equaÇoes diferenciais

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Universidade Fumec EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – AULA 2 Introdução

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Universidade Fumec EQUAES DIFERENCIAIS AULA 2 Introduo Contedo Programtico Equaes Diferenciais 1. INTRODUO 1.1. Conceitos fundamentais 1.2. Equaes diferenciais ordinrias e equaes diferenciais parciais 1.3. Ordem, linearidade e homogeneidade de uma equao diferencial 1.4. Solues de uma equao diferencial 2. EQUAES DIFERENCIAIS DE VARIVEL SEPARVEL 3. EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1 ORDEM 4. EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES, ORDINRIAS, DE 2 ORDEM 5. EQUAES DIFERENCIAIS DE 2 ORDEM NO HOMOGNEAS Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais Princpios Naturais e Leis Fsicas: so expressas por equaes e as taxas de transformao nestas equaes so as derivadas. Equaes Diferenciais: so equaes que contm derivadas - Equao da Continuidade: ( ) ( ) ( )0 =cc+cc+cc+cczwyvxut - Segunda Lei de Newton: ( )tv mFcc=Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais - Pndulo Oscilando: 022= + uusenLgdtd- Lei matemtica simplificada que rege a populao de uma determinada espcie de animais e seus predadores naturais: k rpdtdp =- Queda-livre de uma corpo sujeito a resistncia do ar: v mgdtdvm =Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais Corpo em queda livre em funo das variveis tempo e velocidade dtdvm a m F = = .Onde : m massa do corpo g acelerao da gravidade (cte) - coeficiente de resistncia do ar (cte) v mgdtdvm =g m Fg. =v Fr. * =* Simplificao do comportamento da resistncia do arAs equaes diferenciais esto presentes na formulao diferencial dos modelos representativosdosfenmenosestudadosnascinciasfsicas,biolgicase sociais. Notao de Leibniz: ,... , ,3322dxy ddxy ddxdyNotao linha: ```,... ``, `, y y yNotao de Leibniz: Notao linha: ,xe ydxdy= +5, 0 622= + ydxdydxy dy xdtdydtdx+ = 2, `xe y y = +5, ` `` 0 6 = + y y yAnotaolinhausadasomenteparadenotarastrsprimeirasderivadas;a quarta derivada escrita como y(4), em vez de y Equaes Diferenciais Notaes das Equaes Diferenciais Exemplos: Equaesdiferenciaisordinrias (EDO):seafunodesconhecidadepende de uma nica varivel independente. Nestecaso,aparecemapenas derivadas simples. Equaes diferenciais parciais (EDP):seafunodesconhecidadependede diversasvariveisindependentes. Nestecaso,aparecemasderivadas parciais. 1 3 612 191 5 ) (cos 93 4 60 82 122222232243332222=cccc=|.|

\|+||.|

\|+||.|

\|= + +||.|

\|= += ++ =zyxyxdxdyx d y dx d y dxdxdyxx d y ddxdyx d y dydxdyxdxdyClassifique as equaes: Equaes Diferenciais Classificao das Equaes Diferenciais - Tipo Equaes Diferenciais para representar equaes diferenciais ordinrias de primeira e segunda ordem. Forma normal ) , ( y x fdxdy= ) ' , , ( y y x fdxy d=22e Por exemplo, a forma normal da equao de primeira ordem 4xy + y = xy = (x y)/4x Classificao das Equaes Diferenciais - Tipo Equaes Diferenciais Classificao por Grau e Ordem A Ordem de uma ED a ordem da mais alta derivada que aparece na equao. Exemplos: uma equao diferencial de segunda ordem e de primeiro grau. xe ydxdydxy d= |.|

\|+ 4 5322segunda ordem primeira ordem , 3 5 + = xdxdy1223344= + + + + ydtdydt y ddt y ddt y dO Grau de uma ED a potncia a que se eleva a derivada de mais alta ordemEquaes Lineares e no-lineares:

A equao diferencial 0 = ) ,..., " , ' , () (ny y y x F dita linear se F uma funo linear das variveis y, y, y,..., y(n-1)

Assim a equao diferencial ordinria linear geral de ordem n 00 111= + + + +) ( ) ( ' ) ( ) ( ) () ( ) (x g y x a y x a y x a y x annnn) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x g y x adxdyx adx y dx adxy dx annnnnn= + + + + 0 1111Equaes Diferenciais Classificao por linearidade Observam-seduaspropriedadescaractersticasdeumaequaodiferencial linear:1) Avariveldependenteetodasassuasderivadassodo1grau,isto,a potncia de cada termo envolvendo y 1.2) Cadacoeficientedependenomximodavarivelindependentex.As equaes diferenciais ordinrias lineares abaixo so, respectivamente, de 1, 2 e 3 ordem. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x g y x adxdyx adxy dx adxy dx annnnnn= + + + + 0 1111(y - x) dx + 4x dy = 0,y 2y + y = 0 e xdxdydxy de y x = + 533Equaes Diferenciais Classificao por linearidade Exemplo: 4' " 2 ' ' ' x yy y e yx= + +Equaesno-lineares:Umaequaodiferencialordinriano-linear simplesmente uma que no linear. Funes no-lineares da varivel dependente ou de suas derivadas, como seny ou e y, no podem aparecer em uma equao linear. Assim sendo, , 022= + senydxy d, ' ) (xe y y y = + 2 10244= + ydxy dTermo no-linear Coeficiente dependente de y Termo no-linear Funo no-linear de y Termo no-linear Potncia diferente de 1 Equaes Diferenciais Classificao por linearidade Classificar as equaes abaixo quanto a ordem, grau e linearidade 1 ' 5 ' ' ' + = xe xy yx xyy y x = ' 5 ' '2Ordem =3 Grau =1 linear Ordem =2 Grau =1 No linear xe y senx y + = ) ( 'Ordem =1 Grau =1 Linear xe xseny y + = 'Ordem =1 Grau =1 No linear Equaes Diferenciais Exerccios Equaes Diferenciais Homogeneidade y + f(x) y + g(x)y = r(x) Se r (x) = 0Equao Diferencial Homognea x2y + xy + (x2 1)y = 0 Se r (x) 0Equao Diferencial No-Homognea y + 4y = e-xsenx Uma soluo de uma equao diferencial na funo incgnita e na varivel independente, uma funoque atende a igualdade da equao dada. yx) (x yEx.:x c x sen c x y 2 cos 2 ) (2 1+ =Obs.: c1 e c2 so constantes arbitrrias 0 4' '= + y yx c x sen c x yx sen c x c x y2 cos 4 2 4 ) ( ' '2 2 2 cos 2 ) ( '2 12 1 = =( ) x c x sen c x c x sen c y y 2 cos 2 4 2 cos 4 2 4 4 ' '2 1 2 1+ + = + soluo para? Equaes Diferenciais Definio de Soluo Exerccio 1 Sim... soluo!!! Determine se c x x y + =2) ( soluo de 0 2 ' = x yEquaes Diferenciais Definio de SoluoDefinio de Soluo Exerccio 2 1 ) (2+ = x x y 1 ) ' (2 4 = + y y soluo para? Equaes Diferenciais Definio de Soluo Exerccio 3 Determine se x xxe e x y + = 2 ) ( soluo de 0 ' 2 ' ' = + + y y yEquaes Diferenciais Definio de Soluo Exerccio 4 Equaes Diferenciais b) y 2y + y = 0; y = xex Verifiqueseafunoindicadaumasoluodaequaodiferencialdadano intervalo (-, ). a) dy/dx = xy1/2; y = x4/16 Definio de Soluo Exerccio 5 Universidade Fumec EQUAES DIFERENCIAIS Obrigada!