UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO

CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

BACHARELADO EM SISTEMAS DE INFORMAÇÃO

Álgebra de Boole

Disciplina: Lógica

Professora Dr.ª: Donizete Ritter

A Matemática Discreta e Lógica torna-se

importante ao incluir os indivíduos no mundo

lógico, pois a lógica está presente nos mais diversos

lugares e aspectos, e assim define Moretto (2007,

p.3) a lógica como: “(...) uma correção do

pensamento, isto é, ela nos ensina a usar

corretamente o raciocínio. Pensar em lógica

significa ordenar o pensamento. (...) A lógica está

presente no nosso cotidiano, nas nossas ações,

quando falamos ou escrevemos (...)”.

Sendo a lógica um estilo de raciocínio, é possível

compará-la com uma arte, a arte de pensar, sem

que para isso seja necessário ser um filósofo. A

lógica está muito relacionada com o pensamento e

estamos interessados em como é possível fazer a

máquina “pensar”.

Como sabemos essas máquinas, os computadores

digitais binários são projetados para armazenar e

manipular informações representadas apenas por

dois algarismos ou dígitos distintos, 0 e 1.

Álgebra de Boole HISTÓRIA

A Álgebra de Boole e aplicável ao projeto doscircuitos lógicos e funciona baseada em princípiosda lógica formal, uma área de estudo da filosofia.

Álgebra Booleana é uma área da matemática quetrata de regras e elementos de lógica. O nome“booleana” é uma retribuição da comunidadecientífica ao matemático inglês George Boole(1815 - 1864), que desenvolveu uma análisematemática sobre a Lógica e em 1854 publicou umlivro no qual propôs os princípios básicos dessaálgebra.

Boole percebeu que poderia estabelecer um

conjunto de símbolos matemáticos para substituir

certas afirmativas da lógica formal. Publicou suas

conclusões em 1854 no trabalho “Uma Análise

Matemática da Lógica”. Claude B. Shannon

mostrou (em sua tese de Mestrado no MIT) que o

trabalho de Boole poderia ser utilizado para

descrever a operação de sistemas de comutação

telefônica. As observações de Shannon foram

divulgadas em 1938 no trabalho "Uma Análise

Simbólica de Relés e Circuitos de Comutação".

DEFINIÇÃO DE ÁLGEBRA DE BOOLE

A Álgebra de Boole é um sistema matemáticocomposto por operadores, regras, postulados eteoremas. Usa funções e variáveis, como naálgebra convencional, que podem assumir apenasum dentre dois valores, zero (0) ou um (1).

Trabalha com dois operadores, o operador AND,simbolizado por (.) e o operador OR, simbolizadopor (+). O operador AND é conhecido comoproduto lógico e o operador OR e conhecido comosoma lógica. Os mesmos correspondem,respectivamente, as operações de interseção eunião da teoria dos conjuntos.

Tais princípios baseiam-se em um sistema de

álgebra (álgebra das proposições) onde se pode

determinar se uma sentença é falsa ou verdadeira

utilizando-se para isso as funções ou operadores

lógicos: E, OU e NÃO (AND, OR, NOT). Assim,

“choveu ontem à tarde” é um proposição (pode

ser falsa ou verdadeira).

Porém algumas proposições são compostas de

subproposições ligadas por conectivos, no nosso

caso representado pelos operadores lógicos: e, ou

e não. No caso dessas proposições, o operador

lógico usado é que definirá o valor lógico (se

verdadeiro ou falso).

INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA DE

BOOLE O postulado básico da álgebra de Boole é a

existência de uma variável booleana tal que:

x≠0 ↔ x=1

x≠1 ↔x=0

A álgebra de Boole é um sistema algébrico queconsiste do conjunto {0,1}, duas operaçõesbinárias chamadas OR (operador: +) e AND (.) euma operação unária NOT.

A operação OR é chamada de soma lógica ouunião, a operação AND é conhecida por produtológico ou interseção e a operação NOT é ditacomplementação ou ainda inversão (não confundircom a soma de números binários).

George Boole estabeleceu dois princípios

fundamentais em que assenta a lógica booleana, e

que são:

princípio da não contradição: "Uma proposição

não pode ser, simultaneamente, verdadeira e

falsa“.

princípio do terceiro excluído: "Uma proposição

só pode tomar um dos dois valores possíveis - ou

é verdadeira ou é falsa - não sendo possível

terceira hipótese"

Como já foi referido, Boole desenvolveu a sua

álgebra a partir de duas grandezas: falso e

verdadeiro.

Também os computadores digitais fazem uso de

sinais binários (0 e 1). Estes sinais pretendem

representar os níveis de tensão, isto é, o 0 significa

que não há passagem de corrente elétrica e 1

significa passagem de corrente elétrica.

Daqui, podemos fazer a analogia entre a linguagem

dos computadores e a álgebra de Boole da seguinte

forma:0/Falso/Não passa corrente elétrica,

1/Verdadeiro/Passa corrente elétrica.

Operadores: As variáveis booleanas são

representadas por letras maiúsculas, A, B, C,...

Operadores Booleanos Fundamentais:

AND, OR e NOT.

Operador AND (interseção).

Definição: A operação lógica AND entre duas ou

mais variáveis somente apresenta resultado 1 se

todas as variáveis estiverem no estado lógico 1. A

conjunção é representada pela conectiva "."

(ponto, como se fosse a multiplicação pois

também é designada por produto lógico).

Considerando todos os "arranjos" possíveis dos

valores lógicos de duas proposições, A e B,

podemos estabelecer a "tabela de verdade" que

apresenta os resultados possíveis da conjunção

lógica.

Símbolo Lógico:

Tabela Verdade:

Operador OR (união).

Definição: A operação lógica OR entre duas ou

mais variáveis apresenta resultado 1 se pelo menos

uma das variáveis estiver no estado lógico 1. A

disjunção inclusiva é representada pela conectiva

"+" (sinal de soma, pois representa a adição

lógica). A tabela de verdade desta operação lógica

é:

Símbolo Lógico:

Tabela Verdade:

Operador NOT (inversor).

Definição: A operação de complementação de

uma variável e implementada através da troca do

valar lógico da referida variável.

Símbolo Lógico:

Tabela Verdade:

Operadores Booleanos Secundários:

NAND, NOR, XOR E XNOR

Operador NAND:

Definição: A porta NAND (NÃO E) equivale a

uma porta AND seguida por uma porta NOT, isto

é, ela produz uma saída que é o inverso da saída

produzida pela porta AND.

Símbolo Lógico:

Tabela Verdade:

Operador NOR:

Definição: A porta NOR equivale a uma porta OR

seguida por uma porta NOT, isto é, ela produz

uma saída que é o inverso da saída produzida pela

porta OR.

Símbolo Lógico:

Tabela Verdade:

Operador XOR (OU exclusivo)

Definição: A operação lógica XOR entre duas

variáveis A e B apresenta resultado 1 se uma e

somente uma das duas variáveis estiver no estado

lógico 1 (ou seja se as duas variáveis estiverem

em estados lógicos diferentes).

Símbolo Lógico:

Tabela Verdade:

Operador XNOR (negativo de OU exclusivo)

Definição: A operação lógica XNOR entre duas

variáveis A e B apresenta resultado 1 se e somente

se as duas variáveis estiverem no mesmo estado

lógico.

Símbolo Lógico:

Tabela Verdade:

PROPRIEDADES BÁSICAS

Sendo x uma variável booleana, então:

A álgebra booleana é comutativa e associativa com

relação às duas operações binárias. Sendo x, y, z

variáveis booleanas, então:

Na álgebra booleana, a soma é distributiva sobre oproduto e o produto é distributivo sobre a soma,

Notemos que estas propriedades apresentam-se aospares e que em cada par, uma equação pode serobtida da outra mediante a troca de 1 por 0 e 0 por1 além de permutarmos os AND’s pelos OR’s .

Isto é conhecido como princípio da dualidade daálgebra de Boole (obs: todas estas expressõespodem ser provadas por indução finita, bastandoprovar uma equação e a sua dual estará provada).

PORTAS LÓGICAS

Portas lógicas são dispositivos ou circuitos lógicos

que operam um ou mais sinais lógicos de entrada

para produzir uma e somente uma saída, a qual é

dependente da função implementada no circuito.

Existem 7 Portas Lógicas e são elas:

TABELAS OPERACIONAIS

Semelhante às tabelas verdade da Lógica das

Proposições, podemos construir as tabelas

operacionais para a álgebra booleana. Nestas

últimas os valores lógicos são os dígitos 0 e 1.

CIRCUITO LÓGICO

Todas as complexas operações de um computadornão são mais do que simples operações aritméticase lógicas básicas, como somar bits, complementarbits, comparar e mover bits. Estas operações sãousadas para controlar a forma como o processadortrata os dados, acede à memória e gera resultados.

Todas estas funções do processador são fisicamenterealizadas por circuitos eletrônicos, chamadoscircuitos lógicos. Assim sendo, um computadordigital não é mais do que um "aglomerado" decircuitos lógicos. Quando se deseja construir umcircuito lógico relativamente simples, faz-se uso deum circuito integrado.

IMPLEMENTANDO CIRCUITOS A

PARTIR DE EXPRESSÃO BOOLENAS

É possível desenhar um circuito lógico queexecuta uma função booleana qualquer, ouseja, pode-se desenhar um circuito a partir desua expressão características.

O método para a resolução consiste em seidentificar as portas lógicas na expressão edesenhá-las com as respectivas ligações, apartir das variáveis de entrada deve-se semprerespeitar a hierarquia das funções da aritméticaelementar, ou seja, a solução inicia-seprimeiramente pelos parênteses.

Para exemplificar, será obtido o circuito que

executa a expressão X= ( A+B ) . ( ̅B+C ): Essa

expressão mostra que os termos A+B e ̅B+C são

entradas de portas AND, e cada um deles é gerado

por portas OR independentemente.

Exemplo de um circuito a partir de uma expressão

booleana.

TABELAS VERDADE OBTIDAS DE

EXPRESSÕES BOOLEANAS

Uma maneira de se fazer o estudo de uma funçãobooleana é a utilização da tabela verdade. Paraextrair a tabela da verdade de uma expressãodevem-se seguir alguns procedimentos:

1º) Montar o quadro de possibilidades;

2º) Montar colunas para os vários membros daequação;

3º) Preencher estas colunas com os seus resultados;

4º) montar uma coluna para o resultado final e

5º) Preencher esta coluna com os resultados finais.

Para exemplificar este processo, utiliza-se a expressão

X=A.B.C + A.̅D + ̅A.B.D, a expressão contém 4

variáveis: A, B, C e D, logo, existem 16 possibilidade

de combinações de entrada, para as quatro variáveis, o

número de linhas da tabela é 24=16 linhas, na tabela a

seguir veja que na coluna um o valor 0 e 1 se repete 8

vezes cada um, enquanto na coluna dois se repete 4

vezes, na três duas vezes e na coluna quatro uma vez

cada um.

Desta forma, monta-se o quadro de possibilidade com

quatro variáveis de entrada, três colunas auxiliares,

sendo uma para cada membro da expressão, e uma

coluna para resultado final. Exemplo de tabela verdade

obtida de expressão booleana.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ALENCAR FILHO, Edgar de. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel, 2002

CEFETES, Circuitos e Sistemas Digitais. Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo. Disponível em:< ftp://ftp.cefetes.br/.../Apostila%20com%20base%20no%20livro%20-%20...>. Acesso em: 02 de julho de 2014.

DAGHLIAN, Jacob. Lógica e álgebra de Boole. 4ª Ed. São Paulo: Atlas, 1995.

FAGOTTO, Eric. Álgebra de Boole. Disponível em:< www.las.ic.unicamp.br/edmar/PUC/2006/CL/CL-AlgBoole-Eric.pdf >. Acesso em: 02 de julho de 2014.

MORETTO, A. Lógica da Matemática. Centro Universitário Leonardo da Vinci Indaial: Grupo UNIASSELVI, 2007.

SOUZA, João Nunes de. Lógica para ciência da computação. Rio de Janeiro: Elsevier, 2002.

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Álgebra de Boole

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