res mat para arquitetos rev0 2011 corrigida

Resistncia dos Materiais para Arquitetos

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Esforos internos de flexo em uma estrutura

Quando se fala em estruturas de Arquitetura ou Engenharia Civil, pensa-se logo em equilbrio esttico. Este equilbrio proporcionado por sistemas que permitem um caminhamento de foras, de onde elas acontecem at onde elas possam ser absorvidas por completo, ou seja, nas fundaes. Contudo, um sistema estrutural no oferece o equilbrio somente permitindo o caminhamento das foras at as fundaes. Cada elemento constituinte do seu conjunto deve oferecer equilbrio individualmente, perante as diversas solicitaes que podem atingi-lo. Imagine por exemplo, que um veculo pesado fica parado exatamente no meio do vo de uma ponte isosttica sem balanos:

O veculo representa uma fora aplicada sobre a ponte. Perante essa fora, a ponte tende a ter a seguinte deformao:

Agora imagine que dois veculos ficam parados sobre uma ponte isosttica, porm desta vez uma ponte com balanos duplos, e cada veculo em um dos balanos:

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- Prof. Maria Del Carmen Lopez Galan e Prof. Maria Regina Leoni Schmid Sarro


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Os dois veculos representam foras aplicadas nos balanos da ponte, perante as quais a barra horizontal tende a se deformar desta maneira:

Numa situao de trs veculos sobre a ponte, respectivamente no balano esquerda, no meio do vo e no balano direita, teramos:

A deformao da estrutura seria semelhante a:




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Esses exemplos mostram que a estabilidade da estrutura no depende somente dos seus apoios - todos os seus elementos devem funcionar de forma estvel individualmente. Se existem foras aplicadas sobre determinado elemento, existe nele uma tendncia de deformao. Essa deformao deve ser vencida com a forma dada ao elemento, aliada resistncia dos materiais usados em sua constituio. Os elementos estruturais esto sujeitos a esforos internos diversos, como trao, compresso, flexo, cisalhamento, flambagem, toro, que podem ocorrer sozinhos ou combinados entre si. No projeto de estruturas, no adianta garantir somente que elas iro reagir e suportar as cargas externas s quais esto sujeitas. necessrio tambm se garantir que elas iro suportar esses esforos internos com segurana.

A flexo A flexo um esforo comum em elementos estruturais e na maioria dos casos inevitvel. Atinge elementos diversos das edificaes, assim como de mquinas em geral. A flexo ocorre em um elemento tendendo a deform-lo ao longo do seu comprimento, como se fosse dobr-lo. As foras aplicadas externamente fazem com que internamente o elemento se comporte como se estivesse sujeito a um par de momentos, que o fazem se curvar. Veja a simulao da aplicao de um par de momentos em uma barra, para entender o que acontece:

Invertendo o sentido dos momentos aplicados, a deformao da barra tambm se inverteria:




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Vamos ver o que acontece em cada caso do carro ou dos carros sobre a ponte, mostrados anteriormente. No primeiro caso, o veculo de peso P est parado no meio da ponte, representando uma fora vertical de cima para baixo aplicada neste ponto. Alm disso, a barra horizontal que recebe o peso do veculo tem o seu peso prprio, que uma carga distribuda ao longo da pea. A fora P e o peso prprio so foras externas aplicadas na estrutura, que sero suportadas pelas foras de reaes dos apoios, ou seja, para a fora P aplicada, haver duas foras de intensidade P/2 de baixo para cima, uma em cada pilar. O mesmo ocorre para o peso prprio da estrutura. Isso ocorre devido 3 Lei de Newton, Lei da Ao e Reao: toda fora de ao, tem uma fora de reao de mesma intensidade e direo, porm de sentido oposto. Podemos, ento, construir um diagrama de corpo livre, que nos mostra as foras entre as partes mencionadas. Os apoios, por sua vez, descarregam as foras para as fundaes e finalmente para o solo. Nesse processo, podemos desenhar todos os pares de ao e reao: as aes sobre as vigas, tornam-se reaes nos pilares. As aes sobre os pilares, tornam-se reaes nas fundaes. As aes nas fundaes distribuem-se sobre o solo, devendo ser reagidas por ele. Isso pode ser observado na figura abaixo.




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Representao grfica do sistema de foras externas atuantes na barra horizontal (considerando que no h esforos horizontais na ponte):

A reao Rx = 0 significa que o pilar esquerda tem capacidade de segurar uma fora horizontal na barra, o que, junto com as reaes verticais dos pilares, garante o equilbrio da barra. Porm, como na situao mostrada essa fora no existe, a reao tambm no existe, por isso igual a zero. Como vimos, esse sistema de foras (juntamente com o peso prprio), causar uma tendncia do tabuleiro da ponte se deformar, formando uma flecha no meio da barra:

Essa tendncia reflete os esforos internos de flexo na barra:

A flexo existente na barra horizontal faz com que a sua metade superior sofra um aperto, um encurtamento, que caracteriza a compresso. J a metade inferior da barra sofre um estiramento, como se o material estivesse sendo alongado, que caracteriza a trao. A barra em questo, sujeita aos esforos de compresso e trao indicados, deve ser construda com uma combinao de materiais e geometria que a possibilitem resistir a esses esforos, sem sofrer deformaes prejudiciais ao seu funcionamento. Existem materiais que resistem mais compresso, outros que resistem mais trao, outros que resistem tanto um, como outro esforo. Cada estrutura requer um estudo detalhado sobre seus esforos de flexo e as diversas combinaes de materiais e geometria capazes de suport-los.Contato: [email protected] - Prof. Maria Del Carmen Lopez Galan e Prof. Maria Regina Leoni Schmid Sarro


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Na flexo, o esforo que provoca o giro interno das sees transversais da pea e o aparecimento das flechas chama-se momento fletor. Trata-se de esforo que pode ser calculado e representado graficamente, atravs do diagrama de momentos fletores da pea, o qual mostra a tendncia de deformao da pea quando sujeita a determinado carregamento. No caso de uma viga isosttica sem balanos, com carregamento distribudo ao longo do seu comprimento, o diagrama de momentos fletores teria uma configurao deste tipo:

Para os demais casos analisados anteriormente, dos veculos sobre pontes isostticas, teramos diagramas de momentos fletores semelhantes s ilustraes abaixo.

Caso dos dois carros nos balanos da estrutura:

Caso dos trs carros sobre a ponte, um e cada balano e um no meio do vo:




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O cisalhamento

A flexo em estruturas causada por foras transversais ao eixo longitudinal dos elementos estruturais, tais como o seu peso prprio, o peso de outros elementos, revestimentos, sobrecargas, etc. Alm da tendncia de fletir os elementos, estes carregamentos tambm provocam internamente uma tendncia de corte entre os pedaos da pea, cuja configurao segue a ilustrao abaixo:

A fora que causa essa tendncia de corte na viga chama-se fora cortante ou fora de cisalhamento. Para entendermos como ela age, podemos representar uma viga como sendo composta por vrias barras horizontais e por vrias barras verticais em separado. Em cada caso, o carregamento provoca uma tendncia de escorregamento entre essas partes.




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Se representarmos uma viga como sendo composta por vrias barras horizontais, o carregamento provoca a tendncia de escorregamento longitudinal entre as partes:

Como podemos perceber pela ilustrao acima, as diferentes barras horizontais se deformam e, consequentemente, se deslocam entre si.

Se representarmos uma viga como sendo composta por vrias barras verticais presas entre si, o carregamento provoca a tendncia de escorregamento transversal entre as partes:

Como podemos perceber pela ilustrao acima, as diferentes barras verticais se deslocam e deformam o conjunto da pea.Contato: [email protected] - Prof. Maria Del Carmen Lopez Galan e Prof. Maria Regina Leoni Schmid Sarro


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A fora cortante tende a provocar o escorregamento dos pedaos longitudinais e transversais da estrutura. Ela pode ser representada graficamente, atravs do diagrama de foras cortantes. A fora cortante sempre aparece quando houver variao do momento fletor sobre um elemento estrutural. Portanto, momento fletor e fora cortante so dois esforos internos que acontecem simultaneamente nas estruturas sujeitas flexo. Os elementos constituintes de sistemas estruturais devem ser dimensionados flexo, ou seja, devem ser calculados e projetados para resistir, entre outros, todos os esforos de flexo atuantes sobre eles - momentos fletores e foras cortantes. Os diagramas de esforos internos atuantes sobre uma pea so fundamentais para se ter uma noo da intensidade desses esforos ao longo da pea. So, portanto, ferramentas bsicas para o desenvolvimento do clculo e do projeto correto de cada elemento de uma estrutura, assim como da estrutura como um todo.




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Mtodo grfico para desenhar diagramas de momentos fletores e foras cortantes de vigas 1

possvel se desenhar diagramas de foras cortantes e momentos fletores por um mtodo grfico. Deve-se comear desenhando o diagrama de foras cortantes, para depois se fazer o diagrama de momentos fletores, seguindo estas regras bsicas: 1. Desenhar a viga com todos os seus carregamentos, incluindo reaes de apoio j calculadas. 2. Desenhar o sistema de eixos ortogonais que representar o diagrama de foras cortantes: - no eixo horizontal x, devem ser representadas as distncias x da viga. O eixo deve comear em 0,0 m (extremidade esquerda da viga) e ir at o comprimento total da viga, contendo todos os pontos onde h cargas concentradas ou distribudas e momentos aplicados na viga. - no eixo vertical V, sero representadas as foras cortantes ao longo da viga. Para essa representao, adotamos os sinais + e indicados na figura abaixo:

3. Desenhar as foras cortantes da esquerda para a direita, seguindo as recomendaes abaixo: 3.1: Para construir o diagrama de foras cortantes, comear pelo lado esquerdo da viga (onde x=0) e seguir deslocando-se para a direita da viga, at chegar ao seu comprimento total. Cada fora concentrada ou distribuda causar uma alterao no comportamento do diagrama.

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Observaes:

- Todos os diagramas prontos mostrados nesta seo foram obtidos com os softwares MDSolids (Educational Software for Mechanics of Materials), disponvel para download no endereo http://www.mdsolids.com, e FTool (Two-dimensional Frame Analysis Tool), disponvel para download no endereo https://web.tecgraf.puc-rio.br/ftool/. Ambos so disponveis gratuitamente para fins educativos e constituem-se em excelentes ferramentas para se aprender a lgica dos diagramas de esforos internos, contendo inclusive animaes para ilustrar diversos casos de estruturas. - Como os diagramas aqui mostrados foram feitos a partir de softwares que no arredondam os valores encontrados, alguns valores aparecem com diferenas pequenas daqueles obtidos pelas contas feitas manualmente.Contato: [email protected] - Prof. Maria Del Carmen Lopez Galan e Prof. Maria Regina Leoni Schmid Sarro


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3.2: Uma fora concentrada causa um degrau (ou seja, uma descontinuidade) no diagrama de foras cortantes, na posio da fora. O degrau tem a mesma direo da fora concentrada: se a fora for de cima para baixo, a descontinuidade ser para baixo. Se a fora for de baixo para cima, a descontinuidade ser para cima. Isso vale para todas as foras aplicadas na viga, incluindo reaes de apoio. 3.3: Um carregamento distribudo resulta em uma linha ascendente ou descendente no diagrama de foras cortantes. Se o carregamento for de cima para baixo, a linha ser descendente. Se o carregamento for de baixo para cima, a linha ser ascendente. Em termos de valores no diagrama, essa subida ou descida ser igual rea da fora distribuda. 3.4: Se no meio de uma fora distribuda existir uma fora concentrada, deve-se dividir a fora distribuda em duas para a sua representao. Primeiro, desenha-se o pedao de fora que vai at a fora concentrada, em seguida desenha-se a fora concentrada, e posteriormente continua-se a desenhar a fora distribuda. A diferena de fora cortante entre dois pontos sujeitos a um carregamento distribudo igual rea do carregamento entre esses pontos. 3.5: Todo diagrama de foras cortantes comea a ser traado pelo ponto de altura zero (ver ilustrao mostrando ponto de incio do traado) e j segue (no prprio ponto x=0) at o valor da fora vertical aplicada nesse ponto, seja ela de ao ou reao, caso exista. O mesmo ocorre na finalizao do diagrama. O traado do diagrama comea e termina sobre o eixo de altura zero (V=0). 4. Uma vez finalizado o diagrama de foras cortantes, desenhar o sistema de eixos ortogonais que representar o diagrama de momentos fletores: - no eixo horizontal x, devem ser representadas as distncias x da viga. O eixo deve comear em 0,0 m (extremidade esquerda da viga) e ir at o comprimento total da viga, contendo todos os pontos onde h cargas concentradas ou distribudas e momentos aplicados na viga. - no eixo vertical M, sero representados os momentos fletores ao longo da viga. Para essa representao, adotamos os sinais + e indicados na figura abaixo:




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Observe que na figura acima j esto marcados os pontos principais do diagrama no eixo x pontos onde ocorrem cargas concentradas ou momentos aplicados e pontos de incio e fim de cargas distribudas.

5. Desenhar os momentos fletores da esquerda para a direita, seguindo as recomendaes abaixo: 5.1: Para construir o diagrama de momentos fletores, comear pelo lado esquerdo da viga (onde x=0) e seguir deslocando-se para a direita, at chegar ao seu comprimento total. Cada fora concentrada ou distribuda causar uma alterao no comportamento do diagrama. 5.2: reas existentes no diagrama de foras cortantes devem ser computadas para se construir o diagrama de momentos fletores. O valor de momentos fletores em cada trecho do diagrama exatamente igual s reas do diagrama de foras cortantes, trecho a trecho. Lembre-se que:

rea do retngulo: S=bxh

rea do tringulo: S=bxh/2

rea do trapzio: S = (b+B)/2

5.3: Um momento concentrado aplicado na viga causa um salto (ou seja, uma descontinuidade) no diagrama de momentos fletores, exatamente no ponto de aplicao do momento em questo. Por este processo grfico, devem ser respeitados os seguintes critrios de sinais: para momento horrio: sinal positivo; para momento anti-horrio: sinal negativo:

Obs.: Preste ateno para no se confundir com outras convenes de sinais que eventualmente usam sentidos invertidos para a considerao de momentos fletores. A conveno acima serve para o processo aqui explicado, especificamente.




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5.4: Todo diagrama de momentos fletores comea a ser traado pelo ponto M=0 no lado esquerdo da viga e termina no mesmo valor no lado direito caso isso no ocorra, indica algum erro no traado do diagrama, que deve ser refeito. Caso existam momentos diferentes de zero nas extremidades da viga, o diagrama segue de zero para o valor do momento na prpria extremidade. 5.5: Na construo de diagramas de momentos fletores, sempre interessante prestar ateno aos tipos de apoio existentes na viga: a. Na extremidade de balanos, o momento sempre igual a zero. b. Em apoios simples ou fixos de extremidade da viga, o momento sempre igual a zero. c. Em apoios engastados, o momento sempre negativo, igual reao de apoio de momento naquele engaste. d. Em apoios simples ou fixos intermedirios (que no esto nas extremidades da viga), os momentos so diferentes de zero, normalmente negativos. e. Em trechos onde o diagrama de foras cortantes tiver uma reta horizontal (trecho entre cargas concentradas), o diagrama de momentos fletores ter uma reta inclinada. Em trechos onde o diagrama de foras cortantes tiver uma reta inclinada (trecho correspondente a um carga distribuda), o diagrama de momentos fletores ter uma curva. f. Quando o diagrama de foras cortantes cruzar a linha onde V=0, exatamente na coordenada x daquele ponto ocorrer o mximo valor do momento fletor no trecho em questo. A partir daquele ponto, o momento que estava crescendo, passa a decrescer.

Exemplo de traado de diagramas de foras cortantes e momentos fletores Dada a viga carregada mostrada na figura abaixo e suas respectivas reaes de apoio, desenhar pelo processo grfico os seus diagramas de fora cortante e de momento fletor. Desconsiderar o peso prprio da viga.




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Dados: P1 = 15 kN; P2 = 50 kN; w1 = 22 kN/m, w2 = 10 kN/m; M1=40 kNm RxA = 0; RyA = 64,46 kN ; RyB = 65,54 kN.

Resoluo passo a passo: a) Iniciar pelo diagrama de foras cortantes, desenhando o sistema de eixos, e marcar sobre ele o ponto de incio do traado:

Da esquerda para a direita, desenhar as foras no diagrama, conforme os critrios 3.1 a 3.5: A primeira fora que aparece a reao de apoio RyA = 64,46 kN, de baixo para cima, no ponto x = 0 da viga. Para represent-la no diagrama, desenhamos a partir do ponto x = 0 uma linha de comprimento igual a 64,46, na escala adotada, no mesmo sentido da ocorrncia da fora, ou seja, de baixo para cima.

Para continuar o traado do diagrama, segue-se na viga, da esquerda para a direita, at o aparecimento da prxima fora aplicada sobre ela. Neste caso, como no h foraContato: [email protected] - Prof. Maria Del Carmen Lopez Galan e Prof. Maria Regina Leoni Schmid Sarro


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distribuda a partir do ponto zero, a fora cortante continua constante com o mesmo valor at o ponto 1,5, onde aparece a prxima fora. Desenha-se ento uma linha horizontal do ponto onde se parou, no diagrama, at o ponto x = 1,5 m.

A prxima fora (P1) concentrada, para baixo. Ento, o diagrama d um salto para baixo de comprimento igual ao valor desta fora (15 kN):

Para continuar o traado do diagrama, segue-se para a direita, na viga, at o aparecimento da prxima fora aplicada sobre ela. A prxima fora distribuda (w1 = 22 kN/m) e comea j no ponto x = 1,5 m. Ento, a partir do ponto onde se parou o traado do diagrama, se senha uma linha inclinada, ligando o ponto de incio da fora distribuda ao seu ponto final (x = 4,0 m). Como a fora ocorre de cima para baixo, a linha inclinada ser tambm de cima para baixo, ou seja, descendente. O valor da descida da linha corresponde exatamente rea da fora distribuda que est sendo representada: Fora w1 retangular: rea = b x h Ento: fora total no diagrama= (4 m 1,5 m) x 22 kN/m = 55 kN




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A partir do valor onde se est no diagrama, deve-se traar uma linha para baixo que desa 55 kN de fora, do ponto 1,5 m at o ponto 4 m. Como o diagrama parou no ponto 49,96 de foras, ao descermos 55 unidades na vertical, atravessaremos a linha referente ao ponto V = 0 e passamos para a parte negativa do diagrama:

A prxima fora (P2) concentrada, para baixo. Ento, o diagrama d um salto para baixo de comprimento igual ao valor desta fora (50 kN, na escala adotada):

A prxima fora distribuda de cima para baixo (w2 = 10 kN/m). Isso resulta em linha inclinada para baixo no diagrama, com valor de descida igual rea da fora distribuda: Fora w2 retangular: rea = b x h Ento: fora total no diagrama= (5 m 4 m) x 10 kN/m = 10 kN




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A prxima ocorrncia no carregamento o momento M1 concentrado no ponto x=6m. Um momento concentrado no interfere no diagrama de foras cortantes, ento ele no precisa ser considerado. Desenha-se uma linha constante at se chegar ao prximo ponto de aplicao de fora:

A prxima reao de apoio RyB = 65,54 kN, de baixo para cima. A partir do ponto onde paramos, no desenho do diagrama, desenhamos uma fora no valor de 65,54 kN, na escala adotada, no mesmo sentido da fora (de baixo para cima):




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Todo diagrama de foras cortantes comea pelo valor V=0 no lado esquerdo da viga e termina no mesmo valor no lado direito isso se comprovou atravs do diagrama traado. O diagrama de foras cortantes est finalizado. Com base nele, ser agora desenhado o diagrama de momentos fletores da viga.

b) Iniciar o desenho do diagrama de momentos fletores, desenhando o sistema de eixos, e marcar o ponto de incio do traado:

Da esquerda para a direita, desenhar o diagrama de momentos, conforme os critrios 5.1 a 5.5: Pelo diagrama de foras cortantes, o primeiro trecho entre x = 0 e x = 1,5 m delimitado por uma reta horizontal. A rea correspondente a este trecho igual a 1,5 m x 64,46 kN = 96,70 kNm este ser o valor do momento fletor no ponto 1,5m. Lembre-se que quando no diagrama de cortantes se tem uma reta horizontal, o diagrama de momentos fletores resulta em uma reta inclinada no mesmo trecho:




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No trecho seguinte, de x = 1,5 m a x = 4,0 m, o diagrama de foras cortantes tem uma reta descendente o diagrama de momentos fletores ser ento constitudo por uma curva. Porm, como o diagrama de cortantes passa pelo valor zero, naquele ponto o diagrama de momentos fletores ter o seu valor mximo. Por isso, necessrio dividir o trecho em dois, um de 1,5 m at o ponto onde V passa por zero e outro deste ponto at 4,0 m. Para calcular o comprimento do trecho onde V chega a zero, fazemos uma regra de trs com tringulos semelhantes:

55 kN 49,46 kN

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2,5 m x Ento, x = 2,248m

O valor total do momento no trecho correspondente ao comprimento x vale: Momento = rea do diagrama V =b h 2,248 49,46 = = 55,60 kNm 2 2

A partir do ponto 96,70, o diagrama deve descer em curva para o ponto 96,70 + 55,60 = 152,30 kNm, at o ponto x = 1,5 m + 2,248 m = 3,748 m:




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A partir deste ponto, o diagrama comea a subir. O primeiro trecho de subida vai desde 3,748 m a 4,0 m, ou seja, num trecho de 0,252 m: Momento = rea do diagrama V =b h 0,252 5,54 = = 0,698 kNm 2 2

O diagrama de momentos vai ento do ponto 152,30 kNm at 152,30 0,698 = 151,61 kNm:

No trecho seguinte, de 4,0 m a 5,0 m, o diagrama de foras cortantes tem uma reta descendente o diagrama de momentos fletores ser ento constitudo por uma curva. Porm, como o diagrama de momentos est subindo, ser uma curva para cima. Momento = rea do diagrama V = (b + B) h (55,54 + 65,54) 1 = = 60,54 kNm 2 2

O diagrama de momentos vai ento de 151,60 at 151,61 60,54 = 91,07 kNm:




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Pelo diagrama de foras cortantes, o prximo trecho, entre 5,0 m e 6,0 m, delimitado por uma reta horizontal. A rea correspondente a este trecho igual a 1,0 m x 65,54 kN = 65,54 kNm. O diagrama de momentos vai ento de 91,07 at 91,07 65,54 = 25,54 kNm:

Pelo desenho de carregamentos na viga, v-se um momento aplicado de valor 40 kNm no ponto x=6m. Como o momento horrio, pela conveno de sinais aqui adotada isso significa um momento positivo. Momentos aplicados geram um degrau no diagrama de momentos. Ento, do ponto 25,54 o diagrama vai para o ponto 25,54 + 40 = 65,54 kNm, e ficar assim:

Pelo diagrama de foras cortantes, o prximo trecho, entre 6,0 m e 7,0 m, delimitado por uma reta horizontal. A rea correspondente a este trecho igual a 1,0 m x 65,54 kN = 65,54 kNm, valor que o diagrama de momentos deve agora subir. Como ele j est no ponto de momento = 65,54 kNm, subir at zero:Contato: [email protected] - Prof. Maria Del Carmen Lopez Galan e Prof. Maria Regina Leoni Schmid Sarro


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Agora, analise o conjunto todo da viga carregada e dos diagramas desenhados e perceba a influncia de cada carregamento nos diagramas:




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A figura anterior mostra que os diagramas de foras cortantes e de momentos fletores apresentam caractersticas prprias nos pontos de transio: Onde h cargas verticais concentradas, ocorre: - descontinuidade no diagrama de cortante igual ao valor da carga; - ponto anguloso no diagrama de momento fletor. Onde h carga uniformemente distribuda retangular, ocorre: - diagrama de foras cortantes uma reta; - diagrama de momentos fletores uma parbola (segundo grau) com a concavidade voltada para a carga. Onde h carga com distribuio triangular (no ocorre no exemplo mostrado), ocorre: - diagrama de foras cortantes uma parbola de segundo grau com concavidade a ser analisada; - diagrama de momentos fletores uma curva de terceiro grau com a concavidade voltada para a carga. Onde h momento aplicado, ocorre: - descontinuidade no diagrama de momentos igual ao valor do momento aplicado.




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Exerccios sobre o mtodo grfico para se desenhar diagramas de momentos fletores e foras cortantes 1) Traar os diagramas de momentos fletores e foras cortantes da viga abaixo. Considerar P1 = 200 kN. Desconsiderar o peso prprio da viga. Desenho da viga:

Reaes de apoio resultantes: RxA = 0; RyA = 100 kN ; RyB = 100 kN Diagrama de foras cortantes: (Foras em kN)

Diagrama de momentos fletores: (Momentos em kN x m)




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2) Traar os diagramas de momentos fletores e foras cortantes da viga abaixo. Considerar P1=100 kN. Desconsiderar o peso prprio da viga. Desenho da viga:

Reaes de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 25 kN ; RyB = 75 kN

Diagrama de foras cortantes: (Foras em kN)





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3) Traar os diagramas de momentos fletores e foras cortantes da viga abaixo. Considerar P1=100 kN, P2=100 kN. Desconsiderar o peso prprio da viga. Desenho da viga:







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4) Traar os diagramas de momentos fletores e foras cortantes da viga abaixo. Considerar P1=100 kN, P2=100 kN, P3=200 kN. Desconsiderar o peso prprio da viga. Desenho da viga:

Reaes de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 200 kN ; RyB = + 200 kN






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5) Traar os diagramas de momentos fletores e foras cortantes da viga abaixo. Considerar P1=100 kN, P2=100 kN, P3=200 kN, P4=200 kN. Desconsiderar o peso prprio da viga. Desenho da viga:







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Reaes de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 116,5 kN ; RyB = 83,5 kN






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7) Traar os diagramas de momentos fletores e foras cortantes da viga abaixo. Considerar P1=30 kN, P2=100 kN, P3=30 kN, P4=40 kN; P5=200 kN. Desconsiderar o peso prprio da viga. Desenho da viga:







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8) Traar os diagramas de momentos fletores e foras cortantes da viga abaixo. Considerar P1=30 kN, P2=100 kN, P3=30 kN, P4=40 kN; P5=200 kN. Desconsiderar o peso prprio da viga. Desenho da viga:







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9) Traar os diagramas de momentos fletores e foras cortantes da viga abaixo. Considerar P1=10 kN, P2=20 kN, P3=22 kN, P4=12 kN; P5=50 kN; P6=100 kN. Desconsiderar o peso prprio da viga. Desenho da viga:







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Reaes de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 10 kN; RyB = 10 kN






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Reaes de apoio resultantes: RxA=0; RyA = 25,71 kN; RyB = 14,29 kN






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16) Traar os diagramas de momentos fletores e foras cortantes da viga abaixo. Considerar P1=20 kN, P2=30 kN, P3=40 kN, P4=140 kN, P5=50 kN. Desconsiderar o peso prprio da viga.

Desenho da viga:







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17) Traar os diagramas de momentos fletores e foras cortantes da viga abaixo. Considerar w1=40 kN/m. Desconsiderar o peso prprio da viga. Desenho da viga:

Reaes de apoio resultantes: RxA = 0; RyA = 200 kN ; RyB = 200 kN






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18) Traar os diagramas de momentos fletores e foras cortantes da viga abaixo. Considerar w1=40 kN/m e w2=15 kN/m. Desconsiderar o peso prprio da viga. Desenho da viga:







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19) Traar os diagramas de momentos fletores e foras cortantes da viga abaixo. Considerar w1=15kN/m. Desconsiderar o peso prprio da viga. Desenho da viga:







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Exemplos de diagramas para vigas hiperestticas




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Referncias bibliogrficas: - Beer, Ferdinand Pierre. Resistncia dos Materiais. So Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1982. - Botelho, Manoel Henrique Campos. Concreto armado, eu te amo, para arquitetos. So Paulo: Edgard Blucher, 2006. - Hibbeler, R. C. Esttica. Mecnica para Engenharia. So Paulo: Prentice Hall, 2005. - Rebello, Yopanan Conrado Pereira. Estruturas de ao, concreto e madeira: atendimento da expectativa dimensional. So Paulo: Zigurate Editora, 2005. - Software Ftool, disponvel em https://web.tecgraf.puc-rio.br/ftool. - Software MDSolids, disponvel em http://www.mdsolids.com.




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Anexo: respostas dos exerccios propostos1) 2)

Diagrama de foras cortantes: (foras em kN)

Diagrama de foras cortantes: (foras em kN)

Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm)

Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm)




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3)

4)

Diagrama de foras cortantes:

(foras em kN)


(foras em kN)

Diagrama de momentos fletores: Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm)

(momentos em kNm)




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5)

6)


(foras em kN)


(foras em kN)

Diagrama de momentos fletores:

(momentos em kNm)


(momentos em kNm)




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7)

8)


(foras em kN)


(foras em kN)


(momentos em kNm)


(momentos em kNm)




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9) 10)


(foras em kN)


(foras em kN)


(momentos em kNm) Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm)




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11)

12)


(foras em kN)


(foras em kN)


(foras em kN)


(momentos em kNm)


(momentos em kNm)




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13)

14)


(foras em kN)


(foras em kN)


(momentos em kNm)


(momentos em kNm)




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15) 16)


(foras em kN)


(foras em kN)


(momentos em kNm)


(momentos em kNm)




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17) 18)

Diagrama de foras cortantes: Diagrama de foras cortantes: (foras em kN)

(foras em kN)

Diagrama de momentos fletores: Diagrama de momentos fletores: (momentos em kNm)

(momentos em kNm)




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19)


(foras em kN)


(momentos em kNm)



res mat para arquitetos rev0 2011 corrigida

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