revista história da matemática 1 2014

Egito e Babilônia

Os segredos daMatemática pura

Tales de Mileto?Pitágoras?

Veja as contribuições desses grandes

matemáticos.

Divirta-se com a matemática árabe e hindue desafie seus amigos nos cálculos

DESCUBRAA matemática na

baixa idade média à matemática moderna

Essa revista tem por objetivo demonstrar, de maneira didática, parte do conteúdo da disciplina de História da Matemática, elaborada pelos alunos do 1º período de Licenciatura em Matemática da Universidade do Estado de Minas Gerais, campus de Ibirité. Temos por orientador e idealizador desse projeto o professor Helder Ribeiro.

Reunimos nessa edição curiosidades, des-cobertas e metodologia de alguns grandes matemáticos da história.

Boa leitura!

Apresentação

EUCLIDES 04 EGITO E BABILÔNIA 07

TALES E PITÁGORAS 11

MATEMÁTICA GREGA 15

A MATEMÁTICA NA ÍNDIA E NA ARÁBIA 19

A MATEMÁTICA NA IDADE MÉDIA 23 RENASCIMENTO CIENTÍFICO 27

Índice

EUCLIDES

Ana CarolinaCristiana PereiraDaiana FrançoisGabriela FerrazNatalia CamposTalita Carneiro

EGITO E BABILÔNIA

Michelli RuasTamara OliveiraIdelbrando JuniorWemerson MartinsMarcos BarbosaAmanda ResendeAna Elisa Aoki

TALES E PITÁGORAS

Samara FerreiraThais RochaSheila SoaresRosimar Souza

A MATEMÁTICA GREGA

Ana Maria das ChagasAníbal FerreiraLeonardo GarciaLuiz César RodriguesRodrigo Costa MoreiraRosemary LeonídioTaís FonsecaWellington

Contribuições para a produção da Revista

A MATEMÁTICA NA ÍNDIA E NA ARÁBIA

Camila de QueirozCassilene AraújoTiago Braga

A MATEMÁTICA NA IDADE MÉDIA

Antônio MarquesLeandro da PenhaLeonardo da SilvaLuiz Cláudio SabinoMarcos Vinícius UrciRafael Medina

RENASCIMENTO CIENTÍFICO

Elizabeth Chaiene SantosMichel MeirelesLuciana

ARTE E PRODUÇÃO

Jonathan XavierRobson CarvalhoSolange Rezende

EUCLIDESA Geometria Euclidiana, como ficou conhecida se trata de um pequeno grupo de

axiomas que são proposições consideradas consensuais, onde não há necessidade de provas; e são essenciais para a elaboração de um corpo teórico.

O matemático Proclo atribui a Euclides a criação das obras denominadas como Os Elementos, anteriormente atribuída a Arquimedes, onde são desenvolvidas as mais importantes teorias na trajetória da Matemática, pois servem de base para Geometria que é conhecida hoje. Os Elementos foram uma obra textual, dividida em treze volumes distribuídas da seguinte forma:

Livro I: definições de axiomas e pos-tulados, congruências de triângulos, teoria das paralelas, paralelogramos e quadra-dos. No livro I com atenção especial a relações entre áreas.

Livro II: é destinado a transformações de áreas e com a álgebra geométrica da escola pitagórica;

Livro III: Euclides mostra muitos teore-mas familiares sobre círculos, cordas, secantes, tangentes e medida de ângulos;

Livro IV: construção com régua e compasso dos polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 e 15 lados, bem como a inscrição e circunscrição desses polígonos num circulo dado. PI, podemos dizer que esse valor é menor que 3,15 e maior que 3,14, ou seja, podemos escrever uma dupla desigualdade 3,141 < π < 3,142.

Livro V: exposição da teoria das proporções de Eudoxo. Ou seja, para definir o perímetro da circunferência de diâmetro 1 que sabemos medir;

Livro VI: adapta a teoria das proporções eudoxiana à geometria plana, onde

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA - 2014 04

retorna ao teorema de Pitágoras aplicados como teoremas referentes a razões entre grandezas;

Livro VII: começa com o processo, hoje conhecido como algoritmo euclidiano, para achar o MDC de dois ou mais números inteiros e o usa para verificar se dois inteiros são primos entre si. Hoje, vemos que o estudo do MDC é importante para conseguirmos resolver problemas em que precisamos dividir duas ou mais coisas no maior número de vezes iguais. Exemplo: Uma empresa de logística é composta por três áreas, A, B e C. A área A é composta de 30 funcionários, a B de 48 e a C de 36. Ao final do ano a empresa deseja realizar uma dinâmica, que exige a criação de três grupos, em que nas três áreas todos os funcionários participem. Os grupos devem conter o maior número possível de funcionários, porém com o mesmo número de funcionários em cada grupo. Resolução: O maior divisor comum entre 30, 48 e 36 é 6. Portanto, é possível formar 6 grupos com 19 pessoas em cada.

Dentre seus professores se destaca Euclides pela metodologia utilizada em

suas aulas.

Livro VIII: Se temos uma proporção continua a:b = b:c = c:d, então a, b, c, d formam uma progressão geométrica. A Progressão Geométrica (PG) serve para analisar o crescimento ou declínio de algo. Exemplos: A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18, 54...). Determine o 8º termo dessa progressão.Resolução: Percebemos que esta PG é de razão 3, pois dividindo 6 por 2 encontraremos 3. Para descobrirmos o 8º termo desta PG basta continuarmos sua sequencia: (2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374...). O 8º termo desta PG é 4374;

Livro IX: A Proposição IX 14 é referente ao importante teorema fundamental da aritmética (saber que todo inteiro maior que 1 pode se expressar como produto de primos de

PI é indispensável nos cálculos de área e dimensão de uma circunferência, por exemplo. Além de utilizado em sala de aula é utilizado por engenheiros de todas as áreas.

A Biblioteca de Alexandria foi construída por Ptolo-meu I no século

IV a.C.;

Alexandre o grande criou a cidade de Alexandria

ao norte do Egito em 332 a.C.;

Os gregos, com Alexandre o Grande subjugaram vários

impérios.

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA - 201405

uma e, salvo quanto à ordem de fatores, uma só maneira).

Livro X: trata as grandezas irracionais, ou seja, comprimentos de segmentos de reta incomensuráveis com um segmento de reta dado;

O livro XI: é dedicado ao paralelismo e à perpendicularidade de retas e planos, e ao estudo de ângulos sólidos e de prismas;

Livro XII: Euclides estabelece razões entre áreas de figuras planas e entre volumes de sólidos, por um método que mais tarde passou a ser designado por método de exaustão;

Livro XIII: trata do estudo dos cinco poliedros regulares, atualmente conhecidos por sólidos platônicos.

PORQUE ESTUDAR GEOMETRIA?

Estudamos a geometria porque ela estimula o raciocínio lógico dedutivo, aumentando a concentração, organização, possibilitando o estudante desenvolver métodos construtivos e diferenciados de aprendizado, fugindo da rotina, pois, o estudante é “forçado” a enxergar além do que está no papel, levando a mente para outro nível de capacidade de raciocínio, aumentando o aprendizado em outros conteúdos com maior agilidade e rapidez.

PRODUTOS NOTÁVEIS

Observe a construção de um quadrado de lado com medida (a + b).

Note que a área do quadrado maior

é (a + b)² e também é a² +2ab+b² .

Portanto: (a + b) ² = a² + 2ab + b².

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas

vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo:

(a+b) ²= a² + 2ab+ b²


VOCÊ SABIA?

Que a matemática nem sempre

foi como nos tempos

atuais?

Vivemos em um mundo onde a correria do dia-a-dia nos faz aprender o instantâneo, esquecendo que para ele existir, foi pensado, planejado, que houveram erros e que houveram comemorações quando aconteciam os acertos. A matemática é como qualquer outra ciência, que foi desenvolvida com a contribuição de vários pensadores que ao longo do tempo aprimoravam seus

conhecimentos. Ela não surgiu pronta e a-cabada, ela tem uma história e vamos con-tar um pouquinho a vocês leitores. “É claro que a matemá-tica originalmente surgiu como parte da vida diária do homem” (BOYER, C.B.: História da matemática, 1974).

EGITO E BABILÔNIA

“É CLARO QUE A MATEMÁTICA

ORIGINALMENTE SURGIU COMO PARTE DA VIDA

DIÁRIA DO HOMEM”

(BOYER, C.B.: História da matemá-

tica, 1974).

Eles utilizavam formas primitivas de contagem, formas associa-tivas, como, por exemplo, guardar pedras em um saquinho, fazer nós em cordas, marcar ossos, utilizar os dedos das mãos e até dos pés. Cada pedra, nó, marca- ção ou dedo

Ao contrário do que é pensado pela maioria das pessoas, a matemática não existe como ciência desde sempre. Por volta de 3.500 A.C no Egito e na Babilônia ela engatinhava de acordo com as necessidades humanas diárias. Necessidades como registrar seus bens, contar seus animais, plantar, dentre outras. Coisas simples hoje em dia, mas que já foram inimagináveis de se fazer de forma prática.

Imaginem que os números não existem e vocês precisam saber quantas blusas tem em seu guarda-roupas, como fariam? Difícil, né?

Agora imagine construir pirâmides, casas, cobrar impostos, contar ovelhas ou desenvolver qualquer outro tipo de atividade sem eles. Os antigos egípcios e babilônicos tinham essa dificuldade, por isso começaram com as associações.

representava uma unidade do que estava sendo contado. Logo perceberam que era mais fácil se a cada dez unidades utilizassem uma outra representação, diferente da unidade. Tomando como exemplo as pedras, quando tinham dez pedras em um monte, retiravam nove e permanecia apenas uma representando o todo. Inteligente, não é mesmo? Pois então, mas mesmo sendo uma boa forma, as coisas foram ficando cada vez mais difíceis. Começaram a ter que fazer grandes cálculos que pareciam impossíveis de se fazer de forma rápida e precisa.


Os indícios deixados por tais civilizações, nos mostra que souberam erguer grandes construções sem a ajuda de máquinas e que durou mais de 3000 anos, graças um grande controle de recursos, nos mostra também que o bom funcionamento dos países se fundamentava em uma matemática empírica (experimental). Através dos papiros, observamos que eles dominavam duas das quatro operações aritméticas: a soma e a subtração. Através das duas operações básicas, eles realizavam todas as operações necessárias. Utilizavam-se da soma e subtração também para multiplicar e dividir.

Numerais egípcios Numerais babilônicos


A multiplicação dos egípcios era feita através de duplicação sucessiva, assim: colocava-se um dos fatores numa coluna e na outra o número 1. Em seguida duplicava-se os valores dessas duas colunas. Quando na coluna iniciada pelo 1 encontrávamos os números que somados resultassem no outro fator da multiplicação, bastava então somar os valores correspondentes que estavam na outra coluna. Vejamos um exemplo: vamos multiplicar 23 x 42 e duplicar esses números:

42 1

84 2

168 4

336 8

672 16

Verifique que, na coluna da direita, os valores nas caixas amarelas somam 23 (1+2+4+16 = 23) e foi por isso que paramos o processo nesse ponto. Observem também que pulamos o número 8, fizemos isso por não precisar somar a sequência completa, tem que somar até que a primeira quantidade de números somados complete o número qual

queremos multiplicar. Agora é só efetuarmos a soma dos valores correspondentes que surgiram na primeira coluna, ou seja, 42 + 84 +168 + 672 = 966. Verifique agora que o resultado de 23 x 42 é exatamente 966.

Os babilônios utilizavam sistema decimal e

sistema sexagesimal. Interessante é saber que na

Babilônia eles contavam os doze nós dos dedos de uma

das mãos (como na imagem), junto com os cinco dedos

da outra, foi desta forma que chegaram a base 60 (12 X

5 = 60), que utilizamos até hoje nas horas e em seus

minutos. E quando eles não sabiam o número que

precisavam colocar em suas contas, deixavam um

espaço vazio, foi assim que descobriram o número 0.

“Os números governam o mundo.”

(Platão)


Você sabia que, cálculo

significa “contando com as

pedras”? Isso é devido aos

antigos pastores egípcios que

utilizavam pedras para contar

suas ovelhas.

Uma informação interessante é sobre o surgimento da geometria: a palavra geometria é derivada de geometrein, sendo:

Observe como tudo faz referência a alguma coisa: quando o rio Nilo, que faz divisa entre as terras egípcias e babilônicas, inundava, levava parte das terras dos habitantes do Egito, fazendo assim com que o faraó cobrasse impostos mais baratos. Por causa disso o faraó mandou topógrafos para que medissem as terras antes das inundações (geometrein que é medir a terra), e sabe como eles mediam? Com cordas, estacas e com o antebraço que formava um cúbico e estas foram as primeiras formas de medidas geométricas.

GEO = TERRAMETREIN = MEDIR

As pirâmides egípcias foram construídas há mais de 3000 anos. A maior, localizada em Gizé, tem 2,3 milhões de blocos de pedra, alguns pesando nove toneladas. Como esses blocos foram sobrepostos? Ninguém sabe, mas a suposição mais divulgada aponta para milhares de pessoas a empurrarem os enormes blocos de pedra por rampas durante vários anos. Força ou matemática?

CURIOSIDADES!

Muito curiosos, os egípcios, se interessavam também pela astronomia. Fazendo uma de suas observações, compreenderam que, o rio Nilo inundava quando a estrela Cão (que era a Sírius) aparecia no céu e que esta estrela só aparecia depois de 365 dias. Fizeram então um calendário em que haviam 12 meses e 30 dias, com mais 5 dias em que realizavam festas de final de ano, e desenvolvendo um pouco aqui e um pouco ali, chegamos ao calendário que utilizamos até hoje.

Você sabia que, multiplicação

vem de multi-plicação? Isso é

devido a forma de os antigos

egípcios multiplicarem. Eles

duplicavam sucessivamente dois

termos de uma operação.


QUEM FOI TALES DE MILETO?

Tales de Mileto foi o primeiro matemático grego, nascido por volta do ano 640 e falecido em 550 a.c., em Mileto, cidade da Ásia Menor, descendente de uma família oriunda da Fenícia ou Beócia. Tales foi incluído entre os sete sábios da antiguidade. É atribuída a Tales a descoberta de várias proposições isoladas relativas às paralelas, aos triângulos e às propriedades do círculo, não apresentando nenhuma sequência lógica, mas com demonstrações dedutivas. Poderá dizer-se que Tales deu a essas matemáticas uma característica que se conserva até hoje, o conceito de "demonstração ou prova".

O Teorema de Tales pode ser determi-nado pela seguinte lei de correspondência: “Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcio-nalmente correspondentes”. Para compre-ender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:

Proposição: Os triângulos equiângulos têm os seus lados proporcionais

(Euc.vI.4, ou vI.2).

É uma proposição de grande importância, que Tales utilizou na determinação da altura da pirâmide Quéope. Ele apoiou-se a uma vara espetada perpendicularmente ao chão e esperou que a sombra tivesse comprimento igual ao da vara. Disse então a um colaborador:"Vai mede depressa a sombra: o seu comprimento é igual á altura da pirâmide"Tales, para ser rigoroso, deveria ter dito para adicionar à sombra da pirâmide metade do lado da base desta, porque a pirâmide tem uma base larga, que rouba uma parte da sombra que teria se tivesse a forma de um pau direito e fino; pode acontecer que o tenha dito, ainda que a lenda não refira.

“A coisa de maior extensão no mundo é o universo, a mais rápida é o pensamento, a mais sábia é o tempo e mais cara e agradável é realizar a vontade de Deus.”

Tales de Mileto


Proposição: O ângulo inscrito num semicirculo é reto (Euc.III.31). Esta proposição é considerada a mais notável de toda a obra geométrica de Tales. Deduz-se facilmente, do facto de se poder inscrever um retângulo numa circunferência, verificando que as diagonais do retângulo são diâmetros da circunferência e o retângulo inscrito pode tomar qualquer posição dentro da mesma circunferência.

Se A, B e C são pontos em um círculo cuja reta AB é o diâmetro, então o ângulo ACB é sempre reto seja qualquer lugar estiver o ponto C.

Proposição: Quando duas retas se cortam, os ângulos opostos pelo vértice são iguais (Euc.I.15).

Proposição: Se dois triângulos têm dois ângulos de um iguais a dois ângulos do outro e um lado de um igual a um lado do outro (lado este adjacente ou oposto a ângulos iguais), terão também iguais os outros lados que se correspondem num e noutro triângulo, bem como o terceiro ângulo (Euc.I.26).

Tales foi também o primeiro a demons-trar que o diâmetro divide o círculo em duas partes iguais

Textos retirados do site: www.educ.fc.ul.pt

Em triângulos isósceles os ângulos da base são iguais e, se as linhas retas iguais forem produzidas, então, os ângulos que se formam debaixo da base são iguais. Assim, ABC ≡ ACB e CBE ≡ BCD.


QUEM FOI PITÁGORAS DE SAMOS?

Pitágoras desenvolveu o famoso Teorema em que é possível calcular o lado de um triângulo retângulo, conhecendo os outros dois.

Em todo triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual a soma das áreas dos quadrados que tem como lados cada um dos catetos. O teorema de Pitágoras é uma relação entre áreas.

A primeira está dividida em seis partes e sua área é a²+b²+2ab. A segunda tem a área de quatro triângulos e do quadrado central de lado c, sendo portanto 2ab+c². Identificando as áreas obtidas temos c²=a²+b².

Pitágoras é considerado um dos grandes matemáticos da Antiguidade. Pitágoras nasceu por volta de 580 a.C. na ilha grega de Samos. Viajou bastante pelo mundo, tendo visitado o Egito e Babilónia, onde entrou em contacto com matemáticos, tendo conhecimento dos seus estudos sobre os conjuntos de números, agora com o seu nome, os triplos pitagóricos, e que já eram conhecidos dos cientistas e matemáticos babilónicos há mais de 1500 anos.

c²=a²+b²

“A matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o universo.”

Pitágoras de Samos


NÚMEROS AMIGOS

Dois números inteiros são amigos quando cada um deles é igual à soma dos

divisores próprios do outro (os divisores próprios de um número inteiro são os

divisores positivos do número à exceção do próprio número).

Hoje conhecemos mais de 10 milhões de pares, o maior com números de 24.073

algarismos.Todos os números amigos inferiores a um bilhão já foram encontrados.

Um exemplo de números amigos são 284 e 220, pois os divisores próprios de

220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. Efetuando a soma destes números

obtemos o resultado 284.

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Os divisores próprios de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142, efetuando a soma destes

números obtemos o resultado 220.

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

NÚMEROS PERFEITOS

Um número se diz perfeito se é

igual à soma de seus divisores próprios.

Divisores próprios de um número

positivo N são todos os divisores inteiros

positivos de N exceto o próprio N.

Exemplo 1: o número 6, seus

divisores próprios são 1, 2 e 3, cuja

soma é igual à 6.

1 + 2 + 3 = 6

Exemplo 2: o número 28, cujos

divisores próprios são 1, 2, 4, 7 e 14, e a

soma dos seus divisores próprios são

28.

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

O Teorema de Pitágoras pode ser aplicado na área de transporte, contribuindo na sua logística. Imagine a seguinte situação: Dois navios A e B partem em sentidos diferentes: o primeiro para o norte e o segundo para o leste, o navio A com velocidade constante de 30 Km/h e o navio B com velocidade constante de 40 Km/h. Qual será a distância entre eles após 6 horas? Distância percorrida pelo navio A após 6 horas:

D = 30*6 = 180 KmDistância percorrida pelo navio B após 6 horas:

D = 40 * 6 = 240 Km


‘ MATEMÁTICA GREGAA cidade de Alexandria (331 a.C.) desfrutava de uma paz com

o resto do mundo. Durante o reinado dos Ptolomeus, que durou cerca de 300 anos, não entrou em conflitos graves. Era um porto seguro para os intelectuais.

Em 212 a.C., Siracusa se rendeu ao cerco romano. Com o declínio do mercado de escravos, a economia romana desestabiliza e a escola de Alexandria fica muito fragilizada. Em 641 d.C., Alexandria é tomada pelos árabes.

Arquimedes, matemático,

físico, engenheiro, inventor e astrônomo

grego, nasceu na cidade de Siracusa

(colônia grega na Magna Grécia) em 287

a.C. e morreu em 212 a.C., através da

espada de um romano. Encontrou a 1ª Lei

da Hidrostática: sob a água, demonstrou

que um material é menos denso que o

outro, através da coroa do rei Hierão.

Eratóstenes, geógrafo, mate-mático, astrônomo e filósofo, nasceu na cidade de Cirene (antiga colônia grega), na atual Líbia, em 276 a.C. e morreu aos 82 anos na cidade de Alexandria (Egito) em 194 a.C..Estudo mais importante é sobre a medição da Terra. Criou o Crivo de Eratóstenes, que era um algoritmo, um método simples para encontrar números primos.

Apolônio, foi um matemático e astrônomo gre-go da escola Alexandrina. Nasceu em Perga, em 262 a.C. e morreu em 190 a.C..Autor do famoso Tratado das Secções Cônicas, es-creveu as “As Cônicas”, uma das principais obras científicas da Antiguidade.


Espiral de ArquimedesDefine como o lugar geométrico de

um ponto movendo-se a velocidade cons-tante sobre uma reta que gira sobre um ponto de origem fixo a velocidade angular constante.

São usados para comprimir líquidos e gases. Um paciente quando desenha uma espiral de Arquimedes, pode quan-tificar o tremor humano.

Raio da TerraEratóstenes, calculou o raio da

Terra com uma precisão muito grande, aproximadamente 6.369km/H. Valor a-tualmente da Terra é de aproxi-madamente 6.378 km/ H.

Calculou a partir do teorema das retas paralelas: duas retas distintas no plano, são paralelas quando não têm nenhum ponto em comum.

Medida do CírculoDetermina “pi” via inscrição e circunscrição de

um polígono regular de 96 lados. Inventado por Arquimedes.

Círculo (ou disco): conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada.

No círculo tem: Diâmetro, é uma corda que passa pelo centro da circunferência, contando duas extremidades; Corda, é um segmento de reta, cuja as extremidades pertence a circunferência, mas não passa pelo seu centro; Raio, é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência.


Arquimedes, desenvolveu o cálculo da área de um triân-gulo. Criou o método de exaustão, que é um método para encontrar a área de uma figura geométrica, inscrevendo -se dentro dela uma sequência de polígonos cuja soma das áreas converge para a área da figura desejada.

Proposição de Arquimedes: a área de qualquer círculo é igual à área de um triângulo reto, no qual um dos lados sobre o ângulo reto é igual ao raio, e o outro à circunferência, do círculo

Você conhece o método de exaustão?

Aprenda a calcular da área total de um cilindro

Arquimedes, demonstra que a área da esfera é 2/3 da área total do cilindro circular.

Esfera é o conjunto de todos os pontos no espaço tridimensional que mantém à mesma distância (o raio) de um determinado ponto (ao centro).Cilindro é a união de todos os segmentos de reta que conectam aos correspondentes pontos sobre círculos contidos em planos paralelos.

No trabalho remanescente de Arquimedes, sobre esfera e cilin-dro, encontramos uma relação entre a área da superfície esférica com a superfície lateral de um cilindro.

Cálculo da área total de um cilindro: Área total = área lateral + área da base + área da base.área da base = π.r2 ; área lateral = 2.π.r.h; 2πr em evidência; área total: At = 2.π.r.(h + r).


São os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo. Primeira pessoa que produziu tabelas de números primos foi Eratóstenes, no terceiro século a.C..

Teorema Fundamental da Aritmé-tica, afirma que todo número inteiro natural, sendo maior que 1, pode ser escrito como um produto de números primos.

Crivo de Eratóstenes, é um algo-ritmo, método simples e prático para encontrar números primos até um certo valor limite.

Funciona assim: Inicialmente, deter-mina-se o maior número a ser checado. Ele corresponde à raiz quadrada do valor limite, arredondado para baixo. No caso, a raiz de 30, arredondada para baixo, é 5...

...Crie uma lista de todos os números inteiros de 2 até o valor limite: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, e 30.

Encontre o primeiro número da lista. Ele é um número primo, 2.

Remova da lista todos os múltiplos do número primo encontrado. No nosso exemplo, a lista fica: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 e 29.

O próximo número da lista é primo. Repita o procedimento. No caso, o próximo número da lista é 3. Removendo seus múltiplos, a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25 e 29. O próximo número, 5, também é primo; a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. 5 é o último número a ser verificado, conforme determinado inicialmente. Assim, a lista encontrada contém somente números primos.

‘Números primos

Você conhece os números

primos?


3+4= 7

8+4= 12 Muda o 7 para o 8 e coloca o 2 ao lado do 7

8+5= 13 Muda o 2 para o 3 e coloca ao lado do 2

MATEMÁTICA NA ÍNDIA Era uma civilização tão avançada como qualquer outra do oriente médio, mas existem poucas informações sobre a matemática Indiana por falta de registros históricos autênticos. Algumas informações que se tem são:

Dominavam o sistema de escrita, contagem de pesos e medidas;

Criaram o sistema de castas;

Tinha provável conhecimento dos termos pitagóricos. Essa consideração é devido ao fato de usarem regras geométricas nas construções dos altares;

Sofreu influência da matemática grega, babilônica e chinesa;

A partir de século V a matemática hindu virou-se mais a astrologia, que até então era voltada a religião e ao misticismo;

A partir do final do século XV sofreu influência dos hindus, árabes e persas;

Vários matemáticos se destacaram, como, Aryabhatha, Brahmagupta, Mahavira, Bhaskara Akaria e o matemático moderno Srinivasa Rama-nujan, descoberto pelo professor Hardy. Desenvolveram o nosso sistema atual de numeração posicional. Usavam um pequeno quadro negro com uma pena de bambu mergulhada em uma tinta branca e rala mais fácil de apagar;

Os hindus eram ótimos nas contas com números.

A adição hindu antiga era escrita da esquerda para a direita, por exemplo, 345+488:

Outra forma citada por Bhaskara de so-mar 345+488:


Coloca-se o número multiplicador na mesma linha, multiplicava 5*5 e coloca acima de 569, multiplica 5*6 e soma o 5 com 3 do 30 coloca o 8 em cima com o 0 do 30 e multiplica 5*9 coloca o 4 no lugar 0 e o 5 abaixo.

Multiplicação com 1 numero (569*5) Os Hindus aceitavam e usavam os números negativos e os irracionais.

Eles procuravam todas as soluções inteiras possíveis de determinado pro-blema, diferente de Diofanto, que procu-rava qualquer solução racional.

Eles não eram bons com a geometria que era ligada diretamente a mensuração.

Com o sistema de castas, a matemática indiana era praticada ape-nas por castas superiores, por exemplo, os sacerdotes.

A qualidade da matemática hindu era muito baixa por ser muito irregular.


MATEMÁTICA NA ARÁBIAO Império Árabe se divide em

dois. O império oriental que ia da Índia a Espanha passando pela Pérsia, Meso-potâmia e África.

Sofreu da Espanha um ataque que derrubou o ultimo dos governantes permitindo assim que o conhecimento grego e hindu fosse descoberto e prati-cado.

A palavra “álgebra” vem do árabe “al-jabr”, que significa “restauração”. Os árabes tiveram um papel muito importante na história da matemática, pois traduziram fielmente, os clássicos gregos (Apolônio, Arquimedes, Ptolo-meu dentre outros), que hoje conhe-cemos e utilizamos em vários aspectos.

Os numerais hindus foram intro-duzidos na matemática árabe por meio da tradução das obras de Brahmagupta para árabe. Antes da época de Maomé ir a Meca os árabes escreviam todos os números em palavras, depois adotaram o simbolismo abreviado.

Os mulçumanos eram muito bons na álgebra geométrica, já os árabes raramente eram criativos, mas deram pequenas contribuições para a ciência.

PRINCIPAIS MATEMÁTICOS E TRADUTORES

Mohamed ibn mûsa Al-

khowârizmî (780-850)- Numeração Hindu, tratado de

álgebra.

Al-Mâmum(809 -833)- Al-Khwarizmi

passou grande parte da sua vida em Bagdade, sob o patrocínio de Al-

Mâmun.

Abû’l-Wafâ (940-988)- Criou a tangente e

traduziu Diofanto.

Tâbit Ibn Qorra (826-901)-

Tradutor dos elementos de

Apolônio, Arquimedes e

Ptolomeu.


Os mulçumanos eram muito bons na álgebra geométrica.

Traduziram trabalhos gregos e hindus, tarefa essa que foi

responsável pela conservação desses trabalhos, gerando o

conhecimento que utilizamos.

Eles raramente eram criativos, mas deram pequenas

contribuições para o conhecimento.


A MATEMÁTICA NA BAIXAIDADE MÉDIA

O período que vai da queda do Império Romano, na metade do século V, até o século XI, é conhecido como Baixa Idade Média. Durante esse período o ensino praticamente deixou de existir.

Fora a elaboração do calendário cristão, muito pouca matemática se fez durante o meio da Baixa Idade Média. Dionísio definiu o ano 1 do calendário cristão como o ano 754 da fundação de Roma. Este calendário passou a ser usado pelos cristãos e ganhou maior importância com a reforma empreendida pelo papa Gregório XIII, em 1582.

Em 1202, publicou sua obra famosa intitulada Liber Abaci; Faz lembrar a álgebra de Al-Khwarizmi, e foi um dos responsáveis de in-troduzir os algarismos indo-arábicos na Europa. Sem dúvida o pro-blema no Liber Abaci que mais inspirou aos futuros matemáticos foi o seguinte:“Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano, come-çando com um só par, se em cada mês cada par gera um novo parque se torna produtivo a partir do segundo mês?”Esse problema célebre dá origem à sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Ao transformar esses números em quadrados e dispô-los de maneira geométrica, é possível traçar uma espiral perfeita, que também aparece em diversos organismos vivos. Outra curiosidade é que os termos da sequência também estabelecem a chamada “proporção áurea”, muito usada na arte, na arquitetura e no design por ser considerada agradável aos olhos; seu valor é de 1,618.

Fibonacci

Espiral de Fibonacci



ESPIRAL DE FIBONACCI NANATUREZA

O SÉCULO XIV

Nicole Oresme (1323-1382) foi quem primeiro usou um gráfico, para representar numa direção o tempo e na outra a velocidade de um móvel.

Oresme chamava às coordenadas latitude e longitude, mas o seu sistema pode ser considerado precursor da representação gráfica de funções.

EQUAÇÕES CÚBICAS E QUÁRTICAS

Em 1545, Girolamo Cardano (1501-1576) publicou em latim um tratado intitulado de Ars Magna, no qual apresenta as resoluções de equações de terceiro e quarto grau. Cardano publicou as resoluções de equações cúbicas e quárticas em seu tratado, mas não foi o descobridor original destas. Nicolo Tartaglia (1500-1557) foi quem resolveu as equações cúbicas e Ludovico Ferrari (1522-1565), discípulo de Cardano, resolveu as quárticas.


O SÉCULO XV

O mais capaz e influente matemático do século foi Johann Müller (1436 - 1476) conhecido como Regiomontanus. Em 1475 foi convidado pelo Papa Sisto IV para participar da reforma do calendário.

O SÉCULO XVI

O maior matemático do século XVI foi François Viète (1540-1603). Na álgebra adotou vogais para as incógnitas, con-soantes para os núme-ros conhecidos, gráficos para resolver equações cúbicas e biquadradas e trigonometria, para as equações de graus mais elevados.

O séc. XVII é particularmente importante na história da matemática. Perto do início do século XVII:

Napier revelou sua invenção dos logaritmos; Harriot e Oughtred contribuíram para a notação e a codificação da álgebra; Galileu fundou a ciência da dinâmica; Kepler anunciou suas leis do movimento planetário; mais tarde, Desargues e Pascal inauguraram um novo campo da geometria pura; Descartes lançou a geometria analítica moderna; Fermat estabeleceu os fundamentos da teoria dos números moderna; E então, perto do final do século, na esteira preparada por vários matemáticos do próprio século, Newton e Leibniz contribuíram memoravelmente com a criação do cálculo.

O Cálculo Diferencial e Integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente Cálculo, se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas (como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido). Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada; Dois importantes astrônomos contribuíram notavelmente para a matemática perto do início do séc. XVII: o italiano Galileu Galilei e o alemão Johann Kepler.

Galileu desenvolveu ainda vários, o

termômetro de Galileu e o precursins-trumentos como a balança hidrostática, um tipo de compasso geométrico que permitia medir ângulos e áreas, o termô-metro de Galileu e o precursor do relógio de pêndulo.

Descobriu a lei dos corpos e enunciou o princípio da inércia e o conceito de referencial inercial, ideias precursoras da mecânica newtoniana Johann Kepler nasceu em 1571.

Em 1609, viu-se em condições de reformular suas duas primeiras leis do movimento planetário e, dez anos depois, em 1619, a terceira.

Essas leis são marcos fundamentais da história da astronomia e da matemática moderna. São elas:

A ALVORADA DA MATEMÁTICA MODERNA

I - Os planetas movem-se em torno do Sol em trajetórias elípticas com o Sol num dos focos;

II - O raio vetor que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais;

III - O quadrado do tempo para que um planeta complete sua revolução orbital é diretamente proporcional ao cubo do semi-eixo maior da órbita.


RENASCIMENTO CIENTÍFICOO Renascimento Científico deve ser

entendido dentro do contexto do Renas-cimento Cultural, ocorrido na Europa entre os séculos XV e XVI. Foi um período marcado por grandes avanços nas ciências, possibilitados pelos estudos e experimentos de grandes cientistas.

Na Idade Média buscavam-se co-nhecimentos através da leitura de livros, sendo que estes ficavam muito restritos, principalmente, aos monges e teólogos católicos. Foi um período marcado pela influência do pensamento da Igreja Católica, que acabou por prejudicar o desenvolvimento das pesquisas científicas, pois buscava explicar os fenômenos da natureza através da intervenção divina.

Desenvolvimento de instrumentos cien-tíficos, principalmente na área de observa-ção astronômica; Formulação de várias leis da Física e teorias matemáticas; Aumento da divulgação dos conheci-mentos científicos. Isto aconteceu graças ao crescimento da produção de livros, após a invenção da prensa de tipos móveis por Gutenberg em 1439; As descobertas científicas geraram forte mudança na forma que muitas pessoas entendiam o funcionamento do mundo. Isso ocorreu, pois as explicações religiosas, sem fundamentação científica, foram sendo substituídas pelas explicações baseadas nas ciências. Além de afetar a religião, estas descobertas científicas também impactaram o pensamento filosófico da época.

CARACTERÍSTICAS PRINCIPAIS:

GALILEU GALILEI

Um dos mais importantes físicos, astrônomo e matemáticos, Galileu Galilei através de seus experimentos, contribuiu significativamente para o desenvolvimento da humanidade.

Galileu Galilei, nasceu em 15 de Feve-reiro de 1564, na cidade de Pisa. Em 1581, Galileu ingressou no curso de medicina, na Universidade de Pisa. Rapidamente verificou que o seu verdadeiro interesse era a Matemática, e mudou de curso.

Estudos e descobertas de Galileu na área da matemática,

O pêndulo, a balança hidrostática, régua de cálculo, entre outros. As descobertas de Galileu acontecia com frequência na física e na matemática considerando a ligação entre as duas ciências.

Por volta de 1586, Galileu inventou um novo tipo de balança hidrostática. Este aparelho baseava-se no principio de Arquimedes. A balança podia identificar os metais de que eram feitos. Também definia as suas proporções em ligas, em misturas de metais.

Inventou também um Compasso Proporcional, este instrumento científico era utilizado para calcular todo o tipo de somas, converter uma moeda numa outra, determinar volumes e densidades de objetos e “descobrir a quadratura do círculo”

Galileu percebeu que a luneta poderia ser utilizada para explicar questões da teoria heliocêntrica, proposta por Copérnico, por conta disso inventou o telescópio.

Sua maior contribuição à ciência está na base do pensamento científico moderno, o método experimental, dos tempos de Arquimedes. É por isso que Galileu Galilei ainda é considerado o "pai" da Física Moderna e da Matemática.


Quanto menos alguém entende,

mais quer discordar.“Galileu Galilei

JOHANNES KEPLER

Kepler foi um importante astrônomo, astrofísico e matemático da época do Renascimento Científico (século XVI e XVII). Seus estudos e descobertas foram de grande importância para o desenvolvimento das ciências astronômicas. Mesmo tendo vivido numa época de intensa intolerância religiosa, que não aceitava as novas descobertas, conseguiu obter grandes resultados com seus estudos. É considerado um dos mais importantes cientistas da história. As Leis de Kepler revolucionaram o conhecimento astronô-mico, pois acreditava-se até então que os planetas realizavam movimentos circulares ao redor do Sol, Kepler provou que estes movimentos eram elípticos.

Kepler nasceu na cidade de Weil der Stadt (Alemanha) em 27 de dezembro de 1571. Kepler morreu na cidade de Ratisbona (Alemanha) em 15 de novembro de 1630. Teve o interesse despertado pela Astronomia graças aos pais. Aos cinco anos de idade, seus país o levaram para observar um cometa. Com nove anos viu um eclipse lunar, mostrado pelo pai. Descobriu as leis do movimento planetário, conhecidas como Leis de Kepler

ISAAC NEWTON Curiosamente, Isaac Newton nasceu menos de um ano apôs a morte de Galileu (que, por sua vez, nascera três dias antes da morte de Michelangelo, um dos maiores artistas do Renascimento). Teve saúde extremamente frágil nos primeiros meses de vida e cedo perdeu o pai, sendo criado pelos avós quando a mãe casou-se novamente. Consta que não se destacava muito nos estudos antes da adolescência e que adorava ficar inventando e construindo pequenos objetos, desde pipas até relógio solares e de água. Um tio que trabalhava na Universidade de Cambridge percebeu suas tendências e conseguiu levá-lo para estudar nessa universidade. Durante os anos em que lá permaneceu, Newton não foi considerado excepcionalmente brilhante, mas, mesmo assim, desenvolveu um recurso matemático que ainda hoje leva seu nome: o binômio de Newton. As experiências de Newton com a luz também possibilitaram descobertas surpreendentes. A mais conhecida delas foi conseguida quando deixou um pequeno feixe de luz do Sol penetrar numa sala escura e atravessar um prisma de vidro. Verificou que o feixe se abria ao sair do prisma, revelando ser constituído de luzes de diferentes cores, dispostas na mesma ordem em que aprecem no arco-íris. Para que essas cores não fossem acrescentadas pelo próprio vidro, Newton fez o feixe colorido passar por um segundo prisma. Como resultado, as cores voltaram a se juntar, provando que sua reunião formava outro feixe de luz branca, igual ao inicial. O fenômeno da refração luminosa ocorria, de fato, sempre que a luz atravessava prismas ou lentes, o que limitava a eficiência dos telescópios. Newton projetou então um telescópio refletor, no qual a concentração da luz, em vez de ser feita com uma lente, era obtida pela reflexão num espelho parabólico. Esse princípio é utilizado até hoje na maioria dos telescópios.

“...A Geometria existiu e existe desde antes

da Criação. É co-eterna com a mente

de Deus... A Geometria forneceu a Deus um modelo para

a Criação... A Geometria é o próprio

Deus...”Johannes Kepler


NICOLAU COPÉRNICO

Matemático e astrônomo polonês, autor da Teoria Heliocêntrica, segundo a qual o sol é o verdadeiro centro do sol é o verdadeiro centro do sistema solar, devendo-se a sucessão de dias e noites, ao movimento da rotação da Terra sobre seu próprio eixo. Copérnico nasceu em Tourun, na Posnâmia (região polonesa as margens do Vístula) na fronteira com a Alemanha, à 19/02/1453, era filho de um comerciante que o deixou órfão, aos 10 anos. Sua tutela ficou à cargo de seu tio Lucius Waczenrade, Bispo de Erimland. E ele cresceu em meio ao período Renascentista, no qual o saber, bem como a cultura avançaram revolu-cionariamente. Também serviu a Igreja Católica, o que de certa forma foi positivo, pois lhe dava acesso ao saber entesourado da igreja .

Finalmente em 1543, esse mesmo discípulo, fez circular, em Nuremberg, a obra completa de Copérnico - Sobre a revolução das orbes celestes, onde a Teoria Heliocêntrica, era colocada de forma científica, e não como hipótese. Isto se deu sem o conhecimento de Copérnico, que teve exemplar nas mãos, já pronto, às portas de sua morte, em Frauenburg, à 24/05/1543, mesma data em que veio a falecer. Esta publicação, que tinha prefácio dedicado ao papa Paulo III, fora substituído por outro, anônimo, atribuído a Andreas Osiander, que insistia sobre o caráter hipotético do novo sistema.

LEONARDO DA VINCI E A MATEMÁTICA

Para ilustrar o conteúdo sobre números irracionais, pode-se introduzir os estudos sobre as proporções humanas do nomeado pintor italiano do século XV, Leonardo da Vinci. Muito embora, seja reconhecido nas artes, esse artista por sua inteligência e criatividade também foi um grande cientista. Registrou em um caderno mais de 13000 criações, invenções e estudos sobre ciências. Um dos mais famosos estudos na matemática foi o Homem Vitruviano, assim chamado em homenagem as descobertas de MarcusVitruvius.

Nessa obra, Leonardo da Vinci estudou exaustivamente as proporções do corpo humano relacionando-as com um famoso número conhecido como número áureo ou número ouro.

Este número é encontrado na razão entre muitas distâncias no nosso corpo.

"Apesar de todas as artes bem servir para chamar a mente do homem longe de vícios e levá-la para coisas

melhores, esta função pode ser mais bem

desempenhadas por esta arte, que também proporciona prazer

intelectual extraordinária."

Nicolau CopérnicoHISTÓRIA DA MATEMÁTICA - 201429

http://3.bp.blogspot.com/_bsvWOgVREaE/SsYlnCnSsII/AAAAAAAAABc/k9AYqPo6Z1M/s1600-h/homem+vitruviano.jpg

REFERÊNCIAS

História da matemática – Boyer, C.B, 1974, 5ª edição. Contando a história da matemática: a invenção dos números – Guelli, Oscar, 2010, 10ª edição

EVES, HOWARD. Introdução à História da Matemática.5ª ed. – Campinas, SP: Editora Unicamp, 2011.

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revista história da matemática 1 2014

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