robótica 02-08-2000 copyright 2000, jorge lagoa 1ª aula - Álgebra de boole

02-08-2000

Copyright 2000, Jorge Lagoa

RobóticaRobótica

1ª aula - Álgebra de Boole

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02-08-2000


1. 2.

Robótica

Definição

Álgebra de boole é todo o terno

ordenado, constituído por um

conjunto A, com mais de um

elemento, e por duas operações:

adição (+) e multiplicação (·).


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1. 3.

Robótica

Propriedades1 - (A,+) e (A,.) São semigrupos comutativos, logo: Existência das operações

Comutatividade das operações

Associatividade das operações

Existência de elemento neutro

2 - distributividade entre operações

3 - existência de complementar

Onde é o complementar de .

dbacbaAA dcba : ,,

abbaabbaAba ,

cbacbacbacbaAcba :,,

aaaaAa 10

cabacba cabacba

01: aaaaAAaa

a a


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1. 4.

Robótica

TeoremasElemento neutro

Elemento absorvente

Idempotência

Involução

Complementar

Comutatividade

Distributividade

Leis de morgan

aaaaaa 1100

aaaaaa

01 aaaa

aa

abbaabba

babaababaa

babababa

000111 aaaa

abaaabaa

cabacbacabacba


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1. 5.

Robótica

Funções Booleanas

a b ba 0 0 00 1 11 0 11 1 1

a b ba0 0 00 1 01 0 01 1 1

a a0 11 0

Função E (AND) Função OU (OR)

Função NÃO (NOT)

Funções lógicas booleanas básicasFunções lógicas booleanas básicas

a a0 01 1

Função SIM (YES)


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1. 6.

Robótica

a b ba0 0 00 1 01 0 11 1 0

Função INIBIÇÃO

Função DILEMA ou OU EXCLUSIVO (XOR)

a b ba 0 0 00 1 11 0 11 1 0

a b ba0 0 10 1 11 0 11 1 0

Função NÃO E (NAND)

Função NÃO OU (NOR)

a b ba0 0 10 1 01 0 01 1 0

Funções lógicas booleanas derivadasFunções lógicas booleanas derivadas

Função IMPLICAÇÃO

a b ba0 0 10 1 01 0 11 1 1

Função EQUIVALÊNCIA (THRESHOLD OPERATION)

a b

baba

0 0 00 1 11 0 11 1 0


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1. 7.

Robótica

Funções Lógicas

Af

F

B

Bn

0

1

Aplicação de Bn em B


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1. 8.

Robótica

100101110111

F

BB3

0

1

Aplicação de B3 em B

000001010011

Para B3 existirão 8 elementos diferentes.

Fazendo uma representação de F em extensão:

Representando os elementos pelas variáveis x2, x1, x0, tem-se para a função característica:

2xF

1111 ,110 ,101 ,100 F


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1. 9.

Robótica

Representação Analítica 1ª forma canónica

2ª forma canónica

3ª forma canónica

4ª forma canónica

12

10

n

iFi

imF

12

00

n

iFi

imF

12

10

n

iFi

imF

12

00

n

iFi

imF


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1. 10.

Robótica

Seja a função definida em B3, de acordo com a seguinte tabela de verdade:

nº ordem x2 x1 x0 F0 0 0 0 01 0 0 1 02 0 1 0 13 0 1 1 14 1 0 0 05 1 0 1 16 1 1 0 07 1 1 1 0

5

Logo: 1101 ,011 ,010 F

0111 ,110 ,100 ,001 ,000 F


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1. 11.

Robótica

1ª Forma canónica (levantamento pelos 1’s)

2ª Forma canónica (levantamento pelos 0’s)

3ª Forma canónica (função NAND)

4ª Forma canónica (função NOR)

012012012 xxxxxxxxx F

012012012012012 xxxxxxxxxxxxxxx F


012012012 xxxxxxxxx F

xxxxxxxxx 012012012 F




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1. 12.

Robótica

Para a tabela anterior:

F tem valor 1 nos pontos 2, 3, 5 e tem valor 0 em todos os restantes pontos de B3. É usual não escrever os pontos de valor 0.

Representação Numérica As coordenadas de um ponto de bn escritas, sem

parêntesis ou virgulas, resulta numa sequência ordenada de zeros e uns que pode ser lida como um número de base 2.

O ponto será referenciado numericamente pelo número decimal correspondente ao valor binário.

01

3 7 ,6 ,4 ,1 ,05 ,3 ,2BF

6202121200110 012310


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1. 13.

Robótica

Representação Geométrica Em B1

Em B2

Em B3

01

Valores lógicos

x0

x0

x1

0

0

0

1

1

1x0

x2

x1

2

2

3

3

4 56

7

(00) (01)

(10) (11)

(000) (001)

(010) (011)

(100)(101)

(110) (111)


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1. 14.

Robótica

Representação TabularMapa de Karnaugh: 2 variáveis

3 variáveis

4 variáveis

5 variáveis

01 1x

0021130x

0 0 1 1 2x

0 1 1 0 1x

0 0 2 6 41 1 3 7 50x

0 0 1 1 3x

0 1 1 0 2x

0 0 0 4 12 80 1 1 5 13 91 1 3 7 15 111 0 2 6 14 10

1x 0

x

0x4 0 0 1 1 3

x0 1 1 0 2

x0 0 0 4 12 80 1 1 5 13 91 1 3 7 15 111 0 2 6 14 10

1x 0

x

1x4 0 0 1 1 3

x0 1 1 0 2

x0 0 16 20 28 240 1 17 21 29 251 1 19 23 31 271 0 18 22 30 26

1x 0

x


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1. 15.

Robótica

01 1x

0111010x

0 0 1 1 3x

0 1 1 0 2x

0 0 1 0 d 10 1 d d 0 d1 1 1 1 0 01 0 1 0 0 1

1x 0

x

1

2 3 ,2 ,0BF

d

BF 21 ,9 ,5 ,101 ,8 ,7 ,3 ,2 ,01

4

Em algumas situações não interessa definir valor para um ponto, será o projectista a escolher o valor que mais lhe aprover.

Iremos usar a letra d de d’ont care (tanto faz).


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1. 16.

Robótica

Simplificação De Funções AnaliticamenteAnaliticamente

1

4 21 ,9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,0BF

01230123

012301230123

012301230123

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

F

1232301 xxxxxxx F

232301 xxxxxx F

Por utilização das propriedades e teoremas obtém-se:

ou ainda:


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1. 17.

Robótica

0 0 1 1 3x

0 1 1 0 2x

0 0 1 1 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 0 01 0 0 1 0 0

1x 0

x

Mapa de karnaughMapa de karnaugh

0 0 1 1 3x

0 1 1 0 2x

0 0 1 1 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 0 01 0 0 1 0 0

1x 0

x

Levantamento pelos 1’s: Levantamento pelos 0’s:

F

1213023023 xxxxxxxxxx F

01 xx 23 xx 123 xxx F023 xxx 023 xxx

13 xx 12 xx


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1. 18.

Robótica

0 0 1 1 3x

0 1 1 0 2x

0 0 0 0 d 00 1 0 1 0 01 1 1 1 d 11 0 d 0 d 1

1x 0

x

0 0 1 1 3x

0 1 1 0 2x

0 0 0 0 d 00 1 0 1 0 01 1 1 1 d 11 0 d 0 d 1

1x 0

x

Estados d’ont care (tanto faz)

Levantamento pelos 1’s: Levantamento pelos 0’s:

F

120213 xxxxxx F

12 xx 023 xxx F 13 xx 02 xx 12 xx


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1. 19.

Robótica

Bibliografia Folhas das Cadeiras de Automação Industrial:

Mestrado em Engenharia Mecânica - IST (1995/96)

Rui Loureiro

Licenciatura em Engenharia Mecânica - IST (1990)

Caldas Pinto

Método Sequencial para Automação Electropneumática

Fundação Calouste Gulbenkian (Agosto 1983)

José Novais

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