FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJCOLÉGIO: C.E. GENERAL DUTRAPROFESSOR: LUCIANE OLIVEIRA DA SILVAMATRÍCULA: 09512377SÉRIE: 9º ANO – E. FUNDAMENTALTUTOR (A): DANUBIA DE ARAUJO MACHADO

PLANO DE TRABALHO SOBRE EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AO 2º GRAU

Luciane Oliveira da SilvaLucyanne_uff@yahoo.com.br

1. Introdução:

As primeiras noções do que é uma equação surgem logo nos primeiros anos do Ensino Fundamental, onde se estudam as equações algébricas dos primeiro e segundo graus. Fora o caráter formativo de tais conceitos, a verdade é que a grande maioria dos alunos que prosseguem seus estudos ingressando no Ensino Superior, onde a Matemática continua a ser estudada, não voltam mais a abordar o aperfeiçoamento do que vem lá de trás, especialmente as equações do tipo algébrico, completas e de grau superior ao segundo.

A resolução de problemas que envolvam equações do primeiro e segundo graus já é de conhecimento dos alunos do 9º ano do Ensino Fundamental no terceiro bimestre. Para estas equações é possível encontrar os valores das incógnitas à custa de operações elementares – adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raiz de índice inteiro – sobre os coeficientes das equações, usando o que se designa por fórmulas resolventes. Sabe-se que existem equações de graus superiores, mas estas possuem suas fórmulas resolventes, mas estas são muito complicadas, o que leva à resolução dessas equações por outros meios, que não sejam estas fórmulas.

Neste plano de trabalho, utilizaremos objetos situações cotidianas do aluno como modelo para conhecer e explorar algumas atividades matemáticas tornando as aulas mais atrativas de dinâmicas.

Para a realização desta atividade, o professor deve estimular o aluno para que este seja o agente ativo da construção do novo conhecimento que lhe está sendo apresentado.

2. Estratégias adotadas no Plano de Trabalho:

Este Plano de Trabalho está organizado em 2 (duas) etapas. Em cada uma delas, os alunos são convidados, através de atividades dinâmicas, a lembrar a forma de resolver equações do segundo grau e na descoberta de como resolver uma equação biquadrada. Tudo isso resultará em um aprendizado significativo.

Atividade 1:

Habilidade relacionada:- Resolver equações biquadradas e irracionais;- Identificar situações-problemas que são resolvidas através de equações do 2º grau;- Resolver problemas significativos envolvendo equações e sistemas do 2º grau.

Pré-requisitos:Para a realização desta atividade, é necessário que os alunos tenham o conhecimento prévio de resolução de equação polinomial do segundo grau.

Tempo de Duração:100 minutos (2 aulas).

Recursos Educacionais Utilizados: Para a realização destas atividades, serão necessários os seguintes recursos:

Quadro branco;Caneta para quadro branco;Calculadora;Lápis e folha de aula;

Organização da turma: Esta tarefa será realizada em pequenos grupos (2 ou 3 participantes) para que o trabalho seja colaborativo e que ninguém fique ocioso durante a aula e sim participando e descobrindo o conteúdo apresentado.

Objetivos:Ao término das aulas, o aluno deverá ser capaz de:

Relembrar a resolução de equações do segundo grau;Resolver equação polinomial do segundo grau; Identificar uma equação biquadrada;Resolver equação biquadrada;Perceber quantas raízes reais uma equação biquadrada pode ter;

Metodologia adotada:Esta atividade está dividida em duas etapas com duração de 50 minutos cada

(uma aula).

1ª etapa:

Propor o seguinte questionamento para que a turma relembre a resolução de equações do segundo grau:

“Um ourives vai utilizar um fio de ouro de 20 mm de comprimento para fazer um pingente, formado por dois quadrados, conforme mostra a figura abaixo.

Ele precisa fazer isto com apenas um corte neste fio, para evitar desperdício de material. Desprezando a espessura dos fios, a soma das áreas dos quadrados limitados pelo fio é 13 mm2. Qual deve ser o comprimento dos dois fios obtidos do corte no fio de ouro?”

O professor deve determinar um tempo para que a turma pense sobre as possíveis soluções e levante suas hipóteses. O professor deve acompanhar o raciocínio deles.

Este problema explora uma situação geométrica que será modelada por meio da álgebra, particularmente por uma equação do 2º grau. O professor deve verificar as hipóteses dos alunos e, logo após, resolver o problema juntamente com eles.

Se chamarmos de x o comprimento de uma das partes em que o fio for dividido, a outra parte terá comprimento 20 – x. Note que estes comprimentos são o perímetro de cada um dos quadrados que serão formados. Isso significa que os lados de

cada um dos quadrados serão 4

x e 4

20 x−e, consequentemente, suas áreas serão

134

20

4

22

=

−+

xx , que tem solução 81 =x e 122 =x que são as medidas dos dois

pedaços de fios.

2ª etapa:

Para essa etapa a turma deve ser disposta em grupos de 2 ou 3 alunos, propiciando trabalho organizado e colaborativo.

O professor deve apresentar diversas equações polinomiais tais como: 03613 24 =+− xx , 0153 24 =−−xx , 0463 34 =−+− xxx e pedir que verifiquem

quais equações são semelhantes e porquê.O professor deve explicar à turma que equações biquadradas são equações do

4º grau incompletas, onde os coeficientes das variáveis de expoente ímpar são nulos.Exemplos:

0153 24 =−−xx

0237 24 =++ xx

O professor deve estimular o aluno a experimentar, conjecturar e concluir quantas são as raízes de uma equação biquadrada. Nesta etapa, aluno será convidado a verificar as soluções de equações biquadradas. Cada aluno receberá uma lista de exercícios:

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

1. Considere as equações e os números que aparecem ao lado de cada uma delas e verifique se estes últimos são ou não raízes da equação.

a) 03613 24 =+− xx , 2=x e 2−=x

b) 054 24 =−+ xx , 1=x e 1−=x

c) 086 24 =+− xx , 2=x e 2−=x

d) 0245 24 =−+ xx , 3=x e 3−=x

2. Observando os resultados do item anterior, podemos supor que toda vez que um número real r é raiz de uma equação biquadrada, seu simétrico também é raiz desta equação? Por quê?

3. Efetue, em cada equação, a multiplicação dos binômios e verifique se esta multiplicação transforma-a em uma equação biquadrada.

a) ( )( )( )( ) 03322 =+−+− xxxx

b) ( )( )( )( ) 02211 =+−−+ xxxx

c) ( )( )( )( ) 05533 =+−+− xxxx

d) ( )( )( )( ) 02221 =−+−− xxxx

4. Discuta com seus colegas:Será que é possível resolver uma equação biquadrada, utilizando a fórmula de

resolução da equação do segundo grau?

5. Resolva em ℜ as equações biquadradas a seguir:a) 0154 24 =+−xx

b) 0132 24 =+−xt

c) 045 24 =+=xx

d) 164 =y e) 0743 24 =−+ zz

f) 24 3xx =

Após corrigir as atividades de 1 a 3, o professor deve discutir com a turma a questão 4. Deverá ouvir a opinião dos alunos e, depois, explicar que esse tipo de equação pode ser resolvida mudando-se a variável a fim de que forme-se equações do 2º grau. Basta substituir a variável 4x por 2y e 2x por y . Desta maneira, obtemos:

024 =++ cbxax 02 =++ cbyay

Então:

{ }21, yyS =

A seguir basta conduzi-la à equação biquadrada. Para tanto, faz-se:

−=

+=→±=

−=

+=→±=

24

23

2

12

11

1

yx

yxyx

yx

yxyx

O professor deve resolver uma equação juntamente com a turma ou pedir que escolham uma equação biquadrada para que o professor resolva juntamente com eles, explicando e demonstrando cada passo da resolução. Após a demonstração, o professor deve solicitar que os alunos resolvam o exercício 5 da lista, que deve ser corrigida e discutida após um tempo determinado pelo professor que acompanhará resolução de cada atividade auxiliando sempre que surgirem quaisquer dúvidas.

3. Avaliação:

A avaliação levará em conta a participação de cada aluno na execução de cada tarefa proposta, tentativa de resolução dos exercícios de fixação e entendimento do aluno perante os conteúdos apresentados.

4. Referências:

BOSQUILHA, Alessandra & AMARAL, João Tomás. Minimanual Compacto de Matemática: Teoria e Prática. 2. ed. São Paulo: Rideel, 2003.

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília – DF: MEC/SEF, 1998.

IEZZI, Gelson. Matemática e Realidade. 8ª série, 5 ed. São Paulo: Atual, 2005.

LOPES, Hélio Bernardo. A resolução de equações. Disponível em: <http://www.ipv.pt/millenium/Millenium29/28.pdf> Acesso em: 03 set. 2011.