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LÓGICA MATEMÁTICA
Prof. Esp. Fabiano Taguchi
[email protected]://fabianotaguchi.wordpress.com
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Álgebra de Boole
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ÁLGEBRA DE BOOLE
O inglês George Boole é considerado o pai da lógica
simbólica, foi ele quem desenvolveu o sistema formal para raciocínio lógico, conhecido como álgebra
booleana.
ÁLGEBRA DE BOOLE
Em sua obra The Mathematical Analysis ofLogic, Boole percebeu que uma álgebra deobjetos poderia ser construída e ter váriasinterpretações.
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ÁLGEBRA DE BOOLE
◉ Arquitetura de computadores◉ Modelagem de circuitos (hardware)◉ Minimização de circuitos
PROPRIEDADES
ADIÇÃO LÓGICA
1. A + 0 = A2. A + 1 = 13. A + A = A4. A + A = 1
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PROPRIEDADES
MULTIPLICAÇÃO LÓGICA
1. A . 0 = 02. A . 1 = A3. A . A = A4. A . A = 0
PROPRIEDADES
COMUTATIVIDADE
1. A + B = B + A2. A . B = B . A
DISTRIBUTIVA
1. A . (B + C ) = A . B + A . C
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PROPRIEDADES
ASSOCIATIVIDADE
1. A + (B + C) = (A + B) + C = (A + C) + B2. A . (B . C) = (A . B) . C = (A . C) . B
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
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OPERAÇÕES DERIVADAS
EXEMPLO DE FUNÇÕES LÓGICAS
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EXEMPLO DE FUNÇÕES LÓGICAS
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Circuitos digitais e portas lógicas
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PORTAS LÓGICAS
Representa recursos físicos capazes de realizaroperações lógicas. Sendo que:
◉ Nível lógico 0 (ausência de tensão)◉ Nível lógico 1 (presença de tensão)
PORTA LÓGICA AND
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PORTA LÓGICA AND
Quando as duas entradas são 0 (interruptoresdesligados), a saída também é 0 (lâmpadaapagada).
PORTA LÓGICA AND
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PORTA LÓGICA AND
PORTA LÓGICA NAND
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PORTA LÓGICA NAND
A porta lógica NAND é uma porta lógica ANDcom a saída negada.
Os níveis lógicos da saída (S) da tabela verdade NAND é a negação dos níveis lógicos da saída
(S) da tabela verdade AND.
PORTA LÓGICA NAND
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PORTA LÓGICA NAND
PORTA LÓGICA OR
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PORTA LÓGICA OR
Quando as entradas são 0 (interruptoresdesligados) a saída (S) também é 0 (lâmpadasapagadas).
PORTA LÓGICA OR
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PORTA LÓGICA OR
PORTA LÓGICA NOR
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PORTA LÓGICA NOR
A porta lógica NOR é uma porta lógica OR coma saída negada.
Os níveis lógicos da saída (S) da tabela verdade NOR é a negação dos níveis lógicos da saída
(S) da tabela verdade OR.
PORTA LÓGICA NOR
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PORTA LÓGICA NOR
PORTA LÓGICA NOT
O nível lógico da saída (S) é a negação do nível lógico da entrada.
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PORTA LÓGICA NOT
PORTA LÓGICA EXclusive OR
A saída será 1 se apenas uma entrada for 1.
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PORTA LÓGICA EXclusive OR
PORTA LÓGICA EXclusive NOR
É uma porta lógica EX-OR com a saída negada
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PORTA LÓGICA EXclusive NOR
CIRCUITOS LÓGICOS
Consiste em um conjunto de portas lógicas econexões que simbolizam uma equaçãobooleana.
Por sua vez estes circuitos executam alguma função ou operação através de portas lógicas.
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EXEMPLO
CIRCUITOS LÓGICOS
Dada uma função booleana é possível desenharum circuito lógico que a implementa. Os passosusados para montagem do circuito são osmesmos usados durante a avaliação daexpressão.
Linhas simples representam os fios
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CIRCUITOS LÓGICOS
PASSOS:
1. Identificar as variáveis independentes;
2. Cada uma delas terá uma linha (fios);
3. Desenho das portas lógicas necessárias naordem: parênteses, negação, AND e OR.
CIRCUITOS LÓGICOS
EXEMPLO:
Construir o circuito lógico para função booleana:F = A + BC
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CIRCUITOS LÓGICOS
EXEMPLO:
Construir o circuito lógico para função booleana:F = AB + BC
CIRCUITOS LÓGICOS
EXEMPLO:
Construir o circuito lógico para função booleana:F = (A+B)(B+C)
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EXERCÍCIOS
Converta as seguintes proposições paraexpressões lógicas da álgebra de Boole econstruir a tabela verdade:a) (p v ~q) ^ r ^ ~pb) (~p ^ q) v qc) (~p ^ q) v (p ^ ~q)d) ~(p ^ q) v r
EXERCÍCIOS
Dada a tabela ao lado, encontre o resultado dasexpressões:a) A + B + Cb) A + B . Cc) A . B. Cd) (B + A) . Ce) C + A . Bf) B + C . A + Bg) A + B . C + A . B
A B C
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
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EXERCÍCIOS
Construa circuitos lógicos com as expressõesabaixo:a) A + B + Cb) A + B . Cc) A . B. Cd) (B + A) . Ce) C + A . Bf) B + C . A + Bg) A + B . C + A . B