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Matemática e suas Tecnologias - Matemática

Ensino Fundamental, 6º AnoEquações: incógnitas e equações; equações do 1º grau;

resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações problemas

Objetivos da Matemática para o terceiro ciclo do pensamento algébrico:

-Reconhecer que representações algébricas permitem expressar generalizações sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir situações-problema e favorecer as possíveis soluções. -Utilizar os conhecimentos sobre as operações numéricas e suas propriedades para construir estratégias de cálculo algébrico.(PCN, terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental, Matemática, página 64,1998)

Um eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de Matemática é a resolução de problemas, que tem como um dos princípios: a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática, e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las. (PCN, terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental, Matemática, página 40,1998).

MATEMÁTICA, 6º AnoEquações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações-problema.

Vocês já ouviram falar de EQUAÇÕES?Quem sabe o que são SENTENÇAS OU

PREPOSIÇÕES?

E INCÓGNITA OU VARIÁVEIS?

ESTÁ DIFÍCIL SABER QUAIS AS RESPOSTAS PARA ESSAS PERGUNTAS?


VAMOS ESTUDAR TUDO ISSO!?

Existem expressões matemáticas que podemos classificar como verdadeiras ou falsas e outras que não é possível classificar.

Podemos dizer que essas expressões são verdadeiras.

Já essas não podemos classificar como verdadeiras, nem falsas.

Vocês já observaram?


a – c ≥ 9

6t + 4 = 40

13 > 10

7 + 8 = 15

a) uma expressão matemática que pode ser classificada como verdadeira ou falsa é denominada SENTENÇA ou PREPOSIÇÃO FECHADA.EXEMPLOS:

40 > 11 15 + 14 =29 4 . 8 = 36SENTENÇA VERDADEIRASENTENÇA FALSASENTENÇA VERDADEIRA


Dizemos que:

b) uma expressão matemática que NÃO podemos classificar como verdadeira ou falsa é denominada SENTENÇA ou PREPOSIÇÃO ABERTA.EXEMPLOS:

a – b ≥ 8

7c + 5 = 19

x + y ǂ 36

PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DO VALOR

ATRIBUÍDO A c.

PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DOS VALORES ATRIBUÍDOS A

x E A y.

PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DOS VALORES ATRIBUÍDOS A a E A b.


Sentenças ou preposições matemáticas

estabelecem uma relação de

igualdade ou de desigualdade.

40 > 22

4 . 8 = 32

a – b ≥ 8

7c + 5 = 19

x + y ǂ 36

EXEMPLOS:


Podemos observar que:

As sentenças matemáticas abertas que expressam uma relação de igualdade são denominadas EQUAÇÃO!!! A letra encontrada em uma equação é denominada INCÓGNITA ou VARIÁVEL.

Agora, veja:

Vamos procurar no dicionário outros significados da palavra Equação e registrar no caderno.


Exemplos de equações e suas respectivas incógnitas

2x – 5 = 12

x – y = 258x = 32

r² + 5 = r + 17

x + 6 = 2x + 1

É uma equação de incógnita x


É uma equação com uma incógnita: r

É uma equação com duas incógnitas: x e y

x é a incógnita da equação

É uma equação com uma incógnita: x

Observe a equação 2x - 5 = 12.

2x - 5 = 12

Denomina-se 1º membro da

equação

Denomina-se2º membro da

equação


Em uma equação, o expoente da incógnita indica o seu grau. Veja:

2x – 5 = 13

4x² = 12

r² + 5 = r + 17

É uma equação do primeiro grau.

Observe que 2 = 2¹, 3 = 3¹, ... então X = X¹


É uma equação do segundo grau.

Também é uma equação do segundo grau.

Nesse caso, considera-se o maior expoente da incógnita.

Em uma equação do 1º grau, procura-se o valor da incógnita que a transforma em uma sentença verdadeira.

Na equação 8x = 32, qual o valor de x ?


EXEMPLO:

Resolvendo mentalmente: 8x = 32

8 . 4 = 32 Logo, x = 4, ou seja,

4 é a solução ou raiz da equação 8x = 32.

Isso significa dizer que, substituindo o x por 4, na

equação 8x = 32, temos uma sentença fechada

verdadeira.


Veja que 8x = 32 pode ser escrito assim: 8 . x = 32

Resolva a equação 2x - 5 = 13.

Resolver uma equação do 1º grau é encontrar a sua raiz e verificar se ela satisfaz as condições apresentadas por essa equação.


Resolvendo mentalmente: 2x – 5 = 13 A equação pode ser escrita assim:

2 . x - 5 = 13

Então, temos que x = 9

9 = 13 2 .

Logo, x = 9 é soluções da equação 2x - 5 = 13

- 5

13 18 = - 5


A RAIZ ou solução da equação é todo número que, substituindo a incógnita, torna a equação uma sentença verdadeira.

4 é a RAIZ da equação 8x = 32

9 é a RAIZ da equação 2x - 5 = 13



Vamos agora resolver as equações 8x = 32 e 2x – 5 = 13, utilizando um método que não é o mental.

Vamos resolver essas equações por meio das operações matemáticas

inversas.


RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO 8x = 32

8.x = 32

Observe que o 8 está multiplicando.

A operação inversa de multiplicar por 8 é dividir por 8.

x = 32 : 8 Observe que o número 8 estava multipicando no 1º membro e “passou” para o 2º membro

dividindo (operação inversa).x = 4

RESPOSTA: 4 é a raiz da equação 8x=32

Verificação: 8 . 4 = 32


2x - 5 = 13

2x = 13 + 5

Observe que o 5 está subtraindo.

A operação inversa de subtrair 5 é somar 5.

Observe que o número 5 estava subtraindo no 1º membro e “passou” para o 2º membro somando

(operação inversa).

Observe que o 2 está multiplicando,logo “passará” para o 2º membro dividindo.

Verificação: 2. 9 – 5 = 13 → 18 – 5 = 13

2x = 18

x = 18 : 2

x = 9RESPOSTA: 9 é a raiz da equação 2X – 5 = 13

RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO 2x - 5= 13


Observação:

As equações aparecerão em linguagem corrente.

Vamos agora resolver mais problemas envolvendo equações!

1) Uma loja possui um plano de venda de eletrodomésticos que corresponde a uma entrada de R$ 100,00 mais quatro prestações de valores iguais. Na venda de uma TV que custa R$ 700,00, qual é o valor de cada prestação?


Vamos equacionar o problema: (Utilizar o dicionário para entender o significado da palavra equacionar.)

Igualando a expressão 100 + 4p, que representa o preço da TV utilizando o plano de venda da loja, com seu custo, que é R$ 700,00 :

4p = 700+100

VAMOS RESOLVER A EQUAÇÃO.


Passando para linguagem matemática, a expressão “uma entrada de R$ 100,00 e mais quatro prestações de mesmo valor”, chamando as prestações de p, temos:

100 + 4 . P = 100 + 4p

100 4p = 700+ O inverso de adicionar 100 é subtrair 100.

4p = 700 - 100

6004p =

O inverso de multiplicar por 4 é dividir por 4.

600p = : 4

p = 150

A raiz da equação é 150.

O que esse resultado nos

mostra?


Como p = 150 e ele representa o valor da prestação, isso significa dizer que cada prestação da TV custa R$ 150,00. Vamos verificar:

100 4p = 700+

Lembre-se de que 4p = 4 . p

100 4 .150 = 700+

100 600 = 700+700 = 700

Substituindo p por 150



2) A soma das idades de Petrúcio e Petrus é 20 anos. Qual é a idade de cada um, sabendo que Petrúcio é 8 anos mais velho que Petrus?

Representando a idade de Petrus por x, então a idade de Petrúcio será representada por x + 8

Passando para linguagem matemática:

x = 20+(x + 8)

Solução

A soma das idades de Petrúcio e Petrus é 20.


RESOLVENDO A EQUAÇÃOX + 8 X = 20+

Aplicando a propriedade comutativa.

2X + 8 = 20

122X = O inverso de multiplicar por 2 é dividir por 2.12X = : 2

X + X 8 = 20+

O inverso de adicionar 8 é subtrair 8.2X = 20 - 8

6X =

Observe que x + x = 2x.

(X + 8) X = 20+

Eliminando os parênteses.


A raiz da equação é 6. Isso significa dizer que...

Como a idade de Petrus foi

representada por x, e x = 6, logo Petrus tem 6 anos. anos.

A idade de Petrúcio foi representada por x + 8, e como x = 6, temos: x + 8

6 + 8 = 14

Conclusão: Petrus tem 6 anos e Petrúcio tem 14 anos.

Isso significa dizer que Petrúcio tem 14 anos.


3) O retângulo abaixo representa a planta baixa de um quarto cujo perímetro é 30 m. Qual é a largura e o comprimento desse quarto? -Pesquisar na internet: Significado de Planta baixa. -Dicionário: O que é perímetro de uma figura plana?

Chamando o perímetro de P, temos:

2x

x

P = 2x + 2x + x + x = 6x P = 6x

Largura: xComprimento:

2x

TEMOS:

2x

x

Equacionando o problemaDo enunciado do problema, temos que o perímetro é igual a 30 m, então podemos escrever a expressão: P = 30

Como a expressão que representa o perímetro é dada por P = 6x, igualando as duas expressões, temos:

6x = 30

MATEMÁTICA, 6º AnoEquações: incógnitas e equações; equações do 1º grau, resolução por meio das operações inversas. Resolução de situações problema.


RESOLVENDO A EQUAÇÃO:

6. x = 30

O inverso de multiplicar por 6 é dividir por 6.

x = 30 : 6

x = 5Temos que a largura é x, e x = 5 logo, a largura é igual a 5m.

Como o comprimento é representado por 2x, ou seja, o

dobro da largura, temos:

2 . 5 = 10;O comprimento é igual a 10 m.

6x = 30


Verificação:

6x = 30

Com x = 5 temos que:

6 . x = 30

6 . 5 = 30

30 = 30

CONCLUSÃO:

O quarto tem 5m de largura e 10m de comprimento.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS-Behrens, Marilda Aparecida, O paradigma emergente e a prática pedagógica, 4ª edição, Petrópolis-RJ, Vozes, 2010.-Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclo do ensino fundamental-Matemática /Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília -MEC /SEF, 1998.-Dante, Luiz Roberto, Tudo é matemática, 5ª série, São Paulo, Ática, 2002.-Imenes, Luiz Márcio Pereira, Matemática/ Imenes &Lellis, 5ª série, São Paulo, Scipione, 1997.-Souza, Maria Helena de, Matemática, 5ª série, Maria Helana Souza, Walter Spinelli, São Paulo, Ática, 1999.-Guelli, Oscar, Matemática: Uma aventura do pensamento. 5ª série, São Paulo, Ática, 8ª edição, 2001.-Bigode, Antônio José Lopes, Matemática hoje é feita assim, 5ª série, São Paulo, FTD, 2000.-Logen, Adilson, Matemática em Movimento, 5ª série, São Paulo,Editora do Brasil, 1999.-Projeto Araribá: matemática/obra coletiva, 5ª série, São Paulo Moderna, 2006-www.somatematica.com.br-http://tvescola.mec.gov.br/


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