Sistema Numérico e Representações

Prof. Fábio MartinsTurma: 1-SIMA/06

2° Semestre

Sistema de Conversão

BinárioOctogonalDecimalHexadecimal

Conversão Binária

• Sistema binário pode ser:• Sistema binário - em matemática, um

sistema de numeração que usa apenas dois algarismos, 0 e 1

• Sistema binário - em astronomia, um sistema com duas estrelas

• Sistema binário - duas forças de mesma intensidade, porém em linhas de ação diferentes causando um torque

Soma Binária

• Soma de números binários• Recordando as seguintes somas básicas:• 0+0=0 • 0+1=1 • 1+1=10 • Assim, ao se somar 100110101 com 11010101, tem-se:100110101 11010101 ---------------- 1000001010

Subtração Binária• Subtração de números binários• Na subtração de numeros binários deve-se tomar os seguintes procedimentos:• Caso o subtraendo conter menos algarismos que o diminuendo, completa-se com 0 a

esquerda • Inverter o subtraendo • Incrementa-lo (somando-se +1) • Soma-se este resultado com o diminuendo • Assim, subtraindo 100110101 com 11010101, tem-se: 100110101 // diminuendo - 011010101 // subtraendo -------------------- 100101010 // inverte-se o subtraendo + 1 ----------------- 100101011 // soma-se este resultado com o diminuendo + 100110101 ------------------ 1001100000 // como este resultado teve um numero maior de algarismo do que o

diminuendo, // elimina-se o 1 mais a esquerda • Assim temos como resultado o numero:• 1100000

Divisão Binária• Divisão de números binários• A divisão consiste praticamente da mesma forma que em base

decimal.• Seleciona primeiramente a quantidade de dividendos que seja

maior que o divisor • Subtrae-se a eles o divisor • Com o resto, desce-se o próximo algarismo do divisor • Se este numero for ainda menor que o divisor, acrescenta-se 0 ao

quociente e desce o próximo número do divisor • Dividindo 100011 por 111 temos: 100011|111 - 111 101 000111 - 111 000

Conversão Octal• Conversão Octal – Decimal• Existem vários métodos, sendo mais comumente utilizado o proveniente do

TFN, em que se faz a conversão de forma direta através da fórmula. Exemplo: Converter o número octal 764 para o sistema decimal 764 (8) = 7 x 8² + 6 x 8¹ + 4 x 8° = 448 + 48 + 4 = 500 (10)

• Conversão Octal – Binário• Quando existir necessidade de converter números octais em binários, deve-

se separar cada dígito do número octal substituí-lo pelo seu valor correspondente de binário. Exemplo: Converter o número octal 1572 em binário.

• Logo, 1 5 7 2 = 001 101 111 010• Conversão Binário – Octal• Para converter um número binário em octal, executa-se o processo inverso

ao anterior. Agrupam-se os dígitos binários de 3 em 3 do ponto decimal para a esquerda e para a direita, substituindo-se cada trio de dígitos binários pelo equivalente dígito octal.

• Por, exemplo, a conversão o número binário 1010111100 em octal:

Conversão Decimal

• O sistema decimal é um sistema de numeração de posição que utiliza a base dez.

• Baseia-se em uma numeração de posição, onde os dez algarismos indo-arábicos : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 servem a contar unidades, dezenas, centenas, etc. da direita para a esquerda. Contrariamente à numeração romana, o algarismo árabe tem um valor diferente segundo sua posição no número: assim, em 111, o primeiro algarismo significa 100, o segundo algarismo 10 e o terceiro 1, enquanto que em VIII (oito em numeração romana) os três I significam todos 1.

• Assim: No sistema decimal o símbolo 0 (zero) posicionado à esquerda do número escrito não altera seu valor representativo. Assim: 1; 01; 001 ou 0001 representam a mesma grandeza, neste caso a unidade. O símbolo zero posto à direita implica em multiplicar a grandeza pela base, ou seja, por 10 (dez).

Sistema Decimal

Nesta figura podemos ver o formato e seqüência corretas da grafia manuscrita medieval dos números ou algarismos arábicos do sistema decimal que aparecem na página de título do livro " Libro Intitulado Arithmetica Practica " por Juan de Yciar, matemático e calígrafo Basco, Saragossa 1549.

Sistema Hexadecimal• O sistema hexadecimal é um sistema de numeração vinculado à

informática, já que os computadores interpretam as linguagens de programação em bytes, que são compostos de oito dígitos. À medida que os computadores e os programas aumentam a sua capacidade de processamento, funcionam com múltiplos de oito, como 16 ou 32. Por este motivo, o sistema hexadecimal, de 16 dígitos, é um standard na informática.

• Como o nosso sistema de numeração só dispõe de dez dígitos, devemos incluir seis letras para completar o sistema.

• Estas letras e o seu valor em decimal são: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 e F = 15.

• O sistema hexadecimal é posicional e por ele o valor numérico associado a cada signo depende da sua posição no número, e é proporcional as diferentes potencias da base do sistema que neste caso é 16.

• Vejamos um exemplo numérico: 3E0,A (16) = 3×162 + E×161 + 0×160 + A×16-1 = 3×256 + 14×16 + 0×1 + 10×0,0625 = 992,625

• A utilização do sistema hexadecimal nos computadores, deve-se a que um dígito hexadecimal representa quatro dígitos binários (4 bits = 1 nibble), por tanto dois dígitos hexadecimais representam oito dígitos binários (8 bits = 1 byte) que como é sabido é a unidade básica de armazenamento de informação.

Tabela de conversão entre decimal, binario e hexadecimal Decimal Binario Hexadecimal

0 0 0

1 1 1

2 10 2

3 11 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

Tabela de multiplicação  1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10

2 2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E 20

3 3 6 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D 30

4 4 8 C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C 40

5 5 A F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B 50

6 6 C 12 18 1E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A 60

7 7 E 15 1C 23 2A 31 38 3F 46 4E 54 5D 62 69 70

8 8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78 80

9 9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87 90

A A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96 A0

B B 16 21 2C 37 42 4E 58 63 6E 79 84 8F 9A A5 B0

C C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4 C0

D D 1A 27 34 41 4E 5D 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3 D0

E E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2 E0

F F 1E 2D 3C 4B 5A 69 78 87 96 A5 B4 C3 D2 E1 F0

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 C0 D0 E0 F0 100