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  • Modelao Numrica 2017

    Aula 10, 21/Mar

    Equaesdiferenciaissderivadasparciais

    h4p://modnum.ucs.ciencias.ulisboa.pt

  • Equaes diferenciais s derivadas parciais

    Muitosproblemasenvolvemasoluodeequaesdiferenciais.Asuasoluonumricarequerasua: DiscreBzao:oteoremadaamostragemdevesersaBsfeito. Transformaoemequaesalgbricas.

    Nocasodasequaesdiferenciaissderivadasparciaisexistemduasoumaisvariveisindependentes,podendoumadessasvariveisserotempo.

    convenienteclassificarosproblemasrepresentadosporestasequaesemduasclasses: Problemasdecondiesiniciais(dependentesdotempo). Problemasdecondiesfronteira(independentesdotempo).

  • Exemplos com primeiras e segundas derivadas

    Equaodeadveco(linear,1D):

    Equaodadifuso(linear,1D):

    EquaodePoisson(2D):

    EquaodeLaplace(2D):

    Equaodeondas(2D):

    @T

    @t

    = u@T@x

    , u = const

    @T

    @t

    = K@

    2T

    @x

    2, K = const

    @

    2V

    @x

    2+

    @

    2V

    @y

    2= f(x, y)

    @

    2T

    @x

    2+

    @

    2T

    @y

    2= 0

    @

    2u

    @t

    2= c2

    @

    2u

    @x

    2+

    @

    2u

    @y

    2

    1

    @T

    @t

    = u@T@x

    , u = const

    @T

    @t

    = K@

    2T

    @x

    2, K = const

    @

    2V

    @x

    2+

    @

    2V

    @y

    2= f(x, y)

    @

    2T

    @x

    2+

    @

    2T

    @y

    2= 0

    @

    2u

    @t

    2= c2

    @

    2u

    @x

    2+

    @

    2u

    @y

    2

    1

    @T

    @t

    = u@T@x

    , u = const

    @T

    @t

    = K@

    2T

    @x

    2, K = const

    @

    2V

    @x

    2+

    @

    2V

    @y

    2= f(x, y)

    @

    2T

    @x

    2+

    @

    2T

    @y

    2= 0

    @

    2u

    @t

    2= c2

    @

    2u

    @x

    2+

    @

    2u

    @y

    2

    1

    @T

    @t

    = u@T@x

    , u = const

    @T

    @t

    = K@

    2T

    @x

    2, K = const

    @

    2V

    @x

    2+

    @

    2V

    @y

    2= f(x, y)

    @

    2T

    @x

    2+

    @

    2T

    @y

    2= 0

    @

    2u

    @t

    2= c2

    @

    2u

    @x

    2+

    @

    2u

    @y

    2

    1

    @T

    @t

    = u@T@x

    , u = const

    @T

    @t

    = K@

    2T

    @x

    2, K = const

    @

    2V

    @x

    2+

    @

    2V

    @y

    2= f(x, y)

    @

    2T

    @x

    2+

    @

    2T

    @y

    2= 0

    @

    2u

    @t

    2= c2

    @

    2u

    @x

    2+

    @

    2u

    @y

    2

    1

  • Equao de Navier-Stokes

    Equaofundamentaldamecnicadefludos,comaplicaonaMeteorologia,Oceanografia,etc.

    umaequaodiferencialnolineardesegundaordem.

    Asoluonumricadestasequaesrequerasuatransformaoemequaesalgbricasdiscretas.Existemvriosmtodos:diferenasfinitas,elementosfinitos,mtodoespectral.

    @T

    @t

    = u@T@x

    , u = const

    @T

    @t

    = K@

    2T

    @x

    2, K = const

    @

    2V

    @x

    2+

    @

    2V

    @y

    2= f(x, y)

    @

    2T

    @x

    2+

    @

    2T

    @y

    2= 0

    @

    2u

    @t

    2= c2

    @

    2u

    @x

    2+

    @

    2u

    @y

    2

    @u

    @t

    = u@u@x

    v@u@y

    w@u@z

    1

    @p

    @x

    + fv + v

    @

    2u

    @x

    2+

    @

    2u

    @y

    2

    1

    Adveconolinear Difuso

  • Diferenas finitas

    SriedeTaylor:

    @T

    @t

    = u@T@x

    , u = const

    @T

    @t

    = K@

    2T

    @x

    2, K = const

    @

    2V

    @x

    2+

    @

    2V

    @y

    2= f(x, y)

    @

    2T

    @x

    2+

    @

    2T

    @y

    2= 0

    @

    2u

    @t

    2= c2

    @

    2u

    @x

    2+

    @

    2u

    @y

    2

    @u

    @t

    = u@u@x

    v@u@y

    w@u@z

    1

    @p

    @x

    + fv + v

    @

    2u

    @x

    2+

    @

    2u

    @y

    2

    f(x0 +x) = f(x0) +

    @f

    @x

    x=x0

    x+1

    2

    @

    2f

    @x

    2

    x=x0

    x2 +1

    3!

    @

    3f

    @x

    3

    x=x0

    x3 + ...

    @f

    @x

    x=x0

    =f(x0 +x) f(x0) 12

    @

    2f

    @x

    2

    x=x0x2 13!

    @

    3f

    @x

    3

    x=x0x3 + ...

    x

    =f(x0 +x) f(x0)

    x 1

    2

    @

    2f

    @x

    2

    x=x0

    x 13!

    @

    3f

    @x

    3

    x=x0

    x2 + ...

    =f(x0 +x) f(x0)

    x+O(x)

    (1)

    1

    @T

    @t

    = u@T@x

    , u = const

    @T

    @t

    = K@

    2T

    @x

    2, K = const

    @

    2V

    @x

    2+

    @

    2V

    @y

    2= f(x, y)

    @

    2T

    @x

    2+

    @

    2T

    @y

    2= 0

    @

    2u

    @t

    2= c2

    @

    2u

    @x

    2+

    @

    2u

    @y

    2

    @u

    @t

    = u@u@x

    v@u@y

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    1

    @p

    @x

    + fv + v

    @

    2u

    @x

    2+

    @

    2u

    @y

    2

    f(x0 +x) = f(x0) +

    @f

    @x

    x=x0

    x+1

    2

    @

    2f

    @x

    2

    x=x0

    x2 +1

    3!

    @

    3f

    @x

    3

    x=x0

    x3 + ...

    @f

    @x

    x=x0

    =f(x0 +x) f(x0) 12

    @

    2f

    @x

    2

    x=x0x2 13!

    @

    3f

    @x

    3

    x=x0x3 + ...

    x

    =f(x0 +x) f(x0)

    x 1

    2

    @

    2f

    @x

    2

    x=x0

    x 13!

    @

    3f

    @x

    3

    x=x0

    x2 + ...

    =f(x0 +x) f(x0)

    x+O(x)

    (1)

    f(x) = ex

    1

    h4ps://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

  • Diferenas finitas

    Diferenasavanadas:

    @T

    @t

    = u@T@x

    , u = const

    @T

    @t

    = K@

    2T

    @x

    2, K = const

    @

    2V

    @x

    2+

    @

    2V

    @y

    2= f(x, y)

    @

    2T

    @x

    2+

    @

    2T

    @y

    2= 0

    @

    2u

    @t

    2= c2

    @

    2u

    @x

    2+

    @

    2u

    @y

    2

    @u

    @t

    = u@u@x

    v@u@y

    w@u@z

    1

    @p

    @x

    + fv + v

    @

    2u

    @x

    2+

    @

    2u

    @y

    2

    f(x0 +x) = f(x0) +

    @f

    @x

    x=x0

    x+1

    2

    @

    2f

    @x

    2

    x=x0

    x2 +1

    3!

    @

    3f

    @x

    3

    x=x0

    x3 + ...

    @f

    @x

    x=x0

    =f(x0 +x) f(x0) 12

    @

    2f

    @x

    2

    x=x0x2 13!

    @

    3f

    @x

    3

    x=x0x3 + ...

    x

    =f(x0 +x) f(x0)

    x 1

    2

    @

    2f

    @x

    2

    x=x0

    x 13!

    @

    3f

    @x

    3

    x=x0

    x2 + ...

    =f(x0 +x) f(x0)

    x+O(x)

    (1)

    1

    @T

    @t

    = u@T@x

    , u = const

    @T

    @t

    = K@

    2T

    @x

    2, K = const

    @

    2V

    @x

    2+

    @

    2V

    @y

    2= f(x, y)

    @

    2T

    @x

    2+

    @

    2T

    @y

    2= 0

    @

    2u

    @t

    2= c2

    @

    2u

    @x

    2+

    @

    2u

    @y

    2

    @u

    @t

    = u@u@x

    v@u@y

    w@u@z

    1

    @p

    @x

    + fv + v

    @

    2u

    @x

    2+

    @

    2u

    @y

    2

    f(x0 +x) = f(x0) +

    @f

    @x

    x=x0

    x+1

    2

    @

    2f

    @x

    2

    x=x0

    x2 +1

    3!

    @

    3f

    @x

    3

    x=x0

    x3 + ...

    @f

    @x

    x=x0

    =f(x0 +x) f(x0) 12

    @

    2f

    @x

    2

    x=x0x2 13!

    @

    3f

    @x

    3

    x=x0x3 + ...

    x

    =f(x0 +x) f(x0)

    x 1

    2

    @

    2f

    @x

    2

    x=x0

    x 13!

    @

    3f

    @x

    3

    x=x0

    x2 + ...

    =f(x0 +x) f(x0)

    x+O(x)

    (1)

    1

  • @T

    @t

    = u@T@x

    , u = const

    @T

    @t

    = K@

    2T

    @x

    2, K = const

    @

    2V

    @x

    2+

    @

    2V

    @y

    2= f(x, y)

    @

    2T

    @x

    2+

    @

    2T

    @y

    2= 0

    @

    2u

    @t

    2= c2

    @

    2u

    @x

    2+

    @

    2u

    @y

    2

    @u

    @t

    = u@u@x

    v@u@y

    w@u@z

    1

    @p

    @x

    + fv + v

    @

    2u

    @x

    2+

    @

    2u

    @y

    2

    f(x0 +x) = f(x0) +

    @f

    @x

    x=x0

    x+1

    2

    @

    2f

    @x

    2

    x=x0

    x2 +1

    3!

    @

    3f

    @x

    3

    x=x0

    x3 + ...

    @f

    @x

    x=x0

    =f(x0 +x) f(x0) 12

    @

    2f

    @x

    2

    x=x0x2 13!

    @

    3f

    @x

    3

    x=x0x3 + ...

    x

    =f(x0 +x) f(x0)

    x 1

    2

    @

    2f

    @x

    2

    x=x0

    x 13!

    @

    3f

    @x

    3

    x=x0

    x2 + ...

    =f(x0 +x) f(x0)

    x+O(x)

    (1)

    f(x) = ex

    f(x0 x) = f(x0)@f

    @x

    x=x0

    x+1

    2

    @

    2f

    @x

    2

    x=x0

    x2 13!

    @

    3f

    @x

    3

    x=x0

    x3 + ...

    @f

    @x

    x=x0

    = f(x0 x) f(x0) 12

    @

    2f

    @x

    2

    x=x0x2 + 13!

    @

    3f

    @x

    3

    x=x0x3 + ...

    x

    =f(x0) f(x0 x)

    x+

    1

    2

    @

    2f

    @x

    2

    x=x0

    x 13!

    @

    3f

    @x

    3

    x=x0

    x2 + ...

    =f(x0) f(x0 x)

    x+O(

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