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SISTEMAS DIGITAISSISTEMAS DIGITAISALGEBRA DE BOOLE E ALGEBRA DE BOOLE E

SIMPLIFICAÇÃO DE CIRC. LÓGICOSSIMPLIFICAÇÃO DE CIRC. LÓGICOS

Prof. José Bezerra de Menezes Prof. José Bezerra de Menezes FilhoFilho

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICACENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA

DA PARAÍBADA PARAÍBA

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PRINCÍPIOS DA ALGEBRA PRINCÍPIOS DA ALGEBRA BOOLEANABOOLEANA

• Componentes da Álgebra de Boole:Componentes da Álgebra de Boole:

Postulados;Postulados;

Propriedades;Propriedades;

Teoremas fundamentais;Teoremas fundamentais;

Identidade.Identidade.

• Variáveis Booleanas:Variáveis Booleanas:0 e 10 e 1

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POSTULADO DA POSTULADO DA COMPLEMENTAÇÃOCOMPLEMENTAÇÃO

Se A=0 A=1Se A=0 A=1

Se A=1 A=0Se A=1 A=0

Com base no postulado da Com base no postulado da complementação:complementação:

A=AA=A

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Identidade com inversorIdentidade com inversor

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POSTULADO DA ADIÇÃOPOSTULADO DA ADIÇÃO

• 0+0=00+0=0• 0+1=10+1=1• 1+0=11+0=1• 1+1=11+1=1

IDENTIDADES:IDENTIDADES:• A+0=AA+0=A

A=0 0+0=0, A=1 1+0=1A=0 0+0=0, A=1 1+0=1• A+1=1A+1=1

A=0 0+1=1, A=1 1+1=1A=0 0+1=1, A=1 1+1=1• A+A=AA+A=A

A=0 0+0=0, A=1 1+1=1A=0 0+0=0, A=1 1+1=1• A+A=1A+A=1

A=0 A=1 0+1=1A=0 A=1 0+1=1A=1 A=0 1+0=1A=1 A=0 1+0=1

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POSTULADOS DA POSTULADOS DA MULTIPLICAÇÃOMULTIPLICAÇÃO

• 0.0=00.0=0• 0.1=00.1=0• 1.0=01.0=0• 1.1=11.1=1

IDENTIDADES:• A.0=0A.0=0

A=0 0.0=0, A=1 1.0=0A=0 0.0=0, A=1 1.0=0• A.1=AA.1=A

A=0 0.1=0, A=1 1.1=1A=0 0.1=0, A=1 1.1=1• A.A=AA.A=A

A=0 0.0=0, A=1 1.1=1A=0 0.0=0, A=1 1.1=1• A.A=0A.A=0

A=0 A=1 0.1=0A=0 A=1 0.1=0A=1 A=0 1.0=0A=1 A=0 1.0=0

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PROPRIEDADES COMUTATIVA E PROPRIEDADES COMUTATIVA E ASSOCIATIVAASSOCIATIVA

Propriedade comutativaPropriedade comutativa

Adição:

A+B=B+A

Multiplicação:

A.B=B.A

Propriedade AssociativaPropriedade Associativa

Adição:Adição:

A+(B+C)=(A+B)+C=A+(B+C)=(A+B)+C=

A+B+CA+B+C

MultiplicaçãoMultiplicação

A.(B.C)=(A.B).C=A.(B.C)=(A.B).C=

A.B.CA.B.C

VÁLIDAS PARA ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃOVÁLIDAS PARA ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO

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PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA E PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA E 1º TEOREMA DE DE MORGAN1º TEOREMA DE DE MORGAN

• Propriedade Propriedade distributivadistributiva

• A.(B+C)=A.B+A.C

Ex.:

A=1,B=1,C=0

1.(1+0) = 1+0=1

1.1+0.1 = 1+0=1

• 1º Teorema de De 1º Teorema de De MorganMorgan

• Complemento do produto é a soma dos complementos:

2 Elementos:

A.B= A + B

n Elementos:

A.B....N=A+B+...N

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2º TEOREMA DE DE MORGAN2º TEOREMA DE DE MORGAN

• O Complemento da soma é igual ao produto dos complementos:

2 elementos:

A+B=A.B

n elementos:

A+B+...N=A.B...N

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IDENTIDADES AUXILIARESIDENTIDADES AUXILIARES

• A+A.B=AA+A.B=AProva:Prova:A+A.B=A(1+B)=A.1=AA+A.B=A(1+B)=A.1=A

• (A+B).(A+C)=A+B.C(A+B).(A+C)=A+B.CProva:Prova:(A+B).(A+C)=A.A+A.C+B.A+B.C (A.A=A)(A+B).(A+C)=A.A+A.C+B.A+B.C (A.A=A)(A+B).(A+C)=A+A.C+B.A+B.C=A(1+B+C)(A+B).(A+C)=A+A.C+B.A+B.C=A(1+B+C)+B.C=A.1+B.C=A+B.C+B.C=A.1+B.C=A+B.C

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IDENTIDADE AUXILIARIDENTIDADE AUXILIARContinuaçãoContinuação

• A+AB=A+BA+AB=A+BProva:Prova:A+A.B=(A+A.B) utilizando 2º Teor. DMA+A.B=(A+A.B) utilizando 2º Teor. DM(A+A.B)=[A.(A+B)] utilizando 1º Teor. DM(A+A.B)=[A.(A+B)] utilizando 1º Teor. DM[A.(A+B)]=(A.A+A.B) utilizando prop. Distr. [A.(A+B)]=(A.A+A.B) utilizando prop. Distr. e identidade A.A=0e identidade A.A=0(A.A+A.B)=(A.B) utilizando 1°Teor. DM(A.A+A.B)=(A.B) utilizando 1°Teor. DM(A.B)=A+B(A.B)=A+B

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SIMPLIFICAÇÃO DE SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANASEXPRESSÕES BOOLEANAS

• Por que simplificar?

A partir de expressões simples pode-se construir circuitos simples

• Processos de simplificação:

a)Simplificação por Álgebra de Boolea)Simplificação por Álgebra de Boole

b)Simplificação por mapa de Veigh b)Simplificação por mapa de Veigh Karnaugh ( Mapa VK)Karnaugh ( Mapa VK)

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SIMPLIFICAÇÃO POR ÁLGEBRA SIMPLIFICAÇÃO POR ÁLGEBRA DE BOOLEDE BOOLE

• Exemplo 1:Exemplo 1:

S=ABC+AC+ABS=ABC+AC+AB

S=A(BC+C+B)S=A(BC+C+B)

S=A[BC+(C+B)]S=A[BC+(C+B)]

S=[BC+BC]AS=[BC+BC]A

S=AS=A

Exemplo 2:Exemplo 2:

S=ABC+ABC+ABCS=ABC+ABC+ABC

S=AC(B+B)+ABCS=AC(B+B)+ABC

S=AC(B+B)+ABCS=AC(B+B)+ABC

S=AC+ABCS=AC+ABC

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SIMPLIFICAÇÃO POR MAPA DE SIMPLIFICAÇÃO POR MAPA DE KARNAUGHKARNAUGH

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MAPA DE VK P/ 2 VARIÁVEISMAPA DE VK P/ 2 VARIÁVEIS

• Possui grupo de 4 variáveis • Possui grupos de 2 variáveis

• Regra:Regra:• Grupo de 4(quadra): S=1Grupo de 4(quadra): S=1• Grupo de 2 (dupla): Sobra 1 variávelGrupo de 2 (dupla): Sobra 1 variável

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MAPA DE VK P/ 3 VARIÁVEISMAPA DE VK P/ 3 VARIÁVEIS

• Possui grupo de 8 variáveis• Possui grupos de 2 variáveis do mesmo modo

que o mapa de VK utilizado com 2 variáveis• Possui grupos de 4 variáveis

• Regra:Regra:• Grupo de 8 : S=1Grupo de 8 : S=1• Grupo de 2 (dupla): Sobram 2 variáveisGrupo de 2 (dupla): Sobram 2 variáveis• Grupo de 4 (quadra): Sobram 1 variáveisGrupo de 4 (quadra): Sobram 1 variáveis

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MAPA DE VK P/ 4 VARIÁVEISMAPA DE VK P/ 4 VARIÁVEIS

• Possui grupo de 16 variáveis• Possui grupos de 2 e de 4 variáveis do mesmo

modo que o mapa de VK utilizado com 3 variáveis

• Possui grupos de 8 variáveis• Regra:Regra:• Grupo de 16 variáveis: S=1Grupo de 16 variáveis: S=1

Grupo de 2 (dupla): sobram 3 variáveisGrupo de 2 (dupla): sobram 3 variáveis

Grupo de 4 (quadra): sobram 2 variáveisGrupo de 4 (quadra): sobram 2 variáveis

Grupo de 8: sobra 1 variávelGrupo de 8: sobra 1 variável

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CONDIÇÃO IRRELEVANTECONDIÇÃO IRRELEVANTE

• Condição em que a saída pode assumir 0 Condição em que a saída pode assumir 0 ou 1 indiferentemente.ou 1 indiferentemente.

• Regras:X na entrada: o valor pode ser 0 ou 1. O valor da saída não depende da variável indicada por X.X na saída: Ou a entrada é impossível de aconter ou possibilita qualquer dos 2 valores (0 ou 1).

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