libro de Álgebra

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LGEBRA PARA FUTUROS PROFESORES DE ENSEANZA BSICA

JULIO 2012

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P R O H I B I D A S U R E P R O D U C C I N T O T A L O P A R C I A L P g i n a | 2

D o c u m e n t o e l a b o r a d o e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o F O N D E F D 0 9 I - 1 0 2 3

AUTORES DE LA COLECCIN

Anita Araneda, Pontificia Universidad Catlica de Chile

Eugenio Chanda, Universidad de Chile

Pablo Dartnell, Universidad de Chile

Luis Dissett, Pontificia Universidad Catlica de Chile

Mara Jos Garca, Pontificia Universidad Catlica de Chile

Macarena Larran, Universidad Del Desarrollo

Renato Lewin, Pontificia Universidad Catlica de Chile

Alejandro Lpez, Universidad Nacional Andrs Bello

Rubn Lpez, Universidad Catlica de la Santsima Concepcin

Salom Martnez, Universidad de Chile

Andrs Ortz, Universidad Catlica de la Santsima Concepcin

Cristin Reyes, Universidad de Chile

Horacio Solar, Universidad Catlica de la Santsima Concepcin

Mara Alejandra Sorto, Texas State University

Mara Leonor Varas, Universidad de Chile

Pierina Zanocco, Universidad Santo Toms

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CONTENIDO

CAPTULO 1: EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1.1 Introduccin 1.2 Conceptos Fundamentales 1.3 Potencias 1.4 Monomios y Polinomios 1.5 Factorizacin 1.6 Orientaciones para el Trabajo en Aula

CAPTULO 2: ECUACIONES e INECUACIONES

2.1 La igualdad 2.2 Ecuaciones 2.3 Sistema de Ecuaciones 2.4 Desigualdades e Inecuaciones 2.5 Orientaciones para el Trabajo en Aula

CAPTULO 3: PATRONES

3.1 Patrones 3.2 Secuencias 3.3 Orientaciones para el Trabajo en Aula

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Expresiones Algebraicas

1.1 Introduccin

El uso de smbolos nos permite expresar relaciones u operaciones entre cantidades o magnitudes,

de tal manera que en una sola expresin o "frmula" podemos resumir muchos casos.

Por ejemplo, para describir un nmero par cualquiera, podemos usar la expresin 2 n con n un nmero natural cualquiera. Esto es debido a que los nmeros pares son aquellos que son

mltiplos de 2, es decir son iguales a 2 multiplicado por un nmero natural n , o sea 2 n . Mediante smbolos, o lenguaje algebraico tambin podemos describir la siguiente situacin: la

suma de dos nmeros es 25, como 25a b . Notamos que a y b denotan los dos nmeros, los

cuales no conocemos, y a b es su suma, la situacin descrita es entonces 25a b .

En geometra aparecen numerosos ejemplos de expresiones que involucran smbolos. Por

ejemplo, decimos que el rea de un rectngulo es su largo multiplicado por el ancho, lo cual se

puede expresar convenientemente como rea l a , donde l es el largo del rectngulo y a es su

ancho. Por ejemplo, el rea de un rectngulo de largo 5 cm y ancho 4 cm es 20 cm 2 . La frmula

de rea nos permite obtener el rea de cualquier rectngulo, slo debemos conocer su largo y su

ancho.

El lenguaje algebraico tambin nos permite expresar propiedades de los nmeros. Por ejemplo, la

propiedad conmutativa de la suma la podemos expresar como sigue:

Para todos los nmeros a y b se cumple que a b b a .

En este caso las letras a y b representan nmeros, la frase anterior dice que siempre se tendr

que a b b a , es decir, no importa el orden en que se realice la suma.

Un aspecto fundamental, que debemos siempre tener en cuenta al trabajar con expresiones que

involucren smbolos, es que stos representan nmeros, as todas las operaciones se deben

realizar de igual manera que se haran con nmeros y en particular se satisfacen las mismas

propiedades. Por ejemplo, se tiene que (3 ) 3x z x x z como consecuencia de la

propiedad distributiva.

El uso de smbolos o letras, nos permite expresar propiedades y frmulas de manera compacta y

sencilla facilitando su comprensin y estudio. Antiguamente, las frmulas y propiedades se

expresaban en lenguaje natural, como puede verse por ejemplo en el libro "al-Kitab almukhtasar fi

hisab al-jabr wal-mukabalaque fue traducido en el siglo XII al latn como "Algebra et Almucabal"

de donde se acua el trmino moderno de lgebra.

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El ttulo de este libro puede traducirse como "Libro de la reduccin y la cancelacin, del

matemtico rabe Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi (780-850 A.C.). En este libro se encuentra

la siguiente frmula:

``la cosa y diez es multiplicado por la cosa menos diez, entonces esto es lo mismo que si se dijera la

cosa multiplicado por la cosa, es un cuadrado positivo, y diez por la cosa es diez cosas positivas;

menos diez por la cosa es diez cosas negativas, ahora restamos lo negativo de lo positivo, y slo

queda un cuadrado. Menos diez multiplicado por diez es cien, que se debe sustraer del cuadrado.

Por lo tanto resulta un cuadrado menos cien''.

En notacin moderna este texto nos dice:

2( 10)( 10) 10 10 1010 100.x x x x x x x

Tal como lo muestra el ejemplo anterior el lenguaje natural puede ser muy confuso, por ejemplo

considere el siguiente truco:

Piensa en un nmero, smale 8, multiplcalo por 4, rstale 3, smale 7, divdelo por 4 y rstale 9.

Seguro terminaste con el mismo nmero que pensaste!

No es fcil entender por qu el truco funciona sin usar lenguaje algebraico, pero al usar una

expresin que traduzca esta situacin es clara la explicacin. Describamos el procedimiento

utilizado en el truco, usando lenguaje algebraico:

denotamos x el nmero pensado

8x es el nmero ms8

al multiplicar este resultado por 4 obtenemos ( 8) 4x

si a este resultado le restamos 3 resulta ( 8) 4 3x

al sumar 7 obtenemos ( 8) 4 3 7x , es decir ( 8) 4 4x

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si dividimos el nmero resultante por 4 el resultado es (( 8) 4 4) 4x que es igual a

(( 8) 4) 4 4 4 ( 8) 1 9x x x

si a este nmero le restamos 9 queda 9 9x x , es decir, luego de seguir los pasos

del truco el resultado es el nmero pensado x .

Es importante notar que el uso correcto de parntesis es clave para expresar la situacin descrita.

En el lenguaje natural no se usan parntesis y esto puede llevar a ambigedades al escribir

expresiones algebraicas. Por ejemplo, para representar algebraicamente el enunciado el triple de,

un nmero cualquiera ms dos la expresin algebraica que lo representa es . Sin

embargo, si no nos fijamos en la coma que separa las dos partes de la frase, podemos pensar

que la expresin algebraica es , es decir, el triple de un nmero cualquiera ms dos. Es

evidente que podran darse ambigedades, sobre todo al escuchar este enunciado pues en el

lenguaje oral las comas no siempre se aprecian con claridad. Por ello, para usar el parntesis de

manera apropiada al traducir del lenguaje natural al lenguaje algebraico, se requiere de una

lectura extremadamente cuidadosa.

1.2 Conceptos Fundamentales Desde pequeos los nios se familiarizan con expresiones numricas como

3 4

2 3

24 :8 .

Estas expresiones matemticas sencillas nos acompaan toda la vida. Por ejemplo para sumar el

precio de una compra que consiste de 3kg de papas a $659 cada uno y 1 litro de aceite a $1.459,

escribimos

3 659 1.459 .

Ejemplos

1. Se quiere cambiar el piso de una cocina para lo cual hay que calcular el rea de esta

superficie, que tiene una forma de L, cuyas medidas se indican en el dibujo

3,8m

2,6m 2,4m

1,4m

1,2m 1m

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La expresin que nos permitir realizar los clculos se obtendr dividiendo la figura en dos

rectngulos, es decir, calculando

1.4 2.6 2.4 1.2 .

2. Daniel tena 4 veces la cantidad de bolitas que tiene Jos pero perdi 5. Si Jos tiene 12

bolitas, Cuntas tiene ahora Daniel? La expresin que permitir responder la pregunta es

4 12 5

Ejercicio

Escriba dos expresiones que le permitan calcular el rea sombreada, suponiendo que cada

cuadradito es de 1cm por 1cm.

El paso de estas expresiones numricas a expresiones algebraicas puede ser bastante natural. Por

ejemplo se puede decir que en el ejemplo 2 anterior, no hemos contado an la cantidad de bolitas

que tiene Jos y que sin embargo tenemos una expresin para calcular cuntas bolitas tiene

Daniel, dependiendo de cuntas tenga Jos, lo que anotaremos como J mientras tanto:

4 5J

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Una expresin algebraica es una secuencia de nmeros y letras unidos mediante operaciones

matemticas.

Las letras en las expresiones algebraicas se denominan variables y representan un nmero

cualquiera dentro de un conjunto determinado (o que se subentiende dependiendo del contexto).

Por ejemplo x y es una expresin algebraica que representa la suma de las variables x e y , en

esta expresin dichas variables pueden ser nmeros cualesquiera. Tambin 1x

es una expresin

algebraica que expresa 1 dividido por x, pero en este caso la variable x no puede tomar el valor 0

Muchas veces las variables en las expresiones algebraicas producen confusin, por ejemplo,

cmo podramos calcular el valor de x y si no conocemos el valor de x ni el de y ? Para

comprender esta expresin, no debemos olvidar que ella representa un nmero, el cual solamente

podemos determinar si es que conocemos el valor de x y el valor de y .

Al trabajar con expresiones algebraicas usaremos algunas convenciones. Al escribir

multiplicaciones y remplazaremos el signo por (x) utilizando en su lugar el punto () para no

confundir expresiones como 2 3 con 2 3x . Ms an, para denotardos veces x o el doble de x se

utilizar 2x o tambin 2x , sin embargo debemos usar el signo () cuando aparezcan

multiplicaciones con nmeros. Observamos que el orden en que se multiplica x y 2 no importa

debido a que la multiplicacin es conmutativa, es decir , es lo mismo que , pero por

convencin en una multiplicacin denotaremos primero los nmeros y luego las letras as en este

caso lo usual es usar 2x . Al igual que al trabajar con nmeros tambin omitiremos el signo por (

) ) cuando hay parntesis en las expresiones. As 2( )x y denota 2( ).x y Es importante

sealar que lo anterior es una convencin de escritura, pero no es incorrecto no usarla.

Ejercicios:

1. Encuentre una expresin numrica que permita contar el nmero de puntos de la figura

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2. Exprese los siguientes enunciados, utilizando expresiones algebraicas:

a) La cuarta parte de un nmero.

b) El doble del doble de un nmero.

c) Un mltiplo de 11.

d) La suma de tres nmeros naturales consecutivos.

e) El triple de un nmero menos la quinta parte de l.

f) El producto entre dos nmeros impares consecutivos.

g) La suma de tres nmeros pares consecutivos.

h) La diferencia de dos nmeros impares.

i) El producto entre un nmero natural y el sucesor de l.

3. Exprese en lenguaje natural las siguientes expresiones:

a) 2 2a

b) 3( 4)x

c) 1

22

b

d) 2a b

e) ( 1)( 2)m m

4. En cada uno de los siguientes enunciados, escriba al menos dos expresiones que pueden

representarlo y fundamente acerca de si dichas expresiones son iguales o no En cada caso

explicita la relacin entre la frase, el uso de parntesis y la expresin resultante.

a) El doble de un nmero menos su quinta parte.

b) Un nmero menos su mitad ms su doble

Como mencionamos en la introduccin, muchas frmulas de geometra se representan mediante

expresiones algebraicas.

Ejemplos:

1. Teorema de Pitgoras: En un tringulo rectngulo de catetos con longitud a y b y de

hipotenusa con longitud c , se tiene que 2 2 2a b c .

2. El rea de un tringulo rectngulo de base b y altura h est dada por 1

2bh

.

3. El rea de un paralelogramo de base a y altura h est dada por ah .

Las expresiones algebraicas tambin nos permiten expresar frmulas que provienen de otros

contextos, por ejemplo: la edad de Isabel hace tres aos se puede expresar mediante la expresin

3i , donde i representa la edad de Isabel. As, podemos hacer uso de las expresiones algebraicas

para describir situaciones que aparecen en problemas de enunciado, por ejemplo:

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Antonia tena inicialmente l lpices de los cuales son de cera y el resto son de palo. Ella pierde

1/ 3 de sus lpices de cera, 1/ 4 de sus lpices de palo y le regalan una caja de 20 lpices de cera.

Cuntos lpices tiene Antonia?

Para encontrar el nmero de lpices que tiene Antonia, primero notamos que ella inicialmente

tiene l c lpices de palo. Ella pierde 1

3c lpices de cera y

1( )

4l c lpices de palo, por lo que le

quedan 2

3c lpices de cera y

3( )

4l c lpices de palo. Como le regalan 20 lpices de palo, ella

tiene un nmero total de lpices dado por 2 3

( ) 203 4

c l c .

Ejercicios:

1) Encuentre expresiones algebraicas para describir las siguientes situaciones:

a) Edad de Juan en 5 aos ms.

b) n filas de 6 sillas cada una.

c) 54 personas repartidas equitativamente en n buses. d) La edad de Pedro ms 7 veces la de Agustn.

2) Para cada una de las siguientes expresiones algebraicas escriba un problema con enunciado tal

que su respuesta se exprese con dicha expresin:

a) El 55% de a

b) 4 2x

c) 2 1a

d) ( 5) 100i

e) 0,125 3b

f) ( 1) /a b

Las expresiones algebraicas nos permiten tambin expresar regularidades o patrones, como se

muestra en el siguiente problema:

En la figura se muestran tringulos equilteros cuyos lados estn formados por crculos, partiendo

por el primero cuyo lado tiene 2 crculos, el siguiente cuyo lado tiene 3 crculos y as sucesivamente

tal como se muestra en la figura:

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Cuntos crculos se necesitan para formar el tringulo nmero 10?cuntos para el nmero 154?

y cuntos para el tringulo nmero n ?

En este problema se nos solicita descubrir una regularidad o patrn. Se puede continuar la

secuencia para responder a la primera pregunta, pero si queremos encontrar el nmero de

crculos para la figura 154 es ms razonable describir esta regularidad usando una expresin

algebraica que exprese el nmero de crculos que se necesitan para la figura n y despus

reemplazar en dicha expresin el valor 154n . Para encontrar la expresin, observamos que en

cada paso incrementamos en un crculo el lado del tringulo. En el tringulo 1 tenemos tres

crculos que corresponden a los vrtices del tringulo, en el dos tenemos los tres crculos en los

vrtices ms un crculo por lado, es decir tenemos 3 3 6 crculos. En el tringulo 3 tenemos los

tres crculos en los vrtices y dos crculos en cada lado, como tenemos tres lados el nmero de

crculos es 3 2 3 9 . Podemos anotar en una tabla los valores encontrados

N de tringulo N de crculos por lado sin contar vrtices

N de crculos en el tringulo

1 0 3

2 1 3+3=6

3 2 3+3x2=9

4 3 3+3x3=12

Observamos que en la primera columna aparece la variable nmero de tringulo (primer

tringulo, segundo tringulo, etc). En la segunda columna aparece el nmero de crculos que

tiene cada uno de los lados sin contar los vrtices, por ejemplo, el primer tringulo slo tiene tres

vrtices, as el nmero de crculos del lado del primer tringulo sin contar los vrtices es 0. Vemos

que los valores que aparecen en la segunda columna se pueden determinar si se conocen los

valores de la primera columna, es decir podemos determinar el nmero de crculos por lado sin

contar vrtices en trminos de la variable nmero de tringulo. Tambin observamos que la

tercera columna de la tabla se determina de las primeras dos, para calcular el nmero de crculos

en el tringulo, basta multiplicar por tres el nmero de crculos por lados (sin contar los vrtices) y

luego sumarle tres crculos (correspondientes a los vrtices).

Al continuar la tabla nos damos cuenta que en el tringulo n tenemos 1n crculos en cada uno de los 3 lados (sin contar los crculos de los vrtices), por lo que el nmero de crculos en el

tringulo n est dado por3 3( 1) 3n n . Esta frmula vale para cualquier n , por lo que

podemos reemplazar 154n para determinar el nmero de crculos del tringulo 154, as

obtenemos que tiene 3154 462 crculos.

Es importante notar que una misma expresin algebraica puede aparecer en distintas frmulas. Su

sentido depender del contexto. Por ejemplo la expresin 4a puede expresar el permetro de un

cuadrado de lado a , puede ser el rea de un tringulo de base a y altura 8 , y tambin puede ser

el valor de cuatro dulces de valor a pesos cada uno.

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EN RESUMEN:

El uso del lenguaje algebraico nos facilita describir situaciones sin las ambigedades del lenguaje natural

Las expresiones algebraicas nos ayudan a: - expresar frmulas - modelar situaciones provenientes de distintos contextos - expresar regularidades

Las letras o variables siempre representan nmeros.

Ejercicios:

1) Considere la secuencia de figuras formadas por palitos de fsforo, tal como se muestra en la

figura.

Si se contina la misma secuencia de ir agregando cuadrados, a la izquierda de la figura anterior,

cuntos palitos de fsforos se usaran en la figura 10? cuntos para la figura n ?

2) En el problema anterior, algunos alumnos y alumnas escribieron las siguientes respuestas para

determinar la cantidad de palitos que tiene la figura . A saber:

Respuesta 1:

Respuesta 2: .

Fundamente cmo llegaron a expresar dichos resultados. Qu estaban pensando, para llegar

a dichas expresiones?

3) Proponga dos secuencias de figuras cuyo trmino n est dado por ( 2) 1n y 2( 1)n

respectivamente.

Al trabajar con expresiones algebraicas, siempre debemos tener presente que las expresiones

algebraicas representan nmeros y por lo tanto las propiedades de las operaciones de los nmeros

que conocemos son vlidas cuando trabajamos con dichas expresiones. As, las operaciones entre

expresiones algebraicas se rigen por las mismas propiedades que las operaciones entre nmeros,

vale decir, verifican la conmutatividad, asociatividad, distributividad, etc.

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Mediante estas propiedades podemos deducir frmulas a partir de otras conocidas. Es importante

notar que puede haber muchas maneras de deducir una misma frmula. A modo de ejemplo,

deduzcamos una frmula para el rea del trapecio de base mayor b , base menor y altura h

como se muestra en la figura:

Una primera manera de deducirla es usando la frmula del rea del paralelogramo, procediendo

como se muestra en la figura.

Otra forma de deducirla, es dividiendo el trapecio en tres figuras disjuntas: un rectngulo de lado 'b y altura h cuya rea est dada por

'b h , un tringulo rectngulo de base a y altura h con rea

1

2ah , y otro de base c y altura h con rea

1

2ch . As el rea del trapecio A est dada por

1 1

2 2A b h ah ch , y por la propiedad distributiva obtenemos que

1( 2 ) .

2A a c b h

Queremos que nuestra frmula quede slo en trminos de b , 'b y h , para esto observamos que

a c b b , es decir a c b b . Utilizando esto obtenemos que 1

( 2 )2

A b b b h , es

decir 1

( )2

A b b h .

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Las propiedades de las operaciones y los nmeros se expresan en trminos de expresiones

algebraicas y como dijimos anteriormente son vlidas al trabajar con expresiones. Dada la

importancia de estas propiedades, las volveremos a enunciar:

1.2.1 Propiedades de las Operaciones

Sean , ,x y z nmeros reales, entonces se cumplen las siguientes propiedades de las operaciones:

Conmutatividad de la adicin: x y y x

Asociatividad de la adicin: ( ) ( )x y z x y z

Elemento neutro de la adicin: 0x x

Inverso aditivo de la adicin: Para cada nmero x existe un nmero que denotaremos

x tal que ( ) 0x x

Conmutatividad de la multiplicacin: xy yx

Asociatividad de la multiplicacin: ( ) ( )x yz xy z

Elemento neutro de la multiplicacin:1 x x

Inverso multiplicativo: Para cada nmero x distinto de cero existe un nmero que

denotamos por 1x

1

x tal que

1 1xx

Distributividad de la multiplicacin respecto a la suma: ( )x y z xy xz

La propiedad asociativa de la adicin dice que no necesitamos usar parntesis para sumar tres

nmeros, ya que podemos sumarlos en cualquier orden. As, sin lugar a confusin podemos

escribir ( )x y z ( )x y z como x y z . De igual manera, la propiedad asociativa de la

multiplicacin dice que no hay que usar parntesis para denotar xyz .

A partir de las propiedades mencionadas arriba se pueden deducir otras, por ejemplo:

Para todo nmero real 0 0x .

Esta propiedad se conoce como la propiedad absorbente del 0, la podemos deducir a partir de las

propiedades de las operaciones de los nmeros enunciadas anteriormente las cuales sabemos

ciertas. Llamaremos teorema a una propiedad que se puede demostrar a partir de propiedades ya

conocidas.

Teorema:

Para todo nmero real 0 0x .

Demostracin:

Sabemos que

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multiplicando por un nmero real , a ambos lados de la igualdad

utilizando la propiedad distributiva, se tiene y, finalmente sumando a ambos lados el inverso aditivo de , se tiene

Asociando y aplicando propiedad del inverso aditivo se tiene

Ejemplo:

Verifiquemos que 15 (3 ) 45 15x y x xy . Primero, usando la propiedad distributiva tenemos

que 15 (3 ) (15 )3 (15 )x y x x y , luego por la propiedad conmutativa de la multiplicacin

tenemos que (15 )3 (15 ) 3(15 ) (15 )x x y x x y y por la propiedad asociativa de la

multiplicacin tenemos que 3(15 ) (15 ) 45 15x x y x xy , as 15 (3 ) 45 15x y x xy .

Ejercicios:

Indique que propiedades se estn utilizando para obtener las siguientes igualdades:

a) 4( 2 ) 4 8x y x y

b) 4 12 3 4

x z x x z

c) (3 )(5 ) 15x y xy

d) 0 0xy

e) (15 ) 15xy xy

f) 2 2(15 ) (15 )x z zy z x y

1.2.2 La regla de los signos

La propiedad distributiva es clave para entender la denominada ``regla de los signos", resumida en

el dictum menos por menos da ms", la cual memorizamos desde nios y que muchas veces

jams comprendimos cabalmente porque nos resulta contra intuitiva. A menudo esta regla se

explica usando metforas o analogas que incluyen enemigos, amigos, enemigos de los enemigos,

etc. Lo cierto es que este no es un problema trivial, los ms grandes matemticos de occidente

tuvieron serios problemas con l durante 400 aos. No fue sino hasta comienzos del siglo XIX que

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fue plenamente aceptada para los nmeros, si bien ya se usaba libremente para expresiones

algebraicas. Existan hasta ese momento dos operatorias, una para los nmeros, sin la regla de los

signos, y otra para las letras, en donde s vala la regla. Esta dificultad probablemente se debi al

profundo arraigo entre los matemticos de la idea de nmero como magnitud geomtrica, de

modo que poco sentido tena el considerar nmeros negativos, ya que no hay magnitudes

geomtricas negativas. Los nmeros negativos aparecieron en la India, probablemente en el

contexto del comercio, donde hay haberes y deudas. Como dijimos, su adopcin en occidente fue

difcil. Lo cierto es que la regla de los signos es el resultado necesario de exigir que las operaciones

con los nmeros negativos verifiquen las mismas reglas que las operaciones con nmeros

positivos.

La regla de los signos se expresa en el siguiente teorema, el cual demostraremos a partir de las

propiedades de los nmeros.

Teorema: Si a y b son nmeros reales, entonces ( )( )a b ab y ( ) ( )a b ab .

Demostracin:

En efecto, si a y b son dos nmeros reales se tiene que:

( )( ) ( ) ( )( ) ,

( )

0

0

a b a b a b b

a

distributividad

definicin de inverso aditivo,

propiedad del 0.

Por otra parte,

( ) ( ( ) )

0

0

ab a b a a b

b

distributividad,

definicindeinverso aditivo,

propiedadde

l 0,

o sea, ( )( ) ( ) ( ) ,a b a b ab a b luego podemos cancelar ( )a b y obtenemos

( )( )a b ab .

Dejamos como ejercicio al lector probar que ( ) ( )a b ab .

Vemos que para demostrar la regla de los signos slo hemos usado propiedades generales de los

nmeros, as la regla de los signos es cierta independiente de nuestras intuiciones.

1.2.3 Evaluacin de Expresiones Algebraicas

Definicin: Evaluar una expresin algebraica significa dar un valor numrico concreto a cada letra

que en ella aparece y calcular el nmero resultante.

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Por ejemplo al evaluar la expresin 2

2aa

en 2a obtenemos 2

2 2 32

, observamos que

debemos remplazar el valor 2 cada vez que aparece a en la expresin. Al evaluar expresiones que involucran ms de una variable los valores considerados pueden ser iguales o distintos, por

ejemplo podemos evaluar la expresin 4xy x en 1x , 1y y obtenemos 4 1 5 , pero

tambin la podemos evaluar en 5x , 3y lo que entrega

45( 3) 5 60 5 55

No siempre es posible evaluar una expresin algebraica en cualquier valor, por ejemplo la

expresin algebraica

3a xy

x y

no se puede evaluar cuando x y , ya que para poder evaluarla el denominador de la expresin

debe ser un nmero distinto de 0. Por lo tanto los valores numricos asignados a x e y deben

ser distintos.

Al evaluar expresiones debemos calcular el resultado de una expresin numrica, por ejemplo

para evaluar 23 5 3x x en 3x debemos calcular

23 3 5 3 3

y realizando las operaciones directamente obtenemos

23 3 5 3 3 3 9 15 3 27 18 45.

Sin embargo, es ms sencillo realizar el clculo usando las propiedades de las operaciones,

procediendo de la siguiente manera

2 23 3 5 3 3 3(3 5 1) 3(9 5 1) 3 15 45.

Tambin es til realizar simplificaciones al evaluar expresiones que involucren fracciones. Por

ejemplo si deseamos evaluar la expresin

3 1

3 (25 )1 3

x xx x

x x

en 4x debemos calcular el resultado de la siguiente expresin

3 4 4 1 7 53 4 (25 4) 3 4 29 .

4 1 4 3 3 7

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Podemos calcular esta expresin fcilmente si simplificamos de la siguiente manera

7 5 5 145 3413 4 29 4 7 29 28 .

3 7 7 7 7

Ejercicios:

1. Escriba una situacin para cada una de las siguientes expresiones algebraicas. Luego calcule el

valor de cada expresin para a = 36. Asegrese que su expresin tenga sentido para el valor

a=36.

a) a 6;

b) 5 + a;

c) a 4;

d) 100 a;

e) a 5;

f) a 12;

g) ;

h) 2a 2;

2. Evale la expresin

3

2 (25 5 )5

xy x

x

en 2y y 12.x

3. Explique cmo calcular, sin usar calculadora, la expresin numrica

33 27 19 7

3 .81 11 5 4

4. Al evaluar la expresin 3

55

x

x

en 4x un alumno obtuvo 3 , cul es el posible error que

el alumno cometi.

1.2.4 Operaciones entre Expresiones Algebraicas

Como dijimos previamente, las operaciones con expresiones algebraicas tienen las mismas

propiedades que las operaciones con nmeros, ya que las variables siempre representan nmeros.

Por ejemplo, para multiplicar (3 )( 2)x y usamos la propiedad distributiva y obtenemos

(3 )( 2) 3( 2) ( 2) 3 6 2 .x y y x y y xy x

Vemos que el procedimiento utilizado es anlogo al que se realiza con nmeros, de hecho para

multiplicar (3 10)(20 2) podemos proceder de manera similar:

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(3 10)(20 2) 3 (20 2) 10(20 2) 3 22 10 22 66 220 286.

Notamos que para realizar el clculo anterior no usamos el algoritmo usual de la multiplicacin.

Tambin podemos sumar expresiones algebraicas, por ejemplo

(3 3 5) (4 2 2 ) 3 3 5 4 2 2

3 2 3 4 5 2 5 7 3.

x y y x x y y x

x x y y x y

Vemos que hemos utilizados diversas propiedades de las operaciones (cules?) en los distintos

pasos realizados. Al igual que en el ejercicio anterior podemos ilustrar que el procedimiento

utilizado para realizar la suma, es anlogo a lo que se realiza para sumar nmeros, por ejemplo:

(3 100 3 10 5) (4 10 2 2 100) 300 30 5 40 2 200

300 200 30 40 5 2 500 70 3 573.

Cuando queremos operar con expresiones algebraicas que involucran fracciones procedemos de

igual modo. Por ejemplo para calcular

1 1

xy x

partimos encontrando un denominador comn, por ejemplo 2xy x x y as

2

1 1.

x xy

xy x x y

Esta expresin puede ser simplificada notando que (1 )x xy x y o sea x es un factor del

numerador, as:

2

1 1 (1 ) 1.

x xy x y y

xy x x y x x y xy

Podramos haber obtenido la misma expresin observando que xy es un denominador comn y

por lo tanto:

1 1 1

,y

xy x xy

que es la misma expresin que obtuvimos anteriormente luego de simplificar. El procedimiento

utilizado es similar al que usamos para sumar fracciones:

1 1 1 7 8

13 7 13 13 7 91

.

Versi

n Pr

elimi

nar



Ejercicios:

1) Realice las siguientes operaciones explicando las similitudes de los procedimientos

utilizados:

a) 2 5

3 5 7

y

2

7

y

x y

.

b) 1 3

( 5)( 3) 5x x x

y

1 3

( 3)y x y

.

c) 2( 3 1)( 5)x x x y (100 30 1)(10 5) .

1.2.5 Igualdad de Expresiones Algebraicas

Muchas expresiones algebraicas distintas pueden representar siempre los mismos nmeros, por

ejemplo ( 4)( 4)x x y 2 16x siempre son iguales, ya que si x es un nmero cualquiera

usando las propiedades de las operaciones (cules?) podemos probar que se tiene

2 2( 4)( 4) ( 4) 4( 4) 4 4 16 16x x x x x x x x x

lo que es una igualdad entre dos expresiones. Lo anterior, es particularmente importante pues

uno de los objetivos del lgebra es precisamente determinar cuando dos expresiones son iguales y

a veces bajo que condiciones se tiene igualdad.

Definicin: Diremos que dos expresiones algebraicas son iguales si es posible transformar una en

la otra usando las propiedades de los nmeros. A una igualdad entre dos expresiones algebraicas

se le llamar una identidad.

Observamos que si dos expresiones son iguales, entonces al evaluarlas en valores de sus variables

deben entregar el mismo valor.

Ejemplo:

1) Veamos expresiones algebraicas que son iguales y los conjuntos en los que se cumple la

igualdad.

a) Las expresiones

y1, son iguales siempre que 0x . Esta restriccin se imponepara que

exista el inverso de x que es 1

x .

b) Las expresiones 2( )x y 2x son siempre iguales ya que

2 2( ) ( ) ( ) ( 1 )( 1 ) ( 1)( 1) .x x x x x x x x

qu propiedades usamos para probar esta igualdad?

Versi

n Pr

elimi

nar



2) Las expresiones2( )a b y

2 2a b no son iguales. Por ejemplo si evaluamos ambas

expresiones en 1a , 1b obtenemos 2(1 1) 4 en la primera expresin, y

2 21 1 2 en

la segunda. Por lo tanto no pueden ser iguales.

Tal como mencionamos anteriormente, cuando dos expresiones son iguales al evaluarlas en

cualquier valor de sus variables debemos obtener el mismo nmero. Por ejemplo, si evaluamos

directamente ( 4)( 4)x x en 20x debemos calcular 24 16 , pero si usamos la igualdad de

las expresiones 2( 4)( 4) 16x x x podemos calcular 24 16 fcilmente, ya que es igual a:

220 16 20 20 16 400 16 384.

Ejercicios:

1) Pruebe la identidad ( ) ( ) (1 )ay x b y x a x y x y .

2) Evalue la expresin 5 1 1

2 63 3 9

xx

x x

en 2x .

1.2.6 Productos Notables

Vamos a distinguir ciertas identidades de expresiones que sern muy tiles en distintos contextos,

les denominaremos productos notables.

a) Cuadrado del binomio: 2 2 2( ) 2a b a ab b

b) Cubo del binomio: 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b

c) Suma por la diferencia: 2 2( )( )a b a b a b

Recordamos que si x es un nmero entonces denotamos 2x xx y 3x xxx .

La palabra binomio que aparece en los nombre de estas identidades, se usa para denominar una

algebraica que es suma de otras dos ms simples, en este caso las expresiones a y b . Ms

adelante en el captulo definiremos ms precisamente que es un binomio.

Demostremos que se cumple la identidad a). Para esto recordemos que

2( ) ( )( )a b a b a b

y usamos la propiedad distributiva para hacer esta multiplicacin obteniendo

( )( ) ( ) ( ) .a b a b a a b b a b aa ab ba bb

Luego, usando que 2 2,aa a bb b por la conmutatividad del producto ab ba se tiene que 2 2 2 2 2( ) 2a b a ab ab b a ab b .

Versi

n Pr

elimi

nar



Ejercicio:

Demuestre las identidades b) y c) explicando en cada paso que propiedades de las operaciones de

los nmeros se utiliza.

A partir de estas igualdades es posible obtener otras. Por ejemplo, usando a) podemos obtener

d) 2 2 2( ) 2a b a ab b

Para probar las propiedades d) se puede usar una tcnica de demostracin que consiste en utilizar

una propiedad ya conocida. Por ejemplo observamos que de la propiedad a) sabemos que

2 2 2 2 2( ( )) 2 ( ) ( ) 2a b a a b b a ab b

ya que 2 ( ) 2a b ab y 2 2( )b b . Como 2 2( ( )) ( )b ba a obtenemos la igualdad

deseada.

Esta tcnica de demostracin utilizada se conoce coloquialmente como el Principio de la Tetera

y proviene del siguiente chiste:

Se le plantea el siguiente problema a un matemtico y un fsico: ante usted hay una

tetera vaca y una hornalla de gas apagada, qu hara para hervir el agua? El

matemtico contesta: Hay que llenar la tetera con agua, prender el gas y poner la

tetera sobre la hornalla. Y si ahora est la tetera est llena y la hornalla est

encendida? Muy fcil, dice el fsico, solo hay que poner la tetera en la hornalla.

De ninguna manera! exclam el matemtico. Hay que apagar la hornalla, vaciar

la tetera y as llegamos al primer problema, que ya sabemos resolver.

Ejemplo:

Determinemos los siguientes productos

a) 2 2( )( )( )x y x y x y

b) 2 2(3 9 )(1 3 )x x

c) 2( 4)x

Solucin. Usaremos los productos notables.

a) Primero usamos la propiedad conmutativa para obtener que: 2 2 2 2( )( )( ) ( )( )( )x y x y x y x y x y x y

Ahora, por la frmula de la suma por la diferencia obtenemos 2 2( )( )x y x y x y . Usando

esta frmula de nuevo obtenemos tambin que 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4( )( ) ( ) ( )x y x y x y x y

As, obtenemos que 2 2 2 2 2 2 2 2( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )x y x y x y x y x y x y x y x y

Versi

n Pr

elimi

nar



2 2 2 2 4 4( ) ( )x y x y

b) Notemos que 2 2(3 9 ) 3(1 3 )x x . Por lo tanto usando la frmula del cuadrado del

binomio obtenemos:

2 2 2 2 2 2 2 2 2(3 9 )(1 3 ) 3(1 3 )(1 3 ) 3(1 3 ) 3 1 213 (3 )x x x x x x x 2 4 2 43(1 6 9 ) 3 18 27x x x x .

c) Usamos la frmula del binomio al cuadrado. 2 2 2 2( 4) 2 4 4 8 16.x x x x x

Ejercicio:

Determine los siguientes productos

)8)(42)(2( 3322 yxyxyxyx

)3)(19(3 22 xx

3(2 )x a

Los productos notables nos pueden facilitar el clculo de operaciones aritmticas. Esto puede

permitirnos realizar estas operaciones mentalmente sin el uso de papel y lpiz. Por ejemplo si

calcular 3129 escribimos 31 30 1 y 29 30 1 as usando suma por diferencia obtenemos

que

23129 (30 1)(30 1) 30 1 900 1 899

Tambin podemos calcular fcilmente 299 , para esto usamos la frmula del cuadrado de binomio

observando primero que 99 100 1 . As

2 2 299 (100 1) 100 2100 1 10.000 200 1 9.800 1 9.801

Ejemplo:

Calculemos 21.001 usando la factorizacin mediante los productos notables. Para tal efecto, escribimos a la expresin como una diferencia de cuadrados. Para eso restamos y sumamos 1 a la expresin aritmtica. Claramente, esta operacin no cambia su valor. Posteriormente usamos la factorizacin mediante la diferencia de cuadrados. Veamos estas operaciones en la siguiente cadena de igualdades:

2 21.001 (1.001 1) 1 (1.001 1)(1.001 1) 1 1.000 1.002 1 1.002.000 1 1.002.001

Ejercicio:

Calcule mentalmente describiendo el procedimiento utilizado:

a) 1213

Versi

n Pr

elimi

nar



b) 1921

c) 2 265 63

d) 219

e) 29.999 .

EN RESUMEN: Debido a que las variables en las expresiones algebraicas representan nmeros,

al realizar operaciones con expresiones algebraicas son vlidas todas las propiedades de las operaciones aritmticas.

Evaluar una expresin algebraica es remplazar la incgnita por un valor numrico determinado.

Una identidad es una igualdad entre expresiones algebraicas. Es necesario especificar para que valores de las variables involucradas es vlida.

1.2.7 Visualizacin de identidades

Las operaciones con nmeros tienen dos visualizaciones clsicas, la primera es a travs de piedras

o fichas, esta es especialmente adecuada para operar nmeros naturales. Recordemos que la

palabra clculo proviene del latn calculus que significa piedra (ver libro de Nmeros). En la

primera visualizacin, para sumar dos nmeros n y m , representados por montones o bolsitas con las respectivas cantidades de piedras, las juntamos en un solo montn o bolsa. Para visualizar

la multiplicacin de n y m , hacemos un arreglo con n filas por m columnas de piedras. Por ejemplo, veamos en la siguiente figura la multiplicacin de 3 por 4, hacemos un arreglo de 3 filas

por 4 columnas.

Otra manera de visualizar la suma y la multiplicacin de dos nmeros positivos es usando

segmentos geomtricos de magnitudes dadas. A diferencia de las piedras, sta es especialmente

adecuada para operar nmeros racionales y reales positivos.

La suma de dos segmentos de largos respectivamente a y b consiste simplemente de poner uno a continuacin del otro.

Versi

n Pr

elimi

nar



Para multiplicarlos construimos un rectngulo de lados a y b .

Insistiremos especialmente en esta ltima. La representacin geomtrica del producto de dos

expresiones como el rea de un rectngulo nos permite verificar visualmente las propiedades de

las operaciones. Por ejemplo el rea de los siguientes rectngulos

representan a ab y ba . Las dos reas son iguales, ya que una figura se obtiene de la otra por

medio de una isometra: una traslacin seguida de una rotacin (o viceversa). Esto ilustra que el

producto sea conmutativo, es decir la identidad ab ba .

Usando el siguiente diagrama podemos visualizar ahora la propiedad distributiva:

( ) .a b c ab ac

Versi

n Pr

elimi

nar



Es importante hacer notar que el dibujo anterior y todos los que hagamos a continuacin, estn en

el terreno de la intuicin y no constituyen una demostracin de las propiedades, stas no se

demuestran: son supuestos bsicos que gobiernan las operaciones. Sin embargo estas

visualizaciones sirven como inspiracin y ayudan a ver con nuestros propios ojos que estas

propiedades son intuitivamente correctas: as esperamos que se comporten las operaciones con

los nmeros. Es importante sealar que las propiedades de las operaciones no se demuestran

utilizando reas, sino que la misma nocin de rea descansa sobre las propiedades de las

operaciones, de tal manera que si se pretende usar reas de figuras como justificacin de dichas

propiedades, se cae en un crculo vicioso.

Ejercicio:

Demuestre la frmula: ( )( )a b c d ac ad bc bd indicando las propiedades que utiliza

para la demostracin. Usando el diagrama de abajo visualice la igualdad cuando a , b , c y d son positivos.

A continuacin mostraremos cmo se pueden visualizar otras identidades algebraicas.

Para visualizar la identidad 2 2 22x x x podemos usar el siguiente diagrama:

Versi

n Pr

elimi

nar



Este rectngulo tiene un rea igual a: 2(2 ) 2x x x . Si descomponemos este rectngulo en dos

tringulos rectngulos iguales mediante la diagonal, cada uno de los rectngulos tiene un rea

igual a: 2(2 ) 2x x x . Como el rea del rectngulo es igual a la suma de las reas de los dos

tringulos rectngulos, concluimos que:

2 2 22x x x .

Veamos ahora la visualizacin de la identidad 2 2 23 4x x x . Para esto usamos la siguiente

figura compuesta por tres cuadrados de lado x . Observamos que esta figura tiene un rea igual a

la suma de las reas de tres cuadrados de lado x , es decir, es igual a: 23x .

Esta figura puede obtenerse cortando del cuadrado de lado 2x un cuadrado en la esquina de lado

x . De esta manera el rea de la figura es igual al rea del cuadradode lado 2x menos el rea del

cuadrado de lado x , es decir, es igual a : 2 2 2 2(2 ) 4x x x x . Por lo tanto, concluimos que:

2 2 23 4x x x .

Ejercicio:

Dada la siguiente figura compuesta por un cuadrado de lado x y un rectngulo de lados 3 y x .

1) De las siguientes expresiones, determine la expresin que representa el rea de la figura

compuesta. En cada tem conjeture cmo se encontr el rea y por qu se cometi error en

caso que la expresin sea incorrecta.

a) 2 3x

b) 2( 3)x

c) ( 3)x x

d) 2 3x x

Versi

n Pr

elimi

nar



2) Determine la expresin que representa el permetro de la figura compuesta. En cada tem

conjeture cmo se encontr el rea y por qu se cometi error en caso que la expresin sea

incorrecta.

a) 3(x+3)

b) 5x+6

c) 4x+6

d) 2x+2(x+3)

Algunos productos notables tambin pueden ser visualizados de manera pictrica lo que es una

manera instructiva y fcil de recordar.

Cuadrado del binomio:

La frmula del cuadrado del binomio: 2 2 2( ) 2a b a ab b puede ser ilustrada para nmeros

positivos. El siguiente dibujo ilustra la frmula. El rea del cuadrado ms grande es 2a y se

descompone en el rea de cuatro cuadrados pequeos de reas 2a , ab , ab y 2b . Es decir

2 2 2( ) 2a b a ab b

Suma por diferencia:

La frmula de la suma por diferencia 2 2 ( )( )a b a b a b puede ser ilustrada para nmeros

positivos. El siguiente dibujo permite visualizar esta identidad, se deja al lector que explique como

usar este dibujo para ilustrarla.

En particular, siguiente dibujo ilustra la igualdad 2 25 2 (5 2)(5 3) :

Versi

n Pr

elimi

nar



Ejercicios:

1. Demuestre la siguiente frmula (cubo del binomio) y utilizando los siguientes dos dibujos

explique como se puede visualizar.

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b .

2. Demuestre la frmula 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b . Usando los siguientes dibujos

explique por qu es vlida

EN RESUMEN

Aunque la visualizacin de identidades mediante un diagrama o dibujo no constituye una demostracin, si nos ayuda a comprender por qu stas son vlidas.

Ejercicios de la Seccin:

1. Deducir una frmula para el rea de un trapecio cualquiera, cuyos lados paralelos son a y

b y su altura es h . Explique por qu su frmula es vlida para todas las situaciones

posibles.

2. Encuentre una frmula para el rea de un tringulo equiltero de lado a . Indicacin: Recuerde el teorema de Pitgoras.

Versi

n Pr

elimi

nar



x

x

3. Juan tiene una coleccin de autitos y C cajas, cada una de las cuales puede guardar 3

autitos. Juan ocupa todas sus cajas para guardar sus autitos, pero le quedan 5 sin guardar.

Escriba una frmula, en trminos del nmero de cajas, para el nmero de autitos que

tiene Juan.

4. Mara tiene un 24% ms lpices que Toms, escribe una frmula para describir esto.

5. Escribe un problema de enunciado para cada una de las siguientes expresiones

algebraicas:

a) 4 0,5c b

b) 3

( 35)4

b b

c) 24 1 5b .

6. Proponga un truco matemtico basado en la expresin algebraica (10(x-1)+2)/2+6.

7. Invente un truco en el que el resultado sea el doble del nmero pensado.

8. Escribir dos expresiones para el nmero total de cuadrados en la siguiente figura:

9. Escribir dos expresiones para el nmero total de cuadrados en la siguiente figura:

10. Utilice lenguaje algebraico para expresar la informacin que se pide de cada figura.

a) Figura 1:

- El permetro de la figura

Versi

n Pr

elimi

nar



- El rea de la figura

- El volumen del cubo que se puede formar con esta red

Figura 2:

- El rea de la parte blanca de esta figura

- El rea de uno de los tringulos grises de la figura

- La mitad del permetro del cuadrado

b)

- El rea de cada figura sombreada.

11. Considere dos secuencias numricas, en la primera el trmino n est dado por la

expresin 2 3n , y en la segunda el trmino n est dado por 3 2n .

a) En una tabla escriba los primeros 10 trminos de cada una de las secuencias.

b) Se sabe que el nmero 783 es un trmino de una de las dos secuencias. Determina de

cul de las dos.

c) El nmero 352 es un trmino de la segunda secuencia, calcula el trmino siguiente a

352.

12. El propsito de este ejercicio es encontrar una frmula para la suma de los n primeros

nmeros naturales. Se dice que Gauss, un matemtico, resolvi este problema cuando era

muy joven usando el siguiente procedimiento que ilustramos para 10n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

11 11 11 11 11 11 11 11 11 11

10 11

Versi

n Pr

elimi

nar



es decir, si desplegamos dos veces la suma de los nmeros del 1 al 10 y sumamos los

nmeros de a dos tal como se muestra arriba, entonces obtenemos que la suma total es

10 11 . Ahora como duplicamos los nmeros debemos dividir el resultado obtenido entre

2 y as la suma buscada es 10 11 2 5 11 55 .

a. Determine la suma de los nmeros del 1 al 12, del 1 al 13 y del 1 al 20.

b. Proponga una expresin para la suma de los nmeros del 1 al n .

13. Los nmeros triangulares 1, 3, 6, 10, 15 se construyen de la siguiente forma:

a) Haga una tabla que muestre los 10 primeros nmeros triangulares.

b) Encuentre una frmula para el nmero triangular n . Para esto le ser til el ejercicio

anterior.

14. La secuencia 7,9,11,13, tiene su trmino n dado por 2 5n .

a) Evale los primeros 10 trminos de esta secuencia.

b) Cul es la expresin para el trmino 1n ?

c) Si uno calcula el segundo trmino menos el primero, se obtiene 9-7=2. Calcule la resta

entre el trmino 3 y el 2; el trmino 4 y el 3; el trmino 5 y el 4.

d) Determine una expresin para la diferencia entre el trmino 1n y el trmino n de la

secuencia.

15. Explique porqu el siguiente procedimiento usado para calcular 30 48

42

es incorrecto

30 48 40

.42 7

16. Explique cmo podra calcular 25674567893 con lpiz, papel y una calculadora que solo

muestra 11 dgitos.

17. Calcule mentalmente:

a) 21.002 2004

b) 3 211 11 c) 2999

18. Demuestre la identidad 3 ( 1)( 1)a a a a a

Proponga un diagrama para ilustrar esta identidad. Le puede ser til usar el siguiente

dibujo que permite visualizar la igualdad 34 4 345.

Versi

n Pr

elimi

nar



19. Qu identidades se pueden deducir de los siguientes diagramas?

Versi

n Pr

elimi

nar



1.3 Potencias

En el apartado anterior recordamos algunas potencias, como por ejemplo el cuadrado de un

nmero 2x xx y el cubo de un nmero 3x xxx . Tal como ilustran estos ejemplos, las potencias

son muy tiles como notacin abreviada de multiplicaciones repetidas.

El uso de potencias aparece de manera natural en la notacin posicional. Por ejemplo, el nmero 3 2 1503 5 10 0 10 3 10 , donde hemos usado la convencin (que discutiremos ms

adelante) 110 10 . Mostraremos tambin cmo se usan las potencias en la llamada notacin

cientfica que permite escribir de manera cmoda nmeros muy grandes o muy chicos. Tambin

aparecen las potencias en la descomposicin de un nmero en factores primos, en donde cada

nmero se escribe como una multiplicacin de factores que son potencias de nmeros primos.

Dicha descomposicin permite calcular el mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo entre

dos nmeros.

Las potencias son expresiones que pueden ser parte de expresiones ms complejas. En esta

seccin estudiaremos sus propiedades de manera general, en particular abordaremos las

potencias de exponente negativo, y estudiaremos la notacin cientfica.

Comencemos diciendo entonces que si a es un nmero cualquiera multiplicado tres veces por s

mismo, escribiremos 3a , es decir,

3 .a a a a

Esto lo podemos generalizar a cualquier nmero de factores, de tal manera que si multiplicamos

a por s mismo n veces escribiremos

...... .n

n

a a a a

Por ejemplo, 52 2 2 2 2 2 32.

La potencia na se lee a a la n o tambin a elevado a la n -sima potencia o algo intermedio

como a elevado a n . En particular, 2a y 3a se leen a al cuadrado y a al cubo

respectivamente, 4a se lee a a la cuarta y 5a se lee a a la quinta.

Para pensar

Por qu crees que decir que 4a es multiplicar a por s mismo 4 veces puede ser confuso? De

qu manera podra ser interpretado esto? De qu otra manera puedes explicar qu es 4a ?

Las distintas partes de una potencia tambin reciben nombres.

exponentbase

n ea

Versi

n Pr

elimi

nar



Es decir, si escribimos 35 , diremos que la base es 5 y que el exponente es 3.

Para pensar

Por qu 2a se lee a al cuadrado y 3a se lee a al cubo?

Las potencias no siempre se indicaron como lo hacemos actualmente. El primer intento

sistemtico de anotar potencias corresponde a Rafael Bombelli en 1572, quin para indicar que la

incgnita estaba elevada al cuadrado dibujaba una semicircunferencia con la potencia

correspondiente sobre el coeficiente. Por ejemplo, lo que actualmente escribimos como 5x2,

Bombelli lo representaba como

Por razones de espacio en la edicin impresa de sus manuscritos, escriba

Esta notacin fue modificada levemente por Stevinus en 1586, sustituyendo la semicircunferencia

por una circunferencia completa. En 1592 Vieta escribe A, A cuad, A cub para representar A, A2, A3,

y para las mismas potencias Harriot en 1631 escribe A, AA, AAA. En 1634 P. Herigonous escribe A,

A2, A3 para representar lo que actualmente denotamos como A, A2, A3. La notacin actual es

introducida por Descartes en 1637, aunque solo para potencias naturales. En 1659 Wallis utiliza

ndices negativos y fraccionarios tales como A-1, A1/2. Finalmente, es Newton quien en 1676 utiliza

la notacin An con n un nmero sin restricciones.

Lo anterior es un ejemplo de cmo la escritura usada en matemtica evoluciona hasta encontrar

una forma clara e intuitiva. Desde Descartes, la notacin de potencias se ha mantenido intacta. Si

esto no es argumento suficiente, y el lector an duda de las bondades de la notacin actual, un

buen ejercicio es tratar de escribir alguna de las propiedades de potencias que se presentan en

secciones posteriores usando alguna de las notaciones antiguas.

Ejemplos

1) Escribamos los productos en forma de potencias:

a) 72222222 2

b) 4(0,3)(0,3)(0,3)(0,3) (0,3)

c) 6( 4)( 4)( 4)( 4)( 4)( 4) ( 4)

d)

52 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

.

Versi

n Pr

elimi

nar



2) Escribamos las potencias en forma de productos:

a) 52 22222 32

b) 3( 0,5) ( 0,5)( 0,5)( 0,5) 0,125

c)

31 1 1 1 4 4 4 444 64

1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 333 27

d) 64 444444 4.096

e) 4( 2) ( 2)( 2)( 2)( 2) 16

f)

37 7 7 7 777 343

4 4 4 4 444 64

.

Observamos en los dos ltimos tems del ejemplo anterior que al calcular potencias donde la base

es negativa, el signo del resultado depender del exponente. Para analizar cmo afecta el

exponente al signo del resultado consideremos el ejemplo ilustrativo que sigue. Calculemos ( 1)n

para diversos valores de n . Por ejemplo, si 3n entonces

Si 4n entonces

Probaremos que en general ( 11)n si n es par y ( 11)n si n es impar. Para demostrar

esto observamos que si n es par, podemos escribirlo como el doble de un nmero natural ,k es

decir, 2n k y en este caso, siguiendo el procedimiento anterior observamos

Si n es impar, es decir, si 2 1n k tenemos que

Para obtener estos resultados hemos usado repetidamente la regla de los signos: el producto de

dos nmeros del mismo signo es positivo y el producto de dos nmeros de signos contrarios es

negativo. Si cambiamos el ejemplo tendremos que calcular los productos que evitamos en el

ejemplo anterior al usar 1. Pero el signo del resultado tambin depender de si el exponente es

Versi

n Pr

elimi

nar



par o impar. Por ejemplo, agrupando de dos en dos los factores para usar la regla de los signos

tendremos que

y en cambio

Del mismo modo podemos resolver los ejercicios que siguen.

Ejercicios :

1. Justifique los clculos que siguen, en particular el signo del resultado:

a) 2( 0,3) ( 0,3) ( 0,3) 0,09

b) 3 3( 5) ( 5 ) ( 125) 125

c) 5 5

2 2

( 2) 2 322

( 4) 4 16

2. Calcule

a) 2 3( 3) ( 2)

b) 3

6

( 3)

( 2)

Resumiendo podemos establecer la siguiente relacin entre la paridad del exponente, el signo de

la base y el signo de la potencia.

Teorema:

Sea a un nmero real y n un nmero natural. Si n es par, entonces 0na

Si n es impar, entonces el signo de na depende del signo de la base:

Si 0a , entonces 0na .

Si 0a , entonces 0na .

Demostracin

Si n es par, entonces 2n k y podemos agrupar de dos en dos todos los factores de na como

sigue

2 2 2

2 ...... .n k

a a a

k veces

a a a a a a a a

Versi

n Pr

elimi

nar



Es claro que sin importar el signo de a , gracias a la regla de los signos, 2a a a ser siempre

positivo y por lo tanto na ser el producto de k factores positivos. As na ser siempre positivo,

excepto que 0a , caso en el que todos los factores son nulos y tambin lo ser na .

Si n es impar, entonces 2 1n k , entonces al agrupar los factores de na de dos en dos quedar

uno sobrante,

2 2 2

2 1 ...... .n k

a a a

k veces

a a a a a a a a a

Tal como argumentamos antes el factor que corresponde a k veces 2a multiplicado por s

mismo ser siempre positivo independientemente del signo de a , por lo que el signo de esta

expresin depender del signo del ltimo factor, es decir, del signo de la a que queda sobrante.

Observacin. Es importante tener mucho cuidado con el uso de parntesis. Por ejemplo 42 y4( 2) son distintos. En efecto,

4 42 (2 ) (2222) 16

4( 2) ( 2)( 2)( 2)( 2) 16

pero puede ocurrir que se confundan exclusivamente por una desprolijidad en la escritura,

suponiendo que hay parntesis donde no los hay. Otras posibles confusiones se originan en

recuerdos poco precisos de propiedades que se aplican descuidadamente, como por ejemplo:

42 16 porque una base negativa elevada a un exponente par es positiva, suponiendo un

parntesis inexistente que permitira considerar a ( 2) como base, o

4

2 16 porque menos por menos da ms y 42 16 , lo que tambin se relaciona con un

descuido en la comprensin del rol que juega el parntesis en este caso.

1.3.1 Propiedades de las potencias

Observemos que al multiplicar 35 por 65 obtenemos

3 6 95 5 (555)(555555) 5 ,

ya que hay 9 factores iguales a 5, es decir, 5 aparece 9 veces. Estas 9 veces resultan de sumar las 3

veces que aparece el factor 5 en 35 ms las 6 veces que aparece el factor 5 en 65 . Usando la

notacin introducida diremos que el exponente 9 result de la suma de los exponentes de las dos

potencias de base 5 que multiplicamos. Esto lo podemos generalizar en un teorema que se

refiere a varias operaciones con potencias.

Versi

n Pr

elimi

nar



Teorema (Propiedades de las operaciones con potencias de igual base)

Dados un nmero a distinto de cero y dos nmeros naturales n y m se tiene que:

a) ,n m n ma a a

b) ( ,)n m n ma a

c) n

n m

m

aa

a

si .n m

Demostracin:

a) ( )( ) ( ).n m

n m n m

a a a a a a a a a a a

Vemos que se trata de un producto de a multiplicada por s misma n m veces, luego

.n m n ma a a

b) ( ) ( )( ) ( )n m

n n n

m

a a a a a a a a a a

En este caso se trata de un producto de a multiplicada por s misma n m veces, luego( ) .n m n ma a

c) ( ) (

n n m

m

n

m

a a a a a a a a a a

a a a a

a a )

m

a a a

m

.

En este caso, como n m hay ms factores a en el numerador que en el denominador, de

modo que si cancelamos uno a uno estos factores, sobrarn n m en el numerador y luego,

.n

n m

m

aa

a

Tal como vimos antes al trabajar con expresiones algebraicas o numricas, es deseable obtener

expresiones iguales pero que sean lo ms simple posible. Para eso, surge la necesidad de

simplificar las expresiones algebraicas. Como modelo de esta simplificacin usamos lo que sucede

con las expresiones aritmticas. Por ejemplo, veamos la fraccin 24

60. Buscamos una fraccin ms

simple que sea igual a esta fraccin. Para eso descomponemos el numerador y denominador en

sus factores primos, es decir, 324 2 2 2 3 2 3 y 260 2 2 3 5 2 3 5 usando la notacin

de potencias que veremos ms adelante. Remplazando estas descomposiciones y simplificando

obtenemos:

Versi

n Pr

elimi

nar



24 2

60

2 2 3

2 2 3

2.

55

Por lo tanto 24

60 y

2

5 son dos nmeros iguales.

De manera anloga si tomamos x en lugar de 2 , y en lugar de 3 y z en lugar de 5 . Usando

nuevamente la notacin de potencias, podemos escribir

3

2

xx y

x yz

x x y

x x y.

x

zz

Por lo tanto, las expresiones 3

2

x y

x yz y

x

z son iguales siempre que 0x , 0y y tambin 0z .

Observemos que si bien 1a no tiene sentido como multiplicacin reiterada, estas propiedades

obligan a establecer que 1a a pues sta es la nica opcin razonable a la luz de este teorema.

En efecto, segn la propiedad a) 1 1 1 1 2a a a a y por definicin tenemos que 2a a a , as,

no hay otra posibilidad para 1a , ms que ser 1a a .

Definicin. Para cualquier nmero a , se define 1a a .

Tampoco 0a tiene sentido como multiplicacin reiterada y necesitamos una definicin para ella. La

misma propiedad podra servir para definir 0a de la nica manera razonable posible. Si queremos

que la propiedad a) del teorema anterior tambin se aplique al caso del exponente nulo entonces 0 0n n na a a a , y dividiendo por na ambos lados de la igualdad obtenemos que 0 1a . El

razonamiento anterior condiciona nuestra conclusin a que 0na lo cual se cumple solo cuando

0a .

Definicin. Para cualquier nmero 0,a 0 1.a

Otra forma de justificar esta definicin, tambin podemos extendemos la regla de la divisin de

potencias al caso n m ,

(

=

nn n

n

n

n

a a a a aa

a a a a

a a )

(

n

a a a1,

)

n

por lo tanto 0 1n na a . Tambin en este razonamiento hay que excluir el caso 0a .

Versi

n Pr

elimi

nar



PARA PENSAR

Qu pasara si en el razonamiento anterior no se considera que 0a ?Existe un nico valor

posible para 00 de tal manera que la propiedad a) se cumpla?

Estableceremos otras propiedades relacionadas con la multiplicacin de potencias de distinta base

pero con el mismo exponente. Estas propiedades se deducen de la definicin de potencia y de

propiedades de la multiplicacin tales como la conmutatividad y la asociatividad, como veremos

en la demostracin.

Teorema (Propiedades del producto y la divisin de potencias de distinta base y mismo

exponente)

Dados dos nmeros a y b donde b es distinto de cero, y un entero positivo n se tiene:

a) ( ) ,n n na b ab

b) ( ) .n

n

n

a a

b b

Demostracin:

a) Observemos que por definicin )( .( )n

n n

n

a b a a a b b b

Reordenando, usando la asociatividad y la conmutatividad de la multiplicacin se obtiene

( ) .n n n

n

a b ab ab ab ab

b) Por definicin de potencia tenemos en este caso que

,

n

n

n

n

a a a a

b b b b

y usando ahora propiedades de las fracciones tenemos que ( )( ) ( ) .

nn

n

n

a a a a a

b b b b b

Ejercicios:

1) Para 3a , 4b y 2n , evaluar ( )n n na b a b .

Versi

n Pr

elimi

nar



2) Para 2a , 4b y 3n , evaluar

nn

n

a a

b b

.

3) Verificar que se satisfacen todas las propiedades establecidas por ambos teoremas.

( )n n na b a b , cuando 0a , 0b y 0n ,

nn

n

a a

b b

, cuando 0a , 0b y 0n ,

( ,)n m n ma a cuando 0a , 0n y m es cualquier nmero natural,

n

n m

m

aa

a

, cuando 0a , 0m y n es cualquier nmero natural.

4) Muchos errores comunes se originan en el mal uso de las propiedades de las potencias,

como se muestra en los siguientes desarrollos:

3 3n nb b ,

2 214

8 2 ,

13 13 13 13 13 13 393 3 3 3 3 .

Para cada uno de estos errores encuentre una explicacin acerca de cul es la posible

confusin subyacente de quin los cometi y cmo podra un profesor organizar su enseanza

para evitar que sus alumnos los cometan.

EN RESUMEN

Las potencias nos ayudan a expresar de manera sinttica productos iterados de un nmero.

Las propiedades de las potencias de exponente natural son consecuencia de las propiedades de la multiplicacin.

Se definen las potencias de exponente 0 y 1 a partir de las propiedades de las potencias, para que haya consistencia.

Versi

n Pr

elimi

nar



1.3.2 Potencias con exponente negativo

Tal como hicimos para definir potencias con exponente 1 o con exponente 0 , donde la idea de

multiplicacin reiterada no tena sentido, usaremos las propiedades para definir potencias de

exponente negativo. Es decir, queremos que las reglas de los exponentes valgan para todos los

nmeros enteros, positivos, negativos y cero. Entonces si usramos la regla del producto de

potencias de igual base, para 0,a en el caso del exponente 1 tendramos que,

1 1 1 1 1 0 . 1a a a a a a

Si consideramos que 1a es nuestra incgnita y la llamamos x , es decir, 1x a , entonces la

ecuacin anterior dir

1x a .

De aqu resulta claro que si 0a entonces1

xa

, es decir, 1 1 .a

a

Observemos que para que esto funcione, a debe ser distinto de cero, ya que 0 no tiene inverso

multiplicativo.

Para obtener una definicin razonable de 2a proponemos usar la propiedad de la multiplicacin

de potencias de igual base que queremos extender a los exponentes negativos, es decir, queremos

que

2 1 1 1 1a a a a ,

y como ya hemos obtenido que 1 1a

a

, siempre que 0a , tendremos que

2

2

1 1 1a

a a a

.

Otra alternativa habra sido razonar como lo hicimos para obtener 1a , es decir, considerar que 2a es nuestra incgnita x , es decir, usar 2x a en la ecuacin

2 2 2 2 0 1a a a a

de donde obtenemos

2 1x a

cuya solucin, en el caso de 0a , es 21

xa

, es decir,

Versi

n Pr

elimi

nar



2

2

1a

a

.

Ejercicio:

Deducir que3

3

1a

a

.

Observacin:

Notemos que si usamos la propiedad b) del teorema acerca de potencias de distinta base y mismo

exponente, tendremos que

222

2 2

1 1 1.a

a a a

Anlogamente, 3 31( )a

a

y, en general, 1

( ) .n naa

Esto motiva la definicin general de potencia con exponente entero.

Definicin. Si a es un nmero distinto de cero y n es un nmero entero, entonces:

Si n es positivo

0

1

1 1 1( )( ) ( )

n

n

n

n

a a a a

a

aa a a

Debe observarse que si 0,n la definicin tambin vale para a 0, es decir, 0 0n , para

cualquier n positivo. Por la forma en que llegamos a la definicin de potencia con exponente

entero, resulta natural esperar que en este caso tambin valgan las propiedades de las potencias

con exponente natural y obtenemos una extensin de esos teoremas.

Teorema

Dados un nmero a distinto de cero y enteros n y m, entonces:

a) ,n m n ma a a

b) ( ,)n m n ma a

Versi

n Pr

elimi

nar



c) n

n m

m

aa

a

.

Demostracin:

a) Si n y m son enteros positivos, entonces la propiedad est garantizada por el teorema

anterior. Si m es un entero negativo, entonces 1m

ma

a y por lo tanto usando el

teorema mencionado se tendr que ( )n

n m n m n m

m

aa a a a

a

. Del mismo modo se

puede demostrar el caso en que n es un entero negativo y m es un entero positivo. Si

tanto n como m son enteros negativos usando el teorema y la definicin anteriores se

tendr

( ) ( )

1 1 1 1 1n m n m n mn m n m n m n m

a a a a aa a a a a a

.

Si 0m entonces 1ma y 01n m n n n n ma a a a a a independientemente del

signo de n o si es nulo.

La demostracin de las partes b) y c) quedan como ejercicio para el lector.

Observaciones:

1)En la demostracin anterior reiteradamente se deben revisar casos dependiendo del signo del

exponente, donde ste se representa por una letra. Se debe tomar en cuenta que en ma el

exponente m puede ser positivo o negativo. Por ejemplo si 2m , se tiene que 2ma a .

2) El uso del exponente negativo puede producir confusin. Es comn encontrar en trabajos

escolares afirmaciones como: 42 16 . Es necesario considerar la posibilidad de este error

cuando se planifique la enseanza de potencias con exponentes negativos.

3) Una manera para ilustrar la definicin de potencias de exponente negativo o cero proviene de la

siguiente regularidad:

Versi

n Pr

elimi

nar



27=33

3entredividimos

9=32

3entredividimos

3=31

3entredividimos

1=30

3entredividimos

3

1=3 1

3entredividimos

2

2

3

1=

9

1=3

Esta regularidad no remplaza el razonamiento deductivo que hicimos antes, pero es interesante

como complemento. Puede servir tambin en la tarea de enseanza y para enfrentar un error

comn: olvidar que 3 es tambin igual a 13 .

Tal como advertimos antes, el teorema que establece las propiedades de potencias con distinta

base y exponente natural tiene tambin una versin ms general, para exponentes enteros.

Teorema

Dados dos nmeros a y b donde b es distinto de cero, y un entero n se tiene:

a) ( ) ,n n na b ab

b) ( ) .n

n

n

a a

b b

La demostracin se deja como ejercicio para el lector. Recuerde considerar todos los casos

posibles para el exponente n en cada una de las propiedades.

Versi

n Pr

elimi

nar



Ejemplos:

Mostramos a continuacin varios ejercicios donde se aplican propiedades estudiadas

anteriormente, algunas veces con el fin de calcular un resultado y otras veces con el propsito de

mostrar expresiones ms simples o simplemente alternativas. En lo que sigue zyxba ,,,, son

nmeros reales y a , b y x no son nulos:

1) 3 4 1 3 4 1 2

2

1 12 2 2 = 2 = 2 = =

2 4

2) 4 2 2 4 2 2( 2) ( 3) ( 4) = 2 3 4 =16 9 16 = 2.304

Notemos que todos los signos negativos se pierden debido a que los exponentes son todos

pares. Esta no es la nica manera de obtener el resultado, tambin podemos escribir 24 como

una potencia de base 2 usando el hecho que 24 2 . Es decir,

4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 4 2 4( 2) ( 3) ( 4) = 2 3 4 = 2 3 (2 ) 2 3 2 16 9 16 = 2.304

3) 3 2 4 3 2 4 5

5 4 1

3 1 3 4= = = = =

x x x x xx x x

x x x x

4) 03 15 5 52 = 2 = 2 = 32

5) 2 3 4 2 3 4 24 24 24((( ) ) ) = ( ) = ( ) =xy xy xy x y

6) 6 12 6 6 2 6 6 2 6= ( ) = ( )x y z x y z xy z

7) 5 3 2 5 2 3 2 5 2 3 2 10 6( ) = ( ) ( ) = =x y x y x y x y

8) 3 3

3 31 1= = 5 5 = 1255 5

9)

85353

==

b

a

b

a

b

a

a

b

b

a.

Es interesante notar aqu a pesar de que el exponente resultante es par, el signo menos no

desapareci. Esto se debe a que el exponente 8 se obtuvo como la suma de los exponentes de la

potencias de igual base : a

b y que esta suma de exponentes no se pudo hacer antes, cuando las

bases eran a

b y

b

a.

Ejercicios

1. Calcule como en los ejemplos anteriores:

a) 3 4 1( 2) ( 2) ( 2)

b) 2 3 4((( ) ) )xy

Versi

n Pr

elimi

nar



2. Calcule el signo de 1( 2) , 2( 2) , 3( 2) . Puede enunciar una regla acerca del signo del

resultado y la paridad del exponente? Justifique su afirmacin.

Las potencias pueden ser muy tiles para simplificar la notacin y el manejo de los nmeros como

veremos en las dos aplicaciones relevantes que siguen.

1.3.3 Notacin cientfica

Si hacemos la siguiente multiplicacin con una calculadora

123.456.789,123 987.654.321,456

la respuesta que entregar es

1,21932631290413 17e

Lo que significa 171,21932631290413 10 escrito en notacin cientfica. Esta notacin permite

escribir de manera compacta nmeros que de otro modo tendran expresiones bastante largas,

como son los nmeros muy grandes o muy chicos.

El matemtico y filsofo griego Arqumedes (287 a.C.-212 a.C.) fue el primero en intentar

representar nmeros extremadamente grandes. l estim que el nmero de granos de arena en el

universo era de 6310 (que es un nmero igual a uno seguido de 63 ceros).

Otro nmero extremadamente grande es la distancia de la tierra al sol que aproximadamente es

. .150 000 000.000 metros y un nmero extremadamente pequeo es el dimetro de un tomo

que aproximadamente es 0,00000000010586 metros.

En notacin cientfica un nmero real N se escribe en la forma:

10nN a

donde a es un nmero decimal que tiene exactamente un dgito distinto de cero a la izquierda de

la coma decimal, llamado coeficiente, y n es un nmero entero llamado exponente u orden de

magnitud.

En los textos escolares, usualmente cuando se escribe un nmero en notacin cientfica se usa el

signo en vez del signo , asse denota 10nN a .

Podemos escribir los nmeros de los ejemplos anteriores en notacin cientfica como: 111,5 10 y

101,0586 10 respectivamente. Los nmeros 1015 10 , 110,10586 10 , 532,84567 10 y

30,25739 10 no estn escritos en notacin cientfica.

Versi

n Pr

elimi

nar



Ejemplos:

1) Veamos cmo escribir nmeros en notacin cientfica.

a) 734 000 000 34000000,0 3,4 0. .. 1 Observe que la coma se desplaza siete unidades

hacia la izquierda del nmero y colocamos un exponente positivo.

b) 50,000068 6,8 10 . Observe que la coma se desplaza cinco unidades hacia la derecha

del nmero y colocamos un exponente negativo.

c) 8 2 8 10523,4 10 (5,234 10 ) 10 5,234 10 .

d) 50 5 50 450,0000125 10 (1,25 10 ) 10 1,25 10 .

2) En el vaco la luz recorre 1 metro en aproximadamente 0,000000003 segundos.

Calculemos en cunto tiempo la luz recorre la distancia de la tierra al sol.

Como vimos anteriormente la distancia de la tierra al sol es de aproximadamente 111,5 10 metros.

Por lo tanto, el tiempo que tarda la luz en recorrer de la tierra al sol es 11 9(1,5 10 )(3 10 )

segundos, es decir, 24,5 10 segundos. Sabemos que 1 minuto tiene 60 segundos y por lo tanto la

luz tarda en recorrer de la tierra al sol aproximadamente2

2 14,5 10 4,54,5 10 : 60 10 0,75 10 (7,5 10 ) 10 7,56 10 6

minutos.

La teora del Big Bang o teora de la gran explosin es un modelo cientfico que explica el origen

del Universo y evolucin a partir de una singularidad espacio-temporal. En 1927 el astrnomo y

sacerdote belga Georges Lematre (1884-1966) afirm en un artculo cientfico que el Universo se

est expandiendo. En la actualidad muchos cientficos consideran que esta teora es vlida y que el

Universo comenz a expandirse hace aproximadamente 13,7 millardos de aos por una explosin

desde un punto infinitamente pequeo, llamado singularidad espacio-tiempo. Este evento se

llama Big Bang. La edad del universo, del planeta tierra y de la existencia del hombre se

muestran en la tabla que sigue.

Objeto Edad en aos Universo 13,7 millardos= 13.700.000.000=1,37 1010 Planeta Tierra 4,6 millardos= 4.600.000.000=4,6 910 Hombre 100 mil = 1,0 510

Versi

n Pr

elimi

nar


D o c u m e n t o e l a b o r a d o e n e l m a r c o d e l p r o y e c t o

libro de Álgebra

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