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apostila de circuitos em corrente alternada

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1 - COMPONENTES BSICOS DE UM CIRCUITO ELTRICO

CIRCUITOS ELTRICOS EM

CORRENTE ALTERNADA

Prof. Rodolfo Antonio Costa6 ONDAS PERIDICAS

At agora, todo o estudo sobre eletricidade foi baseado em fontes de alimentao contnuas (tenso e corrente). A partir de agora, estudaremos as fontes de alimentao que produzem uma variao de sinal em relao ao tempo.

Chamamos de ondas peridicas todos os sinais que variam com o tempo de acordo com um padro de repetio.

O tempo de durao de uma repetio ( um ciclo ) denominado perodo ( T ) da onda, medido no SI em segundos ( s ).

O inverso do perodo, isto , a quantidade de vezes que o ciclo se repete em um segundo, denominado frequncia ( f ) da onda, medida no SI em Hertz ( Hz ).

Portanto :

f = 1 . [ Hz ] T

Exemplos de ondas peridicas :

V V

0 T 2T t 0 T t

V V

t t

T T

6 .1 VALOR MDIO DE UMA FUNO PERIDICA

O valor mdio de uma funo peridica corresponde mdia aritmtica dos valores durante um perodo, ou seja, representa o quociente entre a rea interna a curva e o tempo, podendo ser expresso pela equao :

6 .2 VALOR EFICAZ DE UMA FUNO PERIDICA

O valor eficaz, ou rms ( root-mean-square ), corresponde ao valor em sinal contnuo que produziria o mesmo efeito de dissipao sobre uma carga resistiva do que o sinal peridico analisado, e pode ser expressado pela equao :

A diferena entre o valor mdio e o eficaz, devido ao fato do resistor produzir o mesmo efeito de dissipao, independente da polaridade do sinal, portanto, para que todos os valores se tornem positivos, o valor eficaz ser a raiz quadrada do valor da funo.

EXERCCIOSCalcular o valor do perodo, frequncia, valor mdio e valor eficaz para as seguintes ondas peridicas :

V V

50 20

2 4 6 8 t 1 2 3 4 t

V V

100

10

2 4 6 8 t 3 5 8 10

-20

7 ONDAS SENOIDAIS E COSSENOIDAIS TENSES E CORRENTES ALTERNADAS

As ondas senoidais e cossenoidais so um caso particular de onda peridica, onde o valor do sinal varia de acordo com a funo senide ( ou cossenide ). Este caso em especial muito importante no estudo da eletricidade, pois atravs de um gerador preso a um eixo girande, possvel produzir tenses e correntes com este formato, as quais denominamos tenses e correntes alternadas, conforme mostra as figuras abaixo:

Devido a esta importncia, concentraremos nossos estudos a partir de agora, neste caso particular .

7.1 EQUAO DE UMA ONDA SENOIDAL PARTINDO DA ORIGEM

Chamamos de velocidade angular ou frequncia angular ( w ) o produto :

w = 2 ( = 2 ( . f [ rad/s ]

T

Sendo a amplitude ( A ), o valor mximo alcanado pelo sinal (positivo ou negativo), a funo que determina o valor do sinal com relao ao tempo ser :

y(t) = A . sen ( w t )

Obs.: Esta funo representa uma senide especfica, onde para t = 0, y (t) = 0.

7.2 VALOR MDIO DE UMA ONDA SENOIDAL

Por uma questo de simetria, podemos concluir que o valor mdio de uma onda senoidal ser igual a zero. Porm, para alguns fins, usa-se uma mdia no-zero. Pela definio, ela a mdia da metade de um ciclo positivo, ou seja :

7.3 VALOR EFICAZ DE UMA ONDA SENOIDAL

Pela definio, o valor eficaz ser :

Y

Rms = 0,707 do valor de pico

Mdia = 0,637 do valor de pico

Valor Valor Valor Valor

Mdio Eficaz de pico pico a pico

( rms)

0 90 180 270 360 wtValor de amplitude de uma onda senoidal CA

EXERCCIOS

Equacionar ondas, indicar o valor do perodo e freqncia e calcular os valores mdio e eficaz:

a) U(V)

b) U(V)

12

5 10 t(s) 0,01 t(s)

-10

Desenhar as ondas, indicar o valor do perodo e freqncia e calcular os valores mdio e eficaz:

c) V(t) = 5 sen ( 10( t ) V

d) V(t)= 3,5 sen ( 0,01( t ) V

8 EFEITO DE UM RESISTOR EM UM CIRCUITO ELTRICO

Como visto anteriormente, o efeito de um resistor em um circuito eltrico a converso de energia eltrica em energia trmica atravs do efeito joule provocado pela dificuldade da passagem do fluxo de eltrons pelo componente. Isto faz com que a corrente eltrica seja diretamente proporcional a tenso e inversamente proporcional ao valor da resistncia (conforme a 1 lei de Ohm), e caso a tenso eltrica deixe de existir, a corrente eltrica cessar simultaneamente.

Portanto, num circuito puramente resistivo e de resistncia constante, a corrente ser sempre proporcional a tenso.

8.1 EFEITO DE UM RESISTOR ALIMENTADO EM TENSO CONTNUA

Dado o seguinte circuito :

+ i U (V) R (()

-

teremos :

U (cte)

i = U/R (cte)

Comportamento da corrente e tenso de uma carga puramente resistiva em CC

8.2 EFEITO DE UM RESISTOR ALIMENTADO EM TENSO PERIDICA

Dado o seguinte circuito :

i U (V) R (()

Da primeira lei de Ohm, temos do resistor :

I = U . R

No caso de um sinal peridico:

U = U ( t )

Portanto :

I ( t ) = U ( t ) R

Portanto, como exemplo teremos :

U(t)

i(t) = U(t)/R

Comportamento da corrente de uma carga puramente resistiva em tenso peridica

8.3 EFEITO DE UM RESISTOR ALIMENTADO EM TENSO ALTERNADA SENOIDAL

Dado o seguinte circuito :

i U (V) R (()

Da primeira lei de Ohm, temos do resistor :

I = U . R

No caso de um sinal de tenso senoidal, teremos:

U(t) = U . sen ( w t )

Portanto :

I(t) = U . sen ( w t ) R

Como tanto I(t) como V(t) variam de acordo com sen ( w t ), os dois sinais variam simultneamente, e portanto esto em fase, ou seja, no existe defasagem entre eles.

U U(t)

U/R i(t)

0

(/2

( 3(/2

2( wt ()

Comportamento da corrente e tenso de uma carga puramente resistiva em CA

9 EQUAO DE UMA ONDA SENOIDAL QUALQUER

Como visto anteriormente, a funo de uma onda senoidal que passa pela origem dos eixos :

y(t) = A . sen ( w t )

Isto implica em que o perodo seja dividido em 360 ou 2( radianos, sendo que o valor da funo variar entre o valor mximo positivo da Amplitude (+A para w t = 90 ou (/2 )e o valor mximo negativo da Amplitude ( -A para w t = 270 ou 3(/2 ).

Porm uma senide qualquer no necessariamente passa pela origem, esta diferena denominada defasagem ( ( ).

A defasagem de uma onda senoidal ser medida em graus ou em radianos, e representar o atraso que a onda ter em relao origem :

Y

A

--- ( -- (/2 - ( ( - ( 3(/2 - ( 2( - ( wt

-A

Onde a funo da onda ser descrita por :

y(t) = A . sen ( w t + ( )

10 DIAGRAMA FASORIAL

Uma outra maneira de se indicar a defasagem de uma onda atravs de um fasor.

Um fasor uma entidade matemtica com mdulo, direo e sentido, sendo que a diferena bsica entre um fasor e um vetor, que o primeiro tem mdulo constante, a origem fixa e varia de acordo com o tempo.

Eixo Imaginrio

X sen ( X

( Eixo Real

X cos (

Para a representao fasorial de uma senide, pode-se utilizar-se como mdulo o valor total da amplitude ( A ) ou seja , o valor de pico, ou como mais utilizado na literatura tcnica, o valor eficaz ( rms ).

Outra observao importante, que o diagrama fasorial no indica a frequncia da senide, mas somente a defasagem em relao origem ( t = 0 ) , portanto no pode ser utilizada para o equacionamento de uma onda sem a informao adicional da frequncia.

Considerando o valor do mdulo igual a Amplitude ( A ), Pode-se descrever o fasor na forma polar :

.

Y = X | ( .

Ou na forma retangular :

.

Y = ( X cos ( ) + j ( X sen ( ) .

EXERCCIOS

Desenhar os fasores e as formas de onda ( V x wt e V x t ) :

a) V = 5 sen ( 10( t + ( /4 ) V

b) V = 3,5 sen ( 3600 t + 30 ) V

. .

c) V = 12V | 45 , f = 200 Hz

d) V = ( -4 + 3j ) V , f = 1000 Hz

Equacionar as seguintes ondas e indicar os fasores nas formas polar e retangular.

U (V) U (V)

8

a) 10

b) wt () t (s)

-25

- 0,01 0,01

f = 100 Hz

i (A)

4

c)

t (s)

- 2

T = 4 seg -4

10.1 OPERAES COM FASORES

Matematicamente possvel realizar operaes bsicas entre fasores ( adio, subtrao, multiplicao e diviso ). Estes clculos sero teis na anlise da interao entre sinais distintos.

A nica e grande restrio que, como o fasor no leva em considerao a frequncia do sinal, estas anlises matemticas somente podero ser realizadas entre fasores de sinais de mesma frequncia.

Para a multiplicao e diviso de fasores, aconselhvel a utilizao da forma polar, pois :

Na diviso :

A | ( =. A / B | ( - ( .

___________________________

B | ( _ .

E na multiplicao :

A | ( . * B | ( . = A * B | ( + ( .

Para a adio e subtrao de fasores, aconselhvel a utilizao da forma retangular, onde convm relembrar algumas regras de operaes com nmeros complexos tais como :

j = -1 j2 = j * j = -1 A j + B j = ( A + B ) j

j = 1 1 _ = - j A j = A .

j j B j B

EXERCCIOS

Dados os seguintes sinais :

V1 = 5 sen ( 400( t + ( /4 ) V

V2 = 10,5 sen ( 400( t + (/2 ) V

V3 = 3,5 sen ( 36000 t + 30 ) V

V4 = 4,2 sen ( 36000 t + 12,5 ) V

.

V5 = 12,5V | 15 , f = 200 Hz

.

V6 = 20V | 75 , f = 100 Hz

.

V7 = ( -4 + 3j ) V , f = 200 Hz

.

V8 = ( 12 - 16j ) V , f = 100 Hz

*** considerar w em rad/s quando a defasagem for dada em rad, e em /s quando a defasagem for dada em .

10.2 RELAO ENTRE FASES

Entre senides de mesma frequncia, possvel indicar a defasagem entre dois sinais distintos, ou seja, se:

V1 = A sen ( w t + ( ) e V2 = B sen ( w t + ( )

( Note que as duas senides tem mesma frequncia, e portanto mesma velocidade angular ( w ) )

Para a indicao da defasagem entre os sinais, necessrio que se adote um deles como referncia, portanto, se adotarmos o sinal V1 como referncia teremos a defasagem indicada por :

V2 estar adiantada de V1 no valor de (( -( )* ou

V2 estar atrasada de V1 no valor de (( -( )*** considerando ( >( ** considerando ( < (10.3 RELAO ENTRE TENSO E CORRENTE EM UM CIRCUITO ELTRICO

No estudo de circuitos eltricos, para determinarmos a defasagem entre os sinais de tenso e corrente, comum adotar-se o sinal da tenso como referncia, portanto, indicaremos a defasagem como:

- A corrente est adiantada n graus em relao a corrente. ou

- A corrente est atrasada n graus em relao a corrente.

EXERCCIOS

Dados os seguintes sinais :

V1 = 5 sen ( 400( t + ( /4 ) V

V2 = 10,5 sen ( 400( t + (/2 ) V

.

V3 = 12,5V | 15 , f = 200 Hz

.

I1 = 20V | 75 , f = 100 Hz

.

I2 = ( -4 + 3j ) V , f = 200 Hz

.

I3 = ( 12 - 16j ) V , f = 200 Hz

11 CAPACITORES

INTRODUO

Um capacitor consiste em dois condutores ( geralmente placas ) separados por um isolador chamado dieltrico, portanto no existir corrente significativa circulando internamente pelo capacitor. A principal caracterstica de um capacitor a sua capacidade de armazenar a energia eltrica atravs de cargas eltricas, sendo cargas positivas em uma de suas placas e cargas negativas na outra.

CAPACITNCIA

A Capacitncia a propriedade eltrica dos capacitores que mede a capacidade de armazenamento de carga Q , (sendo +Q numa placa e -Q na outra ) pela unidade de tenso V , ou seja, mede a dificuldade que o capacitor oferece para a variao da tenso :

C = Q . V

A unidade no SI para capacitncia o farad, com o smbolo F. Porm o Farad uma unidade grande demais para aplicaes prticas. O mais comum a utilizao de microfarad (1 F = 10-6 F = 0,000001 F), nanofarad (1 (F = 10-9 F = 0,000000001 F) ou picofarad (1 (F = 10-12 F = 0,000000000001 F).

ASSOCIAO DE CAPACITORES

Em srie :

C1 C2

1 = 1 + 1 + . . .

Ceq C1 C2

Em paralelo :

C1

Ceq = C1 + C2

C2

FUNCIONAMENTO DE UM CAPACITOR

Um capacitor funciona gerando uma corrente eltrica no circuito sempre que h uma variao na tenso dos seus terminais, como mostra a frmula :

i = C dv .

dt

esta corrente produzida provoca uma variao no valor das cargas nos terminais do capacitor, o que variar a tenso entre as placas. A corrente no capacitor tender a desaparecer assim que a tenso das placas do capacitor se adaptar a nova realidade da tenso.

11.1 EFEITO DE UM CAPACITOR ALIMENTADO EM TENSO ALTERNADA

Dado o circuito :

U(t) C

No capacitor temos :

i = C dv .

dt

No caso de um sinal de tenso senoidal, teremos:

V(t) = U . sen ( w t + ( )

portanto :

i(t) = C d [ U . sen ( w t + ( )] dt

i(t) = w . C . U . cos ( w t + ( ) ou i(t) = w . C . U . sen ( w t + ( + 90 )

Como I(t) varia de acordo com cos ( w t + ( ), e V(t) varia de acordo com sen ( w t + ( ), podemos concluir que no capacitor, a corrente esta adiantada da tenso em 90.

U V(t)

w C U

i(t)

wt

90

Comportamento da corrente e tenso de uma carga puramente capacitiva em CA

Portanto , se considerarmos a tenso como :

. .

V = U | 0 teremos :. I = w C U | 90 .

No diagrama fasorial teremos :

Eixo Imaginrio

( U. w .C )

.

I

( U )

. Eixo Real

V12 INDUTORES

INTRODUO

Um indutor consiste em um fio condutor enrolado em forma de espiras, formando uma bobina. O material interna bobina chamado de ncleo. A principal caracterstica de um indutor a capacidade de armazenar a energia eltrica atravs de um campo magntico gerado pelo fluxo magntico no ncleo da bobina.

INDUTNCIA

Indutncia a propriedade eltrica dos indutores que mede a capacidade de gerao de fluxo no ncleo N( pela unidade de corrente i , ou seja, mede a dificuldade que o indutor oferece para a variao de corrente.

L = N ( . i

A unidade no SI para indutncia o henry, com o smbolo H.

ASSOCIAO DE INDUTORES

Em srie :

L1 L2

Leq = L1 + L2

Em paralelo :

L1

L2 1 = 1 + 1 + . . .

Leq L1 L2FUNCIONAMENTO DE UM INDUTOR

Um indutor funciona gerando uma tenso sempre que h uma variao na corrente eltrica que passa por ele, como mostra a frmula :

v = L di .

dt

esta tenso produzida provoca uma variao no fluxo magntico no ncleo do indutor, o que variar a corrente que passa pelo indutor. A tenso no indutor tender a desaparecer assim que a corrente do indutor se adaptar a nova realidade da corrente.

12.1 EFEITO DE UM INDUTOR ALIMENTADO EM TENSO ALTERNADA

Dado o circuito :

U(t) C

No indutor temos :

v = L di .

dt

No caso de um sinal de corrente senoidal, teremos:

i(t) = I . sen ( w t + ( )

portanto :

v(t) = L d [ I . sen ( w t + ( )] dt

v(t) = w . L . I . cos ( w t + ( ) ou v(t) = w . L . I . sen ( w t + ( + 90 )

Como V(t) varia de acordo com cos ( w t + ( ), e I(t) varia de acordo com sen ( w t + ( ), podemos concluir que no indutor, a corrente esta atrasada da tenso em 90.

w L i V(t)

i I(t)

wt

90

Comportamento da corrente e tenso de uma carga puramente indutiva em CA

Portanto , se considerarmos a tenso como :

. .

I = I | 0 teremos :. V = w L I | 90 .

No diagrama fasorial teremos :

Eixo Imaginrio

.

V

( i . w . L )

.

I

Eixo Real

( i )

ou, considerando a tenso como referncia :

Eixo Imaginrio

.

V

Eixo Real

( i . w . L )

.

I ( i )

-------

Portanto, toda energia eltrica fornecida a um circuito eltrico ser recebida pelos seus componentes que so classificados conforme o tratamento dado a esta energia recebida, como relacionado abaixo :

RESISTOR A energia consumida em forma de calor.

Mantm uma proporo entre a tenso e a corrente no circuito (em fase).

CAPACITOR A energia armazenada em um campo eltrico.

Provoca um avano de 90 da corrente em relao a tenso no circuito.

INDUTOR A energia armazenada em um campo magntico.

Provoca um atraso de 90 da corrente em relao a tenso no circuito.

Obs. : Na prtica, um componente do circuito apresenta mais de uma das caractersticas acima.

13 - REATNCIAS

Para a anlise matemtica do efeito individual de um capacitor ou de um indutor em um circuito eltrico, calcula-se a REATNCIA, que indica a relao entre a tenso e a corrente em um capacitor ou indutor. Com isso, calcula-se o efeito deste elemento no circuito. Para o capacitor denomina-se REATNCIA CAPACITIVA e para o indutor denomina-se REATNCIA INDUTIVA, conforme indicado a seguir:

.

13.1 REATNCIA CAPACITIVA ( XC )

Denomina-se reatncia capacitiva a relao entre os sinais da tenso e corrente no capacitor, ou seja, determina o efeito do capacitor no circuito.

Portanto, da primeira lei de Ohm, temos no capacitor :

. .

XC = V I

Ou seja :

. U | 0 .

XC = --------------------------- w C U | 90 . .

XC = 1 | - 90 .

w C

.

XC = - j 1 . w C

Se considerarmos apenas o mdulo, teremos :

XC = 1 onde w = 2 ( f

w C

Devido ao fato do capacitor puro no consumir energia, mas apenas armazen-la na forma de cargas eltricas, o fasor da reatncia capacitiva estar totalmente no eixo imaginrio, com um ngulo de 90, sendo o seu mdulo inversamente proporcional freqncia.

.

13.2 REATNCIA INDUTIVA ( XL )

Denomina-se reatncia indutiva a relao entre os sinais da tenso e corrente no indutor, ou seja, determina o efeito do indutor no circuito.

Portanto, da primeira lei de Ohm, temos no indutor :

. .

XL = V . I

Ou seja :

. w L I | 90 .

XL = --------------------------- I | 0 . .

XL = w L | 90 .

.

XL = j w L Se considerarmos apenas o mdulo, teremos :

XL = w L onde w = 2 ( f

Devido ao fato do indutor puro no consumir energia, mas apenas armazen-la na forma de fluxo magntico, o fasor da reatncia indutiva estar totalmente no eixo imaginrio, com um ngulo de 90, sendo o seu mdulo diretamente proporcional freqncia.

Eixo Imaginrio

XL

R

Eixo Real

XC

Isto demonstra que o fasor total de uma carga eltrica qualquer ter ngulo entre 90 e 90, sendo que o ideal ser um ngulo prximo de 0, evitando-se uma defasagem entre a tenso e a corrente do circuito.

13.3 ANLISE DE CIRCUITOS MONOFSICOS EM CORRENTE ALTERNADA

Conforme estudado no captulo anterior, verificamos que as cargas alimentadas por tenso alternada comportam-se de maneiras diferentes, de acordo com a sua natureza e a frequencia do sinal de alimentao.

Este efeito durante o regime permanente, pode ser dimensionado atravs da reatncia, conforme a tabela abaixo :

TIPO DE CARGAEM BAIXA FREQENCIAEM ALTA FREQENCIA

RESISTOR

No sofre alterao com a frequencia -

Resistncia constante

No sofre alterao com a frequencia -

Resistncia constante

CAPACITOR

Comporta-se prximo a um circuito aberto - Reatncia alta

Comporta-se prximo a um curto circuito - Reatncia baixa

INDUTOR

Comporta-se prximo a um curto circuito - Reatncia baixa

Comporta-se prximo a um circuito aberto - Reatncia alta

EXERCCIOS

1 - Calcular a corrente do circuito :

Onde :

.

.

V = 10 V | 0 , f = 1 KHz.

V C C = 10( F

2 Calcular a corrente e a tenso sobre cada capacitor no circuito :

Onde :

C1

.

.

V = 50 V | 20 , f = 100 Hz.

V C1 = 2( F

C2 C2 = 10(F

3 Calcular a corrente total e a corrente em cada capacitor no circuito :

Onde :

.

.

V = 30 + 40j , f = 10 Hz.

V

C1 C2

C1 = 2( F

C2 = 10(F

4 - Calcular a corrente do circuito :

Onde :

.

.

V = 10 V | 0 , f = 1 KHz.

V L L = 10 mH

5 Calcular a corrente em cada elemento do circuito :

Onde :

.

.

V = 45 sen ( 100(t+(/6 ) V

V

C L

C = 2( F

L = 20mH

.

14 IMPEDNCIA ( Z )

Na anlise de circuitos envolvendo diferentes tipos de cargas, necessrio o estudo da interao entre elas. Chamamos de IMPEDNCIA a associao entre RESISTNCIAS e REATNCIAS.

Seu valor indica a influncia da somatria das cargas sobre o circuito, ou seja :

. . .

V = Z . I em qualquer tipo de circuito.

A unidade da impedncia a mesma das resistncias e reatncias, ou seja, Ohm ( ( ) , e o processo de clculo o mesmo utilizado para a associao de resistores, ou seja :

Cargas em srie :

R

C

L

Cargas em paralelo :

1 1 1 1

R C L ------- = ------ + ------ + ------

. . . .

Z R XL XC

ou calcular duas a duas,

utilizando multiplicao pela soma.

EXERCCIOS

Calcula a impedncia dos circuitos abaixos, desenhar seus fasores, indica-lo na forma polar e classificar a natureza da carga total.

1 )

2 )

3 )

1 K(

100 (

100 ( 100 ( Xc = 500 (

1 (F

1 (F 0,1 H

XL = 300 (

0,1 H

f = 1 KHz

f = 1 KHz

4 )

100 (1 (F 0,1 H 100 ( 1 (F 0,1 Hf = 1 KHz

Resolver exerccios com impedncias envolvendo:

Anlise de malhas, anlise de ns, superposio, transformao de fontes, Thevenin e Norton.

(mtodos j vistos no semestre anterior)

15 POTNCIA NOS CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA

Definimos como potncia eltrica, a capacidade de consumo de energia eltrica que uma carga possui.

Conforme j estudado em corrente contnua, a potncia eltrica definida matematicamente como o produto entre o valor da tenso fornecida a carga e a corrente produzida pela mesma, ou seja, P = V . IPorm, para a anlise em corrente contnua, ser necessrio o estudo do valor em funo do tempo, bem como a influncia dos vrios tipos de cargas no valor final da potncia eltrica.

15.1 ANLISE DA POTNCIA ELTRICA DE UMA CARGA RESISTIVA EM CORRENTE ALTERNADA

Conforme j estudado, em cargas puramente resistivas, no existe defasagem entre os sinais da tenso e corrente, ou seja :

P(t)

Pm

V

I i

0

(/2 ( 3(/2 2( wt

I(t)

V(t)

Comportamento da potncia de uma carga puramente resistiva em CA

Analisando este caso matematicamente teremos :

V(t) = V . sen ( w t ) ,I(t) = V . sen ( w t ) ou I(t) = I .sen ( w t ) R

Para calcularmos o valor da potncia em um determinado tempo, ou seja, a potncia instantnea, teremos :

P(t) = V(t) . I(t)

P(t) = V . sen ( w t ) . I . sen ( w t )

P(t) = V . I . sen2 ( w t )

Como sen2 x = ( 1 cos 2x ) , teremos :

P(t) = 1 V . I . ( 1 - cos ( 2 w t ) ) potncia instantnea

2

Para o clculo do valor da potncia mdia, teremos :

Pmed = V . I_

2

Continuando :

Pmed = V . I _

Como V = Vef e I _ = Ief

Pmed = Vef . Ief

Conforme j estudado , uma carga resistiva converte toda energia eltrica recebida em energia trmica, ou seja, converte toda a potncia eltrica recebida em potncia trmica.

A Potencia mdia representa a potncia representa a potncia realmente consumida, por isso denominada potencia til ou potncia ativa ( P ) , e sua unidade o watt (W).

15.2 ANLISE DA POTNCIA ELTRICA DE UMA CARGA INDUTIVA EM CORRENTE ALTERNADA

Conforme j estudado, em cargas puramente indutivas, a corrente esta atrasada em relao a tenso em 90, ou seja :

P(t)

V(t)

I

0 (/2 ( 3(/2 2( wt

I(t)

Comportamento da potncia de uma carga puramente indutiva em CA

Analisando este caso matematicamente teremos :

V(t) = V . sen ( w t ) e I(t) = I .sen ( w t - ( /2 )

Para calcularmos do valor da potncia instantnea, teremos :

P(t) = V(t) . I(t)

P(t) = V . sen ( w t ) . I . sen ( w t - ( /2)

Como sen ( w t - ( /2 ) = cos ( w t ) , teremos :

P(t) = V . I . sen ( w t ) . cos ( w t )

Como : 2 . sen x . cos x = sen 2x , teremos :

P(t) = - 1 V . I . sen ( 2 w t ) potncia instantnea

2

Como a funo da potncia uma senide pura, temos que o valor da potncia mdia ou potncia ativa , de uma carga puramente indutiva zero .

Este resultado era esperado, pois , como estudado, uma carga puramente indutiva no consome a energia, mas a armazena, produzindo um campo magntico, e devolve esta energia ao sistema quando este tende a diminuir seu grau energtico.

Porm esta potncia que est continuamente entrando e saindo do sistema causa uma dificuldade a gerao, pois est defasada 90 da real potncia consumida pelo sistema, portanto denominada potncia reativa ,sua unidade o volt-ampre-reativo ( VAr ) e seu clculo ser desenvolvido em breve.

15.3 ANLISE DA POTNCIA ELTRICA DE UMA CARGA CAPACITIVA EM CORRENTE ALTERNADA

Conforme j estudado, em cargas puramente capacitivas, a corrente esta adiantada em relao a tenso em 90, ou seja :

P(t)

V(t)

I(t)

0 (/2 ( 3(/2 2( wt

Comportamento da potncia de uma carga puramente indutiva em CA

Analisando este caso matematicamente teremos :

V(t) = V . sen ( w t ) e I(t) = I .sen ( w t + ( /2 )

Para calcularmos do valor da potncia instantnea, teremos :

P(t) = V(t) . I(t)

P(t) = V . sen ( w t ) . I . sen ( w t + ( /2)

Como sen ( w t + ( /2 ) = cos ( w t ) , teremos :

P(t) = V . I . sen ( w t ) . cos ( w t )

Como : 2 . sen x . cos x = sen 2x , teremos :

P(t) = 1 V . I . sen ( 2 w t ) potncia instantnea

2

Como a funo da potncia uma senide pura, temos que o valor da potncia mdia ou potncia ativa , de uma carga puramente capacitiva zero .

Este resultado era esperado, pois , anlogo carga indutiva, uma carga puramente capacitiva no consome a energia, mas a armazena, produzindo um campo eltrico, e devolve esta energia ao sistema quando este tende a diminuir seu grau energtico.

Esta potncia que tambm est continuamente entrando e saindo do sistema causa uma dificuldade a gerao, pois est defasada 90 ( porm em sentido contrrio indutiva ) da real potncia consumida pelo sistema, portanto tambm denominada potncia reativa , sua unidade o volt-ampre-reativo ( VAr ) e, como dito, seu clculo ser desenvolvido em breve.

15.4 ANLISE DA POTNCIA ELTRICA DE UMA CARGA QUALQUER EM CORRENTE ALTERNADA

Conforme j estudado, em cargas puramente indutivas, a corrente esta adiantada em relao a tenso em 90, ou seja :

P(t)

V(t)

I(t)

(0 (/2 ( 3(/2 2( wt

Comportamento da potncia de uma carga qualquer em CA

Analisando este caso matematicamente teremos :

V(t) = V . sen ( w t ) e I(t) = I .sen ( w t + ( )

Para calcularmos do valor da potncia instantnea, teremos :

P(t) = V(t) . I(t)

P(t) = V . sen ( w t ) . I . sen ( w t + ( )

Como sen ( . sen ( = [ cos ( ( - ( ) - cos ( ( + ( ) ] , teremos :

P(t) = 1 V . I . [ cos ( w t w t + ( ) - cos ( w t + w t + ( ) ]

2

P(t) = 1 V . I . [ cos ( - cos ( 2 w t + ( ) ] potncia instantnea

2

15.4.1 CLCULO DA POTNCIA ATIVA ( P ) DE UM CIRCUITO QUALQUER

Para o clculo do valor da potncia mdia, teremos :

P(t) = 1 V . I . cos ( - 1 V . I . cos ( 2 w t + ( )

2 2

termo 1 termo 2

onde o termo 2 uma cossenide pura, cujo valor mdio zero, portanto para clculo do valor mdio, ou potncia ativa, podemos considerar somente o termo 1, ou seja:

Pmed = 1 V . I . cos (

2

Continuando :

Pmed = V . I _ . cos (Como V = Vef e I _ = Ief

P = Vef . Ief . cos(Ou simplesmente :

P = V . I . cos( potncia ativa de um circuito qualquer

O termo cos ( chamado fator de potncia . O angulo ( o angulo entre V e I ( ou seja, o prprio angulo da impedncia total ) , e seu valor est sempre entre +90 (circuito puramente indutivo) e 90 (circuito puramente capacitivo) , portando cos (, ter sempre valor positivo, e consequentemente o valor de P tambm ser sempre positivo.

15.4.2 CLCULO DA POTNCIA REATIVA ( Q ) DE UM CIRCUITO QUALQUER

A potncia reativa, cuja natureza foi explicada anteriormente calculada atravs da expresso :

Q = V . I . sen( potncia reativa de um circuito qualquer

Pela equao, o sinal do valor da potncia reativa variaria de acordo com o valor do angulo (, porm adotado sempre positivo, indicando como adiantado para cargas capacitivas e atrasado para cargas indutivas.

15.4.3 CLCULO DA POTNCIA APARENTE ( N ) DE UM CIRCUITO QUALQUER

A potncia aparente, representa a potncia total transferida do gerador para a carga, sua unidade o VA ( volt-ampre ), e calculada atravs da soma vetorial das potncias ativas e reativas, ou seja :

. . .

N = P + Q potncia aparente de um circuito qualquer

Ou simplesmente :

N = V . I potncia aparente de um circuito qualquer

EXERCCIOS

1 Um motor de induo absorve 1,5KW, sendo que alimentado em 120V, consome 16A. calcule o seu fator de potncia.

2- Qual a diferena de corrente absorvida por dois motores de induo de 10HP, alimentados em 440V, sendo que um tem fator de potncia de 0,6 e o outro fator de potncia de 0,9 ? (dado : 1HP = 745,7 W).

3 Um circuito alimentado por uma tenso de 120V | 120 _ produzindo uma corrente de 20A| 60 _ ,calcule : (considerar os valores dados como eficazes).

A) o valor da carga (impedncia) total e analise sua natureza.

B) seu fator de potncia.

C) sua potncia ativa.

D) sua potncia reativa.

E) Sua potncia aparente.

15.5 TRINGULO DAS POTNCIAS

As potncias ativa, reativa e aparente podem ser expressas geometricamente em um tringulo retngulo denominado tringulo das potncias. Como o tringulo das potncias indica a defasagem entre a tenso e a corrente, o ngulo da impedncia ( indicado positivo no sentido horrio, conforme abaixo :

P = V I cos (

V

( ( Q = V I sen ( (atrasada)

N = V I

I

Tringulo das potncias carga indutiva. TRINGULOS INVERTIDOS???No caso de carga capacitiva:

I

N = V I

Q = V I sen (

(adiantada) ( ( V

P = V I cos (Tringulo das potncias carga capacitivaRESUMO TERICO

Em um circuito onde V | ( o valor da tenso , I | ( o valor da corrente e a impedncia dada na forma retangular por Z = R + j X e na forma polar por Z | ( , (onde ( = (-() , teremos:

NomeunidadeFrmula 1Frmula 2Observao

fator de potncia ( fp )

-fp = cos (Fp = P / NAtrasado para carga indutivas e

Adiantado para cargas capacitivas

Potncia Ativa ( P )KW

P = V . I . cos (P = I2 . RSempre positiva

Potncia Reativa ( Q )KVArQ = V . I . sen (

Q = I2 . XAtrasada para carga indutivas e

Adiantada para cargas capacitivas

Potncia Aparente ( N )KVAN = V . IN = I2 . ZSempre positiva

EXERCCIOS

1 Dado o circuito abaixo, determinar o tringulo das potncias.

2 Determinar o tringulo das potncias do circuito abaixo, sendo 20W a potncia dissipada no resistor de 2(.

3 Duas impedncias em srie Z1 = 5 (| 45 . e Z2 = 10 (| 30 . tem potncia reativa total de 1920 KVAr atrasado. Achar as potncia ativa e aparente.

4 O circuito abaixo solicita 36,4 VA com fator de potncia 0,856 atrasado, Achar a impedncia total.

16 CORREO DO FATOR DE POTNCIA

Como tanto os geradores quanto os transformadores existentes nas linhas de distribuio so limitados pela potncia aparente ( especificados em KVA ), sendo assim, desejvel que a potncia aparente ( N ), se aproxime ao mximo da potncia realmente utilizada, ou seja , da potncia ativa ( P ).

Para que isto seja possvel, o angulo ( deve se aproximar de zero, ou seja, o fator de potncia deve se aproximar da unidade.

Nas instalaes residenciais e industriais em geral, a natureza da carga total indutiva, isto , a corrente est atrasada em relao a tenso aplicada, nestes casos, possvel aumentar o fator de potncia adicionando-se capacitores em paralelo com a carga.

importante observar que com o acrscimo de capacitores em paralelo com a carga, a potncia til (P) no varia. Como o fator de potncia aumentado, o valor da corrente e a potncia aparente diminuem, tornando mais eficiente os sistemas de gerao e distribuio.

Para o clculo da potncia reativa do capacitor necessria para a correo do fator de potncia, interessante observarmos os tringulos das potncias :

P = V I cos ( = cte.

(novo (anterior Qnovo

Nnovo Qanterior

Nanterior (Q

Onde (Q representa a carga capacitiva ( em KVAr ) para a alterao do angulo ( do valor anterior para o novo.

Analisando graficamente, fica fcil o clculo do valor de (Q, pois o valor de P constante, com isso :

P = Nnovo . cos (novo

Qnovo = Nnovo . sen (novo

P = N anterior . cos ( anterior

Q anterior = N anterior . sen ( anterior(Q = Q anterior - Qnovo

Na prtica, a correo do fator de potncia feita atravs de dois mtodos diferentes. Quando as cargas so de altssimo valor, ou cujo valor de fator de potncia no varia de maneira significativa, a correo feita travs de bancos fixos de capacitores, calculados como exemplificado acima, ou atravs de tabelas existentes nas normas tcnicas das companhias de distribuio de energia eltrica.

Tabela para clculo de capacitores NT-113 CPFL

Onde :

Qnecessrio = K . P

Quando o valor do fator de potncia varia significativa ( exemplo: instalaes industriais onde comum a partida e parada de grandes motores ), a correo feita atravs de bancos automticos de capacitores, onde a carga capacitiva a ser colocada em paralelo com o barramento da carga chaveada atravs de contatores acionados por um controlador que l constantemente o valor do fator de potncia atual.

Capacitor Industrial Controlador de Fator de Potncia

Banco Automtico de Capacitores

EXERCCIOS

1 Um transformador de 500KVA est operando a plena carga (100%), com fator de potncia de 0,6 atrasado. Qual a carga do capacitor a ser adicionado em paralelo a carga para que o fator de potncia seja 0,9 atrasado ? Aps a adio dos capacitores, qual a carga em KVA que o transformador estar operando? E em % ?

2 Um motor de induo 50KW 480V tem fator de potncia 0,6. Qual ser o capacitor necessrio para que o fator de potncia seja 0,9 (atrasado) ?Qual ser a reduo no valor da corrente consumida pelo conjunto ? EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Vef = 0,707 A

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

porem , sen2 x = - cos2x , ento :

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Vmd = 0,6366 A

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Photoshop.Image.5 \s

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Calcular a defasagem e desenhar as ondas :

a ) V1 e V2

b ) V1 e V3

c ) V2 e V3

d ) V1 e I1

e ) V2 e I2

f ) V3 e I3

Calcular :

a ) V1 + V2

b ) V1 * V2

c ) V1 + V3

d ) V3 * V6

e ) ( V1 + V5 ) / V7

f ) (V4 )2 + ( 2 * V8 ) + 5

g ) ( 3V5 + 2V7 ) / V1

h ) V1 + V5 + V2

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

. . . .

Z = R + XL + XC

Substituindo para a forma polar :

Z = R + j ( XL - XC )

Z = R + j ( ( L - 1 )

( C

EMBED PBrush

EMBED PBrush

CIRCUITOS ELTRICOS EM CORRENTE ALTERNADA pagina 34

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