Álgebra de BooleCircuitos Digitais

Prof. Juliano Schimiguel

Álgebra de Boole

George Simon Boole (1815-1864)

O criador da álgebra dos circuitos digitais

Álgebra de Boole1- A Álgebra de Boole é aplicável ao projeto dos circuitos lógicos e funciona baseada em princípios da lógica formal.2- Um dos pioneiros no estudo da lógica formal foi Aristóteles (384-322 AC), que publicou um tratado sobre o tema, denominado "De Interpretatione". 3- Boole percebeu que poderia estabelecer um conjunto de símbolos matemáticos para substituir certas afirmativas da lógica formal. Publicou suas conclusões em 1854 no trabalho “Uma Análise Matemática da Lógica”4- Claude B. Shannon mostrou (em sua tese de mestrado no MIT) que o trabalho de Boole poderia ser utilizado para descrever a operação de sistemas de comutação telefônica.As observações de Shannon foram divulgadas em 1938 no trabalho "Uma Análise Simbólica de Relés e Circuitos de Comutação".

Álgebra de Boole

Definição da Álgebra de Boole:1- A álgebra de Boole é um sistema matemático composto por operadores, regras e teoremas. 2- A álgebra booleana usa funções e variáveis, como na álgebra convencional, que podem assumir apenas um de dois valores, zero (0) ou um (1). 3- A álgebra booleana trabalha com dois operadores, o operador AND, simbolizado por (.) e o operador OR, simbolizado por (+). O operador AND é conhecido como produto lógico e o operador OR é conhecido como soma lógica.

As variáveis booleanas serão representadas por letras maiúsculas, A, B, C,... e as funções pela notação f(A,B,C,D,...)

Álgebra de Boole

Operadores da Álgebra Booleana(descrição de cada um deles nas próximas páginas)

Álgebra de Boole

Operadores Booleanos Fundamentais1- Operador ANDDefinição: A operação lógica AND entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 1. 2- Símbolo Lógico

3- Tabela Verdade

Álgebra de Boole

Operadores Booleanos Fundamentais1- Operador ORDefinição: A operação lógica OR entre duas ou mais variáveis apresenta resultado 1 se pelo menos uma das variáveis estiver no estado lógico 1. 2- Símbolo Lógico

3- Tabela Verdade

Álgebra de Boole

Operadores Booleanos Fundamentais1- Operador NOTDefinição: A operação de complementação de uma variável é implementada através da troca do valor lógico da referida variável.

2- Símbolo Lógico

3- Tabela Verdade

Álgebra de Boole

Operadores Booleanos Secundários1- Operador NANDDefinição: A operação lógica NAND entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 0 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 1. 2- Símbolo Lógico

3- Tabela Verdade

Trata-se da operaçãoAND, com

resultadonegado...

Álgebra de Boole

Operadores Booleanos Secundários1- Operador NORDefinição: A operação lógica NOR entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 0. 2- Símbolo Lógico

3- Tabela VerdadeTrata-se da

operaçãoOR, com resultadonegado...

Álgebra de Boole

Operadores Booleanos Secundários1- Operador EXOR (OU exclusivo)Definição: A operação lógica EXOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se uma e somente uma das duas variáveis estiver no estado lógico 1 (ou seja se as duas variáveis estiverem em estados lógicos diferentes).2- Símbolo Lógico

3- Tabela Verdade

Álgebra de Boole

Operadores Booleanos Secundários1- Operador EXNOR (negativo de OU exclusivo)Definição: A operação lógica EXNOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se e somente se as duas variáveis estiverem no mesmo estado lógico.2- Símbolo Lógico

3- Tabela Verdade

Simplificação de Expressões Booleanas

Usada para economizar componentes, tornar o circuito mais rápido, mais simples de fabricar e de manutenção, além de diminuir seu tamanho.

Formas de Simplicação: Postulados da Álgebra Booleana Mapas de Karnaugh

Postulados da Álgebra Booleana Identidades Booleanas

A + 0 = A 1 A . 0 = 0 5 A = A 9A + 1 = 1 2 A . 1 = A 6A + A = 1 3 A . A = 0 7A + A = A 4 A . A = A 8

Propriedade ComutativaA + B = B + A 10 A . B = B . A 11

Postulados da Álgebra Booleana

Propriedade Associativa(A + B) + C = A + (B + C) 12(A. B) . C = (B. C) . A 13

Propriedade DistributivaA . (B + C) = A . B + A . C 14

Teorema de De MorganA . B... = A + B + ... A + B + ... = A . B ... 15

CABCBABCACBAF

CABCBAC)CB(AF

CABCBABAF

F A B1 AB C ABC Pela prop. (6), A B1=A B

C C =1Pela prop. (3),

Pela prop. (14), A(BC) A B AC

Soma de Produtossimplificada

Simplificação com Álgebra Booleana (exemplo 1)

Soma de Produtos simplificada (mínima, no caso)

F ABCABCABC ABC ABC

F AB(CC)ABC (A A)BCPela prop. (14)

Pela prop. (3)

F A B1 AB C1BC Pela prop. (6)

F ABABCBC

Simplificação com Álgebra Booleana (exemplo 2)

Pela prop. (14)

Pela prop. (3)

Pela prop. (6)

Circuito Lógico

CABCBABCACBAF

A

C

F

B

1o nível 2o nível

Circuito com (lógica de ) 2 níveis

Exemplo 1 sem simplificar expressão

CBCBABAF

Circuito com (lógica de ) 2 níveis

Circuito LógicoExemplo 2 com simplificação expressão

A

C

F

B

1o nível

2o nível

Exercício 1 Criar o circuito lógico do exemplo 1 com a

expressão simplificada Criar o circuito lógico do exemplo 2 sem a

expressão ter sido simplificada

OBS.: para cada um dos 02 exemplos, compare os circuitos lógicos produzidos, para a expressão simplificada e a não simplificada

Exercício 2 Construa o circuito lógico para a

seguinte expressão:

YZXF

Resultado próx. Pág.

X

YZ

F

Exercício 3 Produza os circuitos lógicos:

(A+B+C).(A+C).(B+C)

(A.B)+(A.C.B)+(A.C)+(B.C)

F=X+YZ