gangorra e leis de newton-rev0

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INTRODUO AO EQUILBRIO DE FORAS

Como funciona uma gangorra?

A gangorra uma mquina simples, equipamento formado por uma tbua longa e estreita apoiada no centro sobre um elemento que permite que a tbua gire ao redor dele, mas no permite que ela se desloque nas direes horizontal ou vertical. Veja:

Duas pessoas sentam na gangorra, uma de cada lado. O apoio O impede a tbua de mexer na horizontal ou na vertical, mas permite que ela gire ao redor do ponto de apoio. O funcionamento ideal da gangorra ocorre quando a pessoa 1 e a pessoa 2 tm pesos parecidos, o que permite que a tbua fique prxima ao equilbrio. Por que? Para entendermos o funcionamento da gangorra, vamos imaginar que a tbua da gangorra est perfeitamente centralizada sobre seu apoio, que as duas pessoas que sentam na tbua tm pesos iguais (P1 = P2) e que as distncias entre elas e o ponto de apoio da gangorra igual (d1 = d2). Quando estas pessoas sentam na tbua, ela fica em equilbrio horizontal, como mostrado na ilustrao acima. O que provoca o giro em uma gangorra a combinao entre o peso aplicado de um lado e a distncia entre esse peso e o apoio da estrutura. Essa tendncia de giro chama-se de momento de fora ou torque em Fsica. O seu valor igual ao valor da fora aplicada multiplicado pela distncia entre esta fora e o eixo de rotao, medida perpendicularmente direo da fora.Universidade Anhembi Morumbi - Curso: Arquitetura e Urbanismo Prof. Maria ReginaDisciplina: RESISTNCIA DOS MATERIAISAssunto

Gangorras e Leis de Newton

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Ento, se temos uma fora F aplicada a uma distncia d de um eixo de rotao, o momento desta fora em relao ao eixo de rotao ser:

M=Fxd

Este momento M mede a tendncia da fora F girar o sistema ao redor do seu ponto de apoio. Agora, vamos ver o que acontece na gangorra acima. Do lado esquerdo, temos a fora P1, referente ao peso da pessoa 1, que est distncia d1 do apoio. Do lado direito, temos a fora P2, referente ao peso da pessoa 2, que est distncia d2 do apoio. Representando as foras P1 e P2 por duas setas, e a tbua da gangorra por uma linha, temos:

A fora P1 tende a girar o sistema para a esquerda (giro anti-horrio). Como vimos, a tendncia de giro vale M = F x d, ou seja: Mesq = P1 x d1 A fora P2 tende a girar o sistema para a direita (giro horrio). Essa tendncia de giro vale: Mdir = P2 x d2 Quando os momentos esquerda e direita so iguais, a tbua ficar em equilbrio. Como no caso da gangorra os pesos P1 e P2 so iguais e as distncias d1 e d2 so iguais, teremos os momentos esquerda e direita iguais, ou seja: Mesq = Mdir

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Essa a condio para equilbrio ao giro em redor de um ponto. Toda vez em que os momentos que tendem a girar o sistema num sentido so iguais aos momentos que tendem a girar o sistema no sentido contrrio, o sistema estar equilibrado em relao ao giro. Veja o que acontece se as pessoas 1 e 2 sentarem na gangorra mais prximas ao apoio central:

Os pesos P1 e P2 continuam sendo iguais. Se d1 e d2 tambm forem iguais, o equilbrio da tbua na horizontal ainda ocorrer, pois estar mantida a condio Mesq = Mdir Agora, vamos imaginar que a pessoa 1 (P1) se sentar na ponta esquerda da tbua e a pessoa 2 (P2 = P1) se sentar na metade da barra que fica direita do apoio. A distncia d1 o dobro da distncia d2. Ser criada a seguinte situao:



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Por que isso acontece, se os pesos P1 e P2 so iguais? Porque a partir do momento que se mexeu nas distncias d1 e d2 e elas deixaram de ser iguais, alterou-se a tendncia de giro de cada lado da gangorra. Veja:

A tendncia de giro esquerda, da fora P1, vale: Mesq = P1 x d1 A tendncia de giro direita, da fora P2, vale: Mdir = P2 x d2 Como P1 = P2 e d2 = 0,5 x d1, podemos escrever essa equao como: Mdir = P1 x (0,5 x d1) ou ou ainda: Mdir = 0,5 x (P1 x d1) Mdir = 0,5 x Mesq

Provamos assim que o momento direita ser a metade do momento esquerda, quando as foras P1 e P2 so iguais e a distncia direita a metade da distncia Universidade Anhembi Morumbi - Curso: Arquitetura e Urbanismo Prof. Maria ReginaDisciplina: RESISTNCIA DOS MATERIAISAssunto


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esquerda. Ento, percebemos que momento diretamente proporcional distncia entre a fora e o apoio considerado. Agora pense: ser que possvel se equilibrar uma gangorra com um elefante de peso 450 kgf de um lado e uma pessoa de peso 90 kgf de outro? Veja o que acontecer nesse caso:

Supondo as distncias d1 e d2 so iguais a 5,0 m, teremos: Mesq = P1 x d1 = 450 x 2,5 = 1125 kgf x m Mdir = P2 x d2 = 90 x 2,5 = 225 kgf x m Como o momento esquerda seria bem maior que o momento direita, nestas condies o equilbrio no seria possvel. Porm, veja o que acontece se mudarmos o ponto de apoio da gangorra, aproximando-o do elefante e afastando-o da pessoa:



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medida em que aproximamos o apoio do elefante, aumenta a distncia entre a pessoa e o apoio e com isso aumenta a sua capacidade de girar a gangorra. Da mesma forma, como a distncia entre o elefante e o apoio diminui, reduz-se tambm a sua capacidade de girar a tbua. Se a tbua tiver comprimento suficiente, poder oferecer equilbrio quando: Mesq = Mdir (condio de equilbrio ao redor do apoio) P1 x d1 = P2 x d2

450 x d1 = 90 x d2

Isolando d2, temos: d2 = 450 x d1 / 90 = 5 x d1 Ou seja, quando d2 for 5 vezes maior que d1, o equilbrio entre o elefante e o homem (com os pesos indicados) ser possvel. Se, por exemplo, d1 valer 1,0 m e d2 valer 5,0 m, a situao de equilbrio ser possvel: 450 x 1 = 90 x 5 450 = 450 (o que demonstra o equilbrio)

O sistema de funcionamento da gangorra representa uma alavanca, ou seja um sistema de foras que permite a uma fora menor uma vantagem mecnica perante uma fora maior. As alavancas so mecanismos muito usados em diversos aplicativos, porque reduzem os esforos necessrios para se equilibrar foras.

O princpio de funcionamento das alavancas pode ser analisado usando-se as Leis de Newton, que so fundamentais para conhecermos bem o funcionamento de sistemas estruturais. Trata-se do prximo assunto que trataremos neste curso.

Dica: o site TV ESCOLA um recurso oferecido pelo Ministrio da Cultura para ajudar professores e alunos no processo de ensino e aprendizado. O site apresenta diversos filmes explicativos sobre assuntos de interesse geral, tais como o funcionamento de alguns sistemas fsicos. Um deles explica claramente como funcionam as alavancas e est no endereo http://tvescola.mec.gov.br/index.php?option=com_zoo&view=item&item_id=301. Para acess-lo, necessrio cadastro prvio, gratuito.Universidade Anhembi Morumbi - Curso: Arquitetura e Urbanismo Prof. Maria ReginaDisciplina: RESISTNCIA DOS MATERIAISAssunto


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Exerccios: o desenho abaixo representa genericamente o funcionamento de uma gangorra. Com base nele, responda os exerccios 1 a 5.

1. Qual a fora P1 necessria para manter a barra horizontal em equilbrio, quando se tem P2 = 400 N, d1 = 3,0 m e d2 = 200 cm? 2. Qual a distncia necessria d2 para que a barra horizontal fique equilibrada? Dados: P1 = 100 kgf, P2 = 120 kgf, d1 = 200 cm. 3. O comprimento total de uma barra de gangorra igual a d1+d2, sem a necessidade de se deixar pontas sobrando para fora dos pontos onde as foras P1 e P2 so aplicadas. Qual o comprimento total de uma barra, em metros, para que ela fique equilibrada na horizontal, quando sujeita s foras P1 = 20 kgf e P2 = 600 kgf, sendo d2 = 50 cm? 4. A fora P1 representa 5 crianas que esto de um lado da gangorra, com pesos de 20 kgf, 25 kgf, 30 kgf, 28 kgf e 32 kgf, respectivamente. Na mdia, elas esto distncia d1 = 4,0 m do apoio da barra. Elas desejam levantar um peso P2 de 300 kgf. Qual a distncia mxima de P2 ao apoio da barra, para que isso seja possvel?



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LEIS DE NEWTON E SUA APLICAO EM ESTRUTURAS

Diferena entre grandezas escalares e vetoriais

Medidas fsicas podem ser de dois tipos: escalares e vetoriais.

As grandezas escalares so aquelas que bastam um nmero e uma unidade para completar a medida. Exemplos: massa medida em kg; basta dizer quero 300g de mussarela e pronto, no precisa outra informao fsica sobre a massa. Volume medido em litros ou m, e tambm uma medida escalar. As grandezas vetoriais so aquelas que so especificadas por um nmero, uma unidade e tambm uma direo e um sentido. Exemplos:

Note que cada direo possui dois sentidos.

As trs Leis de Newton

Isaac Newton viveu na Inglaterra, por volta do ano 1700 e se interessou desde muito jovem em entender as leis que regem o Universo, ou seja, o por qu das coisas. Para ele o mundo era muito complexo para ter surgido do nada e acreditava que deveria ter sido criado pela mente sbia de uma Inteligncia Superior, ou seja, Deus. Alis, ele era muitoUniversidade Anhembi Morumbi - Curso: Arquitetura e Urbanismo Prof. Maria ReginaDisciplina: RESISTNCIA DOS MATERIAISAssunto


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religioso e alm de cincia escreveu muitas coisas sobre a Bblia. Foi para tentar entender a mente desse Criador que pesquisou a natureza e conseguiu descobrir, entre muitas outras coisas, as 3 leis que modelou a Fsica moderna e possibilitou o avano tecnolgico sem o qual hoje no podemos mais viver. As leis de Newton so apresentadas na sequncia.

Primeira Lei de Newton: Lei da Inrcia Se um automvel estiver parado, ele no se movimentar sem motivo, sem alguma fora que provoque esse movimento. Se um carro estiver se movimentando e no houver algo que o provoque a parar, ele no ir parar. A primeira Lei de Newton trata exatamente desses comportamentos, ao dizer que um objeto s muda o seu estado de repouso ou movimento se houver uma fora externa sobre ele que promova essa mudana. Lei da Inrcia: Se a soma das foras que agem sobre um corpo for nula, ele manter seu estado de movimento: se o corpo estiver em repouso, permanecer em repouso; se estiver em movimento, sua velocidade ser constante, ou seja, manter um movimento retilneo uniforme. Fora uma ao de um objeto sobre outro e portanto, jamais pode existir fora com um objeto sozinho; fora deve ser representada por um vetor. Se no houver nenhuma fora sobre um objeto que j est numa certa velocidade, alm de permanecer na mesma velocidade, ele vai continuar em linha reta: s far uma curva se uma fora o empurrar para o lado que se deseja. Inrcia a dificuldade que um objeto apresenta para mudar seu movimento: se estiver parado vai continuar parado at que uma fora aumente sua velocidade; se estiver com uma certa velocidade, ele vai ficar com a mesma velocidade at que uma fora a diminua ou aumente (uma fora a favor do movimento vai aumentar a velocidade e uma fora contra o movimento vai diminuir a velocidade). Os corpos mais pesados tm maior inrcia do que os mais leves, assim, mais difcil movimentar um corpo pesado do que um corpo leve, porque o mais pesado exige muito mais fora. Inrcia est relacionada com a massa a massa de um corpo a medida de sua inrcia. Se compararmos um edifcio alto e esbelto em p com a mesma estrutura deitada, vemos que na primeira opo, por ter pouca rea de contato com o solo, est mais propenso s aes do vento que na segunda opo. A estrutura mais horizontal ocupa mais rea de contato com o solo, tendo portanto sua massa distribuda em rea maior, e assim, maior inrcia.Universidade Anhembi Morumbi - Curso: Arquitetura e Urbanismo Prof. Maria ReginaDisciplina: RESISTNCIA DOS MATERIAISAssunto


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Veja as ilustraes a seguir para entender a comparao entre os edifcios. mais fcil tirar a estrutura vertical do equilbrio, do que a horizontal, que tem maior inrcia.

Segunda Lei de Newton: Lei da Fora muito mais fcil empurrar um carro pequeno, do que um caminho. Da mesma forma, tambm mais fcil parar o carro pequeno, do que o caminho, quando ambos esto na mesma velocidade. A segunda Lei de Newton trata disso, da relao entre fora aplicada nos objetos e o movimento causado. A fora diretamente proporcional massa do corpo e sua acelerao:

A fora F diretamente proporcional massa m e acelerao a. Ou seja, quanto maior a massa, maior a fora necessria para dar uma acelerao; e quanto maior essa acelerao, maior dever ser a fora tambm. Na frmula, a massa dada em kg, a acelerao em m/s e a fora em Newtons (N); 10N aproximadamente a fora do peso da massa de 1kg. Todos os corpos sobre a Terra esto sujeitos acelerao da gravidade. Assim, mesmo parado, um corpo est gerando uma fora proporcional sua massa. Porm, como o corpo est parado, a acelerao que atua sobre ele a acelerao da gravidade. Assim, em vez de F = m a, podemos escrever: P=mx g Ou seja, o valor da fora peso de um corpo de massa m calculado pela sua massa multiplicada pela acelerao da gravidade g. O valor da acelerao da gravidade na Terra aproximadamente igual a 9,8 m/s, muitas vezes arredondado para 10 m/s.Universidade Anhembi Morumbi - Curso: Arquitetura e Urbanismo Prof. Maria ReginaDisciplina: RESISTNCIA DOS MATERIAISAssunto


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Massa uma medida escalar (ou seja, no vetorial), que indica a quantidade de matria presente em um corpo; est relacionada com o nmero de tomos deste corpo. Peso a fora com que a gravidade de um planeta atrai uma certa massa. Est a a diferena entre massa e peso! Massa medida em kg. Mas peso, sendo uma fora, medido em Newton (N) ou kgf (quilograma-fora); observe a relao: 1kgf 10N Ento quando falamos meu peso 70kg, estamos cometendo um erro do ponto de vista cientfico. O certo, em cincia, dizermos 70kgf ou 700N.

A massa um valor constante em qualquer lugar: 1kg de feijo ser 1kg na Lua, em Marte ou no espao interes telar. Mas o peso muda de lugar para lugar, pois a fora com que um objeto atrado calcular-se com F = ma onde a acelerao a acelerao da gravidade daquele local.

Foras sobre um corpo em equilbrio Se observarmos um edifcio convencional no seu lugar e estvel, notamos que ele est em equilbrio esttico, ou seja, est parado em relao ao solo. Quais so, porm, as foras que agem sobre o prdio? Ao fazermos uma anlise superficial existem as seguintes foras: fora peso (a massa da estrutura sofrendo ao da gravidade); fora normal (reao que o cho realiza sobre a estrutura do prdio). Para esse corpo estar em equilbrio, com certeza, as duas foras devem ser iguais. J que se uma fosse maior que a outra o prdio estaria subindo ou afundando. Supondo agora um homem empurrando uma caixa que no sai do lugar. Por que a caixa no sai do lugar? Quais as foras que agem neste momento contribuindo para que a caixa no sai do lugar? A soluo deve ser que a fora que o homem faz deve ser igual fora de atrito entre a caixa e o cho. Aps observarmos as duas situaes notamos que existem algo em comum entre elas. Na primeira a fora para cima (normal) deve ser igual a fora para baixo (peso) e na segunda a fora para esquerda (atrito) deve ser igual a fora para a direita (empurro do homem).



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Como fora uma grandeza vetorial, podemos dizer que para garantir que um corpo no translade a soma vetorial das foras deve ser nula.

Exemplos de aplicao 1. Isaac Newton viveu na Inglaterra, por volta do ano 1700 e se interessou desde muito Na Terra a acelerao da gravidade 10 m/s; na Lua, 1,6m/s; em Jpiter 30m/s. Calcule o peso, em N e kgf, de um saco de arroz de 5 kg em cada um desses lugares. Resposta: Usando a 2a lei de Newton, calculamos:

Na Terra: F= m.a = 5 . 10 = 50N = 5kgf

Na Lua: F= m.a = 5 .1,6 = 8N = 0,8 kgf ou 800gf

Em Jupiter: F = m.a = 5. 30 =150N=15kgf

Note que usamos o fato de que 10N=1kgf, aproximadamente. Observe como o peso fica grande em Jpiter! De fato, l a gravidade muito forte porque o planeta muito grande. 2. Transforme de kgf para N ou de N para kgf, conforme for o caso: a) 50 N b) 2 N c) 4 kgf d) 0,6 kgf

3. Massa varia? E peso? Qual o seu peso na Terra, onde g = 10 m/s? Qual o seu peso em Jpiter, onde a acelerao 30m/s. 4. Como podemos calcular o peso?Universidade Anhembi Morumbi - Curso: Arquitetura e Urbanismo Prof. Maria ReginaDisciplina: RESISTNCIA DOS MATERIAISAssunto


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5. O peso de um objeto na Terra de 100N. a. b. c. Calcule a massa desse objeto, considerando g=10 m/s Calcule a massa desse objeto, considerando g=9,8 m/s Calcule o peso que esse objeto teria na Lua.

Terceira Lei de Newton: Lei da Fora Isaac Newton descobriu tambm que toda vez que um objeto aplica uma fora em outro, recebe de volta a mesma fora na mesma direo, mas em sentido. Esta a lei da Ao e Reao: Se um corpo A faz uma fora sobre o corpo B, o corpo B faz ao mesmo tempo uma fora de mesma intensidade e de sentido contrrio sobre o corpo A. Portanto uma fora nunca est s: se existe uma fora em um corpo, certamente vai existir uma outra fora igual e oposta em outro corpo, quer esteja em contato ou no. Um exemplo de pares de fora ao/reao que no exigem o contato dos corpos a fora magntica, ou a fora da gravidade. Nos exemplos de gangorras que mostramos anteriormente, o apoio reage ao de P1 e P2 com uma fora igual sua soma, porm oposta:



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Exerccios 1. O que acontece quando um corpo A exerce uma fora em outro, B? 2. Expresse a 3a lei de Newton em suas palavras. 3. Faa um desenho com vetores para exemplificar a 3a lei de Newton. 4. A fora de reao existe no mesmo corpo onde acontece a fora de ao? 5. necessrio contato para haver um par de foras ao/reao? D exemplos. 6. O que acontece quando tentamos puxar ou empurrar alguma coisa para frente? 7. Um objeto est apoiado sobre uma mesa, portanto seu peso est sendo aplicado sobre a superfcie da mesa. Qual a direo e o sentido da fora de reao da mesa? 8. Faa um desenho representativo das duas foras: a de ao (aplicada pelo objeto na mesa), e a de reao (aplicada pela mesa no objeto). 9. Se voc tentar empurrar um caminho, certamente seus ps vo deslizar para trs mas o caminho no vai sair do lugar. Por que isso acontece? 10. Calcule a reao de apoio vertical de uma gangorra que recebe em sua barra horizontal os seguintes carregamentos verticais: P1 = 200 N, P2 = 25 kgf, P3 = 40 kgf, P4 = 300 N, P5 = 40 N, P6 = 42 kgf.



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