04 algebra de boole

lgebra de BooleLuciano L. [email protected]

UFFS Universidade Federal da Fronteira Sul Circuitos Digitais 2011/02

lgebra de BooleDefinida por: Um conjunto de operaes vlidas; Um conjunto de valores que cada varivel pode assumir; Valores das Variveis: Seja A B A {0,1} ( {F,V}, {high, low}, {on, off}) De outra forma: Se A 0 A = 1 Se A 1 A = 02


lgebra de BooleOperaes Bsicas da Algebra de Boole1) Complemento (NOT) Tambm chamado inverso ou negao. Smbolo , A, ~A, A, not(A)(l-se A negado)

Tabela VerdadeA 0 1 1 0

Porta LgicaA

uma operao unria (i.e. s pode ser aplicada a uma varivel por vez); Tem como resultado na sada o valor oposto ao presente na entrada.3


lgebra de Boole2) Operao E (AND) Tambm denominada multiplicao lgica. Smbolo {.,} Tabela VerdadeA 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A.B 0 0 0 1

Porta LgicaA B A.B

Definio 1: a operao E resulta 1 se e somente se todas as variveis de entrada valerem 1. Definio 2: a operao E resulta 0 se ao menos uma das variveis de entrada valer 0.4


lgebra de Boole2) Operao OU (OR) Tambm denominada adio lgica. Smbolo { +, } Tabela VerdadeA 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A.B 0 1 1 1

Porta LgicaA B A+B

Definio 1: a operao OU resulta 1 se ao menos uma das variveis de entrada valer 1. Definio 2: a operao OU resulta 0 se e somente se todas variveis de entrada valerem 0.5


lgebra de BooleNANDA 0 0 1 1Indica complemento da porta

B 0 1 0 1

AB 1 1 1 0

XOR

A 0 0 1

B 0 1 0 1

AB 0 1 1 0

eXclusive OR OU Exclusivo 1

NOR

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

A+B 1 0 0 0

XNOR

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

AB 1 0 0 1

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lgebra de BooleUma outra forma de representao o Diagrama de Deciso Binria (Bynary Decision Diagram - BDD)A B B 1 1 OR 0 0 0 AND 1 A 0 1 1 1 NAND B 1 A 0 1 0 0 B 0 0 XOR 1 1 A 1 0 B 1

0

1

0

0

Parte-se de uma varivel de entrada qualquer e chegase ao valor da sada conforme o valor contido nas variveis de entrada (indicadas por arcos)7


lgebra de BooleOperao E para 3 variveisTabela Verdade Porta LgicaA B C A.B.C A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 A.B.C 0 0 0 0 0 0 0 1

Definio 1: a operao E resulta 1 se e somente se todas as variveis de entrada valerem 1.

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lgebra de BoolePropriedades da Algebra de Boole1) Comutativa As variveis de entrada podem ser operadas em qualquer ordem.A 0 0 0 0 1 1 1 19

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

A.B.C 0 0 0 0 0 0 0 1

A 0 0 0

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

B.A.C 0 0 0 0 0 0 0 1

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

C.A.B 0 0 0 0 0 0 0 1

0 1 1 1 1

...


lgebra de Boole... Comutativa Em termos de portas lgicas, teremos...A B C

A+B+C

B C A

B+C+A

C A B

C+A+B

...

Tal propriedade vlida para qualquer uma das portas lgicas, respeitando-se obviamente a sua funo.10


lgebra de Boole2) Associativa As variveis de entrada podem ser operadas de duas em duas (ou de trs em trs, ou de quatro em quatro)A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 ABC A(BC) (AB)C (AC)B 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1

Os parnteses indicam precedncia.11


lgebra de Boole... Associativa Em termos de portas lgicas, teremos...A B C A A A.B.C

B C A . (B . C)

(A . B) . C

B C

...

Tal propriedade vlida para qualquer uma das portas lgicas, respeitando-se obviamente a sua funo.12


lgebra de Boole3) Distributiva Refere-se a operao de multiplicao.A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 A.(B+C) 0 0 0 0 0 1 1 1 A 0 0 0 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 A.B + A.C 0 0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1

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lgebra de BooleAvaliao de expresses booleanas Dada uma expresso booleana desejamos saber o comportamento da mesma:- Montamos uma tabela-verdade com as variveis de entrada a esquerda; - Criar colunas direita, conforme a ordem de precedncia das operaes contidas na equao que se est avaliando; - Avaliar as expresses e obter resultados intermedirios at encontrar valores finais; Exemplo: Dada a expresso abaixo obtenha a tabela-verdade da mesma:

F(X, Y, Z) = X . (Y + Z)

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lgebra de BooleAvaliao de expresses booleanas: exemplo

F(X, Y, Z) = X . (Y + Z)X 0 0 0 0 1 1 1 115

Y 0 0 1 1 0 0 1 1

Z 0 1 0 1 0 1 0 1

Z 1 0 1 0 1 0 1 0

(Y + Z) 1 0 1 1 1 0 1 1

X . (Y + Z) 0 0 0 0 1 0 1 1


lgebra de BooleAvaliao de expresses booleanas: exemploA B C Y X

A lllrhhhhhfllllllllrhhhhflll B llllllrhhhhhhhhflllrhhhhhfl C hhhhhhhhhhhflllllrhhhhhhhfl Y hhhhhhfllllrhhhflrhfllrhhfl X hhhhhhhhhhfrhhhflrhhhhhflll16


lgebra de BooleCircuitos LgicosDada uma equao que representa uma funo Booleana, possvel represent-la graficamente, por meio de uma associao apropriada de portas lgicas. O desenho de um circuito lgico deve obedecer ordem de precedncia das operaes mostradas na equao lgica que se deseja implementar. Exemplo: Desenhe o circuito lgico que implementa a equao:

F(X, Y, Z) = X . (Y + Z)Z Y Z Y+Z X X . (Y + Z)

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lgebra de BooleExerccio: Avalie a expresso que segue e desenhe seu circuito lgico

F(A, B, C) = A . C + ((B . C) + A . B)

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lgebra de BooleExpresses LgicasDada um circuito lgico formado de portas lgicas bsicas devemos obter a expresso lgica equivalente. A expresso lgica deve obedecer ordem de precedncia das operaes mostradas no circuito lgico que se deseja implementar. Exemplo: Apresente a equao lgica que descreve o circuito S=P+Q abaixo:A B C P S T Q P=A.B Q=T T=B+C Q=B+C S = (A . B )+ B + C19


lgebra de BooleExerccio: Dado o circuito lgico obtenha a expresso correspondenteA B C X

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lgebra de BooleSntese com Soma de Produtos Seja a funo S, com a seguinte tabela-verdade:A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 S 0 0 0 0 0 0 0 1 A.B.C

Qual a expresso para esta tabela-verdade??? a prpria funo E

S = A.B.C

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lgebra de BooleSntese com Soma de Produtos

E se o 1 estivesse em outro lugar?????Seja a funo S1, com a seguinte tabela-verdade:A 0 0 0 0 1 1 1 122

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

S1 0 0 1 0 0 0 0 0


Qual a expresso para esta tabela-verdade??? Usaremos a prpria definio da funo E: o resultado 1 se todas as entradas forem 1. Assim, teremos que usar um termo produto tal que quando A=0, B=1 e C=0, este termo resulta em 1.


E se o 1 estivesse em outro lugar?????Seja a funo S1, com a seguinte tabela-verdade:A 0 0 0 0 1 1 1 123

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

S1 0 0 1 0 0 0 0 0

Repare que A.B.C = 1 somente se A = 0, B = 1 e C = 0.A.B.C

S1 = A.B.C



E se houver duas posies valendo 1?????Seja a funo S, com a seguinte tabela-verdade:A 0 0 0 0 1 1 1 124

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

S 0 0 1 0 0 0 0 1

Qual a expresso para esta tabela-verdade??? Dividiremos em duas funes S1 e S2. Cada uma vai ficar com um 1 original



E se houver duas posies valendo 1?????Seja a funo S, com a seguinte tabela-verdade:A 0 0 0 0 1 1 1 125

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

S 0 0 1 0 0 0 0 1

S1 0 0 1 0 0 0 0 0

S2 0 0 0 0 0 0 0 1

Note que, se fizermos o OU da coluna S1 com a coluna S2, obteremos exatamente a coluna S. Portanto:

S = S1 + S2 S = A.B.C + A.B.C



Concluses:Cada 1 de uma funo pode ser representado por um produto lgico (E) no qual todas as variveis de entrada esto presentes (tais produtos so chamados mintermos ou minitermos) Cada mintermo nico, pois representa uma e somente uma posio que vale 1 Uma funo pode ser representada por uma soma lgica (OU) dos seus mintermos.

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Lista de Minitermos para funes de 3 variveis de entradaA 0 0 0 0 1 1 1 127

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

Minitermos A.B.C A.B.C A.B.C A.B.C A.B.C A.B.C A.B.C A.B.C


lgebra de BooleExerccio: Dada a funo F, com a seguinte tabela-verdade, faa o que se pede: a) encontre a equao em soma de produtos (soma de minitermos) para a mesma. b) desenhe o circuito lgico correspondente.A 0 0 0 0 1 1 1 128

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

F 0 0 1 1 0 1 1 0


lgebra de BooleVerso 1A B C

1 nvel

2 nvel

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lgebra de BooleVerso 2A B C

Custo: Iremos considerar o somatrio de todas as portas de entrada do circuito Custo: 4 x 3 + 1 x 4 = 1630

1 nvel

2 nvel


lgebra de BooleSntese com Produto de Somas Seja a funo P, com a seguinte tabela-verdade:A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 P 0 1 1 1 1 1 1 1 A+B+C

Qual a expresso para esta tabela-verdade??? a prpria funo OU

P = A+B+C

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lgebra de BooleSntese com Produto de Somas

E se o 0 estivesse em outro lugar?????Seja a funo P1, com a seguinte tabela-verdade:A 0 0 0 0 1 1 1 132

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

P1 1 1 1 1 0 1 1 1


Qual a expresso para esta tabela-verdade??? Usaremos a prpria definio da funo OU: o resultado 0 se todas as entradas forem 0. Assim, teremos que usar um termo soma tal que quando A=1, B=0 e C=0, este termo resulta em 0.


E se o 0 estivesse em outro lugar?????Seja a funo P1, com a seguinte tabela-verdade:A 0 0 0 0 1 1 1 133

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

P1 1 1 1 1 0 1 1 1

Repare que A+B+C = 0 somente se A = 1, B = 0 e C = 0. P1 = A+B+CA+B+C



E se houver duas posies valendo 0?????Seja a funo P, com a seguinte tabela-verdade:A 0 0 0 0 1 1 1 134

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

P 0 1 1 1 0 1 1 1

Qual a expresso para esta tabela-verdade??? Dividiremos em duas funes S1 e S2. Cada uma vai ficar com um 0 original.



E se houver duas posies valendo 0?????Seja a funo P, com a seguinte tabela-verdade:A 0 0 0 0 1 1 1 135

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

S 0 1 1 1 0 1 1 1

S1 0 1 1 1 1 1 1 1

S2 1 1 1 1 0 1 1 1

Note que, se fizermos o E da coluna S1 com a coluna S2, obteremos exatamente a coluna S. Portanto:

S = S1 . S2 S = (A+B+C) . (A+B+C)No produto das somas o parntesis obrigatrio



Concluses:Cada 0 de uma funo pode ser representado por uma soma lgica (OU) na qual todas as variveis de entrada esto presentes (tais somas so chamadas maxtermos ou maxitermos) Cada maxtermo nico, pois representa uma e somente uma posio que vale 0 Uma funo pode ser representada por um produto lgico (E) dos seus maxtermos.

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Lista de Maxitermos para funes de 3 variveis de entradaA 0 0 0 0 1 1 1 137

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

Maxitermos A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C


lgebra de BooleExerccio: Dada a funo F, com a seguinte tabela-verdade, faa o que se pede: a) encontre a equao em produto de somas (produto de maxtermos) para a mesma. b) desenhe o circuito lgico correspondente.A 0 0 0 0 1 1 1 138

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

F 0 0 1 1 0 1 1 0


lgebra de BooleA B C

F

Custo: 4 x 3 + 1 x 4 = 16

1 nvel

2 nvel

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lgebra de BooleFormas Cannicas: ResumoA 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 S 0 0 1 1 0 1 1 0

S(A, B, C) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C S(A, B, C) = m 2 + m 3 + m 5 + m 6 S(A, B, C) = (2,3,5,6)S(A,B,C)=(A+ B+C).(A B+C).(A + B+C).(A + B+C) + S(A,B,C)= M0 . M1 . M4 . M7 S(A,B,C)= (0.1.4.7)

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lgebra de BooleFormas Cannicas: Resumo

Concluses:Cada 0 de uma funo pode ser representado por uma soma lgica (OU) na qual todas as variveis de entrada esto presentes (tais somas so chamadas maxtermos ou maxitermos) Cada maxtermo nico, pois representa uma e somente uma posio que vale 0 Uma funo pode ser representada por um produto lgico (E) dos seus maxtermos.

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lgebra de BooleSimplificao AlgbricaDificuldades na obteno da equao mnima: O processo de simplificao recursivo: aps simplificar mintermos, pode ser possvel continuar a simplificao com os produtos resultantes da primeira rodada de simplificao; A ordem na qual se procede a simplificao faz diferena! difcil identificar as simplificaes possveis (e tambm a ordem tima);

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lgebra de BooleSimplificao AlgbricaFaz uso: - Propriedades da lgebra de Boole; - Teoremas de DeMorgan; - Identidades Auxiliares:

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lgebra de BoolePropriedades das Portas Lgicas1) Porta NOT

2) Porta E (AND)A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A.B 0 0 0 1

A . 0 = ?0 A . 1 = ?A A . A = ?A A . = ?0

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lgebra de Boole3) Porta OU (OR)A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A+B 0 1 1 1

A+0= A+1= A+A= A+=

?A ?1 ?A ?1

Fazendo Simplificaes atravs das propriedades S = ( . 0) + (B . B) + (A. ) + (B . 1) S = ???

S = B45


lgebra de BoolePropriedades da Algebra de Boole1) Comutativa As variveis de entrada podem ser operadas em qualquer ordem. S = A.B.C S = A.C.B S = B.A.C 2) Associativa As variveis de entrada podem ser operadas de duas em duas (ou de trs em trs, ou de quatro em quatro) S = (A+B)+C S = A+B+C S = A+(B+C) 3) Distributiva Refere-se a operao de multiplicao. S = A (B + C) S = AB + AC

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lgebra de BooleExerccio: Simplifique as expresses:

1) S = A.B + A.B 2) P = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C 3) Q = (A + B + C).(A + B + C)

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lgebra de BooleTeoremas de DeMorgan Definio 1: O complemento do produto igual a soma dos complementos.

Definio 2: O complemento da soma igual ao produto dos complementos.

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lgebra de BooleExerccio: Simplifique as expresses:

1) S = (A.C + B + D) + C.( A.C.D) 2) P = A BCD

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lgebra de BooleIdentidades Auxiliares da Algebra de Boole 1) A + (A . B) = A 2) A + ( . B) = A + BA + (A.B) = A.(A.B) = A.(A + B) Aplicado se a propriedade distributiva (A.A) + (A.B) = A.B = A + B

3)

(A+B).(A+C) = A + B.CAplicado se a propriedade distributiva A.A + A.C + B.A + B.C A + A.C + A.B + B.C A(1 + C + B) + B.C A + B.C

50


X = A.C + A + B.C.A.C + A.B

lgebra de BooleExerccio: Simplifique a expresso:

1) S = (A.C) + A + BCA C + (AB)

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lgebra de BooleUniversalidade das Portas NAND/NOR: possvel construir qualquer outra funoNOT

AND

OR

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lgebra de Boole Mapas de KarnaughMtodo grfico para simplificao de expresses Processo simples, estruturado e sistemtico No pode ser implementado diretamente

No indicado para circuitos grandes (at 5 entradas) Circuito obtido est na forma cannica Construo a partir da tabela-verdade Cada linha da tabela corresponde a um quadrado no mapa Quadrados adjacentes diferem de apenas 1 varivel (cdigo gray) A primeira linha/coluna adjacente ltima linha/coluna O mapa preenchido com 0s e 1s

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lgebra de Boole Mapas de Karnaugh2 Variveis B A A B B B

A A.B A.B A A.B A.B

B A A54

B A A

B

B A A

B

B A A

B

B


lgebra de Boole2 Variveis A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 S 1 0 1 0

Mapas de KarnaughB 1 1 B 0 0

A A

S = A.B + A.B S = B (A +A) S=B55

B A A 1 1

B 0 0

S=B


lgebra de Boole Mapas de Karnaugh3 Variveis B A A C B A A C56

B A A C C B A A BA.B.C A.B.C

BA.B.C

BA.B.C A.B.C

A.B.C A.B.C A.B.C

C

C B A A

C B

B

C

C

C

C

C

C

C

C


lgebra de Boole Mapas de Karnaugh3 Variveis B A A m0 m4 C B A A C57

B m1 m5 C m3 m7 m2 m6 C B A A B

B A A C C

B

C

B

B A A

B

C

C

C

C

C

C

C

C


lgebra de Boole Mapas de Karnaugh3 Variveis - Devemos procurar por 1s adjascentes 1) Agrupar em quadras 2) Agrupar em duplas 3) Pegar os remanescentes isoladamente - Todos os uns devem ser utilizados; - Pode usar o mesmo 1 mais de uma vez;

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lgebra de Boole Mapas de Karnaugh3 Variveis B A A 1 1 C 0 0 C 0 1 B 1 1 C

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4 Variveis C A A D D D C

lgebra de Boole Mapas de KarnaughB B B A C C B B B

A.B.C.D A.B.C.D A.B.C.D A.B.C.DA.B.C.D A.B.C.D A.B.C.D A.B.C.D A.B.C.D A.B.C.D A.B.C.D A.B.C.D

A

A.B.C.D A.B.C.D A.B.C.D A.B.C.D

D60

D

D


4 Variveis C A A D D D C

lgebra de Boole Mapas de KarnaughB B B A m0 m4 m12 A m8 D C m1 m5 m13 m9 D m3 m7 m15 m11 C m2 m6 m14 m10 D B B B

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lgebra de Boole Mapas de Karnaugh4 Variveis - Devemos procurar por 1s adjascentes 1) Agrupar em oitavas 2) Agrupar em quadras 3) Agrupar em duplas 3) Pegar os remanescentes isoladamente - Todos os uns devem ser utilizados; - Pode usar o mesmo 1 mais de uma vez;

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lgebra de Boolepara habilitar o sinallrflrfA 1 lrflrf A 0 lrflrf A 1 lrflrf A 0 A lrflrf

para desabilitar o sinallrflrf A 0 lrflrf A 1 lrflrf A 0 lrflrf A 1 0 jlllll

A lrflrf

1 jhhhhh

A hfrhfr

1 jlllll

A hfrhfr

0 jlllll

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lgebra de BooleInversor Controlado

A 0

A 1

A 0 0 1

B 0 1 0 1

A B 0 1 1 0

A

A

1

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lgebra de BooleVerificador de IgualdadeA 0 0 1 1 nmero binrio X nmero binrio Y x0 x1 Z y0 y1 B 0 1 0 1 A B 1 0 0 1

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lgebra de BooleGerador e Verificador de Paridade pard0 d1 d2 d3Gerador de paridade

Dado Original

Dado transmitido com bit de paridade

Dado proveniente do transmissor

p d0 d1 d2 d3

E Erro : 0 - Ok 1 - Erro

verificador de paridade

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Representao IEEE Ansi A x NOT A B A B A B A B67

A A B A B A B A B

1

x x x

x AND x NAND OR NOR

&

&

x x

1

x

1

x


lgebra de BooleCircuitos Integrados comerciais

74LS32 OR 2 entradas 74LS86 XOR 2 entradas 74LS73A Flip-Flop JK 74LS74A Flip-Flop D ...UFFS Universidade Federal da Fronteira Sul Circuitos Digitais 2011/02

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04 algebra de boole

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