6.realimentação de variáveis de estado

Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.

J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo

1

6.Realimentação de variáveis de estado

Projecto de controladores para sistemas biológicos baseados na

realimentação linear de variáveis de estado.



2

Problema (Projecto de um regulador por RLVE) Dada uma realização de estado controlável e observável

)()()()( tCxytbutAxtx =+=&

com polinómio característico

nnn asasAsIsa +++=−= − K1

1)det()(

Lei de controlo admissível:

)()( tKxrtu −=

Começaremos por considerar 0=r (problema de regulação).

Determinar o vector de ganhos K de modo a que o polinómio característico

da cadeia fechada seja nnn sss ααα +++= − K1

1)(



3

b+

+

r +

-

K

C

A

yx(t)x.

)()()()()( tKxrtutbutAxtx −=+=&

Sistema em cadeia fechada:

)()()()( tbrtxbKAtx +−=&



4

Polinómio característico do sistema em cadeia fechada:

)det()( bKAsIsak +−=

Objectivo:

Determinar K por forma a que

)()( ssaK α=

Polinómio característico do

sistema realimentado.

Depende do ganho K

Polinómio característico

especificado

Podemos ajustá-lo

por escolha do

ganho K



5

Método dos coeficientes indeterminados A equação a resolver é

)()det( sbKAsI α=+−

nnnn

Kn

Kn ssasas αα +++=+++ −− KK 1

111

)(saK=


que se obtém para um

dado K


especificado. Traduz a

dinâmica pretendida

para a cadeia fechada



6

nnnn

Kn

Kn ssasas αα +++=+++ −− KK 1

111

Igualando os coeficientes dos monómios do mesmo grau em ambos os

polinómios obtém-se o sistema de equações lineares verificado pelo ganho

K :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

nnK

K

a

a

α

αM

11

Quando é que este sistema tem solução nαα ,,1 K∀ ?

Veremos que existe sempre solução se o par ),( bA fôr controlável.



7

Fórmula de Bass-Gura

Posicionamento arbitrário dos pólos da cadeia fechada sse ),( bA é

controlável. Nestas condições, o vector de ganhos é calculado por 1)( −−−= CMaK Tα

em que [ ]bAbAAbbbACC n 12 ||||),( −== L é a matriz de controlabilidade associadsa

ao par ),( bA e

[ ]nαααα L21=

[ ]naaaa L21= ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

− 10

1001

11

1

aa

aM

n L

OOM

MO

L



8

Exercício (fórmula de Bass-Gura) Considere o sistema definido pelo diagrama de blocos:

u 2 1s

1s

xx 12

a) Obtenha uma realização de estado com variáveis de estado 1x e 1x .

b) Através da fórmula de Bass-Gura determine os ganhos de um controlador

de realimentação de variáveis de estado que coloque os pólos em j±−1 .

c) Resolva o mesmo problema pelo método dos coeficientes indeterminados.



9

uxxx22

21

==

&

&

uxx

xx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡20

0010

2

1

2

1

&

&

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

0220

),( AbbbAC ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

02/12/10

),(1 bAC

Polinómio característicop associado à matriz A :

2

01

)det()( ss

sAsIsa =

−=−= (como era de esperar!)

Recorde-se a nomenclatura:

212)( asassa ++= donde [ ]0000 21 === aaa



10

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1001

101

1aM ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

1001TM

Polinómio característico desejado:

22)( 2 ++= sssα (pólos em j±−1 )

A aplicação da fórmula de Bass-Gura conduz aos ganhos

[ ] [ ]( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−= −−

021

210

1001

0022),()( 1 bACMaK Tα

[ ]11=K



11

Problema (que nos conduzirá à demonstração da fórmula de Bass-Gura):

Há alguma realização de estado em que o cálculo do ganho seja trivial?

Sugestão: Considere a forma canónica do controlador

1/s 1/s 1/su y

b1

b2

b3

-a1

-a2

-a3

x1x2x3

3213

322

1)(asasas

bsbsbsG+++

++=

Desenhe sobre este o

diagrama de blocos com a

realimentação das variáveis

de estado.



12

1/s 1/s 1/su y

b1

b2

b3

-a1

-a2

-a3

x1x2x3

-k1

-k2

-k3

−α1

−α2

−α3

Conclusão:

Na forma canónica do controlador

o cálculo dos ganhos é feito

simplesmente por

aKc −= α



13

Realização

de estado

),,( cbA

Forma canónica

do controlador

),,( ccc cbA

Transformação de coordenadas

Tc MbACTTxx ),(==

Ganhos na forma canónica

do controlador

Ganhos na

realização original

Como inverter a transformação para os ganhos?

Difícil (Objectivo) Fácil



14

Sugestão para relacionar os ganhos nas coordenadas originais x e da forma

canónica do controlador, cx :

Exprimir o controlo u como retroacção de x e exprimir x em cx para obter

uma relação entre K e cK .

cKTxKxu ==

cK



15

Realização

de estado

),,( cbA

Forma canónica

do controlador

),,( ccc cbA

Transformação de coordenadas

Tc MbACTTxx ),(==

Ganhos na forma canónica

do controlador

aKc −= α

Ganhos na

realização original

1−= TKK c Transformação inversa aplicada aos ganhos

Difícil (Objectivo) Fácil



16

Fórmula de Ackerman Alternativamente, o vector de ganhos do controlador pode ser cálculado pela

fórmula de Ackerman, que não necessita do conhecimento explícito do

polinómio característico do sistema em cadeia aberta:

[ ] )(),(100 1 AbACK α−= L

Última linha da inversa da

matriz de controlabilidade


desejado calculado para

As =



17

Exemplo (integrador duplo) Retome-se o problema do acetato 8.

A última linha da inversa da matriz de controlabilidade é [ ]02/1 .

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=++=

2022

22)( 2 IAAAα

Os ganhos calculados pela fórmula de Ackerman são assim:

[ ] [ ]112022

02/1 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=K

que (como era de esperar) coincidem com os obtidos com a fórmula de Bass-

Gura.



18

Questão (prática e da maior importância!) Porque não podemos transformar um FIAT PUNTO num Ferrari por

retroacção da velocidade com um ganho muito elevado?

⇔

Infelizmente (!…) a fórmula de Bass-Gura mostra que os ganhos são tanto

maiores quanto o deslocamento dos pólos, o que para ganhos muito elevados

leva a uma saturação da entrada manipulada.

C V



19

Problema: Estimação do estado

Dada a realização de estado { }cbA ,, de um sistema:

)()()()()(

tcxtytbutAxtx

=+=&

Determinar uma estimativa )(ˆ tx de )(tx por observação da entrada e da

saída. Esta estimativa deve ser recursiva, i.e. definida por uma equação

diferencial cuja integração “produza “ )(ˆ tx para todo o t .

u(t)y(t)

x(t)OBSERVADORSISTEMA

^



20

1ª SOLUÇÃO: Observador em cadeia aberta Réplica do sistema, excitada pela mesma entrada:

u(t)y(t)

SISTEMA

x(t)b

A

^

Será que funciona?



21

Erro de estimação no observador em cadeia aberta

Qual a equação satisfeita pelo erro de estimação xxx ˆ~ −= ?

Subtraindo a equação do estimador à do estado do sistema:

bubuxxAxx

buxAx

buAxx

−+−=−

+=

+=

)ˆ(ˆ

_____________________ˆˆ

&&

&

&

donde xAx ~~ =&

Conclusão: Com o observador em cadeia aberta, o erro de estimação do

estado apenas tende para zero para sistemas estáveis em cadeia aberta e

com uma taxa que depende dos valores próprios de A .



22

2ª SOLUÇÃO: Observador em cadeia fechada (assimptótico) u(t) y(t)

SISTEMA

x(t)b

A

^

L

Cy(t)^

y(t)-y(t)^+-

++

+

Qual a nova equação satisfeita pelo erro? Sugestão: Escreva as equações do sistema e do observador e subtrai-as usando a equação para y(t).

[ ])(ˆ)()()(ˆ)(ˆ txCtyLtbutxAtx −++=&

Vector coluna com

dim L= dim x

Quando a estimativa é a correcta, o termo de

correcção xcy ˆ− anula-se e a estimativa

segue a dinâmica do sistema verdadeiro.



23

[ ]

[ ]xcyLbubuxxAxx

xcyLbuxAx

buAxx

ˆ)ˆ(ˆ

_______________________________ˆˆˆ

−−−+−=−

−++=

+=

&&

&

&

Conclusão: Para o observador em cadeia fechada, a equação diferencial que

traduz a evolução no tempo do erro de estimação é

[ ] )(~)(~ txLcAtx −=&

y=cx



24

Dinâmica do erro do observador assimptótico

[ ] )(~)(~ txLcAtx −=&

Se o par ),( cA fôr observável, podemos posicionar arbitrariamente os valores

próprios da matriz LcA − .

Pelo facto de (para realizações observáveis) o ganho L poder ser

dimensionado por forma a que o erro tenda assimptotiocamente para zero,

este tipo de observadores diz-se “assimptótico”.



25

Exemplo: Observador para o integrador duplo Considere o sistema (integrador duplo):

u 1s

1s

x =yx 12

1. Desenhe um diagrama de blocos de um observador assimptótico do estado

dadas as observações da saída

2. Dimensione o vector de ganhos do estimador por forma a que a matriz da

dinâmica do erro tenha os valores próprios em –1.

Sugestão: Determine as matrizes A, b, c do sistema; Escreva a matriz A-Lc e determine o seu

polinómio característico para L genérico; Dimensione L aplicando o método dos coeficientes

indeterminados.



26

u 1s

1s

x =yx 12

1

2

21

xyuxxx

===

&

&

[ ]xy

uxx

xx

0110

0010

2

1

2

1

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡&

&

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

01

010010

2

1

2

1

LL

LL

LCA 212

2

1 1)det( LsLs

sLLs

LcAsI ++=−+

=+−

Pretendemos os valores próprios da dinâmica do erro do observador nas

raízes do polinómio

22)1( 22 ++=+ sss

Pelo método dos coeficientes indeterminados:

22 21 == LL



27

Escolha dos valores próprios da dinâmica do erro

A escolha dos valores próprios de LcA − resulta do seguinte compromisso:

• Não podem ser muito pequenos, para que o erro não tenda lentamente para

zero;

• Não podem ser muito grandes pois, se o estimador fôr muito rápido, pode

ser “enganado” pelos erros de modelação. Em particular, o ganho de malha

resultante quando se fecha a cadeia realimentando as estimativas do

estado deve respeitar a condição de estabilidade robusta.



28

Fórmula de Bass- Gura para o cálculo dos ganhos do Observador Demonstre o correspondente à fórmula de Bass-Gura para o dimensionamento dos ganhos do observador.

Sugestão: Escreva uma equação verificada pelo erro na estimativa do estado

com um observador assimptótico e faça uma transformação de coordenadas

que a leve à forma canónica do observador. A transformação de coordenadas

é

xo = Tx

T=M O(A,c)



29

M = 1 0 0

101

1

1 1

L

O M

M M O

L

a

a an−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

e os ai são os coeficientes do polinómio característico do sistema em cadeia

aberta. A forma canónica do observador é tal como se mostra na figura

seguinte:

b3 b2 b1

x1=yx2x31/s 1/s 1/s

-a3 -a2 -a1

u



30

Quando o estado não está acessível para medida directa, uma ideia natural

consiste em realimentar a estimativa produzida por um observador

assimptótico. Tem-se a estrutura do compensador (a maneira correcta de

introduzir a referência será discutida posteriormente):

Sistema

Compensador

r +

-

K x(t)

u(t)b

A

c

L

b

A

c

+

-

++

+

++

y(t)x(t)

^

Sistema:

)()()()()( tcxtytbutAxtx =+=&

Observador:

)()()(ˆ)()(ˆ tbutLcytxLcAtx ++−=&

Lei de controlo:

)(ˆ)( txKtu −=

O sistema compensado é de ordem 2n.



31

Teorema de Separação O polinómio característico do sistema global (sistema em cadeia aberta e

observador, com realimentação da estimativa do estado) é o produto dos

polinómios característicos de bKA − e de LcA − .

Este teorema diz-nos que podemos projectar o vector de ganhos K como se

realimentássemos o estado e não a sua estimativa, e o vector de ganhos do

observador L como se estimássemos o estado em cadeia aberta. O

observador e o controlador podem pois ser projectados separadamente.



32

Nota sobre o Teorema de Separação: Em geral, para sistemas não lineares,

o controlador e o observador não podem ser projectados separadamente. Isto

axcontece porque a variável de controlo tem um efeito chamado dual: Por um

lado, permite efectuar a acção de regulação da saída; por outro lado

proporciona a excitação suficiente para se estimar o estado. Estes dois efeitos

conflituam e a escolha do controlo deve ser feito como um compromisso entre

ambos. O efeito de dualidade é conhecido (no âmbito do Controlo Adaptativo)

desde os anos 50, pelos trabalhos de Feld’baum. No caso linear, o conflito

não existe, tendo lugar o teorema de separação. Há classes de sistemas não

lineares para os quais é possível demonstrar “teoremas de separação”. Isto

constitui um tema de investigação actual.



33

Lema

Sejam CA, matrizes quadradas. Então:

CACBA

⋅=0

Demonstração:

Tem-se: CC

I=

00

e ainda AIBA

=0

Como ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡IBA

CI

CBA

000

0 o resultado conclui-se por o determinante de um

produto de matrizes ser o produtos dos determinantes dos factores.



34

Demonstração do teorema de separação Equações do sistema e do controlador/observador:

)()()()()( tcxtytbutAxtx =+=&

)()()(ˆ)()(ˆ tbutLcytxLcAtx ++−=&

)(ˆ)( txKtu −=

Em termos do estado x do sistema a controlar e do estado x̂ do observador,

estas equações escrevem-se

)(ˆ)()( txbKtAxtx −=&

)(ˆ)()()(ˆ txbKLcAtLcxtx −−+=&



35

)(ˆ)()( txbKtAxtx −=&

)(ˆ)()()(ˆ txbKLcAtLcxtx −−+=&

Convém trabalhar com o erro de estimação )(ˆ)()(~ txtxtx −= e não com a

estimativa do estado. Isto corresponde a fazer uma transformação invertível

de coordenadas no estado, pelo que os valores próprios do sistema global

não são alterados. Subtraindo as duas equações anteriores, obtém-se

)(~)()(~ txLcAtx −=&

O sistema global é pois descrito pelas equações

)(~)()(~)(~)()()(

txLcAtx

txbKtxbKAtx

−=

+−=&

&



36

Equações do estado do sistema global:

)(~)()(~)(~)()()(

txLcAtx

txbKtxbKAtx

−=

+−=&

&

Na forma matricial:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡xx

LcAbKbKA

xx

~0~&&

Pelo lema anterior, o polinómio característico desta matriz (dinâmica do

sistema global) é:

44 344 2144 344 21observadorrcontrolado

LcAsIbKAsILcAsI

bKbKAsI)det(.)det(

0+−+−=

+−−+−



37

Conclusão: As frequências naturais agrupam-se em dois tipos de termos:

• Uma parte dependem apenas do ganho K do controlador, como se fosse

feita uma retroacção do estado e não da sua estimativa.

• A outra parte pedende apenas do ganho L do observador, como se o

controlador estivesse ausente.



38

Exemplo: Pêndulo invertido

mLsin φ

φ

zξ

)()()( tLttg φξφ &&&& +=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+==

)(sin)()()(sin)(tLttz

tmgtzmφξ

φ&&

Modelo linear válido para ângulos pequenos:

φφ ≅sin ⎩⎨⎧

+==

)()()()()(

tLttztgtzφξ

φ&&



39

)()()( tLttg φξφ &&&& +=

Definam-se:

Variáveis de estado: φφ &== 21 xx Entrada manipulada: Lu /ξ&&=

Obtém-se o modelo de estado:

uxLg

x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10

0/10

& [ ]xy 01=

Para concretizar toma-se 9/ =Lg .



40

uxx ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10

0910

& [ ]xy 01=

Projecto do controlador supondo acesso ao estado:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

2121 9

101

00910

kkkkbKA

)9(9

1)det( 12

2

21

ksksksk

sbKAsI +−−=

−−−−

=+−

Polinómio característico especificado: 22)( 2 ++= sssα

Comparando os coeficientes dos dois polinómios, obtém-se

211 21 −=−= kk



41

A estrutura do observador é uma réplica do sistema com as derivadas dos

estados adicionadas do erro da saída amplificado pelos ganhos 1L e 2L :

9

1/s 1/s

9

+

-

xx

-

+

- +

+1/s 1/s

L

L

xx yu

^^

1

1

2

2

1

2



42

Para o dimensionamento dos ganhos do observador, temos de posicionar os

valores próprios da matriz LcA − .

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

091

010910

2

1

2

1

LL

LL

LcA

99

1)det( 21

2

2

1 −++=−

−+=+− LsLs

sLLs

LcAsI

Se desejarmos os valores próprios nas raízes de

3284)4()( 222 ++=++= ssssoα

Os ganhos do observador devem ser

418 21 == LL



43

O controlador é obtido realimentando as estimativas dos estados:

9

1/s 1/s

9

+

-

xx

-

+

- +

+1/s 1/s

L

L

xx yu

^^

1

1

2

2

1

2

-

k k12



44

Resposta na regulação de uma condição inicial não nula

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12



45

Função de transferência do compensador Modelo do processo em cadeia aberta:

cxybuAxx

=+=&

bAsIcsGp1)()( −−=

Modelo de estado do observador:

LybuxLcAx ++−= ˆ)(&̂

LyxbKLcAx +−−= ˆ)(&̂

xKu ˆ−=

xKu ˆ−=



46

LyxbKLcAx +−−= ˆ)(&̂

xKu ˆ−= O compensador (conjunto observador+retroacção da estimativa do estado) é

descrito, por estas equações, como tendo dinâmica bKLcA −− , entrada y e

saída u . A função de transferência do compensador é pois

LbKLcAsIKsGc1)()( −++−−=

G (s)

G (s)u y

Processo

Compensadorc

p



47

Exemplo: Função de transferência do compensador

[ ]xy

uxx

xx

0110

0010

2

1

2

1

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡&

&

2

1)(s

sGp =

Pólos da cadeia fechada desejados, dados pelas raízes do polinómio

12)( 2 ++= sssα ⇒ Ganhos do controlador: [ ]21=K

Dinâmica do erro do observador:

12)( 2 ++= sssα ⇒ Ganhos do observador ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

255

L

Função de transferência do compensador: 77.421.3)62.0(4.40)(

jsssGc ±+

+−=



48

Como se vê, a função de transferência do compensador e, por conseguinte o

ganho de malha, dependem dos ganhos K e L . Estes ganhos podem pois

ser encarados como “botões de ajuste” que permitem moldar o ganho de

malha.



49

Seguimento de referências não nulas Temos considerado até agora o problema de projectar controladores que

levem o estado do processo para zero, rejeitando assim perturbações que

tenham causado condições iniciais não nulas. Este problema é conhecido

como problema de regulação.

Em geral, no entanto, pretendem seguir-se referências não nulas,

eventualmente variáveis. Neste último caso o problema diz-se problema do

servomecanismo (isto é uma “herança dos tempos em que os controladores

visavam movimentar sistemas mecânicos, por exemplo lemes de navios –

anos 20 – ou canhões – anos 40).



50

Possibilidades de inclusão da referência Modelo do processo:

cxybuAxx =+=&

Controlador:

MrLyxLcbKAx ++−−= ˆ)(&̂

NrxKu +−= ˆ

Há várias possibilidades para a escolha de M (vector) e N (escalar).

De acordo com estas possibilidades resultam vários tipos de resposta à

referência. Vamos considerara duas hipóteses.



51

a) Escolher M e N por forma a que

a equação de erro não dependa da referência r Com a lei de controlo incorporando a referência, o erro satisfaz

MrLyxLcbKANrxKBAxxx

++−−−+−+=−

ˆ)()ˆ(&̂&

ou seja

rMbNxLcAx43421

&

0

)(~)(~

=

−+−=

Para que este termo se anule, deve escolher-se

bNM =



52

Com esta escolha ( NbM = ), tem-se:

NbrLyxLcbKAx ++−−= ˆ)(&̂

Reagrupando:

LyNrxKbxLcAxu

++−−=−=43421

& )ˆ(ˆ)(ˆ

Ou seja, as equações do controlador podem escrever-se:


NrxKu +−= ˆ



53

Estrutura do controlador por forma a que o erro de estimação do estado não dependa da referência


NrxKu +−= ˆ

r N

K

+

-

u y

x

Processo

Observador^



54

b) Escolher M e N por forma a que o erro de seguimento yre −= seja usado no controlador

MrLyxLcbKAx ++−−= ˆ)(&̂

NrxKu +−= ˆ Escolhendo

LMN −== 0

O controlador fica definido pelas equações

LexLcbKAx −−−= ˆ)(&̂

xKu ˆ−=



55

Estrutura do compensador por forma a usar o erro de seguimento

LexLcbKAx −−−= ˆ)(&̂

xKu ˆ−=

Observador ProcessoKuxer +

-

y^



56

Inclusão de efeito integral

Uma maneira de introduzir o efeito integral é aumentar o estado x do

processo com o estado Ix do integrador do erro. Repare-se que derivando

∫ −=t

I drytx0

))(()( ττ para .constr = , obtém-se )()( tcxtxI =&

O conjunto sistema+integrador é pois descrito pelo modelo de estado

aumentado:

ub

xx

cA

xx

II⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

0&

&



57

ub

xx

cA

xx

II⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡00

0&

&

A este modelo podem ser aplicadas as técnicas estudadas antes. Em

particular, se o estado fôr acessível,

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

II x

xkKu 0

e tem-se a estrutura seguinte para o controlador

r -

+

1s

-k

-k

Processo

x

yxI

o

I

+

+

6.realimentação de variáveis de estado

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