Relatório

SME0343 – Matemática

para Arquitetura I

Prof. Ton Marar

Camila Mendonça Garcia – 1º ano

A Arquitetura e a Matemática Pode-se achar que não existe ligação entre a Matemática e a Arquitetura, mas as

duas possuem relações muito próximas. É extremamente importante para um

arquiteto da atualidade que se tenha noções claras de proporções para o

gerenciamento dos espaços, cálculos para o critério do material que será utilizado nas

construções, geometria, além de várias outras modalidades desta ciência exata.

É muito comum que se atribua o uso da Matemática somente às Engenharias. Por exemplo, em uma obra de construção, pode-se acreditar que o engenheiro seja responsável por todos os cálculos necessários. Caberia a ele “fazer funcionar” o projeto concebido pelo arquiteto, este completamente alheio ao processo de construção. Esta ideia é errada, uma vez que o arquiteto também pode estar envolvido nessa etapa. Na concepção de um projeto está presente muito mais que a aparência física da obra. Existe um estudo por trás que leva em conta os aspectos sociais e geográficos da região, a geomorfologia do solo a ser trabalhado, até mesmo noções básicas de astronomia, como por exemplo, o conhecimento da posição do sol em relação ao terreno dado ao longo do dia.

No curso de graduação em Arquitetura e Urbanismo nas instituições mais conceituadas, os estudos matemáticos são obrigatórios e essenciais para a formação completa de um bom profissional. A Arquitetura se enquadra na categoria de Ciências Sociais Aplicadas, ou seja, lida com humanidades. Porém, também utiliza a Matemática como uma ferramenta.

Por mais que existam hoje diversos programas de computador capazes de desenvolver automaticamente alguns cálculos ou resoluções necessárias para a realização de um projeto, o total distanciamento entre arquitetura e engenharia em relação à Matemática não é desejado. A falta de envolvimento do profissional com a ciência poderia debilitar a visão do mesmo em relação à proporcionalidade e às formas, fundamentos necessários para a concepção de certas obras. Tais fundamentos são importantes para a Estética, disciplina da arquitetura.

Na Antiguidade, a Arquitetura era considerada um ramo desta ciência exata. Este fato esclarece a profunda relação de ambas. Salingaros (1) escreve sobre como as disciplinas eram indistinguíveis na Antiga Grécia e Roma, situação que perdurou até o surgimento da civilização islâmica, a qual cria pela primeira vez a distinção das duas áreas. Salingaros também chama a atenção para o fato de a construção das pirâmides do Egito poder ter exigido dos arquitetos um grande conhecimento em geometria, sagrada para os antigos egípcios. Contudo, não está comprovada a utilização de estudos de geometria sofisticados para a construção. Há também quem acredite que certas coincidências são encontradas com relação aos ângulos utilizados e ao aparecimento da proporção áurea nas medidas das pirâmides. Entretanto, essas coincidências poderiam

refletir mais o método utilizado para a construção do que a decisão particular dos arquitetos, mas ainda são muito frequentemente discutidas.

O título de “uma das grandes maravilhas do mundo” atribuído às pirâmides ocorre pelo fato de ser uma obra grandiosa para a época na qual foi feita. Até onde se tem conhecimento, as civilizações antigas não possuíam a tecnologia que tal construção demandava. Acerca disso, foi criado um grande mistério com relação a essa obra egípcia, envolvendo teorias religiosas e até mesmo extraplanetárias. Também é um mistério como ocorreu o deslocamento das gigantescas pedras que formam as pirâmides, pois chegavam a pesar toneladas e precisaram ser erguidas até muitos metros de altura. Embora as obras do Estado egípcio contarem com um extenso

exército de escravos, é difícil imaginar que a construção tenha sido inteiramente feita através do trabalho braçal e da força física.

Existem na história do mundo diversos enigmas arquitetônicos similares ao das pirâmides. Um exemplo é o dos “moais” da Ilha de Páscoa, cerca de 700 esculturas feitas de pedra vulcânica representando um torso humano, os “moais”, com peso de até 27 toneladas. Pouco se sabe sobre quem os esculpiu e como foram transportados pelo território da ilha.

Sobre a presença da Matemática na arquitetura atual, pode-se observar que, de forma mais indireta, ela se faz útil na resolução de aspectos que fazem parte da harmonia ou da funcionalidade de uma obra. Por exemplo, na cromatologia (estudo das cores). Estudos comprovam que há uma influência da cor do ambiente sobre o estado de espírito das pessoas, estes efeitos foram comprovados através de estudos químicos, e seu desenvolvimento se deu através de cálculos matemáticos bastante avançados.

Também para a luminosidade artificial, que não é feita de modo aleatório, é necessário cálculos de posição, intensidade da luz e várias outras conclusões possíveis, apenas, pela matemática.

A Física também é uma disciplina de estudo dos arquitetos e engenheiros. Para a

elaboração de um projeto é indispensável compreender a dinâmica e estática dos

corpos, utilizada na elaboração de projetos. A Matemática também é uma ferramenta

da Física, novamente auxiliando a Arquitetura.

Pitágoras

A primeira influencia da matemática na arquitetura foi de Pitágoras (por volta de

569-475 a.C.), uma figura muito emblemática da história da Matemática, uma vez que

nunca deixou escritos de sua autoria. Os pitagóricos acreditavam os princípios

matemáticos eram os princípios de todas as coisas, e que tudo no mundo era feito de

números, afirmação que deu margem a muita discussão e teorias. Chegaram a essa

conclusao após descobrirem que existe uma relação matemática entre as notas da

escala musical e os comprimentos de uma corda vibrante, ocasionando uma

“progressão harmônica”. Foi compreendido que os sons de notas musicais produzidas

por instrumentos de corda estavam relacionadas com o comprimento destas cordas.

Tais pensamentos e descobertas de Pitágoras tiveram grande influência na

Arquitetura.

Essa influência pode ser exemplificada pela criação por Pitágoras de um princípio da

Estética baseado na proporção. A regularidade geométrica foi utilizada como um

padrão de beleza da forma e aplicada na arquitetura da Antiguidade Grega. O mesmo

pode ser dito a respeito da simetria das formas.

Tomemos como exemplo desses princípios o Parthenon:

A repetição em diversos

momentos da razão utilizada na

construção garantiu a tal beleza

arquitetônica já mencionada,

relacionada à proporcionalidade.

Já o uso de triângulos pitagóricos para a

construção do Parthenon garantiu que os ângulos

encontrados fossem os corretos.

O “Teorema de Pitágoras” é uma das grandes

contribuições do estudioso para a Matemática, e diz:

Num triângulo retângulo a soma dos quadrados dos

catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Ou seja, se x e

y são catetos do triângulo e z é sua hipotenusa, então x²+y² = z².

Esse Teorema é muito utilizado na Matemática Elementar em todas as disciplinas, e

embora leve o nome de Pitágoras, descobriu-se atualmente que talvez outras

civilizações anteriores já possuíam esse conhecimento.

Sobre a proporcionalidade da forma, apesar de ter sido muito cultuada,

principalmente na Antiguidade, é questionável a beleza quase divina atribuída a ela. A

visão do período a respeito de seu uso acaba excedendo a de um “simples”

aperfeiçoamento técnico, para uma ideia extremamente romantizada.

Platão

Platão (427 a.C. – 347 a.C.) foi influenciado pelos estudos de Pitágoras. Seu

conceito do mundo físico é peculiar, dizia que este mundo é imperfeito, enquanto que

o mundo das ideias era perfeito. Acreditava que somente no mundo das ideias

existiam as representações matemáticas, e que estas nunca poderiam ser

materializadas.

Segundo Platão, uma flor do mundo real, a qual se pode ver, tocar e cheirar, só é

bela dadas algumas condições e durante um prazo, pois está fadada a murchar e

morrer, transformando-se dentro do mundo real. Ainda seguindo esta lógica, uma

construção arquitetônica pode ser considerada mais bela para Platão que a flor, pois

enquanto esta possui vida curta no mundo real, as construções duram muitos anos.

Assim, é importante que se construa seguindo os princípios da Matemática.

As representações matemáticas, portanto, possuem maior beleza ainda, uma vez

que só existem no mundo das idéias e não dependem das mesmas condições para

existirem.

A seu nome são atribuídos os sólidos platônicos: o cubo, o tetraedro, o octaedro, o

dodecaedro e o icosaedro. Para um polígono ser considerado sólido platônico ele deve

ser regular, com todas as faces congruentes, e possuir o mesmo número de arestas

convergindo em todos os seus vértices.

Um fato curioso é que estas figuras são as únicas cinco que podem ser usadas para

representar o dado, utilizado em jogos de azar. Isso porque a massa dos sólidos está

dividida igualmente pelo seu volume. Assim, a probabilidade de o objeto cair com

qualquer uma das faces voltadas para cima é a mesma.

Cortes dos sólidos platônicos

Podem-se obter diversos polígonos executando cortes ao longo do volume dos

poliedros de platão. Aqui estão algum deles:

O cubo:

Intersecção pela face: As fatias são sempre quadrados.

Intersecção tocando primeiro uma aresta: A fatia parte como aresta, transformando-se num retângulo, este cresce, por um momento toma a forma de um quadrado, para depois ficar mais largo que alto. Na sua largura máxima, mede o mesmo que a diagonal de uma face quadrada do cubo. O rectângulo encolhe para tornar-se uma aresta no topo do cubo.

Intersecção tocando primeiro um vértice: O contato inicial é um ponto, que se transforma num pequeno triângulo equilátero. Este cresce até ao momento que toca três vértices do. Neste momento o triângulo começa a ser truncado pelas outras três faces do cubo. A fatia é assim hexagonal, e a meio caminho corta as seis faces do cubo da mesma maneira, sendo neste instante um hexágono regular. À medida que o cubo desce, a fatia transforma-se mais uma vez num triângulo truncado (mas de uma maneira inversa da anteterior), e finalmente transforma-se num triângulo equilátero quando outros três vértices passam através do plano. O triângulo diminui até ser um ponto e desaparece.

A proporção áurea e a sequência de Fibonacci

A proporção áurea, número de ouro, número áureo ou proporção de ouro é uma constante denotada pela letra grega φ (PHI) e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618. Também é chamada de seção áurea (do latim sectio aurea), razão áurea, razão de ouro, divina proporção. Acredita-se que esta proporção é amplamente utilizada na arquitetura por ser a mais bela aos olhos humanos.

Na prática, é encontrada da seguinte maneira:

A razão entre os segmentos

dados “a+b” e “a” é igual à razão

entre “a” e “b”. Ou seja, “a+b” está

para “a”, assim como, “a” está para

“b“.

Após utilizar a substituição na fórmula, chega-se ao resultado positivo possível:

1,618...

A sequência de Fibonacci é uma sucessão de somas, iniciadas com 0 e 1, onde os

próximos números encontrados resultam da soma dos dois últimos.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, , 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…

Essa sequência pode ser relacionada com o número áureo, pois a razão entre o

maior e o menor de quaisquer dois números sucessivos pode ser representada pela

seguinte fórmula:

Fibonacci utilizou a sequência pela primeira vez para descrever o crescimento de uma população de coelhos.

FOTO

Existem várias aplicações à sequência de Fibonacci. Ela pode ser utilizada para

transformação aproximada de distâncias em milhas para quilômetros, pois,

concidentemente, o fator de conversão é um número muito próximo de 1,618 (1,609).

Pode ser utilizada também para a afinação de instrumentos, e há quem acredite que

ajuda a entender o comportamento da bolsa de valores. Certos economistas defendem

que a relação entre vales e picos da bolsa tende a manter uma razão aproximada à de

dois numeros sucessivos da sequência.

Outras aplicações de Fibonacci são discutidas, mas não foram comprovadas. Há

quem acredite que na natureza é possível encontrar diversos exemplos, como nas

folhas de uma planta, em galhos de árvore ou em frutas.

Acredita-se que a proporção áurea esteja presente em todo o universo, inclusive na

arquitetura. É possível encontrar pela internet milhares de imagens de supostas

incidências da medida áurea no cotidiano. Certos casos são extremamente

incoerentes, como este a seguir:

É muita ingenuidade acreditar que algo tão

irregular como a dentição possa obedecer a uma

proporção áurea contida no DNA. Além disso, a foto

utilizada para demonstração está em perspectiva, ou seja, não possibilita tal

comparação do tamanho real dos dentes em sucessão. O autor da imagem aproveita-

se da coincidência contida na fotografia e forja a situação de que exista, de fato, a

proporção de ouro.

Algumas outras hipóteses são discutíveis, como por exemplo, a do “Homem

Vitruviano” de Leonardo da Vinci:

A forma do corpo humano e sua

fisiologia são matérias antigas de

interesse e debate, principalmente

após o Renascimento Cultural do século

XVI. Nesta época, o distanciamento do

homem com relação à visão teocêntrica

do mundo permitiu que fosse

explorado o antropocentrismo, ou seja,

a valorização do ser humano.

Arq. Foram retomados os

valores clássicos como o hedonismo

(em detrimento de uma vida que obedecia aos dogmas da Igreja) e a mitologia grega,

esta que trazia como divindade máxima deuses que muito se assimilavam da figura do

homem. Com isso, o ideal de beleza e perfeição da forma voltou-se ao corpo humano.

Os estudos de anatomia foram intensos no período, através da prática da dissecação

de cadáveres foi possível avançar no conhecimento da fisiologia. Neste momento, a questão da proporcionalidade do corpo humano passou a ser

explorada por muitos dos estudiosos do período. A

(1)Z Sagdic, Ottoman architecture: relationships between architectural design and

mathematics in architect Sinan's works, in Nexus III : architecture and mathematics,

Ferrara, June 4-7, 2000 (Pisa, 2000), 123-132.

(2) http://www.infoescola.com/arqueologia/moais/