História da Álgebra

Concepções históricas

• Álgebra Clássica ou elementar: que trata do estudo das equações e das operações clássicas sobre generalizações discretas ou contínuas.

• Álgebra Moderna ou abstrata: que trata de estruturas matemáticas tais como grupo, anéis, corpos, etc.

Desenvolvimento em função da sua linguagem

1. Retórica ou verbal

2. Sincopada

3. Simbólica

1. Retórica ou verbal

Não se usava símbolos nem abreviações para expressar o pensamento algébrico, ou seja, as palavras eram empregados em seu próprio sentido simbólico. Esta teria sido a álgebra dos egípcios, dos babilônios e dos gregos pré-diofantinos. Exemplo: quando se diz “a ordem dos fatores de dois números não altera o produto”.

2. Álgebra sincopada

• Foram usadas mais formas abreviadas e coisas para expressar as palavras e assim convertido em autênticos “ideogramas algébricos”.

• Diofano foi o primeiro a usar a letra sigma para representar suas equações.

• No século XVII esse recursos também foi usado por Cardano onde a expressão “cubus p.6 rebus aequalis 20” passaria a ter posteriormente, a forma simbólica x3+6x=20

Retórica Sincopada

• minus

• m

• -

3. Álgebra simbólica

• As idéias passariam a ser expressas somente através de símbolos, sem recorrerem ao uso de palavras.

• Vieté (1540 - 1603) foi um dos principais responsáveis pela introdução de novos símbolos, assim como Descartes (1596 - 1650) pela utilização das últimas do alfabeto x, y e z como incógnitas ou variáveis e as primeiras letras como constantes.

Hindus e Árabes

• Os hindus desenvolveram os métodos babilônios e Brahmagupta (598 - 665) usava já abreviações para incógnitas e admitia valores negativos.

• Os árabes não lidavam com negativos nem tinhas abreviações, mas Al-Khwarizmi (800) classificou os diversos tipos de equações algébricas usando raízes, quadrados e números, em linguagem moderna seriam x, x2 e constantes.

Em 1494 surgiu na Europa a primeira edição de Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita, de Luca Pacioli.

Já resolvia alguns tipos de equações de grau 4.

Frei Luca Pacioli (1445-1517)

Professor da Universidade de Bologna e conheceu Pacioli quando este visitou Bologna nos anos 1501 e 1502.

Del Ferro conseguia resolver a cúbica da forma x3 + mx = n.

Scipione del Ferro (1465-1526)

Pouco antes de morrer em 1526, Scipione revelou seu método para seu aluno Antonio Fior.

Fior espalhou a notícia e logo Nicolo de Brescia, conhecido como Tartaglia conseguiu resolver equações da forma x3 + mx2 = n e também espalhou a notícia.Fior desafiou Tartaglia para uma disputa pública e cada um podia dar ao outro 30 problemas com 40 ou 50 dias para resolvê-los.

Tartaglia (1499-1557)

Tartaglia resolveu todos os problemas de Fior em 2 horas, pois todos eram do tipo x3 + mx = n.Mas 8 dias antes do fim do prazo, Tartaglia encontrou um método geral para todos os tipos de cúbicas.

Essa notícia chegou a Girolamo Cardano em Milão onde ele se preparava para publicar sua Practica Arithmeticae (1539). Cardano convidou Tartaglia para visitá-lo.

Girolamo Cardano (1501-1576)

Cardano convenceu Tartaglia a contar para ele seu segredo, promentendo aguardar até que Tartaglia o tivesse pulicado, mas em 1545 Cardano publicou o segredo de Tartaglia em seu Ars Magna. Nessa obra, Cardano resolve x3 + mx = n.

Cardano percebeu algo estranho quando aplicava o método a x3 = 15x + 4, obtendo uma expressão envolvendo a raíz quadrada de -121.

Cardano sabia que x = 4 era uma solução da equação. Então escreveu para Tartaglia em 4 de agosto de 1539 para tirar sua dúvida.

Tartaglia não soube explicar, então Cardano publicou sua solução que envolvia “números complexos” sem entendê-los, dizendo que isso era “tão sutil quanto inútil”.

O caso irredutível da cúbica, em que a fórmula de Cardano leva a uma raiz quadrada de número negativo, foi resolvido por Rafael Bombelli em1572.

250 anos se passaram sem que ninguém conseguisse resolver a quíntica, embora muitos matemáticos tenham tentado, como Viète, Harriot, Tschirnhaus, Euler, Bezoute Descartes.

François Viète (1540 - 1603)

Ruffini, um médico e padre italiano, foi o primeiro a propor uma demonstração de que a equação geral do quinto grau não podia ser resolvida por radicais.

Mas seu tratado de 1798 não apresentava uma demonstração satisfatória.

Paolo Ruffini (1765-1822)

Um jovem matemático norueguês, Abel, apresentou uma prova completa da impossibilidade da solução da quíntica por radicais.

Sua demonstração envolvia aplicar resultados de permutações sobre o conjunto das raízes da equação.

Niels Henrik Abel (1802-1829)

Abel pesquisou dois problemas:1. Encontrar todas as equações de grau qualquer que são solúveis algebricamente.

2. Decidir se uma equação dada é soluvel algebricamente ou não.

Embora não tenha resolvido esses problemas em vida, Abel obteve um resultado particularmente interessante.

Abel generalizou a solução de Gauss para a equação xn - 1 = 0, na qual todas as raízes são expressas como potência de uma delas. Gauss (1777-1855)

Abel não pode terminar seu programa, mas sua tarefa foi levada adiante por outro jovem de vida curta, Galois.

Suas idéias sobre a solução de equações algébricas por radicais foram apresentadas em um manuscrito submetido à Academia Francesa em 1829 (ele tinha 17 anos).

Evariste Galois (1811-1832)

O que é certo é que Galois teve sua teoria rejeitada muitas vezes.

Seu primeiro manuscrito de 1829 submetido à Academia Francesa foi rejeitado por Cauchy (1789-1857).

Os biógrafos dizem que Cauchy desprezou o artigo, que o perdeu etc.

Cauchy (1789-1857)

Desenvolvimento da álgebra

Se deve aos esforços e contribuições dos matemáticos europeus do Renascimento e da época clássica. Dentre eles destacam-se:– Fibonacci– Pacioli– Chuquet– Bourrel– Stiffel– Cardano

Fim