estudo equações de 2° grau

5/13/2018 Estudo Equações de 2° Grau - slidepdf.com

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Equações de 2º grau

Definições

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x , toda equação da forma:

ax 2

+ bx + c = 0; a , b , c IR e

Exemplo:

• x 2 - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6.

• 6x 2

- x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1. • 7x 2 - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0. • x

2 - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.

Nas equações escritas na forma ax ² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma

equação do 2º grau na incógnita x ) chamamos a , b e c de coeficientes.

a é sempre o coeficiente de x ²;

b é sempre o coeficiente de x ,

c é o coeficiente ou termo independente.

Equação completas e Incompletas

Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:

x ² - 9x + 20 = 0 e -x ² + 10x - 16 = 0 são equações completas.

Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quandoambos são iguais a zero. Exemplos:

• x ² - 36 = 0(b = 0)

• x ² - 10x = 0(c = 0)

• 4x ² = 0(b = c = 0)

Raízes de uma equação do 2º grau

Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.

Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação,transforma-a numa sentença verdadeira.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ouconjunto solução. Exemplos:

• Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação

x ² - x - 2 = 0 ?



2

SoluçãoSubstituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e

verificamos quais as sentenças verdadeiras.

Para x = -1 (-1)² - (-1) - 2 = 0

1 + 1 - 2 = 0

0 = 0 (V)

Para x = 0 0² - 0 - 2 = 00 - 0 -2 = 0

-2 = 0 (F)

Para x = 1 1² - 1 - 2 = 01 - 1 - 2 = 0

-2 = 0 (F)

Para x = 2 2² - 2 - 2 = 04 - 2 - 2 = 0

0 = 0 (V)

Logo, -1 e 2 são raízes da equação.

• Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x ² - 2px ² - 2 = 0.

SoluçãoSubstituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p.

• Logo, o valor de p é .

Resolução de equações incompletas

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas

importantes propriedades dos números reais:

1ª Propriedade:

2ª Propriedade:

1º Caso: Equação do tipo .

Exemplo:



3

• Determine as raízes da equação , sendo .

SoluçãoInicialmente, colocamos x em evidência:

Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:

Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:

De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e .

2º Caso: Equação do tipo

Exemplos:

• Determine as raízes da equação , sendo U = IR.

Solução

De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um

número positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo.

Resolução de equações completas

Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.

A partir da equação , em que a , b , c IR e , desenvolveremospasso a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).

1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.



4

2º passo: passar 4ac par o 2º membro.

3º passo: adicionar aos dois membros.

4º passo: fatorar o 1º elemento.

5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.

6º passo: passar b para o 2º membro.

7º passo: dividir os dois membros por .

Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:

Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:

Exemplos:



5

• resolução a equação:

Temos

Discriminante

Denominamos discriminante o radical b 2 - 4ac que é representado pela letra grega (delta).

Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

1º Caso: O discriminante é positivo .

O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:

Exemplo:

•

Para quais valores de k a equação x ² - 2x + - 2 = 0 admite raízes reais e desiguais?Solução



6

Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter

Logo, os valores de k devem ser menores que 3.

2º Caso: O discriminante é nulo

O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:

Exemplo:

• Determine o valor de p , para que a equação x ² - (p - 1 ) x + p = 0Solução

Para que a equação admita raízes iguais é necessário que .

Logo, o valor de p é 3.

3º Caso: O discriminante é negativo .

O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes daequação são número complexos.

Exemplo:

• Para quais valores de m a equação 3x ² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real?



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Solução

Para que a equação não tenha raiz real devemos ter

Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.

Resumindo

Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos:

Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.

Para , a equação tem duas raízes reais iguais.

Para , a equação não tem raízes reais.

EQUAÇÕES LITERAIS

As equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns termosindependentes indicados por outras letras são denominadas equações literais.

As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, são denominadasparâmetros.

Exemplos:

ax2+ bx + c = 0 incógnita: x

parâmetro: a, b, c

ax2 - (2a + 1) x + 5 = 0 incógnita: x

parâmetro: a

Equações literais incompletas

A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das equaçõesnuméricas.

Observe os exemplos:

• Resolva a equação literal incompleta 3x2 - 12m2=0, sendo x a variável.

Solução



8

3x2 - 12m2 = 0

3x2 = 12m2

x2 = 4m2

x=

Logo, temos:

• Resolva a equação literal incompleta my 2 - 2aby=0,com m 0 , sendo y a variável.

Solução

my 2

- 2aby = 0

y(my - 2ab)=0

Temos, portanto, duas soluções:

y=0

ou

my - 2ab = 0 my = 2ab y=

Assim:

Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assimresolvido:

my 2

- 2aby= 0

my 2 = 2aby

my = 2ab

Desta maneira, obteríamos apenas a solução .



9

O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y.

Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando destamaneira a divisão por zero, que é um absurdo.

Equações literais completas

As equações literais completas podem ser também resolvidas pela fórmula de Bhaskara:

Exemplo:

Resolva a equação: x 2

- 2abx - 3a 2 b

2 , sendo x a variável.

Solução

Temos a=1, b = -2ab e c=-3a 2 b

2

Portanto:

Assim, temos: V= { - ab, 3ab}.

RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES

Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessaequação.

Logo:



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Observe as seguintes relações:

• Soma das raízes (S )

• Produto das raízes (P )

Como ,temos:

Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos deaplicação dessas relações.

• Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x - 2 = 0.

Solução

Nesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2.

A soma das raízes é igual a . O produto das raízes é igual a

Assim: Assim:

• Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma desuas raízes seja igual a 7.

Solução



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Nesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2.

S= x1 + x2 = 7

Logo, o valor de k é -2.

• Determine o valor de m na equação 4x 2

- 7x + 3m = 0, para que o produto das raízesseja igual a -2.

Solução

Nesta equação, temos: a=4, b=-7 e c=3m.

P= x 1. x 2 = -2

Logo, o valor de m é .

• Determine o valor de k na equação 15x2 + k x + 1 = 0, para que a soma dos diversosde suas raízes seja igual a 8.

Solução

Considere x1 e x2 as raízes da equação.

A soma dos inversos das raízes corresponde a .

Assim:

Logo, o valor de k é -8.

• Determine os valores de m para os quais a equação ( 2m - 1) x2 + ( 3m - 2) x + m + 2= 0 admita:



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a) raízes simétricas;

b) raízes inversas.

Solução

Se as raízes são simétricas, então S=0.

Se as raízes são inversas, então P=1.

COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES

Considere a equação do 2º grau ax 2 + bx + c = 0.

Dividindo todos os termos por a , obtemos:

Como , podemos escrever a equação desta maneira.

x2 - Sx + P= 0

Exemplos:

• Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.

Solução

A soma das raízes corresponde a:



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S= x1 + x2 = -2 + 7 = 5

O produto das raízes corresponde a:

P= x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14

A equação do 2º grau é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14.

Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.

• Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma das

raízes é .

Solução

Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz , a outra raíz será

.

Assim:

Logo, x 2

- 2x - 2 = 0 é a equação procurada.

FORMA FATORADA

Considere a equação ax2 + bx + c = 0.

Colocando a em evidência, obtemos:

Então, podemos escrever:



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Logo, a forma fatorada da equação ax 2 + bx + c = 0 é:

a.(x - x') . (x - x'') = 0

Exemplos:

• Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0.

Solução

Calculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.

Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:

(x-2).(x-3) = 0

• Escreva na forma fatorada a equação 2x2 - 20x + 50 = 0.

Solução

Calculando as raízes da equação 2x2 - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5.

Sendo a= 2, x1=x2= 5, a forma fatorada de 2x2 - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:

2.(x - 5) (x - 5) = 0 ou 2. (x - 5)2

=0

• Escreva na forma fatorada a equação x2 + 2x + 2 = 0.

Solução

Como o , a equação não possui raízes reais.

Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.

EQUAÇÕES BIQUADRADAS



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Observe as equações:

x4 - 13x2 + 36 = 0

9x4 - 13x2 + 4 = 0

x4 - 5x2 + 6 = 0

Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termoem x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.

Denominamos essas equações de equações biquadradas.

Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:

ax4 + bx2 + c = 0

Exemplos:

x4 - 5x2 + 4 = 0

x4 - 8x2 = 0

3x4 - 27 = 0

Cuidado!

x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0 6x4 + 2x3 - 2x = 0 x4 - 3x = 0

As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x sópossui expoentes pares.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA

Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável,transformando-a numa equação do 2º grau.

Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equaçãobiquadrada.



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Seqüência prática

• Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y. • Resolva a equação ay2 + by + c = 0 • Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c =

0.

Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dáorigem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhumaraiz real para a mesma.

Exemplos:

• Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.

Solução

Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

y2 - 13y + 36 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

y'=4 e y''=9

Como x2= y, temos:

Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.

• Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.

Solução

Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

y2 + 4y - 60 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:



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y'=6 e y''= -10

Como x2= y, temos:

Logo, temos para o conjunto verdade: .

• Determine a soma das raízes da equação .

Solução

Utilizamos o seguinte artifício:

Assim:

y2 - 3y = -2

y2 - 3y + 2 = 0

y'=1 e y''=2

Substituindo y, determinamos:

Logo, a soma das raízes é dada por:



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Resolução de equações da forma: ax2n + bxn + c = 0

Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada.

Para isso, substituimos xn por y, obtendo:

ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.

Exemplo:

• resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0.

Solução

Fazendo x3=y, temos:

y2 + 117y - 1.000 = 0

Resolvendo a equação, obtemos:

y'= 8 e y''= - 125

Então:

Logo, V= {-5, 2 }.

Composição da equação biquadrada

Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela fórmula:

(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0

Exemplo:

• Compor a equação biquadrada cujas raízes são:

Solução

a) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0 b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0

x2(x2 -49) = 0 (x2-a2) (x2-b2) = 0

x4 - 49x2 = 0 x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0



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PROPRIEDADES DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADA

Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4 e a equaçãodo 2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.

De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para abiquadrada. Assim:

Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:

1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a -

.

3ª Propriedade:O produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a .

EQUAÇÕES IRRACIONAIS

Considere as seguintes equações:



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Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações sãoirracionais.

Ou seja:

Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL

A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-lainicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação auma potência conveniente.

Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se asraízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equaçãoirracional dada ( verificar a igualdade).

É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação auma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.

Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.

•

Solução

Logo, V= {58}.

•

Solução



21

Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

•

Solução

Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

•

Solução



22

Logo, V={9}; note que é uma raiz estranha a essa equação irracional.

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Observe o seguinte problema:

Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m 2.Determine as medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever:

8x + 4y = 64

2x . ( 2x + 2y) = 192 4x2 + 4xy = 192



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Simplificando, obtemos:

2x + y = 16 1

x2 +xy = 48 2

Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.

Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:

Assim: 2x + y = 16 1

y = 16 - 2x

Substituindo y em 2 , temos:

x2 + x ( 16 - 2x) = 48

x 2 + 16x - 2x2 = 48

- x2 + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.

x2 - 16x + 48 = 0

x'=4 e x''=12

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'=16 - 2 . 4 = 8

y''=16 - 2 . 12 = - 8

As soluções do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).

desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da

quadra:

Comprimento =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m

Largura =2x = 2. 4 = 8m

Verifique agora a solução deste outro sistema:



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Isolando y em 1

y - 3x = -1 y = 3x - 1

Substituindo em 2

x2 - 2x(3x - 1) = -3

x2 - 6x2 + 2x = -3

-5x2 + 2x + 3 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.

5x2 - 2x - 3 = 0

x'=1 e x''=-


As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e .

Logo, temos para conjunto verdade:

PROBLEMAS DO 2º GRAU

Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:

Sequência prática

• Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a

linguagem matemática.

• Resolva a equação ou o sistema de equações. • Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do

problema.

Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:

• Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja

.

Solução



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Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão

representados por .

Temos estão a equação: .

Resolvendo-a:

Observe que a raiz não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.

Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.

• Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos,obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.

Solução

Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por10y + x.

Observe:

Número: 10x + y

Número com a ordem dos algarismos trocada: 10y + x.

Temos, então, o sistema de equações:

Resolvendo o sistema, temos:



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Isolando y em 1 :

-x + y = 3 y= x + 3

Substituindo y em 2:

xy = 18x ( x + 3) = 18x2 + 3x = 18x2 + 3x - 18 = 0x'= 3 e x''= -6


y'= 3 + 3 = 6

y''= -6 + 3 = -3

Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.

Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema onúmero

36 ( x=3 e y=6).

Resposta: O número procurado é 36.

• Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas maisque a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanqueisoladamente.

Solução

Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a2ª torneira encher o tanque.

Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:

Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão do tanque; observe a equaçãocorrespondente:



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Resolvendo-a, temos:

6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )

6x + 30 + 6x = x2 + 5x

x2 - 7x - 30 = 0

x'= - 3 e x''=10

Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.

Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.

• Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentesrecebeu um acréscimo deR$ 400,00 no seu prêmio. Quantos foram presentes nesse jantar?

Solução

Podemos representar por:

Resolvendo-a:

Resposta: Nesse jantar estavam presentes 20 pessoas.

estudo equações de 2° grau

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