M@t.b Equações e inequações

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EEqquuaaççõõeess

Numa turma de 26 alunos, o número de raparigas excede em 4 o número de rapazes.

Quantos rapazes há nesta turma?

O objectivo do problema é determinar o número de rapazes da turma, comecemos por

designar este valor por .

O número de raparigas excede em o número dos rapazes o que significa em linguagem

matemática que o número de raparigas é .

A turma tem no total alunos, logo

.

É necessário descobrir o valor de que transforma esta expressão em .

Podemos sugerir vários valores para .

Se então existem alunos, o que é falso. Logo não existem

apenas rapazes.

Se então . Logo não existem apenas 10 rapazes.

Se então . Logo existem 11 rapazes.

Este procedimento poderá ser moroso quanto mais complicado for o problema. Existe um

método que nos permite encontrar soluções para incógnitas de um modo mais simples e

prático. Trata-se da resolução de equações.

OO qquuee éé uummaa eeqquuaaççããoo??

No tema anterior estudamos a simplificação de expressões com e sem incógnitas no

entanto se igualarmos duas expressões que envolvam incógnitas ficamos perante uma

equação.

Assim, uma equação é uma igualdade onde figura pelo menos uma incógnita.

Equações e Inequações

GUIÃO REVISÕES

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OO ssiiggnniiffiiccaa rreessoollvveerr uummaa eeqquuaaççããoo??

Resolver uma equação não é nada mais do que um processo para encontrar um valor

(ou valores) desconhecido (s), uma incógnita.

Sempre que estiver perante um problema onde precisar de saber determinado valor

deve designa-lo por uma letra (incógnita) e recorrer a um conjunto de regras para o encontrar

Uma equação pode ser comparada a uma balança como a da figura

ao lado. Numa balança o equilíbrio consegue-se quando os dois pratos têm

a mesma massa. Cada alteração que seja feita num dos pratos terá que ser

feita no outro, caso contrário, a balança entra em situação de desequilíbrio.

Então, ao resolver uma equação

cada operação que se realize no primeiro

membro terá que ser realizada no segundo.

OO qquuee éé aa ssoolluuççããoo ddaa eeqquuaaççããoo??

A solução de uma equação é um número que colocado no lugar da incógnita

transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira.

Quando estamos a resolver uma equação que traduz um problema é necessário ter em

atenção a validade desta.

Por exemplo, se num problema a nossa incógnita representa uma medida de

comprimento e a solução é um número negativo é importante verificar que esta solução não é

válida no contexto do problema pois não existem comprimentos negativos.

Equações equivalentes

Duas equações dizem-se equivalentes quando têm o

mesmo conjunto solução. Obtemos equações

equivalentes ao procedermos à simplificação desta.

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EEqquuaaççõõeess ddoo 11ºº ggrraauu Princípio da adição e da multiplicação

Resolva a equação do problema inicial,

1º Comece por colocar os termos com incógnita no 1º membro e termos sem incógnita

no 2º membro e reduza os termos semelhantes;

2º Divida todos os termos pelo coeficiente do termo com incógnita;

3º Identifique o conjunto solução.

• Para isolar o x é necessário “eliminar” o -1,

para tal, vamos adicionar o simétrico de -1 a

cada um dos membros.

.

• Para isolar o x é necessário “eliminar” o 1,

para tal, vamos adicionar o simétrico de 1 a

cada um dos membros.

.

.

z

• Para isolar o x é necessário “eliminar” o 2,

para tal, vamos multiplicar pelo inverso de 2

cada um dos membros.

.

12

2 2 12

2

x

x

x

1 2

1 1 2 1

1

x

x

x

1 2

1 1 2 1

3

x

x

x

2 12 1

2 2

1

2

xx

x

Para isolar o x é necessário “eliminar” o , para

tal, vamos multiplicar pelo inverso de cada um

dos membros.

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Resolva a equação .

1º Comece desembaraçar de parênteses;

2º Reduza as parcelas ao mesmo denominador;

3º Elimine os denominadores;

4º Coloque os termos com incógnita no 1º membro e termos sem incógnita no 2º

membro e reduza os termos semelhantes;

5º Divida todos os termos pelo coeficiente do termo com incógnita;

6º Identifique o conjunto solução.

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Teste os seus conhecimentos

1) Resolva as seguintes equações:

a) 5 4 17 2x x

b) 4 2 1 3 2 10x x

c) 1 1

2 315 10

x x

2) Resolva os seguintes problemas:

a) O dono de uma oficina apresentou um orçamento de 242,5 € para reparar um

automóvel. O carro precisa de uma peça nova de 80 € e o mecânico ganha 25 € à hora.

Quantas horas levam o mecânico a reparar o carro?

b) A Marta foi ao bar da escola e gastou metade do dinheiro que tinha num sumo, dois

terços do restante num bolo e ainda lhe sobrou 50 cêntimos. Quanto dinheiro tinha a Marta?

c) O automóvel do Vítor é mais novo três anos do que o automóvel da Sara. Daqui a dois

anos, a soma das idades dos dois carros será igual ao triplo da idade actual do carro do Paulo

que é mais novo dois anos que o carro do Vítor. Qual a idade dos três carros?

Até agora….

Definição de equação

Resolução de equações do 1º grau

Resolução de equações do 2º grau

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EEqquuaaççõõeess ddoo 22ºº ggrraauu

Um tapete rectangular tem de área. O comprimento excede em metro a

medida da largura. Qual o comprimento do tapete?

Dado que o tapete é rectangular, a sua área é dada pela multiplicação do

comprimento pela largura.

Se considerar que o tapete tem metros de largura terá metros de

comprimento logo,

Como o tapete tem de área então,

É possível determinar o valor de analiticamente? Que tipo de equação está aqui

representada?

Antes de resolvermos o problema vamos resolver alguns exercícios que nos permitem

fazer uma breve revisão das equações do 2º grau.

Resolva as seguintes equações:

a) b) c)

a) A equação é uma equação do 2º grau incompleta do tipo pois

.

Uma equação diz-se do 2º grau se depois de simplificada se escreve na

forma

com e . Esta forma denomina-se forma canónica.

são os coeficientes da equação do 2º grau.

Se e/ou a equação chama-se equação de 2º grau incompleta.

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LLeeii ddoo aannuullaammeennttoo

O produto de dois factores é zero

quando pelo menos um deles é zero.

Note que

Se então

Se então .

Logo,

1º Comece por factorizar o 1º membro, isto é, transforme o 1º membro num produto

de factores. Neste caso basta colocar o em

evidência

2º Aplique a lei do anulamento do produto

3º Simplifique

4º Identifique o conjunto solução.

b) Note que a equação é uma equação do 2º grau incompleta do tipo

pois .

1º Comece por colocar os termos com incógnita no 1º membro e os termos sem

incógnita no 2º membro;

2º Simplifique;

3º Identifique o conjunto solução.

c)

1º Comece desembaraçar de parênteses e escrever a equação na forma canónica;

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A equação é do 2º grau completa pois todos os coeficientes são diferentes

de zero.

2º Identifique os coeficientes da equação , , e

aplique a fórmula resolvente;

3º Identifique o conjunto solução.

Teste os seus conhecimentos

1) Resolva as seguintes equações:

a) 21 3 2x

b) 2 1

42

x x

c) 2 5 6 0x x

d)

e)

Para resolver uma equação do segundo grau completa devemos aplicar a fórmula resolvente

As equações do 2º grau incompletas também podem ser resolvidas através da fórmula resolvente.

Poderá optar pelo processo que considerar mais adequado.

FFóórrmmuullaa rreessoollvveennttee

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2) Se ao quadrado da idade do Joaquim adicionarmos o triplo da idade dele, e em seguida

subtrairmos trinta anos, obtemos o dobro da idade do Joaquim. Qual é a idade do Joaquim?

3) Uma piscina rectangular, com dimensões de por , tem a toda a volta uma parte com

relva de largura , como mostra a figura.

Sabendo que a área total ocupada pela piscina e pela relva é igual , calcule a largura da

parte com relva.

IInneeqquuaaççõõeess

IInneeqquuaaççõõeess ddoo 11ºº ggrraauu

Qual dos seguintes rectângulos representados na figura ao lado, tem maior perímetro?

Os rectângulos têm o mesmo comprimento, logo, terá maior perímetro o que tiver maior

largura.

Suponhamos que pretendemos determinar os valores de de modo a que o perímetro do

rectângulo B seja maior que o do rectângulo A. Traduzindo o problema em linguagem

matemática vem,

x

x

A B

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Ao multiplicar os

dois membros por

inverte-se o

sinal da

desigualdade.

Estamos perante uma inequação! Mais à frente iremos ver como a podemos resolver. Mas

facilmente conseguimos tirar as seguintes conclusões:

Se , o rectângulo B tem o maior perímetro.

Se , o rectângulo A tem maior perímetro.

Se , os dois rectângulos têm igual perímetro.

O que é uma inequação?

Uma inequação é uma desigualdade onde figura pelo menos uma incógnita. Como tal, numa

inequação está sempre presente um dos símbolos , , ou .

Resolve-se uma inequação do 1º grau do mesmo modo que se resolve uma equação?

A resposta a esta pergunta é sim com uma única diferença.

Quando numa inequação é necessário multiplicar ou

dividir os dois membros por um número negativo, é

necessário inverter o sinal da desigualdade.

Verifique a diferença no seguinte exemplo,

EEqquuaaççããoo

IInneeqquuaaççããoo

Voltando a problema inicial,

Concluímos assim que o rectângulo B é maior que o rectângulo A para todos os valores de

maiores do que .

Verdadeiro

Falso

Verdadeiro

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Indique o conjunto que verifica a condição

1º Comece desembaraçar de parênteses;

2º Reduza as parcelas ao mesmo denominador;

3º Coloque os termos com incógnita no 1º membro e termos sem incógnita no 2º

membro e reduza os termos semelhantes;

4º Multiplique ambos os membros por e inverta o sinal da desigualdade

5º Divida todos os termos pelo coeficiente do termo com incógnita;

5º Identifique o conjunto solução.

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Teste os seus conhecimentos

1) Represente, utilizando intervalos de números reais, o conjunto solução de cada uma das

seguintes condições:

a) 214x

b) 342

12x

x

c) 4

2 3 13

xx x

2) Determine os valores inteiros que C pode tomar de modo que a fracção seja menor do

que 10 e menor do que 9.

3) As dimensões de um rectângulo são por . Determine de modo que o perímetro

esteja compreendido entre e .

4) Pretende-se transportar num camião um certo número de sacos de mercadoria A (pesando

100Kg cada saco) e o dobro desse número de sacos de uma mercadoria B (pesando 75Kg cada

saco). A carga do camião tem que ser inferior a 3 toneladas mas não é rentável transportar

menos de 2 toneladas de carga. Qual o número mínimo e o número máximo de sacos que

podem ser transportados?