FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJCOLÉGIO: C. E. GENERAL DUTRAPROFESSORA: LUCIANE OLIVEIRA DA SILVAMATRÍCULA: 0951237-7SÉRIE: 9º ANO ENSINO FUNDAMENTALTUTOR (A): DANUBIA DE ARAUJO MACHADO

PLANO DE TRABALHO SOBRE EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU

Luciane Oliveira da SilvaLucyanne_uff@yahoo.com.br

1. Introdução:

Este Plano de Trabalho foi elaborado com o objetivo de mostrar aos alunos do 9º ano do Ensino Fundamental os conceitos básicos sobre equação do segundo grau. É indicado para ser utilizado em sala de aula, como reforço ao estudo do conteúdo.

Pretendo que essa abordagem motive os alunos a buscarem ferramentas de cálculo para resolver os problemas práticos propostos, despertando o interesse em aprender formas rápidas, com significado, que determinem com facilidade o resultado buscado.

A tônica desta aula é ajudar o aluno a construir, desenvolver e aplicar idéias e conceitos sobre equações do segundo grau, sempre compreendendo e atribuindo significados ao que está fazendo, buscando relacionar a aplicação dos conceitos à sua vida cotidiana.

Este Plano de Trabalho foi produzido de forma a conter recursos visuais que levassem os alunos a ter uma oportunidade de visualizar de forma agradável o conteúdo estudado e consequentemente compreender os valores sobre o conteúdo estudado. Ele permite que se trace um entrelaçamento entre Álgebra e Geometria, fazendo com que os dois caminhem juntos, de forma a facilitar o desenvolvimento matemático dos alunos.

Equações do segundo grau são conceitos que estão muito mais presentes no nosso cotidiano do que imaginamos.

Todas as tarefas propostas neste Plano de Trabalho envolvem ligações com conhecimentos já adquiridos e também com as técnicas e compreensão de conceitos algébricos como a resolução de problemas, os quais partem de contextos reais e também de assuntos matemáticos que precisam ser lembrados e aprofundados.

2. Estratégias adotadas no Plano de Trabalho:

As tarefas que proponho visam contribuir para desenvolver nos alunos a linguagem e o pensamento geométrico, bem como a capacidade de interpretar, representar e resolver problemas usando procedimentos algébricos e

geométricos e de utilizar estes conhecimentos e capacidades na exploração e modelação de situações em contextos diversos.

O estudo das equações do segundo grau precisa antes passar pela revisão de alguns conteúdos anteriores, tais como: potenciação, radiciação, áreas, produtos notáveis, expressões numéricas e até frações. Nossa primeira etapa visa justamente fazer uma revisão desses conceitos numa lista de exercícios para facilitar a resolução das equações que aprenderão posteriormente.

Na segunda etapa, o professor deve falar sobre a história da equação de 2º grau e dos problemas que ela permitiu resolver em diversos lugares do planeta e demonstrará o método de Leslie.

Na terceira etapa, o professor levará os alunos para o laboratório de informática para fazer construções usando o software Geogebra.

Na quarta etapa, o professor deve mostrar como resolver equações do segundo grau incompletas sem o uso de fórmulas.

Na quinta etapa, os alunos aprenderão a resolver equações do segundo grau utilizando a Fórmula Geral.

Atividade 1:

Habilidade relacionada:

- Associar pontos no plano cartesiano às suas coordenadas e vice-versa;- Resolver equações do segundo grau utilizando o Método de Leslie;- Resolver situações-problema envolvendo equações do segundo grau completas e incompletas usando a Fórmula Geral;- Resolver problemas com números reais envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação).

Pré-requisitos:

Para desenvolver esta atividade é requerido dos alunos o conhecimento prévio de:

Potenciação; Radiciação; Áreas; Produtos notáveis; Expressões numéricas; Números racionais.

Tempo de Duração:

400 minutos (8 horas/aulas).

Recursos Educacionais Utilizados: 

Para a realização destas atividades, serão necessários os seguintes recursos:

Quadro branco; Caneta para quadro branco; Computadores com o software Geogebra instalado; Lápis e borracha; Folha de atividades.

Organização da turma:

Esta tarefa será realizada em pequenos grupos (2 ou 3 participantes) para que o trabalho seja colaborativo e que ninguém fique ocioso durante a aula e sim participando e descobrindo o conteúdo apresentado.

Objetivos:

Ao término das aulas, o aluno deverá ser capaz de:

Conhecer a história da Matemática envolvida na resolução de uma equação do segundo grau;

Resolver equações do segundo grau usando o Método de Leslie; Resolver equações do segundo grau usando a fórmula geral.

Metodologia adotada:

Para a realização destas atividades são necessários 400 minutos de aula. As atividades estão divididas em três etapas.

1ª etapa:

Na primeira etapa do Plano de Trabalho, iremos revisar os conteúdos básicos necessários para a resolução de uma equação do segundo grau. Será distribuída uma folha com uma lista de exercícios, ao invés de copiá-la do quadro, para aproveitar melhor o tempo.

C. E. GENERAL DUTRANome:________________________________________________ Nº: ______ Turma: _______ Data: ____/____/____ Profª.: Luciane Silva

Exercícios de Revisão

1. Dona Francisca tem dúzia de ovos e vai usar deles para fazer um bolo. Quantos ovos ela vai usar?

2. Uma plantação foi feita de modo a ocupar da terça parte da área de um sítio, como mostra a

figura a seguir. Em relação à área total do sítio, qual é a fração que representa a área ocupada por essa plantação?

3. Sara fez um bolo e repartiu com seus quatro filhos. João comeu 3 pedaços, Pedro comeu 4, Marta comeu 5, e Jorge não comeu nenhum. Sabendo-se que o bolo foi dividido em 24 pedaços iguais, que parte do bolo foi consumida?

4. Calcule as seguintes potências: a) 3 4 = b) 2 5 = c) 1 4 = d) 0 6 = e) (-2) 4 =

f)

g)

h) 5 0 =

5. Determine: a) =

b) =

c) =

d) =

e) =

f) =

6. Desenvolva os produtos notáveis: a) (x + 5)² = b) (x – 8)² = c) (x + 3) (x – 3) = d) (4a – 5)² = e) (2x + 10y)² = f) )(3m – 5n) (3m + 5n) =

7. Calcule o valor das seguintes expressões: a) – 3 + (+7) + [– 8 (– 8)] = b) – 3 + [+ 1 – (+4 – 1) + 1] = c) – 42 + (3 – 5) . (– 2)3 + 32 – (– 2)4 =

d) {[(– 3)3 . (+2)2 + (– 3)] + 100}: =

2ª etapa:

Na segunda etapa do Plano de Trabalho, o professor irá trabalhar a História da Matemática, falando sobre os métodos de vários povos (egípcios, mesopotâmios, gregos, hindus, etc.) para a resolução de uma equação do segundo grau. Daremos preferência para trabalhar o método de Leslie por ser de simples demonstração e execução por parte dos alunos.

Este método consiste no seguinte:Para uma equação quadrática do tipo:

podem-se representar num plano cartesiano as soluções se guindo os passos:

Para efeito de exemplo, tomemos a equação:

A representação geométrica das soluções desta equação, seguindo os passos descritos acima, está representada na figura a seguir:

Figura 5: Representação geométrica das soluções da equação.

3ª etapa:

1. Marca-se os pontos A=(0,1) e B =(b,c);2. Traça-se o círculo de diâmetro AB;3. As abscissas dos pontos onde este círculo cortar o eixo x, se cortar, serão as raízes da equação quadrática dada.

Na terceira etapa, os alunos serão levados para o laboratório de informática para fazer construções usando o software Geogebra resolvendo equações do segundo grau pelo Método de Leslie.

O professor apresentará algumas equações que deverão ser resolvidas através das construções geométricas no computador. Abaixo encontra-se a lista das equações que os alunos receberão:

C. E. GENERAL DUTRANome:________________________________________________ Nº: ______Turma: _______ Data: ____/____/____ Profª.: Luciane Silva

Exercícios de Fixação

1. Para começarmos, abra o software Geogebra. Crie um ponto A com coordenadas (0, 1), para isso digite A = (0, 1) na barra de entrada. E depois crie um ponto B = (18, 32).

2. Usando a ferramenta “Ponto médio” construa o ponto médio O do segmento . Para isso, selecione a ferramenta e clique no ponto A e em seguida no ponto B.

3. Agora selecione a ferramenta “Círculo dado centro e um de seus pontos” e crie um círculo de

centro em O (ponto médio encontrado no item anterior) e raio . Para isso clique primeiro em O e

depois em B.

4. Você observou que este círculo cruzou o eixo OX em dois pontos? Você desconfia que valores eles representam? Converse com seus colegas sobre isso e registre as conclusões.

5. Para descobrir que valores são esses, selecione a ferramenta “Novo ponto” e clique nos pontos cujo círculo cortou o eixo OX.

6. Sua construção ficou parecida com a Figura I abaixo?

Figura I

7. Para amostrar a coordenada dos pontos, clique com o botão direito do mouse sobre o ponto e selecione a opção “Propriedades”. Como mostra a Figura II.

Figura II

8. Depois, em “Exibir Rótulo” selecione a opção “Nome & Valor” e clique em fechar, conforme a Figura III.

Figura III

9. E agora, você já consegue saber o que os valores dos pontos de interseção do círculo com o eixo OX, representados na Figura I por X1 e X2, representam?

10. Então, vamos substituir os valores 2 e 16 na nossa equação . O que aconteceu? Compare seus cálculos com o de seus colegas e registre a seguir.

11. Fácil não é mesmo?! Então que tal calcular novamente as soluções das equações propostas nos roteiros anteriores e ver se acha as mesmas respostas? Para isso, você não precisa fazer a construção toda novamente. Basta clicar com o botão direito do mouse sobre o ponto B, selecionar “Propriedades” e alterar as coordenadas desse ponto no campo “Valor”, como na Figura IV a seguir.

Figura IV

Professor deve explicar, para o exercício nº 1 o porquê da escolha de B = (18, 32). Deve expor que este método funciona para qualquer equação do tipo x2

– bc + c = 0 e que o ponto B deve ter coordenadas (b, c).Caso a equação seja do tipo ax2 – bx + c = 0, basta dividi-la por a e

teremos

Logo, o ponto B deve ter coordenadas .

No exercício nº 5, é importante que os alunos cliquem exatamente no ponto de interseção do círculo com o eixo OX. Se não, encontrarão valores diferentes dos esperados.

Caso eles tenham dificuldade motora para fazer isso, o professor deve aconselhá-los a fazer as seguintes construções:

1. Crie a reta y = 0 , que representa o eixo OX. Para isso basta digitar na barra de entrada y = 0.

2. Selecione a ferramenta “Interseção de dois objetos” e aproxime o cursor do mouse do ponto de interseção. Quando aparecer a mensagem “Círculo c Reta a” (os nomes do círculo e da reta podem variar), aperte o botão esquerdo do mouse e o ponto será criado. Faça o mesmo para o outro ponto.

Nossa intenção, no exercício nº 10, é que o aluno perceba que os valores da primeira coordenada dos pontos X1 e X2 são as raízes da equação x2-18x+32=0. Para isso, basta eles fazerem os seguintes cálculos:

22 – 18.2 + 32 = 4 – 36 + 32 = 0162 – 18.16 + 32 = 256 – 288 + 32 = 0

O professor deve estimular seus alunos a testarem diversas equações, inclusive aquelas que não têm raízes reais e as que possuem duas raízes reais iguais.

Deve chamar a atenção deles para o que acontece com a interseção do círculo com o eixo OX, nesses casos.

Assim como proposto no texto, também pode, em todos os roteiros, pedir que calculem as soluções pela Fórmula de resolução geral de uma equação

do 2° grau e que comparem com as soluções obtidas pelos méto-

dos aqui propostos. O professor deve pedir, também, que analisem a quantidade de soluções

reais encontradas e façam uma relação com o valor do discriminante Δ = b2 – 4ac, para que possam perceber que se Δ > 0 então a equação terá duas raízes reais e distintas, se Δ = 0 a equação terá duas raízes reais e iguais e se Δ < 0 a equação não terá raiz real.

4ª etapa:

Na quarta etapa, o professor deve mostrar como resolver equações do segundo grau incompletas sem o uso de fórmulas entregará outra lista de exercícios de fixação.

1º CASO – equações da forma ax 2 + c = 0 (b = 0)

Exemplos:

1) x2 – 25 = 0 x2 = 25 x = x = 5Logo, V = (– 5 e 5)

2) 2x2 – 18 = 0 2x2 = 18

x2 =

x2 = 9 x = x = 3Logo, V = (– 3 e 3)

3) x2 + 25 = 0 x2 = – 25 x = OBS.: Não existe nenhum número real que elevado ao quadrado seja igual a – 25.

2º CASO – equações da forma ax 2 + bx = 0 (c = 0)

Propriedade: Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero.

Exemplos

1) resolver x2 – 5x = 0 Fatorando x (x – 5) = 0

Deixando um dos fatores nulo, temos x = 0 e o outro x – 5 = 0, passando o 5 para o outro lado do igual, temos x = 5.Logo, V = (0 e 5)

2) resolver: 3x2 – 10x = 0Fatorando x (3x – 10) = 0Deixando um dos fatores nulo, temos x = 0Tendo também 3x – 10 = 03x = 10

x =

logo, V =

Observe que, neste caso, uma das raízes é sempre zero.

C. E. GENERAL DUTRANome:________________________________________________ Nº: ______Turma: _______ Data: ____/____/____ Profª.: Luciane Silva

Exercícios de Fixação

1 . Resolva as seguintes equações do segundo grau; a) x2 – 49 = 0 b) x2 = 1 c) 2x2 – 50 = 0 d) 7x2 – 7 = 0 e) 5x2 – 15 = 0 f) 5x2 + 20 = 0 g) 4x2 – 49 = 0 h) x2 – 7x = 0 i) x2 – 5x = 0 j) 4x2 – 9x = 0 k) x2 + x = 0 l) – 2 x2 + 10x = 0

5ª etapa:

Na quinta etapa, o professor deve mostrar como resolver equações do segundo grau apresentando a Fórmula Geral.

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Exercícios de Fixação

1. Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:a) 5x2 – 3x - 2 = 0b) 3x2 + 55 = 0c) x2 – 6x = 0d) x2 – 10x + 25 = 0

2. Calcule o discriminante de cada equação:a) x2 + 9x + 8 = 0b) 9x2 – 24 + 16 = 0c) x2 – 2x + 4 = 0d) 3x2 – 15x + 12 = 0e) 10x2 + 72 – 64 = 0

3. Achar as raízes das equações:a) x2 – x – 20 = 0b) x2 – 3x – 4 = 0c) x2 – 8x + 7 = 0d) x2 + 6x + 9 = 0e) 3x2 – x + 3 = 0f) 2x2 – 2x – 12 = 0

4. Dentre os números – 2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da equação x2 – 2x – 8 = 0? 

5. O número – 3 é a raiz da equação x2 – 7x – 2c = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficiente c.

6. Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número?

7. Uma tela retangular com área 9600 cm2 tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais são as dimensões dessa tela?

8. O quadrado da minha idade menos a idade que eu tenha há 20 anos atrás é igual a 2000. Quantos anos eu tenho agora?

3. Avaliação:

A avaliação do processo consiste na auto-avaliação e/ou avaliação mútua. A avaliação dispensa qualquer processo formal, tais como: nota, exames, etc. Além do mais, neste processo, tanto o professor quanto o aluno saberão suas dificuldades e, também seus progressos. O professor pode observar a evolução do aluno, isto é, se ele construiu seu conhecimento com relação ao que se propõe.

A avaliação levará em conta a participação de cada aluno na execução de cada tarefa proposta, tentativa de resolução dos exercícios de fixação e entendimento do aluno perante o volume dos conceitos assimilados.

É importante que o aluno saiba resolver equações do segundo grau, mas, sobretudo é necessário que saibam aplicar este conceito em diferentes situações para que este conhecimento matemático seja construído e não esquecido.

4. Referências:

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília – DF: MEC/SEF, 1998.

EQUAÇÃO do 2º grau. A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara). Disponível em: <http://jmpmat5.blogspot.com.br/> Acesso em: 28 mai. 2012.

MATEMÁTICA Didática. Exercícios Resolvidos - Equação do Segundo Grau. Disponível em: <http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrauExercicios.aspx#anchor_ex5 > Acesso em: 28 mai. 2012.