Álgebra de boole - utfpr

Álgebra de BooleÁlgebra de Boole

Nikolas Libert

Aula 4B

Eletrônica Digital ET52CTecnologia em Automação Industrial

DAELT ● Nikolas Libert ● 2

Álgebra de Boole

Álgebra de Boole

Augustus De Morgan (1806-1871) e George Boole (1815-1864).

– Desenvolvimento de uma álgebra para representação de situações lógicas de forma simples.


Álgebra de Boole

Variáveis booleanas.

– Representadas através de letras, podendo assumir dois valores (0 ou 1).

Expressão booleana.

– Sentença matemática que opera sobre variáveis booleanas.


Postulados da Álgebra Booleana


Postulado da Complementação.

– A é chamado de complemento de A.

– Se A = 0 ► A = 1.

– Se A = 1 ► A = 0.

– Implica na seguinte identidade: A = A.



Postulado da Adição.

– Define as regras do operador “+”.● 0 + 0 = 0.● 0 + 1 = 1.● 1 + 0 = 1.● 1 + 1 = 1.

– Estabelece as seguintes identidades.● A + 0 = A.● A + 1 = A.● A + A = A.● A + A = 1.



Postulado da Multiplicação.

– Define as regras do operador “.”.● 0 . 0 = 0.● 0 . 1 = 0.● 1 . 0 = 0.● 1 . 1 = 1.

– Estabelece as seguintes identidades.● A . 0 = 0.● A . 1 = A.● A . A = A.● A . A = 0.


Propriedades da Álgebra Booleana

Propriedades da Álgebra Booleana

Propriedade Comutativa.

– Soma: A + B = B + A.

– Produto: A . B = B . A.

Propriedade Associativa.

– Soma: A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C.

– Produto: A . (B . C) = (A . B) . C = A . B . C.

Propriedade Distributiva.

– A . (B + C) = A . B + A . C


Teoremas de De Morgan


Importantes para simplificação de circuitos lógicos.

1° Teorema.

– O complemento do produto é a soma dos complementos.

– A . B = A + B

– A . B . (…) . N = A + B + (…) + N

A B A . B A + B

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 0



2° Teorema.

– O complemento da soma é o produto dos complementos.

– A + B = A . B

– A + B + (…) + N = A . B . (…) . N

Consequência prática dos teoremas.

A B A + B A . B

0 0 1 1

0 1 0 0

1 0 0 0

1 1 0 0

=

=

1° Teorema

2° Teorema


Identidades Auxiliares

Identidades Auxiliares

A + A.B = A.

– A + A.B = A.(1 + B) = A.(1) = A

(A + B).(A + C) = A + B.C

– (A + B).(A + C) = A.A + A.C + A.B + B.C = A + A.C + A.B + B.C = A.(1 + B + C) + B.C = A + B.C

A + A.B = A + B

– A + A.B = A + A.B = A . A.B = A . (A+B) =A.A + A.B = A.B = A + B


Simplificação de Expressões Booleanas

Simplificação de Expressões Booleanas

A Álgebra de Boole permite a simplificação de expressões lógicas e consequentemente, de circuitos que as representem.

Exemplo: Simplifique a expressão S = ABC + AB + AC

– S = A.(BC + B + C) = A.(BC + (B+C)) =A.(BC + (B+C)) = A.(BC + BC) = A.1 = A


Expressões que Representam uma Tabela Verdade

Expressões que Representam uma Tabela Verdade Dada uma tabela verdade, é possível a obtenção da

expressão lógica que a representa analisando-se as condições que tornam a saída verdadeira ou falsa.

Quando retiradas da tabela verdade de forma direta, as expressões se encontram num formato chamado de canônico.

Expressões canônicas nem sempre se encontram na representação mais simples.



Análise das condições de saída verdadeira.

– Devido ao formato da expressão de saída, este método é chamado de método da soma de produtos ou SOP (Sum of Products).

Logo: S = A.B.C + A.B.C + A.B.C

C0

C2

C5

A saída será verdadeira se as condições “C0” OU “C2” OU “C5” forem verdadeiras:

S = C0 + C2 + C5

O que torna a condição “C0” verdadeira?- As entradas “A” E “B” E “C” devem ser

falsas. C0 = A.B.C

C2 = A.B.C

C5 = A.B.C

A B C S

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0



Exercício: utilizando Álgebra de Boole simplifique a expressão obtida S = A.B.C + A.B.C + A.B.C.

S = A.C + A.B.C



Análise das condições de saída falsa.

A B C S

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

Logo: S = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C

C1

C3

C6

A saída será falsa se as condições “C1” OU “C3” OU “C4” OU “C6” OU “C7” forem verdadeiras: S = C1 + C3 + C4 + C6 + C7

O que torna a condição “C1” verdadeira?- As entradas “NÃO A” E “NÃO B” E “C”

devem ser verdadeiras. C1 = A.B.C

C3 = A.B.C

C7 = A.B.C

C4

C7C4 = A.B.C

C6 = A.B.C



Análise das condições de saída falsa.

– Devido ao formato da expressão de saída, este método é chamado de método do produto das somas ou POS (Product of Sums).

A B C S

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

S = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C

Negando os dois lados da expressão obtida:

S = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C

S = (A.B.C).(A.B.C).(A.B.C).(A.B.C).(A.B.C)

Aplicando De Morgan:

S = (A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C)

Aplicando De Morgan:



Resultado por SOP e POS.

A B C S

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

Soma de Produtos (SOP):

S = (A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C)

Produto das Somas (POS):

S = A.B.C + A.B.C + A.B.C

Nesse caso, a representação por soma de produtos é vantajosa.



Exercício: Obtenha as expressões SOP e POS que representam a tabela verdade abaixo e simplifique a SOP.

A B C S

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

S = A B + AC + ABC


Exemplo de Projeto

Três aparelhos de som devem ser conectados a um único amplificador. Caso mais de um aparelho esteja ligado, o amplificador deverá receber o sinal de um dos três de acordo com a seguinte lista de prioridades:

– Prioridade 1: Toca-discos.

– Prioridade 2: Toca-fitas.

– Prioridade 3: Rádio FM.

Escreva a tabela verdade de um sistema digital de três entradas e três saídas que determina qual aparelho é conectado ao amplificador.

– As variáveis de entrada são A, B e C e indicam quais equipamento estão ligados.

– As variáveis de saída são X, Y e Z e indicam qual equipamento está conectado ao amplificador. Apenas uma saída pode ser ativada simultaneamente.

Toca-discos Toca-fitas Rádio FM

Amplificador

X Y Z

A B C


Exemplo de Projeto

A B C X Y Z

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 1 0

1 0 0 1 0 0

1 0 1 1 0 0

1 1 0 1 0 0

1 1 1 1 0 0

A: Toca-discos ligado.B: Toca-fitas ligado.C: Rádio FM ligado.

X: Toca-discos conectadoao amplificador.Y: Toca-fitas conectadoao amplificador.Z: Rádio FM conectadoao amplificador.

Toca-discos Toca-fitas Rádio FM

Amplificador

X Y Z

A B C

Obtenha as 3 expressões SOP que representam o sistema.


Exemplo de Projeto

A B C X Y Z

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 1 0

1 0 0 1 0 0

1 0 1 1 0 0

1 1 0 1 0 0

1 1 1 1 0 0

Utilizando Álgebra de Boole, simplifique as expressões encontradas.

X = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C

Y = A.B.C + A.B.C

Z = A.B.C


Exemplo de Projeto

X = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C

Y = A.B.C + A.B.C

Z = A.B.C

X = A.(B.C + B.C + B.C + B.C)

X = A.(B.(C + C) + B.(C + C))

X = A.(B + B)

X = A

Y = A.B.(C + C)

Y = A.B


Exercício

Desenhe o circuito abaixo utilizando apenas portas NÃO E.

A B

S


Referências

IDOETA, I. V., CAPUANO, F. G. Elementos de Eletrônica Digital, 41ª Edição, Érica, São Paulo, 2013.

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