ALGEBRA BOOLEANA Y TEOREMAS DE DE MORGAN

MERCHAN CARDOZA ELIZABETH DANIELA

MERCHAN VILLALBA MARIA ALEJANDRA

RAMIREZ CAMARGO ERNEY ALBERTO

SUAREZ DE LA CRUZ YADITZA

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR SECCIONAL AGUACHICA

FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLOGIAS

INGENIERIA DE SISTEMAS

VI SEMESTRE

ARQUITECTURA DEL COMPUTADOR

AGUACHICA, CESAR

2012

ALGEBRA BOOLEANA Y TEOREMAS DE DE MORGAN

MERCHAN CARDOZA ELIZABETH DANIELA

MERCHAN VILLALBA MARIA ALEJANDRA

RAMIREZ CAMARGO ERNEY

SUAREZ DE LA CRUZ YADITZA

HEY LENS JAIR PINTO BAUTISTA

Especialista

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR SECCIONAL AGUACHICA

FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLOGIAS

INGENIERIA DE SISTEMAS

VI SEMESTRE

ARQUITECTURA DEL COMPUTADOR

AGUACHICA, CESAR

2012

ÁLGEBRA DE BOOLE

Llega su nombre en honor a George Boole (2 Nov 1815- 8 Dic 1864), fue matemático ingles, el primero en definirla con un sistema lógico, desarrollada inicialmente para representar las formas de razonamiento lógico.

El Algebra de Boole fue un intento de utilizar la técnica algebraica para tratar expresiones de la lógica proposicional, en la actualidad el Algebra Booleana se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico.

Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemáticas, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, NO y Si (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

Constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital.

Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel.

Postulados

Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

• Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.

• Conmutativo. Se dice que un operador binario " ¿ " es conmutativo si A ¿B = B¿A para todos los posibles valores de A y B.

• Asociativo. Se dice que un operador binario " ¿" es asociativo si (A ¿ B) ¿ C = A ¿ (B ¿ C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

• Distributivo. Dos operadores binarios " ¿ " y " +¿ " son distributivos si A ¿ (B +¿C) = (A ¿B) +¿(A ¿ C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

• Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " ¿ " si A ¿I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.

Operaciones Booleanas y Expresiones

Variable, complemento y literal son los términos utilizados en álgebra booleana.

• Variable → símbolo utilizado para representar una cantidad lógica

• Complemento → el inverso de una variable y se indica con una barra sobre la variable

• Literal → una variable o el complemento de una variable

Operadores y Valores

• Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo se llamaran éstos valores respectivamente como falso y verdadero.

• El símbolo (·)  representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el símbolo (·),  por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B.

• El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B.

• El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en representación del símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de A.

• Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR.

Características

Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes características:

1. Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x+ y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo parámetro)  que representaremos por x'.

2. Se han definido dos elementos (designados por 0 y 1).

Funciones Booleanas

En matemáticas, una función booleana es una función cuyo dominio son las palabras conformadas por los valores binarios 0 ó 1 ("falso" o "verdadero", respectivamente), y cuyo codominio son ambos valores 0 y 1.

Modos de Representación

Existen distintas formas de representar una función lógica, entre las que podemos destacar las siguientes:

Algebraica

Por tabla de verdad

Gráfica

Algebraica

Se utiliza cuando se realizan operaciones algebraicas. A continuación se ofrece un ejemplo con distintas formas en las que se puede expresar algebraicamente una misma función de tres variables.

A. F = [(A + BC’)’ + ABC]’ + AB’C

B. F = A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’

C. F = (A + B + C)(A + B + C’)(A + B’ + C’)(A’ + B’ + C’)

D. F = BC’ + AB’

E. F = (A + B)(B’ + C’)

F. F = [(BC’)’(CB)´ (AB’)’]’

G. F = [(A + B)’ + (B’ + C’)’]’

La expresión a) puede proceder de un problema lógico planteado o del paso de unas especificaciones a lenguaje algebraico. Las formas b) y c) reciben el nombre expresiones canónicas: de suma de productos (sum-of-products, SOP, en inglés), la b), y de productos de sumas (product-of-sums, POS, en inglés), la c); su característica principal es la aparición de cada una de las variables (A, B y C) en cada uno de los sumandos o productos. Las d) y e) son funciones simplificadas, esto es, reducidas a su mínima expresión. Las dos últimas expresiones tienen la particularidad de que exclusivamente utiliza funciones NO-Y, la f), o funciones NO-O, la g).

Por tabla de la verdad

Muestran el resultado de una operación lógica para cada una de las

combinaciones de entradas posibles.

Una tabla de verdad contiene todos los valores posibles de una función lógica

dependiendo del valor de sus variables. El número de combinaciones posibles

para una función de n variables vendrá dado por 2n.

Gráfica

La representación gráfica es la que se utiliza en circuitos y esquemas electrónicos. En la siguiente figura se representan gráficamente una función algebraica.

Símbolos de Puertas Lógicas

Complementop pV FF V

Sumap q p+qV V VV F VF V VF F F

productop q p∗qV V VV F FF V FF F F

Una manera generalizada de representar las funciones lógicas es el uso de símbolos o bloques lógicos denominados puertas o compuertas lógicas. Estas puertas en general representan bloques funcionales que reciben un conjunto de entradas (variables independientes) y producen una salida (variable dependiente) como se muestra en la figura siguiente

Puerta AND

La salida de una compuerta AND es 1 solamente si todas sus entradas son simultáneamente 1, de lo contrario es 0.

PUERTA OR

La salida de una compuerta OR es 1 solamente si todas sus entradas son simultáneamente 0, de lo contrario es 1.

INVERSOR O PUERTA NOT

Un inversor es una puerta de solamente una entrada y su salida es el complemento lógico de la entrada. Es decir, cuando a la entrada de una puerta NOT hay un 1 su salida será 0, y de lo contrario cuando su entrada es 0, su salida será 1

NAND

Esta es una función lógica compuesta. Se puede visualizar como una compuerta AND seguida por una

Compuerta NOT y su salida es 0 sólo cuando todas sus entradas son simultáneamente 1.

PUERTA NOR

Esta Compuerta es una combinación de las funciones de un operador OR seguido por un INVERSOR.

La salida de una puerta NOR sólo será 1 cuando ambas entradas valgan 0

Equivalencia entre Puertas Lógicas

Usando álgebra de Boole es posible obtener una gran variedad de equivalencias entre símbolos de puertas lógicas y diagramas de alambrado de circuitos lógicos. A continuación se muestran sólo algunas equivalencias sencillas:

TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA

Los teoremas son reglas fundamentales, o leyes. En esta sección se describen 10 teoremas del álgebra booleana, los cuales se demuestran por medios de varios métodos, incluyendo diagramas de compuertas lógicas, tablas de verdad y referencias a postulados y teoremas previamente establecidos.

1. Teorema 1 (Ley conmutativa)

El orden de los factores no altera el resultado.

Ley conmutativa para la suma:

p+q=q+ p

Este teorema establece que las entradas a una compuerta OR son perfectamente intercambiables, y que la salida no es afectada por el orden en que se hayan escrito las entradas.

p q p+q q+p

V F V VF V V V

Ley conmutativa para el producto:

p∗q=q∗p

Este teorema establece que las entradas a una compuerta AND son perfectamente intercambiables, y que la salida no es afectada por el orden en que se hayan escrito las entradas.

p q p∗q q∗pV F F FF V F F

Iguales

p

q

p+q

q

p

q+p

p∗q

Iguales

p

q

q∗pq

p

2. Teorema 2 (Las Leyes Asociativas) Ley asociativa para la suma:  

p+(q+r )= (p+q )+r

Este teorema establece que no importa el orden en que se apliquen las variables a una expresión OR.

p q r q+r p+(q+r ) p+q ( p+q )+rV V V V V V VV V F V V V VV F V V V V VV F F F V V VF V V V V V VF V F V V V VF F V V V F VF F F F F F F

Ley asociativa para el producto :  

p∗(q∗r )= (p∗q )∗r

Este teorema establece que no importa el orden en que se apliquen las variables a una expresión AND.

Iguales

q

r

q

q+rp+(q+r )

p

r

q

p+q( p+q )+r

p q r q∗r p∗(q∗r ) p∗q ( p∗q )∗rV V V V V V VV V F F F V FV F V F F F FV F F F F F FF V V V F F FF V F F F F FF F V F F F FF F F F F F F

3. Teorema 3 (Las leyes ídem potentes)

La idempotencia es la propiedad para realizar una acción determinada varias veces y aun así conseguir el mismo resultado que se obtendría si se realizase una sola vez

Ley de Idempotencia para la suma: este teorema establece que si a un valor binario se le aplica la operación AND consigo mismo, la salida resultante tiene el valor binario de la entrada.

p+ p=p

p p p+ pV V VF F F

Ley de la Idempotencia para el producto: este teorema afirma que si a un valor binario se le aplica la operación OR consigo mismo, entonces la salida resultante tiene el valor binario de la entrada.

Iguales

q

r

q

q∗rp∗(q∗r )

p

r

q

p∗q( p∗q )∗r

p∗p=p

p p p∗pV V VF F F

4. Teorema 4(Las Leyes de las Identidades)

Dentro del algebra existen dos elementos neutros, el 0 y el 1, que cumplen la propiedad de identidad con respecto a la suma y la multiplicación.

El elemento 0 es un elemento de identidad con respecto a la operación + en el conjunto de enteros I = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Ya que:

p + 0 = 0 + p = p para toda p Є I

Ley de las identidades para la suma: Equivalente a una compuerta OR con una de sus terminales conectada a tierra

0+ p=p1+ p=1

Ley de las identidades para el producto: Equivalente a una compuerta AND con una de sus terminales conectada a 1

1p

q=1

pp

q=0

P Q=0 P+QV F VF F F

P Q=1 P+QV V VF V V

1∗p=p0∗p=0

5. Teorema 5 (Las Leyes de los Elementos Nulos) Ley de los elementos nulos para la suma:

p+¿ 1=1

Ley de los elementos nulos para el producto:

p∗¿ 0=0

pp

q=1

0p

q=0

p

q=1

1

P Q=1 P*QV V VF V F

P Q=0 P*QV F FF F F

P Q=1 P+QV V VF V V

P Q=0 P*QV F FF F F

6. Teorema 6(las Leyes de los Complementos)

• Existe elemento complementario para la suma:

p+¿ p=1

p p p+ p

V F V

F V V

Existe elemento complementario para el producto:

p∗¿ p=0

7. Teorema 7 (Ley de absorción)

Ley derivada de la conjunción que presenta dos modalidades para su resolución, la Absorción Conjunto/disyuntiva y la Absorción Disyunto/conjuntiva. Al aplicarse cualquiera de éstas reglas, la premisa inicial es equivalente a la fórmula lógica en su totalidad.

Ley de Absorción para la suma con respeto al producto:

1

0

p

q=0

0

p p p∗p

V F F

F V F

p+( p∗q )=p

Si hacemos la tabla de la verdad para R=p+( p∗q) podemos ver enseguida que se cumple para todas las combinaciones que la función es igual a R=P:

p q p∗q p+(p∗q )V V V VV F F VF V F FF F F F

Iguales

R

Ley de Absorción para el producto con respecto a la suma:

p∗(p+q )=p

Si hacemos la tabla de la verdad para para R=p∗(p+q) podemos ver enseguida que se cumple para todas las combinaciones que la función es igual a R=P:

P Q p+q p∗(p+q )V V V VV F V VF V V FF F F F

P

Q

p∗q

p+(p∗q )

Iguales

8. Teorema 8 (Las Leyes Distributivas)

Esta ley establece que la respuesta va hacer la misma si se suman varias preposiciones y luego se multiplica por otras o si se multiplican por separado y luego se suman los resultados.

Ley distributiva de la suma respecto al producto: el resultado del miembro derecho puede obtenerse por medio de la multiplicación booleana, multiplicando por p la expresión que esta dentro del paréntesis esto se muestra en la tabla de la verdad.

p∗(q+r )=p∗q+ p∗r

p q r (q+r ) p∗(q+r ) p∗q p∗r p∗q+ p∗rV V F v V V F VV V V V V V V VV F F F F F F FV F V V V F V VF V F V F F F FF V V V F F F FF F F F F F F FF F V V F F F F

Iguales

q (q+r )

p

r p∗(q+r )

p∗( p∗q)

p+qp

q

Ley distributiva del producto respecto a la suma: Este teorema puede demostrarse por medio del álgebra booleana como se observa en el ejemplo que se presenta a continuación.

p+(q∗r )=( p+q )∗( p+r )

( p+q ) (p+r )=p∗p+ p∗q+ p∗r+q∗r=p+ p∗q+ p∗r+q∗r=p (1+q )+p∗r+q∗r p (1+r )+q∗r=p+q∗r Xoductomaivapormediode la

p q r (q∗r ) p+(q∗r ) p+q p+r p+q∗p+rV V F F V V v VV V V V V V V VV F F F V V V VV F V F V V V VF V F F F V F FF V V V V V V VF F F F F F F FF F V F F F V F

Iguales

p

q

r

( p∗q )

( p∗r )

( p∗q)+(q∗r )

p

r p+(q∗r )(q∗r )q

9. Teorema 9 (Ley de la noble negación)

Dentro de un sistema de lógica clásica, la doble negación, esto es, la negación de la negación de una proposición p, es lógicamente equivalente a p. Expresado simbólicamente, ¬(¬p) ⇔ p. En lógica intuicionista, una proposición implica su doble negación, pero no al revés. Esto marca unas importantes diferencias entre las generaciones clásicas e intuicionista. Algebraicamente, la negación clásica es llamada una involución de periodo dos.

Sin embargo, en lógica intuicionista, sí tenemos la equivalencia entre ¬¬¬p y ¬p. Es más, en el caso proposicional, una oración es demostrable de forma clásica, si su doble negación es demostrable de manera intuicionista. Este resultado es conocido como el teorema de Glivenko.

p=p ,donde p = p

Esquema Doble Negación

p pp p

p p pV F VF v F

Iguales

p

q

r

( p+q )

( p+r )

( p+q )∗(q+r )

10.Teorema 10 (Los teoremas De Morgan)

Las leyes de De Morgan son una parte de la Lógica proposicional y analítica, y fueron creadas por Augustus De Morgan (Madurai, 1806-Londres, 1871).

Las Leyes De Morgan sirven para declarar que la suma de n variables proposicionales globalmente negadas (o invertidas) es igual al producto de la n variable negada individualmente y que inversamente, el producto de n variables proposicionales globalmente negadas es igual a la suma de las n variables negadas individualmente.

Los teoremas (leyes) de De Morgan son muy utilizados en álgebra booleana para obtener el complemento de una expresión o una función, así como también para simplificar expresiones y funciones booleanas.

En la moderna lógica matemática, llevan el nombre de Morgan las siguientes leyes fundamentales del algebre de la lógica:

La negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones.

La negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones.

Primer Teorema de De Morgan

Éste es el primero de los teoremas de De Morgan. Establece que el complemento de una operación AND es igual a la operación OR de los complementos de las variables. Se demuestra en la tabla siguiente.

Para implementar el primer teorema de De Morgan se deben cambiar todos los productos boléanos “•” por sumas booleanas “+” y tomar el complemento de

p p

cada variable (o constante).Si una variable es complementada para empezar con ella, debe tomarse nuevamente su complemento, para obtener la variable sin complementar, de acuerdo con el teorema 9 de la doble negación.

p∗q=p+q

p q p q p∗q p+q p∗qV v F F V F FV F F V F V VF V V F F V VF F v V F v V

Segundo Teorema De Morgan

Éste es el segundo teorema de De Morgan, el cual establece que el complemento de una operación OR es igual a la operación AND aplicada a los complementos de las variables.

Para implementar el segundo teorema de De Morgan se deben cambiar todas las sumas booleanas “+” por productos booleanos “•” y tomar los complementos de cada una de las variables (o constantes). Si se toma el complemento de una variable para empezar con ella, debe tomarse de nuevo su complemento con la finalidad de obtener la variable sin complementar, de acuerdo con el teorema 9 de la doble negación.

p+q=p∗q

p

p( p∗q)

Igual

q

( p∗q )

p q p q p+q p∗q p+qV V F F V F FV F F V V F FF V V F V F FF F V V F v V

( p+q )

p( p+q )

qIgual

q

( p+q )

p