ÁlgebradeÁlgebrade Álgebra de boole Álgebra é uma parte da matemática que trata da...
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ÁLGEBRA ÁLGEBRA DEDE
ÁLGEBRA DE BOOLEÁLGEBRA DE BOOLE
Álgebra é uma parte da matemática que trata da manipulação de números e de
símbolos representativos de quantidades físicas usando operações aritméticas.
Foi GEORGE BOOLE (1815 - 1864) matemático inglês, quem elaborou (1854) uma “Álgebra”
a partir da lógica.
GEORGE BOOLE fez a lógica totalmente SIMBÓLICA. Elaborou a análise matemática
da lógica de dois valores (binária).
ÁLGEBRA DE BOOLEÁLGEBRA DE BOOLEA álgebra booleana é definida em um conjunto
“S” onde só se tem dois elementos: 0 e 1 , sobre os quais podem ser executadas três
operações.
• PRODUTO BOOLEANO.
• SOMA BOOLEANA.
• INVERSÃO BOOLEANA.
OPERADORES
“E” indica interligação de chaves em série. Representada pelo
a b
ab
A “barra” sobre a letra indica inversão de função.
“OU” indica interligação de chaves em paralelo. Representada pelo +
a
S = A FUNÇÃO INVERSORANÃO
S = A + BOU FUNÇÃO “OU”INCLUSIVO
S = A B FUNÇÃO “E”E
POSTULADO “E”
A . B0 0
010 1
1 1
A B S
a 0a 1
aa
a b
a a
0
0001
a
a . b
a
0
S = A . B
ba
S
V
POSTULADO “OU”
A + B0 0
010 1
1 1a 0a 1
aa
a ba a
a
0111
1
a + b1a
S = A + B
A B S
b
a
V
S
PRINCÍPIO DA DUALIDADE
TODO E QUALQUER RESULTADO VERDADEIRO, EXPRESSO EM FÓRMULAS, POSTULADOS E
TEOREMAS DA ÁLGEBRA DE BOOLE, PERMANECE
VERDADEIRO SE + E SÃO INTERCAMBIADOS, SIMULTANEAMENTE AO
INTERCÂMBIO DE 0 E 1 .
+ SINAL DE SOMA LÓGICA
SINAL DE PRODUTO LÓGICO
PRINCÍPIO DA DUALIDADE
0 0
010 1
1 1
A B S
a 0a 1
aa
a ba a
a
0111
1
a+b
a1
S = A + B
1 0
0 10 0
1 1
1
0
1
000
0
a.b
FUNÇÃO ?
0
S = A . B
ÁLGEBRA BOOLEANA
LEIS/PROPRIEDADES
DA
PROPRIEDADE DISTRIBUITIVA
PRIMEIRO CASO: “E” EM RELAÇÃO A “OU”
a . ( b + c )
(a . b ) + ( a . c )
PROPRIEDADE DISTRIBUITIVA
SEGUNDO CASO: “OU” EM RELAÇÃO A “E”
(a + b ) . ( a + c )
a + ( b . c )
PROPRIEDADE DISTRIBUITIVA
(a + b ) . ( a + c )
a + ( b . c )
(a . b ) + ( a . c )
a . ( b + c )PRIMEIRO CASO:
“E” EM RELAÇÃO A “OU”
SEGUNDO CASO:
“OU” EM RELAÇÃO A “E”
PROPRIEDADE ASSOCIATIVA
a . ( b . c ) = ( a . b) . c
a + ( b + c ) = ( a + b) + c
ASSOCIAÇÃO SERIE
ASSOCIAÇÃO PARALELA
PROPRIEDADE COMUTATIVA
a + b = b + a
a . b = b . a
ASSOCIAÇÃO SERIE
ASSOCIAÇÃO PARALELA
TEOREMAS
2. SOMA E PRODUTO LÓGICOS DE DOIS ELEMENTOS IGUAIS.
1. SOMA LÓGICA DE UM ELEMENTO COM “1” E SEU PRODUTO LÓGICO COM “0”
3. TEOREMA DO ABSORVIMENTO.
4.TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
5. TEOREMA DE DE MORGAN
TEOREMA1. SOMA LÓGICA DE UM ELEMENTO COM “1” E SEU PRODUTO
LÓGICO COM “0”
a + 1 = 1=1
a + a
a +
( ).1a + 1( )
( )( )a + 1 . =1
a + a(1. )
a = 1
=1
P.Dualidade
SOMA LÓGICA DE UM ELEMENTO COM “1”1.1
a ?
1
1
a ?
1
TEOREMA1. SOMA LÓGICA DE UM ELEMENTO COM “1” E SEU PRODUTO
LÓGICO COM “0”
a . 0 = 0=0
a . a
a .
( )+ 0a .0( )
( )( )a . 0 + =0
a . a(0+ )
a = 0
=0
P.D
PRODUTO DE UM ELEMENTO COM “0”1.2
0a
0a0
TEOREMA1. SOMA LÓGICA DE UM ELEMENTO COM “1” E SEU PRODUTO
LÓGICO COM “0”
SOMA LÓGICA DE UM ELEMENTO COM “1”
a + 1 = 1=1
a + a
a +
( ).1a + 1( )
( )( )a + 1 . =1
a + a(1. )
a = 1
=1
a . 0 = 0=0
a . a
a .
( )+ 0a .0( )
( )( )a . 0 + =0
a . a(0+ )
a = 0
=0
PRODUTO DE UM ELEMENTO COM “0”
TEOREMA2. SOMA E PRODUTO LÓGICOS DE DOIS ELEMENTOS IGUAIS.
a + a = a=a
a + a
a +
( ).1a + a( )
( )( )a + a . =a
a + a(a . )
= a
=a
0
SOMA LÓGICA DE DOIS ELEMENTOS IGUAIS2.1
P.D
a . a
2.2
TEOREMA
3. DO ABSORVIMENTO.
3.1 “E” em relação a “OU”
a . ( a + b ) = a
( a . a ) + ( a . b ) = a
a + ( a . b )
P.D
3.2 “OU” em relação a “E” a + ( a . b ) = a
a . ( 1 + b ) = a . 1 = a
= a
TEOREMA
4. DA SUPERPOSIÇÃO
4.1 “E” em relação a “OU”
a . ( a + b ) = a . b
( a . a ) + ( a . b )
0 + ( a . b )
= a . b= a . b
= a . b4.2 “OU” em relação a “E”
P.Da + ( a . b ) = a + b
AV5
TEOREMA5. DE DE MORGAN
5.1 a + b = a . b a + a = 1
(a + b) (a + b) = 1
( )
(a + b) + a . b = 1y ( )
( y + a ) . ( y + b )
(a+b ( a+b+ a ). + b )
(a + a + b) (a + b + b)
(1+b). (a+1)
1. 1 = 1
= 1
x + x = 1
z + z = 1
+ = 1
5.2
a . b = ( a + b )
P.D
AV6
+
.
POSTULADOS/TEOREMASl/LEIS/PROPRIEDADES
0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1a + b = b + aa + a = 1a + 0 = aa + 1 = 10 . 0 = 00 . 1 = 01 . 0 = 01 . 1 = 1a . b = b . aa . a = 0a . 0 = 0
a . 1 = a
0 = 11 = 0
a + a = aa . a = aa + ( a . b ) = aa . ( a + b ) = a
( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c
a + ( a . b ) = a + ba . ( a + b ) = a . b
( a . b ) . c = a . ( b . c ) = a . b . c
a . b = a + b
a + b = a . b
Dúvidas
TEOREMA2. SOMA E PRODUTO LÓGICO DE DOIS ELEMENTOS IGUAIS.
a . a = a=a
a . a
a .
( )+0a . a( )
( )( )a . a + =a
a . a(a+ )
= a
=a
1
PRODUTO LÓGICO DE DOIS ELEMENTOS IGUAIS2.2
POSTULADOS/FORMULAS/TEOREMAS
0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1a + b = b + aa + a = 1a + 0 = aa + 1 = 10 . 0 = 00 . 1 = 01 . 0 = 01 . 1 = 1a . b = b . aa . a = 0a . 0 = 0
a . 1 = a
0 = 11 = 0
a + a = aa . a = aa + ( a . b ) = aa . ( a + b ) = a
( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c
a + ( a . b ) = a + ba . ( a + b ) = a . b
( a . b ) . c = a . ( b . c ) = a . b . c
a . b = a + b
a + b = a . b