malha de controle por realimentação

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUÍMICA

Controle e Instrumentação de Processos - Profa. Ofélia de Q.F. Araújo [email protected]

1

MALHA DE CONTROLE POR REALIMENTAÇÃO

Uma malha de controle por realimentação tem a sua representação em blocos dada

por:

Controlador Elemento final de controle

Processo

Elemento de

+ _ SP E P M C

Medição

C m

Processo: representa o processo controlado (por exemplo um tanque). Traduz o

impacto sobre o processo (representado pela sua saída controlada) da variável de

estímulo manipulada pelo controlador.

Comparador: Determina o desvio entre a variável controlada e o seu valor de

referência.

Controlador: produz um sinal de saída (P) baseado no sinal de erro (E=SP-M) para

corrigir o desvio entre a variável controlada e seu valor de referência (set-point, SP).

Este desvio é referido como erro de realimentação por ter sido realimentado do

processo (a saída do processo decorrente da ação do controlador é realimentada ao

controlador).

Elemento Primário: O elemento de medição ligado ao processo (sensor) e o

transmissor, que padroniza o sinal medido (para padrão pneumático, analógico ou

digital).

Elemento Final de Controle (ou atuador): elemento atuando diretamente sobre o

processo (quase sempre uma válvula), de acordo com o sinal proveniente do

controlador (P). A saída do atuador é a variável de estímulo para o processo

(freqüentemente uma vazão), M.



2

O sensor, transmissor e elemento final de controle estão, normalmente localizados no

campo enquanto o controlador é localizado na sala de controle.

INSTRUMENTAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE

Sistema de Medição:

A variável controlada precisa ser medida para que uma ação de controle possa ser

tomada, já que só se pode controlar o que se pode medir. Esta tarefa é executada por

um transdutor. Este consiste de um elemento sensor aliado a um acionador que

converte a grandeza medida do processo em um sinal padronizado enviado ao

controlador (transmissor).

Um sensor está definido pelo princípio físico de medição, pelas faixas e pelo seu

comportamento dinâmico.

Sinais de Transmissão:

Os sinais transmitidos pelo transdutor e recebidos pelos demais elementos da malha

de controle devem estar padronizados. O padrão mais antigo utilizado industrialmente

é o pneumático, na faixa de 3 a 15 psig. Atualmente, os projetos utilizam sinais

eletrônicos padronizados na faixa de 4 a 20 mA (analógicos) ou 0 a 5 V (digitais).

Terminologia de Controle:

Utiliza-se frequentemente a seguinte terminologia:



3

alcance (“range”): limites máximo e mínimo de variáveis de processo. Exemplo:

50ºC-250ºC.

faixa (“span”): intervalo entre os limites máximo e mínimo do alcance. Do

exemplo anterior, 200ºC.

sensibilidade (ganho): razão da variação no sinal de saída (leitura) para variação

no sinal de entrada, após atingir estado estacionário.

repetibilidade: obtenção do mesmo valor de saída para leituras repetidas do

mesmo sinal de entrada

calibração: conjunto de testes para determinação dos valores de saída

correspondentes a vários valores de entrada, dentro do alcance dos

instrumentos, gerando uma curva de calibração.

x

x x

xmV

ºC

K

erro: diferença algébrica entre a leitura e o valor real do sinal de medida.



4

erro percentual: erro relacionado à faixa de medição do instrumento, em relação

à entrada ou à saída. É dado fornecido pelo fabricante.

sinaldofaixa

valorvalorerro idealreal

%

−=

linearidade: grau de afastamento da curva de calibração da linha reta. É desejável

em qualquer instrumento por implicar em ganho constante.

correção ou compensação: diferença entre o valor lido em condições de

processo e o valor calibrado em T e P padrão.

características dinâmicas: o tempo de resposta do instrumento (dado fornecido

pelo fabricante) sofre influência de características de construção, do

fluido medido (fase e velocidade), do tipo de proteção e material.

t(min)

63.2%isolado, com junção soldadasem solda

Termopar

1 14

t(min)

63.2% líquido em movimento ar em movimento

0.2 1



5

t(min)

63.2%sem poçocom poço em aço

0.6 2.0

tempo de resposta (min)

velocidade do fluido (ft/min)20 40

0.120.04

Elementos de Medição:

São instrumentos para medição on-line de variáveis de processo. A tabela abaixo

resume os principais sensores empregados na indústria química/petroquímica:

VARIÁVEL DE

PROCESSO

SENSOR

SÍMBOLO

TEMPERATURA termopares,

termorresistências, etc TT

PRESSÃO tubos de bourdon, foles,

diafragmas PT

NÍVEL bóias, dispositivos de

deslocamento LT

VAZÃO placas de orifício, Venturi,

turbinas, ultrassom, etc. FT



6

COMPOSIÇÃO cromatógrafos, UV, IV,

paramagnéticos,

potenciometros,

condutímetros, pHmetros,

espectrômetros, etc.

AT

Transmissores:

É um dispositivo que traduz o seu sinal de entrada em sinal padrão para a

instrumentação (pneumático, analógico ou digital), com dinâmica desprezível. É a

interface entre o controle e o processo. Convertem o sinal dos sensores (milivolt,

movimento mecânico, etc) em sinal de controle (3 a 15 psig, 4 a 20 mA, 1a 5 V, etc),

com dinâmica quase sempre desprezível, sendo considerado apenas como um

ganho. O ganho de um transmissor de pressão, por exemplo, é:

psipsi

psigpsigpsigpsig

K50012

0500315

=−

−=

Entrada Saída

50ºC 4 mA

150ºC 20 mA

50 150

4

20

Tm (mA)

T(ºC)

zero

span/faixa



7

)(ˆ16.0)(ˆ

4)(*16.0)(

16.050150420

4)50()(

CTmAT

mACTC

mAmAT

CmAK

mATKmAT

m

mm

°=

+°°

=

°=

−−=

+−=

Aplicando Transformada de Laplace:

mK== 16.0(s)T̂

(s)T̂m

São considerados, nas condições de operação, lineares. Um exemplo de um

transmissor não linear está esquematizado abaixo:

50 150

4

20

Tm (mA)

T(ºC)

Km1

Km2Km3

Conversores:

São dispositivos para converter o sinal analógico em pneumático, normalmente

utilizados para acionamento de válvulas.

mApsig

K PI 75.0420315

/ =−−=

DIAGRAMA P&I

A simbologia adotada na representação dos instrumentos segue padronização da ISA.

A Tabela a seguir apresenta os principais símbolos empregados na construção destes

diagramas:

LT

TT

FT

PT

AT

LC

TC

FC

PC

AC

Sensor de Nível Controlador de Nível

Sensor de Temperatura

Sensor de Vazão

Sensor de Pressão

Sensor de Composição

Controlador de Temperatura

Controlador de Vazão

Controlador de Pressão

Controlador deComposição


EQE-594 - Profa. Ofélia de Q.F. Araújo - [email protected]

1/17

AÇÕES DE CONTROLE

A ação do controlador feedback pode ser composta por combinações de três ações:

proporcional, integral e derivativa.

FT

FC

Transmissor Controlador

P (Ação)

C (variável controlada, medida)

R (Set point)

m

C (variável controlada)

C=vazão

Os controladores de 3 ações respondem pela maioria das malhas de controle industrial,

tendo sido introduzido no mercado nos anos 40, na versão pneumática. O APÊNDICE 3 é

um artigo de Astrom et al., 2001 que apresenta este controlador ainda como o mais usado

em controle de processos.

.Ação Proporcional

Atua assim que identifica o sinal de erro:

rcontroladodoganhoK

biasPtEKPtP

tCtRtE

c

s

cs

m

"")()(

)()()(

=

=+=

−=

Para obter-se a função de transferência, define-se:

sPtPtP −= )()(ˆ

Não há necessidade de definir desvio do erro pois o erro no estado inicial é zero. Logo:



2/17

cKsEsP

=)()(ˆ

O sinal do ganho determinará a ação do controlador. Para ganhos positivos, o controlador

é dito de ação reversa (a saída do controlador aumenta com a redução do sinal da

variável medida). Em caso contrário, o controlador é dito de ação direta.

A saída do controlador em função do erro tem o comportamento ideal limitado por efeitos

de saturação do controlador.

COMPORTAMENTO IDEAL: COMPORTAMENTO REAL:

P s

E(t)

P(t)

P s

E(t)

P(t) P

max P

min

Por sua simplicidade, sempre que adequado emprega-se o controlador proporcional.

Contudo, este controle apresenta a desvantagem de não anular o sinal de erro

restringindo o seu emprego.

.Ação Integral

É muito empregada pela sua capacidade de eliminar o sinal de erro, pois, enquanto

persistir o sinal de erro, haverá mudança da ação:

')'(1

)(0

dttEPtPt

Is ∫+=

τ



3/17

Esta ação, ao contrário da proporcional, não pode ser usada isoladamente pois a saída do

controlador só será significativa após o erro persistir por um certo intervalo de tempo.

Conseqüentemente, a ação integral é usada com a ação proporcional e é a forma mais

comum de controladores feedback, conhecida como controle PI:

}')'(1

)({)(0

dttEtEKPtPt

Ics ∫+=

τ

A função de transferência do controlador PI é:

)1

1()()(ˆ

sK

sEsP

Ic τ

+=

A saída do controlador muda assim que for detectada variação no erro devido à ação

proporcional. Quando t I= τ , a ação integral terá "repetido" a ação proporcional. Esta

terminologia é usada em alguns controladores comerciais que têm a ação integral

sintonizada como "repetições por min".

E(t)

t

K c

K c t I

P(t)

t

.Ação Derivativa

A ação derivativa contribui para a saída do controlador sempre que houver variação no

erro (derivada do erro com o tempo). Esta característica torna inapropriado o seu uso em

sinais com ruídos (a exemplo de sinais de nível e de vazão). Por outro lado, é muito



4/17

usada em variáveis lentas como temperatura e composição, já que antecipa a saída do

controlador.

Esta ação é usada junto com a ação proporcional (controle PD) ou com a ação

proporcional e integral (controle PID), quando tem a seguinte expressão matemática:

})(')'(1)({)(0 dt

tdEdttEtEKPtP D

t

Ics τ

τ++= ∫

A função de transferência do controlador PID é:

)11()()(ˆ

ss

KsEsP

DI

c ττ

++=

Em diagrama de blocos:

1

t s I

D

K c

t s

E ( s )

P ( s ) + +

+

1

Observa-se pela função de transferência que a ação derivativa ideal não é fisicamente

realizável. Os controladores comerciais aproximam a ação derivativa usando a seguinte

função de transferência:

0.2<<0.05 ),1

1)(

11(

)()(ˆ

ααττ

τ ++

+=s

ss

KsEsP

D

D

Ic

Na expressão acima, as três ações são aplicadas em série:



5/17

1τ s

I

1 + + 1 s

DΚ c ατ

D

s + 1τ

E(s) P(s)

.Ações e Sintonia

A adição da ação proporcional atua no sentido de corrigir o erro. Quanto maior o ganho

menor o desvio permanente ou off-set sem, contudo, conseguir anulá-lo. A ação integral

garante eliminar o off-set mas introduz oscilação no sistema. Finalmente, a ação

derivativa reduz as oscilações e acelera a resposta. O efeito das ações é apresentado

graficamente abaixo:

PPI PID

SEM

Na ação proporcional, o efeito do ganho é reduzir o off-set:

Kc

y(t)

t

off-set

Na sintonia do controlador PI, um aumento de Kc introduz mais oscilação no sistema

enquanto acelera a resposta. Para um mesmo ganho, a redução da constante integral



6/17

aumenta a ação integral do controlador acentuando a característica oscilatória ao mesmo

tempo que acelera a resposta:

Kc

y(t)

t

y(t)

t

τI

No controlador PID, o efeito do tempo derivativo é acelerar a resposta:

y(t)

t

τD

Em resumo, um aumento do ganho acelera a resposta e reduz o off-set (desvio

permanente). Se sintonizado muito alto fará a resposta muito oscilatória (indesejável)

levando, inclusive, à instabilidade. Por outro lado, o aumento do tempo integral torna o

controle mais "conservador" (lento) (aumento da constante integral equivale a redução da

ação integral). Por último, a ação derivativa reduz o "overshoot", o grau de oscilação e o

tempo de resposta mas, em contra-partida, amplifica os ruídos de medição. A escolha do

conjunto de valores assumidos por estes parâmetros é chamado de sintonia do

controlador e determina o comportamento dinâmico da malha.

.Aplicação das Ações

As ações são determinadas pela aplicação, como apresentado no quadro a seguir:



7/17

PROPRIE-DADE

VAZÃO E PRESSÃO

DE LÍQUIDO

PRESSÃO DE GÁS

NÍVEL TEMPERATURA COMPOSIÇÃO

Tempo morto Não Não Não Variável Constante Tempo 1-10 seg zero 1-10 seg min - hr min - hr Ruído Sempre Não Sempre Não Freqüente Proporcional 50-200% 0-5% 5-50% 10-100% 100-1000% Integral (75 % das malhas)

Essencial Desneces-sária

Rara-mente

Sim Essencial

Derivativa Não Desneces-sária

Não Essencial Aconselhável

.Controle ON-OFF

Um caso limite do controlador proporcional é o controle ON-OFF (ou bang-bang),

equivalente a um ganho infinito. São controladores baratos usados, normalmente, em

termostatos. Matematicamente, é descrito como:

)0)((

)0)(()(

min

max

≤

≥=

tEP

tEPtP

É usado pela sua simplicidade mas oferece desvantagens como produzir um ciclo

contínuo na resposta e o desgastar o elemento final de controle.



8/17

P(t)

C(t)

E

E min

max

P

P

max

min

C med

Os controladores PID são, normalmente, de uma das três formas mostradas na Figura a

seguir (Kc é o ganho, I é a constante de tempo integral e D a constante de tempo

derivativa):

Algoritmos utilizados em controladores comerciais podem ser obtidos no site

http://bestune.50megs.com. (reproduzido nas páginas 12 a 7 deste documento).



9/17

DINÂMICA DE MALHA FECHADA

A resposta dinâmica de uma malha de controle é exemplificada com tanque de nível

representado a seguir:

h

LC

q3

q1 q2

1)(ˆ)(ˆ

)(

1)(ˆ)(ˆ

)(

:

e :

)()(

)()()()(

1

2

3

321

+==

+==

−

==

=

−+=

s

K

sQ

sHsG

s

K

sQ

sHsG

seTem

RKRADefinindo

Rth

tq

tqtqtqdt

tdhA

p

pL

p

pp

pp

τ

τ

τ

As duas funções de transferência são idênticas pois o efeito na altura é o mesmo para

qualquer das duas entradas. O diagrama de blocos para o processo é:



10/17

+ - G (s)

cG (s)

vG (s)

p

G (s)m

H(s) H(s)

+ +

G (s)L

Q(s)1

~

Km

H(s)^^

(m) (psi) (psi) (psi) (psi)

(psi)

E(s) P(s)^ Q(s)3

H(s)^m

Para:

vv

mm

KsGKsG

==

)()(

e um controlador puramente proporcional, um problema servo terá a seguinte função de

transferência:

cpvmmamama

ma

cpvm

cpvm

sp

KKKKKKK

KK

onde

sK

sKKKK

sKKKK

sH

sH

=+

=+

=

+=

++

+=

1

1

1)1/(1

)1/(

)(ˆ)(ˆ

11

1

1

ττ

ττ

τ

A malha fechada é um sistema de primeira ordem com τ τ1 < . Ou seja, o sistema

controlado responde mais rapidamente que o sistema sem controle.

Para uma perturbação degrau no set-point de magnitude M, tem-se:

)1()(ˆ )1(

)(ˆ 1/1

1

1 τ

τteMKth

ssK

sH −−=∴+

=

O off-set, definido como o erro de estado estacionário, será:



11/17

ma

sp KM

MKMhhsetoff+

=−=∞−∞=−1

)(ˆ)(ˆ1

ou seja, a ação proporcional não anula o off-set. A mesma análise pode ser desenvolvida

para um problema regulador.

Quando utilizado um controlador PI no problema regulador, obtém-se a seguinte função

de transferência:

0)}/1sen(1

{lim0

12)(ˆ

1)(ˆ

)+1

(21

=

:

12)1/()1

1(1

)1/(

)(ˆ)(ˆ

2/

23

3

32

3

3

1

I33

32

3

3

3 =−−

−=−

++=

=

===

++=

+++

+=

−∞→ τξ

ξτ

ξττ

τττ

ττ

ξτ

ξττττ

τ

τξ teK

setoff

ess

KsH

ssQpara

KKKKKKK

KKKK

K

onde

sssK

ss

KKKK

sK

sH

sH

tt

cpvmmama

I

ma

ma

mvc

I

Icpvm

p

sp

Logo, a ação integral elimina o off-set (tanto para problemas servo quanto reguladores).



12/17

PID Controllers in BESTune The following PID controllers can be optimized by using the excellent PID auto-

tuning software BESTune (see http://bestune.50megs.com for details).

Theoretically, BESTune is able to optimize any PID controllers, as long as the PID

equations implemented in them are known. In order to include more PID controllers

in BESTune, I am asking you to give me more information about other well-known

brands of industrial PID controllers (brand names, PID equations implemented,

units of the three PID constants, etc). Your help will be very much appreciated.

The actual PID equations that are implemented inside these PLCs are all in

discrete time or digital form. One example of the discrete time form of "Allen

Bradley Logix5550 Independent PID" can be found on the web page

http://bestune.50megs.com/typeABC.htm.

Allen Bradley Logix5550 Independent PID

where

Kp: Proportional gain No unit Ki: Integral gain (1/second) Kd: Derivative gain (seconds)

Allen Bradley Logix5550 Dependent PID

where

Kc: Proportional gain No unit Ti: Reset time (min/rep) Td: Rate time (min)



13/17

Allen Bradley PLC5 Independent PID - Using Integer Blocks

where

Kp: Proportional gain (0.01) Ki: Integral gain (0.001/ second) Kd: Derivative gain (seconds)

Allen Bradley PLC5 Independent PID - Using PD Blocks

where

Kp: Proportional gain No unit Ki: Integral gain (1/ second) Kd: Derivative gain (seconds)

Allen Bradley PLC5 ISA PID - Using Integer Blocks

where

Kc: Proportional gain (0.01) Ti: Reset time (0.01min/rep) Td: Rate time (0.01min)

Allen Bradley PLC5 ISA PID - Using PD Blocks

where

Kc: Proportional gain No unit Ti: Reset time (min/rep)



14/17

Td: Rate time (min)

Allen Bradley SLC5/02,SLC5/03 and SLC5/04 ISA PID

where

Kc: Proportional gain (0.1) Ti: Reset time (0.1min/rep) Td: Rate time (0.01min)

Bailey Function Code FC19 with K=1

where

K: Gain multiplier No unit Kp: Proportional gain No unit Ki: Integral reset 1/min Kd: Derivative rate action Min

Bailey Function Code FC156 Independent Form with K=1

where

K: Gain multiplier No unit Kp: Proportional gain No unit Ki: Integral reset Resets/min Kd: Derivative rate action Min

¡¡ Concept PID1 - PID Controller



15/17

where

Gain: Proportional gain No unit TI: Reset time (milliseconds) TD: Derivative Action

time (milliseconds)

Concept PID1P - PID Controller with parallel structure

where

KP: Proportional gain No unit KI: Integral rate (1/milliseconds) KD: Differentiation

rate (milliseconds)

Fischer & Porter DCU 3200 CON Ideal with KP = 1

If Kp = 1, the above equation reduces to:

where

KC: Gain constant No unit TR: Reset time (min/rep) TD: Derivative term (min)

Fischer & Porter DCU 3200 CON Parallel KP variable with KC=1

If KC=1, the above equation reduces to:



16/17

where

KP: Proportional gain No unit TR: Reset time (min/rep) TD: Derivative term (min)

GE Fanuc Series 90-30 and 90-70 Independent Form PID

where

Kp: Proportional gain (0.01) Ki: Reset time (0.001rep/second) Kd: Derivative gain (0.01 seconds)

Hartmann & Braun Freelance 2000 PID

where

CP: Proportional correction value No unit TR: Reset time (milliseconds) TD: Rate time (milliseconds)

Honeywell TDC 3000 APM Non - Interactive PID

where

K: Gain No unit T1: Integral time constant (min/rep) T2: Derivative time constant (min)



17/17

Modicon 984 PLC PID2 Equation

where

PB: Proportional band No unit K2: Integral mode gain constant (0.01min/rep) K3: Derivative mode gain constant (0.01min)

Siemens S7 PB41 CONT_C PID

where

Gain: Proportional gain

No unit

TI: Reset time (seconds) TD: Derivative time (seconds)

Yokogawa Field Control Station (FCS) PID

where

PB: Proportional band No unit Ti: Integral time (seconds) Td: Derivative time (seconds)

Escola de Química da UFRJ Profa. Ofélia de Q.F. Araújo – [email protected]

1/1

Exemplo

)(88126

8)( 23 sL

KssssC

C++++=

( )228

11+

====s

GGGG LPMV

CC KsG =)( .

Seja

CKssssB 88126)( 23 ++++=

• Se KC=1

( )( ) ( )( )( )jsjssssssB 31314424)( 2 −++++=+++=

Lembrem-se:

=

+−ate

as1

Logo

A resposta ao degrau seá a soma de exponenciais negativos

• Se KC=27

( )( ) ( )( )( )jsjsssssssssB 33133182828224126)( 223 −−+−+=+−+=+++=

O ganho do controlador afetou as raízes da malha fechada.

• Off-set para perturbação de carga

ssL

1)( = :

CCs

C

KKssYty

sKssssC

+=

+==∞=

⋅++++

=

→ 11

888

)(lim)(

188126

8)(

0

23


2/2

Com KC grande, 0)( →ty mas não atinge zero. Há offset com o controlador proporcional,

que pode ser bastante grande se um aumento de KC estiver limitado por problemas de

instabilidade.

PID (ideal):

++= s

sKsG D

ICC τ

τ1

1)(

• Não gera offset;

• Ajustar KC , Iτ e Dτ , para obter resultados satisfatórios.

• Análise das raízes da Equação Característica é uma forma de estudar o

comportamento da malha, e definir região de estabilidade.

• 01 =+ MPVC GGGG

De acordo com a posição das raízes no plano Re x Im, diferentes padrões de respostas dinâmicas são

alcançados.


3/3

Regra heurística: A resposta de malha fechada se torna menos oscilatória e mais estável

diminuindo-se KC ou aumentando Iτ .

Considerações de estabilidade:

• Controle Feedback pode resuoltar em malhas fechadas oscilatórias e até mesmo

instáveis.


4/4

• Comportamento típico(para diferentes valores de KC)


5/5

• ESTABILIDADE

Estabilidade BIBO Há várias definições de estabilidade de um sistema dinâmico, uma muito utilizada é a de

estabilidade BIBO (Bounded Input Bounded Output), isto é, um sistema dinâmico é dito ESTÁVEL

se uma perturbação finita produz uma saída finita, independente do seu estado inicial. Uma

perturbação finita é aquela que sempre permanece entre um limite superior e um limite inferior (e.g.

senóide e degrau).

Critério de Estabilidade de Routh

A estabilidade do processo pode ser testada sem que seja necessário resolver a equação

característica para obtenção dos polos. O método de Routh indicará a existente de polos positivos, e

é aplicável tanto a malhas fechadas quanto abertas, bastando, apenas, utilizar a equação

característica apropriada.

Para um processo de ordem N, tem-se a seguinte equação característica:

a s a s a s aNN

NN+ + + =−

−1

11 0 0...

onde aN é positivo. Uma condição necessária (mas não suficiente) para estabilidade do processo é

que todos os coeficientes na equação característica sejam positivos e não nulos. Caso esta condição

seja obedecida, constrói-se a MATRIZ DE ROUTH ({n+1} linhas):

a a a

a a a

b b b

c c

n n n

n n n

b

− −

− − −

2 4

1 3 5

1 2

1 2

...

...

...

... ...

...

onde

ba a a a

ac

b a a b

bn n n n

n

n n

:

11 2 3

11

1 3 1 2

1

=−

=−− − −

−

− −


6/6

ba a a a

ac

b a a b

b

etc

n n n n

n

n n2

1 4 5

12

1 5 1 3

1

=−

=−− − −

−

− −

.

O Critério de Estabilidade de Routh é uma condição necessária e suficente para que todas as raízes

da equação característica se encontrem no SPE. Esta condição é que todos os elementos da 1ª

coluna da Matriz de Routh sejam positivos.

Exemplo

CCMVLP KGGGs

GG ===+

== 1)2(

83

Equação característica para)()(

sLsC

é 01 =+ MPVC GGGG

088126

08)2(

0)2(

81

23

3

3

=++++

=++

=+

+

C

C

Ksss

Ks

s

Queremos saber que valor de KC causa instabilidade

( )( )

088

06

881)12(6886

3121

C

C

C

K

KK

n

+

+−+

=

Condições de estabilidade:

( )1088

808872−>>+

<>+−

CC

CC

KKKK

A restrição mais importante é KC < 8. Qualquer KC ≥ 8 causará instabilidade.


7/7

(Fonte: Seborg)

Método da Substituição Direta

O eixo imaginário é a fronteira entre as regiões de estabilidade (SPE e SPD). Este eixo

corresponde a s=ωi. Logo, substituindo s por ωi na equação característica do processo

fornece o limite de estabilidade para ω e outros parâmetros (e.g. ganho do controlador) de


8/8

forma a satisfazer as equações resultantes da substituição. O Apêndice 12 ilustra tanto o

Critério de Routh quanto o Método da Substituição Direta na análise de estabilidade de um

sistema.

Exemplo

Voltando ao mesmo exemplo utilizado com Routh

088126

088126

08)2(

0)2(

81

23

23

3

3

=+++−−

=++++

=++

=+

+

C

C

C

Kwiwiw

Ksss

Ks

s

Parte Real = 0

0886 2 =++− CKw (1)

Parte Imaginária = 0

0123 =+− ww (2)

De (2): w = 3.4641rad/s

Substituindo em (1): KC,CRÍTICO = 8

(confirmando o resultado obtido anteriormente).

Escola de Química – UFRJ

Profa. Ofélia de Queiroz Fernandes Araújo – [email protected]

SINTONIA DE CONTROLADORES

1. Método da Sensibilidade Limite (Método do Ganho Limite)

O método, proposto por Ziegler e Nichols em 1942, baseia-se em encontrar o LIMITE DE

ESTABILIDADE da malha, KC,LIM , isto é, o valor do ganho proporcional que promove a oscilação com

amplitude sustentada da variável controlada em resposta a uma perturbação (de SP ou de carga), com o

controlador dotado exclusivamente de ação proporcional. O procedimento consiste em:

a) Com a planta no estado estacionário, remover a ação integral (τI =∞) e derivativa (τD =0)

b) Escolher um valor para KC

c) Perturbar o sistema (degrau de SP ou de carga)

d) Observar o transiente. Se a resposta se apresentar subamortecida, aumentar KC e retornar à

etapa c. Repetir o procedimento até atingir oscilação sustentada, como mostrado na Figura 1 .

Para este valor de Kc, o KC limite de estabilidade, registrar o período de oscilação (PLIM).

Com KC,LIM e PLIM , determina-se os parâmetros de sintonia do controlador utilizando-se as

Correlações de Ziegler-Nichols:

KC τI τD

P KC,LIM /2 - -

PI KC,LIM /2,2 PLIM /1.2 -

PID KC,LIM /1,7 PLIM /2 PLIM /8



Figura 1

O conjunto de parâmetros obtidos promove uma razão de decaimento de ¼. Ressalta-se

que, antes do experimento, deve-se determinar se a ação proporcional deve ser positiva ou

negativa.

O método, se experimentalmente conduzido, é demorado (precisa ser estabelecidoo

estado estacionário antes de voltar a perturbar), é arriscado (atinge-se o limite de estabilidade);

e alguns processos não apresentam ganho limite.



2. Método da Curva de Reação

Também proposto por Ziegler-Nichols, baseia-se em teste com controle em modo manual, após

estabelecido estado estacionário.

Curva de Reação é o gráfico CM(t) x t, a resposta do processo a uma perturbação da saída

do controlador (em modo manual). Caracteriza-se por dois parâmetros: s (inclinação no ponto de

inflexão) e θ (tempo em que a tangente intercepta o eixo t). Assume-se que o processo possa ser

representado por modelo de de primeira ordem com tempo morto (CM(s)/P(s)): 1

)(+

=−

sKe

sGP

s

τ

θ

.



Seja

s* = s /P

Ziegler-Nichols definiram as seguintes correlações de sintonia:

KC τI τD

P 1 / (θ / s*) - -

PI 0,9 / (θ / s*) 3,3θ -

PID 1,2 / (θ/s*) 2θ 0,5θ

O método apresenta a vantagem de só necessitar de um teste mas tem a desvantagem de

ser executado em malha aberta. Logo, processos instáveis em malha aberta não podem ser

sintonizados por este procedimento. Como outra desvantagem, tem-se a dificuldade em

determinar s.



3. Método Cohen-Coon O método, proposto em 1953, é usado como alternativa ao método Ziegler-Nichols. È um

procedimento em malha aberta, como o da Curva de Reação. Assume processo de primeira

ordem com tempo morto: 1

)(+

=−

sKe

sGP

s

τ

θ

.

KC τI τI

P ( )[ ]311

+θτ

PK

- -

PI ( )[ ]083.09.01

+θτ

PK ( )[ ]

( )τθ

τθθτ

2.20.1

33.033.3

+

+

-

PID ( )[ ]270.035.11

+θτ

PK ( )[ ]

( )τθ

τθθτ

813

632

+

+ ( )τ

θθ

2.00.1

37.0

+

Os parâmetros são função do grupo adimensional τ

θ . Quanto maior τθ mais rápida

poderá ser a sintonia. Quanto menor o KP, maio poderá ser o KC.



Sumário das Relações de Sintonia

1. KC é inversamente proporcional a KPKVKM

2. KC decresce com o aumento de τθ

3. Iτ e Dτ aumentam com o aumento de τθ (tipicamente, ID ττ 25.0= )

4. Reduzir KC, quando aumentar a ação integral; aumentar KC quando adicionar ação derivativa

5. Para reduzir oscilações, diminuir KC e aumentar Iτ

Disvantagens das Correlações de Sintonia

1. Ignora problemas de interações entre as malhas de controle (que diminuem o limite dde

estabilidade)

2. A Ação derivativa é normalmente dependente do controlador comercial empregado;

3. As correlações adotam modelo de primeira ordem com tempo morto que podem ser

inapropriados para o processo em questão.

4. PPK τ, podem variar

5. Resolução dos equipamentos e erros de medição podem diminuir as margens de estabilidade

6. Razão de decaimento de ¼ decay ratio não é um padrão conservador: é muito oscilatório

Escola de Química – UFRJ Profa. Ofélia de Queiroz Fernandes Araújo – [email protected]

3. Sintonia de Controlador Baseada em Resposta Transiente

Características Desejáveis do Controlador

1. Resposta Rápida

2. Rejeição adequada a perturbações

3. Insensível a erros de modelagem e erros de medição

4. Evitar ação de controle excessiva

5. Adequado sob uma larga faixa de condições operacionais

Como já visto anteriormente, alguns destes objetivos são conflitantes, exigindo uma

sintonia de compromisso entre estes 5 objetivos. Esta sintonia pode ser conduzida de

acordo com:

1. Correlações para sintonia, limitadas a modelos de primeira ordem com tempo morto

(Métodos 2 e 3)

2. Análise de estabilidade da função de transferência de malha fechada. Porém assegurar

estabilidade não garante a qualidade do controle.

3. Simulações sucessivas

4. Resposta Freqüencial

5. Sintonia no campo

Síntese de Controladores no Domínio do Tempo

1. Critérios baseados em alguns pontos da curva de resposta: tempo de subida, razão de

decaimento (c/a), tempo de acomodação (ts), tempo de subida (tr), etc.


2. Critérios baseados na totalidade dos pontos da curva de resposta: buscam-se os

parâmetros dos controladores que minizem critérios de desempenho (integrais do erro).

a) Integral do erro quadrático (Integral of square error - ISE): conduz a tempo de

acomodação maior.

[ ]∫∞

=0

2)( dtteISE

b) Integral do erro absoluto (Integral of absolute value of error - IAE): permite maiores

desvios e, consequente, implica em menores overshoots.

∫∞

=0

)( dtteIAE

c) Integral do erro absoluto ponderado pelo tempo (ITAE): penaliza mais fortemente

os erros que ocorrem mais tarde, i.e., penaliza off-set.

∫∞

=0

)( dttetITAE


Na Figura abaixo, a área é o IAE, para um determinado conjunto τθ ,,K .


Ref: Seborg

4. Síntese Direta de Controlador

Seja PC

PC

GGGG

RC

+=

1 (fazendo GMGV=1), o método especifica a resposta em malha

fechada desejada dR

C

. Com um modelo do processo, GP, resolve-se para GC :

−

=

d

d

PC

RC

RC

GG

1

1


4.1. PI

Introduzindo-se a ação integral (PI), e processo de 2a. ordem. Dado

( )( )11)(

21 ++=

ssK

sGP ττ e

( )

+=

+=

sK

ssK

sGI

CI

ICC ττ

τ 11

1)( . Seleciona-se, por conveniência, 1ττ =I (e 21 ττ > ), e

obtém-se:

( ) C

C

KKssKK

RC

++=

121 ττ.

Para C/R de segunda ordem, i.e. 12

122 ++

=

ssRC

d ξττ, tem-se

CKK21ττ

τ = e CKK2

1

21

ττ

ξ = . Seleciona-se KC que forneça 5,04,0 −=ξ .

4.2. Processo com Tempo Morto

1)(

1 +=

−

sKe

sGs

τ

θ


Utiliza-se aproximação de Padé: s

se s

21

21

θ

θθ

+

−≈− , tal que

s

s

sK

sG

21

21

1)(

1θ

θ

τ +

−

+≈ . Deseja-se

que a malha fechada tenha função de transferência 1

21

+

−=

s

s

RC

cd τ

θ

. Pela síntese direta,

tem-se:

( )( )( )

( )( )( )sK

ss

s

s

s

s

sK

ss

RC

RC

GG

c

c

c

d

dC

τθ

θτ

τ

θτ

θ

θ

θτ

+

++=

+

−−

+

−

−

++=

−

=2

211

211

121

21211

1

1 11

+

+

+

+

+

=

+

+

++

=sK

sKKsK

ssG

ccc

C1

2

1

22

2

2

2

122 1

1121

τθ

τθ

θτ

τθ

θτ

τθ

θτ

θτ

Com

+

=

c

C

KK

τθ

θτ

2

21

;

+

=

cI

C

K

K

τθτ2

1;

+

=τ

θθτ

τ

22

1

KK DC ,

temos um PID!

malha de controle por realimentação

Documents