1

Aula 1 _ Função Polinomial do 2º Grau

Professor Luciano Nóbrega

Maria Auxiliadora

ÁLGEBRA

2

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

Uma função polinomial do 2º grau (ou simplesmente, função do 2º grau) é uma relação entre as variáveis “y” e “x”, tal quef(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c ∈ R, e a ≠ 0.

EXEMPLOS:f(x) = 3x2 + 2x – 3 ; f(x) = (–½).x2 – 9 f(x) = 5x – 2x2

EXEMPLO:Encontre os valores de “a”, “b” e “c” nos exemplos acima.

3

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

DEFINIÇÂOUma função f: R ⟶ R é do 2º grau quando a todo valor de “x”

está associado um único valor y = f(x) = ax2 + bx + c, com “a”, “b” e “c” sendo números reais e a ≠ 0

EXEMPLO:f(x) =1 + 4x2 – 3x; a = 4, b = –3 e c = 1OBS: Toda função do 2o grau corta o eixo y no termo independente de x, ou seja, corta o eixo y na “altura” c.

x

y

EXEMPLO:f(x) = – x2 – 2x; a = –1, b = –2 e c = 0OBS: Quando “b” ou “c” é igual a zero, dizemos tratar-se de uma função incompleta do 2º grau.

x

y

4

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

GRÁFICOS DA FUNÇÃO DO 2º GRAUO gráfico da função do 2º determina uma curva denominada “PARÁBOLA”.

Inicialmente, podemos construir o gráfico de uma função do 2º grau, simplesmente, atribuindo valores para “x” e calculando os valores de “y”. Vejamos:Construa o gráfico de f(x) = x2/2 +3.

x

y

5

Raízes da Função do 2º grau

É todo número x que possui imagem nula. Isto é, f(x) = 0. As raízes da função determinam onde o gráfico intercepta o eixo “x”.Determinando os zeros da função do 2º grauf(x) = ax2 + bx + c, fazendo f(x) = 0, temos:

f(x) = ax2 + bx + c = 0 Multiplicando os dois membros por 4a e “passando” o termo independente para o 2º membro, temos:

4a2x2 + 4abx= – 4ac

EXEMPLOS:Determine as raízes (ou zeros) de cada uma das seguintes equações: a) f(x) = 2x2 – 5x+ 9 b) f(x) = (–3/4)x2

c) f(x) = –x2 + 49 d) f(x) = x2 – 6x + 5 e) f(x) = –x2 +6x – 5

Somando “b2” nos dois membros, temos:

4a2x2 + 4abx + b2= b2 – 4acFatorando o Trinômio Quadrado Perfeito que surgiu no 1º membro e fazendo b2 – 4ac = ∆, temos:

(2ax + b)2 = ∆ 2ax + b = ±√∆ 2ax = – b ±√∆

6

Testando os Conhecimentos

Sendo x‟ = (– b + √∆)/2a e x” = (– b –√∆)/2a , determine:a) x‟ + x”b) x‟ . x”

7

Vértices da Função do 2º grau

Conhecer o vértice da parábola significa conhecer as coordenadas desse ponto no gráfico.

A notação V(xv, yv) representa as coordenadas do vértice dadas

pelo “x do vértice” (xv) e pelo “y do vértice” (yv) .

O vértice da parábola é o ponto extremo da função do 2º grau dado pelo ponto

a4;

a2

bV

Onde:

xv = –b/2a e yv = –∆/4a

Essas fórmulas são obtidas da seguinte maneira:1º) Determinamos xv como sendo a média aritmética entre x‟ e x”;2º) Substituímos o valor encontrado (-b/2a), na função genérica ƒ(x) = ax2 +bx + c, e obtemos yv.Vamos tentar?

8

Testando os Conhecimentos

Observe os gráficos ao lado.Na 1ª figura, temos os gráficos das funções f(x) = –x2, f(x) = –x2 + 1 e f(x) = –x2 + 3

Na 2ª figura, temos os gráficos das funções f(x) = x2, f(x) = (x + 1)2 e f(x) = (x – 3)2

x

y

x

y

O que podemos concluir à respeito do coeficiente “a” de x2 ?

Como seria o esboço do gráfico de f(x) = –x2 –2 ?

Como seria o esboço do gráfico de f(x) = (x + 2)2 ?

Quais são os vértices dos gráficos de todas as funções anteriores?

O que podemos concluir com relação ao eixo de simetria e o coeficiente “b”? Se b = 0, parábola simétrica ao eixo y;

Se b < 0, o eixo de simetria está à direita do eixo y;Se b > 0, o eixo está à esquerda do eixo y.

9

O Papel do Discriminante (DELTA)

Quando o valor de ∆ = 0 , podemos verificar que x‟ = x”.

EXEMPLO:Sendo y = f(x) = x2 + 2x + 1, calcule o valor de delta e justifique o que acontece com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico.

SOLUÇÃO:

Como ∆ = 0, então temos um único zero para a função.

Esboço do gráfico:x„ = x” = (–b±√∆)/2a = –1

c = 1

xv = –b/2a = - (2)/2.(1) = -1 yv = –∆/4a = –(0)/4.(1) = 0

10

O Papel do Discriminante (DELTA)

Quando o valor de ∆ > 0 , podemos verificar que x‟ ≠ x”.

EXEMPLO:Sendo y = f(x) = x2 –4x + 3, calcule o valor de delta e justifique o que acontece com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico.

SOLUÇÃO:

Como ∆ > 0, então temos duas raízes distintas para a função.

Esboço do gráfico:

x„ = (–b –√∆)/2a = 1

x" = (–b +√∆)/2a = 3

c = 3

xv = –b/2a = - (-4)/2.(1) = 2 yv = –∆/4a = –(4)/4.(1) = –1

1111

O Papel do Discriminante (DELTA)

Quando o valor de ∆ < 0 , podemos verificar que NÃO existe raiz.

EXEMPLO:Sendo y = f(x) = x2 –x + 2, calcule o valor de delta e justifique o que acontece com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico.

SOLUÇÃO:

Como ∆ < 0, então NÃO temos nenhuma raiz.

Esboço do gráfico:NÃO existe raiz. Ou seja, o gráfico NÃO intercepta o eixo “x”.

c = 2

xv = –b/2a = - (-1)/2.(1) = 1/2

yv = –∆/4a = –(-7)/4.(1) = 7/4

12

O Papel do Discriminante (DELTA)

RESUMINDO:

a > 0

a < 0

13

Máximos e Mínimos da Parábola

Existem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas está relacionada com a questão de “MÁXIMOS” e “mínimos”.Dependendo do sinal do coeficiente “a”, a função terá um ponto de máximo ou um ponto de mínimo. Em ambos os casos, como já vimos, tal ponto é denominado de vértice da parábola.EXEMPLO:Sabe-se que o custo C (em reais) para produzir x unidades de um certo produto é dado por: C = x2 – 80x + 3000. Determine:a) A quantidade de unidades que a empresa deveria produzir,

para que seu custo fosse mínimo.b) O valor mínimo desse custo de produção.

SOLUÇÃO:a) O número de unidades ideal é dado pelo valor de xv .

b) Basta agora encontrar o valor da função custo (C), para x = 40.

14

Estudo do Sinal

LEMBRE-SE:Estudar o sinal de uma função significa avaliar para quais valores de x temos f(x) < 0, f(x) = 0 ou f(x) > 0.

1º CASO: a > 0

2º CASO: a < 0

+ +–

+ + + ++

– –+

– – – ––

15

Inequação do 2º Grau

Uma inequação do 2º grau é uma função do 2º grau que apresenta um sinal de desigualdade. Assim:

ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0ax2 + bx + c ≤ 0 ax2 + bx + c ≥ 0

EXEMPLO:Determine todos os possíveis números inteiros positivospara os quais satisfaça a inequação x2 – 6x + 8 < 0

EXEMPLO:Determine o conjunto solução da inequação1000 < −x2 +140x −1875 < 2400

16

Inequação Produto e Quociente

Uma inequação do 2º grau é uma função do 2º grau que apresenta um sinal de desigualdade. Assim:

ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0ax2 + bx + c ≤ 0 ax2 + bx + c ≥ 0

EXEMPLO: Resolva em R a inequação (x2 – 25) / (–2x + 4) ≤ 0

17

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

1 – Sabe-se que, sob certo ângulo de tiro, a altura máxima

atingida por uma bala, em metros, em função do tempo, em segundos, é dada por h(t) = –20t2 + 200t .Qual a altura máxima atingida pela bala?

2 – (Prise-2005) Ao chutar uma lata, um cientista observou que sua trajetória seguiu a lei matemática h(t) = 6 + 4t – t², na qual h é a altura, em metros, atingida pela lata em função do tempo t, em segundos, após o chute. Com base nesta situação e analisando as afirmativas a seguir:I. O gráfico que traduz a função acima descrita é uma parábola com concavidade voltada para cima.II. A altura máxima atingida por essa lata é de 10m.III. Essa função possui duas raízes reais.É correto afirmar que:a) todas as afirmativas são verdadeirasb) todas as afirmativas são falsasc) somente a afirmativa I é falsad) somente a afirmativa II é verdadeirae) somente a afirmativa III é verdadeira

18

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

3 – (UFRGS) Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro

segue uma trajetória plana vertical de equaçãoy = –1/7x2 + 8/7x+2, na qual os valores de x e y são dados em metros. Oscar acerta o arremesso, e o centro da bola passapelo centro de cesta, que está a 3 metros de altura.Determine a distância do centro da cesta ao eixo y.

4 – (UMC-SP) Uma loja fez campanha publicitária para vender seus produtos importados. Suponha que x dias após o término da campanha, as vendas diárias tivessem sido calculadas segundo a funçãoy = -2x2 + 20x + 150, conforme o gráfico.Calcule:a) depois de quantos dias, após encerrada a campanha, a venda atingiu o valor máximo.b) Depois de quantos dias as vendas se reduziram a zero.

19

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

Resolva os exercícios do livro:P.156 _ 1 e 3P. 157 _ 9, 10 e 12P.160 _ 18, 19, 20 e 26P. 165 _ 28, 32 e 33P. 181 _ 49, 53, 54, 55 e 58P.182 _ 60 e 62 P. 183 _ 65 e 69P. 184 _ 78, 79, 80 e 81OBS: Foram selecionados 25 exercícios de um total de 85 exercícios do referente capítulo do livro.

Vá correndo acessar...Você só paga R$ 5,00(Brincadeirinha... É de graça!)