Equações do 1. º grauEquações do 1. º grau

Informática Educativa IIInformática Educativa II

Andressa Borba da SilvaAndressa Borba da Silva

Breve introdução de equaçõesBreve introdução de equações

Aos 10 anos de idade, Albert Einsten gritava emocionado Aos 10 anos de idade, Albert Einsten gritava emocionado ““GooolGoool” toda vez que resolvida um dos complicados ” toda vez que resolvida um dos complicados problemas matemáticos sugeridos pelo seu querido tio Jakob.problemas matemáticos sugeridos pelo seu querido tio Jakob.

Seu tio dava aulas de álgebra e naquela época para que Einsten Seu tio dava aulas de álgebra e naquela época para que Einsten se interessasse pelo estudo das equações, descrevia a resolução se interessasse pelo estudo das equações, descrevia a resolução das mesmas como “das mesmas como “uma ciência divertida em que saímos à uma ciência divertida em que saímos à caça de um pequeno animal cujo nome não sabemos. Por isso caça de um pequeno animal cujo nome não sabemos. Por isso o chamamos de “x” e quando o capturamos, damos-lhe o o chamamos de “x” e quando o capturamos, damos-lhe o nome certo”nome certo”

Equação tem o prefixo Equação tem o prefixo equaequa que provém do Latim e significa que provém do Latim e significa igualigual

Introdução ao conceito de equaçõesIntrodução ao conceito de equações

É exatamente isso, para resolver um problema, na maioria das vezes temos É exatamente isso, para resolver um problema, na maioria das vezes temos que transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que seja escrita em linguagem matemática. que seja escrita em linguagem matemática.

Por exemplo:Por exemplo:

1-“1-“João tem um lápis a menos que MariaJoão tem um lápis a menos que Maria””Se x representa o número de lápis que Maria possui,Se x representa o número de lápis que Maria possui,x-1 representa a quantidade de lápis de João.x-1 representa a quantidade de lápis de João.

2 – A expressão 2y -1 pode representar a frase “ 2 – A expressão 2y -1 pode representar a frase “ O dobro de um número O dobro de um número menos 1menos 1” , ou ainda, “” , ou ainda, “Subtraindo 1 ano do dobro da idade de Carol, temos Subtraindo 1 ano do dobro da idade de Carol, temos a idade de Rogérioa idade de Rogério””

Equações do 1.ºgrau com uma variávelEquações do 1.ºgrau com uma variável

Nesta transformação de uma sentença apresentada com Nesta transformação de uma sentença apresentada com palavras em uma sentença com linguagem matemática, como palavras em uma sentença com linguagem matemática, como vocês podem perceber utilizamos letras ( “x” e “y”) . Essa vocês podem perceber utilizamos letras ( “x” e “y”) . Essa letras são conhecidas como variáveis ou incógnitas.letras são conhecidas como variáveis ou incógnitas.

O objetivo do estudo de equações é “descobrir” o valor de algo O objetivo do estudo de equações é “descobrir” o valor de algo desconhecido.desconhecido.

Visualizando a Equação de 1.º grauVisualizando a Equação de 1.º grau

Vamos visualizar a situação abaixo Vamos visualizar a situação abaixo

8kg2kg

A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas abóboras com "pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 8Kg. Quanto pesa cada abóbora?

2 abóboras + 2Kg = 8KgUsaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada abóbora. Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:

2x + 2 = 8

Resolvendo a equação:Resolvendo a equação:

2x +2= 82x +2= 8 2x = 8 – 22x = 8 – 2 2x = 62x = 6 x = 6/2x = 6/2 x = 3x = 3

Resposta:Resposta: Logo temos que cada abóbora pesa 3 kg. Logo temos que cada abóbora pesa 3 kg.

Verificando a respostaVerificando a resposta

Para verificar se a resposta está correta, basta Para verificar se a resposta está correta, basta substituirmos o valor de x na equação:substituirmos o valor de x na equação:

2x +2= 82x +2= 8 2(3)+2 = 82(3)+2 = 8 6+2 = 86+2 = 8 8=88=8 A sentença é verdadeira. A sentença é verdadeira.

ConclusõesConclusões

O lema é traduzir mesmo, uns traduzem português para inglês, e O lema é traduzir mesmo, uns traduzem português para inglês, e vice-versa, nós aqui vamos traduzir problemas ou melhor vice-versa, nós aqui vamos traduzir problemas ou melhor equacioná-los e o mais importante encontrar a solução.equacioná-los e o mais importante encontrar a solução.

Resumindo toda equação tem:Resumindo toda equação tem:

Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incógnitas ;denominadas variáveis ou incógnitas ;

Um sinal de igualdade, denotado por =Um sinal de igualdade, denotado por = Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro

ou membro da esquerda;ou membro da esquerda; Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou

membro da direita.membro da direita.

Presentinho “ O enigma de Diofante”Presentinho “ O enigma de Diofante”

A história não guardou muitos dados sobre a vida de A história não guardou muitos dados sobre a vida de Diofante. Tudo o que sabemos dele estava numa Diofante. Tudo o que sabemos dele estava numa dedicatória gravada em seu túmulo – com toda dedicatória gravada em seu túmulo – com toda certeza escrita por Hipatia (segundo relatos foi a certeza escrita por Hipatia (segundo relatos foi a primeira mulher matemática da história – primeira mulher matemática da história – infelizmente ela foi assassinada ): infelizmente ela foi assassinada ):

Caminhante!Aqui foram sepultados os restos de Diofante. E Aqui foram sepultados os restos de Diofante. E os números podem mostrar – oh, milagre – os números podem mostrar – oh, milagre – quão longa foi a sua vida, cuja sexta parte quão longa foi a sua vida, cuja sexta parte constituiu sua formosa infância. constituiu sua formosa infância.

E mais um duodécimo pedaço de sua vida E mais um duodécimo pedaço de sua vida havia transcorrido quando de pêlos se cobriu o havia transcorrido quando de pêlos se cobriu o seu rosto. seu rosto.

E a sétima parte de sua existência transcorreu E a sétima parte de sua existência transcorreu em um matrimônio sem filhos.em um matrimônio sem filhos.

Passou-se um qüinqüênio mais e deixou-o Passou-se um qüinqüênio mais e deixou-o muito feliz o nascimento de seu primeiro filho muito feliz o nascimento de seu primeiro filho que entregou à terra seu corpo, sua formosa que entregou à terra seu corpo, sua formosa vida, que durou somente metade da de seu pai.vida, que durou somente metade da de seu pai.

E com profundo pesar desceu à sepultura, E com profundo pesar desceu à sepultura, tendo sobrevivido apenas quatro anos ao tendo sobrevivido apenas quatro anos ao descenso de seu filho.descenso de seu filho.

Diga-me: Quantos anos viveu Diofante Diga-me: Quantos anos viveu Diofante quando lhe chegou a morte?quando lhe chegou a morte?

Vamos “traduzir”Vamos “traduzir”Caminhante! Aqui foram sepultados os restos de Diofante. E Aqui foram sepultados os restos de Diofante. E os números podem mostrar – oh, milagre – quão longa foi a os números podem mostrar – oh, milagre – quão longa foi a sua vida, sua vida,

6

x cuja sexta parte constituiu sua formosa infância. cuja sexta parte constituiu sua formosa infância.

E mais um duodécimo pedaço de sua vida havia transcorrido E mais um duodécimo pedaço de sua vida havia transcorrido quando de pêlos se cobriu o seu rosto. quando de pêlos se cobriu o seu rosto.

x

12

x

Traduzindo a equaçãoTraduzindo a equação

E a sétima parte de sua existência transcorreu em E a sétima parte de sua existência transcorreu em um matrimônio sem filhos.um matrimônio sem filhos.

7

x

Passou-se um qüinqüênio mais e deixou-o muito Passou-se um qüinqüênio mais e deixou-o muito feliz o nascimento de seu primeiro filho, feliz o nascimento de seu primeiro filho,

que entregou à terra seu corpo, sua formosa vida, que entregou à terra seu corpo, sua formosa vida, que durou somente metade da de seu pai.que durou somente metade da de seu pai.

2

x

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Terminando a traduçãoTerminando a tradução

E com profundo pesar desceu à sepultura, tendo E com profundo pesar desceu à sepultura, tendo

sobrevivido apenas quatro anos ao descenso de seu filho.sobrevivido apenas quatro anos ao descenso de seu filho.

Diga-me: Quantos anos viveu Diofante quando lhe chegou Diga-me: Quantos anos viveu Diofante quando lhe chegou a morte?a morte?

44

Equação “traduzida”Equação “traduzida”

Ainda bem que hoje nós sabemos decifrar esta dedicatória Ainda bem que hoje nós sabemos decifrar esta dedicatória através de uma equação:através de uma equação:

849

756

7569

33642042127148484

3364242012714

84

84

42

57126

=

=

=+=−−−−

+++++=

+++++=

x

x

x

xxxxx

xxxxx

xxxxx

Resolvendo o enigma – parte 1Resolvendo o enigma – parte 1Caminhante! Aqui foram sepultados os restos de Aqui foram sepultados os restos de Diofante. E os números podem mostrar – oh, milagre Diofante. E os números podem mostrar – oh, milagre – quão longa foi a sua vida, – quão longa foi a sua vida,

146

84

6==x cuja sexta parte constituiu sua formosa infância.cuja sexta parte constituiu sua formosa infância.

E mais um duodécimo pedaço de sua vida havia transcorrido E mais um duodécimo pedaço de sua vida havia transcorrido quando de pêlos se cobriu o seu rosto. quando de pêlos se cobriu o seu rosto.

84=x

712

84

12==x

Resolvendo o enigma – parte 2Resolvendo o enigma – parte 2

E a sétima parte de sua existência transcorreu em E a sétima parte de sua existência transcorreu em um matrimônio sem filhos.um matrimônio sem filhos. 12

7

84

7==x

Passou-se um qüinqüênio mais e deixou-o muito Passou-se um qüinqüênio mais e deixou-o muito feliz o nascimento de seu primeiro filho, feliz o nascimento de seu primeiro filho,

que entregou à terra seu corpo, sua formosa vida, que entregou à terra seu corpo, sua formosa vida, que durou somente metade da de seu pai.que durou somente metade da de seu pai. 42

2

84

2==x

55

Resolvendo o enigma – parte Resolvendo o enigma – parte finalfinal

E com profundo pesar desceu à sepultura, tendo sobrevivido E com profundo pesar desceu à sepultura, tendo sobrevivido apenas quatro anos ao descenso de seu filho.apenas quatro anos ao descenso de seu filho.

Diga-me: Quantos anos viveu Diofante quando lhe chegou a Diga-me: Quantos anos viveu Diofante quando lhe chegou a morte?morte?

Assim, com a resolução da equações descobrimos que Assim, com a resolução da equações descobrimos que Diofantes morreu aos 84 anos. Diofantes morreu aos 84 anos.

Quatro anos antes presenciou a morte de seu filho, que tinha Quatro anos antes presenciou a morte de seu filho, que tinha 42 anos: ½ . 84 = 4242 anos: ½ . 84 = 42

Diofantes foi pai, portanto, com 38 anos e casou-se aos 21 anos:Diofantes foi pai, portanto, com 38 anos e casou-se aos 21 anos:80-42=3880-42=3838-5-12=2138-5-12=21

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FinalizandoFinalizando

Os matemáticos da época de Hipatia e Diofante não conheciam Os matemáticos da época de Hipatia e Diofante não conheciam as equações. Apenas os considerados “gênios” eram capazes as equações. Apenas os considerados “gênios” eram capazes de resolver desafios como este.de resolver desafios como este.

Graças a Deus, com o passar dos séculos, os matemáticos Graças a Deus, com o passar dos séculos, os matemáticos foram aprendendo a substituir palavras por letras e sinais (=, foram aprendendo a substituir palavras por letras e sinais (=, +, etc.). Isso com certeza tornou os cálculos mais rápidos e +, etc.). Isso com certeza tornou os cálculos mais rápidos e podemos dizer até mesmo mais fáceis. podemos dizer até mesmo mais fáceis.

Obs.:Obs.: Snif, turma, conseguimos resolver o enigma porém não Snif, turma, conseguimos resolver o enigma porém não seremos consideramos “gênios”. seremos consideramos “gênios”.

Bola pra frente, um dia chegaremos lá.Bola pra frente, um dia chegaremos lá.