cba2012 - projeto de controladores digitais - alocaÇÃo polinomial de polos e realimentaÇÃo de...
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Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 2012.
ISBN: 978-85-8001-069-5
PROJETO DE CONTROLADORES DIGITAIS ATRAVÉS DE TÉCNICAS DE ALOCAÇÃO POLINOMIAL DE POLOS E DE
ALOCAÇÃO DE POLOS UTILIZANDO REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS
PAULO SERGIO NASCIMENTO FILHO, THIAGO W. M. ABREU, CLEYSON AMORIM COSTA,WALTER BARRA JR.
Laboratório de Controle de Sistemas de Potência, Faculdade de Engenharia Elétrica, Universidade Federal do
Pará, Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica
Instituto de Tecnologia, Campus Universitário do Guamá, 66075-900
E-mails: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
Abstract This paper shows the development of two controllers, using techniques of poles allocation Polynomial and Control
Allocation for Poles using state feedback, on a second-order filter of Sallen and Key are presented the theoretical foundations of
the two techniques controller design, in addition to the identification process and the practical results obtained.
Keywords Identification of systems, controllers, Allocation polynomial poles, pole allocation state feedback.
Resumo O presente artigo mostra o desenvolvimento de dois controladores, utilizando técnicas de Alocação Polinomial de
Polos e por Controle por Alocação de Polos utilizando realimentação de estados, aplicados sobre um filtro de segunda ordem de
Sallen e Key. São apresentados os fundamentos teóricos das duas técnicas de projeto de controladores, além do processo de
identificação e os resultados práticos obtidos.
Palavras chave Identificação de sistemas, Controladores digitais, Alocação polinomial de polos, Alocação de polos por
realimentação de estados.
1. Introdução
Neste trabalho, será apresentado o projeto de
dois controladores digitais aplicados em uma planta
de segunda ordem, do tipo filtro de Sallen e Key,
mostrando-se a modelagem matemática realizada
para obtenção da representação devida.
A Figura 1 mostra o modelo da planta a ser
identificada, a qual foi primeiramente deduzida
utilizando-se os princípios da teoria de Circuitos
Elétricos. Em seguida, definiu-se os polos desejados,
obteve-se a planta desejada contínua, a qual foi
discretizada. Após, através de ensaios para aquisição
de dados para a planta, obteve-se um modelo discreto
que representou corretamente as características da
planta.
Figura Erro! Nenhum texto com o estilo especificado foi
encontrado no documento..1. Filtro de Sallen e Key de 2º ordem.
Posteriormente, projetou-se os controladores digitais
utilizando-se duas técnicas distintas: alocação
polinomial de polos e controle por alocação de polos
utilizando-se realimentação de estados. Os resultados
são comparados, de forma a se validar os
controladores obtidos e a modelagem matemática
realizada.
2. Modelagem Matemática
Desejou-se que o filtro de segunda ordem tivesse
polos p1 = -2 e p2 = -5 . Admitiu-se, arbitrariamente,
que
1 10C F
2 1C F
2 100R k
Para o modelo apresentado na Figura 1, obteve-se,
através da teoria de Circuitos Elétricos.
1 100R k
14K
4 13R k e 3 1R k
E a função de transferência contínua do filtro é:
107
140)(
2
sssH (1)
Discretizando-se ( )H s pelo método do segurador de
ordem zero com período de amostragem
62,5st ms, obtém-se a função de transferência
pulsada da planta (Filtro de Sallen e Key):
21
211
6456.0614.11
2047.02368.0)(
qqqH (2)
A estimação de parâmetros para esta planta foi feita
baseada no modelo ARX (do inglês, (Auto-
Regressive with exogenous input). Este modelo
possui a estrutura representada na Figura 2.
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As equações que descrevem este modelo são
definidas como:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )A q y k B q u k v k (3)
ou,
)()(
1)(
)(
)()( kv
qAku
qA
qBky (4)
Figura 2. Diagrama de blocos do modelo ARX.
Onde 1q é o operador de atraso de tal forma que
)1()( 1 kyqky e )(qA e )(qB são os polinômios
definidos em (5) e (6) e u(k) e y(k) são,
respectivamente, a entrada e a saída do sistema.
Nota-se neste modelo a presença do ruído , por isso
este modelo pode ser classificado como erro na
Equação 2.
1
1( ) 1 ;ny
nyA q a q a q (5)
1
1( ) ;nu
nuB q b q b q
(6)
O modelo ARX definido pelas Equações (3) e (4) é
dado pela representação esquemática da Figura 6.
Neste caso o ruído é modelado como um processo
branco filtrado por um filtro auto-regressivo, com
polos idênticos aos do processo: as raízes do
polinômio )(qA
.
3. Aquisição dos dados de entrada e saída
Um importante aspecto do processo de
identificação é a seleção e geração adequada de um
sinal de teste capaz de excitar suficientemente os
modos de interesse da planta para que se possa fazer
uma correta identificação. Um dos sinais mais
utilizados para esta finalidade é a conhecida
sequência binária pseudo-aleatória (SBPA).
Um sinal SBPA é uma sequência de pulsos
retangulares moduladas em largura de pulso. Uma
sequência SBPA se aproxima das características
espectrais do ruído branco dentro de uma faixa
escolhida para o projeto.
Primeiramente, devem-se encontrar as frequências
mínima e máxima do SBPA desejado. Utilizaremos
um valor 50 vezes menor que a frequência do sistema
para fmin e 2 vezes maior para fmax. A frequência pode
ser encontrada através de 2n f , como
3,1623 /n rad s , obtido a partir do modelo
calculado da planta, então:
Hzw
f n 0066.12
2*max
(7)
Hzw
f n 0101.050*2
min
(8)
msf
Tshift 2.331*3
1
max
(9)
911.
1logint
min2
shiftTfn (10)
A SBPA foi projetada para um Tshift de 331,2ms e
com numero de células igual a 9. A Figura 3 ilustra o
sinal SBPA injetado e a resposta da planta.
Figura 3. Resposta do sinal e o Sinal SBPA.
Analisando-se o espectro de frequência dois sinais de
entrada e saída, percebe-se claramente que o espectro
do sinal SBPA é aproximadamente plano na faixa em
que foi calculado (Figura 4b).
Figura 4. Espectro de frequência dos sinais de entrada e saída.
4. Estimação do modelo
Nas estratégias de controle digital, a técnica mais
utilizada de estimação paramétrica é a técnica dos
Mínimos Quadrados Não Recursivo(Aguirre, 2000.).
O método MQ é um esquema de estimação “off-line”
dos parâmetros, o qual é baseado na minimização da
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soma dos quadrados do erro de predição, entre a
saída do modelo estimado e saída da planta.
As técnicas de estimação são utilizadas para a
obtenção de um modelo dinâmico discreto, para o
processo, na forma:
1 0 1( ) ( 1) ... ( ) ( ) ( 1) ... ( )nA A nB By k a y k a y k n b u k d bu k d b u k d n (11)
Onde u(k) e y(k) são, respectivamente, os valores dos
sinais de entrada e de saída da planta, no instante
discreto k , onde k é um múltiplo inteiro do intervalo
de amostragem Ts.
Um enfoque para se obter uma estimativa dos valores
máximos de nA e nB é através do exame da
evolução da variância do erro de predição, como
função do número dos parâmetros nA + nB (ou seja,
da complexidade do modelo). O valor mais adequado
para nA + nB é escolhido observando-se a inflexão
da curva (Figura 5), selecionando um valor após o
ponto de inflexão, a partir do qual o valor de R(0) é
praticamente constante (Kuo,1992). A ordem do
sistema utilizada foi de segunda ordem (2 2 1)
amostrados com um intervalo de amostragem Ts =
62,5ms.
Figura 5. Gráfico comparativo entre a evolução da variância do
erro de predição, e o número dos parâmetros.
Antes que as medidas de entrada e saída da planta
sejam utilizadas pelas rotinas de estimação
paramétrica é necessário primeiramente processar os
dados para que se possa extrair a parte da informação
que realmente interessa. Este processo denomina-se
condicionamento dos sinais. As principais etapas no
condicionamento dos sinais são a eliminação de
níveis DC (estacionários e não estacionários) e o
escalonamento dos dados de entrada e saída.
Como consequência do processo de estimação do
modelo paramétrico da planta, obtém-se a seguinte
função de transferência pulsada:
21
211
5985.0564.11
1084.03575.0)(
qqqH (12)
5. Validação do sistema
Na Figura 6, é apresentada uma comparação
entre a saída estimada pelo modelo de quarta ordem e
as medidas da saída da planta (desvio da potência
ativa nos terminais do gerador), pode-se observar que
o modelo apresenta um desempenho bastante
satisfatório quanto à estimativa dos valores de saída
da planta.
Figura 6. Comparação entre a saída estimada pelo modelo e as
medidas da saída da planta.
Na Figura 7a, é apresentada a estimativa da função de
autocorrelacão do resíduo para o modelo ARX de
segunda ordem identificado. É possível observar que
a função autocorrelação do resíduo apresenta o perfil
de um impulso na origem, caracterizando um resíduo
quase que totalmente aleatório, indicando que a
informação determinística presente nos dados, foi
satisfatoriamente capturada no modelo ARX de
segunda ordem.
Na Figura 7b, é apresentada a estimativa da função
de correlação cruzada entre o resíduo e o sinal de
teste (SBPA), para o modelo de segunda ordem
identificado. Pode-se observar que, para fins práticos,
o resíduo apresenta-se satisfatoriamente
descorrelacionado das amostras do sinal de teste.
Figura 7. (a) A estimativa da função de auto-correlacão e a
estimativa da função de correlação cruzada entre o resíduo e (b) o
sinal de teste (SBPA) do modelo de quarta ordem estimado.
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6. Comparação entre os parâmetros do
modelo calculado e estimado.
Serão comparadas as características do modelo
matemático do filtro de Sallen e Key deduzido a
partir da física do processo e do modelo estimado do
filtro pelo método dos mínimos quadrados.
Tabela 1. Tabela de parâmetros.
Parâmetros
calculados
Parâmetros
estimados
1a -1,641
1a -1,564
2a 0,6456
2a 0,5985
1b 0,2368
1b 0,3575
2b 0,2047
2b 0,1084
Polos do modelo deduzido:
= 0,8825 e -0,7315.
Zero do modelo deduzido:
= -0,8643.
Polos do modelo estimado:
= 0,8961 e -0,6679.
Zero do modelo estimado:
= -0,3032.
7. Projeto de Controladores
7.1 Controle por alocação de polos utilizando
realimentação de estados
A técnica de alocação de polos consiste em
alocar os polos de malha fechada em qualquer
posição especificada do Plano s através da
realimentação de estados, empregando uma matriz de
ganhos apropriada, desde que o sistema seja de
estado completamente controlável(OGATA,1998).
Considera-se o sistema de controle dado pelo sistema
de Equações (13).
( ) ( ) ( )
( ) ( )
t t u t
y t t
x Ax B
Cx (13)
Onde se escolhe o sinal de controle como mostrado
na Equação (14), Figura 8.
( ) . ( )u t t K x (14)
u yB
A
K
x
C
Figura 8. Sistema de Controle em malha fechada.
Substituindo a Equação (14) no sistema de Equações
(13), tem-se a Equação (15) que representa o sistema
em malha fechada, onde os polos de malha fechada
são dados pelos autovalores da matriz A BK .
( ) ( ) ( )t t x A BK x (15)
Essa técnica de projeto de controladores começa com
a determinação dos polos de malha fechada, que são
obtidos em função das especificações da resposta
temporal ou da resposta em frequência para, em
seguida, calcular-se a matriz de ganhos de
realimentação, K.
A técnica de alocação de pólos por realimentação de
estados é válida para sistemas discretos de controle
da mesma forma que é para sistemas de controle
contínuo, (Kuo,1992).
Portanto, considera-se o sistema discreto de controle
dado pelas Equações (16).
( 1) ( ) ( )
( ) ( )
k k u k
y k k
x Gx H
Cx (16)
Onde, também, escolhe-se o sinal de controle como
dado pela Equação (17).
( ) . ( )u k k K x (17)
Um método de determinar K é a utilização da
fórmula de Ackermann dada pela Equação (18), a
qual é valida tanto para sistemas digitais quanto para
sistema contínuos, (NISE,2003)
10 0 1 ( )cpK GC (18)
Onde
C é a matriz de controlabilidade;
cp é o polinômio característico desejado e
G é a matriz de estados do sistema.
O integrador e o controlador utilizados no sistema de
controle da Figura 9 são dados, respectivamente,
pelas Equações (19) e (20), as quais são utilizadas
para implementar o algoritmo de controle
computacionalmente no dsPIC30f3014 do sistema
eletrônico.
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( ) ( 1) ( ) ( )v k v k r k y k (19)
( ) ( ) ( )Iu k Kx k K v k (20)
H)(ku
0K
1Z
G
K
)(kxC
)(kr )(kv )(ky
IZ 1
Controlador Integral Processo com retroação de estado
Figura 9. Sistema de Controle Digital com um integrador inserido
no ramo direto.
A partir das Equações (15), (18) e (19), obtém-se o
sistema de Equações (20). ( 1) ( )
( 1)( 1) ( ) 1
I
I
Kk kr k
Kv k v k
G HK Hx x 0
CG CHK 1 CH (20.a)
( )
( ) 0( )
ky k
v k
xC
(20.b)
Que para uma entrada degrau de amplitude r, tem-se
a Equação (21).
( 1) ( )
( 1) ( )
I
I
Kk k
Kv k v k r
G HK Hx x 0
CG CHK 1 CH (21)
À medida que k tende ao infinito, ( ) ( ) ( ) ( )v v r y ,
isto é,
( ) ( )y r r ,
Ou seja, não há erro de regime, portanto, em regime,
tem-se a Equação (22).
( ) ( )
( ) ( )
I
I
K
Kv v r
G HK Hx x 0
CG CHK 1 CH (22)
Sejam as equações de erro (23) e (24).
( ) ( ) ( )e k k x x x (23)
( ) ( ) ( )ev k v k v (24)
Tem-se a Equação (25).
( 1) ( ) ( )
( 1) ( ) ( )1
e e e
I
e e e
k k kK
v k v k v k
x x xG 0 HK
CG CH (25)
De onde se define a Equação (26).
( )
( )( )
e
I
e
kw k K
v k
xK
(26)
Então, obtém-se o sistema de Equações (27), que
representa o sistema de malha fechada aumentado. ˆ ˆ( 1) ( ) ( )k k w k G H (27.a)
ˆ( ) ( )w k k K (27.b)
Onde:
( )( )
( )
e
e
kk
v k
x
ˆ1
G 0G
CG
ˆ
HH
CH ˆ
IK K K
Portanto, se o sistema, dado pelas Equações (27), for
controlável, pode-se determinar K e KI utilizando a
fórmula de Ackermann, dada pela Equação (18),
através da matriz K :
1ˆ ˆˆ 0 0 1I cK p K K GC
Onde Cd é a matriz de controlabilidade do sistema.
Para o sistema desejado, desejou-se que
4 /n rad s e 0.9 . Utilizando-se das equações
apresentadas nesta seção, obteve-se o ganho:
ˆ 1.9994 -1.2913 -0.1134K
Ou seja,
1.9994 -1.2913
0.1134I
K
K
Para o sistema identificado, obteve-se a resposta ao
degrau mostrada na Figura 10.
Figura 10. Resposta ao degrau da planta identificada
Se acrescentarmos uma perturbação do tipo pulso
finito (problema de regulação) pode-se ver que o
sistema percebe tal perturbação e após um curto
intervalo de tempo, volta à condição desejada (Figura
11).
Figura 11. Problema de regulação. Sinal de referência (azul), de
controle (vermelho) e de saída (verde).
Finalmente, se os parâmetros da planta variarem
(mudança de ponto de operação), o controlador é
capaz de ajustar o sistema para garantir o
comportamento desejado:
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Figura 12. Problema de regulação.
7.2 Controle por Alocação polinomial de polos.
Pela técnica da alocação polinomial de polos,
pode-se projetar um controlador digital do tipo RST
para sistemas estáveis ou instáveis (LANDAU,2006)
A planta a ser controlada possui a forma:
)(
)(1
11
qA
qBqqH
d
(28)
Onde A e B são polinômios do tipo 1 1
1( ) 1 ;na
naA q a q a q (29)
1 1
1( ) ;nb
nbB q b q b q
(30)
E a representação em malha fechada do diagrama de
blocos é dada pela Figura 13:
Figura 13. Diagrama de blocos para alocação polinomial de pólos.
A função de transferência em malha fechada é:
)(
)()(
)()()()(
)()(
1
111
11111
111
qP
qBqTq
qRqBqqSqA
qBqTqqH
d
CL (31)
Para a questão da regulação do sistema, deve-se
computar os polinômios R e S, que são definidos
como: 1 1
0 1( ) ;nr
nrR q r r q r q (32)
1 1
1( ) 1 ;ns
nsS q s q s q
(33)
Para encontrar os valores de R e S, deve-se resolver a
seguinte identidade de Bezout, definida pela Equação
(34).
)()()()( 111111 qRqBqqSqAqP
(34)
Através da Equação (35) pode-se resolver tal
identidade.
pxM (35)
Onde:
nrns
T rrssx ,...,,,...,,1 01 (36)
0,...,0,,...,,...,,1 1 npi pppp (37)
E a matriz M é definida como:
onde
1,'
...,2,1,0,0'
diparadii
i
bb
diparab
Para o problema de rastreamento, deve-se encontrar
um valor para T(q-1), que é identificado no diagrama
de blocos mostrado na Figura 14.
Figura 14. Diagrama de blocos para o problema de rastreamento
A função de transferência em malha fechada é dada
por:
)1(
.)(
)(1*
1
111
B
qB
qA
qBqqH
m
md
CL
(38)
E tem-se,
T(q-1
)=G.P(q-1
) (39)
Onde
0)1(,1
0)1(,)1(
1
Bse
BseBG
(40)
Após os cálculos devidos, desejando-se também que
a função tenha 4 /n rad s e 0.9 , obteve-se os
seguintes parâmetros do controlador:
1 1 2
1 1 2
1
2,0883 3,25 1,2691
1 0,7701 0,2299
( ) 0,1075
R q q q
S q q q
T q
A resposta ao degrau da planta está na Figura 15.
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Figura15. Resposta ao degrau da planta identificada.
Como para o caso anterior, se for acrescentada uma
perturbação do tipo pulso finito, percebe-se que o
sistema detecta essa mudança, realiza um ajuste
rápido e garante a saída desejada.
Figura 16. Problema de regulação. Sinal de referência (azul), de
controle (vermelho) e de saída (verde)..
Finalmente, se o ponto de operação do sistema
mudar, ainda assim o controlador garante o
comportamento desejado para uma margem aceitável
de valores (robustez).
Figura 17. Problema de regulação.
8. Conclusão
Este trabalho apresentou um resumo de um processo
de identificação e modelagem de um sistema. Com
essas informações, pôde-se projetar dois
controladores com duas técnicas distintas,
comprovando-se que ambas são muito boas para
tratar de problemas de regulação e rastreamento,
garantindo robustez aos controladores.
Referências Bibliográficas
Aguirre, L.A.– “Introdução à Identificação de
Sistemas: Técnicas Lineares e Não-Lineares
Aplicadas a Sistemas Reais” – Editora UFMG,
Belo Horizonte, 2000.
OGATA, K. “Engenharia de Controle Moderno”,
LTC, 1998.
NISE, Norman S. “Engenharia de Sistemas de
Controle”, 3ª ed., LTC, 2003.
Landau, D. Ioan e Zito,Gianluca – “Digital Control
Systems, Design, Identification and
Implementation ” – Springer, 2006
Kuo, Benjamin C. Digital Control Systems. 2 ed New
York. Oxford Universit Press. 1992.