algebra de boole

Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 1

Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital

Eng. Roberto Bairros dos Santos

Um empreendimento Bairros Projetos didáticos.

Este trabalho tem por objetivo apresentar os conceitos básicos da álgebra Boole permitindo a aplicação dos postulados, teoremas, propriedade e identidades em circuitos

eletrônicos digitais facilitando o seu entendimento e simplificação.


Índice:

1 Conceito:......................................................................................................................... 3 2 Revisão Funções Lógicas Básicas: ................................................................................. 4

2.1 Função “E” (AND): ................................................................................................ 5 2.2 Função “OU” (OR):................................................................................................ 5 2.3 Função Inversora (NOT): ...................................................................................... 6 2.4 Função “NÃO OU” (NOR): ................................................................................... 6 2.5 Função “NÃO E” (NAND): ................................................................................... 7 2.6 Função “OU EXCLUSIVO” (EXOR):................................................................... 7 2.7 Função “NÃO OU EXCLUSIVO” (EXNOR): ...................................................... 8 2.8 Diagrama Lógico: ................................................................................................... 8

3 Postulados da álgebra de Boole:..................................................................................... 9 3.1 Postulado do produto:............................................................................................. 9 3.2 Postulado da soma: ............................................................................................... 10 3.3 Postulado da Inversão:.......................................................................................... 11 3.4 Aplicação prática dos postulados: ........................................................................ 12

3.4.1 Chaves eletrônicas digitais: .......................................................................... 12 3.4.2 Implementando a função NOT sem usar a porta inversora: ......................... 13

4 Propriedades das funções lógicas: ................................................................................ 15 4.1 Propriedade Comutativa: ...................................................................................... 15 4.2 Propriedade Associativa: ...................................................................................... 15 4.3 Propriedade distributiva: ...................................................................................... 16

5 Teorema de Demorgan: ............................................................................................... 17 5.1 Aplicação prática do Teorema de Demorgan: ...................................................... 18

6 Teorema do Mutual: .................................................................................................... 20 7 Identidades:................................................................................................................... 21

7.1.1 Identidade 1: ................................................................................................. 21 7.1.2 Identidade 2: ................................................................................................. 22

8 Simplificação usando álgebra de Boole: ...................................................................... 23 8.1 Equação na forma da soma de produtos: .............................................................. 23 8.2 Dicas para a simplificação usando álgebra de Boole: .......................................... 24

8.2.1 Exemplo 1 de simplificação: ........................................................................ 24 8.2.2 Exemplo 2:.................................................................................................... 26 8.2.3 Exemplo 3:.................................................................................................... 27

9 Mapa de Karnaugh: ...................................................................................................... 28


1 Conceito: A álgebra de Boole estuda as funções e variáveis lógicas. O conhecimento da

álgebra de Boole vai permitir otimizar circuitos digitais. Uma das principais aplicações desta álgebra é na simplificação de funções lógicas, com este conhecimento é possível projetar circuitos digitais menores e mais baratos. O conhecimento da álgebra de Boole pode ser aplicado no campo da pneumática, existem circuitos pneumáticos digitais, que usam funções lógicas.

O estudo da álgebra de Boole é basicamente matemático, trata as funções lógicas somente sob o aspecto matemático, no entanto, vamos enfocar estes aspectos matemáticos tendo em vista a sua aplicação em circuitos digitais.


2 Revisão Funções Lógicas Básicas: A álgebra de Boole estuda as funções e variáveis lógicas, desta forma vamos iniciar

o nosso estudo revisando as principais funções lógicas. Vamos nesta revisão tratar as variáveis lógicas como variáveis de um circuito digital, assim as variáveis independentes serão chamadas de “Entrada”, e as variáveis dependentes serão chamadas de “Saída”. Relembrando que as funções lógicas podem assumir somente dois estados. Os estados das variáveis lógicas serão descritos numericamente (0, 1).Vamos descrever normalmente as funções lógicas com duas variáveis, exceto quando isto não for possível (por exemplo, na função inversora). As variáveis serão descritas sempre por letras maiúsculas, as variáveis de entrada pelas letras do início do alfabeto e as variáveis de saída pelas letras do final do alfabeto. A porta lógica é a forma gráfica de expressar a função lógica em um circuito digital, vamos procurar, sempre que possível, descrever as relações lógicas usando as portas lógicas.

Existem três funções lógicas básicas: função “E”, função “OU”, Função “Inversora”,. Estas são as denominações das funções em português, mas estas mesmas funções são também conhecidas com a sua denominação em inglês, mais concisa: Função “AND”, Função “OR” e função “NOT”, assim ao longo deste trabalho vamos usar as duas denominações. A partir das funções básicas é possível desenvolver funções mais complexas, a maioria não recebe uma denominação especial, mas têm algumas que, pela seu uso, recebem nomes e símbolos especiais, são elas: Função “NAND”, Função “NOR”, Função “EXOR”, Função “EXNOR”, neste caso, a denominação inglesa é mais usada.

Uma função lógica pode ser descrita de três formas: Através da tabela verdade, através da equação lógica ou através de um diagrama lógico. Para os matemáticos as equações lógicas são a forma mais importante de descrever uma função lógica, para o técnico eletrônico ou mecatrônico, a tabela verdade e o diagrama lógico são os mais importantes. Para desenhar um diagrama lógico que represente uma função lógica, existem as portas lógicas, que são símbolos gráficos que expressão uma função lógica. A tabela verdade é um gráfico onde todas as possibilidades de combinação de estados das entradas e das saídas são desenhados.


2.1 Função “E” (AND): A função “E” relaciona as funções lógicas de forma que a saída assumirá estado 1

somente quando a entrada A e a entrada B for 1. Esta função é chamada de produto lógico pois tem o comportamento exatamente igual ao produto algébrico.

Tabela verdade da função “E” (AND) Equação:

A.BZ =

sp

A B Z 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Símbolo da porta lógica. “E” (AND).

2.2 Função “OU” (OR): A função “OU” relaciona as funções lógicas de forma que a saída assumirá estado 1

omente quando a entrada A ou a entrada B forem 1. Esta função é chamada de soma lógica ois tem o comportamento “quase” idêntico a soma algébrica (na soma algébrica 1+1 não é

1 e sim 2) Tabela verdade da função “OU” (OR): Equação da função “E” (OR):

BAZ +=

A B Z 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
Símbolo da Porta Lógica “OU” (OR).


2.3 Função Inversora (NOT): A função inversora inverte estado lógico da entrada, esta é uma função uma

variável.

A Z 0 0 0 1

Tabela verdade da função “NOT”: Equação:

AZ = Símbolo da porta Lógica “NOT”

Observe que o que caracteriza uma função inversora no desenho é a bolinha, o

triângulo simboliza um amplificador genérico.

2.4 Função “NÃO OU” (NOR): A função “NOU” relaciona as funções lógicas de forma que a saída assumirá estado

1 somente quando a entrada A ou a entrada B forem 1. está é uma função complexa composta da associação de uma função “E” básica em série com uma função “OU”.

A B Z 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

Tabela verdade da função “NOU” (NOU): Equação:

BAZ +=

Símbolo da Porta Lógica “NÃO OU” (NOR).


2.5 Função “NÃO E” (NAND): A função “NÃO E” relaciona as funções lógicas de forma que a saída assumirá

estado 1 somente quando a entrada A e a entrada B for 1.Esta função é uma associação da função “E” com uma função “NOT”.

A B Z 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

Tabela verdade da função “NÃO E” (NAND) Equação:

A.BZ =

Símbolo da porta lógica. “NÃO E” (NAND).

2.6 Função “OU EXCLUSIVO” (EXOR): A função “OU EXCLUSIVO” relaciona as funções lógicas de forma que a saída

assumirá estado 1 somente quando a entrada A e a entrada B forem diferentes . Esta função é chamada de desigualdade E tem o apelido de XOR.

A B Z 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Tabela verdade da função “EXOR” Equação:

BA Z ⊕=

Símbolo da porta lógica. “OU EXCLUSIVO” (EXOR).


2.7 Função “NÃO OU EXCLUSIVO” (EXNOR): A função “NÃO OU EXCLUSIVO” relaciona as funções lógicas de forma que a

saída assumirá estado 1 somente quando a entrada A e a entrada B forem diferentes . Esta função é chamada de desigualdade E tem o apelido de XOR.

Tabela verdade da função “EXNOR” Equação:

BA Z ⊕= ou anda a forma abaixo menos comum:

B A Z ⊗=

p

A B Z 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Símbolo da porta lógica. “NÃO OU EXCLUSIVO” (EXOR).

2.8 Diagrama Lógico: Um Diagrama lógico é a expressão gráfica da função lógica complexa, usando

ortas lógicas. O circuito lógico abaixo implementa uma função EXOR. Observe que em um circuito lógico o

estado lógico é representado pela conexão ao positivo da fonte, normalmente +5V em circuitos com CI’s da família TTL, e o estado lógico “0” é representado pela conexão ao terminal de terra.

A equação deste circuito é da por: BA..BA Z += . A Tabela Verdade deste circuito é:

A B Z 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1


3 Postulados da álgebra de Boole: Os postulados são aquelas relações retiradas das funções lógicas e que servirão de

base para todo o desenvolvimento do raciocínio matemático. Através da observação da tabela verdade de uma função é possível chegar ao postulado relativo a esta função, como é mostrado a seguir.

3.1 Postulado do produto: Olhando a tabela verdade do produto podemos tirar as seguintes relações:

Sempre que uma das variáveis for “0”, a saída será “0”. Como em um produto aritmético! A B Z

0 0 0 0

1 0 1 0

2 1 0 0

3 1 1 1

Sempre que uma variável de entrada for o inverso da outra, a saída será “0”. Podemos chegar a esta conclusão recorrendo a primeira observação, pois pelo menos uma das variáveis será “0” (pois uma é o inverso da outra, e só podem assumir um de dois estados, zero ou um). Sempre que uma das variáveis de entrada for “1”, a variável de saída vai ter o mesmo valor da outra variável.Sempre que as variáveis de entrada são iguais, a saída assume o mesmo valor das variáveis de entrada.

A partir destas observações, chagamos aos seguintes postulados:

Observe que X é uma variável qualquer e pode assumir qualquer um dos dois estados possíveis, zero ou um. A equação 2 e indica o produto de duas variáveis de entrada que assumiram o mesmo estado. Na equação quatro temos o produto de duas variáveis com estados diferentes. X . 1 X ZEq.4

X . X 0 ZEq.3

X . X X ZEq.2 0 . X 0 ZEq.1

====

====


3.2 Postulado da soma: Olhando a tabela verdade da soma podemos tirar as seguintes relações:

Sempre que uma das variáveis for “1”, a saída será zero. Como em um produto aritmético! A B Z

0 0 0 0

1 0 1 1

2 1 0 1

3 1 1 1

Sempre que uma variável de entrada for o inverso da outra, a saída será “1”. Podemos chegar a esta conclusão recorrendo a primeira observação, pois pelo menos uma das variáveis será “1” (pois uma é o inverso da outra, e só podem assumir um de dois estados, zero ou um). Sempre que uma das variáveis de entrada for “0”, a variável de saída vai ter o mesmo valor da outra variável .Sempre que as variáveis de entrada são iguais, a saída assume o mesmo valor das variáveis de entrada.

A partir destas observações, chagamos aos seguintes postulados:

0X X Zq.1 +== Observe que X é uma variável qualquer e pode
E
X1 1 ZEq.4XX. 1 ZEq.3

XX X ZEq.2

+==+==

+== assumir qualquer um dos dois estados possíveis, zero ou um. A equação 2 e indica o produto de duas variáveis de entrada que assumiram o mesmo estado. Na equação quatro temos o produto de duas variáveis com estados diferentes.


3.3 Postulado da Inversão: Este é o postulado mais simples de todos, no entanto de extrema aplicação, não

parece mas é tão importante quanto os outros. Como tabela verdade a função inversora só tem duas linhas, existe somente um postulado, descrito a seguir:

A Z 0 0 0 1

Se a variável de entrada for invertida duas vezes, a saída não será alterada, assumirá o mesmo estado da variável de entrada. Na verdade sempre que a variável de entrada for invertida um número par de vezes, a saída assumirá o mesmo estado da variável de entrada.

A equação é mostrada ao lado esta equação diz que invertendo o invertido a saída não muda nada, isto equivale a dizer que colocar duas portas inversoras em série, em termos de função lógica equivale a uma ligação de um condutor da entrada até a saída. Por que então fazer isto? Este postulado que serão vistas mais tarde como: reforço do sinal, atraso no tempo de propagação do sinal etc.

Note que inverter uma variável que já está barrada significa eliminar a inversão, isto

vai ocorrer se o numero de barras for par, se o número de barras for impar pode ser reduzido a uma só barra. Uma variável com um número par de barras equivale a uma variável sem inversão, uma variável com um número impar de barras equivale a uma variável com uma só barra.

X X Eq.1 =


3.4 Aplicação prática dos postulados:

3.4.1 Chaves eletrônicas digitais: Podemos construir chaves digitais, de forma que uma das entradas de uma porta

“AND” ou “OR” bloqueie a passagem do sinal, que é aplicado a outra porta. A entrada que servirá de chave (bloqueando ou não a passagem do sinal) é normalmente chamada de “entrada de habilitação”, recebe o símbolo “E” do inglês “enable”(habilitar).

Circuito com porta “OU”:

blo

Se a entrada E estiver ligada no nível “1” (+5V), a saída Z ficará grampeada no estado “1”, pois Z = 1+ sinal, neste caso a saída assume o valor 1 seja qual for o estado do sinal. Quando a entrada E é ligada ao estado “0” (terra), a saída assumirá o mesmo estado da entrada do sinal pois Z= 0+ sinal.

Circuito com porta “E”:
Se a entrada E estiver ligada no nível “0” (terra), a
saída Z ficará grampeada no estado “0”, pois Z = 0+ sinal, neste caso a saída assume o valor 0 seja qual for o estado do sinal. Quando a entrada E é ligada ao estado “1” (+5V), a saída assumirá o mesmo estado da entrada do sinal pois Z= 1 + sinal.

A configuração usando porta “E” é mais comum, pois deixa a saída desligada no

queio. Podemos ter variantes como, por exemplo: Usando portas “NAND” ou “NOR”.


3.4.2 Implementando a função NOT sem usar a porta inversora: Podemos implementar a função NOT usando portas NAND, NOR, EXOR ou

EXNOR, estes circuitos são mostrados a seguir:

3.4.2.1 Função NOT usando Porta NAND: A porta NAND pode ser considerada uma porta inversora em série com uma porta

E, de forma que a porta NAND tem a função inversora já implementada, assim vamos usar os teoremas em que a saída Z assume o valor da entrada X, e deixar que a inversora inerente a função NAND, inverta o sinal. Como existem duas Equações no teorema do produto em que Z=X, temos duas configurações possíveis para implementar uma função inversora usando uma porta NAND.

Figura 1. Inversora usando NOR.

No circuito da figura 1 uma das entradas é fixada no valor “1” a Equação: X Z =

usando , onde X é o sinal. X.1 =

No circuito da figura 2 as duas entradas são

conectadas no sinal, usando a equação: onde X é igual ao sinal. Esta é a

configuração mais usada, por ser mais simples, basta conectar dois pinos e pronto, uma porta NAND está transformada em uma inversora.

X.X X Z ==

Figura 2. Inversora usando NAND.


3.4.2.2 Função NOT usando porta NOR: A filosofia é a mesma usada na implementação da implementação da função

inversora usando NAND, usando agora, a função NOR. No circuito da figura 3 uma das entradas é

fixada no valor “0” usando a Equação: , onde X é o sinal. 0 X X Z +==

No circuito da figura 4 as duas entradas são

conectadas no sinal, usando a e equação: onde X é igual ao sinal. Esta é a

configuração mais usada, por ser mais simples, basta conectar dois pinos e pronto, uma porta NOR está transformada em uma inversora.

X X X Z +==

Figura 4.Inversora usando NOR.

Figura 3.Inversora usando NOR

3.4.2.3 Função NOT usando porta EXOR:

Figura 5. Inversora usando EXOR.

Implementar a função NOT usando EXOR não é a configuração mais usada, no entanto este processo é bastante usado em linguagem de programação, onde o estado de uma variável é usado para inverter ou não uma variável binária. No circuito eletrônico uma chave pode ser usada para inverter ou não o sinal digital. A teoria está baseada no fato de que; na tabela verdade da função exor quando uma das variáveis, a habilitação, é “1” a saída é o inverso da outra variável, quando a habilitação for “0” a saída copia o estado do sinal. A figura 5 mostra este circuito.


4 Propriedades das funções lógicas: As funções lógicas possuem propriedades semelhantes aquela das funções

aritméticas, esta semelhança ajuda a memorizar estas relações. As propriedades das funções recebem os mesmos nomes das propriedades das funções aritméticas: Comutativa, Associativa e Distributiva. Somente a propriedade distributiva apresenta alguma diferença, desta forma, devido a esta analogia, fica muito simples entender e aplicar estas propriedades. Não vamos demonstra-las, mas se o estudante quiser com,provar a igualdade pode usar o método conhecido de levantar a tabela verdade dos dois lados da igualdade, se as saídas forem iguais a igualdade é verdadeira.

4.1 Propriedade Comutativa: Esta propriedade afirma que: variáveis podem ser trocadas de posição sem que o

resultado se altere, na prática isto implica em que o técnico não precisa se preocupar em qual o pino da porta irá conectar o sinal.

Comutativa da soma: AB B A Z +=+=Comutativa do produto: A . B B .A Z ==

4.2 Propriedade Associativa: Esta propriedade é muito útil, pois permite que uma função de três variáveis possa

ser implementada com funções de duas variáveis. Se no circuito existe uma porta “E” ou uma porta “OU” de três entradas, estas portas podem ser substituídas por duas portas de duas entradas, veja no circuito da figura 6.

Associativa do produto: C . B) .(A C) . (B .A C . B .A Z ===Associativa da Soma: C B) (A C) (B A C B A Z ++=++=++=

Figura 6. Substituindo portas de 3 entradas por duas portas de 2 entradas


4.3 Propriedade distributiva: Existem duas propriedades distributivas na álgebra de Boole, enquanto que na

aritmética existe apenas uma esta é uma das principais dificuldades no estudo da álgebra de Boole, a propriedade distributiva da soma no produto, de forma que, o estudante deve ter o máximo de atenção, e, poderá ser que no início não encontre certa dificuldade em visualizar esta propriedade, por isto, é preciso fazer bastante exercícios. A seguir descrevemos as duas propriedades; distributiva do produto na soma e distributiva da soma no produto.

Distributiva do Produto na soma: ) C .A B .(A ) C B ( .A Z +=+= Esta propriedade pode ser vista como a distribuição do produto, fora do parêntese,

entre as somas dentro do parênteses. Observe que o parêntese pode ser excluído, pois não há duvidas de que primeiro deve ser feito a operação do produto. Esta ação também é conhecida como colocar em evidência, isto ocorre quando existe duas ou mais parcelas com uma variável comum, ou um conjunto de duas ou mais variáveis comuns. Neste caso a variável comum pode ser “colocada em evidência”, esta ação é muito usada na simplificação de funções aritméticas com frações, aqui, esta ação também será usada para simplificar funções. A seguir é mostrada a ação de “colocar em evidência”, que é a expressão contrária da distributiva.

Ação de colocar em evidência: C) B ( .A ) C .A ( ) B .A ( Z +=+=Note que “A” é a variável comum. Distributiva da soma no Produto: Esta propriedade não existe na álgebra convencional, por isto você deve prestar

bastante atenção, pois não intuitiva como as outras propriedades. Esta propriedade pode ser vista como a distribuição da soma, fora do parêntese, nos produtos dentro do parêntese, neste caso dois novos parênteses são gerados, cada um com uma soma, e o produto entre eles, para evitar que primeiro seja feito o produto. Aqui até podemos dizer que existe uma ação semelhante à ação de colocar em evidência.

Distributiva da soma no produto: ) C A ( . B) (A ) C . B ( A Z ++=+=


5 Teorema de Demorgan: Este é um dos teoremas mais importantes da álgebra de Boole. Este teorema

relaciona as funções de soma lógica e produto lógico. Por este teorema podemos afirmar que basta uma função lógica, por exemplo, a soma, pois um produto pode ser implementado usando a função lógica da soma e da inversora. O mesmo ocorre para o produto. O teorema de Demorgan é mostrado na equação 1 relacionando a função soma ao produto, a equação 2 é outra forma de mostrar este teorema:

Equação 1. B . AB A Z =+=

Equação 2 B . A B A Z =+=

O teorema de Demorgan também pode ser escrito em função do produto:

Equação 3 B A B .A Z +==

Equação 4 B A B .A Z +==

Aplicação do Teorema de Demorgan:

Uma aplicação simples do teorema de Demorgan é implementar uma função “OU” (ou “E”) a partir de uma função “E”, isto ocorre quando em um projeto o técnico precisa de uma porta “OU” e têm sobrando uma porta “NAND” e duas inversoras. O circuito é descrito na figura abaixo.

Figura 7 Teorema De Demorgan

Alguns diagramas europeus descrevem a função NAND com o desenho de uma porta OU tendo duas bolinhas em série com as entradas para indicar a inversão (lembre-se que a bolinha simboliza inversão). Este diagrama expressa o Teorema de Demorgan diretamente.

Figura 8. símbolo da porta NOR.


5.1 Aplicação prática do Teorema de Demorgan: Vamos mostrar uma forma prática de aplicar o Teorema de Demorgan, este é um

método mnemônico, o Método das Três inversões; Neste método para aplicar o Teorema de Demorgam a uma equação o técnico deve

proceder três inversões: 1. Inverter as entradas independentemente. 2. Inverter as operações. 3. Inverter toda a equação.

Exemplo 1:

Aplicação do método das três inversões no produto B .A Z = Solução:

1. Invertendo as entradas: B . A Z = 2. Invertendo a operação: B A Z += 3. Invertendo tudo: B A Z +=

Exemplo 2:

O Teorema de Demorgan pode ser aplicado a qualquer tipo de equação, se tiver uma variável barrada com a aplicação do teorema de Demorgan aparece duas barras e com isto as inversoras são eliminadas. Aplicando o teorema de Demorgan na equação: B A Z += .

Solução:

1. Invertendo as entradas: B A B A Z +=+= Pois A A = 2. Invertendo as operações: B .A Z =

3. Invertendo tudo: B .A Z = Exemplo 3:

Aplique o Teorema de Demorgan na equação: C B A Z ++=


Exemplo 4:

Neste vamos mostrar como deve ser tratado um erro bastante comum para os

iniciantes no estudo da eletrônica digital. O estudante desavisado tende a interpretar as variáveis barradas de uma soma ou de um produto lógico como se fossem iguais a toda as operações barradas, como é mostrado na equação a seguir.

B A B A Z +=+= ou B .A B . A Z ==

ISTO É UM ERRO GRAVE!!! O Teorema de Demorgan mostra que para inverter toda a equação é preciso inverter

a operação também. O correto é:

B .A B A Z =+= ou B A B . A Z +==


6 Teorema do Mutual: Este teorema diz que: Se existe uma relação conhecida e verdadeira, é possível criar

uma segunda relação verdadeira a partir da primeira, simplesmente trocando as operações, e invertendo os números “1” e “0”. Este teorema pode ser exemplificado a partir dos postulados anteriores, que sempre foram explicitados aos pares. Observe como o postulado do produto pode ser deduzido a partir do postulado da soma, como é mostrado a seguir:

Partindo da Equação 1: trocando a soma por um produto e o

“0” por “1” pode-se chagar a equação 1 do produto . 0X X Z +==

0 . X X Z == O teorema de Demorgan também pode servir como exemplo. Dada uma das

equações é possível a segunda. Se por exemplo fosse dado a equação 1:

B . AB A Z =+= , trocando a soma pelo produto, chagaríamos a equação 3:

B A B .A Z +== . Note que aqui não havia nem o número zero nem o número um, note ainda que, as barras não foram alteradas, o Teorema do Mutual não fala nada a respeito das barras.


7 Identidades: Identidades são novas relações baseadas nos postulados e teoremas, que pela sua

importante aplicação prática na simplificação de circuitos eletrônicos digitais, são estudados separadamente. Para provar a veracidade da Identidade pode ser usado a Tabela verdade, isto é, deverá ser levantada a tabela verdade dos dois lados da igualdade, se as tabelas verdades forem iguais então, a identidade é verdadeira. Outra forma é tentar entender a equação usando os postulados e teoremas, este será o método que nós vamos usar nesta etapa do trabalho, isto porque, este é um método semelhante ao usado na simplificação das equações lógicas, que será visto nos capítulos seguintes.

7.1.1 Identidade 1:

A B .A A Z =+= Note que esta identidade pode ser aplicada à um circuito digital de forma que o

complexo circuito da figura a seguir pode ser substituído por um condutor somente, note que neste circuito a variável B não tem a menor influência no resultado, usando esta identidade conseguimos um simplificação considerável.

Figura 9: Aplicação da Identidade 1.

Prova da identidade 1 usando a álgebra de Boole:

B .A A Z += ) B 1 ( .A Z += Colocando o “A” em evidência, pois o “A” está presente nas

duas parcelas. 1 .A Z = Como ( 1 + B ) = 1, todo o parêntese pode ser eliminado e substituído

pelo número “1”. A Z = Finalmente o produto por 1 pode ser eliminado pois A = A . 1.


7.1.2 Identidade 2:

B A B . A A Z +=+= Neste caso a simplificação não é tão marcante como na identidade 1, mas mesmo

assim, houve a economia de uma porta “E” e de uma porta inversora. O mais importante desta identidade é a prova usando álgebra de Boole, pois será necessário o uso da propriedade distributiva da soma no produto, esta é uma propriedade difícil de identificar no início.

B . A A Z +=

) B A ( . ) A A ( Z ++= Distribuindo a soma “A+” no produto ) B A ( . 1 Z += Porque 1 ) A A ( =+ .

B A Z += Porque 1. X = 1 Para tornar prática a aplicação desta identidade o estudante pode usar o seguinte

raciocínio: Se uma variável ou conjunto de variáveis aparece sozinho em uma parcela de uma

soma e na outra parcela aparece invertido, então a variável que não está sozinho pode ser simplificado. Observe os exemplos abaixo:

Exemplo 5:

B .A A Z += Aqui a variável “A” aparece invertida na primeira parcela B A Z += A variável “A” que não está sozinha é simplificada.

Exemplo 6:

B . A A Z += Note que a segunda variável “B” não é alterada. B A Z += somente a variável “A” é simplificada. Exemplo 7:

C . .BA B .A Z += Note que o conjunto de variáveis“ A . B” funciona como uma só variável, pis na segunda parcela a barra passa por sobre as duas variáveis, tem que passar sobre as duas, não esqueça o erro grave do exemplo 4. C B .A C . .BA B .A Z +=+=


8 Simplificação usando álgebra de Boole: Simplificar uma função lógica consiste em aplicar a álgebra de Boole a uma dada

função de forma à torna-la mais simples, com menos operações. Na prática este procedimento leva a circuitos mais simples, com menos componentes, por sua vez mais econômicos. Existem duas formas básicas de simplificar uma função lógica, a primeira é usando diretamente os postulados, os teoremas, as propriedades e identidades já estudadas para chegar a uma função mais simples. Outra forma é chamada de mapa de Karnaugh, que é um método gráfico mais simples, e por isto, mais prático, este método será estudado em separado.

O método usando a álgebra de Boole não tem uma regra bem definida, depende do estuda, da prática e da dedicação de cada um. Vamos mostrar alguns exemplos, dar algumas sugestões e esperar que o estudante faça o máximo de exercícios possível. Este não é o método mais prático para simplificar funções lógicas, o método do Mapa de karnaugh é mais prático e será usado Ana maioria das vezes, no entanto, a simplificação usando a álgebra de Boole serve para firmar os conceitos já estudados, e ainda para entender como funciona o Mapa de Karnaugh.

8.1 Equação na forma da soma de produtos: Para tornar mais fácil o trabalho o estudante deve colocar a equação na forma de

soma de produtos. A figura abaixo mostra um exemplo deste tipo de estrutura. .C B . A C .B .A C . B . A Z ++=

Observe o diagrama da figura do circuito que implementa esta equação. Note que o circuito é montado em três partes:

• Uma parte constituída das inversoras, caso haja. • Uma etapa comporta “E” (produto). • Uma etapa final com porta “OU” (soma).

Figura 10: soma de Produtos


8.2 Dicas para a simplificação usando álgebra de Boole:

• Procure organizar colocando as parcelas com o maior número de variáveis comuns, lado a lado formando duplas.

• Trabalhe as parcelas aos pares. • Procure colocar as variáveis comuns em evidência., com isto aparecerão as

simplificações básicas.

A melhor forma de aprender a simplificar uma função lógica usando a álgebra de Boole é olhando os exemplos, e, praticando.

8.2.1 Exemplo 1 de simplificação: Para exemplificar o procedimento de simplificação usando álgebra de Boole, vamos simplificar o circuito dado no parágrafo anterior:

.C B . A C .B .A C . B . A Z ++= Primeiramente você deverá procurar colocar as parcelas com variáveis comuns uma ao lado da outra, na verdade isto já está feito neste exemplo, onde as variáveis comuns são: B.A . Agora você pode aplicar a propriedade distributiva e colocar em evidência a variável comum, ou variáveis comuns. Note que aqui o A barrado é comum as três parcelas você pode coloca-lo em evidência, no entanto aconselhamos que você coloque as variáveis em evidência em duplas de parcelas, a experiência mostra que a simplificação fica mais simples, mais tarde, com a experiência adquirida você até poderá aplicar esta regra em mais de duas parcelas. Aplicando a propriedade distributiva as duas primeira parcelas a função fica:

.C B . A C) C( . B . A Z ++= Note que agora surge uma simplificação dentro do parênteses, temos o postulado da soma: XX1 += , então todo o parênteses pode ser substituído por 1, ficando a equação assim:

.C B . A 1 . B . A Z +=


Note que agora na primeira parcela temos novamente outro postulado, agora do produto: , onde 1 . XX = B.AX = , neste caso a equação fica:

.C B . A B . A Z += Veja como você simplificou o parênteses e a variável C, este procedimento no futuro poderá ser feito em um único passo, já que a simplificação fica evidente:

.C B . A C) C( . B . A Z ++= => .C B . A B . A Z += Simplesmente cortamos o parêntese. De posse da nova equação você deverá aplicar novamente o raciocínio, neste caso a só existe uma variável comum as duas parcelas, o a barrado que deve ser colocado em evidência, a equação vai ficar:

) .C B (B . A Z += Agora você deve olhar para o parênteses e procurar uma simplificação, isto possível aplicando a identidade 2 pois: Nós temos uma variável sozinha em uma parcela e esta mesma variável invertida na outra parcela), a variável sozinha permanece a variável invertida da outra parcela desaparece. A variável sozinha é o B barrado. A equação fica:

) C (B . A Z += Agora não existe mais simplificação possível para o parêntese, esta já pode ser considerada a solução do exercício, no entanto, neste nosso estudo vamos considerar a equação final aquela colocada na forma de uma soma de produtos, isto porque, na prática este é o formato mais usado para a construção de circuitos digitais. Para voltar a forma de soma de produto usamos a propriedade distributiva, distribuindo o A barrado para dentro do parêntese. A equação final fica sendo:

.CA B . A Z += O circuito final é desenhado abaixo, note como ficou com menos porta lógica, logo, bem mais barato.


8.2.2 Exemplo 2: Dada a equação abaixo vamos simplificar usando a álgebra de Boole:

D.AC.B.AD.C.B.AB.C.D.B.C.D.AZ +++= Note que aqui as parcelas já estão posicionadas duas a duas com variáveis comuns. As variáveis comuns a primeira e segunda parcela são: B.C.DAs variáveis comuns a terceira e quarta parcela são: .DCB. Novamente você pode colocar em evidência o B em todas as parcelas, mas, é melhor tratar as parcelas aos pares. Após colocar em evidência as variáveis comuns, a equação fica sendo:

A)(AD.C.B.)AB.C.D.(AZ +++= Note que você pode simplificar os dois parênteses pelo mesmo motivo, usando o postulado da soma XX +=1 . Já aplicando a simplificação direta do postulado do produto . Para fazer o parêntese desaparecer. A função fica sendo: 1 . XX =

DC.B.B.C.DZ += Continuando com o raciocínio da simplificação, você poderá colocar em evidência as variáveis comuns B.D e a equação fica:

)CB.D(CZ += Surgindo nova simplificação no parêntese a equação fica:

B.DZ = Esta é a equação final, aqui, bastante simplificada e já sem parênteses na forma da soma de produto!


8.2.3 Exemplo 3: Uma das principais dificuldades deste método é que ele não dá a você uma indicação clara de que a função pode ser simplificada ou ainda de que a simplificação chegou ao seu final, assim, você muitas vezes pode ser tentado a fazer mais uma combinação e esta combinação não levar a nada, por isto, este método depende muito do treino, do exercício e é usado na prática somente em funções mais simples. Para funções mais complexas o método do mapa de Karnaugh visto em outra unidade é mais usado, mesmo assim é um método prático até quatro variáveis, ou cinco em alguns casos, para funções maiores hoje em dia, existem programas de computador que fazem o trabalho por você, é o caso do EWB, mais usado para testes de circuitos digitais. Veja o exemplo abaixo, aparentemente bem simples:

AC.B..B.ACZ += Neste caso a variável B pode ser colocada em evidência, ficando:

)AC..ACB.(Z += Note que a função que ficou dentro do parêntese não pode ser mais simplificada, não existe nenhuma regra que possa ser usada, observe bem que este é o caso do erro grave do exemplo 4 do Teorema de Demorgan. Você poderia ficar tentado a simplificar o parêntese, mas, isto não é possível. Assim esta função não é possível de ser simplificada, você só pode chegar a esta conclusão após tentar simplificar,não havia nenhuma pista antes!


9 Mapa de Karnaugh: A simplificação de equações usando o Mapa de Karnaugh é um método simples e prático usando uma representação gráfica especial da tabela verdade, devido a sua importância este assunto é tratado em separado na apostila chamada “Mapa de Karnaugh”.

algebra de boole

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