Pontifícia Universidade Católica de Goiás

Msc. Gustavo Siqueira Vinhal

2016/1

Aplicações da teoria de conjuntos –

álgebra booleana

CONJUNTOS

Conjuntos são fundamentais para formalização de qualquer teoria.

Uma teoria é construída a partir de um conjunto de pressupostos básicos (axiomas), os quais fazem referência a um conjunto de elementos primitivos. A partir desses elementos e utilizando um conjunto de regras de inferência, é criado um conjunto de propriedades, enumerados e provados através de teoremas.

Exemplos:

Construção das Álgebras Boolenas (Computação Digital);

Desenvolvimento e validação da Teoria de Banco de Dados;

Desenvolvimento de Linguagens Formais;

Etc.

CONJUNTOS

Conceitos primitivos:

Conjunto: reunião de elementos segundo uma característica

em comum;

Elemento: uma entidade que pertence a um conjunto;

Relação de Pertença (ou Relação de Pertinência): indica

se um elemento pertence a um conjunto ou não.

Um elemento pertence a um conjunto

CONJUNTOS

Notações:

Elementos são representados por letras minúscula;

Conjuntos são representados por letras maiúsculas;

Relação de pertença: é representada pelo símbolo ∈.

Observações:

A definição sempre é feita através do símbolo de igualdade (=);

Os elementos de um conjunto sempre são representados entre

chaves.

CONJUNTOS

Exemplos:

A = {a}

B = {0,3,5,7,8,...}

D = {Terra, Sol, Lua}

Terra ∈ D

0 ∉ D

CONJUNTOS

Representação

Por extensão:

A = {C++, Delphi, Java,...}

B = {a, e, i, o u}

Por compreensão:

C = {x | x ∈ N ^ x é impar ^ x ≤ 5}

D = {f| f é múltiplo de 4}

Por gráficos:

E = {x ∈ R | -1 ≤ x ≤ 2}

CONJUNTOS

Representação

Por Diagramas de Venn

A = {1, 2, 3}

CONJUNTOS

Conjunto universo: conjunto que contém todos os conjuntos.

Representado pelo símbolo U. Exemplo:

U = {x| x = x}

Conjunto vazio: conjunto que não possui elementos.

Representado pelo símbolo ∅ ou {}. Exemplos:

∅ = {x| x ≠ x} = {x ∈ R| x > x+1} = {x ∈ R| x² < 0}

∅ ≠ {∅}. Por quê?

RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS

Inclusão: Dados dois conjuntos A e B, diz-se que A está

contido em B se, e somente se, qualquer elemento de A

também for elemento de B.

𝐴 ⊆ 𝐵 ⇔ ∀𝑥 (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵)

Propriedades:

∅ ⊆ 𝐴;

𝐴 ⊆ 𝐴; Reflexividade

𝐴 ⊆ 𝐵 ^(𝐵 ⊆ 𝐶) ⇒ 𝐴 ⊆ 𝐶. Transitividade

RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS

Inclusão Estrita: Dados dois conjuntos A e B, diz-se que A

está estritamente contido em B se, e somente se, qualquer

elemento de A também for elemento de B, mas A for

diferente de B.

𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ ∀𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵 ^ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∉ 𝐴)

Propriedades:

𝐴 ≠ ∅ ⇒ ∅ ⊂ 𝐴;

𝐴 ⊂ 𝐵 ^(𝐵 ⊂ 𝐶) ⇒ 𝐴 ⊂ 𝐶. Transitividade

RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS

Igualdade: Dados dois conjuntos A e B, diz-se que A é igual

a B se, e somente se, tiverem exatamente os mesmos

elementos.

𝐴 = 𝐵 ⇔ ∀𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵

Propriedades:

𝐴 = 𝐴; Reflexividade

𝐴 = 𝐵 ⇒ 𝐵 = 𝐴; Simetria

𝐴 = 𝐵 ^(𝐵 = 𝐶) ⇒ 𝐴 = 𝐶. Transitividade

OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS

Relações e Operações NÃO são sinônimos.

Relações = formas de comparar conjuntos;

Operações = forma de criar novos conjuntos.

Operações entre conjuntos sempre gera um novo conjunto como

resultado

OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS

União: Dados dois conjuntos A e B, a operação de união gera um novo conjunto C, cujos elementos são provenientes tanto de A quanto de B.

𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}

Propriedades: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴; Comutatividade

𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶); Associatividade

𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴 ; Idempotência

𝐴 ∪ ∅ = 𝐴; Elemento Neutro

𝐴 ∪ 𝑈 = 𝑈. Elemento Absorvente

OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS

Intersecção: Dados dois conjuntos A e B, a operação de intersecção gera um novo conjunto C, cujos elementos são comuns a A e a B.

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}

Propriedades: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴; Comutatividade

𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶); Associatividade

𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴 ; Idempotência

𝐴 ∩ ∅ = ∅; Elemento Absorvente

𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴. Elemento Neutro

OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS

Diferença: Dados dois conjuntos A e B, a operação de

diferença gera um novo conjunto C, cujos elementos são

aqueles que pertencem a A mas não pertencem a B.

𝐴 − 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵} Obs.: 𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − 𝐴

OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS

Complementação: Dado um conjunto A, o complemento

de A é o conjunto formado por todos elementos que

pertencem ao conjunto universo e não a A.

𝐴′ = {𝑥 ∈ 𝑈|𝑥 ∉ 𝐴}

Propriedades:

𝐴′ ∪ 𝐴 = 𝑈; 𝐴′ ∩ 𝐴 = ∅;

𝑈′ = ∅ ;

∅′ = 𝑈.

OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS

Complementação: Dado um conjunto A, o complemento

de A é o conjunto formado por todos elementos que

pertencem ao conjunto universo e não a A.

𝐴′ = {𝑥 ∈ 𝑈|𝑥 ∉ 𝐴}

Propriedades:

𝐴′ ∪ 𝐴 = 𝑈; 𝐴′ ∩ 𝐴 = ∅;

𝑈′ = ∅ ;

∅′ = 𝑈.

ÁLGEBRA BOOLEANA

Seja S um conjunto composto pelos conjuntos vazio e universo:

𝑆 = ∅, 𝑈

Seja as operações de intersecção, união e complementação sobre

esses conjuntos, considere as propriedades a seguir:

𝐴 ∪ ∅ = 𝐴;

𝐴 ∪ 𝑈 = 𝑈;

𝐴 ∩ ∅ = ∅;

𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴;

𝑈′ = ∅ ;

∅′ = 𝑈.

ÁLGEBRA BOOLEANA

Considerando:

∪= OR ∅ = 0 ′ = NOT

∩= AND 𝑈 = 1

Podemos representar as operações booleanas através de

operações de conjuntos.

𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 X OR 0 = X

𝐴 ∪ 𝑈 = 𝑈 X OR 1 = 1

𝐴 ∩ ∅ = ∅ X AND 0 = 0

𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴 X AND 1 = X

𝑈′ = ∅ NOT 1 = 0

∅′ = 𝑈 NOT 0 = 1

ÁLGEBRA BOOLEANA

A B A AND B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

A B A OR B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

A NOT A

0 1

1 0

EXERCÍCIOS

1. Descreva cada um dos conjuntos a seguir, listando seus elementos :

(a) { x ∈ R / | x | < 2 }

(b) { x ∈ N / ( ∀ y ) ( y é par → x ≠ y ) }

2. Determine os conjuntos A e B tais que A' = { f, g, h, l }, A ∩ B = { d, e } e A ∪ B = { a, b, d,

e, f }.

3. Sejam A, B e C conjuntos tais que A ⊆ B e B ⊆ C. Sejam a, b, c, d, e, f ∈ U tais que a ∈ A, b ∈

B-A, c ∈ C-B, d ∉ A, e ∉ B e f ∉ C. Quais das afirmações abaixo são corretas?

(a) a ∈ C (b) b ∈ A (c) c ∉ A

(d) b ∈ B (e) e ∉ A (f) f ∉ A

4. Sejam A, B e C conjuntos. Verifique se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas,

justificando a sua resposta.

(a) A ∩ B = C ∩ B → B - A = B – C

(b) A ∪ ( B - A ) = A ∪ B

(c) A ∩ B = A ∩ C ↔ B = C

(d) ( A' ∪ B' )' = A ∩ B

(e) ( A ∪ B ) - C = A ∪ ( B - C )