveacutes do Teorema 331 que lim 5xy
x2 + y2 natildeo
existe (xy) rarr (00)
O teorema a seguir eacute muito parecido com o que jaacute foi visto em caacutelculo nas propriedades de limites de funccedilotildees de uma variaacutevel
Teorema 332 Se lim f (xy) = L e lim g (xy) = M e c isin R entatildeo (xy) rarr (ab) (xy) rarr (ab)
(xy) rarr (00)
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
37
Vamos utilizar este teorema nos exemplos a seguir
Exemplo 7
Calcule
Resoluccedilatildeo
Exemplo 8
Calcule
Resoluccedilatildeo
Temos lim (x3 ‒ x2y) = 0 e lim (x2 ‒ y2) = 0 (xy) rarr (22) (xy) rarr (22)
Neste caso temos uma indeterminaccedilatildeo do tipo 00
Para resolver o limite
fatoram-se o numerador e denominador fazendo as simplificaccedilotildees possiacuteveis como faziacuteamos com limites indeterminados no caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral
Entatildeo
38
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
4 CONTINUIDADE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Vocecirc se recorda da definiccedilatildeo de continuidade estudada na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral Agora estudaremos esta definiccedilatildeo aplicada agraves funccedilotildees de diversas variaacuteveis Acompanhe a seguir
Definiccedilatildeo 341 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo e (ab) isin S um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que f eacute contiacutenua no ponto (ab) se as seguintes condiccedilotildees forem satisfeitas
(i) f estaacute definida no ponto (ab)(ii) lim f(xy) existe
(xy) rarr (ab)
(iii) lim f(xy) = f(ab) (xy) rarr (ab)
Quando uma ou mais destas condiccedilotildees natildeo eacute satisfeita dizemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no ponto (ab)
Dizemos que f eacute contiacutenua se f for contiacutenua em todos os pontos do domiacutenio de f
Exemplo 9
Considere a funccedilatildeo de duas variaacuteveis f(xy) = 3x + y2
a) Mostre que f eacute contiacutenua no ponto (2 3)
b) Mostre que f eacute contiacutenua
+
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
39
Resoluccedilatildeo
a) Precisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(i) f (23) = 32 + 32 = 15(ii) lim f(xy) = lim (3x + y2) = 32 + 32 = 15 (xy) rarr (23) (xy) rarr (23)
(iii) lim (3x + y2) = f (23) (xy) rarr (23)
Logo f eacute contiacutenua no ponto (2 3)
b) Seja (ab) isin D (f) = R2
lim f(xy) = lim (3x + y2) = 3a + b2 = f (ab) (xy) rarr (ab) (xy) rarr (ab)
Como (ab) eacute um ponto qualquer segue que f (xy) eacute contiacutenua
Exemplo 10
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = In (xy + 3x) eacute contiacutenua no ponto (32)
Resoluccedilatildeo
Verificaremos se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
Logo f eacute contiacutenua no ponto (3 2)
40
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 11
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = eacute contiacutenua no ponto (33)
Resoluccedilatildeo
Precisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(i) f (33) = 5 pois x = y
(ii) = infin portanto o limite natildeo existe
(iii) Como lim f(xy) ne f(33) concluiacutemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no ponto (33) (xy) rarr (33)
Teorema 341 Se g(x) for contiacutenua em a e h(y) for contiacutenua em b entatildeo f(xy) = g(x) middot h(y) eacute contiacutenua em (ab)
Teorema 342 Se h(x y) for contiacutenua em (ab) e g(u) for contiacutenua em u = h (ab) entatildeo a composiccedilatildeo f(xy) = g(h(xy)) eacute contiacutenua em (ab)
Exemplo 12Use o Teorema 341 para mostrar que a funccedilatildeo f(xy) = 7x3y5 eacute contiacutenua
Resoluccedilatildeo
Os polinocircmios g(x) = 7x3 e h(y) = y5 satildeo contiacutenuos em cada ponto da reta real
Logo pelo Teorema 341 a funccedilatildeo f(xy) = 7x3 y5 eacute contiacutenua em cada ponto (xy) do plano xy ou seja f(xy) eacute contiacutenua
Exemplo 13Use o Teorema 342 para mostrar que a funccedilatildeo f(xy) = cos (7x3 y5) eacute contiacutenua
ResoluccedilatildeoComo h(xy) = 7x3 y5 eacute contiacutenua em cada ponto do plano xy e g(u) = cos u eacute
contiacutenua em cada ponto u da reta real segue do Teorema 342 que a composiccedilatildeo f(xy) = cos (7x3 y5) eacute contiacutenua em todo R2
41
RESUMO DO TOacutePICO 3
Caro(a) acadecircmico(a) Neste toacutepico os principais assuntos estudados foram
bull O conceito de limite de funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
bull Definiccedilatildeo de funccedilatildeo contiacutenua e suas propriedades Eacute importante saber analisar se uma funccedilatildeo eacute contiacutenua ou natildeo
bull Destacamos a Definiccedilatildeo 341 que trata da continuidade Lembre que se f S sub R2 rarr R eacute uma funccedilatildeo e (ab) isin S eacute um ponto de acumulaccedilatildeo de S dizemos
que f eacute contiacutenua no ponto (ab) se as seguintes condiccedilotildees forem satisfeitas
(i) f estaacute definida no ponto (ab)
(ii) lim f(xy) existe
(xy) rarr (ab)
(iii) lim f(xy) = f(ab)
(xy) rarr (ab)
Lembre-se de que se uma destas condiccedilotildees natildeo for satisfeita a funccedilatildeo eacute descontiacutenua em (ab)
42
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre limite e continuidade de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
1 Use a definiccedilatildeo de limite para mostrar que lim (2x + 6y) = 12 (xy) rarr (31)
2 Nos exerciacutecios a seguir calcule os limites
a) lim (x2y3 ‒ 2xy + 4) (xy) rarr (2 ‒1)
b) lim (xy) rarr (2 ‒1)
c) lim (xy) rarr (00)
d) lim x2 ‒ xy
radic radicx + y (xy) rarr (00)
x + 4y2x2 + 3xy
x3 + 2x2 + xy2 + 2y2
x2 + y2
3 Mostre que lim x2y
x4 + y2 natildeo existe (xy) rarr (00)
4 Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f (xy) = 3x2 + y2 +5
5 Verifique se a funccedilatildeo f(xy) = 4x2 ‒ 3x + yx2 + y2 ‒ 1
eacute contiacutenua no ponto (13)
6 Verifique se a funccedilatildeo f(xy) = xy5x2 + y2
0 (xy) = (00)
(xy) ne (00) eacute contiacutenua
43
TOacutePICO 4
DERIVADAS PARCIAIS
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
Vocecirc se recorda das regras de derivaccedilatildeo estudadas na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral
Aqui veremos como elas se aplicam agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis independentes que permitem uma visualizaccedilatildeo graacutefica possibilitando um entendimento de maneira simples do conceito de derivadas parciais Os resultados aqui obtidos podem ser generalizados para os casos de funccedilotildees com um nuacutemero maior de variaacuteveis
As regras de derivaccedilatildeo que vocecirc aprendeu na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral seratildeo utilizadas neste momento novamente
2 RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVACcedilAtildeO
Se u eacute uma funccedilatildeo real e c α isin R entatildeo
(c)prime = 0 (eu)prime = eu sdot u prime(c sdot u)prime = c sdot uprime (sen u)prime = cos u sdot u prime(u α)prime = α sdot u αminus1 sdot uprime (cos u)prime = minussen u sdot u prime
Exemplo 1Se f(x) = 5x3 minus 4x + 3ex minus 5 entatildeo f prime(x) = 15x2 minus 4 + 3ex
Lembre-se que se y = f (x) entatildeo a taxa de variaccedilatildeo de y em relaccedilatildeo a x eacute dada pela derivada de f em relaccedilatildeo a x que eacute definida por
f(x + Δx) minus f(x)Δx
f prime(x) = limΔx rarr 0
44
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
3 DERIVADAS PARCIAIS
Nesta seccedilatildeo estudaremos sobre as derivadas parciais Acompanhe
31 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS
A definiccedilatildeo de derivada parcial de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis eacute parecida com a enunciada para funccedilotildees de uma variaacutevel sendo utilizadas as mesmas regras de derivaccedilatildeo A diferenccedila aqui eacute que como se tem duas variaacuteveis uma delas deve ser mantida fixa enquanto se daacute acreacutescimos para a outra conforme veremos nas definiccedilotildees a seguir
Definiccedilatildeo 4311 Seja f A sube R2 rarr R uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis As derivadas parciais de f em relaccedilatildeo a x e a y satildeo funccedilotildees partf
partx e partf
party definidas por
partfpartx
= limh rarr 0
f (x + hy) ‒ f (xy)h
partfparty
= limh rarr 0
f (xy + h) ‒ f (xy)h
desde que os limites existam
O siacutembolo ldquopartrdquo chama-se ldquoD-rondrdquo (pronuncia-se derron) que significa D-redondo em francecircs Esta notaccedilatildeo eacute apenas um outro tipo de simbologia para a derivada que quando trabalhamos com funccedilotildees de uma variaacutevel era representada por ldquodrdquo Eacute conveniente ter essa maneira distinta de estender a notaccedilatildeo diferencial de Leibniz para um contexto de diversas variaacuteveis pois aqui natildeo tem sentido falarmos simplesmente em derivada apenas em derivadas parciais
Existem outras notaccedilotildees para representar as derivadas parciais Se z = f (xy)
denotamos
partfpartx
= fx (xy) = = Dx fpartzpartx
partfparty
= fy (xy) = = Dy fpartzparty
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
45
Preste muita atenccedilatildeo na simbologia de derivada Quando estamos derivando
uma funccedilatildeo de uma variaacutevel por exemplo y = f (x) entatildeo a derivada eacute identificada por dydx
Mas quando estamos derivando uma funccedilatildeo de duas ou mais variaacuteveis por exemplo z = f
(xy) entatildeo as derivadas satildeo identificadas por part zpart x
e part zpart y
Exemplo 2
Aplicar a definiccedilatildeo para achar partfpartx
e partfparty
para f (xy) = 3x2 ‒ 2xy
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= limh rarr 0
f (x + hy) ‒ f (xy)h
= limh rarr 0
3 (x + h)2 ‒ 2 (x + h)y ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
3x2 + 6xh + 3h2 ‒ 2xy ‒ 2hy ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
6xh + 3h2 ‒ 2hyh
= limh rarr 0
h (6x + 3h ‒ 2y)h
= lim 6x + 3h ‒ 2yh rarr 0
= 6x ‒ 2y
partfparty
= limh rarr 0
f (xy + h)‒ f (xy)h
ATENCAO
46
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
= limh rarr 0
3x2 ‒ 2x (y + h) ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
3x2 ‒ 2xy ‒ 2xh ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
‒ 2xhh
= lim (‒ 2x)h rarr 0
= ‒ 2x
Logo obtemos partfpartx
= 6x ‒ 2y e partfparty
= ‒ 2x
Exemplo 3Encontre as derivadas parciais de f (xy) = 5x3 ‒ 4xy + 3exysup3 ‒ 5
ResoluccedilatildeoPara encontrar a derivada parcial de f em relaccedilatildeo a x devemos olhar para
a variaacutevel y da funccedilatildeo f como uma constante e derivamos apenas a variaacutevel x ou seja aplicaremos as regras de derivaccedilatildeo somente na variaacutevel x
partfpartx
= 5 ∙ 3x2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ y + 3exysup3 ∙ 1 ∙ y3 ‒ 0
= 15x2 ‒ 4y + 3y3 exysup3
De forma anaacuteloga para derivar parcialmente f em relaccedilatildeo a y devemos olhar para a variaacutevel x da funccedilatildeo f como uma constante e derivamos apenas a variaacutevel y ou seja aplicaremos as regras de derivaccedilatildeo somente na variaacutevel y
partfparty
= 0 ‒ 4x ∙ 1 + 3exysup3 ∙ x ∙ 3y2 ‒ 0
= ‒ 4x + 9xy2 exysup3
Exemplo 4Encontre as derivadas parciais de f (xy) = 3x2 ‒ xy + y
ResoluccedilatildeoDerivando f em relaccedilatildeo a x (lembre-se de considerar y como constante)
partfpartx
= 6x ‒ y
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
47
E derivando f em relaccedilatildeo a y (agora considere x como constante)
partfparty
= ‒ x + 1
Exemplo 5Encontre as derivadas parciais de f (xy) = ex ‒ y ‒ ey ‒ x
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= ex ‒ y ∙ 1 ‒ ey ‒ x ∙ (‒ 1)
= ex ‒ y + ey ‒ x
partfparty
= ex ‒ y ∙ (‒ 1) ‒ ey ‒ x ∙ 1
= ex ‒ y ‒ ey ‒ x
Exemplo 6Calcule as derivadas parciais de f (xy) = (x + y) sen (x ‒ y)
ResoluccedilatildeoObserve que a funccedilatildeo f eacute um produto de outras duas funccedilotildees u e v Assim
lembramos que (u sdot v)prime = u prime sdot v + u sdot v prime
partfpartx
= 1sen(x ‒ y) + (x + y) ∙ 1 ∙ cos (x ‒ y)
= sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ cos (x ‒ y)
partfparty
= 1∙ sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ (‒1) ∙ cos (x ‒ y)
= sen (x ‒ y) ‒ (x + y) ∙ cos (x ‒ y)
Exemplo 7Calcule as derivadas parciais de f (xy) = exy + In (x2 + y)
Resoluccedilatildeopartpart
= ++
fxy e x
x yxy
22
Utilizamos a regra
lnu uu
fyx e
x yxy
( )prime = prime
partpart
= ++1
2
48
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Ateacute aqui estivemos preocupados com o caacutelculo da derivada parcial de uma funccedilatildeo em relaccedilatildeo a uma de suas variaacuteveis Isso quer dizer que calculamos a derivada ao longo de uma curva sem ponto fixado Passemos a ver como se calcula a derivada fixando um ponto da superfiacutecie
Se (x0 y0) for um ponto do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (xy) o plano vertical y = y0 cortaraacute a superfiacutecie z = f (xy) na curva z = f (x y0) (Figura 26)
Definiccedilatildeo 4312 A derivada parcial da funccedilatildeo f em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x eacute representada por partf
partx e eacute definida num ponto P (x0 y0) do domiacutenio por
(x0 y0) = limΔ x rarr 0
partfpartx
f (x0 + Δ x y0) ‒ f (x0 y0)Δ x
se este limite existir
FIGURA 26 ndash FUNCcedilAtildeO f (xy)
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
Se (x0 y0) for um ponto do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (xy) o plano vertical x = x0 cortaraacute a superfiacutecie z = f (xy) na curva z = f (xy0) (Figura 27)
Definiccedilatildeo 4313 A derivada parcial da funccedilatildeo f em relaccedilatildeo agrave variaacutevel y eacute representada por partf
party e eacute definida num ponto P (x0 y0) do domiacutenio por
(x0 y0) = limΔ x rarr 0
partfparty
f (x0 y0 + Δ y ) ‒ f (x0 y0)Δ y
se este limite existir
Eixo horizontal no plano y = y₀
Eixo vertical no plano y = y₀
Reta tangente
A curva z = f (xy0)no plano y = y₀
z
z = f (xy)
y
y₀
(x₀ y₀)(x₀ + h y₀)
x
x₀0
P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
49
FIGURA 27 ndash FUNCcedilAtildeO f (xy)
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
Exemplo 8Sendo f (xy) = 2x2y ndash 4y3 calcule partf
partx partfparty
partfpartx
(31) partfparty
(31)
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= 2 sdot 2x sdot y ndash 0 partfpartx
(31) = 4 sdot 3 sdot 1 = 12
partfpartx
= 4xy
partfparty = 2x 2 sdot 1 ndash 4 sdot 3y 2
partfparty (31) = 2 sdot 32 ndash 12 sdot 12
partf party
= 2x 2 ndash 12y 2 partfparty
(31) = 2 sdot 9 ndash 12 sdot 1 = 18 ndash 12 = 6
Exemplo 9
Sendo f (xy) = 5xy2x + 3y
0 se (xy) = (00)
se (xy) ne (00) calcule partf
partx e partf
party
Eixo vertical no plano x = x₀
Reta tangente
A curva z = f (x y0)no plano x = x₀
Eixo horizontal no plano x = x₀
x₀
x(x₀ y₀)
(x₀ y₀ + k)
z = f (xy)
z
y
y₀
P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))
50
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
ResoluccedilatildeoNos pontos (xy) ne (00) podemos aplicar as regras de derivaccedilatildeo Assim
temos
partfpartx
5y middot (2x + 3y) ‒ 5xy middot 2(2x + 3y)2
=
10xy + 15y 2 ‒ 10xy(2x + 3y)2
=
15y 2
(2x + 3y)2=
partfparty
5x middot (2x + 3y) ‒ 5xy middot 3(2x + 3y)2
=
10x2
(2x + 3y)2=
Para calcularmos as derivadas de f na origem usamos a definiccedilatildeo de derivada parcial
(00) = limh rarr 0
partfpartx
f (0 + h 0 ) ‒ f (00)h
= limh rarr 0
5h middot 0 2h
h
‒ 0( (( (
(00) = limh rarr 0
partfparty
f (00 + h) ‒ f (00)h( (
= limh rarr 0
5 middot 0 middot h 3h
h
‒ 0( (= 0
= 0
Assim obtemos as derivadas parciais da funccedilatildeo f com relaccedilatildeo a x e com relaccedilatildeo a y em todos os pontos (xy) do domiacutenio
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
51
32 INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
A interpretaccedilatildeo das derivadas parciais eacute anaacuteloga agrave interpretaccedilatildeo da derivada simples Sabemos que para a funccedilatildeo y = f (x) a derivada f prime (x0) pode ser interpretada ou como a taxa de variaccedilatildeo de y em relaccedilatildeo a x no ponto x0 ou como a inclinaccedilatildeo da reta tangente ao graacutefico de f no ponto x0
Para interpretar as derivadas parciais consideramos a funccedilatildeo z = f (xy) e
as suas derivadas parciais no ponto (x0 y0) Vamos interpretar partfpartx
(x0 y0) suponha
que C1 eacute a interseccedilatildeo da superfiacutecie z = f (xy) com o plano y = y0 (o que equivale a
considerar y como constante) Geometricamente partfpartx
(x0 y0) pode ser interpretada
como a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva C1 no ponto (x0 y0) que se denota por partfpartx
(x0 y0) = tg α
Da mesma forma supondo C2 a interseccedilatildeo da superfiacutecie z = f (xy) com
o plano x = x0 (o que equivale a considerar x como constante) interpretamos partfparty
(x0 y0)geometricamente como a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva C2 no ponto
(x0 y0) que se denota por partfparty
(x0 y0) = tg b Veja na Figura 28 a situaccedilatildeo descrita
anteriormente
A derivada parcial partfpartx
(x0 y0) tambeacutem pode ser interpretada como a taxa de variaccedilatildeo de z em relaccedilatildeo a x ao longo da curva C1 E a derivada parcial partf
party (x0 y0)
tambeacutem pode ser interpretada como a taxa de variaccedilatildeo de z em relaccedilatildeo a y ao longo da curva C2 Assim estes valores representam a velocidade com que z cresce (ou decresce) quando apenas uma variaacutevel estaacute sendo alterada
FIGURA 28 ndash INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
y
x
z
x₀
c₂ c₁
y₀
b
α
52
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 10A funccedilatildeo T (xy) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto
de uma chapa Encontre a razatildeo de variaccedilatildeo da temperatura em relaccedilatildeo agrave distacircncia percorrida ao longo da chapa na direccedilatildeo dos eixos positivos x e y no ponto (1 2) Considere a temperatura medida em graus Celsius e a distacircncia em cm
Resoluccedilatildeo
partTpartx = 0 ‒ 2 sdot 2x = ‒ 4x
partTpartx (1 2) = ‒ 4 sdot 1 = ‒ 4degC cm
Assim podemos interpretar o valor ‒ 4degC cm obtido na derivada em x da seguinte forma a temperatura estaacute diminuindo 4degC agrave medida que x aumenta uma unidade
partTparty = 0 ‒ 2 middot 3y = ‒ 6y
partTparty (1 2) = ‒ 6 middot 2 = ‒ 12degC cm
Assim o valor ‒ 12degC cm significa que a temperatura diminui 12degC agrave medida que y aumenta uma unidade
Exemplo 11Suponha que D = radicx 2 + y 2 eacute o comprimento da diagonal de um retacircngulo
cujos lados tecircm comprimentos x e y que satildeo permitidos variar Determine uma foacutermula para a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x se x varia com y considerado constante e utilize esta foacutermula para determinar a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x no ponto x = 3 e y = 4
ResoluccedilatildeoA foacutermula para a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x eacute
D = radicx 2 + y 2 D = (x 2 + y 2)frac12
partDpartx
= 12
(x 2 + y 2)-frac12 (2x)
partDpartx
= radic
xx 2 + y 2
A taxa de variaccedilatildeo instantacircnea de D em relaccedilatildeo a x no ponto (3 4) eacute
partDpartx
(3 4) = radic
332 + 42
= 35
Assim D aumenta a uma taxa de 35
de unidade para cada unidade de aumento de x no ponto (3 4)
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
53
4 GENERALIZACcedilAtildeO
Na seccedilatildeo anterior estudamos as derivadas parciais de funccedilotildees de duas variaacuteveis Agora vamos generalizar este conceito para as derivadas parciais de funccedilotildees de n variaacuteveis reais
Definiccedilatildeo 441 Seja f A sube Rn rarr R uma funccedilatildeo de n variaacuteveis e seja x = (x1 x2 xn) isin A Definimos a derivada parcial de f no ponto x em relaccedilatildeo a xi por
partpart
+ minusrarr
fxi h
i n (x) = f (x x h x f (x
lim )
01 1 xx
hn ) quando esse limite existir
Definiccedilatildeo 442 Seja f A sub Rn rarr R uma funccedilatildeo de n variaacuteveis e seja B sube A o
conjunto formado por todos os pontos x tais que partfpartxi
(x) existe Definimos a funccedilatildeo
derivada parcial de 1ordf ordem de f em relaccedilatildeo a xi como a funccedilatildeo que a cada x isin B associa
o nuacutemero partfpartxi
(x) dado por partfpartxi
(x) = limf (x1 xi + h xn) ‒ f (x1 xi xn)
h( (h rarr 0
Exemplo 12Calcule as derivadas de primeira ordem da funccedilatildeo f (x y z) = 1 + xy 2 ‒ 2z3
ResoluccedilatildeoAo derivar f em relaccedilatildeo a x lembre-se de considerar y e z como constantes
partfpartx
= y 2
Derivando f em relaccedilatildeo a y (agora considere x e z como constantes)
partfparty
= 2xy
E derivando f em relaccedilatildeo a z (considere x e y como constantes)
partfpartz
= ‒ 6z2
Exemplo 13Calcule as derivadas de primeira ordem da funccedilatildeo f (x y z) = yz In (xy)
ResoluccedilatildeoObserve primeiramente que a funccedilatildeo eacute dada por um uacutenico termo e teremos
que usar as regras do produto e do logaritmo natural
54
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Derivando f em relaccedilatildeo a x (considere y e z como constantes) Como a variaacutevel x aparece apenas no logaritmando usaremos a regra do logaritmo natural
partfpartx
= yz ∙ yxy
= yzx
Derivando f em relaccedilatildeo a y (considere x e z como constantes)
Como a variaacutevel y aparece no fator que multiplica o logaritmo e tambeacutem no logaritmando entatildeo aplicaremos a regra do produto junto agrave regra do logaritmo natural
partfparty
= z In (xy) + yz middot xxy
= z In (xy) + z
E derivando f em relaccedilatildeo a z (considere x e y como constantes) a variaacutevel z aparece apenas no fator que multiplica o logaritmo entatildeo aplicaremos a regra da derivada simples em z
partfpartz
= y In (xy)
5 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
As derivadas parciais partfpartx
e partfparty
satildeo funccedilotildees de x e y e assim elas mesmas
podem ter derivadas parciais Com isso teremos outras quatro derivadas parciais estas de segunda ordem de f as quais satildeo definidas por
Exemplo 14Sendo f (xy) = y2 ex + 5y calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
55
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= y2 ex partf
party= 2y ex + 5
Para fazermos as derivadas parciais de segunda ordem vamos derivar parcialmente cada uma das derivadas de primeira ordem em relaccedilatildeo a x e a y Fique atento(a) agrave notaccedilatildeo
Exemplo 15Sendo f (xy) = x2 cos y + y2 sen x encontre as derivadas parciais de segunda
ordem de f
Resoluccedilatildeo
56
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 16Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de f (xy) = x + 3y
ResoluccedilatildeoPrimeiro devemos escrever a funccedilatildeo na forma de potecircnciaf (xy) = (x + 3y)frac12
Observe que devemos aplicar a regra da potecircncia para a derivaccedilatildeo (u α)prime = α uαminus1 uprime
radic
Exemplo 17Dada a funccedilatildeo f (xy) = x3y + 4x2y3 calcule
a) part2fpartypartx
b) part2fpartx2
c) part3fpartxpartypartx
d) part3fpartypartx2
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
57
Resoluccedilatildeo
partpart part
=partpart
partpart
partpart part
=partpart
+( )partpart part
= +
2
22 3
22
3 8
3 24
fy x y
fx
fy x y
x y xy
fy x
x xyy2
partpart
= +
part
part= +
fx
x y xy
fx
xy y
3 8
6 8
2 3
2
23
partpart
= +
partpart part
= +
partpart part part
= +
fx
x y xy
fy x
x xy
fx y x
x y
3 8
3 24
6 24
2 3
22 2
32
partpart
= +
part
part= +
part
part part= +
fx
x y xy
fx
xy y
fy x
x y
3 8
6 8
6 24
2 3
2
23
3
22
Talvez vocecirc tenha percebido nos exemplos que as derivadas mistas de segunda ordem part2f
partxparty e part2f
partypartx satildeo iguais Seraacute que isto ocorre sempre
Respondendo agrave pergunta A igualdade entre as derivadas parciais mistas
ocorre quando a funccedilatildeo f (xy) e suas derivadas parciais part2fpartx2
part2fpartxparty
part2fpartypartx
e part2fparty2
forem todas contiacutenuas fato este que nem sempre ocorre
Caro(a) acadecircmico(a) mostre que partpart part
( ) = partpart part
( ) =2 2
0 0 0 0 0 1f
x yf
y x e considerando a
funccedilatildeo f x yxyx y
x y
x y
( ) = +
( ) ne ( )
( ) =
3
2 20 0
0 0 0
se
se (( )
UNI
UNI
a) b)
c) d)
58
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Este fato se repete para funccedilatildeo de trecircs variaacuteveis isto eacute teremos a igualdade
das seis derivadas parciais mistas part2fpartxparty
part2fpartypartx
= part2fpartxpartz
part2fpartzpartx
= e part2fpartypartz
part2fpartzparty
= se f
(x y z) e todas as suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contiacutenuas
Verifique se de fato as derivadas mistas satildeo iguais para a funccedilatildeo f (x y z) = x y2z3 + 3 yz
Teorema 451 (Teorema de Schwarz) Suponhamos que f seja uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis x e y definida em bola aberta B com derivadas parciais de segunda
ordem contiacutenuas em B Entatildeo part2fpartxparty
part2fpartypartx
(a b) = (a b) para todo (a b) isin B
Como consequecircncia do teorema se a funccedilatildeo z = f (xy) tem todas as derivadas parciais contiacutenuas em uma bola aberta entatildeo a ordem da derivada natildeo importa Por exemplo
A seguir apresentaremos a biografia de dois grandes matemaacuteticos Johann Bernoulli e Leonhard Euler que entre outros tambeacutem contribuiacuteram bastante para o desenvolvimento do caacutelculo diferencial e integral
UNI
UNI
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
59
LEITURA COMPLEMENTAR
JOHANN BERNOULLI (1667-1748)
Johann Bernoulli irmatildeo de Jacques Bernoulli nasceu no dia 27 de julho na Basileia Seus pais Nicolaus e Margaretha Bernoulli queriam que ele fosse comerciante ou meacutedico Johann pode ter sido influenciado quando crianccedila pelo seu irmatildeo Jacques que jaacute estava na carreira matemaacutetica
Em 1682 com 15 anos de idade trabalhou no comeacutercio durante um ano poreacutem natildeo gostou da atividade Em 1683 ingressou na Universidade da Basileia para estudar Medicina apesar de ter sempre gostado de Matemaacutetica Quatro anos depois seu irmatildeo foi nomeado professor de Matemaacutetica na Universidade e de 1687 a 1690 Johann e Jacques Bernoulli estudaram juntos as teorias de Leibniz sobre o Caacutelculo Na eacutepoca essas teorias natildeo tinham sido compreendidas por nenhum outro matemaacutetico e os irmatildeos Bernoulli foram os primeiros a estudaacute-las Os dois irmatildeos e Leibniz iniciaram uma seacuterie de artigos publicados na Acta Eruditorum dando origem agrave difusatildeo do Caacutelculo Leibniziano tornando-o amplamente conhecido
Em 1691 Johann foi agrave Franccedila onde conheceu o marquecircs de LrsquoHospital O marquecircs interessou-se pelo novo Caacutelculo e ofereceu um bom salaacuterio para que Johann lhe ensinasse O acordo permitia ao marquecircs usar todo o conteuacutedo ensinado como o desejasse A consequecircncia disso foi a importante contribuiccedilatildeo de Johann Bernoulli conhecida como Regra de LrsquoHospital publicada pelo marquecircs em seu primeiro livro sobre Caacutelculo em 1696 No prefaacutecio do livro LrsquoHospital fez menccedilatildeo a Johann Bernoulli mas natildeo lhe atribuiu o famoso teorema Soacute depois da morte do marquecircs Johann contestou a autoria poreacutem havia perdido a credibilidade no assunto devido agraves desavenccedilas puacuteblicas principalmente com seu irmatildeo Jacques Bernoulli Esse reconhecimento soacute aconteceu em 1922 quando encontraram uma coacutepia do curso na Basileia
60
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
A determinaccedilatildeo da equaccedilatildeo da catenaacuteria foi o primeiro problema importante resolvido por Johann Bernoulli em 1691 Esse problema existia haacute mais de 50 anos e Galileo em 1636 sugerira uma soluccedilatildeo Em 1646 Huygens provou que a soluccedilatildeo de Galileo era falsa mas tambeacutem natildeo conseguiu resolver o problema A catenaacuteria eacute a forma assumida por uma corda ou corrente suspensa livremente por dois pontos O problema era determinar sua equaccedilatildeo Utilizando o Caacutelculo Leibniziano Johann Bernoulli resolveu o problema e esse foi o primeiro sucesso puacuteblico do novo Caacutelculo
Em 1694 ele estudou as curvas exponenciais y = ax e y = xx Para Bernoulli a integraccedilatildeo era a operaccedilatildeo inversa da diferenciaccedilatildeo Tal concepccedilatildeo permaneceu ateacute a eacutepoca de Cauchy
Johann teve trecircs filhos Nicolaus (1695-1726) Daniel (1700-1782) e Johann (1710-1790) Todos eles foram matemaacuteticos e Daniel produziu um trabalho sobre Hidrodinacircmica conhecido como Princiacutepio de Bernoulli
Johann nunca chegou a publicar seu livro sobre o Caacutelculo poreacutem escreveu sobre a isoacutecrona soacutelidos de resistecircncia miacutenima trajetoacuterias problemas isoperimeacutetricos conseguindo tal reconhecimento pelo seu trabalho que apoacutes a morte de seu irmatildeo em 1705 foi chamado para ocupar a cadeira dele na Universidade de Basileia
Johann Bernoulli morreu no dia 1ordm de janeiro de 1748 na Basileia
FONTE E-CAacuteLCULO Mapa da histoacuteria Leibniz Disponiacutevel em lthttpecalculoifuspbrhistoriabernoulli1htmgt Acesso em 10 jun 2008
EULER LEONHARD (1707-1783)
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
61
Nascido na Basileia Suiacuteccedila Leonhard Euler foi a figura matemaacutetica dominante do seu seacuteculo e o matemaacutetico mais proliacutefico de que se tem notiacutecia Era tambeacutem astrocircnomo fiacutesico engenheiro e quiacutemico Foi o primeiro cientista a dar importacircncia ao conceito de funccedilatildeo estabelecendo desse modo uma base soacutelida para o desenvolvimento do caacutelculo e de outras aacutereas da matemaacutetica A coleccedilatildeo completa dos livros e trabalhos de Euler (mais de 870 artigos e livros) chega a mais de 80 volumes Ele contribuiu enormemente no campo da geometria analiacutetica da trigonometria do caacutelculo e da teoria dos nuacutemeros
Ainda jovem Euler demonstrou um futuro promissor como matemaacutetico apesar de seu pai preferir que estudasse teologia Felizmente Johann Bernoulli convenceu o pai a permitir que Euler se concentrasse no estudo da matemaacutetica Graduou-se pela Universidade da Basileia defendendo uma tese em que comparava o trabalho de Descartes ao de Newton Euler conseguiu uma posiccedilatildeo em Satildeo Petersburgo e durante alguns anos foi meacutedico na Marinha russa Em 1733 tornou-se professor de Matemaacutetica na Academia de Ciecircncias de Satildeo Petersburgo Em 1736 publicou a obra Mechanica em dois volumes na qual aplicou sistematicamente o caacutelculo agrave matemaacutetica de uma massa e incorporou muitas equaccedilotildees diferenciais novas agrave mecacircnica Em 1738 ele perdeu a vista direita Em 1741 conseguiu uma posiccedilatildeo como diretor matemaacutetico da Academia de Ciecircncias de Berlim Laacute desenvolveu alguns trabalhos como a traduccedilatildeo e a melhoria de Principles of Gunnery de Robin a publicaccedilatildeo de Scienia navalis em 1749 e Letters to a german princess de 1768 a 1772 e o ensino de Lagrange por correspondecircncia Em 1766 Euler retornou agrave Ruacutessia a convite de Catarina a Grande Em 1771 perdeu a visatildeo no olho esquerdo ficando completamente cego Seu trabalho foi do caacutelculo e da anaacutelise agrave medida que publicou sua trilogia Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis e Institutiones calculi integralis Esses trabalhos que perfaziam um total de seis volumes fizeram da funccedilatildeo uma parte central do caacutelculo e tratavam de aacutelgebra trigonometria geometria analiacutetica e teoria dos nuacutemeros Por meio desses tratados Euler influenciou grandemente o ensino da matemaacutetica Diz-se que todos os livros didaacuteticos de caacutelculo desde 1748 satildeo essencialmente coacutepias de Euler ou coacutepias de coacutepias dele Algumas de suas contribuiccedilotildees para as equaccedilotildees diferenciais satildeo as seguintes a reduccedilatildeo da ordem o fator integrante coeficientes indeterminados a teoria das equaccedilotildees lineares de segunda ordem e soluccedilotildees das seacuteries de potecircncias Ele tambeacutem incorporou o caacutelculo vetor e as equaccedilotildees diferenciais em seus trabalhos
Euler deu agrave geometria analiacutetica moderna e agrave trigonometria o que o livro Elements de Euclides deu agrave geometria e a tendecircncia resultante de apresentar a matemaacutetica e a fiacutesica em termos matemaacuteticos prosseguiu desde entatildeo Euler enriqueceu a matemaacutetica com muitos conceitos teacutecnicos e notaccedilotildees ainda em uso nos dias de hoje Ele deu ordem ao caos da notaccedilatildeo matemaacutetica Estabeleceu a maior parte da notaccedilatildeo que utilizamos hoje (seno co-seno e pi i sigma f para funccedilatildeo) A contribuiccedilatildeo de Euler para a teoria dos nuacutemeros e para a fiacutesica foi igualmente impressionante Em sua obra Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (Theory of the motions of rigid bodies) de 1765 ele fundou as bases da mecacircnica contiacutenua e da teoria lunar Sua influecircncia no campo da fiacutesica matemaacutetica
62
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
foi tatildeo difusa que a maior parte das descobertas natildeo eacute creditada a ele No entanto temos as equaccedilotildees de Euler para a rotaccedilatildeo de um corpo riacutegido fluxo de um fluido ideal incompressiacutevel flexatildeo de vigas elaacutesticas e carregamentos para empenamento de colunas Ele calculava sem esforccedilo aparente como os homens respiram ou como as aacuteguias se sustentam no vento Euler foi o Shakespeare da matemaacutetica universal ricamente detalhista e incansaacutevel
Teoremas principais adiccedilatildeo de seacuteries teorema das pontes de Koumlnigsberg
Principais obras Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis Institutiones calculi integrali Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum Mechanica Letters to a German princess
FONTE GUIA para a histoacuteria do Caacutelculo Euler Leonhard Disponiacutevel em lthttpcwxprenhallcombookbindpubbooksthomas_brchapter1medialibcustom3bioseulerhtmgt Acesso em 17 jul 2011
63
RESUMO DO TOacutePICO 4
Caro(a) acadecircmico(a) Neste toacutepico foram estudadas as derivadas parciais
bull Vocecirc deve ter percebido que o seu caacutelculo eacute similar ao caacutelculo de derivadas simples a diferenccedila estaacute no fato de ter agora duas variaacuteveis e ter que derivar a funccedilatildeo em termos de uma delas enquanto a outra eacute considerada como constante
Ou seja partfpartx
estamos derivando f (xy) em relaccedilatildeo a x considerando y como constante
bull A derivada parcial partfpartx
(x0 y0) eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva da superfiacutecie
z = f (xy) no plano vertical y = y0
bull Analogamente partfparty
(x0 y0) eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva da superfiacutecie
z = f (xy) no plano vertical x = x0
64
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre derivadas parciais
1 A funccedilatildeo T (xy) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto de
uma chapa Foram calculadas as derivadas parciais no ponto (2 3) e chegou-
se aos resultados partzpartx
(2 3) = ‒ 8 e partzparty
(2 3) = ‒ 18 Decirc os significados para
os dois valores obtidos com as derivadas parciais no ponto (2 3)
2 Nos exerciacutecios a seguir calcule as derivadas parciais partfpartx
e partfparty
das funccedilotildeesa) f (xy) = 2x2 ‒ 3y ‒ 4b) f (xy) = (x2 ‒ 1) (y + 2)c) f (xy) = (xy ‒ 1)2
d) f (xy) = 1x + y
e) f (xy) = ex + y + 1
f) f (xy) = In (2x + y)
3 Calcule as derivadas parciais de segunda ordem part2fpartx2
part2fpartxparty
part2fpartypartx
e part2fparty 2
das funccedilotildees a seguir
a) f (xy) = e3x sen yb) f (xy) = xey + y + 1
65
UNIDADE 2
DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Nessa unidade vamos
bull conhecer os principais conceitos que envolvem derivadas de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
bull aplicar a regra da cadeia nas derivadas parciaisbull calcular implicitamente as derivadas de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveisbull entender o conceito de diferenciabilidadebull entender o conceito de vetor gradiente e saber calculaacute-lobull entender o conceito de derivada direcional e saber calculaacute-labull calcular os miacutenimos e maacuteximos locais de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveisbull resolver problemas envolvendo minimizaccedilatildeo e maximizaccedilatildeo de funccedilotildees
de vaacuterias variaacuteveisbull aplicar o conceito de integrais muacuteltiplasbull calcular as integrais muacuteltiplas
Esta unidade estaacute dividida em quatro toacutepicos apresentando os conceitos e a utilizaccedilatildeo das derivadas parciais e tambeacutem a integraccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Dando continuidade ao estudo da unidade anterior seguimos com a regra da cadeia e a derivaccedilatildeo impliacutecita de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis resolven-do diversos exemplos para auxiliaacute-lo(a) na compreensatildeo e resoluccedilatildeo dos exer-ciacutecios propostos no final de cada toacutepico como vocecirc jaacute estaacute habituado em nossos cadernos de estudos Nos toacutepicos seguintes continuamos explorando outros conceitos e aplicaccedilotildees relacionados com as derivadas parciais tais como dife-renciabilidade de uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis diferencial vetor gradiente derivadas direcionais extremos locais e problemas envolvendo a otimizaccedilatildeo (minimizaccedilatildeo e maximizaccedilatildeo) de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Encerramos esta unidade com o estudo das integrais muacuteltiplas que eacute a integraccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Esperamos que este material possa auxiliaacute-lo em seus estudos
TOacutePICO 1 ndash REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
TOacutePICO 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE
TOacutePICO 3 ndash MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
TOacutePICO 4 ndash INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
66
67
TOacutePICO 1
REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
A regra para funccedilotildees compostas eacute tradicionalmente chamada de regra da cadeia Nesta seccedilatildeo vamos apresentar a regra da cadeia para funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
2 REGRA DA CADEIA
Inicialmente consideramos dois casos especiacuteficos de funccedilotildees de duas variaacuteveis e em seguida apresentamos a regra da cadeia generalizada
Teorema 121 (Regra da Cadeia ndash derivada total) Suponha que z = f (xy) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x e y onde x = x (t) e y = y (t) satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis de t Entatildeo a funccedilatildeo z = f (x(t) y (t)) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de t e
dzdt
zxdxdt
zydydt
=partpart
sdot +partpart
sdot
FIGURA 29 ndash DIAGRAMA DA AacuteRVORE PARA A REGRA DA CADEIA
FONTE O autor
partpartzx
partpartzy
dxdt
dydt
z
x y
t t
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
68
Exemplo 1Sejam z = f (xy) = 4x 3 y 2 x = t 4 e y = 3t 2
ResoluccedilatildeoComeccedilamos calculando as derivadas parciais partzpartx
= 12x2y2
partzparty
= 8x 3y
e em seguida calculamos as outras derivadas
partxpartt
= 4t 3
dydt
= 6t
Aplicamos a regra da cadeia substituindo as derivadas calculadas anteriormente
Substituindo x = t 4 e y = 3t 2 na expressatildeo acima temos
dzdt
= 12(t 4)2 (3t 2)2 ∙ 4t 3 + 8(t 4)3
∙ 3t 2 ∙ 6t
= 144t 15 + 144t 15
= 288t 15
Exemplo 2Sejam z = f (xy) = In (3x 2 + y) x = t + 1 e y = 5t
a) Calcule partzpartt
usando a regra da cadeiab) Determine a funccedilatildeo composta z = f (t + 15 t) e calcule dz
dt
Resoluccedilatildeo
a) Aplicaremos a regra da cadeia
Sabendo que y = In u rArr y prime = u primeu
calcularemos separadamente
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
69
Agora aplicamos
Substituindo x = t + 1 e y = 5t na expressatildeo anterior temos
ou seja
dzdt
6t + 113(t + 1)2 + 5t
=
dzdt
6(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t
=
b) A funccedilatildeo composta eacutez = f (t + 15 t)z = In (3(t + 1)2 + 5 t)
A derivada de z em relaccedilatildeo a t (calculada a partir desta expressatildeo) eacute
dzdt
32(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t
=
dzdt
6t + 113(t + 1)2 + 5t
=
Compare os resultados obtidos nos itens (a) e (b) do Exemplo 2 A facilidade do uso da regra da cadeia estaacute em derivar funccedilotildees ldquomenoresrdquo e posteriormente na substituiccedilatildeo ter menos trabalho algeacutebrico
UNI
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
70
Exemplo 3Sejam z = x2 + 2xy + y2 x = cos t e y = sen t Determine dz
dt
ResoluccedilatildeoUsando a regra da cadeia
dz = partz dx + partz dydt partx dt party dt
= (2x + 2y) (‒ sen t) + (2x + 2y) (cos t) = (2x + 2y) (cos t ‒ sen t) = 2(cos t + sen t) (cos t ‒ sen t)ou seja
dz = 2(cos2 t ‒ sen2 t)dt
Vimos no Teorema 121 como aplicar a regra da cadeia no caso da derivada total quando a funccedilatildeo tem duas variaacuteveis independentes Vamos generalizar esta derivada total para funccedilotildees com mais de duas variaacuteveis
Se a funccedilatildeo tiver mais de duas variaacuteveis representaremos por f (x1 x2 x3 xn) onde x1(t ) x2(t ) x3(t ) xn (t ) satildeo funccedilotildees de t Sua derivada em relaccedilatildeo a t eacute dada pela regra da cadeia
Como a derivada acima possui muitas parcelas eacute possiacutevel reescrever a regra usando o somatoacuterio
Exemplo 4Dada a funccedilatildeo f (xyz) = 3x ‒ 2y 3 + z2 onde x = sen t y = e2t e z = 4t 2 ‒ 3
encontre a derivada de f com relaccedilatildeo a t
ResoluccedilatildeoUsando a regra da cadeia
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
71
dfdt
fxdxdt
fydydt
fzdzdt
xx y z d
dt
=partpart
sdot +partpart
sdot +partpartsdot
=partpart
minus +( ) sdot se3 2 3 2 nn
ty
x y z ddte
zx y z d
dttt( ) + part
partminus +( ) sdot ( ) + part
partminus +( ) sdot minus( )3 2 3 2 4 33 2 2 3 2 2
s
= ( ) + minus( )( ) + sdot
= minus +
=
3 6 2 2 8
3 12 16
3
2 2
2 2
co t y e z t
t y e zt
t
tcos
coos
cos
t e e t t
t t t
t t
t
minus ( ) + minus( )= minus + minus
12 16 4 3
3 12 64 48
2 2 2 2
6 3
ou seja
ddfdt
t e t tt t= minus + minus+3 12 64 484 2 32cos
Exemplo 5A que taxa estaacute crescendo a aacuterea de um retacircngulo se seu comprimento eacute de
8 cm e estaacute crescendo a uma taxa de 05 cms enquanto que sua largura eacute de 6 cm e estaacute crescendo 02 cms
Resoluccedilatildeo
A aacuterea de um retacircngulo pode ser escrita como A (xy) = xy consideremos
x o comprimento e y a largura Atraveacutes do enunciado percebe-se que devemos
calcular dAdt
jaacute que as outras taxas dadas satildeo dx = 05dt
e dy = 02dt
O caacutelculo da
derivada deve ser feito para o ponto de coordenadas (8 6)
Como a aacuterea estaacute em funccedilatildeo de duas variaacuteveis x e y e estas por sua vez estatildeo relacionadas ao tempo atraveacutes da regra da cadeia temos
Calculamos as derivadas parciais para A (xy) = xy obtendo
partA = ypartx e
partA = xparty
Substituindo na regra da cadeia
dA = y middot 05 + x middot 02dt = 6 sdot 05 + 8 sdot 02 = 46
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
72
Dizer que dA = 46dt
cm2s significa que a aacuterea de um retacircngulo de dimensotildees
8x6 estaacute crescendo 46 cm2 a cada segundo
Exemplo 6Uma peccedila ciliacutendrica tem 12 cm de raio e 18 cm de altura Se o raio diminuir
agrave razatildeo de 002 cms e a altura aumentar agrave razatildeo de 003 cms entatildeo determine a taxa de variaccedilatildeo do volume em relaccedilatildeo ao tempo
ResoluccedilatildeoSejam r e h o raio e a altura de uma peccedila ciliacutendrica respectivamente e seja t
o tempo em segundos Podemos interpretar as taxas dadas como derivadas
drdt
dhdt
= minus =0 02 0 03 e + no instante em que r = 12 e h = 18
Queremos calcular dVdt
nesse instante Para isso usamos a foacutermula V (r h) = pr 2h do volume do cilindro para obter
dV =
partV dr +
partV dh dt partr dt parth dt
= 2prh dr + pr 2 dh dt dt
Substituindo os dados na regra da cadeia temos
dV = 2p12 18 (‒002) + p122 003dt = ‒864p + 432p = ‒432p
Portanto dV = ‒432pdt
cm3s significa que o volume de um cilindro de 12 cm de raio e 18 cm de altura estaacute diminuindo 432p cm3 a cada segundo
Teorema 122 (Regra da cadeia para derivadas parciais) Suponha que z = f (uv) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de u e v onde u = u (xy) e v = v (xy) satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis de x e de y Entatildeo z = f (u(xy)v(xy)) eacute uma funccedilatildeo de x e y e
Vamos construir um esquema denominado de diagrama da aacutervore para melhor compreensatildeo e execuccedilatildeo da regra da cadeia Proceda da seguinte forma
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
73
I) Trace um diagrama em aacutervore exprimindo as relaccedilotildees entre as variaacuteveis envolvidas
II) Para cada ramificaccedilatildeo da aacutervore determine a derivada parcial com relaccedilatildeo a estas variaacuteveis
III) Multiplique as derivadas determinadas em cada passo ao longo do caminhoIV) Some as contribuiccedilotildees de cada caminho
FIGURA 30 ndash DIAGRAMA DA AacuteRVORE PARA A REGRA DA CADEIA PARA DERIVADAS PARCIAIS
FONTE O autor
Exemplo 7Se z = f (uv) = eu cos v onde u = xy e v = x + y 2 determine
partz partx
e partz party
usando a regra da cadeia
Resoluccedilatildeo
partpart
=partpart
sdotpartpart
+partpart
sdotpartpart
zx
fu
ux
fv
vx
=partpart ( ) sdot partpart ( ) + part
part ( ) sdot partpart +( )
= sdot minus
ue v
xxy
ve v
xx y
e v y se
u u
u
cos cos
cos
2
nnv e
e y x y x y
u
xy
sdot
= +( ) minus +( )
cos
1
2 2sen
e
partpart
=partpart
sdotpartpart
+partpart
sdotpartpart
zy
fu
uy
fv
vy
Z
U V
yx yx
partpartzu
partpartzv
partpartux
partpartuy
partpartvx
partpartvy
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
74
Teorema 123 (Regra da cadeia generalizada) Suponha que w = f (u1 u2 un) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de n variaacuteveis u1 u2 un onde cada uj eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de m variaacuteveis x1 x2 xm Entatildeo w eacute uma funccedilatildeo de x1 x2 xm e
para cada i = 1 2 m
Exemplo 8Suponha que todas as funccedilotildees sejam diferenciaacuteveis w = f (x y z) x = x (r θ
γ) y = y (r θ γ) e z = z (r θ γ) Determine partw partr
partw partθ
e partw partγ
ResoluccedilatildeoAplicando o Teorema 123 temos
Exemplo 9Utilize a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais partz
parts e partz
partt para
as funccedilotildees z = x2 + xy + y2 x = s + t e y = st
ResoluccedilatildeoAplicando o Teorema 122 temos
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
75
3 DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
Vimos no estudo das funccedilotildees de uma variaacutevel (no Caderno de Estudos da disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral) que uma equaccedilatildeo do tipo F (xy) = 0 define y implicitamente como uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x ou seja y = f (x) Nesta seccedilatildeo vamos estudar a derivaccedilatildeo parcial de funccedilotildees dadas de forma impliacutecita Consideraremos duas situaccedilotildees especiacuteficas
Suponhamos que a funccedilatildeo y = f (x) seja definida implicitamente pela equaccedilatildeo
F (xy) = 0 Se f e F satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis e partpart
( )( ) neFyx f x 0 entatildeo podemos
encontrar a derivada dydx
derivando ambos os lados da equaccedilatildeo F (xy) = 0 em
relaccedilatildeo a x Usando a regra da cadeia temos
partpart
sdot +partpart
sdot =Fxdxdx
Fydydx
isin
Como partpart
( )( ) neFyx f x 0 e dx
dx= isin1 segue
A situaccedilatildeo colocada anteriormente pode ser escrita sob condiccedilatildeo da funccedilatildeo F estar definida em uma bola aberta conforme estamos tratando as funccedilotildees de duas variaacuteveis A seguir veremos como aplicar a derivada impliacutecita neste contexto
0
partpart
sdot = minuspartpart
sdot
=minuspartpartpartpart
Fydydx
Fxdxdx
dydx
FxFy
isin
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
76
Exemplo 10Supondo que a funccedilatildeo y = f (x) eacute definida implicitamente pela equaccedilatildeo
In (x2 y) + 2x3 = 4y determine sua derivada dydx
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo dada pode ser escrita da seguinte formaF (xy) = In (x2y) + 2x3 ‒ 4y = 0
Calculando as derivadas parciais temos
partF = 2xy + 6x2 = 2 + 6x2
partx x2 y x
e
partF = x2 ‒ 4 = 1 ‒ 4
party x2 y y
Aplicando a foacutermula do Teorema 131 obtemos
Se F eacute definida numa bola aberta contendo (ab) onde F (ab) = 0 partF = (ab) ne 0party
e partF partx
e partF party
satildeo funccedilotildees contiacutenuas nessa bola entatildeo a equaccedilatildeo F (xy) = 0 define y
como uma funccedilatildeo de x perto do ponto (ab) e a derivada dessa funccedilatildeo eacute dada pela
foacutermula obtida anteriormente
Essa relaccedilatildeo nos daacute um caminho mais simples para encontrar derivadas de funccedilotildees definidas implicitamente
Teorema 131 Suponha que F (xy) seja diferenciaacutevel e que a equaccedilatildeo F (xy) = 0 define y como uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x Entatildeo em qualquer ponto onde partF ne 0
party
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
77
Vamos ver como fica o Teorema da Funccedilatildeo Impliacutecita para funccedilotildees de duas variaacuteveis independentes
Suponhamos que a funccedilatildeo z = f (xy) seja dada implicitamente pela equaccedilatildeo F
(xyz) = 0 Se f e F satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis e partF (x y f (xy)) ne 0partz
podemos aplicar a
regra da cadeia para obter as partzpartx
e partzparty
Derivando os dois membros da equaccedilatildeo F
(xyz) = 0 em relaccedilatildeo a x temos
Mas part (x) = 1partx
e part (y) = 0partx
portanto
De modo semelhante obteacutem-se
Como no caso anterior estamos assumindo que a equaccedilatildeo F (xyz) = 0 define z implicitamente como funccedilatildeo de x e y Outra versatildeo do Teorema da Funccedilatildeo Impliacutecita fornece as condiccedilotildees para que a hipoacutetese seja vaacutelida
Teorema 132 Suponha que F (xyz) seja continuamente diferenciaacutevel e que
z = f (xy) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel que satisfaz a equaccedilatildeo F (xyz) = 0 Entatildeo em
qualquer ponto (xyz) onde partF ne 0partz
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
78
Exemplo 11Determine partz
partx e partz
party se x4 + y4 + z4 = 5xyz ‒ 2
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo x4 + y4 + z4 = 5xyz ‒ 2 pode ser escrita da seguinte forma F (xyz) = x4 + y4 + z4 ‒ 5xyz + 2 e esta funccedilatildeo eacute continuamente diferenciaacutevel
Vamos calcular as derivadas parciais de F
Entatildeo pelo Teorema 132 temos
Exemplo 12Suponha que a funccedilatildeo diferenciaacutevel z = f (xy) seja definida pela equaccedilatildeo
xy + zez = 0
Resoluccedilatildeo
79
RESUMO DO TOacutePICO 1
Neste toacutepico vocecirc viu que
bull Se a funccedilatildeo tiver mais de duas variaacuteveis representaremos por f (x1 x2 x3 xn) onde x1(t) x2(t) x3(t) xn(t) satildeo funccedilotildees de t entatildeo a sua derivada em relaccedilatildeo a ldquotrdquo eacute dada pela regra da cadeia
bull Se z = f (xy) eacute uma funccedilatildeo das variaacuteveis x e y que dependem de duas outras variaacuteveis digamos u e v Entatildeo
z = f (x(u v) y (u v)) eacute uma funccedilatildeo composta de u e v Dizemos que u e v satildeo as variaacuteveis independentes
bull Se w = f (u1 u2 un) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de n variaacuteveis u1 u2 un onde cada uj eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de m variaacuteveis x1 x2 xm Entatildeo w eacute uma funccedilatildeo de x1 x2 xm e
para cada i = 1 2 m
bull A derivada impliacutecita eacute usada para encontrar as derivadas parciais partzpartx
e partzparty
quando z estiver definida implicitamente por uma equaccedilatildeo F (x y z) = 0 Entatildeo em
qualquer ponto (x y z) onde partF ne 0partz
80
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre diferenciabilidade de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
1 Considere as funccedilotildees f (xy) = 4y ‒ 3x2 x (t) = t3 ‒ 1 e y (t) = 1 ‒ t3
Calcule a funccedilatildeo composta z = f (x(t) y(t))
Encontre dzdt
usando a funccedilatildeo composta
Encontre dzdt
usando a regra da cadeia
2 Use a regra da cadeia para determinar partzpartx
e partzparty
sabendo que z = u 2 + v 2 u = x 2 ‒ y 2 e v = e2xy
3 Determine a derivada da funccedilatildeo impliacutecita f tal que y = f (x) estaacute definida pela equaccedilatildeo x4 ‒ y + 4xy3 ‒ 78 = 0
4 Se x3 ‒ xy + 4xz ‒ 5 = 0 calcular partzpartx
e partzparty
usando a regra de derivaccedilatildeo de funccedilatildeo impliacutecita
5 Mostre que a equaccedilatildeo F (xy) = x2y + sen y = 0 define implicitamente uma funccedilatildeo derivaacutevel y = f (x)
6 O raio da base de um cone circular reto estaacute aumentando a uma taxa de 3 cms e a altura estaacute diminuindo a uma taxa de 2 cms A que taxa estaacute variando o volume do cone no instante em que a altura eacute igual a 20 cm e o raio eacute igual a 14 cm
7 Um carro A estaacute viajando para o norte na rodovia 16 e um carro B estaacute viajando para o oeste na rodovia 83 Os dois carros se aproximam da interseccedilatildeo dessas rodovias Em certo momento o carro A estaacute a 03 km da interseccedilatildeo viajando a 90 kmh ao passo que o carro B estaacute a 04 km da interseccedilatildeo viajando a 80 kmh Qual a taxa de variaccedilatildeo da distacircncia entre os carros nesse instante
8 Determine partzpartx
e partzparty
se xyz3 = cos (x + y + z)
9 Determine partzpartx
e partzparty
se yz = In (x + z)
81
TOacutePICO 2
DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico vamos estender o conceito de diferenciabilidade de funccedilatildeo de uma variaacutevel agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis Esse conceito tem consequecircncias muito importantes no caacutelculo assim como nos problemas de otimizaccedilatildeo que estudaremos no proacuteximo toacutepico Tambeacutem seraacute estudado o vetor gradiente e as derivadas direcionais conceitos que possuem grande aplicabilidade nas engenharias
2 DIFERENCIABILIDADE
Vamos entatildeo introduzir o conceito de diferenciabilidade que entre outras propriedades garante a continuidade da funccedilatildeo Introduziremos este importante assunto por analogia com o conceito de diferenciabilidade de funccedilotildees de uma variaacutevel
Considere uma funccedilatildeo f de uma variaacutevel real Dizer que f eacute diferenciaacutevel
em x = x0 significa que o existe ou seja eacute um nuacutemero real Em
outras palavras f eacute diferenciaacutevel em x0 quando existe um nuacutemero real denotado
por f prime (x0) tal que
Podemos reescrever este limite da seguinte forma
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
82
que eacute equivalente a
Assim f eacute diferenciaacutevel em x0 se existir um nuacutemero real f prime (x0) tal que
Neste caso se uma funccedilatildeo eacute derivaacutevel num ponto ela eacute contiacutenua no ponto
Com isso temos condiccedilotildees de apresentar a definiccedilatildeo de diferenciabilidade de funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 221 Seja f A sub R2 rarr R uma funccedilatildeo definida no conjunto aberto A Dizemos que f eacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0) isin A se as derivadas parciais partf (x0 y0)partx
e partf (x0 y0)party existem e se
Quando f eacute diferenciaacutevel em todos os pontos de seu domiacutenio dizemos que f eacute diferenciaacutevel
Da Definiccedilatildeo 221 podemos destacar alguns pontos
bull Para provar que uma funccedilatildeo eacute diferenciaacutevel em (x0 y0) usando a definiccedilatildeo devemos mostrar que as derivadas parciais existem em (x0 y0) e aleacutem disso que o limite
bull Se uma das derivadas parciais natildeo existe no ponto (x0 y0) f natildeo eacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
83
bull Se o limite
for diferente de zero ou natildeo existir f natildeo seraacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0) mesmo se existirem as derivadas parciais nesse ponto
Exemplo 1Use a Definiccedilatildeo 221 para mostrar que f (xy) = 5x + 2y eacute diferenciaacutevel
ResoluccedilatildeoSeja (x0 y0) isin D (f ) = R 2 Para mostrar que f eacute diferenciaacutevel em (x0 y0) devemos
mostrar que partf (x0 y0)partx e partf (x0 y0)party
existem e que o limite da Definiccedilatildeo 121 eacute zero
A funccedilatildeo f tem derivadas parciais em (x0 y0) e satildeo dadas por partf (x0 y0) = 5partx
e partf (x0 y0) = 2party
Agora
Como (x0 y0) eacute um ponto qualquer em R 2 temos que f eacute diferenciaacutevel
Teorema 221 Se f eacute diferenciaacutevel em A sub R2 entatildeo f eacute contiacutenua em cada ponto de A
Exemplo 2
Verifique se a funccedilatildeo f (x y) = eacute contiacutenua no ponto (33)
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
84
ResoluccedilatildeoPrecisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(Unidade 1)
(i) f (33) = 5 pois x = y
(ii) portanto este limite
natildeo existe
Como concluiacutemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no
ponto (33) Mostramos que f eacute descontiacutenua no ponto (33) portanto pelo Teorema 221 f natildeo eacute diferenciaacutevel em (33)
Nem sempre eacute faacutecil usar a Definiccedilatildeo 221 para verificar a diferenciabilidade de uma funccedilatildeo O teorema a seguir fornece uma condiccedilatildeo suficiente para que uma funccedilatildeo seja diferenciaacutevel
Teorema 222 Se as derivadas parciais partf partx
e partf party
existem em algum conjunto
aberto A contendo (x0 y0) e satildeo contiacutenuas em (x0 y0) entatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em (x0 y0)
Exemplo 3Mostre que a funccedilatildeo f (xy) = cos (xy) eacute diferenciaacutevel em todo R2
ResoluccedilatildeoPara mostrar que f eacute diferenciaacutevel aplicaremos o Teorema 222 Para isso
calcularemos as derivadas parciais
partf partx
= ‒y sen(xy) e partf party
= ‒x sen(xy)
Temos que as derivadas parciais satildeo contiacutenuas em todo ponto (xy) isin R2
Logo pelo Teorema 222 a funccedilatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em todo ponto de R2
Exemplo 4Os polinocircmios (funccedilotildees polinomiais) em vaacuterias variaacuteveis satildeo claramente
diferenciaacuteveis em todo ponto de Rn
Exemplo 5Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = x2 ‒ 3y2 eacute diferenciaacutevel em R2
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
85
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo f tem derivadas parciais em todos os pontos de R2 e satildeo dadas
por partf partx
= 2x e partf party
= ‒6y
As derivadas parciais satildeo contiacutenuas pois satildeo funccedilotildees polinomiais
Portanto f eacute diferenciaacutevel em R2
Exemplo 6Verifique se a funccedilatildeo g (xy) = ex+y eacute diferenciaacutevel em R2
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo g tem derivadas parciais em todos os pontos de R2 Estas satildeo
dadas por partg partx
= ex+y e partg party
= ex+y
Daiacute segue que as funccedilotildees derivadas parciais satildeo contiacutenuas em R2
Portanto g eacute diferenciaacutevel em R2
3 DIFERENCIAL
Suponha que saibamos o valor de uma funccedilatildeo derivaacutevel em um ponto (x0y0) e que desejamos prever a variaccedilatildeo que esse valor sofreraacute se formos para um ponto x0 + dx Como os valores da reta satildeo mais simples de calcular o caacutelculo da variaccedilatildeo da reta nos oferece um modo praacutetico de estimar a variaccedilatildeo em f conforme podemos observar na Figura 31
FIGURA 31 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DA DIFERENCIAL DA FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwslidesharenetrafaelmmoreiraunifei-clculo-1-exerccios-aula-25gt Acesso em 23 jun 2011
y
y₀ + ∆y
y₀
0 x
A
α
x₀
dxα
C
B
∆y
∆x x₀ + ∆x
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
86
Dessa definiccedilatildeo decorre que ∆y representa a variaccedilatildeo da altura da curva y = f (x)
Nesta seccedilatildeo vamos definir a diferencial de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis z = f (xy) e veremos que esta representa uma boa aproximaccedilatildeo para o acreacutescimo da variaacutevel z quando os acreacutescimos das variaacuteveis independentes satildeo pequenos
Se z = f (xy) entatildeo o incremento (aumento ou diminuiccedilatildeo) de z eacute ∆z = f (x + ∆x y + ∆y) ‒ f (xy)
Definiccedilatildeo 231 Seja z = f (xy) uma funccedilatildeo diferenciaacutevel A diferencial de f denotada por df ou dz eacute dada por dz = partz
partx dx + partz
party dy onde dx e dy satildeo as
diferenciais das variaacuteveis independentes x e y respectivamente
A diferencial dz tambeacutem eacute chamada de diferencial total de f (xy) a mesma que estudamos no toacutepico anterior
Se nos movermos de (x0y0) para um ponto (x0 + ∆x y0 + ∆y) proacuteximo a variaccedilatildeo resultante eacute dada por df (x0y0) = partf
partx (x0y0) dx + partf
party (x0y0) dy
Exemplo 7Calcule a diferencial dz da funccedilatildeo z = 4x2y3 ‒ 3y2 + 6
ResoluccedilatildeoPara calcular a diferencial de z temos primeiro que calcular as derivadas
parciais partz partx
= 8xy3 e partz party
= 12x2y2 ‒ 6y
Pela Definiccedilatildeo 231 temos
dz = partz partx
dx + partz party
dy
dz = 8xy3 dx + (12x2y2 ‒ 6y) dy
Exemplo 8Calcule a diferencial de f (xy) = x2 + y2 no ponto (12)
ResoluccedilatildeoA diferencial de f no ponto (12) eacute dada por
dz = partf partx
(12) dx + partf party
(12) dy
Como partf partx
(12) = 2 e partf party
(12) = 4 temos
dz = 2dx + 4dy
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
87
Podemos estimar a variaccedilatildeo com diferenciais Suponha que conheccedilamos os valores de uma funccedilatildeo diferenciaacutevel f (xy) e suas derivadas parciais em um ponto (x0y0) e queiramos predizer quanto o valor de f variaraacute se nos movermos para um ponto (x0 + ∆x y0 + ∆y) proacuteximo Em outras palavras podemos estimar a variaccedilatildeo ∆z de z pelo valor do diferencial dz em que dx eacute a variaccedilatildeo em x e dy eacute a variaccedilatildeo em y
Exemplo 9Considere a funccedilatildeo z = 7x + 3y2
a) Determine a diferencial total dzb) Calcule ∆z e dz se x variar de 2 para 205 e y variar de 1 para 098 Compare os
valores de ∆z e dz
Resoluccedilatildeoa) Da Definiccedilatildeo 231 temos a diferencial total
dz = partf partx dx +
partf party dy
dz = 7dx + 6y dy
b) O ponto (x0y0) = (21) dx = ∆x = 005 e dy = ∆y = ‒ 002O incremento de z eacute ∆z = f (205 098) ‒ f (21)∆z = 7 (205) + 3 (098)2 ‒ (7 2 + 3 12) = 02312e a diferencial total eacute dz = 7(005) + 6 1(‒002) = 023
Portanto observe que ∆z asymp dz
Exemplo 10O raio e a altura de um cilindro satildeo medidos com 3 m e 8 m respectivamente
com possiacuteveis erros de 005 m Use diferenciais para calcular o erro maacuteximo no caacutelculo do volume
ResoluccedilatildeoPrimeiro recordamos a foacutermula do caacutelculo do volume de um cilindroV = p r 2 h
Para estimarmos a variaccedilatildeo de V calculamos
dV (r0h0) = partV partr (r0h0) dr +
partV parth (r0h0) dh
dV = 2p r0 h0 dr + p r02 dh
= 2p 3 8 005 + p 32 005 = 24p + 045p = 285p asymp 895 m3
Portanto o erro de 005 m nas medidas do raio e da altura pode nos levar a um erro de 895 m3
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
88
Exemplo 11Ao redor do ponto (10) f (xy) = x2 (y + 1) eacute mais sensiacutevel a variaccedilotildees em x ou y
ResoluccedilatildeoPrimeiro vamos entender o que o enunciado estaacute nos pedindo Querer
saber sobre a sensibilidade agrave variaccedilatildeo eacute o mesmo que pedir para estimar a variaccedilatildeo da funccedilatildeo no ponto Assim vamos calcular a diferencial de f
dz = partf partx (10) dx +
partf party (10) dy
Para facilitar o caacutelculo das derivadas parciais escrevemos f (xy) = x2y + x2 daiacute seguepartf partx = 2xy + 2x e
partf party = x2
partf partx (10) = 2 e
partf party (10) = 1
Entatildeo temos o caacutelculo da variaccedilatildeo da funccedilatildeo causada por pequenas variaccedilotildees dx e dy
dz = 2dx + 1dy
Portanto uma variaccedilatildeo de x em uma unidade variaraacute f em cerca de 2 unidades e uma variaccedilatildeo de y em uma unidade variaraacute f em cerca de 1 unidade A funccedilatildeo eacute 2 vezes mais sensiacutevel a uma pequena variaccedilatildeo de x que a uma pequena variaccedilatildeo de tamanho igual a de y
Exemplo 12O comprimento e a largura de um retacircngulo satildeo medidos com erros de
no maacuteximo 3 e 5 respectivamente Use diferenciais para aproximar o erro percentual maacuteximo na aacuterea calculada
ResoluccedilatildeoA aacuterea do retacircngulo dado por x de comprimento e y de largura eacute a funccedilatildeo
A(xy) = xy
Temos partpart
=partpart
=Ax
y Ay
x e
Cada erro eacute de no maacuteximo 3 e 5 isto eacute |∆x| le 003x e |∆y| le 005y Para achar o erro maacuteximo na aacuterea tomamos o maior erro nas medidas de x e y Daiacute tomamos dx = 003x e dy = 005y
Calculando a diferencial obtemos
dz zx
dx zy
dy=partpart
+partpart
sdot sdot sdot sdot
sdot
= y x 003 + x y 005 = 008 xy
dz = A 0 0 88
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
89
Estimamos que o erro percentual maacuteximo em A eacute de 8
4 GRADIENTE
Vimos nas seccedilotildees anteriores que as derivadas parciais nos fornecem taxas de variaccedilatildeo de uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis e que estas taxas dependem da escolha da direccedilatildeo e sentido da variaccedilatildeo Como essas variaccedilotildees satildeo indicadas por vetores eacute natural usar vetores para descrever a derivada de f numa direccedilatildeo e sentido especiacuteficos Nesta seccedilatildeo vamos definir o gradiente de uma funccedilatildeo que aparece em diversas aplicaccedilotildees matemaacuteticas
Definiccedilatildeo 241 Seja z = f (xy) uma funccedilatildeo que admite derivadas parciais no ponto (x0y0) O gradiente de f no ponto (x0y0) denotado por ∆f (x0y0) eacute um vetor cujos componentes satildeo as derivadas de f nesse ponto ou seja
∆f (x0y0) = partf partx (x0y0)
partf party (x0y0) =
partf partx (x0y0) i +
partf party (x0y0) j
O gradiente
∆
f associa um vetor
∆
f (x0y
0) a cada ponto (x
0y
0) do domiacutenio de f
Usamos a notaccedilatildeo ab para o par ordenado que se refere a um vetor para natildeo confundir
com o par ordenado (ab) que corresponde a um ponto no plano
Ao representar vetores com a notaccedilatildeo
v = ai + bj lembramos que i e
j
representam os vetores canocircnicos ou seja vetores no R2 onde suas respectivas coordenadas
satildeo dadas por
i = 10 e
j = 01
NOTA
NOTA
Quando trabalhamos com um ponto geneacuterico (xy) escrevemos
∆f (xy) = partf partx
partf party =
partf partx i +
partf party j
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
90
O siacutembolo ∆f eacute lido como ldquogradiente de frdquo
O siacutembolo
∆
denominado ldquodelrdquo eacute um delta grego maiuacutesculo invertido O uso de
∆
para o gradiente foi popularizado pelo fiacutesico escocecircs P G Tait (1831 ndash 1901) que o denominava ldquonablardquo Em hebraico nabla significa harpa e se refere agrave semelhanccedila de um
∆
com uma harpa antiga de dez cordas O grande fiacutesico James Clerk Maxwell relutou em adotar essa notaccedilatildeo e chamava o gradiente de ldquoinclinaccedilatildeordquo Em 1871 escreveu ao seu amigo Tait provocando ldquoAinda harpejando naquela nablardquo (ROGAWKI 2009 p 809)
Em seguida estendemos a definiccedilatildeo de gradiente para funccedilotildees com n variaacuteveis
Definiccedilatildeo 242 Sejam A sub Rn aberto p = (x1 x2 xn) isin A e f A rarr R uma funccedilatildeo tal que as derivadas parciais existem em p O gradiente de f no ponto p eacute o vetor do Rn denotado por ∆f (p) e definido por
∆f (p) = partf
partx1 (p)
partf partx2
(p) partf
partxn (p)
Exemplo 13Determine o gradiente da funccedilatildeo f (xy) = 3x2 ‒ 2xy + 5y
ResoluccedilatildeoPrimeiro precisamos calcular as derivadas parciais de f
partf partx = 6x ‒ 2y e
partf party
= ‒ 2x + 5
Em seguida escrevemos o vetor gradiente de acordo com a Definiccedilatildeo 241 ∆f (xy) = 6x ‒ 2y ‒ 2x + 5
Exemplo 14Calcule o gradiente da funccedilatildeo f (xy) = 3x2y ‒ x⅔ y2 no ponto (13)
ResoluccedilatildeoFaremos o mesmo que no Exemplo 11 acrescentando apenas o caacutelculo do
vetor no ponto (13)partf partx
= 6xy ‒ 2 3
x -⅓ y2 e partf party
= 3x2 ‒ 2x ⅔y
Entatildeo ∆f = 6xy ‒ 2 3
x -⅓ y2 3x2 ‒ 2x ⅔y
Agora no ponto ∆f (13)
∆f (13) = 6 sdot 1 sdot 3 ‒ 2 3
sdot 1 -⅓ sdot 32 3 sdot 12 ‒ 2 sdot 1 ⅔ sdot 3 = 12 ‒3 Portanto o gradiente de f no ponto (13) eacute o vetor ∆f (13) = 12 ‒3
Exemplo 15Determine o gradiente da funccedilatildeo g(xyz) = xyz2 em um ponto (xyz)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
91
FIGURA 32 ndash VETORES GRADIENTES DE f (xy) = 1 6
(x2 + y3)
FONTE Disponiacutevel em lthttpptscribdcomdoc5885209818Gradiente-Curva-de-NC2B4C4B1vel-SuperfC2B4C4B1cie-de-NC2B4C4B1velgt Acesso em 5 set 2011
ResoluccedilatildeoTemos
partg partx = yz2
partg party = xz2 e
partg partz = 2xyz
Entatildeo ∆g (xyz) = yz2 xz2 2xyz
Exemplo 16Encontre o gradiente de f(xy) = 1
6 (x2 + y3) em (0 ‒2) e esboce alguns vetores gradientes
Resoluccedilatildeo
As derivadas parciais satildeo partpart
=partpart
=fx
x fy
y26
36
2
e
∆f (xy) = 1 3 x i +
1 2 y2 j
Para construir o graacutefico formado pelos vetores gradientes procedemos da seguinte forma escolhemos um ponto por exemplo (x0y0) O ponto (x0y0) eacute o iniacutecio do vetor e o vetor gradiente ∆f (x0y0) = ab fornece o representante do vetor que iraacute no ponto (ab) Lembramos que um vetor de componentes ab tem iniacutecio na origem do plano e extremidade no ponto (a b) Quando desejamos graficar um vetor fora da origem usamos um representante do vetor ab Em seguida eacute mostrado como representar graficamente o vetor gradiente no ponto (0 ‒ 2) Temos
∆f (0‒ 2) = 2 j isto eacute o vetor 02 ndash tem origem no ponto (0 0) e extremidade no ponto (0 2) Conforme podemos ver na Figura 32
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
92
Do graacutefico construiacutedo no Exemplo 16 eacute possiacutevel pensar num campo de vetores gradiente de uma funccedilatildeo que podem ser representados geometricamente por um conjunto de vetores que fornece em cada ponto distinto do plano o vetor gradiente da funccedilatildeo
Como vimos o gradiente eacute um vetor Talvez vocecirc esteja agora se perguntando e se calcularmos || ∆f (xy)|| (norma do vetor gradiente) a que isso corresponde Vamos responder resolvendo o Exemplo 17
Exemplo 17Encontre o gradiente de f (xy) = x2 ‒ y2 e esboce alguns vetores gradientes
ResoluccedilatildeoAs derivadas parciais satildeo
partf partx = 2x e
partf party = ‒2y
Entatildeo ∆f = 2x i ‒ 2y j
Vamos calcular alguns vetores gradiente em pontos especiacuteficos e suas normas
(xy) ∆f (xy) || ∆f (xy)||
(00) (00) ₀
(10) (20) ₂
(x0) (2x0) ₂x
(0y) (0‒2y) ₂y
(11) (2‒2) ₂radic 2(xy) (2x‒2y) 2||(xy)||
Interpretando a coluna da direita percebe-se que agrave medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradiente aumenta ficando igual a duas vezes a distacircncia do ponto agrave origem
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
93
FIGURA 33 ndash GRAacuteFICO DOS VETORES GRADIENTES E DAS CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = x2 ndash y2
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwimeuerjbr~calculoLivroIIIcampospdfgt Acesso em 5 set 2011
Teorema 241 Suponha que z = f (xy) seja diferenciaacutevel numa bola aberta centrada em P0 (x0y0) e que ∆f (x0y0) ne 0
i) Entatildeo ∆f (x0y0) eacute normal agrave curva de niacutevel passando por P0 (x0y0)
ii) A taxa maacutexima de crescimento de γ no ponto P0 (x0y0) ocorre na direccedilatildeo e no sentido do gradiente Analogamente a taxa miacutenima de crescimento de γ no ponto P0 (x0y0) ocorre na direccedilatildeo contraacuteria a do gradiente
Lembramos que um vetor eacute normal agrave curva se o vetor eacute perpendicular
O gradiente de γ no ponto P0(x
0y
0) aponta na direccedilatildeo de maior variaccedilatildeo da
funccedilatildeo numa vizinhanccedila do ponto
NOTA
NOTA
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
94
A figura a seguir ilustra o Teorema 241
FIGURA 34 ndash VETOR GRADIENTE NORMAL Agrave CURVA DE NIacuteVEL
FONTE O autor
Exemplo 18O potencial eleacutetrico V em (xyz) eacute dado por V = x2 + 4y 2 + 9z2 Ache a direccedilatildeo
e a taxa maacutexima de variaccedilatildeo de V em (3‒21)
ResoluccedilatildeoDe acordo com o Teorema 251 a direccedilatildeo onde ocorre a taxa maacutexima de
variaccedilatildeo eacute dada pelo vetor gradiente EntatildeopartV partx
= 2x partV party = 8y e partV
partz = 18z
Assim ∆V = 2x 8y 18z
Calculando o gradiente no ponto (3‒21) obtemos∆V (3‒21) = 6 ‒16 18 que nos indica a direccedilatildeo de crescimento do potencial eleacutetrico
E a taxa de variaccedilatildeo do gradiente eacute dada pela sua norma
nabla ( ) = partpart
+
partpart
+
partpart
nabla minus( ) =
V x y zx
Vy
Vz
V
V
2 2 2
3 2 1 66 18 616
3 2 1 24 8
2 2+ minus( ) + =
nabla minus( ) asymp16
2
V
y
x
γ
P₀ (x₀ y₀)
∆f(P₀)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
95
5 DERIVADAS DIRECIONAIS
Caro acadecircmico Jaacute estudamos as derivadas parciais que nos fornecem a variaccedilatildeo da funccedilatildeo em duas direccedilotildees diferentes na direccedilatildeo do eixo x atraveacutes de partf partx
(x0y0) e na direccedilatildeo do eixo y atraveacutes de partf party
(x0y0) Nesta seccedilatildeo veremos como
utilizar a derivada para determinar a inclinaccedilatildeo em qualquer direccedilatildeo para isto definiremos um novo tipo de derivada chamada direcional
Suponha que uma funccedilatildeo f (xy) seja definida em uma regiatildeo R no plano xy que P(x0y0) seja um ponto em R e que u = u1i + u2j
seja um versor Entatildeo as equaccedilotildees
x = x0 + su1 e y = y0 + su2
parametrizam a reta que passa por P paralelamente a u Se o paracircmetro s mede o comprimento de arco de P na direccedilatildeo de u encontramos a taxa de variaccedilatildeo de f em P na direccedilatildeo de u calculando df
ds em P (Figura 7)
Lembramos que versor eacute um vetor unitaacuterio ou seja um vetor cuja norma eacute 1
Definiccedilatildeo 251 A derivada de f em P(x0y0) na direccedilatildeo do versor u = u1i + u2j
eacute o nuacutemero
desde que o limite exista
Portanto o gradiente ∆V (3‒21) = 6 ‒16 18 nos daacute a direccedilatildeo onde a taxa de variaccedilatildeo eacute maacutexima || ∆V (3‒21)|| asymp 248
NOTA
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
96
FIGURA 35 ndash A TAXA DE VARIACcedilAtildeO DE f EM P NA DIRECcedilAtildeO DE u
FONTE O autor
Quando u = i a derivada direcional em P eacute partf partx
calculada em (x0y0) Quando
u = j a derivada direcional em P eacute partf party
calculada em (x0y0) A derivada direcional
generaliza as duas derivadas parciais Entatildeo assim eacute possiacutevel encontrar a taxa de
variaccedilatildeo de f em qualquer direccedilatildeo u
Teorema 251 Se f (xy) for diferenciaacutevel em P (x0y0) entatildeo
eacute o produto escalar do gradiente de f em P e u
A expressatildeo do Teorema 251 por ser escrita como
Em seguida apresentaremos a definiccedilatildeo de derivada direcional para uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis fazendo uma extensatildeo da Definiccedilatildeo 251
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
97
Definiccedilatildeo 252 Sejam A cap Rn aberto P (x1 x2 xn) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo e u um vetor unitaacuterio em Rn A derivada direcional de f no ponto (x1 x2 xn) e na direccedilatildeo do versor u eacute denotada por
Esta definiccedilatildeo generaliza o conceito de derivada parcial isto eacute as derivadas parciais de uma funccedilatildeo podem ser obtidas como casos particulares das derivadas direcionais
Exemplo 19Calcule a derivada direcional da funccedilatildeo f (xy) = x3y + 2y 2 no ponto (1‒2) na
direccedilatildeo do vetor v = 4i + 3j
ResoluccedilatildeoNote que v natildeo eacute um versor (vetor unitaacuterio) e a Definiccedilatildeo 251 pede que o
vetor direccedilatildeo seja unitaacuterio Assim vamos primeiro calcular o vetor unitaacuterio u na direccedilatildeo de v
Agora calculamos o vetor gradiente de f no ponto (1‒2)
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
98
Portanto pelo Teorema 251 temos
partpart
minus( ) = nabla minus( ) sdot
minus minus sdot
f 2 f
u u
=(
1 1 2
6 8 45
3
) 55
6 4 8 35
=minus sdot + minus( ) sdot
= minus485
A derivada direcional partf partu
(1‒2) representa a taxa de variaccedilatildeo de z na
direccedilatildeo de u Isto eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva obtida pela interseccedilatildeo da
superfiacutecie f (xy) = x3y + 2y 2 e o plano vertical que passa por (1‒20) na direccedilatildeo de u
99
RESUMO DO TOacutePICO 2
Neste toacutepico vocecirc viu
bull O conceito de diferenciabilidade atraveacutes do caacutelculo de limite
bull Destacamos o Teorema 221 Se f eacute diferenciaacutevel em A cap R2 entatildeo f eacute contiacutenua em cada ponto de A
bull Outro resultado importante Teorema 222 Se as derivadas parciais partf partx
e partf party
existe em algum conjunto aberto A contendo (x0y0) e satildeo contiacutenuas em (x0y0)
entatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em (x0y0)
bull A aplicaccedilatildeo da diferencial e como se calcula a diferencial de f denotada por df
ou dz eacute dada por dz = partz partx dx +
partz party dy
bull O gradiente de uma funccedilatildeo f eacute o vetor das derivadas parciais
bull Geometricamente o vetor gradiente eacute normal agrave curva de niacutevel de f (xy) por P
bull A derivada direcional Se f (xy) for diferenciaacutevel em P (x0y0) entatildeo
o produto escalar do gradiente de f em P e u
100
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre diferenciabilidade e gradiente
Mostre que as funccedilotildees a seguir satildeo diferenciaacuteveis em R2
1 f (xy) = 3x2y + 4xy 2
2 f (xy) = x2 ‒ 7xy + 2xy 2
3 f (xy) = sen (xy 2)
4 Se z = x2 ‒ xy + 3y2 e (xy) varia de (3 ‒1) a (296 ‒095) compare os valores de dz e ∆z
5 O comprimento e a largura de um retacircngulo foram medidos como 30 cm e 24 cm respectivamente com um erro de medida de no maacuteximo 01 cm Utilize a diferencial para estimar o erro maacuteximo cometido no caacutelculo da aacuterea do retacircngulo
6 O periacuteodo T de um pecircndulo simples com uma pequena oscilaccedilatildeo eacute calculado
da foacutermula T = 2p L
g radic onde L eacute o comprimento do pecircndulo e g eacute a aceleraccedilatildeo
da gravidade Suponha que os valores de L e g tenham erros de no maacuteximo 005 e 001 respectivamente Use diferencias para aproximar o erro percentual maacuteximo no valor calculado de T
7 O raio de um cilindro circular reto eacute medido com um erro de no maacuteximo 2 e altura eacute medida com um erro de no maacuteximo 4 Qual o erro percentual maacuteximo possiacutevel no volume calculado
Nas questotildees de 8 a 10 determine o vetor gradiente das seguintes funccedilotildees nos pontos indicados
8 z = x2y + 3xy + y2 P (03)
9 f (xy) = xy ‒ sen (x + y) P = p
2 0
10 f (xyz) = xy + xz + yz P (‒135)
101
11 Se T (xy) = 10xy
x2 + 4y 2 + 4 eacute a temperatura em graus Celsius sobre uma
lacircmina metaacutelica x e y medidos em cm determine a direccedilatildeo de crescimento maacuteximo de T a partir do ponto (11) e a taxa maacutexima de crescimento de T nesse ponto
102
103
TOacutePICO 3
MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES
DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EXTREMOS LOCAIS
Uma aplicaccedilatildeo importante de caacutelculo diferencial de vaacuterias variaacuteveis eacute a da otimizaccedilatildeo de funccedilotildees Otimizar uma funccedilatildeo significa encontrar seu desempenho maacuteximo ou miacutenimo No Caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral vocecirc jaacute estudou como encontrar os maacuteximos e miacutenimos de funccedilotildees de uma variaacutevel Quando as derivadas primeiras forem nulas temos pontos extremos que podem ser maacuteximos ou miacutenimos
Vamos fazer algo parecido neste toacutepico para as funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Veremos como usar as derivadas parciais para localizar os pontos de maacuteximo e miacutenimo de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Suponha que um fabricante produza dois modelos de um determinado produto o modelo de luxo e o modelo padratildeo e que o custo total para produzir x unidades do modelo de luxo e y unidades do modelo padratildeo seja dado pela funccedilatildeo C (x y) Como determinar o niacutevel de produccedilatildeo x = a e y = b para o qual o custo eacute miacutenimo
Iniciaremos definindo os extremos locais que satildeo chamados de maacuteximos e miacutenimos de uma funccedilatildeo
Definiccedilatildeo 321 Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo
i) P (x0 y0) eacute um ponto de maacuteximo local de f se f (x y) le f (x0 y0) para todo (x y) numa vizinhanccedila de (x0 y0)
ii) P (x0 y0) eacute um ponto de miacutenimo local de f se f (x y) ge f (x0 y0) para todo (x y) numa vizinhanccedila de (x0 y0)
Definiccedilatildeo 322 Dizemos que um ponto P (x0 y0) do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (x y) eacute um ponto criacutetico (ou estacionaacuterio) se
104
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
i) partf partx
(x0 y0) = 0 e partf party
(x0 y0) = 0 ou
ii) pelo menos uma das derivadas parciais partf partx
(x0 y0) partf party
(x0 y0) natildeo existe
O teorema a seguir nos diz que os extremos locais ocorrem em pontos criacuteticos assim como acontece em funccedilatildeo de uma variaacutevel
Teorema 321 Se f (x y) tem um miacutenimo ou maacuteximo local em (x0 y0) entatildeo (x0 y0) eacute um ponto criacutetico de f (x y)
Geometricamente um ponto eacute ponto criacutetico de uma funccedilatildeo quando o graacutefico da funccedilatildeo nesse ponto natildeo tem plano tangente ou o plano tangente eacute horizontal
Vamos ver no exemplo a seguir como encontrar os pontos criacuteticos de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Exemplo 1Encontre os pontos criacuteticos da funccedilatildeo f (x y) = 9x3 +
y3 3 ‒ 4xy
ResoluccedilatildeoQueremos encontrar os pontos criacuteticos da funccedilatildeo f (x y) = 9x3 +
y3 3 ‒ 4xy
Aplicando a Definiccedilatildeo 322 devemos igualar as derivadas parciais a zero
Calculando as derivadas parciais temos partf partx
= 27x2 ‒ 4y e partf party
= y2 ‒ 4x
Igualando as derivadas parciais a zero e resolvendo as equaccedilotildees obtemos
27 4 04 0
2
2
x yy x
minus =
minus =
Isola-se x na segunda equaccedilatildeo x = y2 4 e substitui na primeira equaccedilatildeo
27 4 0
274
4 0
27 64 0
27 64 0
0
2
2 2
4
3
x y
y y
y y
y y
y
minus =
minus =
minus =
minus( ) == ou 277y
e y
3
3
2 1
64 0642743
0
minus =
=
= =
y
y
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
105
Substituiacutemos os valores de y na segunda equaccedilatildeo
x = y2 4 x =
y2 4
x1 = 02 4 x2 =
43
2
4
x1 = 0 x2 = 4 9
Portanto (00) e 4 9
4 3
satildeo os pontos criacuteticos de f (x y)
Lembre-se de que jaacute estudamos gradiente de uma funccedilatildeo
∆f (xy) em que
∆f (xy) = partf partx
partf party Entatildeo na Definiccedilatildeo 322 poderiacuteamos dizer que P (x
0y
0) eacute um ponto
criacutetico se
∆
f (x0y
0) = 0 ou se
∆
f (xy) natildeo existe
Exemplo 2Mostre que f (xy) = x2 + y2 ‒ xy + x tem um ponto criacutetico
ResoluccedilatildeoSegundo a Definiccedilatildeo 322 devemos igualar as derivadas parciais a zero
para encontrar os pontos criacuteticos se existem
As derivadas parciais satildeo partf partx
= 2x ‒ y + 1 e partf party
= ‒ x + 2y Entatildeo igualando
as derivadas parciais a zero e resolvendo o par de equaccedilotildees temos
2x ‒ y + 1 = 0‒ x + 2y = 0
NOTA
106
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
agora resolvemos o sistema pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
y = ‒ 1 3
Assim x = ‒ 2 3 e y = ‒ 1
3 Existe apenas um ponto criacutetico P ‒ 2 3 ‒ 1
3
Para sabermos se este ponto criacutetico eacute um ponto maacuteximo ou miacutenimo da funccedilatildeo podemos aplicar a Definiccedilatildeo 321 o que pode ser complicado em algumas situaccedilotildees Poreacutem podemos usar o recurso graacutefico tanto da superfiacutecie como das curvas de niacutevel (mapa de contornos) atraveacutes de um software computacional como veremos na Figura 37
FIGURA 36 ndash GRAacuteFICO DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = x2 + y2 ndash xy + x
FIGURA 37 ndash MAPA DE CONTORNOS DE f (xy) = x2 + y2 ndash xy + x
FONTE O autor
FONTE O autor
80
60
40
20
04
20ndash 2
ndash 44 2 0 ndash 2 ndash 4
x
y
4 2 0 ndash 2 ndash 4
0
2
4
ndash 2
ndash 4
y
x
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
107
Pelo graacutefico da funccedilatildeo (Figura 36) eacute possiacutevel dizer que o ponto P
‒ 2 3 ‒ 1
3 eacute miacutenimo local e na Figura 37 as curvas de niacutevel satildeo curvas fechadas
que circundam o ponto P indicando assim um extremo local
Acabamos de ver que eacute possiacutevel determinar o tipo de ponto criacutetico a partir do mapa de contorno entatildeo podemos classificar os pontos criacuteticos atraveacutes das seguintes caracteriacutesticas graacuteficas
i) se P (x0 y0) eacute um miacutenimo local entatildeo as curvas de niacutevel proacuteximas de P satildeo curvas fechadas que circundam P e o mapa de contornos mostra que f (x y) cresce em todas as direccedilotildees a partir de P (Figura 37)
ii) se P (x0 y0) eacute um maacuteximo local entatildeo as curvas de niacutevel proacuteximas de P satildeo curvas fechadas que circundam P e o mapa de contornos mostra que f (x y) decresce em todas as direccedilotildees a partir de P
iii) se P (x0 y0) eacute um ponto de sela entatildeo as curvas de niacutevel de f (x y) que passam por P consistem em duas retas que se intersectam e dividem a vizinhanccedila de P em quatro regiotildees O mapa de contornos mostra que f (x y) eacute decrescente na direccedilatildeo x e crescente na direccedilatildeo y (Figura 38)
iv) se P (x0 y0) eacute um ponto de sela ndash outra situaccedilatildeo entatildeo as curvas de niacutevel em (x0 y0) tem uma forma padratildeo ldquonuacutemero oitordquo (Figura 39)
FIGURA 38 ndash MAPA DE CONTORNOS DESTACANDO O PONTO DE SELA
FIGURA 39 ndash MAPA DE CONTORNOS ndash PONTO DE SELA PADRAtildeO ldquoNUacuteMERO OITOrdquo
FONTE O autor
FONTE O autor
4
2
0
ndash2
ndash 4
y
4 2 0 ndash 2 ndash 4x
2
2
1
0
ndash 1
ndash2
0 1ndash 1ndash 2x
y
2
108
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Segue da Definiccedilatildeo 322 e do Teorema 321 que os extremos relativos ocorrem nos pontos criacuteticos Contudo uma funccedilatildeo natildeo precisa ter um extremo relativo em cada ponto criacutetico isto quer dizer que um ponto criacutetico nem sempre eacute um ponto extremante Um ponto criacutetico que natildeo eacute um maacuteximo relativo nem um miacutenimo relativo eacute chamado de ponto de sela
Nas funccedilotildees de duas variaacuteveis natildeo temos pontos de inflexatildeo como em funccedilotildees de uma variaacutevel Podemos ter um ponto de sela quando numa direccedilatildeo a funccedilatildeo atinge um maacuteximo num ponto e em outra direccedilatildeo um miacutenimo no mesmo ponto O nome se daacute pela semelhanccedila com uma sela de cavalo maacuteximo na direccedilatildeo das pernas do cavaleiro (transversal ao cavalo ) e miacutenimo na direccedilatildeo longitudinal (dorso) do cavalo
Em seguida vamos estudar um meacutetodo que permite classificar os pontos criacuteticos com criteacuterios bem definidos Mas antes definiremos a hessiana
Definiccedilatildeo 323 Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo de classe C2 A matriz hessiana de f representada por H(f) eacute dada por
Exemplo 3Seja f (xy) = 3x2 + y2 Calcule a matriz hessiana de f no ponto (00)
ResoluccedilatildeoPela Definiccedilatildeo 323 calculamos as derivadas parciais no ponto dado
partf partx
= 6x partf party
= 2y part2f partx2
= 6 part2f partxparty
= 0 part2f partypartx
= 0 e part2f party2
= 2
Portanto H (00) = 6 00 2
eacute a matriz hessiana de f no ponto (00)
Teorema 322 (Teste da segunda derivada) Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo de classe C2 Suponhamos que P (x0 y0) seja um ponto criacutetico da funccedilatildeo f
NOTA
H x y
fxx y f
x yx y
fy x
x y fyx
0 0
2
2 0 0
2
0 0
2
0 0
2
2 0
( ) =
part
part( ) part
part part( )
partpart part
( ) part
party0( )
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
109
i) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) gt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto miacutenimo local de f
ii) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto maacuteximo local de f
iii) Se det H (x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto de sela
iv) Se det H (x0y0) = 0 nada se conclui
Para facilitar o entendimento e visualizar a classificaccedilatildeo dos pontos criacuteticos apresentamos o graacutefico e um texto explicativo
Os pontos P e Q satildeo pontos de maacuteximo porque qualquer deslocamento em sua vizinhanccedila iraacute descer O ponto S eacute uma sela porque nos sentidos SP e SQ sobe mas no sentido SL ou ST desce
FONTE CANESIN Wilson Funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis ndash Notas de aula ndash parte II Disponiacutevel em lthttpwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 28 out 2011
FIGURA 40 ndash GRAacuteFICO DE SUPERFIacuteCIE
FONTE Disponiacutevel em lthttpwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 28 out 2011
Veremos em seguida exemplos onde aplicaremos o Teorema 322
Exemplo 4Considere a funccedilatildeo f (xy) = x2 + y2 ‒ xy + x Determine caso existam os pontos
de maacuteximo e os pontos de miacutenimo local da funccedilatildeo
Resoluccedilatildeo
Vimos no Exemplo 2 que o ponto ‒ 2 3 ‒ 1
3 eacute o uacutenico ponto criacutetico de f
Para classificaacute-lo vamos usar o Teorema 322 Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
P
S
Q
T
L
F(xy)
110
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
part2f partx2
= 2 part2f partxparty
= ‒1 part2f partypartx
= ‒1 e part2f party2
= 2 Entatildeo
det H minus minus
=
minusminus
=2
3
1
3
2 1
1 23
Como H ‒ 2 3 ‒ 1
3 gt 0 e part2f partx2 ‒ 2
3 ‒ 1 3 gt 0 segue que ‒ 2
3 ‒ 1 3 eacute
um ponto miacutenimo local de f
Exemplo 5Encontre os maacuteximos e miacutenimos de f (xy) = 1
3 x3 + 1 3 y3 ‒ x ‒ 4y + 20 caso
existam
ResoluccedilatildeoVamos encontrar inicialmente os pontos criacuteticos de f fazendo partf
partx = 0 e partf
party = 0
partf partx
= x2 ‒ 1 e partf party
= y2 ‒ 4
x2 ‒ 1 = 0y2 ‒ 4 = 0
Resolvendo o sistema temos os pontos criacuteticos (12) (1‒2) (‒12) e (‒1‒2)
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
part2f partx2
= 2x part2f partxparty
= 0 part2f partypartx
= 0 e part2f party2
= 2y
Agora calculamos o determinante hessiano Entatildeo
det det
det
H H
H
1 22 0
0 48 1 2
2 0
0 48
1 22 0
0 48
( ) = = minus( ) =minus
= minus
minus( ) =minus
= minus
e
e det H minus minus( ) =minus
minus=1 2
2 0
0 48
Para classificar os pontos criacuteticos usaremos o Teorema 322
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
111
Vamos analisar o ponto (12)
Temos det H (12) gt 0 e part2f partx2 (12) gt 0 logo (12) eacute um ponto miacutenimo local de f
Vamos analisar o ponto (1‒2)
Temos det H (1‒2) lt 0 logo (1‒2) eacute um ponto de sela de f
Vamos analisar o ponto (1‒2)
Temos det H (‒12) lt 0 logo (‒12) eacute um ponto de sela de f
Vamos analisar o ponto (‒1‒2)
Temos det H (‒1‒2) gt 0 e part2f partx2 (‒1‒2) lt 0 logo (‒1‒2) eacute um ponto maacuteximo local de f
Os graacuteficos (Figura 41 e Figura 42) gerado por computador usando o software Maple 11 ilustram os caacutelculos apresentados anteriormente
FIGURA 41 ndash GRAacuteFICO DA SUPERFIacuteCIE DE f FIGURA 42 ndash MAPA DE CONTORNOS DE f
FONTE O autor FONTE O autor
3 PROBLEMAS ENVOLVENDO MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
O estudo feito no item anterior pode ser perfeitamente aplicado em problemas de maximizaccedilatildeo e minimizaccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Como por exemplo em problemas geomeacutetricos fiacutesicos econocircmicos entre outros
Exemplo 6Determine as dimensotildees de uma caixa retangular aberta no topo com um
volume de 32 cm3 e que requer uma quantidade miacutenima de material para a sua construccedilatildeo
30
25
20
15
103 2 1 0ndash 1ndash 2ndash 3 2 1 0 ndash 1ndash 2 ndash 3
yx
ndash 4
ndash 4
ndash 2
ndash 2 0 2 4x
2
4
y
112
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Resoluccedilatildeox comprimento da caixa (cm)y largura da caixa (cm)z altura da caixa (cm)A aacuterea da superfiacutecie da caixa (cm2)V volume da caixa (cm3)
V = xyz rArr xyz = 32 rArr z = 32 xy
Queremos minimizar a aacuterea de superfiacutecie
A = xy + 2xz + 2yz com a restriccedilatildeo do volume
Substituindo z obtemos
A = xy + 2x 32 xy + 2y 32
xy
A(xy) = xy + 64 y + 64
x x gt 0 e y gt 0
Como a regiatildeo eacute aberta o miacutenimo deve ocorrer num ponto criacutetico de A Passemos entatildeo a determinaacute-los
partApartx
= y ‒ 64 x2 partA
party = x ‒ 64
y2
y ‒ 64 x2 = 0 x ‒ 64
y2 = 0
y = 64 x2 x ‒
64
64x2
2 = 0
y2 = 4 x ‒ x4 64 = 0
x 1 ‒ x3
64 = 0
x1 = 0 e x2 = 4
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
113
Assim o ponto (44) eacute ponto criacutetico de A
Usando o teste da segunda derivada (Teorema 322) obtemospart2Apartx2 = 128
x3 part2A partxparty = 1 part2A
partypartx = 1 part2fparty2 = 128
y3
Calculando o determinante hessiano temos
det H (44) = 2 11 2
= 4 ‒ 1 = 3
Daiacute det H (44) gt 0 e part2Apartx2 (44) gt 0 portanto o ponto (44) eacute o miacutenimo local de A
Logo a caixa que usa o miacutenimo de material tem altura z = 2 e base quadrada x = y = 4
Exemplo 7A funccedilatildeo T (xy) = x2 + y2 ‒ 8x + 5y + 20 daacute a temperatura em graus Celsius
de cada ponto (x y) de uma chapa circular (exceto as bordas que eacute constituiacuteda de outro material) de raio 6 cm localizada no centro do plano xy Determine o ponto mais quente e o mais frio no interior da chapa se existir
Resoluccedilatildeo A funccedilatildeo T (xy) = x2 + y2 ‒ 8x + 5y + 20 tem domiacutenio D(T) = (xy) | x2 + y2 lt 36
Calculando as derivadas parciais de primeira ordem temos
partT partx
= 2x ‒ 8 e partT party
= 2y + 5
2x ‒ 8 = 02y + 5 = 0
Resolvendo o sistema temos o uacutenico ponto criacutetico 4 ‒ 52
e T 4 ‒ 52
= - 94
= ‒ 225 degC
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
part2Tpartx2 = 2 part2T
partxparty = 0 part2T partypartx = 0 part2T
party2 = 2
114
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Agora calculamos o determinante hessiano Entatildeo
det H 4 ‒ 52
= 2 00 2
= 4
Pelo Teorema 322 temos det H 4 ‒ 52
gt 0 e part2Tpartx2 gt 0 assim o ponto
4 ‒ 52
eacute miacutenimo
Portanto o ponto mais frio da chapa tem temperatura de ndash 225ordmC e estaacute
localizado no ponto 4 ‒ 52
Exemplo 8Para o projeto de uma calha tem-se uma folha metaacutelica de 12 cm de
largura que se deseja dobrar de forma a se ter uma capacidade maacutexima
Resoluccedilatildeo
A aacuterea da seccedilatildeo da calha eacute formada pela aacuterea do retacircngulo mais a aacuterea dos dois triacircngulos conforme a figura
A = 2 (triacircngulo) + retacircngulo
A = 2 x cos θ x sen θ2
+ (12 ‒ 2x) x sen θ
A = f (xθ) = x2 cos θ sen θ + 12x sen θ ‒ 2x2 sen θ
Agora vamos estudar os extremos (maacuteximos e miacutenimos) da funccedilatildeo Deriva-se a funccedilatildeo obtendo
partf partx
= 2x sen θ cos θ + 12 sen θ ‒ 4x sen θ
partf partθ
= ‒ x2 sen2 θ + x2 cos2 θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
115
Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema temos
‒ x2 sen2 θ + x2 cos2 θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x2 (‒ sen2 θ + cos2 θ) + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x2 cos 2θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x (2 cos2 θ ‒ 1) ‒ 2x cos θ + 12 cos θ = 0
x (2 cos2 θ ‒ 2 cos θ ‒ 1) + 12 cos θ = 0
2x sen θ cos θ + 12 sen θ ‒ 4x sen θ = 0
2x cos θ = 4x ‒ 12
cos θ = 4x ‒ 12
2x
cos θ = 2 ‒ 6x
Substituiacutemos o valor cos θ = 2 ‒ 6x
na segunda equaccedilatildeo e resolvendo
encontra-se x = 4 que resulta em cos θ = 2 ‒ 6x
= 12
cos θ = 12
rArr θ = p3
rad ou θ = 60deg
O ponto (460deg) encontrado parece ser bastante razoaacutevel omitiremos o teste da segunda derivada tambeacutem por causa do trabalho que estas dariam Mas para ter certeza podemos calcular a aacuterea A para valores de x e θ
116
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
x θ A4 30 149284 36 170134 42 186624 48 198464 54 205534 60 207854 66 205624 72 199194 78 18904
Entatildeo pelos valores obtidos na tabela confirmamos que a capacidade eacute maacutexima no ponto (460deg)
FONTE Disponiacutevel em ltwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 30 maio 2012
117
RESUMO DO TOacutePICO 3
Neste toacutepico vocecirc estudou alguns conceitos e teoremas importantes
bull Dizemos que P (x0y0) eacute um ponto criacutetico de f (xy) se partf partx
(x0 y0) = partf party
(x0 y0) = 0 ou se natildeo existir uma das duas derivadas parciais
bull Definimos a matriz hessiana de f (xy) por
bull O Teorema 322 (Teste da segunda derivada) facilita bastante na classificaccedilatildeo do ponto criacutetico de f (xy) Suponhamos que P (x0y0) seja um ponto criacutetico da funccedilatildeo f
i) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) gt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto miacutenimo local de f
ii) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto maacuteximo local de f
iii) Se det H (x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto de sela
iv) Se det H (x0y0) = 0 nada se conclui
118
Nos exerciacutecios 1 e 2 encontre os pontos criacuteticos das funccedilotildees dadas
1 f (xy) = x2 + y2 + xy ‒ 6x + 2
2 f (xy) = x2 + 8y4 + xy ‒ 3y2 ‒ y3
Nos exerciacutecios 3 a 7 encontre os pontos criacuteticos e os extremos locais das funccedilotildees dadas
3 f (xy) = x3 + y3 ‒ 6xy
4 f (xy) = ‒ 13
x4 + 23
x3 + 4xy ‒ y2
5 f (xy) = x3 + y2 ‒ 6xy + 6x + 3y ‒ 2
6 f (xy) = 4x ‒ 3x3 ‒ 2xy2
7 f (xy) = x4 + y4 ‒ 4xy
8 A temperatura T (degC) em cada ponto de um painel plano eacute dada pela equaccedilatildeo T (xy) = 16x2 + 24x ‒ 40y2 Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da regiatildeo
9 Um supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha com duas marcas de suco de laranja uma marca local que custa no atacado R$ 030 a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa no atacado R$ 040 a garrafa O dono do supermercado estima que se cobrar x centavos pela garrafa da marca local e y centavos pela garrafa da marca nacional venderiam 70 ‒ 5x + 4y garrafas da marca local e 80 + 6x + 7y garrafas da marca nacional por dia Por quanto o dono do supermercado deve vender as duas marcas de suco de laranja para maximizar o lucro
AUTOATIVIDADE
119
TOacutePICO 4
INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
Na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral estudamos que a integral indefinida int f (x) dx resulta em outra funccedilatildeo denominada funccedilatildeo primitiva de f (x)
Estudamos tambeacutem que a integral definida eacute dada por
desde que tal limite exista O valor calculado na integral definida quando f (x) ge 0 tem como interpretaccedilatildeo imediata o caacutelculo da aacuterea da regiatildeo compreendida entre o eixo x o graacutefico de f (x) e as retas x = a e x = b
Neste toacutepico vamos estudar a integral dupla definida cuja interpretaccedilatildeo geomeacutetrica quando f (xy) ge 0 corresponde ao caacutelculo do volume do soacutelido delimitado superiormente pelo graacutefico de z = f (xy) e inferiormente pela regiatildeo definida sobre o plano xy
2 INTEGRAL DUPLA
21 INTEGRAL DUPLA SOBRE RETAcircNGULO
Definiccedilatildeo 4211 (Volume sob uma superfiacutecie) Se f eacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis contiacutenua e natildeo negativa numa regiatildeo R do plano xy entatildeo o volume do soacutelido compreendido entre a superfiacutecie z = f (xy) e a regiatildeo R eacute definido por
A ideia envolvida na Definiccedilatildeo 4211 eacute a mesma empregada na integral definida simples Assim a regiatildeo R eacute dividida em sub-retacircngulos Faremos isso com o intervalo em x (∆x) e com o intervalo y (∆y) formando os sub-retacircngulos Rij cada um com aacuterea ∆A = ∆x∆y
120
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 43 ndash INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DA INTEGRAL DUPLA QUANDO f (xy) ge 0
FONTE Disponiacutevel em ltwwwpucrsbrfamatbeatrizcalculoIIINTEGRAL_DUPLAdocgt Acesso em 30 maio 2012
Definiccedilatildeo 4212 A integral dupla de f sobre o retacircngulo R eacute
se esse limite existir
A soma presente nas duas definiccedilotildees acima eacute chamada de soma dupla de Riemann e eacute usada como uma aproximaccedilatildeo do valor da integral dupla
22 INTEGRAIS ITERADAS
Nas integrais duplas que estudaremos neste toacutepico seratildeo consideradas apenas as integrais duplas definidas E na sua resoluccedilatildeo aplicaremos o Teorema Fundamental do Caacutelculo O caacutelculo da integral dupla eacute muito complicado pela definiccedilatildeo entatildeo veremos como calcular a integral dupla atraveacutes da integral iterada cujo valor pode ser obtido calculando-se duas integrais de funccedilotildees de uma variaacutevel real A expressatildeo iterada quer dizer repetida
Este procedimento segue a mesma ideia para calcular as derivadas parciais
UNI
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
121
Suponha que f seja uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis contiacutenua no retacircngulo R = [ab]x[cd]
bull A integral intf (xy) dy
d
c significa que a variaacutevel x eacute mantida fixa (como constante) e
f (xy) eacute integrado em relaccedilatildeo a variaacutevel y com y variando de c ateacute d
bull Como intf (xy) dy
d
c eacute um nuacutemero que depende do valor de x ele define uma
funccedilatildeo de x
F (x) = intf (xy) dy
d
c
bull Integrando a funccedilatildeo F(x) em relaccedilatildeo a variaacutevel x de a ateacute b obtemos
Lembre-se quando a integral eacute definida aplicamos o Teorema Fundamental do
Caacutelculo intf (x) dx = F(b) ‒ F(a)b
a
Exemplo 1
Calcular a integral
ResoluccedilatildeoResolvendo a integral dupla como integral iterada temos
Vamos resolver primeiro a integral que estaacute dentro dos colchetes considerando como constante a variaacutevel x jaacute que a funccedilatildeo estaacute sendo integrada primeiramente em relaccedilatildeo a variaacutevel y (pois a diferencial nesta integral eacute dy)
IMPORTANTE
122
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Assim intxy2 dy = 3x
2
‒1
Agora substituiacutemos este resultado na integral final E verifique que a integral que falta resolver eacute uma integral apenas na variaacutevel x
Portanto
Exemplo 2
Calcular a integral
ResoluccedilatildeoResolvendo a integral dupla como integral iterada temos
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
123
Vamos resolver primeiro a integral que estaacute dentro dos colchetes considerando como constante a variaacutevel y jaacute que a funccedilatildeo estaacute sendo integrada primeiramente em relaccedilatildeo a variaacutevel x (pois a diferencial nesta integral eacute dx)
Assim int (x + y + 1) dx = 2y + 2
1
‒1
Agora substituiacutemos este resultado na integral final E verifique que a integral que falta resolver eacute uma integral apenas na variaacutevel y
= 1
Portanto
Teorema 3221 (Teorema de Fubini) Se f for contiacutenua no retacircngulo R = [ab]x[cd] entatildeo
124
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Verifique a aplicaccedilatildeo do teorema de Fubini no Exemplo 2
23 INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIOtildeES GENEacuteRICAS
Vamos considerar funccedilotildees contiacutenuas definidas sobre regiotildees fechadas que denotaremos por D onde D cap R2
Conveacutem separarmos a regiatildeo plana D em dois casos que chamaremos de Tipo I e Tipo II
bull Uma regiatildeo plana D eacute dita do tipo I se estaacute contida entre o graacutefico de duas funccedilotildees contiacutenuas de x ou seja
D = (xy) a le x le b g1(x) le y le g2(x) onde g1(x) e g2(x) satildeo contiacutenuas em [ab]
FIGURA 44 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
UNI
D
a b
y
x
y₂ = g₂(x)
y₁ = g₁(x)
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
125
Definiccedilatildeo 3231 Se f eacute contiacutenua em uma regiatildeo D do tipo I tal que
D = (xy) a le x le b g1(x) le y le g2(x)
entatildeo
Exemplo 3
Escreva intintf (xy) dAD
sobre a regiatildeo D que estaacute compreendida entre o
graacutefico das funccedilotildees y = radic1 ‒ x 2 e y = 1 ‒ x
ResoluccedilatildeoVamos escrever esta integral considerando a regiatildeo do tipo I
Assim g1 (x) = 1 ‒ x e g2 (x) = radic1 ‒ x 2
Entatildeo usaremos
126
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 45 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
bull Uma regiatildeo plana D eacute dita do tipo II se estaacute contida entre o graacutefico de duas funccedilotildees contiacutenuas de y ou seja
D = (xy) c le y le d h1(y) le x le h2(y)
onde h1(y) e h2(y) satildeo contiacutenuas em [cd]
FIGURA 46 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
y
x₂ = h₂(y)
x₁ = h₁(y)
d
c x
D
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
127
Definiccedilatildeo 3232 Se f eacute contiacutenua em uma regiatildeo D do tipo II tal que
D = (xy) c le y le d h1(y) le x le h2(y)
entatildeo
Exemplo 4
Escreva intintf (xy) dAD
sobre a regiatildeo D que estaacute compreendida entre o
graacutefico das funccedilotildees y = radic1 ‒ x 2 e y = 1 ‒ x
ResoluccedilatildeoVamos escrever esta integral considerando a regiatildeo do tipo II
FIGURA 47 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim h1 (y) = 1 ‒ y e h2 (y) = radic1 ‒ y 2
Entatildeo usaremos
128
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Exemplo 5Seja f (xy) = xy calcule intintf (xy) dA
D
sobre a regiatildeo D compreendida entre y =
12
x y = radicx x = 2 e x = 4
ResoluccedilatildeoConforme pode ser observada a regiatildeo no graacutefico convecircm aplicar o tipo I
FIGURA 48 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
129
= 116
Portanto intintf (xy) dA = 116D
Exemplo 6
Calcule intint(xy ‒ y 3) dAD
sobre a regiatildeo D mostrada no graacutefico abaixo
ResoluccedilatildeoConforme pode ser observada a regiatildeo no graacutefico vamos aplicar o tipo II
A projeccedilatildeo da regiatildeo D sobre o eixo dos y daacute o intervalo 0 le y le 1 e as funccedilotildees tem que estar na variaacutevel y Entatildeo
h1 (y) = y 4 e h2 (y) = y 12
130
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 49 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim
x
y
2
1
21
y = xsup2
y = xsup1 ⁴
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
131
Vocecirc estudou integraccedilatildeo no final do Caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral e verificou que eacute possiacutevel calcular a aacuterea entre duas curvas utilizando a integral simples Vamos ver agora que tambeacutem eacute possiacutevel calcular a aacuterea entre duas curvas utilizando a integral dupla
Exemplo 7
Calcule a aacuterea compreendida entre as curvas y = 12
x y = radicx x = 2 e x = 4
ResoluccedilatildeoA aacuterea compreendida entre as curvas dadas eacute a mesma mostrada no
Exemplo 5
Assim aplicamos o a integral dupla do tipo I Para a montagem da integral o procedimento eacute o mesmo feito no exemplo 5
UNI
132
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 50 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Portanto a aacuterea definida entre as curvas eacute dada por
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
133
Concluindo a ideia do caacutelculo da aacuterea entre curvas verifique que a montagem da integral dupla tem o mesmo procedimento mostrado no item 23 A uacutenica diferenccedila eacute que devemos considerar a funccedilatildeo integrante como a constante unitaacuteria isto eacute f (xy) = 1
Exemplo 8Calcule a aacuterea entre as curvas y = 5 ‒ x2 e y = x + 3
ResoluccedilatildeoA aacuterea compreendida entre as curvas dadas acima estaacute representada a
seguir
Assim aplicamos a integral dupla do tipo I Para a montagem da integral o procedimento eacute o mesmo feito anteriormente
Precisamos encontrar os limites numeacutericos da variaacutevel x igualando a variaacutevel y
FIGURA 51 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
IMPORTANTE
y = 5 ndash xsup2
y = x + 3
ndash 2 ndash 1 21x
1
2
3
4
5y
134
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
= 92
Portanto a aacuterea definida entre as curvas eacute dada por 92
LEITURA COMPLEMENTAR
GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN (1826 - 1866)
Nasceu no dia 17 de setembro de 1826 em Breselenz Alemanha Era filho de um ministro luterano e teve uma boa instruccedilatildeo estudando em Berlim e Goumlttingen mas em condiccedilotildees muito modestas por causa de sua sauacutede fraacutegil e de sua timidez Ainda no ensino secundaacuterio estudou os trabalhos de Euler e Legendre
Aos 19 anos Riemann foi com todo o apoio do pai para a Universidade de Goumlttingen estudar teologia com o objetivo de tornar-se cleacuterigo Mais tarde pediu permissatildeo ao pai e mudou o foco dos seus estudos para a Matemaacutetica transferindo-se um ano depois para a Universidade de Berlim onde atraiu o interesse de Dirichlet e Jacobi
Em 1849 retornou a Goumlttingen onde obteve o grau de doutor em 1851 Sua brilhante tese foi desenvolvida no campo da teoria das funccedilotildees complexas Nessa tese encontram-se as chamadas equaccedilotildees diferenciais de Cauchy-Riemann - conhecidas poreacutem antes do tempo de Riemann - que garantem a analiticidade de uma funccedilatildeo de variaacutevel complexa e o produtivo conceito de superfiacutecie de Riemann que introduziu consideraccedilotildees topoloacutegicas na anaacutelise
Trecircs anos mais tarde foi nomeado Privatdozent cargo considerado o primeiro degrau para a escalada acadecircmica Com a morte de Gauss em 1855 Dirichlet foi chamado a Goumlttingen como seu sucessor e passou a incentivar Riemann primeiro com um pequeno salaacuterio e depois com uma promoccedilatildeo a professor assistente Em 1859 morreu Dirichlet e Riemann foi nomeado professor titular para substituiacute-lo
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
135
O periacuteodo de 1851 a 1859 do ponto de vista econocircmico foi o mais difiacutecil da vida de Riemann mas ele criou suas maiores obras justamente nesses anos
Riemann era um matemaacutetico de muacuteltiplos interesses e mente feacutertil contribuindo natildeo soacute para o desenvolvimento da geometria e da teoria dos nuacutemeros como tambeacutem para o da anaacutelise matemaacutetica
Riemann tornou claro o conceito de integrabilidade de uma funccedilatildeo atraveacutes da definiccedilatildeo do que atualmente chamamos Integral de Riemann
Durante uma conferecircncia-teste generalizou todas as geometrias euclidianas e natildeo euclidianas estabelecendo a Geometria Riemanniana que serviu de suporte para a Teoria da Relatividade de Einstein
Em 1859 publicou seu uacutenico trabalho em Teoria dos Nuacutemeros um artigo dedicado ao Teorema dos Nuacutemeros Primos no qual partindo de uma identidade notaacutevel descoberta por Euler chegou a uma funccedilatildeo que ficou conhecida como Funccedilatildeo Zeta de Riemann Nesse artigo provou vaacuterias propriedades importantes dessa funccedilatildeo e enunciou vaacuterias outras sem provaacute-las Durante um seacuteculo depois de sua morte muitos matemaacuteticos tentaram provaacute-las e acabaram criando novos ramos da anaacutelise matemaacutetica
Riemann morreu de tuberculose no dia 20 de Julho de 1866 em Selasca na Itaacutelia durante a uacuteltima de suas vaacuterias viagens para fugir do clima frio e uacutemido do norte da Alemanha
FONTE Disponiacutevel em lthttpecalculoifuspbrhistoriariemannhtmgt Acesso em 12 jun 2008
136
RESUMO DO TOacutePICO 4
Estudamos no Toacutepico 4 as integrais muacuteltiplas Primeiramente vimos que o procedimento do caacutelculo destas integrais eacute feito por iteraccedilatildeo isto eacute repeticcedilatildeo Resolvendo a integral de dentro (interna) para a de fora e substituindo os limites de integraccedilatildeo pelo Teorema Fundamental do Caacutelculo
Depois estudamos como calcular aacutereas de formas irregulares utilizando as integrais duplas por dois processos
Projetando a regiatildeo sobre o eixo dos x que chamamos de tipo I e escrevemos a
integral como
Projetando a regiatildeo sobre o eixo dos y que chamamos de tipo II e escrevemos a
integral como
E finalizando tambeacutem estudamos a possibilidade de calcular a aacuterea entre curvas usando a integral dupla com o mesmo procedimento revisto acima onde a funccedilatildeo integrante eacute dada por f (xy) = 1
137
Calcule a integral onde R 0 le x le 2 1 le y le 4
1 intintx2 dxdyR
2 intintxy2 dxdyR
Calcule a integral onde R 0 le x le 2 0 le y le x
3 intintx3y dxdyR
4 intinte x + y dxdyR
5 Encontre a aacuterea da regiatildeo no primeiro quadrante limitada por xy = 2 y = 1 e y = x + 1
Calcule por integraccedilatildeo dupla a aacuterea da regiatildeo limitada determinada pelo par de curvas dado
6 x2 = 4y e 2y ‒ x ‒ 4 = 0
7 y = x e x = 4y ‒ y2
8 x + y = 5 e xy = 6
AUTOATIVIDADE
138
139
UNIDADE 3
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Ao final desta unidade vocecirc deveraacute ser capaz de
bull conhecer os principais conceitos que envolvem as equaccedilotildees diferenciais
bull identificar os diferentes tipos de equaccedilotildees diferenciais
bull diferenciar as equaccedilotildees diferenciais
bull resolver as equaccedilotildees diferenciais
Na Unidade 3 estudaremos as equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias de primeira ordem e algumas equaccedilotildees diferenciais de segunda ordem Neste intuito a unidade seraacute dividida em trecircs toacutepicos O Toacutepico 1 inicia com a definiccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais ordem e classificaccedilatildeo Na sequecircncia seratildeo apresenta-das as equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias de primeira ordem separaacuteveis linea-res e exatas e seus respectivos meacutetodos de resoluccedilatildeo No toacutepico 2 destacare-mos as equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem que envolvem substituiccedilotildees em suas resoluccedilotildees em particular as equaccedilotildees de Bernoulli e as equaccedilotildees homogecircneas Finalizamos a unidade com o Toacutepico 3 estudando as equaccedilotildees diferenciais lineares de segunda ordem Nesse toacutepico nosso estudo se res-tringiraacute agraves equaccedilotildees lineares homogecircneas com coeficientes constantes
TOacutePICO 1 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
TOacutePICO 2 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
TOacutePICO 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
140
141
TOacutePICO 1
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico vamos abordar as caracteriacutesticas de uma equaccedilatildeo diferencial quanto ao seu tipo a sua ordem e a sua linearidade Na sequecircncia discutiremos os processos de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem segundo sua classificaccedilatildeo em separaacuteveis lineares ou exatas
Vejamos alguns exemplos de equaccedilotildees diferenciais
Uma equaccedilatildeo que relaciona uma funccedilatildeo desconhecida a uma ou mais de suas derivadas eacute chamada de uma equaccedilatildeo diferencial
As equaccedilotildees satildeo classificadas quanto ao tipo agrave ordem e agrave linearidade
2 DEFINICcedilOtildeES E TERMINOLOGIAS
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
142
Uma equaccedilatildeo diferencial pode ser classificada como ordinaacuteria ou parcial Se a funccedilatildeo envolvida for uma funccedilatildeo de somente uma variaacutevel dizemos que a equaccedilatildeo eacute ordinaacuteria (EDO) Se uma equaccedilatildeo diferencial conteacutem pelo menos uma derivada parcial entatildeo eacute denominada de equaccedilatildeo diferencial parcial (EDP) Vejamos alguns exemplos
i) partu party
= ndash 5 partupartx
u = u(x y) parcial
ii) d 2 y dx2 ndash 6 dy
dx + 8y = 0 ordinaacuteria
iii) part2z
partx2 + part
2zparty2
ndash 2 partzparty
= 0 z = z(x y) parcial
21 TIPOS DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Quanto agrave ordem uma equaccedilatildeo diferencial pode ser de 1ordf de 2ordf de n-eacutesima ordem dependendo da derivada de maior ordem presente na equaccedilatildeo
i) yprime ndash 3xy = x 1deg ordem
ii) yPrime + yprime = cos t 2deg ordem
iii) d y dx
2
+ 3y = 2 1deg ordem
iv) d 2 y dx2 ndash 6 dy
dx + 8y = 0 2deg ordem
v) d 3 y dt 3 ndash t
dydt + (t 2 ndash 1)y = et 3deg ordem
vi) xyprime ndash 5y = 0 1deg ordem
22 ORDEM DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
143
Uma equaccedilatildeo diferencial eacute dita linear se a funccedilatildeo e suas derivadas envolvidas na equaccedilatildeo forem de primeiro grau Caso contraacuterio dizemos que a EDO eacute natildeo linear Vejamos alguns exemplos
i) dydx + 3y = 2 linear
ii) dydx + sen y = 2 natildeo linear
iii) d 3 y dx3 ndash x dy
dx + 7y = ex linear
iv) d 3 y dt 3 +
dydt + t (y 2 ndash 1) = et natildeo linear
23 LINEARIDADE DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Uma funccedilatildeo y = y(x) eacute soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial em um dado intervalo I se a equaccedilatildeo diferencial for satisfeita para todo x isin I ou seja se y(x) e suas derivadas satisfizerem agrave equaccedilatildeo diferencial neste intervalo para todo x isin I
Exemplo 1
Verifique se a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 eacute soluccedilatildeo de yprime(x) + 2xy = x
Resoluccedilatildeo
Dado a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 vamos encontrar a derivada de primeira ordem
yprime(x) = 32
(ndash 2x)endashx 2
yprime(x) = ndash3xendashx 2
Agora substituiacutemos y e yprime na equaccedilatildeo diferencial yprime (x) + 2xy = x
24 SOLUCcedilAtildeO DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
144
Entatildeo a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial e portanto
y eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial dada
Exemplo 2Verifique se a funccedilatildeo y(x) = e2x eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
d 2 y dx2 ndash 5
dydx + 6y = 0
ResoluccedilatildeoDado a funccedilatildeo y(x) = e2x vamos encontrar as derivadas de primeira e
segunda ordem
dydx = 2e2x e
d 2 y dx2 = 4e2x
Agora vamos substituiacute-las na equaccedilatildeo diferencial d 2 y dx2 ndash 5 dy
dx + 6y = 0
4e2x ndash 5 middot 2e2x + 6e2x = 0
4e2x ndash 10e2x + 6e2x = 0
De fato a funccedilatildeo y(x) = e2x satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial
Exemplo 3Verifique se a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
xyprime(x) ndash y(x) = 2xIn x
ResoluccedilatildeoDado a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x vamos encontrar a derivada de primeira
ordem
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
145
Agora substituiacutemos y e yprime na equaccedilatildeo diferencial xyprime(x) ndash y(x) = 2xln x obtendo
2x In x = 2x In x
Portanto a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial
Dada uma equaccedilatildeo diferencial dizemos que a sua soluccedilatildeo eacute uma funccedilatildeo que satisfaz a identidade proposta por esta equaccedilatildeo Esta funccedilatildeo expressa por y = F(x) + c conteacutem uma constante arbitraacuteria oriunda do processo de integraccedilatildeo Entatildeo dizemos que y = F(x) + c c isinR eacute uma famiacutelia de soluccedilotildees da EDO e assim para cada valor arbitraacuterio de c temos uma soluccedilatildeo (funccedilatildeo) diferente para a mesma EDO Poreacutem observe que derivando-as obteremos as mesmas funccedilotildees tendo em vista que a derivada de uma constante eacute zero
Por exemplo dada a equaccedilatildeo diferencial yprime(x) = 5x ndash 2 sua soluccedilatildeo geral eacute dada por
y(x) = 52
x2 ndash 2x + c Vamos considerar c = ndash1 e c = 3 entatildeo y1(x) = 52
x2 ndash 2x ndash 1 e y2(x) = 52
x2 ndash 2x + 3 Agora vamos derivar estas soluccedilotildees (funccedilotildees) yprime1 (x) = 5x ndash 2 e yprime2 (x) = 5x ndash 2
Podemos ver que as derivadas satildeo iguais Daiacute o fato da soluccedilatildeo y = F(x) + c c isinR ser denominada de soluccedilatildeo geral da
EDO
241 Soluccedilatildeo geral
A soluccedilatildeo deduzida da soluccedilatildeo geral atribuindo-se valores particulares agrave constante arbitraacuteria c eacute chamada de soluccedilatildeo particular
Quando uma equaccedilatildeo diferencial eacute utilizada como um modelo matemaacutetico em alguma aplicaccedilatildeo haacute normalmente uma condiccedilatildeo inicial y(x0) = y0 que torna possiacutevel calcular a constante arbitraacuteria c que aparece na soluccedilatildeo geral
242 Soluccedilatildeo particular
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
146
Um problema com uma equaccedilatildeo diferencial satisfazendo alguma condiccedilatildeo adicional (por exemplo y(x
0) = y
0 eacute denominado problema do valor inicial (PVI)
Exemplo 4
Considerando dydx = 2x entatildeo y = x2 + c eacute uma soluccedilatildeo geral da EDO c isinR
ResoluccedilatildeoVamos encontrar a soluccedilatildeo particular utilizando a condiccedilatildeo adicional y(3)
= 4 Desse modo a partir da soluccedilatildeo geral y = x2 + c atribuiacutemos a x o valor 3 e a y o valor 4 determinando assim a constante c
y = x2 + c4 = 32 + c4 = 9 + cc = ndash5
Substituindo o valor de c na soluccedilatildeo geral obtemos a soluccedilatildeo particular da EDO
y = x2 ndash 5
Caros acadecircmico(a) Leia com bastante atenccedilatildeo o texto a seguir sobre as EDOs Assim vamos saber um pouco mais sobre o que estamos estudando e quais satildeo as suas finalidades
O que uma ED de primeira ordem pode nos dizer
Vamos imaginar por um momento que temos uma equaccedilatildeo diferencial
de primeira ordem na forma normal dydx = f (xy) e aleacutem disso que natildeo podemos
encontrar nem inventar um meacutetodo para resolvecirc-la analiticamente Essa situaccedilatildeo natildeo eacute tatildeo ruim quanto parece uma vez que muitas vezes eacute possiacutevel juntar informaccedilotildees uacuteteis sobre a natureza das soluccedilotildees diretamente da proacutepria
equaccedilatildeo diferencial Por exemplo jaacute vimos que quando f (xy) e partfparty
satisfazem
NOTA
ESTUDOS FUTUROS
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
147
determinadas condiccedilotildees de continuidade as questotildees qualitativas sobre a existecircncia e a unicidade de soluccedilotildees podem ser respondidas Veremos nesta seccedilatildeo que outras questotildees qualitativas sobre propriedades da soluccedilatildeo ndash Como uma soluccedilatildeo se comporta nas proximidades de um determinado ponto Como uma soluccedilatildeo se comporta quando x rarr infin ndash podem frequentemente ser respondidas quando a funccedilatildeo f depende somente da variaacutevel y Vamos comeccedilar poreacutem
com um conceito simples de caacutelculo a derivada dydx de uma funccedilatildeo diferenciaacutevel
y = y(x) daacute as inclinaccedilotildees das retas tangentes em pontos sobre seu graacutefico
Inclinaccedilatildeo
Como uma soluccedilatildeo y = y(x) de uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem dydx = f (xy) eacute necessariamente uma funccedilatildeo diferenciaacutevel em seu intervalo I a curva integral correspondente em I natildeo deve ter interrupccedilotildees e deve ter uma reta tangente em cada ponto (xy(x)) A inclinaccedilatildeo da reta tangente em (xy(x)) sobre uma curva integral eacute o valor de sua derivada primeira
dydx nesse ponto e isso
eacute sabido da equaccedilatildeo diferencial f (xy(x)) Suponha agora que (xy) representa qualquer ponto em uma regiatildeo do plano xy sobre o qual a funccedilatildeo f estaacute definida O valor f (xy) que a funccedilatildeo atribui ao ponto representa a inclinaccedilatildeo de uma reta ou como iremos pensar um segmento de reta denominado elemento linear Por exemplo consideramos a equaccedilatildeo
dydx = 02xy onde f (xy) = 02xy No ponto de
coordenadas (2 3) por exemplo a inclinaccedilatildeo de um elemento linear eacute f (23) = 12 A figura (a) mostra um segmento de reta com inclinaccedilatildeo positiva passando por (23) Conforme mostrado na figura (b) se uma curva integral tambeacutem passar por (23) faraacute isto tangenciando esse segmento de reta em outras palavras o elemento linear eacute uma miniatura da reta tangente nesse ponto
Figura 11a elemento linear em um pontoFigura 2 ndash Figura 11b o elemento linear eacute uma tangente agrave curva integral que passa pelo ponto
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
148
Campos de Direccedilotildees
Se sistematicamente calcularmos f sobre uma malha retangular de pontos (xy) no plano xy e em cada ponto (xy) desenharmos um elemento linear com a inclinaccedilatildeo (xy) a coleccedilatildeo de todos os elementos lineares seraacute chamada
de campo de direccedilotildees ou campo de inclinaccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial dydx
= f
(xy) Visualmente o campo de direccedilotildees sugere a aparecircncia ou forma de uma
famiacutelia de curvas integrais da equaccedilatildeo diferencial e consequentemente pode ser possiacutevel vislumbrar determinados aspectos qualitativos das soluccedilotildees ndash por exemplo regiotildees no plano nas quais uma soluccedilatildeo exibe um comportamento natildeo usual Uma uacutenica curva integral que segue seu caminho em um campo de direccedilotildees deve acompanhar o padratildeo de fluxo do campo ela eacute tangente a um elemento linear quando intercepta um ponto da malha
FONTE Zill (2003 p 41-42)
Estudaremos alguns tipos de equaccedilotildees diferenciais que requerem meacutetodos distintos de resoluccedilatildeo Vamos iniciar pelas equaccedilotildees diferenciais separaacuteveis caracterizando-as e determinando seu processo de resoluccedilatildeo
Definiccedilatildeo 131 A equaccedilatildeo yprime = f (xy) seraacute separaacutevel se f puder ser expressa como um produto de uma funccedilatildeo p(x) e uma funccedilatildeo q(y) com q(y) ne 0 Assim a equaccedilatildeo diferencial teraacute a forma
3 EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL SEPARAacuteVEL
yprime = p(x) q(y) ou
dydx = p(x) q(y) ou
yprime 1
q(y) = p(x)
onde p(x) e q(y) satildeo contiacutenuas em seu domiacutenio
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
149
Considerando a equaccedilatildeo diferencial dada o primeiro passo para resolvecirc-lo eacute separar as variaacuteveis y e x juntamente com as suas respectivas diferenciais obtendo a seguinte igualdade
1q(y)
dy = p(x)dx
A seguir integramos ambos os lados da igualdade
int 1q(y)
dy = int p(x)dx
E sempre que for possiacutevel escrevemos a funccedilatildeo (soluccedilatildeo geral da EDO) na sua forma expliacutecita
Vamos resolver um exemplo para aplicarmos o meacutetodo
Exemplo 5
Resolva a equaccedilatildeo diferencial dydx = 6ex
Resoluccedilatildeo
dydx = 6ex
Inicialmente vamos separar as variaacuteveis
31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
dy = 6ex dx
Integrando ambos os lados da igualdade
int dy = int 6ex dx
int dy = 6 int ex dx
y + c1 = 6ex + c2
Isolando a variaacutevel y
y = 6ex + c2 ndash c1
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
150
Para deixar uma uacutenica constante na funccedilatildeo consideramos c = c2 ndash c1 donde temos que
y = 6ex + c
Exemplo 6Resolva a equaccedilatildeo diferencial
dydx =
xy2
Resoluccedilatildeo
dydx =
xy2
Dada a equaccedilatildeo diferencial acima vamos separar as variaacuteveis
Multiplicando ambos os lados da igualdade por y2 temos
y 2 dy = x dx
Integrando ambos os lados da igualdade
int y 2 dy = int x dx
y3
3 + c1 = x2
2 + c2
Isolando a variaacutevel y
y3
3 = x2
2 + c2 ndash c1
y 3 = 3x2
2 + 3(c2 ndash c1)
Para deixar uma uacutenica constante na funccedilatildeo consideramos c = 3(c2 ndash c1)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
151
Portanto as soluccedilotildees da EDO dada satildeo da forma c isinR
Natildeo haacute necessidade de usar duas constantes na integraccedilatildeo de uma equaccedilatildeo
separaacutevel int q(y) dy = int
p(x) dx pois se escrevermos Q(y) + c1 = P(x) + c
2 a diferenccedila c
2 ndash
c1 poderaacute ser substituiacuteda por uma uacutenica constante c resultando Q(y) = P(x) + c Em vaacuterias
ocasiotildees ao longo deste toacutepico renomearemos constantes de forma conveniente Por exemplo muacuteltiplos de constantes ou combinaccedilotildees de constantes podem algumas vezes ser substituiacutedas por uma uacutenica constante
Definiccedilatildeo 132 Chamamos de famiacutelia de funccedilotildees ao conjunto de vaacuterias funccedilotildees da forma y = f (x) + c c isinR ou seja ao conjunto formado pelas funccedilotildees que tem o mesmo comportamento a menos da constante c isinR
Exemplo a famiacutelia de funccedilotildees y(x) = x 3 ndash 2xsup2 + c
FIGURA 52 ndash Figura 12
FONTE O autor
NOTA
ndash 4
ndash 3
ndash 2
ndash 1
ndash 1ndash 2 1 2 3 4x
y
1
2
3
4x 3 ndash 2xsup2 + c
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
152
Exemplo 7Resolva a equaccedilatildeo diferencial yprime y + x = 0
ResoluccedilatildeoPodemos reescrever a equaccedilatildeo dada como
dydx
y + x = 0
Subtraindo x em ambos os lados da igualdade obtemos
dydx
y = ndashx
y dydx = ndashx
y d y dx
dx = ndashx dx
y dy = ndashx dx
int y dy = ndashint x dx
Vamos escrever apenas uma constante ao lado direito da igualdade junto agrave variaacutevel x
y x c
y x c
2 2
22
2 323
2
=minus
+
=minus
+
Considerando k = 2c temos
y x k222
3=minus
+
Podemos deixar a funccedilatildeo na forma impliacutecita
23
2 2x y k+ =
Neste caso eacute interessante deixar esta soluccedilatildeo na forma impliacutecita pois facilita a identificaccedilatildeo quanto ao tipo de curva obtida Neste exemplo obtemos uma elipse
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
153
OBSERVACcedilAtildeO Note que para natildeo carregar a notaccedilatildeo aplicamos a ideia de escrever apenas uma letra para as constantes que surgem no caacutelculo
Exemplo 8Determine a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo diferencial
dydx = sen (2x)
ResoluccedilatildeoRepetindo o procedimento utilizado nos exemplos anteriores temos
dy = sen (2x) dx
Integrando os dois lados da igualdade
int dy = int sen (2x) dx
Para resolver a integral obtida do lado direito da igualdade vamos aplicar a teacutecnica de substituiccedilatildeo
y = 12
int sen u du u = 2x
y = 12
(ndashcos u) + c du = 2 dx
y = ndash 12
cos (2x) + c 12
du = dx
FIGURA 53 ndash GRAacuteFICO DAS SOLUCcedilOtildeES DA EDO
FONTE O autor
-3
-2
-2-2 -2
-1-1-1
-1
0
00 0 x
1
11 1
2
22 2
33
3y
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
154
Exemplo 9Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo diferencial dy
dt = e t ndash y
Resoluccedilatildeodydt
= e t ndash y
Primeiramente vamos recordar a propriedade do produto de potecircncias de mesma base onde am an = a m + n com a m n isin R
Utilizaremos a propriedade da direita para a esquerda ou seja separando a expressatildeo am+n em um produto de duas potecircncias de mesma base
dydt
= e t middot e ndashy
dy = e t middot e ndashy dt
ey dy = et dt
int ey dy = int et dt
ey = et + c
Para isolar y precisamos aplicar o logaritmo natural (ln) a ambos os membros da igualdade
In ey = In (et + c)
Pelas propriedades operatoacuterias dos logaritmos em particular a propriedade da potecircncia do logaritmo temos que In ak = k middot In a e portanto
y In e = In (et + c)
Como In e = 1 temos
y = In (et + c)
Portanto y(t) = In (et + c) eacute soluccedilatildeo da EDO proposta
A
c isin R
Exemplo 10Resolva a equaccedilatildeo diferencial (2 + y) dt + (t ndash 3) dy = 0
ResoluccedilatildeoNa equaccedilatildeo (2 + y) dt + (t ndash 3) dy = 0 devemos separar as variaacuteveis Neste
caso deixamos y do lado esquerdo da igualdade e t do lado direito da igualdade
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
155
(t ndash 3) dy = ndash(2 + y) dt
dy2 + y = ndash dt
t ndash 3
Agora basta integrar os dois lados da igualdade
int dy2 + y = ndashint dt
t ndash 3
Estas integrais satildeo resolvidas aplicando a teacutecnica de substituiccedilatildeo donde obtemos
In(2 + y) = ndash In(t ndash 3) + c
In(2 + y) + In(t ndash 3) = c
Agora aplicamos a propriedade do produto de logaritmos de mesma base para a qual teremos In (a middot b) = In a + In b Utilizaremos a propriedade da direita para a esquerda ou seja multiplicaremos os logaritmandos e obteremos assim
In[(2 + y) middot (t ndash 3)] = c
Portanto a igualdade (2 + y) middot (t ndash 3) = ec
A
c isin R eacute uma soluccedilatildeo na forma impliacutecita da EDO proposta
Exemplo 11Resolva a equaccedilatildeo diferencial y prime = x e y ndash x
ResoluccedilatildeoPrimeiramente vamos mudar a notaccedilatildeo da derivada
dydx = x e y ndash x
Para resolver a equaccedilatildeo devemos separar as variaacuteveis
dydx = x e y e ndashx
Para isso multiplicamos ambos os lados da igualdade por e ndashy
e ndashy dydx = xe ndashx
e ndashy dy = xe ndashx dx
Integramos ambos os lados da igualdade
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
156
Para resolver a integral (1) utilizaremos a teacutecnica da substituiccedilatildeo
w = ndash y rArr dw = ndash dy
int e ndashy dy = ndashint ew dw = ndash ew + c1 = ndash e ndashy + c1
Enquanto que para a integral (2) aplicaremos a teacutecnica da integraccedilatildeo por partes
int udv = u middot v ndashint vdu u = x
int xe ndashx dx = x middot (ndash endashx) ndash int (ndash endashx) dx du = dx
int xe ndashx dx = ndash xendashx ndash endashx + c2 dv = endashx dx
v = ndash endashx
Retomando a igualdade int e ndashy dy = int xendashx dx temos
int e ndashy dy = int xendashx dx
ndashe ndashy + c1 = ndashxendashx ndashendashx + c2
Vamos escrever apenas uma constante do lado direto da igualdade e multiplicar ambos os lados por (-1) obtendo
e ndashy = xendashx + endashx + c
Colocando a expressatildeo endashx em evidecircncia no lado direito da igualdade
e ndashy = endashx (x + 1) + c
Para isolar a variaacutevel y aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade
In e ndashy = In [endashx (x + 1) + c]
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
157
Pela propriedade operatoacuteria da potecircncia do logaritmo temos
ndashy = In [endashx (x + 1) + c]
Portanto y(x) = ndashIn [endashx (x + 1) + c] eacute soluccedilatildeo da EDO proposta
A
c isin R
Exemplo 12
Encontre a soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo diferencial yprime = xy ndash yy + 1 no ponto
y(2) = 1
Resoluccedilatildeo
Deixamos a soluccedilatildeo na forma impliacutecita Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
158
c = 1
A funccedilatildeo y que satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial e atende agrave condiccedilatildeo y(2) = 1 eacute dada por
y(2) = 1
Continuamos a busca por soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem examinando a seguir as equaccedilotildees lineares
Definiccedilatildeo 141 Uma EDO da forma
yprime + p(x)y = q(x) ou
dydx + p(x)y = q(x)
onde p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees contiacutenuas em algum intervalo I eacute chamada de equaccedilatildeo diferencial linear de primeira ordem
4 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ordf ORDEM
Observe a forma deste tipo de EDO Cada equaccedilatildeo diferencial que estudaremos possui uma forma-padratildeo diferente Fique bastante atento
Teorema 141 A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
dydx + p(x)y = q(x) eacute
NOTA
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
159
y = 1
v(x) int v(x) q(x)dx
onde v(x) = eH(x) com H(x) = int p(x)dx A funccedilatildeo v(x) eacute chamada fator integrante
Desafie-se e faccedila a demonstraccedilatildeo matemaacutetica da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial linear
41 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Vamos descrever os passos para resolver uma equaccedilatildeo diferencial linear a qual utilizaremos o fator integrante
bull Escreva a equaccedilatildeo linear dada na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
bull Encontre uma primitiva de p(x) isto eacute resolva intp(x)dx
bull Encontre o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
bull Multiplique ambos os lados da equaccedilatildeo diferencial yprime + p(x)y = q(x) pela funccedilatildeo v(x)
bull Identifique do lado esquerdo da igualdade da derivada do produto
bull Resolva a equaccedilatildeo e se possiacutevel decirc a soluccedilatildeo na forma expliacutecita
Aplicaremos o meacutetodo em alguns exemplos para entendecirc-lo melhor
Exemplo 13Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprime + 3y = 12 (meacutetodo do fator integrante)
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
onde p(x) = 3 e q(x) = 12
O primeiro passo eacute calcular a primitiva de p(x)
H(x) = intp(x)dx entatildeo temos
UNI
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
160
H(x) = int3dx = 3x
Escrevendo o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = e3x
Agora multipliquemos a EDO por v(x)
e3x yprime + 3e3x y = 12e3x
Observemos o lado esquerdo nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = e3x teremos uprime = yprime e vprime = 3e3x Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
e3x y = 12inte3xdx
Atente para o fato de que a integral inte3xdx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
e3x y = 123
e3x + c
e3x y = 4e3x + c
Isolando a variaacutevel y
y = 4e3x middot endash3x + c endash3x
Portanto y(x) = 4 + c endash3x c isin R eacute soluccedilatildeo geral da EDO
Vamos deduzir um modelo de soluccedilatildeo geral para as equaccedilotildees lineares ordinaacuterias de primeira ordem com coeficientes constantes (deduccedilatildeo do fator integrante) ou seja
dydt + ay = b ou yprime + ay = b
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
161
Comparando a EDO apresentada com a forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x) identificamos que p(x) = a e q(x) = b Assim p(x) e q(x) satildeo constantes Neste caso
H(x) = intp(x)dx
H(x) = intadx = ax
e o fator integrante v(x) = eintp(x)dx fica
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eax
Multiplicando a EDO por v(x)
eax yprime + aeax y = beax
Observe o lado esquerdo da equaccedilatildeo nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = eax teremos uprime = yprime e vprime = aeax Entatildeo
Integrando ambos os membros da igualdade
eax y = binteaxdx
A integral inteaxdx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
eax y = ba
eax + c
Isolando a variaacutevel y
y = ba
eax endashax + c endashax
Portanto y(x) = ba
+ c endashax c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO yprime + ay = b
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
162
Caro(a) acadecircmico(a) Que tal voltar ao exemplo 13 e resolvecirc-lo usando o resultado demonstrado anteriormente
Exemplo 14Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprime + y = x
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
com p(x) =1 e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = intp(x)dx entatildeo temos
H(x) = intdx = x
Assim o fator integrante v(x) = eintp(x)dx eacute
v(x) = eH(x) rArr v(x) = ex
Multiplicamos a EDO por v(x)
ex yprime + ex y = xex
Observe o lado esquerdo da igualdade e identifique a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = ex teremos uprime = yprime e vprime = ex Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
ex y = intx ex dx
UNI
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
163
Para resolver esta integral intx ex dx precisaremos aplicar o meacutetodo da integraccedilatildeo por partes Considerando u = x e dv = ex dx teremos du = dx e v = ex Entatildeo
aplicando a foacutermula da integraccedilatildeo por partes intu dv = u middot v ndash intv du
ex y = xex ndash intex dx
ex y = xex ndash ex + c
Isolando a variaacutevel y
y = xexendashx ndash exendashx + c endashx
Portanto y(x) = x ndash 1 + c endashx c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 15Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo x
dydx = x2 ndash 5y
ResoluccedilatildeoVeja que a equaccedilatildeo diferencial natildeo estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
Entatildeo primeiro temos que reescrevecirc-la na forma-padratildeo
Assim identificamos p(x) = 5x e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = int 5x
dx = 5 In x
= In x5
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
164
E assim o fator integrante v(x) = eintp(x)dx pode ser escrito como
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eIn x 5
v(x) = x5
Multiplicando a EDO por v(x)
x5 yprime + x5 5x
y = x x5
x5 yprime + 5x4 y = x6
Observe o lado esquerdo da igualdade Nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = x5 teremos uprime = yprime e vprime = 5x 4 Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
x5 y = intx6 dx
x5 y = x7
7 + c
y = x7
7 x ndash5 + cx ndash5
Portanto y(x) = x2
7 + cx ndash5 eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
A
x isin R
Exemplo 16
Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo dydx + 4x3 y = 20x3
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x)
Identificamos p(x) = 4x3 e q(x) = 20x3
Vamos calcular a primitiva de p(x)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
165
H(x) = intp(x) dx entatildeo temos
H(x) = int4x3 dx = x 4
Escrevemos o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = ex 4
Multiplicamos a EDO por v(x)
ex 4 yprime + 4x3 ex 4 y = 20x3 ex 4
Observamos o lado esquerdo da igualdade nele devemos identificar a derivada do produto (u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = ex 4 teremos uprime = yprime e vprime = 4x3 ex 4 Entatildeo
Integramos ambos os lados da igualdade
ex 4 y = 20 intx3 ex 4 dx
A integral intx3 ex 4 dx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
e y e c
y e e c e
x x
x x x
4 4
4 4 4
20 14
5
= sdot +
= sdot sdot + sdotminus minus
Portanto y c e x= + sdot minus54
A
x isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
O exemplo a seguir traz uma aplicaccedilatildeo praacutetica de EDO no movimento retiliacuteneo uniformemente variado
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
166
Exemplo 17Sabe-se que no movimento retiliacuteneo uniformemente variado a aceleraccedilatildeo
a = dvdt eacute constante Supondo que o movimento parte do repouso e sabendo que
v = dsdt determine s(t)
ResoluccedilatildeoPartimos da primeira EDO apresentada
dvdt = a
dsdt = v
intdv = inta dt dsdt = at + v0
v = at + c1 intds = int(at + v0) dt
v(t) = at + c1 s = at 2
2 + v0t + c2
s(t) = at 2
2 + v0t + c2
Fazendo c1 = v0 onde v0 seraacute a velocidade inicialbullbull bull
v(t) = at + v0 Substituindo c2 = s0 onde s0 seraacute a posiccedilatildeo inicial
bullbull bull s(t) = at 2
2 + v0t + s0
O proacuteximo exemplo traz um problema de valor inicial (PVI) Vamos entender como se resolve um problema que apresenta uma condiccedilatildeo inicial
Exemplo 18Resolva o seguinte problema do valor inicial yprime + 2
x y = x x gt 0 y(2) = 3
ResoluccedilatildeoIdentificamos p(x) = 2
x e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = int 2x
dx = 2 In |x|
H(x) = In x 2
Escrevemos o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eIn x 2
v(x) = x 2
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
167
Multiplicamos a EDO por v(x)
x 2 yprime + x 2 2x
y = x 2 x
x 2 yprime + 2xy = x 3
Observando o lado esquerdo devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = x 2 teremos uprime = yprime e vprime = 2x Entatildeo
Integramos ambos os lados da EDO
x 2 y = intx 3 dx
x 2 y = x 4
4 + C
Portanto y(x) = x 2
4 + C
x 2
A
x isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado y(2) = 3 para encontrarmos a soluccedilatildeo particular
y = 2 2
4 + C
2 2 = 3
1 + C4
= 3
C4
= 2
C = 8
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
168
Portanto y(x) = x 2
4 + 8
x 2
A
x gt 0 eacute a soluccedilatildeo particular da EDO
Observe que a soluccedilatildeo deste problema de valor inicial eacute vaacutelida em todo intervalo ]0 +infin[ conforme a figura a seguir mostra esta soluccedilatildeo
FIGURA 54 ndash SOLUCcedilAtildeO DO PROBLEMA
FONTE O autor
Estudaremos outro tipo de equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem as chamadas equaccedilotildees diferenciais exatas onde destacamos o uso das derivadas parciais A seguir veremos a definiccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial exata e o teorema que estabelece um criteacuterio para identificar se uma EDO eacute exata
Definiccedilatildeo 151 Uma expressatildeo diferencial M(xy) dx + N(xy) dy eacute uma diferencial exata em uma regiatildeo R do plano xy se ela corresponde agrave diferencial total de alguma funccedilatildeo F(xy) ou seja dF= M(xy) dx + N(xy) dy
Teorema 151 (Criteacuterio para diferencial exata) Sejam M(xy) e N(xy) contiacutenuas e com derivadas parciais de primeira ordem contiacutenuas em uma regiatildeo R (retangular) definida por a lt x lt b e c lt y lt d Entatildeo uma condiccedilatildeo necessaacuteria e suficiente para que M(xy) dx + N(xy) dy seja uma diferencial exata eacute partM
party = partN
partx
5 EQUACcedilOtildeES EXATAS
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
169
51 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
bull Verificar se a equaccedilatildeo M(xy) dx + N(xy) dy eacute exata
bull Se for exata entatildeo existe uma funccedilatildeo f para a qual partf partx
= M(xy)
bull Integrando a equaccedilatildeo exata em relaccedilatildeo a variaacutevel x (mantendo o y constante) para encontrar f obtemos f (xy) = intM(xy) dx + o (y) onde a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) eacute a constante de integraccedilatildeo
bull Agora precisamos encontrar a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) Derive a funccedilatildeo f (xy) em relaccedilatildeo a variaacutevel y encontrada anteriormente e supomos que partf
party = N(xy) Da
comparaccedilatildeo determina-se oprime(y)
bull Finalmente integramos oprime (y) em relaccedilatildeo a y e substituiacutemos o valor encontrado para o (y) na funccedilatildeo f (xy)
bull A soluccedilatildeo eacute a funccedilatildeo impliciacuteta f (xy) = c
Exemplo 19Resolva a equaccedilatildeo diferencial (x+y)dx + (e y + x)dy = 0
ResoluccedilatildeoEm primeiro lugar precisamos verificar se esta equaccedilatildeo eacute exata
Sendo M(xy) = x + y e N(xy) = e y + x verificaremos se partM party
= partN partx
Como partM party
= 1 e partN partx
= 1 a EDO eacute exata
Entatildeo existe f (xy) tal que partf partx = x + y
Vamos integrar partf partx = x + y em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x (mantendo o y constante)
para encontrar f
f (xy) = int(x + y) dx
f (xy) = x 2
2 + xy + o (y)
Para encontrar a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivemos a funccedilatildeo f (xy) em relaccedilatildeo agrave y
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
170
Comparando a derivada parcial encontrada partf party
= x + oprime (y) com N(xy) partf party
= N(xy)
x + oprime (y) = e y + x daiacute temos
oprime (y) = e y
Agora vamos integrar oprime (y) = e y Entatildeo
intoprime(y)dy = int e dyy
o (y) = e y + c
Voltando na f (xy) e substituindo o (y) temos
f (xy) = x 2
2 + xy + e y + c c isin R
Definiccedilatildeo 152 Chamamos de curvas integrais as vaacuterias funccedilotildees (soluccedilotildees) de uma EDO
Exemplo 20Encontre as curvas integrais de 2xy dx + (x 2 ndash 1) dy = 0
ResoluccedilatildeoSendo M (xy) = 2xy e N (xy) = x 2 ndash 1 temos
partM party
= 2x = partN partx
Assim a EDO eacute exata
Entatildeo existe f (xy) tal que partf partx
= 2xy
Integrando partf partx
= 2xy em relaccedilatildeo a x obtemos
f (xy) = int2xy dx
f (xy) = x 2 y + o (y)
Agora encontraremos a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivando f (xy) em y
partf party
= x 2 + oprime (y)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
171
Comparamos a derivada parcial encontrada acima com N (xy) partf party
= N (xy)
x 2 + oprime (y) = x 2 ndash 1 daiacute
oprime (y) = ndash1
Agora integramos oprime (y) = ndash1 Entatildeo
o (y) = ndash intdy
o (y) = ndash y + c
Logo f (xy) = x 2 y ndash y + c c isin R
Nos exemplos 19 e 20 a funccedilatildeo f (xy) estaacute na forma impliacutecita Escreva a funccedilatildeo na forma expliacutecita y = f (x)
Exemplo 21Resolva a EDO (y cos x + 2x e y) dx + (sen x + x 2 e y ndash 1) dy = 0
ResoluccedilatildeoVerifiquemos se a equaccedilatildeo diferencial eacute exata
Sendo M (xy) = y cos x + 2x e y e N (xy) = sen x + x 2 e y ndash 1 temos
partM party = cos x + 2x e y =
partN partx
Assim a EDO eacute exata
Logo existe f (xy) tal que partf partx
= y cos x + 2x e y
Integrando partf partx
= y cos x + 2x e y em relaccedilatildeo agrave x obtemos
f (xy) = int(y cos x + 2x e y) dx
f (xy) = y sen x + x 2 e y + o (y)
Agora encontraremos a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivando f (xy) em y
UNI
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
172
partf party
= sen x + x 2 e y + oprime (y)
Comparemos a derivada parcial encontrada partf party
= sen x + x 2 e y + oprime (y) com N (xy)
sen x + x 2 e y + oprime (y) = sen x + x 2 e y ndash 1
oprime (y) = ndash 1
Entatildeo
o (y) = ndash intdy
o (y) = ndashy + c c isin R
Logo f (xy) = y sen x + x 2 e y ndash y + c
Exemplo 22
Verifique se a equaccedilatildeo (x In y ndash e ndashxy) dx + 1y
+ y In x dy = 0 eacute exata
ResoluccedilatildeoSejam M (xy) = x In y ndash e ndashxy e N (xy) = 1
y + y In x
Entatildeo partM party
= x middot 1y
+ xe ndashxy e partN partx
= y middot 1x
vsAssim partM party
ne partN partx
Portanto a EDO natildeo eacute exata
OBSERVACcedilAtildeO Para resolver esta equaccedilatildeo diferencial eacute preciso utilizar um outro procedimento que natildeo veremos neste caderno mas que vocecirc pode encontrar por exemplo em BOYCE W DI PRIMA R C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores de contorno 7ordf Ed Satildeo Paulo LTC 2002
UNI
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
173
Exemplo 23Encontre a curva integral da equaccedilatildeo (2x sen y + e x cos y) dx + (x 2 cos y ndash e x
sen y) dy = 0 que passa pelo ponto y (0) = p4
ResoluccedilatildeoO enunciado do exemplo 23 nos traz um problema de valor inicial para
uma EDO exata
Verificaremos se a EDO eacute exata
Sendo M (xy) = 2x sen y + e x cos y e N (xy) = x 2 cos y ndash e x sen y temos
partM party
= 2x cos y ndash e x sen y = partN partx
Assim a EDO eacute exata
Como a equaccedilatildeo eacute exata entatildeo existe f (xy) tal que partf partx
= 2x sen y + e x cos y
Integrando partf partx
= 2x sen y + e x cos y em relaccedilatildeo a x obtemos
f (xy) = int(2x sen y + e x cos y) dx
f (xy) = x 2 sen y + e x cos y + o (y)
partf party
= x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y)
Comparamos a derivada parcial encontrada partf party
= x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y) com N (xy)
x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y) = x 2 cos y ndash e x sen y
oprime (y) = 0
Agora integramos oprime (y) = 0 Entatildeo
o (y) = c
Logo f (xy) = x 2 sen y + e x cos y + c c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado y (0) =
p4
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
174
x 2 sen y + e x cos y = c
02 sen p4 + e 0 cos
p4 = c
c = radic22
Portanto x 2 sen y + e x cos y = radic22 eacute a soluccedilatildeo particular da EDO ou seja a
curva integral que passa pelo ponto y (0) = p4
Caro(a) acadecircmico(a) Se depois da leitura do Toacutepico 1 e da realizaccedilatildeo dos exerciacutecios ainda tiver duacutevidas procure esclarececirc-las antes de iniciar o estudo do Toacutepico 2 Bons estudos
NOTA
175
Neste toacutepico estudamos as Equaccedilotildees Diferenciais de Primeira Ordem
bull Iniciamos conhecendo os termos e conceitos relativos agraves equaccedilotildees diferenciais e a partir daiacute estudamos trecircs tipos de equaccedilotildees diferenciais
bull O primeiro tipo de equaccedilatildeo estudada foi a Separaacutevel cuja forma-padratildeo eacute dada
por yprime = p(x) middot q(y) ou dydx
= p(x) middot q(y) ou yprime q(y) = p(x) A resoluccedilatildeo deste tipo de
EDO eacute feita atraveacutes da separaccedilatildeo das variaacuteveis e em seguida faz-se a integraccedilatildeo da igualdade
bull O segundo tipo de equaccedilatildeo estudada foi a Equaccedilatildeo Diferencial Linear de Primeira
Ordem que tem a forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) ou dydx
+ p(x) y = q(x) Para a sua
resoluccedilatildeo utilizamos o fator integrante v(x) = eH(x) onde H(x) = intp(x)dx
bull E o terceiro tipo de equaccedilatildeo diferencial estudada foi a Equaccedilatildeo Exata cuja forma-padratildeo eacute expressa por M (xy) dx + N (xy) dy O procedimento de resoluccedilatildeo requer
que trabalhemos com partf partx
= M (xy) e partf party
= N (xy) seguindo todo o procedimento
jaacute estudado
RESUMO DO TOacutePICO 1
176
Nos problemas 1 e 2 resolva por separaccedilatildeo de variaacuteveis as equaccedilotildees diferenciais dadas
1 dydx
= (x + 1)2
2 dydt
= t 2
y 2
Nos problemas 3 e 4 resolva as equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem dadas
3 dydx
ndash 3x
y = x
4 dydx
+ y = e 3x
Nos problemas 5 e 6 resolva as equaccedilotildees diferenciais exatas
5 (5x + 4y)dx + (4x ndash 8y3)dy = 0
6 (sen y ndash y sen x)dx + (cos x + x cos y)dy = 0
Nas EDO a seguir identifique o tipo de EDO e encontre a funccedilatildeo desconhecida
7 yprime + 3x 2 y = x 2
8 dydx
= 3x 2 + 4x + 2
2 (y ndash 1) y (0) = 1
9 (3x 2 ndash 2xy + 2) + (6y 2 ndash x 2 + 3) yprime = 0
10 dydx
= e 3x + 2y
AUTOATIVIDADE
177
TOacutePICO 2
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE
PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI
21 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
No Toacutepico 2 estudaremos mais tipos de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem tais como Equaccedilotildees de Bernoulli e Equaccedilotildees homogecircneas A resoluccedilatildeo destas equaccedilotildees requer algum tipo de substituiccedilatildeo
Definiccedilatildeo 221 Uma equaccedilatildeo de primeira ordem da forma yprime + p(x) y = q(x) y n onde p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees definidas e contiacutenuas em algum intervalo I e n eacute um nuacutemero real tal que n ne 0 e n ne 1 eacute chamada de equaccedilatildeo de Bernoulli
bull Escrever a equaccedilatildeo na forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) y n
bull Identificar as funccedilotildees p(x) q(x) e o valor de n
bull Indicar a substituiccedilatildeo que seraacute feita e aplicar a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
bull Agora a EDO eacute uma linear de primeira ordem sendo uprime + p(x) u = q(x)
bull Calcular o fator integrante e obter a soluccedilatildeo
178
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
A equaccedilatildeo de Bernoulli y + p(x) y = q(x) y n que embora seja de primeira ordem e natildeo linear (quando n ne 1) se transforma em uma equaccedilatildeo diferencial linear atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y 1 ndash n
Vamos mostrar como que se chega agrave foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
Seja a equaccedilatildeo de Bernoulli dada por
yprime + p(x) y = q(x) y n
Multipliquemos a equaccedilatildeo por u = y ndashn
yprime y ndashn + p(x) yy ndashn = q(x) yn y ndashn
yprime y ndashn + p(x) y 1 ndash n = q(x) Vamos fazer uma substituiccedilatildeo u = y 1 ndash n Daiacute
uprime = (1 ndash n) y ndashn yprime
yprime = uprime
(1 ndash n) y ndashn
Retornando agrave equaccedilatildeo e fazendo as substituiccedilotildees obtemos
uprime(1 ndash n)
+ p(x) u = q(x)
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
Exemplo 1Encontre as curvas integrais para a equaccedilatildeo x dy
dx + y = x 2 y 2
ResoluccedilatildeoPrimeiro precisamos escrever a EDO na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de
Bernoulli
Seja xyprime + y = x 2 y 2 Multiplicando ambos os lados da igualdade por 1x
com x ne 0 obtemos
1x
middot (xyprime + y) = 1x
middot x 2 y 2
NOTA
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
179
1x
middot xyprime + 1x
middot y = 1x
middot x 2 y 2
yprime + 1x
y = xy 2
Agora a EDO estaacute na forma yprime + p(x) y = q(x) y n e poderemos transformaacute-la numa equaccedilatildeo diferencial linear considerando u = y ndash1 e
p(x) = 1x
q(x) = x e n = 2
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 2) middot 1x
middot u = (1 ndash 2) middot x
uprime + (ndash1) 1x
u = (ndash1) x
uprime ndash 1x
u = ndashx
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 1x
dx
H(x) = ndashIn x
v(x) = e ndashIn x
v(x) = x ndash1
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash1 em ambos os lados da igualdade obtemos
x ndash1 uprime ndash 1x
x ndash1 u = ndashxx ndash1
x ndash1 u = ndash intdx
x ndash1 u = ndashx + c
u = ndashx 2 + cx
180
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash1 feita no iniacutecio
y ndash1 = ndashx 2 + cx
y = (ndashx 2 + cx)ndash1
Portanto y(x) = 1
ndashx 2 + cx c isin R
Exemplo 2Resolva a EDO yprime + 4y = 3e 2x y 4
ResoluccedilatildeoA EDO jaacute estaacute na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de Bernoulli
Entatildeo aplicamos a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x) para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash3 e
p(x) = 4 q(x) = 3e 2x e n = 4
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 4) middot 4 middot u = (1 ndash 4) middot 3e 2x
uprime + (ndash3) middot 4u = (ndash3) middot 3e 2x
uprime ndash12u = ndash9e 2x
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int(ndash12) dx
H(x) = ndash12x
v(x) = e ndash12x
Multiplicando o fator integrante v(x) = e ndash12x em ambos os membros da igualdade obtemos
e ndash12x uprime ndash 12 e ndash12x u = e ndash12x (ndash9e 2x)
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
181
e ndash12x u = int(ndash9e ndash10x) dx
Para resolver esta integral vamos aplicar o meacutetodo da substituiccedilatildeo considerando
w = ndash10x rArr dw = ndash10 dx
Entatildeo e ndash12x u = 910
intew dw
e ndash12x u = 910
ew + c
e ndash12x u = 910
e ndash10x + c
e ndash12x e12x u = 910
e ndash10x e12x + c middot e12x
u = 910
e 2x + c middot e12x
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash3 feita no iniacutecio
u = 910
e 2x + c middot e12x
y ndash3 = 910
e 2x + c middot e12x
Portanto y(x) = 910
e 2x + c middot e12x
ndash⅓
c isin R eacute soluccedilatildeo geral da EDO proposta
Exemplo 3Encontre a soluccedilatildeo geral para a equaccedilatildeo xyprime + y = ndashxy 2
ResoluccedilatildeoEscrevendo a EDO na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de Bernoulli
Seja xyprime + y = ndashxy 2 multiplicamos ambos os lados da igualdade por 1x
1x
middot xyprime + 1x
middot y = ndash 1x
xy 2
yprime + 1x
y = ndashy 2
Assim a EDO estaacute na forma yprime + p(x) y = q(x) y n
Entatildeo aplicamos a foacutermula mostrada acima para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash1
182
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
p(x) = 1x
q(x) = ndash1 e n = 2
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 2) middot 1x
middot u = (1 ndash 2) (ndash1)
uprime + (ndash1) 1x
u = (ndash1) (ndash1)
uprime ndash 1x
u = 1
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 1x
dx
H(x) = ndashIn x
v(x) = e ndashIn x
v(x) = x ndash1
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash1 na equaccedilatildeo obtemos
x ndash1 uprime ndash 1x
x ndash1 u = x ndash1
x u - x u = x-1 -2
derivada do produto
-1prime
ddx
x u = x-1 -1
x ndash1 u = int 1x
dx
x ndash1 u = In x + c
u = x In x + cx
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = u = y ndash1 feita no iniacutecio
y ndash1 = x In x + cx
Portanto y(x) = 1
x In x + cx c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 4Encontre as curvas integrais para a equaccedilatildeo yprime + 2
x y =
y 3
x 2
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
183
ResoluccedilatildeoA EDO eacute uma equaccedilatildeo de Bernoulli Entatildeo aplicamos a foacutermula uprime + (1 ndash n)
p(x) u = (1 ndash n) q(x) para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash2
p(x) = 2x
q(x) = 1x 2 e n = 3
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 3) middot 2x
middot u = (1 ndash 3) 1x 2
uprime + (ndash2) 2x
u = (ndash2) 1x 2
uprime ndash 4x
u = ndash2x ndash2
Logo obtemos uma EDO linear Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 4x
dx
H(x) = ndash 4 In x
v(x) = e ndash 4 In x
v(x) = e In x ndash 4
v(x) = x ndash 4
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash 4 na equaccedilatildeo obtemos
x ndash 4 uprime ndash 4x
x ndash 4 u = ndash 2xndash2 middot x ndash 4
x ndash4 u = ndash 2 intx ndash6 dx
x ndash4 u = ndash 2 x ndash5
ndash5 + c
x ndash4 u = 25
x ndash5 + c
x 4 middot x ndash4 u = 25
x ndash5 middot x 4 + c middot x 4
184
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
u = 25
x ndash1 + c middot x 4
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash2 feita no iniacutecio
y ndash2 = 25x
+ cx 4
Portanto c isin R satildeo curvais integrais (soluccedilotildees) da EDO
3 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS HOMOGEcircNEAS
31 FUNCcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
Vamos estudar equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem que podem ser transformadas em equaccedilotildees jaacute estudadas em seccedilotildees anteriores
Definiccedilatildeo 2311 Uma funccedilatildeo f = f (xy) eacute dita homogecircnea de grau n se substituindo-se x por λx e y por λy for verdadeira a igualdade f (λxλy) = λn f (xy) para todo real λ ne 0
Por exemplo as funccedilotildees listadas a seguir satildeo homogecircneas de graus
respectivamente trecircs um e zero f (xy) = xy 2 + x 2 y f (xy) = f (xy) = x + yx ndash 3y
Exemplo 5
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = xy 2 + x 2 y eacute homogecircnea e se for indique o grau
ResoluccedilatildeoPara mostrar que f eacute homogecircnea devemos verificar a igualdade f (λxλy)
= λn f (xy) λ isin IR
f (λxλy) = λx (λy) 2 + (λx) 2 λy
f (λxλy) = λxλ2 y 2 + λ2x 2 λy
f (λxλy) = λ3xy 2 + λ3x 2y
f (λxλy) = λ3 (xy 2 + x 2y)
f (λxλy) = λ3 f (xy)
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
185
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau 3
Exemplo 6Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = eacute homogecircnea e se for indique o
grau
Resoluccedilatildeo
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau 1
Exemplo 7Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = xy 2 + ex + y eacute homogecircnea e se for indique o grau
Resoluccedilatildeo
f (λxλy) = λx (λy) 2 + eλx + λy
f (λxλy) = λxλ2y 2 + eλx + λy
f (λxλy) = λ3xy 2 + eλ(x + y)
f (λxλy) ne λn f (xy)
Portanto a funccedilatildeo f natildeo eacute homogecircnea
186
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Exemplo 8Verifique se a funccedilatildeo f (xy) =
x + yx ndash 3y
eacute homogecircnea e se for indique o grau
Resoluccedilatildeo
f (λxλy) = λx + λy
λx ndash 3λy
f (λxλy) = λ(x + y)
λ(x ndash 3y)
f (λxλy) = x + yx ndash 3y
f (λxλy) = f (xy)
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau zero
32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
Definiccedilatildeo 2321 Uma equaccedilatildeo diferencial homogecircnea eacute uma equaccedilatildeo da forma
yprime = f (xy)
onde f = f (xy) eacute uma funccedilatildeo homogecircnea de grau zero ou seja
f (λxλy) = f (xy)
A
λ ne 0
Definiccedilatildeo 2322 As equaccedilotildees diferenciais homogecircneas podem ser transformadas em equaccedilotildees do tipo M (xy) dx + N (xy) dy = 0 onde M e N satildeo funccedilotildees homogecircneas do mesmo grau
Isto quer dizer que a equaccedilatildeo M (xy) dx + N (xy) dy = 0 seraacute homogecircnea se M (λxλy) = λn M (xy) λ isin IR e N (λxλy) = λn N (xy) λ isin IR
Exemplo 9Verifique se a equaccedilatildeo (x 2 ndash y 2) dx ndash 5xy dy = 0 eacute homogecircnea
ResoluccedilatildeoTemos que verificar se M (λxλy) = λn M (xy) e N (λxλy) = λn N (xy) tecircm
mesmo grau
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
187
321 Meacutetodo de resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
Seja uma EDO homogecircnea de primeira ordem vejamos como proceder para resolver esta equaccedilatildeo diferencial homogecircnea
O primeiro passo eacute colocar a equaccedilatildeo na forma dydx
= g yx onde g eacute uma
funccedilatildeo contiacutenua de uma uacutenica variaacutevel
Fazendo v = yx entatildeo y = vx e
dydx
= x dvdx
+ v e g yx fica g (v)
Entatildeo a equaccedilatildeo pode ser escrita como
x dvdx
+ v = g (v)
que pode ser reescrita na forma
dvg (v) ndash v
= dxx
Note que essa equaccedilatildeo eacute separaacutevel Entatildeo podemos resolvecirc-la como uma equaccedilatildeo diferencial separaacutevel e escrever a soluccedilatildeo em funccedilatildeo de x e de y
substituindo v por yx
M (xy) = x 2 ndash y 2 N (xy) = ndash5xy
M (λxλy) = (λx) 2 ndash (λy) 2 N (λxλy) = ndash5 (λx) (λy)
M (λxλy) = λ2 x 2 ndash λ2 y 2 N (λxλy) = ndash5 λ2xy
M (λxλy) = λ2 (x 2 ndash y 2) N (λxλy) = λ2 (ndash5xy)
M (λxλy) = λ2 M (xy) N (λxλy) = λ2 N (xy)
Portanto a equaccedilatildeo (x 2 ndash y 2) dx ndash 5xy dy = 0 eacute homogecircnea
Pode-se resolver uma equaccedilatildeo diferencial homogecircnea transformando-a em uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis fazendo uma substituiccedilatildeo adequada
188
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Vejamos outra situaccedilatildeo seja uma equaccedilatildeo homogecircnea dada na forma M
(xy) dx + N (xy) dy = 0
Entatildeo M (xy) dx = -N (xy) dy rArr dydx
= M (xy)N (xy)
Como a equaccedilatildeo eacute homogecircnea M e N tecircm o mesmo grau de homogeneidade
n Entatildeo se dividirmos M e N por λn transformaremos ndash M (xy)N (xy)
numa funccedilatildeo do
tipo dydx
= g yx
Daiacute segue o mesmo procedimento acima
Exemplo 10Mostre que a equaccedilatildeo diferencial yprime =
3x 2 + y 2
xy eacute homogecircnea e encontre sua
soluccedilatildeo geral
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo eacute homogecircnea pois supondo λ ne 0
f (λxλy) = 3(λx) 2 + (λy) 2
(λx) (λy)
f (λxλy) = λ2 (3x 2 + y 2)
λ2 (xy)
f (λxλy) = 3x 2 + y 2
xy
f (λxλy) = f (xy)
Definindo v = yx e substituindo na equaccedilatildeo diferencial temos
Como y = vx entatildeo dydx = x
dvdx + v
Logo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
3 + v 2
v
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
189
x dvdx =
3 + v 2
v ndash v
x dvdx =
3v
v dv = 3x
dx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
intv dv = int 3x
dx
v 2
2 = 3 In |x| + c c isin R
v 2 = 6 In |x| + 2c c isin R
Substituindo v por yx e k = 2c temos
y 2
x 2 = 6 In |x| + k k isin R
Logo a soluccedilatildeo geral tem a forma y 2 = 6x 2 In |x| + x2k k isin R
Exemplo 11Mostre que a equaccedilatildeo yprime =
2y 4 + x 4
xy 3 eacute homogecircnea e resolva a equaccedilatildeo diferencial
ResoluccedilatildeoVamos mostrar que a EDO eacute homogecircnea de grau zero supondo λ isin IR
f (λxλy) = 2(λy) 4 + (λx) 4
(λx) (λy) 3
f (λxλy) = 2λ4 y 4 + λ4 x 4
λ4xy 3
f (λxλy) = λ4 (2y 4 + x 4)
λ4xy 3
f (λxλy) = f (xy)
Definindo v = yx e substituindo na equaccedilatildeo diferencial temos
190
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
dydx =
2y 4 + x 4
xy 3
dydx =
2v 4 + 1v 3
Como y = vx entatildeo dydx = x
dvdx + v
Logo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
2v 4 + 1v 3
x dvdx =
2v 4 + 1v 3 ndash v
x dvdx =
v 4 + 1v 3
v 3
v 4 + 1 dv = dxx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
intv 3
v 4 + 1 dv = intdxx
14
In (v 4 + 1) = In |x| + c c middot R
In (v 4 + 1) = 4 In |x| + 4c
eIn (v 4 + 1) = e 4 In |x| + 4c
v 4 + 1 = e In x 4 + 4c
v 4 + 1 = x 4 e 4c c isin R
Fazendo k = e 4c temos
v 4 + 1 = kx 4
Isso nos daacute
v 4 = kx 4 ndash 1 k middot R
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
191
Substituindo v por yx temos
y 4
x 4 = kx 4 ndash 1
Logo y 4 = kx 8 ndash x 4 k isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 12
Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo homogecircnea yprime = y 2 ndash x 2
2xy
ResoluccedilatildeoSejam y = vx e
dydx = x
dvdx + v A EDO natildeo linear homogecircnea assume a forma
dydx =
y 2 ndash x 2
2xy
dydx =
v 2 ndash 12v
Entatildeo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
v 2 ndash 12v
x dvdx =
v 2 ndash 12v ndash v
x dvdx =
ndashv 2 ndash 12v
2vv 2 + 1
dv = ndash dxx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
int2v
v 2 + 1 dv = ndashintdxx
In |v 2 + 1| = ndashIn |x| + c c isin R
In |v 2 + 1| + In |x| = c
192
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
eIn |v 2 + 1| + In |x| = e c
eIn |v 2 + 1| e In |x| = e c
|v 2 + 1||x| = ec
Substituindo v por yx e k = ec temos
Portanto y 2
x + x = k k isin R eacute soluccedilatildeo da EDO
193
Neste toacutepico vimos outros dois tipos de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem
bull As equaccedilotildees de Bernoulli e as equaccedilotildees exatas
bull A diferenccedila das equaccedilotildees estudadas no toacutepico anterior eacute que nestas precisamos fazer alguma substituiccedilatildeo para resolvecirc-las
bull A equaccedilatildeo linear de Bernoulli tem a forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) y n A substituiccedilatildeo que temos que fazer eacute dada por u = y 1ndashn e utilizamos a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x) Com isso a equaccedilatildeo eacute reduzida a uma equaccedilatildeo linear
bull A outra equaccedilatildeo estudada foi a equaccedilatildeo homogecircnea com forma-padratildeo M (xy)
dx + N (xy) dy = 0 onde M e N satildeo funccedilotildees homogecircneas do mesmo grau
Para obter a soluccedilatildeo devemos escrever a EDO na forma dydx
= g yx e fazer a
substituiccedilatildeo v = yx
RESUMO DO TOacutePICO 2
194
AUTOATIVIDADE
Nos problemas 1 e 2 resolva as equaccedilotildees diferenciais lineares de Bernoulli
1 x dydx + y =
1y 2
2 yprime = y (xy 3 ndash 1)
3 Resolva a equaccedilatildeo diferencial homogecircnea (x ndash y) dx + x dy = 0
Nas EDO a seguir identifique o tipo de EDO e encontre a funccedilatildeo desconhecida
4 xy 2 dydx = y 3 ndash x 3 y (1) = 2
5 x 2 dydx + y 2 = xy
6 (x 2 + y 2) dx + xy dy = 0
195
TOacutePICO 3
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES
DE SEGUNDA ORDEM
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
Finalizamos a unidade com o Toacutepico 3 as equaccedilotildees diferenciais lineares de segunda ordem Aqui estudaremos apenas as equaccedilotildees lineares homogecircneas com coeficientes constantes Estas equaccedilotildees satildeo de resoluccedilatildeo mais simples devido a um procedimento de substituiccedilatildeo por uma equaccedilatildeo de segundo grau chamada de equaccedilatildeo caracteriacutestica ou auxiliar
Definiccedilatildeo 321 Uma equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem eacute da forma
a1 (x) d 2 y
dx 2 + a2 (x) dy
dx + a3 (x)y = o (x)
onde os coeficientes a1 (x) a2
(x) a3 (x) satildeo contiacutenuos e o (x) tambeacutem eacute uma
funccedilatildeo contiacutenua em algum intervalo I
Definiccedilatildeo 322 Uma equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem da forma
a1 (x) d 2 y
dx 2 + a2 (x) dy
dx + a3 (x)y = 0
eacute chamada de homogecircnea onde os coeficientes a1 (x) a2
(x) a3 (x) satildeo
contiacutenuos em algum intervalo I
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
196
Para as equaccedilotildees lineares homogecircneas eacute vaacutelido o princiacutepio da superposiccedilatildeo que diz que se y
1 (x) e y
2 (x) satildeo soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial entatildeo
y (x) = c1 y
1 (x) + c
2 y
2 (x)
tambeacutem o eacute para todas as constantes c1 e c
2 A expressatildeo colocada anteriormente eacute
chamada combinaccedilatildeo linear de y1 (x) e y
2 (x)
Isso eacute o que diz o teorema da superposiccedilatildeo onde a soma ou superposiccedilatildeo de duas ou mais soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo
Teorema 321 (Princiacutepio da superposiccedilatildeo ndash Equaccedilotildees Homogecircneas) Se y1
(x) e y2 (x) satildeo soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea em algum intervalo I
entatildeo a combinaccedilatildeo linear
y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2
(x)
onde c1 e c2 satildeo constantes arbitraacuterias eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo no intervalo I
Definiccedilatildeo 323 Para as equaccedilotildees diferenciais lineares homogecircneas fixadas as soluccedilotildees y1
(x) e y2 (x) definimos o wronskiano dessas soluccedilotildees pelo determinante
Joacutezef Maria Wronski (1778-1853) foi um matemaacutetico polonecircs O wronskiano eacute definido como um determinante cuja primeira linha eacute ocupada pelas funccedilotildees e as linhas seguintes satildeo formadas pelas suas derivadas ateacute a ordem n ndash 1 E o wronskiano pode ser utilizado como um teste de independecircncia linear para as soluccedilotildees das EDOs
Suponha que y1 (x) e y2
(x) sejam duas soluccedilotildees Entatildeo a combinaccedilatildeo linear dessas duas soluccedilotildees eacute uma soluccedilatildeo geral dada por
y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2
(x)
NOTA
UNI
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
197
Derivando y (x) temos
yprime (x) = c1 yprime 1 (x) + c2 yprime
2 (x)
Substituindo-se x = x 0 nas equaccedilotildees obtemos o sistema de equaccedilotildees
y (x0) = c1 y1 (x0) + c2 y2
(x0)yprime (x0) = c1 yprime 1
(x0) + c2 yprime 2 (x0)
que pode ser escrito na forma A bull X = B em que
Logo o determinante da matriz A leva o nome de Wronskiano e eacute denotado por
W (y1 y2) (t) = det
Exemplo 1As funccedilotildees y1(x) = e 5x e y2(x) = e ndash 5x satildeo ambas soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial
linear homogecircnea yprimeprime ndash 25y = 0 no intervalo ]ndashinfin infin[ Verifique que o wronskiano eacute diferente de zero e escreva a soluccedilatildeo da EDO
ResoluccedilatildeoSejam y1(x) = e 5x e y2(x) = e ndash 5x Precisamos derivar as funccedilotildees para calcular o
wronskiano
yprime1(x) = 5e 5x e yprime2(x) = ndash5e ndash 5x entatildeo
W(x) = ndash5e ndash 5x middot e 5x ndash 5e 5x middot e ndash 5x = ndash 10 ne 0
W(x) =
Conforme o teorema acima a soluccedilatildeo dessa EDO tem a forma y (x) = c1 y1
(x) + c2 y2 (x)
Entatildeo y (x) = c1 e 5x + c2 e ndash 5x
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
198
Teorema 322 Sejam y1 (x) e y2
(x) soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea em algum intervalo I Entatildeo o conjunto de soluccedilotildees seraacute linearmente independente em I se e somente se W (x) ne 0 Ax isin I
Em resumo do que vimos sobre o wronskiano podemos concluir para que y1 (x)
e y2
(x) formem um conjunto fundamental de soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea basta que o wronskiano W (x) ne 0
A
x isin I
Exemplo 2Mostre que y1
(t) = t frac12 e y2 (t) = t ndash 1 formam um conjunto fundamental de
soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea 2t 2 yprimeprime + 3typrime ndash y = 0 no intervalo ]0 infin[
ResoluccedilatildeoPrecisamos verificar primeiro se y1
(t) e y2 (t) satildeo soluccedilotildees da EDO
Se y1 (t) = t frac12 entatildeo yprime1
(t) = 12
t ndash frac12 e yprimeprime1 (t) = -
14t- 32
Se y2 (t) = t ndash 1 entatildeo yprime2
(t) = ndasht ndash 2 e yprimeprime2 (t) = 2t ndash 3
Substituindo y1 (t) e suas derivadas na EDO temos
2t - 14
t + 3t 12
t -t = 0
- 12
t + 32
t -t = 0
2 - -32
12
12
12
12
12
Portanto y1 (t) eacute soluccedilatildeo da EDO
Agora substituindo y2 (t) e suas derivadas na EDO temos
2t 2 (2t ndash 3) + 3t (ndash t ndash 2) ndash t ndash 1 = 0
4t ndash 1 ndash 3t ndash 1 ndash t ndash 1 = 0
Portanto y2 (t) eacute soluccedilatildeo da EDO
Para que as funccedilotildees y1 (t) e y2
(t) formem um conjunto fundamental de soluccedilotildees
NOTA
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
199
da EDO pelos teoremas anteriores basta verificarmos que o wronskiano eacute diferente de zero para algum t gt 0 Assim
W (x) = ndasht ndash 3 2 ndash 12
t ndash 3 2 = ndash 32
t ndash 3 2 ne 0
Logo y1 (t) = t frac12 e y2
(t) = t ndash 1 formam um conjunto fundamental de soluccedilotildees da equaccedilatildeo 2t 2 yprimeprime + 3typrime ndash y = 0 Assim y (t) = c1t frac12 + c2t ndash 1
3 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ordf ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES
Vamos considerar apenas equaccedilotildees diferenciais da forma
a d 2 ydx 2 + b dy
dx + cy = 0
onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 Para esta equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea existem valores constantes de λ tais que y = eλx eacute uma soluccedilatildeo
Substituindo-se y = eλx dydx = λeλx e d
2 ydx 2 = λ2eλx na EDO obtemos
aλ2eλx + bλeλx + eλx = 0
eλx (aλ2+ bλ + c) = 0
Como eλx ne 0 entatildeo y = eλx eacute soluccedilatildeo de a d 2 ydx 2 + b dy
dx + cy = 0 se e somente se λ eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo aλ2+ bλ + c = 0
Definiccedilatildeo 331 A equaccedilatildeo aλ2+ bλ + c = 0 eacute chamada de equaccedilatildeo caracteriacutestica ou equaccedilatildeo auxiliar da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
200
31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
A natureza das soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea a d 2 y
dx 2 + b
dydx + cy = 0 depende da natureza das raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica correspondente
Para escrever as soluccedilotildees das equaccedilotildees diferenciais teremos trecircs casos a considerar Vamos empregar o teorema apresentado a seguir
Teorema 3311 Dada a equaccedilatildeo ayprimeprime + byprime + cy = 0 formamos a equaccedilatildeo caracteriacutestica aλ2+ bλ + c = 0
i) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes reais distintas λ1 e λ2 entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2eλ2x
ii) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem apenas uma raiz real λ entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2xeλx ou
y = (C1 + C2x) eλx
iii) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes complexas λ1 = α + bi e λ2 = α ndash bi entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eαx cos bx + c2eαx sen bx ou
y = eαx (c1 cos bx + c2 sen bx)
As raiacutezes λ1 e λ
2 da equaccedilatildeo caracteriacutestica satildeo chamados de autovalores
Exemplo 3Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 4yprime + 4y = 0
ResoluccedilatildeoConforme vimos acima devemos escrever a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 4λ + 4 = 0 e encontrar as suas raiacutezes
NOTA
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
201
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 42
λ = ndash 2
Assim a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1endash2x + c2xendash2x
Exemplo 4Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime ndash 15y = 0 Depois encontre a
soluccedilatildeo particular que satisfaz as condiccedilotildees iniciais y (0) = 0 e yprime (0) = ndash1
ResoluccedilatildeoResolvendo a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ ndash 15 = 0 temos
λ = ndash 2 plusmn 8
2
λ1 = ndash 2 ndash 8
2 = ndash 5
λ2 = ndash 2 + 8
2 = 3
A soluccedilatildeo geral eacute y = c1endash 5x + c2e3x
Substituindo as condiccedilotildees iniciais y (0) = 0 e yprime (0) = ndash1 na soluccedilatildeo geral obtemos
y = c1endash 5x + c2e3x e y (0) = 0 entatildeo
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
202
c1endash 5 bull 0 + c2e3 bull 0 = 0
c1 + c2 = 0
Agora yprime = ndash 5c1endash 5x + 3c2e3x e yprime (0) = ndash1 entatildeo
ndash 5c1endash 5 bull 0 + 3c2e3 bull 0 = ndash1
ndash 5c1 + 3c2= ndash1
Resolvendo o sistema c1 + c2 = 0ndash 5c1 + 3c2= ndash1
encontramos c1 = 18
e c2 = ndash 18
Portanto a soluccedilatildeo que satisfaz as condiccedilotildees iniciais eacute dada por
y = 18
endash 5x ndash 18
e3x
Exemplo 5Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime + 5y = 0
ResoluccedilatildeoConforme vimos acima devemos escrever a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ + 5 = 0 e encontrar as suas raiacutezes
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 2 plusmn 4i
2
λ = ndash 1 plusmn 2i
λ1 = ndash 1 ndash 2i
λ2 = ndash 1 + 2i
Assim pelo teorema a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = endashx (c1 cos 2x + c2 sen 2x)
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
203
Exemplo 6Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime + y = 0
ResoluccedilatildeoResolvemos a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ + 1 = 0
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 22
λ = ndash1
Assim a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1endashx + C2 xendashx
No graacutefico a seguir (Figura a seguir) estatildeo algumas soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial yprimeprime + 2yprime + y = 0
FIGURA 55 ndash ALGUMAS SOLUCcedilOtildeES DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
FONTE O autor
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
204
Exemplo 7Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 12y = 0
ResoluccedilatildeoResolvemos a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 12 = 0 temos
λ2 = ndash12
λ = plusmn radicndash12
λ = plusmn radic12i
λ = plusmn radic22 bull 3i
λ = plusmn 2 radic3i
λ1 = 2 radic3i
λ2 = ndash2 radic3i
Daiacute temos que α = 0 e b = 2 radic3
y = c1e0 bull x cos (2 radic3 x) + c2e0 bull x sen (2 radic3 x)
Portanto a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1 cos (2 radic3 x) + c2 sen (2 radic3 x)
LEITURA COMPLEMENTAR
Equaccedilotildees Diferenciais como Modelos Matemaacuteticos
MODELOS MATEMAacuteTICOS Eacute frequentemente desejaacutevel descrever o comportamento de algum sistema ou fenocircmeno da vida real em termos matemaacuteticos quer sejam eles fiacutesicos socioloacutegicos ou mesmo econocircmicos A descriccedilatildeo matemaacutetica de um sistema ou fenocircmeno chamada de modelo matemaacutetico eacute constituiacutedo levando-se em consideraccedilatildeo determinadas metas Por exemplo talvez queiramos compreender os mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populaccedilotildees de animais nesse sistema ou datar foacutesseis por meio da anaacutelise do decaimento radioativo de uma substacircncia que esteja no foacutessil ou no extrato no qual foi descoberta
A construccedilatildeo de um modelo matemaacutetico de um sistema comeccedila com
(i) a identificaccedilatildeo das variaacuteveis responsaacuteveis pela variaccedilatildeo do sistema Podemos a princiacutepio optar por incorporar todas essas variaacuteveis no modelo Nesta capa estamos especificando o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
205
A seguir
(ii) elaboramos um conjunto de hipoacuteteses razoaacuteveis ou pressuposiccedilotildees sobre o sistema que estamos tentando descrever Essas hipoacuteteses deveratildeo incluir tambeacutem quaisquer empiacutericas aplicaacuteveis ao sistema
Para alguns propoacutesitos pode ser perfeitamente razoaacutevel nos contentarmos com um modelo de baixa resoluccedilatildeo Por exemplo vocecirc provavelmente jaacute sabe que nos cursos baacutesicos de Fiacutesica a forccedila retardadora do atrito com o ar eacute agraves vezes ignorada na modelagem do movimento de um corpo em queda nas proximidades da superfiacutecie da Terra mas se vocecirc for um cientista cujo trabalho eacute predizer precisamente o percurso de um projeacutetil de longo alcance teraacute de levar em conta a resistecircncia do ar e outros fatores como curvatura da Terra
Como as hipoacuteteses sobre um sistema envolvem frequentemente uma taxa de variaccedilatildeo de uma ou mais das variaacuteveis a descriccedilatildeo matemaacutetica de todas essas hipoacuteteses pode ser uma ou mais equaccedilotildees envolvendo derivadas Em outras palavras o modelo matemaacutetico pode ser uma equaccedilatildeo diferencial ou sistema de equaccedilotildees diferenciais
Depois de formular um modelo matemaacutetico que eacute uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciais estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvecirc-los Se pudermos resolvecirc-lo julgaremos o modelo razoaacutevel se suas soluccedilotildees forem consistentes com dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema
Poreacutem se as prediccedilotildees obtidas pela soluccedilatildeo forem pobres poderemos elevar o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo ou levantar hipoacuteteses alternativas sobre o mecanismo de mudanccedila no sistema As etapas do processo de modelagem satildeo entatildeo repetidas conforme disposto no seguinte diagrama
FIGURA 56 ndash DIAGRAMA
HIPOacuteTESES
COMPARE AS PREDICcedilOtildeES DO
MODELO COM OS FATOS CONHECIDOS
FORMULACcedilAtildeO MATEMAacuteTICA
OBTENHA AS SOLUCcedilOtildeES
Expresse as hipoacuteteses em termos de equaccedilotildees
diferenciais
Exponha as prediccedilotildees do modelo (por exemplo
graficamente)
Resolva as EDsSe necessaacuterio altere as hipoacuteteses ou aumente a
resoluccedilatildeo do modelo
FONTE O autor
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
206
Naturalmente aumentando a resoluccedilatildeo aumentaremos a complexidade do modelo matemaacutetico e assim a probabilidade de natildeo conseguirmos obter uma soluccedilatildeo explicita
Um modelo matemaacutetico de um sistema fiacutesico frequentemente envolve a variaacutevel tempo t Uma soluccedilatildeo do modelo oferece entatildeo o estado do sistema em outras palavras os valores da variaacutevel (ou variaacuteveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado presente e futuro
DINAcircMICA POPULACIONAL Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio da matemaacutetica foi feita pelo economista inglecircs Thomas Malthus em 1978 Basicamente a ideia por traacutes do modelo malthusiano eacute a hipoacutetese de que a taxa segundo a qual a populaccedilatildeo de um paiacutes cresce em um determinado instante eacute proporcional agrave populaccedilatildeo total do paiacutes naquele instante Em outras palavras quanto mais pessoas houver em um instante t mais pessoas existiratildeo no futuro
Em termos matemaacuteticos se P(t) for a populaccedilatildeo no instante t entatildeo essa hipoacutetese pode ser expressa por
dPdt infin P ou
dPdt = k middot P (1)
onde k eacute uma constante de proporcionalidade Esse modelo simples embora natildeo leve em conta muitos fatores que podem influenciar a populaccedilatildeo humana tanto em seu crescimento quanto em seu decliacutenio (imigraccedilatildeo e emigraccedilatildeo por exemplo) natildeo obstante resulta ser razoavelmente preciso na previsatildeo da populaccedilatildeo dos Estados Unidos entre os anos de 1970 e 1980 As populaccedilotildees que crescem agrave taxa descriccedilatildeo por (1) satildeo raras entretanto (1) eacute ainda usada para modelar o crescimento de pequenas populaccedilotildees em um curto intervalo de tempo (crescimento de bacteacuterias em placas de Petri por exemplo)
FONTE Zill (2003 p 22-24)
207
Neste toacutepico vimos
bull A equaccedilatildeo diferencial na forma-padratildeo a d 2 y
dx 2 + b dydx + cy = 0 A sua resoluccedilatildeo se
resume em encontrar as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau aλ2+ bλ + c = 0 Apoacutes encontrar as raiacutezes da equaccedilatildeo aplica-se o teorema a seguir
bull Teorema 3311 Dada a equaccedilatildeo ayprimeprime + byprime + cy = 0 formamos a equaccedilatildeo caracteriacutestica aλ2+ bλ + c = 0
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes reais distintas λ1 e λ2 entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2eλ2x
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem apenas uma raiz real λ entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2xeλx ou
y = (C1 + C2x) eλx
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes complexas λ1 = α + bi e λ2 = α ndash bi entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eαx cos bx + c2eαx sen bx ou
y = eαx (c1 cos bx + c2 sen bx)
RESUMO DO TOacutePICO 3
208
AUTOATIVIDADE
Encontre a soluccedilatildeo geral das seguintes EDOs
1 yprimeprime ndash 3yprime + 2y = 0
2 8yprimeprime + 4yprime + y = 0
3 4yprimeprime + yprime = 0
4 yprimeprime ndash yprime ndash 6y = 0
5 yprimeprime + 9y = 0
6 12yprimeprime ndash 5yprime ndash 2y = 0
7 yprimeprime ndash 4yprime + 5y = 0
8 yprimeprime ndash 2yprime + y = 0
209
REFEREcircNCIAS
ANTON H BIVENS I DAVIS S Caacutelculo v 2 Poro Alegre Bookman 2007
BOYCE Willian E DIPRIMA Richard C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores de contorno Rio de Janeiro LTC 2002
FINNEY R WEIR M GIORDANO F Caacutelculo de George B Thomas Jr v 2 Satildeo Paulo Addison Wesley 2002
FLEMMING Diva Mariacutelia GONCcedilALVES Mirian Buss CAacuteLCULO B funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis integrais duplas e triplas 2deg ed Satildeo Paulo Makron Books do Brasil 2007
LEITHOLD Louis O Caacutelculo com geometria analiacutetica v 2 3deg ed Satildeo Paulo Harbra 1994
SIMMONS George F Caacutelculo com geometria analiacutetica v 2 Satildeo Paulo Pearson Makron Books 1987
ROGAWKI Jon Caacutelculo v 2 Porto Alegre Bookman 2009
STEWART James Caacutelculo v 2 Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 2006
ZILL Dennis G Equaccedilotildees diferenciais com aplicaccedilotildees em modelagem Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 2003
210
ANOTACcedilOtildeES
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211
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VI
VII
sumaacuterio
UNIDADE 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 1
TOacutePICO 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS 31 INTRODUCcedilAtildeO 32 RECORDANDO A FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL 33 FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 5 31 GRAacuteFICOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 134 FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 15RESUMO DO TOacutePICO 1 18AUTOATIVIDADE 19
TOacutePICO 2 ndash CURVAS DE NIacuteVEL 211 INTRODUCcedilAtildeO 212 CURVAS DE NIacuteVEL 22RESUMO DO TOacutePICO 2 28AUTOATIVIDADE 29
TOacutePICO 3 ndash LIMITE E CONTINUIDADE 311 INTRODUCcedilAtildeO 312 DEFINICcedilOtildeES BAacuteSICAS 313 LIMITE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 344 CONTINUIDADE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 38RESUMO DO TOacutePICO 3 41AUTOATIVIDADE 42
TOacutePICO 4 ndash DERIVADAS PARCIAIS 431 INTRODUCcedilAtildeO 432 RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVACcedilAtildeO 433 DERIVADAS PARCIAIS 44 31 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS 44 32 INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA 514 GENERALIZACcedilAtildeO 535 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 54LEITURA COMPLEMENTAR 59RESUMO DO TOacutePICO 4 63AUTOATIVIDADE 64
UNIDADE 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS 65
TOacutePICO 1 ndash REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA 671 INTRODUCcedilAtildeO 672 REGRA DA CADEIA 673 DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA 75RESUMO DO TOacutePICO 1 79
VIII
AUTOATIVIDADE 80
TOacutePICO 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE 811 INTRODUCcedilAtildeO 812 DIFERENCIABILIDADE 813 DIFERENCIAL 854 GRADIENTE 895 DERIVADAS DIRECIONAIS 95RESUMO DO TOacutePICO 2 99AUTOATIVIDADE 100
TOacutePICO 3 ndash MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS 1031 INTRODUCcedilAtildeO 1032 EXTREMOS LOCAIS 1033 PROBLEMAS ENVOLVENDO MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 111RESUMO DO TOacutePICO 3 117AUTOATIVIDADE 118
TOacutePICO 4 ndash INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS 1191 INTRODUCcedilAtildeO 1192 INTEGRAL DUPLA 119 21 INTEGRAL DUPLA SOBRE RETAcircNGULO 119 22 INTEGRAIS ITERADAS 120 23 INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIOtildeES GENEacuteRICAS 124LEITURA COMPLEMENTAR 134RESUMO DO TOacutePICO 4 136AUTOATIVIDADE 137
UNIDADE 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS 139
TOacutePICO 1 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 1411 INTRODUCcedilAtildeO 1412 DEFINICcedilOtildeES E TERMINOLOGIAS 141 21 TIPOS DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 142 22 ORDEM DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 142 23 LINEARIDADE DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 143 24 SOLUCcedilAtildeO DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 143 241 Soluccedilatildeo geral 145 242 Soluccedilatildeo particular 1453 EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL SEPARAacuteVEL 148 31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1494 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ordf ORDEM 158 41 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1595 EQUACcedilOtildeES EXATAS 168 51 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 169RESUMO DO TOacutePICO 1 175AUTOATIVIDADE 176
TOacutePICO 2 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES 1771 INTRODUCcedilAtildeO 1772 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI 177
IX
21 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1773 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS HOMOGEcircNEAS 184 31 FUNCcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 184 32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 186 321 Meacutetodo de resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial 187RESUMO DO TOacutePICO 2 193AUTOATIVIDADE 194
TOacutePICO 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 1951 INTRODUCcedilAtildeO 1952 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 1953 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ordf ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES 199 31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 200LEITURA COMPLEMENTAR 204RESUMO DO TOacutePICO 3 207AUTOATIVIDADE 208REFEREcircNCIAS 209
X
1
UNIDADE 1
FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Ao final desta unidade vocecirc deveraacute ser capaz de
bull conhecer os principais conceitos que envolvem funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull identificar o domiacutenio de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull reconhecer as curvas de niacuteveis de forma algeacutebrica
bull reconhecer as curvas de niacuteveis geometricamente
bull calcular os limites de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull identificar a continuidade de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull calcular as derivadas parciais
bull interpretar geometricamente as derivadas parciais
Esta unidade estaacute dividida em quatro toacutepicos apresentando os conceitos e a utilizaccedilatildeo das funccedilotildees de diversas variaacuteveis No Toacutepico 1 eacute apresentado o estudo do domiacutenio de uma funccedilatildeo de diversas variaacuteveis e as curvas de niacutevel seguido de vaacuterios exemplos para auxiliaacute-lo(a) na compreensatildeo e resoluccedilatildeo dos exerciacutecios propostos no final de cada toacutepico No Toacutepico 2 daremos uma atenccedilatildeo especial agraves curvas de niacutevel tanto na representaccedilatildeo graacutefica como no seu reconhecimento algeacutebrico No Toacutepico 3 seratildeo estendidos os conceitos de limite e continuidade estudados para as funccedilotildees de uma variaacutevel No Toacutepico 4 aprenderemos como derivar funccedilotildees de diversas variaacuteveis e sobretudo entender o significado geomeacutetrico das derivadas parciais Finalizamos a unidade com um texto complementar onde seraacute dada ecircnfase agraves personalidades matemaacuteticas que contribuiacuteram no desenvolvimento do caacutelculo diferencial e integral e consequentemente das equaccedilotildees diferenciais
TOacutePICO 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
TOacutePICO 2 ndash CURVAS DE NIacuteVEL
TOacutePICO 3 ndash LIMITES E CONTINUIDADE
TOacutePICO 4 ndash DERIVADAS PARCIAIS
2
3
TOacutePICO 1UNIDADE 1
FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
1 INTRODUCcedilAtildeO
Vocecirc jaacute estudou limites derivadas e integrais conceitos vistos em funccedilotildees de uma variaacutevel Nesta unidade estudaremos as funccedilotildees de duas ou mais variaacuteveis e veremos que as regras do caacutelculo para funccedilotildees de uma variaacutevel permanecem essencialmente as mesmas
Funccedilotildees com mais de uma variaacutevel independente se apresentam mais costumeiramente em modelos matemaacuteticos aplicados agrave engenharia por exemplo do que funccedilotildees de uma variaacutevel Os estudos de probabilidade estatiacutestica dinacircmica dos fluidos e trabalho satildeo exemplos que conduzem de uma maneira natural a funccedilotildees de mais de uma variaacutevel daiacute a importacircncia do seu estudo
2 RECORDANDO A FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL
Representamos a funccedilatildeo de uma variaacutevel por duas variaacuteveis x e y sendo que chamamos de x a variaacutevel independente da funccedilatildeo e de y a variaacutevel dependente da funccedilatildeo Assim denotamos a relaccedilatildeo entre as variaacuteveis por y = f (x) deixando expliacutecito que y depende de x
Exemplo 1 y = 2x + 1
Exemplo 2 f (x) = 3 + x
2 - x
Habitualmente ao trabalharmos com funccedilotildees um dos primeiros cuidados que devemos ter eacute em relaccedilatildeo ao conjunto domiacutenio das funccedilotildees isto eacute para que valores reais as funccedilotildees estatildeo definidas Entatildeo dada uma funccedilatildeo f(x) devemos encontrar valores para os quais a funccedilatildeo tenha imagem
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
4
Exemplo 3Encontre o domiacutenio da funccedilatildeo f(x) =
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo f(x) eacute uma funccedilatildeo racional pois temos a variaacutevel x no denominador
Esta funccedilatildeo tem dois cuidados a serem tomados em relaccedilatildeo ao domiacutenio
(i) Desde que iniciamos nossos estudos com fraccedilotildees sabemos que natildeo eacute possiacutevel ter zero no denominador das fraccedilotildees Assim
(ii) Temos a variaacutevel x no radicando da raiz quadrada Como estamos considerando f(x) uma funccedilatildeo real o radicando natildeo pode assumir valores negativos Logo
xsup2 ndash 16 ge 0
Assim juntando as condiccedilotildees (i) e (ii) teremos xsup2 ndash 16 gt 0
Observe que temos que resolver uma inequaccedilatildeo do 2ordm grau Para isso consideramos inicialmente apenas a equaccedilatildeo (igualdade) a fim de obtermos as raiacutezes
xsup2 - 16 = 0
Determinando as raiacutezes desta equaccedilatildeo do segundo grau incompleta
xsup2 = 16x = x =
Analisando a funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = xsup2 - 16 sabemos que seu graacutefico corresponde a uma paraacutebola com concavidade voltada para cima e zeros de funccedilatildeo em x = - 4 e x = 4 Logo os valores de x que satisfazem a inequaccedilatildeo satildeo x lt - 4 ou x gt 4
Assim D(f) = x isin R | x lt - 4 ou x gt 4
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
5
FIGURA 1 ndash ANAacuteLISE DO SINAL DA FUNCcedilAtildeO f (x) = xsup2 - 16 ATRAVEacuteS DE SEU ESBOCcedilO GRAacuteFICO
FONTE O autor
3 FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
Definiccedilatildeo 131 Suponha que D seja um conjunto de pares ordenados de nuacutemeros reais (xy) Uma funccedilatildeo real f de duas variaacuteveis em D eacute uma regra que associa um uacutenico nuacutemero real z = f(xy) a cada par ordenado (xy) em D O conjunto D(f) eacute o domiacutenio de f(xy)
Os nuacutemeros x y e z satildeo denominados variaacuteveis Como os valores da funccedilatildeo f(xy) dependem de x e de y e os valores de z dependem da escolha de x e de y entatildeo x e y satildeo denominadas variaacuteveis independentes e z eacute denominada variaacutevel dependente
Uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis eacute uma funccedilatildeo cujo domiacutenio eacute um subconjunto do R2 e cuja imagem eacute um subconjunto de R Uma maneira de visualizaacute-la eacute atraveacutes de um diagrama de flechas conforme a seguir
FIGURA 2 ndash DIAGRAMA DE FLECHAS REPRESENTANDO O DOMIacuteNIO E A IMAGEM DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS
FONTE O autor
+ +
ndashndash 4 4
R
y
(x y)
x
f
f(x y) 0
z
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
6
Exemplo 4Dada a funccedilatildeo que calcula o periacutemetro de um
retacircngulo f(xy) = 2(x + y) calcule o valor de f (25)
ResoluccedilatildeoBasta substituir em f(xy) o x por 2 o y por 5 e calcularEntatildeof(25) = 2(2 + 5)f(25) = 2 middot 7f(25) = 14
Exemplo 5A funccedilatildeo T (xy) = 60 - 2xsup2 - 3ysup2 representa a temperatura em qualquer
ponto de uma chapa A temperatura oscila em relaccedilatildeo agrave distacircncia percorrida no sentido dos eixos positivos x e y Calcule a temperatura da chapa (Figura 3) no ponto (3 1) em graus Celsius
ResoluccedilatildeoT (31) = 60 - 2 middot 3sup2 - 3 middot 1sup2T (31) = 60 - 2 middot 9 - 3 middot 1T (31) = 39deg C
x
y
FIGURA 3 ndash AQUECIMENTO DE UMA CHAPA
FONTE O autor
Exemplo 6Dada a funccedilatildeo f(xy) = xsup2 + ysup2 calcule f(1 - 2)
chapa
x
y
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
7
Resoluccedilatildeof(xy) = xsup2 + ysup2 f(1 ndash 2) = 1sup2 + (ndash2)sup2f(1 ndash 2) = 1 + 4f(1 ndash 2) = 5
No estudo do domiacutenio de uma funccedilatildeo devemos avaliar quais nuacutemeros reais satildeo possiacuteveis atribuir para as variaacuteveis x e y para obtermos valores reais para z = f(xy) Vamos relembrar algumas restriccedilotildees
Consideremos os casos a seguir em que A e B satildeo expressotildees em funccedilatildeo de x e y
Se f(xy) = AB entatildeo necessariamente B ne 0
Se f(xy) = onde n eacute par entatildeo necessariamente A ge 0
Se f (xy) = logc A com c gt 0 e c ne 1 entatildeo necessariamente A gt 0
Exemplo 7Encontre o conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo natildeo apresenta nenhuma restriccedilatildeo para os valores de x e yPortanto D(f) = (x y) isin R2 ou D( f ) = R2
Exemplo 8Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o radicando
3x ndash 2y natildeo pode ser negativo3x ndash 2y ge 0 ndash 2y ge ndash 3x
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (ndash1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
2y le 3x y le 3
2 x
NOTA
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
8
Portanto
Para fazer o graacutefico do conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (x y) do exemplo anterior primeiro trace o graacutefico de y = 3
2 x e depois determine qual a regiatildeo correspondente agrave desigualdade y le 3
2 x
O graacutefico de y = 32 x corresponde a uma reta crescente que conteacutem a
origem Note que esta reta divide o plano em duas regiotildees Para identificar qual regiatildeo expressa o domiacutenio de f (xy) atente para a desigualdade estabelecida Neste exemplo como se trata de uma reta e a relaccedilatildeo de ordem eacute dada pelo sinal ldquolerdquo entatildeo isto implica que o domiacutenio eacute expresso pelos infinitos pontos que se encontram na reta e abaixo dela
FIGURA 4 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
Exemplo 9Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = 5x
y ndash xsup2
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o denominador
y ndash xsup2 natildeo pode tornar-se nulo
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
9
Entatildeoy ndash xsup2 ne 0 y ne xsup2
Portanto
Para fazer o graacutefico do conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (xy) = 5xy ndash xsup2
procedemos do mesmo modo que no exemplo anterior A funccedilatildeo que expressa o domiacutenio eacute dada por y ne xsup2 cuja representaccedilatildeo no plano eacute uma paraacutebola com concavidade voltada para cima e que possui seu veacutertice na origem A relaccedilatildeo de diferenccedila poreacutem implica que pertencem ao domiacutenio todos os pontos do plano exceto os que se encontram sobre a paraacutebola expressa pela relaccedilatildeo y = xsup2
FIGURA 5 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
Exemplo 10Determine o conjunto domiacutenio de f(xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o radicando
3xsup2 + ysup2 ndash 18 natildeo pode ser negativo
3xsup2 + ysup2 ndash 18 ge 03xsup2 + ysup2 ge 18
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
10
Dividindo ambos os membros da desigualdade por 18
3x sup2 y sup2 1818 18 18
+ ge
A funccedilatildeo xsup2 ysup26 18 + = 1 representa uma elipse centrada na origem do
plano cartesiano cujo eixo maior definido sobre o eixo das ordenadas eacute igual a 2 848 e cujo eixo menor definido sobre os eixos das abscissas eacute igual a 2
490
Atribuiacutedas as caracteriacutesticas geomeacutetricas da funccedilatildeo que define o domiacutenio traccedilamos o seu graacutefico A relaccedilatildeo de desigualdade estabelecida eacute ldquogerdquo Isto implica que os pontos que pertencem ao domiacutenio se encontram sobre a elipse e fora dela
Ao sentir dificuldade em caracterizar as funccedilotildees quanto agrave sua representaccedilatildeo geomeacutetrica retome os estudos realizados na disciplina de Geometria Analiacutetica
FIGURA 6 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
ATENCAO
xsup2 ysup26 18 + ge 1
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
11
Exemplo 11Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = In (x minus 3y + 1) e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoComo In (x minus 3y + 1) eacute definido somente quando x minus 3y + 1 gt 0 entatildeo x minus 3y + 1 gt 0x minus 3y gt minus 1minus 3y gt minus x minus 1
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
3y lt x + 1y lt x + 1
3
Neste exemplo a funccedilatildeo domiacutenio expressa pela desigualdade y lt x + 1 3
representa no plano uma regiatildeo que se encontra abaixo da reta y = x + 1 3 Observe
que os pontos sobre a reta natildeo pertencem ao conjunto domiacutenio
FIGURA 7 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
12
Exemplo 12Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y A expressatildeo que
representa o radicando 4 ndash xsup2 ndash ysup2 natildeo pode ser negativa4 ndash xsup2 ndash ysup2 ge 0 ndash xsup2 ndash ysup2 ge ndash 4
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
xsup2 + ysup2 le 4
O conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f(xy) = expresso pela desigualdade xsup2 + ysup2 le 4 compreende os infinitos pontos interiores juntamente com os infinitos pontos pertencentes agrave circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano de raio 2
FIGURA 8 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
13
31 GRAacuteFICOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
Se f eacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis com domiacutenio D entatildeo o graacutefico de f eacute o conjunto de todos os pontos (xyz) em R3 tal que z = f (xy) e (xy) isin D
Fazer a representaccedilatildeo graacutefica das funccedilotildees de duas variaacuteveis eacute normalmente complicado e requer habilidade manual Assim vamos recorrer ao uso de programas computacionais matemaacuteticos que fazem os graacuteficos de superfiacutecies O objetivo aqui eacute apenas mostrar os graacuteficos das funccedilotildees de duas variaacuteveis e natildeo a construccedilatildeo manual dos graacuteficos
Os graacuteficos que vocecirc encontraraacute ao longo do Caderno de Estudos foram construiacutedos atraveacutes do Winplot que eacute um software livre disponiacutevel na internet e do Maple 11 um software comercial que possui inuacutemeros recursos matemaacuteticos
Caro(a) acadecircmico(a) Vocecirc pode baixar o software Winplot diretamente da internet ou do material de apoio da disciplina no AVA
Exemplo 13Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = 2 ndash 3x ndash 4y
Resoluccedilatildeo
FIGURA 9 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = 2 ndash 3x ndash 4y
FONTE O autor
DICAS
30
20
10
0
ndash10
ndash20ndash30
ndash 50
5 ndash 4 ndash 2 0 2 4x y
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
14
Exemplo 14Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
Resoluccedilatildeo
FIGURA 10 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
Exemplo 15Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy)
Resoluccedilatildeo
FIGURA 11 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) =
FONTE O autor
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
15
Exemplo 16Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = sen x middot sen y
Resoluccedilatildeo
FIGURA 12 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = sen x middot sen y
FONTE O autor
4 FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Definiccedilatildeo 141 Seja D um subconjunto de Rn Uma funccedilatildeo real f de n variaacuteveis reais definida em D eacute uma relaccedilatildeo entre D e R que associa a cada ponto (x1 x2 xn) isin D um uacutenico valor real z denotado por z = f (x1 x2 xn)
Notaccedilatildeo
As variaacuteveis (x1 x2 xn) satildeo as variaacuteveis independentes e z eacute a variaacutevel dependente O conjunto de todos os valores possiacuteveis de f eacute chamado imagem de f e eacute denotado por lm(f) Assim
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
16
Definiccedilatildeo 142 Seja f uma funccedilatildeo de n variaacuteveis com domiacutenio D O graacutefico de f eacute o conjunto de todos os pontos do espaccedilo Rn+1 dado por
( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 n 1 2 n 1 2 ngraf f x x x y R y f x x x x x xn com D+= isin = isin
No caso em que n = 1 f seraacute uma funccedilatildeo de uma variaacutevel e seu graacutefico seraacute uma curva C com equaccedilatildeo y = f (x1)
Quando n = 2 f seraacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis e seu graacutefico seraacute uma superfiacutecie S com equaccedilatildeo z = f (x1x2)
Quando n = 3 natildeo podemos esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f pois ele estaacute no espaccedilo de dimensatildeo 4
Exemplo 17Esboce o graacutefico da funccedilatildeo f (xy) = 6 ndash 2x + 3y
ResoluccedilatildeoPara esboccedilar o graacutefico de uma funccedilatildeo temos que conhecer o domiacutenio desta
funccedilatildeo O domiacutenio desta funccedilatildeo f eacute D(f) = Rsup2 e o graacutefico da funccedilatildeo f eacute o conjunto
graf (f) = (xyz) isin Rsup3 | z = 6 ndash 2x + 3y
Geometricamente o graacutefico de f representa um plano
Vamos fazer algumas consideraccedilotildees sobre a funccedilatildeo e os eixos como se focircssemos traccedilar o graacutefico manualmente Entatildeo comeccedilamos encontrando os pontos onde o plano intercepta cada um dos trecircs eixos coordenados
Se na equaccedilatildeo z = 6 ndash 2x ndash 3y fizermosx = 0 e y = 0 vem z = 6x = 0 e z = 0 vem y = 2y = 0 e z = 0 vem x = 3
Obtemos assim os pontos A1 = (0 0 6) A2 = (0 2 0) e A3 = (3 0 0) nos quais o plano intercepta os eixos coordenados A porccedilatildeo do graacutefico que estaacute no primeiro octante estaacute esboccedilada na figura a seguir
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
17
FIGURA 13 ndash PLANO COM EIXOS COORDENADOS
FONTE O autor
Exemplo 18Determine o conjunto domiacutenio e o conjunto imagem da funccedilatildeo f (x y z) =
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo natildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x y e zAssim D(f) = R sup3 (todo o espaccedilo)Jaacute para o conjunto imagem teremos apenas os reais natildeo negativosLogo Im (f) = R+
x
y
z
(020)
(300)
(006)
18
Neste toacutepico os principais assuntos estudados foram
bull Definiccedilatildeo de funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
bull Conjunto domiacutenio e conjunto imagem de funccedilatildeo
bull Representaccedilatildeo graacutefica do domiacutenio
bull Representaccedilatildeo graacutefica das superfiacutecies z = f (xy) usando recurso computacional
bull Listamos algumas situaccedilotildees envolvendo o estudo do domiacutenio para funccedilotildees de diversas variaacuteveis que impotildeem restriccedilotildees ao conjunto domiacutenio
bull Consideremos os casos a seguir em que A e B satildeo expressos em funccedilatildeo de x e y
uuml Se f (xy) = entatildeo devemos considerar B ne 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar A ge 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar A ge 0 e B ne 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar B gt 0
uuml Se f (xy) = logc A com c gt 0 e c ne 1 entatildeo devemos considerar A gt 0
RESUMO DO TOacutePICO 1
19
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre funccedilotildees de diversas variaacuteveis
1 Nos problemas a seguir calcule o valor da funccedilatildeo nos pontos especiacuteficos
a) f (xy) = (x ‒ 1)sup2 + 2xysup3 f (2 ‒ 1) f (12)
b) f (xy) = 3x+2y2x+3y
f (12) f ( ‒ 46)
c) g (xy) = y -x2 2 g (45) g (‒ 12)
d) g (uv) = 10u frac12 v ⅔ g (1627) g (4 ‒1331)
e) f (xy) = y xx y+ f (12) f(2 ‒3)
2 Nos problemas a seguir descreva o domiacutenio das funccedilotildees e represente-o graficamente
a) f (xy) = 5x + 2y4x + 3y
b) g (xy) = 36 - x - y2 2
c) f (xy) = radicx + y ‒ 2
d) f (xy) = 3x + 5y
xsup2 + 2ysup2 ‒ 4e) f (xy) = In (x + y ‒ 4)
f) g (xy) = exy
radicx ‒ 2y
AUTOATIVIDADE
20
21
TOacutePICO 2
CURVAS DE NIacuteVEL
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico veremos como representar uma superfiacutecie (figura tridimensional) em um graacutefico bidimensional Talvez vocecirc jaacute tenha visto algum graacutefico nesta situaccedilatildeo na praacutetica satildeo chamados mapas topograacuteficos
Nestes mapas uma paisagem tridimensional como a extensatildeo de uma montanha por exemplo estaacute representada por linhas de contorno bidimensionais ou curvas de elevaccedilatildeo constante conforme pode ser visto na figura a seguir
FIGURA 14 ndash MAPA DE CONTORNO DE UMA MONTANHA
FONTE Disponiacutevel em lthttparqaulaswordpresscomcategorytopografiagt Acesso em 11 jul 2011
O objetivo deste toacutepico eacute mostrar como reconhecer algebricamente e geometricamente as curvas de niacutevel Muitas das curvas que encontraremos correspondem a graacuteficos de funccedilotildees jaacute conhecidas as quais vocecirc estudou na disciplina de Geometria Analiacutetica tais como reta paraacutebola cuacutebica circunferecircncia elipse e hipeacuterbole
S1
S2
S3
S6
A
B
C
DE
F
G
H
I
A B C D E F G H I
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
22
2 CURVAS DE NIacuteVEL
O conjunto de todos os pontos onde uma funccedilatildeo f (xy) tem um valor constante c isin R eacute chamado de curva de niacutevel de f
Definiccedilatildeo 231 Seja c um nuacutemero real O conjunto de pontos no plano onde uma funccedilatildeo f (xy) tem um valor constante f (xy) = c eacute chamado de curva de niacutevel de f
Exemplo 1
Identifique as curvas de niacutevel para g (xy) = 4 ‒ x ‒ y em c = 0 e c = 6 Represente graficamente
Resoluccedilatildeog (xy) = c para c = 0
g (xy) = 4 ‒ x ‒ y0 = 4 ‒ x ‒ y
y = 4 ‒ xy = ‒ x + 4
Esta funccedilatildeo representa uma reta decrescente (coeficiente angular ndash1) que intercepta o eixo y em 4
g (xy) = c para c = 6g (xy) = 4 ‒ x ‒ y
6 = 4 ‒ x ‒ yy = 4 ‒ 6 ‒ xy = ‒ x ‒ 2
Esta funccedilatildeo representa uma reta decrescente (coeficiente angular ndash1) que intercepta o eixo y em ndash2
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
23
FIGURA 15 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE g (xy) = 4 ndash x ndash y
FONTE O autor
Outro exemplo que ilustra as curvas de niacutevel eacute o que muitos autores chamam de mapa de contorno conforme figura a seguir
FIGURA 16 ndash MAPA DE CONTORNO DE g (xy) = 4 ndash x ndash y
FONTE O autor
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
24
Considerando diferentes valores para a constante c igualmente espaccedilados obtemos um conjunto de curvas de niacutevel chamado mapa de contorno representadas no mesmo plano cartesiano
Exemplo 2Identifique as curvas de niacutevel para f (xy) = xsup2 ‒ ysup2 em c = 0 c = ndash3 e c = 4
Represente graficamente
Resoluccedilatildeof (xy) = c para c = 0
xsup2 ndash ysup2 = 0ysup2 = xsup2
y = x ou y = ndashx
Estas duas equaccedilotildees representam duas retas (Figura 17) A reta de equaccedilatildeo y = x representa no plano a bissetriz dos quadrantes iacutempares enquanto que a reta de equaccedilatildeo y = - x representa a bissetriz dos quadrantes pares
f (xy) = c para c = ‒ 3xsup2 ‒ ysup2 = ‒ 3
‒xsup2 ysup2 ‒3‒3 ‒3 ‒3=
xsup2 ysup23 3+ = 1‒
A equaccedilatildeo xsup2 ysup23 3+ = 1‒ representa uma hipeacuterbole equilaacutetera com
a = b = radic3 que tem uma concavidade voltada para cima e a outra para baixo (Figura 17)
f (xy) = c para c = 4xsup2 ‒ ysup2 = 4
‒xsup2 ysup2 4 4 4 4=
‒xsup2 ysup2 4 4 = 1
IMPORTANTE
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
25
Esta equaccedilatildeo representa uma hipeacuterbole equilaacutetera com a = b = 2 centrada na origem do plano cartesiano com uma concavidade voltada para a direita e outra para a esquerda (Figura 17)
FIGURA 18 ndash MAPA DE CONTORNO DE f (xy) = xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
FIGURA 17 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
y
x
c = 0
c = -3
c = 4
c = 0
c = 4
c = -3
420-2-4
-2
-4
0
2
4
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
26
Caro(a) acadecircmico(a) Para desenhar os mapas de contorno sugiro que utilize um software matemaacutetico como por exemplo o Winplot Na internet vocecirc encontra diversos tutoriais sobre o Winplot inclusive onde baixar o programa que eacute freeware Agora tente vocecirc identifique as curvas de niacutevel para g (xy) = 4 ndash 2xsup2 ndash ysup2 em c = 0 e c = ndash 2 e as represente graficamente
Exemplo 3Identifique as curvas de niacutevel para f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 em c = 1 e c = 2
Represente graficamente
Resoluccedilatildeof (xy) = c para c = 1
radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 15 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 1
‒ x sup2 ‒ y sup2 = ‒ 4 (-1)xsup2 + ysup2 = 4
Esta equaccedilatildeo representa uma circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano com raio igual a 2 (Figura 19)
f (xy) = c para c = 2
radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 25 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 4
‒ x sup2 ‒ y sup2 = ‒ 1 ( ‒ 1)x sup2 + y sup2 = 1
Esta equaccedilatildeo representa uma circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano com raio igual a 1 (Figura 19)
DICAS
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
27
FIGURA 19 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2
FONTE O autor
FIGURA 20 ndash MAPA DE CONTORNO DE f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2
FONTE O autor
c = 1
c = 2
-3 -2 -1
1
-1
-2
-3
2 31
2
3
x
y
-2
-1
0
1
22 1 0 ndash 1 ndash 2
x
y
28
RESUMO DO TOacutePICO 2
Neste toacutepico fizemos anaacutelises e representaccedilotildees graacuteficas das curvas de niacutevel de uma funccedilatildeo f
bull Reconhecimento algeacutebrico das curvas de niacutevel
29
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
1 Associe as superfiacutecies de 1 a 4 aos mapas de contorno de A a D
(1)
(A)
(2)
(B)
y ndash 2 ndash 1 ndash 1
ndash 2
ndash 3
x
1 2 3
1
2
3
1
05
0
ndash 05
ndash 1ndash 3ndash 2ndash 1 0 1 2 3 3 2 1 0ndash 1ndash 2ndash 3
ndash 3
ndash2
ndash 1
ndash 1ndash 2ndash 3 1
1
2
2
3
3 y
x
30
(3) (C)
(4) (D)
2 Nas questotildees a seguir identifique algebricamente as curvas de niacutevel para valores de c dados
a) f (xy) = x sup2 + y sup2 ‒ 9 c isin ‒ 4 ‒ 2 ‒ 1 0b) f (xy) = y sup2 ‒ x c isin 0 1 2 3
3 Nas questotildees a seguir represente graficamente as curvas de niacutevel das funccedilotildees Agora vocecirc escolheraacute alguns valores para c Eacute importante que vocecirc faccedila os graacuteficos manualmente e se for possiacutevel utilize o software Winplot para conferir ou como apoio nos estudos
a) f (xy) = x sup2 + 9y sup2b) f (xy) = y ‒ xsup3c) g (xy) = 3 + 2x ‒ y
3 2 1 0 ndash 1 ndash 2 ndash 33
2
1
0
ndash 1
ndash 2
ndash 3
y
ndash 3 ndash 2 ndash 1 0 1 2 3
3
2
1
0
ndash 1
ndash 2
ndash 3
y
x
20
10
0
ndash 10
ndash 20ndash 3
ndash 1ndash 2 0 1 2 3 ndash 2 ndash 1 0 1 2 3
x y
ndash 3 ndash 2 ndash 1 2 3
321ndash 1ndash 2ndash 300
x y
31
TOacutePICO 3
LIMITE E CONTINUIDADE
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 DEFINICcedilOtildeES BAacuteSICAS
O que estudaremos agora jaacute foi estudado no Caacutelculo Diferencial e Integral onde o conceito de limite e continuidade foi empregado para funccedilatildeo de uma variaacutevel
Neste toacutepico estenderemos o conceito de limite agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis um conceito fundamental do caacutelculo do qual decorrem outros como por exemplo a noccedilatildeo de continuidade Para isso enunciaremos algumas definiccedilotildees de Anaacutelise Matemaacutetica Tente entender os conceitos e soacute depois avance para a proacutexima seccedilatildeo
Definiccedilatildeo 321 Sejam P = (x1 x2 xn) e A = (a1 a2an) pontos em Rn A distacircncia entre P e A denotada por P ‒ A eacute dada por
P ‒ A = radic (x1 ‒ a1)sup2 + (x2 ‒ a2)sup2 + + (xn ‒ an)sup2
Exemplo 1Dados os pontos P = (1 ‒ 2 3) e A = (3 1 ‒ 2) em Rsup3 encontre P ‒ A
Resoluccedilatildeo P ‒ A = radic (1 ‒ 3)sup2 + (‒2 ‒1)sup2 + (3 ‒ (‒ 2))sup2 = radic8 uc
Definiccedilatildeo 322 Sejam A = (a1 a2 an) isin Rn e r gt 0 um nuacutemero real A bola aberta de centro em A e raio r que indicaremos por B(A r) eacute definida como sendo o conjunto de todos os pontos P = (x1 x2 xn) tais que P ‒ Alt r ou seja
B(A r) = (x1 x2xn) isin Rn radic (x1 ‒ a1)sup2 + (x2 ‒ a2)sup2 ++ (xn ‒ an)sup2 lt r
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
32
Exemplo 2a) Em R a bola aberta B(a r) eacute o intervalo aberto (a ‒ r a + r)
FIGURA 21 ndash INTERVALO EM R
FONTE O autor
b) Em Rsup2 a bola aberta B((a1 a2) r) representa o conjunto dos pontos internos agrave circunferecircncia de centro em (a1 a2) e raio r
FIGURA 22 ndash r de A
FONTE O autor
Definiccedilatildeo 321 Seja S um subconjunto de Rn Um ponto A eacute um ponto de acumulaccedilatildeo de S se toda bola aberta de centro em A possui uma infinidade de pontos de S mesmo que A natildeo necessariamente pertenccedila a S
Exemplo 3Seja S = (xy) isin Rsup2 | x gt 0 e y gt 2 Mostre que todos os pontos pertencentes
ao conjunto S satildeo pontos de acumulaccedilatildeo
ResoluccedilatildeoTodos os pontos pertencentes a S satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S pois
atendem agrave Definiccedilatildeo 321 Ainda os pontos (0y) com y ge 2 e (x 2) com x gt 0 satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S e natildeo pertencem a S (Figura 23)
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
33
FIGURA 23 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO CONJUNTO S
FONTE O autor
Exemplo 4Seja S = (xy) isin Z2 | ‒ 2 le x le 4 e 1 le y le 5 Mostre que o conjunto S natildeo
possui pontos de acumulaccedilatildeo
ResoluccedilatildeoMostraremos que os pontos de S natildeo satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S pois
natildeo atendem agrave Definiccedilatildeo 321 Para qualquer ponto P(xy) isin R2 a bola aberta de centro P e raio r lt 1 natildeo conteacutem uma infinidade de pontos de S
Portanto o conjunto S natildeo possui pontos de acumulaccedilatildeo (Figura 24)
FIGURA 24 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO CONJUNTO S
FONTE O autor
y
x
1098
654
21
34
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
3 LIMITE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
A seguir definiremos limite de uma funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 331 Sejam f S sub Rn rarr R uma funccedilatildeo e A um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que o limite de f (X) quando X se aproxima de A eacute um nuacutemero real L se dado ε gt 0 existir δ gt 0 tal que |f (X) ndash L| lt ε sempre que X isin S e 0 lt X ndash A lt δ
Neste caso escrevemos
lim f (X) = L x rarr A
O estudo de funccedilotildees de trecircs ou mais variaacuteveis (n ge 3) difere pouco do estudo de funccedilotildees de duas variaacuteveis Desta forma por simplicidade de apresentaccedilatildeo vamos estudar as funccedilotildees de duas variaacuteveis no restante desta unidade Comeccedilaremos reescrevendo a definiccedilatildeo de limite de funccedilotildees de duas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 332 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo e (a b) um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que o limite de f (xy) quando (xy) se aproxima de (ab) eacute um nuacutemero real L se dado ε gt 0 existir δ gt 0 tal que
|f (xy) ndash L| lt ε sempre que (xy) isin S e 0 lt radic(x ‒ a)2 + (y ‒ b)2 lt δ
Neste caso escrevemos
lim f (xy) = L (xy) rarr (ab)
A definiccedilatildeo de limite de funccedilatildeo pode ser reformulada utilizando o conceito de bola aberta que vimos anteriormente De fato escrever lim f (xy) = L equivale
a dizer que dado qualquer ε gt 0 podemos encontrar δ gt 0 tal que para todo (xy) isin B ((ab) δ) tenhamos f (xy) isin (L ndash ε L + ε) A figura a seguir ilustra no caso de uma funccedilatildeo f A sub Rn rarr R a definiccedilatildeo de limite
FIGURA 25 ndash FUNCcedilAtildeO f A sub Rn rarr R
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwicmcuspbr~cmmendesCalculoIICalculo2DiferenciaE7E3opdfgt Acesso em 18 jun 2011
(xy) rarr (ab)
A sub Rn
P₀
f
L ndash ε
L + εL
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
35
Exemplo 5Usando a definiccedilatildeo de limite mostre que lim (4x ndash 3y) = 5 (xy) rarr (21)
ResoluccedilatildeoDevemos mostrar que forall ε gt 0 exist δ gt 0 tal que (4x ‒ 3y) ‒ 5 lt ε sempre que
(xy) ‒ (21)lt δ
Com o objetivo de encontrar o δ desejado trabalharemos com a desigualdade que envolve ε Assim usando propriedades do valor absoluto podemos escrever
(4x ‒ 3y) ‒ 5=4x ‒ 3y ‒ (8 ‒ 3)=4x ‒ 8 ‒ 3y + 3=4x ‒ 8 ‒ (3y ‒ 3)=4 (x ‒ 2) ‒ 3(y ‒ 1)le 4x ‒ 2+ 3 y ‒ 1
Como 0 lt radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ podemos escrever x ‒ 2 le
radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ e y ‒ 1 le radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ temos que 4x ‒ 2 + 3y ‒ 1lt 4 δ + 3 δ
Assim tomando δ = ε7 temos(4x ‒ 3y) ‒ 5le 4x ‒ 2+ 3y ‒ 1lt
4 ε7 + 3 ε
7 = ε sempre que 0 lt radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ
Portanto lim (4x ‒ 3y) = 5 (xy) rarr (21)
Teorema 331 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis S1 e S2 subconjuntos de S e (ab) um ponto de acumulaccedilatildeo de S1 e S2 Se f (xy) tem limites diferentes quando (xy) tende (ab) atraveacutes dos pontos de S1 e S2 entatildeo lim f (xy) natildeo existe (xy) rarr (ab)
Lembre-se de que o fato de o ponto (ab) ser um ponto de acumulaccedilatildeo de S1 e
S2 natildeo significa que (ab) isin S
1 cap S
2
Exemplo 6Usando a definiccedilatildeo de limite mostre que lim 5xy
x2 + y2 natildeo existe
ATENCAO
(xy) rarr (21)
36
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Resoluccedilatildeo
Observemos que o conjunto domiacutenio de f eacute R2 ‒ (00) Para mostrar que o limite natildeo existe usaremos o Teorema 331
Consideremos o conjunto de retas que passam pela origem y = kxk isin R (xy) isin R2
Calculando f (xy) com y = kx temos
f (xkx) = 5xkx
x2 + (kx)2
= 5kx2
x2 (1+ k2)
= 5k
1+ k2
Entatildeo lim f (x kx) = lim 5k
1+ k2 (xy) rarr (00) (xy) rarr (00)
Assim o limite de f depende do percurso do ponto (xy) quando ele tende agrave origem Por exemplo considere k = 0 e k = 1 (dois caminhos diferentes)
lim f (xx) = lim 5 11+1
= 522
e lim f (xa) = 5 01 0
02+=
(xy) rarr (00) (xy) rarr (00)
Note que f assume um valor constante sobre cada reta que passa pela
origem De fato para cada coeficiente angular k isin R f (xkx) = 5k
1+k2 qualquer que
seja x isin R corroborando assim o caacutelculo do limite desenvolvido anteriormente
Portanto concluiacutemos atraveacutes do Teorema 331 que lim 5xy
x2 + y2 natildeo
existe (xy) rarr (00)
O teorema a seguir eacute muito parecido com o que jaacute foi visto em caacutelculo nas propriedades de limites de funccedilotildees de uma variaacutevel
Teorema 332 Se lim f (xy) = L e lim g (xy) = M e c isin R entatildeo (xy) rarr (ab) (xy) rarr (ab)
(xy) rarr (00)
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
37
Vamos utilizar este teorema nos exemplos a seguir
Exemplo 7
Calcule
Resoluccedilatildeo
Exemplo 8
Calcule
Resoluccedilatildeo
Temos lim (x3 ‒ x2y) = 0 e lim (x2 ‒ y2) = 0 (xy) rarr (22) (xy) rarr (22)
Neste caso temos uma indeterminaccedilatildeo do tipo 00
Para resolver o limite
fatoram-se o numerador e denominador fazendo as simplificaccedilotildees possiacuteveis como faziacuteamos com limites indeterminados no caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral
Entatildeo
38
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
4 CONTINUIDADE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Vocecirc se recorda da definiccedilatildeo de continuidade estudada na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral Agora estudaremos esta definiccedilatildeo aplicada agraves funccedilotildees de diversas variaacuteveis Acompanhe a seguir
Definiccedilatildeo 341 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo e (ab) isin S um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que f eacute contiacutenua no ponto (ab) se as seguintes condiccedilotildees forem satisfeitas
(i) f estaacute definida no ponto (ab)(ii) lim f(xy) existe
(xy) rarr (ab)
(iii) lim f(xy) = f(ab) (xy) rarr (ab)
Quando uma ou mais destas condiccedilotildees natildeo eacute satisfeita dizemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no ponto (ab)
Dizemos que f eacute contiacutenua se f for contiacutenua em todos os pontos do domiacutenio de f
Exemplo 9
Considere a funccedilatildeo de duas variaacuteveis f(xy) = 3x + y2
a) Mostre que f eacute contiacutenua no ponto (2 3)
b) Mostre que f eacute contiacutenua
+
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
39
Resoluccedilatildeo
a) Precisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(i) f (23) = 32 + 32 = 15(ii) lim f(xy) = lim (3x + y2) = 32 + 32 = 15 (xy) rarr (23) (xy) rarr (23)
(iii) lim (3x + y2) = f (23) (xy) rarr (23)
Logo f eacute contiacutenua no ponto (2 3)
b) Seja (ab) isin D (f) = R2
lim f(xy) = lim (3x + y2) = 3a + b2 = f (ab) (xy) rarr (ab) (xy) rarr (ab)
Como (ab) eacute um ponto qualquer segue que f (xy) eacute contiacutenua
Exemplo 10
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = In (xy + 3x) eacute contiacutenua no ponto (32)
Resoluccedilatildeo
Verificaremos se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
Logo f eacute contiacutenua no ponto (3 2)
40
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 11
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = eacute contiacutenua no ponto (33)
Resoluccedilatildeo
Precisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(i) f (33) = 5 pois x = y
(ii) = infin portanto o limite natildeo existe
(iii) Como lim f(xy) ne f(33) concluiacutemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no ponto (33) (xy) rarr (33)
Teorema 341 Se g(x) for contiacutenua em a e h(y) for contiacutenua em b entatildeo f(xy) = g(x) middot h(y) eacute contiacutenua em (ab)
Teorema 342 Se h(x y) for contiacutenua em (ab) e g(u) for contiacutenua em u = h (ab) entatildeo a composiccedilatildeo f(xy) = g(h(xy)) eacute contiacutenua em (ab)
Exemplo 12Use o Teorema 341 para mostrar que a funccedilatildeo f(xy) = 7x3y5 eacute contiacutenua
Resoluccedilatildeo
Os polinocircmios g(x) = 7x3 e h(y) = y5 satildeo contiacutenuos em cada ponto da reta real
Logo pelo Teorema 341 a funccedilatildeo f(xy) = 7x3 y5 eacute contiacutenua em cada ponto (xy) do plano xy ou seja f(xy) eacute contiacutenua
Exemplo 13Use o Teorema 342 para mostrar que a funccedilatildeo f(xy) = cos (7x3 y5) eacute contiacutenua
ResoluccedilatildeoComo h(xy) = 7x3 y5 eacute contiacutenua em cada ponto do plano xy e g(u) = cos u eacute
contiacutenua em cada ponto u da reta real segue do Teorema 342 que a composiccedilatildeo f(xy) = cos (7x3 y5) eacute contiacutenua em todo R2
41
RESUMO DO TOacutePICO 3
Caro(a) acadecircmico(a) Neste toacutepico os principais assuntos estudados foram
bull O conceito de limite de funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
bull Definiccedilatildeo de funccedilatildeo contiacutenua e suas propriedades Eacute importante saber analisar se uma funccedilatildeo eacute contiacutenua ou natildeo
bull Destacamos a Definiccedilatildeo 341 que trata da continuidade Lembre que se f S sub R2 rarr R eacute uma funccedilatildeo e (ab) isin S eacute um ponto de acumulaccedilatildeo de S dizemos
que f eacute contiacutenua no ponto (ab) se as seguintes condiccedilotildees forem satisfeitas
(i) f estaacute definida no ponto (ab)
(ii) lim f(xy) existe
(xy) rarr (ab)
(iii) lim f(xy) = f(ab)
(xy) rarr (ab)
Lembre-se de que se uma destas condiccedilotildees natildeo for satisfeita a funccedilatildeo eacute descontiacutenua em (ab)
42
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre limite e continuidade de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
1 Use a definiccedilatildeo de limite para mostrar que lim (2x + 6y) = 12 (xy) rarr (31)
2 Nos exerciacutecios a seguir calcule os limites
a) lim (x2y3 ‒ 2xy + 4) (xy) rarr (2 ‒1)
b) lim (xy) rarr (2 ‒1)
c) lim (xy) rarr (00)
d) lim x2 ‒ xy
radic radicx + y (xy) rarr (00)
x + 4y2x2 + 3xy
x3 + 2x2 + xy2 + 2y2
x2 + y2
3 Mostre que lim x2y
x4 + y2 natildeo existe (xy) rarr (00)
4 Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f (xy) = 3x2 + y2 +5
5 Verifique se a funccedilatildeo f(xy) = 4x2 ‒ 3x + yx2 + y2 ‒ 1
eacute contiacutenua no ponto (13)
6 Verifique se a funccedilatildeo f(xy) = xy5x2 + y2
0 (xy) = (00)
(xy) ne (00) eacute contiacutenua
43
TOacutePICO 4
DERIVADAS PARCIAIS
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
Vocecirc se recorda das regras de derivaccedilatildeo estudadas na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral
Aqui veremos como elas se aplicam agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis independentes que permitem uma visualizaccedilatildeo graacutefica possibilitando um entendimento de maneira simples do conceito de derivadas parciais Os resultados aqui obtidos podem ser generalizados para os casos de funccedilotildees com um nuacutemero maior de variaacuteveis
As regras de derivaccedilatildeo que vocecirc aprendeu na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral seratildeo utilizadas neste momento novamente
2 RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVACcedilAtildeO
Se u eacute uma funccedilatildeo real e c α isin R entatildeo
(c)prime = 0 (eu)prime = eu sdot u prime(c sdot u)prime = c sdot uprime (sen u)prime = cos u sdot u prime(u α)prime = α sdot u αminus1 sdot uprime (cos u)prime = minussen u sdot u prime
Exemplo 1Se f(x) = 5x3 minus 4x + 3ex minus 5 entatildeo f prime(x) = 15x2 minus 4 + 3ex
Lembre-se que se y = f (x) entatildeo a taxa de variaccedilatildeo de y em relaccedilatildeo a x eacute dada pela derivada de f em relaccedilatildeo a x que eacute definida por
f(x + Δx) minus f(x)Δx
f prime(x) = limΔx rarr 0
44
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
3 DERIVADAS PARCIAIS
Nesta seccedilatildeo estudaremos sobre as derivadas parciais Acompanhe
31 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS
A definiccedilatildeo de derivada parcial de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis eacute parecida com a enunciada para funccedilotildees de uma variaacutevel sendo utilizadas as mesmas regras de derivaccedilatildeo A diferenccedila aqui eacute que como se tem duas variaacuteveis uma delas deve ser mantida fixa enquanto se daacute acreacutescimos para a outra conforme veremos nas definiccedilotildees a seguir
Definiccedilatildeo 4311 Seja f A sube R2 rarr R uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis As derivadas parciais de f em relaccedilatildeo a x e a y satildeo funccedilotildees partf
partx e partf
party definidas por
partfpartx
= limh rarr 0
f (x + hy) ‒ f (xy)h
partfparty
= limh rarr 0
f (xy + h) ‒ f (xy)h
desde que os limites existam
O siacutembolo ldquopartrdquo chama-se ldquoD-rondrdquo (pronuncia-se derron) que significa D-redondo em francecircs Esta notaccedilatildeo eacute apenas um outro tipo de simbologia para a derivada que quando trabalhamos com funccedilotildees de uma variaacutevel era representada por ldquodrdquo Eacute conveniente ter essa maneira distinta de estender a notaccedilatildeo diferencial de Leibniz para um contexto de diversas variaacuteveis pois aqui natildeo tem sentido falarmos simplesmente em derivada apenas em derivadas parciais
Existem outras notaccedilotildees para representar as derivadas parciais Se z = f (xy)
denotamos
partfpartx
= fx (xy) = = Dx fpartzpartx
partfparty
= fy (xy) = = Dy fpartzparty
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
45
Preste muita atenccedilatildeo na simbologia de derivada Quando estamos derivando
uma funccedilatildeo de uma variaacutevel por exemplo y = f (x) entatildeo a derivada eacute identificada por dydx
Mas quando estamos derivando uma funccedilatildeo de duas ou mais variaacuteveis por exemplo z = f
(xy) entatildeo as derivadas satildeo identificadas por part zpart x
e part zpart y
Exemplo 2
Aplicar a definiccedilatildeo para achar partfpartx
e partfparty
para f (xy) = 3x2 ‒ 2xy
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= limh rarr 0
f (x + hy) ‒ f (xy)h
= limh rarr 0
3 (x + h)2 ‒ 2 (x + h)y ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
3x2 + 6xh + 3h2 ‒ 2xy ‒ 2hy ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
6xh + 3h2 ‒ 2hyh
= limh rarr 0
h (6x + 3h ‒ 2y)h
= lim 6x + 3h ‒ 2yh rarr 0
= 6x ‒ 2y
partfparty
= limh rarr 0
f (xy + h)‒ f (xy)h
ATENCAO
46
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
= limh rarr 0
3x2 ‒ 2x (y + h) ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
3x2 ‒ 2xy ‒ 2xh ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
‒ 2xhh
= lim (‒ 2x)h rarr 0
= ‒ 2x
Logo obtemos partfpartx
= 6x ‒ 2y e partfparty
= ‒ 2x
Exemplo 3Encontre as derivadas parciais de f (xy) = 5x3 ‒ 4xy + 3exysup3 ‒ 5
ResoluccedilatildeoPara encontrar a derivada parcial de f em relaccedilatildeo a x devemos olhar para
a variaacutevel y da funccedilatildeo f como uma constante e derivamos apenas a variaacutevel x ou seja aplicaremos as regras de derivaccedilatildeo somente na variaacutevel x
partfpartx
= 5 ∙ 3x2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ y + 3exysup3 ∙ 1 ∙ y3 ‒ 0
= 15x2 ‒ 4y + 3y3 exysup3
De forma anaacuteloga para derivar parcialmente f em relaccedilatildeo a y devemos olhar para a variaacutevel x da funccedilatildeo f como uma constante e derivamos apenas a variaacutevel y ou seja aplicaremos as regras de derivaccedilatildeo somente na variaacutevel y
partfparty
= 0 ‒ 4x ∙ 1 + 3exysup3 ∙ x ∙ 3y2 ‒ 0
= ‒ 4x + 9xy2 exysup3
Exemplo 4Encontre as derivadas parciais de f (xy) = 3x2 ‒ xy + y
ResoluccedilatildeoDerivando f em relaccedilatildeo a x (lembre-se de considerar y como constante)
partfpartx
= 6x ‒ y
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
47
E derivando f em relaccedilatildeo a y (agora considere x como constante)
partfparty
= ‒ x + 1
Exemplo 5Encontre as derivadas parciais de f (xy) = ex ‒ y ‒ ey ‒ x
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= ex ‒ y ∙ 1 ‒ ey ‒ x ∙ (‒ 1)
= ex ‒ y + ey ‒ x
partfparty
= ex ‒ y ∙ (‒ 1) ‒ ey ‒ x ∙ 1
= ex ‒ y ‒ ey ‒ x
Exemplo 6Calcule as derivadas parciais de f (xy) = (x + y) sen (x ‒ y)
ResoluccedilatildeoObserve que a funccedilatildeo f eacute um produto de outras duas funccedilotildees u e v Assim
lembramos que (u sdot v)prime = u prime sdot v + u sdot v prime
partfpartx
= 1sen(x ‒ y) + (x + y) ∙ 1 ∙ cos (x ‒ y)
= sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ cos (x ‒ y)
partfparty
= 1∙ sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ (‒1) ∙ cos (x ‒ y)
= sen (x ‒ y) ‒ (x + y) ∙ cos (x ‒ y)
Exemplo 7Calcule as derivadas parciais de f (xy) = exy + In (x2 + y)
Resoluccedilatildeopartpart
= ++
fxy e x
x yxy
22
Utilizamos a regra
lnu uu
fyx e
x yxy
( )prime = prime
partpart
= ++1
2
48
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Ateacute aqui estivemos preocupados com o caacutelculo da derivada parcial de uma funccedilatildeo em relaccedilatildeo a uma de suas variaacuteveis Isso quer dizer que calculamos a derivada ao longo de uma curva sem ponto fixado Passemos a ver como se calcula a derivada fixando um ponto da superfiacutecie
Se (x0 y0) for um ponto do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (xy) o plano vertical y = y0 cortaraacute a superfiacutecie z = f (xy) na curva z = f (x y0) (Figura 26)
Definiccedilatildeo 4312 A derivada parcial da funccedilatildeo f em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x eacute representada por partf
partx e eacute definida num ponto P (x0 y0) do domiacutenio por
(x0 y0) = limΔ x rarr 0
partfpartx
f (x0 + Δ x y0) ‒ f (x0 y0)Δ x
se este limite existir
FIGURA 26 ndash FUNCcedilAtildeO f (xy)
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
Se (x0 y0) for um ponto do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (xy) o plano vertical x = x0 cortaraacute a superfiacutecie z = f (xy) na curva z = f (xy0) (Figura 27)
Definiccedilatildeo 4313 A derivada parcial da funccedilatildeo f em relaccedilatildeo agrave variaacutevel y eacute representada por partf
party e eacute definida num ponto P (x0 y0) do domiacutenio por
(x0 y0) = limΔ x rarr 0
partfparty
f (x0 y0 + Δ y ) ‒ f (x0 y0)Δ y
se este limite existir
Eixo horizontal no plano y = y₀
Eixo vertical no plano y = y₀
Reta tangente
A curva z = f (xy0)no plano y = y₀
z
z = f (xy)
y
y₀
(x₀ y₀)(x₀ + h y₀)
x
x₀0
P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
49
FIGURA 27 ndash FUNCcedilAtildeO f (xy)
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
Exemplo 8Sendo f (xy) = 2x2y ndash 4y3 calcule partf
partx partfparty
partfpartx
(31) partfparty
(31)
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= 2 sdot 2x sdot y ndash 0 partfpartx
(31) = 4 sdot 3 sdot 1 = 12
partfpartx
= 4xy
partfparty = 2x 2 sdot 1 ndash 4 sdot 3y 2
partfparty (31) = 2 sdot 32 ndash 12 sdot 12
partf party
= 2x 2 ndash 12y 2 partfparty
(31) = 2 sdot 9 ndash 12 sdot 1 = 18 ndash 12 = 6
Exemplo 9
Sendo f (xy) = 5xy2x + 3y
0 se (xy) = (00)
se (xy) ne (00) calcule partf
partx e partf
party
Eixo vertical no plano x = x₀
Reta tangente
A curva z = f (x y0)no plano x = x₀
Eixo horizontal no plano x = x₀
x₀
x(x₀ y₀)
(x₀ y₀ + k)
z = f (xy)
z
y
y₀
P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))
50
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
ResoluccedilatildeoNos pontos (xy) ne (00) podemos aplicar as regras de derivaccedilatildeo Assim
temos
partfpartx
5y middot (2x + 3y) ‒ 5xy middot 2(2x + 3y)2
=
10xy + 15y 2 ‒ 10xy(2x + 3y)2
=
15y 2
(2x + 3y)2=
partfparty
5x middot (2x + 3y) ‒ 5xy middot 3(2x + 3y)2
=
10x2
(2x + 3y)2=
Para calcularmos as derivadas de f na origem usamos a definiccedilatildeo de derivada parcial
(00) = limh rarr 0
partfpartx
f (0 + h 0 ) ‒ f (00)h
= limh rarr 0
5h middot 0 2h
h
‒ 0( (( (
(00) = limh rarr 0
partfparty
f (00 + h) ‒ f (00)h( (
= limh rarr 0
5 middot 0 middot h 3h
h
‒ 0( (= 0
= 0
Assim obtemos as derivadas parciais da funccedilatildeo f com relaccedilatildeo a x e com relaccedilatildeo a y em todos os pontos (xy) do domiacutenio
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
51
32 INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
A interpretaccedilatildeo das derivadas parciais eacute anaacuteloga agrave interpretaccedilatildeo da derivada simples Sabemos que para a funccedilatildeo y = f (x) a derivada f prime (x0) pode ser interpretada ou como a taxa de variaccedilatildeo de y em relaccedilatildeo a x no ponto x0 ou como a inclinaccedilatildeo da reta tangente ao graacutefico de f no ponto x0
Para interpretar as derivadas parciais consideramos a funccedilatildeo z = f (xy) e
as suas derivadas parciais no ponto (x0 y0) Vamos interpretar partfpartx
(x0 y0) suponha
que C1 eacute a interseccedilatildeo da superfiacutecie z = f (xy) com o plano y = y0 (o que equivale a
considerar y como constante) Geometricamente partfpartx
(x0 y0) pode ser interpretada
como a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva C1 no ponto (x0 y0) que se denota por partfpartx
(x0 y0) = tg α
Da mesma forma supondo C2 a interseccedilatildeo da superfiacutecie z = f (xy) com
o plano x = x0 (o que equivale a considerar x como constante) interpretamos partfparty
(x0 y0)geometricamente como a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva C2 no ponto
(x0 y0) que se denota por partfparty
(x0 y0) = tg b Veja na Figura 28 a situaccedilatildeo descrita
anteriormente
A derivada parcial partfpartx
(x0 y0) tambeacutem pode ser interpretada como a taxa de variaccedilatildeo de z em relaccedilatildeo a x ao longo da curva C1 E a derivada parcial partf
party (x0 y0)
tambeacutem pode ser interpretada como a taxa de variaccedilatildeo de z em relaccedilatildeo a y ao longo da curva C2 Assim estes valores representam a velocidade com que z cresce (ou decresce) quando apenas uma variaacutevel estaacute sendo alterada
FIGURA 28 ndash INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
y
x
z
x₀
c₂ c₁
y₀
b
α
52
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 10A funccedilatildeo T (xy) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto
de uma chapa Encontre a razatildeo de variaccedilatildeo da temperatura em relaccedilatildeo agrave distacircncia percorrida ao longo da chapa na direccedilatildeo dos eixos positivos x e y no ponto (1 2) Considere a temperatura medida em graus Celsius e a distacircncia em cm
Resoluccedilatildeo
partTpartx = 0 ‒ 2 sdot 2x = ‒ 4x
partTpartx (1 2) = ‒ 4 sdot 1 = ‒ 4degC cm
Assim podemos interpretar o valor ‒ 4degC cm obtido na derivada em x da seguinte forma a temperatura estaacute diminuindo 4degC agrave medida que x aumenta uma unidade
partTparty = 0 ‒ 2 middot 3y = ‒ 6y
partTparty (1 2) = ‒ 6 middot 2 = ‒ 12degC cm
Assim o valor ‒ 12degC cm significa que a temperatura diminui 12degC agrave medida que y aumenta uma unidade
Exemplo 11Suponha que D = radicx 2 + y 2 eacute o comprimento da diagonal de um retacircngulo
cujos lados tecircm comprimentos x e y que satildeo permitidos variar Determine uma foacutermula para a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x se x varia com y considerado constante e utilize esta foacutermula para determinar a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x no ponto x = 3 e y = 4
ResoluccedilatildeoA foacutermula para a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x eacute
D = radicx 2 + y 2 D = (x 2 + y 2)frac12
partDpartx
= 12
(x 2 + y 2)-frac12 (2x)
partDpartx
= radic
xx 2 + y 2
A taxa de variaccedilatildeo instantacircnea de D em relaccedilatildeo a x no ponto (3 4) eacute
partDpartx
(3 4) = radic
332 + 42
= 35
Assim D aumenta a uma taxa de 35
de unidade para cada unidade de aumento de x no ponto (3 4)
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
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4 GENERALIZACcedilAtildeO
Na seccedilatildeo anterior estudamos as derivadas parciais de funccedilotildees de duas variaacuteveis Agora vamos generalizar este conceito para as derivadas parciais de funccedilotildees de n variaacuteveis reais
Definiccedilatildeo 441 Seja f A sube Rn rarr R uma funccedilatildeo de n variaacuteveis e seja x = (x1 x2 xn) isin A Definimos a derivada parcial de f no ponto x em relaccedilatildeo a xi por
partpart
+ minusrarr
fxi h
i n (x) = f (x x h x f (x
lim )
01 1 xx
hn ) quando esse limite existir
Definiccedilatildeo 442 Seja f A sub Rn rarr R uma funccedilatildeo de n variaacuteveis e seja B sube A o
conjunto formado por todos os pontos x tais que partfpartxi
(x) existe Definimos a funccedilatildeo
derivada parcial de 1ordf ordem de f em relaccedilatildeo a xi como a funccedilatildeo que a cada x isin B associa
o nuacutemero partfpartxi
(x) dado por partfpartxi
(x) = limf (x1 xi + h xn) ‒ f (x1 xi xn)
h( (h rarr 0
Exemplo 12Calcule as derivadas de primeira ordem da funccedilatildeo f (x y z) = 1 + xy 2 ‒ 2z3
ResoluccedilatildeoAo derivar f em relaccedilatildeo a x lembre-se de considerar y e z como constantes
partfpartx
= y 2
Derivando f em relaccedilatildeo a y (agora considere x e z como constantes)
partfparty
= 2xy
E derivando f em relaccedilatildeo a z (considere x e y como constantes)
partfpartz
= ‒ 6z2
Exemplo 13Calcule as derivadas de primeira ordem da funccedilatildeo f (x y z) = yz In (xy)
ResoluccedilatildeoObserve primeiramente que a funccedilatildeo eacute dada por um uacutenico termo e teremos
que usar as regras do produto e do logaritmo natural
54
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Derivando f em relaccedilatildeo a x (considere y e z como constantes) Como a variaacutevel x aparece apenas no logaritmando usaremos a regra do logaritmo natural
partfpartx
= yz ∙ yxy
= yzx
Derivando f em relaccedilatildeo a y (considere x e z como constantes)
Como a variaacutevel y aparece no fator que multiplica o logaritmo e tambeacutem no logaritmando entatildeo aplicaremos a regra do produto junto agrave regra do logaritmo natural
partfparty
= z In (xy) + yz middot xxy
= z In (xy) + z
E derivando f em relaccedilatildeo a z (considere x e y como constantes) a variaacutevel z aparece apenas no fator que multiplica o logaritmo entatildeo aplicaremos a regra da derivada simples em z
partfpartz
= y In (xy)
5 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
As derivadas parciais partfpartx
e partfparty
satildeo funccedilotildees de x e y e assim elas mesmas
podem ter derivadas parciais Com isso teremos outras quatro derivadas parciais estas de segunda ordem de f as quais satildeo definidas por
Exemplo 14Sendo f (xy) = y2 ex + 5y calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
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Resoluccedilatildeo
partfpartx
= y2 ex partf
party= 2y ex + 5
Para fazermos as derivadas parciais de segunda ordem vamos derivar parcialmente cada uma das derivadas de primeira ordem em relaccedilatildeo a x e a y Fique atento(a) agrave notaccedilatildeo
Exemplo 15Sendo f (xy) = x2 cos y + y2 sen x encontre as derivadas parciais de segunda
ordem de f
Resoluccedilatildeo
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UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 16Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de f (xy) = x + 3y
ResoluccedilatildeoPrimeiro devemos escrever a funccedilatildeo na forma de potecircnciaf (xy) = (x + 3y)frac12
Observe que devemos aplicar a regra da potecircncia para a derivaccedilatildeo (u α)prime = α uαminus1 uprime
radic
Exemplo 17Dada a funccedilatildeo f (xy) = x3y + 4x2y3 calcule
a) part2fpartypartx
b) part2fpartx2
c) part3fpartxpartypartx
d) part3fpartypartx2
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
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Resoluccedilatildeo
partpart part
=partpart
partpart
partpart part
=partpart
+( )partpart part
= +
2
22 3
22
3 8
3 24
fy x y
fx
fy x y
x y xy
fy x
x xyy2
partpart
= +
part
part= +
fx
x y xy
fx
xy y
3 8
6 8
2 3
2
23
partpart
= +
partpart part
= +
partpart part part
= +
fx
x y xy
fy x
x xy
fx y x
x y
3 8
3 24
6 24
2 3
22 2
32
partpart
= +
part
part= +
part
part part= +
fx
x y xy
fx
xy y
fy x
x y
3 8
6 8
6 24
2 3
2
23
3
22
Talvez vocecirc tenha percebido nos exemplos que as derivadas mistas de segunda ordem part2f
partxparty e part2f
partypartx satildeo iguais Seraacute que isto ocorre sempre
Respondendo agrave pergunta A igualdade entre as derivadas parciais mistas
ocorre quando a funccedilatildeo f (xy) e suas derivadas parciais part2fpartx2
part2fpartxparty
part2fpartypartx
e part2fparty2
forem todas contiacutenuas fato este que nem sempre ocorre
Caro(a) acadecircmico(a) mostre que partpart part
( ) = partpart part
( ) =2 2
0 0 0 0 0 1f
x yf
y x e considerando a
funccedilatildeo f x yxyx y
x y
x y
( ) = +
( ) ne ( )
( ) =
3
2 20 0
0 0 0
se
se (( )
UNI
UNI
a) b)
c) d)
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UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Este fato se repete para funccedilatildeo de trecircs variaacuteveis isto eacute teremos a igualdade
das seis derivadas parciais mistas part2fpartxparty
part2fpartypartx
= part2fpartxpartz
part2fpartzpartx
= e part2fpartypartz
part2fpartzparty
= se f
(x y z) e todas as suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contiacutenuas
Verifique se de fato as derivadas mistas satildeo iguais para a funccedilatildeo f (x y z) = x y2z3 + 3 yz
Teorema 451 (Teorema de Schwarz) Suponhamos que f seja uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis x e y definida em bola aberta B com derivadas parciais de segunda
ordem contiacutenuas em B Entatildeo part2fpartxparty
part2fpartypartx
(a b) = (a b) para todo (a b) isin B
Como consequecircncia do teorema se a funccedilatildeo z = f (xy) tem todas as derivadas parciais contiacutenuas em uma bola aberta entatildeo a ordem da derivada natildeo importa Por exemplo
A seguir apresentaremos a biografia de dois grandes matemaacuteticos Johann Bernoulli e Leonhard Euler que entre outros tambeacutem contribuiacuteram bastante para o desenvolvimento do caacutelculo diferencial e integral
UNI
UNI
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
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LEITURA COMPLEMENTAR
JOHANN BERNOULLI (1667-1748)
Johann Bernoulli irmatildeo de Jacques Bernoulli nasceu no dia 27 de julho na Basileia Seus pais Nicolaus e Margaretha Bernoulli queriam que ele fosse comerciante ou meacutedico Johann pode ter sido influenciado quando crianccedila pelo seu irmatildeo Jacques que jaacute estava na carreira matemaacutetica
Em 1682 com 15 anos de idade trabalhou no comeacutercio durante um ano poreacutem natildeo gostou da atividade Em 1683 ingressou na Universidade da Basileia para estudar Medicina apesar de ter sempre gostado de Matemaacutetica Quatro anos depois seu irmatildeo foi nomeado professor de Matemaacutetica na Universidade e de 1687 a 1690 Johann e Jacques Bernoulli estudaram juntos as teorias de Leibniz sobre o Caacutelculo Na eacutepoca essas teorias natildeo tinham sido compreendidas por nenhum outro matemaacutetico e os irmatildeos Bernoulli foram os primeiros a estudaacute-las Os dois irmatildeos e Leibniz iniciaram uma seacuterie de artigos publicados na Acta Eruditorum dando origem agrave difusatildeo do Caacutelculo Leibniziano tornando-o amplamente conhecido
Em 1691 Johann foi agrave Franccedila onde conheceu o marquecircs de LrsquoHospital O marquecircs interessou-se pelo novo Caacutelculo e ofereceu um bom salaacuterio para que Johann lhe ensinasse O acordo permitia ao marquecircs usar todo o conteuacutedo ensinado como o desejasse A consequecircncia disso foi a importante contribuiccedilatildeo de Johann Bernoulli conhecida como Regra de LrsquoHospital publicada pelo marquecircs em seu primeiro livro sobre Caacutelculo em 1696 No prefaacutecio do livro LrsquoHospital fez menccedilatildeo a Johann Bernoulli mas natildeo lhe atribuiu o famoso teorema Soacute depois da morte do marquecircs Johann contestou a autoria poreacutem havia perdido a credibilidade no assunto devido agraves desavenccedilas puacuteblicas principalmente com seu irmatildeo Jacques Bernoulli Esse reconhecimento soacute aconteceu em 1922 quando encontraram uma coacutepia do curso na Basileia
60
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
A determinaccedilatildeo da equaccedilatildeo da catenaacuteria foi o primeiro problema importante resolvido por Johann Bernoulli em 1691 Esse problema existia haacute mais de 50 anos e Galileo em 1636 sugerira uma soluccedilatildeo Em 1646 Huygens provou que a soluccedilatildeo de Galileo era falsa mas tambeacutem natildeo conseguiu resolver o problema A catenaacuteria eacute a forma assumida por uma corda ou corrente suspensa livremente por dois pontos O problema era determinar sua equaccedilatildeo Utilizando o Caacutelculo Leibniziano Johann Bernoulli resolveu o problema e esse foi o primeiro sucesso puacuteblico do novo Caacutelculo
Em 1694 ele estudou as curvas exponenciais y = ax e y = xx Para Bernoulli a integraccedilatildeo era a operaccedilatildeo inversa da diferenciaccedilatildeo Tal concepccedilatildeo permaneceu ateacute a eacutepoca de Cauchy
Johann teve trecircs filhos Nicolaus (1695-1726) Daniel (1700-1782) e Johann (1710-1790) Todos eles foram matemaacuteticos e Daniel produziu um trabalho sobre Hidrodinacircmica conhecido como Princiacutepio de Bernoulli
Johann nunca chegou a publicar seu livro sobre o Caacutelculo poreacutem escreveu sobre a isoacutecrona soacutelidos de resistecircncia miacutenima trajetoacuterias problemas isoperimeacutetricos conseguindo tal reconhecimento pelo seu trabalho que apoacutes a morte de seu irmatildeo em 1705 foi chamado para ocupar a cadeira dele na Universidade de Basileia
Johann Bernoulli morreu no dia 1ordm de janeiro de 1748 na Basileia
FONTE E-CAacuteLCULO Mapa da histoacuteria Leibniz Disponiacutevel em lthttpecalculoifuspbrhistoriabernoulli1htmgt Acesso em 10 jun 2008
EULER LEONHARD (1707-1783)
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
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Nascido na Basileia Suiacuteccedila Leonhard Euler foi a figura matemaacutetica dominante do seu seacuteculo e o matemaacutetico mais proliacutefico de que se tem notiacutecia Era tambeacutem astrocircnomo fiacutesico engenheiro e quiacutemico Foi o primeiro cientista a dar importacircncia ao conceito de funccedilatildeo estabelecendo desse modo uma base soacutelida para o desenvolvimento do caacutelculo e de outras aacutereas da matemaacutetica A coleccedilatildeo completa dos livros e trabalhos de Euler (mais de 870 artigos e livros) chega a mais de 80 volumes Ele contribuiu enormemente no campo da geometria analiacutetica da trigonometria do caacutelculo e da teoria dos nuacutemeros
Ainda jovem Euler demonstrou um futuro promissor como matemaacutetico apesar de seu pai preferir que estudasse teologia Felizmente Johann Bernoulli convenceu o pai a permitir que Euler se concentrasse no estudo da matemaacutetica Graduou-se pela Universidade da Basileia defendendo uma tese em que comparava o trabalho de Descartes ao de Newton Euler conseguiu uma posiccedilatildeo em Satildeo Petersburgo e durante alguns anos foi meacutedico na Marinha russa Em 1733 tornou-se professor de Matemaacutetica na Academia de Ciecircncias de Satildeo Petersburgo Em 1736 publicou a obra Mechanica em dois volumes na qual aplicou sistematicamente o caacutelculo agrave matemaacutetica de uma massa e incorporou muitas equaccedilotildees diferenciais novas agrave mecacircnica Em 1738 ele perdeu a vista direita Em 1741 conseguiu uma posiccedilatildeo como diretor matemaacutetico da Academia de Ciecircncias de Berlim Laacute desenvolveu alguns trabalhos como a traduccedilatildeo e a melhoria de Principles of Gunnery de Robin a publicaccedilatildeo de Scienia navalis em 1749 e Letters to a german princess de 1768 a 1772 e o ensino de Lagrange por correspondecircncia Em 1766 Euler retornou agrave Ruacutessia a convite de Catarina a Grande Em 1771 perdeu a visatildeo no olho esquerdo ficando completamente cego Seu trabalho foi do caacutelculo e da anaacutelise agrave medida que publicou sua trilogia Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis e Institutiones calculi integralis Esses trabalhos que perfaziam um total de seis volumes fizeram da funccedilatildeo uma parte central do caacutelculo e tratavam de aacutelgebra trigonometria geometria analiacutetica e teoria dos nuacutemeros Por meio desses tratados Euler influenciou grandemente o ensino da matemaacutetica Diz-se que todos os livros didaacuteticos de caacutelculo desde 1748 satildeo essencialmente coacutepias de Euler ou coacutepias de coacutepias dele Algumas de suas contribuiccedilotildees para as equaccedilotildees diferenciais satildeo as seguintes a reduccedilatildeo da ordem o fator integrante coeficientes indeterminados a teoria das equaccedilotildees lineares de segunda ordem e soluccedilotildees das seacuteries de potecircncias Ele tambeacutem incorporou o caacutelculo vetor e as equaccedilotildees diferenciais em seus trabalhos
Euler deu agrave geometria analiacutetica moderna e agrave trigonometria o que o livro Elements de Euclides deu agrave geometria e a tendecircncia resultante de apresentar a matemaacutetica e a fiacutesica em termos matemaacuteticos prosseguiu desde entatildeo Euler enriqueceu a matemaacutetica com muitos conceitos teacutecnicos e notaccedilotildees ainda em uso nos dias de hoje Ele deu ordem ao caos da notaccedilatildeo matemaacutetica Estabeleceu a maior parte da notaccedilatildeo que utilizamos hoje (seno co-seno e pi i sigma f para funccedilatildeo) A contribuiccedilatildeo de Euler para a teoria dos nuacutemeros e para a fiacutesica foi igualmente impressionante Em sua obra Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (Theory of the motions of rigid bodies) de 1765 ele fundou as bases da mecacircnica contiacutenua e da teoria lunar Sua influecircncia no campo da fiacutesica matemaacutetica
62
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
foi tatildeo difusa que a maior parte das descobertas natildeo eacute creditada a ele No entanto temos as equaccedilotildees de Euler para a rotaccedilatildeo de um corpo riacutegido fluxo de um fluido ideal incompressiacutevel flexatildeo de vigas elaacutesticas e carregamentos para empenamento de colunas Ele calculava sem esforccedilo aparente como os homens respiram ou como as aacuteguias se sustentam no vento Euler foi o Shakespeare da matemaacutetica universal ricamente detalhista e incansaacutevel
Teoremas principais adiccedilatildeo de seacuteries teorema das pontes de Koumlnigsberg
Principais obras Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis Institutiones calculi integrali Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum Mechanica Letters to a German princess
FONTE GUIA para a histoacuteria do Caacutelculo Euler Leonhard Disponiacutevel em lthttpcwxprenhallcombookbindpubbooksthomas_brchapter1medialibcustom3bioseulerhtmgt Acesso em 17 jul 2011
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RESUMO DO TOacutePICO 4
Caro(a) acadecircmico(a) Neste toacutepico foram estudadas as derivadas parciais
bull Vocecirc deve ter percebido que o seu caacutelculo eacute similar ao caacutelculo de derivadas simples a diferenccedila estaacute no fato de ter agora duas variaacuteveis e ter que derivar a funccedilatildeo em termos de uma delas enquanto a outra eacute considerada como constante
Ou seja partfpartx
estamos derivando f (xy) em relaccedilatildeo a x considerando y como constante
bull A derivada parcial partfpartx
(x0 y0) eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva da superfiacutecie
z = f (xy) no plano vertical y = y0
bull Analogamente partfparty
(x0 y0) eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva da superfiacutecie
z = f (xy) no plano vertical x = x0
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AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre derivadas parciais
1 A funccedilatildeo T (xy) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto de
uma chapa Foram calculadas as derivadas parciais no ponto (2 3) e chegou-
se aos resultados partzpartx
(2 3) = ‒ 8 e partzparty
(2 3) = ‒ 18 Decirc os significados para
os dois valores obtidos com as derivadas parciais no ponto (2 3)
2 Nos exerciacutecios a seguir calcule as derivadas parciais partfpartx
e partfparty
das funccedilotildeesa) f (xy) = 2x2 ‒ 3y ‒ 4b) f (xy) = (x2 ‒ 1) (y + 2)c) f (xy) = (xy ‒ 1)2
d) f (xy) = 1x + y
e) f (xy) = ex + y + 1
f) f (xy) = In (2x + y)
3 Calcule as derivadas parciais de segunda ordem part2fpartx2
part2fpartxparty
part2fpartypartx
e part2fparty 2
das funccedilotildees a seguir
a) f (xy) = e3x sen yb) f (xy) = xey + y + 1
65
UNIDADE 2
DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Nessa unidade vamos
bull conhecer os principais conceitos que envolvem derivadas de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
bull aplicar a regra da cadeia nas derivadas parciaisbull calcular implicitamente as derivadas de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveisbull entender o conceito de diferenciabilidadebull entender o conceito de vetor gradiente e saber calculaacute-lobull entender o conceito de derivada direcional e saber calculaacute-labull calcular os miacutenimos e maacuteximos locais de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveisbull resolver problemas envolvendo minimizaccedilatildeo e maximizaccedilatildeo de funccedilotildees
de vaacuterias variaacuteveisbull aplicar o conceito de integrais muacuteltiplasbull calcular as integrais muacuteltiplas
Esta unidade estaacute dividida em quatro toacutepicos apresentando os conceitos e a utilizaccedilatildeo das derivadas parciais e tambeacutem a integraccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Dando continuidade ao estudo da unidade anterior seguimos com a regra da cadeia e a derivaccedilatildeo impliacutecita de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis resolven-do diversos exemplos para auxiliaacute-lo(a) na compreensatildeo e resoluccedilatildeo dos exer-ciacutecios propostos no final de cada toacutepico como vocecirc jaacute estaacute habituado em nossos cadernos de estudos Nos toacutepicos seguintes continuamos explorando outros conceitos e aplicaccedilotildees relacionados com as derivadas parciais tais como dife-renciabilidade de uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis diferencial vetor gradiente derivadas direcionais extremos locais e problemas envolvendo a otimizaccedilatildeo (minimizaccedilatildeo e maximizaccedilatildeo) de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Encerramos esta unidade com o estudo das integrais muacuteltiplas que eacute a integraccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Esperamos que este material possa auxiliaacute-lo em seus estudos
TOacutePICO 1 ndash REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
TOacutePICO 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE
TOacutePICO 3 ndash MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
TOacutePICO 4 ndash INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
66
67
TOacutePICO 1
REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
A regra para funccedilotildees compostas eacute tradicionalmente chamada de regra da cadeia Nesta seccedilatildeo vamos apresentar a regra da cadeia para funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
2 REGRA DA CADEIA
Inicialmente consideramos dois casos especiacuteficos de funccedilotildees de duas variaacuteveis e em seguida apresentamos a regra da cadeia generalizada
Teorema 121 (Regra da Cadeia ndash derivada total) Suponha que z = f (xy) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x e y onde x = x (t) e y = y (t) satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis de t Entatildeo a funccedilatildeo z = f (x(t) y (t)) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de t e
dzdt
zxdxdt
zydydt
=partpart
sdot +partpart
sdot
FIGURA 29 ndash DIAGRAMA DA AacuteRVORE PARA A REGRA DA CADEIA
FONTE O autor
partpartzx
partpartzy
dxdt
dydt
z
x y
t t
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
68
Exemplo 1Sejam z = f (xy) = 4x 3 y 2 x = t 4 e y = 3t 2
ResoluccedilatildeoComeccedilamos calculando as derivadas parciais partzpartx
= 12x2y2
partzparty
= 8x 3y
e em seguida calculamos as outras derivadas
partxpartt
= 4t 3
dydt
= 6t
Aplicamos a regra da cadeia substituindo as derivadas calculadas anteriormente
Substituindo x = t 4 e y = 3t 2 na expressatildeo acima temos
dzdt
= 12(t 4)2 (3t 2)2 ∙ 4t 3 + 8(t 4)3
∙ 3t 2 ∙ 6t
= 144t 15 + 144t 15
= 288t 15
Exemplo 2Sejam z = f (xy) = In (3x 2 + y) x = t + 1 e y = 5t
a) Calcule partzpartt
usando a regra da cadeiab) Determine a funccedilatildeo composta z = f (t + 15 t) e calcule dz
dt
Resoluccedilatildeo
a) Aplicaremos a regra da cadeia
Sabendo que y = In u rArr y prime = u primeu
calcularemos separadamente
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
69
Agora aplicamos
Substituindo x = t + 1 e y = 5t na expressatildeo anterior temos
ou seja
dzdt
6t + 113(t + 1)2 + 5t
=
dzdt
6(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t
=
b) A funccedilatildeo composta eacutez = f (t + 15 t)z = In (3(t + 1)2 + 5 t)
A derivada de z em relaccedilatildeo a t (calculada a partir desta expressatildeo) eacute
dzdt
32(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t
=
dzdt
6t + 113(t + 1)2 + 5t
=
Compare os resultados obtidos nos itens (a) e (b) do Exemplo 2 A facilidade do uso da regra da cadeia estaacute em derivar funccedilotildees ldquomenoresrdquo e posteriormente na substituiccedilatildeo ter menos trabalho algeacutebrico
UNI
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
70
Exemplo 3Sejam z = x2 + 2xy + y2 x = cos t e y = sen t Determine dz
dt
ResoluccedilatildeoUsando a regra da cadeia
dz = partz dx + partz dydt partx dt party dt
= (2x + 2y) (‒ sen t) + (2x + 2y) (cos t) = (2x + 2y) (cos t ‒ sen t) = 2(cos t + sen t) (cos t ‒ sen t)ou seja
dz = 2(cos2 t ‒ sen2 t)dt
Vimos no Teorema 121 como aplicar a regra da cadeia no caso da derivada total quando a funccedilatildeo tem duas variaacuteveis independentes Vamos generalizar esta derivada total para funccedilotildees com mais de duas variaacuteveis
Se a funccedilatildeo tiver mais de duas variaacuteveis representaremos por f (x1 x2 x3 xn) onde x1(t ) x2(t ) x3(t ) xn (t ) satildeo funccedilotildees de t Sua derivada em relaccedilatildeo a t eacute dada pela regra da cadeia
Como a derivada acima possui muitas parcelas eacute possiacutevel reescrever a regra usando o somatoacuterio
Exemplo 4Dada a funccedilatildeo f (xyz) = 3x ‒ 2y 3 + z2 onde x = sen t y = e2t e z = 4t 2 ‒ 3
encontre a derivada de f com relaccedilatildeo a t
ResoluccedilatildeoUsando a regra da cadeia
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
71
dfdt
fxdxdt
fydydt
fzdzdt
xx y z d
dt
=partpart
sdot +partpart
sdot +partpartsdot
=partpart
minus +( ) sdot se3 2 3 2 nn
ty
x y z ddte
zx y z d
dttt( ) + part
partminus +( ) sdot ( ) + part
partminus +( ) sdot minus( )3 2 3 2 4 33 2 2 3 2 2
s
= ( ) + minus( )( ) + sdot
= minus +
=
3 6 2 2 8
3 12 16
3
2 2
2 2
co t y e z t
t y e zt
t
tcos
coos
cos
t e e t t
t t t
t t
t
minus ( ) + minus( )= minus + minus
12 16 4 3
3 12 64 48
2 2 2 2
6 3
ou seja
ddfdt
t e t tt t= minus + minus+3 12 64 484 2 32cos
Exemplo 5A que taxa estaacute crescendo a aacuterea de um retacircngulo se seu comprimento eacute de
8 cm e estaacute crescendo a uma taxa de 05 cms enquanto que sua largura eacute de 6 cm e estaacute crescendo 02 cms
Resoluccedilatildeo
A aacuterea de um retacircngulo pode ser escrita como A (xy) = xy consideremos
x o comprimento e y a largura Atraveacutes do enunciado percebe-se que devemos
calcular dAdt
jaacute que as outras taxas dadas satildeo dx = 05dt
e dy = 02dt
O caacutelculo da
derivada deve ser feito para o ponto de coordenadas (8 6)
Como a aacuterea estaacute em funccedilatildeo de duas variaacuteveis x e y e estas por sua vez estatildeo relacionadas ao tempo atraveacutes da regra da cadeia temos
Calculamos as derivadas parciais para A (xy) = xy obtendo
partA = ypartx e
partA = xparty
Substituindo na regra da cadeia
dA = y middot 05 + x middot 02dt = 6 sdot 05 + 8 sdot 02 = 46
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
72
Dizer que dA = 46dt
cm2s significa que a aacuterea de um retacircngulo de dimensotildees
8x6 estaacute crescendo 46 cm2 a cada segundo
Exemplo 6Uma peccedila ciliacutendrica tem 12 cm de raio e 18 cm de altura Se o raio diminuir
agrave razatildeo de 002 cms e a altura aumentar agrave razatildeo de 003 cms entatildeo determine a taxa de variaccedilatildeo do volume em relaccedilatildeo ao tempo
ResoluccedilatildeoSejam r e h o raio e a altura de uma peccedila ciliacutendrica respectivamente e seja t
o tempo em segundos Podemos interpretar as taxas dadas como derivadas
drdt
dhdt
= minus =0 02 0 03 e + no instante em que r = 12 e h = 18
Queremos calcular dVdt
nesse instante Para isso usamos a foacutermula V (r h) = pr 2h do volume do cilindro para obter
dV =
partV dr +
partV dh dt partr dt parth dt
= 2prh dr + pr 2 dh dt dt
Substituindo os dados na regra da cadeia temos
dV = 2p12 18 (‒002) + p122 003dt = ‒864p + 432p = ‒432p
Portanto dV = ‒432pdt
cm3s significa que o volume de um cilindro de 12 cm de raio e 18 cm de altura estaacute diminuindo 432p cm3 a cada segundo
Teorema 122 (Regra da cadeia para derivadas parciais) Suponha que z = f (uv) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de u e v onde u = u (xy) e v = v (xy) satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis de x e de y Entatildeo z = f (u(xy)v(xy)) eacute uma funccedilatildeo de x e y e
Vamos construir um esquema denominado de diagrama da aacutervore para melhor compreensatildeo e execuccedilatildeo da regra da cadeia Proceda da seguinte forma
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
73
I) Trace um diagrama em aacutervore exprimindo as relaccedilotildees entre as variaacuteveis envolvidas
II) Para cada ramificaccedilatildeo da aacutervore determine a derivada parcial com relaccedilatildeo a estas variaacuteveis
III) Multiplique as derivadas determinadas em cada passo ao longo do caminhoIV) Some as contribuiccedilotildees de cada caminho
FIGURA 30 ndash DIAGRAMA DA AacuteRVORE PARA A REGRA DA CADEIA PARA DERIVADAS PARCIAIS
FONTE O autor
Exemplo 7Se z = f (uv) = eu cos v onde u = xy e v = x + y 2 determine
partz partx
e partz party
usando a regra da cadeia
Resoluccedilatildeo
partpart
=partpart
sdotpartpart
+partpart
sdotpartpart
zx
fu
ux
fv
vx
=partpart ( ) sdot partpart ( ) + part
part ( ) sdot partpart +( )
= sdot minus
ue v
xxy
ve v
xx y
e v y se
u u
u
cos cos
cos
2
nnv e
e y x y x y
u
xy
sdot
= +( ) minus +( )
cos
1
2 2sen
e
partpart
=partpart
sdotpartpart
+partpart
sdotpartpart
zy
fu
uy
fv
vy
Z
U V
yx yx
partpartzu
partpartzv
partpartux
partpartuy
partpartvx
partpartvy
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
74
Teorema 123 (Regra da cadeia generalizada) Suponha que w = f (u1 u2 un) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de n variaacuteveis u1 u2 un onde cada uj eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de m variaacuteveis x1 x2 xm Entatildeo w eacute uma funccedilatildeo de x1 x2 xm e
para cada i = 1 2 m
Exemplo 8Suponha que todas as funccedilotildees sejam diferenciaacuteveis w = f (x y z) x = x (r θ
γ) y = y (r θ γ) e z = z (r θ γ) Determine partw partr
partw partθ
e partw partγ
ResoluccedilatildeoAplicando o Teorema 123 temos
Exemplo 9Utilize a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais partz
parts e partz
partt para
as funccedilotildees z = x2 + xy + y2 x = s + t e y = st
ResoluccedilatildeoAplicando o Teorema 122 temos
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
75
3 DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
Vimos no estudo das funccedilotildees de uma variaacutevel (no Caderno de Estudos da disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral) que uma equaccedilatildeo do tipo F (xy) = 0 define y implicitamente como uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x ou seja y = f (x) Nesta seccedilatildeo vamos estudar a derivaccedilatildeo parcial de funccedilotildees dadas de forma impliacutecita Consideraremos duas situaccedilotildees especiacuteficas
Suponhamos que a funccedilatildeo y = f (x) seja definida implicitamente pela equaccedilatildeo
F (xy) = 0 Se f e F satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis e partpart
( )( ) neFyx f x 0 entatildeo podemos
encontrar a derivada dydx
derivando ambos os lados da equaccedilatildeo F (xy) = 0 em
relaccedilatildeo a x Usando a regra da cadeia temos
partpart
sdot +partpart
sdot =Fxdxdx
Fydydx
isin
Como partpart
( )( ) neFyx f x 0 e dx
dx= isin1 segue
A situaccedilatildeo colocada anteriormente pode ser escrita sob condiccedilatildeo da funccedilatildeo F estar definida em uma bola aberta conforme estamos tratando as funccedilotildees de duas variaacuteveis A seguir veremos como aplicar a derivada impliacutecita neste contexto
0
partpart
sdot = minuspartpart
sdot
=minuspartpartpartpart
Fydydx
Fxdxdx
dydx
FxFy
isin
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
76
Exemplo 10Supondo que a funccedilatildeo y = f (x) eacute definida implicitamente pela equaccedilatildeo
In (x2 y) + 2x3 = 4y determine sua derivada dydx
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo dada pode ser escrita da seguinte formaF (xy) = In (x2y) + 2x3 ‒ 4y = 0
Calculando as derivadas parciais temos
partF = 2xy + 6x2 = 2 + 6x2
partx x2 y x
e
partF = x2 ‒ 4 = 1 ‒ 4
party x2 y y
Aplicando a foacutermula do Teorema 131 obtemos
Se F eacute definida numa bola aberta contendo (ab) onde F (ab) = 0 partF = (ab) ne 0party
e partF partx
e partF party
satildeo funccedilotildees contiacutenuas nessa bola entatildeo a equaccedilatildeo F (xy) = 0 define y
como uma funccedilatildeo de x perto do ponto (ab) e a derivada dessa funccedilatildeo eacute dada pela
foacutermula obtida anteriormente
Essa relaccedilatildeo nos daacute um caminho mais simples para encontrar derivadas de funccedilotildees definidas implicitamente
Teorema 131 Suponha que F (xy) seja diferenciaacutevel e que a equaccedilatildeo F (xy) = 0 define y como uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x Entatildeo em qualquer ponto onde partF ne 0
party
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
77
Vamos ver como fica o Teorema da Funccedilatildeo Impliacutecita para funccedilotildees de duas variaacuteveis independentes
Suponhamos que a funccedilatildeo z = f (xy) seja dada implicitamente pela equaccedilatildeo F
(xyz) = 0 Se f e F satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis e partF (x y f (xy)) ne 0partz
podemos aplicar a
regra da cadeia para obter as partzpartx
e partzparty
Derivando os dois membros da equaccedilatildeo F
(xyz) = 0 em relaccedilatildeo a x temos
Mas part (x) = 1partx
e part (y) = 0partx
portanto
De modo semelhante obteacutem-se
Como no caso anterior estamos assumindo que a equaccedilatildeo F (xyz) = 0 define z implicitamente como funccedilatildeo de x e y Outra versatildeo do Teorema da Funccedilatildeo Impliacutecita fornece as condiccedilotildees para que a hipoacutetese seja vaacutelida
Teorema 132 Suponha que F (xyz) seja continuamente diferenciaacutevel e que
z = f (xy) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel que satisfaz a equaccedilatildeo F (xyz) = 0 Entatildeo em
qualquer ponto (xyz) onde partF ne 0partz
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
78
Exemplo 11Determine partz
partx e partz
party se x4 + y4 + z4 = 5xyz ‒ 2
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo x4 + y4 + z4 = 5xyz ‒ 2 pode ser escrita da seguinte forma F (xyz) = x4 + y4 + z4 ‒ 5xyz + 2 e esta funccedilatildeo eacute continuamente diferenciaacutevel
Vamos calcular as derivadas parciais de F
Entatildeo pelo Teorema 132 temos
Exemplo 12Suponha que a funccedilatildeo diferenciaacutevel z = f (xy) seja definida pela equaccedilatildeo
xy + zez = 0
Resoluccedilatildeo
79
RESUMO DO TOacutePICO 1
Neste toacutepico vocecirc viu que
bull Se a funccedilatildeo tiver mais de duas variaacuteveis representaremos por f (x1 x2 x3 xn) onde x1(t) x2(t) x3(t) xn(t) satildeo funccedilotildees de t entatildeo a sua derivada em relaccedilatildeo a ldquotrdquo eacute dada pela regra da cadeia
bull Se z = f (xy) eacute uma funccedilatildeo das variaacuteveis x e y que dependem de duas outras variaacuteveis digamos u e v Entatildeo
z = f (x(u v) y (u v)) eacute uma funccedilatildeo composta de u e v Dizemos que u e v satildeo as variaacuteveis independentes
bull Se w = f (u1 u2 un) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de n variaacuteveis u1 u2 un onde cada uj eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de m variaacuteveis x1 x2 xm Entatildeo w eacute uma funccedilatildeo de x1 x2 xm e
para cada i = 1 2 m
bull A derivada impliacutecita eacute usada para encontrar as derivadas parciais partzpartx
e partzparty
quando z estiver definida implicitamente por uma equaccedilatildeo F (x y z) = 0 Entatildeo em
qualquer ponto (x y z) onde partF ne 0partz
80
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre diferenciabilidade de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
1 Considere as funccedilotildees f (xy) = 4y ‒ 3x2 x (t) = t3 ‒ 1 e y (t) = 1 ‒ t3
Calcule a funccedilatildeo composta z = f (x(t) y(t))
Encontre dzdt
usando a funccedilatildeo composta
Encontre dzdt
usando a regra da cadeia
2 Use a regra da cadeia para determinar partzpartx
e partzparty
sabendo que z = u 2 + v 2 u = x 2 ‒ y 2 e v = e2xy
3 Determine a derivada da funccedilatildeo impliacutecita f tal que y = f (x) estaacute definida pela equaccedilatildeo x4 ‒ y + 4xy3 ‒ 78 = 0
4 Se x3 ‒ xy + 4xz ‒ 5 = 0 calcular partzpartx
e partzparty
usando a regra de derivaccedilatildeo de funccedilatildeo impliacutecita
5 Mostre que a equaccedilatildeo F (xy) = x2y + sen y = 0 define implicitamente uma funccedilatildeo derivaacutevel y = f (x)
6 O raio da base de um cone circular reto estaacute aumentando a uma taxa de 3 cms e a altura estaacute diminuindo a uma taxa de 2 cms A que taxa estaacute variando o volume do cone no instante em que a altura eacute igual a 20 cm e o raio eacute igual a 14 cm
7 Um carro A estaacute viajando para o norte na rodovia 16 e um carro B estaacute viajando para o oeste na rodovia 83 Os dois carros se aproximam da interseccedilatildeo dessas rodovias Em certo momento o carro A estaacute a 03 km da interseccedilatildeo viajando a 90 kmh ao passo que o carro B estaacute a 04 km da interseccedilatildeo viajando a 80 kmh Qual a taxa de variaccedilatildeo da distacircncia entre os carros nesse instante
8 Determine partzpartx
e partzparty
se xyz3 = cos (x + y + z)
9 Determine partzpartx
e partzparty
se yz = In (x + z)
81
TOacutePICO 2
DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico vamos estender o conceito de diferenciabilidade de funccedilatildeo de uma variaacutevel agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis Esse conceito tem consequecircncias muito importantes no caacutelculo assim como nos problemas de otimizaccedilatildeo que estudaremos no proacuteximo toacutepico Tambeacutem seraacute estudado o vetor gradiente e as derivadas direcionais conceitos que possuem grande aplicabilidade nas engenharias
2 DIFERENCIABILIDADE
Vamos entatildeo introduzir o conceito de diferenciabilidade que entre outras propriedades garante a continuidade da funccedilatildeo Introduziremos este importante assunto por analogia com o conceito de diferenciabilidade de funccedilotildees de uma variaacutevel
Considere uma funccedilatildeo f de uma variaacutevel real Dizer que f eacute diferenciaacutevel
em x = x0 significa que o existe ou seja eacute um nuacutemero real Em
outras palavras f eacute diferenciaacutevel em x0 quando existe um nuacutemero real denotado
por f prime (x0) tal que
Podemos reescrever este limite da seguinte forma
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
82
que eacute equivalente a
Assim f eacute diferenciaacutevel em x0 se existir um nuacutemero real f prime (x0) tal que
Neste caso se uma funccedilatildeo eacute derivaacutevel num ponto ela eacute contiacutenua no ponto
Com isso temos condiccedilotildees de apresentar a definiccedilatildeo de diferenciabilidade de funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 221 Seja f A sub R2 rarr R uma funccedilatildeo definida no conjunto aberto A Dizemos que f eacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0) isin A se as derivadas parciais partf (x0 y0)partx
e partf (x0 y0)party existem e se
Quando f eacute diferenciaacutevel em todos os pontos de seu domiacutenio dizemos que f eacute diferenciaacutevel
Da Definiccedilatildeo 221 podemos destacar alguns pontos
bull Para provar que uma funccedilatildeo eacute diferenciaacutevel em (x0 y0) usando a definiccedilatildeo devemos mostrar que as derivadas parciais existem em (x0 y0) e aleacutem disso que o limite
bull Se uma das derivadas parciais natildeo existe no ponto (x0 y0) f natildeo eacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
83
bull Se o limite
for diferente de zero ou natildeo existir f natildeo seraacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0) mesmo se existirem as derivadas parciais nesse ponto
Exemplo 1Use a Definiccedilatildeo 221 para mostrar que f (xy) = 5x + 2y eacute diferenciaacutevel
ResoluccedilatildeoSeja (x0 y0) isin D (f ) = R 2 Para mostrar que f eacute diferenciaacutevel em (x0 y0) devemos
mostrar que partf (x0 y0)partx e partf (x0 y0)party
existem e que o limite da Definiccedilatildeo 121 eacute zero
A funccedilatildeo f tem derivadas parciais em (x0 y0) e satildeo dadas por partf (x0 y0) = 5partx
e partf (x0 y0) = 2party
Agora
Como (x0 y0) eacute um ponto qualquer em R 2 temos que f eacute diferenciaacutevel
Teorema 221 Se f eacute diferenciaacutevel em A sub R2 entatildeo f eacute contiacutenua em cada ponto de A
Exemplo 2
Verifique se a funccedilatildeo f (x y) = eacute contiacutenua no ponto (33)
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
84
ResoluccedilatildeoPrecisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(Unidade 1)
(i) f (33) = 5 pois x = y
(ii) portanto este limite
natildeo existe
Como concluiacutemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no
ponto (33) Mostramos que f eacute descontiacutenua no ponto (33) portanto pelo Teorema 221 f natildeo eacute diferenciaacutevel em (33)
Nem sempre eacute faacutecil usar a Definiccedilatildeo 221 para verificar a diferenciabilidade de uma funccedilatildeo O teorema a seguir fornece uma condiccedilatildeo suficiente para que uma funccedilatildeo seja diferenciaacutevel
Teorema 222 Se as derivadas parciais partf partx
e partf party
existem em algum conjunto
aberto A contendo (x0 y0) e satildeo contiacutenuas em (x0 y0) entatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em (x0 y0)
Exemplo 3Mostre que a funccedilatildeo f (xy) = cos (xy) eacute diferenciaacutevel em todo R2
ResoluccedilatildeoPara mostrar que f eacute diferenciaacutevel aplicaremos o Teorema 222 Para isso
calcularemos as derivadas parciais
partf partx
= ‒y sen(xy) e partf party
= ‒x sen(xy)
Temos que as derivadas parciais satildeo contiacutenuas em todo ponto (xy) isin R2
Logo pelo Teorema 222 a funccedilatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em todo ponto de R2
Exemplo 4Os polinocircmios (funccedilotildees polinomiais) em vaacuterias variaacuteveis satildeo claramente
diferenciaacuteveis em todo ponto de Rn
Exemplo 5Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = x2 ‒ 3y2 eacute diferenciaacutevel em R2
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
85
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo f tem derivadas parciais em todos os pontos de R2 e satildeo dadas
por partf partx
= 2x e partf party
= ‒6y
As derivadas parciais satildeo contiacutenuas pois satildeo funccedilotildees polinomiais
Portanto f eacute diferenciaacutevel em R2
Exemplo 6Verifique se a funccedilatildeo g (xy) = ex+y eacute diferenciaacutevel em R2
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo g tem derivadas parciais em todos os pontos de R2 Estas satildeo
dadas por partg partx
= ex+y e partg party
= ex+y
Daiacute segue que as funccedilotildees derivadas parciais satildeo contiacutenuas em R2
Portanto g eacute diferenciaacutevel em R2
3 DIFERENCIAL
Suponha que saibamos o valor de uma funccedilatildeo derivaacutevel em um ponto (x0y0) e que desejamos prever a variaccedilatildeo que esse valor sofreraacute se formos para um ponto x0 + dx Como os valores da reta satildeo mais simples de calcular o caacutelculo da variaccedilatildeo da reta nos oferece um modo praacutetico de estimar a variaccedilatildeo em f conforme podemos observar na Figura 31
FIGURA 31 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DA DIFERENCIAL DA FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwslidesharenetrafaelmmoreiraunifei-clculo-1-exerccios-aula-25gt Acesso em 23 jun 2011
y
y₀ + ∆y
y₀
0 x
A
α
x₀
dxα
C
B
∆y
∆x x₀ + ∆x
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
86
Dessa definiccedilatildeo decorre que ∆y representa a variaccedilatildeo da altura da curva y = f (x)
Nesta seccedilatildeo vamos definir a diferencial de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis z = f (xy) e veremos que esta representa uma boa aproximaccedilatildeo para o acreacutescimo da variaacutevel z quando os acreacutescimos das variaacuteveis independentes satildeo pequenos
Se z = f (xy) entatildeo o incremento (aumento ou diminuiccedilatildeo) de z eacute ∆z = f (x + ∆x y + ∆y) ‒ f (xy)
Definiccedilatildeo 231 Seja z = f (xy) uma funccedilatildeo diferenciaacutevel A diferencial de f denotada por df ou dz eacute dada por dz = partz
partx dx + partz
party dy onde dx e dy satildeo as
diferenciais das variaacuteveis independentes x e y respectivamente
A diferencial dz tambeacutem eacute chamada de diferencial total de f (xy) a mesma que estudamos no toacutepico anterior
Se nos movermos de (x0y0) para um ponto (x0 + ∆x y0 + ∆y) proacuteximo a variaccedilatildeo resultante eacute dada por df (x0y0) = partf
partx (x0y0) dx + partf
party (x0y0) dy
Exemplo 7Calcule a diferencial dz da funccedilatildeo z = 4x2y3 ‒ 3y2 + 6
ResoluccedilatildeoPara calcular a diferencial de z temos primeiro que calcular as derivadas
parciais partz partx
= 8xy3 e partz party
= 12x2y2 ‒ 6y
Pela Definiccedilatildeo 231 temos
dz = partz partx
dx + partz party
dy
dz = 8xy3 dx + (12x2y2 ‒ 6y) dy
Exemplo 8Calcule a diferencial de f (xy) = x2 + y2 no ponto (12)
ResoluccedilatildeoA diferencial de f no ponto (12) eacute dada por
dz = partf partx
(12) dx + partf party
(12) dy
Como partf partx
(12) = 2 e partf party
(12) = 4 temos
dz = 2dx + 4dy
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
87
Podemos estimar a variaccedilatildeo com diferenciais Suponha que conheccedilamos os valores de uma funccedilatildeo diferenciaacutevel f (xy) e suas derivadas parciais em um ponto (x0y0) e queiramos predizer quanto o valor de f variaraacute se nos movermos para um ponto (x0 + ∆x y0 + ∆y) proacuteximo Em outras palavras podemos estimar a variaccedilatildeo ∆z de z pelo valor do diferencial dz em que dx eacute a variaccedilatildeo em x e dy eacute a variaccedilatildeo em y
Exemplo 9Considere a funccedilatildeo z = 7x + 3y2
a) Determine a diferencial total dzb) Calcule ∆z e dz se x variar de 2 para 205 e y variar de 1 para 098 Compare os
valores de ∆z e dz
Resoluccedilatildeoa) Da Definiccedilatildeo 231 temos a diferencial total
dz = partf partx dx +
partf party dy
dz = 7dx + 6y dy
b) O ponto (x0y0) = (21) dx = ∆x = 005 e dy = ∆y = ‒ 002O incremento de z eacute ∆z = f (205 098) ‒ f (21)∆z = 7 (205) + 3 (098)2 ‒ (7 2 + 3 12) = 02312e a diferencial total eacute dz = 7(005) + 6 1(‒002) = 023
Portanto observe que ∆z asymp dz
Exemplo 10O raio e a altura de um cilindro satildeo medidos com 3 m e 8 m respectivamente
com possiacuteveis erros de 005 m Use diferenciais para calcular o erro maacuteximo no caacutelculo do volume
ResoluccedilatildeoPrimeiro recordamos a foacutermula do caacutelculo do volume de um cilindroV = p r 2 h
Para estimarmos a variaccedilatildeo de V calculamos
dV (r0h0) = partV partr (r0h0) dr +
partV parth (r0h0) dh
dV = 2p r0 h0 dr + p r02 dh
= 2p 3 8 005 + p 32 005 = 24p + 045p = 285p asymp 895 m3
Portanto o erro de 005 m nas medidas do raio e da altura pode nos levar a um erro de 895 m3
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
88
Exemplo 11Ao redor do ponto (10) f (xy) = x2 (y + 1) eacute mais sensiacutevel a variaccedilotildees em x ou y
ResoluccedilatildeoPrimeiro vamos entender o que o enunciado estaacute nos pedindo Querer
saber sobre a sensibilidade agrave variaccedilatildeo eacute o mesmo que pedir para estimar a variaccedilatildeo da funccedilatildeo no ponto Assim vamos calcular a diferencial de f
dz = partf partx (10) dx +
partf party (10) dy
Para facilitar o caacutelculo das derivadas parciais escrevemos f (xy) = x2y + x2 daiacute seguepartf partx = 2xy + 2x e
partf party = x2
partf partx (10) = 2 e
partf party (10) = 1
Entatildeo temos o caacutelculo da variaccedilatildeo da funccedilatildeo causada por pequenas variaccedilotildees dx e dy
dz = 2dx + 1dy
Portanto uma variaccedilatildeo de x em uma unidade variaraacute f em cerca de 2 unidades e uma variaccedilatildeo de y em uma unidade variaraacute f em cerca de 1 unidade A funccedilatildeo eacute 2 vezes mais sensiacutevel a uma pequena variaccedilatildeo de x que a uma pequena variaccedilatildeo de tamanho igual a de y
Exemplo 12O comprimento e a largura de um retacircngulo satildeo medidos com erros de
no maacuteximo 3 e 5 respectivamente Use diferenciais para aproximar o erro percentual maacuteximo na aacuterea calculada
ResoluccedilatildeoA aacuterea do retacircngulo dado por x de comprimento e y de largura eacute a funccedilatildeo
A(xy) = xy
Temos partpart
=partpart
=Ax
y Ay
x e
Cada erro eacute de no maacuteximo 3 e 5 isto eacute |∆x| le 003x e |∆y| le 005y Para achar o erro maacuteximo na aacuterea tomamos o maior erro nas medidas de x e y Daiacute tomamos dx = 003x e dy = 005y
Calculando a diferencial obtemos
dz zx
dx zy
dy=partpart
+partpart
sdot sdot sdot sdot
sdot
= y x 003 + x y 005 = 008 xy
dz = A 0 0 88
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
89
Estimamos que o erro percentual maacuteximo em A eacute de 8
4 GRADIENTE
Vimos nas seccedilotildees anteriores que as derivadas parciais nos fornecem taxas de variaccedilatildeo de uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis e que estas taxas dependem da escolha da direccedilatildeo e sentido da variaccedilatildeo Como essas variaccedilotildees satildeo indicadas por vetores eacute natural usar vetores para descrever a derivada de f numa direccedilatildeo e sentido especiacuteficos Nesta seccedilatildeo vamos definir o gradiente de uma funccedilatildeo que aparece em diversas aplicaccedilotildees matemaacuteticas
Definiccedilatildeo 241 Seja z = f (xy) uma funccedilatildeo que admite derivadas parciais no ponto (x0y0) O gradiente de f no ponto (x0y0) denotado por ∆f (x0y0) eacute um vetor cujos componentes satildeo as derivadas de f nesse ponto ou seja
∆f (x0y0) = partf partx (x0y0)
partf party (x0y0) =
partf partx (x0y0) i +
partf party (x0y0) j
O gradiente
∆
f associa um vetor
∆
f (x0y
0) a cada ponto (x
0y
0) do domiacutenio de f
Usamos a notaccedilatildeo ab para o par ordenado que se refere a um vetor para natildeo confundir
com o par ordenado (ab) que corresponde a um ponto no plano
Ao representar vetores com a notaccedilatildeo
v = ai + bj lembramos que i e
j
representam os vetores canocircnicos ou seja vetores no R2 onde suas respectivas coordenadas
satildeo dadas por
i = 10 e
j = 01
NOTA
NOTA
Quando trabalhamos com um ponto geneacuterico (xy) escrevemos
∆f (xy) = partf partx
partf party =
partf partx i +
partf party j
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
90
O siacutembolo ∆f eacute lido como ldquogradiente de frdquo
O siacutembolo
∆
denominado ldquodelrdquo eacute um delta grego maiuacutesculo invertido O uso de
∆
para o gradiente foi popularizado pelo fiacutesico escocecircs P G Tait (1831 ndash 1901) que o denominava ldquonablardquo Em hebraico nabla significa harpa e se refere agrave semelhanccedila de um
∆
com uma harpa antiga de dez cordas O grande fiacutesico James Clerk Maxwell relutou em adotar essa notaccedilatildeo e chamava o gradiente de ldquoinclinaccedilatildeordquo Em 1871 escreveu ao seu amigo Tait provocando ldquoAinda harpejando naquela nablardquo (ROGAWKI 2009 p 809)
Em seguida estendemos a definiccedilatildeo de gradiente para funccedilotildees com n variaacuteveis
Definiccedilatildeo 242 Sejam A sub Rn aberto p = (x1 x2 xn) isin A e f A rarr R uma funccedilatildeo tal que as derivadas parciais existem em p O gradiente de f no ponto p eacute o vetor do Rn denotado por ∆f (p) e definido por
∆f (p) = partf
partx1 (p)
partf partx2
(p) partf
partxn (p)
Exemplo 13Determine o gradiente da funccedilatildeo f (xy) = 3x2 ‒ 2xy + 5y
ResoluccedilatildeoPrimeiro precisamos calcular as derivadas parciais de f
partf partx = 6x ‒ 2y e
partf party
= ‒ 2x + 5
Em seguida escrevemos o vetor gradiente de acordo com a Definiccedilatildeo 241 ∆f (xy) = 6x ‒ 2y ‒ 2x + 5
Exemplo 14Calcule o gradiente da funccedilatildeo f (xy) = 3x2y ‒ x⅔ y2 no ponto (13)
ResoluccedilatildeoFaremos o mesmo que no Exemplo 11 acrescentando apenas o caacutelculo do
vetor no ponto (13)partf partx
= 6xy ‒ 2 3
x -⅓ y2 e partf party
= 3x2 ‒ 2x ⅔y
Entatildeo ∆f = 6xy ‒ 2 3
x -⅓ y2 3x2 ‒ 2x ⅔y
Agora no ponto ∆f (13)
∆f (13) = 6 sdot 1 sdot 3 ‒ 2 3
sdot 1 -⅓ sdot 32 3 sdot 12 ‒ 2 sdot 1 ⅔ sdot 3 = 12 ‒3 Portanto o gradiente de f no ponto (13) eacute o vetor ∆f (13) = 12 ‒3
Exemplo 15Determine o gradiente da funccedilatildeo g(xyz) = xyz2 em um ponto (xyz)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
91
FIGURA 32 ndash VETORES GRADIENTES DE f (xy) = 1 6
(x2 + y3)
FONTE Disponiacutevel em lthttpptscribdcomdoc5885209818Gradiente-Curva-de-NC2B4C4B1vel-SuperfC2B4C4B1cie-de-NC2B4C4B1velgt Acesso em 5 set 2011
ResoluccedilatildeoTemos
partg partx = yz2
partg party = xz2 e
partg partz = 2xyz
Entatildeo ∆g (xyz) = yz2 xz2 2xyz
Exemplo 16Encontre o gradiente de f(xy) = 1
6 (x2 + y3) em (0 ‒2) e esboce alguns vetores gradientes
Resoluccedilatildeo
As derivadas parciais satildeo partpart
=partpart
=fx
x fy
y26
36
2
e
∆f (xy) = 1 3 x i +
1 2 y2 j
Para construir o graacutefico formado pelos vetores gradientes procedemos da seguinte forma escolhemos um ponto por exemplo (x0y0) O ponto (x0y0) eacute o iniacutecio do vetor e o vetor gradiente ∆f (x0y0) = ab fornece o representante do vetor que iraacute no ponto (ab) Lembramos que um vetor de componentes ab tem iniacutecio na origem do plano e extremidade no ponto (a b) Quando desejamos graficar um vetor fora da origem usamos um representante do vetor ab Em seguida eacute mostrado como representar graficamente o vetor gradiente no ponto (0 ‒ 2) Temos
∆f (0‒ 2) = 2 j isto eacute o vetor 02 ndash tem origem no ponto (0 0) e extremidade no ponto (0 2) Conforme podemos ver na Figura 32
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
92
Do graacutefico construiacutedo no Exemplo 16 eacute possiacutevel pensar num campo de vetores gradiente de uma funccedilatildeo que podem ser representados geometricamente por um conjunto de vetores que fornece em cada ponto distinto do plano o vetor gradiente da funccedilatildeo
Como vimos o gradiente eacute um vetor Talvez vocecirc esteja agora se perguntando e se calcularmos || ∆f (xy)|| (norma do vetor gradiente) a que isso corresponde Vamos responder resolvendo o Exemplo 17
Exemplo 17Encontre o gradiente de f (xy) = x2 ‒ y2 e esboce alguns vetores gradientes
ResoluccedilatildeoAs derivadas parciais satildeo
partf partx = 2x e
partf party = ‒2y
Entatildeo ∆f = 2x i ‒ 2y j
Vamos calcular alguns vetores gradiente em pontos especiacuteficos e suas normas
(xy) ∆f (xy) || ∆f (xy)||
(00) (00) ₀
(10) (20) ₂
(x0) (2x0) ₂x
(0y) (0‒2y) ₂y
(11) (2‒2) ₂radic 2(xy) (2x‒2y) 2||(xy)||
Interpretando a coluna da direita percebe-se que agrave medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradiente aumenta ficando igual a duas vezes a distacircncia do ponto agrave origem
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
93
FIGURA 33 ndash GRAacuteFICO DOS VETORES GRADIENTES E DAS CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = x2 ndash y2
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwimeuerjbr~calculoLivroIIIcampospdfgt Acesso em 5 set 2011
Teorema 241 Suponha que z = f (xy) seja diferenciaacutevel numa bola aberta centrada em P0 (x0y0) e que ∆f (x0y0) ne 0
i) Entatildeo ∆f (x0y0) eacute normal agrave curva de niacutevel passando por P0 (x0y0)
ii) A taxa maacutexima de crescimento de γ no ponto P0 (x0y0) ocorre na direccedilatildeo e no sentido do gradiente Analogamente a taxa miacutenima de crescimento de γ no ponto P0 (x0y0) ocorre na direccedilatildeo contraacuteria a do gradiente
Lembramos que um vetor eacute normal agrave curva se o vetor eacute perpendicular
O gradiente de γ no ponto P0(x
0y
0) aponta na direccedilatildeo de maior variaccedilatildeo da
funccedilatildeo numa vizinhanccedila do ponto
NOTA
NOTA
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
94
A figura a seguir ilustra o Teorema 241
FIGURA 34 ndash VETOR GRADIENTE NORMAL Agrave CURVA DE NIacuteVEL
FONTE O autor
Exemplo 18O potencial eleacutetrico V em (xyz) eacute dado por V = x2 + 4y 2 + 9z2 Ache a direccedilatildeo
e a taxa maacutexima de variaccedilatildeo de V em (3‒21)
ResoluccedilatildeoDe acordo com o Teorema 251 a direccedilatildeo onde ocorre a taxa maacutexima de
variaccedilatildeo eacute dada pelo vetor gradiente EntatildeopartV partx
= 2x partV party = 8y e partV
partz = 18z
Assim ∆V = 2x 8y 18z
Calculando o gradiente no ponto (3‒21) obtemos∆V (3‒21) = 6 ‒16 18 que nos indica a direccedilatildeo de crescimento do potencial eleacutetrico
E a taxa de variaccedilatildeo do gradiente eacute dada pela sua norma
nabla ( ) = partpart
+
partpart
+
partpart
nabla minus( ) =
V x y zx
Vy
Vz
V
V
2 2 2
3 2 1 66 18 616
3 2 1 24 8
2 2+ minus( ) + =
nabla minus( ) asymp16
2
V
y
x
γ
P₀ (x₀ y₀)
∆f(P₀)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
95
5 DERIVADAS DIRECIONAIS
Caro acadecircmico Jaacute estudamos as derivadas parciais que nos fornecem a variaccedilatildeo da funccedilatildeo em duas direccedilotildees diferentes na direccedilatildeo do eixo x atraveacutes de partf partx
(x0y0) e na direccedilatildeo do eixo y atraveacutes de partf party
(x0y0) Nesta seccedilatildeo veremos como
utilizar a derivada para determinar a inclinaccedilatildeo em qualquer direccedilatildeo para isto definiremos um novo tipo de derivada chamada direcional
Suponha que uma funccedilatildeo f (xy) seja definida em uma regiatildeo R no plano xy que P(x0y0) seja um ponto em R e que u = u1i + u2j
seja um versor Entatildeo as equaccedilotildees
x = x0 + su1 e y = y0 + su2
parametrizam a reta que passa por P paralelamente a u Se o paracircmetro s mede o comprimento de arco de P na direccedilatildeo de u encontramos a taxa de variaccedilatildeo de f em P na direccedilatildeo de u calculando df
ds em P (Figura 7)
Lembramos que versor eacute um vetor unitaacuterio ou seja um vetor cuja norma eacute 1
Definiccedilatildeo 251 A derivada de f em P(x0y0) na direccedilatildeo do versor u = u1i + u2j
eacute o nuacutemero
desde que o limite exista
Portanto o gradiente ∆V (3‒21) = 6 ‒16 18 nos daacute a direccedilatildeo onde a taxa de variaccedilatildeo eacute maacutexima || ∆V (3‒21)|| asymp 248
NOTA
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
96
FIGURA 35 ndash A TAXA DE VARIACcedilAtildeO DE f EM P NA DIRECcedilAtildeO DE u
FONTE O autor
Quando u = i a derivada direcional em P eacute partf partx
calculada em (x0y0) Quando
u = j a derivada direcional em P eacute partf party
calculada em (x0y0) A derivada direcional
generaliza as duas derivadas parciais Entatildeo assim eacute possiacutevel encontrar a taxa de
variaccedilatildeo de f em qualquer direccedilatildeo u
Teorema 251 Se f (xy) for diferenciaacutevel em P (x0y0) entatildeo
eacute o produto escalar do gradiente de f em P e u
A expressatildeo do Teorema 251 por ser escrita como
Em seguida apresentaremos a definiccedilatildeo de derivada direcional para uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis fazendo uma extensatildeo da Definiccedilatildeo 251
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
97
Definiccedilatildeo 252 Sejam A cap Rn aberto P (x1 x2 xn) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo e u um vetor unitaacuterio em Rn A derivada direcional de f no ponto (x1 x2 xn) e na direccedilatildeo do versor u eacute denotada por
Esta definiccedilatildeo generaliza o conceito de derivada parcial isto eacute as derivadas parciais de uma funccedilatildeo podem ser obtidas como casos particulares das derivadas direcionais
Exemplo 19Calcule a derivada direcional da funccedilatildeo f (xy) = x3y + 2y 2 no ponto (1‒2) na
direccedilatildeo do vetor v = 4i + 3j
ResoluccedilatildeoNote que v natildeo eacute um versor (vetor unitaacuterio) e a Definiccedilatildeo 251 pede que o
vetor direccedilatildeo seja unitaacuterio Assim vamos primeiro calcular o vetor unitaacuterio u na direccedilatildeo de v
Agora calculamos o vetor gradiente de f no ponto (1‒2)
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
98
Portanto pelo Teorema 251 temos
partpart
minus( ) = nabla minus( ) sdot
minus minus sdot
f 2 f
u u
=(
1 1 2
6 8 45
3
) 55
6 4 8 35
=minus sdot + minus( ) sdot
= minus485
A derivada direcional partf partu
(1‒2) representa a taxa de variaccedilatildeo de z na
direccedilatildeo de u Isto eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva obtida pela interseccedilatildeo da
superfiacutecie f (xy) = x3y + 2y 2 e o plano vertical que passa por (1‒20) na direccedilatildeo de u
99
RESUMO DO TOacutePICO 2
Neste toacutepico vocecirc viu
bull O conceito de diferenciabilidade atraveacutes do caacutelculo de limite
bull Destacamos o Teorema 221 Se f eacute diferenciaacutevel em A cap R2 entatildeo f eacute contiacutenua em cada ponto de A
bull Outro resultado importante Teorema 222 Se as derivadas parciais partf partx
e partf party
existe em algum conjunto aberto A contendo (x0y0) e satildeo contiacutenuas em (x0y0)
entatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em (x0y0)
bull A aplicaccedilatildeo da diferencial e como se calcula a diferencial de f denotada por df
ou dz eacute dada por dz = partz partx dx +
partz party dy
bull O gradiente de uma funccedilatildeo f eacute o vetor das derivadas parciais
bull Geometricamente o vetor gradiente eacute normal agrave curva de niacutevel de f (xy) por P
bull A derivada direcional Se f (xy) for diferenciaacutevel em P (x0y0) entatildeo
o produto escalar do gradiente de f em P e u
100
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre diferenciabilidade e gradiente
Mostre que as funccedilotildees a seguir satildeo diferenciaacuteveis em R2
1 f (xy) = 3x2y + 4xy 2
2 f (xy) = x2 ‒ 7xy + 2xy 2
3 f (xy) = sen (xy 2)
4 Se z = x2 ‒ xy + 3y2 e (xy) varia de (3 ‒1) a (296 ‒095) compare os valores de dz e ∆z
5 O comprimento e a largura de um retacircngulo foram medidos como 30 cm e 24 cm respectivamente com um erro de medida de no maacuteximo 01 cm Utilize a diferencial para estimar o erro maacuteximo cometido no caacutelculo da aacuterea do retacircngulo
6 O periacuteodo T de um pecircndulo simples com uma pequena oscilaccedilatildeo eacute calculado
da foacutermula T = 2p L
g radic onde L eacute o comprimento do pecircndulo e g eacute a aceleraccedilatildeo
da gravidade Suponha que os valores de L e g tenham erros de no maacuteximo 005 e 001 respectivamente Use diferencias para aproximar o erro percentual maacuteximo no valor calculado de T
7 O raio de um cilindro circular reto eacute medido com um erro de no maacuteximo 2 e altura eacute medida com um erro de no maacuteximo 4 Qual o erro percentual maacuteximo possiacutevel no volume calculado
Nas questotildees de 8 a 10 determine o vetor gradiente das seguintes funccedilotildees nos pontos indicados
8 z = x2y + 3xy + y2 P (03)
9 f (xy) = xy ‒ sen (x + y) P = p
2 0
10 f (xyz) = xy + xz + yz P (‒135)
101
11 Se T (xy) = 10xy
x2 + 4y 2 + 4 eacute a temperatura em graus Celsius sobre uma
lacircmina metaacutelica x e y medidos em cm determine a direccedilatildeo de crescimento maacuteximo de T a partir do ponto (11) e a taxa maacutexima de crescimento de T nesse ponto
102
103
TOacutePICO 3
MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES
DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EXTREMOS LOCAIS
Uma aplicaccedilatildeo importante de caacutelculo diferencial de vaacuterias variaacuteveis eacute a da otimizaccedilatildeo de funccedilotildees Otimizar uma funccedilatildeo significa encontrar seu desempenho maacuteximo ou miacutenimo No Caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral vocecirc jaacute estudou como encontrar os maacuteximos e miacutenimos de funccedilotildees de uma variaacutevel Quando as derivadas primeiras forem nulas temos pontos extremos que podem ser maacuteximos ou miacutenimos
Vamos fazer algo parecido neste toacutepico para as funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Veremos como usar as derivadas parciais para localizar os pontos de maacuteximo e miacutenimo de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Suponha que um fabricante produza dois modelos de um determinado produto o modelo de luxo e o modelo padratildeo e que o custo total para produzir x unidades do modelo de luxo e y unidades do modelo padratildeo seja dado pela funccedilatildeo C (x y) Como determinar o niacutevel de produccedilatildeo x = a e y = b para o qual o custo eacute miacutenimo
Iniciaremos definindo os extremos locais que satildeo chamados de maacuteximos e miacutenimos de uma funccedilatildeo
Definiccedilatildeo 321 Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo
i) P (x0 y0) eacute um ponto de maacuteximo local de f se f (x y) le f (x0 y0) para todo (x y) numa vizinhanccedila de (x0 y0)
ii) P (x0 y0) eacute um ponto de miacutenimo local de f se f (x y) ge f (x0 y0) para todo (x y) numa vizinhanccedila de (x0 y0)
Definiccedilatildeo 322 Dizemos que um ponto P (x0 y0) do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (x y) eacute um ponto criacutetico (ou estacionaacuterio) se
104
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
i) partf partx
(x0 y0) = 0 e partf party
(x0 y0) = 0 ou
ii) pelo menos uma das derivadas parciais partf partx
(x0 y0) partf party
(x0 y0) natildeo existe
O teorema a seguir nos diz que os extremos locais ocorrem em pontos criacuteticos assim como acontece em funccedilatildeo de uma variaacutevel
Teorema 321 Se f (x y) tem um miacutenimo ou maacuteximo local em (x0 y0) entatildeo (x0 y0) eacute um ponto criacutetico de f (x y)
Geometricamente um ponto eacute ponto criacutetico de uma funccedilatildeo quando o graacutefico da funccedilatildeo nesse ponto natildeo tem plano tangente ou o plano tangente eacute horizontal
Vamos ver no exemplo a seguir como encontrar os pontos criacuteticos de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Exemplo 1Encontre os pontos criacuteticos da funccedilatildeo f (x y) = 9x3 +
y3 3 ‒ 4xy
ResoluccedilatildeoQueremos encontrar os pontos criacuteticos da funccedilatildeo f (x y) = 9x3 +
y3 3 ‒ 4xy
Aplicando a Definiccedilatildeo 322 devemos igualar as derivadas parciais a zero
Calculando as derivadas parciais temos partf partx
= 27x2 ‒ 4y e partf party
= y2 ‒ 4x
Igualando as derivadas parciais a zero e resolvendo as equaccedilotildees obtemos
27 4 04 0
2
2
x yy x
minus =
minus =
Isola-se x na segunda equaccedilatildeo x = y2 4 e substitui na primeira equaccedilatildeo
27 4 0
274
4 0
27 64 0
27 64 0
0
2
2 2
4
3
x y
y y
y y
y y
y
minus =
minus =
minus =
minus( ) == ou 277y
e y
3
3
2 1
64 0642743
0
minus =
=
= =
y
y
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
105
Substituiacutemos os valores de y na segunda equaccedilatildeo
x = y2 4 x =
y2 4
x1 = 02 4 x2 =
43
2
4
x1 = 0 x2 = 4 9
Portanto (00) e 4 9
4 3
satildeo os pontos criacuteticos de f (x y)
Lembre-se de que jaacute estudamos gradiente de uma funccedilatildeo
∆f (xy) em que
∆f (xy) = partf partx
partf party Entatildeo na Definiccedilatildeo 322 poderiacuteamos dizer que P (x
0y
0) eacute um ponto
criacutetico se
∆
f (x0y
0) = 0 ou se
∆
f (xy) natildeo existe
Exemplo 2Mostre que f (xy) = x2 + y2 ‒ xy + x tem um ponto criacutetico
ResoluccedilatildeoSegundo a Definiccedilatildeo 322 devemos igualar as derivadas parciais a zero
para encontrar os pontos criacuteticos se existem
As derivadas parciais satildeo partf partx
= 2x ‒ y + 1 e partf party
= ‒ x + 2y Entatildeo igualando
as derivadas parciais a zero e resolvendo o par de equaccedilotildees temos
2x ‒ y + 1 = 0‒ x + 2y = 0
NOTA
106
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
agora resolvemos o sistema pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
y = ‒ 1 3
Assim x = ‒ 2 3 e y = ‒ 1
3 Existe apenas um ponto criacutetico P ‒ 2 3 ‒ 1
3
Para sabermos se este ponto criacutetico eacute um ponto maacuteximo ou miacutenimo da funccedilatildeo podemos aplicar a Definiccedilatildeo 321 o que pode ser complicado em algumas situaccedilotildees Poreacutem podemos usar o recurso graacutefico tanto da superfiacutecie como das curvas de niacutevel (mapa de contornos) atraveacutes de um software computacional como veremos na Figura 37
FIGURA 36 ndash GRAacuteFICO DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = x2 + y2 ndash xy + x
FIGURA 37 ndash MAPA DE CONTORNOS DE f (xy) = x2 + y2 ndash xy + x
FONTE O autor
FONTE O autor
80
60
40
20
04
20ndash 2
ndash 44 2 0 ndash 2 ndash 4
x
y
4 2 0 ndash 2 ndash 4
0
2
4
ndash 2
ndash 4
y
x
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
107
Pelo graacutefico da funccedilatildeo (Figura 36) eacute possiacutevel dizer que o ponto P
‒ 2 3 ‒ 1
3 eacute miacutenimo local e na Figura 37 as curvas de niacutevel satildeo curvas fechadas
que circundam o ponto P indicando assim um extremo local
Acabamos de ver que eacute possiacutevel determinar o tipo de ponto criacutetico a partir do mapa de contorno entatildeo podemos classificar os pontos criacuteticos atraveacutes das seguintes caracteriacutesticas graacuteficas
i) se P (x0 y0) eacute um miacutenimo local entatildeo as curvas de niacutevel proacuteximas de P satildeo curvas fechadas que circundam P e o mapa de contornos mostra que f (x y) cresce em todas as direccedilotildees a partir de P (Figura 37)
ii) se P (x0 y0) eacute um maacuteximo local entatildeo as curvas de niacutevel proacuteximas de P satildeo curvas fechadas que circundam P e o mapa de contornos mostra que f (x y) decresce em todas as direccedilotildees a partir de P
iii) se P (x0 y0) eacute um ponto de sela entatildeo as curvas de niacutevel de f (x y) que passam por P consistem em duas retas que se intersectam e dividem a vizinhanccedila de P em quatro regiotildees O mapa de contornos mostra que f (x y) eacute decrescente na direccedilatildeo x e crescente na direccedilatildeo y (Figura 38)
iv) se P (x0 y0) eacute um ponto de sela ndash outra situaccedilatildeo entatildeo as curvas de niacutevel em (x0 y0) tem uma forma padratildeo ldquonuacutemero oitordquo (Figura 39)
FIGURA 38 ndash MAPA DE CONTORNOS DESTACANDO O PONTO DE SELA
FIGURA 39 ndash MAPA DE CONTORNOS ndash PONTO DE SELA PADRAtildeO ldquoNUacuteMERO OITOrdquo
FONTE O autor
FONTE O autor
4
2
0
ndash2
ndash 4
y
4 2 0 ndash 2 ndash 4x
2
2
1
0
ndash 1
ndash2
0 1ndash 1ndash 2x
y
2
108
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Segue da Definiccedilatildeo 322 e do Teorema 321 que os extremos relativos ocorrem nos pontos criacuteticos Contudo uma funccedilatildeo natildeo precisa ter um extremo relativo em cada ponto criacutetico isto quer dizer que um ponto criacutetico nem sempre eacute um ponto extremante Um ponto criacutetico que natildeo eacute um maacuteximo relativo nem um miacutenimo relativo eacute chamado de ponto de sela
Nas funccedilotildees de duas variaacuteveis natildeo temos pontos de inflexatildeo como em funccedilotildees de uma variaacutevel Podemos ter um ponto de sela quando numa direccedilatildeo a funccedilatildeo atinge um maacuteximo num ponto e em outra direccedilatildeo um miacutenimo no mesmo ponto O nome se daacute pela semelhanccedila com uma sela de cavalo maacuteximo na direccedilatildeo das pernas do cavaleiro (transversal ao cavalo ) e miacutenimo na direccedilatildeo longitudinal (dorso) do cavalo
Em seguida vamos estudar um meacutetodo que permite classificar os pontos criacuteticos com criteacuterios bem definidos Mas antes definiremos a hessiana
Definiccedilatildeo 323 Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo de classe C2 A matriz hessiana de f representada por H(f) eacute dada por
Exemplo 3Seja f (xy) = 3x2 + y2 Calcule a matriz hessiana de f no ponto (00)
ResoluccedilatildeoPela Definiccedilatildeo 323 calculamos as derivadas parciais no ponto dado
partf partx
= 6x partf party
= 2y part2f partx2
= 6 part2f partxparty
= 0 part2f partypartx
= 0 e part2f party2
= 2
Portanto H (00) = 6 00 2
eacute a matriz hessiana de f no ponto (00)
Teorema 322 (Teste da segunda derivada) Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo de classe C2 Suponhamos que P (x0 y0) seja um ponto criacutetico da funccedilatildeo f
NOTA
H x y
fxx y f
x yx y
fy x
x y fyx
0 0
2
2 0 0
2
0 0
2
0 0
2
2 0
( ) =
part
part( ) part
part part( )
partpart part
( ) part
party0( )
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
109
i) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) gt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto miacutenimo local de f
ii) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto maacuteximo local de f
iii) Se det H (x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto de sela
iv) Se det H (x0y0) = 0 nada se conclui
Para facilitar o entendimento e visualizar a classificaccedilatildeo dos pontos criacuteticos apresentamos o graacutefico e um texto explicativo
Os pontos P e Q satildeo pontos de maacuteximo porque qualquer deslocamento em sua vizinhanccedila iraacute descer O ponto S eacute uma sela porque nos sentidos SP e SQ sobe mas no sentido SL ou ST desce
FONTE CANESIN Wilson Funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis ndash Notas de aula ndash parte II Disponiacutevel em lthttpwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 28 out 2011
FIGURA 40 ndash GRAacuteFICO DE SUPERFIacuteCIE
FONTE Disponiacutevel em lthttpwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 28 out 2011
Veremos em seguida exemplos onde aplicaremos o Teorema 322
Exemplo 4Considere a funccedilatildeo f (xy) = x2 + y2 ‒ xy + x Determine caso existam os pontos
de maacuteximo e os pontos de miacutenimo local da funccedilatildeo
Resoluccedilatildeo
Vimos no Exemplo 2 que o ponto ‒ 2 3 ‒ 1
3 eacute o uacutenico ponto criacutetico de f
Para classificaacute-lo vamos usar o Teorema 322 Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
P
S
Q
T
L
F(xy)
110
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
part2f partx2
= 2 part2f partxparty
= ‒1 part2f partypartx
= ‒1 e part2f party2
= 2 Entatildeo
det H minus minus
=
minusminus
=2
3
1
3
2 1
1 23
Como H ‒ 2 3 ‒ 1
3 gt 0 e part2f partx2 ‒ 2
3 ‒ 1 3 gt 0 segue que ‒ 2
3 ‒ 1 3 eacute
um ponto miacutenimo local de f
Exemplo 5Encontre os maacuteximos e miacutenimos de f (xy) = 1
3 x3 + 1 3 y3 ‒ x ‒ 4y + 20 caso
existam
ResoluccedilatildeoVamos encontrar inicialmente os pontos criacuteticos de f fazendo partf
partx = 0 e partf
party = 0
partf partx
= x2 ‒ 1 e partf party
= y2 ‒ 4
x2 ‒ 1 = 0y2 ‒ 4 = 0
Resolvendo o sistema temos os pontos criacuteticos (12) (1‒2) (‒12) e (‒1‒2)
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
part2f partx2
= 2x part2f partxparty
= 0 part2f partypartx
= 0 e part2f party2
= 2y
Agora calculamos o determinante hessiano Entatildeo
det det
det
H H
H
1 22 0
0 48 1 2
2 0
0 48
1 22 0
0 48
( ) = = minus( ) =minus
= minus
minus( ) =minus
= minus
e
e det H minus minus( ) =minus
minus=1 2
2 0
0 48
Para classificar os pontos criacuteticos usaremos o Teorema 322
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
111
Vamos analisar o ponto (12)
Temos det H (12) gt 0 e part2f partx2 (12) gt 0 logo (12) eacute um ponto miacutenimo local de f
Vamos analisar o ponto (1‒2)
Temos det H (1‒2) lt 0 logo (1‒2) eacute um ponto de sela de f
Vamos analisar o ponto (1‒2)
Temos det H (‒12) lt 0 logo (‒12) eacute um ponto de sela de f
Vamos analisar o ponto (‒1‒2)
Temos det H (‒1‒2) gt 0 e part2f partx2 (‒1‒2) lt 0 logo (‒1‒2) eacute um ponto maacuteximo local de f
Os graacuteficos (Figura 41 e Figura 42) gerado por computador usando o software Maple 11 ilustram os caacutelculos apresentados anteriormente
FIGURA 41 ndash GRAacuteFICO DA SUPERFIacuteCIE DE f FIGURA 42 ndash MAPA DE CONTORNOS DE f
FONTE O autor FONTE O autor
3 PROBLEMAS ENVOLVENDO MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
O estudo feito no item anterior pode ser perfeitamente aplicado em problemas de maximizaccedilatildeo e minimizaccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Como por exemplo em problemas geomeacutetricos fiacutesicos econocircmicos entre outros
Exemplo 6Determine as dimensotildees de uma caixa retangular aberta no topo com um
volume de 32 cm3 e que requer uma quantidade miacutenima de material para a sua construccedilatildeo
30
25
20
15
103 2 1 0ndash 1ndash 2ndash 3 2 1 0 ndash 1ndash 2 ndash 3
yx
ndash 4
ndash 4
ndash 2
ndash 2 0 2 4x
2
4
y
112
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Resoluccedilatildeox comprimento da caixa (cm)y largura da caixa (cm)z altura da caixa (cm)A aacuterea da superfiacutecie da caixa (cm2)V volume da caixa (cm3)
V = xyz rArr xyz = 32 rArr z = 32 xy
Queremos minimizar a aacuterea de superfiacutecie
A = xy + 2xz + 2yz com a restriccedilatildeo do volume
Substituindo z obtemos
A = xy + 2x 32 xy + 2y 32
xy
A(xy) = xy + 64 y + 64
x x gt 0 e y gt 0
Como a regiatildeo eacute aberta o miacutenimo deve ocorrer num ponto criacutetico de A Passemos entatildeo a determinaacute-los
partApartx
= y ‒ 64 x2 partA
party = x ‒ 64
y2
y ‒ 64 x2 = 0 x ‒ 64
y2 = 0
y = 64 x2 x ‒
64
64x2
2 = 0
y2 = 4 x ‒ x4 64 = 0
x 1 ‒ x3
64 = 0
x1 = 0 e x2 = 4
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
113
Assim o ponto (44) eacute ponto criacutetico de A
Usando o teste da segunda derivada (Teorema 322) obtemospart2Apartx2 = 128
x3 part2A partxparty = 1 part2A
partypartx = 1 part2fparty2 = 128
y3
Calculando o determinante hessiano temos
det H (44) = 2 11 2
= 4 ‒ 1 = 3
Daiacute det H (44) gt 0 e part2Apartx2 (44) gt 0 portanto o ponto (44) eacute o miacutenimo local de A
Logo a caixa que usa o miacutenimo de material tem altura z = 2 e base quadrada x = y = 4
Exemplo 7A funccedilatildeo T (xy) = x2 + y2 ‒ 8x + 5y + 20 daacute a temperatura em graus Celsius
de cada ponto (x y) de uma chapa circular (exceto as bordas que eacute constituiacuteda de outro material) de raio 6 cm localizada no centro do plano xy Determine o ponto mais quente e o mais frio no interior da chapa se existir
Resoluccedilatildeo A funccedilatildeo T (xy) = x2 + y2 ‒ 8x + 5y + 20 tem domiacutenio D(T) = (xy) | x2 + y2 lt 36
Calculando as derivadas parciais de primeira ordem temos
partT partx
= 2x ‒ 8 e partT party
= 2y + 5
2x ‒ 8 = 02y + 5 = 0
Resolvendo o sistema temos o uacutenico ponto criacutetico 4 ‒ 52
e T 4 ‒ 52
= - 94
= ‒ 225 degC
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
part2Tpartx2 = 2 part2T
partxparty = 0 part2T partypartx = 0 part2T
party2 = 2
114
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Agora calculamos o determinante hessiano Entatildeo
det H 4 ‒ 52
= 2 00 2
= 4
Pelo Teorema 322 temos det H 4 ‒ 52
gt 0 e part2Tpartx2 gt 0 assim o ponto
4 ‒ 52
eacute miacutenimo
Portanto o ponto mais frio da chapa tem temperatura de ndash 225ordmC e estaacute
localizado no ponto 4 ‒ 52
Exemplo 8Para o projeto de uma calha tem-se uma folha metaacutelica de 12 cm de
largura que se deseja dobrar de forma a se ter uma capacidade maacutexima
Resoluccedilatildeo
A aacuterea da seccedilatildeo da calha eacute formada pela aacuterea do retacircngulo mais a aacuterea dos dois triacircngulos conforme a figura
A = 2 (triacircngulo) + retacircngulo
A = 2 x cos θ x sen θ2
+ (12 ‒ 2x) x sen θ
A = f (xθ) = x2 cos θ sen θ + 12x sen θ ‒ 2x2 sen θ
Agora vamos estudar os extremos (maacuteximos e miacutenimos) da funccedilatildeo Deriva-se a funccedilatildeo obtendo
partf partx
= 2x sen θ cos θ + 12 sen θ ‒ 4x sen θ
partf partθ
= ‒ x2 sen2 θ + x2 cos2 θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
115
Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema temos
‒ x2 sen2 θ + x2 cos2 θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x2 (‒ sen2 θ + cos2 θ) + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x2 cos 2θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x (2 cos2 θ ‒ 1) ‒ 2x cos θ + 12 cos θ = 0
x (2 cos2 θ ‒ 2 cos θ ‒ 1) + 12 cos θ = 0
2x sen θ cos θ + 12 sen θ ‒ 4x sen θ = 0
2x cos θ = 4x ‒ 12
cos θ = 4x ‒ 12
2x
cos θ = 2 ‒ 6x
Substituiacutemos o valor cos θ = 2 ‒ 6x
na segunda equaccedilatildeo e resolvendo
encontra-se x = 4 que resulta em cos θ = 2 ‒ 6x
= 12
cos θ = 12
rArr θ = p3
rad ou θ = 60deg
O ponto (460deg) encontrado parece ser bastante razoaacutevel omitiremos o teste da segunda derivada tambeacutem por causa do trabalho que estas dariam Mas para ter certeza podemos calcular a aacuterea A para valores de x e θ
116
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
x θ A4 30 149284 36 170134 42 186624 48 198464 54 205534 60 207854 66 205624 72 199194 78 18904
Entatildeo pelos valores obtidos na tabela confirmamos que a capacidade eacute maacutexima no ponto (460deg)
FONTE Disponiacutevel em ltwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 30 maio 2012
117
RESUMO DO TOacutePICO 3
Neste toacutepico vocecirc estudou alguns conceitos e teoremas importantes
bull Dizemos que P (x0y0) eacute um ponto criacutetico de f (xy) se partf partx
(x0 y0) = partf party
(x0 y0) = 0 ou se natildeo existir uma das duas derivadas parciais
bull Definimos a matriz hessiana de f (xy) por
bull O Teorema 322 (Teste da segunda derivada) facilita bastante na classificaccedilatildeo do ponto criacutetico de f (xy) Suponhamos que P (x0y0) seja um ponto criacutetico da funccedilatildeo f
i) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) gt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto miacutenimo local de f
ii) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto maacuteximo local de f
iii) Se det H (x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto de sela
iv) Se det H (x0y0) = 0 nada se conclui
118
Nos exerciacutecios 1 e 2 encontre os pontos criacuteticos das funccedilotildees dadas
1 f (xy) = x2 + y2 + xy ‒ 6x + 2
2 f (xy) = x2 + 8y4 + xy ‒ 3y2 ‒ y3
Nos exerciacutecios 3 a 7 encontre os pontos criacuteticos e os extremos locais das funccedilotildees dadas
3 f (xy) = x3 + y3 ‒ 6xy
4 f (xy) = ‒ 13
x4 + 23
x3 + 4xy ‒ y2
5 f (xy) = x3 + y2 ‒ 6xy + 6x + 3y ‒ 2
6 f (xy) = 4x ‒ 3x3 ‒ 2xy2
7 f (xy) = x4 + y4 ‒ 4xy
8 A temperatura T (degC) em cada ponto de um painel plano eacute dada pela equaccedilatildeo T (xy) = 16x2 + 24x ‒ 40y2 Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da regiatildeo
9 Um supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha com duas marcas de suco de laranja uma marca local que custa no atacado R$ 030 a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa no atacado R$ 040 a garrafa O dono do supermercado estima que se cobrar x centavos pela garrafa da marca local e y centavos pela garrafa da marca nacional venderiam 70 ‒ 5x + 4y garrafas da marca local e 80 + 6x + 7y garrafas da marca nacional por dia Por quanto o dono do supermercado deve vender as duas marcas de suco de laranja para maximizar o lucro
AUTOATIVIDADE
119
TOacutePICO 4
INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
Na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral estudamos que a integral indefinida int f (x) dx resulta em outra funccedilatildeo denominada funccedilatildeo primitiva de f (x)
Estudamos tambeacutem que a integral definida eacute dada por
desde que tal limite exista O valor calculado na integral definida quando f (x) ge 0 tem como interpretaccedilatildeo imediata o caacutelculo da aacuterea da regiatildeo compreendida entre o eixo x o graacutefico de f (x) e as retas x = a e x = b
Neste toacutepico vamos estudar a integral dupla definida cuja interpretaccedilatildeo geomeacutetrica quando f (xy) ge 0 corresponde ao caacutelculo do volume do soacutelido delimitado superiormente pelo graacutefico de z = f (xy) e inferiormente pela regiatildeo definida sobre o plano xy
2 INTEGRAL DUPLA
21 INTEGRAL DUPLA SOBRE RETAcircNGULO
Definiccedilatildeo 4211 (Volume sob uma superfiacutecie) Se f eacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis contiacutenua e natildeo negativa numa regiatildeo R do plano xy entatildeo o volume do soacutelido compreendido entre a superfiacutecie z = f (xy) e a regiatildeo R eacute definido por
A ideia envolvida na Definiccedilatildeo 4211 eacute a mesma empregada na integral definida simples Assim a regiatildeo R eacute dividida em sub-retacircngulos Faremos isso com o intervalo em x (∆x) e com o intervalo y (∆y) formando os sub-retacircngulos Rij cada um com aacuterea ∆A = ∆x∆y
120
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 43 ndash INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DA INTEGRAL DUPLA QUANDO f (xy) ge 0
FONTE Disponiacutevel em ltwwwpucrsbrfamatbeatrizcalculoIIINTEGRAL_DUPLAdocgt Acesso em 30 maio 2012
Definiccedilatildeo 4212 A integral dupla de f sobre o retacircngulo R eacute
se esse limite existir
A soma presente nas duas definiccedilotildees acima eacute chamada de soma dupla de Riemann e eacute usada como uma aproximaccedilatildeo do valor da integral dupla
22 INTEGRAIS ITERADAS
Nas integrais duplas que estudaremos neste toacutepico seratildeo consideradas apenas as integrais duplas definidas E na sua resoluccedilatildeo aplicaremos o Teorema Fundamental do Caacutelculo O caacutelculo da integral dupla eacute muito complicado pela definiccedilatildeo entatildeo veremos como calcular a integral dupla atraveacutes da integral iterada cujo valor pode ser obtido calculando-se duas integrais de funccedilotildees de uma variaacutevel real A expressatildeo iterada quer dizer repetida
Este procedimento segue a mesma ideia para calcular as derivadas parciais
UNI
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
121
Suponha que f seja uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis contiacutenua no retacircngulo R = [ab]x[cd]
bull A integral intf (xy) dy
d
c significa que a variaacutevel x eacute mantida fixa (como constante) e
f (xy) eacute integrado em relaccedilatildeo a variaacutevel y com y variando de c ateacute d
bull Como intf (xy) dy
d
c eacute um nuacutemero que depende do valor de x ele define uma
funccedilatildeo de x
F (x) = intf (xy) dy
d
c
bull Integrando a funccedilatildeo F(x) em relaccedilatildeo a variaacutevel x de a ateacute b obtemos
Lembre-se quando a integral eacute definida aplicamos o Teorema Fundamental do
Caacutelculo intf (x) dx = F(b) ‒ F(a)b
a
Exemplo 1
Calcular a integral
ResoluccedilatildeoResolvendo a integral dupla como integral iterada temos
Vamos resolver primeiro a integral que estaacute dentro dos colchetes considerando como constante a variaacutevel x jaacute que a funccedilatildeo estaacute sendo integrada primeiramente em relaccedilatildeo a variaacutevel y (pois a diferencial nesta integral eacute dy)
IMPORTANTE
122
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Assim intxy2 dy = 3x
2
‒1
Agora substituiacutemos este resultado na integral final E verifique que a integral que falta resolver eacute uma integral apenas na variaacutevel x
Portanto
Exemplo 2
Calcular a integral
ResoluccedilatildeoResolvendo a integral dupla como integral iterada temos
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
123
Vamos resolver primeiro a integral que estaacute dentro dos colchetes considerando como constante a variaacutevel y jaacute que a funccedilatildeo estaacute sendo integrada primeiramente em relaccedilatildeo a variaacutevel x (pois a diferencial nesta integral eacute dx)
Assim int (x + y + 1) dx = 2y + 2
1
‒1
Agora substituiacutemos este resultado na integral final E verifique que a integral que falta resolver eacute uma integral apenas na variaacutevel y
= 1
Portanto
Teorema 3221 (Teorema de Fubini) Se f for contiacutenua no retacircngulo R = [ab]x[cd] entatildeo
124
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Verifique a aplicaccedilatildeo do teorema de Fubini no Exemplo 2
23 INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIOtildeES GENEacuteRICAS
Vamos considerar funccedilotildees contiacutenuas definidas sobre regiotildees fechadas que denotaremos por D onde D cap R2
Conveacutem separarmos a regiatildeo plana D em dois casos que chamaremos de Tipo I e Tipo II
bull Uma regiatildeo plana D eacute dita do tipo I se estaacute contida entre o graacutefico de duas funccedilotildees contiacutenuas de x ou seja
D = (xy) a le x le b g1(x) le y le g2(x) onde g1(x) e g2(x) satildeo contiacutenuas em [ab]
FIGURA 44 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
UNI
D
a b
y
x
y₂ = g₂(x)
y₁ = g₁(x)
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
125
Definiccedilatildeo 3231 Se f eacute contiacutenua em uma regiatildeo D do tipo I tal que
D = (xy) a le x le b g1(x) le y le g2(x)
entatildeo
Exemplo 3
Escreva intintf (xy) dAD
sobre a regiatildeo D que estaacute compreendida entre o
graacutefico das funccedilotildees y = radic1 ‒ x 2 e y = 1 ‒ x
ResoluccedilatildeoVamos escrever esta integral considerando a regiatildeo do tipo I
Assim g1 (x) = 1 ‒ x e g2 (x) = radic1 ‒ x 2
Entatildeo usaremos
126
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 45 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
bull Uma regiatildeo plana D eacute dita do tipo II se estaacute contida entre o graacutefico de duas funccedilotildees contiacutenuas de y ou seja
D = (xy) c le y le d h1(y) le x le h2(y)
onde h1(y) e h2(y) satildeo contiacutenuas em [cd]
FIGURA 46 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
y
x₂ = h₂(y)
x₁ = h₁(y)
d
c x
D
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
127
Definiccedilatildeo 3232 Se f eacute contiacutenua em uma regiatildeo D do tipo II tal que
D = (xy) c le y le d h1(y) le x le h2(y)
entatildeo
Exemplo 4
Escreva intintf (xy) dAD
sobre a regiatildeo D que estaacute compreendida entre o
graacutefico das funccedilotildees y = radic1 ‒ x 2 e y = 1 ‒ x
ResoluccedilatildeoVamos escrever esta integral considerando a regiatildeo do tipo II
FIGURA 47 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim h1 (y) = 1 ‒ y e h2 (y) = radic1 ‒ y 2
Entatildeo usaremos
128
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Exemplo 5Seja f (xy) = xy calcule intintf (xy) dA
D
sobre a regiatildeo D compreendida entre y =
12
x y = radicx x = 2 e x = 4
ResoluccedilatildeoConforme pode ser observada a regiatildeo no graacutefico convecircm aplicar o tipo I
FIGURA 48 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
129
= 116
Portanto intintf (xy) dA = 116D
Exemplo 6
Calcule intint(xy ‒ y 3) dAD
sobre a regiatildeo D mostrada no graacutefico abaixo
ResoluccedilatildeoConforme pode ser observada a regiatildeo no graacutefico vamos aplicar o tipo II
A projeccedilatildeo da regiatildeo D sobre o eixo dos y daacute o intervalo 0 le y le 1 e as funccedilotildees tem que estar na variaacutevel y Entatildeo
h1 (y) = y 4 e h2 (y) = y 12
130
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 49 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim
x
y
2
1
21
y = xsup2
y = xsup1 ⁴
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
131
Vocecirc estudou integraccedilatildeo no final do Caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral e verificou que eacute possiacutevel calcular a aacuterea entre duas curvas utilizando a integral simples Vamos ver agora que tambeacutem eacute possiacutevel calcular a aacuterea entre duas curvas utilizando a integral dupla
Exemplo 7
Calcule a aacuterea compreendida entre as curvas y = 12
x y = radicx x = 2 e x = 4
ResoluccedilatildeoA aacuterea compreendida entre as curvas dadas eacute a mesma mostrada no
Exemplo 5
Assim aplicamos o a integral dupla do tipo I Para a montagem da integral o procedimento eacute o mesmo feito no exemplo 5
UNI
132
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 50 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Portanto a aacuterea definida entre as curvas eacute dada por
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
133
Concluindo a ideia do caacutelculo da aacuterea entre curvas verifique que a montagem da integral dupla tem o mesmo procedimento mostrado no item 23 A uacutenica diferenccedila eacute que devemos considerar a funccedilatildeo integrante como a constante unitaacuteria isto eacute f (xy) = 1
Exemplo 8Calcule a aacuterea entre as curvas y = 5 ‒ x2 e y = x + 3
ResoluccedilatildeoA aacuterea compreendida entre as curvas dadas acima estaacute representada a
seguir
Assim aplicamos a integral dupla do tipo I Para a montagem da integral o procedimento eacute o mesmo feito anteriormente
Precisamos encontrar os limites numeacutericos da variaacutevel x igualando a variaacutevel y
FIGURA 51 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
IMPORTANTE
y = 5 ndash xsup2
y = x + 3
ndash 2 ndash 1 21x
1
2
3
4
5y
134
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
= 92
Portanto a aacuterea definida entre as curvas eacute dada por 92
LEITURA COMPLEMENTAR
GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN (1826 - 1866)
Nasceu no dia 17 de setembro de 1826 em Breselenz Alemanha Era filho de um ministro luterano e teve uma boa instruccedilatildeo estudando em Berlim e Goumlttingen mas em condiccedilotildees muito modestas por causa de sua sauacutede fraacutegil e de sua timidez Ainda no ensino secundaacuterio estudou os trabalhos de Euler e Legendre
Aos 19 anos Riemann foi com todo o apoio do pai para a Universidade de Goumlttingen estudar teologia com o objetivo de tornar-se cleacuterigo Mais tarde pediu permissatildeo ao pai e mudou o foco dos seus estudos para a Matemaacutetica transferindo-se um ano depois para a Universidade de Berlim onde atraiu o interesse de Dirichlet e Jacobi
Em 1849 retornou a Goumlttingen onde obteve o grau de doutor em 1851 Sua brilhante tese foi desenvolvida no campo da teoria das funccedilotildees complexas Nessa tese encontram-se as chamadas equaccedilotildees diferenciais de Cauchy-Riemann - conhecidas poreacutem antes do tempo de Riemann - que garantem a analiticidade de uma funccedilatildeo de variaacutevel complexa e o produtivo conceito de superfiacutecie de Riemann que introduziu consideraccedilotildees topoloacutegicas na anaacutelise
Trecircs anos mais tarde foi nomeado Privatdozent cargo considerado o primeiro degrau para a escalada acadecircmica Com a morte de Gauss em 1855 Dirichlet foi chamado a Goumlttingen como seu sucessor e passou a incentivar Riemann primeiro com um pequeno salaacuterio e depois com uma promoccedilatildeo a professor assistente Em 1859 morreu Dirichlet e Riemann foi nomeado professor titular para substituiacute-lo
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
135
O periacuteodo de 1851 a 1859 do ponto de vista econocircmico foi o mais difiacutecil da vida de Riemann mas ele criou suas maiores obras justamente nesses anos
Riemann era um matemaacutetico de muacuteltiplos interesses e mente feacutertil contribuindo natildeo soacute para o desenvolvimento da geometria e da teoria dos nuacutemeros como tambeacutem para o da anaacutelise matemaacutetica
Riemann tornou claro o conceito de integrabilidade de uma funccedilatildeo atraveacutes da definiccedilatildeo do que atualmente chamamos Integral de Riemann
Durante uma conferecircncia-teste generalizou todas as geometrias euclidianas e natildeo euclidianas estabelecendo a Geometria Riemanniana que serviu de suporte para a Teoria da Relatividade de Einstein
Em 1859 publicou seu uacutenico trabalho em Teoria dos Nuacutemeros um artigo dedicado ao Teorema dos Nuacutemeros Primos no qual partindo de uma identidade notaacutevel descoberta por Euler chegou a uma funccedilatildeo que ficou conhecida como Funccedilatildeo Zeta de Riemann Nesse artigo provou vaacuterias propriedades importantes dessa funccedilatildeo e enunciou vaacuterias outras sem provaacute-las Durante um seacuteculo depois de sua morte muitos matemaacuteticos tentaram provaacute-las e acabaram criando novos ramos da anaacutelise matemaacutetica
Riemann morreu de tuberculose no dia 20 de Julho de 1866 em Selasca na Itaacutelia durante a uacuteltima de suas vaacuterias viagens para fugir do clima frio e uacutemido do norte da Alemanha
FONTE Disponiacutevel em lthttpecalculoifuspbrhistoriariemannhtmgt Acesso em 12 jun 2008
136
RESUMO DO TOacutePICO 4
Estudamos no Toacutepico 4 as integrais muacuteltiplas Primeiramente vimos que o procedimento do caacutelculo destas integrais eacute feito por iteraccedilatildeo isto eacute repeticcedilatildeo Resolvendo a integral de dentro (interna) para a de fora e substituindo os limites de integraccedilatildeo pelo Teorema Fundamental do Caacutelculo
Depois estudamos como calcular aacutereas de formas irregulares utilizando as integrais duplas por dois processos
Projetando a regiatildeo sobre o eixo dos x que chamamos de tipo I e escrevemos a
integral como
Projetando a regiatildeo sobre o eixo dos y que chamamos de tipo II e escrevemos a
integral como
E finalizando tambeacutem estudamos a possibilidade de calcular a aacuterea entre curvas usando a integral dupla com o mesmo procedimento revisto acima onde a funccedilatildeo integrante eacute dada por f (xy) = 1
137
Calcule a integral onde R 0 le x le 2 1 le y le 4
1 intintx2 dxdyR
2 intintxy2 dxdyR
Calcule a integral onde R 0 le x le 2 0 le y le x
3 intintx3y dxdyR
4 intinte x + y dxdyR
5 Encontre a aacuterea da regiatildeo no primeiro quadrante limitada por xy = 2 y = 1 e y = x + 1
Calcule por integraccedilatildeo dupla a aacuterea da regiatildeo limitada determinada pelo par de curvas dado
6 x2 = 4y e 2y ‒ x ‒ 4 = 0
7 y = x e x = 4y ‒ y2
8 x + y = 5 e xy = 6
AUTOATIVIDADE
138
139
UNIDADE 3
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Ao final desta unidade vocecirc deveraacute ser capaz de
bull conhecer os principais conceitos que envolvem as equaccedilotildees diferenciais
bull identificar os diferentes tipos de equaccedilotildees diferenciais
bull diferenciar as equaccedilotildees diferenciais
bull resolver as equaccedilotildees diferenciais
Na Unidade 3 estudaremos as equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias de primeira ordem e algumas equaccedilotildees diferenciais de segunda ordem Neste intuito a unidade seraacute dividida em trecircs toacutepicos O Toacutepico 1 inicia com a definiccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais ordem e classificaccedilatildeo Na sequecircncia seratildeo apresenta-das as equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias de primeira ordem separaacuteveis linea-res e exatas e seus respectivos meacutetodos de resoluccedilatildeo No toacutepico 2 destacare-mos as equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem que envolvem substituiccedilotildees em suas resoluccedilotildees em particular as equaccedilotildees de Bernoulli e as equaccedilotildees homogecircneas Finalizamos a unidade com o Toacutepico 3 estudando as equaccedilotildees diferenciais lineares de segunda ordem Nesse toacutepico nosso estudo se res-tringiraacute agraves equaccedilotildees lineares homogecircneas com coeficientes constantes
TOacutePICO 1 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
TOacutePICO 2 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
TOacutePICO 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
140
141
TOacutePICO 1
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico vamos abordar as caracteriacutesticas de uma equaccedilatildeo diferencial quanto ao seu tipo a sua ordem e a sua linearidade Na sequecircncia discutiremos os processos de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem segundo sua classificaccedilatildeo em separaacuteveis lineares ou exatas
Vejamos alguns exemplos de equaccedilotildees diferenciais
Uma equaccedilatildeo que relaciona uma funccedilatildeo desconhecida a uma ou mais de suas derivadas eacute chamada de uma equaccedilatildeo diferencial
As equaccedilotildees satildeo classificadas quanto ao tipo agrave ordem e agrave linearidade
2 DEFINICcedilOtildeES E TERMINOLOGIAS
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
142
Uma equaccedilatildeo diferencial pode ser classificada como ordinaacuteria ou parcial Se a funccedilatildeo envolvida for uma funccedilatildeo de somente uma variaacutevel dizemos que a equaccedilatildeo eacute ordinaacuteria (EDO) Se uma equaccedilatildeo diferencial conteacutem pelo menos uma derivada parcial entatildeo eacute denominada de equaccedilatildeo diferencial parcial (EDP) Vejamos alguns exemplos
i) partu party
= ndash 5 partupartx
u = u(x y) parcial
ii) d 2 y dx2 ndash 6 dy
dx + 8y = 0 ordinaacuteria
iii) part2z
partx2 + part
2zparty2
ndash 2 partzparty
= 0 z = z(x y) parcial
21 TIPOS DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Quanto agrave ordem uma equaccedilatildeo diferencial pode ser de 1ordf de 2ordf de n-eacutesima ordem dependendo da derivada de maior ordem presente na equaccedilatildeo
i) yprime ndash 3xy = x 1deg ordem
ii) yPrime + yprime = cos t 2deg ordem
iii) d y dx
2
+ 3y = 2 1deg ordem
iv) d 2 y dx2 ndash 6 dy
dx + 8y = 0 2deg ordem
v) d 3 y dt 3 ndash t
dydt + (t 2 ndash 1)y = et 3deg ordem
vi) xyprime ndash 5y = 0 1deg ordem
22 ORDEM DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
143
Uma equaccedilatildeo diferencial eacute dita linear se a funccedilatildeo e suas derivadas envolvidas na equaccedilatildeo forem de primeiro grau Caso contraacuterio dizemos que a EDO eacute natildeo linear Vejamos alguns exemplos
i) dydx + 3y = 2 linear
ii) dydx + sen y = 2 natildeo linear
iii) d 3 y dx3 ndash x dy
dx + 7y = ex linear
iv) d 3 y dt 3 +
dydt + t (y 2 ndash 1) = et natildeo linear
23 LINEARIDADE DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Uma funccedilatildeo y = y(x) eacute soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial em um dado intervalo I se a equaccedilatildeo diferencial for satisfeita para todo x isin I ou seja se y(x) e suas derivadas satisfizerem agrave equaccedilatildeo diferencial neste intervalo para todo x isin I
Exemplo 1
Verifique se a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 eacute soluccedilatildeo de yprime(x) + 2xy = x
Resoluccedilatildeo
Dado a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 vamos encontrar a derivada de primeira ordem
yprime(x) = 32
(ndash 2x)endashx 2
yprime(x) = ndash3xendashx 2
Agora substituiacutemos y e yprime na equaccedilatildeo diferencial yprime (x) + 2xy = x
24 SOLUCcedilAtildeO DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
144
Entatildeo a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial e portanto
y eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial dada
Exemplo 2Verifique se a funccedilatildeo y(x) = e2x eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
d 2 y dx2 ndash 5
dydx + 6y = 0
ResoluccedilatildeoDado a funccedilatildeo y(x) = e2x vamos encontrar as derivadas de primeira e
segunda ordem
dydx = 2e2x e
d 2 y dx2 = 4e2x
Agora vamos substituiacute-las na equaccedilatildeo diferencial d 2 y dx2 ndash 5 dy
dx + 6y = 0
4e2x ndash 5 middot 2e2x + 6e2x = 0
4e2x ndash 10e2x + 6e2x = 0
De fato a funccedilatildeo y(x) = e2x satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial
Exemplo 3Verifique se a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
xyprime(x) ndash y(x) = 2xIn x
ResoluccedilatildeoDado a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x vamos encontrar a derivada de primeira
ordem
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
145
Agora substituiacutemos y e yprime na equaccedilatildeo diferencial xyprime(x) ndash y(x) = 2xln x obtendo
2x In x = 2x In x
Portanto a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial
Dada uma equaccedilatildeo diferencial dizemos que a sua soluccedilatildeo eacute uma funccedilatildeo que satisfaz a identidade proposta por esta equaccedilatildeo Esta funccedilatildeo expressa por y = F(x) + c conteacutem uma constante arbitraacuteria oriunda do processo de integraccedilatildeo Entatildeo dizemos que y = F(x) + c c isinR eacute uma famiacutelia de soluccedilotildees da EDO e assim para cada valor arbitraacuterio de c temos uma soluccedilatildeo (funccedilatildeo) diferente para a mesma EDO Poreacutem observe que derivando-as obteremos as mesmas funccedilotildees tendo em vista que a derivada de uma constante eacute zero
Por exemplo dada a equaccedilatildeo diferencial yprime(x) = 5x ndash 2 sua soluccedilatildeo geral eacute dada por
y(x) = 52
x2 ndash 2x + c Vamos considerar c = ndash1 e c = 3 entatildeo y1(x) = 52
x2 ndash 2x ndash 1 e y2(x) = 52
x2 ndash 2x + 3 Agora vamos derivar estas soluccedilotildees (funccedilotildees) yprime1 (x) = 5x ndash 2 e yprime2 (x) = 5x ndash 2
Podemos ver que as derivadas satildeo iguais Daiacute o fato da soluccedilatildeo y = F(x) + c c isinR ser denominada de soluccedilatildeo geral da
EDO
241 Soluccedilatildeo geral
A soluccedilatildeo deduzida da soluccedilatildeo geral atribuindo-se valores particulares agrave constante arbitraacuteria c eacute chamada de soluccedilatildeo particular
Quando uma equaccedilatildeo diferencial eacute utilizada como um modelo matemaacutetico em alguma aplicaccedilatildeo haacute normalmente uma condiccedilatildeo inicial y(x0) = y0 que torna possiacutevel calcular a constante arbitraacuteria c que aparece na soluccedilatildeo geral
242 Soluccedilatildeo particular
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
146
Um problema com uma equaccedilatildeo diferencial satisfazendo alguma condiccedilatildeo adicional (por exemplo y(x
0) = y
0 eacute denominado problema do valor inicial (PVI)
Exemplo 4
Considerando dydx = 2x entatildeo y = x2 + c eacute uma soluccedilatildeo geral da EDO c isinR
ResoluccedilatildeoVamos encontrar a soluccedilatildeo particular utilizando a condiccedilatildeo adicional y(3)
= 4 Desse modo a partir da soluccedilatildeo geral y = x2 + c atribuiacutemos a x o valor 3 e a y o valor 4 determinando assim a constante c
y = x2 + c4 = 32 + c4 = 9 + cc = ndash5
Substituindo o valor de c na soluccedilatildeo geral obtemos a soluccedilatildeo particular da EDO
y = x2 ndash 5
Caros acadecircmico(a) Leia com bastante atenccedilatildeo o texto a seguir sobre as EDOs Assim vamos saber um pouco mais sobre o que estamos estudando e quais satildeo as suas finalidades
O que uma ED de primeira ordem pode nos dizer
Vamos imaginar por um momento que temos uma equaccedilatildeo diferencial
de primeira ordem na forma normal dydx = f (xy) e aleacutem disso que natildeo podemos
encontrar nem inventar um meacutetodo para resolvecirc-la analiticamente Essa situaccedilatildeo natildeo eacute tatildeo ruim quanto parece uma vez que muitas vezes eacute possiacutevel juntar informaccedilotildees uacuteteis sobre a natureza das soluccedilotildees diretamente da proacutepria
equaccedilatildeo diferencial Por exemplo jaacute vimos que quando f (xy) e partfparty
satisfazem
NOTA
ESTUDOS FUTUROS
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
147
determinadas condiccedilotildees de continuidade as questotildees qualitativas sobre a existecircncia e a unicidade de soluccedilotildees podem ser respondidas Veremos nesta seccedilatildeo que outras questotildees qualitativas sobre propriedades da soluccedilatildeo ndash Como uma soluccedilatildeo se comporta nas proximidades de um determinado ponto Como uma soluccedilatildeo se comporta quando x rarr infin ndash podem frequentemente ser respondidas quando a funccedilatildeo f depende somente da variaacutevel y Vamos comeccedilar poreacutem
com um conceito simples de caacutelculo a derivada dydx de uma funccedilatildeo diferenciaacutevel
y = y(x) daacute as inclinaccedilotildees das retas tangentes em pontos sobre seu graacutefico
Inclinaccedilatildeo
Como uma soluccedilatildeo y = y(x) de uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem dydx = f (xy) eacute necessariamente uma funccedilatildeo diferenciaacutevel em seu intervalo I a curva integral correspondente em I natildeo deve ter interrupccedilotildees e deve ter uma reta tangente em cada ponto (xy(x)) A inclinaccedilatildeo da reta tangente em (xy(x)) sobre uma curva integral eacute o valor de sua derivada primeira
dydx nesse ponto e isso
eacute sabido da equaccedilatildeo diferencial f (xy(x)) Suponha agora que (xy) representa qualquer ponto em uma regiatildeo do plano xy sobre o qual a funccedilatildeo f estaacute definida O valor f (xy) que a funccedilatildeo atribui ao ponto representa a inclinaccedilatildeo de uma reta ou como iremos pensar um segmento de reta denominado elemento linear Por exemplo consideramos a equaccedilatildeo
dydx = 02xy onde f (xy) = 02xy No ponto de
coordenadas (2 3) por exemplo a inclinaccedilatildeo de um elemento linear eacute f (23) = 12 A figura (a) mostra um segmento de reta com inclinaccedilatildeo positiva passando por (23) Conforme mostrado na figura (b) se uma curva integral tambeacutem passar por (23) faraacute isto tangenciando esse segmento de reta em outras palavras o elemento linear eacute uma miniatura da reta tangente nesse ponto
Figura 11a elemento linear em um pontoFigura 2 ndash Figura 11b o elemento linear eacute uma tangente agrave curva integral que passa pelo ponto
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
148
Campos de Direccedilotildees
Se sistematicamente calcularmos f sobre uma malha retangular de pontos (xy) no plano xy e em cada ponto (xy) desenharmos um elemento linear com a inclinaccedilatildeo (xy) a coleccedilatildeo de todos os elementos lineares seraacute chamada
de campo de direccedilotildees ou campo de inclinaccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial dydx
= f
(xy) Visualmente o campo de direccedilotildees sugere a aparecircncia ou forma de uma
famiacutelia de curvas integrais da equaccedilatildeo diferencial e consequentemente pode ser possiacutevel vislumbrar determinados aspectos qualitativos das soluccedilotildees ndash por exemplo regiotildees no plano nas quais uma soluccedilatildeo exibe um comportamento natildeo usual Uma uacutenica curva integral que segue seu caminho em um campo de direccedilotildees deve acompanhar o padratildeo de fluxo do campo ela eacute tangente a um elemento linear quando intercepta um ponto da malha
FONTE Zill (2003 p 41-42)
Estudaremos alguns tipos de equaccedilotildees diferenciais que requerem meacutetodos distintos de resoluccedilatildeo Vamos iniciar pelas equaccedilotildees diferenciais separaacuteveis caracterizando-as e determinando seu processo de resoluccedilatildeo
Definiccedilatildeo 131 A equaccedilatildeo yprime = f (xy) seraacute separaacutevel se f puder ser expressa como um produto de uma funccedilatildeo p(x) e uma funccedilatildeo q(y) com q(y) ne 0 Assim a equaccedilatildeo diferencial teraacute a forma
3 EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL SEPARAacuteVEL
yprime = p(x) q(y) ou
dydx = p(x) q(y) ou
yprime 1
q(y) = p(x)
onde p(x) e q(y) satildeo contiacutenuas em seu domiacutenio
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
149
Considerando a equaccedilatildeo diferencial dada o primeiro passo para resolvecirc-lo eacute separar as variaacuteveis y e x juntamente com as suas respectivas diferenciais obtendo a seguinte igualdade
1q(y)
dy = p(x)dx
A seguir integramos ambos os lados da igualdade
int 1q(y)
dy = int p(x)dx
E sempre que for possiacutevel escrevemos a funccedilatildeo (soluccedilatildeo geral da EDO) na sua forma expliacutecita
Vamos resolver um exemplo para aplicarmos o meacutetodo
Exemplo 5
Resolva a equaccedilatildeo diferencial dydx = 6ex
Resoluccedilatildeo
dydx = 6ex
Inicialmente vamos separar as variaacuteveis
31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
dy = 6ex dx
Integrando ambos os lados da igualdade
int dy = int 6ex dx
int dy = 6 int ex dx
y + c1 = 6ex + c2
Isolando a variaacutevel y
y = 6ex + c2 ndash c1
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
150
Para deixar uma uacutenica constante na funccedilatildeo consideramos c = c2 ndash c1 donde temos que
y = 6ex + c
Exemplo 6Resolva a equaccedilatildeo diferencial
dydx =
xy2
Resoluccedilatildeo
dydx =
xy2
Dada a equaccedilatildeo diferencial acima vamos separar as variaacuteveis
Multiplicando ambos os lados da igualdade por y2 temos
y 2 dy = x dx
Integrando ambos os lados da igualdade
int y 2 dy = int x dx
y3
3 + c1 = x2
2 + c2
Isolando a variaacutevel y
y3
3 = x2
2 + c2 ndash c1
y 3 = 3x2
2 + 3(c2 ndash c1)
Para deixar uma uacutenica constante na funccedilatildeo consideramos c = 3(c2 ndash c1)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
151
Portanto as soluccedilotildees da EDO dada satildeo da forma c isinR
Natildeo haacute necessidade de usar duas constantes na integraccedilatildeo de uma equaccedilatildeo
separaacutevel int q(y) dy = int
p(x) dx pois se escrevermos Q(y) + c1 = P(x) + c
2 a diferenccedila c
2 ndash
c1 poderaacute ser substituiacuteda por uma uacutenica constante c resultando Q(y) = P(x) + c Em vaacuterias
ocasiotildees ao longo deste toacutepico renomearemos constantes de forma conveniente Por exemplo muacuteltiplos de constantes ou combinaccedilotildees de constantes podem algumas vezes ser substituiacutedas por uma uacutenica constante
Definiccedilatildeo 132 Chamamos de famiacutelia de funccedilotildees ao conjunto de vaacuterias funccedilotildees da forma y = f (x) + c c isinR ou seja ao conjunto formado pelas funccedilotildees que tem o mesmo comportamento a menos da constante c isinR
Exemplo a famiacutelia de funccedilotildees y(x) = x 3 ndash 2xsup2 + c
FIGURA 52 ndash Figura 12
FONTE O autor
NOTA
ndash 4
ndash 3
ndash 2
ndash 1
ndash 1ndash 2 1 2 3 4x
y
1
2
3
4x 3 ndash 2xsup2 + c
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
152
Exemplo 7Resolva a equaccedilatildeo diferencial yprime y + x = 0
ResoluccedilatildeoPodemos reescrever a equaccedilatildeo dada como
dydx
y + x = 0
Subtraindo x em ambos os lados da igualdade obtemos
dydx
y = ndashx
y dydx = ndashx
y d y dx
dx = ndashx dx
y dy = ndashx dx
int y dy = ndashint x dx
Vamos escrever apenas uma constante ao lado direito da igualdade junto agrave variaacutevel x
y x c
y x c
2 2
22
2 323
2
=minus
+
=minus
+
Considerando k = 2c temos
y x k222
3=minus
+
Podemos deixar a funccedilatildeo na forma impliacutecita
23
2 2x y k+ =
Neste caso eacute interessante deixar esta soluccedilatildeo na forma impliacutecita pois facilita a identificaccedilatildeo quanto ao tipo de curva obtida Neste exemplo obtemos uma elipse
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
153
OBSERVACcedilAtildeO Note que para natildeo carregar a notaccedilatildeo aplicamos a ideia de escrever apenas uma letra para as constantes que surgem no caacutelculo
Exemplo 8Determine a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo diferencial
dydx = sen (2x)
ResoluccedilatildeoRepetindo o procedimento utilizado nos exemplos anteriores temos
dy = sen (2x) dx
Integrando os dois lados da igualdade
int dy = int sen (2x) dx
Para resolver a integral obtida do lado direito da igualdade vamos aplicar a teacutecnica de substituiccedilatildeo
y = 12
int sen u du u = 2x
y = 12
(ndashcos u) + c du = 2 dx
y = ndash 12
cos (2x) + c 12
du = dx
FIGURA 53 ndash GRAacuteFICO DAS SOLUCcedilOtildeES DA EDO
FONTE O autor
-3
-2
-2-2 -2
-1-1-1
-1
0
00 0 x
1
11 1
2
22 2
33
3y
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
154
Exemplo 9Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo diferencial dy
dt = e t ndash y
Resoluccedilatildeodydt
= e t ndash y
Primeiramente vamos recordar a propriedade do produto de potecircncias de mesma base onde am an = a m + n com a m n isin R
Utilizaremos a propriedade da direita para a esquerda ou seja separando a expressatildeo am+n em um produto de duas potecircncias de mesma base
dydt
= e t middot e ndashy
dy = e t middot e ndashy dt
ey dy = et dt
int ey dy = int et dt
ey = et + c
Para isolar y precisamos aplicar o logaritmo natural (ln) a ambos os membros da igualdade
In ey = In (et + c)
Pelas propriedades operatoacuterias dos logaritmos em particular a propriedade da potecircncia do logaritmo temos que In ak = k middot In a e portanto
y In e = In (et + c)
Como In e = 1 temos
y = In (et + c)
Portanto y(t) = In (et + c) eacute soluccedilatildeo da EDO proposta
A
c isin R
Exemplo 10Resolva a equaccedilatildeo diferencial (2 + y) dt + (t ndash 3) dy = 0
ResoluccedilatildeoNa equaccedilatildeo (2 + y) dt + (t ndash 3) dy = 0 devemos separar as variaacuteveis Neste
caso deixamos y do lado esquerdo da igualdade e t do lado direito da igualdade
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
155
(t ndash 3) dy = ndash(2 + y) dt
dy2 + y = ndash dt
t ndash 3
Agora basta integrar os dois lados da igualdade
int dy2 + y = ndashint dt
t ndash 3
Estas integrais satildeo resolvidas aplicando a teacutecnica de substituiccedilatildeo donde obtemos
In(2 + y) = ndash In(t ndash 3) + c
In(2 + y) + In(t ndash 3) = c
Agora aplicamos a propriedade do produto de logaritmos de mesma base para a qual teremos In (a middot b) = In a + In b Utilizaremos a propriedade da direita para a esquerda ou seja multiplicaremos os logaritmandos e obteremos assim
In[(2 + y) middot (t ndash 3)] = c
Portanto a igualdade (2 + y) middot (t ndash 3) = ec
A
c isin R eacute uma soluccedilatildeo na forma impliacutecita da EDO proposta
Exemplo 11Resolva a equaccedilatildeo diferencial y prime = x e y ndash x
ResoluccedilatildeoPrimeiramente vamos mudar a notaccedilatildeo da derivada
dydx = x e y ndash x
Para resolver a equaccedilatildeo devemos separar as variaacuteveis
dydx = x e y e ndashx
Para isso multiplicamos ambos os lados da igualdade por e ndashy
e ndashy dydx = xe ndashx
e ndashy dy = xe ndashx dx
Integramos ambos os lados da igualdade
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
156
Para resolver a integral (1) utilizaremos a teacutecnica da substituiccedilatildeo
w = ndash y rArr dw = ndash dy
int e ndashy dy = ndashint ew dw = ndash ew + c1 = ndash e ndashy + c1
Enquanto que para a integral (2) aplicaremos a teacutecnica da integraccedilatildeo por partes
int udv = u middot v ndashint vdu u = x
int xe ndashx dx = x middot (ndash endashx) ndash int (ndash endashx) dx du = dx
int xe ndashx dx = ndash xendashx ndash endashx + c2 dv = endashx dx
v = ndash endashx
Retomando a igualdade int e ndashy dy = int xendashx dx temos
int e ndashy dy = int xendashx dx
ndashe ndashy + c1 = ndashxendashx ndashendashx + c2
Vamos escrever apenas uma constante do lado direto da igualdade e multiplicar ambos os lados por (-1) obtendo
e ndashy = xendashx + endashx + c
Colocando a expressatildeo endashx em evidecircncia no lado direito da igualdade
e ndashy = endashx (x + 1) + c
Para isolar a variaacutevel y aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade
In e ndashy = In [endashx (x + 1) + c]
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
157
Pela propriedade operatoacuteria da potecircncia do logaritmo temos
ndashy = In [endashx (x + 1) + c]
Portanto y(x) = ndashIn [endashx (x + 1) + c] eacute soluccedilatildeo da EDO proposta
A
c isin R
Exemplo 12
Encontre a soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo diferencial yprime = xy ndash yy + 1 no ponto
y(2) = 1
Resoluccedilatildeo
Deixamos a soluccedilatildeo na forma impliacutecita Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
158
c = 1
A funccedilatildeo y que satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial e atende agrave condiccedilatildeo y(2) = 1 eacute dada por
y(2) = 1
Continuamos a busca por soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem examinando a seguir as equaccedilotildees lineares
Definiccedilatildeo 141 Uma EDO da forma
yprime + p(x)y = q(x) ou
dydx + p(x)y = q(x)
onde p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees contiacutenuas em algum intervalo I eacute chamada de equaccedilatildeo diferencial linear de primeira ordem
4 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ordf ORDEM
Observe a forma deste tipo de EDO Cada equaccedilatildeo diferencial que estudaremos possui uma forma-padratildeo diferente Fique bastante atento
Teorema 141 A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
dydx + p(x)y = q(x) eacute
NOTA
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
159
y = 1
v(x) int v(x) q(x)dx
onde v(x) = eH(x) com H(x) = int p(x)dx A funccedilatildeo v(x) eacute chamada fator integrante
Desafie-se e faccedila a demonstraccedilatildeo matemaacutetica da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial linear
41 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Vamos descrever os passos para resolver uma equaccedilatildeo diferencial linear a qual utilizaremos o fator integrante
bull Escreva a equaccedilatildeo linear dada na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
bull Encontre uma primitiva de p(x) isto eacute resolva intp(x)dx
bull Encontre o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
bull Multiplique ambos os lados da equaccedilatildeo diferencial yprime + p(x)y = q(x) pela funccedilatildeo v(x)
bull Identifique do lado esquerdo da igualdade da derivada do produto
bull Resolva a equaccedilatildeo e se possiacutevel decirc a soluccedilatildeo na forma expliacutecita
Aplicaremos o meacutetodo em alguns exemplos para entendecirc-lo melhor
Exemplo 13Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprime + 3y = 12 (meacutetodo do fator integrante)
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
onde p(x) = 3 e q(x) = 12
O primeiro passo eacute calcular a primitiva de p(x)
H(x) = intp(x)dx entatildeo temos
UNI
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
160
H(x) = int3dx = 3x
Escrevendo o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = e3x
Agora multipliquemos a EDO por v(x)
e3x yprime + 3e3x y = 12e3x
Observemos o lado esquerdo nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = e3x teremos uprime = yprime e vprime = 3e3x Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
e3x y = 12inte3xdx
Atente para o fato de que a integral inte3xdx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
e3x y = 123
e3x + c
e3x y = 4e3x + c
Isolando a variaacutevel y
y = 4e3x middot endash3x + c endash3x
Portanto y(x) = 4 + c endash3x c isin R eacute soluccedilatildeo geral da EDO
Vamos deduzir um modelo de soluccedilatildeo geral para as equaccedilotildees lineares ordinaacuterias de primeira ordem com coeficientes constantes (deduccedilatildeo do fator integrante) ou seja
dydt + ay = b ou yprime + ay = b
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
161
Comparando a EDO apresentada com a forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x) identificamos que p(x) = a e q(x) = b Assim p(x) e q(x) satildeo constantes Neste caso
H(x) = intp(x)dx
H(x) = intadx = ax
e o fator integrante v(x) = eintp(x)dx fica
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eax
Multiplicando a EDO por v(x)
eax yprime + aeax y = beax
Observe o lado esquerdo da equaccedilatildeo nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = eax teremos uprime = yprime e vprime = aeax Entatildeo
Integrando ambos os membros da igualdade
eax y = binteaxdx
A integral inteaxdx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
eax y = ba
eax + c
Isolando a variaacutevel y
y = ba
eax endashax + c endashax
Portanto y(x) = ba
+ c endashax c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO yprime + ay = b
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
162
Caro(a) acadecircmico(a) Que tal voltar ao exemplo 13 e resolvecirc-lo usando o resultado demonstrado anteriormente
Exemplo 14Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprime + y = x
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
com p(x) =1 e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = intp(x)dx entatildeo temos
H(x) = intdx = x
Assim o fator integrante v(x) = eintp(x)dx eacute
v(x) = eH(x) rArr v(x) = ex
Multiplicamos a EDO por v(x)
ex yprime + ex y = xex
Observe o lado esquerdo da igualdade e identifique a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = ex teremos uprime = yprime e vprime = ex Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
ex y = intx ex dx
UNI
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
163
Para resolver esta integral intx ex dx precisaremos aplicar o meacutetodo da integraccedilatildeo por partes Considerando u = x e dv = ex dx teremos du = dx e v = ex Entatildeo
aplicando a foacutermula da integraccedilatildeo por partes intu dv = u middot v ndash intv du
ex y = xex ndash intex dx
ex y = xex ndash ex + c
Isolando a variaacutevel y
y = xexendashx ndash exendashx + c endashx
Portanto y(x) = x ndash 1 + c endashx c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 15Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo x
dydx = x2 ndash 5y
ResoluccedilatildeoVeja que a equaccedilatildeo diferencial natildeo estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
Entatildeo primeiro temos que reescrevecirc-la na forma-padratildeo
Assim identificamos p(x) = 5x e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = int 5x
dx = 5 In x
= In x5
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
164
E assim o fator integrante v(x) = eintp(x)dx pode ser escrito como
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eIn x 5
v(x) = x5
Multiplicando a EDO por v(x)
x5 yprime + x5 5x
y = x x5
x5 yprime + 5x4 y = x6
Observe o lado esquerdo da igualdade Nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = x5 teremos uprime = yprime e vprime = 5x 4 Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
x5 y = intx6 dx
x5 y = x7
7 + c
y = x7
7 x ndash5 + cx ndash5
Portanto y(x) = x2
7 + cx ndash5 eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
A
x isin R
Exemplo 16
Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo dydx + 4x3 y = 20x3
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x)
Identificamos p(x) = 4x3 e q(x) = 20x3
Vamos calcular a primitiva de p(x)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
165
H(x) = intp(x) dx entatildeo temos
H(x) = int4x3 dx = x 4
Escrevemos o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = ex 4
Multiplicamos a EDO por v(x)
ex 4 yprime + 4x3 ex 4 y = 20x3 ex 4
Observamos o lado esquerdo da igualdade nele devemos identificar a derivada do produto (u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = ex 4 teremos uprime = yprime e vprime = 4x3 ex 4 Entatildeo
Integramos ambos os lados da igualdade
ex 4 y = 20 intx3 ex 4 dx
A integral intx3 ex 4 dx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
e y e c
y e e c e
x x
x x x
4 4
4 4 4
20 14
5
= sdot +
= sdot sdot + sdotminus minus
Portanto y c e x= + sdot minus54
A
x isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
O exemplo a seguir traz uma aplicaccedilatildeo praacutetica de EDO no movimento retiliacuteneo uniformemente variado
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
166
Exemplo 17Sabe-se que no movimento retiliacuteneo uniformemente variado a aceleraccedilatildeo
a = dvdt eacute constante Supondo que o movimento parte do repouso e sabendo que
v = dsdt determine s(t)
ResoluccedilatildeoPartimos da primeira EDO apresentada
dvdt = a
dsdt = v
intdv = inta dt dsdt = at + v0
v = at + c1 intds = int(at + v0) dt
v(t) = at + c1 s = at 2
2 + v0t + c2
s(t) = at 2
2 + v0t + c2
Fazendo c1 = v0 onde v0 seraacute a velocidade inicialbullbull bull
v(t) = at + v0 Substituindo c2 = s0 onde s0 seraacute a posiccedilatildeo inicial
bullbull bull s(t) = at 2
2 + v0t + s0
O proacuteximo exemplo traz um problema de valor inicial (PVI) Vamos entender como se resolve um problema que apresenta uma condiccedilatildeo inicial
Exemplo 18Resolva o seguinte problema do valor inicial yprime + 2
x y = x x gt 0 y(2) = 3
ResoluccedilatildeoIdentificamos p(x) = 2
x e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = int 2x
dx = 2 In |x|
H(x) = In x 2
Escrevemos o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eIn x 2
v(x) = x 2
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
167
Multiplicamos a EDO por v(x)
x 2 yprime + x 2 2x
y = x 2 x
x 2 yprime + 2xy = x 3
Observando o lado esquerdo devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = x 2 teremos uprime = yprime e vprime = 2x Entatildeo
Integramos ambos os lados da EDO
x 2 y = intx 3 dx
x 2 y = x 4
4 + C
Portanto y(x) = x 2
4 + C
x 2
A
x isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado y(2) = 3 para encontrarmos a soluccedilatildeo particular
y = 2 2
4 + C
2 2 = 3
1 + C4
= 3
C4
= 2
C = 8
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
168
Portanto y(x) = x 2
4 + 8
x 2
A
x gt 0 eacute a soluccedilatildeo particular da EDO
Observe que a soluccedilatildeo deste problema de valor inicial eacute vaacutelida em todo intervalo ]0 +infin[ conforme a figura a seguir mostra esta soluccedilatildeo
FIGURA 54 ndash SOLUCcedilAtildeO DO PROBLEMA
FONTE O autor
Estudaremos outro tipo de equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem as chamadas equaccedilotildees diferenciais exatas onde destacamos o uso das derivadas parciais A seguir veremos a definiccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial exata e o teorema que estabelece um criteacuterio para identificar se uma EDO eacute exata
Definiccedilatildeo 151 Uma expressatildeo diferencial M(xy) dx + N(xy) dy eacute uma diferencial exata em uma regiatildeo R do plano xy se ela corresponde agrave diferencial total de alguma funccedilatildeo F(xy) ou seja dF= M(xy) dx + N(xy) dy
Teorema 151 (Criteacuterio para diferencial exata) Sejam M(xy) e N(xy) contiacutenuas e com derivadas parciais de primeira ordem contiacutenuas em uma regiatildeo R (retangular) definida por a lt x lt b e c lt y lt d Entatildeo uma condiccedilatildeo necessaacuteria e suficiente para que M(xy) dx + N(xy) dy seja uma diferencial exata eacute partM
party = partN
partx
5 EQUACcedilOtildeES EXATAS
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
169
51 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
bull Verificar se a equaccedilatildeo M(xy) dx + N(xy) dy eacute exata
bull Se for exata entatildeo existe uma funccedilatildeo f para a qual partf partx
= M(xy)
bull Integrando a equaccedilatildeo exata em relaccedilatildeo a variaacutevel x (mantendo o y constante) para encontrar f obtemos f (xy) = intM(xy) dx + o (y) onde a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) eacute a constante de integraccedilatildeo
bull Agora precisamos encontrar a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) Derive a funccedilatildeo f (xy) em relaccedilatildeo a variaacutevel y encontrada anteriormente e supomos que partf
party = N(xy) Da
comparaccedilatildeo determina-se oprime(y)
bull Finalmente integramos oprime (y) em relaccedilatildeo a y e substituiacutemos o valor encontrado para o (y) na funccedilatildeo f (xy)
bull A soluccedilatildeo eacute a funccedilatildeo impliciacuteta f (xy) = c
Exemplo 19Resolva a equaccedilatildeo diferencial (x+y)dx + (e y + x)dy = 0
ResoluccedilatildeoEm primeiro lugar precisamos verificar se esta equaccedilatildeo eacute exata
Sendo M(xy) = x + y e N(xy) = e y + x verificaremos se partM party
= partN partx
Como partM party
= 1 e partN partx
= 1 a EDO eacute exata
Entatildeo existe f (xy) tal que partf partx = x + y
Vamos integrar partf partx = x + y em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x (mantendo o y constante)
para encontrar f
f (xy) = int(x + y) dx
f (xy) = x 2
2 + xy + o (y)
Para encontrar a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivemos a funccedilatildeo f (xy) em relaccedilatildeo agrave y
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
170
Comparando a derivada parcial encontrada partf party
= x + oprime (y) com N(xy) partf party
= N(xy)
x + oprime (y) = e y + x daiacute temos
oprime (y) = e y
Agora vamos integrar oprime (y) = e y Entatildeo
intoprime(y)dy = int e dyy
o (y) = e y + c
Voltando na f (xy) e substituindo o (y) temos
f (xy) = x 2
2 + xy + e y + c c isin R
Definiccedilatildeo 152 Chamamos de curvas integrais as vaacuterias funccedilotildees (soluccedilotildees) de uma EDO
Exemplo 20Encontre as curvas integrais de 2xy dx + (x 2 ndash 1) dy = 0
ResoluccedilatildeoSendo M (xy) = 2xy e N (xy) = x 2 ndash 1 temos
partM party
= 2x = partN partx
Assim a EDO eacute exata
Entatildeo existe f (xy) tal que partf partx
= 2xy
Integrando partf partx
= 2xy em relaccedilatildeo a x obtemos
f (xy) = int2xy dx
f (xy) = x 2 y + o (y)
Agora encontraremos a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivando f (xy) em y
partf party
= x 2 + oprime (y)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
171
Comparamos a derivada parcial encontrada acima com N (xy) partf party
= N (xy)
x 2 + oprime (y) = x 2 ndash 1 daiacute
oprime (y) = ndash1
Agora integramos oprime (y) = ndash1 Entatildeo
o (y) = ndash intdy
o (y) = ndash y + c
Logo f (xy) = x 2 y ndash y + c c isin R
Nos exemplos 19 e 20 a funccedilatildeo f (xy) estaacute na forma impliacutecita Escreva a funccedilatildeo na forma expliacutecita y = f (x)
Exemplo 21Resolva a EDO (y cos x + 2x e y) dx + (sen x + x 2 e y ndash 1) dy = 0
ResoluccedilatildeoVerifiquemos se a equaccedilatildeo diferencial eacute exata
Sendo M (xy) = y cos x + 2x e y e N (xy) = sen x + x 2 e y ndash 1 temos
partM party = cos x + 2x e y =
partN partx
Assim a EDO eacute exata
Logo existe f (xy) tal que partf partx
= y cos x + 2x e y
Integrando partf partx
= y cos x + 2x e y em relaccedilatildeo agrave x obtemos
f (xy) = int(y cos x + 2x e y) dx
f (xy) = y sen x + x 2 e y + o (y)
Agora encontraremos a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivando f (xy) em y
UNI
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
172
partf party
= sen x + x 2 e y + oprime (y)
Comparemos a derivada parcial encontrada partf party
= sen x + x 2 e y + oprime (y) com N (xy)
sen x + x 2 e y + oprime (y) = sen x + x 2 e y ndash 1
oprime (y) = ndash 1
Entatildeo
o (y) = ndash intdy
o (y) = ndashy + c c isin R
Logo f (xy) = y sen x + x 2 e y ndash y + c
Exemplo 22
Verifique se a equaccedilatildeo (x In y ndash e ndashxy) dx + 1y
+ y In x dy = 0 eacute exata
ResoluccedilatildeoSejam M (xy) = x In y ndash e ndashxy e N (xy) = 1
y + y In x
Entatildeo partM party
= x middot 1y
+ xe ndashxy e partN partx
= y middot 1x
vsAssim partM party
ne partN partx
Portanto a EDO natildeo eacute exata
OBSERVACcedilAtildeO Para resolver esta equaccedilatildeo diferencial eacute preciso utilizar um outro procedimento que natildeo veremos neste caderno mas que vocecirc pode encontrar por exemplo em BOYCE W DI PRIMA R C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores de contorno 7ordf Ed Satildeo Paulo LTC 2002
UNI
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
173
Exemplo 23Encontre a curva integral da equaccedilatildeo (2x sen y + e x cos y) dx + (x 2 cos y ndash e x
sen y) dy = 0 que passa pelo ponto y (0) = p4
ResoluccedilatildeoO enunciado do exemplo 23 nos traz um problema de valor inicial para
uma EDO exata
Verificaremos se a EDO eacute exata
Sendo M (xy) = 2x sen y + e x cos y e N (xy) = x 2 cos y ndash e x sen y temos
partM party
= 2x cos y ndash e x sen y = partN partx
Assim a EDO eacute exata
Como a equaccedilatildeo eacute exata entatildeo existe f (xy) tal que partf partx
= 2x sen y + e x cos y
Integrando partf partx
= 2x sen y + e x cos y em relaccedilatildeo a x obtemos
f (xy) = int(2x sen y + e x cos y) dx
f (xy) = x 2 sen y + e x cos y + o (y)
partf party
= x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y)
Comparamos a derivada parcial encontrada partf party
= x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y) com N (xy)
x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y) = x 2 cos y ndash e x sen y
oprime (y) = 0
Agora integramos oprime (y) = 0 Entatildeo
o (y) = c
Logo f (xy) = x 2 sen y + e x cos y + c c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado y (0) =
p4
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
174
x 2 sen y + e x cos y = c
02 sen p4 + e 0 cos
p4 = c
c = radic22
Portanto x 2 sen y + e x cos y = radic22 eacute a soluccedilatildeo particular da EDO ou seja a
curva integral que passa pelo ponto y (0) = p4
Caro(a) acadecircmico(a) Se depois da leitura do Toacutepico 1 e da realizaccedilatildeo dos exerciacutecios ainda tiver duacutevidas procure esclarececirc-las antes de iniciar o estudo do Toacutepico 2 Bons estudos
NOTA
175
Neste toacutepico estudamos as Equaccedilotildees Diferenciais de Primeira Ordem
bull Iniciamos conhecendo os termos e conceitos relativos agraves equaccedilotildees diferenciais e a partir daiacute estudamos trecircs tipos de equaccedilotildees diferenciais
bull O primeiro tipo de equaccedilatildeo estudada foi a Separaacutevel cuja forma-padratildeo eacute dada
por yprime = p(x) middot q(y) ou dydx
= p(x) middot q(y) ou yprime q(y) = p(x) A resoluccedilatildeo deste tipo de
EDO eacute feita atraveacutes da separaccedilatildeo das variaacuteveis e em seguida faz-se a integraccedilatildeo da igualdade
bull O segundo tipo de equaccedilatildeo estudada foi a Equaccedilatildeo Diferencial Linear de Primeira
Ordem que tem a forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) ou dydx
+ p(x) y = q(x) Para a sua
resoluccedilatildeo utilizamos o fator integrante v(x) = eH(x) onde H(x) = intp(x)dx
bull E o terceiro tipo de equaccedilatildeo diferencial estudada foi a Equaccedilatildeo Exata cuja forma-padratildeo eacute expressa por M (xy) dx + N (xy) dy O procedimento de resoluccedilatildeo requer
que trabalhemos com partf partx
= M (xy) e partf party
= N (xy) seguindo todo o procedimento
jaacute estudado
RESUMO DO TOacutePICO 1
176
Nos problemas 1 e 2 resolva por separaccedilatildeo de variaacuteveis as equaccedilotildees diferenciais dadas
1 dydx
= (x + 1)2
2 dydt
= t 2
y 2
Nos problemas 3 e 4 resolva as equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem dadas
3 dydx
ndash 3x
y = x
4 dydx
+ y = e 3x
Nos problemas 5 e 6 resolva as equaccedilotildees diferenciais exatas
5 (5x + 4y)dx + (4x ndash 8y3)dy = 0
6 (sen y ndash y sen x)dx + (cos x + x cos y)dy = 0
Nas EDO a seguir identifique o tipo de EDO e encontre a funccedilatildeo desconhecida
7 yprime + 3x 2 y = x 2
8 dydx
= 3x 2 + 4x + 2
2 (y ndash 1) y (0) = 1
9 (3x 2 ndash 2xy + 2) + (6y 2 ndash x 2 + 3) yprime = 0
10 dydx
= e 3x + 2y
AUTOATIVIDADE
177
TOacutePICO 2
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE
PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI
21 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
No Toacutepico 2 estudaremos mais tipos de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem tais como Equaccedilotildees de Bernoulli e Equaccedilotildees homogecircneas A resoluccedilatildeo destas equaccedilotildees requer algum tipo de substituiccedilatildeo
Definiccedilatildeo 221 Uma equaccedilatildeo de primeira ordem da forma yprime + p(x) y = q(x) y n onde p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees definidas e contiacutenuas em algum intervalo I e n eacute um nuacutemero real tal que n ne 0 e n ne 1 eacute chamada de equaccedilatildeo de Bernoulli
bull Escrever a equaccedilatildeo na forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) y n
bull Identificar as funccedilotildees p(x) q(x) e o valor de n
bull Indicar a substituiccedilatildeo que seraacute feita e aplicar a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
bull Agora a EDO eacute uma linear de primeira ordem sendo uprime + p(x) u = q(x)
bull Calcular o fator integrante e obter a soluccedilatildeo
178
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
A equaccedilatildeo de Bernoulli y + p(x) y = q(x) y n que embora seja de primeira ordem e natildeo linear (quando n ne 1) se transforma em uma equaccedilatildeo diferencial linear atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y 1 ndash n
Vamos mostrar como que se chega agrave foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
Seja a equaccedilatildeo de Bernoulli dada por
yprime + p(x) y = q(x) y n
Multipliquemos a equaccedilatildeo por u = y ndashn
yprime y ndashn + p(x) yy ndashn = q(x) yn y ndashn
yprime y ndashn + p(x) y 1 ndash n = q(x) Vamos fazer uma substituiccedilatildeo u = y 1 ndash n Daiacute
uprime = (1 ndash n) y ndashn yprime
yprime = uprime
(1 ndash n) y ndashn
Retornando agrave equaccedilatildeo e fazendo as substituiccedilotildees obtemos
uprime(1 ndash n)
+ p(x) u = q(x)
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
Exemplo 1Encontre as curvas integrais para a equaccedilatildeo x dy
dx + y = x 2 y 2
ResoluccedilatildeoPrimeiro precisamos escrever a EDO na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de
Bernoulli
Seja xyprime + y = x 2 y 2 Multiplicando ambos os lados da igualdade por 1x
com x ne 0 obtemos
1x
middot (xyprime + y) = 1x
middot x 2 y 2
NOTA
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
179
1x
middot xyprime + 1x
middot y = 1x
middot x 2 y 2
yprime + 1x
y = xy 2
Agora a EDO estaacute na forma yprime + p(x) y = q(x) y n e poderemos transformaacute-la numa equaccedilatildeo diferencial linear considerando u = y ndash1 e
p(x) = 1x
q(x) = x e n = 2
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 2) middot 1x
middot u = (1 ndash 2) middot x
uprime + (ndash1) 1x
u = (ndash1) x
uprime ndash 1x
u = ndashx
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 1x
dx
H(x) = ndashIn x
v(x) = e ndashIn x
v(x) = x ndash1
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash1 em ambos os lados da igualdade obtemos
x ndash1 uprime ndash 1x
x ndash1 u = ndashxx ndash1
x ndash1 u = ndash intdx
x ndash1 u = ndashx + c
u = ndashx 2 + cx
180
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash1 feita no iniacutecio
y ndash1 = ndashx 2 + cx
y = (ndashx 2 + cx)ndash1
Portanto y(x) = 1
ndashx 2 + cx c isin R
Exemplo 2Resolva a EDO yprime + 4y = 3e 2x y 4
ResoluccedilatildeoA EDO jaacute estaacute na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de Bernoulli
Entatildeo aplicamos a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x) para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash3 e
p(x) = 4 q(x) = 3e 2x e n = 4
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 4) middot 4 middot u = (1 ndash 4) middot 3e 2x
uprime + (ndash3) middot 4u = (ndash3) middot 3e 2x
uprime ndash12u = ndash9e 2x
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int(ndash12) dx
H(x) = ndash12x
v(x) = e ndash12x
Multiplicando o fator integrante v(x) = e ndash12x em ambos os membros da igualdade obtemos
e ndash12x uprime ndash 12 e ndash12x u = e ndash12x (ndash9e 2x)
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
181
e ndash12x u = int(ndash9e ndash10x) dx
Para resolver esta integral vamos aplicar o meacutetodo da substituiccedilatildeo considerando
w = ndash10x rArr dw = ndash10 dx
Entatildeo e ndash12x u = 910
intew dw
e ndash12x u = 910
ew + c
e ndash12x u = 910
e ndash10x + c
e ndash12x e12x u = 910
e ndash10x e12x + c middot e12x
u = 910
e 2x + c middot e12x
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash3 feita no iniacutecio
u = 910
e 2x + c middot e12x
y ndash3 = 910
e 2x + c middot e12x
Portanto y(x) = 910
e 2x + c middot e12x
ndash⅓
c isin R eacute soluccedilatildeo geral da EDO proposta
Exemplo 3Encontre a soluccedilatildeo geral para a equaccedilatildeo xyprime + y = ndashxy 2
ResoluccedilatildeoEscrevendo a EDO na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de Bernoulli
Seja xyprime + y = ndashxy 2 multiplicamos ambos os lados da igualdade por 1x
1x
middot xyprime + 1x
middot y = ndash 1x
xy 2
yprime + 1x
y = ndashy 2
Assim a EDO estaacute na forma yprime + p(x) y = q(x) y n
Entatildeo aplicamos a foacutermula mostrada acima para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash1
182
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
p(x) = 1x
q(x) = ndash1 e n = 2
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 2) middot 1x
middot u = (1 ndash 2) (ndash1)
uprime + (ndash1) 1x
u = (ndash1) (ndash1)
uprime ndash 1x
u = 1
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 1x
dx
H(x) = ndashIn x
v(x) = e ndashIn x
v(x) = x ndash1
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash1 na equaccedilatildeo obtemos
x ndash1 uprime ndash 1x
x ndash1 u = x ndash1
x u - x u = x-1 -2
derivada do produto
-1prime
ddx
x u = x-1 -1
x ndash1 u = int 1x
dx
x ndash1 u = In x + c
u = x In x + cx
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = u = y ndash1 feita no iniacutecio
y ndash1 = x In x + cx
Portanto y(x) = 1
x In x + cx c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 4Encontre as curvas integrais para a equaccedilatildeo yprime + 2
x y =
y 3
x 2
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
183
ResoluccedilatildeoA EDO eacute uma equaccedilatildeo de Bernoulli Entatildeo aplicamos a foacutermula uprime + (1 ndash n)
p(x) u = (1 ndash n) q(x) para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash2
p(x) = 2x
q(x) = 1x 2 e n = 3
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 3) middot 2x
middot u = (1 ndash 3) 1x 2
uprime + (ndash2) 2x
u = (ndash2) 1x 2
uprime ndash 4x
u = ndash2x ndash2
Logo obtemos uma EDO linear Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 4x
dx
H(x) = ndash 4 In x
v(x) = e ndash 4 In x
v(x) = e In x ndash 4
v(x) = x ndash 4
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash 4 na equaccedilatildeo obtemos
x ndash 4 uprime ndash 4x
x ndash 4 u = ndash 2xndash2 middot x ndash 4
x ndash4 u = ndash 2 intx ndash6 dx
x ndash4 u = ndash 2 x ndash5
ndash5 + c
x ndash4 u = 25
x ndash5 + c
x 4 middot x ndash4 u = 25
x ndash5 middot x 4 + c middot x 4
184
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
u = 25
x ndash1 + c middot x 4
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash2 feita no iniacutecio
y ndash2 = 25x
+ cx 4
Portanto c isin R satildeo curvais integrais (soluccedilotildees) da EDO
3 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS HOMOGEcircNEAS
31 FUNCcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
Vamos estudar equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem que podem ser transformadas em equaccedilotildees jaacute estudadas em seccedilotildees anteriores
Definiccedilatildeo 2311 Uma funccedilatildeo f = f (xy) eacute dita homogecircnea de grau n se substituindo-se x por λx e y por λy for verdadeira a igualdade f (λxλy) = λn f (xy) para todo real λ ne 0
Por exemplo as funccedilotildees listadas a seguir satildeo homogecircneas de graus
respectivamente trecircs um e zero f (xy) = xy 2 + x 2 y f (xy) = f (xy) = x + yx ndash 3y
Exemplo 5
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = xy 2 + x 2 y eacute homogecircnea e se for indique o grau
ResoluccedilatildeoPara mostrar que f eacute homogecircnea devemos verificar a igualdade f (λxλy)
= λn f (xy) λ isin IR
f (λxλy) = λx (λy) 2 + (λx) 2 λy
f (λxλy) = λxλ2 y 2 + λ2x 2 λy
f (λxλy) = λ3xy 2 + λ3x 2y
f (λxλy) = λ3 (xy 2 + x 2y)
f (λxλy) = λ3 f (xy)
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
185
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau 3
Exemplo 6Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = eacute homogecircnea e se for indique o
grau
Resoluccedilatildeo
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau 1
Exemplo 7Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = xy 2 + ex + y eacute homogecircnea e se for indique o grau
Resoluccedilatildeo
f (λxλy) = λx (λy) 2 + eλx + λy
f (λxλy) = λxλ2y 2 + eλx + λy
f (λxλy) = λ3xy 2 + eλ(x + y)
f (λxλy) ne λn f (xy)
Portanto a funccedilatildeo f natildeo eacute homogecircnea
186
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Exemplo 8Verifique se a funccedilatildeo f (xy) =
x + yx ndash 3y
eacute homogecircnea e se for indique o grau
Resoluccedilatildeo
f (λxλy) = λx + λy
λx ndash 3λy
f (λxλy) = λ(x + y)
λ(x ndash 3y)
f (λxλy) = x + yx ndash 3y
f (λxλy) = f (xy)
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau zero
32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
Definiccedilatildeo 2321 Uma equaccedilatildeo diferencial homogecircnea eacute uma equaccedilatildeo da forma
yprime = f (xy)
onde f = f (xy) eacute uma funccedilatildeo homogecircnea de grau zero ou seja
f (λxλy) = f (xy)
A
λ ne 0
Definiccedilatildeo 2322 As equaccedilotildees diferenciais homogecircneas podem ser transformadas em equaccedilotildees do tipo M (xy) dx + N (xy) dy = 0 onde M e N satildeo funccedilotildees homogecircneas do mesmo grau
Isto quer dizer que a equaccedilatildeo M (xy) dx + N (xy) dy = 0 seraacute homogecircnea se M (λxλy) = λn M (xy) λ isin IR e N (λxλy) = λn N (xy) λ isin IR
Exemplo 9Verifique se a equaccedilatildeo (x 2 ndash y 2) dx ndash 5xy dy = 0 eacute homogecircnea
ResoluccedilatildeoTemos que verificar se M (λxλy) = λn M (xy) e N (λxλy) = λn N (xy) tecircm
mesmo grau
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
187
321 Meacutetodo de resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
Seja uma EDO homogecircnea de primeira ordem vejamos como proceder para resolver esta equaccedilatildeo diferencial homogecircnea
O primeiro passo eacute colocar a equaccedilatildeo na forma dydx
= g yx onde g eacute uma
funccedilatildeo contiacutenua de uma uacutenica variaacutevel
Fazendo v = yx entatildeo y = vx e
dydx
= x dvdx
+ v e g yx fica g (v)
Entatildeo a equaccedilatildeo pode ser escrita como
x dvdx
+ v = g (v)
que pode ser reescrita na forma
dvg (v) ndash v
= dxx
Note que essa equaccedilatildeo eacute separaacutevel Entatildeo podemos resolvecirc-la como uma equaccedilatildeo diferencial separaacutevel e escrever a soluccedilatildeo em funccedilatildeo de x e de y
substituindo v por yx
M (xy) = x 2 ndash y 2 N (xy) = ndash5xy
M (λxλy) = (λx) 2 ndash (λy) 2 N (λxλy) = ndash5 (λx) (λy)
M (λxλy) = λ2 x 2 ndash λ2 y 2 N (λxλy) = ndash5 λ2xy
M (λxλy) = λ2 (x 2 ndash y 2) N (λxλy) = λ2 (ndash5xy)
M (λxλy) = λ2 M (xy) N (λxλy) = λ2 N (xy)
Portanto a equaccedilatildeo (x 2 ndash y 2) dx ndash 5xy dy = 0 eacute homogecircnea
Pode-se resolver uma equaccedilatildeo diferencial homogecircnea transformando-a em uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis fazendo uma substituiccedilatildeo adequada
188
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Vejamos outra situaccedilatildeo seja uma equaccedilatildeo homogecircnea dada na forma M
(xy) dx + N (xy) dy = 0
Entatildeo M (xy) dx = -N (xy) dy rArr dydx
= M (xy)N (xy)
Como a equaccedilatildeo eacute homogecircnea M e N tecircm o mesmo grau de homogeneidade
n Entatildeo se dividirmos M e N por λn transformaremos ndash M (xy)N (xy)
numa funccedilatildeo do
tipo dydx
= g yx
Daiacute segue o mesmo procedimento acima
Exemplo 10Mostre que a equaccedilatildeo diferencial yprime =
3x 2 + y 2
xy eacute homogecircnea e encontre sua
soluccedilatildeo geral
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo eacute homogecircnea pois supondo λ ne 0
f (λxλy) = 3(λx) 2 + (λy) 2
(λx) (λy)
f (λxλy) = λ2 (3x 2 + y 2)
λ2 (xy)
f (λxλy) = 3x 2 + y 2
xy
f (λxλy) = f (xy)
Definindo v = yx e substituindo na equaccedilatildeo diferencial temos
Como y = vx entatildeo dydx = x
dvdx + v
Logo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
3 + v 2
v
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
189
x dvdx =
3 + v 2
v ndash v
x dvdx =
3v
v dv = 3x
dx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
intv dv = int 3x
dx
v 2
2 = 3 In |x| + c c isin R
v 2 = 6 In |x| + 2c c isin R
Substituindo v por yx e k = 2c temos
y 2
x 2 = 6 In |x| + k k isin R
Logo a soluccedilatildeo geral tem a forma y 2 = 6x 2 In |x| + x2k k isin R
Exemplo 11Mostre que a equaccedilatildeo yprime =
2y 4 + x 4
xy 3 eacute homogecircnea e resolva a equaccedilatildeo diferencial
ResoluccedilatildeoVamos mostrar que a EDO eacute homogecircnea de grau zero supondo λ isin IR
f (λxλy) = 2(λy) 4 + (λx) 4
(λx) (λy) 3
f (λxλy) = 2λ4 y 4 + λ4 x 4
λ4xy 3
f (λxλy) = λ4 (2y 4 + x 4)
λ4xy 3
f (λxλy) = f (xy)
Definindo v = yx e substituindo na equaccedilatildeo diferencial temos
190
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
dydx =
2y 4 + x 4
xy 3
dydx =
2v 4 + 1v 3
Como y = vx entatildeo dydx = x
dvdx + v
Logo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
2v 4 + 1v 3
x dvdx =
2v 4 + 1v 3 ndash v
x dvdx =
v 4 + 1v 3
v 3
v 4 + 1 dv = dxx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
intv 3
v 4 + 1 dv = intdxx
14
In (v 4 + 1) = In |x| + c c middot R
In (v 4 + 1) = 4 In |x| + 4c
eIn (v 4 + 1) = e 4 In |x| + 4c
v 4 + 1 = e In x 4 + 4c
v 4 + 1 = x 4 e 4c c isin R
Fazendo k = e 4c temos
v 4 + 1 = kx 4
Isso nos daacute
v 4 = kx 4 ndash 1 k middot R
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
191
Substituindo v por yx temos
y 4
x 4 = kx 4 ndash 1
Logo y 4 = kx 8 ndash x 4 k isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 12
Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo homogecircnea yprime = y 2 ndash x 2
2xy
ResoluccedilatildeoSejam y = vx e
dydx = x
dvdx + v A EDO natildeo linear homogecircnea assume a forma
dydx =
y 2 ndash x 2
2xy
dydx =
v 2 ndash 12v
Entatildeo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
v 2 ndash 12v
x dvdx =
v 2 ndash 12v ndash v
x dvdx =
ndashv 2 ndash 12v
2vv 2 + 1
dv = ndash dxx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
int2v
v 2 + 1 dv = ndashintdxx
In |v 2 + 1| = ndashIn |x| + c c isin R
In |v 2 + 1| + In |x| = c
192
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
eIn |v 2 + 1| + In |x| = e c
eIn |v 2 + 1| e In |x| = e c
|v 2 + 1||x| = ec
Substituindo v por yx e k = ec temos
Portanto y 2
x + x = k k isin R eacute soluccedilatildeo da EDO
193
Neste toacutepico vimos outros dois tipos de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem
bull As equaccedilotildees de Bernoulli e as equaccedilotildees exatas
bull A diferenccedila das equaccedilotildees estudadas no toacutepico anterior eacute que nestas precisamos fazer alguma substituiccedilatildeo para resolvecirc-las
bull A equaccedilatildeo linear de Bernoulli tem a forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) y n A substituiccedilatildeo que temos que fazer eacute dada por u = y 1ndashn e utilizamos a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x) Com isso a equaccedilatildeo eacute reduzida a uma equaccedilatildeo linear
bull A outra equaccedilatildeo estudada foi a equaccedilatildeo homogecircnea com forma-padratildeo M (xy)
dx + N (xy) dy = 0 onde M e N satildeo funccedilotildees homogecircneas do mesmo grau
Para obter a soluccedilatildeo devemos escrever a EDO na forma dydx
= g yx e fazer a
substituiccedilatildeo v = yx
RESUMO DO TOacutePICO 2
194
AUTOATIVIDADE
Nos problemas 1 e 2 resolva as equaccedilotildees diferenciais lineares de Bernoulli
1 x dydx + y =
1y 2
2 yprime = y (xy 3 ndash 1)
3 Resolva a equaccedilatildeo diferencial homogecircnea (x ndash y) dx + x dy = 0
Nas EDO a seguir identifique o tipo de EDO e encontre a funccedilatildeo desconhecida
4 xy 2 dydx = y 3 ndash x 3 y (1) = 2
5 x 2 dydx + y 2 = xy
6 (x 2 + y 2) dx + xy dy = 0
195
TOacutePICO 3
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES
DE SEGUNDA ORDEM
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
Finalizamos a unidade com o Toacutepico 3 as equaccedilotildees diferenciais lineares de segunda ordem Aqui estudaremos apenas as equaccedilotildees lineares homogecircneas com coeficientes constantes Estas equaccedilotildees satildeo de resoluccedilatildeo mais simples devido a um procedimento de substituiccedilatildeo por uma equaccedilatildeo de segundo grau chamada de equaccedilatildeo caracteriacutestica ou auxiliar
Definiccedilatildeo 321 Uma equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem eacute da forma
a1 (x) d 2 y
dx 2 + a2 (x) dy
dx + a3 (x)y = o (x)
onde os coeficientes a1 (x) a2
(x) a3 (x) satildeo contiacutenuos e o (x) tambeacutem eacute uma
funccedilatildeo contiacutenua em algum intervalo I
Definiccedilatildeo 322 Uma equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem da forma
a1 (x) d 2 y
dx 2 + a2 (x) dy
dx + a3 (x)y = 0
eacute chamada de homogecircnea onde os coeficientes a1 (x) a2
(x) a3 (x) satildeo
contiacutenuos em algum intervalo I
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
196
Para as equaccedilotildees lineares homogecircneas eacute vaacutelido o princiacutepio da superposiccedilatildeo que diz que se y
1 (x) e y
2 (x) satildeo soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial entatildeo
y (x) = c1 y
1 (x) + c
2 y
2 (x)
tambeacutem o eacute para todas as constantes c1 e c
2 A expressatildeo colocada anteriormente eacute
chamada combinaccedilatildeo linear de y1 (x) e y
2 (x)
Isso eacute o que diz o teorema da superposiccedilatildeo onde a soma ou superposiccedilatildeo de duas ou mais soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo
Teorema 321 (Princiacutepio da superposiccedilatildeo ndash Equaccedilotildees Homogecircneas) Se y1
(x) e y2 (x) satildeo soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea em algum intervalo I
entatildeo a combinaccedilatildeo linear
y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2
(x)
onde c1 e c2 satildeo constantes arbitraacuterias eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo no intervalo I
Definiccedilatildeo 323 Para as equaccedilotildees diferenciais lineares homogecircneas fixadas as soluccedilotildees y1
(x) e y2 (x) definimos o wronskiano dessas soluccedilotildees pelo determinante
Joacutezef Maria Wronski (1778-1853) foi um matemaacutetico polonecircs O wronskiano eacute definido como um determinante cuja primeira linha eacute ocupada pelas funccedilotildees e as linhas seguintes satildeo formadas pelas suas derivadas ateacute a ordem n ndash 1 E o wronskiano pode ser utilizado como um teste de independecircncia linear para as soluccedilotildees das EDOs
Suponha que y1 (x) e y2
(x) sejam duas soluccedilotildees Entatildeo a combinaccedilatildeo linear dessas duas soluccedilotildees eacute uma soluccedilatildeo geral dada por
y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2
(x)
NOTA
UNI
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
197
Derivando y (x) temos
yprime (x) = c1 yprime 1 (x) + c2 yprime
2 (x)
Substituindo-se x = x 0 nas equaccedilotildees obtemos o sistema de equaccedilotildees
y (x0) = c1 y1 (x0) + c2 y2
(x0)yprime (x0) = c1 yprime 1
(x0) + c2 yprime 2 (x0)
que pode ser escrito na forma A bull X = B em que
Logo o determinante da matriz A leva o nome de Wronskiano e eacute denotado por
W (y1 y2) (t) = det
Exemplo 1As funccedilotildees y1(x) = e 5x e y2(x) = e ndash 5x satildeo ambas soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial
linear homogecircnea yprimeprime ndash 25y = 0 no intervalo ]ndashinfin infin[ Verifique que o wronskiano eacute diferente de zero e escreva a soluccedilatildeo da EDO
ResoluccedilatildeoSejam y1(x) = e 5x e y2(x) = e ndash 5x Precisamos derivar as funccedilotildees para calcular o
wronskiano
yprime1(x) = 5e 5x e yprime2(x) = ndash5e ndash 5x entatildeo
W(x) = ndash5e ndash 5x middot e 5x ndash 5e 5x middot e ndash 5x = ndash 10 ne 0
W(x) =
Conforme o teorema acima a soluccedilatildeo dessa EDO tem a forma y (x) = c1 y1
(x) + c2 y2 (x)
Entatildeo y (x) = c1 e 5x + c2 e ndash 5x
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
198
Teorema 322 Sejam y1 (x) e y2
(x) soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea em algum intervalo I Entatildeo o conjunto de soluccedilotildees seraacute linearmente independente em I se e somente se W (x) ne 0 Ax isin I
Em resumo do que vimos sobre o wronskiano podemos concluir para que y1 (x)
e y2
(x) formem um conjunto fundamental de soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea basta que o wronskiano W (x) ne 0
A
x isin I
Exemplo 2Mostre que y1
(t) = t frac12 e y2 (t) = t ndash 1 formam um conjunto fundamental de
soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea 2t 2 yprimeprime + 3typrime ndash y = 0 no intervalo ]0 infin[
ResoluccedilatildeoPrecisamos verificar primeiro se y1
(t) e y2 (t) satildeo soluccedilotildees da EDO
Se y1 (t) = t frac12 entatildeo yprime1
(t) = 12
t ndash frac12 e yprimeprime1 (t) = -
14t- 32
Se y2 (t) = t ndash 1 entatildeo yprime2
(t) = ndasht ndash 2 e yprimeprime2 (t) = 2t ndash 3
Substituindo y1 (t) e suas derivadas na EDO temos
2t - 14
t + 3t 12
t -t = 0
- 12
t + 32
t -t = 0
2 - -32
12
12
12
12
12
Portanto y1 (t) eacute soluccedilatildeo da EDO
Agora substituindo y2 (t) e suas derivadas na EDO temos
2t 2 (2t ndash 3) + 3t (ndash t ndash 2) ndash t ndash 1 = 0
4t ndash 1 ndash 3t ndash 1 ndash t ndash 1 = 0
Portanto y2 (t) eacute soluccedilatildeo da EDO
Para que as funccedilotildees y1 (t) e y2
(t) formem um conjunto fundamental de soluccedilotildees
NOTA
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
199
da EDO pelos teoremas anteriores basta verificarmos que o wronskiano eacute diferente de zero para algum t gt 0 Assim
W (x) = ndasht ndash 3 2 ndash 12
t ndash 3 2 = ndash 32
t ndash 3 2 ne 0
Logo y1 (t) = t frac12 e y2
(t) = t ndash 1 formam um conjunto fundamental de soluccedilotildees da equaccedilatildeo 2t 2 yprimeprime + 3typrime ndash y = 0 Assim y (t) = c1t frac12 + c2t ndash 1
3 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ordf ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES
Vamos considerar apenas equaccedilotildees diferenciais da forma
a d 2 ydx 2 + b dy
dx + cy = 0
onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 Para esta equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea existem valores constantes de λ tais que y = eλx eacute uma soluccedilatildeo
Substituindo-se y = eλx dydx = λeλx e d
2 ydx 2 = λ2eλx na EDO obtemos
aλ2eλx + bλeλx + eλx = 0
eλx (aλ2+ bλ + c) = 0
Como eλx ne 0 entatildeo y = eλx eacute soluccedilatildeo de a d 2 ydx 2 + b dy
dx + cy = 0 se e somente se λ eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo aλ2+ bλ + c = 0
Definiccedilatildeo 331 A equaccedilatildeo aλ2+ bλ + c = 0 eacute chamada de equaccedilatildeo caracteriacutestica ou equaccedilatildeo auxiliar da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
200
31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
A natureza das soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea a d 2 y
dx 2 + b
dydx + cy = 0 depende da natureza das raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica correspondente
Para escrever as soluccedilotildees das equaccedilotildees diferenciais teremos trecircs casos a considerar Vamos empregar o teorema apresentado a seguir
Teorema 3311 Dada a equaccedilatildeo ayprimeprime + byprime + cy = 0 formamos a equaccedilatildeo caracteriacutestica aλ2+ bλ + c = 0
i) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes reais distintas λ1 e λ2 entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2eλ2x
ii) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem apenas uma raiz real λ entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2xeλx ou
y = (C1 + C2x) eλx
iii) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes complexas λ1 = α + bi e λ2 = α ndash bi entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eαx cos bx + c2eαx sen bx ou
y = eαx (c1 cos bx + c2 sen bx)
As raiacutezes λ1 e λ
2 da equaccedilatildeo caracteriacutestica satildeo chamados de autovalores
Exemplo 3Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 4yprime + 4y = 0
ResoluccedilatildeoConforme vimos acima devemos escrever a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 4λ + 4 = 0 e encontrar as suas raiacutezes
NOTA
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
201
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 42
λ = ndash 2
Assim a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1endash2x + c2xendash2x
Exemplo 4Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime ndash 15y = 0 Depois encontre a
soluccedilatildeo particular que satisfaz as condiccedilotildees iniciais y (0) = 0 e yprime (0) = ndash1
ResoluccedilatildeoResolvendo a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ ndash 15 = 0 temos
λ = ndash 2 plusmn 8
2
λ1 = ndash 2 ndash 8
2 = ndash 5
λ2 = ndash 2 + 8
2 = 3
A soluccedilatildeo geral eacute y = c1endash 5x + c2e3x
Substituindo as condiccedilotildees iniciais y (0) = 0 e yprime (0) = ndash1 na soluccedilatildeo geral obtemos
y = c1endash 5x + c2e3x e y (0) = 0 entatildeo
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
202
c1endash 5 bull 0 + c2e3 bull 0 = 0
c1 + c2 = 0
Agora yprime = ndash 5c1endash 5x + 3c2e3x e yprime (0) = ndash1 entatildeo
ndash 5c1endash 5 bull 0 + 3c2e3 bull 0 = ndash1
ndash 5c1 + 3c2= ndash1
Resolvendo o sistema c1 + c2 = 0ndash 5c1 + 3c2= ndash1
encontramos c1 = 18
e c2 = ndash 18
Portanto a soluccedilatildeo que satisfaz as condiccedilotildees iniciais eacute dada por
y = 18
endash 5x ndash 18
e3x
Exemplo 5Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime + 5y = 0
ResoluccedilatildeoConforme vimos acima devemos escrever a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ + 5 = 0 e encontrar as suas raiacutezes
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 2 plusmn 4i
2
λ = ndash 1 plusmn 2i
λ1 = ndash 1 ndash 2i
λ2 = ndash 1 + 2i
Assim pelo teorema a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = endashx (c1 cos 2x + c2 sen 2x)
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
203
Exemplo 6Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime + y = 0
ResoluccedilatildeoResolvemos a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ + 1 = 0
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 22
λ = ndash1
Assim a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1endashx + C2 xendashx
No graacutefico a seguir (Figura a seguir) estatildeo algumas soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial yprimeprime + 2yprime + y = 0
FIGURA 55 ndash ALGUMAS SOLUCcedilOtildeES DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
FONTE O autor
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
204
Exemplo 7Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 12y = 0
ResoluccedilatildeoResolvemos a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 12 = 0 temos
λ2 = ndash12
λ = plusmn radicndash12
λ = plusmn radic12i
λ = plusmn radic22 bull 3i
λ = plusmn 2 radic3i
λ1 = 2 radic3i
λ2 = ndash2 radic3i
Daiacute temos que α = 0 e b = 2 radic3
y = c1e0 bull x cos (2 radic3 x) + c2e0 bull x sen (2 radic3 x)
Portanto a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1 cos (2 radic3 x) + c2 sen (2 radic3 x)
LEITURA COMPLEMENTAR
Equaccedilotildees Diferenciais como Modelos Matemaacuteticos
MODELOS MATEMAacuteTICOS Eacute frequentemente desejaacutevel descrever o comportamento de algum sistema ou fenocircmeno da vida real em termos matemaacuteticos quer sejam eles fiacutesicos socioloacutegicos ou mesmo econocircmicos A descriccedilatildeo matemaacutetica de um sistema ou fenocircmeno chamada de modelo matemaacutetico eacute constituiacutedo levando-se em consideraccedilatildeo determinadas metas Por exemplo talvez queiramos compreender os mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populaccedilotildees de animais nesse sistema ou datar foacutesseis por meio da anaacutelise do decaimento radioativo de uma substacircncia que esteja no foacutessil ou no extrato no qual foi descoberta
A construccedilatildeo de um modelo matemaacutetico de um sistema comeccedila com
(i) a identificaccedilatildeo das variaacuteveis responsaacuteveis pela variaccedilatildeo do sistema Podemos a princiacutepio optar por incorporar todas essas variaacuteveis no modelo Nesta capa estamos especificando o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
205
A seguir
(ii) elaboramos um conjunto de hipoacuteteses razoaacuteveis ou pressuposiccedilotildees sobre o sistema que estamos tentando descrever Essas hipoacuteteses deveratildeo incluir tambeacutem quaisquer empiacutericas aplicaacuteveis ao sistema
Para alguns propoacutesitos pode ser perfeitamente razoaacutevel nos contentarmos com um modelo de baixa resoluccedilatildeo Por exemplo vocecirc provavelmente jaacute sabe que nos cursos baacutesicos de Fiacutesica a forccedila retardadora do atrito com o ar eacute agraves vezes ignorada na modelagem do movimento de um corpo em queda nas proximidades da superfiacutecie da Terra mas se vocecirc for um cientista cujo trabalho eacute predizer precisamente o percurso de um projeacutetil de longo alcance teraacute de levar em conta a resistecircncia do ar e outros fatores como curvatura da Terra
Como as hipoacuteteses sobre um sistema envolvem frequentemente uma taxa de variaccedilatildeo de uma ou mais das variaacuteveis a descriccedilatildeo matemaacutetica de todas essas hipoacuteteses pode ser uma ou mais equaccedilotildees envolvendo derivadas Em outras palavras o modelo matemaacutetico pode ser uma equaccedilatildeo diferencial ou sistema de equaccedilotildees diferenciais
Depois de formular um modelo matemaacutetico que eacute uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciais estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvecirc-los Se pudermos resolvecirc-lo julgaremos o modelo razoaacutevel se suas soluccedilotildees forem consistentes com dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema
Poreacutem se as prediccedilotildees obtidas pela soluccedilatildeo forem pobres poderemos elevar o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo ou levantar hipoacuteteses alternativas sobre o mecanismo de mudanccedila no sistema As etapas do processo de modelagem satildeo entatildeo repetidas conforme disposto no seguinte diagrama
FIGURA 56 ndash DIAGRAMA
HIPOacuteTESES
COMPARE AS PREDICcedilOtildeES DO
MODELO COM OS FATOS CONHECIDOS
FORMULACcedilAtildeO MATEMAacuteTICA
OBTENHA AS SOLUCcedilOtildeES
Expresse as hipoacuteteses em termos de equaccedilotildees
diferenciais
Exponha as prediccedilotildees do modelo (por exemplo
graficamente)
Resolva as EDsSe necessaacuterio altere as hipoacuteteses ou aumente a
resoluccedilatildeo do modelo
FONTE O autor
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
206
Naturalmente aumentando a resoluccedilatildeo aumentaremos a complexidade do modelo matemaacutetico e assim a probabilidade de natildeo conseguirmos obter uma soluccedilatildeo explicita
Um modelo matemaacutetico de um sistema fiacutesico frequentemente envolve a variaacutevel tempo t Uma soluccedilatildeo do modelo oferece entatildeo o estado do sistema em outras palavras os valores da variaacutevel (ou variaacuteveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado presente e futuro
DINAcircMICA POPULACIONAL Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio da matemaacutetica foi feita pelo economista inglecircs Thomas Malthus em 1978 Basicamente a ideia por traacutes do modelo malthusiano eacute a hipoacutetese de que a taxa segundo a qual a populaccedilatildeo de um paiacutes cresce em um determinado instante eacute proporcional agrave populaccedilatildeo total do paiacutes naquele instante Em outras palavras quanto mais pessoas houver em um instante t mais pessoas existiratildeo no futuro
Em termos matemaacuteticos se P(t) for a populaccedilatildeo no instante t entatildeo essa hipoacutetese pode ser expressa por
dPdt infin P ou
dPdt = k middot P (1)
onde k eacute uma constante de proporcionalidade Esse modelo simples embora natildeo leve em conta muitos fatores que podem influenciar a populaccedilatildeo humana tanto em seu crescimento quanto em seu decliacutenio (imigraccedilatildeo e emigraccedilatildeo por exemplo) natildeo obstante resulta ser razoavelmente preciso na previsatildeo da populaccedilatildeo dos Estados Unidos entre os anos de 1970 e 1980 As populaccedilotildees que crescem agrave taxa descriccedilatildeo por (1) satildeo raras entretanto (1) eacute ainda usada para modelar o crescimento de pequenas populaccedilotildees em um curto intervalo de tempo (crescimento de bacteacuterias em placas de Petri por exemplo)
FONTE Zill (2003 p 22-24)
207
Neste toacutepico vimos
bull A equaccedilatildeo diferencial na forma-padratildeo a d 2 y
dx 2 + b dydx + cy = 0 A sua resoluccedilatildeo se
resume em encontrar as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau aλ2+ bλ + c = 0 Apoacutes encontrar as raiacutezes da equaccedilatildeo aplica-se o teorema a seguir
bull Teorema 3311 Dada a equaccedilatildeo ayprimeprime + byprime + cy = 0 formamos a equaccedilatildeo caracteriacutestica aλ2+ bλ + c = 0
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes reais distintas λ1 e λ2 entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2eλ2x
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem apenas uma raiz real λ entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2xeλx ou
y = (C1 + C2x) eλx
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes complexas λ1 = α + bi e λ2 = α ndash bi entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eαx cos bx + c2eαx sen bx ou
y = eαx (c1 cos bx + c2 sen bx)
RESUMO DO TOacutePICO 3
208
AUTOATIVIDADE
Encontre a soluccedilatildeo geral das seguintes EDOs
1 yprimeprime ndash 3yprime + 2y = 0
2 8yprimeprime + 4yprime + y = 0
3 4yprimeprime + yprime = 0
4 yprimeprime ndash yprime ndash 6y = 0
5 yprimeprime + 9y = 0
6 12yprimeprime ndash 5yprime ndash 2y = 0
7 yprimeprime ndash 4yprime + 5y = 0
8 yprimeprime ndash 2yprime + y = 0
209
REFEREcircNCIAS
ANTON H BIVENS I DAVIS S Caacutelculo v 2 Poro Alegre Bookman 2007
BOYCE Willian E DIPRIMA Richard C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores de contorno Rio de Janeiro LTC 2002
FINNEY R WEIR M GIORDANO F Caacutelculo de George B Thomas Jr v 2 Satildeo Paulo Addison Wesley 2002
FLEMMING Diva Mariacutelia GONCcedilALVES Mirian Buss CAacuteLCULO B funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis integrais duplas e triplas 2deg ed Satildeo Paulo Makron Books do Brasil 2007
LEITHOLD Louis O Caacutelculo com geometria analiacutetica v 2 3deg ed Satildeo Paulo Harbra 1994
SIMMONS George F Caacutelculo com geometria analiacutetica v 2 Satildeo Paulo Pearson Makron Books 1987
ROGAWKI Jon Caacutelculo v 2 Porto Alegre Bookman 2009
STEWART James Caacutelculo v 2 Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 2006
ZILL Dennis G Equaccedilotildees diferenciais com aplicaccedilotildees em modelagem Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 2003
210
ANOTACcedilOtildeES
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211
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VII
sumaacuterio
UNIDADE 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 1
TOacutePICO 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS 31 INTRODUCcedilAtildeO 32 RECORDANDO A FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL 33 FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 5 31 GRAacuteFICOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 134 FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 15RESUMO DO TOacutePICO 1 18AUTOATIVIDADE 19
TOacutePICO 2 ndash CURVAS DE NIacuteVEL 211 INTRODUCcedilAtildeO 212 CURVAS DE NIacuteVEL 22RESUMO DO TOacutePICO 2 28AUTOATIVIDADE 29
TOacutePICO 3 ndash LIMITE E CONTINUIDADE 311 INTRODUCcedilAtildeO 312 DEFINICcedilOtildeES BAacuteSICAS 313 LIMITE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 344 CONTINUIDADE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 38RESUMO DO TOacutePICO 3 41AUTOATIVIDADE 42
TOacutePICO 4 ndash DERIVADAS PARCIAIS 431 INTRODUCcedilAtildeO 432 RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVACcedilAtildeO 433 DERIVADAS PARCIAIS 44 31 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS 44 32 INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA 514 GENERALIZACcedilAtildeO 535 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 54LEITURA COMPLEMENTAR 59RESUMO DO TOacutePICO 4 63AUTOATIVIDADE 64
UNIDADE 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS 65
TOacutePICO 1 ndash REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA 671 INTRODUCcedilAtildeO 672 REGRA DA CADEIA 673 DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA 75RESUMO DO TOacutePICO 1 79
VIII
AUTOATIVIDADE 80
TOacutePICO 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE 811 INTRODUCcedilAtildeO 812 DIFERENCIABILIDADE 813 DIFERENCIAL 854 GRADIENTE 895 DERIVADAS DIRECIONAIS 95RESUMO DO TOacutePICO 2 99AUTOATIVIDADE 100
TOacutePICO 3 ndash MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS 1031 INTRODUCcedilAtildeO 1032 EXTREMOS LOCAIS 1033 PROBLEMAS ENVOLVENDO MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 111RESUMO DO TOacutePICO 3 117AUTOATIVIDADE 118
TOacutePICO 4 ndash INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS 1191 INTRODUCcedilAtildeO 1192 INTEGRAL DUPLA 119 21 INTEGRAL DUPLA SOBRE RETAcircNGULO 119 22 INTEGRAIS ITERADAS 120 23 INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIOtildeES GENEacuteRICAS 124LEITURA COMPLEMENTAR 134RESUMO DO TOacutePICO 4 136AUTOATIVIDADE 137
UNIDADE 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS 139
TOacutePICO 1 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 1411 INTRODUCcedilAtildeO 1412 DEFINICcedilOtildeES E TERMINOLOGIAS 141 21 TIPOS DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 142 22 ORDEM DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 142 23 LINEARIDADE DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 143 24 SOLUCcedilAtildeO DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 143 241 Soluccedilatildeo geral 145 242 Soluccedilatildeo particular 1453 EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL SEPARAacuteVEL 148 31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1494 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ordf ORDEM 158 41 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1595 EQUACcedilOtildeES EXATAS 168 51 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 169RESUMO DO TOacutePICO 1 175AUTOATIVIDADE 176
TOacutePICO 2 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES 1771 INTRODUCcedilAtildeO 1772 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI 177
IX
21 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1773 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS HOMOGEcircNEAS 184 31 FUNCcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 184 32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 186 321 Meacutetodo de resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial 187RESUMO DO TOacutePICO 2 193AUTOATIVIDADE 194
TOacutePICO 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 1951 INTRODUCcedilAtildeO 1952 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 1953 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ordf ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES 199 31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 200LEITURA COMPLEMENTAR 204RESUMO DO TOacutePICO 3 207AUTOATIVIDADE 208REFEREcircNCIAS 209
X
1
UNIDADE 1
FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Ao final desta unidade vocecirc deveraacute ser capaz de
bull conhecer os principais conceitos que envolvem funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull identificar o domiacutenio de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull reconhecer as curvas de niacuteveis de forma algeacutebrica
bull reconhecer as curvas de niacuteveis geometricamente
bull calcular os limites de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull identificar a continuidade de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull calcular as derivadas parciais
bull interpretar geometricamente as derivadas parciais
Esta unidade estaacute dividida em quatro toacutepicos apresentando os conceitos e a utilizaccedilatildeo das funccedilotildees de diversas variaacuteveis No Toacutepico 1 eacute apresentado o estudo do domiacutenio de uma funccedilatildeo de diversas variaacuteveis e as curvas de niacutevel seguido de vaacuterios exemplos para auxiliaacute-lo(a) na compreensatildeo e resoluccedilatildeo dos exerciacutecios propostos no final de cada toacutepico No Toacutepico 2 daremos uma atenccedilatildeo especial agraves curvas de niacutevel tanto na representaccedilatildeo graacutefica como no seu reconhecimento algeacutebrico No Toacutepico 3 seratildeo estendidos os conceitos de limite e continuidade estudados para as funccedilotildees de uma variaacutevel No Toacutepico 4 aprenderemos como derivar funccedilotildees de diversas variaacuteveis e sobretudo entender o significado geomeacutetrico das derivadas parciais Finalizamos a unidade com um texto complementar onde seraacute dada ecircnfase agraves personalidades matemaacuteticas que contribuiacuteram no desenvolvimento do caacutelculo diferencial e integral e consequentemente das equaccedilotildees diferenciais
TOacutePICO 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
TOacutePICO 2 ndash CURVAS DE NIacuteVEL
TOacutePICO 3 ndash LIMITES E CONTINUIDADE
TOacutePICO 4 ndash DERIVADAS PARCIAIS
2
3
TOacutePICO 1UNIDADE 1
FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
1 INTRODUCcedilAtildeO
Vocecirc jaacute estudou limites derivadas e integrais conceitos vistos em funccedilotildees de uma variaacutevel Nesta unidade estudaremos as funccedilotildees de duas ou mais variaacuteveis e veremos que as regras do caacutelculo para funccedilotildees de uma variaacutevel permanecem essencialmente as mesmas
Funccedilotildees com mais de uma variaacutevel independente se apresentam mais costumeiramente em modelos matemaacuteticos aplicados agrave engenharia por exemplo do que funccedilotildees de uma variaacutevel Os estudos de probabilidade estatiacutestica dinacircmica dos fluidos e trabalho satildeo exemplos que conduzem de uma maneira natural a funccedilotildees de mais de uma variaacutevel daiacute a importacircncia do seu estudo
2 RECORDANDO A FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL
Representamos a funccedilatildeo de uma variaacutevel por duas variaacuteveis x e y sendo que chamamos de x a variaacutevel independente da funccedilatildeo e de y a variaacutevel dependente da funccedilatildeo Assim denotamos a relaccedilatildeo entre as variaacuteveis por y = f (x) deixando expliacutecito que y depende de x
Exemplo 1 y = 2x + 1
Exemplo 2 f (x) = 3 + x
2 - x
Habitualmente ao trabalharmos com funccedilotildees um dos primeiros cuidados que devemos ter eacute em relaccedilatildeo ao conjunto domiacutenio das funccedilotildees isto eacute para que valores reais as funccedilotildees estatildeo definidas Entatildeo dada uma funccedilatildeo f(x) devemos encontrar valores para os quais a funccedilatildeo tenha imagem
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
4
Exemplo 3Encontre o domiacutenio da funccedilatildeo f(x) =
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo f(x) eacute uma funccedilatildeo racional pois temos a variaacutevel x no denominador
Esta funccedilatildeo tem dois cuidados a serem tomados em relaccedilatildeo ao domiacutenio
(i) Desde que iniciamos nossos estudos com fraccedilotildees sabemos que natildeo eacute possiacutevel ter zero no denominador das fraccedilotildees Assim
(ii) Temos a variaacutevel x no radicando da raiz quadrada Como estamos considerando f(x) uma funccedilatildeo real o radicando natildeo pode assumir valores negativos Logo
xsup2 ndash 16 ge 0
Assim juntando as condiccedilotildees (i) e (ii) teremos xsup2 ndash 16 gt 0
Observe que temos que resolver uma inequaccedilatildeo do 2ordm grau Para isso consideramos inicialmente apenas a equaccedilatildeo (igualdade) a fim de obtermos as raiacutezes
xsup2 - 16 = 0
Determinando as raiacutezes desta equaccedilatildeo do segundo grau incompleta
xsup2 = 16x = x =
Analisando a funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = xsup2 - 16 sabemos que seu graacutefico corresponde a uma paraacutebola com concavidade voltada para cima e zeros de funccedilatildeo em x = - 4 e x = 4 Logo os valores de x que satisfazem a inequaccedilatildeo satildeo x lt - 4 ou x gt 4
Assim D(f) = x isin R | x lt - 4 ou x gt 4
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
5
FIGURA 1 ndash ANAacuteLISE DO SINAL DA FUNCcedilAtildeO f (x) = xsup2 - 16 ATRAVEacuteS DE SEU ESBOCcedilO GRAacuteFICO
FONTE O autor
3 FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
Definiccedilatildeo 131 Suponha que D seja um conjunto de pares ordenados de nuacutemeros reais (xy) Uma funccedilatildeo real f de duas variaacuteveis em D eacute uma regra que associa um uacutenico nuacutemero real z = f(xy) a cada par ordenado (xy) em D O conjunto D(f) eacute o domiacutenio de f(xy)
Os nuacutemeros x y e z satildeo denominados variaacuteveis Como os valores da funccedilatildeo f(xy) dependem de x e de y e os valores de z dependem da escolha de x e de y entatildeo x e y satildeo denominadas variaacuteveis independentes e z eacute denominada variaacutevel dependente
Uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis eacute uma funccedilatildeo cujo domiacutenio eacute um subconjunto do R2 e cuja imagem eacute um subconjunto de R Uma maneira de visualizaacute-la eacute atraveacutes de um diagrama de flechas conforme a seguir
FIGURA 2 ndash DIAGRAMA DE FLECHAS REPRESENTANDO O DOMIacuteNIO E A IMAGEM DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS
FONTE O autor
+ +
ndashndash 4 4
R
y
(x y)
x
f
f(x y) 0
z
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
6
Exemplo 4Dada a funccedilatildeo que calcula o periacutemetro de um
retacircngulo f(xy) = 2(x + y) calcule o valor de f (25)
ResoluccedilatildeoBasta substituir em f(xy) o x por 2 o y por 5 e calcularEntatildeof(25) = 2(2 + 5)f(25) = 2 middot 7f(25) = 14
Exemplo 5A funccedilatildeo T (xy) = 60 - 2xsup2 - 3ysup2 representa a temperatura em qualquer
ponto de uma chapa A temperatura oscila em relaccedilatildeo agrave distacircncia percorrida no sentido dos eixos positivos x e y Calcule a temperatura da chapa (Figura 3) no ponto (3 1) em graus Celsius
ResoluccedilatildeoT (31) = 60 - 2 middot 3sup2 - 3 middot 1sup2T (31) = 60 - 2 middot 9 - 3 middot 1T (31) = 39deg C
x
y
FIGURA 3 ndash AQUECIMENTO DE UMA CHAPA
FONTE O autor
Exemplo 6Dada a funccedilatildeo f(xy) = xsup2 + ysup2 calcule f(1 - 2)
chapa
x
y
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
7
Resoluccedilatildeof(xy) = xsup2 + ysup2 f(1 ndash 2) = 1sup2 + (ndash2)sup2f(1 ndash 2) = 1 + 4f(1 ndash 2) = 5
No estudo do domiacutenio de uma funccedilatildeo devemos avaliar quais nuacutemeros reais satildeo possiacuteveis atribuir para as variaacuteveis x e y para obtermos valores reais para z = f(xy) Vamos relembrar algumas restriccedilotildees
Consideremos os casos a seguir em que A e B satildeo expressotildees em funccedilatildeo de x e y
Se f(xy) = AB entatildeo necessariamente B ne 0
Se f(xy) = onde n eacute par entatildeo necessariamente A ge 0
Se f (xy) = logc A com c gt 0 e c ne 1 entatildeo necessariamente A gt 0
Exemplo 7Encontre o conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo natildeo apresenta nenhuma restriccedilatildeo para os valores de x e yPortanto D(f) = (x y) isin R2 ou D( f ) = R2
Exemplo 8Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o radicando
3x ndash 2y natildeo pode ser negativo3x ndash 2y ge 0 ndash 2y ge ndash 3x
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (ndash1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
2y le 3x y le 3
2 x
NOTA
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
8
Portanto
Para fazer o graacutefico do conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (x y) do exemplo anterior primeiro trace o graacutefico de y = 3
2 x e depois determine qual a regiatildeo correspondente agrave desigualdade y le 3
2 x
O graacutefico de y = 32 x corresponde a uma reta crescente que conteacutem a
origem Note que esta reta divide o plano em duas regiotildees Para identificar qual regiatildeo expressa o domiacutenio de f (xy) atente para a desigualdade estabelecida Neste exemplo como se trata de uma reta e a relaccedilatildeo de ordem eacute dada pelo sinal ldquolerdquo entatildeo isto implica que o domiacutenio eacute expresso pelos infinitos pontos que se encontram na reta e abaixo dela
FIGURA 4 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
Exemplo 9Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = 5x
y ndash xsup2
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o denominador
y ndash xsup2 natildeo pode tornar-se nulo
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
9
Entatildeoy ndash xsup2 ne 0 y ne xsup2
Portanto
Para fazer o graacutefico do conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (xy) = 5xy ndash xsup2
procedemos do mesmo modo que no exemplo anterior A funccedilatildeo que expressa o domiacutenio eacute dada por y ne xsup2 cuja representaccedilatildeo no plano eacute uma paraacutebola com concavidade voltada para cima e que possui seu veacutertice na origem A relaccedilatildeo de diferenccedila poreacutem implica que pertencem ao domiacutenio todos os pontos do plano exceto os que se encontram sobre a paraacutebola expressa pela relaccedilatildeo y = xsup2
FIGURA 5 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
Exemplo 10Determine o conjunto domiacutenio de f(xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o radicando
3xsup2 + ysup2 ndash 18 natildeo pode ser negativo
3xsup2 + ysup2 ndash 18 ge 03xsup2 + ysup2 ge 18
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
10
Dividindo ambos os membros da desigualdade por 18
3x sup2 y sup2 1818 18 18
+ ge
A funccedilatildeo xsup2 ysup26 18 + = 1 representa uma elipse centrada na origem do
plano cartesiano cujo eixo maior definido sobre o eixo das ordenadas eacute igual a 2 848 e cujo eixo menor definido sobre os eixos das abscissas eacute igual a 2
490
Atribuiacutedas as caracteriacutesticas geomeacutetricas da funccedilatildeo que define o domiacutenio traccedilamos o seu graacutefico A relaccedilatildeo de desigualdade estabelecida eacute ldquogerdquo Isto implica que os pontos que pertencem ao domiacutenio se encontram sobre a elipse e fora dela
Ao sentir dificuldade em caracterizar as funccedilotildees quanto agrave sua representaccedilatildeo geomeacutetrica retome os estudos realizados na disciplina de Geometria Analiacutetica
FIGURA 6 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
ATENCAO
xsup2 ysup26 18 + ge 1
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
11
Exemplo 11Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = In (x minus 3y + 1) e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoComo In (x minus 3y + 1) eacute definido somente quando x minus 3y + 1 gt 0 entatildeo x minus 3y + 1 gt 0x minus 3y gt minus 1minus 3y gt minus x minus 1
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
3y lt x + 1y lt x + 1
3
Neste exemplo a funccedilatildeo domiacutenio expressa pela desigualdade y lt x + 1 3
representa no plano uma regiatildeo que se encontra abaixo da reta y = x + 1 3 Observe
que os pontos sobre a reta natildeo pertencem ao conjunto domiacutenio
FIGURA 7 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
12
Exemplo 12Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y A expressatildeo que
representa o radicando 4 ndash xsup2 ndash ysup2 natildeo pode ser negativa4 ndash xsup2 ndash ysup2 ge 0 ndash xsup2 ndash ysup2 ge ndash 4
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
xsup2 + ysup2 le 4
O conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f(xy) = expresso pela desigualdade xsup2 + ysup2 le 4 compreende os infinitos pontos interiores juntamente com os infinitos pontos pertencentes agrave circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano de raio 2
FIGURA 8 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
13
31 GRAacuteFICOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
Se f eacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis com domiacutenio D entatildeo o graacutefico de f eacute o conjunto de todos os pontos (xyz) em R3 tal que z = f (xy) e (xy) isin D
Fazer a representaccedilatildeo graacutefica das funccedilotildees de duas variaacuteveis eacute normalmente complicado e requer habilidade manual Assim vamos recorrer ao uso de programas computacionais matemaacuteticos que fazem os graacuteficos de superfiacutecies O objetivo aqui eacute apenas mostrar os graacuteficos das funccedilotildees de duas variaacuteveis e natildeo a construccedilatildeo manual dos graacuteficos
Os graacuteficos que vocecirc encontraraacute ao longo do Caderno de Estudos foram construiacutedos atraveacutes do Winplot que eacute um software livre disponiacutevel na internet e do Maple 11 um software comercial que possui inuacutemeros recursos matemaacuteticos
Caro(a) acadecircmico(a) Vocecirc pode baixar o software Winplot diretamente da internet ou do material de apoio da disciplina no AVA
Exemplo 13Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = 2 ndash 3x ndash 4y
Resoluccedilatildeo
FIGURA 9 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = 2 ndash 3x ndash 4y
FONTE O autor
DICAS
30
20
10
0
ndash10
ndash20ndash30
ndash 50
5 ndash 4 ndash 2 0 2 4x y
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
14
Exemplo 14Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
Resoluccedilatildeo
FIGURA 10 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
Exemplo 15Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy)
Resoluccedilatildeo
FIGURA 11 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) =
FONTE O autor
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
15
Exemplo 16Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = sen x middot sen y
Resoluccedilatildeo
FIGURA 12 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = sen x middot sen y
FONTE O autor
4 FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Definiccedilatildeo 141 Seja D um subconjunto de Rn Uma funccedilatildeo real f de n variaacuteveis reais definida em D eacute uma relaccedilatildeo entre D e R que associa a cada ponto (x1 x2 xn) isin D um uacutenico valor real z denotado por z = f (x1 x2 xn)
Notaccedilatildeo
As variaacuteveis (x1 x2 xn) satildeo as variaacuteveis independentes e z eacute a variaacutevel dependente O conjunto de todos os valores possiacuteveis de f eacute chamado imagem de f e eacute denotado por lm(f) Assim
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
16
Definiccedilatildeo 142 Seja f uma funccedilatildeo de n variaacuteveis com domiacutenio D O graacutefico de f eacute o conjunto de todos os pontos do espaccedilo Rn+1 dado por
( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 n 1 2 n 1 2 ngraf f x x x y R y f x x x x x xn com D+= isin = isin
No caso em que n = 1 f seraacute uma funccedilatildeo de uma variaacutevel e seu graacutefico seraacute uma curva C com equaccedilatildeo y = f (x1)
Quando n = 2 f seraacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis e seu graacutefico seraacute uma superfiacutecie S com equaccedilatildeo z = f (x1x2)
Quando n = 3 natildeo podemos esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f pois ele estaacute no espaccedilo de dimensatildeo 4
Exemplo 17Esboce o graacutefico da funccedilatildeo f (xy) = 6 ndash 2x + 3y
ResoluccedilatildeoPara esboccedilar o graacutefico de uma funccedilatildeo temos que conhecer o domiacutenio desta
funccedilatildeo O domiacutenio desta funccedilatildeo f eacute D(f) = Rsup2 e o graacutefico da funccedilatildeo f eacute o conjunto
graf (f) = (xyz) isin Rsup3 | z = 6 ndash 2x + 3y
Geometricamente o graacutefico de f representa um plano
Vamos fazer algumas consideraccedilotildees sobre a funccedilatildeo e os eixos como se focircssemos traccedilar o graacutefico manualmente Entatildeo comeccedilamos encontrando os pontos onde o plano intercepta cada um dos trecircs eixos coordenados
Se na equaccedilatildeo z = 6 ndash 2x ndash 3y fizermosx = 0 e y = 0 vem z = 6x = 0 e z = 0 vem y = 2y = 0 e z = 0 vem x = 3
Obtemos assim os pontos A1 = (0 0 6) A2 = (0 2 0) e A3 = (3 0 0) nos quais o plano intercepta os eixos coordenados A porccedilatildeo do graacutefico que estaacute no primeiro octante estaacute esboccedilada na figura a seguir
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
17
FIGURA 13 ndash PLANO COM EIXOS COORDENADOS
FONTE O autor
Exemplo 18Determine o conjunto domiacutenio e o conjunto imagem da funccedilatildeo f (x y z) =
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo natildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x y e zAssim D(f) = R sup3 (todo o espaccedilo)Jaacute para o conjunto imagem teremos apenas os reais natildeo negativosLogo Im (f) = R+
x
y
z
(020)
(300)
(006)
18
Neste toacutepico os principais assuntos estudados foram
bull Definiccedilatildeo de funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
bull Conjunto domiacutenio e conjunto imagem de funccedilatildeo
bull Representaccedilatildeo graacutefica do domiacutenio
bull Representaccedilatildeo graacutefica das superfiacutecies z = f (xy) usando recurso computacional
bull Listamos algumas situaccedilotildees envolvendo o estudo do domiacutenio para funccedilotildees de diversas variaacuteveis que impotildeem restriccedilotildees ao conjunto domiacutenio
bull Consideremos os casos a seguir em que A e B satildeo expressos em funccedilatildeo de x e y
uuml Se f (xy) = entatildeo devemos considerar B ne 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar A ge 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar A ge 0 e B ne 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar B gt 0
uuml Se f (xy) = logc A com c gt 0 e c ne 1 entatildeo devemos considerar A gt 0
RESUMO DO TOacutePICO 1
19
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre funccedilotildees de diversas variaacuteveis
1 Nos problemas a seguir calcule o valor da funccedilatildeo nos pontos especiacuteficos
a) f (xy) = (x ‒ 1)sup2 + 2xysup3 f (2 ‒ 1) f (12)
b) f (xy) = 3x+2y2x+3y
f (12) f ( ‒ 46)
c) g (xy) = y -x2 2 g (45) g (‒ 12)
d) g (uv) = 10u frac12 v ⅔ g (1627) g (4 ‒1331)
e) f (xy) = y xx y+ f (12) f(2 ‒3)
2 Nos problemas a seguir descreva o domiacutenio das funccedilotildees e represente-o graficamente
a) f (xy) = 5x + 2y4x + 3y
b) g (xy) = 36 - x - y2 2
c) f (xy) = radicx + y ‒ 2
d) f (xy) = 3x + 5y
xsup2 + 2ysup2 ‒ 4e) f (xy) = In (x + y ‒ 4)
f) g (xy) = exy
radicx ‒ 2y
AUTOATIVIDADE
20
21
TOacutePICO 2
CURVAS DE NIacuteVEL
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico veremos como representar uma superfiacutecie (figura tridimensional) em um graacutefico bidimensional Talvez vocecirc jaacute tenha visto algum graacutefico nesta situaccedilatildeo na praacutetica satildeo chamados mapas topograacuteficos
Nestes mapas uma paisagem tridimensional como a extensatildeo de uma montanha por exemplo estaacute representada por linhas de contorno bidimensionais ou curvas de elevaccedilatildeo constante conforme pode ser visto na figura a seguir
FIGURA 14 ndash MAPA DE CONTORNO DE UMA MONTANHA
FONTE Disponiacutevel em lthttparqaulaswordpresscomcategorytopografiagt Acesso em 11 jul 2011
O objetivo deste toacutepico eacute mostrar como reconhecer algebricamente e geometricamente as curvas de niacutevel Muitas das curvas que encontraremos correspondem a graacuteficos de funccedilotildees jaacute conhecidas as quais vocecirc estudou na disciplina de Geometria Analiacutetica tais como reta paraacutebola cuacutebica circunferecircncia elipse e hipeacuterbole
S1
S2
S3
S6
A
B
C
DE
F
G
H
I
A B C D E F G H I
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
22
2 CURVAS DE NIacuteVEL
O conjunto de todos os pontos onde uma funccedilatildeo f (xy) tem um valor constante c isin R eacute chamado de curva de niacutevel de f
Definiccedilatildeo 231 Seja c um nuacutemero real O conjunto de pontos no plano onde uma funccedilatildeo f (xy) tem um valor constante f (xy) = c eacute chamado de curva de niacutevel de f
Exemplo 1
Identifique as curvas de niacutevel para g (xy) = 4 ‒ x ‒ y em c = 0 e c = 6 Represente graficamente
Resoluccedilatildeog (xy) = c para c = 0
g (xy) = 4 ‒ x ‒ y0 = 4 ‒ x ‒ y
y = 4 ‒ xy = ‒ x + 4
Esta funccedilatildeo representa uma reta decrescente (coeficiente angular ndash1) que intercepta o eixo y em 4
g (xy) = c para c = 6g (xy) = 4 ‒ x ‒ y
6 = 4 ‒ x ‒ yy = 4 ‒ 6 ‒ xy = ‒ x ‒ 2
Esta funccedilatildeo representa uma reta decrescente (coeficiente angular ndash1) que intercepta o eixo y em ndash2
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
23
FIGURA 15 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE g (xy) = 4 ndash x ndash y
FONTE O autor
Outro exemplo que ilustra as curvas de niacutevel eacute o que muitos autores chamam de mapa de contorno conforme figura a seguir
FIGURA 16 ndash MAPA DE CONTORNO DE g (xy) = 4 ndash x ndash y
FONTE O autor
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
24
Considerando diferentes valores para a constante c igualmente espaccedilados obtemos um conjunto de curvas de niacutevel chamado mapa de contorno representadas no mesmo plano cartesiano
Exemplo 2Identifique as curvas de niacutevel para f (xy) = xsup2 ‒ ysup2 em c = 0 c = ndash3 e c = 4
Represente graficamente
Resoluccedilatildeof (xy) = c para c = 0
xsup2 ndash ysup2 = 0ysup2 = xsup2
y = x ou y = ndashx
Estas duas equaccedilotildees representam duas retas (Figura 17) A reta de equaccedilatildeo y = x representa no plano a bissetriz dos quadrantes iacutempares enquanto que a reta de equaccedilatildeo y = - x representa a bissetriz dos quadrantes pares
f (xy) = c para c = ‒ 3xsup2 ‒ ysup2 = ‒ 3
‒xsup2 ysup2 ‒3‒3 ‒3 ‒3=
xsup2 ysup23 3+ = 1‒
A equaccedilatildeo xsup2 ysup23 3+ = 1‒ representa uma hipeacuterbole equilaacutetera com
a = b = radic3 que tem uma concavidade voltada para cima e a outra para baixo (Figura 17)
f (xy) = c para c = 4xsup2 ‒ ysup2 = 4
‒xsup2 ysup2 4 4 4 4=
‒xsup2 ysup2 4 4 = 1
IMPORTANTE
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
25
Esta equaccedilatildeo representa uma hipeacuterbole equilaacutetera com a = b = 2 centrada na origem do plano cartesiano com uma concavidade voltada para a direita e outra para a esquerda (Figura 17)
FIGURA 18 ndash MAPA DE CONTORNO DE f (xy) = xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
FIGURA 17 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
y
x
c = 0
c = -3
c = 4
c = 0
c = 4
c = -3
420-2-4
-2
-4
0
2
4
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
26
Caro(a) acadecircmico(a) Para desenhar os mapas de contorno sugiro que utilize um software matemaacutetico como por exemplo o Winplot Na internet vocecirc encontra diversos tutoriais sobre o Winplot inclusive onde baixar o programa que eacute freeware Agora tente vocecirc identifique as curvas de niacutevel para g (xy) = 4 ndash 2xsup2 ndash ysup2 em c = 0 e c = ndash 2 e as represente graficamente
Exemplo 3Identifique as curvas de niacutevel para f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 em c = 1 e c = 2
Represente graficamente
Resoluccedilatildeof (xy) = c para c = 1
radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 15 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 1
‒ x sup2 ‒ y sup2 = ‒ 4 (-1)xsup2 + ysup2 = 4
Esta equaccedilatildeo representa uma circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano com raio igual a 2 (Figura 19)
f (xy) = c para c = 2
radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 25 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 4
‒ x sup2 ‒ y sup2 = ‒ 1 ( ‒ 1)x sup2 + y sup2 = 1
Esta equaccedilatildeo representa uma circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano com raio igual a 1 (Figura 19)
DICAS
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
27
FIGURA 19 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2
FONTE O autor
FIGURA 20 ndash MAPA DE CONTORNO DE f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2
FONTE O autor
c = 1
c = 2
-3 -2 -1
1
-1
-2
-3
2 31
2
3
x
y
-2
-1
0
1
22 1 0 ndash 1 ndash 2
x
y
28
RESUMO DO TOacutePICO 2
Neste toacutepico fizemos anaacutelises e representaccedilotildees graacuteficas das curvas de niacutevel de uma funccedilatildeo f
bull Reconhecimento algeacutebrico das curvas de niacutevel
29
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
1 Associe as superfiacutecies de 1 a 4 aos mapas de contorno de A a D
(1)
(A)
(2)
(B)
y ndash 2 ndash 1 ndash 1
ndash 2
ndash 3
x
1 2 3
1
2
3
1
05
0
ndash 05
ndash 1ndash 3ndash 2ndash 1 0 1 2 3 3 2 1 0ndash 1ndash 2ndash 3
ndash 3
ndash2
ndash 1
ndash 1ndash 2ndash 3 1
1
2
2
3
3 y
x
30
(3) (C)
(4) (D)
2 Nas questotildees a seguir identifique algebricamente as curvas de niacutevel para valores de c dados
a) f (xy) = x sup2 + y sup2 ‒ 9 c isin ‒ 4 ‒ 2 ‒ 1 0b) f (xy) = y sup2 ‒ x c isin 0 1 2 3
3 Nas questotildees a seguir represente graficamente as curvas de niacutevel das funccedilotildees Agora vocecirc escolheraacute alguns valores para c Eacute importante que vocecirc faccedila os graacuteficos manualmente e se for possiacutevel utilize o software Winplot para conferir ou como apoio nos estudos
a) f (xy) = x sup2 + 9y sup2b) f (xy) = y ‒ xsup3c) g (xy) = 3 + 2x ‒ y
3 2 1 0 ndash 1 ndash 2 ndash 33
2
1
0
ndash 1
ndash 2
ndash 3
y
ndash 3 ndash 2 ndash 1 0 1 2 3
3
2
1
0
ndash 1
ndash 2
ndash 3
y
x
20
10
0
ndash 10
ndash 20ndash 3
ndash 1ndash 2 0 1 2 3 ndash 2 ndash 1 0 1 2 3
x y
ndash 3 ndash 2 ndash 1 2 3
321ndash 1ndash 2ndash 300
x y
31
TOacutePICO 3
LIMITE E CONTINUIDADE
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 DEFINICcedilOtildeES BAacuteSICAS
O que estudaremos agora jaacute foi estudado no Caacutelculo Diferencial e Integral onde o conceito de limite e continuidade foi empregado para funccedilatildeo de uma variaacutevel
Neste toacutepico estenderemos o conceito de limite agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis um conceito fundamental do caacutelculo do qual decorrem outros como por exemplo a noccedilatildeo de continuidade Para isso enunciaremos algumas definiccedilotildees de Anaacutelise Matemaacutetica Tente entender os conceitos e soacute depois avance para a proacutexima seccedilatildeo
Definiccedilatildeo 321 Sejam P = (x1 x2 xn) e A = (a1 a2an) pontos em Rn A distacircncia entre P e A denotada por P ‒ A eacute dada por
P ‒ A = radic (x1 ‒ a1)sup2 + (x2 ‒ a2)sup2 + + (xn ‒ an)sup2
Exemplo 1Dados os pontos P = (1 ‒ 2 3) e A = (3 1 ‒ 2) em Rsup3 encontre P ‒ A
Resoluccedilatildeo P ‒ A = radic (1 ‒ 3)sup2 + (‒2 ‒1)sup2 + (3 ‒ (‒ 2))sup2 = radic8 uc
Definiccedilatildeo 322 Sejam A = (a1 a2 an) isin Rn e r gt 0 um nuacutemero real A bola aberta de centro em A e raio r que indicaremos por B(A r) eacute definida como sendo o conjunto de todos os pontos P = (x1 x2 xn) tais que P ‒ Alt r ou seja
B(A r) = (x1 x2xn) isin Rn radic (x1 ‒ a1)sup2 + (x2 ‒ a2)sup2 ++ (xn ‒ an)sup2 lt r
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
32
Exemplo 2a) Em R a bola aberta B(a r) eacute o intervalo aberto (a ‒ r a + r)
FIGURA 21 ndash INTERVALO EM R
FONTE O autor
b) Em Rsup2 a bola aberta B((a1 a2) r) representa o conjunto dos pontos internos agrave circunferecircncia de centro em (a1 a2) e raio r
FIGURA 22 ndash r de A
FONTE O autor
Definiccedilatildeo 321 Seja S um subconjunto de Rn Um ponto A eacute um ponto de acumulaccedilatildeo de S se toda bola aberta de centro em A possui uma infinidade de pontos de S mesmo que A natildeo necessariamente pertenccedila a S
Exemplo 3Seja S = (xy) isin Rsup2 | x gt 0 e y gt 2 Mostre que todos os pontos pertencentes
ao conjunto S satildeo pontos de acumulaccedilatildeo
ResoluccedilatildeoTodos os pontos pertencentes a S satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S pois
atendem agrave Definiccedilatildeo 321 Ainda os pontos (0y) com y ge 2 e (x 2) com x gt 0 satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S e natildeo pertencem a S (Figura 23)
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
33
FIGURA 23 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO CONJUNTO S
FONTE O autor
Exemplo 4Seja S = (xy) isin Z2 | ‒ 2 le x le 4 e 1 le y le 5 Mostre que o conjunto S natildeo
possui pontos de acumulaccedilatildeo
ResoluccedilatildeoMostraremos que os pontos de S natildeo satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S pois
natildeo atendem agrave Definiccedilatildeo 321 Para qualquer ponto P(xy) isin R2 a bola aberta de centro P e raio r lt 1 natildeo conteacutem uma infinidade de pontos de S
Portanto o conjunto S natildeo possui pontos de acumulaccedilatildeo (Figura 24)
FIGURA 24 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO CONJUNTO S
FONTE O autor
y
x
1098
654
21
34
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
3 LIMITE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
A seguir definiremos limite de uma funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 331 Sejam f S sub Rn rarr R uma funccedilatildeo e A um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que o limite de f (X) quando X se aproxima de A eacute um nuacutemero real L se dado ε gt 0 existir δ gt 0 tal que |f (X) ndash L| lt ε sempre que X isin S e 0 lt X ndash A lt δ
Neste caso escrevemos
lim f (X) = L x rarr A
O estudo de funccedilotildees de trecircs ou mais variaacuteveis (n ge 3) difere pouco do estudo de funccedilotildees de duas variaacuteveis Desta forma por simplicidade de apresentaccedilatildeo vamos estudar as funccedilotildees de duas variaacuteveis no restante desta unidade Comeccedilaremos reescrevendo a definiccedilatildeo de limite de funccedilotildees de duas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 332 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo e (a b) um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que o limite de f (xy) quando (xy) se aproxima de (ab) eacute um nuacutemero real L se dado ε gt 0 existir δ gt 0 tal que
|f (xy) ndash L| lt ε sempre que (xy) isin S e 0 lt radic(x ‒ a)2 + (y ‒ b)2 lt δ
Neste caso escrevemos
lim f (xy) = L (xy) rarr (ab)
A definiccedilatildeo de limite de funccedilatildeo pode ser reformulada utilizando o conceito de bola aberta que vimos anteriormente De fato escrever lim f (xy) = L equivale
a dizer que dado qualquer ε gt 0 podemos encontrar δ gt 0 tal que para todo (xy) isin B ((ab) δ) tenhamos f (xy) isin (L ndash ε L + ε) A figura a seguir ilustra no caso de uma funccedilatildeo f A sub Rn rarr R a definiccedilatildeo de limite
FIGURA 25 ndash FUNCcedilAtildeO f A sub Rn rarr R
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwicmcuspbr~cmmendesCalculoIICalculo2DiferenciaE7E3opdfgt Acesso em 18 jun 2011
(xy) rarr (ab)
A sub Rn
P₀
f
L ndash ε
L + εL
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
35
Exemplo 5Usando a definiccedilatildeo de limite mostre que lim (4x ndash 3y) = 5 (xy) rarr (21)
ResoluccedilatildeoDevemos mostrar que forall ε gt 0 exist δ gt 0 tal que (4x ‒ 3y) ‒ 5 lt ε sempre que
(xy) ‒ (21)lt δ
Com o objetivo de encontrar o δ desejado trabalharemos com a desigualdade que envolve ε Assim usando propriedades do valor absoluto podemos escrever
(4x ‒ 3y) ‒ 5=4x ‒ 3y ‒ (8 ‒ 3)=4x ‒ 8 ‒ 3y + 3=4x ‒ 8 ‒ (3y ‒ 3)=4 (x ‒ 2) ‒ 3(y ‒ 1)le 4x ‒ 2+ 3 y ‒ 1
Como 0 lt radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ podemos escrever x ‒ 2 le
radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ e y ‒ 1 le radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ temos que 4x ‒ 2 + 3y ‒ 1lt 4 δ + 3 δ
Assim tomando δ = ε7 temos(4x ‒ 3y) ‒ 5le 4x ‒ 2+ 3y ‒ 1lt
4 ε7 + 3 ε
7 = ε sempre que 0 lt radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ
Portanto lim (4x ‒ 3y) = 5 (xy) rarr (21)
Teorema 331 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis S1 e S2 subconjuntos de S e (ab) um ponto de acumulaccedilatildeo de S1 e S2 Se f (xy) tem limites diferentes quando (xy) tende (ab) atraveacutes dos pontos de S1 e S2 entatildeo lim f (xy) natildeo existe (xy) rarr (ab)
Lembre-se de que o fato de o ponto (ab) ser um ponto de acumulaccedilatildeo de S1 e
S2 natildeo significa que (ab) isin S
1 cap S
2
Exemplo 6Usando a definiccedilatildeo de limite mostre que lim 5xy
x2 + y2 natildeo existe
ATENCAO
(xy) rarr (21)
36
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Resoluccedilatildeo
Observemos que o conjunto domiacutenio de f eacute R2 ‒ (00) Para mostrar que o limite natildeo existe usaremos o Teorema 331
Consideremos o conjunto de retas que passam pela origem y = kxk isin R (xy) isin R2
Calculando f (xy) com y = kx temos
f (xkx) = 5xkx
x2 + (kx)2
= 5kx2
x2 (1+ k2)
= 5k
1+ k2
Entatildeo lim f (x kx) = lim 5k
1+ k2 (xy) rarr (00) (xy) rarr (00)
Assim o limite de f depende do percurso do ponto (xy) quando ele tende agrave origem Por exemplo considere k = 0 e k = 1 (dois caminhos diferentes)
lim f (xx) = lim 5 11+1
= 522
e lim f (xa) = 5 01 0
02+=
(xy) rarr (00) (xy) rarr (00)
Note que f assume um valor constante sobre cada reta que passa pela
origem De fato para cada coeficiente angular k isin R f (xkx) = 5k
1+k2 qualquer que
seja x isin R corroborando assim o caacutelculo do limite desenvolvido anteriormente
Portanto concluiacutemos atraveacutes do Teorema 331 que lim 5xy
x2 + y2 natildeo
existe (xy) rarr (00)
O teorema a seguir eacute muito parecido com o que jaacute foi visto em caacutelculo nas propriedades de limites de funccedilotildees de uma variaacutevel
Teorema 332 Se lim f (xy) = L e lim g (xy) = M e c isin R entatildeo (xy) rarr (ab) (xy) rarr (ab)
(xy) rarr (00)
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
37
Vamos utilizar este teorema nos exemplos a seguir
Exemplo 7
Calcule
Resoluccedilatildeo
Exemplo 8
Calcule
Resoluccedilatildeo
Temos lim (x3 ‒ x2y) = 0 e lim (x2 ‒ y2) = 0 (xy) rarr (22) (xy) rarr (22)
Neste caso temos uma indeterminaccedilatildeo do tipo 00
Para resolver o limite
fatoram-se o numerador e denominador fazendo as simplificaccedilotildees possiacuteveis como faziacuteamos com limites indeterminados no caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral
Entatildeo
38
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
4 CONTINUIDADE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Vocecirc se recorda da definiccedilatildeo de continuidade estudada na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral Agora estudaremos esta definiccedilatildeo aplicada agraves funccedilotildees de diversas variaacuteveis Acompanhe a seguir
Definiccedilatildeo 341 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo e (ab) isin S um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que f eacute contiacutenua no ponto (ab) se as seguintes condiccedilotildees forem satisfeitas
(i) f estaacute definida no ponto (ab)(ii) lim f(xy) existe
(xy) rarr (ab)
(iii) lim f(xy) = f(ab) (xy) rarr (ab)
Quando uma ou mais destas condiccedilotildees natildeo eacute satisfeita dizemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no ponto (ab)
Dizemos que f eacute contiacutenua se f for contiacutenua em todos os pontos do domiacutenio de f
Exemplo 9
Considere a funccedilatildeo de duas variaacuteveis f(xy) = 3x + y2
a) Mostre que f eacute contiacutenua no ponto (2 3)
b) Mostre que f eacute contiacutenua
+
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
39
Resoluccedilatildeo
a) Precisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(i) f (23) = 32 + 32 = 15(ii) lim f(xy) = lim (3x + y2) = 32 + 32 = 15 (xy) rarr (23) (xy) rarr (23)
(iii) lim (3x + y2) = f (23) (xy) rarr (23)
Logo f eacute contiacutenua no ponto (2 3)
b) Seja (ab) isin D (f) = R2
lim f(xy) = lim (3x + y2) = 3a + b2 = f (ab) (xy) rarr (ab) (xy) rarr (ab)
Como (ab) eacute um ponto qualquer segue que f (xy) eacute contiacutenua
Exemplo 10
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = In (xy + 3x) eacute contiacutenua no ponto (32)
Resoluccedilatildeo
Verificaremos se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
Logo f eacute contiacutenua no ponto (3 2)
40
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 11
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = eacute contiacutenua no ponto (33)
Resoluccedilatildeo
Precisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(i) f (33) = 5 pois x = y
(ii) = infin portanto o limite natildeo existe
(iii) Como lim f(xy) ne f(33) concluiacutemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no ponto (33) (xy) rarr (33)
Teorema 341 Se g(x) for contiacutenua em a e h(y) for contiacutenua em b entatildeo f(xy) = g(x) middot h(y) eacute contiacutenua em (ab)
Teorema 342 Se h(x y) for contiacutenua em (ab) e g(u) for contiacutenua em u = h (ab) entatildeo a composiccedilatildeo f(xy) = g(h(xy)) eacute contiacutenua em (ab)
Exemplo 12Use o Teorema 341 para mostrar que a funccedilatildeo f(xy) = 7x3y5 eacute contiacutenua
Resoluccedilatildeo
Os polinocircmios g(x) = 7x3 e h(y) = y5 satildeo contiacutenuos em cada ponto da reta real
Logo pelo Teorema 341 a funccedilatildeo f(xy) = 7x3 y5 eacute contiacutenua em cada ponto (xy) do plano xy ou seja f(xy) eacute contiacutenua
Exemplo 13Use o Teorema 342 para mostrar que a funccedilatildeo f(xy) = cos (7x3 y5) eacute contiacutenua
ResoluccedilatildeoComo h(xy) = 7x3 y5 eacute contiacutenua em cada ponto do plano xy e g(u) = cos u eacute
contiacutenua em cada ponto u da reta real segue do Teorema 342 que a composiccedilatildeo f(xy) = cos (7x3 y5) eacute contiacutenua em todo R2
41
RESUMO DO TOacutePICO 3
Caro(a) acadecircmico(a) Neste toacutepico os principais assuntos estudados foram
bull O conceito de limite de funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
bull Definiccedilatildeo de funccedilatildeo contiacutenua e suas propriedades Eacute importante saber analisar se uma funccedilatildeo eacute contiacutenua ou natildeo
bull Destacamos a Definiccedilatildeo 341 que trata da continuidade Lembre que se f S sub R2 rarr R eacute uma funccedilatildeo e (ab) isin S eacute um ponto de acumulaccedilatildeo de S dizemos
que f eacute contiacutenua no ponto (ab) se as seguintes condiccedilotildees forem satisfeitas
(i) f estaacute definida no ponto (ab)
(ii) lim f(xy) existe
(xy) rarr (ab)
(iii) lim f(xy) = f(ab)
(xy) rarr (ab)
Lembre-se de que se uma destas condiccedilotildees natildeo for satisfeita a funccedilatildeo eacute descontiacutenua em (ab)
42
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre limite e continuidade de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
1 Use a definiccedilatildeo de limite para mostrar que lim (2x + 6y) = 12 (xy) rarr (31)
2 Nos exerciacutecios a seguir calcule os limites
a) lim (x2y3 ‒ 2xy + 4) (xy) rarr (2 ‒1)
b) lim (xy) rarr (2 ‒1)
c) lim (xy) rarr (00)
d) lim x2 ‒ xy
radic radicx + y (xy) rarr (00)
x + 4y2x2 + 3xy
x3 + 2x2 + xy2 + 2y2
x2 + y2
3 Mostre que lim x2y
x4 + y2 natildeo existe (xy) rarr (00)
4 Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f (xy) = 3x2 + y2 +5
5 Verifique se a funccedilatildeo f(xy) = 4x2 ‒ 3x + yx2 + y2 ‒ 1
eacute contiacutenua no ponto (13)
6 Verifique se a funccedilatildeo f(xy) = xy5x2 + y2
0 (xy) = (00)
(xy) ne (00) eacute contiacutenua
43
TOacutePICO 4
DERIVADAS PARCIAIS
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
Vocecirc se recorda das regras de derivaccedilatildeo estudadas na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral
Aqui veremos como elas se aplicam agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis independentes que permitem uma visualizaccedilatildeo graacutefica possibilitando um entendimento de maneira simples do conceito de derivadas parciais Os resultados aqui obtidos podem ser generalizados para os casos de funccedilotildees com um nuacutemero maior de variaacuteveis
As regras de derivaccedilatildeo que vocecirc aprendeu na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral seratildeo utilizadas neste momento novamente
2 RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVACcedilAtildeO
Se u eacute uma funccedilatildeo real e c α isin R entatildeo
(c)prime = 0 (eu)prime = eu sdot u prime(c sdot u)prime = c sdot uprime (sen u)prime = cos u sdot u prime(u α)prime = α sdot u αminus1 sdot uprime (cos u)prime = minussen u sdot u prime
Exemplo 1Se f(x) = 5x3 minus 4x + 3ex minus 5 entatildeo f prime(x) = 15x2 minus 4 + 3ex
Lembre-se que se y = f (x) entatildeo a taxa de variaccedilatildeo de y em relaccedilatildeo a x eacute dada pela derivada de f em relaccedilatildeo a x que eacute definida por
f(x + Δx) minus f(x)Δx
f prime(x) = limΔx rarr 0
44
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
3 DERIVADAS PARCIAIS
Nesta seccedilatildeo estudaremos sobre as derivadas parciais Acompanhe
31 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS
A definiccedilatildeo de derivada parcial de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis eacute parecida com a enunciada para funccedilotildees de uma variaacutevel sendo utilizadas as mesmas regras de derivaccedilatildeo A diferenccedila aqui eacute que como se tem duas variaacuteveis uma delas deve ser mantida fixa enquanto se daacute acreacutescimos para a outra conforme veremos nas definiccedilotildees a seguir
Definiccedilatildeo 4311 Seja f A sube R2 rarr R uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis As derivadas parciais de f em relaccedilatildeo a x e a y satildeo funccedilotildees partf
partx e partf
party definidas por
partfpartx
= limh rarr 0
f (x + hy) ‒ f (xy)h
partfparty
= limh rarr 0
f (xy + h) ‒ f (xy)h
desde que os limites existam
O siacutembolo ldquopartrdquo chama-se ldquoD-rondrdquo (pronuncia-se derron) que significa D-redondo em francecircs Esta notaccedilatildeo eacute apenas um outro tipo de simbologia para a derivada que quando trabalhamos com funccedilotildees de uma variaacutevel era representada por ldquodrdquo Eacute conveniente ter essa maneira distinta de estender a notaccedilatildeo diferencial de Leibniz para um contexto de diversas variaacuteveis pois aqui natildeo tem sentido falarmos simplesmente em derivada apenas em derivadas parciais
Existem outras notaccedilotildees para representar as derivadas parciais Se z = f (xy)
denotamos
partfpartx
= fx (xy) = = Dx fpartzpartx
partfparty
= fy (xy) = = Dy fpartzparty
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
45
Preste muita atenccedilatildeo na simbologia de derivada Quando estamos derivando
uma funccedilatildeo de uma variaacutevel por exemplo y = f (x) entatildeo a derivada eacute identificada por dydx
Mas quando estamos derivando uma funccedilatildeo de duas ou mais variaacuteveis por exemplo z = f
(xy) entatildeo as derivadas satildeo identificadas por part zpart x
e part zpart y
Exemplo 2
Aplicar a definiccedilatildeo para achar partfpartx
e partfparty
para f (xy) = 3x2 ‒ 2xy
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= limh rarr 0
f (x + hy) ‒ f (xy)h
= limh rarr 0
3 (x + h)2 ‒ 2 (x + h)y ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
3x2 + 6xh + 3h2 ‒ 2xy ‒ 2hy ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
6xh + 3h2 ‒ 2hyh
= limh rarr 0
h (6x + 3h ‒ 2y)h
= lim 6x + 3h ‒ 2yh rarr 0
= 6x ‒ 2y
partfparty
= limh rarr 0
f (xy + h)‒ f (xy)h
ATENCAO
46
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
= limh rarr 0
3x2 ‒ 2x (y + h) ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
3x2 ‒ 2xy ‒ 2xh ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
‒ 2xhh
= lim (‒ 2x)h rarr 0
= ‒ 2x
Logo obtemos partfpartx
= 6x ‒ 2y e partfparty
= ‒ 2x
Exemplo 3Encontre as derivadas parciais de f (xy) = 5x3 ‒ 4xy + 3exysup3 ‒ 5
ResoluccedilatildeoPara encontrar a derivada parcial de f em relaccedilatildeo a x devemos olhar para
a variaacutevel y da funccedilatildeo f como uma constante e derivamos apenas a variaacutevel x ou seja aplicaremos as regras de derivaccedilatildeo somente na variaacutevel x
partfpartx
= 5 ∙ 3x2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ y + 3exysup3 ∙ 1 ∙ y3 ‒ 0
= 15x2 ‒ 4y + 3y3 exysup3
De forma anaacuteloga para derivar parcialmente f em relaccedilatildeo a y devemos olhar para a variaacutevel x da funccedilatildeo f como uma constante e derivamos apenas a variaacutevel y ou seja aplicaremos as regras de derivaccedilatildeo somente na variaacutevel y
partfparty
= 0 ‒ 4x ∙ 1 + 3exysup3 ∙ x ∙ 3y2 ‒ 0
= ‒ 4x + 9xy2 exysup3
Exemplo 4Encontre as derivadas parciais de f (xy) = 3x2 ‒ xy + y
ResoluccedilatildeoDerivando f em relaccedilatildeo a x (lembre-se de considerar y como constante)
partfpartx
= 6x ‒ y
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
47
E derivando f em relaccedilatildeo a y (agora considere x como constante)
partfparty
= ‒ x + 1
Exemplo 5Encontre as derivadas parciais de f (xy) = ex ‒ y ‒ ey ‒ x
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= ex ‒ y ∙ 1 ‒ ey ‒ x ∙ (‒ 1)
= ex ‒ y + ey ‒ x
partfparty
= ex ‒ y ∙ (‒ 1) ‒ ey ‒ x ∙ 1
= ex ‒ y ‒ ey ‒ x
Exemplo 6Calcule as derivadas parciais de f (xy) = (x + y) sen (x ‒ y)
ResoluccedilatildeoObserve que a funccedilatildeo f eacute um produto de outras duas funccedilotildees u e v Assim
lembramos que (u sdot v)prime = u prime sdot v + u sdot v prime
partfpartx
= 1sen(x ‒ y) + (x + y) ∙ 1 ∙ cos (x ‒ y)
= sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ cos (x ‒ y)
partfparty
= 1∙ sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ (‒1) ∙ cos (x ‒ y)
= sen (x ‒ y) ‒ (x + y) ∙ cos (x ‒ y)
Exemplo 7Calcule as derivadas parciais de f (xy) = exy + In (x2 + y)
Resoluccedilatildeopartpart
= ++
fxy e x
x yxy
22
Utilizamos a regra
lnu uu
fyx e
x yxy
( )prime = prime
partpart
= ++1
2
48
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Ateacute aqui estivemos preocupados com o caacutelculo da derivada parcial de uma funccedilatildeo em relaccedilatildeo a uma de suas variaacuteveis Isso quer dizer que calculamos a derivada ao longo de uma curva sem ponto fixado Passemos a ver como se calcula a derivada fixando um ponto da superfiacutecie
Se (x0 y0) for um ponto do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (xy) o plano vertical y = y0 cortaraacute a superfiacutecie z = f (xy) na curva z = f (x y0) (Figura 26)
Definiccedilatildeo 4312 A derivada parcial da funccedilatildeo f em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x eacute representada por partf
partx e eacute definida num ponto P (x0 y0) do domiacutenio por
(x0 y0) = limΔ x rarr 0
partfpartx
f (x0 + Δ x y0) ‒ f (x0 y0)Δ x
se este limite existir
FIGURA 26 ndash FUNCcedilAtildeO f (xy)
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
Se (x0 y0) for um ponto do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (xy) o plano vertical x = x0 cortaraacute a superfiacutecie z = f (xy) na curva z = f (xy0) (Figura 27)
Definiccedilatildeo 4313 A derivada parcial da funccedilatildeo f em relaccedilatildeo agrave variaacutevel y eacute representada por partf
party e eacute definida num ponto P (x0 y0) do domiacutenio por
(x0 y0) = limΔ x rarr 0
partfparty
f (x0 y0 + Δ y ) ‒ f (x0 y0)Δ y
se este limite existir
Eixo horizontal no plano y = y₀
Eixo vertical no plano y = y₀
Reta tangente
A curva z = f (xy0)no plano y = y₀
z
z = f (xy)
y
y₀
(x₀ y₀)(x₀ + h y₀)
x
x₀0
P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
49
FIGURA 27 ndash FUNCcedilAtildeO f (xy)
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
Exemplo 8Sendo f (xy) = 2x2y ndash 4y3 calcule partf
partx partfparty
partfpartx
(31) partfparty
(31)
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= 2 sdot 2x sdot y ndash 0 partfpartx
(31) = 4 sdot 3 sdot 1 = 12
partfpartx
= 4xy
partfparty = 2x 2 sdot 1 ndash 4 sdot 3y 2
partfparty (31) = 2 sdot 32 ndash 12 sdot 12
partf party
= 2x 2 ndash 12y 2 partfparty
(31) = 2 sdot 9 ndash 12 sdot 1 = 18 ndash 12 = 6
Exemplo 9
Sendo f (xy) = 5xy2x + 3y
0 se (xy) = (00)
se (xy) ne (00) calcule partf
partx e partf
party
Eixo vertical no plano x = x₀
Reta tangente
A curva z = f (x y0)no plano x = x₀
Eixo horizontal no plano x = x₀
x₀
x(x₀ y₀)
(x₀ y₀ + k)
z = f (xy)
z
y
y₀
P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))
50
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
ResoluccedilatildeoNos pontos (xy) ne (00) podemos aplicar as regras de derivaccedilatildeo Assim
temos
partfpartx
5y middot (2x + 3y) ‒ 5xy middot 2(2x + 3y)2
=
10xy + 15y 2 ‒ 10xy(2x + 3y)2
=
15y 2
(2x + 3y)2=
partfparty
5x middot (2x + 3y) ‒ 5xy middot 3(2x + 3y)2
=
10x2
(2x + 3y)2=
Para calcularmos as derivadas de f na origem usamos a definiccedilatildeo de derivada parcial
(00) = limh rarr 0
partfpartx
f (0 + h 0 ) ‒ f (00)h
= limh rarr 0
5h middot 0 2h
h
‒ 0( (( (
(00) = limh rarr 0
partfparty
f (00 + h) ‒ f (00)h( (
= limh rarr 0
5 middot 0 middot h 3h
h
‒ 0( (= 0
= 0
Assim obtemos as derivadas parciais da funccedilatildeo f com relaccedilatildeo a x e com relaccedilatildeo a y em todos os pontos (xy) do domiacutenio
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
51
32 INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
A interpretaccedilatildeo das derivadas parciais eacute anaacuteloga agrave interpretaccedilatildeo da derivada simples Sabemos que para a funccedilatildeo y = f (x) a derivada f prime (x0) pode ser interpretada ou como a taxa de variaccedilatildeo de y em relaccedilatildeo a x no ponto x0 ou como a inclinaccedilatildeo da reta tangente ao graacutefico de f no ponto x0
Para interpretar as derivadas parciais consideramos a funccedilatildeo z = f (xy) e
as suas derivadas parciais no ponto (x0 y0) Vamos interpretar partfpartx
(x0 y0) suponha
que C1 eacute a interseccedilatildeo da superfiacutecie z = f (xy) com o plano y = y0 (o que equivale a
considerar y como constante) Geometricamente partfpartx
(x0 y0) pode ser interpretada
como a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva C1 no ponto (x0 y0) que se denota por partfpartx
(x0 y0) = tg α
Da mesma forma supondo C2 a interseccedilatildeo da superfiacutecie z = f (xy) com
o plano x = x0 (o que equivale a considerar x como constante) interpretamos partfparty
(x0 y0)geometricamente como a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva C2 no ponto
(x0 y0) que se denota por partfparty
(x0 y0) = tg b Veja na Figura 28 a situaccedilatildeo descrita
anteriormente
A derivada parcial partfpartx
(x0 y0) tambeacutem pode ser interpretada como a taxa de variaccedilatildeo de z em relaccedilatildeo a x ao longo da curva C1 E a derivada parcial partf
party (x0 y0)
tambeacutem pode ser interpretada como a taxa de variaccedilatildeo de z em relaccedilatildeo a y ao longo da curva C2 Assim estes valores representam a velocidade com que z cresce (ou decresce) quando apenas uma variaacutevel estaacute sendo alterada
FIGURA 28 ndash INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
y
x
z
x₀
c₂ c₁
y₀
b
α
52
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 10A funccedilatildeo T (xy) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto
de uma chapa Encontre a razatildeo de variaccedilatildeo da temperatura em relaccedilatildeo agrave distacircncia percorrida ao longo da chapa na direccedilatildeo dos eixos positivos x e y no ponto (1 2) Considere a temperatura medida em graus Celsius e a distacircncia em cm
Resoluccedilatildeo
partTpartx = 0 ‒ 2 sdot 2x = ‒ 4x
partTpartx (1 2) = ‒ 4 sdot 1 = ‒ 4degC cm
Assim podemos interpretar o valor ‒ 4degC cm obtido na derivada em x da seguinte forma a temperatura estaacute diminuindo 4degC agrave medida que x aumenta uma unidade
partTparty = 0 ‒ 2 middot 3y = ‒ 6y
partTparty (1 2) = ‒ 6 middot 2 = ‒ 12degC cm
Assim o valor ‒ 12degC cm significa que a temperatura diminui 12degC agrave medida que y aumenta uma unidade
Exemplo 11Suponha que D = radicx 2 + y 2 eacute o comprimento da diagonal de um retacircngulo
cujos lados tecircm comprimentos x e y que satildeo permitidos variar Determine uma foacutermula para a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x se x varia com y considerado constante e utilize esta foacutermula para determinar a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x no ponto x = 3 e y = 4
ResoluccedilatildeoA foacutermula para a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x eacute
D = radicx 2 + y 2 D = (x 2 + y 2)frac12
partDpartx
= 12
(x 2 + y 2)-frac12 (2x)
partDpartx
= radic
xx 2 + y 2
A taxa de variaccedilatildeo instantacircnea de D em relaccedilatildeo a x no ponto (3 4) eacute
partDpartx
(3 4) = radic
332 + 42
= 35
Assim D aumenta a uma taxa de 35
de unidade para cada unidade de aumento de x no ponto (3 4)
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
53
4 GENERALIZACcedilAtildeO
Na seccedilatildeo anterior estudamos as derivadas parciais de funccedilotildees de duas variaacuteveis Agora vamos generalizar este conceito para as derivadas parciais de funccedilotildees de n variaacuteveis reais
Definiccedilatildeo 441 Seja f A sube Rn rarr R uma funccedilatildeo de n variaacuteveis e seja x = (x1 x2 xn) isin A Definimos a derivada parcial de f no ponto x em relaccedilatildeo a xi por
partpart
+ minusrarr
fxi h
i n (x) = f (x x h x f (x
lim )
01 1 xx
hn ) quando esse limite existir
Definiccedilatildeo 442 Seja f A sub Rn rarr R uma funccedilatildeo de n variaacuteveis e seja B sube A o
conjunto formado por todos os pontos x tais que partfpartxi
(x) existe Definimos a funccedilatildeo
derivada parcial de 1ordf ordem de f em relaccedilatildeo a xi como a funccedilatildeo que a cada x isin B associa
o nuacutemero partfpartxi
(x) dado por partfpartxi
(x) = limf (x1 xi + h xn) ‒ f (x1 xi xn)
h( (h rarr 0
Exemplo 12Calcule as derivadas de primeira ordem da funccedilatildeo f (x y z) = 1 + xy 2 ‒ 2z3
ResoluccedilatildeoAo derivar f em relaccedilatildeo a x lembre-se de considerar y e z como constantes
partfpartx
= y 2
Derivando f em relaccedilatildeo a y (agora considere x e z como constantes)
partfparty
= 2xy
E derivando f em relaccedilatildeo a z (considere x e y como constantes)
partfpartz
= ‒ 6z2
Exemplo 13Calcule as derivadas de primeira ordem da funccedilatildeo f (x y z) = yz In (xy)
ResoluccedilatildeoObserve primeiramente que a funccedilatildeo eacute dada por um uacutenico termo e teremos
que usar as regras do produto e do logaritmo natural
54
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Derivando f em relaccedilatildeo a x (considere y e z como constantes) Como a variaacutevel x aparece apenas no logaritmando usaremos a regra do logaritmo natural
partfpartx
= yz ∙ yxy
= yzx
Derivando f em relaccedilatildeo a y (considere x e z como constantes)
Como a variaacutevel y aparece no fator que multiplica o logaritmo e tambeacutem no logaritmando entatildeo aplicaremos a regra do produto junto agrave regra do logaritmo natural
partfparty
= z In (xy) + yz middot xxy
= z In (xy) + z
E derivando f em relaccedilatildeo a z (considere x e y como constantes) a variaacutevel z aparece apenas no fator que multiplica o logaritmo entatildeo aplicaremos a regra da derivada simples em z
partfpartz
= y In (xy)
5 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
As derivadas parciais partfpartx
e partfparty
satildeo funccedilotildees de x e y e assim elas mesmas
podem ter derivadas parciais Com isso teremos outras quatro derivadas parciais estas de segunda ordem de f as quais satildeo definidas por
Exemplo 14Sendo f (xy) = y2 ex + 5y calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
55
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= y2 ex partf
party= 2y ex + 5
Para fazermos as derivadas parciais de segunda ordem vamos derivar parcialmente cada uma das derivadas de primeira ordem em relaccedilatildeo a x e a y Fique atento(a) agrave notaccedilatildeo
Exemplo 15Sendo f (xy) = x2 cos y + y2 sen x encontre as derivadas parciais de segunda
ordem de f
Resoluccedilatildeo
56
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 16Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de f (xy) = x + 3y
ResoluccedilatildeoPrimeiro devemos escrever a funccedilatildeo na forma de potecircnciaf (xy) = (x + 3y)frac12
Observe que devemos aplicar a regra da potecircncia para a derivaccedilatildeo (u α)prime = α uαminus1 uprime
radic
Exemplo 17Dada a funccedilatildeo f (xy) = x3y + 4x2y3 calcule
a) part2fpartypartx
b) part2fpartx2
c) part3fpartxpartypartx
d) part3fpartypartx2
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
57
Resoluccedilatildeo
partpart part
=partpart
partpart
partpart part
=partpart
+( )partpart part
= +
2
22 3
22
3 8
3 24
fy x y
fx
fy x y
x y xy
fy x
x xyy2
partpart
= +
part
part= +
fx
x y xy
fx
xy y
3 8
6 8
2 3
2
23
partpart
= +
partpart part
= +
partpart part part
= +
fx
x y xy
fy x
x xy
fx y x
x y
3 8
3 24
6 24
2 3
22 2
32
partpart
= +
part
part= +
part
part part= +
fx
x y xy
fx
xy y
fy x
x y
3 8
6 8
6 24
2 3
2
23
3
22
Talvez vocecirc tenha percebido nos exemplos que as derivadas mistas de segunda ordem part2f
partxparty e part2f
partypartx satildeo iguais Seraacute que isto ocorre sempre
Respondendo agrave pergunta A igualdade entre as derivadas parciais mistas
ocorre quando a funccedilatildeo f (xy) e suas derivadas parciais part2fpartx2
part2fpartxparty
part2fpartypartx
e part2fparty2
forem todas contiacutenuas fato este que nem sempre ocorre
Caro(a) acadecircmico(a) mostre que partpart part
( ) = partpart part
( ) =2 2
0 0 0 0 0 1f
x yf
y x e considerando a
funccedilatildeo f x yxyx y
x y
x y
( ) = +
( ) ne ( )
( ) =
3
2 20 0
0 0 0
se
se (( )
UNI
UNI
a) b)
c) d)
58
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Este fato se repete para funccedilatildeo de trecircs variaacuteveis isto eacute teremos a igualdade
das seis derivadas parciais mistas part2fpartxparty
part2fpartypartx
= part2fpartxpartz
part2fpartzpartx
= e part2fpartypartz
part2fpartzparty
= se f
(x y z) e todas as suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contiacutenuas
Verifique se de fato as derivadas mistas satildeo iguais para a funccedilatildeo f (x y z) = x y2z3 + 3 yz
Teorema 451 (Teorema de Schwarz) Suponhamos que f seja uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis x e y definida em bola aberta B com derivadas parciais de segunda
ordem contiacutenuas em B Entatildeo part2fpartxparty
part2fpartypartx
(a b) = (a b) para todo (a b) isin B
Como consequecircncia do teorema se a funccedilatildeo z = f (xy) tem todas as derivadas parciais contiacutenuas em uma bola aberta entatildeo a ordem da derivada natildeo importa Por exemplo
A seguir apresentaremos a biografia de dois grandes matemaacuteticos Johann Bernoulli e Leonhard Euler que entre outros tambeacutem contribuiacuteram bastante para o desenvolvimento do caacutelculo diferencial e integral
UNI
UNI
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
59
LEITURA COMPLEMENTAR
JOHANN BERNOULLI (1667-1748)
Johann Bernoulli irmatildeo de Jacques Bernoulli nasceu no dia 27 de julho na Basileia Seus pais Nicolaus e Margaretha Bernoulli queriam que ele fosse comerciante ou meacutedico Johann pode ter sido influenciado quando crianccedila pelo seu irmatildeo Jacques que jaacute estava na carreira matemaacutetica
Em 1682 com 15 anos de idade trabalhou no comeacutercio durante um ano poreacutem natildeo gostou da atividade Em 1683 ingressou na Universidade da Basileia para estudar Medicina apesar de ter sempre gostado de Matemaacutetica Quatro anos depois seu irmatildeo foi nomeado professor de Matemaacutetica na Universidade e de 1687 a 1690 Johann e Jacques Bernoulli estudaram juntos as teorias de Leibniz sobre o Caacutelculo Na eacutepoca essas teorias natildeo tinham sido compreendidas por nenhum outro matemaacutetico e os irmatildeos Bernoulli foram os primeiros a estudaacute-las Os dois irmatildeos e Leibniz iniciaram uma seacuterie de artigos publicados na Acta Eruditorum dando origem agrave difusatildeo do Caacutelculo Leibniziano tornando-o amplamente conhecido
Em 1691 Johann foi agrave Franccedila onde conheceu o marquecircs de LrsquoHospital O marquecircs interessou-se pelo novo Caacutelculo e ofereceu um bom salaacuterio para que Johann lhe ensinasse O acordo permitia ao marquecircs usar todo o conteuacutedo ensinado como o desejasse A consequecircncia disso foi a importante contribuiccedilatildeo de Johann Bernoulli conhecida como Regra de LrsquoHospital publicada pelo marquecircs em seu primeiro livro sobre Caacutelculo em 1696 No prefaacutecio do livro LrsquoHospital fez menccedilatildeo a Johann Bernoulli mas natildeo lhe atribuiu o famoso teorema Soacute depois da morte do marquecircs Johann contestou a autoria poreacutem havia perdido a credibilidade no assunto devido agraves desavenccedilas puacuteblicas principalmente com seu irmatildeo Jacques Bernoulli Esse reconhecimento soacute aconteceu em 1922 quando encontraram uma coacutepia do curso na Basileia
60
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
A determinaccedilatildeo da equaccedilatildeo da catenaacuteria foi o primeiro problema importante resolvido por Johann Bernoulli em 1691 Esse problema existia haacute mais de 50 anos e Galileo em 1636 sugerira uma soluccedilatildeo Em 1646 Huygens provou que a soluccedilatildeo de Galileo era falsa mas tambeacutem natildeo conseguiu resolver o problema A catenaacuteria eacute a forma assumida por uma corda ou corrente suspensa livremente por dois pontos O problema era determinar sua equaccedilatildeo Utilizando o Caacutelculo Leibniziano Johann Bernoulli resolveu o problema e esse foi o primeiro sucesso puacuteblico do novo Caacutelculo
Em 1694 ele estudou as curvas exponenciais y = ax e y = xx Para Bernoulli a integraccedilatildeo era a operaccedilatildeo inversa da diferenciaccedilatildeo Tal concepccedilatildeo permaneceu ateacute a eacutepoca de Cauchy
Johann teve trecircs filhos Nicolaus (1695-1726) Daniel (1700-1782) e Johann (1710-1790) Todos eles foram matemaacuteticos e Daniel produziu um trabalho sobre Hidrodinacircmica conhecido como Princiacutepio de Bernoulli
Johann nunca chegou a publicar seu livro sobre o Caacutelculo poreacutem escreveu sobre a isoacutecrona soacutelidos de resistecircncia miacutenima trajetoacuterias problemas isoperimeacutetricos conseguindo tal reconhecimento pelo seu trabalho que apoacutes a morte de seu irmatildeo em 1705 foi chamado para ocupar a cadeira dele na Universidade de Basileia
Johann Bernoulli morreu no dia 1ordm de janeiro de 1748 na Basileia
FONTE E-CAacuteLCULO Mapa da histoacuteria Leibniz Disponiacutevel em lthttpecalculoifuspbrhistoriabernoulli1htmgt Acesso em 10 jun 2008
EULER LEONHARD (1707-1783)
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
61
Nascido na Basileia Suiacuteccedila Leonhard Euler foi a figura matemaacutetica dominante do seu seacuteculo e o matemaacutetico mais proliacutefico de que se tem notiacutecia Era tambeacutem astrocircnomo fiacutesico engenheiro e quiacutemico Foi o primeiro cientista a dar importacircncia ao conceito de funccedilatildeo estabelecendo desse modo uma base soacutelida para o desenvolvimento do caacutelculo e de outras aacutereas da matemaacutetica A coleccedilatildeo completa dos livros e trabalhos de Euler (mais de 870 artigos e livros) chega a mais de 80 volumes Ele contribuiu enormemente no campo da geometria analiacutetica da trigonometria do caacutelculo e da teoria dos nuacutemeros
Ainda jovem Euler demonstrou um futuro promissor como matemaacutetico apesar de seu pai preferir que estudasse teologia Felizmente Johann Bernoulli convenceu o pai a permitir que Euler se concentrasse no estudo da matemaacutetica Graduou-se pela Universidade da Basileia defendendo uma tese em que comparava o trabalho de Descartes ao de Newton Euler conseguiu uma posiccedilatildeo em Satildeo Petersburgo e durante alguns anos foi meacutedico na Marinha russa Em 1733 tornou-se professor de Matemaacutetica na Academia de Ciecircncias de Satildeo Petersburgo Em 1736 publicou a obra Mechanica em dois volumes na qual aplicou sistematicamente o caacutelculo agrave matemaacutetica de uma massa e incorporou muitas equaccedilotildees diferenciais novas agrave mecacircnica Em 1738 ele perdeu a vista direita Em 1741 conseguiu uma posiccedilatildeo como diretor matemaacutetico da Academia de Ciecircncias de Berlim Laacute desenvolveu alguns trabalhos como a traduccedilatildeo e a melhoria de Principles of Gunnery de Robin a publicaccedilatildeo de Scienia navalis em 1749 e Letters to a german princess de 1768 a 1772 e o ensino de Lagrange por correspondecircncia Em 1766 Euler retornou agrave Ruacutessia a convite de Catarina a Grande Em 1771 perdeu a visatildeo no olho esquerdo ficando completamente cego Seu trabalho foi do caacutelculo e da anaacutelise agrave medida que publicou sua trilogia Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis e Institutiones calculi integralis Esses trabalhos que perfaziam um total de seis volumes fizeram da funccedilatildeo uma parte central do caacutelculo e tratavam de aacutelgebra trigonometria geometria analiacutetica e teoria dos nuacutemeros Por meio desses tratados Euler influenciou grandemente o ensino da matemaacutetica Diz-se que todos os livros didaacuteticos de caacutelculo desde 1748 satildeo essencialmente coacutepias de Euler ou coacutepias de coacutepias dele Algumas de suas contribuiccedilotildees para as equaccedilotildees diferenciais satildeo as seguintes a reduccedilatildeo da ordem o fator integrante coeficientes indeterminados a teoria das equaccedilotildees lineares de segunda ordem e soluccedilotildees das seacuteries de potecircncias Ele tambeacutem incorporou o caacutelculo vetor e as equaccedilotildees diferenciais em seus trabalhos
Euler deu agrave geometria analiacutetica moderna e agrave trigonometria o que o livro Elements de Euclides deu agrave geometria e a tendecircncia resultante de apresentar a matemaacutetica e a fiacutesica em termos matemaacuteticos prosseguiu desde entatildeo Euler enriqueceu a matemaacutetica com muitos conceitos teacutecnicos e notaccedilotildees ainda em uso nos dias de hoje Ele deu ordem ao caos da notaccedilatildeo matemaacutetica Estabeleceu a maior parte da notaccedilatildeo que utilizamos hoje (seno co-seno e pi i sigma f para funccedilatildeo) A contribuiccedilatildeo de Euler para a teoria dos nuacutemeros e para a fiacutesica foi igualmente impressionante Em sua obra Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (Theory of the motions of rigid bodies) de 1765 ele fundou as bases da mecacircnica contiacutenua e da teoria lunar Sua influecircncia no campo da fiacutesica matemaacutetica
62
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
foi tatildeo difusa que a maior parte das descobertas natildeo eacute creditada a ele No entanto temos as equaccedilotildees de Euler para a rotaccedilatildeo de um corpo riacutegido fluxo de um fluido ideal incompressiacutevel flexatildeo de vigas elaacutesticas e carregamentos para empenamento de colunas Ele calculava sem esforccedilo aparente como os homens respiram ou como as aacuteguias se sustentam no vento Euler foi o Shakespeare da matemaacutetica universal ricamente detalhista e incansaacutevel
Teoremas principais adiccedilatildeo de seacuteries teorema das pontes de Koumlnigsberg
Principais obras Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis Institutiones calculi integrali Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum Mechanica Letters to a German princess
FONTE GUIA para a histoacuteria do Caacutelculo Euler Leonhard Disponiacutevel em lthttpcwxprenhallcombookbindpubbooksthomas_brchapter1medialibcustom3bioseulerhtmgt Acesso em 17 jul 2011
63
RESUMO DO TOacutePICO 4
Caro(a) acadecircmico(a) Neste toacutepico foram estudadas as derivadas parciais
bull Vocecirc deve ter percebido que o seu caacutelculo eacute similar ao caacutelculo de derivadas simples a diferenccedila estaacute no fato de ter agora duas variaacuteveis e ter que derivar a funccedilatildeo em termos de uma delas enquanto a outra eacute considerada como constante
Ou seja partfpartx
estamos derivando f (xy) em relaccedilatildeo a x considerando y como constante
bull A derivada parcial partfpartx
(x0 y0) eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva da superfiacutecie
z = f (xy) no plano vertical y = y0
bull Analogamente partfparty
(x0 y0) eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva da superfiacutecie
z = f (xy) no plano vertical x = x0
64
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre derivadas parciais
1 A funccedilatildeo T (xy) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto de
uma chapa Foram calculadas as derivadas parciais no ponto (2 3) e chegou-
se aos resultados partzpartx
(2 3) = ‒ 8 e partzparty
(2 3) = ‒ 18 Decirc os significados para
os dois valores obtidos com as derivadas parciais no ponto (2 3)
2 Nos exerciacutecios a seguir calcule as derivadas parciais partfpartx
e partfparty
das funccedilotildeesa) f (xy) = 2x2 ‒ 3y ‒ 4b) f (xy) = (x2 ‒ 1) (y + 2)c) f (xy) = (xy ‒ 1)2
d) f (xy) = 1x + y
e) f (xy) = ex + y + 1
f) f (xy) = In (2x + y)
3 Calcule as derivadas parciais de segunda ordem part2fpartx2
part2fpartxparty
part2fpartypartx
e part2fparty 2
das funccedilotildees a seguir
a) f (xy) = e3x sen yb) f (xy) = xey + y + 1
65
UNIDADE 2
DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Nessa unidade vamos
bull conhecer os principais conceitos que envolvem derivadas de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
bull aplicar a regra da cadeia nas derivadas parciaisbull calcular implicitamente as derivadas de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveisbull entender o conceito de diferenciabilidadebull entender o conceito de vetor gradiente e saber calculaacute-lobull entender o conceito de derivada direcional e saber calculaacute-labull calcular os miacutenimos e maacuteximos locais de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveisbull resolver problemas envolvendo minimizaccedilatildeo e maximizaccedilatildeo de funccedilotildees
de vaacuterias variaacuteveisbull aplicar o conceito de integrais muacuteltiplasbull calcular as integrais muacuteltiplas
Esta unidade estaacute dividida em quatro toacutepicos apresentando os conceitos e a utilizaccedilatildeo das derivadas parciais e tambeacutem a integraccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Dando continuidade ao estudo da unidade anterior seguimos com a regra da cadeia e a derivaccedilatildeo impliacutecita de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis resolven-do diversos exemplos para auxiliaacute-lo(a) na compreensatildeo e resoluccedilatildeo dos exer-ciacutecios propostos no final de cada toacutepico como vocecirc jaacute estaacute habituado em nossos cadernos de estudos Nos toacutepicos seguintes continuamos explorando outros conceitos e aplicaccedilotildees relacionados com as derivadas parciais tais como dife-renciabilidade de uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis diferencial vetor gradiente derivadas direcionais extremos locais e problemas envolvendo a otimizaccedilatildeo (minimizaccedilatildeo e maximizaccedilatildeo) de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Encerramos esta unidade com o estudo das integrais muacuteltiplas que eacute a integraccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Esperamos que este material possa auxiliaacute-lo em seus estudos
TOacutePICO 1 ndash REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
TOacutePICO 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE
TOacutePICO 3 ndash MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
TOacutePICO 4 ndash INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
66
67
TOacutePICO 1
REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
A regra para funccedilotildees compostas eacute tradicionalmente chamada de regra da cadeia Nesta seccedilatildeo vamos apresentar a regra da cadeia para funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
2 REGRA DA CADEIA
Inicialmente consideramos dois casos especiacuteficos de funccedilotildees de duas variaacuteveis e em seguida apresentamos a regra da cadeia generalizada
Teorema 121 (Regra da Cadeia ndash derivada total) Suponha que z = f (xy) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x e y onde x = x (t) e y = y (t) satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis de t Entatildeo a funccedilatildeo z = f (x(t) y (t)) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de t e
dzdt
zxdxdt
zydydt
=partpart
sdot +partpart
sdot
FIGURA 29 ndash DIAGRAMA DA AacuteRVORE PARA A REGRA DA CADEIA
FONTE O autor
partpartzx
partpartzy
dxdt
dydt
z
x y
t t
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
68
Exemplo 1Sejam z = f (xy) = 4x 3 y 2 x = t 4 e y = 3t 2
ResoluccedilatildeoComeccedilamos calculando as derivadas parciais partzpartx
= 12x2y2
partzparty
= 8x 3y
e em seguida calculamos as outras derivadas
partxpartt
= 4t 3
dydt
= 6t
Aplicamos a regra da cadeia substituindo as derivadas calculadas anteriormente
Substituindo x = t 4 e y = 3t 2 na expressatildeo acima temos
dzdt
= 12(t 4)2 (3t 2)2 ∙ 4t 3 + 8(t 4)3
∙ 3t 2 ∙ 6t
= 144t 15 + 144t 15
= 288t 15
Exemplo 2Sejam z = f (xy) = In (3x 2 + y) x = t + 1 e y = 5t
a) Calcule partzpartt
usando a regra da cadeiab) Determine a funccedilatildeo composta z = f (t + 15 t) e calcule dz
dt
Resoluccedilatildeo
a) Aplicaremos a regra da cadeia
Sabendo que y = In u rArr y prime = u primeu
calcularemos separadamente
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
69
Agora aplicamos
Substituindo x = t + 1 e y = 5t na expressatildeo anterior temos
ou seja
dzdt
6t + 113(t + 1)2 + 5t
=
dzdt
6(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t
=
b) A funccedilatildeo composta eacutez = f (t + 15 t)z = In (3(t + 1)2 + 5 t)
A derivada de z em relaccedilatildeo a t (calculada a partir desta expressatildeo) eacute
dzdt
32(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t
=
dzdt
6t + 113(t + 1)2 + 5t
=
Compare os resultados obtidos nos itens (a) e (b) do Exemplo 2 A facilidade do uso da regra da cadeia estaacute em derivar funccedilotildees ldquomenoresrdquo e posteriormente na substituiccedilatildeo ter menos trabalho algeacutebrico
UNI
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
70
Exemplo 3Sejam z = x2 + 2xy + y2 x = cos t e y = sen t Determine dz
dt
ResoluccedilatildeoUsando a regra da cadeia
dz = partz dx + partz dydt partx dt party dt
= (2x + 2y) (‒ sen t) + (2x + 2y) (cos t) = (2x + 2y) (cos t ‒ sen t) = 2(cos t + sen t) (cos t ‒ sen t)ou seja
dz = 2(cos2 t ‒ sen2 t)dt
Vimos no Teorema 121 como aplicar a regra da cadeia no caso da derivada total quando a funccedilatildeo tem duas variaacuteveis independentes Vamos generalizar esta derivada total para funccedilotildees com mais de duas variaacuteveis
Se a funccedilatildeo tiver mais de duas variaacuteveis representaremos por f (x1 x2 x3 xn) onde x1(t ) x2(t ) x3(t ) xn (t ) satildeo funccedilotildees de t Sua derivada em relaccedilatildeo a t eacute dada pela regra da cadeia
Como a derivada acima possui muitas parcelas eacute possiacutevel reescrever a regra usando o somatoacuterio
Exemplo 4Dada a funccedilatildeo f (xyz) = 3x ‒ 2y 3 + z2 onde x = sen t y = e2t e z = 4t 2 ‒ 3
encontre a derivada de f com relaccedilatildeo a t
ResoluccedilatildeoUsando a regra da cadeia
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
71
dfdt
fxdxdt
fydydt
fzdzdt
xx y z d
dt
=partpart
sdot +partpart
sdot +partpartsdot
=partpart
minus +( ) sdot se3 2 3 2 nn
ty
x y z ddte
zx y z d
dttt( ) + part
partminus +( ) sdot ( ) + part
partminus +( ) sdot minus( )3 2 3 2 4 33 2 2 3 2 2
s
= ( ) + minus( )( ) + sdot
= minus +
=
3 6 2 2 8
3 12 16
3
2 2
2 2
co t y e z t
t y e zt
t
tcos
coos
cos
t e e t t
t t t
t t
t
minus ( ) + minus( )= minus + minus
12 16 4 3
3 12 64 48
2 2 2 2
6 3
ou seja
ddfdt
t e t tt t= minus + minus+3 12 64 484 2 32cos
Exemplo 5A que taxa estaacute crescendo a aacuterea de um retacircngulo se seu comprimento eacute de
8 cm e estaacute crescendo a uma taxa de 05 cms enquanto que sua largura eacute de 6 cm e estaacute crescendo 02 cms
Resoluccedilatildeo
A aacuterea de um retacircngulo pode ser escrita como A (xy) = xy consideremos
x o comprimento e y a largura Atraveacutes do enunciado percebe-se que devemos
calcular dAdt
jaacute que as outras taxas dadas satildeo dx = 05dt
e dy = 02dt
O caacutelculo da
derivada deve ser feito para o ponto de coordenadas (8 6)
Como a aacuterea estaacute em funccedilatildeo de duas variaacuteveis x e y e estas por sua vez estatildeo relacionadas ao tempo atraveacutes da regra da cadeia temos
Calculamos as derivadas parciais para A (xy) = xy obtendo
partA = ypartx e
partA = xparty
Substituindo na regra da cadeia
dA = y middot 05 + x middot 02dt = 6 sdot 05 + 8 sdot 02 = 46
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
72
Dizer que dA = 46dt
cm2s significa que a aacuterea de um retacircngulo de dimensotildees
8x6 estaacute crescendo 46 cm2 a cada segundo
Exemplo 6Uma peccedila ciliacutendrica tem 12 cm de raio e 18 cm de altura Se o raio diminuir
agrave razatildeo de 002 cms e a altura aumentar agrave razatildeo de 003 cms entatildeo determine a taxa de variaccedilatildeo do volume em relaccedilatildeo ao tempo
ResoluccedilatildeoSejam r e h o raio e a altura de uma peccedila ciliacutendrica respectivamente e seja t
o tempo em segundos Podemos interpretar as taxas dadas como derivadas
drdt
dhdt
= minus =0 02 0 03 e + no instante em que r = 12 e h = 18
Queremos calcular dVdt
nesse instante Para isso usamos a foacutermula V (r h) = pr 2h do volume do cilindro para obter
dV =
partV dr +
partV dh dt partr dt parth dt
= 2prh dr + pr 2 dh dt dt
Substituindo os dados na regra da cadeia temos
dV = 2p12 18 (‒002) + p122 003dt = ‒864p + 432p = ‒432p
Portanto dV = ‒432pdt
cm3s significa que o volume de um cilindro de 12 cm de raio e 18 cm de altura estaacute diminuindo 432p cm3 a cada segundo
Teorema 122 (Regra da cadeia para derivadas parciais) Suponha que z = f (uv) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de u e v onde u = u (xy) e v = v (xy) satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis de x e de y Entatildeo z = f (u(xy)v(xy)) eacute uma funccedilatildeo de x e y e
Vamos construir um esquema denominado de diagrama da aacutervore para melhor compreensatildeo e execuccedilatildeo da regra da cadeia Proceda da seguinte forma
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
73
I) Trace um diagrama em aacutervore exprimindo as relaccedilotildees entre as variaacuteveis envolvidas
II) Para cada ramificaccedilatildeo da aacutervore determine a derivada parcial com relaccedilatildeo a estas variaacuteveis
III) Multiplique as derivadas determinadas em cada passo ao longo do caminhoIV) Some as contribuiccedilotildees de cada caminho
FIGURA 30 ndash DIAGRAMA DA AacuteRVORE PARA A REGRA DA CADEIA PARA DERIVADAS PARCIAIS
FONTE O autor
Exemplo 7Se z = f (uv) = eu cos v onde u = xy e v = x + y 2 determine
partz partx
e partz party
usando a regra da cadeia
Resoluccedilatildeo
partpart
=partpart
sdotpartpart
+partpart
sdotpartpart
zx
fu
ux
fv
vx
=partpart ( ) sdot partpart ( ) + part
part ( ) sdot partpart +( )
= sdot minus
ue v
xxy
ve v
xx y
e v y se
u u
u
cos cos
cos
2
nnv e
e y x y x y
u
xy
sdot
= +( ) minus +( )
cos
1
2 2sen
e
partpart
=partpart
sdotpartpart
+partpart
sdotpartpart
zy
fu
uy
fv
vy
Z
U V
yx yx
partpartzu
partpartzv
partpartux
partpartuy
partpartvx
partpartvy
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
74
Teorema 123 (Regra da cadeia generalizada) Suponha que w = f (u1 u2 un) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de n variaacuteveis u1 u2 un onde cada uj eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de m variaacuteveis x1 x2 xm Entatildeo w eacute uma funccedilatildeo de x1 x2 xm e
para cada i = 1 2 m
Exemplo 8Suponha que todas as funccedilotildees sejam diferenciaacuteveis w = f (x y z) x = x (r θ
γ) y = y (r θ γ) e z = z (r θ γ) Determine partw partr
partw partθ
e partw partγ
ResoluccedilatildeoAplicando o Teorema 123 temos
Exemplo 9Utilize a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais partz
parts e partz
partt para
as funccedilotildees z = x2 + xy + y2 x = s + t e y = st
ResoluccedilatildeoAplicando o Teorema 122 temos
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
75
3 DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
Vimos no estudo das funccedilotildees de uma variaacutevel (no Caderno de Estudos da disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral) que uma equaccedilatildeo do tipo F (xy) = 0 define y implicitamente como uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x ou seja y = f (x) Nesta seccedilatildeo vamos estudar a derivaccedilatildeo parcial de funccedilotildees dadas de forma impliacutecita Consideraremos duas situaccedilotildees especiacuteficas
Suponhamos que a funccedilatildeo y = f (x) seja definida implicitamente pela equaccedilatildeo
F (xy) = 0 Se f e F satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis e partpart
( )( ) neFyx f x 0 entatildeo podemos
encontrar a derivada dydx
derivando ambos os lados da equaccedilatildeo F (xy) = 0 em
relaccedilatildeo a x Usando a regra da cadeia temos
partpart
sdot +partpart
sdot =Fxdxdx
Fydydx
isin
Como partpart
( )( ) neFyx f x 0 e dx
dx= isin1 segue
A situaccedilatildeo colocada anteriormente pode ser escrita sob condiccedilatildeo da funccedilatildeo F estar definida em uma bola aberta conforme estamos tratando as funccedilotildees de duas variaacuteveis A seguir veremos como aplicar a derivada impliacutecita neste contexto
0
partpart
sdot = minuspartpart
sdot
=minuspartpartpartpart
Fydydx
Fxdxdx
dydx
FxFy
isin
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
76
Exemplo 10Supondo que a funccedilatildeo y = f (x) eacute definida implicitamente pela equaccedilatildeo
In (x2 y) + 2x3 = 4y determine sua derivada dydx
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo dada pode ser escrita da seguinte formaF (xy) = In (x2y) + 2x3 ‒ 4y = 0
Calculando as derivadas parciais temos
partF = 2xy + 6x2 = 2 + 6x2
partx x2 y x
e
partF = x2 ‒ 4 = 1 ‒ 4
party x2 y y
Aplicando a foacutermula do Teorema 131 obtemos
Se F eacute definida numa bola aberta contendo (ab) onde F (ab) = 0 partF = (ab) ne 0party
e partF partx
e partF party
satildeo funccedilotildees contiacutenuas nessa bola entatildeo a equaccedilatildeo F (xy) = 0 define y
como uma funccedilatildeo de x perto do ponto (ab) e a derivada dessa funccedilatildeo eacute dada pela
foacutermula obtida anteriormente
Essa relaccedilatildeo nos daacute um caminho mais simples para encontrar derivadas de funccedilotildees definidas implicitamente
Teorema 131 Suponha que F (xy) seja diferenciaacutevel e que a equaccedilatildeo F (xy) = 0 define y como uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x Entatildeo em qualquer ponto onde partF ne 0
party
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
77
Vamos ver como fica o Teorema da Funccedilatildeo Impliacutecita para funccedilotildees de duas variaacuteveis independentes
Suponhamos que a funccedilatildeo z = f (xy) seja dada implicitamente pela equaccedilatildeo F
(xyz) = 0 Se f e F satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis e partF (x y f (xy)) ne 0partz
podemos aplicar a
regra da cadeia para obter as partzpartx
e partzparty
Derivando os dois membros da equaccedilatildeo F
(xyz) = 0 em relaccedilatildeo a x temos
Mas part (x) = 1partx
e part (y) = 0partx
portanto
De modo semelhante obteacutem-se
Como no caso anterior estamos assumindo que a equaccedilatildeo F (xyz) = 0 define z implicitamente como funccedilatildeo de x e y Outra versatildeo do Teorema da Funccedilatildeo Impliacutecita fornece as condiccedilotildees para que a hipoacutetese seja vaacutelida
Teorema 132 Suponha que F (xyz) seja continuamente diferenciaacutevel e que
z = f (xy) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel que satisfaz a equaccedilatildeo F (xyz) = 0 Entatildeo em
qualquer ponto (xyz) onde partF ne 0partz
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
78
Exemplo 11Determine partz
partx e partz
party se x4 + y4 + z4 = 5xyz ‒ 2
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo x4 + y4 + z4 = 5xyz ‒ 2 pode ser escrita da seguinte forma F (xyz) = x4 + y4 + z4 ‒ 5xyz + 2 e esta funccedilatildeo eacute continuamente diferenciaacutevel
Vamos calcular as derivadas parciais de F
Entatildeo pelo Teorema 132 temos
Exemplo 12Suponha que a funccedilatildeo diferenciaacutevel z = f (xy) seja definida pela equaccedilatildeo
xy + zez = 0
Resoluccedilatildeo
79
RESUMO DO TOacutePICO 1
Neste toacutepico vocecirc viu que
bull Se a funccedilatildeo tiver mais de duas variaacuteveis representaremos por f (x1 x2 x3 xn) onde x1(t) x2(t) x3(t) xn(t) satildeo funccedilotildees de t entatildeo a sua derivada em relaccedilatildeo a ldquotrdquo eacute dada pela regra da cadeia
bull Se z = f (xy) eacute uma funccedilatildeo das variaacuteveis x e y que dependem de duas outras variaacuteveis digamos u e v Entatildeo
z = f (x(u v) y (u v)) eacute uma funccedilatildeo composta de u e v Dizemos que u e v satildeo as variaacuteveis independentes
bull Se w = f (u1 u2 un) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de n variaacuteveis u1 u2 un onde cada uj eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de m variaacuteveis x1 x2 xm Entatildeo w eacute uma funccedilatildeo de x1 x2 xm e
para cada i = 1 2 m
bull A derivada impliacutecita eacute usada para encontrar as derivadas parciais partzpartx
e partzparty
quando z estiver definida implicitamente por uma equaccedilatildeo F (x y z) = 0 Entatildeo em
qualquer ponto (x y z) onde partF ne 0partz
80
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre diferenciabilidade de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
1 Considere as funccedilotildees f (xy) = 4y ‒ 3x2 x (t) = t3 ‒ 1 e y (t) = 1 ‒ t3
Calcule a funccedilatildeo composta z = f (x(t) y(t))
Encontre dzdt
usando a funccedilatildeo composta
Encontre dzdt
usando a regra da cadeia
2 Use a regra da cadeia para determinar partzpartx
e partzparty
sabendo que z = u 2 + v 2 u = x 2 ‒ y 2 e v = e2xy
3 Determine a derivada da funccedilatildeo impliacutecita f tal que y = f (x) estaacute definida pela equaccedilatildeo x4 ‒ y + 4xy3 ‒ 78 = 0
4 Se x3 ‒ xy + 4xz ‒ 5 = 0 calcular partzpartx
e partzparty
usando a regra de derivaccedilatildeo de funccedilatildeo impliacutecita
5 Mostre que a equaccedilatildeo F (xy) = x2y + sen y = 0 define implicitamente uma funccedilatildeo derivaacutevel y = f (x)
6 O raio da base de um cone circular reto estaacute aumentando a uma taxa de 3 cms e a altura estaacute diminuindo a uma taxa de 2 cms A que taxa estaacute variando o volume do cone no instante em que a altura eacute igual a 20 cm e o raio eacute igual a 14 cm
7 Um carro A estaacute viajando para o norte na rodovia 16 e um carro B estaacute viajando para o oeste na rodovia 83 Os dois carros se aproximam da interseccedilatildeo dessas rodovias Em certo momento o carro A estaacute a 03 km da interseccedilatildeo viajando a 90 kmh ao passo que o carro B estaacute a 04 km da interseccedilatildeo viajando a 80 kmh Qual a taxa de variaccedilatildeo da distacircncia entre os carros nesse instante
8 Determine partzpartx
e partzparty
se xyz3 = cos (x + y + z)
9 Determine partzpartx
e partzparty
se yz = In (x + z)
81
TOacutePICO 2
DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico vamos estender o conceito de diferenciabilidade de funccedilatildeo de uma variaacutevel agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis Esse conceito tem consequecircncias muito importantes no caacutelculo assim como nos problemas de otimizaccedilatildeo que estudaremos no proacuteximo toacutepico Tambeacutem seraacute estudado o vetor gradiente e as derivadas direcionais conceitos que possuem grande aplicabilidade nas engenharias
2 DIFERENCIABILIDADE
Vamos entatildeo introduzir o conceito de diferenciabilidade que entre outras propriedades garante a continuidade da funccedilatildeo Introduziremos este importante assunto por analogia com o conceito de diferenciabilidade de funccedilotildees de uma variaacutevel
Considere uma funccedilatildeo f de uma variaacutevel real Dizer que f eacute diferenciaacutevel
em x = x0 significa que o existe ou seja eacute um nuacutemero real Em
outras palavras f eacute diferenciaacutevel em x0 quando existe um nuacutemero real denotado
por f prime (x0) tal que
Podemos reescrever este limite da seguinte forma
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
82
que eacute equivalente a
Assim f eacute diferenciaacutevel em x0 se existir um nuacutemero real f prime (x0) tal que
Neste caso se uma funccedilatildeo eacute derivaacutevel num ponto ela eacute contiacutenua no ponto
Com isso temos condiccedilotildees de apresentar a definiccedilatildeo de diferenciabilidade de funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 221 Seja f A sub R2 rarr R uma funccedilatildeo definida no conjunto aberto A Dizemos que f eacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0) isin A se as derivadas parciais partf (x0 y0)partx
e partf (x0 y0)party existem e se
Quando f eacute diferenciaacutevel em todos os pontos de seu domiacutenio dizemos que f eacute diferenciaacutevel
Da Definiccedilatildeo 221 podemos destacar alguns pontos
bull Para provar que uma funccedilatildeo eacute diferenciaacutevel em (x0 y0) usando a definiccedilatildeo devemos mostrar que as derivadas parciais existem em (x0 y0) e aleacutem disso que o limite
bull Se uma das derivadas parciais natildeo existe no ponto (x0 y0) f natildeo eacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
83
bull Se o limite
for diferente de zero ou natildeo existir f natildeo seraacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0) mesmo se existirem as derivadas parciais nesse ponto
Exemplo 1Use a Definiccedilatildeo 221 para mostrar que f (xy) = 5x + 2y eacute diferenciaacutevel
ResoluccedilatildeoSeja (x0 y0) isin D (f ) = R 2 Para mostrar que f eacute diferenciaacutevel em (x0 y0) devemos
mostrar que partf (x0 y0)partx e partf (x0 y0)party
existem e que o limite da Definiccedilatildeo 121 eacute zero
A funccedilatildeo f tem derivadas parciais em (x0 y0) e satildeo dadas por partf (x0 y0) = 5partx
e partf (x0 y0) = 2party
Agora
Como (x0 y0) eacute um ponto qualquer em R 2 temos que f eacute diferenciaacutevel
Teorema 221 Se f eacute diferenciaacutevel em A sub R2 entatildeo f eacute contiacutenua em cada ponto de A
Exemplo 2
Verifique se a funccedilatildeo f (x y) = eacute contiacutenua no ponto (33)
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
84
ResoluccedilatildeoPrecisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(Unidade 1)
(i) f (33) = 5 pois x = y
(ii) portanto este limite
natildeo existe
Como concluiacutemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no
ponto (33) Mostramos que f eacute descontiacutenua no ponto (33) portanto pelo Teorema 221 f natildeo eacute diferenciaacutevel em (33)
Nem sempre eacute faacutecil usar a Definiccedilatildeo 221 para verificar a diferenciabilidade de uma funccedilatildeo O teorema a seguir fornece uma condiccedilatildeo suficiente para que uma funccedilatildeo seja diferenciaacutevel
Teorema 222 Se as derivadas parciais partf partx
e partf party
existem em algum conjunto
aberto A contendo (x0 y0) e satildeo contiacutenuas em (x0 y0) entatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em (x0 y0)
Exemplo 3Mostre que a funccedilatildeo f (xy) = cos (xy) eacute diferenciaacutevel em todo R2
ResoluccedilatildeoPara mostrar que f eacute diferenciaacutevel aplicaremos o Teorema 222 Para isso
calcularemos as derivadas parciais
partf partx
= ‒y sen(xy) e partf party
= ‒x sen(xy)
Temos que as derivadas parciais satildeo contiacutenuas em todo ponto (xy) isin R2
Logo pelo Teorema 222 a funccedilatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em todo ponto de R2
Exemplo 4Os polinocircmios (funccedilotildees polinomiais) em vaacuterias variaacuteveis satildeo claramente
diferenciaacuteveis em todo ponto de Rn
Exemplo 5Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = x2 ‒ 3y2 eacute diferenciaacutevel em R2
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
85
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo f tem derivadas parciais em todos os pontos de R2 e satildeo dadas
por partf partx
= 2x e partf party
= ‒6y
As derivadas parciais satildeo contiacutenuas pois satildeo funccedilotildees polinomiais
Portanto f eacute diferenciaacutevel em R2
Exemplo 6Verifique se a funccedilatildeo g (xy) = ex+y eacute diferenciaacutevel em R2
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo g tem derivadas parciais em todos os pontos de R2 Estas satildeo
dadas por partg partx
= ex+y e partg party
= ex+y
Daiacute segue que as funccedilotildees derivadas parciais satildeo contiacutenuas em R2
Portanto g eacute diferenciaacutevel em R2
3 DIFERENCIAL
Suponha que saibamos o valor de uma funccedilatildeo derivaacutevel em um ponto (x0y0) e que desejamos prever a variaccedilatildeo que esse valor sofreraacute se formos para um ponto x0 + dx Como os valores da reta satildeo mais simples de calcular o caacutelculo da variaccedilatildeo da reta nos oferece um modo praacutetico de estimar a variaccedilatildeo em f conforme podemos observar na Figura 31
FIGURA 31 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DA DIFERENCIAL DA FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwslidesharenetrafaelmmoreiraunifei-clculo-1-exerccios-aula-25gt Acesso em 23 jun 2011
y
y₀ + ∆y
y₀
0 x
A
α
x₀
dxα
C
B
∆y
∆x x₀ + ∆x
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
86
Dessa definiccedilatildeo decorre que ∆y representa a variaccedilatildeo da altura da curva y = f (x)
Nesta seccedilatildeo vamos definir a diferencial de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis z = f (xy) e veremos que esta representa uma boa aproximaccedilatildeo para o acreacutescimo da variaacutevel z quando os acreacutescimos das variaacuteveis independentes satildeo pequenos
Se z = f (xy) entatildeo o incremento (aumento ou diminuiccedilatildeo) de z eacute ∆z = f (x + ∆x y + ∆y) ‒ f (xy)
Definiccedilatildeo 231 Seja z = f (xy) uma funccedilatildeo diferenciaacutevel A diferencial de f denotada por df ou dz eacute dada por dz = partz
partx dx + partz
party dy onde dx e dy satildeo as
diferenciais das variaacuteveis independentes x e y respectivamente
A diferencial dz tambeacutem eacute chamada de diferencial total de f (xy) a mesma que estudamos no toacutepico anterior
Se nos movermos de (x0y0) para um ponto (x0 + ∆x y0 + ∆y) proacuteximo a variaccedilatildeo resultante eacute dada por df (x0y0) = partf
partx (x0y0) dx + partf
party (x0y0) dy
Exemplo 7Calcule a diferencial dz da funccedilatildeo z = 4x2y3 ‒ 3y2 + 6
ResoluccedilatildeoPara calcular a diferencial de z temos primeiro que calcular as derivadas
parciais partz partx
= 8xy3 e partz party
= 12x2y2 ‒ 6y
Pela Definiccedilatildeo 231 temos
dz = partz partx
dx + partz party
dy
dz = 8xy3 dx + (12x2y2 ‒ 6y) dy
Exemplo 8Calcule a diferencial de f (xy) = x2 + y2 no ponto (12)
ResoluccedilatildeoA diferencial de f no ponto (12) eacute dada por
dz = partf partx
(12) dx + partf party
(12) dy
Como partf partx
(12) = 2 e partf party
(12) = 4 temos
dz = 2dx + 4dy
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
87
Podemos estimar a variaccedilatildeo com diferenciais Suponha que conheccedilamos os valores de uma funccedilatildeo diferenciaacutevel f (xy) e suas derivadas parciais em um ponto (x0y0) e queiramos predizer quanto o valor de f variaraacute se nos movermos para um ponto (x0 + ∆x y0 + ∆y) proacuteximo Em outras palavras podemos estimar a variaccedilatildeo ∆z de z pelo valor do diferencial dz em que dx eacute a variaccedilatildeo em x e dy eacute a variaccedilatildeo em y
Exemplo 9Considere a funccedilatildeo z = 7x + 3y2
a) Determine a diferencial total dzb) Calcule ∆z e dz se x variar de 2 para 205 e y variar de 1 para 098 Compare os
valores de ∆z e dz
Resoluccedilatildeoa) Da Definiccedilatildeo 231 temos a diferencial total
dz = partf partx dx +
partf party dy
dz = 7dx + 6y dy
b) O ponto (x0y0) = (21) dx = ∆x = 005 e dy = ∆y = ‒ 002O incremento de z eacute ∆z = f (205 098) ‒ f (21)∆z = 7 (205) + 3 (098)2 ‒ (7 2 + 3 12) = 02312e a diferencial total eacute dz = 7(005) + 6 1(‒002) = 023
Portanto observe que ∆z asymp dz
Exemplo 10O raio e a altura de um cilindro satildeo medidos com 3 m e 8 m respectivamente
com possiacuteveis erros de 005 m Use diferenciais para calcular o erro maacuteximo no caacutelculo do volume
ResoluccedilatildeoPrimeiro recordamos a foacutermula do caacutelculo do volume de um cilindroV = p r 2 h
Para estimarmos a variaccedilatildeo de V calculamos
dV (r0h0) = partV partr (r0h0) dr +
partV parth (r0h0) dh
dV = 2p r0 h0 dr + p r02 dh
= 2p 3 8 005 + p 32 005 = 24p + 045p = 285p asymp 895 m3
Portanto o erro de 005 m nas medidas do raio e da altura pode nos levar a um erro de 895 m3
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
88
Exemplo 11Ao redor do ponto (10) f (xy) = x2 (y + 1) eacute mais sensiacutevel a variaccedilotildees em x ou y
ResoluccedilatildeoPrimeiro vamos entender o que o enunciado estaacute nos pedindo Querer
saber sobre a sensibilidade agrave variaccedilatildeo eacute o mesmo que pedir para estimar a variaccedilatildeo da funccedilatildeo no ponto Assim vamos calcular a diferencial de f
dz = partf partx (10) dx +
partf party (10) dy
Para facilitar o caacutelculo das derivadas parciais escrevemos f (xy) = x2y + x2 daiacute seguepartf partx = 2xy + 2x e
partf party = x2
partf partx (10) = 2 e
partf party (10) = 1
Entatildeo temos o caacutelculo da variaccedilatildeo da funccedilatildeo causada por pequenas variaccedilotildees dx e dy
dz = 2dx + 1dy
Portanto uma variaccedilatildeo de x em uma unidade variaraacute f em cerca de 2 unidades e uma variaccedilatildeo de y em uma unidade variaraacute f em cerca de 1 unidade A funccedilatildeo eacute 2 vezes mais sensiacutevel a uma pequena variaccedilatildeo de x que a uma pequena variaccedilatildeo de tamanho igual a de y
Exemplo 12O comprimento e a largura de um retacircngulo satildeo medidos com erros de
no maacuteximo 3 e 5 respectivamente Use diferenciais para aproximar o erro percentual maacuteximo na aacuterea calculada
ResoluccedilatildeoA aacuterea do retacircngulo dado por x de comprimento e y de largura eacute a funccedilatildeo
A(xy) = xy
Temos partpart
=partpart
=Ax
y Ay
x e
Cada erro eacute de no maacuteximo 3 e 5 isto eacute |∆x| le 003x e |∆y| le 005y Para achar o erro maacuteximo na aacuterea tomamos o maior erro nas medidas de x e y Daiacute tomamos dx = 003x e dy = 005y
Calculando a diferencial obtemos
dz zx
dx zy
dy=partpart
+partpart
sdot sdot sdot sdot
sdot
= y x 003 + x y 005 = 008 xy
dz = A 0 0 88
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
89
Estimamos que o erro percentual maacuteximo em A eacute de 8
4 GRADIENTE
Vimos nas seccedilotildees anteriores que as derivadas parciais nos fornecem taxas de variaccedilatildeo de uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis e que estas taxas dependem da escolha da direccedilatildeo e sentido da variaccedilatildeo Como essas variaccedilotildees satildeo indicadas por vetores eacute natural usar vetores para descrever a derivada de f numa direccedilatildeo e sentido especiacuteficos Nesta seccedilatildeo vamos definir o gradiente de uma funccedilatildeo que aparece em diversas aplicaccedilotildees matemaacuteticas
Definiccedilatildeo 241 Seja z = f (xy) uma funccedilatildeo que admite derivadas parciais no ponto (x0y0) O gradiente de f no ponto (x0y0) denotado por ∆f (x0y0) eacute um vetor cujos componentes satildeo as derivadas de f nesse ponto ou seja
∆f (x0y0) = partf partx (x0y0)
partf party (x0y0) =
partf partx (x0y0) i +
partf party (x0y0) j
O gradiente
∆
f associa um vetor
∆
f (x0y
0) a cada ponto (x
0y
0) do domiacutenio de f
Usamos a notaccedilatildeo ab para o par ordenado que se refere a um vetor para natildeo confundir
com o par ordenado (ab) que corresponde a um ponto no plano
Ao representar vetores com a notaccedilatildeo
v = ai + bj lembramos que i e
j
representam os vetores canocircnicos ou seja vetores no R2 onde suas respectivas coordenadas
satildeo dadas por
i = 10 e
j = 01
NOTA
NOTA
Quando trabalhamos com um ponto geneacuterico (xy) escrevemos
∆f (xy) = partf partx
partf party =
partf partx i +
partf party j
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
90
O siacutembolo ∆f eacute lido como ldquogradiente de frdquo
O siacutembolo
∆
denominado ldquodelrdquo eacute um delta grego maiuacutesculo invertido O uso de
∆
para o gradiente foi popularizado pelo fiacutesico escocecircs P G Tait (1831 ndash 1901) que o denominava ldquonablardquo Em hebraico nabla significa harpa e se refere agrave semelhanccedila de um
∆
com uma harpa antiga de dez cordas O grande fiacutesico James Clerk Maxwell relutou em adotar essa notaccedilatildeo e chamava o gradiente de ldquoinclinaccedilatildeordquo Em 1871 escreveu ao seu amigo Tait provocando ldquoAinda harpejando naquela nablardquo (ROGAWKI 2009 p 809)
Em seguida estendemos a definiccedilatildeo de gradiente para funccedilotildees com n variaacuteveis
Definiccedilatildeo 242 Sejam A sub Rn aberto p = (x1 x2 xn) isin A e f A rarr R uma funccedilatildeo tal que as derivadas parciais existem em p O gradiente de f no ponto p eacute o vetor do Rn denotado por ∆f (p) e definido por
∆f (p) = partf
partx1 (p)
partf partx2
(p) partf
partxn (p)
Exemplo 13Determine o gradiente da funccedilatildeo f (xy) = 3x2 ‒ 2xy + 5y
ResoluccedilatildeoPrimeiro precisamos calcular as derivadas parciais de f
partf partx = 6x ‒ 2y e
partf party
= ‒ 2x + 5
Em seguida escrevemos o vetor gradiente de acordo com a Definiccedilatildeo 241 ∆f (xy) = 6x ‒ 2y ‒ 2x + 5
Exemplo 14Calcule o gradiente da funccedilatildeo f (xy) = 3x2y ‒ x⅔ y2 no ponto (13)
ResoluccedilatildeoFaremos o mesmo que no Exemplo 11 acrescentando apenas o caacutelculo do
vetor no ponto (13)partf partx
= 6xy ‒ 2 3
x -⅓ y2 e partf party
= 3x2 ‒ 2x ⅔y
Entatildeo ∆f = 6xy ‒ 2 3
x -⅓ y2 3x2 ‒ 2x ⅔y
Agora no ponto ∆f (13)
∆f (13) = 6 sdot 1 sdot 3 ‒ 2 3
sdot 1 -⅓ sdot 32 3 sdot 12 ‒ 2 sdot 1 ⅔ sdot 3 = 12 ‒3 Portanto o gradiente de f no ponto (13) eacute o vetor ∆f (13) = 12 ‒3
Exemplo 15Determine o gradiente da funccedilatildeo g(xyz) = xyz2 em um ponto (xyz)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
91
FIGURA 32 ndash VETORES GRADIENTES DE f (xy) = 1 6
(x2 + y3)
FONTE Disponiacutevel em lthttpptscribdcomdoc5885209818Gradiente-Curva-de-NC2B4C4B1vel-SuperfC2B4C4B1cie-de-NC2B4C4B1velgt Acesso em 5 set 2011
ResoluccedilatildeoTemos
partg partx = yz2
partg party = xz2 e
partg partz = 2xyz
Entatildeo ∆g (xyz) = yz2 xz2 2xyz
Exemplo 16Encontre o gradiente de f(xy) = 1
6 (x2 + y3) em (0 ‒2) e esboce alguns vetores gradientes
Resoluccedilatildeo
As derivadas parciais satildeo partpart
=partpart
=fx
x fy
y26
36
2
e
∆f (xy) = 1 3 x i +
1 2 y2 j
Para construir o graacutefico formado pelos vetores gradientes procedemos da seguinte forma escolhemos um ponto por exemplo (x0y0) O ponto (x0y0) eacute o iniacutecio do vetor e o vetor gradiente ∆f (x0y0) = ab fornece o representante do vetor que iraacute no ponto (ab) Lembramos que um vetor de componentes ab tem iniacutecio na origem do plano e extremidade no ponto (a b) Quando desejamos graficar um vetor fora da origem usamos um representante do vetor ab Em seguida eacute mostrado como representar graficamente o vetor gradiente no ponto (0 ‒ 2) Temos
∆f (0‒ 2) = 2 j isto eacute o vetor 02 ndash tem origem no ponto (0 0) e extremidade no ponto (0 2) Conforme podemos ver na Figura 32
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
92
Do graacutefico construiacutedo no Exemplo 16 eacute possiacutevel pensar num campo de vetores gradiente de uma funccedilatildeo que podem ser representados geometricamente por um conjunto de vetores que fornece em cada ponto distinto do plano o vetor gradiente da funccedilatildeo
Como vimos o gradiente eacute um vetor Talvez vocecirc esteja agora se perguntando e se calcularmos || ∆f (xy)|| (norma do vetor gradiente) a que isso corresponde Vamos responder resolvendo o Exemplo 17
Exemplo 17Encontre o gradiente de f (xy) = x2 ‒ y2 e esboce alguns vetores gradientes
ResoluccedilatildeoAs derivadas parciais satildeo
partf partx = 2x e
partf party = ‒2y
Entatildeo ∆f = 2x i ‒ 2y j
Vamos calcular alguns vetores gradiente em pontos especiacuteficos e suas normas
(xy) ∆f (xy) || ∆f (xy)||
(00) (00) ₀
(10) (20) ₂
(x0) (2x0) ₂x
(0y) (0‒2y) ₂y
(11) (2‒2) ₂radic 2(xy) (2x‒2y) 2||(xy)||
Interpretando a coluna da direita percebe-se que agrave medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradiente aumenta ficando igual a duas vezes a distacircncia do ponto agrave origem
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
93
FIGURA 33 ndash GRAacuteFICO DOS VETORES GRADIENTES E DAS CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = x2 ndash y2
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwimeuerjbr~calculoLivroIIIcampospdfgt Acesso em 5 set 2011
Teorema 241 Suponha que z = f (xy) seja diferenciaacutevel numa bola aberta centrada em P0 (x0y0) e que ∆f (x0y0) ne 0
i) Entatildeo ∆f (x0y0) eacute normal agrave curva de niacutevel passando por P0 (x0y0)
ii) A taxa maacutexima de crescimento de γ no ponto P0 (x0y0) ocorre na direccedilatildeo e no sentido do gradiente Analogamente a taxa miacutenima de crescimento de γ no ponto P0 (x0y0) ocorre na direccedilatildeo contraacuteria a do gradiente
Lembramos que um vetor eacute normal agrave curva se o vetor eacute perpendicular
O gradiente de γ no ponto P0(x
0y
0) aponta na direccedilatildeo de maior variaccedilatildeo da
funccedilatildeo numa vizinhanccedila do ponto
NOTA
NOTA
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
94
A figura a seguir ilustra o Teorema 241
FIGURA 34 ndash VETOR GRADIENTE NORMAL Agrave CURVA DE NIacuteVEL
FONTE O autor
Exemplo 18O potencial eleacutetrico V em (xyz) eacute dado por V = x2 + 4y 2 + 9z2 Ache a direccedilatildeo
e a taxa maacutexima de variaccedilatildeo de V em (3‒21)
ResoluccedilatildeoDe acordo com o Teorema 251 a direccedilatildeo onde ocorre a taxa maacutexima de
variaccedilatildeo eacute dada pelo vetor gradiente EntatildeopartV partx
= 2x partV party = 8y e partV
partz = 18z
Assim ∆V = 2x 8y 18z
Calculando o gradiente no ponto (3‒21) obtemos∆V (3‒21) = 6 ‒16 18 que nos indica a direccedilatildeo de crescimento do potencial eleacutetrico
E a taxa de variaccedilatildeo do gradiente eacute dada pela sua norma
nabla ( ) = partpart
+
partpart
+
partpart
nabla minus( ) =
V x y zx
Vy
Vz
V
V
2 2 2
3 2 1 66 18 616
3 2 1 24 8
2 2+ minus( ) + =
nabla minus( ) asymp16
2
V
y
x
γ
P₀ (x₀ y₀)
∆f(P₀)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
95
5 DERIVADAS DIRECIONAIS
Caro acadecircmico Jaacute estudamos as derivadas parciais que nos fornecem a variaccedilatildeo da funccedilatildeo em duas direccedilotildees diferentes na direccedilatildeo do eixo x atraveacutes de partf partx
(x0y0) e na direccedilatildeo do eixo y atraveacutes de partf party
(x0y0) Nesta seccedilatildeo veremos como
utilizar a derivada para determinar a inclinaccedilatildeo em qualquer direccedilatildeo para isto definiremos um novo tipo de derivada chamada direcional
Suponha que uma funccedilatildeo f (xy) seja definida em uma regiatildeo R no plano xy que P(x0y0) seja um ponto em R e que u = u1i + u2j
seja um versor Entatildeo as equaccedilotildees
x = x0 + su1 e y = y0 + su2
parametrizam a reta que passa por P paralelamente a u Se o paracircmetro s mede o comprimento de arco de P na direccedilatildeo de u encontramos a taxa de variaccedilatildeo de f em P na direccedilatildeo de u calculando df
ds em P (Figura 7)
Lembramos que versor eacute um vetor unitaacuterio ou seja um vetor cuja norma eacute 1
Definiccedilatildeo 251 A derivada de f em P(x0y0) na direccedilatildeo do versor u = u1i + u2j
eacute o nuacutemero
desde que o limite exista
Portanto o gradiente ∆V (3‒21) = 6 ‒16 18 nos daacute a direccedilatildeo onde a taxa de variaccedilatildeo eacute maacutexima || ∆V (3‒21)|| asymp 248
NOTA
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
96
FIGURA 35 ndash A TAXA DE VARIACcedilAtildeO DE f EM P NA DIRECcedilAtildeO DE u
FONTE O autor
Quando u = i a derivada direcional em P eacute partf partx
calculada em (x0y0) Quando
u = j a derivada direcional em P eacute partf party
calculada em (x0y0) A derivada direcional
generaliza as duas derivadas parciais Entatildeo assim eacute possiacutevel encontrar a taxa de
variaccedilatildeo de f em qualquer direccedilatildeo u
Teorema 251 Se f (xy) for diferenciaacutevel em P (x0y0) entatildeo
eacute o produto escalar do gradiente de f em P e u
A expressatildeo do Teorema 251 por ser escrita como
Em seguida apresentaremos a definiccedilatildeo de derivada direcional para uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis fazendo uma extensatildeo da Definiccedilatildeo 251
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
97
Definiccedilatildeo 252 Sejam A cap Rn aberto P (x1 x2 xn) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo e u um vetor unitaacuterio em Rn A derivada direcional de f no ponto (x1 x2 xn) e na direccedilatildeo do versor u eacute denotada por
Esta definiccedilatildeo generaliza o conceito de derivada parcial isto eacute as derivadas parciais de uma funccedilatildeo podem ser obtidas como casos particulares das derivadas direcionais
Exemplo 19Calcule a derivada direcional da funccedilatildeo f (xy) = x3y + 2y 2 no ponto (1‒2) na
direccedilatildeo do vetor v = 4i + 3j
ResoluccedilatildeoNote que v natildeo eacute um versor (vetor unitaacuterio) e a Definiccedilatildeo 251 pede que o
vetor direccedilatildeo seja unitaacuterio Assim vamos primeiro calcular o vetor unitaacuterio u na direccedilatildeo de v
Agora calculamos o vetor gradiente de f no ponto (1‒2)
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
98
Portanto pelo Teorema 251 temos
partpart
minus( ) = nabla minus( ) sdot
minus minus sdot
f 2 f
u u
=(
1 1 2
6 8 45
3
) 55
6 4 8 35
=minus sdot + minus( ) sdot
= minus485
A derivada direcional partf partu
(1‒2) representa a taxa de variaccedilatildeo de z na
direccedilatildeo de u Isto eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva obtida pela interseccedilatildeo da
superfiacutecie f (xy) = x3y + 2y 2 e o plano vertical que passa por (1‒20) na direccedilatildeo de u
99
RESUMO DO TOacutePICO 2
Neste toacutepico vocecirc viu
bull O conceito de diferenciabilidade atraveacutes do caacutelculo de limite
bull Destacamos o Teorema 221 Se f eacute diferenciaacutevel em A cap R2 entatildeo f eacute contiacutenua em cada ponto de A
bull Outro resultado importante Teorema 222 Se as derivadas parciais partf partx
e partf party
existe em algum conjunto aberto A contendo (x0y0) e satildeo contiacutenuas em (x0y0)
entatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em (x0y0)
bull A aplicaccedilatildeo da diferencial e como se calcula a diferencial de f denotada por df
ou dz eacute dada por dz = partz partx dx +
partz party dy
bull O gradiente de uma funccedilatildeo f eacute o vetor das derivadas parciais
bull Geometricamente o vetor gradiente eacute normal agrave curva de niacutevel de f (xy) por P
bull A derivada direcional Se f (xy) for diferenciaacutevel em P (x0y0) entatildeo
o produto escalar do gradiente de f em P e u
100
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre diferenciabilidade e gradiente
Mostre que as funccedilotildees a seguir satildeo diferenciaacuteveis em R2
1 f (xy) = 3x2y + 4xy 2
2 f (xy) = x2 ‒ 7xy + 2xy 2
3 f (xy) = sen (xy 2)
4 Se z = x2 ‒ xy + 3y2 e (xy) varia de (3 ‒1) a (296 ‒095) compare os valores de dz e ∆z
5 O comprimento e a largura de um retacircngulo foram medidos como 30 cm e 24 cm respectivamente com um erro de medida de no maacuteximo 01 cm Utilize a diferencial para estimar o erro maacuteximo cometido no caacutelculo da aacuterea do retacircngulo
6 O periacuteodo T de um pecircndulo simples com uma pequena oscilaccedilatildeo eacute calculado
da foacutermula T = 2p L
g radic onde L eacute o comprimento do pecircndulo e g eacute a aceleraccedilatildeo
da gravidade Suponha que os valores de L e g tenham erros de no maacuteximo 005 e 001 respectivamente Use diferencias para aproximar o erro percentual maacuteximo no valor calculado de T
7 O raio de um cilindro circular reto eacute medido com um erro de no maacuteximo 2 e altura eacute medida com um erro de no maacuteximo 4 Qual o erro percentual maacuteximo possiacutevel no volume calculado
Nas questotildees de 8 a 10 determine o vetor gradiente das seguintes funccedilotildees nos pontos indicados
8 z = x2y + 3xy + y2 P (03)
9 f (xy) = xy ‒ sen (x + y) P = p
2 0
10 f (xyz) = xy + xz + yz P (‒135)
101
11 Se T (xy) = 10xy
x2 + 4y 2 + 4 eacute a temperatura em graus Celsius sobre uma
lacircmina metaacutelica x e y medidos em cm determine a direccedilatildeo de crescimento maacuteximo de T a partir do ponto (11) e a taxa maacutexima de crescimento de T nesse ponto
102
103
TOacutePICO 3
MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES
DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EXTREMOS LOCAIS
Uma aplicaccedilatildeo importante de caacutelculo diferencial de vaacuterias variaacuteveis eacute a da otimizaccedilatildeo de funccedilotildees Otimizar uma funccedilatildeo significa encontrar seu desempenho maacuteximo ou miacutenimo No Caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral vocecirc jaacute estudou como encontrar os maacuteximos e miacutenimos de funccedilotildees de uma variaacutevel Quando as derivadas primeiras forem nulas temos pontos extremos que podem ser maacuteximos ou miacutenimos
Vamos fazer algo parecido neste toacutepico para as funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Veremos como usar as derivadas parciais para localizar os pontos de maacuteximo e miacutenimo de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Suponha que um fabricante produza dois modelos de um determinado produto o modelo de luxo e o modelo padratildeo e que o custo total para produzir x unidades do modelo de luxo e y unidades do modelo padratildeo seja dado pela funccedilatildeo C (x y) Como determinar o niacutevel de produccedilatildeo x = a e y = b para o qual o custo eacute miacutenimo
Iniciaremos definindo os extremos locais que satildeo chamados de maacuteximos e miacutenimos de uma funccedilatildeo
Definiccedilatildeo 321 Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo
i) P (x0 y0) eacute um ponto de maacuteximo local de f se f (x y) le f (x0 y0) para todo (x y) numa vizinhanccedila de (x0 y0)
ii) P (x0 y0) eacute um ponto de miacutenimo local de f se f (x y) ge f (x0 y0) para todo (x y) numa vizinhanccedila de (x0 y0)
Definiccedilatildeo 322 Dizemos que um ponto P (x0 y0) do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (x y) eacute um ponto criacutetico (ou estacionaacuterio) se
104
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
i) partf partx
(x0 y0) = 0 e partf party
(x0 y0) = 0 ou
ii) pelo menos uma das derivadas parciais partf partx
(x0 y0) partf party
(x0 y0) natildeo existe
O teorema a seguir nos diz que os extremos locais ocorrem em pontos criacuteticos assim como acontece em funccedilatildeo de uma variaacutevel
Teorema 321 Se f (x y) tem um miacutenimo ou maacuteximo local em (x0 y0) entatildeo (x0 y0) eacute um ponto criacutetico de f (x y)
Geometricamente um ponto eacute ponto criacutetico de uma funccedilatildeo quando o graacutefico da funccedilatildeo nesse ponto natildeo tem plano tangente ou o plano tangente eacute horizontal
Vamos ver no exemplo a seguir como encontrar os pontos criacuteticos de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Exemplo 1Encontre os pontos criacuteticos da funccedilatildeo f (x y) = 9x3 +
y3 3 ‒ 4xy
ResoluccedilatildeoQueremos encontrar os pontos criacuteticos da funccedilatildeo f (x y) = 9x3 +
y3 3 ‒ 4xy
Aplicando a Definiccedilatildeo 322 devemos igualar as derivadas parciais a zero
Calculando as derivadas parciais temos partf partx
= 27x2 ‒ 4y e partf party
= y2 ‒ 4x
Igualando as derivadas parciais a zero e resolvendo as equaccedilotildees obtemos
27 4 04 0
2
2
x yy x
minus =
minus =
Isola-se x na segunda equaccedilatildeo x = y2 4 e substitui na primeira equaccedilatildeo
27 4 0
274
4 0
27 64 0
27 64 0
0
2
2 2
4
3
x y
y y
y y
y y
y
minus =
minus =
minus =
minus( ) == ou 277y
e y
3
3
2 1
64 0642743
0
minus =
=
= =
y
y
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
105
Substituiacutemos os valores de y na segunda equaccedilatildeo
x = y2 4 x =
y2 4
x1 = 02 4 x2 =
43
2
4
x1 = 0 x2 = 4 9
Portanto (00) e 4 9
4 3
satildeo os pontos criacuteticos de f (x y)
Lembre-se de que jaacute estudamos gradiente de uma funccedilatildeo
∆f (xy) em que
∆f (xy) = partf partx
partf party Entatildeo na Definiccedilatildeo 322 poderiacuteamos dizer que P (x
0y
0) eacute um ponto
criacutetico se
∆
f (x0y
0) = 0 ou se
∆
f (xy) natildeo existe
Exemplo 2Mostre que f (xy) = x2 + y2 ‒ xy + x tem um ponto criacutetico
ResoluccedilatildeoSegundo a Definiccedilatildeo 322 devemos igualar as derivadas parciais a zero
para encontrar os pontos criacuteticos se existem
As derivadas parciais satildeo partf partx
= 2x ‒ y + 1 e partf party
= ‒ x + 2y Entatildeo igualando
as derivadas parciais a zero e resolvendo o par de equaccedilotildees temos
2x ‒ y + 1 = 0‒ x + 2y = 0
NOTA
106
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
agora resolvemos o sistema pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
y = ‒ 1 3
Assim x = ‒ 2 3 e y = ‒ 1
3 Existe apenas um ponto criacutetico P ‒ 2 3 ‒ 1
3
Para sabermos se este ponto criacutetico eacute um ponto maacuteximo ou miacutenimo da funccedilatildeo podemos aplicar a Definiccedilatildeo 321 o que pode ser complicado em algumas situaccedilotildees Poreacutem podemos usar o recurso graacutefico tanto da superfiacutecie como das curvas de niacutevel (mapa de contornos) atraveacutes de um software computacional como veremos na Figura 37
FIGURA 36 ndash GRAacuteFICO DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = x2 + y2 ndash xy + x
FIGURA 37 ndash MAPA DE CONTORNOS DE f (xy) = x2 + y2 ndash xy + x
FONTE O autor
FONTE O autor
80
60
40
20
04
20ndash 2
ndash 44 2 0 ndash 2 ndash 4
x
y
4 2 0 ndash 2 ndash 4
0
2
4
ndash 2
ndash 4
y
x
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
107
Pelo graacutefico da funccedilatildeo (Figura 36) eacute possiacutevel dizer que o ponto P
‒ 2 3 ‒ 1
3 eacute miacutenimo local e na Figura 37 as curvas de niacutevel satildeo curvas fechadas
que circundam o ponto P indicando assim um extremo local
Acabamos de ver que eacute possiacutevel determinar o tipo de ponto criacutetico a partir do mapa de contorno entatildeo podemos classificar os pontos criacuteticos atraveacutes das seguintes caracteriacutesticas graacuteficas
i) se P (x0 y0) eacute um miacutenimo local entatildeo as curvas de niacutevel proacuteximas de P satildeo curvas fechadas que circundam P e o mapa de contornos mostra que f (x y) cresce em todas as direccedilotildees a partir de P (Figura 37)
ii) se P (x0 y0) eacute um maacuteximo local entatildeo as curvas de niacutevel proacuteximas de P satildeo curvas fechadas que circundam P e o mapa de contornos mostra que f (x y) decresce em todas as direccedilotildees a partir de P
iii) se P (x0 y0) eacute um ponto de sela entatildeo as curvas de niacutevel de f (x y) que passam por P consistem em duas retas que se intersectam e dividem a vizinhanccedila de P em quatro regiotildees O mapa de contornos mostra que f (x y) eacute decrescente na direccedilatildeo x e crescente na direccedilatildeo y (Figura 38)
iv) se P (x0 y0) eacute um ponto de sela ndash outra situaccedilatildeo entatildeo as curvas de niacutevel em (x0 y0) tem uma forma padratildeo ldquonuacutemero oitordquo (Figura 39)
FIGURA 38 ndash MAPA DE CONTORNOS DESTACANDO O PONTO DE SELA
FIGURA 39 ndash MAPA DE CONTORNOS ndash PONTO DE SELA PADRAtildeO ldquoNUacuteMERO OITOrdquo
FONTE O autor
FONTE O autor
4
2
0
ndash2
ndash 4
y
4 2 0 ndash 2 ndash 4x
2
2
1
0
ndash 1
ndash2
0 1ndash 1ndash 2x
y
2
108
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Segue da Definiccedilatildeo 322 e do Teorema 321 que os extremos relativos ocorrem nos pontos criacuteticos Contudo uma funccedilatildeo natildeo precisa ter um extremo relativo em cada ponto criacutetico isto quer dizer que um ponto criacutetico nem sempre eacute um ponto extremante Um ponto criacutetico que natildeo eacute um maacuteximo relativo nem um miacutenimo relativo eacute chamado de ponto de sela
Nas funccedilotildees de duas variaacuteveis natildeo temos pontos de inflexatildeo como em funccedilotildees de uma variaacutevel Podemos ter um ponto de sela quando numa direccedilatildeo a funccedilatildeo atinge um maacuteximo num ponto e em outra direccedilatildeo um miacutenimo no mesmo ponto O nome se daacute pela semelhanccedila com uma sela de cavalo maacuteximo na direccedilatildeo das pernas do cavaleiro (transversal ao cavalo ) e miacutenimo na direccedilatildeo longitudinal (dorso) do cavalo
Em seguida vamos estudar um meacutetodo que permite classificar os pontos criacuteticos com criteacuterios bem definidos Mas antes definiremos a hessiana
Definiccedilatildeo 323 Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo de classe C2 A matriz hessiana de f representada por H(f) eacute dada por
Exemplo 3Seja f (xy) = 3x2 + y2 Calcule a matriz hessiana de f no ponto (00)
ResoluccedilatildeoPela Definiccedilatildeo 323 calculamos as derivadas parciais no ponto dado
partf partx
= 6x partf party
= 2y part2f partx2
= 6 part2f partxparty
= 0 part2f partypartx
= 0 e part2f party2
= 2
Portanto H (00) = 6 00 2
eacute a matriz hessiana de f no ponto (00)
Teorema 322 (Teste da segunda derivada) Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo de classe C2 Suponhamos que P (x0 y0) seja um ponto criacutetico da funccedilatildeo f
NOTA
H x y
fxx y f
x yx y
fy x
x y fyx
0 0
2
2 0 0
2
0 0
2
0 0
2
2 0
( ) =
part
part( ) part
part part( )
partpart part
( ) part
party0( )
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
109
i) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) gt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto miacutenimo local de f
ii) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto maacuteximo local de f
iii) Se det H (x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto de sela
iv) Se det H (x0y0) = 0 nada se conclui
Para facilitar o entendimento e visualizar a classificaccedilatildeo dos pontos criacuteticos apresentamos o graacutefico e um texto explicativo
Os pontos P e Q satildeo pontos de maacuteximo porque qualquer deslocamento em sua vizinhanccedila iraacute descer O ponto S eacute uma sela porque nos sentidos SP e SQ sobe mas no sentido SL ou ST desce
FONTE CANESIN Wilson Funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis ndash Notas de aula ndash parte II Disponiacutevel em lthttpwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 28 out 2011
FIGURA 40 ndash GRAacuteFICO DE SUPERFIacuteCIE
FONTE Disponiacutevel em lthttpwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 28 out 2011
Veremos em seguida exemplos onde aplicaremos o Teorema 322
Exemplo 4Considere a funccedilatildeo f (xy) = x2 + y2 ‒ xy + x Determine caso existam os pontos
de maacuteximo e os pontos de miacutenimo local da funccedilatildeo
Resoluccedilatildeo
Vimos no Exemplo 2 que o ponto ‒ 2 3 ‒ 1
3 eacute o uacutenico ponto criacutetico de f
Para classificaacute-lo vamos usar o Teorema 322 Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
P
S
Q
T
L
F(xy)
110
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
part2f partx2
= 2 part2f partxparty
= ‒1 part2f partypartx
= ‒1 e part2f party2
= 2 Entatildeo
det H minus minus
=
minusminus
=2
3
1
3
2 1
1 23
Como H ‒ 2 3 ‒ 1
3 gt 0 e part2f partx2 ‒ 2
3 ‒ 1 3 gt 0 segue que ‒ 2
3 ‒ 1 3 eacute
um ponto miacutenimo local de f
Exemplo 5Encontre os maacuteximos e miacutenimos de f (xy) = 1
3 x3 + 1 3 y3 ‒ x ‒ 4y + 20 caso
existam
ResoluccedilatildeoVamos encontrar inicialmente os pontos criacuteticos de f fazendo partf
partx = 0 e partf
party = 0
partf partx
= x2 ‒ 1 e partf party
= y2 ‒ 4
x2 ‒ 1 = 0y2 ‒ 4 = 0
Resolvendo o sistema temos os pontos criacuteticos (12) (1‒2) (‒12) e (‒1‒2)
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
part2f partx2
= 2x part2f partxparty
= 0 part2f partypartx
= 0 e part2f party2
= 2y
Agora calculamos o determinante hessiano Entatildeo
det det
det
H H
H
1 22 0
0 48 1 2
2 0
0 48
1 22 0
0 48
( ) = = minus( ) =minus
= minus
minus( ) =minus
= minus
e
e det H minus minus( ) =minus
minus=1 2
2 0
0 48
Para classificar os pontos criacuteticos usaremos o Teorema 322
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
111
Vamos analisar o ponto (12)
Temos det H (12) gt 0 e part2f partx2 (12) gt 0 logo (12) eacute um ponto miacutenimo local de f
Vamos analisar o ponto (1‒2)
Temos det H (1‒2) lt 0 logo (1‒2) eacute um ponto de sela de f
Vamos analisar o ponto (1‒2)
Temos det H (‒12) lt 0 logo (‒12) eacute um ponto de sela de f
Vamos analisar o ponto (‒1‒2)
Temos det H (‒1‒2) gt 0 e part2f partx2 (‒1‒2) lt 0 logo (‒1‒2) eacute um ponto maacuteximo local de f
Os graacuteficos (Figura 41 e Figura 42) gerado por computador usando o software Maple 11 ilustram os caacutelculos apresentados anteriormente
FIGURA 41 ndash GRAacuteFICO DA SUPERFIacuteCIE DE f FIGURA 42 ndash MAPA DE CONTORNOS DE f
FONTE O autor FONTE O autor
3 PROBLEMAS ENVOLVENDO MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
O estudo feito no item anterior pode ser perfeitamente aplicado em problemas de maximizaccedilatildeo e minimizaccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Como por exemplo em problemas geomeacutetricos fiacutesicos econocircmicos entre outros
Exemplo 6Determine as dimensotildees de uma caixa retangular aberta no topo com um
volume de 32 cm3 e que requer uma quantidade miacutenima de material para a sua construccedilatildeo
30
25
20
15
103 2 1 0ndash 1ndash 2ndash 3 2 1 0 ndash 1ndash 2 ndash 3
yx
ndash 4
ndash 4
ndash 2
ndash 2 0 2 4x
2
4
y
112
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Resoluccedilatildeox comprimento da caixa (cm)y largura da caixa (cm)z altura da caixa (cm)A aacuterea da superfiacutecie da caixa (cm2)V volume da caixa (cm3)
V = xyz rArr xyz = 32 rArr z = 32 xy
Queremos minimizar a aacuterea de superfiacutecie
A = xy + 2xz + 2yz com a restriccedilatildeo do volume
Substituindo z obtemos
A = xy + 2x 32 xy + 2y 32
xy
A(xy) = xy + 64 y + 64
x x gt 0 e y gt 0
Como a regiatildeo eacute aberta o miacutenimo deve ocorrer num ponto criacutetico de A Passemos entatildeo a determinaacute-los
partApartx
= y ‒ 64 x2 partA
party = x ‒ 64
y2
y ‒ 64 x2 = 0 x ‒ 64
y2 = 0
y = 64 x2 x ‒
64
64x2
2 = 0
y2 = 4 x ‒ x4 64 = 0
x 1 ‒ x3
64 = 0
x1 = 0 e x2 = 4
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
113
Assim o ponto (44) eacute ponto criacutetico de A
Usando o teste da segunda derivada (Teorema 322) obtemospart2Apartx2 = 128
x3 part2A partxparty = 1 part2A
partypartx = 1 part2fparty2 = 128
y3
Calculando o determinante hessiano temos
det H (44) = 2 11 2
= 4 ‒ 1 = 3
Daiacute det H (44) gt 0 e part2Apartx2 (44) gt 0 portanto o ponto (44) eacute o miacutenimo local de A
Logo a caixa que usa o miacutenimo de material tem altura z = 2 e base quadrada x = y = 4
Exemplo 7A funccedilatildeo T (xy) = x2 + y2 ‒ 8x + 5y + 20 daacute a temperatura em graus Celsius
de cada ponto (x y) de uma chapa circular (exceto as bordas que eacute constituiacuteda de outro material) de raio 6 cm localizada no centro do plano xy Determine o ponto mais quente e o mais frio no interior da chapa se existir
Resoluccedilatildeo A funccedilatildeo T (xy) = x2 + y2 ‒ 8x + 5y + 20 tem domiacutenio D(T) = (xy) | x2 + y2 lt 36
Calculando as derivadas parciais de primeira ordem temos
partT partx
= 2x ‒ 8 e partT party
= 2y + 5
2x ‒ 8 = 02y + 5 = 0
Resolvendo o sistema temos o uacutenico ponto criacutetico 4 ‒ 52
e T 4 ‒ 52
= - 94
= ‒ 225 degC
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
part2Tpartx2 = 2 part2T
partxparty = 0 part2T partypartx = 0 part2T
party2 = 2
114
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Agora calculamos o determinante hessiano Entatildeo
det H 4 ‒ 52
= 2 00 2
= 4
Pelo Teorema 322 temos det H 4 ‒ 52
gt 0 e part2Tpartx2 gt 0 assim o ponto
4 ‒ 52
eacute miacutenimo
Portanto o ponto mais frio da chapa tem temperatura de ndash 225ordmC e estaacute
localizado no ponto 4 ‒ 52
Exemplo 8Para o projeto de uma calha tem-se uma folha metaacutelica de 12 cm de
largura que se deseja dobrar de forma a se ter uma capacidade maacutexima
Resoluccedilatildeo
A aacuterea da seccedilatildeo da calha eacute formada pela aacuterea do retacircngulo mais a aacuterea dos dois triacircngulos conforme a figura
A = 2 (triacircngulo) + retacircngulo
A = 2 x cos θ x sen θ2
+ (12 ‒ 2x) x sen θ
A = f (xθ) = x2 cos θ sen θ + 12x sen θ ‒ 2x2 sen θ
Agora vamos estudar os extremos (maacuteximos e miacutenimos) da funccedilatildeo Deriva-se a funccedilatildeo obtendo
partf partx
= 2x sen θ cos θ + 12 sen θ ‒ 4x sen θ
partf partθ
= ‒ x2 sen2 θ + x2 cos2 θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
115
Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema temos
‒ x2 sen2 θ + x2 cos2 θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x2 (‒ sen2 θ + cos2 θ) + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x2 cos 2θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x (2 cos2 θ ‒ 1) ‒ 2x cos θ + 12 cos θ = 0
x (2 cos2 θ ‒ 2 cos θ ‒ 1) + 12 cos θ = 0
2x sen θ cos θ + 12 sen θ ‒ 4x sen θ = 0
2x cos θ = 4x ‒ 12
cos θ = 4x ‒ 12
2x
cos θ = 2 ‒ 6x
Substituiacutemos o valor cos θ = 2 ‒ 6x
na segunda equaccedilatildeo e resolvendo
encontra-se x = 4 que resulta em cos θ = 2 ‒ 6x
= 12
cos θ = 12
rArr θ = p3
rad ou θ = 60deg
O ponto (460deg) encontrado parece ser bastante razoaacutevel omitiremos o teste da segunda derivada tambeacutem por causa do trabalho que estas dariam Mas para ter certeza podemos calcular a aacuterea A para valores de x e θ
116
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
x θ A4 30 149284 36 170134 42 186624 48 198464 54 205534 60 207854 66 205624 72 199194 78 18904
Entatildeo pelos valores obtidos na tabela confirmamos que a capacidade eacute maacutexima no ponto (460deg)
FONTE Disponiacutevel em ltwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 30 maio 2012
117
RESUMO DO TOacutePICO 3
Neste toacutepico vocecirc estudou alguns conceitos e teoremas importantes
bull Dizemos que P (x0y0) eacute um ponto criacutetico de f (xy) se partf partx
(x0 y0) = partf party
(x0 y0) = 0 ou se natildeo existir uma das duas derivadas parciais
bull Definimos a matriz hessiana de f (xy) por
bull O Teorema 322 (Teste da segunda derivada) facilita bastante na classificaccedilatildeo do ponto criacutetico de f (xy) Suponhamos que P (x0y0) seja um ponto criacutetico da funccedilatildeo f
i) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) gt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto miacutenimo local de f
ii) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto maacuteximo local de f
iii) Se det H (x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto de sela
iv) Se det H (x0y0) = 0 nada se conclui
118
Nos exerciacutecios 1 e 2 encontre os pontos criacuteticos das funccedilotildees dadas
1 f (xy) = x2 + y2 + xy ‒ 6x + 2
2 f (xy) = x2 + 8y4 + xy ‒ 3y2 ‒ y3
Nos exerciacutecios 3 a 7 encontre os pontos criacuteticos e os extremos locais das funccedilotildees dadas
3 f (xy) = x3 + y3 ‒ 6xy
4 f (xy) = ‒ 13
x4 + 23
x3 + 4xy ‒ y2
5 f (xy) = x3 + y2 ‒ 6xy + 6x + 3y ‒ 2
6 f (xy) = 4x ‒ 3x3 ‒ 2xy2
7 f (xy) = x4 + y4 ‒ 4xy
8 A temperatura T (degC) em cada ponto de um painel plano eacute dada pela equaccedilatildeo T (xy) = 16x2 + 24x ‒ 40y2 Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da regiatildeo
9 Um supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha com duas marcas de suco de laranja uma marca local que custa no atacado R$ 030 a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa no atacado R$ 040 a garrafa O dono do supermercado estima que se cobrar x centavos pela garrafa da marca local e y centavos pela garrafa da marca nacional venderiam 70 ‒ 5x + 4y garrafas da marca local e 80 + 6x + 7y garrafas da marca nacional por dia Por quanto o dono do supermercado deve vender as duas marcas de suco de laranja para maximizar o lucro
AUTOATIVIDADE
119
TOacutePICO 4
INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
Na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral estudamos que a integral indefinida int f (x) dx resulta em outra funccedilatildeo denominada funccedilatildeo primitiva de f (x)
Estudamos tambeacutem que a integral definida eacute dada por
desde que tal limite exista O valor calculado na integral definida quando f (x) ge 0 tem como interpretaccedilatildeo imediata o caacutelculo da aacuterea da regiatildeo compreendida entre o eixo x o graacutefico de f (x) e as retas x = a e x = b
Neste toacutepico vamos estudar a integral dupla definida cuja interpretaccedilatildeo geomeacutetrica quando f (xy) ge 0 corresponde ao caacutelculo do volume do soacutelido delimitado superiormente pelo graacutefico de z = f (xy) e inferiormente pela regiatildeo definida sobre o plano xy
2 INTEGRAL DUPLA
21 INTEGRAL DUPLA SOBRE RETAcircNGULO
Definiccedilatildeo 4211 (Volume sob uma superfiacutecie) Se f eacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis contiacutenua e natildeo negativa numa regiatildeo R do plano xy entatildeo o volume do soacutelido compreendido entre a superfiacutecie z = f (xy) e a regiatildeo R eacute definido por
A ideia envolvida na Definiccedilatildeo 4211 eacute a mesma empregada na integral definida simples Assim a regiatildeo R eacute dividida em sub-retacircngulos Faremos isso com o intervalo em x (∆x) e com o intervalo y (∆y) formando os sub-retacircngulos Rij cada um com aacuterea ∆A = ∆x∆y
120
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 43 ndash INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DA INTEGRAL DUPLA QUANDO f (xy) ge 0
FONTE Disponiacutevel em ltwwwpucrsbrfamatbeatrizcalculoIIINTEGRAL_DUPLAdocgt Acesso em 30 maio 2012
Definiccedilatildeo 4212 A integral dupla de f sobre o retacircngulo R eacute
se esse limite existir
A soma presente nas duas definiccedilotildees acima eacute chamada de soma dupla de Riemann e eacute usada como uma aproximaccedilatildeo do valor da integral dupla
22 INTEGRAIS ITERADAS
Nas integrais duplas que estudaremos neste toacutepico seratildeo consideradas apenas as integrais duplas definidas E na sua resoluccedilatildeo aplicaremos o Teorema Fundamental do Caacutelculo O caacutelculo da integral dupla eacute muito complicado pela definiccedilatildeo entatildeo veremos como calcular a integral dupla atraveacutes da integral iterada cujo valor pode ser obtido calculando-se duas integrais de funccedilotildees de uma variaacutevel real A expressatildeo iterada quer dizer repetida
Este procedimento segue a mesma ideia para calcular as derivadas parciais
UNI
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
121
Suponha que f seja uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis contiacutenua no retacircngulo R = [ab]x[cd]
bull A integral intf (xy) dy
d
c significa que a variaacutevel x eacute mantida fixa (como constante) e
f (xy) eacute integrado em relaccedilatildeo a variaacutevel y com y variando de c ateacute d
bull Como intf (xy) dy
d
c eacute um nuacutemero que depende do valor de x ele define uma
funccedilatildeo de x
F (x) = intf (xy) dy
d
c
bull Integrando a funccedilatildeo F(x) em relaccedilatildeo a variaacutevel x de a ateacute b obtemos
Lembre-se quando a integral eacute definida aplicamos o Teorema Fundamental do
Caacutelculo intf (x) dx = F(b) ‒ F(a)b
a
Exemplo 1
Calcular a integral
ResoluccedilatildeoResolvendo a integral dupla como integral iterada temos
Vamos resolver primeiro a integral que estaacute dentro dos colchetes considerando como constante a variaacutevel x jaacute que a funccedilatildeo estaacute sendo integrada primeiramente em relaccedilatildeo a variaacutevel y (pois a diferencial nesta integral eacute dy)
IMPORTANTE
122
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Assim intxy2 dy = 3x
2
‒1
Agora substituiacutemos este resultado na integral final E verifique que a integral que falta resolver eacute uma integral apenas na variaacutevel x
Portanto
Exemplo 2
Calcular a integral
ResoluccedilatildeoResolvendo a integral dupla como integral iterada temos
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
123
Vamos resolver primeiro a integral que estaacute dentro dos colchetes considerando como constante a variaacutevel y jaacute que a funccedilatildeo estaacute sendo integrada primeiramente em relaccedilatildeo a variaacutevel x (pois a diferencial nesta integral eacute dx)
Assim int (x + y + 1) dx = 2y + 2
1
‒1
Agora substituiacutemos este resultado na integral final E verifique que a integral que falta resolver eacute uma integral apenas na variaacutevel y
= 1
Portanto
Teorema 3221 (Teorema de Fubini) Se f for contiacutenua no retacircngulo R = [ab]x[cd] entatildeo
124
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Verifique a aplicaccedilatildeo do teorema de Fubini no Exemplo 2
23 INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIOtildeES GENEacuteRICAS
Vamos considerar funccedilotildees contiacutenuas definidas sobre regiotildees fechadas que denotaremos por D onde D cap R2
Conveacutem separarmos a regiatildeo plana D em dois casos que chamaremos de Tipo I e Tipo II
bull Uma regiatildeo plana D eacute dita do tipo I se estaacute contida entre o graacutefico de duas funccedilotildees contiacutenuas de x ou seja
D = (xy) a le x le b g1(x) le y le g2(x) onde g1(x) e g2(x) satildeo contiacutenuas em [ab]
FIGURA 44 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
UNI
D
a b
y
x
y₂ = g₂(x)
y₁ = g₁(x)
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
125
Definiccedilatildeo 3231 Se f eacute contiacutenua em uma regiatildeo D do tipo I tal que
D = (xy) a le x le b g1(x) le y le g2(x)
entatildeo
Exemplo 3
Escreva intintf (xy) dAD
sobre a regiatildeo D que estaacute compreendida entre o
graacutefico das funccedilotildees y = radic1 ‒ x 2 e y = 1 ‒ x
ResoluccedilatildeoVamos escrever esta integral considerando a regiatildeo do tipo I
Assim g1 (x) = 1 ‒ x e g2 (x) = radic1 ‒ x 2
Entatildeo usaremos
126
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 45 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
bull Uma regiatildeo plana D eacute dita do tipo II se estaacute contida entre o graacutefico de duas funccedilotildees contiacutenuas de y ou seja
D = (xy) c le y le d h1(y) le x le h2(y)
onde h1(y) e h2(y) satildeo contiacutenuas em [cd]
FIGURA 46 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
y
x₂ = h₂(y)
x₁ = h₁(y)
d
c x
D
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
127
Definiccedilatildeo 3232 Se f eacute contiacutenua em uma regiatildeo D do tipo II tal que
D = (xy) c le y le d h1(y) le x le h2(y)
entatildeo
Exemplo 4
Escreva intintf (xy) dAD
sobre a regiatildeo D que estaacute compreendida entre o
graacutefico das funccedilotildees y = radic1 ‒ x 2 e y = 1 ‒ x
ResoluccedilatildeoVamos escrever esta integral considerando a regiatildeo do tipo II
FIGURA 47 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim h1 (y) = 1 ‒ y e h2 (y) = radic1 ‒ y 2
Entatildeo usaremos
128
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Exemplo 5Seja f (xy) = xy calcule intintf (xy) dA
D
sobre a regiatildeo D compreendida entre y =
12
x y = radicx x = 2 e x = 4
ResoluccedilatildeoConforme pode ser observada a regiatildeo no graacutefico convecircm aplicar o tipo I
FIGURA 48 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
129
= 116
Portanto intintf (xy) dA = 116D
Exemplo 6
Calcule intint(xy ‒ y 3) dAD
sobre a regiatildeo D mostrada no graacutefico abaixo
ResoluccedilatildeoConforme pode ser observada a regiatildeo no graacutefico vamos aplicar o tipo II
A projeccedilatildeo da regiatildeo D sobre o eixo dos y daacute o intervalo 0 le y le 1 e as funccedilotildees tem que estar na variaacutevel y Entatildeo
h1 (y) = y 4 e h2 (y) = y 12
130
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 49 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim
x
y
2
1
21
y = xsup2
y = xsup1 ⁴
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
131
Vocecirc estudou integraccedilatildeo no final do Caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral e verificou que eacute possiacutevel calcular a aacuterea entre duas curvas utilizando a integral simples Vamos ver agora que tambeacutem eacute possiacutevel calcular a aacuterea entre duas curvas utilizando a integral dupla
Exemplo 7
Calcule a aacuterea compreendida entre as curvas y = 12
x y = radicx x = 2 e x = 4
ResoluccedilatildeoA aacuterea compreendida entre as curvas dadas eacute a mesma mostrada no
Exemplo 5
Assim aplicamos o a integral dupla do tipo I Para a montagem da integral o procedimento eacute o mesmo feito no exemplo 5
UNI
132
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 50 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Portanto a aacuterea definida entre as curvas eacute dada por
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
133
Concluindo a ideia do caacutelculo da aacuterea entre curvas verifique que a montagem da integral dupla tem o mesmo procedimento mostrado no item 23 A uacutenica diferenccedila eacute que devemos considerar a funccedilatildeo integrante como a constante unitaacuteria isto eacute f (xy) = 1
Exemplo 8Calcule a aacuterea entre as curvas y = 5 ‒ x2 e y = x + 3
ResoluccedilatildeoA aacuterea compreendida entre as curvas dadas acima estaacute representada a
seguir
Assim aplicamos a integral dupla do tipo I Para a montagem da integral o procedimento eacute o mesmo feito anteriormente
Precisamos encontrar os limites numeacutericos da variaacutevel x igualando a variaacutevel y
FIGURA 51 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
IMPORTANTE
y = 5 ndash xsup2
y = x + 3
ndash 2 ndash 1 21x
1
2
3
4
5y
134
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
= 92
Portanto a aacuterea definida entre as curvas eacute dada por 92
LEITURA COMPLEMENTAR
GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN (1826 - 1866)
Nasceu no dia 17 de setembro de 1826 em Breselenz Alemanha Era filho de um ministro luterano e teve uma boa instruccedilatildeo estudando em Berlim e Goumlttingen mas em condiccedilotildees muito modestas por causa de sua sauacutede fraacutegil e de sua timidez Ainda no ensino secundaacuterio estudou os trabalhos de Euler e Legendre
Aos 19 anos Riemann foi com todo o apoio do pai para a Universidade de Goumlttingen estudar teologia com o objetivo de tornar-se cleacuterigo Mais tarde pediu permissatildeo ao pai e mudou o foco dos seus estudos para a Matemaacutetica transferindo-se um ano depois para a Universidade de Berlim onde atraiu o interesse de Dirichlet e Jacobi
Em 1849 retornou a Goumlttingen onde obteve o grau de doutor em 1851 Sua brilhante tese foi desenvolvida no campo da teoria das funccedilotildees complexas Nessa tese encontram-se as chamadas equaccedilotildees diferenciais de Cauchy-Riemann - conhecidas poreacutem antes do tempo de Riemann - que garantem a analiticidade de uma funccedilatildeo de variaacutevel complexa e o produtivo conceito de superfiacutecie de Riemann que introduziu consideraccedilotildees topoloacutegicas na anaacutelise
Trecircs anos mais tarde foi nomeado Privatdozent cargo considerado o primeiro degrau para a escalada acadecircmica Com a morte de Gauss em 1855 Dirichlet foi chamado a Goumlttingen como seu sucessor e passou a incentivar Riemann primeiro com um pequeno salaacuterio e depois com uma promoccedilatildeo a professor assistente Em 1859 morreu Dirichlet e Riemann foi nomeado professor titular para substituiacute-lo
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
135
O periacuteodo de 1851 a 1859 do ponto de vista econocircmico foi o mais difiacutecil da vida de Riemann mas ele criou suas maiores obras justamente nesses anos
Riemann era um matemaacutetico de muacuteltiplos interesses e mente feacutertil contribuindo natildeo soacute para o desenvolvimento da geometria e da teoria dos nuacutemeros como tambeacutem para o da anaacutelise matemaacutetica
Riemann tornou claro o conceito de integrabilidade de uma funccedilatildeo atraveacutes da definiccedilatildeo do que atualmente chamamos Integral de Riemann
Durante uma conferecircncia-teste generalizou todas as geometrias euclidianas e natildeo euclidianas estabelecendo a Geometria Riemanniana que serviu de suporte para a Teoria da Relatividade de Einstein
Em 1859 publicou seu uacutenico trabalho em Teoria dos Nuacutemeros um artigo dedicado ao Teorema dos Nuacutemeros Primos no qual partindo de uma identidade notaacutevel descoberta por Euler chegou a uma funccedilatildeo que ficou conhecida como Funccedilatildeo Zeta de Riemann Nesse artigo provou vaacuterias propriedades importantes dessa funccedilatildeo e enunciou vaacuterias outras sem provaacute-las Durante um seacuteculo depois de sua morte muitos matemaacuteticos tentaram provaacute-las e acabaram criando novos ramos da anaacutelise matemaacutetica
Riemann morreu de tuberculose no dia 20 de Julho de 1866 em Selasca na Itaacutelia durante a uacuteltima de suas vaacuterias viagens para fugir do clima frio e uacutemido do norte da Alemanha
FONTE Disponiacutevel em lthttpecalculoifuspbrhistoriariemannhtmgt Acesso em 12 jun 2008
136
RESUMO DO TOacutePICO 4
Estudamos no Toacutepico 4 as integrais muacuteltiplas Primeiramente vimos que o procedimento do caacutelculo destas integrais eacute feito por iteraccedilatildeo isto eacute repeticcedilatildeo Resolvendo a integral de dentro (interna) para a de fora e substituindo os limites de integraccedilatildeo pelo Teorema Fundamental do Caacutelculo
Depois estudamos como calcular aacutereas de formas irregulares utilizando as integrais duplas por dois processos
Projetando a regiatildeo sobre o eixo dos x que chamamos de tipo I e escrevemos a
integral como
Projetando a regiatildeo sobre o eixo dos y que chamamos de tipo II e escrevemos a
integral como
E finalizando tambeacutem estudamos a possibilidade de calcular a aacuterea entre curvas usando a integral dupla com o mesmo procedimento revisto acima onde a funccedilatildeo integrante eacute dada por f (xy) = 1
137
Calcule a integral onde R 0 le x le 2 1 le y le 4
1 intintx2 dxdyR
2 intintxy2 dxdyR
Calcule a integral onde R 0 le x le 2 0 le y le x
3 intintx3y dxdyR
4 intinte x + y dxdyR
5 Encontre a aacuterea da regiatildeo no primeiro quadrante limitada por xy = 2 y = 1 e y = x + 1
Calcule por integraccedilatildeo dupla a aacuterea da regiatildeo limitada determinada pelo par de curvas dado
6 x2 = 4y e 2y ‒ x ‒ 4 = 0
7 y = x e x = 4y ‒ y2
8 x + y = 5 e xy = 6
AUTOATIVIDADE
138
139
UNIDADE 3
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Ao final desta unidade vocecirc deveraacute ser capaz de
bull conhecer os principais conceitos que envolvem as equaccedilotildees diferenciais
bull identificar os diferentes tipos de equaccedilotildees diferenciais
bull diferenciar as equaccedilotildees diferenciais
bull resolver as equaccedilotildees diferenciais
Na Unidade 3 estudaremos as equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias de primeira ordem e algumas equaccedilotildees diferenciais de segunda ordem Neste intuito a unidade seraacute dividida em trecircs toacutepicos O Toacutepico 1 inicia com a definiccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais ordem e classificaccedilatildeo Na sequecircncia seratildeo apresenta-das as equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias de primeira ordem separaacuteveis linea-res e exatas e seus respectivos meacutetodos de resoluccedilatildeo No toacutepico 2 destacare-mos as equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem que envolvem substituiccedilotildees em suas resoluccedilotildees em particular as equaccedilotildees de Bernoulli e as equaccedilotildees homogecircneas Finalizamos a unidade com o Toacutepico 3 estudando as equaccedilotildees diferenciais lineares de segunda ordem Nesse toacutepico nosso estudo se res-tringiraacute agraves equaccedilotildees lineares homogecircneas com coeficientes constantes
TOacutePICO 1 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
TOacutePICO 2 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
TOacutePICO 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
140
141
TOacutePICO 1
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico vamos abordar as caracteriacutesticas de uma equaccedilatildeo diferencial quanto ao seu tipo a sua ordem e a sua linearidade Na sequecircncia discutiremos os processos de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem segundo sua classificaccedilatildeo em separaacuteveis lineares ou exatas
Vejamos alguns exemplos de equaccedilotildees diferenciais
Uma equaccedilatildeo que relaciona uma funccedilatildeo desconhecida a uma ou mais de suas derivadas eacute chamada de uma equaccedilatildeo diferencial
As equaccedilotildees satildeo classificadas quanto ao tipo agrave ordem e agrave linearidade
2 DEFINICcedilOtildeES E TERMINOLOGIAS
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
142
Uma equaccedilatildeo diferencial pode ser classificada como ordinaacuteria ou parcial Se a funccedilatildeo envolvida for uma funccedilatildeo de somente uma variaacutevel dizemos que a equaccedilatildeo eacute ordinaacuteria (EDO) Se uma equaccedilatildeo diferencial conteacutem pelo menos uma derivada parcial entatildeo eacute denominada de equaccedilatildeo diferencial parcial (EDP) Vejamos alguns exemplos
i) partu party
= ndash 5 partupartx
u = u(x y) parcial
ii) d 2 y dx2 ndash 6 dy
dx + 8y = 0 ordinaacuteria
iii) part2z
partx2 + part
2zparty2
ndash 2 partzparty
= 0 z = z(x y) parcial
21 TIPOS DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Quanto agrave ordem uma equaccedilatildeo diferencial pode ser de 1ordf de 2ordf de n-eacutesima ordem dependendo da derivada de maior ordem presente na equaccedilatildeo
i) yprime ndash 3xy = x 1deg ordem
ii) yPrime + yprime = cos t 2deg ordem
iii) d y dx
2
+ 3y = 2 1deg ordem
iv) d 2 y dx2 ndash 6 dy
dx + 8y = 0 2deg ordem
v) d 3 y dt 3 ndash t
dydt + (t 2 ndash 1)y = et 3deg ordem
vi) xyprime ndash 5y = 0 1deg ordem
22 ORDEM DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
143
Uma equaccedilatildeo diferencial eacute dita linear se a funccedilatildeo e suas derivadas envolvidas na equaccedilatildeo forem de primeiro grau Caso contraacuterio dizemos que a EDO eacute natildeo linear Vejamos alguns exemplos
i) dydx + 3y = 2 linear
ii) dydx + sen y = 2 natildeo linear
iii) d 3 y dx3 ndash x dy
dx + 7y = ex linear
iv) d 3 y dt 3 +
dydt + t (y 2 ndash 1) = et natildeo linear
23 LINEARIDADE DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Uma funccedilatildeo y = y(x) eacute soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial em um dado intervalo I se a equaccedilatildeo diferencial for satisfeita para todo x isin I ou seja se y(x) e suas derivadas satisfizerem agrave equaccedilatildeo diferencial neste intervalo para todo x isin I
Exemplo 1
Verifique se a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 eacute soluccedilatildeo de yprime(x) + 2xy = x
Resoluccedilatildeo
Dado a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 vamos encontrar a derivada de primeira ordem
yprime(x) = 32
(ndash 2x)endashx 2
yprime(x) = ndash3xendashx 2
Agora substituiacutemos y e yprime na equaccedilatildeo diferencial yprime (x) + 2xy = x
24 SOLUCcedilAtildeO DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
144
Entatildeo a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial e portanto
y eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial dada
Exemplo 2Verifique se a funccedilatildeo y(x) = e2x eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
d 2 y dx2 ndash 5
dydx + 6y = 0
ResoluccedilatildeoDado a funccedilatildeo y(x) = e2x vamos encontrar as derivadas de primeira e
segunda ordem
dydx = 2e2x e
d 2 y dx2 = 4e2x
Agora vamos substituiacute-las na equaccedilatildeo diferencial d 2 y dx2 ndash 5 dy
dx + 6y = 0
4e2x ndash 5 middot 2e2x + 6e2x = 0
4e2x ndash 10e2x + 6e2x = 0
De fato a funccedilatildeo y(x) = e2x satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial
Exemplo 3Verifique se a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
xyprime(x) ndash y(x) = 2xIn x
ResoluccedilatildeoDado a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x vamos encontrar a derivada de primeira
ordem
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
145
Agora substituiacutemos y e yprime na equaccedilatildeo diferencial xyprime(x) ndash y(x) = 2xln x obtendo
2x In x = 2x In x
Portanto a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial
Dada uma equaccedilatildeo diferencial dizemos que a sua soluccedilatildeo eacute uma funccedilatildeo que satisfaz a identidade proposta por esta equaccedilatildeo Esta funccedilatildeo expressa por y = F(x) + c conteacutem uma constante arbitraacuteria oriunda do processo de integraccedilatildeo Entatildeo dizemos que y = F(x) + c c isinR eacute uma famiacutelia de soluccedilotildees da EDO e assim para cada valor arbitraacuterio de c temos uma soluccedilatildeo (funccedilatildeo) diferente para a mesma EDO Poreacutem observe que derivando-as obteremos as mesmas funccedilotildees tendo em vista que a derivada de uma constante eacute zero
Por exemplo dada a equaccedilatildeo diferencial yprime(x) = 5x ndash 2 sua soluccedilatildeo geral eacute dada por
y(x) = 52
x2 ndash 2x + c Vamos considerar c = ndash1 e c = 3 entatildeo y1(x) = 52
x2 ndash 2x ndash 1 e y2(x) = 52
x2 ndash 2x + 3 Agora vamos derivar estas soluccedilotildees (funccedilotildees) yprime1 (x) = 5x ndash 2 e yprime2 (x) = 5x ndash 2
Podemos ver que as derivadas satildeo iguais Daiacute o fato da soluccedilatildeo y = F(x) + c c isinR ser denominada de soluccedilatildeo geral da
EDO
241 Soluccedilatildeo geral
A soluccedilatildeo deduzida da soluccedilatildeo geral atribuindo-se valores particulares agrave constante arbitraacuteria c eacute chamada de soluccedilatildeo particular
Quando uma equaccedilatildeo diferencial eacute utilizada como um modelo matemaacutetico em alguma aplicaccedilatildeo haacute normalmente uma condiccedilatildeo inicial y(x0) = y0 que torna possiacutevel calcular a constante arbitraacuteria c que aparece na soluccedilatildeo geral
242 Soluccedilatildeo particular
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
146
Um problema com uma equaccedilatildeo diferencial satisfazendo alguma condiccedilatildeo adicional (por exemplo y(x
0) = y
0 eacute denominado problema do valor inicial (PVI)
Exemplo 4
Considerando dydx = 2x entatildeo y = x2 + c eacute uma soluccedilatildeo geral da EDO c isinR
ResoluccedilatildeoVamos encontrar a soluccedilatildeo particular utilizando a condiccedilatildeo adicional y(3)
= 4 Desse modo a partir da soluccedilatildeo geral y = x2 + c atribuiacutemos a x o valor 3 e a y o valor 4 determinando assim a constante c
y = x2 + c4 = 32 + c4 = 9 + cc = ndash5
Substituindo o valor de c na soluccedilatildeo geral obtemos a soluccedilatildeo particular da EDO
y = x2 ndash 5
Caros acadecircmico(a) Leia com bastante atenccedilatildeo o texto a seguir sobre as EDOs Assim vamos saber um pouco mais sobre o que estamos estudando e quais satildeo as suas finalidades
O que uma ED de primeira ordem pode nos dizer
Vamos imaginar por um momento que temos uma equaccedilatildeo diferencial
de primeira ordem na forma normal dydx = f (xy) e aleacutem disso que natildeo podemos
encontrar nem inventar um meacutetodo para resolvecirc-la analiticamente Essa situaccedilatildeo natildeo eacute tatildeo ruim quanto parece uma vez que muitas vezes eacute possiacutevel juntar informaccedilotildees uacuteteis sobre a natureza das soluccedilotildees diretamente da proacutepria
equaccedilatildeo diferencial Por exemplo jaacute vimos que quando f (xy) e partfparty
satisfazem
NOTA
ESTUDOS FUTUROS
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
147
determinadas condiccedilotildees de continuidade as questotildees qualitativas sobre a existecircncia e a unicidade de soluccedilotildees podem ser respondidas Veremos nesta seccedilatildeo que outras questotildees qualitativas sobre propriedades da soluccedilatildeo ndash Como uma soluccedilatildeo se comporta nas proximidades de um determinado ponto Como uma soluccedilatildeo se comporta quando x rarr infin ndash podem frequentemente ser respondidas quando a funccedilatildeo f depende somente da variaacutevel y Vamos comeccedilar poreacutem
com um conceito simples de caacutelculo a derivada dydx de uma funccedilatildeo diferenciaacutevel
y = y(x) daacute as inclinaccedilotildees das retas tangentes em pontos sobre seu graacutefico
Inclinaccedilatildeo
Como uma soluccedilatildeo y = y(x) de uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem dydx = f (xy) eacute necessariamente uma funccedilatildeo diferenciaacutevel em seu intervalo I a curva integral correspondente em I natildeo deve ter interrupccedilotildees e deve ter uma reta tangente em cada ponto (xy(x)) A inclinaccedilatildeo da reta tangente em (xy(x)) sobre uma curva integral eacute o valor de sua derivada primeira
dydx nesse ponto e isso
eacute sabido da equaccedilatildeo diferencial f (xy(x)) Suponha agora que (xy) representa qualquer ponto em uma regiatildeo do plano xy sobre o qual a funccedilatildeo f estaacute definida O valor f (xy) que a funccedilatildeo atribui ao ponto representa a inclinaccedilatildeo de uma reta ou como iremos pensar um segmento de reta denominado elemento linear Por exemplo consideramos a equaccedilatildeo
dydx = 02xy onde f (xy) = 02xy No ponto de
coordenadas (2 3) por exemplo a inclinaccedilatildeo de um elemento linear eacute f (23) = 12 A figura (a) mostra um segmento de reta com inclinaccedilatildeo positiva passando por (23) Conforme mostrado na figura (b) se uma curva integral tambeacutem passar por (23) faraacute isto tangenciando esse segmento de reta em outras palavras o elemento linear eacute uma miniatura da reta tangente nesse ponto
Figura 11a elemento linear em um pontoFigura 2 ndash Figura 11b o elemento linear eacute uma tangente agrave curva integral que passa pelo ponto
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
148
Campos de Direccedilotildees
Se sistematicamente calcularmos f sobre uma malha retangular de pontos (xy) no plano xy e em cada ponto (xy) desenharmos um elemento linear com a inclinaccedilatildeo (xy) a coleccedilatildeo de todos os elementos lineares seraacute chamada
de campo de direccedilotildees ou campo de inclinaccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial dydx
= f
(xy) Visualmente o campo de direccedilotildees sugere a aparecircncia ou forma de uma
famiacutelia de curvas integrais da equaccedilatildeo diferencial e consequentemente pode ser possiacutevel vislumbrar determinados aspectos qualitativos das soluccedilotildees ndash por exemplo regiotildees no plano nas quais uma soluccedilatildeo exibe um comportamento natildeo usual Uma uacutenica curva integral que segue seu caminho em um campo de direccedilotildees deve acompanhar o padratildeo de fluxo do campo ela eacute tangente a um elemento linear quando intercepta um ponto da malha
FONTE Zill (2003 p 41-42)
Estudaremos alguns tipos de equaccedilotildees diferenciais que requerem meacutetodos distintos de resoluccedilatildeo Vamos iniciar pelas equaccedilotildees diferenciais separaacuteveis caracterizando-as e determinando seu processo de resoluccedilatildeo
Definiccedilatildeo 131 A equaccedilatildeo yprime = f (xy) seraacute separaacutevel se f puder ser expressa como um produto de uma funccedilatildeo p(x) e uma funccedilatildeo q(y) com q(y) ne 0 Assim a equaccedilatildeo diferencial teraacute a forma
3 EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL SEPARAacuteVEL
yprime = p(x) q(y) ou
dydx = p(x) q(y) ou
yprime 1
q(y) = p(x)
onde p(x) e q(y) satildeo contiacutenuas em seu domiacutenio
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
149
Considerando a equaccedilatildeo diferencial dada o primeiro passo para resolvecirc-lo eacute separar as variaacuteveis y e x juntamente com as suas respectivas diferenciais obtendo a seguinte igualdade
1q(y)
dy = p(x)dx
A seguir integramos ambos os lados da igualdade
int 1q(y)
dy = int p(x)dx
E sempre que for possiacutevel escrevemos a funccedilatildeo (soluccedilatildeo geral da EDO) na sua forma expliacutecita
Vamos resolver um exemplo para aplicarmos o meacutetodo
Exemplo 5
Resolva a equaccedilatildeo diferencial dydx = 6ex
Resoluccedilatildeo
dydx = 6ex
Inicialmente vamos separar as variaacuteveis
31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
dy = 6ex dx
Integrando ambos os lados da igualdade
int dy = int 6ex dx
int dy = 6 int ex dx
y + c1 = 6ex + c2
Isolando a variaacutevel y
y = 6ex + c2 ndash c1
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
150
Para deixar uma uacutenica constante na funccedilatildeo consideramos c = c2 ndash c1 donde temos que
y = 6ex + c
Exemplo 6Resolva a equaccedilatildeo diferencial
dydx =
xy2
Resoluccedilatildeo
dydx =
xy2
Dada a equaccedilatildeo diferencial acima vamos separar as variaacuteveis
Multiplicando ambos os lados da igualdade por y2 temos
y 2 dy = x dx
Integrando ambos os lados da igualdade
int y 2 dy = int x dx
y3
3 + c1 = x2
2 + c2
Isolando a variaacutevel y
y3
3 = x2
2 + c2 ndash c1
y 3 = 3x2
2 + 3(c2 ndash c1)
Para deixar uma uacutenica constante na funccedilatildeo consideramos c = 3(c2 ndash c1)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
151
Portanto as soluccedilotildees da EDO dada satildeo da forma c isinR
Natildeo haacute necessidade de usar duas constantes na integraccedilatildeo de uma equaccedilatildeo
separaacutevel int q(y) dy = int
p(x) dx pois se escrevermos Q(y) + c1 = P(x) + c
2 a diferenccedila c
2 ndash
c1 poderaacute ser substituiacuteda por uma uacutenica constante c resultando Q(y) = P(x) + c Em vaacuterias
ocasiotildees ao longo deste toacutepico renomearemos constantes de forma conveniente Por exemplo muacuteltiplos de constantes ou combinaccedilotildees de constantes podem algumas vezes ser substituiacutedas por uma uacutenica constante
Definiccedilatildeo 132 Chamamos de famiacutelia de funccedilotildees ao conjunto de vaacuterias funccedilotildees da forma y = f (x) + c c isinR ou seja ao conjunto formado pelas funccedilotildees que tem o mesmo comportamento a menos da constante c isinR
Exemplo a famiacutelia de funccedilotildees y(x) = x 3 ndash 2xsup2 + c
FIGURA 52 ndash Figura 12
FONTE O autor
NOTA
ndash 4
ndash 3
ndash 2
ndash 1
ndash 1ndash 2 1 2 3 4x
y
1
2
3
4x 3 ndash 2xsup2 + c
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
152
Exemplo 7Resolva a equaccedilatildeo diferencial yprime y + x = 0
ResoluccedilatildeoPodemos reescrever a equaccedilatildeo dada como
dydx
y + x = 0
Subtraindo x em ambos os lados da igualdade obtemos
dydx
y = ndashx
y dydx = ndashx
y d y dx
dx = ndashx dx
y dy = ndashx dx
int y dy = ndashint x dx
Vamos escrever apenas uma constante ao lado direito da igualdade junto agrave variaacutevel x
y x c
y x c
2 2
22
2 323
2
=minus
+
=minus
+
Considerando k = 2c temos
y x k222
3=minus
+
Podemos deixar a funccedilatildeo na forma impliacutecita
23
2 2x y k+ =
Neste caso eacute interessante deixar esta soluccedilatildeo na forma impliacutecita pois facilita a identificaccedilatildeo quanto ao tipo de curva obtida Neste exemplo obtemos uma elipse
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
153
OBSERVACcedilAtildeO Note que para natildeo carregar a notaccedilatildeo aplicamos a ideia de escrever apenas uma letra para as constantes que surgem no caacutelculo
Exemplo 8Determine a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo diferencial
dydx = sen (2x)
ResoluccedilatildeoRepetindo o procedimento utilizado nos exemplos anteriores temos
dy = sen (2x) dx
Integrando os dois lados da igualdade
int dy = int sen (2x) dx
Para resolver a integral obtida do lado direito da igualdade vamos aplicar a teacutecnica de substituiccedilatildeo
y = 12
int sen u du u = 2x
y = 12
(ndashcos u) + c du = 2 dx
y = ndash 12
cos (2x) + c 12
du = dx
FIGURA 53 ndash GRAacuteFICO DAS SOLUCcedilOtildeES DA EDO
FONTE O autor
-3
-2
-2-2 -2
-1-1-1
-1
0
00 0 x
1
11 1
2
22 2
33
3y
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
154
Exemplo 9Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo diferencial dy
dt = e t ndash y
Resoluccedilatildeodydt
= e t ndash y
Primeiramente vamos recordar a propriedade do produto de potecircncias de mesma base onde am an = a m + n com a m n isin R
Utilizaremos a propriedade da direita para a esquerda ou seja separando a expressatildeo am+n em um produto de duas potecircncias de mesma base
dydt
= e t middot e ndashy
dy = e t middot e ndashy dt
ey dy = et dt
int ey dy = int et dt
ey = et + c
Para isolar y precisamos aplicar o logaritmo natural (ln) a ambos os membros da igualdade
In ey = In (et + c)
Pelas propriedades operatoacuterias dos logaritmos em particular a propriedade da potecircncia do logaritmo temos que In ak = k middot In a e portanto
y In e = In (et + c)
Como In e = 1 temos
y = In (et + c)
Portanto y(t) = In (et + c) eacute soluccedilatildeo da EDO proposta
A
c isin R
Exemplo 10Resolva a equaccedilatildeo diferencial (2 + y) dt + (t ndash 3) dy = 0
ResoluccedilatildeoNa equaccedilatildeo (2 + y) dt + (t ndash 3) dy = 0 devemos separar as variaacuteveis Neste
caso deixamos y do lado esquerdo da igualdade e t do lado direito da igualdade
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
155
(t ndash 3) dy = ndash(2 + y) dt
dy2 + y = ndash dt
t ndash 3
Agora basta integrar os dois lados da igualdade
int dy2 + y = ndashint dt
t ndash 3
Estas integrais satildeo resolvidas aplicando a teacutecnica de substituiccedilatildeo donde obtemos
In(2 + y) = ndash In(t ndash 3) + c
In(2 + y) + In(t ndash 3) = c
Agora aplicamos a propriedade do produto de logaritmos de mesma base para a qual teremos In (a middot b) = In a + In b Utilizaremos a propriedade da direita para a esquerda ou seja multiplicaremos os logaritmandos e obteremos assim
In[(2 + y) middot (t ndash 3)] = c
Portanto a igualdade (2 + y) middot (t ndash 3) = ec
A
c isin R eacute uma soluccedilatildeo na forma impliacutecita da EDO proposta
Exemplo 11Resolva a equaccedilatildeo diferencial y prime = x e y ndash x
ResoluccedilatildeoPrimeiramente vamos mudar a notaccedilatildeo da derivada
dydx = x e y ndash x
Para resolver a equaccedilatildeo devemos separar as variaacuteveis
dydx = x e y e ndashx
Para isso multiplicamos ambos os lados da igualdade por e ndashy
e ndashy dydx = xe ndashx
e ndashy dy = xe ndashx dx
Integramos ambos os lados da igualdade
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
156
Para resolver a integral (1) utilizaremos a teacutecnica da substituiccedilatildeo
w = ndash y rArr dw = ndash dy
int e ndashy dy = ndashint ew dw = ndash ew + c1 = ndash e ndashy + c1
Enquanto que para a integral (2) aplicaremos a teacutecnica da integraccedilatildeo por partes
int udv = u middot v ndashint vdu u = x
int xe ndashx dx = x middot (ndash endashx) ndash int (ndash endashx) dx du = dx
int xe ndashx dx = ndash xendashx ndash endashx + c2 dv = endashx dx
v = ndash endashx
Retomando a igualdade int e ndashy dy = int xendashx dx temos
int e ndashy dy = int xendashx dx
ndashe ndashy + c1 = ndashxendashx ndashendashx + c2
Vamos escrever apenas uma constante do lado direto da igualdade e multiplicar ambos os lados por (-1) obtendo
e ndashy = xendashx + endashx + c
Colocando a expressatildeo endashx em evidecircncia no lado direito da igualdade
e ndashy = endashx (x + 1) + c
Para isolar a variaacutevel y aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade
In e ndashy = In [endashx (x + 1) + c]
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
157
Pela propriedade operatoacuteria da potecircncia do logaritmo temos
ndashy = In [endashx (x + 1) + c]
Portanto y(x) = ndashIn [endashx (x + 1) + c] eacute soluccedilatildeo da EDO proposta
A
c isin R
Exemplo 12
Encontre a soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo diferencial yprime = xy ndash yy + 1 no ponto
y(2) = 1
Resoluccedilatildeo
Deixamos a soluccedilatildeo na forma impliacutecita Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
158
c = 1
A funccedilatildeo y que satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial e atende agrave condiccedilatildeo y(2) = 1 eacute dada por
y(2) = 1
Continuamos a busca por soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem examinando a seguir as equaccedilotildees lineares
Definiccedilatildeo 141 Uma EDO da forma
yprime + p(x)y = q(x) ou
dydx + p(x)y = q(x)
onde p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees contiacutenuas em algum intervalo I eacute chamada de equaccedilatildeo diferencial linear de primeira ordem
4 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ordf ORDEM
Observe a forma deste tipo de EDO Cada equaccedilatildeo diferencial que estudaremos possui uma forma-padratildeo diferente Fique bastante atento
Teorema 141 A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
dydx + p(x)y = q(x) eacute
NOTA
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
159
y = 1
v(x) int v(x) q(x)dx
onde v(x) = eH(x) com H(x) = int p(x)dx A funccedilatildeo v(x) eacute chamada fator integrante
Desafie-se e faccedila a demonstraccedilatildeo matemaacutetica da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial linear
41 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Vamos descrever os passos para resolver uma equaccedilatildeo diferencial linear a qual utilizaremos o fator integrante
bull Escreva a equaccedilatildeo linear dada na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
bull Encontre uma primitiva de p(x) isto eacute resolva intp(x)dx
bull Encontre o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
bull Multiplique ambos os lados da equaccedilatildeo diferencial yprime + p(x)y = q(x) pela funccedilatildeo v(x)
bull Identifique do lado esquerdo da igualdade da derivada do produto
bull Resolva a equaccedilatildeo e se possiacutevel decirc a soluccedilatildeo na forma expliacutecita
Aplicaremos o meacutetodo em alguns exemplos para entendecirc-lo melhor
Exemplo 13Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprime + 3y = 12 (meacutetodo do fator integrante)
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
onde p(x) = 3 e q(x) = 12
O primeiro passo eacute calcular a primitiva de p(x)
H(x) = intp(x)dx entatildeo temos
UNI
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
160
H(x) = int3dx = 3x
Escrevendo o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = e3x
Agora multipliquemos a EDO por v(x)
e3x yprime + 3e3x y = 12e3x
Observemos o lado esquerdo nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = e3x teremos uprime = yprime e vprime = 3e3x Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
e3x y = 12inte3xdx
Atente para o fato de que a integral inte3xdx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
e3x y = 123
e3x + c
e3x y = 4e3x + c
Isolando a variaacutevel y
y = 4e3x middot endash3x + c endash3x
Portanto y(x) = 4 + c endash3x c isin R eacute soluccedilatildeo geral da EDO
Vamos deduzir um modelo de soluccedilatildeo geral para as equaccedilotildees lineares ordinaacuterias de primeira ordem com coeficientes constantes (deduccedilatildeo do fator integrante) ou seja
dydt + ay = b ou yprime + ay = b
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
161
Comparando a EDO apresentada com a forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x) identificamos que p(x) = a e q(x) = b Assim p(x) e q(x) satildeo constantes Neste caso
H(x) = intp(x)dx
H(x) = intadx = ax
e o fator integrante v(x) = eintp(x)dx fica
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eax
Multiplicando a EDO por v(x)
eax yprime + aeax y = beax
Observe o lado esquerdo da equaccedilatildeo nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = eax teremos uprime = yprime e vprime = aeax Entatildeo
Integrando ambos os membros da igualdade
eax y = binteaxdx
A integral inteaxdx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
eax y = ba
eax + c
Isolando a variaacutevel y
y = ba
eax endashax + c endashax
Portanto y(x) = ba
+ c endashax c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO yprime + ay = b
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
162
Caro(a) acadecircmico(a) Que tal voltar ao exemplo 13 e resolvecirc-lo usando o resultado demonstrado anteriormente
Exemplo 14Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprime + y = x
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
com p(x) =1 e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = intp(x)dx entatildeo temos
H(x) = intdx = x
Assim o fator integrante v(x) = eintp(x)dx eacute
v(x) = eH(x) rArr v(x) = ex
Multiplicamos a EDO por v(x)
ex yprime + ex y = xex
Observe o lado esquerdo da igualdade e identifique a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = ex teremos uprime = yprime e vprime = ex Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
ex y = intx ex dx
UNI
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
163
Para resolver esta integral intx ex dx precisaremos aplicar o meacutetodo da integraccedilatildeo por partes Considerando u = x e dv = ex dx teremos du = dx e v = ex Entatildeo
aplicando a foacutermula da integraccedilatildeo por partes intu dv = u middot v ndash intv du
ex y = xex ndash intex dx
ex y = xex ndash ex + c
Isolando a variaacutevel y
y = xexendashx ndash exendashx + c endashx
Portanto y(x) = x ndash 1 + c endashx c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 15Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo x
dydx = x2 ndash 5y
ResoluccedilatildeoVeja que a equaccedilatildeo diferencial natildeo estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
Entatildeo primeiro temos que reescrevecirc-la na forma-padratildeo
Assim identificamos p(x) = 5x e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = int 5x
dx = 5 In x
= In x5
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
164
E assim o fator integrante v(x) = eintp(x)dx pode ser escrito como
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eIn x 5
v(x) = x5
Multiplicando a EDO por v(x)
x5 yprime + x5 5x
y = x x5
x5 yprime + 5x4 y = x6
Observe o lado esquerdo da igualdade Nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = x5 teremos uprime = yprime e vprime = 5x 4 Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
x5 y = intx6 dx
x5 y = x7
7 + c
y = x7
7 x ndash5 + cx ndash5
Portanto y(x) = x2
7 + cx ndash5 eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
A
x isin R
Exemplo 16
Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo dydx + 4x3 y = 20x3
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x)
Identificamos p(x) = 4x3 e q(x) = 20x3
Vamos calcular a primitiva de p(x)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
165
H(x) = intp(x) dx entatildeo temos
H(x) = int4x3 dx = x 4
Escrevemos o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = ex 4
Multiplicamos a EDO por v(x)
ex 4 yprime + 4x3 ex 4 y = 20x3 ex 4
Observamos o lado esquerdo da igualdade nele devemos identificar a derivada do produto (u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = ex 4 teremos uprime = yprime e vprime = 4x3 ex 4 Entatildeo
Integramos ambos os lados da igualdade
ex 4 y = 20 intx3 ex 4 dx
A integral intx3 ex 4 dx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
e y e c
y e e c e
x x
x x x
4 4
4 4 4
20 14
5
= sdot +
= sdot sdot + sdotminus minus
Portanto y c e x= + sdot minus54
A
x isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
O exemplo a seguir traz uma aplicaccedilatildeo praacutetica de EDO no movimento retiliacuteneo uniformemente variado
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
166
Exemplo 17Sabe-se que no movimento retiliacuteneo uniformemente variado a aceleraccedilatildeo
a = dvdt eacute constante Supondo que o movimento parte do repouso e sabendo que
v = dsdt determine s(t)
ResoluccedilatildeoPartimos da primeira EDO apresentada
dvdt = a
dsdt = v
intdv = inta dt dsdt = at + v0
v = at + c1 intds = int(at + v0) dt
v(t) = at + c1 s = at 2
2 + v0t + c2
s(t) = at 2
2 + v0t + c2
Fazendo c1 = v0 onde v0 seraacute a velocidade inicialbullbull bull
v(t) = at + v0 Substituindo c2 = s0 onde s0 seraacute a posiccedilatildeo inicial
bullbull bull s(t) = at 2
2 + v0t + s0
O proacuteximo exemplo traz um problema de valor inicial (PVI) Vamos entender como se resolve um problema que apresenta uma condiccedilatildeo inicial
Exemplo 18Resolva o seguinte problema do valor inicial yprime + 2
x y = x x gt 0 y(2) = 3
ResoluccedilatildeoIdentificamos p(x) = 2
x e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = int 2x
dx = 2 In |x|
H(x) = In x 2
Escrevemos o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eIn x 2
v(x) = x 2
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
167
Multiplicamos a EDO por v(x)
x 2 yprime + x 2 2x
y = x 2 x
x 2 yprime + 2xy = x 3
Observando o lado esquerdo devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = x 2 teremos uprime = yprime e vprime = 2x Entatildeo
Integramos ambos os lados da EDO
x 2 y = intx 3 dx
x 2 y = x 4
4 + C
Portanto y(x) = x 2
4 + C
x 2
A
x isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado y(2) = 3 para encontrarmos a soluccedilatildeo particular
y = 2 2
4 + C
2 2 = 3
1 + C4
= 3
C4
= 2
C = 8
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
168
Portanto y(x) = x 2
4 + 8
x 2
A
x gt 0 eacute a soluccedilatildeo particular da EDO
Observe que a soluccedilatildeo deste problema de valor inicial eacute vaacutelida em todo intervalo ]0 +infin[ conforme a figura a seguir mostra esta soluccedilatildeo
FIGURA 54 ndash SOLUCcedilAtildeO DO PROBLEMA
FONTE O autor
Estudaremos outro tipo de equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem as chamadas equaccedilotildees diferenciais exatas onde destacamos o uso das derivadas parciais A seguir veremos a definiccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial exata e o teorema que estabelece um criteacuterio para identificar se uma EDO eacute exata
Definiccedilatildeo 151 Uma expressatildeo diferencial M(xy) dx + N(xy) dy eacute uma diferencial exata em uma regiatildeo R do plano xy se ela corresponde agrave diferencial total de alguma funccedilatildeo F(xy) ou seja dF= M(xy) dx + N(xy) dy
Teorema 151 (Criteacuterio para diferencial exata) Sejam M(xy) e N(xy) contiacutenuas e com derivadas parciais de primeira ordem contiacutenuas em uma regiatildeo R (retangular) definida por a lt x lt b e c lt y lt d Entatildeo uma condiccedilatildeo necessaacuteria e suficiente para que M(xy) dx + N(xy) dy seja uma diferencial exata eacute partM
party = partN
partx
5 EQUACcedilOtildeES EXATAS
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
169
51 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
bull Verificar se a equaccedilatildeo M(xy) dx + N(xy) dy eacute exata
bull Se for exata entatildeo existe uma funccedilatildeo f para a qual partf partx
= M(xy)
bull Integrando a equaccedilatildeo exata em relaccedilatildeo a variaacutevel x (mantendo o y constante) para encontrar f obtemos f (xy) = intM(xy) dx + o (y) onde a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) eacute a constante de integraccedilatildeo
bull Agora precisamos encontrar a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) Derive a funccedilatildeo f (xy) em relaccedilatildeo a variaacutevel y encontrada anteriormente e supomos que partf
party = N(xy) Da
comparaccedilatildeo determina-se oprime(y)
bull Finalmente integramos oprime (y) em relaccedilatildeo a y e substituiacutemos o valor encontrado para o (y) na funccedilatildeo f (xy)
bull A soluccedilatildeo eacute a funccedilatildeo impliciacuteta f (xy) = c
Exemplo 19Resolva a equaccedilatildeo diferencial (x+y)dx + (e y + x)dy = 0
ResoluccedilatildeoEm primeiro lugar precisamos verificar se esta equaccedilatildeo eacute exata
Sendo M(xy) = x + y e N(xy) = e y + x verificaremos se partM party
= partN partx
Como partM party
= 1 e partN partx
= 1 a EDO eacute exata
Entatildeo existe f (xy) tal que partf partx = x + y
Vamos integrar partf partx = x + y em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x (mantendo o y constante)
para encontrar f
f (xy) = int(x + y) dx
f (xy) = x 2
2 + xy + o (y)
Para encontrar a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivemos a funccedilatildeo f (xy) em relaccedilatildeo agrave y
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
170
Comparando a derivada parcial encontrada partf party
= x + oprime (y) com N(xy) partf party
= N(xy)
x + oprime (y) = e y + x daiacute temos
oprime (y) = e y
Agora vamos integrar oprime (y) = e y Entatildeo
intoprime(y)dy = int e dyy
o (y) = e y + c
Voltando na f (xy) e substituindo o (y) temos
f (xy) = x 2
2 + xy + e y + c c isin R
Definiccedilatildeo 152 Chamamos de curvas integrais as vaacuterias funccedilotildees (soluccedilotildees) de uma EDO
Exemplo 20Encontre as curvas integrais de 2xy dx + (x 2 ndash 1) dy = 0
ResoluccedilatildeoSendo M (xy) = 2xy e N (xy) = x 2 ndash 1 temos
partM party
= 2x = partN partx
Assim a EDO eacute exata
Entatildeo existe f (xy) tal que partf partx
= 2xy
Integrando partf partx
= 2xy em relaccedilatildeo a x obtemos
f (xy) = int2xy dx
f (xy) = x 2 y + o (y)
Agora encontraremos a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivando f (xy) em y
partf party
= x 2 + oprime (y)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
171
Comparamos a derivada parcial encontrada acima com N (xy) partf party
= N (xy)
x 2 + oprime (y) = x 2 ndash 1 daiacute
oprime (y) = ndash1
Agora integramos oprime (y) = ndash1 Entatildeo
o (y) = ndash intdy
o (y) = ndash y + c
Logo f (xy) = x 2 y ndash y + c c isin R
Nos exemplos 19 e 20 a funccedilatildeo f (xy) estaacute na forma impliacutecita Escreva a funccedilatildeo na forma expliacutecita y = f (x)
Exemplo 21Resolva a EDO (y cos x + 2x e y) dx + (sen x + x 2 e y ndash 1) dy = 0
ResoluccedilatildeoVerifiquemos se a equaccedilatildeo diferencial eacute exata
Sendo M (xy) = y cos x + 2x e y e N (xy) = sen x + x 2 e y ndash 1 temos
partM party = cos x + 2x e y =
partN partx
Assim a EDO eacute exata
Logo existe f (xy) tal que partf partx
= y cos x + 2x e y
Integrando partf partx
= y cos x + 2x e y em relaccedilatildeo agrave x obtemos
f (xy) = int(y cos x + 2x e y) dx
f (xy) = y sen x + x 2 e y + o (y)
Agora encontraremos a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivando f (xy) em y
UNI
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
172
partf party
= sen x + x 2 e y + oprime (y)
Comparemos a derivada parcial encontrada partf party
= sen x + x 2 e y + oprime (y) com N (xy)
sen x + x 2 e y + oprime (y) = sen x + x 2 e y ndash 1
oprime (y) = ndash 1
Entatildeo
o (y) = ndash intdy
o (y) = ndashy + c c isin R
Logo f (xy) = y sen x + x 2 e y ndash y + c
Exemplo 22
Verifique se a equaccedilatildeo (x In y ndash e ndashxy) dx + 1y
+ y In x dy = 0 eacute exata
ResoluccedilatildeoSejam M (xy) = x In y ndash e ndashxy e N (xy) = 1
y + y In x
Entatildeo partM party
= x middot 1y
+ xe ndashxy e partN partx
= y middot 1x
vsAssim partM party
ne partN partx
Portanto a EDO natildeo eacute exata
OBSERVACcedilAtildeO Para resolver esta equaccedilatildeo diferencial eacute preciso utilizar um outro procedimento que natildeo veremos neste caderno mas que vocecirc pode encontrar por exemplo em BOYCE W DI PRIMA R C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores de contorno 7ordf Ed Satildeo Paulo LTC 2002
UNI
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
173
Exemplo 23Encontre a curva integral da equaccedilatildeo (2x sen y + e x cos y) dx + (x 2 cos y ndash e x
sen y) dy = 0 que passa pelo ponto y (0) = p4
ResoluccedilatildeoO enunciado do exemplo 23 nos traz um problema de valor inicial para
uma EDO exata
Verificaremos se a EDO eacute exata
Sendo M (xy) = 2x sen y + e x cos y e N (xy) = x 2 cos y ndash e x sen y temos
partM party
= 2x cos y ndash e x sen y = partN partx
Assim a EDO eacute exata
Como a equaccedilatildeo eacute exata entatildeo existe f (xy) tal que partf partx
= 2x sen y + e x cos y
Integrando partf partx
= 2x sen y + e x cos y em relaccedilatildeo a x obtemos
f (xy) = int(2x sen y + e x cos y) dx
f (xy) = x 2 sen y + e x cos y + o (y)
partf party
= x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y)
Comparamos a derivada parcial encontrada partf party
= x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y) com N (xy)
x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y) = x 2 cos y ndash e x sen y
oprime (y) = 0
Agora integramos oprime (y) = 0 Entatildeo
o (y) = c
Logo f (xy) = x 2 sen y + e x cos y + c c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado y (0) =
p4
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
174
x 2 sen y + e x cos y = c
02 sen p4 + e 0 cos
p4 = c
c = radic22
Portanto x 2 sen y + e x cos y = radic22 eacute a soluccedilatildeo particular da EDO ou seja a
curva integral que passa pelo ponto y (0) = p4
Caro(a) acadecircmico(a) Se depois da leitura do Toacutepico 1 e da realizaccedilatildeo dos exerciacutecios ainda tiver duacutevidas procure esclarececirc-las antes de iniciar o estudo do Toacutepico 2 Bons estudos
NOTA
175
Neste toacutepico estudamos as Equaccedilotildees Diferenciais de Primeira Ordem
bull Iniciamos conhecendo os termos e conceitos relativos agraves equaccedilotildees diferenciais e a partir daiacute estudamos trecircs tipos de equaccedilotildees diferenciais
bull O primeiro tipo de equaccedilatildeo estudada foi a Separaacutevel cuja forma-padratildeo eacute dada
por yprime = p(x) middot q(y) ou dydx
= p(x) middot q(y) ou yprime q(y) = p(x) A resoluccedilatildeo deste tipo de
EDO eacute feita atraveacutes da separaccedilatildeo das variaacuteveis e em seguida faz-se a integraccedilatildeo da igualdade
bull O segundo tipo de equaccedilatildeo estudada foi a Equaccedilatildeo Diferencial Linear de Primeira
Ordem que tem a forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) ou dydx
+ p(x) y = q(x) Para a sua
resoluccedilatildeo utilizamos o fator integrante v(x) = eH(x) onde H(x) = intp(x)dx
bull E o terceiro tipo de equaccedilatildeo diferencial estudada foi a Equaccedilatildeo Exata cuja forma-padratildeo eacute expressa por M (xy) dx + N (xy) dy O procedimento de resoluccedilatildeo requer
que trabalhemos com partf partx
= M (xy) e partf party
= N (xy) seguindo todo o procedimento
jaacute estudado
RESUMO DO TOacutePICO 1
176
Nos problemas 1 e 2 resolva por separaccedilatildeo de variaacuteveis as equaccedilotildees diferenciais dadas
1 dydx
= (x + 1)2
2 dydt
= t 2
y 2
Nos problemas 3 e 4 resolva as equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem dadas
3 dydx
ndash 3x
y = x
4 dydx
+ y = e 3x
Nos problemas 5 e 6 resolva as equaccedilotildees diferenciais exatas
5 (5x + 4y)dx + (4x ndash 8y3)dy = 0
6 (sen y ndash y sen x)dx + (cos x + x cos y)dy = 0
Nas EDO a seguir identifique o tipo de EDO e encontre a funccedilatildeo desconhecida
7 yprime + 3x 2 y = x 2
8 dydx
= 3x 2 + 4x + 2
2 (y ndash 1) y (0) = 1
9 (3x 2 ndash 2xy + 2) + (6y 2 ndash x 2 + 3) yprime = 0
10 dydx
= e 3x + 2y
AUTOATIVIDADE
177
TOacutePICO 2
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE
PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI
21 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
No Toacutepico 2 estudaremos mais tipos de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem tais como Equaccedilotildees de Bernoulli e Equaccedilotildees homogecircneas A resoluccedilatildeo destas equaccedilotildees requer algum tipo de substituiccedilatildeo
Definiccedilatildeo 221 Uma equaccedilatildeo de primeira ordem da forma yprime + p(x) y = q(x) y n onde p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees definidas e contiacutenuas em algum intervalo I e n eacute um nuacutemero real tal que n ne 0 e n ne 1 eacute chamada de equaccedilatildeo de Bernoulli
bull Escrever a equaccedilatildeo na forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) y n
bull Identificar as funccedilotildees p(x) q(x) e o valor de n
bull Indicar a substituiccedilatildeo que seraacute feita e aplicar a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
bull Agora a EDO eacute uma linear de primeira ordem sendo uprime + p(x) u = q(x)
bull Calcular o fator integrante e obter a soluccedilatildeo
178
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
A equaccedilatildeo de Bernoulli y + p(x) y = q(x) y n que embora seja de primeira ordem e natildeo linear (quando n ne 1) se transforma em uma equaccedilatildeo diferencial linear atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y 1 ndash n
Vamos mostrar como que se chega agrave foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
Seja a equaccedilatildeo de Bernoulli dada por
yprime + p(x) y = q(x) y n
Multipliquemos a equaccedilatildeo por u = y ndashn
yprime y ndashn + p(x) yy ndashn = q(x) yn y ndashn
yprime y ndashn + p(x) y 1 ndash n = q(x) Vamos fazer uma substituiccedilatildeo u = y 1 ndash n Daiacute
uprime = (1 ndash n) y ndashn yprime
yprime = uprime
(1 ndash n) y ndashn
Retornando agrave equaccedilatildeo e fazendo as substituiccedilotildees obtemos
uprime(1 ndash n)
+ p(x) u = q(x)
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
Exemplo 1Encontre as curvas integrais para a equaccedilatildeo x dy
dx + y = x 2 y 2
ResoluccedilatildeoPrimeiro precisamos escrever a EDO na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de
Bernoulli
Seja xyprime + y = x 2 y 2 Multiplicando ambos os lados da igualdade por 1x
com x ne 0 obtemos
1x
middot (xyprime + y) = 1x
middot x 2 y 2
NOTA
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
179
1x
middot xyprime + 1x
middot y = 1x
middot x 2 y 2
yprime + 1x
y = xy 2
Agora a EDO estaacute na forma yprime + p(x) y = q(x) y n e poderemos transformaacute-la numa equaccedilatildeo diferencial linear considerando u = y ndash1 e
p(x) = 1x
q(x) = x e n = 2
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 2) middot 1x
middot u = (1 ndash 2) middot x
uprime + (ndash1) 1x
u = (ndash1) x
uprime ndash 1x
u = ndashx
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 1x
dx
H(x) = ndashIn x
v(x) = e ndashIn x
v(x) = x ndash1
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash1 em ambos os lados da igualdade obtemos
x ndash1 uprime ndash 1x
x ndash1 u = ndashxx ndash1
x ndash1 u = ndash intdx
x ndash1 u = ndashx + c
u = ndashx 2 + cx
180
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash1 feita no iniacutecio
y ndash1 = ndashx 2 + cx
y = (ndashx 2 + cx)ndash1
Portanto y(x) = 1
ndashx 2 + cx c isin R
Exemplo 2Resolva a EDO yprime + 4y = 3e 2x y 4
ResoluccedilatildeoA EDO jaacute estaacute na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de Bernoulli
Entatildeo aplicamos a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x) para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash3 e
p(x) = 4 q(x) = 3e 2x e n = 4
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 4) middot 4 middot u = (1 ndash 4) middot 3e 2x
uprime + (ndash3) middot 4u = (ndash3) middot 3e 2x
uprime ndash12u = ndash9e 2x
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int(ndash12) dx
H(x) = ndash12x
v(x) = e ndash12x
Multiplicando o fator integrante v(x) = e ndash12x em ambos os membros da igualdade obtemos
e ndash12x uprime ndash 12 e ndash12x u = e ndash12x (ndash9e 2x)
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
181
e ndash12x u = int(ndash9e ndash10x) dx
Para resolver esta integral vamos aplicar o meacutetodo da substituiccedilatildeo considerando
w = ndash10x rArr dw = ndash10 dx
Entatildeo e ndash12x u = 910
intew dw
e ndash12x u = 910
ew + c
e ndash12x u = 910
e ndash10x + c
e ndash12x e12x u = 910
e ndash10x e12x + c middot e12x
u = 910
e 2x + c middot e12x
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash3 feita no iniacutecio
u = 910
e 2x + c middot e12x
y ndash3 = 910
e 2x + c middot e12x
Portanto y(x) = 910
e 2x + c middot e12x
ndash⅓
c isin R eacute soluccedilatildeo geral da EDO proposta
Exemplo 3Encontre a soluccedilatildeo geral para a equaccedilatildeo xyprime + y = ndashxy 2
ResoluccedilatildeoEscrevendo a EDO na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de Bernoulli
Seja xyprime + y = ndashxy 2 multiplicamos ambos os lados da igualdade por 1x
1x
middot xyprime + 1x
middot y = ndash 1x
xy 2
yprime + 1x
y = ndashy 2
Assim a EDO estaacute na forma yprime + p(x) y = q(x) y n
Entatildeo aplicamos a foacutermula mostrada acima para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash1
182
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
p(x) = 1x
q(x) = ndash1 e n = 2
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 2) middot 1x
middot u = (1 ndash 2) (ndash1)
uprime + (ndash1) 1x
u = (ndash1) (ndash1)
uprime ndash 1x
u = 1
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 1x
dx
H(x) = ndashIn x
v(x) = e ndashIn x
v(x) = x ndash1
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash1 na equaccedilatildeo obtemos
x ndash1 uprime ndash 1x
x ndash1 u = x ndash1
x u - x u = x-1 -2
derivada do produto
-1prime
ddx
x u = x-1 -1
x ndash1 u = int 1x
dx
x ndash1 u = In x + c
u = x In x + cx
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = u = y ndash1 feita no iniacutecio
y ndash1 = x In x + cx
Portanto y(x) = 1
x In x + cx c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 4Encontre as curvas integrais para a equaccedilatildeo yprime + 2
x y =
y 3
x 2
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
183
ResoluccedilatildeoA EDO eacute uma equaccedilatildeo de Bernoulli Entatildeo aplicamos a foacutermula uprime + (1 ndash n)
p(x) u = (1 ndash n) q(x) para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash2
p(x) = 2x
q(x) = 1x 2 e n = 3
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 3) middot 2x
middot u = (1 ndash 3) 1x 2
uprime + (ndash2) 2x
u = (ndash2) 1x 2
uprime ndash 4x
u = ndash2x ndash2
Logo obtemos uma EDO linear Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 4x
dx
H(x) = ndash 4 In x
v(x) = e ndash 4 In x
v(x) = e In x ndash 4
v(x) = x ndash 4
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash 4 na equaccedilatildeo obtemos
x ndash 4 uprime ndash 4x
x ndash 4 u = ndash 2xndash2 middot x ndash 4
x ndash4 u = ndash 2 intx ndash6 dx
x ndash4 u = ndash 2 x ndash5
ndash5 + c
x ndash4 u = 25
x ndash5 + c
x 4 middot x ndash4 u = 25
x ndash5 middot x 4 + c middot x 4
184
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
u = 25
x ndash1 + c middot x 4
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash2 feita no iniacutecio
y ndash2 = 25x
+ cx 4
Portanto c isin R satildeo curvais integrais (soluccedilotildees) da EDO
3 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS HOMOGEcircNEAS
31 FUNCcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
Vamos estudar equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem que podem ser transformadas em equaccedilotildees jaacute estudadas em seccedilotildees anteriores
Definiccedilatildeo 2311 Uma funccedilatildeo f = f (xy) eacute dita homogecircnea de grau n se substituindo-se x por λx e y por λy for verdadeira a igualdade f (λxλy) = λn f (xy) para todo real λ ne 0
Por exemplo as funccedilotildees listadas a seguir satildeo homogecircneas de graus
respectivamente trecircs um e zero f (xy) = xy 2 + x 2 y f (xy) = f (xy) = x + yx ndash 3y
Exemplo 5
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = xy 2 + x 2 y eacute homogecircnea e se for indique o grau
ResoluccedilatildeoPara mostrar que f eacute homogecircnea devemos verificar a igualdade f (λxλy)
= λn f (xy) λ isin IR
f (λxλy) = λx (λy) 2 + (λx) 2 λy
f (λxλy) = λxλ2 y 2 + λ2x 2 λy
f (λxλy) = λ3xy 2 + λ3x 2y
f (λxλy) = λ3 (xy 2 + x 2y)
f (λxλy) = λ3 f (xy)
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
185
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau 3
Exemplo 6Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = eacute homogecircnea e se for indique o
grau
Resoluccedilatildeo
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau 1
Exemplo 7Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = xy 2 + ex + y eacute homogecircnea e se for indique o grau
Resoluccedilatildeo
f (λxλy) = λx (λy) 2 + eλx + λy
f (λxλy) = λxλ2y 2 + eλx + λy
f (λxλy) = λ3xy 2 + eλ(x + y)
f (λxλy) ne λn f (xy)
Portanto a funccedilatildeo f natildeo eacute homogecircnea
186
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Exemplo 8Verifique se a funccedilatildeo f (xy) =
x + yx ndash 3y
eacute homogecircnea e se for indique o grau
Resoluccedilatildeo
f (λxλy) = λx + λy
λx ndash 3λy
f (λxλy) = λ(x + y)
λ(x ndash 3y)
f (λxλy) = x + yx ndash 3y
f (λxλy) = f (xy)
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau zero
32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
Definiccedilatildeo 2321 Uma equaccedilatildeo diferencial homogecircnea eacute uma equaccedilatildeo da forma
yprime = f (xy)
onde f = f (xy) eacute uma funccedilatildeo homogecircnea de grau zero ou seja
f (λxλy) = f (xy)
A
λ ne 0
Definiccedilatildeo 2322 As equaccedilotildees diferenciais homogecircneas podem ser transformadas em equaccedilotildees do tipo M (xy) dx + N (xy) dy = 0 onde M e N satildeo funccedilotildees homogecircneas do mesmo grau
Isto quer dizer que a equaccedilatildeo M (xy) dx + N (xy) dy = 0 seraacute homogecircnea se M (λxλy) = λn M (xy) λ isin IR e N (λxλy) = λn N (xy) λ isin IR
Exemplo 9Verifique se a equaccedilatildeo (x 2 ndash y 2) dx ndash 5xy dy = 0 eacute homogecircnea
ResoluccedilatildeoTemos que verificar se M (λxλy) = λn M (xy) e N (λxλy) = λn N (xy) tecircm
mesmo grau
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
187
321 Meacutetodo de resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
Seja uma EDO homogecircnea de primeira ordem vejamos como proceder para resolver esta equaccedilatildeo diferencial homogecircnea
O primeiro passo eacute colocar a equaccedilatildeo na forma dydx
= g yx onde g eacute uma
funccedilatildeo contiacutenua de uma uacutenica variaacutevel
Fazendo v = yx entatildeo y = vx e
dydx
= x dvdx
+ v e g yx fica g (v)
Entatildeo a equaccedilatildeo pode ser escrita como
x dvdx
+ v = g (v)
que pode ser reescrita na forma
dvg (v) ndash v
= dxx
Note que essa equaccedilatildeo eacute separaacutevel Entatildeo podemos resolvecirc-la como uma equaccedilatildeo diferencial separaacutevel e escrever a soluccedilatildeo em funccedilatildeo de x e de y
substituindo v por yx
M (xy) = x 2 ndash y 2 N (xy) = ndash5xy
M (λxλy) = (λx) 2 ndash (λy) 2 N (λxλy) = ndash5 (λx) (λy)
M (λxλy) = λ2 x 2 ndash λ2 y 2 N (λxλy) = ndash5 λ2xy
M (λxλy) = λ2 (x 2 ndash y 2) N (λxλy) = λ2 (ndash5xy)
M (λxλy) = λ2 M (xy) N (λxλy) = λ2 N (xy)
Portanto a equaccedilatildeo (x 2 ndash y 2) dx ndash 5xy dy = 0 eacute homogecircnea
Pode-se resolver uma equaccedilatildeo diferencial homogecircnea transformando-a em uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis fazendo uma substituiccedilatildeo adequada
188
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Vejamos outra situaccedilatildeo seja uma equaccedilatildeo homogecircnea dada na forma M
(xy) dx + N (xy) dy = 0
Entatildeo M (xy) dx = -N (xy) dy rArr dydx
= M (xy)N (xy)
Como a equaccedilatildeo eacute homogecircnea M e N tecircm o mesmo grau de homogeneidade
n Entatildeo se dividirmos M e N por λn transformaremos ndash M (xy)N (xy)
numa funccedilatildeo do
tipo dydx
= g yx
Daiacute segue o mesmo procedimento acima
Exemplo 10Mostre que a equaccedilatildeo diferencial yprime =
3x 2 + y 2
xy eacute homogecircnea e encontre sua
soluccedilatildeo geral
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo eacute homogecircnea pois supondo λ ne 0
f (λxλy) = 3(λx) 2 + (λy) 2
(λx) (λy)
f (λxλy) = λ2 (3x 2 + y 2)
λ2 (xy)
f (λxλy) = 3x 2 + y 2
xy
f (λxλy) = f (xy)
Definindo v = yx e substituindo na equaccedilatildeo diferencial temos
Como y = vx entatildeo dydx = x
dvdx + v
Logo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
3 + v 2
v
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
189
x dvdx =
3 + v 2
v ndash v
x dvdx =
3v
v dv = 3x
dx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
intv dv = int 3x
dx
v 2
2 = 3 In |x| + c c isin R
v 2 = 6 In |x| + 2c c isin R
Substituindo v por yx e k = 2c temos
y 2
x 2 = 6 In |x| + k k isin R
Logo a soluccedilatildeo geral tem a forma y 2 = 6x 2 In |x| + x2k k isin R
Exemplo 11Mostre que a equaccedilatildeo yprime =
2y 4 + x 4
xy 3 eacute homogecircnea e resolva a equaccedilatildeo diferencial
ResoluccedilatildeoVamos mostrar que a EDO eacute homogecircnea de grau zero supondo λ isin IR
f (λxλy) = 2(λy) 4 + (λx) 4
(λx) (λy) 3
f (λxλy) = 2λ4 y 4 + λ4 x 4
λ4xy 3
f (λxλy) = λ4 (2y 4 + x 4)
λ4xy 3
f (λxλy) = f (xy)
Definindo v = yx e substituindo na equaccedilatildeo diferencial temos
190
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
dydx =
2y 4 + x 4
xy 3
dydx =
2v 4 + 1v 3
Como y = vx entatildeo dydx = x
dvdx + v
Logo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
2v 4 + 1v 3
x dvdx =
2v 4 + 1v 3 ndash v
x dvdx =
v 4 + 1v 3
v 3
v 4 + 1 dv = dxx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
intv 3
v 4 + 1 dv = intdxx
14
In (v 4 + 1) = In |x| + c c middot R
In (v 4 + 1) = 4 In |x| + 4c
eIn (v 4 + 1) = e 4 In |x| + 4c
v 4 + 1 = e In x 4 + 4c
v 4 + 1 = x 4 e 4c c isin R
Fazendo k = e 4c temos
v 4 + 1 = kx 4
Isso nos daacute
v 4 = kx 4 ndash 1 k middot R
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
191
Substituindo v por yx temos
y 4
x 4 = kx 4 ndash 1
Logo y 4 = kx 8 ndash x 4 k isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 12
Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo homogecircnea yprime = y 2 ndash x 2
2xy
ResoluccedilatildeoSejam y = vx e
dydx = x
dvdx + v A EDO natildeo linear homogecircnea assume a forma
dydx =
y 2 ndash x 2
2xy
dydx =
v 2 ndash 12v
Entatildeo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
v 2 ndash 12v
x dvdx =
v 2 ndash 12v ndash v
x dvdx =
ndashv 2 ndash 12v
2vv 2 + 1
dv = ndash dxx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
int2v
v 2 + 1 dv = ndashintdxx
In |v 2 + 1| = ndashIn |x| + c c isin R
In |v 2 + 1| + In |x| = c
192
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
eIn |v 2 + 1| + In |x| = e c
eIn |v 2 + 1| e In |x| = e c
|v 2 + 1||x| = ec
Substituindo v por yx e k = ec temos
Portanto y 2
x + x = k k isin R eacute soluccedilatildeo da EDO
193
Neste toacutepico vimos outros dois tipos de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem
bull As equaccedilotildees de Bernoulli e as equaccedilotildees exatas
bull A diferenccedila das equaccedilotildees estudadas no toacutepico anterior eacute que nestas precisamos fazer alguma substituiccedilatildeo para resolvecirc-las
bull A equaccedilatildeo linear de Bernoulli tem a forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) y n A substituiccedilatildeo que temos que fazer eacute dada por u = y 1ndashn e utilizamos a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x) Com isso a equaccedilatildeo eacute reduzida a uma equaccedilatildeo linear
bull A outra equaccedilatildeo estudada foi a equaccedilatildeo homogecircnea com forma-padratildeo M (xy)
dx + N (xy) dy = 0 onde M e N satildeo funccedilotildees homogecircneas do mesmo grau
Para obter a soluccedilatildeo devemos escrever a EDO na forma dydx
= g yx e fazer a
substituiccedilatildeo v = yx
RESUMO DO TOacutePICO 2
194
AUTOATIVIDADE
Nos problemas 1 e 2 resolva as equaccedilotildees diferenciais lineares de Bernoulli
1 x dydx + y =
1y 2
2 yprime = y (xy 3 ndash 1)
3 Resolva a equaccedilatildeo diferencial homogecircnea (x ndash y) dx + x dy = 0
Nas EDO a seguir identifique o tipo de EDO e encontre a funccedilatildeo desconhecida
4 xy 2 dydx = y 3 ndash x 3 y (1) = 2
5 x 2 dydx + y 2 = xy
6 (x 2 + y 2) dx + xy dy = 0
195
TOacutePICO 3
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES
DE SEGUNDA ORDEM
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
Finalizamos a unidade com o Toacutepico 3 as equaccedilotildees diferenciais lineares de segunda ordem Aqui estudaremos apenas as equaccedilotildees lineares homogecircneas com coeficientes constantes Estas equaccedilotildees satildeo de resoluccedilatildeo mais simples devido a um procedimento de substituiccedilatildeo por uma equaccedilatildeo de segundo grau chamada de equaccedilatildeo caracteriacutestica ou auxiliar
Definiccedilatildeo 321 Uma equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem eacute da forma
a1 (x) d 2 y
dx 2 + a2 (x) dy
dx + a3 (x)y = o (x)
onde os coeficientes a1 (x) a2
(x) a3 (x) satildeo contiacutenuos e o (x) tambeacutem eacute uma
funccedilatildeo contiacutenua em algum intervalo I
Definiccedilatildeo 322 Uma equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem da forma
a1 (x) d 2 y
dx 2 + a2 (x) dy
dx + a3 (x)y = 0
eacute chamada de homogecircnea onde os coeficientes a1 (x) a2
(x) a3 (x) satildeo
contiacutenuos em algum intervalo I
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
196
Para as equaccedilotildees lineares homogecircneas eacute vaacutelido o princiacutepio da superposiccedilatildeo que diz que se y
1 (x) e y
2 (x) satildeo soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial entatildeo
y (x) = c1 y
1 (x) + c
2 y
2 (x)
tambeacutem o eacute para todas as constantes c1 e c
2 A expressatildeo colocada anteriormente eacute
chamada combinaccedilatildeo linear de y1 (x) e y
2 (x)
Isso eacute o que diz o teorema da superposiccedilatildeo onde a soma ou superposiccedilatildeo de duas ou mais soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo
Teorema 321 (Princiacutepio da superposiccedilatildeo ndash Equaccedilotildees Homogecircneas) Se y1
(x) e y2 (x) satildeo soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea em algum intervalo I
entatildeo a combinaccedilatildeo linear
y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2
(x)
onde c1 e c2 satildeo constantes arbitraacuterias eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo no intervalo I
Definiccedilatildeo 323 Para as equaccedilotildees diferenciais lineares homogecircneas fixadas as soluccedilotildees y1
(x) e y2 (x) definimos o wronskiano dessas soluccedilotildees pelo determinante
Joacutezef Maria Wronski (1778-1853) foi um matemaacutetico polonecircs O wronskiano eacute definido como um determinante cuja primeira linha eacute ocupada pelas funccedilotildees e as linhas seguintes satildeo formadas pelas suas derivadas ateacute a ordem n ndash 1 E o wronskiano pode ser utilizado como um teste de independecircncia linear para as soluccedilotildees das EDOs
Suponha que y1 (x) e y2
(x) sejam duas soluccedilotildees Entatildeo a combinaccedilatildeo linear dessas duas soluccedilotildees eacute uma soluccedilatildeo geral dada por
y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2
(x)
NOTA
UNI
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
197
Derivando y (x) temos
yprime (x) = c1 yprime 1 (x) + c2 yprime
2 (x)
Substituindo-se x = x 0 nas equaccedilotildees obtemos o sistema de equaccedilotildees
y (x0) = c1 y1 (x0) + c2 y2
(x0)yprime (x0) = c1 yprime 1
(x0) + c2 yprime 2 (x0)
que pode ser escrito na forma A bull X = B em que
Logo o determinante da matriz A leva o nome de Wronskiano e eacute denotado por
W (y1 y2) (t) = det
Exemplo 1As funccedilotildees y1(x) = e 5x e y2(x) = e ndash 5x satildeo ambas soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial
linear homogecircnea yprimeprime ndash 25y = 0 no intervalo ]ndashinfin infin[ Verifique que o wronskiano eacute diferente de zero e escreva a soluccedilatildeo da EDO
ResoluccedilatildeoSejam y1(x) = e 5x e y2(x) = e ndash 5x Precisamos derivar as funccedilotildees para calcular o
wronskiano
yprime1(x) = 5e 5x e yprime2(x) = ndash5e ndash 5x entatildeo
W(x) = ndash5e ndash 5x middot e 5x ndash 5e 5x middot e ndash 5x = ndash 10 ne 0
W(x) =
Conforme o teorema acima a soluccedilatildeo dessa EDO tem a forma y (x) = c1 y1
(x) + c2 y2 (x)
Entatildeo y (x) = c1 e 5x + c2 e ndash 5x
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
198
Teorema 322 Sejam y1 (x) e y2
(x) soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea em algum intervalo I Entatildeo o conjunto de soluccedilotildees seraacute linearmente independente em I se e somente se W (x) ne 0 Ax isin I
Em resumo do que vimos sobre o wronskiano podemos concluir para que y1 (x)
e y2
(x) formem um conjunto fundamental de soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea basta que o wronskiano W (x) ne 0
A
x isin I
Exemplo 2Mostre que y1
(t) = t frac12 e y2 (t) = t ndash 1 formam um conjunto fundamental de
soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea 2t 2 yprimeprime + 3typrime ndash y = 0 no intervalo ]0 infin[
ResoluccedilatildeoPrecisamos verificar primeiro se y1
(t) e y2 (t) satildeo soluccedilotildees da EDO
Se y1 (t) = t frac12 entatildeo yprime1
(t) = 12
t ndash frac12 e yprimeprime1 (t) = -
14t- 32
Se y2 (t) = t ndash 1 entatildeo yprime2
(t) = ndasht ndash 2 e yprimeprime2 (t) = 2t ndash 3
Substituindo y1 (t) e suas derivadas na EDO temos
2t - 14
t + 3t 12
t -t = 0
- 12
t + 32
t -t = 0
2 - -32
12
12
12
12
12
Portanto y1 (t) eacute soluccedilatildeo da EDO
Agora substituindo y2 (t) e suas derivadas na EDO temos
2t 2 (2t ndash 3) + 3t (ndash t ndash 2) ndash t ndash 1 = 0
4t ndash 1 ndash 3t ndash 1 ndash t ndash 1 = 0
Portanto y2 (t) eacute soluccedilatildeo da EDO
Para que as funccedilotildees y1 (t) e y2
(t) formem um conjunto fundamental de soluccedilotildees
NOTA
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
199
da EDO pelos teoremas anteriores basta verificarmos que o wronskiano eacute diferente de zero para algum t gt 0 Assim
W (x) = ndasht ndash 3 2 ndash 12
t ndash 3 2 = ndash 32
t ndash 3 2 ne 0
Logo y1 (t) = t frac12 e y2
(t) = t ndash 1 formam um conjunto fundamental de soluccedilotildees da equaccedilatildeo 2t 2 yprimeprime + 3typrime ndash y = 0 Assim y (t) = c1t frac12 + c2t ndash 1
3 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ordf ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES
Vamos considerar apenas equaccedilotildees diferenciais da forma
a d 2 ydx 2 + b dy
dx + cy = 0
onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 Para esta equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea existem valores constantes de λ tais que y = eλx eacute uma soluccedilatildeo
Substituindo-se y = eλx dydx = λeλx e d
2 ydx 2 = λ2eλx na EDO obtemos
aλ2eλx + bλeλx + eλx = 0
eλx (aλ2+ bλ + c) = 0
Como eλx ne 0 entatildeo y = eλx eacute soluccedilatildeo de a d 2 ydx 2 + b dy
dx + cy = 0 se e somente se λ eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo aλ2+ bλ + c = 0
Definiccedilatildeo 331 A equaccedilatildeo aλ2+ bλ + c = 0 eacute chamada de equaccedilatildeo caracteriacutestica ou equaccedilatildeo auxiliar da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
200
31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
A natureza das soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea a d 2 y
dx 2 + b
dydx + cy = 0 depende da natureza das raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica correspondente
Para escrever as soluccedilotildees das equaccedilotildees diferenciais teremos trecircs casos a considerar Vamos empregar o teorema apresentado a seguir
Teorema 3311 Dada a equaccedilatildeo ayprimeprime + byprime + cy = 0 formamos a equaccedilatildeo caracteriacutestica aλ2+ bλ + c = 0
i) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes reais distintas λ1 e λ2 entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2eλ2x
ii) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem apenas uma raiz real λ entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2xeλx ou
y = (C1 + C2x) eλx
iii) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes complexas λ1 = α + bi e λ2 = α ndash bi entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eαx cos bx + c2eαx sen bx ou
y = eαx (c1 cos bx + c2 sen bx)
As raiacutezes λ1 e λ
2 da equaccedilatildeo caracteriacutestica satildeo chamados de autovalores
Exemplo 3Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 4yprime + 4y = 0
ResoluccedilatildeoConforme vimos acima devemos escrever a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 4λ + 4 = 0 e encontrar as suas raiacutezes
NOTA
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
201
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 42
λ = ndash 2
Assim a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1endash2x + c2xendash2x
Exemplo 4Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime ndash 15y = 0 Depois encontre a
soluccedilatildeo particular que satisfaz as condiccedilotildees iniciais y (0) = 0 e yprime (0) = ndash1
ResoluccedilatildeoResolvendo a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ ndash 15 = 0 temos
λ = ndash 2 plusmn 8
2
λ1 = ndash 2 ndash 8
2 = ndash 5
λ2 = ndash 2 + 8
2 = 3
A soluccedilatildeo geral eacute y = c1endash 5x + c2e3x
Substituindo as condiccedilotildees iniciais y (0) = 0 e yprime (0) = ndash1 na soluccedilatildeo geral obtemos
y = c1endash 5x + c2e3x e y (0) = 0 entatildeo
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
202
c1endash 5 bull 0 + c2e3 bull 0 = 0
c1 + c2 = 0
Agora yprime = ndash 5c1endash 5x + 3c2e3x e yprime (0) = ndash1 entatildeo
ndash 5c1endash 5 bull 0 + 3c2e3 bull 0 = ndash1
ndash 5c1 + 3c2= ndash1
Resolvendo o sistema c1 + c2 = 0ndash 5c1 + 3c2= ndash1
encontramos c1 = 18
e c2 = ndash 18
Portanto a soluccedilatildeo que satisfaz as condiccedilotildees iniciais eacute dada por
y = 18
endash 5x ndash 18
e3x
Exemplo 5Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime + 5y = 0
ResoluccedilatildeoConforme vimos acima devemos escrever a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ + 5 = 0 e encontrar as suas raiacutezes
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 2 plusmn 4i
2
λ = ndash 1 plusmn 2i
λ1 = ndash 1 ndash 2i
λ2 = ndash 1 + 2i
Assim pelo teorema a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = endashx (c1 cos 2x + c2 sen 2x)
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
203
Exemplo 6Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime + y = 0
ResoluccedilatildeoResolvemos a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ + 1 = 0
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 22
λ = ndash1
Assim a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1endashx + C2 xendashx
No graacutefico a seguir (Figura a seguir) estatildeo algumas soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial yprimeprime + 2yprime + y = 0
FIGURA 55 ndash ALGUMAS SOLUCcedilOtildeES DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
FONTE O autor
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
204
Exemplo 7Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 12y = 0
ResoluccedilatildeoResolvemos a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 12 = 0 temos
λ2 = ndash12
λ = plusmn radicndash12
λ = plusmn radic12i
λ = plusmn radic22 bull 3i
λ = plusmn 2 radic3i
λ1 = 2 radic3i
λ2 = ndash2 radic3i
Daiacute temos que α = 0 e b = 2 radic3
y = c1e0 bull x cos (2 radic3 x) + c2e0 bull x sen (2 radic3 x)
Portanto a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1 cos (2 radic3 x) + c2 sen (2 radic3 x)
LEITURA COMPLEMENTAR
Equaccedilotildees Diferenciais como Modelos Matemaacuteticos
MODELOS MATEMAacuteTICOS Eacute frequentemente desejaacutevel descrever o comportamento de algum sistema ou fenocircmeno da vida real em termos matemaacuteticos quer sejam eles fiacutesicos socioloacutegicos ou mesmo econocircmicos A descriccedilatildeo matemaacutetica de um sistema ou fenocircmeno chamada de modelo matemaacutetico eacute constituiacutedo levando-se em consideraccedilatildeo determinadas metas Por exemplo talvez queiramos compreender os mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populaccedilotildees de animais nesse sistema ou datar foacutesseis por meio da anaacutelise do decaimento radioativo de uma substacircncia que esteja no foacutessil ou no extrato no qual foi descoberta
A construccedilatildeo de um modelo matemaacutetico de um sistema comeccedila com
(i) a identificaccedilatildeo das variaacuteveis responsaacuteveis pela variaccedilatildeo do sistema Podemos a princiacutepio optar por incorporar todas essas variaacuteveis no modelo Nesta capa estamos especificando o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
205
A seguir
(ii) elaboramos um conjunto de hipoacuteteses razoaacuteveis ou pressuposiccedilotildees sobre o sistema que estamos tentando descrever Essas hipoacuteteses deveratildeo incluir tambeacutem quaisquer empiacutericas aplicaacuteveis ao sistema
Para alguns propoacutesitos pode ser perfeitamente razoaacutevel nos contentarmos com um modelo de baixa resoluccedilatildeo Por exemplo vocecirc provavelmente jaacute sabe que nos cursos baacutesicos de Fiacutesica a forccedila retardadora do atrito com o ar eacute agraves vezes ignorada na modelagem do movimento de um corpo em queda nas proximidades da superfiacutecie da Terra mas se vocecirc for um cientista cujo trabalho eacute predizer precisamente o percurso de um projeacutetil de longo alcance teraacute de levar em conta a resistecircncia do ar e outros fatores como curvatura da Terra
Como as hipoacuteteses sobre um sistema envolvem frequentemente uma taxa de variaccedilatildeo de uma ou mais das variaacuteveis a descriccedilatildeo matemaacutetica de todas essas hipoacuteteses pode ser uma ou mais equaccedilotildees envolvendo derivadas Em outras palavras o modelo matemaacutetico pode ser uma equaccedilatildeo diferencial ou sistema de equaccedilotildees diferenciais
Depois de formular um modelo matemaacutetico que eacute uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciais estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvecirc-los Se pudermos resolvecirc-lo julgaremos o modelo razoaacutevel se suas soluccedilotildees forem consistentes com dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema
Poreacutem se as prediccedilotildees obtidas pela soluccedilatildeo forem pobres poderemos elevar o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo ou levantar hipoacuteteses alternativas sobre o mecanismo de mudanccedila no sistema As etapas do processo de modelagem satildeo entatildeo repetidas conforme disposto no seguinte diagrama
FIGURA 56 ndash DIAGRAMA
HIPOacuteTESES
COMPARE AS PREDICcedilOtildeES DO
MODELO COM OS FATOS CONHECIDOS
FORMULACcedilAtildeO MATEMAacuteTICA
OBTENHA AS SOLUCcedilOtildeES
Expresse as hipoacuteteses em termos de equaccedilotildees
diferenciais
Exponha as prediccedilotildees do modelo (por exemplo
graficamente)
Resolva as EDsSe necessaacuterio altere as hipoacuteteses ou aumente a
resoluccedilatildeo do modelo
FONTE O autor
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
206
Naturalmente aumentando a resoluccedilatildeo aumentaremos a complexidade do modelo matemaacutetico e assim a probabilidade de natildeo conseguirmos obter uma soluccedilatildeo explicita
Um modelo matemaacutetico de um sistema fiacutesico frequentemente envolve a variaacutevel tempo t Uma soluccedilatildeo do modelo oferece entatildeo o estado do sistema em outras palavras os valores da variaacutevel (ou variaacuteveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado presente e futuro
DINAcircMICA POPULACIONAL Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio da matemaacutetica foi feita pelo economista inglecircs Thomas Malthus em 1978 Basicamente a ideia por traacutes do modelo malthusiano eacute a hipoacutetese de que a taxa segundo a qual a populaccedilatildeo de um paiacutes cresce em um determinado instante eacute proporcional agrave populaccedilatildeo total do paiacutes naquele instante Em outras palavras quanto mais pessoas houver em um instante t mais pessoas existiratildeo no futuro
Em termos matemaacuteticos se P(t) for a populaccedilatildeo no instante t entatildeo essa hipoacutetese pode ser expressa por
dPdt infin P ou
dPdt = k middot P (1)
onde k eacute uma constante de proporcionalidade Esse modelo simples embora natildeo leve em conta muitos fatores que podem influenciar a populaccedilatildeo humana tanto em seu crescimento quanto em seu decliacutenio (imigraccedilatildeo e emigraccedilatildeo por exemplo) natildeo obstante resulta ser razoavelmente preciso na previsatildeo da populaccedilatildeo dos Estados Unidos entre os anos de 1970 e 1980 As populaccedilotildees que crescem agrave taxa descriccedilatildeo por (1) satildeo raras entretanto (1) eacute ainda usada para modelar o crescimento de pequenas populaccedilotildees em um curto intervalo de tempo (crescimento de bacteacuterias em placas de Petri por exemplo)
FONTE Zill (2003 p 22-24)
207
Neste toacutepico vimos
bull A equaccedilatildeo diferencial na forma-padratildeo a d 2 y
dx 2 + b dydx + cy = 0 A sua resoluccedilatildeo se
resume em encontrar as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau aλ2+ bλ + c = 0 Apoacutes encontrar as raiacutezes da equaccedilatildeo aplica-se o teorema a seguir
bull Teorema 3311 Dada a equaccedilatildeo ayprimeprime + byprime + cy = 0 formamos a equaccedilatildeo caracteriacutestica aλ2+ bλ + c = 0
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes reais distintas λ1 e λ2 entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2eλ2x
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem apenas uma raiz real λ entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2xeλx ou
y = (C1 + C2x) eλx
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes complexas λ1 = α + bi e λ2 = α ndash bi entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eαx cos bx + c2eαx sen bx ou
y = eαx (c1 cos bx + c2 sen bx)
RESUMO DO TOacutePICO 3
208
AUTOATIVIDADE
Encontre a soluccedilatildeo geral das seguintes EDOs
1 yprimeprime ndash 3yprime + 2y = 0
2 8yprimeprime + 4yprime + y = 0
3 4yprimeprime + yprime = 0
4 yprimeprime ndash yprime ndash 6y = 0
5 yprimeprime + 9y = 0
6 12yprimeprime ndash 5yprime ndash 2y = 0
7 yprimeprime ndash 4yprime + 5y = 0
8 yprimeprime ndash 2yprime + y = 0
209
REFEREcircNCIAS
ANTON H BIVENS I DAVIS S Caacutelculo v 2 Poro Alegre Bookman 2007
BOYCE Willian E DIPRIMA Richard C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores de contorno Rio de Janeiro LTC 2002
FINNEY R WEIR M GIORDANO F Caacutelculo de George B Thomas Jr v 2 Satildeo Paulo Addison Wesley 2002
FLEMMING Diva Mariacutelia GONCcedilALVES Mirian Buss CAacuteLCULO B funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis integrais duplas e triplas 2deg ed Satildeo Paulo Makron Books do Brasil 2007
LEITHOLD Louis O Caacutelculo com geometria analiacutetica v 2 3deg ed Satildeo Paulo Harbra 1994
SIMMONS George F Caacutelculo com geometria analiacutetica v 2 Satildeo Paulo Pearson Makron Books 1987
ROGAWKI Jon Caacutelculo v 2 Porto Alegre Bookman 2009
STEWART James Caacutelculo v 2 Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 2006
ZILL Dennis G Equaccedilotildees diferenciais com aplicaccedilotildees em modelagem Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 2003
210
ANOTACcedilOtildeES
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211
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VIII
AUTOATIVIDADE 80
TOacutePICO 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE 811 INTRODUCcedilAtildeO 812 DIFERENCIABILIDADE 813 DIFERENCIAL 854 GRADIENTE 895 DERIVADAS DIRECIONAIS 95RESUMO DO TOacutePICO 2 99AUTOATIVIDADE 100
TOacutePICO 3 ndash MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS 1031 INTRODUCcedilAtildeO 1032 EXTREMOS LOCAIS 1033 PROBLEMAS ENVOLVENDO MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 111RESUMO DO TOacutePICO 3 117AUTOATIVIDADE 118
TOacutePICO 4 ndash INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS 1191 INTRODUCcedilAtildeO 1192 INTEGRAL DUPLA 119 21 INTEGRAL DUPLA SOBRE RETAcircNGULO 119 22 INTEGRAIS ITERADAS 120 23 INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIOtildeES GENEacuteRICAS 124LEITURA COMPLEMENTAR 134RESUMO DO TOacutePICO 4 136AUTOATIVIDADE 137
UNIDADE 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS 139
TOacutePICO 1 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 1411 INTRODUCcedilAtildeO 1412 DEFINICcedilOtildeES E TERMINOLOGIAS 141 21 TIPOS DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 142 22 ORDEM DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 142 23 LINEARIDADE DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 143 24 SOLUCcedilAtildeO DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 143 241 Soluccedilatildeo geral 145 242 Soluccedilatildeo particular 1453 EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL SEPARAacuteVEL 148 31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1494 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ordf ORDEM 158 41 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1595 EQUACcedilOtildeES EXATAS 168 51 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 169RESUMO DO TOacutePICO 1 175AUTOATIVIDADE 176
TOacutePICO 2 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES 1771 INTRODUCcedilAtildeO 1772 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI 177
IX
21 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1773 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS HOMOGEcircNEAS 184 31 FUNCcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 184 32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 186 321 Meacutetodo de resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial 187RESUMO DO TOacutePICO 2 193AUTOATIVIDADE 194
TOacutePICO 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 1951 INTRODUCcedilAtildeO 1952 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 1953 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ordf ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES 199 31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 200LEITURA COMPLEMENTAR 204RESUMO DO TOacutePICO 3 207AUTOATIVIDADE 208REFEREcircNCIAS 209
X
1
UNIDADE 1
FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Ao final desta unidade vocecirc deveraacute ser capaz de
bull conhecer os principais conceitos que envolvem funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull identificar o domiacutenio de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull reconhecer as curvas de niacuteveis de forma algeacutebrica
bull reconhecer as curvas de niacuteveis geometricamente
bull calcular os limites de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull identificar a continuidade de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
bull calcular as derivadas parciais
bull interpretar geometricamente as derivadas parciais
Esta unidade estaacute dividida em quatro toacutepicos apresentando os conceitos e a utilizaccedilatildeo das funccedilotildees de diversas variaacuteveis No Toacutepico 1 eacute apresentado o estudo do domiacutenio de uma funccedilatildeo de diversas variaacuteveis e as curvas de niacutevel seguido de vaacuterios exemplos para auxiliaacute-lo(a) na compreensatildeo e resoluccedilatildeo dos exerciacutecios propostos no final de cada toacutepico No Toacutepico 2 daremos uma atenccedilatildeo especial agraves curvas de niacutevel tanto na representaccedilatildeo graacutefica como no seu reconhecimento algeacutebrico No Toacutepico 3 seratildeo estendidos os conceitos de limite e continuidade estudados para as funccedilotildees de uma variaacutevel No Toacutepico 4 aprenderemos como derivar funccedilotildees de diversas variaacuteveis e sobretudo entender o significado geomeacutetrico das derivadas parciais Finalizamos a unidade com um texto complementar onde seraacute dada ecircnfase agraves personalidades matemaacuteticas que contribuiacuteram no desenvolvimento do caacutelculo diferencial e integral e consequentemente das equaccedilotildees diferenciais
TOacutePICO 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
TOacutePICO 2 ndash CURVAS DE NIacuteVEL
TOacutePICO 3 ndash LIMITES E CONTINUIDADE
TOacutePICO 4 ndash DERIVADAS PARCIAIS
2
3
TOacutePICO 1UNIDADE 1
FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
1 INTRODUCcedilAtildeO
Vocecirc jaacute estudou limites derivadas e integrais conceitos vistos em funccedilotildees de uma variaacutevel Nesta unidade estudaremos as funccedilotildees de duas ou mais variaacuteveis e veremos que as regras do caacutelculo para funccedilotildees de uma variaacutevel permanecem essencialmente as mesmas
Funccedilotildees com mais de uma variaacutevel independente se apresentam mais costumeiramente em modelos matemaacuteticos aplicados agrave engenharia por exemplo do que funccedilotildees de uma variaacutevel Os estudos de probabilidade estatiacutestica dinacircmica dos fluidos e trabalho satildeo exemplos que conduzem de uma maneira natural a funccedilotildees de mais de uma variaacutevel daiacute a importacircncia do seu estudo
2 RECORDANDO A FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL
Representamos a funccedilatildeo de uma variaacutevel por duas variaacuteveis x e y sendo que chamamos de x a variaacutevel independente da funccedilatildeo e de y a variaacutevel dependente da funccedilatildeo Assim denotamos a relaccedilatildeo entre as variaacuteveis por y = f (x) deixando expliacutecito que y depende de x
Exemplo 1 y = 2x + 1
Exemplo 2 f (x) = 3 + x
2 - x
Habitualmente ao trabalharmos com funccedilotildees um dos primeiros cuidados que devemos ter eacute em relaccedilatildeo ao conjunto domiacutenio das funccedilotildees isto eacute para que valores reais as funccedilotildees estatildeo definidas Entatildeo dada uma funccedilatildeo f(x) devemos encontrar valores para os quais a funccedilatildeo tenha imagem
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
4
Exemplo 3Encontre o domiacutenio da funccedilatildeo f(x) =
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo f(x) eacute uma funccedilatildeo racional pois temos a variaacutevel x no denominador
Esta funccedilatildeo tem dois cuidados a serem tomados em relaccedilatildeo ao domiacutenio
(i) Desde que iniciamos nossos estudos com fraccedilotildees sabemos que natildeo eacute possiacutevel ter zero no denominador das fraccedilotildees Assim
(ii) Temos a variaacutevel x no radicando da raiz quadrada Como estamos considerando f(x) uma funccedilatildeo real o radicando natildeo pode assumir valores negativos Logo
xsup2 ndash 16 ge 0
Assim juntando as condiccedilotildees (i) e (ii) teremos xsup2 ndash 16 gt 0
Observe que temos que resolver uma inequaccedilatildeo do 2ordm grau Para isso consideramos inicialmente apenas a equaccedilatildeo (igualdade) a fim de obtermos as raiacutezes
xsup2 - 16 = 0
Determinando as raiacutezes desta equaccedilatildeo do segundo grau incompleta
xsup2 = 16x = x =
Analisando a funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = xsup2 - 16 sabemos que seu graacutefico corresponde a uma paraacutebola com concavidade voltada para cima e zeros de funccedilatildeo em x = - 4 e x = 4 Logo os valores de x que satisfazem a inequaccedilatildeo satildeo x lt - 4 ou x gt 4
Assim D(f) = x isin R | x lt - 4 ou x gt 4
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
5
FIGURA 1 ndash ANAacuteLISE DO SINAL DA FUNCcedilAtildeO f (x) = xsup2 - 16 ATRAVEacuteS DE SEU ESBOCcedilO GRAacuteFICO
FONTE O autor
3 FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
Definiccedilatildeo 131 Suponha que D seja um conjunto de pares ordenados de nuacutemeros reais (xy) Uma funccedilatildeo real f de duas variaacuteveis em D eacute uma regra que associa um uacutenico nuacutemero real z = f(xy) a cada par ordenado (xy) em D O conjunto D(f) eacute o domiacutenio de f(xy)
Os nuacutemeros x y e z satildeo denominados variaacuteveis Como os valores da funccedilatildeo f(xy) dependem de x e de y e os valores de z dependem da escolha de x e de y entatildeo x e y satildeo denominadas variaacuteveis independentes e z eacute denominada variaacutevel dependente
Uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis eacute uma funccedilatildeo cujo domiacutenio eacute um subconjunto do R2 e cuja imagem eacute um subconjunto de R Uma maneira de visualizaacute-la eacute atraveacutes de um diagrama de flechas conforme a seguir
FIGURA 2 ndash DIAGRAMA DE FLECHAS REPRESENTANDO O DOMIacuteNIO E A IMAGEM DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS
FONTE O autor
+ +
ndashndash 4 4
R
y
(x y)
x
f
f(x y) 0
z
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
6
Exemplo 4Dada a funccedilatildeo que calcula o periacutemetro de um
retacircngulo f(xy) = 2(x + y) calcule o valor de f (25)
ResoluccedilatildeoBasta substituir em f(xy) o x por 2 o y por 5 e calcularEntatildeof(25) = 2(2 + 5)f(25) = 2 middot 7f(25) = 14
Exemplo 5A funccedilatildeo T (xy) = 60 - 2xsup2 - 3ysup2 representa a temperatura em qualquer
ponto de uma chapa A temperatura oscila em relaccedilatildeo agrave distacircncia percorrida no sentido dos eixos positivos x e y Calcule a temperatura da chapa (Figura 3) no ponto (3 1) em graus Celsius
ResoluccedilatildeoT (31) = 60 - 2 middot 3sup2 - 3 middot 1sup2T (31) = 60 - 2 middot 9 - 3 middot 1T (31) = 39deg C
x
y
FIGURA 3 ndash AQUECIMENTO DE UMA CHAPA
FONTE O autor
Exemplo 6Dada a funccedilatildeo f(xy) = xsup2 + ysup2 calcule f(1 - 2)
chapa
x
y
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
7
Resoluccedilatildeof(xy) = xsup2 + ysup2 f(1 ndash 2) = 1sup2 + (ndash2)sup2f(1 ndash 2) = 1 + 4f(1 ndash 2) = 5
No estudo do domiacutenio de uma funccedilatildeo devemos avaliar quais nuacutemeros reais satildeo possiacuteveis atribuir para as variaacuteveis x e y para obtermos valores reais para z = f(xy) Vamos relembrar algumas restriccedilotildees
Consideremos os casos a seguir em que A e B satildeo expressotildees em funccedilatildeo de x e y
Se f(xy) = AB entatildeo necessariamente B ne 0
Se f(xy) = onde n eacute par entatildeo necessariamente A ge 0
Se f (xy) = logc A com c gt 0 e c ne 1 entatildeo necessariamente A gt 0
Exemplo 7Encontre o conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo natildeo apresenta nenhuma restriccedilatildeo para os valores de x e yPortanto D(f) = (x y) isin R2 ou D( f ) = R2
Exemplo 8Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o radicando
3x ndash 2y natildeo pode ser negativo3x ndash 2y ge 0 ndash 2y ge ndash 3x
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (ndash1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
2y le 3x y le 3
2 x
NOTA
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
8
Portanto
Para fazer o graacutefico do conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (x y) do exemplo anterior primeiro trace o graacutefico de y = 3
2 x e depois determine qual a regiatildeo correspondente agrave desigualdade y le 3
2 x
O graacutefico de y = 32 x corresponde a uma reta crescente que conteacutem a
origem Note que esta reta divide o plano em duas regiotildees Para identificar qual regiatildeo expressa o domiacutenio de f (xy) atente para a desigualdade estabelecida Neste exemplo como se trata de uma reta e a relaccedilatildeo de ordem eacute dada pelo sinal ldquolerdquo entatildeo isto implica que o domiacutenio eacute expresso pelos infinitos pontos que se encontram na reta e abaixo dela
FIGURA 4 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
Exemplo 9Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = 5x
y ndash xsup2
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o denominador
y ndash xsup2 natildeo pode tornar-se nulo
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
9
Entatildeoy ndash xsup2 ne 0 y ne xsup2
Portanto
Para fazer o graacutefico do conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (xy) = 5xy ndash xsup2
procedemos do mesmo modo que no exemplo anterior A funccedilatildeo que expressa o domiacutenio eacute dada por y ne xsup2 cuja representaccedilatildeo no plano eacute uma paraacutebola com concavidade voltada para cima e que possui seu veacutertice na origem A relaccedilatildeo de diferenccedila poreacutem implica que pertencem ao domiacutenio todos os pontos do plano exceto os que se encontram sobre a paraacutebola expressa pela relaccedilatildeo y = xsup2
FIGURA 5 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
Exemplo 10Determine o conjunto domiacutenio de f(xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o radicando
3xsup2 + ysup2 ndash 18 natildeo pode ser negativo
3xsup2 + ysup2 ndash 18 ge 03xsup2 + ysup2 ge 18
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
10
Dividindo ambos os membros da desigualdade por 18
3x sup2 y sup2 1818 18 18
+ ge
A funccedilatildeo xsup2 ysup26 18 + = 1 representa uma elipse centrada na origem do
plano cartesiano cujo eixo maior definido sobre o eixo das ordenadas eacute igual a 2 848 e cujo eixo menor definido sobre os eixos das abscissas eacute igual a 2
490
Atribuiacutedas as caracteriacutesticas geomeacutetricas da funccedilatildeo que define o domiacutenio traccedilamos o seu graacutefico A relaccedilatildeo de desigualdade estabelecida eacute ldquogerdquo Isto implica que os pontos que pertencem ao domiacutenio se encontram sobre a elipse e fora dela
Ao sentir dificuldade em caracterizar as funccedilotildees quanto agrave sua representaccedilatildeo geomeacutetrica retome os estudos realizados na disciplina de Geometria Analiacutetica
FIGURA 6 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
ATENCAO
xsup2 ysup26 18 + ge 1
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
11
Exemplo 11Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = In (x minus 3y + 1) e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoComo In (x minus 3y + 1) eacute definido somente quando x minus 3y + 1 gt 0 entatildeo x minus 3y + 1 gt 0x minus 3y gt minus 1minus 3y gt minus x minus 1
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
3y lt x + 1y lt x + 1
3
Neste exemplo a funccedilatildeo domiacutenio expressa pela desigualdade y lt x + 1 3
representa no plano uma regiatildeo que se encontra abaixo da reta y = x + 1 3 Observe
que os pontos sobre a reta natildeo pertencem ao conjunto domiacutenio
FIGURA 7 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
12
Exemplo 12Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = e o represente
graficamente
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y A expressatildeo que
representa o radicando 4 ndash xsup2 ndash ysup2 natildeo pode ser negativa4 ndash xsup2 ndash ysup2 ge 0 ndash xsup2 ndash ysup2 ge ndash 4
Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem
xsup2 + ysup2 le 4
O conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f(xy) = expresso pela desigualdade xsup2 + ysup2 le 4 compreende os infinitos pontos interiores juntamente com os infinitos pontos pertencentes agrave circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano de raio 2
FIGURA 8 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f
FONTE O autor
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
13
31 GRAacuteFICOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
Se f eacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis com domiacutenio D entatildeo o graacutefico de f eacute o conjunto de todos os pontos (xyz) em R3 tal que z = f (xy) e (xy) isin D
Fazer a representaccedilatildeo graacutefica das funccedilotildees de duas variaacuteveis eacute normalmente complicado e requer habilidade manual Assim vamos recorrer ao uso de programas computacionais matemaacuteticos que fazem os graacuteficos de superfiacutecies O objetivo aqui eacute apenas mostrar os graacuteficos das funccedilotildees de duas variaacuteveis e natildeo a construccedilatildeo manual dos graacuteficos
Os graacuteficos que vocecirc encontraraacute ao longo do Caderno de Estudos foram construiacutedos atraveacutes do Winplot que eacute um software livre disponiacutevel na internet e do Maple 11 um software comercial que possui inuacutemeros recursos matemaacuteticos
Caro(a) acadecircmico(a) Vocecirc pode baixar o software Winplot diretamente da internet ou do material de apoio da disciplina no AVA
Exemplo 13Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = 2 ndash 3x ndash 4y
Resoluccedilatildeo
FIGURA 9 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = 2 ndash 3x ndash 4y
FONTE O autor
DICAS
30
20
10
0
ndash10
ndash20ndash30
ndash 50
5 ndash 4 ndash 2 0 2 4x y
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
14
Exemplo 14Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
Resoluccedilatildeo
FIGURA 10 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
Exemplo 15Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy)
Resoluccedilatildeo
FIGURA 11 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) =
FONTE O autor
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
15
Exemplo 16Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = sen x middot sen y
Resoluccedilatildeo
FIGURA 12 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = sen x middot sen y
FONTE O autor
4 FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Definiccedilatildeo 141 Seja D um subconjunto de Rn Uma funccedilatildeo real f de n variaacuteveis reais definida em D eacute uma relaccedilatildeo entre D e R que associa a cada ponto (x1 x2 xn) isin D um uacutenico valor real z denotado por z = f (x1 x2 xn)
Notaccedilatildeo
As variaacuteveis (x1 x2 xn) satildeo as variaacuteveis independentes e z eacute a variaacutevel dependente O conjunto de todos os valores possiacuteveis de f eacute chamado imagem de f e eacute denotado por lm(f) Assim
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
16
Definiccedilatildeo 142 Seja f uma funccedilatildeo de n variaacuteveis com domiacutenio D O graacutefico de f eacute o conjunto de todos os pontos do espaccedilo Rn+1 dado por
( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 n 1 2 n 1 2 ngraf f x x x y R y f x x x x x xn com D+= isin = isin
No caso em que n = 1 f seraacute uma funccedilatildeo de uma variaacutevel e seu graacutefico seraacute uma curva C com equaccedilatildeo y = f (x1)
Quando n = 2 f seraacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis e seu graacutefico seraacute uma superfiacutecie S com equaccedilatildeo z = f (x1x2)
Quando n = 3 natildeo podemos esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f pois ele estaacute no espaccedilo de dimensatildeo 4
Exemplo 17Esboce o graacutefico da funccedilatildeo f (xy) = 6 ndash 2x + 3y
ResoluccedilatildeoPara esboccedilar o graacutefico de uma funccedilatildeo temos que conhecer o domiacutenio desta
funccedilatildeo O domiacutenio desta funccedilatildeo f eacute D(f) = Rsup2 e o graacutefico da funccedilatildeo f eacute o conjunto
graf (f) = (xyz) isin Rsup3 | z = 6 ndash 2x + 3y
Geometricamente o graacutefico de f representa um plano
Vamos fazer algumas consideraccedilotildees sobre a funccedilatildeo e os eixos como se focircssemos traccedilar o graacutefico manualmente Entatildeo comeccedilamos encontrando os pontos onde o plano intercepta cada um dos trecircs eixos coordenados
Se na equaccedilatildeo z = 6 ndash 2x ndash 3y fizermosx = 0 e y = 0 vem z = 6x = 0 e z = 0 vem y = 2y = 0 e z = 0 vem x = 3
Obtemos assim os pontos A1 = (0 0 6) A2 = (0 2 0) e A3 = (3 0 0) nos quais o plano intercepta os eixos coordenados A porccedilatildeo do graacutefico que estaacute no primeiro octante estaacute esboccedilada na figura a seguir
TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS
17
FIGURA 13 ndash PLANO COM EIXOS COORDENADOS
FONTE O autor
Exemplo 18Determine o conjunto domiacutenio e o conjunto imagem da funccedilatildeo f (x y z) =
ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo natildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x y e zAssim D(f) = R sup3 (todo o espaccedilo)Jaacute para o conjunto imagem teremos apenas os reais natildeo negativosLogo Im (f) = R+
x
y
z
(020)
(300)
(006)
18
Neste toacutepico os principais assuntos estudados foram
bull Definiccedilatildeo de funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
bull Conjunto domiacutenio e conjunto imagem de funccedilatildeo
bull Representaccedilatildeo graacutefica do domiacutenio
bull Representaccedilatildeo graacutefica das superfiacutecies z = f (xy) usando recurso computacional
bull Listamos algumas situaccedilotildees envolvendo o estudo do domiacutenio para funccedilotildees de diversas variaacuteveis que impotildeem restriccedilotildees ao conjunto domiacutenio
bull Consideremos os casos a seguir em que A e B satildeo expressos em funccedilatildeo de x e y
uuml Se f (xy) = entatildeo devemos considerar B ne 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar A ge 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar A ge 0 e B ne 0
uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar B gt 0
uuml Se f (xy) = logc A com c gt 0 e c ne 1 entatildeo devemos considerar A gt 0
RESUMO DO TOacutePICO 1
19
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre funccedilotildees de diversas variaacuteveis
1 Nos problemas a seguir calcule o valor da funccedilatildeo nos pontos especiacuteficos
a) f (xy) = (x ‒ 1)sup2 + 2xysup3 f (2 ‒ 1) f (12)
b) f (xy) = 3x+2y2x+3y
f (12) f ( ‒ 46)
c) g (xy) = y -x2 2 g (45) g (‒ 12)
d) g (uv) = 10u frac12 v ⅔ g (1627) g (4 ‒1331)
e) f (xy) = y xx y+ f (12) f(2 ‒3)
2 Nos problemas a seguir descreva o domiacutenio das funccedilotildees e represente-o graficamente
a) f (xy) = 5x + 2y4x + 3y
b) g (xy) = 36 - x - y2 2
c) f (xy) = radicx + y ‒ 2
d) f (xy) = 3x + 5y
xsup2 + 2ysup2 ‒ 4e) f (xy) = In (x + y ‒ 4)
f) g (xy) = exy
radicx ‒ 2y
AUTOATIVIDADE
20
21
TOacutePICO 2
CURVAS DE NIacuteVEL
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico veremos como representar uma superfiacutecie (figura tridimensional) em um graacutefico bidimensional Talvez vocecirc jaacute tenha visto algum graacutefico nesta situaccedilatildeo na praacutetica satildeo chamados mapas topograacuteficos
Nestes mapas uma paisagem tridimensional como a extensatildeo de uma montanha por exemplo estaacute representada por linhas de contorno bidimensionais ou curvas de elevaccedilatildeo constante conforme pode ser visto na figura a seguir
FIGURA 14 ndash MAPA DE CONTORNO DE UMA MONTANHA
FONTE Disponiacutevel em lthttparqaulaswordpresscomcategorytopografiagt Acesso em 11 jul 2011
O objetivo deste toacutepico eacute mostrar como reconhecer algebricamente e geometricamente as curvas de niacutevel Muitas das curvas que encontraremos correspondem a graacuteficos de funccedilotildees jaacute conhecidas as quais vocecirc estudou na disciplina de Geometria Analiacutetica tais como reta paraacutebola cuacutebica circunferecircncia elipse e hipeacuterbole
S1
S2
S3
S6
A
B
C
DE
F
G
H
I
A B C D E F G H I
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
22
2 CURVAS DE NIacuteVEL
O conjunto de todos os pontos onde uma funccedilatildeo f (xy) tem um valor constante c isin R eacute chamado de curva de niacutevel de f
Definiccedilatildeo 231 Seja c um nuacutemero real O conjunto de pontos no plano onde uma funccedilatildeo f (xy) tem um valor constante f (xy) = c eacute chamado de curva de niacutevel de f
Exemplo 1
Identifique as curvas de niacutevel para g (xy) = 4 ‒ x ‒ y em c = 0 e c = 6 Represente graficamente
Resoluccedilatildeog (xy) = c para c = 0
g (xy) = 4 ‒ x ‒ y0 = 4 ‒ x ‒ y
y = 4 ‒ xy = ‒ x + 4
Esta funccedilatildeo representa uma reta decrescente (coeficiente angular ndash1) que intercepta o eixo y em 4
g (xy) = c para c = 6g (xy) = 4 ‒ x ‒ y
6 = 4 ‒ x ‒ yy = 4 ‒ 6 ‒ xy = ‒ x ‒ 2
Esta funccedilatildeo representa uma reta decrescente (coeficiente angular ndash1) que intercepta o eixo y em ndash2
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
23
FIGURA 15 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE g (xy) = 4 ndash x ndash y
FONTE O autor
Outro exemplo que ilustra as curvas de niacutevel eacute o que muitos autores chamam de mapa de contorno conforme figura a seguir
FIGURA 16 ndash MAPA DE CONTORNO DE g (xy) = 4 ndash x ndash y
FONTE O autor
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
24
Considerando diferentes valores para a constante c igualmente espaccedilados obtemos um conjunto de curvas de niacutevel chamado mapa de contorno representadas no mesmo plano cartesiano
Exemplo 2Identifique as curvas de niacutevel para f (xy) = xsup2 ‒ ysup2 em c = 0 c = ndash3 e c = 4
Represente graficamente
Resoluccedilatildeof (xy) = c para c = 0
xsup2 ndash ysup2 = 0ysup2 = xsup2
y = x ou y = ndashx
Estas duas equaccedilotildees representam duas retas (Figura 17) A reta de equaccedilatildeo y = x representa no plano a bissetriz dos quadrantes iacutempares enquanto que a reta de equaccedilatildeo y = - x representa a bissetriz dos quadrantes pares
f (xy) = c para c = ‒ 3xsup2 ‒ ysup2 = ‒ 3
‒xsup2 ysup2 ‒3‒3 ‒3 ‒3=
xsup2 ysup23 3+ = 1‒
A equaccedilatildeo xsup2 ysup23 3+ = 1‒ representa uma hipeacuterbole equilaacutetera com
a = b = radic3 que tem uma concavidade voltada para cima e a outra para baixo (Figura 17)
f (xy) = c para c = 4xsup2 ‒ ysup2 = 4
‒xsup2 ysup2 4 4 4 4=
‒xsup2 ysup2 4 4 = 1
IMPORTANTE
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
25
Esta equaccedilatildeo representa uma hipeacuterbole equilaacutetera com a = b = 2 centrada na origem do plano cartesiano com uma concavidade voltada para a direita e outra para a esquerda (Figura 17)
FIGURA 18 ndash MAPA DE CONTORNO DE f (xy) = xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
FIGURA 17 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = xsup2 ndash ysup2
FONTE O autor
y
x
c = 0
c = -3
c = 4
c = 0
c = 4
c = -3
420-2-4
-2
-4
0
2
4
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
26
Caro(a) acadecircmico(a) Para desenhar os mapas de contorno sugiro que utilize um software matemaacutetico como por exemplo o Winplot Na internet vocecirc encontra diversos tutoriais sobre o Winplot inclusive onde baixar o programa que eacute freeware Agora tente vocecirc identifique as curvas de niacutevel para g (xy) = 4 ndash 2xsup2 ndash ysup2 em c = 0 e c = ndash 2 e as represente graficamente
Exemplo 3Identifique as curvas de niacutevel para f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 em c = 1 e c = 2
Represente graficamente
Resoluccedilatildeof (xy) = c para c = 1
radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 15 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 1
‒ x sup2 ‒ y sup2 = ‒ 4 (-1)xsup2 + ysup2 = 4
Esta equaccedilatildeo representa uma circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano com raio igual a 2 (Figura 19)
f (xy) = c para c = 2
radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 25 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 4
‒ x sup2 ‒ y sup2 = ‒ 1 ( ‒ 1)x sup2 + y sup2 = 1
Esta equaccedilatildeo representa uma circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano com raio igual a 1 (Figura 19)
DICAS
TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL
27
FIGURA 19 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2
FONTE O autor
FIGURA 20 ndash MAPA DE CONTORNO DE f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2
FONTE O autor
c = 1
c = 2
-3 -2 -1
1
-1
-2
-3
2 31
2
3
x
y
-2
-1
0
1
22 1 0 ndash 1 ndash 2
x
y
28
RESUMO DO TOacutePICO 2
Neste toacutepico fizemos anaacutelises e representaccedilotildees graacuteficas das curvas de niacutevel de uma funccedilatildeo f
bull Reconhecimento algeacutebrico das curvas de niacutevel
29
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
1 Associe as superfiacutecies de 1 a 4 aos mapas de contorno de A a D
(1)
(A)
(2)
(B)
y ndash 2 ndash 1 ndash 1
ndash 2
ndash 3
x
1 2 3
1
2
3
1
05
0
ndash 05
ndash 1ndash 3ndash 2ndash 1 0 1 2 3 3 2 1 0ndash 1ndash 2ndash 3
ndash 3
ndash2
ndash 1
ndash 1ndash 2ndash 3 1
1
2
2
3
3 y
x
30
(3) (C)
(4) (D)
2 Nas questotildees a seguir identifique algebricamente as curvas de niacutevel para valores de c dados
a) f (xy) = x sup2 + y sup2 ‒ 9 c isin ‒ 4 ‒ 2 ‒ 1 0b) f (xy) = y sup2 ‒ x c isin 0 1 2 3
3 Nas questotildees a seguir represente graficamente as curvas de niacutevel das funccedilotildees Agora vocecirc escolheraacute alguns valores para c Eacute importante que vocecirc faccedila os graacuteficos manualmente e se for possiacutevel utilize o software Winplot para conferir ou como apoio nos estudos
a) f (xy) = x sup2 + 9y sup2b) f (xy) = y ‒ xsup3c) g (xy) = 3 + 2x ‒ y
3 2 1 0 ndash 1 ndash 2 ndash 33
2
1
0
ndash 1
ndash 2
ndash 3
y
ndash 3 ndash 2 ndash 1 0 1 2 3
3
2
1
0
ndash 1
ndash 2
ndash 3
y
x
20
10
0
ndash 10
ndash 20ndash 3
ndash 1ndash 2 0 1 2 3 ndash 2 ndash 1 0 1 2 3
x y
ndash 3 ndash 2 ndash 1 2 3
321ndash 1ndash 2ndash 300
x y
31
TOacutePICO 3
LIMITE E CONTINUIDADE
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 DEFINICcedilOtildeES BAacuteSICAS
O que estudaremos agora jaacute foi estudado no Caacutelculo Diferencial e Integral onde o conceito de limite e continuidade foi empregado para funccedilatildeo de uma variaacutevel
Neste toacutepico estenderemos o conceito de limite agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis um conceito fundamental do caacutelculo do qual decorrem outros como por exemplo a noccedilatildeo de continuidade Para isso enunciaremos algumas definiccedilotildees de Anaacutelise Matemaacutetica Tente entender os conceitos e soacute depois avance para a proacutexima seccedilatildeo
Definiccedilatildeo 321 Sejam P = (x1 x2 xn) e A = (a1 a2an) pontos em Rn A distacircncia entre P e A denotada por P ‒ A eacute dada por
P ‒ A = radic (x1 ‒ a1)sup2 + (x2 ‒ a2)sup2 + + (xn ‒ an)sup2
Exemplo 1Dados os pontos P = (1 ‒ 2 3) e A = (3 1 ‒ 2) em Rsup3 encontre P ‒ A
Resoluccedilatildeo P ‒ A = radic (1 ‒ 3)sup2 + (‒2 ‒1)sup2 + (3 ‒ (‒ 2))sup2 = radic8 uc
Definiccedilatildeo 322 Sejam A = (a1 a2 an) isin Rn e r gt 0 um nuacutemero real A bola aberta de centro em A e raio r que indicaremos por B(A r) eacute definida como sendo o conjunto de todos os pontos P = (x1 x2 xn) tais que P ‒ Alt r ou seja
B(A r) = (x1 x2xn) isin Rn radic (x1 ‒ a1)sup2 + (x2 ‒ a2)sup2 ++ (xn ‒ an)sup2 lt r
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
32
Exemplo 2a) Em R a bola aberta B(a r) eacute o intervalo aberto (a ‒ r a + r)
FIGURA 21 ndash INTERVALO EM R
FONTE O autor
b) Em Rsup2 a bola aberta B((a1 a2) r) representa o conjunto dos pontos internos agrave circunferecircncia de centro em (a1 a2) e raio r
FIGURA 22 ndash r de A
FONTE O autor
Definiccedilatildeo 321 Seja S um subconjunto de Rn Um ponto A eacute um ponto de acumulaccedilatildeo de S se toda bola aberta de centro em A possui uma infinidade de pontos de S mesmo que A natildeo necessariamente pertenccedila a S
Exemplo 3Seja S = (xy) isin Rsup2 | x gt 0 e y gt 2 Mostre que todos os pontos pertencentes
ao conjunto S satildeo pontos de acumulaccedilatildeo
ResoluccedilatildeoTodos os pontos pertencentes a S satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S pois
atendem agrave Definiccedilatildeo 321 Ainda os pontos (0y) com y ge 2 e (x 2) com x gt 0 satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S e natildeo pertencem a S (Figura 23)
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
33
FIGURA 23 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO CONJUNTO S
FONTE O autor
Exemplo 4Seja S = (xy) isin Z2 | ‒ 2 le x le 4 e 1 le y le 5 Mostre que o conjunto S natildeo
possui pontos de acumulaccedilatildeo
ResoluccedilatildeoMostraremos que os pontos de S natildeo satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S pois
natildeo atendem agrave Definiccedilatildeo 321 Para qualquer ponto P(xy) isin R2 a bola aberta de centro P e raio r lt 1 natildeo conteacutem uma infinidade de pontos de S
Portanto o conjunto S natildeo possui pontos de acumulaccedilatildeo (Figura 24)
FIGURA 24 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO CONJUNTO S
FONTE O autor
y
x
1098
654
21
34
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
3 LIMITE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
A seguir definiremos limite de uma funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 331 Sejam f S sub Rn rarr R uma funccedilatildeo e A um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que o limite de f (X) quando X se aproxima de A eacute um nuacutemero real L se dado ε gt 0 existir δ gt 0 tal que |f (X) ndash L| lt ε sempre que X isin S e 0 lt X ndash A lt δ
Neste caso escrevemos
lim f (X) = L x rarr A
O estudo de funccedilotildees de trecircs ou mais variaacuteveis (n ge 3) difere pouco do estudo de funccedilotildees de duas variaacuteveis Desta forma por simplicidade de apresentaccedilatildeo vamos estudar as funccedilotildees de duas variaacuteveis no restante desta unidade Comeccedilaremos reescrevendo a definiccedilatildeo de limite de funccedilotildees de duas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 332 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo e (a b) um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que o limite de f (xy) quando (xy) se aproxima de (ab) eacute um nuacutemero real L se dado ε gt 0 existir δ gt 0 tal que
|f (xy) ndash L| lt ε sempre que (xy) isin S e 0 lt radic(x ‒ a)2 + (y ‒ b)2 lt δ
Neste caso escrevemos
lim f (xy) = L (xy) rarr (ab)
A definiccedilatildeo de limite de funccedilatildeo pode ser reformulada utilizando o conceito de bola aberta que vimos anteriormente De fato escrever lim f (xy) = L equivale
a dizer que dado qualquer ε gt 0 podemos encontrar δ gt 0 tal que para todo (xy) isin B ((ab) δ) tenhamos f (xy) isin (L ndash ε L + ε) A figura a seguir ilustra no caso de uma funccedilatildeo f A sub Rn rarr R a definiccedilatildeo de limite
FIGURA 25 ndash FUNCcedilAtildeO f A sub Rn rarr R
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwicmcuspbr~cmmendesCalculoIICalculo2DiferenciaE7E3opdfgt Acesso em 18 jun 2011
(xy) rarr (ab)
A sub Rn
P₀
f
L ndash ε
L + εL
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
35
Exemplo 5Usando a definiccedilatildeo de limite mostre que lim (4x ndash 3y) = 5 (xy) rarr (21)
ResoluccedilatildeoDevemos mostrar que forall ε gt 0 exist δ gt 0 tal que (4x ‒ 3y) ‒ 5 lt ε sempre que
(xy) ‒ (21)lt δ
Com o objetivo de encontrar o δ desejado trabalharemos com a desigualdade que envolve ε Assim usando propriedades do valor absoluto podemos escrever
(4x ‒ 3y) ‒ 5=4x ‒ 3y ‒ (8 ‒ 3)=4x ‒ 8 ‒ 3y + 3=4x ‒ 8 ‒ (3y ‒ 3)=4 (x ‒ 2) ‒ 3(y ‒ 1)le 4x ‒ 2+ 3 y ‒ 1
Como 0 lt radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ podemos escrever x ‒ 2 le
radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ e y ‒ 1 le radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ temos que 4x ‒ 2 + 3y ‒ 1lt 4 δ + 3 δ
Assim tomando δ = ε7 temos(4x ‒ 3y) ‒ 5le 4x ‒ 2+ 3y ‒ 1lt
4 ε7 + 3 ε
7 = ε sempre que 0 lt radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ
Portanto lim (4x ‒ 3y) = 5 (xy) rarr (21)
Teorema 331 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis S1 e S2 subconjuntos de S e (ab) um ponto de acumulaccedilatildeo de S1 e S2 Se f (xy) tem limites diferentes quando (xy) tende (ab) atraveacutes dos pontos de S1 e S2 entatildeo lim f (xy) natildeo existe (xy) rarr (ab)
Lembre-se de que o fato de o ponto (ab) ser um ponto de acumulaccedilatildeo de S1 e
S2 natildeo significa que (ab) isin S
1 cap S
2
Exemplo 6Usando a definiccedilatildeo de limite mostre que lim 5xy
x2 + y2 natildeo existe
ATENCAO
(xy) rarr (21)
36
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Resoluccedilatildeo
Observemos que o conjunto domiacutenio de f eacute R2 ‒ (00) Para mostrar que o limite natildeo existe usaremos o Teorema 331
Consideremos o conjunto de retas que passam pela origem y = kxk isin R (xy) isin R2
Calculando f (xy) com y = kx temos
f (xkx) = 5xkx
x2 + (kx)2
= 5kx2
x2 (1+ k2)
= 5k
1+ k2
Entatildeo lim f (x kx) = lim 5k
1+ k2 (xy) rarr (00) (xy) rarr (00)
Assim o limite de f depende do percurso do ponto (xy) quando ele tende agrave origem Por exemplo considere k = 0 e k = 1 (dois caminhos diferentes)
lim f (xx) = lim 5 11+1
= 522
e lim f (xa) = 5 01 0
02+=
(xy) rarr (00) (xy) rarr (00)
Note que f assume um valor constante sobre cada reta que passa pela
origem De fato para cada coeficiente angular k isin R f (xkx) = 5k
1+k2 qualquer que
seja x isin R corroborando assim o caacutelculo do limite desenvolvido anteriormente
Portanto concluiacutemos atraveacutes do Teorema 331 que lim 5xy
x2 + y2 natildeo
existe (xy) rarr (00)
O teorema a seguir eacute muito parecido com o que jaacute foi visto em caacutelculo nas propriedades de limites de funccedilotildees de uma variaacutevel
Teorema 332 Se lim f (xy) = L e lim g (xy) = M e c isin R entatildeo (xy) rarr (ab) (xy) rarr (ab)
(xy) rarr (00)
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
37
Vamos utilizar este teorema nos exemplos a seguir
Exemplo 7
Calcule
Resoluccedilatildeo
Exemplo 8
Calcule
Resoluccedilatildeo
Temos lim (x3 ‒ x2y) = 0 e lim (x2 ‒ y2) = 0 (xy) rarr (22) (xy) rarr (22)
Neste caso temos uma indeterminaccedilatildeo do tipo 00
Para resolver o limite
fatoram-se o numerador e denominador fazendo as simplificaccedilotildees possiacuteveis como faziacuteamos com limites indeterminados no caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral
Entatildeo
38
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
4 CONTINUIDADE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Vocecirc se recorda da definiccedilatildeo de continuidade estudada na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral Agora estudaremos esta definiccedilatildeo aplicada agraves funccedilotildees de diversas variaacuteveis Acompanhe a seguir
Definiccedilatildeo 341 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo e (ab) isin S um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que f eacute contiacutenua no ponto (ab) se as seguintes condiccedilotildees forem satisfeitas
(i) f estaacute definida no ponto (ab)(ii) lim f(xy) existe
(xy) rarr (ab)
(iii) lim f(xy) = f(ab) (xy) rarr (ab)
Quando uma ou mais destas condiccedilotildees natildeo eacute satisfeita dizemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no ponto (ab)
Dizemos que f eacute contiacutenua se f for contiacutenua em todos os pontos do domiacutenio de f
Exemplo 9
Considere a funccedilatildeo de duas variaacuteveis f(xy) = 3x + y2
a) Mostre que f eacute contiacutenua no ponto (2 3)
b) Mostre que f eacute contiacutenua
+
TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE
39
Resoluccedilatildeo
a) Precisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(i) f (23) = 32 + 32 = 15(ii) lim f(xy) = lim (3x + y2) = 32 + 32 = 15 (xy) rarr (23) (xy) rarr (23)
(iii) lim (3x + y2) = f (23) (xy) rarr (23)
Logo f eacute contiacutenua no ponto (2 3)
b) Seja (ab) isin D (f) = R2
lim f(xy) = lim (3x + y2) = 3a + b2 = f (ab) (xy) rarr (ab) (xy) rarr (ab)
Como (ab) eacute um ponto qualquer segue que f (xy) eacute contiacutenua
Exemplo 10
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = In (xy + 3x) eacute contiacutenua no ponto (32)
Resoluccedilatildeo
Verificaremos se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
Logo f eacute contiacutenua no ponto (3 2)
40
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 11
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = eacute contiacutenua no ponto (33)
Resoluccedilatildeo
Precisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(i) f (33) = 5 pois x = y
(ii) = infin portanto o limite natildeo existe
(iii) Como lim f(xy) ne f(33) concluiacutemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no ponto (33) (xy) rarr (33)
Teorema 341 Se g(x) for contiacutenua em a e h(y) for contiacutenua em b entatildeo f(xy) = g(x) middot h(y) eacute contiacutenua em (ab)
Teorema 342 Se h(x y) for contiacutenua em (ab) e g(u) for contiacutenua em u = h (ab) entatildeo a composiccedilatildeo f(xy) = g(h(xy)) eacute contiacutenua em (ab)
Exemplo 12Use o Teorema 341 para mostrar que a funccedilatildeo f(xy) = 7x3y5 eacute contiacutenua
Resoluccedilatildeo
Os polinocircmios g(x) = 7x3 e h(y) = y5 satildeo contiacutenuos em cada ponto da reta real
Logo pelo Teorema 341 a funccedilatildeo f(xy) = 7x3 y5 eacute contiacutenua em cada ponto (xy) do plano xy ou seja f(xy) eacute contiacutenua
Exemplo 13Use o Teorema 342 para mostrar que a funccedilatildeo f(xy) = cos (7x3 y5) eacute contiacutenua
ResoluccedilatildeoComo h(xy) = 7x3 y5 eacute contiacutenua em cada ponto do plano xy e g(u) = cos u eacute
contiacutenua em cada ponto u da reta real segue do Teorema 342 que a composiccedilatildeo f(xy) = cos (7x3 y5) eacute contiacutenua em todo R2
41
RESUMO DO TOacutePICO 3
Caro(a) acadecircmico(a) Neste toacutepico os principais assuntos estudados foram
bull O conceito de limite de funccedilatildeo de diversas variaacuteveis
bull Definiccedilatildeo de funccedilatildeo contiacutenua e suas propriedades Eacute importante saber analisar se uma funccedilatildeo eacute contiacutenua ou natildeo
bull Destacamos a Definiccedilatildeo 341 que trata da continuidade Lembre que se f S sub R2 rarr R eacute uma funccedilatildeo e (ab) isin S eacute um ponto de acumulaccedilatildeo de S dizemos
que f eacute contiacutenua no ponto (ab) se as seguintes condiccedilotildees forem satisfeitas
(i) f estaacute definida no ponto (ab)
(ii) lim f(xy) existe
(xy) rarr (ab)
(iii) lim f(xy) = f(ab)
(xy) rarr (ab)
Lembre-se de que se uma destas condiccedilotildees natildeo for satisfeita a funccedilatildeo eacute descontiacutenua em (ab)
42
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre limite e continuidade de funccedilotildees de diversas variaacuteveis
1 Use a definiccedilatildeo de limite para mostrar que lim (2x + 6y) = 12 (xy) rarr (31)
2 Nos exerciacutecios a seguir calcule os limites
a) lim (x2y3 ‒ 2xy + 4) (xy) rarr (2 ‒1)
b) lim (xy) rarr (2 ‒1)
c) lim (xy) rarr (00)
d) lim x2 ‒ xy
radic radicx + y (xy) rarr (00)
x + 4y2x2 + 3xy
x3 + 2x2 + xy2 + 2y2
x2 + y2
3 Mostre que lim x2y
x4 + y2 natildeo existe (xy) rarr (00)
4 Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f (xy) = 3x2 + y2 +5
5 Verifique se a funccedilatildeo f(xy) = 4x2 ‒ 3x + yx2 + y2 ‒ 1
eacute contiacutenua no ponto (13)
6 Verifique se a funccedilatildeo f(xy) = xy5x2 + y2
0 (xy) = (00)
(xy) ne (00) eacute contiacutenua
43
TOacutePICO 4
DERIVADAS PARCIAIS
UNIDADE 1
1 INTRODUCcedilAtildeO
Vocecirc se recorda das regras de derivaccedilatildeo estudadas na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral
Aqui veremos como elas se aplicam agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis independentes que permitem uma visualizaccedilatildeo graacutefica possibilitando um entendimento de maneira simples do conceito de derivadas parciais Os resultados aqui obtidos podem ser generalizados para os casos de funccedilotildees com um nuacutemero maior de variaacuteveis
As regras de derivaccedilatildeo que vocecirc aprendeu na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral seratildeo utilizadas neste momento novamente
2 RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVACcedilAtildeO
Se u eacute uma funccedilatildeo real e c α isin R entatildeo
(c)prime = 0 (eu)prime = eu sdot u prime(c sdot u)prime = c sdot uprime (sen u)prime = cos u sdot u prime(u α)prime = α sdot u αminus1 sdot uprime (cos u)prime = minussen u sdot u prime
Exemplo 1Se f(x) = 5x3 minus 4x + 3ex minus 5 entatildeo f prime(x) = 15x2 minus 4 + 3ex
Lembre-se que se y = f (x) entatildeo a taxa de variaccedilatildeo de y em relaccedilatildeo a x eacute dada pela derivada de f em relaccedilatildeo a x que eacute definida por
f(x + Δx) minus f(x)Δx
f prime(x) = limΔx rarr 0
44
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
3 DERIVADAS PARCIAIS
Nesta seccedilatildeo estudaremos sobre as derivadas parciais Acompanhe
31 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS
A definiccedilatildeo de derivada parcial de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis eacute parecida com a enunciada para funccedilotildees de uma variaacutevel sendo utilizadas as mesmas regras de derivaccedilatildeo A diferenccedila aqui eacute que como se tem duas variaacuteveis uma delas deve ser mantida fixa enquanto se daacute acreacutescimos para a outra conforme veremos nas definiccedilotildees a seguir
Definiccedilatildeo 4311 Seja f A sube R2 rarr R uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis As derivadas parciais de f em relaccedilatildeo a x e a y satildeo funccedilotildees partf
partx e partf
party definidas por
partfpartx
= limh rarr 0
f (x + hy) ‒ f (xy)h
partfparty
= limh rarr 0
f (xy + h) ‒ f (xy)h
desde que os limites existam
O siacutembolo ldquopartrdquo chama-se ldquoD-rondrdquo (pronuncia-se derron) que significa D-redondo em francecircs Esta notaccedilatildeo eacute apenas um outro tipo de simbologia para a derivada que quando trabalhamos com funccedilotildees de uma variaacutevel era representada por ldquodrdquo Eacute conveniente ter essa maneira distinta de estender a notaccedilatildeo diferencial de Leibniz para um contexto de diversas variaacuteveis pois aqui natildeo tem sentido falarmos simplesmente em derivada apenas em derivadas parciais
Existem outras notaccedilotildees para representar as derivadas parciais Se z = f (xy)
denotamos
partfpartx
= fx (xy) = = Dx fpartzpartx
partfparty
= fy (xy) = = Dy fpartzparty
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
45
Preste muita atenccedilatildeo na simbologia de derivada Quando estamos derivando
uma funccedilatildeo de uma variaacutevel por exemplo y = f (x) entatildeo a derivada eacute identificada por dydx
Mas quando estamos derivando uma funccedilatildeo de duas ou mais variaacuteveis por exemplo z = f
(xy) entatildeo as derivadas satildeo identificadas por part zpart x
e part zpart y
Exemplo 2
Aplicar a definiccedilatildeo para achar partfpartx
e partfparty
para f (xy) = 3x2 ‒ 2xy
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= limh rarr 0
f (x + hy) ‒ f (xy)h
= limh rarr 0
3 (x + h)2 ‒ 2 (x + h)y ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
3x2 + 6xh + 3h2 ‒ 2xy ‒ 2hy ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
6xh + 3h2 ‒ 2hyh
= limh rarr 0
h (6x + 3h ‒ 2y)h
= lim 6x + 3h ‒ 2yh rarr 0
= 6x ‒ 2y
partfparty
= limh rarr 0
f (xy + h)‒ f (xy)h
ATENCAO
46
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
= limh rarr 0
3x2 ‒ 2x (y + h) ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
3x2 ‒ 2xy ‒ 2xh ‒ 3x2 + 2xyh
= limh rarr 0
‒ 2xhh
= lim (‒ 2x)h rarr 0
= ‒ 2x
Logo obtemos partfpartx
= 6x ‒ 2y e partfparty
= ‒ 2x
Exemplo 3Encontre as derivadas parciais de f (xy) = 5x3 ‒ 4xy + 3exysup3 ‒ 5
ResoluccedilatildeoPara encontrar a derivada parcial de f em relaccedilatildeo a x devemos olhar para
a variaacutevel y da funccedilatildeo f como uma constante e derivamos apenas a variaacutevel x ou seja aplicaremos as regras de derivaccedilatildeo somente na variaacutevel x
partfpartx
= 5 ∙ 3x2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ y + 3exysup3 ∙ 1 ∙ y3 ‒ 0
= 15x2 ‒ 4y + 3y3 exysup3
De forma anaacuteloga para derivar parcialmente f em relaccedilatildeo a y devemos olhar para a variaacutevel x da funccedilatildeo f como uma constante e derivamos apenas a variaacutevel y ou seja aplicaremos as regras de derivaccedilatildeo somente na variaacutevel y
partfparty
= 0 ‒ 4x ∙ 1 + 3exysup3 ∙ x ∙ 3y2 ‒ 0
= ‒ 4x + 9xy2 exysup3
Exemplo 4Encontre as derivadas parciais de f (xy) = 3x2 ‒ xy + y
ResoluccedilatildeoDerivando f em relaccedilatildeo a x (lembre-se de considerar y como constante)
partfpartx
= 6x ‒ y
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
47
E derivando f em relaccedilatildeo a y (agora considere x como constante)
partfparty
= ‒ x + 1
Exemplo 5Encontre as derivadas parciais de f (xy) = ex ‒ y ‒ ey ‒ x
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= ex ‒ y ∙ 1 ‒ ey ‒ x ∙ (‒ 1)
= ex ‒ y + ey ‒ x
partfparty
= ex ‒ y ∙ (‒ 1) ‒ ey ‒ x ∙ 1
= ex ‒ y ‒ ey ‒ x
Exemplo 6Calcule as derivadas parciais de f (xy) = (x + y) sen (x ‒ y)
ResoluccedilatildeoObserve que a funccedilatildeo f eacute um produto de outras duas funccedilotildees u e v Assim
lembramos que (u sdot v)prime = u prime sdot v + u sdot v prime
partfpartx
= 1sen(x ‒ y) + (x + y) ∙ 1 ∙ cos (x ‒ y)
= sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ cos (x ‒ y)
partfparty
= 1∙ sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ (‒1) ∙ cos (x ‒ y)
= sen (x ‒ y) ‒ (x + y) ∙ cos (x ‒ y)
Exemplo 7Calcule as derivadas parciais de f (xy) = exy + In (x2 + y)
Resoluccedilatildeopartpart
= ++
fxy e x
x yxy
22
Utilizamos a regra
lnu uu
fyx e
x yxy
( )prime = prime
partpart
= ++1
2
48
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Ateacute aqui estivemos preocupados com o caacutelculo da derivada parcial de uma funccedilatildeo em relaccedilatildeo a uma de suas variaacuteveis Isso quer dizer que calculamos a derivada ao longo de uma curva sem ponto fixado Passemos a ver como se calcula a derivada fixando um ponto da superfiacutecie
Se (x0 y0) for um ponto do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (xy) o plano vertical y = y0 cortaraacute a superfiacutecie z = f (xy) na curva z = f (x y0) (Figura 26)
Definiccedilatildeo 4312 A derivada parcial da funccedilatildeo f em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x eacute representada por partf
partx e eacute definida num ponto P (x0 y0) do domiacutenio por
(x0 y0) = limΔ x rarr 0
partfpartx
f (x0 + Δ x y0) ‒ f (x0 y0)Δ x
se este limite existir
FIGURA 26 ndash FUNCcedilAtildeO f (xy)
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
Se (x0 y0) for um ponto do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (xy) o plano vertical x = x0 cortaraacute a superfiacutecie z = f (xy) na curva z = f (xy0) (Figura 27)
Definiccedilatildeo 4313 A derivada parcial da funccedilatildeo f em relaccedilatildeo agrave variaacutevel y eacute representada por partf
party e eacute definida num ponto P (x0 y0) do domiacutenio por
(x0 y0) = limΔ x rarr 0
partfparty
f (x0 y0 + Δ y ) ‒ f (x0 y0)Δ y
se este limite existir
Eixo horizontal no plano y = y₀
Eixo vertical no plano y = y₀
Reta tangente
A curva z = f (xy0)no plano y = y₀
z
z = f (xy)
y
y₀
(x₀ y₀)(x₀ + h y₀)
x
x₀0
P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
49
FIGURA 27 ndash FUNCcedilAtildeO f (xy)
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
Exemplo 8Sendo f (xy) = 2x2y ndash 4y3 calcule partf
partx partfparty
partfpartx
(31) partfparty
(31)
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= 2 sdot 2x sdot y ndash 0 partfpartx
(31) = 4 sdot 3 sdot 1 = 12
partfpartx
= 4xy
partfparty = 2x 2 sdot 1 ndash 4 sdot 3y 2
partfparty (31) = 2 sdot 32 ndash 12 sdot 12
partf party
= 2x 2 ndash 12y 2 partfparty
(31) = 2 sdot 9 ndash 12 sdot 1 = 18 ndash 12 = 6
Exemplo 9
Sendo f (xy) = 5xy2x + 3y
0 se (xy) = (00)
se (xy) ne (00) calcule partf
partx e partf
party
Eixo vertical no plano x = x₀
Reta tangente
A curva z = f (x y0)no plano x = x₀
Eixo horizontal no plano x = x₀
x₀
x(x₀ y₀)
(x₀ y₀ + k)
z = f (xy)
z
y
y₀
P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))
50
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
ResoluccedilatildeoNos pontos (xy) ne (00) podemos aplicar as regras de derivaccedilatildeo Assim
temos
partfpartx
5y middot (2x + 3y) ‒ 5xy middot 2(2x + 3y)2
=
10xy + 15y 2 ‒ 10xy(2x + 3y)2
=
15y 2
(2x + 3y)2=
partfparty
5x middot (2x + 3y) ‒ 5xy middot 3(2x + 3y)2
=
10x2
(2x + 3y)2=
Para calcularmos as derivadas de f na origem usamos a definiccedilatildeo de derivada parcial
(00) = limh rarr 0
partfpartx
f (0 + h 0 ) ‒ f (00)h
= limh rarr 0
5h middot 0 2h
h
‒ 0( (( (
(00) = limh rarr 0
partfparty
f (00 + h) ‒ f (00)h( (
= limh rarr 0
5 middot 0 middot h 3h
h
‒ 0( (= 0
= 0
Assim obtemos as derivadas parciais da funccedilatildeo f com relaccedilatildeo a x e com relaccedilatildeo a y em todos os pontos (xy) do domiacutenio
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
51
32 INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
A interpretaccedilatildeo das derivadas parciais eacute anaacuteloga agrave interpretaccedilatildeo da derivada simples Sabemos que para a funccedilatildeo y = f (x) a derivada f prime (x0) pode ser interpretada ou como a taxa de variaccedilatildeo de y em relaccedilatildeo a x no ponto x0 ou como a inclinaccedilatildeo da reta tangente ao graacutefico de f no ponto x0
Para interpretar as derivadas parciais consideramos a funccedilatildeo z = f (xy) e
as suas derivadas parciais no ponto (x0 y0) Vamos interpretar partfpartx
(x0 y0) suponha
que C1 eacute a interseccedilatildeo da superfiacutecie z = f (xy) com o plano y = y0 (o que equivale a
considerar y como constante) Geometricamente partfpartx
(x0 y0) pode ser interpretada
como a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva C1 no ponto (x0 y0) que se denota por partfpartx
(x0 y0) = tg α
Da mesma forma supondo C2 a interseccedilatildeo da superfiacutecie z = f (xy) com
o plano x = x0 (o que equivale a considerar x como constante) interpretamos partfparty
(x0 y0)geometricamente como a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva C2 no ponto
(x0 y0) que se denota por partfparty
(x0 y0) = tg b Veja na Figura 28 a situaccedilatildeo descrita
anteriormente
A derivada parcial partfpartx
(x0 y0) tambeacutem pode ser interpretada como a taxa de variaccedilatildeo de z em relaccedilatildeo a x ao longo da curva C1 E a derivada parcial partf
party (x0 y0)
tambeacutem pode ser interpretada como a taxa de variaccedilatildeo de z em relaccedilatildeo a y ao longo da curva C2 Assim estes valores representam a velocidade com que z cresce (ou decresce) quando apenas uma variaacutevel estaacute sendo alterada
FIGURA 28 ndash INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011
y
x
z
x₀
c₂ c₁
y₀
b
α
52
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 10A funccedilatildeo T (xy) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto
de uma chapa Encontre a razatildeo de variaccedilatildeo da temperatura em relaccedilatildeo agrave distacircncia percorrida ao longo da chapa na direccedilatildeo dos eixos positivos x e y no ponto (1 2) Considere a temperatura medida em graus Celsius e a distacircncia em cm
Resoluccedilatildeo
partTpartx = 0 ‒ 2 sdot 2x = ‒ 4x
partTpartx (1 2) = ‒ 4 sdot 1 = ‒ 4degC cm
Assim podemos interpretar o valor ‒ 4degC cm obtido na derivada em x da seguinte forma a temperatura estaacute diminuindo 4degC agrave medida que x aumenta uma unidade
partTparty = 0 ‒ 2 middot 3y = ‒ 6y
partTparty (1 2) = ‒ 6 middot 2 = ‒ 12degC cm
Assim o valor ‒ 12degC cm significa que a temperatura diminui 12degC agrave medida que y aumenta uma unidade
Exemplo 11Suponha que D = radicx 2 + y 2 eacute o comprimento da diagonal de um retacircngulo
cujos lados tecircm comprimentos x e y que satildeo permitidos variar Determine uma foacutermula para a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x se x varia com y considerado constante e utilize esta foacutermula para determinar a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x no ponto x = 3 e y = 4
ResoluccedilatildeoA foacutermula para a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x eacute
D = radicx 2 + y 2 D = (x 2 + y 2)frac12
partDpartx
= 12
(x 2 + y 2)-frac12 (2x)
partDpartx
= radic
xx 2 + y 2
A taxa de variaccedilatildeo instantacircnea de D em relaccedilatildeo a x no ponto (3 4) eacute
partDpartx
(3 4) = radic
332 + 42
= 35
Assim D aumenta a uma taxa de 35
de unidade para cada unidade de aumento de x no ponto (3 4)
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
53
4 GENERALIZACcedilAtildeO
Na seccedilatildeo anterior estudamos as derivadas parciais de funccedilotildees de duas variaacuteveis Agora vamos generalizar este conceito para as derivadas parciais de funccedilotildees de n variaacuteveis reais
Definiccedilatildeo 441 Seja f A sube Rn rarr R uma funccedilatildeo de n variaacuteveis e seja x = (x1 x2 xn) isin A Definimos a derivada parcial de f no ponto x em relaccedilatildeo a xi por
partpart
+ minusrarr
fxi h
i n (x) = f (x x h x f (x
lim )
01 1 xx
hn ) quando esse limite existir
Definiccedilatildeo 442 Seja f A sub Rn rarr R uma funccedilatildeo de n variaacuteveis e seja B sube A o
conjunto formado por todos os pontos x tais que partfpartxi
(x) existe Definimos a funccedilatildeo
derivada parcial de 1ordf ordem de f em relaccedilatildeo a xi como a funccedilatildeo que a cada x isin B associa
o nuacutemero partfpartxi
(x) dado por partfpartxi
(x) = limf (x1 xi + h xn) ‒ f (x1 xi xn)
h( (h rarr 0
Exemplo 12Calcule as derivadas de primeira ordem da funccedilatildeo f (x y z) = 1 + xy 2 ‒ 2z3
ResoluccedilatildeoAo derivar f em relaccedilatildeo a x lembre-se de considerar y e z como constantes
partfpartx
= y 2
Derivando f em relaccedilatildeo a y (agora considere x e z como constantes)
partfparty
= 2xy
E derivando f em relaccedilatildeo a z (considere x e y como constantes)
partfpartz
= ‒ 6z2
Exemplo 13Calcule as derivadas de primeira ordem da funccedilatildeo f (x y z) = yz In (xy)
ResoluccedilatildeoObserve primeiramente que a funccedilatildeo eacute dada por um uacutenico termo e teremos
que usar as regras do produto e do logaritmo natural
54
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Derivando f em relaccedilatildeo a x (considere y e z como constantes) Como a variaacutevel x aparece apenas no logaritmando usaremos a regra do logaritmo natural
partfpartx
= yz ∙ yxy
= yzx
Derivando f em relaccedilatildeo a y (considere x e z como constantes)
Como a variaacutevel y aparece no fator que multiplica o logaritmo e tambeacutem no logaritmando entatildeo aplicaremos a regra do produto junto agrave regra do logaritmo natural
partfparty
= z In (xy) + yz middot xxy
= z In (xy) + z
E derivando f em relaccedilatildeo a z (considere x e y como constantes) a variaacutevel z aparece apenas no fator que multiplica o logaritmo entatildeo aplicaremos a regra da derivada simples em z
partfpartz
= y In (xy)
5 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
As derivadas parciais partfpartx
e partfparty
satildeo funccedilotildees de x e y e assim elas mesmas
podem ter derivadas parciais Com isso teremos outras quatro derivadas parciais estas de segunda ordem de f as quais satildeo definidas por
Exemplo 14Sendo f (xy) = y2 ex + 5y calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
55
Resoluccedilatildeo
partfpartx
= y2 ex partf
party= 2y ex + 5
Para fazermos as derivadas parciais de segunda ordem vamos derivar parcialmente cada uma das derivadas de primeira ordem em relaccedilatildeo a x e a y Fique atento(a) agrave notaccedilatildeo
Exemplo 15Sendo f (xy) = x2 cos y + y2 sen x encontre as derivadas parciais de segunda
ordem de f
Resoluccedilatildeo
56
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Exemplo 16Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de f (xy) = x + 3y
ResoluccedilatildeoPrimeiro devemos escrever a funccedilatildeo na forma de potecircnciaf (xy) = (x + 3y)frac12
Observe que devemos aplicar a regra da potecircncia para a derivaccedilatildeo (u α)prime = α uαminus1 uprime
radic
Exemplo 17Dada a funccedilatildeo f (xy) = x3y + 4x2y3 calcule
a) part2fpartypartx
b) part2fpartx2
c) part3fpartxpartypartx
d) part3fpartypartx2
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
57
Resoluccedilatildeo
partpart part
=partpart
partpart
partpart part
=partpart
+( )partpart part
= +
2
22 3
22
3 8
3 24
fy x y
fx
fy x y
x y xy
fy x
x xyy2
partpart
= +
part
part= +
fx
x y xy
fx
xy y
3 8
6 8
2 3
2
23
partpart
= +
partpart part
= +
partpart part part
= +
fx
x y xy
fy x
x xy
fx y x
x y
3 8
3 24
6 24
2 3
22 2
32
partpart
= +
part
part= +
part
part part= +
fx
x y xy
fx
xy y
fy x
x y
3 8
6 8
6 24
2 3
2
23
3
22
Talvez vocecirc tenha percebido nos exemplos que as derivadas mistas de segunda ordem part2f
partxparty e part2f
partypartx satildeo iguais Seraacute que isto ocorre sempre
Respondendo agrave pergunta A igualdade entre as derivadas parciais mistas
ocorre quando a funccedilatildeo f (xy) e suas derivadas parciais part2fpartx2
part2fpartxparty
part2fpartypartx
e part2fparty2
forem todas contiacutenuas fato este que nem sempre ocorre
Caro(a) acadecircmico(a) mostre que partpart part
( ) = partpart part
( ) =2 2
0 0 0 0 0 1f
x yf
y x e considerando a
funccedilatildeo f x yxyx y
x y
x y
( ) = +
( ) ne ( )
( ) =
3
2 20 0
0 0 0
se
se (( )
UNI
UNI
a) b)
c) d)
58
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
Este fato se repete para funccedilatildeo de trecircs variaacuteveis isto eacute teremos a igualdade
das seis derivadas parciais mistas part2fpartxparty
part2fpartypartx
= part2fpartxpartz
part2fpartzpartx
= e part2fpartypartz
part2fpartzparty
= se f
(x y z) e todas as suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contiacutenuas
Verifique se de fato as derivadas mistas satildeo iguais para a funccedilatildeo f (x y z) = x y2z3 + 3 yz
Teorema 451 (Teorema de Schwarz) Suponhamos que f seja uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis x e y definida em bola aberta B com derivadas parciais de segunda
ordem contiacutenuas em B Entatildeo part2fpartxparty
part2fpartypartx
(a b) = (a b) para todo (a b) isin B
Como consequecircncia do teorema se a funccedilatildeo z = f (xy) tem todas as derivadas parciais contiacutenuas em uma bola aberta entatildeo a ordem da derivada natildeo importa Por exemplo
A seguir apresentaremos a biografia de dois grandes matemaacuteticos Johann Bernoulli e Leonhard Euler que entre outros tambeacutem contribuiacuteram bastante para o desenvolvimento do caacutelculo diferencial e integral
UNI
UNI
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
59
LEITURA COMPLEMENTAR
JOHANN BERNOULLI (1667-1748)
Johann Bernoulli irmatildeo de Jacques Bernoulli nasceu no dia 27 de julho na Basileia Seus pais Nicolaus e Margaretha Bernoulli queriam que ele fosse comerciante ou meacutedico Johann pode ter sido influenciado quando crianccedila pelo seu irmatildeo Jacques que jaacute estava na carreira matemaacutetica
Em 1682 com 15 anos de idade trabalhou no comeacutercio durante um ano poreacutem natildeo gostou da atividade Em 1683 ingressou na Universidade da Basileia para estudar Medicina apesar de ter sempre gostado de Matemaacutetica Quatro anos depois seu irmatildeo foi nomeado professor de Matemaacutetica na Universidade e de 1687 a 1690 Johann e Jacques Bernoulli estudaram juntos as teorias de Leibniz sobre o Caacutelculo Na eacutepoca essas teorias natildeo tinham sido compreendidas por nenhum outro matemaacutetico e os irmatildeos Bernoulli foram os primeiros a estudaacute-las Os dois irmatildeos e Leibniz iniciaram uma seacuterie de artigos publicados na Acta Eruditorum dando origem agrave difusatildeo do Caacutelculo Leibniziano tornando-o amplamente conhecido
Em 1691 Johann foi agrave Franccedila onde conheceu o marquecircs de LrsquoHospital O marquecircs interessou-se pelo novo Caacutelculo e ofereceu um bom salaacuterio para que Johann lhe ensinasse O acordo permitia ao marquecircs usar todo o conteuacutedo ensinado como o desejasse A consequecircncia disso foi a importante contribuiccedilatildeo de Johann Bernoulli conhecida como Regra de LrsquoHospital publicada pelo marquecircs em seu primeiro livro sobre Caacutelculo em 1696 No prefaacutecio do livro LrsquoHospital fez menccedilatildeo a Johann Bernoulli mas natildeo lhe atribuiu o famoso teorema Soacute depois da morte do marquecircs Johann contestou a autoria poreacutem havia perdido a credibilidade no assunto devido agraves desavenccedilas puacuteblicas principalmente com seu irmatildeo Jacques Bernoulli Esse reconhecimento soacute aconteceu em 1922 quando encontraram uma coacutepia do curso na Basileia
60
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
A determinaccedilatildeo da equaccedilatildeo da catenaacuteria foi o primeiro problema importante resolvido por Johann Bernoulli em 1691 Esse problema existia haacute mais de 50 anos e Galileo em 1636 sugerira uma soluccedilatildeo Em 1646 Huygens provou que a soluccedilatildeo de Galileo era falsa mas tambeacutem natildeo conseguiu resolver o problema A catenaacuteria eacute a forma assumida por uma corda ou corrente suspensa livremente por dois pontos O problema era determinar sua equaccedilatildeo Utilizando o Caacutelculo Leibniziano Johann Bernoulli resolveu o problema e esse foi o primeiro sucesso puacuteblico do novo Caacutelculo
Em 1694 ele estudou as curvas exponenciais y = ax e y = xx Para Bernoulli a integraccedilatildeo era a operaccedilatildeo inversa da diferenciaccedilatildeo Tal concepccedilatildeo permaneceu ateacute a eacutepoca de Cauchy
Johann teve trecircs filhos Nicolaus (1695-1726) Daniel (1700-1782) e Johann (1710-1790) Todos eles foram matemaacuteticos e Daniel produziu um trabalho sobre Hidrodinacircmica conhecido como Princiacutepio de Bernoulli
Johann nunca chegou a publicar seu livro sobre o Caacutelculo poreacutem escreveu sobre a isoacutecrona soacutelidos de resistecircncia miacutenima trajetoacuterias problemas isoperimeacutetricos conseguindo tal reconhecimento pelo seu trabalho que apoacutes a morte de seu irmatildeo em 1705 foi chamado para ocupar a cadeira dele na Universidade de Basileia
Johann Bernoulli morreu no dia 1ordm de janeiro de 1748 na Basileia
FONTE E-CAacuteLCULO Mapa da histoacuteria Leibniz Disponiacutevel em lthttpecalculoifuspbrhistoriabernoulli1htmgt Acesso em 10 jun 2008
EULER LEONHARD (1707-1783)
TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS
61
Nascido na Basileia Suiacuteccedila Leonhard Euler foi a figura matemaacutetica dominante do seu seacuteculo e o matemaacutetico mais proliacutefico de que se tem notiacutecia Era tambeacutem astrocircnomo fiacutesico engenheiro e quiacutemico Foi o primeiro cientista a dar importacircncia ao conceito de funccedilatildeo estabelecendo desse modo uma base soacutelida para o desenvolvimento do caacutelculo e de outras aacutereas da matemaacutetica A coleccedilatildeo completa dos livros e trabalhos de Euler (mais de 870 artigos e livros) chega a mais de 80 volumes Ele contribuiu enormemente no campo da geometria analiacutetica da trigonometria do caacutelculo e da teoria dos nuacutemeros
Ainda jovem Euler demonstrou um futuro promissor como matemaacutetico apesar de seu pai preferir que estudasse teologia Felizmente Johann Bernoulli convenceu o pai a permitir que Euler se concentrasse no estudo da matemaacutetica Graduou-se pela Universidade da Basileia defendendo uma tese em que comparava o trabalho de Descartes ao de Newton Euler conseguiu uma posiccedilatildeo em Satildeo Petersburgo e durante alguns anos foi meacutedico na Marinha russa Em 1733 tornou-se professor de Matemaacutetica na Academia de Ciecircncias de Satildeo Petersburgo Em 1736 publicou a obra Mechanica em dois volumes na qual aplicou sistematicamente o caacutelculo agrave matemaacutetica de uma massa e incorporou muitas equaccedilotildees diferenciais novas agrave mecacircnica Em 1738 ele perdeu a vista direita Em 1741 conseguiu uma posiccedilatildeo como diretor matemaacutetico da Academia de Ciecircncias de Berlim Laacute desenvolveu alguns trabalhos como a traduccedilatildeo e a melhoria de Principles of Gunnery de Robin a publicaccedilatildeo de Scienia navalis em 1749 e Letters to a german princess de 1768 a 1772 e o ensino de Lagrange por correspondecircncia Em 1766 Euler retornou agrave Ruacutessia a convite de Catarina a Grande Em 1771 perdeu a visatildeo no olho esquerdo ficando completamente cego Seu trabalho foi do caacutelculo e da anaacutelise agrave medida que publicou sua trilogia Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis e Institutiones calculi integralis Esses trabalhos que perfaziam um total de seis volumes fizeram da funccedilatildeo uma parte central do caacutelculo e tratavam de aacutelgebra trigonometria geometria analiacutetica e teoria dos nuacutemeros Por meio desses tratados Euler influenciou grandemente o ensino da matemaacutetica Diz-se que todos os livros didaacuteticos de caacutelculo desde 1748 satildeo essencialmente coacutepias de Euler ou coacutepias de coacutepias dele Algumas de suas contribuiccedilotildees para as equaccedilotildees diferenciais satildeo as seguintes a reduccedilatildeo da ordem o fator integrante coeficientes indeterminados a teoria das equaccedilotildees lineares de segunda ordem e soluccedilotildees das seacuteries de potecircncias Ele tambeacutem incorporou o caacutelculo vetor e as equaccedilotildees diferenciais em seus trabalhos
Euler deu agrave geometria analiacutetica moderna e agrave trigonometria o que o livro Elements de Euclides deu agrave geometria e a tendecircncia resultante de apresentar a matemaacutetica e a fiacutesica em termos matemaacuteticos prosseguiu desde entatildeo Euler enriqueceu a matemaacutetica com muitos conceitos teacutecnicos e notaccedilotildees ainda em uso nos dias de hoje Ele deu ordem ao caos da notaccedilatildeo matemaacutetica Estabeleceu a maior parte da notaccedilatildeo que utilizamos hoje (seno co-seno e pi i sigma f para funccedilatildeo) A contribuiccedilatildeo de Euler para a teoria dos nuacutemeros e para a fiacutesica foi igualmente impressionante Em sua obra Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (Theory of the motions of rigid bodies) de 1765 ele fundou as bases da mecacircnica contiacutenua e da teoria lunar Sua influecircncia no campo da fiacutesica matemaacutetica
62
UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS
foi tatildeo difusa que a maior parte das descobertas natildeo eacute creditada a ele No entanto temos as equaccedilotildees de Euler para a rotaccedilatildeo de um corpo riacutegido fluxo de um fluido ideal incompressiacutevel flexatildeo de vigas elaacutesticas e carregamentos para empenamento de colunas Ele calculava sem esforccedilo aparente como os homens respiram ou como as aacuteguias se sustentam no vento Euler foi o Shakespeare da matemaacutetica universal ricamente detalhista e incansaacutevel
Teoremas principais adiccedilatildeo de seacuteries teorema das pontes de Koumlnigsberg
Principais obras Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis Institutiones calculi integrali Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum Mechanica Letters to a German princess
FONTE GUIA para a histoacuteria do Caacutelculo Euler Leonhard Disponiacutevel em lthttpcwxprenhallcombookbindpubbooksthomas_brchapter1medialibcustom3bioseulerhtmgt Acesso em 17 jul 2011
63
RESUMO DO TOacutePICO 4
Caro(a) acadecircmico(a) Neste toacutepico foram estudadas as derivadas parciais
bull Vocecirc deve ter percebido que o seu caacutelculo eacute similar ao caacutelculo de derivadas simples a diferenccedila estaacute no fato de ter agora duas variaacuteveis e ter que derivar a funccedilatildeo em termos de uma delas enquanto a outra eacute considerada como constante
Ou seja partfpartx
estamos derivando f (xy) em relaccedilatildeo a x considerando y como constante
bull A derivada parcial partfpartx
(x0 y0) eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva da superfiacutecie
z = f (xy) no plano vertical y = y0
bull Analogamente partfparty
(x0 y0) eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva da superfiacutecie
z = f (xy) no plano vertical x = x0
64
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre derivadas parciais
1 A funccedilatildeo T (xy) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto de
uma chapa Foram calculadas as derivadas parciais no ponto (2 3) e chegou-
se aos resultados partzpartx
(2 3) = ‒ 8 e partzparty
(2 3) = ‒ 18 Decirc os significados para
os dois valores obtidos com as derivadas parciais no ponto (2 3)
2 Nos exerciacutecios a seguir calcule as derivadas parciais partfpartx
e partfparty
das funccedilotildeesa) f (xy) = 2x2 ‒ 3y ‒ 4b) f (xy) = (x2 ‒ 1) (y + 2)c) f (xy) = (xy ‒ 1)2
d) f (xy) = 1x + y
e) f (xy) = ex + y + 1
f) f (xy) = In (2x + y)
3 Calcule as derivadas parciais de segunda ordem part2fpartx2
part2fpartxparty
part2fpartypartx
e part2fparty 2
das funccedilotildees a seguir
a) f (xy) = e3x sen yb) f (xy) = xey + y + 1
65
UNIDADE 2
DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Nessa unidade vamos
bull conhecer os principais conceitos que envolvem derivadas de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
bull aplicar a regra da cadeia nas derivadas parciaisbull calcular implicitamente as derivadas de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveisbull entender o conceito de diferenciabilidadebull entender o conceito de vetor gradiente e saber calculaacute-lobull entender o conceito de derivada direcional e saber calculaacute-labull calcular os miacutenimos e maacuteximos locais de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveisbull resolver problemas envolvendo minimizaccedilatildeo e maximizaccedilatildeo de funccedilotildees
de vaacuterias variaacuteveisbull aplicar o conceito de integrais muacuteltiplasbull calcular as integrais muacuteltiplas
Esta unidade estaacute dividida em quatro toacutepicos apresentando os conceitos e a utilizaccedilatildeo das derivadas parciais e tambeacutem a integraccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Dando continuidade ao estudo da unidade anterior seguimos com a regra da cadeia e a derivaccedilatildeo impliacutecita de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis resolven-do diversos exemplos para auxiliaacute-lo(a) na compreensatildeo e resoluccedilatildeo dos exer-ciacutecios propostos no final de cada toacutepico como vocecirc jaacute estaacute habituado em nossos cadernos de estudos Nos toacutepicos seguintes continuamos explorando outros conceitos e aplicaccedilotildees relacionados com as derivadas parciais tais como dife-renciabilidade de uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis diferencial vetor gradiente derivadas direcionais extremos locais e problemas envolvendo a otimizaccedilatildeo (minimizaccedilatildeo e maximizaccedilatildeo) de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Encerramos esta unidade com o estudo das integrais muacuteltiplas que eacute a integraccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Esperamos que este material possa auxiliaacute-lo em seus estudos
TOacutePICO 1 ndash REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
TOacutePICO 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE
TOacutePICO 3 ndash MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
TOacutePICO 4 ndash INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
66
67
TOacutePICO 1
REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
A regra para funccedilotildees compostas eacute tradicionalmente chamada de regra da cadeia Nesta seccedilatildeo vamos apresentar a regra da cadeia para funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
2 REGRA DA CADEIA
Inicialmente consideramos dois casos especiacuteficos de funccedilotildees de duas variaacuteveis e em seguida apresentamos a regra da cadeia generalizada
Teorema 121 (Regra da Cadeia ndash derivada total) Suponha que z = f (xy) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x e y onde x = x (t) e y = y (t) satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis de t Entatildeo a funccedilatildeo z = f (x(t) y (t)) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de t e
dzdt
zxdxdt
zydydt
=partpart
sdot +partpart
sdot
FIGURA 29 ndash DIAGRAMA DA AacuteRVORE PARA A REGRA DA CADEIA
FONTE O autor
partpartzx
partpartzy
dxdt
dydt
z
x y
t t
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
68
Exemplo 1Sejam z = f (xy) = 4x 3 y 2 x = t 4 e y = 3t 2
ResoluccedilatildeoComeccedilamos calculando as derivadas parciais partzpartx
= 12x2y2
partzparty
= 8x 3y
e em seguida calculamos as outras derivadas
partxpartt
= 4t 3
dydt
= 6t
Aplicamos a regra da cadeia substituindo as derivadas calculadas anteriormente
Substituindo x = t 4 e y = 3t 2 na expressatildeo acima temos
dzdt
= 12(t 4)2 (3t 2)2 ∙ 4t 3 + 8(t 4)3
∙ 3t 2 ∙ 6t
= 144t 15 + 144t 15
= 288t 15
Exemplo 2Sejam z = f (xy) = In (3x 2 + y) x = t + 1 e y = 5t
a) Calcule partzpartt
usando a regra da cadeiab) Determine a funccedilatildeo composta z = f (t + 15 t) e calcule dz
dt
Resoluccedilatildeo
a) Aplicaremos a regra da cadeia
Sabendo que y = In u rArr y prime = u primeu
calcularemos separadamente
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
69
Agora aplicamos
Substituindo x = t + 1 e y = 5t na expressatildeo anterior temos
ou seja
dzdt
6t + 113(t + 1)2 + 5t
=
dzdt
6(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t
=
b) A funccedilatildeo composta eacutez = f (t + 15 t)z = In (3(t + 1)2 + 5 t)
A derivada de z em relaccedilatildeo a t (calculada a partir desta expressatildeo) eacute
dzdt
32(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t
=
dzdt
6t + 113(t + 1)2 + 5t
=
Compare os resultados obtidos nos itens (a) e (b) do Exemplo 2 A facilidade do uso da regra da cadeia estaacute em derivar funccedilotildees ldquomenoresrdquo e posteriormente na substituiccedilatildeo ter menos trabalho algeacutebrico
UNI
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
70
Exemplo 3Sejam z = x2 + 2xy + y2 x = cos t e y = sen t Determine dz
dt
ResoluccedilatildeoUsando a regra da cadeia
dz = partz dx + partz dydt partx dt party dt
= (2x + 2y) (‒ sen t) + (2x + 2y) (cos t) = (2x + 2y) (cos t ‒ sen t) = 2(cos t + sen t) (cos t ‒ sen t)ou seja
dz = 2(cos2 t ‒ sen2 t)dt
Vimos no Teorema 121 como aplicar a regra da cadeia no caso da derivada total quando a funccedilatildeo tem duas variaacuteveis independentes Vamos generalizar esta derivada total para funccedilotildees com mais de duas variaacuteveis
Se a funccedilatildeo tiver mais de duas variaacuteveis representaremos por f (x1 x2 x3 xn) onde x1(t ) x2(t ) x3(t ) xn (t ) satildeo funccedilotildees de t Sua derivada em relaccedilatildeo a t eacute dada pela regra da cadeia
Como a derivada acima possui muitas parcelas eacute possiacutevel reescrever a regra usando o somatoacuterio
Exemplo 4Dada a funccedilatildeo f (xyz) = 3x ‒ 2y 3 + z2 onde x = sen t y = e2t e z = 4t 2 ‒ 3
encontre a derivada de f com relaccedilatildeo a t
ResoluccedilatildeoUsando a regra da cadeia
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
71
dfdt
fxdxdt
fydydt
fzdzdt
xx y z d
dt
=partpart
sdot +partpart
sdot +partpartsdot
=partpart
minus +( ) sdot se3 2 3 2 nn
ty
x y z ddte
zx y z d
dttt( ) + part
partminus +( ) sdot ( ) + part
partminus +( ) sdot minus( )3 2 3 2 4 33 2 2 3 2 2
s
= ( ) + minus( )( ) + sdot
= minus +
=
3 6 2 2 8
3 12 16
3
2 2
2 2
co t y e z t
t y e zt
t
tcos
coos
cos
t e e t t
t t t
t t
t
minus ( ) + minus( )= minus + minus
12 16 4 3
3 12 64 48
2 2 2 2
6 3
ou seja
ddfdt
t e t tt t= minus + minus+3 12 64 484 2 32cos
Exemplo 5A que taxa estaacute crescendo a aacuterea de um retacircngulo se seu comprimento eacute de
8 cm e estaacute crescendo a uma taxa de 05 cms enquanto que sua largura eacute de 6 cm e estaacute crescendo 02 cms
Resoluccedilatildeo
A aacuterea de um retacircngulo pode ser escrita como A (xy) = xy consideremos
x o comprimento e y a largura Atraveacutes do enunciado percebe-se que devemos
calcular dAdt
jaacute que as outras taxas dadas satildeo dx = 05dt
e dy = 02dt
O caacutelculo da
derivada deve ser feito para o ponto de coordenadas (8 6)
Como a aacuterea estaacute em funccedilatildeo de duas variaacuteveis x e y e estas por sua vez estatildeo relacionadas ao tempo atraveacutes da regra da cadeia temos
Calculamos as derivadas parciais para A (xy) = xy obtendo
partA = ypartx e
partA = xparty
Substituindo na regra da cadeia
dA = y middot 05 + x middot 02dt = 6 sdot 05 + 8 sdot 02 = 46
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
72
Dizer que dA = 46dt
cm2s significa que a aacuterea de um retacircngulo de dimensotildees
8x6 estaacute crescendo 46 cm2 a cada segundo
Exemplo 6Uma peccedila ciliacutendrica tem 12 cm de raio e 18 cm de altura Se o raio diminuir
agrave razatildeo de 002 cms e a altura aumentar agrave razatildeo de 003 cms entatildeo determine a taxa de variaccedilatildeo do volume em relaccedilatildeo ao tempo
ResoluccedilatildeoSejam r e h o raio e a altura de uma peccedila ciliacutendrica respectivamente e seja t
o tempo em segundos Podemos interpretar as taxas dadas como derivadas
drdt
dhdt
= minus =0 02 0 03 e + no instante em que r = 12 e h = 18
Queremos calcular dVdt
nesse instante Para isso usamos a foacutermula V (r h) = pr 2h do volume do cilindro para obter
dV =
partV dr +
partV dh dt partr dt parth dt
= 2prh dr + pr 2 dh dt dt
Substituindo os dados na regra da cadeia temos
dV = 2p12 18 (‒002) + p122 003dt = ‒864p + 432p = ‒432p
Portanto dV = ‒432pdt
cm3s significa que o volume de um cilindro de 12 cm de raio e 18 cm de altura estaacute diminuindo 432p cm3 a cada segundo
Teorema 122 (Regra da cadeia para derivadas parciais) Suponha que z = f (uv) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de u e v onde u = u (xy) e v = v (xy) satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis de x e de y Entatildeo z = f (u(xy)v(xy)) eacute uma funccedilatildeo de x e y e
Vamos construir um esquema denominado de diagrama da aacutervore para melhor compreensatildeo e execuccedilatildeo da regra da cadeia Proceda da seguinte forma
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
73
I) Trace um diagrama em aacutervore exprimindo as relaccedilotildees entre as variaacuteveis envolvidas
II) Para cada ramificaccedilatildeo da aacutervore determine a derivada parcial com relaccedilatildeo a estas variaacuteveis
III) Multiplique as derivadas determinadas em cada passo ao longo do caminhoIV) Some as contribuiccedilotildees de cada caminho
FIGURA 30 ndash DIAGRAMA DA AacuteRVORE PARA A REGRA DA CADEIA PARA DERIVADAS PARCIAIS
FONTE O autor
Exemplo 7Se z = f (uv) = eu cos v onde u = xy e v = x + y 2 determine
partz partx
e partz party
usando a regra da cadeia
Resoluccedilatildeo
partpart
=partpart
sdotpartpart
+partpart
sdotpartpart
zx
fu
ux
fv
vx
=partpart ( ) sdot partpart ( ) + part
part ( ) sdot partpart +( )
= sdot minus
ue v
xxy
ve v
xx y
e v y se
u u
u
cos cos
cos
2
nnv e
e y x y x y
u
xy
sdot
= +( ) minus +( )
cos
1
2 2sen
e
partpart
=partpart
sdotpartpart
+partpart
sdotpartpart
zy
fu
uy
fv
vy
Z
U V
yx yx
partpartzu
partpartzv
partpartux
partpartuy
partpartvx
partpartvy
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
74
Teorema 123 (Regra da cadeia generalizada) Suponha que w = f (u1 u2 un) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de n variaacuteveis u1 u2 un onde cada uj eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de m variaacuteveis x1 x2 xm Entatildeo w eacute uma funccedilatildeo de x1 x2 xm e
para cada i = 1 2 m
Exemplo 8Suponha que todas as funccedilotildees sejam diferenciaacuteveis w = f (x y z) x = x (r θ
γ) y = y (r θ γ) e z = z (r θ γ) Determine partw partr
partw partθ
e partw partγ
ResoluccedilatildeoAplicando o Teorema 123 temos
Exemplo 9Utilize a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais partz
parts e partz
partt para
as funccedilotildees z = x2 + xy + y2 x = s + t e y = st
ResoluccedilatildeoAplicando o Teorema 122 temos
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
75
3 DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
Vimos no estudo das funccedilotildees de uma variaacutevel (no Caderno de Estudos da disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral) que uma equaccedilatildeo do tipo F (xy) = 0 define y implicitamente como uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x ou seja y = f (x) Nesta seccedilatildeo vamos estudar a derivaccedilatildeo parcial de funccedilotildees dadas de forma impliacutecita Consideraremos duas situaccedilotildees especiacuteficas
Suponhamos que a funccedilatildeo y = f (x) seja definida implicitamente pela equaccedilatildeo
F (xy) = 0 Se f e F satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis e partpart
( )( ) neFyx f x 0 entatildeo podemos
encontrar a derivada dydx
derivando ambos os lados da equaccedilatildeo F (xy) = 0 em
relaccedilatildeo a x Usando a regra da cadeia temos
partpart
sdot +partpart
sdot =Fxdxdx
Fydydx
isin
Como partpart
( )( ) neFyx f x 0 e dx
dx= isin1 segue
A situaccedilatildeo colocada anteriormente pode ser escrita sob condiccedilatildeo da funccedilatildeo F estar definida em uma bola aberta conforme estamos tratando as funccedilotildees de duas variaacuteveis A seguir veremos como aplicar a derivada impliacutecita neste contexto
0
partpart
sdot = minuspartpart
sdot
=minuspartpartpartpart
Fydydx
Fxdxdx
dydx
FxFy
isin
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
76
Exemplo 10Supondo que a funccedilatildeo y = f (x) eacute definida implicitamente pela equaccedilatildeo
In (x2 y) + 2x3 = 4y determine sua derivada dydx
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo dada pode ser escrita da seguinte formaF (xy) = In (x2y) + 2x3 ‒ 4y = 0
Calculando as derivadas parciais temos
partF = 2xy + 6x2 = 2 + 6x2
partx x2 y x
e
partF = x2 ‒ 4 = 1 ‒ 4
party x2 y y
Aplicando a foacutermula do Teorema 131 obtemos
Se F eacute definida numa bola aberta contendo (ab) onde F (ab) = 0 partF = (ab) ne 0party
e partF partx
e partF party
satildeo funccedilotildees contiacutenuas nessa bola entatildeo a equaccedilatildeo F (xy) = 0 define y
como uma funccedilatildeo de x perto do ponto (ab) e a derivada dessa funccedilatildeo eacute dada pela
foacutermula obtida anteriormente
Essa relaccedilatildeo nos daacute um caminho mais simples para encontrar derivadas de funccedilotildees definidas implicitamente
Teorema 131 Suponha que F (xy) seja diferenciaacutevel e que a equaccedilatildeo F (xy) = 0 define y como uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x Entatildeo em qualquer ponto onde partF ne 0
party
TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA
77
Vamos ver como fica o Teorema da Funccedilatildeo Impliacutecita para funccedilotildees de duas variaacuteveis independentes
Suponhamos que a funccedilatildeo z = f (xy) seja dada implicitamente pela equaccedilatildeo F
(xyz) = 0 Se f e F satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis e partF (x y f (xy)) ne 0partz
podemos aplicar a
regra da cadeia para obter as partzpartx
e partzparty
Derivando os dois membros da equaccedilatildeo F
(xyz) = 0 em relaccedilatildeo a x temos
Mas part (x) = 1partx
e part (y) = 0partx
portanto
De modo semelhante obteacutem-se
Como no caso anterior estamos assumindo que a equaccedilatildeo F (xyz) = 0 define z implicitamente como funccedilatildeo de x e y Outra versatildeo do Teorema da Funccedilatildeo Impliacutecita fornece as condiccedilotildees para que a hipoacutetese seja vaacutelida
Teorema 132 Suponha que F (xyz) seja continuamente diferenciaacutevel e que
z = f (xy) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel que satisfaz a equaccedilatildeo F (xyz) = 0 Entatildeo em
qualquer ponto (xyz) onde partF ne 0partz
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
78
Exemplo 11Determine partz
partx e partz
party se x4 + y4 + z4 = 5xyz ‒ 2
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo x4 + y4 + z4 = 5xyz ‒ 2 pode ser escrita da seguinte forma F (xyz) = x4 + y4 + z4 ‒ 5xyz + 2 e esta funccedilatildeo eacute continuamente diferenciaacutevel
Vamos calcular as derivadas parciais de F
Entatildeo pelo Teorema 132 temos
Exemplo 12Suponha que a funccedilatildeo diferenciaacutevel z = f (xy) seja definida pela equaccedilatildeo
xy + zez = 0
Resoluccedilatildeo
79
RESUMO DO TOacutePICO 1
Neste toacutepico vocecirc viu que
bull Se a funccedilatildeo tiver mais de duas variaacuteveis representaremos por f (x1 x2 x3 xn) onde x1(t) x2(t) x3(t) xn(t) satildeo funccedilotildees de t entatildeo a sua derivada em relaccedilatildeo a ldquotrdquo eacute dada pela regra da cadeia
bull Se z = f (xy) eacute uma funccedilatildeo das variaacuteveis x e y que dependem de duas outras variaacuteveis digamos u e v Entatildeo
z = f (x(u v) y (u v)) eacute uma funccedilatildeo composta de u e v Dizemos que u e v satildeo as variaacuteveis independentes
bull Se w = f (u1 u2 un) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de n variaacuteveis u1 u2 un onde cada uj eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de m variaacuteveis x1 x2 xm Entatildeo w eacute uma funccedilatildeo de x1 x2 xm e
para cada i = 1 2 m
bull A derivada impliacutecita eacute usada para encontrar as derivadas parciais partzpartx
e partzparty
quando z estiver definida implicitamente por uma equaccedilatildeo F (x y z) = 0 Entatildeo em
qualquer ponto (x y z) onde partF ne 0partz
80
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre diferenciabilidade de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis
1 Considere as funccedilotildees f (xy) = 4y ‒ 3x2 x (t) = t3 ‒ 1 e y (t) = 1 ‒ t3
Calcule a funccedilatildeo composta z = f (x(t) y(t))
Encontre dzdt
usando a funccedilatildeo composta
Encontre dzdt
usando a regra da cadeia
2 Use a regra da cadeia para determinar partzpartx
e partzparty
sabendo que z = u 2 + v 2 u = x 2 ‒ y 2 e v = e2xy
3 Determine a derivada da funccedilatildeo impliacutecita f tal que y = f (x) estaacute definida pela equaccedilatildeo x4 ‒ y + 4xy3 ‒ 78 = 0
4 Se x3 ‒ xy + 4xz ‒ 5 = 0 calcular partzpartx
e partzparty
usando a regra de derivaccedilatildeo de funccedilatildeo impliacutecita
5 Mostre que a equaccedilatildeo F (xy) = x2y + sen y = 0 define implicitamente uma funccedilatildeo derivaacutevel y = f (x)
6 O raio da base de um cone circular reto estaacute aumentando a uma taxa de 3 cms e a altura estaacute diminuindo a uma taxa de 2 cms A que taxa estaacute variando o volume do cone no instante em que a altura eacute igual a 20 cm e o raio eacute igual a 14 cm
7 Um carro A estaacute viajando para o norte na rodovia 16 e um carro B estaacute viajando para o oeste na rodovia 83 Os dois carros se aproximam da interseccedilatildeo dessas rodovias Em certo momento o carro A estaacute a 03 km da interseccedilatildeo viajando a 90 kmh ao passo que o carro B estaacute a 04 km da interseccedilatildeo viajando a 80 kmh Qual a taxa de variaccedilatildeo da distacircncia entre os carros nesse instante
8 Determine partzpartx
e partzparty
se xyz3 = cos (x + y + z)
9 Determine partzpartx
e partzparty
se yz = In (x + z)
81
TOacutePICO 2
DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico vamos estender o conceito de diferenciabilidade de funccedilatildeo de uma variaacutevel agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis Esse conceito tem consequecircncias muito importantes no caacutelculo assim como nos problemas de otimizaccedilatildeo que estudaremos no proacuteximo toacutepico Tambeacutem seraacute estudado o vetor gradiente e as derivadas direcionais conceitos que possuem grande aplicabilidade nas engenharias
2 DIFERENCIABILIDADE
Vamos entatildeo introduzir o conceito de diferenciabilidade que entre outras propriedades garante a continuidade da funccedilatildeo Introduziremos este importante assunto por analogia com o conceito de diferenciabilidade de funccedilotildees de uma variaacutevel
Considere uma funccedilatildeo f de uma variaacutevel real Dizer que f eacute diferenciaacutevel
em x = x0 significa que o existe ou seja eacute um nuacutemero real Em
outras palavras f eacute diferenciaacutevel em x0 quando existe um nuacutemero real denotado
por f prime (x0) tal que
Podemos reescrever este limite da seguinte forma
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
82
que eacute equivalente a
Assim f eacute diferenciaacutevel em x0 se existir um nuacutemero real f prime (x0) tal que
Neste caso se uma funccedilatildeo eacute derivaacutevel num ponto ela eacute contiacutenua no ponto
Com isso temos condiccedilotildees de apresentar a definiccedilatildeo de diferenciabilidade de funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Definiccedilatildeo 221 Seja f A sub R2 rarr R uma funccedilatildeo definida no conjunto aberto A Dizemos que f eacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0) isin A se as derivadas parciais partf (x0 y0)partx
e partf (x0 y0)party existem e se
Quando f eacute diferenciaacutevel em todos os pontos de seu domiacutenio dizemos que f eacute diferenciaacutevel
Da Definiccedilatildeo 221 podemos destacar alguns pontos
bull Para provar que uma funccedilatildeo eacute diferenciaacutevel em (x0 y0) usando a definiccedilatildeo devemos mostrar que as derivadas parciais existem em (x0 y0) e aleacutem disso que o limite
bull Se uma das derivadas parciais natildeo existe no ponto (x0 y0) f natildeo eacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
83
bull Se o limite
for diferente de zero ou natildeo existir f natildeo seraacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0) mesmo se existirem as derivadas parciais nesse ponto
Exemplo 1Use a Definiccedilatildeo 221 para mostrar que f (xy) = 5x + 2y eacute diferenciaacutevel
ResoluccedilatildeoSeja (x0 y0) isin D (f ) = R 2 Para mostrar que f eacute diferenciaacutevel em (x0 y0) devemos
mostrar que partf (x0 y0)partx e partf (x0 y0)party
existem e que o limite da Definiccedilatildeo 121 eacute zero
A funccedilatildeo f tem derivadas parciais em (x0 y0) e satildeo dadas por partf (x0 y0) = 5partx
e partf (x0 y0) = 2party
Agora
Como (x0 y0) eacute um ponto qualquer em R 2 temos que f eacute diferenciaacutevel
Teorema 221 Se f eacute diferenciaacutevel em A sub R2 entatildeo f eacute contiacutenua em cada ponto de A
Exemplo 2
Verifique se a funccedilatildeo f (x y) = eacute contiacutenua no ponto (33)
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
84
ResoluccedilatildeoPrecisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341
(Unidade 1)
(i) f (33) = 5 pois x = y
(ii) portanto este limite
natildeo existe
Como concluiacutemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no
ponto (33) Mostramos que f eacute descontiacutenua no ponto (33) portanto pelo Teorema 221 f natildeo eacute diferenciaacutevel em (33)
Nem sempre eacute faacutecil usar a Definiccedilatildeo 221 para verificar a diferenciabilidade de uma funccedilatildeo O teorema a seguir fornece uma condiccedilatildeo suficiente para que uma funccedilatildeo seja diferenciaacutevel
Teorema 222 Se as derivadas parciais partf partx
e partf party
existem em algum conjunto
aberto A contendo (x0 y0) e satildeo contiacutenuas em (x0 y0) entatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em (x0 y0)
Exemplo 3Mostre que a funccedilatildeo f (xy) = cos (xy) eacute diferenciaacutevel em todo R2
ResoluccedilatildeoPara mostrar que f eacute diferenciaacutevel aplicaremos o Teorema 222 Para isso
calcularemos as derivadas parciais
partf partx
= ‒y sen(xy) e partf party
= ‒x sen(xy)
Temos que as derivadas parciais satildeo contiacutenuas em todo ponto (xy) isin R2
Logo pelo Teorema 222 a funccedilatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em todo ponto de R2
Exemplo 4Os polinocircmios (funccedilotildees polinomiais) em vaacuterias variaacuteveis satildeo claramente
diferenciaacuteveis em todo ponto de Rn
Exemplo 5Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = x2 ‒ 3y2 eacute diferenciaacutevel em R2
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
85
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo f tem derivadas parciais em todos os pontos de R2 e satildeo dadas
por partf partx
= 2x e partf party
= ‒6y
As derivadas parciais satildeo contiacutenuas pois satildeo funccedilotildees polinomiais
Portanto f eacute diferenciaacutevel em R2
Exemplo 6Verifique se a funccedilatildeo g (xy) = ex+y eacute diferenciaacutevel em R2
ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo g tem derivadas parciais em todos os pontos de R2 Estas satildeo
dadas por partg partx
= ex+y e partg party
= ex+y
Daiacute segue que as funccedilotildees derivadas parciais satildeo contiacutenuas em R2
Portanto g eacute diferenciaacutevel em R2
3 DIFERENCIAL
Suponha que saibamos o valor de uma funccedilatildeo derivaacutevel em um ponto (x0y0) e que desejamos prever a variaccedilatildeo que esse valor sofreraacute se formos para um ponto x0 + dx Como os valores da reta satildeo mais simples de calcular o caacutelculo da variaccedilatildeo da reta nos oferece um modo praacutetico de estimar a variaccedilatildeo em f conforme podemos observar na Figura 31
FIGURA 31 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DA DIFERENCIAL DA FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwslidesharenetrafaelmmoreiraunifei-clculo-1-exerccios-aula-25gt Acesso em 23 jun 2011
y
y₀ + ∆y
y₀
0 x
A
α
x₀
dxα
C
B
∆y
∆x x₀ + ∆x
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
86
Dessa definiccedilatildeo decorre que ∆y representa a variaccedilatildeo da altura da curva y = f (x)
Nesta seccedilatildeo vamos definir a diferencial de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis z = f (xy) e veremos que esta representa uma boa aproximaccedilatildeo para o acreacutescimo da variaacutevel z quando os acreacutescimos das variaacuteveis independentes satildeo pequenos
Se z = f (xy) entatildeo o incremento (aumento ou diminuiccedilatildeo) de z eacute ∆z = f (x + ∆x y + ∆y) ‒ f (xy)
Definiccedilatildeo 231 Seja z = f (xy) uma funccedilatildeo diferenciaacutevel A diferencial de f denotada por df ou dz eacute dada por dz = partz
partx dx + partz
party dy onde dx e dy satildeo as
diferenciais das variaacuteveis independentes x e y respectivamente
A diferencial dz tambeacutem eacute chamada de diferencial total de f (xy) a mesma que estudamos no toacutepico anterior
Se nos movermos de (x0y0) para um ponto (x0 + ∆x y0 + ∆y) proacuteximo a variaccedilatildeo resultante eacute dada por df (x0y0) = partf
partx (x0y0) dx + partf
party (x0y0) dy
Exemplo 7Calcule a diferencial dz da funccedilatildeo z = 4x2y3 ‒ 3y2 + 6
ResoluccedilatildeoPara calcular a diferencial de z temos primeiro que calcular as derivadas
parciais partz partx
= 8xy3 e partz party
= 12x2y2 ‒ 6y
Pela Definiccedilatildeo 231 temos
dz = partz partx
dx + partz party
dy
dz = 8xy3 dx + (12x2y2 ‒ 6y) dy
Exemplo 8Calcule a diferencial de f (xy) = x2 + y2 no ponto (12)
ResoluccedilatildeoA diferencial de f no ponto (12) eacute dada por
dz = partf partx
(12) dx + partf party
(12) dy
Como partf partx
(12) = 2 e partf party
(12) = 4 temos
dz = 2dx + 4dy
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
87
Podemos estimar a variaccedilatildeo com diferenciais Suponha que conheccedilamos os valores de uma funccedilatildeo diferenciaacutevel f (xy) e suas derivadas parciais em um ponto (x0y0) e queiramos predizer quanto o valor de f variaraacute se nos movermos para um ponto (x0 + ∆x y0 + ∆y) proacuteximo Em outras palavras podemos estimar a variaccedilatildeo ∆z de z pelo valor do diferencial dz em que dx eacute a variaccedilatildeo em x e dy eacute a variaccedilatildeo em y
Exemplo 9Considere a funccedilatildeo z = 7x + 3y2
a) Determine a diferencial total dzb) Calcule ∆z e dz se x variar de 2 para 205 e y variar de 1 para 098 Compare os
valores de ∆z e dz
Resoluccedilatildeoa) Da Definiccedilatildeo 231 temos a diferencial total
dz = partf partx dx +
partf party dy
dz = 7dx + 6y dy
b) O ponto (x0y0) = (21) dx = ∆x = 005 e dy = ∆y = ‒ 002O incremento de z eacute ∆z = f (205 098) ‒ f (21)∆z = 7 (205) + 3 (098)2 ‒ (7 2 + 3 12) = 02312e a diferencial total eacute dz = 7(005) + 6 1(‒002) = 023
Portanto observe que ∆z asymp dz
Exemplo 10O raio e a altura de um cilindro satildeo medidos com 3 m e 8 m respectivamente
com possiacuteveis erros de 005 m Use diferenciais para calcular o erro maacuteximo no caacutelculo do volume
ResoluccedilatildeoPrimeiro recordamos a foacutermula do caacutelculo do volume de um cilindroV = p r 2 h
Para estimarmos a variaccedilatildeo de V calculamos
dV (r0h0) = partV partr (r0h0) dr +
partV parth (r0h0) dh
dV = 2p r0 h0 dr + p r02 dh
= 2p 3 8 005 + p 32 005 = 24p + 045p = 285p asymp 895 m3
Portanto o erro de 005 m nas medidas do raio e da altura pode nos levar a um erro de 895 m3
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
88
Exemplo 11Ao redor do ponto (10) f (xy) = x2 (y + 1) eacute mais sensiacutevel a variaccedilotildees em x ou y
ResoluccedilatildeoPrimeiro vamos entender o que o enunciado estaacute nos pedindo Querer
saber sobre a sensibilidade agrave variaccedilatildeo eacute o mesmo que pedir para estimar a variaccedilatildeo da funccedilatildeo no ponto Assim vamos calcular a diferencial de f
dz = partf partx (10) dx +
partf party (10) dy
Para facilitar o caacutelculo das derivadas parciais escrevemos f (xy) = x2y + x2 daiacute seguepartf partx = 2xy + 2x e
partf party = x2
partf partx (10) = 2 e
partf party (10) = 1
Entatildeo temos o caacutelculo da variaccedilatildeo da funccedilatildeo causada por pequenas variaccedilotildees dx e dy
dz = 2dx + 1dy
Portanto uma variaccedilatildeo de x em uma unidade variaraacute f em cerca de 2 unidades e uma variaccedilatildeo de y em uma unidade variaraacute f em cerca de 1 unidade A funccedilatildeo eacute 2 vezes mais sensiacutevel a uma pequena variaccedilatildeo de x que a uma pequena variaccedilatildeo de tamanho igual a de y
Exemplo 12O comprimento e a largura de um retacircngulo satildeo medidos com erros de
no maacuteximo 3 e 5 respectivamente Use diferenciais para aproximar o erro percentual maacuteximo na aacuterea calculada
ResoluccedilatildeoA aacuterea do retacircngulo dado por x de comprimento e y de largura eacute a funccedilatildeo
A(xy) = xy
Temos partpart
=partpart
=Ax
y Ay
x e
Cada erro eacute de no maacuteximo 3 e 5 isto eacute |∆x| le 003x e |∆y| le 005y Para achar o erro maacuteximo na aacuterea tomamos o maior erro nas medidas de x e y Daiacute tomamos dx = 003x e dy = 005y
Calculando a diferencial obtemos
dz zx
dx zy
dy=partpart
+partpart
sdot sdot sdot sdot
sdot
= y x 003 + x y 005 = 008 xy
dz = A 0 0 88
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
89
Estimamos que o erro percentual maacuteximo em A eacute de 8
4 GRADIENTE
Vimos nas seccedilotildees anteriores que as derivadas parciais nos fornecem taxas de variaccedilatildeo de uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis e que estas taxas dependem da escolha da direccedilatildeo e sentido da variaccedilatildeo Como essas variaccedilotildees satildeo indicadas por vetores eacute natural usar vetores para descrever a derivada de f numa direccedilatildeo e sentido especiacuteficos Nesta seccedilatildeo vamos definir o gradiente de uma funccedilatildeo que aparece em diversas aplicaccedilotildees matemaacuteticas
Definiccedilatildeo 241 Seja z = f (xy) uma funccedilatildeo que admite derivadas parciais no ponto (x0y0) O gradiente de f no ponto (x0y0) denotado por ∆f (x0y0) eacute um vetor cujos componentes satildeo as derivadas de f nesse ponto ou seja
∆f (x0y0) = partf partx (x0y0)
partf party (x0y0) =
partf partx (x0y0) i +
partf party (x0y0) j
O gradiente
∆
f associa um vetor
∆
f (x0y
0) a cada ponto (x
0y
0) do domiacutenio de f
Usamos a notaccedilatildeo ab para o par ordenado que se refere a um vetor para natildeo confundir
com o par ordenado (ab) que corresponde a um ponto no plano
Ao representar vetores com a notaccedilatildeo
v = ai + bj lembramos que i e
j
representam os vetores canocircnicos ou seja vetores no R2 onde suas respectivas coordenadas
satildeo dadas por
i = 10 e
j = 01
NOTA
NOTA
Quando trabalhamos com um ponto geneacuterico (xy) escrevemos
∆f (xy) = partf partx
partf party =
partf partx i +
partf party j
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
90
O siacutembolo ∆f eacute lido como ldquogradiente de frdquo
O siacutembolo
∆
denominado ldquodelrdquo eacute um delta grego maiuacutesculo invertido O uso de
∆
para o gradiente foi popularizado pelo fiacutesico escocecircs P G Tait (1831 ndash 1901) que o denominava ldquonablardquo Em hebraico nabla significa harpa e se refere agrave semelhanccedila de um
∆
com uma harpa antiga de dez cordas O grande fiacutesico James Clerk Maxwell relutou em adotar essa notaccedilatildeo e chamava o gradiente de ldquoinclinaccedilatildeordquo Em 1871 escreveu ao seu amigo Tait provocando ldquoAinda harpejando naquela nablardquo (ROGAWKI 2009 p 809)
Em seguida estendemos a definiccedilatildeo de gradiente para funccedilotildees com n variaacuteveis
Definiccedilatildeo 242 Sejam A sub Rn aberto p = (x1 x2 xn) isin A e f A rarr R uma funccedilatildeo tal que as derivadas parciais existem em p O gradiente de f no ponto p eacute o vetor do Rn denotado por ∆f (p) e definido por
∆f (p) = partf
partx1 (p)
partf partx2
(p) partf
partxn (p)
Exemplo 13Determine o gradiente da funccedilatildeo f (xy) = 3x2 ‒ 2xy + 5y
ResoluccedilatildeoPrimeiro precisamos calcular as derivadas parciais de f
partf partx = 6x ‒ 2y e
partf party
= ‒ 2x + 5
Em seguida escrevemos o vetor gradiente de acordo com a Definiccedilatildeo 241 ∆f (xy) = 6x ‒ 2y ‒ 2x + 5
Exemplo 14Calcule o gradiente da funccedilatildeo f (xy) = 3x2y ‒ x⅔ y2 no ponto (13)
ResoluccedilatildeoFaremos o mesmo que no Exemplo 11 acrescentando apenas o caacutelculo do
vetor no ponto (13)partf partx
= 6xy ‒ 2 3
x -⅓ y2 e partf party
= 3x2 ‒ 2x ⅔y
Entatildeo ∆f = 6xy ‒ 2 3
x -⅓ y2 3x2 ‒ 2x ⅔y
Agora no ponto ∆f (13)
∆f (13) = 6 sdot 1 sdot 3 ‒ 2 3
sdot 1 -⅓ sdot 32 3 sdot 12 ‒ 2 sdot 1 ⅔ sdot 3 = 12 ‒3 Portanto o gradiente de f no ponto (13) eacute o vetor ∆f (13) = 12 ‒3
Exemplo 15Determine o gradiente da funccedilatildeo g(xyz) = xyz2 em um ponto (xyz)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
91
FIGURA 32 ndash VETORES GRADIENTES DE f (xy) = 1 6
(x2 + y3)
FONTE Disponiacutevel em lthttpptscribdcomdoc5885209818Gradiente-Curva-de-NC2B4C4B1vel-SuperfC2B4C4B1cie-de-NC2B4C4B1velgt Acesso em 5 set 2011
ResoluccedilatildeoTemos
partg partx = yz2
partg party = xz2 e
partg partz = 2xyz
Entatildeo ∆g (xyz) = yz2 xz2 2xyz
Exemplo 16Encontre o gradiente de f(xy) = 1
6 (x2 + y3) em (0 ‒2) e esboce alguns vetores gradientes
Resoluccedilatildeo
As derivadas parciais satildeo partpart
=partpart
=fx
x fy
y26
36
2
e
∆f (xy) = 1 3 x i +
1 2 y2 j
Para construir o graacutefico formado pelos vetores gradientes procedemos da seguinte forma escolhemos um ponto por exemplo (x0y0) O ponto (x0y0) eacute o iniacutecio do vetor e o vetor gradiente ∆f (x0y0) = ab fornece o representante do vetor que iraacute no ponto (ab) Lembramos que um vetor de componentes ab tem iniacutecio na origem do plano e extremidade no ponto (a b) Quando desejamos graficar um vetor fora da origem usamos um representante do vetor ab Em seguida eacute mostrado como representar graficamente o vetor gradiente no ponto (0 ‒ 2) Temos
∆f (0‒ 2) = 2 j isto eacute o vetor 02 ndash tem origem no ponto (0 0) e extremidade no ponto (0 2) Conforme podemos ver na Figura 32
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
92
Do graacutefico construiacutedo no Exemplo 16 eacute possiacutevel pensar num campo de vetores gradiente de uma funccedilatildeo que podem ser representados geometricamente por um conjunto de vetores que fornece em cada ponto distinto do plano o vetor gradiente da funccedilatildeo
Como vimos o gradiente eacute um vetor Talvez vocecirc esteja agora se perguntando e se calcularmos || ∆f (xy)|| (norma do vetor gradiente) a que isso corresponde Vamos responder resolvendo o Exemplo 17
Exemplo 17Encontre o gradiente de f (xy) = x2 ‒ y2 e esboce alguns vetores gradientes
ResoluccedilatildeoAs derivadas parciais satildeo
partf partx = 2x e
partf party = ‒2y
Entatildeo ∆f = 2x i ‒ 2y j
Vamos calcular alguns vetores gradiente em pontos especiacuteficos e suas normas
(xy) ∆f (xy) || ∆f (xy)||
(00) (00) ₀
(10) (20) ₂
(x0) (2x0) ₂x
(0y) (0‒2y) ₂y
(11) (2‒2) ₂radic 2(xy) (2x‒2y) 2||(xy)||
Interpretando a coluna da direita percebe-se que agrave medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradiente aumenta ficando igual a duas vezes a distacircncia do ponto agrave origem
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
93
FIGURA 33 ndash GRAacuteFICO DOS VETORES GRADIENTES E DAS CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = x2 ndash y2
FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwimeuerjbr~calculoLivroIIIcampospdfgt Acesso em 5 set 2011
Teorema 241 Suponha que z = f (xy) seja diferenciaacutevel numa bola aberta centrada em P0 (x0y0) e que ∆f (x0y0) ne 0
i) Entatildeo ∆f (x0y0) eacute normal agrave curva de niacutevel passando por P0 (x0y0)
ii) A taxa maacutexima de crescimento de γ no ponto P0 (x0y0) ocorre na direccedilatildeo e no sentido do gradiente Analogamente a taxa miacutenima de crescimento de γ no ponto P0 (x0y0) ocorre na direccedilatildeo contraacuteria a do gradiente
Lembramos que um vetor eacute normal agrave curva se o vetor eacute perpendicular
O gradiente de γ no ponto P0(x
0y
0) aponta na direccedilatildeo de maior variaccedilatildeo da
funccedilatildeo numa vizinhanccedila do ponto
NOTA
NOTA
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
94
A figura a seguir ilustra o Teorema 241
FIGURA 34 ndash VETOR GRADIENTE NORMAL Agrave CURVA DE NIacuteVEL
FONTE O autor
Exemplo 18O potencial eleacutetrico V em (xyz) eacute dado por V = x2 + 4y 2 + 9z2 Ache a direccedilatildeo
e a taxa maacutexima de variaccedilatildeo de V em (3‒21)
ResoluccedilatildeoDe acordo com o Teorema 251 a direccedilatildeo onde ocorre a taxa maacutexima de
variaccedilatildeo eacute dada pelo vetor gradiente EntatildeopartV partx
= 2x partV party = 8y e partV
partz = 18z
Assim ∆V = 2x 8y 18z
Calculando o gradiente no ponto (3‒21) obtemos∆V (3‒21) = 6 ‒16 18 que nos indica a direccedilatildeo de crescimento do potencial eleacutetrico
E a taxa de variaccedilatildeo do gradiente eacute dada pela sua norma
nabla ( ) = partpart
+
partpart
+
partpart
nabla minus( ) =
V x y zx
Vy
Vz
V
V
2 2 2
3 2 1 66 18 616
3 2 1 24 8
2 2+ minus( ) + =
nabla minus( ) asymp16
2
V
y
x
γ
P₀ (x₀ y₀)
∆f(P₀)
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
95
5 DERIVADAS DIRECIONAIS
Caro acadecircmico Jaacute estudamos as derivadas parciais que nos fornecem a variaccedilatildeo da funccedilatildeo em duas direccedilotildees diferentes na direccedilatildeo do eixo x atraveacutes de partf partx
(x0y0) e na direccedilatildeo do eixo y atraveacutes de partf party
(x0y0) Nesta seccedilatildeo veremos como
utilizar a derivada para determinar a inclinaccedilatildeo em qualquer direccedilatildeo para isto definiremos um novo tipo de derivada chamada direcional
Suponha que uma funccedilatildeo f (xy) seja definida em uma regiatildeo R no plano xy que P(x0y0) seja um ponto em R e que u = u1i + u2j
seja um versor Entatildeo as equaccedilotildees
x = x0 + su1 e y = y0 + su2
parametrizam a reta que passa por P paralelamente a u Se o paracircmetro s mede o comprimento de arco de P na direccedilatildeo de u encontramos a taxa de variaccedilatildeo de f em P na direccedilatildeo de u calculando df
ds em P (Figura 7)
Lembramos que versor eacute um vetor unitaacuterio ou seja um vetor cuja norma eacute 1
Definiccedilatildeo 251 A derivada de f em P(x0y0) na direccedilatildeo do versor u = u1i + u2j
eacute o nuacutemero
desde que o limite exista
Portanto o gradiente ∆V (3‒21) = 6 ‒16 18 nos daacute a direccedilatildeo onde a taxa de variaccedilatildeo eacute maacutexima || ∆V (3‒21)|| asymp 248
NOTA
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
96
FIGURA 35 ndash A TAXA DE VARIACcedilAtildeO DE f EM P NA DIRECcedilAtildeO DE u
FONTE O autor
Quando u = i a derivada direcional em P eacute partf partx
calculada em (x0y0) Quando
u = j a derivada direcional em P eacute partf party
calculada em (x0y0) A derivada direcional
generaliza as duas derivadas parciais Entatildeo assim eacute possiacutevel encontrar a taxa de
variaccedilatildeo de f em qualquer direccedilatildeo u
Teorema 251 Se f (xy) for diferenciaacutevel em P (x0y0) entatildeo
eacute o produto escalar do gradiente de f em P e u
A expressatildeo do Teorema 251 por ser escrita como
Em seguida apresentaremos a definiccedilatildeo de derivada direcional para uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis fazendo uma extensatildeo da Definiccedilatildeo 251
TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE
97
Definiccedilatildeo 252 Sejam A cap Rn aberto P (x1 x2 xn) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo e u um vetor unitaacuterio em Rn A derivada direcional de f no ponto (x1 x2 xn) e na direccedilatildeo do versor u eacute denotada por
Esta definiccedilatildeo generaliza o conceito de derivada parcial isto eacute as derivadas parciais de uma funccedilatildeo podem ser obtidas como casos particulares das derivadas direcionais
Exemplo 19Calcule a derivada direcional da funccedilatildeo f (xy) = x3y + 2y 2 no ponto (1‒2) na
direccedilatildeo do vetor v = 4i + 3j
ResoluccedilatildeoNote que v natildeo eacute um versor (vetor unitaacuterio) e a Definiccedilatildeo 251 pede que o
vetor direccedilatildeo seja unitaacuterio Assim vamos primeiro calcular o vetor unitaacuterio u na direccedilatildeo de v
Agora calculamos o vetor gradiente de f no ponto (1‒2)
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
98
Portanto pelo Teorema 251 temos
partpart
minus( ) = nabla minus( ) sdot
minus minus sdot
f 2 f
u u
=(
1 1 2
6 8 45
3
) 55
6 4 8 35
=minus sdot + minus( ) sdot
= minus485
A derivada direcional partf partu
(1‒2) representa a taxa de variaccedilatildeo de z na
direccedilatildeo de u Isto eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva obtida pela interseccedilatildeo da
superfiacutecie f (xy) = x3y + 2y 2 e o plano vertical que passa por (1‒20) na direccedilatildeo de u
99
RESUMO DO TOacutePICO 2
Neste toacutepico vocecirc viu
bull O conceito de diferenciabilidade atraveacutes do caacutelculo de limite
bull Destacamos o Teorema 221 Se f eacute diferenciaacutevel em A cap R2 entatildeo f eacute contiacutenua em cada ponto de A
bull Outro resultado importante Teorema 222 Se as derivadas parciais partf partx
e partf party
existe em algum conjunto aberto A contendo (x0y0) e satildeo contiacutenuas em (x0y0)
entatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em (x0y0)
bull A aplicaccedilatildeo da diferencial e como se calcula a diferencial de f denotada por df
ou dz eacute dada por dz = partz partx dx +
partz party dy
bull O gradiente de uma funccedilatildeo f eacute o vetor das derivadas parciais
bull Geometricamente o vetor gradiente eacute normal agrave curva de niacutevel de f (xy) por P
bull A derivada direcional Se f (xy) for diferenciaacutevel em P (x0y0) entatildeo
o produto escalar do gradiente de f em P e u
100
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre diferenciabilidade e gradiente
Mostre que as funccedilotildees a seguir satildeo diferenciaacuteveis em R2
1 f (xy) = 3x2y + 4xy 2
2 f (xy) = x2 ‒ 7xy + 2xy 2
3 f (xy) = sen (xy 2)
4 Se z = x2 ‒ xy + 3y2 e (xy) varia de (3 ‒1) a (296 ‒095) compare os valores de dz e ∆z
5 O comprimento e a largura de um retacircngulo foram medidos como 30 cm e 24 cm respectivamente com um erro de medida de no maacuteximo 01 cm Utilize a diferencial para estimar o erro maacuteximo cometido no caacutelculo da aacuterea do retacircngulo
6 O periacuteodo T de um pecircndulo simples com uma pequena oscilaccedilatildeo eacute calculado
da foacutermula T = 2p L
g radic onde L eacute o comprimento do pecircndulo e g eacute a aceleraccedilatildeo
da gravidade Suponha que os valores de L e g tenham erros de no maacuteximo 005 e 001 respectivamente Use diferencias para aproximar o erro percentual maacuteximo no valor calculado de T
7 O raio de um cilindro circular reto eacute medido com um erro de no maacuteximo 2 e altura eacute medida com um erro de no maacuteximo 4 Qual o erro percentual maacuteximo possiacutevel no volume calculado
Nas questotildees de 8 a 10 determine o vetor gradiente das seguintes funccedilotildees nos pontos indicados
8 z = x2y + 3xy + y2 P (03)
9 f (xy) = xy ‒ sen (x + y) P = p
2 0
10 f (xyz) = xy + xz + yz P (‒135)
101
11 Se T (xy) = 10xy
x2 + 4y 2 + 4 eacute a temperatura em graus Celsius sobre uma
lacircmina metaacutelica x e y medidos em cm determine a direccedilatildeo de crescimento maacuteximo de T a partir do ponto (11) e a taxa maacutexima de crescimento de T nesse ponto
102
103
TOacutePICO 3
MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES
DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EXTREMOS LOCAIS
Uma aplicaccedilatildeo importante de caacutelculo diferencial de vaacuterias variaacuteveis eacute a da otimizaccedilatildeo de funccedilotildees Otimizar uma funccedilatildeo significa encontrar seu desempenho maacuteximo ou miacutenimo No Caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral vocecirc jaacute estudou como encontrar os maacuteximos e miacutenimos de funccedilotildees de uma variaacutevel Quando as derivadas primeiras forem nulas temos pontos extremos que podem ser maacuteximos ou miacutenimos
Vamos fazer algo parecido neste toacutepico para as funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Veremos como usar as derivadas parciais para localizar os pontos de maacuteximo e miacutenimo de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Suponha que um fabricante produza dois modelos de um determinado produto o modelo de luxo e o modelo padratildeo e que o custo total para produzir x unidades do modelo de luxo e y unidades do modelo padratildeo seja dado pela funccedilatildeo C (x y) Como determinar o niacutevel de produccedilatildeo x = a e y = b para o qual o custo eacute miacutenimo
Iniciaremos definindo os extremos locais que satildeo chamados de maacuteximos e miacutenimos de uma funccedilatildeo
Definiccedilatildeo 321 Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo
i) P (x0 y0) eacute um ponto de maacuteximo local de f se f (x y) le f (x0 y0) para todo (x y) numa vizinhanccedila de (x0 y0)
ii) P (x0 y0) eacute um ponto de miacutenimo local de f se f (x y) ge f (x0 y0) para todo (x y) numa vizinhanccedila de (x0 y0)
Definiccedilatildeo 322 Dizemos que um ponto P (x0 y0) do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (x y) eacute um ponto criacutetico (ou estacionaacuterio) se
104
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
i) partf partx
(x0 y0) = 0 e partf party
(x0 y0) = 0 ou
ii) pelo menos uma das derivadas parciais partf partx
(x0 y0) partf party
(x0 y0) natildeo existe
O teorema a seguir nos diz que os extremos locais ocorrem em pontos criacuteticos assim como acontece em funccedilatildeo de uma variaacutevel
Teorema 321 Se f (x y) tem um miacutenimo ou maacuteximo local em (x0 y0) entatildeo (x0 y0) eacute um ponto criacutetico de f (x y)
Geometricamente um ponto eacute ponto criacutetico de uma funccedilatildeo quando o graacutefico da funccedilatildeo nesse ponto natildeo tem plano tangente ou o plano tangente eacute horizontal
Vamos ver no exemplo a seguir como encontrar os pontos criacuteticos de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis
Exemplo 1Encontre os pontos criacuteticos da funccedilatildeo f (x y) = 9x3 +
y3 3 ‒ 4xy
ResoluccedilatildeoQueremos encontrar os pontos criacuteticos da funccedilatildeo f (x y) = 9x3 +
y3 3 ‒ 4xy
Aplicando a Definiccedilatildeo 322 devemos igualar as derivadas parciais a zero
Calculando as derivadas parciais temos partf partx
= 27x2 ‒ 4y e partf party
= y2 ‒ 4x
Igualando as derivadas parciais a zero e resolvendo as equaccedilotildees obtemos
27 4 04 0
2
2
x yy x
minus =
minus =
Isola-se x na segunda equaccedilatildeo x = y2 4 e substitui na primeira equaccedilatildeo
27 4 0
274
4 0
27 64 0
27 64 0
0
2
2 2
4
3
x y
y y
y y
y y
y
minus =
minus =
minus =
minus( ) == ou 277y
e y
3
3
2 1
64 0642743
0
minus =
=
= =
y
y
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
105
Substituiacutemos os valores de y na segunda equaccedilatildeo
x = y2 4 x =
y2 4
x1 = 02 4 x2 =
43
2
4
x1 = 0 x2 = 4 9
Portanto (00) e 4 9
4 3
satildeo os pontos criacuteticos de f (x y)
Lembre-se de que jaacute estudamos gradiente de uma funccedilatildeo
∆f (xy) em que
∆f (xy) = partf partx
partf party Entatildeo na Definiccedilatildeo 322 poderiacuteamos dizer que P (x
0y
0) eacute um ponto
criacutetico se
∆
f (x0y
0) = 0 ou se
∆
f (xy) natildeo existe
Exemplo 2Mostre que f (xy) = x2 + y2 ‒ xy + x tem um ponto criacutetico
ResoluccedilatildeoSegundo a Definiccedilatildeo 322 devemos igualar as derivadas parciais a zero
para encontrar os pontos criacuteticos se existem
As derivadas parciais satildeo partf partx
= 2x ‒ y + 1 e partf party
= ‒ x + 2y Entatildeo igualando
as derivadas parciais a zero e resolvendo o par de equaccedilotildees temos
2x ‒ y + 1 = 0‒ x + 2y = 0
NOTA
106
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
agora resolvemos o sistema pelo meacutetodo da adiccedilatildeo
y = ‒ 1 3
Assim x = ‒ 2 3 e y = ‒ 1
3 Existe apenas um ponto criacutetico P ‒ 2 3 ‒ 1
3
Para sabermos se este ponto criacutetico eacute um ponto maacuteximo ou miacutenimo da funccedilatildeo podemos aplicar a Definiccedilatildeo 321 o que pode ser complicado em algumas situaccedilotildees Poreacutem podemos usar o recurso graacutefico tanto da superfiacutecie como das curvas de niacutevel (mapa de contornos) atraveacutes de um software computacional como veremos na Figura 37
FIGURA 36 ndash GRAacuteFICO DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = x2 + y2 ndash xy + x
FIGURA 37 ndash MAPA DE CONTORNOS DE f (xy) = x2 + y2 ndash xy + x
FONTE O autor
FONTE O autor
80
60
40
20
04
20ndash 2
ndash 44 2 0 ndash 2 ndash 4
x
y
4 2 0 ndash 2 ndash 4
0
2
4
ndash 2
ndash 4
y
x
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
107
Pelo graacutefico da funccedilatildeo (Figura 36) eacute possiacutevel dizer que o ponto P
‒ 2 3 ‒ 1
3 eacute miacutenimo local e na Figura 37 as curvas de niacutevel satildeo curvas fechadas
que circundam o ponto P indicando assim um extremo local
Acabamos de ver que eacute possiacutevel determinar o tipo de ponto criacutetico a partir do mapa de contorno entatildeo podemos classificar os pontos criacuteticos atraveacutes das seguintes caracteriacutesticas graacuteficas
i) se P (x0 y0) eacute um miacutenimo local entatildeo as curvas de niacutevel proacuteximas de P satildeo curvas fechadas que circundam P e o mapa de contornos mostra que f (x y) cresce em todas as direccedilotildees a partir de P (Figura 37)
ii) se P (x0 y0) eacute um maacuteximo local entatildeo as curvas de niacutevel proacuteximas de P satildeo curvas fechadas que circundam P e o mapa de contornos mostra que f (x y) decresce em todas as direccedilotildees a partir de P
iii) se P (x0 y0) eacute um ponto de sela entatildeo as curvas de niacutevel de f (x y) que passam por P consistem em duas retas que se intersectam e dividem a vizinhanccedila de P em quatro regiotildees O mapa de contornos mostra que f (x y) eacute decrescente na direccedilatildeo x e crescente na direccedilatildeo y (Figura 38)
iv) se P (x0 y0) eacute um ponto de sela ndash outra situaccedilatildeo entatildeo as curvas de niacutevel em (x0 y0) tem uma forma padratildeo ldquonuacutemero oitordquo (Figura 39)
FIGURA 38 ndash MAPA DE CONTORNOS DESTACANDO O PONTO DE SELA
FIGURA 39 ndash MAPA DE CONTORNOS ndash PONTO DE SELA PADRAtildeO ldquoNUacuteMERO OITOrdquo
FONTE O autor
FONTE O autor
4
2
0
ndash2
ndash 4
y
4 2 0 ndash 2 ndash 4x
2
2
1
0
ndash 1
ndash2
0 1ndash 1ndash 2x
y
2
108
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Segue da Definiccedilatildeo 322 e do Teorema 321 que os extremos relativos ocorrem nos pontos criacuteticos Contudo uma funccedilatildeo natildeo precisa ter um extremo relativo em cada ponto criacutetico isto quer dizer que um ponto criacutetico nem sempre eacute um ponto extremante Um ponto criacutetico que natildeo eacute um maacuteximo relativo nem um miacutenimo relativo eacute chamado de ponto de sela
Nas funccedilotildees de duas variaacuteveis natildeo temos pontos de inflexatildeo como em funccedilotildees de uma variaacutevel Podemos ter um ponto de sela quando numa direccedilatildeo a funccedilatildeo atinge um maacuteximo num ponto e em outra direccedilatildeo um miacutenimo no mesmo ponto O nome se daacute pela semelhanccedila com uma sela de cavalo maacuteximo na direccedilatildeo das pernas do cavaleiro (transversal ao cavalo ) e miacutenimo na direccedilatildeo longitudinal (dorso) do cavalo
Em seguida vamos estudar um meacutetodo que permite classificar os pontos criacuteticos com criteacuterios bem definidos Mas antes definiremos a hessiana
Definiccedilatildeo 323 Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo de classe C2 A matriz hessiana de f representada por H(f) eacute dada por
Exemplo 3Seja f (xy) = 3x2 + y2 Calcule a matriz hessiana de f no ponto (00)
ResoluccedilatildeoPela Definiccedilatildeo 323 calculamos as derivadas parciais no ponto dado
partf partx
= 6x partf party
= 2y part2f partx2
= 6 part2f partxparty
= 0 part2f partypartx
= 0 e part2f party2
= 2
Portanto H (00) = 6 00 2
eacute a matriz hessiana de f no ponto (00)
Teorema 322 (Teste da segunda derivada) Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo de classe C2 Suponhamos que P (x0 y0) seja um ponto criacutetico da funccedilatildeo f
NOTA
H x y
fxx y f
x yx y
fy x
x y fyx
0 0
2
2 0 0
2
0 0
2
0 0
2
2 0
( ) =
part
part( ) part
part part( )
partpart part
( ) part
party0( )
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
109
i) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) gt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto miacutenimo local de f
ii) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto maacuteximo local de f
iii) Se det H (x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto de sela
iv) Se det H (x0y0) = 0 nada se conclui
Para facilitar o entendimento e visualizar a classificaccedilatildeo dos pontos criacuteticos apresentamos o graacutefico e um texto explicativo
Os pontos P e Q satildeo pontos de maacuteximo porque qualquer deslocamento em sua vizinhanccedila iraacute descer O ponto S eacute uma sela porque nos sentidos SP e SQ sobe mas no sentido SL ou ST desce
FONTE CANESIN Wilson Funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis ndash Notas de aula ndash parte II Disponiacutevel em lthttpwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 28 out 2011
FIGURA 40 ndash GRAacuteFICO DE SUPERFIacuteCIE
FONTE Disponiacutevel em lthttpwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 28 out 2011
Veremos em seguida exemplos onde aplicaremos o Teorema 322
Exemplo 4Considere a funccedilatildeo f (xy) = x2 + y2 ‒ xy + x Determine caso existam os pontos
de maacuteximo e os pontos de miacutenimo local da funccedilatildeo
Resoluccedilatildeo
Vimos no Exemplo 2 que o ponto ‒ 2 3 ‒ 1
3 eacute o uacutenico ponto criacutetico de f
Para classificaacute-lo vamos usar o Teorema 322 Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
P
S
Q
T
L
F(xy)
110
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
part2f partx2
= 2 part2f partxparty
= ‒1 part2f partypartx
= ‒1 e part2f party2
= 2 Entatildeo
det H minus minus
=
minusminus
=2
3
1
3
2 1
1 23
Como H ‒ 2 3 ‒ 1
3 gt 0 e part2f partx2 ‒ 2
3 ‒ 1 3 gt 0 segue que ‒ 2
3 ‒ 1 3 eacute
um ponto miacutenimo local de f
Exemplo 5Encontre os maacuteximos e miacutenimos de f (xy) = 1
3 x3 + 1 3 y3 ‒ x ‒ 4y + 20 caso
existam
ResoluccedilatildeoVamos encontrar inicialmente os pontos criacuteticos de f fazendo partf
partx = 0 e partf
party = 0
partf partx
= x2 ‒ 1 e partf party
= y2 ‒ 4
x2 ‒ 1 = 0y2 ‒ 4 = 0
Resolvendo o sistema temos os pontos criacuteticos (12) (1‒2) (‒12) e (‒1‒2)
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
part2f partx2
= 2x part2f partxparty
= 0 part2f partypartx
= 0 e part2f party2
= 2y
Agora calculamos o determinante hessiano Entatildeo
det det
det
H H
H
1 22 0
0 48 1 2
2 0
0 48
1 22 0
0 48
( ) = = minus( ) =minus
= minus
minus( ) =minus
= minus
e
e det H minus minus( ) =minus
minus=1 2
2 0
0 48
Para classificar os pontos criacuteticos usaremos o Teorema 322
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
111
Vamos analisar o ponto (12)
Temos det H (12) gt 0 e part2f partx2 (12) gt 0 logo (12) eacute um ponto miacutenimo local de f
Vamos analisar o ponto (1‒2)
Temos det H (1‒2) lt 0 logo (1‒2) eacute um ponto de sela de f
Vamos analisar o ponto (1‒2)
Temos det H (‒12) lt 0 logo (‒12) eacute um ponto de sela de f
Vamos analisar o ponto (‒1‒2)
Temos det H (‒1‒2) gt 0 e part2f partx2 (‒1‒2) lt 0 logo (‒1‒2) eacute um ponto maacuteximo local de f
Os graacuteficos (Figura 41 e Figura 42) gerado por computador usando o software Maple 11 ilustram os caacutelculos apresentados anteriormente
FIGURA 41 ndash GRAacuteFICO DA SUPERFIacuteCIE DE f FIGURA 42 ndash MAPA DE CONTORNOS DE f
FONTE O autor FONTE O autor
3 PROBLEMAS ENVOLVENDO MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS
O estudo feito no item anterior pode ser perfeitamente aplicado em problemas de maximizaccedilatildeo e minimizaccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Como por exemplo em problemas geomeacutetricos fiacutesicos econocircmicos entre outros
Exemplo 6Determine as dimensotildees de uma caixa retangular aberta no topo com um
volume de 32 cm3 e que requer uma quantidade miacutenima de material para a sua construccedilatildeo
30
25
20
15
103 2 1 0ndash 1ndash 2ndash 3 2 1 0 ndash 1ndash 2 ndash 3
yx
ndash 4
ndash 4
ndash 2
ndash 2 0 2 4x
2
4
y
112
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Resoluccedilatildeox comprimento da caixa (cm)y largura da caixa (cm)z altura da caixa (cm)A aacuterea da superfiacutecie da caixa (cm2)V volume da caixa (cm3)
V = xyz rArr xyz = 32 rArr z = 32 xy
Queremos minimizar a aacuterea de superfiacutecie
A = xy + 2xz + 2yz com a restriccedilatildeo do volume
Substituindo z obtemos
A = xy + 2x 32 xy + 2y 32
xy
A(xy) = xy + 64 y + 64
x x gt 0 e y gt 0
Como a regiatildeo eacute aberta o miacutenimo deve ocorrer num ponto criacutetico de A Passemos entatildeo a determinaacute-los
partApartx
= y ‒ 64 x2 partA
party = x ‒ 64
y2
y ‒ 64 x2 = 0 x ‒ 64
y2 = 0
y = 64 x2 x ‒
64
64x2
2 = 0
y2 = 4 x ‒ x4 64 = 0
x 1 ‒ x3
64 = 0
x1 = 0 e x2 = 4
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
113
Assim o ponto (44) eacute ponto criacutetico de A
Usando o teste da segunda derivada (Teorema 322) obtemospart2Apartx2 = 128
x3 part2A partxparty = 1 part2A
partypartx = 1 part2fparty2 = 128
y3
Calculando o determinante hessiano temos
det H (44) = 2 11 2
= 4 ‒ 1 = 3
Daiacute det H (44) gt 0 e part2Apartx2 (44) gt 0 portanto o ponto (44) eacute o miacutenimo local de A
Logo a caixa que usa o miacutenimo de material tem altura z = 2 e base quadrada x = y = 4
Exemplo 7A funccedilatildeo T (xy) = x2 + y2 ‒ 8x + 5y + 20 daacute a temperatura em graus Celsius
de cada ponto (x y) de uma chapa circular (exceto as bordas que eacute constituiacuteda de outro material) de raio 6 cm localizada no centro do plano xy Determine o ponto mais quente e o mais frio no interior da chapa se existir
Resoluccedilatildeo A funccedilatildeo T (xy) = x2 + y2 ‒ 8x + 5y + 20 tem domiacutenio D(T) = (xy) | x2 + y2 lt 36
Calculando as derivadas parciais de primeira ordem temos
partT partx
= 2x ‒ 8 e partT party
= 2y + 5
2x ‒ 8 = 02y + 5 = 0
Resolvendo o sistema temos o uacutenico ponto criacutetico 4 ‒ 52
e T 4 ‒ 52
= - 94
= ‒ 225 degC
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos
part2Tpartx2 = 2 part2T
partxparty = 0 part2T partypartx = 0 part2T
party2 = 2
114
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Agora calculamos o determinante hessiano Entatildeo
det H 4 ‒ 52
= 2 00 2
= 4
Pelo Teorema 322 temos det H 4 ‒ 52
gt 0 e part2Tpartx2 gt 0 assim o ponto
4 ‒ 52
eacute miacutenimo
Portanto o ponto mais frio da chapa tem temperatura de ndash 225ordmC e estaacute
localizado no ponto 4 ‒ 52
Exemplo 8Para o projeto de uma calha tem-se uma folha metaacutelica de 12 cm de
largura que se deseja dobrar de forma a se ter uma capacidade maacutexima
Resoluccedilatildeo
A aacuterea da seccedilatildeo da calha eacute formada pela aacuterea do retacircngulo mais a aacuterea dos dois triacircngulos conforme a figura
A = 2 (triacircngulo) + retacircngulo
A = 2 x cos θ x sen θ2
+ (12 ‒ 2x) x sen θ
A = f (xθ) = x2 cos θ sen θ + 12x sen θ ‒ 2x2 sen θ
Agora vamos estudar os extremos (maacuteximos e miacutenimos) da funccedilatildeo Deriva-se a funccedilatildeo obtendo
partf partx
= 2x sen θ cos θ + 12 sen θ ‒ 4x sen θ
partf partθ
= ‒ x2 sen2 θ + x2 cos2 θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ
TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS
115
Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema temos
‒ x2 sen2 θ + x2 cos2 θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x2 (‒ sen2 θ + cos2 θ) + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x2 cos 2θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0
x (2 cos2 θ ‒ 1) ‒ 2x cos θ + 12 cos θ = 0
x (2 cos2 θ ‒ 2 cos θ ‒ 1) + 12 cos θ = 0
2x sen θ cos θ + 12 sen θ ‒ 4x sen θ = 0
2x cos θ = 4x ‒ 12
cos θ = 4x ‒ 12
2x
cos θ = 2 ‒ 6x
Substituiacutemos o valor cos θ = 2 ‒ 6x
na segunda equaccedilatildeo e resolvendo
encontra-se x = 4 que resulta em cos θ = 2 ‒ 6x
= 12
cos θ = 12
rArr θ = p3
rad ou θ = 60deg
O ponto (460deg) encontrado parece ser bastante razoaacutevel omitiremos o teste da segunda derivada tambeacutem por causa do trabalho que estas dariam Mas para ter certeza podemos calcular a aacuterea A para valores de x e θ
116
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
x θ A4 30 149284 36 170134 42 186624 48 198464 54 205534 60 207854 66 205624 72 199194 78 18904
Entatildeo pelos valores obtidos na tabela confirmamos que a capacidade eacute maacutexima no ponto (460deg)
FONTE Disponiacutevel em ltwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 30 maio 2012
117
RESUMO DO TOacutePICO 3
Neste toacutepico vocecirc estudou alguns conceitos e teoremas importantes
bull Dizemos que P (x0y0) eacute um ponto criacutetico de f (xy) se partf partx
(x0 y0) = partf party
(x0 y0) = 0 ou se natildeo existir uma das duas derivadas parciais
bull Definimos a matriz hessiana de f (xy) por
bull O Teorema 322 (Teste da segunda derivada) facilita bastante na classificaccedilatildeo do ponto criacutetico de f (xy) Suponhamos que P (x0y0) seja um ponto criacutetico da funccedilatildeo f
i) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) gt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto miacutenimo local de f
ii) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2
(x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto maacuteximo local de f
iii) Se det H (x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto de sela
iv) Se det H (x0y0) = 0 nada se conclui
118
Nos exerciacutecios 1 e 2 encontre os pontos criacuteticos das funccedilotildees dadas
1 f (xy) = x2 + y2 + xy ‒ 6x + 2
2 f (xy) = x2 + 8y4 + xy ‒ 3y2 ‒ y3
Nos exerciacutecios 3 a 7 encontre os pontos criacuteticos e os extremos locais das funccedilotildees dadas
3 f (xy) = x3 + y3 ‒ 6xy
4 f (xy) = ‒ 13
x4 + 23
x3 + 4xy ‒ y2
5 f (xy) = x3 + y2 ‒ 6xy + 6x + 3y ‒ 2
6 f (xy) = 4x ‒ 3x3 ‒ 2xy2
7 f (xy) = x4 + y4 ‒ 4xy
8 A temperatura T (degC) em cada ponto de um painel plano eacute dada pela equaccedilatildeo T (xy) = 16x2 + 24x ‒ 40y2 Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da regiatildeo
9 Um supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha com duas marcas de suco de laranja uma marca local que custa no atacado R$ 030 a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa no atacado R$ 040 a garrafa O dono do supermercado estima que se cobrar x centavos pela garrafa da marca local e y centavos pela garrafa da marca nacional venderiam 70 ‒ 5x + 4y garrafas da marca local e 80 + 6x + 7y garrafas da marca nacional por dia Por quanto o dono do supermercado deve vender as duas marcas de suco de laranja para maximizar o lucro
AUTOATIVIDADE
119
TOacutePICO 4
INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
UNIDADE 2
1 INTRODUCcedilAtildeO
Na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral estudamos que a integral indefinida int f (x) dx resulta em outra funccedilatildeo denominada funccedilatildeo primitiva de f (x)
Estudamos tambeacutem que a integral definida eacute dada por
desde que tal limite exista O valor calculado na integral definida quando f (x) ge 0 tem como interpretaccedilatildeo imediata o caacutelculo da aacuterea da regiatildeo compreendida entre o eixo x o graacutefico de f (x) e as retas x = a e x = b
Neste toacutepico vamos estudar a integral dupla definida cuja interpretaccedilatildeo geomeacutetrica quando f (xy) ge 0 corresponde ao caacutelculo do volume do soacutelido delimitado superiormente pelo graacutefico de z = f (xy) e inferiormente pela regiatildeo definida sobre o plano xy
2 INTEGRAL DUPLA
21 INTEGRAL DUPLA SOBRE RETAcircNGULO
Definiccedilatildeo 4211 (Volume sob uma superfiacutecie) Se f eacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis contiacutenua e natildeo negativa numa regiatildeo R do plano xy entatildeo o volume do soacutelido compreendido entre a superfiacutecie z = f (xy) e a regiatildeo R eacute definido por
A ideia envolvida na Definiccedilatildeo 4211 eacute a mesma empregada na integral definida simples Assim a regiatildeo R eacute dividida em sub-retacircngulos Faremos isso com o intervalo em x (∆x) e com o intervalo y (∆y) formando os sub-retacircngulos Rij cada um com aacuterea ∆A = ∆x∆y
120
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 43 ndash INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DA INTEGRAL DUPLA QUANDO f (xy) ge 0
FONTE Disponiacutevel em ltwwwpucrsbrfamatbeatrizcalculoIIINTEGRAL_DUPLAdocgt Acesso em 30 maio 2012
Definiccedilatildeo 4212 A integral dupla de f sobre o retacircngulo R eacute
se esse limite existir
A soma presente nas duas definiccedilotildees acima eacute chamada de soma dupla de Riemann e eacute usada como uma aproximaccedilatildeo do valor da integral dupla
22 INTEGRAIS ITERADAS
Nas integrais duplas que estudaremos neste toacutepico seratildeo consideradas apenas as integrais duplas definidas E na sua resoluccedilatildeo aplicaremos o Teorema Fundamental do Caacutelculo O caacutelculo da integral dupla eacute muito complicado pela definiccedilatildeo entatildeo veremos como calcular a integral dupla atraveacutes da integral iterada cujo valor pode ser obtido calculando-se duas integrais de funccedilotildees de uma variaacutevel real A expressatildeo iterada quer dizer repetida
Este procedimento segue a mesma ideia para calcular as derivadas parciais
UNI
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
121
Suponha que f seja uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis contiacutenua no retacircngulo R = [ab]x[cd]
bull A integral intf (xy) dy
d
c significa que a variaacutevel x eacute mantida fixa (como constante) e
f (xy) eacute integrado em relaccedilatildeo a variaacutevel y com y variando de c ateacute d
bull Como intf (xy) dy
d
c eacute um nuacutemero que depende do valor de x ele define uma
funccedilatildeo de x
F (x) = intf (xy) dy
d
c
bull Integrando a funccedilatildeo F(x) em relaccedilatildeo a variaacutevel x de a ateacute b obtemos
Lembre-se quando a integral eacute definida aplicamos o Teorema Fundamental do
Caacutelculo intf (x) dx = F(b) ‒ F(a)b
a
Exemplo 1
Calcular a integral
ResoluccedilatildeoResolvendo a integral dupla como integral iterada temos
Vamos resolver primeiro a integral que estaacute dentro dos colchetes considerando como constante a variaacutevel x jaacute que a funccedilatildeo estaacute sendo integrada primeiramente em relaccedilatildeo a variaacutevel y (pois a diferencial nesta integral eacute dy)
IMPORTANTE
122
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Assim intxy2 dy = 3x
2
‒1
Agora substituiacutemos este resultado na integral final E verifique que a integral que falta resolver eacute uma integral apenas na variaacutevel x
Portanto
Exemplo 2
Calcular a integral
ResoluccedilatildeoResolvendo a integral dupla como integral iterada temos
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
123
Vamos resolver primeiro a integral que estaacute dentro dos colchetes considerando como constante a variaacutevel y jaacute que a funccedilatildeo estaacute sendo integrada primeiramente em relaccedilatildeo a variaacutevel x (pois a diferencial nesta integral eacute dx)
Assim int (x + y + 1) dx = 2y + 2
1
‒1
Agora substituiacutemos este resultado na integral final E verifique que a integral que falta resolver eacute uma integral apenas na variaacutevel y
= 1
Portanto
Teorema 3221 (Teorema de Fubini) Se f for contiacutenua no retacircngulo R = [ab]x[cd] entatildeo
124
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Verifique a aplicaccedilatildeo do teorema de Fubini no Exemplo 2
23 INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIOtildeES GENEacuteRICAS
Vamos considerar funccedilotildees contiacutenuas definidas sobre regiotildees fechadas que denotaremos por D onde D cap R2
Conveacutem separarmos a regiatildeo plana D em dois casos que chamaremos de Tipo I e Tipo II
bull Uma regiatildeo plana D eacute dita do tipo I se estaacute contida entre o graacutefico de duas funccedilotildees contiacutenuas de x ou seja
D = (xy) a le x le b g1(x) le y le g2(x) onde g1(x) e g2(x) satildeo contiacutenuas em [ab]
FIGURA 44 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
UNI
D
a b
y
x
y₂ = g₂(x)
y₁ = g₁(x)
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
125
Definiccedilatildeo 3231 Se f eacute contiacutenua em uma regiatildeo D do tipo I tal que
D = (xy) a le x le b g1(x) le y le g2(x)
entatildeo
Exemplo 3
Escreva intintf (xy) dAD
sobre a regiatildeo D que estaacute compreendida entre o
graacutefico das funccedilotildees y = radic1 ‒ x 2 e y = 1 ‒ x
ResoluccedilatildeoVamos escrever esta integral considerando a regiatildeo do tipo I
Assim g1 (x) = 1 ‒ x e g2 (x) = radic1 ‒ x 2
Entatildeo usaremos
126
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 45 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
bull Uma regiatildeo plana D eacute dita do tipo II se estaacute contida entre o graacutefico de duas funccedilotildees contiacutenuas de y ou seja
D = (xy) c le y le d h1(y) le x le h2(y)
onde h1(y) e h2(y) satildeo contiacutenuas em [cd]
FIGURA 46 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
y
x₂ = h₂(y)
x₁ = h₁(y)
d
c x
D
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
127
Definiccedilatildeo 3232 Se f eacute contiacutenua em uma regiatildeo D do tipo II tal que
D = (xy) c le y le d h1(y) le x le h2(y)
entatildeo
Exemplo 4
Escreva intintf (xy) dAD
sobre a regiatildeo D que estaacute compreendida entre o
graacutefico das funccedilotildees y = radic1 ‒ x 2 e y = 1 ‒ x
ResoluccedilatildeoVamos escrever esta integral considerando a regiatildeo do tipo II
FIGURA 47 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim h1 (y) = 1 ‒ y e h2 (y) = radic1 ‒ y 2
Entatildeo usaremos
128
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
Exemplo 5Seja f (xy) = xy calcule intintf (xy) dA
D
sobre a regiatildeo D compreendida entre y =
12
x y = radicx x = 2 e x = 4
ResoluccedilatildeoConforme pode ser observada a regiatildeo no graacutefico convecircm aplicar o tipo I
FIGURA 48 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
129
= 116
Portanto intintf (xy) dA = 116D
Exemplo 6
Calcule intint(xy ‒ y 3) dAD
sobre a regiatildeo D mostrada no graacutefico abaixo
ResoluccedilatildeoConforme pode ser observada a regiatildeo no graacutefico vamos aplicar o tipo II
A projeccedilatildeo da regiatildeo D sobre o eixo dos y daacute o intervalo 0 le y le 1 e as funccedilotildees tem que estar na variaacutevel y Entatildeo
h1 (y) = y 4 e h2 (y) = y 12
130
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 49 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Assim
x
y
2
1
21
y = xsup2
y = xsup1 ⁴
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
131
Vocecirc estudou integraccedilatildeo no final do Caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral e verificou que eacute possiacutevel calcular a aacuterea entre duas curvas utilizando a integral simples Vamos ver agora que tambeacutem eacute possiacutevel calcular a aacuterea entre duas curvas utilizando a integral dupla
Exemplo 7
Calcule a aacuterea compreendida entre as curvas y = 12
x y = radicx x = 2 e x = 4
ResoluccedilatildeoA aacuterea compreendida entre as curvas dadas eacute a mesma mostrada no
Exemplo 5
Assim aplicamos o a integral dupla do tipo I Para a montagem da integral o procedimento eacute o mesmo feito no exemplo 5
UNI
132
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
FIGURA 50 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
Portanto a aacuterea definida entre as curvas eacute dada por
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
133
Concluindo a ideia do caacutelculo da aacuterea entre curvas verifique que a montagem da integral dupla tem o mesmo procedimento mostrado no item 23 A uacutenica diferenccedila eacute que devemos considerar a funccedilatildeo integrante como a constante unitaacuteria isto eacute f (xy) = 1
Exemplo 8Calcule a aacuterea entre as curvas y = 5 ‒ x2 e y = x + 3
ResoluccedilatildeoA aacuterea compreendida entre as curvas dadas acima estaacute representada a
seguir
Assim aplicamos a integral dupla do tipo I Para a montagem da integral o procedimento eacute o mesmo feito anteriormente
Precisamos encontrar os limites numeacutericos da variaacutevel x igualando a variaacutevel y
FIGURA 51 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS
FONTE O autor
IMPORTANTE
y = 5 ndash xsup2
y = x + 3
ndash 2 ndash 1 21x
1
2
3
4
5y
134
UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
= 92
Portanto a aacuterea definida entre as curvas eacute dada por 92
LEITURA COMPLEMENTAR
GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN (1826 - 1866)
Nasceu no dia 17 de setembro de 1826 em Breselenz Alemanha Era filho de um ministro luterano e teve uma boa instruccedilatildeo estudando em Berlim e Goumlttingen mas em condiccedilotildees muito modestas por causa de sua sauacutede fraacutegil e de sua timidez Ainda no ensino secundaacuterio estudou os trabalhos de Euler e Legendre
Aos 19 anos Riemann foi com todo o apoio do pai para a Universidade de Goumlttingen estudar teologia com o objetivo de tornar-se cleacuterigo Mais tarde pediu permissatildeo ao pai e mudou o foco dos seus estudos para a Matemaacutetica transferindo-se um ano depois para a Universidade de Berlim onde atraiu o interesse de Dirichlet e Jacobi
Em 1849 retornou a Goumlttingen onde obteve o grau de doutor em 1851 Sua brilhante tese foi desenvolvida no campo da teoria das funccedilotildees complexas Nessa tese encontram-se as chamadas equaccedilotildees diferenciais de Cauchy-Riemann - conhecidas poreacutem antes do tempo de Riemann - que garantem a analiticidade de uma funccedilatildeo de variaacutevel complexa e o produtivo conceito de superfiacutecie de Riemann que introduziu consideraccedilotildees topoloacutegicas na anaacutelise
Trecircs anos mais tarde foi nomeado Privatdozent cargo considerado o primeiro degrau para a escalada acadecircmica Com a morte de Gauss em 1855 Dirichlet foi chamado a Goumlttingen como seu sucessor e passou a incentivar Riemann primeiro com um pequeno salaacuterio e depois com uma promoccedilatildeo a professor assistente Em 1859 morreu Dirichlet e Riemann foi nomeado professor titular para substituiacute-lo
TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS
135
O periacuteodo de 1851 a 1859 do ponto de vista econocircmico foi o mais difiacutecil da vida de Riemann mas ele criou suas maiores obras justamente nesses anos
Riemann era um matemaacutetico de muacuteltiplos interesses e mente feacutertil contribuindo natildeo soacute para o desenvolvimento da geometria e da teoria dos nuacutemeros como tambeacutem para o da anaacutelise matemaacutetica
Riemann tornou claro o conceito de integrabilidade de uma funccedilatildeo atraveacutes da definiccedilatildeo do que atualmente chamamos Integral de Riemann
Durante uma conferecircncia-teste generalizou todas as geometrias euclidianas e natildeo euclidianas estabelecendo a Geometria Riemanniana que serviu de suporte para a Teoria da Relatividade de Einstein
Em 1859 publicou seu uacutenico trabalho em Teoria dos Nuacutemeros um artigo dedicado ao Teorema dos Nuacutemeros Primos no qual partindo de uma identidade notaacutevel descoberta por Euler chegou a uma funccedilatildeo que ficou conhecida como Funccedilatildeo Zeta de Riemann Nesse artigo provou vaacuterias propriedades importantes dessa funccedilatildeo e enunciou vaacuterias outras sem provaacute-las Durante um seacuteculo depois de sua morte muitos matemaacuteticos tentaram provaacute-las e acabaram criando novos ramos da anaacutelise matemaacutetica
Riemann morreu de tuberculose no dia 20 de Julho de 1866 em Selasca na Itaacutelia durante a uacuteltima de suas vaacuterias viagens para fugir do clima frio e uacutemido do norte da Alemanha
FONTE Disponiacutevel em lthttpecalculoifuspbrhistoriariemannhtmgt Acesso em 12 jun 2008
136
RESUMO DO TOacutePICO 4
Estudamos no Toacutepico 4 as integrais muacuteltiplas Primeiramente vimos que o procedimento do caacutelculo destas integrais eacute feito por iteraccedilatildeo isto eacute repeticcedilatildeo Resolvendo a integral de dentro (interna) para a de fora e substituindo os limites de integraccedilatildeo pelo Teorema Fundamental do Caacutelculo
Depois estudamos como calcular aacutereas de formas irregulares utilizando as integrais duplas por dois processos
Projetando a regiatildeo sobre o eixo dos x que chamamos de tipo I e escrevemos a
integral como
Projetando a regiatildeo sobre o eixo dos y que chamamos de tipo II e escrevemos a
integral como
E finalizando tambeacutem estudamos a possibilidade de calcular a aacuterea entre curvas usando a integral dupla com o mesmo procedimento revisto acima onde a funccedilatildeo integrante eacute dada por f (xy) = 1
137
Calcule a integral onde R 0 le x le 2 1 le y le 4
1 intintx2 dxdyR
2 intintxy2 dxdyR
Calcule a integral onde R 0 le x le 2 0 le y le x
3 intintx3y dxdyR
4 intinte x + y dxdyR
5 Encontre a aacuterea da regiatildeo no primeiro quadrante limitada por xy = 2 y = 1 e y = x + 1
Calcule por integraccedilatildeo dupla a aacuterea da regiatildeo limitada determinada pelo par de curvas dado
6 x2 = 4y e 2y ‒ x ‒ 4 = 0
7 y = x e x = 4y ‒ y2
8 x + y = 5 e xy = 6
AUTOATIVIDADE
138
139
UNIDADE 3
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Ao final desta unidade vocecirc deveraacute ser capaz de
bull conhecer os principais conceitos que envolvem as equaccedilotildees diferenciais
bull identificar os diferentes tipos de equaccedilotildees diferenciais
bull diferenciar as equaccedilotildees diferenciais
bull resolver as equaccedilotildees diferenciais
Na Unidade 3 estudaremos as equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias de primeira ordem e algumas equaccedilotildees diferenciais de segunda ordem Neste intuito a unidade seraacute dividida em trecircs toacutepicos O Toacutepico 1 inicia com a definiccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais ordem e classificaccedilatildeo Na sequecircncia seratildeo apresenta-das as equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias de primeira ordem separaacuteveis linea-res e exatas e seus respectivos meacutetodos de resoluccedilatildeo No toacutepico 2 destacare-mos as equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem que envolvem substituiccedilotildees em suas resoluccedilotildees em particular as equaccedilotildees de Bernoulli e as equaccedilotildees homogecircneas Finalizamos a unidade com o Toacutepico 3 estudando as equaccedilotildees diferenciais lineares de segunda ordem Nesse toacutepico nosso estudo se res-tringiraacute agraves equaccedilotildees lineares homogecircneas com coeficientes constantes
TOacutePICO 1 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
TOacutePICO 2 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
TOacutePICO 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
140
141
TOacutePICO 1
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
Neste toacutepico vamos abordar as caracteriacutesticas de uma equaccedilatildeo diferencial quanto ao seu tipo a sua ordem e a sua linearidade Na sequecircncia discutiremos os processos de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem segundo sua classificaccedilatildeo em separaacuteveis lineares ou exatas
Vejamos alguns exemplos de equaccedilotildees diferenciais
Uma equaccedilatildeo que relaciona uma funccedilatildeo desconhecida a uma ou mais de suas derivadas eacute chamada de uma equaccedilatildeo diferencial
As equaccedilotildees satildeo classificadas quanto ao tipo agrave ordem e agrave linearidade
2 DEFINICcedilOtildeES E TERMINOLOGIAS
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
142
Uma equaccedilatildeo diferencial pode ser classificada como ordinaacuteria ou parcial Se a funccedilatildeo envolvida for uma funccedilatildeo de somente uma variaacutevel dizemos que a equaccedilatildeo eacute ordinaacuteria (EDO) Se uma equaccedilatildeo diferencial conteacutem pelo menos uma derivada parcial entatildeo eacute denominada de equaccedilatildeo diferencial parcial (EDP) Vejamos alguns exemplos
i) partu party
= ndash 5 partupartx
u = u(x y) parcial
ii) d 2 y dx2 ndash 6 dy
dx + 8y = 0 ordinaacuteria
iii) part2z
partx2 + part
2zparty2
ndash 2 partzparty
= 0 z = z(x y) parcial
21 TIPOS DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Quanto agrave ordem uma equaccedilatildeo diferencial pode ser de 1ordf de 2ordf de n-eacutesima ordem dependendo da derivada de maior ordem presente na equaccedilatildeo
i) yprime ndash 3xy = x 1deg ordem
ii) yPrime + yprime = cos t 2deg ordem
iii) d y dx
2
+ 3y = 2 1deg ordem
iv) d 2 y dx2 ndash 6 dy
dx + 8y = 0 2deg ordem
v) d 3 y dt 3 ndash t
dydt + (t 2 ndash 1)y = et 3deg ordem
vi) xyprime ndash 5y = 0 1deg ordem
22 ORDEM DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
143
Uma equaccedilatildeo diferencial eacute dita linear se a funccedilatildeo e suas derivadas envolvidas na equaccedilatildeo forem de primeiro grau Caso contraacuterio dizemos que a EDO eacute natildeo linear Vejamos alguns exemplos
i) dydx + 3y = 2 linear
ii) dydx + sen y = 2 natildeo linear
iii) d 3 y dx3 ndash x dy
dx + 7y = ex linear
iv) d 3 y dt 3 +
dydt + t (y 2 ndash 1) = et natildeo linear
23 LINEARIDADE DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Uma funccedilatildeo y = y(x) eacute soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial em um dado intervalo I se a equaccedilatildeo diferencial for satisfeita para todo x isin I ou seja se y(x) e suas derivadas satisfizerem agrave equaccedilatildeo diferencial neste intervalo para todo x isin I
Exemplo 1
Verifique se a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 eacute soluccedilatildeo de yprime(x) + 2xy = x
Resoluccedilatildeo
Dado a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 vamos encontrar a derivada de primeira ordem
yprime(x) = 32
(ndash 2x)endashx 2
yprime(x) = ndash3xendashx 2
Agora substituiacutemos y e yprime na equaccedilatildeo diferencial yprime (x) + 2xy = x
24 SOLUCcedilAtildeO DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
144
Entatildeo a funccedilatildeo y(x) = 12
+ 32
endashx 2 satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial e portanto
y eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial dada
Exemplo 2Verifique se a funccedilatildeo y(x) = e2x eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
d 2 y dx2 ndash 5
dydx + 6y = 0
ResoluccedilatildeoDado a funccedilatildeo y(x) = e2x vamos encontrar as derivadas de primeira e
segunda ordem
dydx = 2e2x e
d 2 y dx2 = 4e2x
Agora vamos substituiacute-las na equaccedilatildeo diferencial d 2 y dx2 ndash 5 dy
dx + 6y = 0
4e2x ndash 5 middot 2e2x + 6e2x = 0
4e2x ndash 10e2x + 6e2x = 0
De fato a funccedilatildeo y(x) = e2x satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial
Exemplo 3Verifique se a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
xyprime(x) ndash y(x) = 2xIn x
ResoluccedilatildeoDado a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x vamos encontrar a derivada de primeira
ordem
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
145
Agora substituiacutemos y e yprime na equaccedilatildeo diferencial xyprime(x) ndash y(x) = 2xln x obtendo
2x In x = 2x In x
Portanto a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial
Dada uma equaccedilatildeo diferencial dizemos que a sua soluccedilatildeo eacute uma funccedilatildeo que satisfaz a identidade proposta por esta equaccedilatildeo Esta funccedilatildeo expressa por y = F(x) + c conteacutem uma constante arbitraacuteria oriunda do processo de integraccedilatildeo Entatildeo dizemos que y = F(x) + c c isinR eacute uma famiacutelia de soluccedilotildees da EDO e assim para cada valor arbitraacuterio de c temos uma soluccedilatildeo (funccedilatildeo) diferente para a mesma EDO Poreacutem observe que derivando-as obteremos as mesmas funccedilotildees tendo em vista que a derivada de uma constante eacute zero
Por exemplo dada a equaccedilatildeo diferencial yprime(x) = 5x ndash 2 sua soluccedilatildeo geral eacute dada por
y(x) = 52
x2 ndash 2x + c Vamos considerar c = ndash1 e c = 3 entatildeo y1(x) = 52
x2 ndash 2x ndash 1 e y2(x) = 52
x2 ndash 2x + 3 Agora vamos derivar estas soluccedilotildees (funccedilotildees) yprime1 (x) = 5x ndash 2 e yprime2 (x) = 5x ndash 2
Podemos ver que as derivadas satildeo iguais Daiacute o fato da soluccedilatildeo y = F(x) + c c isinR ser denominada de soluccedilatildeo geral da
EDO
241 Soluccedilatildeo geral
A soluccedilatildeo deduzida da soluccedilatildeo geral atribuindo-se valores particulares agrave constante arbitraacuteria c eacute chamada de soluccedilatildeo particular
Quando uma equaccedilatildeo diferencial eacute utilizada como um modelo matemaacutetico em alguma aplicaccedilatildeo haacute normalmente uma condiccedilatildeo inicial y(x0) = y0 que torna possiacutevel calcular a constante arbitraacuteria c que aparece na soluccedilatildeo geral
242 Soluccedilatildeo particular
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
146
Um problema com uma equaccedilatildeo diferencial satisfazendo alguma condiccedilatildeo adicional (por exemplo y(x
0) = y
0 eacute denominado problema do valor inicial (PVI)
Exemplo 4
Considerando dydx = 2x entatildeo y = x2 + c eacute uma soluccedilatildeo geral da EDO c isinR
ResoluccedilatildeoVamos encontrar a soluccedilatildeo particular utilizando a condiccedilatildeo adicional y(3)
= 4 Desse modo a partir da soluccedilatildeo geral y = x2 + c atribuiacutemos a x o valor 3 e a y o valor 4 determinando assim a constante c
y = x2 + c4 = 32 + c4 = 9 + cc = ndash5
Substituindo o valor de c na soluccedilatildeo geral obtemos a soluccedilatildeo particular da EDO
y = x2 ndash 5
Caros acadecircmico(a) Leia com bastante atenccedilatildeo o texto a seguir sobre as EDOs Assim vamos saber um pouco mais sobre o que estamos estudando e quais satildeo as suas finalidades
O que uma ED de primeira ordem pode nos dizer
Vamos imaginar por um momento que temos uma equaccedilatildeo diferencial
de primeira ordem na forma normal dydx = f (xy) e aleacutem disso que natildeo podemos
encontrar nem inventar um meacutetodo para resolvecirc-la analiticamente Essa situaccedilatildeo natildeo eacute tatildeo ruim quanto parece uma vez que muitas vezes eacute possiacutevel juntar informaccedilotildees uacuteteis sobre a natureza das soluccedilotildees diretamente da proacutepria
equaccedilatildeo diferencial Por exemplo jaacute vimos que quando f (xy) e partfparty
satisfazem
NOTA
ESTUDOS FUTUROS
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
147
determinadas condiccedilotildees de continuidade as questotildees qualitativas sobre a existecircncia e a unicidade de soluccedilotildees podem ser respondidas Veremos nesta seccedilatildeo que outras questotildees qualitativas sobre propriedades da soluccedilatildeo ndash Como uma soluccedilatildeo se comporta nas proximidades de um determinado ponto Como uma soluccedilatildeo se comporta quando x rarr infin ndash podem frequentemente ser respondidas quando a funccedilatildeo f depende somente da variaacutevel y Vamos comeccedilar poreacutem
com um conceito simples de caacutelculo a derivada dydx de uma funccedilatildeo diferenciaacutevel
y = y(x) daacute as inclinaccedilotildees das retas tangentes em pontos sobre seu graacutefico
Inclinaccedilatildeo
Como uma soluccedilatildeo y = y(x) de uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem dydx = f (xy) eacute necessariamente uma funccedilatildeo diferenciaacutevel em seu intervalo I a curva integral correspondente em I natildeo deve ter interrupccedilotildees e deve ter uma reta tangente em cada ponto (xy(x)) A inclinaccedilatildeo da reta tangente em (xy(x)) sobre uma curva integral eacute o valor de sua derivada primeira
dydx nesse ponto e isso
eacute sabido da equaccedilatildeo diferencial f (xy(x)) Suponha agora que (xy) representa qualquer ponto em uma regiatildeo do plano xy sobre o qual a funccedilatildeo f estaacute definida O valor f (xy) que a funccedilatildeo atribui ao ponto representa a inclinaccedilatildeo de uma reta ou como iremos pensar um segmento de reta denominado elemento linear Por exemplo consideramos a equaccedilatildeo
dydx = 02xy onde f (xy) = 02xy No ponto de
coordenadas (2 3) por exemplo a inclinaccedilatildeo de um elemento linear eacute f (23) = 12 A figura (a) mostra um segmento de reta com inclinaccedilatildeo positiva passando por (23) Conforme mostrado na figura (b) se uma curva integral tambeacutem passar por (23) faraacute isto tangenciando esse segmento de reta em outras palavras o elemento linear eacute uma miniatura da reta tangente nesse ponto
Figura 11a elemento linear em um pontoFigura 2 ndash Figura 11b o elemento linear eacute uma tangente agrave curva integral que passa pelo ponto
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
148
Campos de Direccedilotildees
Se sistematicamente calcularmos f sobre uma malha retangular de pontos (xy) no plano xy e em cada ponto (xy) desenharmos um elemento linear com a inclinaccedilatildeo (xy) a coleccedilatildeo de todos os elementos lineares seraacute chamada
de campo de direccedilotildees ou campo de inclinaccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial dydx
= f
(xy) Visualmente o campo de direccedilotildees sugere a aparecircncia ou forma de uma
famiacutelia de curvas integrais da equaccedilatildeo diferencial e consequentemente pode ser possiacutevel vislumbrar determinados aspectos qualitativos das soluccedilotildees ndash por exemplo regiotildees no plano nas quais uma soluccedilatildeo exibe um comportamento natildeo usual Uma uacutenica curva integral que segue seu caminho em um campo de direccedilotildees deve acompanhar o padratildeo de fluxo do campo ela eacute tangente a um elemento linear quando intercepta um ponto da malha
FONTE Zill (2003 p 41-42)
Estudaremos alguns tipos de equaccedilotildees diferenciais que requerem meacutetodos distintos de resoluccedilatildeo Vamos iniciar pelas equaccedilotildees diferenciais separaacuteveis caracterizando-as e determinando seu processo de resoluccedilatildeo
Definiccedilatildeo 131 A equaccedilatildeo yprime = f (xy) seraacute separaacutevel se f puder ser expressa como um produto de uma funccedilatildeo p(x) e uma funccedilatildeo q(y) com q(y) ne 0 Assim a equaccedilatildeo diferencial teraacute a forma
3 EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL SEPARAacuteVEL
yprime = p(x) q(y) ou
dydx = p(x) q(y) ou
yprime 1
q(y) = p(x)
onde p(x) e q(y) satildeo contiacutenuas em seu domiacutenio
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
149
Considerando a equaccedilatildeo diferencial dada o primeiro passo para resolvecirc-lo eacute separar as variaacuteveis y e x juntamente com as suas respectivas diferenciais obtendo a seguinte igualdade
1q(y)
dy = p(x)dx
A seguir integramos ambos os lados da igualdade
int 1q(y)
dy = int p(x)dx
E sempre que for possiacutevel escrevemos a funccedilatildeo (soluccedilatildeo geral da EDO) na sua forma expliacutecita
Vamos resolver um exemplo para aplicarmos o meacutetodo
Exemplo 5
Resolva a equaccedilatildeo diferencial dydx = 6ex
Resoluccedilatildeo
dydx = 6ex
Inicialmente vamos separar as variaacuteveis
31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
dy = 6ex dx
Integrando ambos os lados da igualdade
int dy = int 6ex dx
int dy = 6 int ex dx
y + c1 = 6ex + c2
Isolando a variaacutevel y
y = 6ex + c2 ndash c1
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
150
Para deixar uma uacutenica constante na funccedilatildeo consideramos c = c2 ndash c1 donde temos que
y = 6ex + c
Exemplo 6Resolva a equaccedilatildeo diferencial
dydx =
xy2
Resoluccedilatildeo
dydx =
xy2
Dada a equaccedilatildeo diferencial acima vamos separar as variaacuteveis
Multiplicando ambos os lados da igualdade por y2 temos
y 2 dy = x dx
Integrando ambos os lados da igualdade
int y 2 dy = int x dx
y3
3 + c1 = x2
2 + c2
Isolando a variaacutevel y
y3
3 = x2
2 + c2 ndash c1
y 3 = 3x2
2 + 3(c2 ndash c1)
Para deixar uma uacutenica constante na funccedilatildeo consideramos c = 3(c2 ndash c1)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
151
Portanto as soluccedilotildees da EDO dada satildeo da forma c isinR
Natildeo haacute necessidade de usar duas constantes na integraccedilatildeo de uma equaccedilatildeo
separaacutevel int q(y) dy = int
p(x) dx pois se escrevermos Q(y) + c1 = P(x) + c
2 a diferenccedila c
2 ndash
c1 poderaacute ser substituiacuteda por uma uacutenica constante c resultando Q(y) = P(x) + c Em vaacuterias
ocasiotildees ao longo deste toacutepico renomearemos constantes de forma conveniente Por exemplo muacuteltiplos de constantes ou combinaccedilotildees de constantes podem algumas vezes ser substituiacutedas por uma uacutenica constante
Definiccedilatildeo 132 Chamamos de famiacutelia de funccedilotildees ao conjunto de vaacuterias funccedilotildees da forma y = f (x) + c c isinR ou seja ao conjunto formado pelas funccedilotildees que tem o mesmo comportamento a menos da constante c isinR
Exemplo a famiacutelia de funccedilotildees y(x) = x 3 ndash 2xsup2 + c
FIGURA 52 ndash Figura 12
FONTE O autor
NOTA
ndash 4
ndash 3
ndash 2
ndash 1
ndash 1ndash 2 1 2 3 4x
y
1
2
3
4x 3 ndash 2xsup2 + c
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
152
Exemplo 7Resolva a equaccedilatildeo diferencial yprime y + x = 0
ResoluccedilatildeoPodemos reescrever a equaccedilatildeo dada como
dydx
y + x = 0
Subtraindo x em ambos os lados da igualdade obtemos
dydx
y = ndashx
y dydx = ndashx
y d y dx
dx = ndashx dx
y dy = ndashx dx
int y dy = ndashint x dx
Vamos escrever apenas uma constante ao lado direito da igualdade junto agrave variaacutevel x
y x c
y x c
2 2
22
2 323
2
=minus
+
=minus
+
Considerando k = 2c temos
y x k222
3=minus
+
Podemos deixar a funccedilatildeo na forma impliacutecita
23
2 2x y k+ =
Neste caso eacute interessante deixar esta soluccedilatildeo na forma impliacutecita pois facilita a identificaccedilatildeo quanto ao tipo de curva obtida Neste exemplo obtemos uma elipse
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
153
OBSERVACcedilAtildeO Note que para natildeo carregar a notaccedilatildeo aplicamos a ideia de escrever apenas uma letra para as constantes que surgem no caacutelculo
Exemplo 8Determine a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo diferencial
dydx = sen (2x)
ResoluccedilatildeoRepetindo o procedimento utilizado nos exemplos anteriores temos
dy = sen (2x) dx
Integrando os dois lados da igualdade
int dy = int sen (2x) dx
Para resolver a integral obtida do lado direito da igualdade vamos aplicar a teacutecnica de substituiccedilatildeo
y = 12
int sen u du u = 2x
y = 12
(ndashcos u) + c du = 2 dx
y = ndash 12
cos (2x) + c 12
du = dx
FIGURA 53 ndash GRAacuteFICO DAS SOLUCcedilOtildeES DA EDO
FONTE O autor
-3
-2
-2-2 -2
-1-1-1
-1
0
00 0 x
1
11 1
2
22 2
33
3y
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
154
Exemplo 9Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo diferencial dy
dt = e t ndash y
Resoluccedilatildeodydt
= e t ndash y
Primeiramente vamos recordar a propriedade do produto de potecircncias de mesma base onde am an = a m + n com a m n isin R
Utilizaremos a propriedade da direita para a esquerda ou seja separando a expressatildeo am+n em um produto de duas potecircncias de mesma base
dydt
= e t middot e ndashy
dy = e t middot e ndashy dt
ey dy = et dt
int ey dy = int et dt
ey = et + c
Para isolar y precisamos aplicar o logaritmo natural (ln) a ambos os membros da igualdade
In ey = In (et + c)
Pelas propriedades operatoacuterias dos logaritmos em particular a propriedade da potecircncia do logaritmo temos que In ak = k middot In a e portanto
y In e = In (et + c)
Como In e = 1 temos
y = In (et + c)
Portanto y(t) = In (et + c) eacute soluccedilatildeo da EDO proposta
A
c isin R
Exemplo 10Resolva a equaccedilatildeo diferencial (2 + y) dt + (t ndash 3) dy = 0
ResoluccedilatildeoNa equaccedilatildeo (2 + y) dt + (t ndash 3) dy = 0 devemos separar as variaacuteveis Neste
caso deixamos y do lado esquerdo da igualdade e t do lado direito da igualdade
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
155
(t ndash 3) dy = ndash(2 + y) dt
dy2 + y = ndash dt
t ndash 3
Agora basta integrar os dois lados da igualdade
int dy2 + y = ndashint dt
t ndash 3
Estas integrais satildeo resolvidas aplicando a teacutecnica de substituiccedilatildeo donde obtemos
In(2 + y) = ndash In(t ndash 3) + c
In(2 + y) + In(t ndash 3) = c
Agora aplicamos a propriedade do produto de logaritmos de mesma base para a qual teremos In (a middot b) = In a + In b Utilizaremos a propriedade da direita para a esquerda ou seja multiplicaremos os logaritmandos e obteremos assim
In[(2 + y) middot (t ndash 3)] = c
Portanto a igualdade (2 + y) middot (t ndash 3) = ec
A
c isin R eacute uma soluccedilatildeo na forma impliacutecita da EDO proposta
Exemplo 11Resolva a equaccedilatildeo diferencial y prime = x e y ndash x
ResoluccedilatildeoPrimeiramente vamos mudar a notaccedilatildeo da derivada
dydx = x e y ndash x
Para resolver a equaccedilatildeo devemos separar as variaacuteveis
dydx = x e y e ndashx
Para isso multiplicamos ambos os lados da igualdade por e ndashy
e ndashy dydx = xe ndashx
e ndashy dy = xe ndashx dx
Integramos ambos os lados da igualdade
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
156
Para resolver a integral (1) utilizaremos a teacutecnica da substituiccedilatildeo
w = ndash y rArr dw = ndash dy
int e ndashy dy = ndashint ew dw = ndash ew + c1 = ndash e ndashy + c1
Enquanto que para a integral (2) aplicaremos a teacutecnica da integraccedilatildeo por partes
int udv = u middot v ndashint vdu u = x
int xe ndashx dx = x middot (ndash endashx) ndash int (ndash endashx) dx du = dx
int xe ndashx dx = ndash xendashx ndash endashx + c2 dv = endashx dx
v = ndash endashx
Retomando a igualdade int e ndashy dy = int xendashx dx temos
int e ndashy dy = int xendashx dx
ndashe ndashy + c1 = ndashxendashx ndashendashx + c2
Vamos escrever apenas uma constante do lado direto da igualdade e multiplicar ambos os lados por (-1) obtendo
e ndashy = xendashx + endashx + c
Colocando a expressatildeo endashx em evidecircncia no lado direito da igualdade
e ndashy = endashx (x + 1) + c
Para isolar a variaacutevel y aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade
In e ndashy = In [endashx (x + 1) + c]
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
157
Pela propriedade operatoacuteria da potecircncia do logaritmo temos
ndashy = In [endashx (x + 1) + c]
Portanto y(x) = ndashIn [endashx (x + 1) + c] eacute soluccedilatildeo da EDO proposta
A
c isin R
Exemplo 12
Encontre a soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo diferencial yprime = xy ndash yy + 1 no ponto
y(2) = 1
Resoluccedilatildeo
Deixamos a soluccedilatildeo na forma impliacutecita Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
158
c = 1
A funccedilatildeo y que satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial e atende agrave condiccedilatildeo y(2) = 1 eacute dada por
y(2) = 1
Continuamos a busca por soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem examinando a seguir as equaccedilotildees lineares
Definiccedilatildeo 141 Uma EDO da forma
yprime + p(x)y = q(x) ou
dydx + p(x)y = q(x)
onde p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees contiacutenuas em algum intervalo I eacute chamada de equaccedilatildeo diferencial linear de primeira ordem
4 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ordf ORDEM
Observe a forma deste tipo de EDO Cada equaccedilatildeo diferencial que estudaremos possui uma forma-padratildeo diferente Fique bastante atento
Teorema 141 A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo
dydx + p(x)y = q(x) eacute
NOTA
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
159
y = 1
v(x) int v(x) q(x)dx
onde v(x) = eH(x) com H(x) = int p(x)dx A funccedilatildeo v(x) eacute chamada fator integrante
Desafie-se e faccedila a demonstraccedilatildeo matemaacutetica da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial linear
41 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
Vamos descrever os passos para resolver uma equaccedilatildeo diferencial linear a qual utilizaremos o fator integrante
bull Escreva a equaccedilatildeo linear dada na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
bull Encontre uma primitiva de p(x) isto eacute resolva intp(x)dx
bull Encontre o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
bull Multiplique ambos os lados da equaccedilatildeo diferencial yprime + p(x)y = q(x) pela funccedilatildeo v(x)
bull Identifique do lado esquerdo da igualdade da derivada do produto
bull Resolva a equaccedilatildeo e se possiacutevel decirc a soluccedilatildeo na forma expliacutecita
Aplicaremos o meacutetodo em alguns exemplos para entendecirc-lo melhor
Exemplo 13Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprime + 3y = 12 (meacutetodo do fator integrante)
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
onde p(x) = 3 e q(x) = 12
O primeiro passo eacute calcular a primitiva de p(x)
H(x) = intp(x)dx entatildeo temos
UNI
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
160
H(x) = int3dx = 3x
Escrevendo o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = e3x
Agora multipliquemos a EDO por v(x)
e3x yprime + 3e3x y = 12e3x
Observemos o lado esquerdo nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = e3x teremos uprime = yprime e vprime = 3e3x Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
e3x y = 12inte3xdx
Atente para o fato de que a integral inte3xdx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
e3x y = 123
e3x + c
e3x y = 4e3x + c
Isolando a variaacutevel y
y = 4e3x middot endash3x + c endash3x
Portanto y(x) = 4 + c endash3x c isin R eacute soluccedilatildeo geral da EDO
Vamos deduzir um modelo de soluccedilatildeo geral para as equaccedilotildees lineares ordinaacuterias de primeira ordem com coeficientes constantes (deduccedilatildeo do fator integrante) ou seja
dydt + ay = b ou yprime + ay = b
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
161
Comparando a EDO apresentada com a forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x) identificamos que p(x) = a e q(x) = b Assim p(x) e q(x) satildeo constantes Neste caso
H(x) = intp(x)dx
H(x) = intadx = ax
e o fator integrante v(x) = eintp(x)dx fica
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eax
Multiplicando a EDO por v(x)
eax yprime + aeax y = beax
Observe o lado esquerdo da equaccedilatildeo nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = eax teremos uprime = yprime e vprime = aeax Entatildeo
Integrando ambos os membros da igualdade
eax y = binteaxdx
A integral inteaxdx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
eax y = ba
eax + c
Isolando a variaacutevel y
y = ba
eax endashax + c endashax
Portanto y(x) = ba
+ c endashax c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO yprime + ay = b
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
162
Caro(a) acadecircmico(a) Que tal voltar ao exemplo 13 e resolvecirc-lo usando o resultado demonstrado anteriormente
Exemplo 14Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprime + y = x
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
com p(x) =1 e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = intp(x)dx entatildeo temos
H(x) = intdx = x
Assim o fator integrante v(x) = eintp(x)dx eacute
v(x) = eH(x) rArr v(x) = ex
Multiplicamos a EDO por v(x)
ex yprime + ex y = xex
Observe o lado esquerdo da igualdade e identifique a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = ex teremos uprime = yprime e vprime = ex Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
ex y = intx ex dx
UNI
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
163
Para resolver esta integral intx ex dx precisaremos aplicar o meacutetodo da integraccedilatildeo por partes Considerando u = x e dv = ex dx teremos du = dx e v = ex Entatildeo
aplicando a foacutermula da integraccedilatildeo por partes intu dv = u middot v ndash intv du
ex y = xex ndash intex dx
ex y = xex ndash ex + c
Isolando a variaacutevel y
y = xexendashx ndash exendashx + c endashx
Portanto y(x) = x ndash 1 + c endashx c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 15Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo x
dydx = x2 ndash 5y
ResoluccedilatildeoVeja que a equaccedilatildeo diferencial natildeo estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)
Entatildeo primeiro temos que reescrevecirc-la na forma-padratildeo
Assim identificamos p(x) = 5x e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = int 5x
dx = 5 In x
= In x5
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
164
E assim o fator integrante v(x) = eintp(x)dx pode ser escrito como
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eIn x 5
v(x) = x5
Multiplicando a EDO por v(x)
x5 yprime + x5 5x
y = x x5
x5 yprime + 5x4 y = x6
Observe o lado esquerdo da igualdade Nele devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = x5 teremos uprime = yprime e vprime = 5x 4 Entatildeo
Integrando ambos os lados da igualdade
x5 y = intx6 dx
x5 y = x7
7 + c
y = x7
7 x ndash5 + cx ndash5
Portanto y(x) = x2
7 + cx ndash5 eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
A
x isin R
Exemplo 16
Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo dydx + 4x3 y = 20x3
ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x)
Identificamos p(x) = 4x3 e q(x) = 20x3
Vamos calcular a primitiva de p(x)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
165
H(x) = intp(x) dx entatildeo temos
H(x) = int4x3 dx = x 4
Escrevemos o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = ex 4
Multiplicamos a EDO por v(x)
ex 4 yprime + 4x3 ex 4 y = 20x3 ex 4
Observamos o lado esquerdo da igualdade nele devemos identificar a derivada do produto (u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = ex 4 teremos uprime = yprime e vprime = 4x3 ex 4 Entatildeo
Integramos ambos os lados da igualdade
ex 4 y = 20 intx3 ex 4 dx
A integral intx3 ex 4 dx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo
e y e c
y e e c e
x x
x x x
4 4
4 4 4
20 14
5
= sdot +
= sdot sdot + sdotminus minus
Portanto y c e x= + sdot minus54
A
x isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
O exemplo a seguir traz uma aplicaccedilatildeo praacutetica de EDO no movimento retiliacuteneo uniformemente variado
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
166
Exemplo 17Sabe-se que no movimento retiliacuteneo uniformemente variado a aceleraccedilatildeo
a = dvdt eacute constante Supondo que o movimento parte do repouso e sabendo que
v = dsdt determine s(t)
ResoluccedilatildeoPartimos da primeira EDO apresentada
dvdt = a
dsdt = v
intdv = inta dt dsdt = at + v0
v = at + c1 intds = int(at + v0) dt
v(t) = at + c1 s = at 2
2 + v0t + c2
s(t) = at 2
2 + v0t + c2
Fazendo c1 = v0 onde v0 seraacute a velocidade inicialbullbull bull
v(t) = at + v0 Substituindo c2 = s0 onde s0 seraacute a posiccedilatildeo inicial
bullbull bull s(t) = at 2
2 + v0t + s0
O proacuteximo exemplo traz um problema de valor inicial (PVI) Vamos entender como se resolve um problema que apresenta uma condiccedilatildeo inicial
Exemplo 18Resolva o seguinte problema do valor inicial yprime + 2
x y = x x gt 0 y(2) = 3
ResoluccedilatildeoIdentificamos p(x) = 2
x e q(x) = x
Vamos calcular a primitiva de p(x)
H(x) = int 2x
dx = 2 In |x|
H(x) = In x 2
Escrevemos o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
v(x) = eH(x) rArr v(x) = eIn x 2
v(x) = x 2
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
167
Multiplicamos a EDO por v(x)
x 2 yprime + x 2 2x
y = x 2 x
x 2 yprime + 2xy = x 3
Observando o lado esquerdo devemos identificar a derivada do produto
(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime
Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = x 2 teremos uprime = yprime e vprime = 2x Entatildeo
Integramos ambos os lados da EDO
x 2 y = intx 3 dx
x 2 y = x 4
4 + C
Portanto y(x) = x 2
4 + C
x 2
A
x isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado y(2) = 3 para encontrarmos a soluccedilatildeo particular
y = 2 2
4 + C
2 2 = 3
1 + C4
= 3
C4
= 2
C = 8
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
168
Portanto y(x) = x 2
4 + 8
x 2
A
x gt 0 eacute a soluccedilatildeo particular da EDO
Observe que a soluccedilatildeo deste problema de valor inicial eacute vaacutelida em todo intervalo ]0 +infin[ conforme a figura a seguir mostra esta soluccedilatildeo
FIGURA 54 ndash SOLUCcedilAtildeO DO PROBLEMA
FONTE O autor
Estudaremos outro tipo de equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem as chamadas equaccedilotildees diferenciais exatas onde destacamos o uso das derivadas parciais A seguir veremos a definiccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial exata e o teorema que estabelece um criteacuterio para identificar se uma EDO eacute exata
Definiccedilatildeo 151 Uma expressatildeo diferencial M(xy) dx + N(xy) dy eacute uma diferencial exata em uma regiatildeo R do plano xy se ela corresponde agrave diferencial total de alguma funccedilatildeo F(xy) ou seja dF= M(xy) dx + N(xy) dy
Teorema 151 (Criteacuterio para diferencial exata) Sejam M(xy) e N(xy) contiacutenuas e com derivadas parciais de primeira ordem contiacutenuas em uma regiatildeo R (retangular) definida por a lt x lt b e c lt y lt d Entatildeo uma condiccedilatildeo necessaacuteria e suficiente para que M(xy) dx + N(xy) dy seja uma diferencial exata eacute partM
party = partN
partx
5 EQUACcedilOtildeES EXATAS
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
169
51 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
bull Verificar se a equaccedilatildeo M(xy) dx + N(xy) dy eacute exata
bull Se for exata entatildeo existe uma funccedilatildeo f para a qual partf partx
= M(xy)
bull Integrando a equaccedilatildeo exata em relaccedilatildeo a variaacutevel x (mantendo o y constante) para encontrar f obtemos f (xy) = intM(xy) dx + o (y) onde a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) eacute a constante de integraccedilatildeo
bull Agora precisamos encontrar a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) Derive a funccedilatildeo f (xy) em relaccedilatildeo a variaacutevel y encontrada anteriormente e supomos que partf
party = N(xy) Da
comparaccedilatildeo determina-se oprime(y)
bull Finalmente integramos oprime (y) em relaccedilatildeo a y e substituiacutemos o valor encontrado para o (y) na funccedilatildeo f (xy)
bull A soluccedilatildeo eacute a funccedilatildeo impliciacuteta f (xy) = c
Exemplo 19Resolva a equaccedilatildeo diferencial (x+y)dx + (e y + x)dy = 0
ResoluccedilatildeoEm primeiro lugar precisamos verificar se esta equaccedilatildeo eacute exata
Sendo M(xy) = x + y e N(xy) = e y + x verificaremos se partM party
= partN partx
Como partM party
= 1 e partN partx
= 1 a EDO eacute exata
Entatildeo existe f (xy) tal que partf partx = x + y
Vamos integrar partf partx = x + y em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x (mantendo o y constante)
para encontrar f
f (xy) = int(x + y) dx
f (xy) = x 2
2 + xy + o (y)
Para encontrar a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivemos a funccedilatildeo f (xy) em relaccedilatildeo agrave y
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
170
Comparando a derivada parcial encontrada partf party
= x + oprime (y) com N(xy) partf party
= N(xy)
x + oprime (y) = e y + x daiacute temos
oprime (y) = e y
Agora vamos integrar oprime (y) = e y Entatildeo
intoprime(y)dy = int e dyy
o (y) = e y + c
Voltando na f (xy) e substituindo o (y) temos
f (xy) = x 2
2 + xy + e y + c c isin R
Definiccedilatildeo 152 Chamamos de curvas integrais as vaacuterias funccedilotildees (soluccedilotildees) de uma EDO
Exemplo 20Encontre as curvas integrais de 2xy dx + (x 2 ndash 1) dy = 0
ResoluccedilatildeoSendo M (xy) = 2xy e N (xy) = x 2 ndash 1 temos
partM party
= 2x = partN partx
Assim a EDO eacute exata
Entatildeo existe f (xy) tal que partf partx
= 2xy
Integrando partf partx
= 2xy em relaccedilatildeo a x obtemos
f (xy) = int2xy dx
f (xy) = x 2 y + o (y)
Agora encontraremos a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivando f (xy) em y
partf party
= x 2 + oprime (y)
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
171
Comparamos a derivada parcial encontrada acima com N (xy) partf party
= N (xy)
x 2 + oprime (y) = x 2 ndash 1 daiacute
oprime (y) = ndash1
Agora integramos oprime (y) = ndash1 Entatildeo
o (y) = ndash intdy
o (y) = ndash y + c
Logo f (xy) = x 2 y ndash y + c c isin R
Nos exemplos 19 e 20 a funccedilatildeo f (xy) estaacute na forma impliacutecita Escreva a funccedilatildeo na forma expliacutecita y = f (x)
Exemplo 21Resolva a EDO (y cos x + 2x e y) dx + (sen x + x 2 e y ndash 1) dy = 0
ResoluccedilatildeoVerifiquemos se a equaccedilatildeo diferencial eacute exata
Sendo M (xy) = y cos x + 2x e y e N (xy) = sen x + x 2 e y ndash 1 temos
partM party = cos x + 2x e y =
partN partx
Assim a EDO eacute exata
Logo existe f (xy) tal que partf partx
= y cos x + 2x e y
Integrando partf partx
= y cos x + 2x e y em relaccedilatildeo agrave x obtemos
f (xy) = int(y cos x + 2x e y) dx
f (xy) = y sen x + x 2 e y + o (y)
Agora encontraremos a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivando f (xy) em y
UNI
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
172
partf party
= sen x + x 2 e y + oprime (y)
Comparemos a derivada parcial encontrada partf party
= sen x + x 2 e y + oprime (y) com N (xy)
sen x + x 2 e y + oprime (y) = sen x + x 2 e y ndash 1
oprime (y) = ndash 1
Entatildeo
o (y) = ndash intdy
o (y) = ndashy + c c isin R
Logo f (xy) = y sen x + x 2 e y ndash y + c
Exemplo 22
Verifique se a equaccedilatildeo (x In y ndash e ndashxy) dx + 1y
+ y In x dy = 0 eacute exata
ResoluccedilatildeoSejam M (xy) = x In y ndash e ndashxy e N (xy) = 1
y + y In x
Entatildeo partM party
= x middot 1y
+ xe ndashxy e partN partx
= y middot 1x
vsAssim partM party
ne partN partx
Portanto a EDO natildeo eacute exata
OBSERVACcedilAtildeO Para resolver esta equaccedilatildeo diferencial eacute preciso utilizar um outro procedimento que natildeo veremos neste caderno mas que vocecirc pode encontrar por exemplo em BOYCE W DI PRIMA R C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores de contorno 7ordf Ed Satildeo Paulo LTC 2002
UNI
TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
173
Exemplo 23Encontre a curva integral da equaccedilatildeo (2x sen y + e x cos y) dx + (x 2 cos y ndash e x
sen y) dy = 0 que passa pelo ponto y (0) = p4
ResoluccedilatildeoO enunciado do exemplo 23 nos traz um problema de valor inicial para
uma EDO exata
Verificaremos se a EDO eacute exata
Sendo M (xy) = 2x sen y + e x cos y e N (xy) = x 2 cos y ndash e x sen y temos
partM party
= 2x cos y ndash e x sen y = partN partx
Assim a EDO eacute exata
Como a equaccedilatildeo eacute exata entatildeo existe f (xy) tal que partf partx
= 2x sen y + e x cos y
Integrando partf partx
= 2x sen y + e x cos y em relaccedilatildeo a x obtemos
f (xy) = int(2x sen y + e x cos y) dx
f (xy) = x 2 sen y + e x cos y + o (y)
partf party
= x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y)
Comparamos a derivada parcial encontrada partf party
= x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y) com N (xy)
x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y) = x 2 cos y ndash e x sen y
oprime (y) = 0
Agora integramos oprime (y) = 0 Entatildeo
o (y) = c
Logo f (xy) = x 2 sen y + e x cos y + c c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado y (0) =
p4
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
174
x 2 sen y + e x cos y = c
02 sen p4 + e 0 cos
p4 = c
c = radic22
Portanto x 2 sen y + e x cos y = radic22 eacute a soluccedilatildeo particular da EDO ou seja a
curva integral que passa pelo ponto y (0) = p4
Caro(a) acadecircmico(a) Se depois da leitura do Toacutepico 1 e da realizaccedilatildeo dos exerciacutecios ainda tiver duacutevidas procure esclarececirc-las antes de iniciar o estudo do Toacutepico 2 Bons estudos
NOTA
175
Neste toacutepico estudamos as Equaccedilotildees Diferenciais de Primeira Ordem
bull Iniciamos conhecendo os termos e conceitos relativos agraves equaccedilotildees diferenciais e a partir daiacute estudamos trecircs tipos de equaccedilotildees diferenciais
bull O primeiro tipo de equaccedilatildeo estudada foi a Separaacutevel cuja forma-padratildeo eacute dada
por yprime = p(x) middot q(y) ou dydx
= p(x) middot q(y) ou yprime q(y) = p(x) A resoluccedilatildeo deste tipo de
EDO eacute feita atraveacutes da separaccedilatildeo das variaacuteveis e em seguida faz-se a integraccedilatildeo da igualdade
bull O segundo tipo de equaccedilatildeo estudada foi a Equaccedilatildeo Diferencial Linear de Primeira
Ordem que tem a forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) ou dydx
+ p(x) y = q(x) Para a sua
resoluccedilatildeo utilizamos o fator integrante v(x) = eH(x) onde H(x) = intp(x)dx
bull E o terceiro tipo de equaccedilatildeo diferencial estudada foi a Equaccedilatildeo Exata cuja forma-padratildeo eacute expressa por M (xy) dx + N (xy) dy O procedimento de resoluccedilatildeo requer
que trabalhemos com partf partx
= M (xy) e partf party
= N (xy) seguindo todo o procedimento
jaacute estudado
RESUMO DO TOacutePICO 1
176
Nos problemas 1 e 2 resolva por separaccedilatildeo de variaacuteveis as equaccedilotildees diferenciais dadas
1 dydx
= (x + 1)2
2 dydt
= t 2
y 2
Nos problemas 3 e 4 resolva as equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem dadas
3 dydx
ndash 3x
y = x
4 dydx
+ y = e 3x
Nos problemas 5 e 6 resolva as equaccedilotildees diferenciais exatas
5 (5x + 4y)dx + (4x ndash 8y3)dy = 0
6 (sen y ndash y sen x)dx + (cos x + x cos y)dy = 0
Nas EDO a seguir identifique o tipo de EDO e encontre a funccedilatildeo desconhecida
7 yprime + 3x 2 y = x 2
8 dydx
= 3x 2 + 4x + 2
2 (y ndash 1) y (0) = 1
9 (3x 2 ndash 2xy + 2) + (6y 2 ndash x 2 + 3) yprime = 0
10 dydx
= e 3x + 2y
AUTOATIVIDADE
177
TOacutePICO 2
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE
PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI
21 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
No Toacutepico 2 estudaremos mais tipos de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem tais como Equaccedilotildees de Bernoulli e Equaccedilotildees homogecircneas A resoluccedilatildeo destas equaccedilotildees requer algum tipo de substituiccedilatildeo
Definiccedilatildeo 221 Uma equaccedilatildeo de primeira ordem da forma yprime + p(x) y = q(x) y n onde p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees definidas e contiacutenuas em algum intervalo I e n eacute um nuacutemero real tal que n ne 0 e n ne 1 eacute chamada de equaccedilatildeo de Bernoulli
bull Escrever a equaccedilatildeo na forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) y n
bull Identificar as funccedilotildees p(x) q(x) e o valor de n
bull Indicar a substituiccedilatildeo que seraacute feita e aplicar a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
bull Agora a EDO eacute uma linear de primeira ordem sendo uprime + p(x) u = q(x)
bull Calcular o fator integrante e obter a soluccedilatildeo
178
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
A equaccedilatildeo de Bernoulli y + p(x) y = q(x) y n que embora seja de primeira ordem e natildeo linear (quando n ne 1) se transforma em uma equaccedilatildeo diferencial linear atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y 1 ndash n
Vamos mostrar como que se chega agrave foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
Seja a equaccedilatildeo de Bernoulli dada por
yprime + p(x) y = q(x) y n
Multipliquemos a equaccedilatildeo por u = y ndashn
yprime y ndashn + p(x) yy ndashn = q(x) yn y ndashn
yprime y ndashn + p(x) y 1 ndash n = q(x) Vamos fazer uma substituiccedilatildeo u = y 1 ndash n Daiacute
uprime = (1 ndash n) y ndashn yprime
yprime = uprime
(1 ndash n) y ndashn
Retornando agrave equaccedilatildeo e fazendo as substituiccedilotildees obtemos
uprime(1 ndash n)
+ p(x) u = q(x)
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
Exemplo 1Encontre as curvas integrais para a equaccedilatildeo x dy
dx + y = x 2 y 2
ResoluccedilatildeoPrimeiro precisamos escrever a EDO na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de
Bernoulli
Seja xyprime + y = x 2 y 2 Multiplicando ambos os lados da igualdade por 1x
com x ne 0 obtemos
1x
middot (xyprime + y) = 1x
middot x 2 y 2
NOTA
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
179
1x
middot xyprime + 1x
middot y = 1x
middot x 2 y 2
yprime + 1x
y = xy 2
Agora a EDO estaacute na forma yprime + p(x) y = q(x) y n e poderemos transformaacute-la numa equaccedilatildeo diferencial linear considerando u = y ndash1 e
p(x) = 1x
q(x) = x e n = 2
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 2) middot 1x
middot u = (1 ndash 2) middot x
uprime + (ndash1) 1x
u = (ndash1) x
uprime ndash 1x
u = ndashx
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 1x
dx
H(x) = ndashIn x
v(x) = e ndashIn x
v(x) = x ndash1
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash1 em ambos os lados da igualdade obtemos
x ndash1 uprime ndash 1x
x ndash1 u = ndashxx ndash1
x ndash1 u = ndash intdx
x ndash1 u = ndashx + c
u = ndashx 2 + cx
180
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash1 feita no iniacutecio
y ndash1 = ndashx 2 + cx
y = (ndashx 2 + cx)ndash1
Portanto y(x) = 1
ndashx 2 + cx c isin R
Exemplo 2Resolva a EDO yprime + 4y = 3e 2x y 4
ResoluccedilatildeoA EDO jaacute estaacute na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de Bernoulli
Entatildeo aplicamos a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x) para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash3 e
p(x) = 4 q(x) = 3e 2x e n = 4
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 4) middot 4 middot u = (1 ndash 4) middot 3e 2x
uprime + (ndash3) middot 4u = (ndash3) middot 3e 2x
uprime ndash12u = ndash9e 2x
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int(ndash12) dx
H(x) = ndash12x
v(x) = e ndash12x
Multiplicando o fator integrante v(x) = e ndash12x em ambos os membros da igualdade obtemos
e ndash12x uprime ndash 12 e ndash12x u = e ndash12x (ndash9e 2x)
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
181
e ndash12x u = int(ndash9e ndash10x) dx
Para resolver esta integral vamos aplicar o meacutetodo da substituiccedilatildeo considerando
w = ndash10x rArr dw = ndash10 dx
Entatildeo e ndash12x u = 910
intew dw
e ndash12x u = 910
ew + c
e ndash12x u = 910
e ndash10x + c
e ndash12x e12x u = 910
e ndash10x e12x + c middot e12x
u = 910
e 2x + c middot e12x
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash3 feita no iniacutecio
u = 910
e 2x + c middot e12x
y ndash3 = 910
e 2x + c middot e12x
Portanto y(x) = 910
e 2x + c middot e12x
ndash⅓
c isin R eacute soluccedilatildeo geral da EDO proposta
Exemplo 3Encontre a soluccedilatildeo geral para a equaccedilatildeo xyprime + y = ndashxy 2
ResoluccedilatildeoEscrevendo a EDO na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de Bernoulli
Seja xyprime + y = ndashxy 2 multiplicamos ambos os lados da igualdade por 1x
1x
middot xyprime + 1x
middot y = ndash 1x
xy 2
yprime + 1x
y = ndashy 2
Assim a EDO estaacute na forma yprime + p(x) y = q(x) y n
Entatildeo aplicamos a foacutermula mostrada acima para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash1
182
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
p(x) = 1x
q(x) = ndash1 e n = 2
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 2) middot 1x
middot u = (1 ndash 2) (ndash1)
uprime + (ndash1) 1x
u = (ndash1) (ndash1)
uprime ndash 1x
u = 1
Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 1x
dx
H(x) = ndashIn x
v(x) = e ndashIn x
v(x) = x ndash1
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash1 na equaccedilatildeo obtemos
x ndash1 uprime ndash 1x
x ndash1 u = x ndash1
x u - x u = x-1 -2
derivada do produto
-1prime
ddx
x u = x-1 -1
x ndash1 u = int 1x
dx
x ndash1 u = In x + c
u = x In x + cx
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = u = y ndash1 feita no iniacutecio
y ndash1 = x In x + cx
Portanto y(x) = 1
x In x + cx c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 4Encontre as curvas integrais para a equaccedilatildeo yprime + 2
x y =
y 3
x 2
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
183
ResoluccedilatildeoA EDO eacute uma equaccedilatildeo de Bernoulli Entatildeo aplicamos a foacutermula uprime + (1 ndash n)
p(x) u = (1 ndash n) q(x) para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash2
p(x) = 2x
q(x) = 1x 2 e n = 3
uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)
uprime + (1 ndash 3) middot 2x
middot u = (1 ndash 3) 1x 2
uprime + (ndash2) 2x
u = (ndash2) 1x 2
uprime ndash 4x
u = ndash2x ndash2
Logo obtemos uma EDO linear Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx
H(x) = int ndash 4x
dx
H(x) = ndash 4 In x
v(x) = e ndash 4 In x
v(x) = e In x ndash 4
v(x) = x ndash 4
Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash 4 na equaccedilatildeo obtemos
x ndash 4 uprime ndash 4x
x ndash 4 u = ndash 2xndash2 middot x ndash 4
x ndash4 u = ndash 2 intx ndash6 dx
x ndash4 u = ndash 2 x ndash5
ndash5 + c
x ndash4 u = 25
x ndash5 + c
x 4 middot x ndash4 u = 25
x ndash5 middot x 4 + c middot x 4
184
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
u = 25
x ndash1 + c middot x 4
Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash2 feita no iniacutecio
y ndash2 = 25x
+ cx 4
Portanto c isin R satildeo curvais integrais (soluccedilotildees) da EDO
3 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS HOMOGEcircNEAS
31 FUNCcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
Vamos estudar equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem que podem ser transformadas em equaccedilotildees jaacute estudadas em seccedilotildees anteriores
Definiccedilatildeo 2311 Uma funccedilatildeo f = f (xy) eacute dita homogecircnea de grau n se substituindo-se x por λx e y por λy for verdadeira a igualdade f (λxλy) = λn f (xy) para todo real λ ne 0
Por exemplo as funccedilotildees listadas a seguir satildeo homogecircneas de graus
respectivamente trecircs um e zero f (xy) = xy 2 + x 2 y f (xy) = f (xy) = x + yx ndash 3y
Exemplo 5
Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = xy 2 + x 2 y eacute homogecircnea e se for indique o grau
ResoluccedilatildeoPara mostrar que f eacute homogecircnea devemos verificar a igualdade f (λxλy)
= λn f (xy) λ isin IR
f (λxλy) = λx (λy) 2 + (λx) 2 λy
f (λxλy) = λxλ2 y 2 + λ2x 2 λy
f (λxλy) = λ3xy 2 + λ3x 2y
f (λxλy) = λ3 (xy 2 + x 2y)
f (λxλy) = λ3 f (xy)
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
185
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau 3
Exemplo 6Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = eacute homogecircnea e se for indique o
grau
Resoluccedilatildeo
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau 1
Exemplo 7Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = xy 2 + ex + y eacute homogecircnea e se for indique o grau
Resoluccedilatildeo
f (λxλy) = λx (λy) 2 + eλx + λy
f (λxλy) = λxλ2y 2 + eλx + λy
f (λxλy) = λ3xy 2 + eλ(x + y)
f (λxλy) ne λn f (xy)
Portanto a funccedilatildeo f natildeo eacute homogecircnea
186
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Exemplo 8Verifique se a funccedilatildeo f (xy) =
x + yx ndash 3y
eacute homogecircnea e se for indique o grau
Resoluccedilatildeo
f (λxλy) = λx + λy
λx ndash 3λy
f (λxλy) = λ(x + y)
λ(x ndash 3y)
f (λxλy) = x + yx ndash 3y
f (λxλy) = f (xy)
Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau zero
32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS
Definiccedilatildeo 2321 Uma equaccedilatildeo diferencial homogecircnea eacute uma equaccedilatildeo da forma
yprime = f (xy)
onde f = f (xy) eacute uma funccedilatildeo homogecircnea de grau zero ou seja
f (λxλy) = f (xy)
A
λ ne 0
Definiccedilatildeo 2322 As equaccedilotildees diferenciais homogecircneas podem ser transformadas em equaccedilotildees do tipo M (xy) dx + N (xy) dy = 0 onde M e N satildeo funccedilotildees homogecircneas do mesmo grau
Isto quer dizer que a equaccedilatildeo M (xy) dx + N (xy) dy = 0 seraacute homogecircnea se M (λxλy) = λn M (xy) λ isin IR e N (λxλy) = λn N (xy) λ isin IR
Exemplo 9Verifique se a equaccedilatildeo (x 2 ndash y 2) dx ndash 5xy dy = 0 eacute homogecircnea
ResoluccedilatildeoTemos que verificar se M (λxλy) = λn M (xy) e N (λxλy) = λn N (xy) tecircm
mesmo grau
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
187
321 Meacutetodo de resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial
Seja uma EDO homogecircnea de primeira ordem vejamos como proceder para resolver esta equaccedilatildeo diferencial homogecircnea
O primeiro passo eacute colocar a equaccedilatildeo na forma dydx
= g yx onde g eacute uma
funccedilatildeo contiacutenua de uma uacutenica variaacutevel
Fazendo v = yx entatildeo y = vx e
dydx
= x dvdx
+ v e g yx fica g (v)
Entatildeo a equaccedilatildeo pode ser escrita como
x dvdx
+ v = g (v)
que pode ser reescrita na forma
dvg (v) ndash v
= dxx
Note que essa equaccedilatildeo eacute separaacutevel Entatildeo podemos resolvecirc-la como uma equaccedilatildeo diferencial separaacutevel e escrever a soluccedilatildeo em funccedilatildeo de x e de y
substituindo v por yx
M (xy) = x 2 ndash y 2 N (xy) = ndash5xy
M (λxλy) = (λx) 2 ndash (λy) 2 N (λxλy) = ndash5 (λx) (λy)
M (λxλy) = λ2 x 2 ndash λ2 y 2 N (λxλy) = ndash5 λ2xy
M (λxλy) = λ2 (x 2 ndash y 2) N (λxλy) = λ2 (ndash5xy)
M (λxλy) = λ2 M (xy) N (λxλy) = λ2 N (xy)
Portanto a equaccedilatildeo (x 2 ndash y 2) dx ndash 5xy dy = 0 eacute homogecircnea
Pode-se resolver uma equaccedilatildeo diferencial homogecircnea transformando-a em uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis fazendo uma substituiccedilatildeo adequada
188
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
Vejamos outra situaccedilatildeo seja uma equaccedilatildeo homogecircnea dada na forma M
(xy) dx + N (xy) dy = 0
Entatildeo M (xy) dx = -N (xy) dy rArr dydx
= M (xy)N (xy)
Como a equaccedilatildeo eacute homogecircnea M e N tecircm o mesmo grau de homogeneidade
n Entatildeo se dividirmos M e N por λn transformaremos ndash M (xy)N (xy)
numa funccedilatildeo do
tipo dydx
= g yx
Daiacute segue o mesmo procedimento acima
Exemplo 10Mostre que a equaccedilatildeo diferencial yprime =
3x 2 + y 2
xy eacute homogecircnea e encontre sua
soluccedilatildeo geral
ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo eacute homogecircnea pois supondo λ ne 0
f (λxλy) = 3(λx) 2 + (λy) 2
(λx) (λy)
f (λxλy) = λ2 (3x 2 + y 2)
λ2 (xy)
f (λxλy) = 3x 2 + y 2
xy
f (λxλy) = f (xy)
Definindo v = yx e substituindo na equaccedilatildeo diferencial temos
Como y = vx entatildeo dydx = x
dvdx + v
Logo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
3 + v 2
v
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
189
x dvdx =
3 + v 2
v ndash v
x dvdx =
3v
v dv = 3x
dx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
intv dv = int 3x
dx
v 2
2 = 3 In |x| + c c isin R
v 2 = 6 In |x| + 2c c isin R
Substituindo v por yx e k = 2c temos
y 2
x 2 = 6 In |x| + k k isin R
Logo a soluccedilatildeo geral tem a forma y 2 = 6x 2 In |x| + x2k k isin R
Exemplo 11Mostre que a equaccedilatildeo yprime =
2y 4 + x 4
xy 3 eacute homogecircnea e resolva a equaccedilatildeo diferencial
ResoluccedilatildeoVamos mostrar que a EDO eacute homogecircnea de grau zero supondo λ isin IR
f (λxλy) = 2(λy) 4 + (λx) 4
(λx) (λy) 3
f (λxλy) = 2λ4 y 4 + λ4 x 4
λ4xy 3
f (λxλy) = λ4 (2y 4 + x 4)
λ4xy 3
f (λxλy) = f (xy)
Definindo v = yx e substituindo na equaccedilatildeo diferencial temos
190
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
dydx =
2y 4 + x 4
xy 3
dydx =
2v 4 + 1v 3
Como y = vx entatildeo dydx = x
dvdx + v
Logo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
2v 4 + 1v 3
x dvdx =
2v 4 + 1v 3 ndash v
x dvdx =
v 4 + 1v 3
v 3
v 4 + 1 dv = dxx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
intv 3
v 4 + 1 dv = intdxx
14
In (v 4 + 1) = In |x| + c c middot R
In (v 4 + 1) = 4 In |x| + 4c
eIn (v 4 + 1) = e 4 In |x| + 4c
v 4 + 1 = e In x 4 + 4c
v 4 + 1 = x 4 e 4c c isin R
Fazendo k = e 4c temos
v 4 + 1 = kx 4
Isso nos daacute
v 4 = kx 4 ndash 1 k middot R
TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES
191
Substituindo v por yx temos
y 4
x 4 = kx 4 ndash 1
Logo y 4 = kx 8 ndash x 4 k isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO
Exemplo 12
Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo homogecircnea yprime = y 2 ndash x 2
2xy
ResoluccedilatildeoSejam y = vx e
dydx = x
dvdx + v A EDO natildeo linear homogecircnea assume a forma
dydx =
y 2 ndash x 2
2xy
dydx =
v 2 ndash 12v
Entatildeo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =
v 2 ndash 12v
x dvdx =
v 2 ndash 12v ndash v
x dvdx =
ndashv 2 ndash 12v
2vv 2 + 1
dv = ndash dxx
Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente
int2v
v 2 + 1 dv = ndashintdxx
In |v 2 + 1| = ndashIn |x| + c c isin R
In |v 2 + 1| + In |x| = c
192
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
eIn |v 2 + 1| + In |x| = e c
eIn |v 2 + 1| e In |x| = e c
|v 2 + 1||x| = ec
Substituindo v por yx e k = ec temos
Portanto y 2
x + x = k k isin R eacute soluccedilatildeo da EDO
193
Neste toacutepico vimos outros dois tipos de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem
bull As equaccedilotildees de Bernoulli e as equaccedilotildees exatas
bull A diferenccedila das equaccedilotildees estudadas no toacutepico anterior eacute que nestas precisamos fazer alguma substituiccedilatildeo para resolvecirc-las
bull A equaccedilatildeo linear de Bernoulli tem a forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) y n A substituiccedilatildeo que temos que fazer eacute dada por u = y 1ndashn e utilizamos a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x) Com isso a equaccedilatildeo eacute reduzida a uma equaccedilatildeo linear
bull A outra equaccedilatildeo estudada foi a equaccedilatildeo homogecircnea com forma-padratildeo M (xy)
dx + N (xy) dy = 0 onde M e N satildeo funccedilotildees homogecircneas do mesmo grau
Para obter a soluccedilatildeo devemos escrever a EDO na forma dydx
= g yx e fazer a
substituiccedilatildeo v = yx
RESUMO DO TOacutePICO 2
194
AUTOATIVIDADE
Nos problemas 1 e 2 resolva as equaccedilotildees diferenciais lineares de Bernoulli
1 x dydx + y =
1y 2
2 yprime = y (xy 3 ndash 1)
3 Resolva a equaccedilatildeo diferencial homogecircnea (x ndash y) dx + x dy = 0
Nas EDO a seguir identifique o tipo de EDO e encontre a funccedilatildeo desconhecida
4 xy 2 dydx = y 3 ndash x 3 y (1) = 2
5 x 2 dydx + y 2 = xy
6 (x 2 + y 2) dx + xy dy = 0
195
TOacutePICO 3
EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES
DE SEGUNDA ORDEM
UNIDADE 3
1 INTRODUCcedilAtildeO
2 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
Finalizamos a unidade com o Toacutepico 3 as equaccedilotildees diferenciais lineares de segunda ordem Aqui estudaremos apenas as equaccedilotildees lineares homogecircneas com coeficientes constantes Estas equaccedilotildees satildeo de resoluccedilatildeo mais simples devido a um procedimento de substituiccedilatildeo por uma equaccedilatildeo de segundo grau chamada de equaccedilatildeo caracteriacutestica ou auxiliar
Definiccedilatildeo 321 Uma equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem eacute da forma
a1 (x) d 2 y
dx 2 + a2 (x) dy
dx + a3 (x)y = o (x)
onde os coeficientes a1 (x) a2
(x) a3 (x) satildeo contiacutenuos e o (x) tambeacutem eacute uma
funccedilatildeo contiacutenua em algum intervalo I
Definiccedilatildeo 322 Uma equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem da forma
a1 (x) d 2 y
dx 2 + a2 (x) dy
dx + a3 (x)y = 0
eacute chamada de homogecircnea onde os coeficientes a1 (x) a2
(x) a3 (x) satildeo
contiacutenuos em algum intervalo I
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
196
Para as equaccedilotildees lineares homogecircneas eacute vaacutelido o princiacutepio da superposiccedilatildeo que diz que se y
1 (x) e y
2 (x) satildeo soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial entatildeo
y (x) = c1 y
1 (x) + c
2 y
2 (x)
tambeacutem o eacute para todas as constantes c1 e c
2 A expressatildeo colocada anteriormente eacute
chamada combinaccedilatildeo linear de y1 (x) e y
2 (x)
Isso eacute o que diz o teorema da superposiccedilatildeo onde a soma ou superposiccedilatildeo de duas ou mais soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo
Teorema 321 (Princiacutepio da superposiccedilatildeo ndash Equaccedilotildees Homogecircneas) Se y1
(x) e y2 (x) satildeo soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea em algum intervalo I
entatildeo a combinaccedilatildeo linear
y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2
(x)
onde c1 e c2 satildeo constantes arbitraacuterias eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo no intervalo I
Definiccedilatildeo 323 Para as equaccedilotildees diferenciais lineares homogecircneas fixadas as soluccedilotildees y1
(x) e y2 (x) definimos o wronskiano dessas soluccedilotildees pelo determinante
Joacutezef Maria Wronski (1778-1853) foi um matemaacutetico polonecircs O wronskiano eacute definido como um determinante cuja primeira linha eacute ocupada pelas funccedilotildees e as linhas seguintes satildeo formadas pelas suas derivadas ateacute a ordem n ndash 1 E o wronskiano pode ser utilizado como um teste de independecircncia linear para as soluccedilotildees das EDOs
Suponha que y1 (x) e y2
(x) sejam duas soluccedilotildees Entatildeo a combinaccedilatildeo linear dessas duas soluccedilotildees eacute uma soluccedilatildeo geral dada por
y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2
(x)
NOTA
UNI
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
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Derivando y (x) temos
yprime (x) = c1 yprime 1 (x) + c2 yprime
2 (x)
Substituindo-se x = x 0 nas equaccedilotildees obtemos o sistema de equaccedilotildees
y (x0) = c1 y1 (x0) + c2 y2
(x0)yprime (x0) = c1 yprime 1
(x0) + c2 yprime 2 (x0)
que pode ser escrito na forma A bull X = B em que
Logo o determinante da matriz A leva o nome de Wronskiano e eacute denotado por
W (y1 y2) (t) = det
Exemplo 1As funccedilotildees y1(x) = e 5x e y2(x) = e ndash 5x satildeo ambas soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial
linear homogecircnea yprimeprime ndash 25y = 0 no intervalo ]ndashinfin infin[ Verifique que o wronskiano eacute diferente de zero e escreva a soluccedilatildeo da EDO
ResoluccedilatildeoSejam y1(x) = e 5x e y2(x) = e ndash 5x Precisamos derivar as funccedilotildees para calcular o
wronskiano
yprime1(x) = 5e 5x e yprime2(x) = ndash5e ndash 5x entatildeo
W(x) = ndash5e ndash 5x middot e 5x ndash 5e 5x middot e ndash 5x = ndash 10 ne 0
W(x) =
Conforme o teorema acima a soluccedilatildeo dessa EDO tem a forma y (x) = c1 y1
(x) + c2 y2 (x)
Entatildeo y (x) = c1 e 5x + c2 e ndash 5x
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
198
Teorema 322 Sejam y1 (x) e y2
(x) soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea em algum intervalo I Entatildeo o conjunto de soluccedilotildees seraacute linearmente independente em I se e somente se W (x) ne 0 Ax isin I
Em resumo do que vimos sobre o wronskiano podemos concluir para que y1 (x)
e y2
(x) formem um conjunto fundamental de soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea basta que o wronskiano W (x) ne 0
A
x isin I
Exemplo 2Mostre que y1
(t) = t frac12 e y2 (t) = t ndash 1 formam um conjunto fundamental de
soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea 2t 2 yprimeprime + 3typrime ndash y = 0 no intervalo ]0 infin[
ResoluccedilatildeoPrecisamos verificar primeiro se y1
(t) e y2 (t) satildeo soluccedilotildees da EDO
Se y1 (t) = t frac12 entatildeo yprime1
(t) = 12
t ndash frac12 e yprimeprime1 (t) = -
14t- 32
Se y2 (t) = t ndash 1 entatildeo yprime2
(t) = ndasht ndash 2 e yprimeprime2 (t) = 2t ndash 3
Substituindo y1 (t) e suas derivadas na EDO temos
2t - 14
t + 3t 12
t -t = 0
- 12
t + 32
t -t = 0
2 - -32
12
12
12
12
12
Portanto y1 (t) eacute soluccedilatildeo da EDO
Agora substituindo y2 (t) e suas derivadas na EDO temos
2t 2 (2t ndash 3) + 3t (ndash t ndash 2) ndash t ndash 1 = 0
4t ndash 1 ndash 3t ndash 1 ndash t ndash 1 = 0
Portanto y2 (t) eacute soluccedilatildeo da EDO
Para que as funccedilotildees y1 (t) e y2
(t) formem um conjunto fundamental de soluccedilotildees
NOTA
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
199
da EDO pelos teoremas anteriores basta verificarmos que o wronskiano eacute diferente de zero para algum t gt 0 Assim
W (x) = ndasht ndash 3 2 ndash 12
t ndash 3 2 = ndash 32
t ndash 3 2 ne 0
Logo y1 (t) = t frac12 e y2
(t) = t ndash 1 formam um conjunto fundamental de soluccedilotildees da equaccedilatildeo 2t 2 yprimeprime + 3typrime ndash y = 0 Assim y (t) = c1t frac12 + c2t ndash 1
3 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ordf ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES
Vamos considerar apenas equaccedilotildees diferenciais da forma
a d 2 ydx 2 + b dy
dx + cy = 0
onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 Para esta equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea existem valores constantes de λ tais que y = eλx eacute uma soluccedilatildeo
Substituindo-se y = eλx dydx = λeλx e d
2 ydx 2 = λ2eλx na EDO obtemos
aλ2eλx + bλeλx + eλx = 0
eλx (aλ2+ bλ + c) = 0
Como eλx ne 0 entatildeo y = eλx eacute soluccedilatildeo de a d 2 ydx 2 + b dy
dx + cy = 0 se e somente se λ eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo aλ2+ bλ + c = 0
Definiccedilatildeo 331 A equaccedilatildeo aλ2+ bλ + c = 0 eacute chamada de equaccedilatildeo caracteriacutestica ou equaccedilatildeo auxiliar da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
200
31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
A natureza das soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea a d 2 y
dx 2 + b
dydx + cy = 0 depende da natureza das raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica correspondente
Para escrever as soluccedilotildees das equaccedilotildees diferenciais teremos trecircs casos a considerar Vamos empregar o teorema apresentado a seguir
Teorema 3311 Dada a equaccedilatildeo ayprimeprime + byprime + cy = 0 formamos a equaccedilatildeo caracteriacutestica aλ2+ bλ + c = 0
i) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes reais distintas λ1 e λ2 entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2eλ2x
ii) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem apenas uma raiz real λ entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2xeλx ou
y = (C1 + C2x) eλx
iii) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes complexas λ1 = α + bi e λ2 = α ndash bi entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eαx cos bx + c2eαx sen bx ou
y = eαx (c1 cos bx + c2 sen bx)
As raiacutezes λ1 e λ
2 da equaccedilatildeo caracteriacutestica satildeo chamados de autovalores
Exemplo 3Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 4yprime + 4y = 0
ResoluccedilatildeoConforme vimos acima devemos escrever a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 4λ + 4 = 0 e encontrar as suas raiacutezes
NOTA
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
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Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 42
λ = ndash 2
Assim a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1endash2x + c2xendash2x
Exemplo 4Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime ndash 15y = 0 Depois encontre a
soluccedilatildeo particular que satisfaz as condiccedilotildees iniciais y (0) = 0 e yprime (0) = ndash1
ResoluccedilatildeoResolvendo a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ ndash 15 = 0 temos
λ = ndash 2 plusmn 8
2
λ1 = ndash 2 ndash 8
2 = ndash 5
λ2 = ndash 2 + 8
2 = 3
A soluccedilatildeo geral eacute y = c1endash 5x + c2e3x
Substituindo as condiccedilotildees iniciais y (0) = 0 e yprime (0) = ndash1 na soluccedilatildeo geral obtemos
y = c1endash 5x + c2e3x e y (0) = 0 entatildeo
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
202
c1endash 5 bull 0 + c2e3 bull 0 = 0
c1 + c2 = 0
Agora yprime = ndash 5c1endash 5x + 3c2e3x e yprime (0) = ndash1 entatildeo
ndash 5c1endash 5 bull 0 + 3c2e3 bull 0 = ndash1
ndash 5c1 + 3c2= ndash1
Resolvendo o sistema c1 + c2 = 0ndash 5c1 + 3c2= ndash1
encontramos c1 = 18
e c2 = ndash 18
Portanto a soluccedilatildeo que satisfaz as condiccedilotildees iniciais eacute dada por
y = 18
endash 5x ndash 18
e3x
Exemplo 5Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime + 5y = 0
ResoluccedilatildeoConforme vimos acima devemos escrever a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ + 5 = 0 e encontrar as suas raiacutezes
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 2 plusmn 4i
2
λ = ndash 1 plusmn 2i
λ1 = ndash 1 ndash 2i
λ2 = ndash 1 + 2i
Assim pelo teorema a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = endashx (c1 cos 2x + c2 sen 2x)
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
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Exemplo 6Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime + y = 0
ResoluccedilatildeoResolvemos a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ + 1 = 0
Aplicando a foacutermula temos
λ = ndash 22
λ = ndash1
Assim a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1endashx + C2 xendashx
No graacutefico a seguir (Figura a seguir) estatildeo algumas soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial yprimeprime + 2yprime + y = 0
FIGURA 55 ndash ALGUMAS SOLUCcedilOtildeES DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL
FONTE O autor
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
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Exemplo 7Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 12y = 0
ResoluccedilatildeoResolvemos a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 12 = 0 temos
λ2 = ndash12
λ = plusmn radicndash12
λ = plusmn radic12i
λ = plusmn radic22 bull 3i
λ = plusmn 2 radic3i
λ1 = 2 radic3i
λ2 = ndash2 radic3i
Daiacute temos que α = 0 e b = 2 radic3
y = c1e0 bull x cos (2 radic3 x) + c2e0 bull x sen (2 radic3 x)
Portanto a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1 cos (2 radic3 x) + c2 sen (2 radic3 x)
LEITURA COMPLEMENTAR
Equaccedilotildees Diferenciais como Modelos Matemaacuteticos
MODELOS MATEMAacuteTICOS Eacute frequentemente desejaacutevel descrever o comportamento de algum sistema ou fenocircmeno da vida real em termos matemaacuteticos quer sejam eles fiacutesicos socioloacutegicos ou mesmo econocircmicos A descriccedilatildeo matemaacutetica de um sistema ou fenocircmeno chamada de modelo matemaacutetico eacute constituiacutedo levando-se em consideraccedilatildeo determinadas metas Por exemplo talvez queiramos compreender os mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populaccedilotildees de animais nesse sistema ou datar foacutesseis por meio da anaacutelise do decaimento radioativo de uma substacircncia que esteja no foacutessil ou no extrato no qual foi descoberta
A construccedilatildeo de um modelo matemaacutetico de um sistema comeccedila com
(i) a identificaccedilatildeo das variaacuteveis responsaacuteveis pela variaccedilatildeo do sistema Podemos a princiacutepio optar por incorporar todas essas variaacuteveis no modelo Nesta capa estamos especificando o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo
TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
205
A seguir
(ii) elaboramos um conjunto de hipoacuteteses razoaacuteveis ou pressuposiccedilotildees sobre o sistema que estamos tentando descrever Essas hipoacuteteses deveratildeo incluir tambeacutem quaisquer empiacutericas aplicaacuteveis ao sistema
Para alguns propoacutesitos pode ser perfeitamente razoaacutevel nos contentarmos com um modelo de baixa resoluccedilatildeo Por exemplo vocecirc provavelmente jaacute sabe que nos cursos baacutesicos de Fiacutesica a forccedila retardadora do atrito com o ar eacute agraves vezes ignorada na modelagem do movimento de um corpo em queda nas proximidades da superfiacutecie da Terra mas se vocecirc for um cientista cujo trabalho eacute predizer precisamente o percurso de um projeacutetil de longo alcance teraacute de levar em conta a resistecircncia do ar e outros fatores como curvatura da Terra
Como as hipoacuteteses sobre um sistema envolvem frequentemente uma taxa de variaccedilatildeo de uma ou mais das variaacuteveis a descriccedilatildeo matemaacutetica de todas essas hipoacuteteses pode ser uma ou mais equaccedilotildees envolvendo derivadas Em outras palavras o modelo matemaacutetico pode ser uma equaccedilatildeo diferencial ou sistema de equaccedilotildees diferenciais
Depois de formular um modelo matemaacutetico que eacute uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciais estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvecirc-los Se pudermos resolvecirc-lo julgaremos o modelo razoaacutevel se suas soluccedilotildees forem consistentes com dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema
Poreacutem se as prediccedilotildees obtidas pela soluccedilatildeo forem pobres poderemos elevar o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo ou levantar hipoacuteteses alternativas sobre o mecanismo de mudanccedila no sistema As etapas do processo de modelagem satildeo entatildeo repetidas conforme disposto no seguinte diagrama
FIGURA 56 ndash DIAGRAMA
HIPOacuteTESES
COMPARE AS PREDICcedilOtildeES DO
MODELO COM OS FATOS CONHECIDOS
FORMULACcedilAtildeO MATEMAacuteTICA
OBTENHA AS SOLUCcedilOtildeES
Expresse as hipoacuteteses em termos de equaccedilotildees
diferenciais
Exponha as prediccedilotildees do modelo (por exemplo
graficamente)
Resolva as EDsSe necessaacuterio altere as hipoacuteteses ou aumente a
resoluccedilatildeo do modelo
FONTE O autor
UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS
206
Naturalmente aumentando a resoluccedilatildeo aumentaremos a complexidade do modelo matemaacutetico e assim a probabilidade de natildeo conseguirmos obter uma soluccedilatildeo explicita
Um modelo matemaacutetico de um sistema fiacutesico frequentemente envolve a variaacutevel tempo t Uma soluccedilatildeo do modelo oferece entatildeo o estado do sistema em outras palavras os valores da variaacutevel (ou variaacuteveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado presente e futuro
DINAcircMICA POPULACIONAL Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio da matemaacutetica foi feita pelo economista inglecircs Thomas Malthus em 1978 Basicamente a ideia por traacutes do modelo malthusiano eacute a hipoacutetese de que a taxa segundo a qual a populaccedilatildeo de um paiacutes cresce em um determinado instante eacute proporcional agrave populaccedilatildeo total do paiacutes naquele instante Em outras palavras quanto mais pessoas houver em um instante t mais pessoas existiratildeo no futuro
Em termos matemaacuteticos se P(t) for a populaccedilatildeo no instante t entatildeo essa hipoacutetese pode ser expressa por
dPdt infin P ou
dPdt = k middot P (1)
onde k eacute uma constante de proporcionalidade Esse modelo simples embora natildeo leve em conta muitos fatores que podem influenciar a populaccedilatildeo humana tanto em seu crescimento quanto em seu decliacutenio (imigraccedilatildeo e emigraccedilatildeo por exemplo) natildeo obstante resulta ser razoavelmente preciso na previsatildeo da populaccedilatildeo dos Estados Unidos entre os anos de 1970 e 1980 As populaccedilotildees que crescem agrave taxa descriccedilatildeo por (1) satildeo raras entretanto (1) eacute ainda usada para modelar o crescimento de pequenas populaccedilotildees em um curto intervalo de tempo (crescimento de bacteacuterias em placas de Petri por exemplo)
FONTE Zill (2003 p 22-24)
207
Neste toacutepico vimos
bull A equaccedilatildeo diferencial na forma-padratildeo a d 2 y
dx 2 + b dydx + cy = 0 A sua resoluccedilatildeo se
resume em encontrar as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau aλ2+ bλ + c = 0 Apoacutes encontrar as raiacutezes da equaccedilatildeo aplica-se o teorema a seguir
bull Teorema 3311 Dada a equaccedilatildeo ayprimeprime + byprime + cy = 0 formamos a equaccedilatildeo caracteriacutestica aλ2+ bλ + c = 0
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes reais distintas λ1 e λ2 entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2eλ2x
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem apenas uma raiz real λ entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eλ1x + c2xeλx ou
y = (C1 + C2x) eλx
bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes complexas λ1 = α + bi e λ2 = α ndash bi entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma
y = c1eαx cos bx + c2eαx sen bx ou
y = eαx (c1 cos bx + c2 sen bx)
RESUMO DO TOacutePICO 3
208
AUTOATIVIDADE
Encontre a soluccedilatildeo geral das seguintes EDOs
1 yprimeprime ndash 3yprime + 2y = 0
2 8yprimeprime + 4yprime + y = 0
3 4yprimeprime + yprime = 0
4 yprimeprime ndash yprime ndash 6y = 0
5 yprimeprime + 9y = 0
6 12yprimeprime ndash 5yprime ndash 2y = 0
7 yprimeprime ndash 4yprime + 5y = 0
8 yprimeprime ndash 2yprime + y = 0
209
REFEREcircNCIAS
ANTON H BIVENS I DAVIS S Caacutelculo v 2 Poro Alegre Bookman 2007
BOYCE Willian E DIPRIMA Richard C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores de contorno Rio de Janeiro LTC 2002
FINNEY R WEIR M GIORDANO F Caacutelculo de George B Thomas Jr v 2 Satildeo Paulo Addison Wesley 2002
FLEMMING Diva Mariacutelia GONCcedilALVES Mirian Buss CAacuteLCULO B funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis integrais duplas e triplas 2deg ed Satildeo Paulo Makron Books do Brasil 2007
LEITHOLD Louis O Caacutelculo com geometria analiacutetica v 2 3deg ed Satildeo Paulo Harbra 1994
SIMMONS George F Caacutelculo com geometria analiacutetica v 2 Satildeo Paulo Pearson Makron Books 1987
ROGAWKI Jon Caacutelculo v 2 Porto Alegre Bookman 2009
STEWART James Caacutelculo v 2 Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 2006
ZILL Dennis G Equaccedilotildees diferenciais com aplicaccedilotildees em modelagem Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 2003
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ANOTACcedilOtildeES
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