trabalho Álgebra

Multiplicao de Matrizes, Matriz Inversa e

Partio

Jeerson Cavalcante

Edgleice Rodrigues

Jos Iran

Dyego Rocha

Aclio Luna

Roberto Bruno

20 de junho de 2011

Resumo

Este trabalho um resumo referente ao captulo 3 do Livro Ope-

raes com Matrizes para Engenheiros e Cientistas.

1 Produto Interno, Ortogonalidade e Norma

A multiplicao de matrizes baseada em produto de vetor linha (u) por

um vetor coluna (v), ambos com n elementos. Esse produto chamado de

produto interno ou produto escalar e denido por:

uv = u1v1 + u2v2 + ...unvn =n

i=1 uivi

Este tipo de produto tambm chamado de produto escalar, porque

mesmo que o os vetores tenham n elementos, o produto somente um esca-

lar.Por exemplo, sejam dois vetores u =[1 2 3 ]e u =

[2 4 0

]T,o

produto entre eles :

uv = (1)x(2)+(-2)x(4)+(3)x(0)=-6

Se esse vetor u no nulo, ento uuT igual a

1

uuT = u21 + u22 + ...u

2n =

ni=1 u

2i z

e a sua magnitude dada por ||u|| =uuT = (u21+ u

22+ ...u

2n)

1e chamada

de Norma Euclidiana ou Norma de Frobenius.

O nome norma euclidiana usado principalmente quando se trabalha com

espaos vetoriais. Por exemplo, seja o vetor u = a1i + a2j + a3k no espaoeuclidiano tri-dimensional e i, j e k vetores unitrios nas direes x, y e z.

A magnitude do espao vetorial dada por ||u||, enquanto a magnitude do

vetor dada por |u|.

Dois vetores de dimenso n, u e v, so ditos ortogonais se uv = 0 e ortonormais

se, alm de ortogonais, ||u|| = 1 e ||v|| = 1.

1.1 Uma Digresso sobre Normas

As caractersticas principais da norma de um vetor u so:

||u||>0,para u>0 e ||u||=0, para u=0;

||u+ v|| ||v||+ ||u||;

||u|| = ||||,onde um escalar.Dois importantes tipos de normas so a norma innita e a p-norma.

Para um vetor u, com elementosu1, u2, ..., un, temos:

1. Norma Innita:||u|| = max|u1|, |u2|, ..., |un|;

2. P-norma:||u||p = [|u1|p+ |u2|p + ...+ |um|p]1/p,onde p um inteiro po-sitivo.

Como se pode ver, a norma euclidiana ou norma de Frobenius de u a 2-

norma, ||u||2.A norma de Frobenius de uma matrizAmxn denida como ||A||z =

[ ni=1

nj=1 aij2

]1/2.

Uma norma mais simples para uma matriz Anxn ser discutida no estudo dematrizes exponenciais eA ||A||M = max|aij|; i, j = 1, 2...n.

2

2 Multiplicao de matrizes

Matrizes so tabelas que respeitam uma ordem de formao, possuem respec-

tivamente linhas e colunas. Esse tipo especial de tabela possui propriedades

e denies. Entre as propriedades mais importantes est a multiplicao de

matrizes. Antes de multiplicarmos duas matrizes devemos vericar se o n-

mero de colunas da primeira matriz igual ao nmero de linhas da segunda,

sendo registrada a igualdade podemos realizar a operao. A multiplicao

consiste em uma regra prtica geral, observe passo a passo como deve ser

feita a multiplicao. Devemos sempre multiplicar na seguinte ordem: linha

x coluna.

A =

4 3 23 3 05 3 1

e

B =

2 31 46 1

Ento, sabemos que, podemos efetuar o produto AB, pois valem as condies

bsicas de multiplicao das matrizes.

A =

4 3 23 3 05 3 1

B =

2 31 46 1

AB =

7 263 211 28

3

Se queremos especicar, mais precisamente o produto, podemos: 4 3 23 3 05 3 1

2 31 46 1

= 7 263 21

1 28

Quando precisamos calcular o quadrado ou a potncia maior de uma matriz

dada:

3 Formas Quadrticas

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A forma quadrtica associada a

A a expresso:

Q(x) =n

i=1

nj=1 aijxixj = x

T Ax

Em que

x =

x1x2.

.

.xn

Toda forma quadrtica est associada a uma matriz simtrica. Note que,

x

T Ax = (xT Ax)T = xT ATx

E assim

x

T Ax = xT Ax+xT AT x

2

que igual

x

T AAT

2 simtrica

x Q(x) = xT AAT2x

4

Ex. x21+7x223x23+4x1x2+2x1x3 =

[x1 x2 x3

] 1 2 12 7 01 0 3

x1x2x3

Note que:

I) Os coecientes dos termos ao quadrado esto na diagonal prin-

cipal;

II) Os coecientes dos outros termos esto nas posies

x1x2 (1, 2)e(2, 1)x1x3 (1, 3)e(3, 1)x2x3 (2, 3)e(3, 2)

Obs. x

T Ax = x|Ax

Toda a forma quadrtica ortogonalmente diagonalizvel.

A forma quadrtica x

T Ax com A simtrica, diz-se:

denida positiva se x

T Ax > 0, para todox 6= ~0,denida negativa se x

T Ax < 0, para todox 6= ~0,semidenida positiva se x

T Ax 0, para todoxdenida positiva se x

T Ax 0, para todox.

Diz-se indenida se no estiver em qualquer destas situaes. Diz-se tambm

que a matriz A denida positiva, ou denida negativa, se a forma quadr-

tica x

T Ax denida positiva ou negativa.

Uma matriz simtrica A denida positiva se os valores prprios so po-

sitivos.

x

T Ax = 1y21 + 2y

22 + + ny2n

5

1, 2, , n valores prpriosx =

[v1 v2 vn

]y

v1, v2, , vn vetores prprios ortonormais

Nota: se x = ~0ey = ~0.Se 1, 2, , n > 01y

21 + 2y

22+, ,+ny2n ||x

T Ax

> 0,y 6= 0 l

x6=0

Se um < 0 x := vi(vetor prprio associado)x

T Ax = vT Avi = vTivi = i||vi||2 < 0

A matriz A denida negativa se -A denida positiva.

Exemplo 3.4: Denir a forma quadrtica da matriz :

A =

7 4 48 1 128 4 1

.x

T A = [7x1 8x2 8x3, 4x1 + x2 4x3, 4x1 + 12x2 + x3]Q(x) = xT A = 7x21 4x1x2 84x1x3 + x22 + 8x2x3 + x2.

4 A Matriz Inversa

5 Matrizes Ortogonais

6 Aprova da regra de Cramer

A prova para a regra de Cramer muito simples, na verdade ele utiliza ape-

nas duas propriedades dos determinantes. A primeira propriedade que a

adio de qualquer mltiplo de uma coluna para outra no altera o valor do

determinante, enquanto a segunda propriedade que multiplicar cada ele-

mento de uma coluna por um fator que multiplica o valor do determinante

pelo mesmo fator.

Dado n equaes x1, x2...xn.

6

a11x1 + a12x2 + ...a1nxn = b1a1x1 + a2x2 + ...a1nxn = b2...an1x1 + an2x2 + ...annxn = bn regra de Cramer d, para o valor de x1, a expresso:

x1 =

det

b1 a12... a1nb2 a22... a2n...bn an2... ann

det

a11 a12... a1na21 a22... a2n...an1 an2... ann

que pode ser vericado usando as propriedades acima de determinantes. De

fato, substituindo b1, b2...bna partir das equaes do sistema, este quociente igual a

x1 =

det

(a11x1 a12x2 + ... a1nxn)a12...a1n...

(a21x1 a22x2 + ... a2nxn)a22...a2n...

(an1x1+ an2x2 + ...annxn an2...ann)an2...ann

det

a11 a12... a1na21 a22... a2n...an1 an2... ann

Subtraindo-se da primeira coluna da segunda multiplicada por x2, terceiracoluna multiplicada por x3, e assim sucessivamente at a ltima coluna mul-tiplicada por xn, encontrado para ser igual a:

x1 =

det

a11x1 a12... a1na21x1 a22... a2n...

an1x1 an2 ...ann

det

a11 a12... a1na21 a22... a2n...an1 an2 ...ann

e de acordo com o remanescente dos bens determinantes o fator comum x 1

7

na primeira coluna do numerador pode ser fatorada do determinante. Por-

tanto, este igual a

x1 =

det


det


Isto equivalente equao matricialx1x2...xn

= Exemplo 3.7. Use regra de Cramer para resolver o sistema de equaesx1 + 2x2 + x3 = 8;2x1 x2 + 2x3 = 6;x1 + 3x2 3x3 = 4

7 Partio de Matrizes

No estudo de matrizes muito til em alguns casos dividir as matrizes por

meio de linhas tracejadas entre algumas de suas linhas e colunas, como se

pode ver no exemplo abaixo:

A =

1 3 4 0 1 3 21 1 2 1 1 3 14 0 1 2 2 3 3

No exemplo, a matriz A foi dividida em seis submatrizes:

A =

[A11 A12 A13A21 A22 A23

]

8

onde,

A11 =

1 3 41 1 24 0 1

, A12 = [ 0 11 1], A13 =

[3 23 1

], A21 =

[4 0 1

], A22 =

[2 2 ]

e A23 =[3 3 ]

Cada sub-matriz chamada matriz em bloco e a subdiviso chamada par-

tio de matrizes. Um exemplo prtico da aplicao de matrizes em blocos

ocorre quando cada matriz em bloco governa uma parte de um complexo

sistema linear de equaes diferenciais de primeira ordem. Se duas matrizes

mxn, A e B, so particionadas da mesma forma, o escalonamento das ma-

trizes corresponde ao escalonamento das matrizes em bloco, enquanto ABcorresponde a soma ou diferena das matrizes em bloco. Por exemplo, se:

A =

1 2 40 3 12 2 1

, ento kA = [ kA11 kA12kA21 kA22

],

onde

A11 =

[1 20 3

], A12 =

[41

], A21 =

[ 2 2 ] e A22 = [ 1 ] = 1.Analogamente,

B =

1 2 20 3 41 0 2

, com B11 = [ 1 20 3], B12 =

[ 24

], B21 =

[1 0

]e B22 =

[2]= 2.

9

Da segue que:

AB =[A11 B11 A12 B12A21 B21 A22 B22

]

O produto de matrizes em bloco obedece mesma regra do produto de ma-

trizes.

Exemplo:

Sejam A e B matrizes, tais que:

A =

1 3 4 0 1 3 21 1 2 1 1 3 14 0 1 2 2 3 3

e B =

1 20 12 21 12 11 23 1

,

Como A uma matriz 3x7 e B uma matriz 7x2, ento a matriz produto AB

uma matriz 3x2. Considerando agora A e B como matrizes particionadas,

tais que:

A =

[A11 A12 A13A21 A22 A23

], onde

A11 =

[1 3 41 1 2

], A12 =

[0 11 1

], A13 =

[3 23 1

], A21 =

[4 0 1

]e A22 =

[2 2 ] e A23 = [ 3 3 ] .

e B =

B11B21B31

, onde10

B11 =

2 10 12 2

, B21 = [ 1 12 1]

e B31 =

[ 1 23 1

]

O produto AB dado por:

AB =

[A11B11 + A12B21 + A13B31A21B11 + A22B21 + A23B31

]=

2 614 28 13

As matrizes particionadas podem ser usadas para reduzir um tipo especial de

matriz 2x2, com elementos reais, para a chamada forma normal de Jordan.

Exemplo: Sejam R e S matrizes 2nx2n, cada uma particionada em quatro

matrizes em bloco nxn.

R =

[P -Q

Q P

]e Q =

[P Q

-Q P

].

Encontrar a matriz produto RS, quandoR = A - In e Q = In, com e , nmeros reais e > 0, onde A uma matriz em bloco nxn e In umamatriz identidade nxn.

Veriquemos a relao da matriz RS com a matris M, tal que

[

]com um parmetro escalar.

SOLUO:

RQ =

[P -Q

Q P

] [P Q

-Q P

]=

[P 2 +Q2 00 P 2 +Q2

]

11

Substituindo os valores de P e Q, citados acima, temos:

P 2 +Q2 = (A In)2 + 2In = A2 + 2A+ (2 + 2)In, ento

RQ =

[A2 + 2A+ (2 + 2)In 00 A2 + 2A+ (2 + 2)In

]

Expandindo det M, temos a expresso quadrtica:

p() = det

[

]= 2 + 2+ 2 + 2

Se substituirmos por A e 2 + 2 por (2 + 2)In , a expresso polino-mial quadrtica p() se torna a matriz polinomial p(A) , dada por:p(A) = A2 + 2A+ (2 + 2)In .

Vamos considerar a matriz A, particionada em nove matrizes em bloco, tal

que

A =

Apxp11 Apxq12 Apxr130 Aqxq22 Aqxr230 0 Arxr33

onde Apxp11 uma matriz pxp, Aqxq22 uma matriz qxq, Arxr33 uma matriz

rxr e p + q + r = n. O expoente de cada elemento que no est na diagonal

mostra a dimenso da matriz em bloco.

Agora, assuma B = A1 e In a matriz identidade nxn. Ento a equaoAB = In pode ser representada pela seguinte equao de matrizes em bloco:

12

A11 A12 A130 A22 A230 0 A33

B11 B12 B13B21 B22 B23B31 B32 B33

= Ip 0 00 Iq 0

0 0 Ir

Onde Ip a matriz identidade pxp, Iq a matriz identidade qxq e Ir amatriz identidade rxr. Este produto equivalente s nove equaes de ma-

trizes em bloco, nas quais as sub-matrizes Bij devem ser determinadas:

A11B11 + A12B21 + A13B31 = IpA11B12 + A12B22 + A13B32 = 0A11B13 + A12B23 + A13B33 = 0A22B21 + A23B31 = 0A22B22 + A23B32 = IqA22B23 + A23B33 = 0A33B31 = 0A33B32 = 0A33B33 = Ir

Determinando todas as sub-matrizes Bij e incorporando na equao B = A1

, temos:

A111 A111 A12A122 A111 [A12A122 A133 A13A133 ]0 A122 A122 A23A1330 0 A133

Exemplo:

Dada a matriz

A =

2 2 0 10 3 1 20 0 1 20 0 0 1

Calculando a matriz inversa pelo mtodo citado acima, temos

13

A1 =

111

31

35

6

0 13

13

43

0 0 1 20 0 0 1

8 Matriz e mnimo quadrado prprio da curva

9 Matrizes e equao de Laplace

14

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