uma anÁlise da histÓria das equaÇÕes do 2° grau … · equações do 2º grau nos livros...

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAIacuteBA

UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL

CENTRO DE CIEcircNCIAS EXATAS E DA NATUREZA

DEPARTAMENTO DE MATEMAacuteTICA

CURSO DE LICENCIATURAM EM MATEMAacuteTICA A DISTAcircNCIA

JOSEacute DE CALDAS LEMOS NETO

UMA ANAacuteLISE DA HISTOacuteRIA DAS EQUACcedilOtildeES DO 2deg GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS

Itaporanga ndash PB

2011

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Trabalho de Conclusatildeo de Curso apresentado agrave Coordenaccedilatildeo do Curso de Licenciatura em Matemaacutetica a Distacircncia da Universidade Federal da Paraiacuteba como requisito parcial para obtenccedilatildeo do tiacutetulo de licenciado em Matemaacutetica

Orientadora Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis

Itaporanga ndash PB

2011

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Catalogaccedilatildeo na publicaccedilatildeo Universidade Federal da Paraiacuteba

Biblioteca Setorial do CCEN L558u Lemos Neto Joseacute de Caldas

Uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2deg Grau nos livros didaacuteticos Joseacute de Caldas Lemos Neto -- Itabaiana 2011

44f il -

Monografia (Licenciatura em Matemaacutetica agrave Distacircncia) ndash UFPBCCEN

Orientador Cibelle de Faacutetima Castro Assis Inclui referecircncias

1 Matemaacutetica - Ensino 2 Equaccedilotildees do 2deg Grau - Ensino 3 Matemaacutetica - Ensinofundamental I Tiacutetulo

BSCCEN CDU 51(0432)

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Trabalho de Conclusatildeo de Curso apresentado agrave Comissatildeo Examinadora do Curso de

Licenciatura em Matemaacutetica a Distacircncia da Universidade Federal da Paraiacuteba como requisito

parcial para obtenccedilatildeo do tiacutetulo de licenciado em Matemaacutetica

Orientadora Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis (membro interno)

Aprovado em _____ ______ _______

COMISSAtildeO EXAMINADORA

__________________________________________________

Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis (orientadora)

____________________________________________________

Profordf Ms Severina Andreacutea Dantas de Farias

______________________________________________________

Profordm Ms Jamilson Ramos Campos

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Dedico este trabalho a toda minha famiacutelia

por todo apoio que me deram durante todo

esse periacuteodo

Aos meus pais aos colegas pela nossa

uniatildeo

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AGRADECIMENTOS

Antes de tudo gostaria de agradecer a Deus porque a ele tudo pertence e se estou aqui

neste momento eacute porque ele permitiu

Aos meus pais pelo apoio moral e pelo carinho

A minha famiacutelia pela compreensatildeo e pelo carinho nas horas mais difiacuteceis

A minha orientadora Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis pelo apoio

estiacutemulo colaboraccedilatildeo e por sua compreensatildeo para comigo

Aos colegas pelas trocas de experiecircncias pelos incentivos nos momentos difiacuteceis por

todos esses momentos de troca de conhecimento e de alegrias

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A mente que se abre a uma nova ideia

jamais voltaraacute ao seu tamanho original

Albert Einstein

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RESUMO

O presente trabalho analisa o enfoque da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2deg grau nos livros didaacuteticos adotados pelos professores do municiacutepio de Itaporanga na Paraiacuteba Como fonte de dados utilizou-se obras da literatura em Educaccedilatildeo Matemaacutetica escolar que apresentam propostas sobre a importacircncia matemaacutetica da histoacuteria na construccedilatildeo do conhecimento e livros didaacuteticos de matemaacutetica do 9ordm ano Considerou-se tambeacutem como fonte de pesquisa todo o material referente ao conteuacutedo disponibilizado durante o curso de Licenciatura em Matemaacutetica a Distacircncia aleacutem de documentos oficiais a exemplo dos Paracircmetros Curriculares Nacionais de Matemaacutetica de 5ordf a 8ordf seacuteries Podemos afirmar que as propostas de trabalho com a histoacuteria deste conteuacutedo estaacute presente nas obras mais recentes a exemplo dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo da autoria de Dante (2008) ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini (1996) e ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo da autora Centurioacuten (2003) Nas obras mais antigas como ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Giovanni e Castrucci (1995) e ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Andrini (1998) a histoacuteria natildeo aparece evidenciando que a proposta de contextualizar historicamente eacute uma proposta que vem sendo contemplada apenas recentemente Essa abordagem tem sua importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo do ensino da Matemaacutetica que eacute descontextualizado fazendo-se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado ao ensino desse conteuacutedo no Ensino Fundamental Palavras-chave Matemaacutetica Histoacuteria Equaccedilatildeo do 2ordm grau

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ABSTRACT

This study analyzes the focus of the history of equations of the second degree in high school textbooks adopted by teachers of the city of Itaporanga in Paraiacuteba The data source we used deeds of literature in mathematics education who present proposals on the importance of history in constructing mathematical knowledge and mathematics textbooks in 9th grade It was also considered as a source of research material relating to any content made available during the course ldquo Licenciatura em Matemaacutetica a Distanciardquo as well as official documents like the National Curriculum Mathematics 5th to 8th grades We can say that the proposed work with the story of this content is present in more recent works like the book Everything is mathematics written by Dante (2008) Mathematics written by Edwaldo Bianchini (1996) and New Math Measure One authors Centurion (2003) In earlier works as The Conquest of Mathematics and Castrucco Giovanni (1995) and mathematical practice of Andrin (1998) the story does not appear indicating that the proposal to contextualize historically is a proposal that has been addressed only recently This approach was also important considering the current state of mathematics education that is decontextualized by making a dynamic work necessary and appropriate to the teaching of content in elementary school Keywords Mathematics History Equation of the second degree

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Quadrado de aacuterea x2 28 Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x 28 Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais 28 Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos 29 Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 29 Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56) 33 Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 ) 34 Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58) 34 Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78) 35 Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42) 36 Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51) 37 Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43) 38

11

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas 30

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LISTA DE SIGLAS

EEEF Escola Estadual de Ensino Fundamental

FIP Faculdades Integradas de Patos

PB Paraiacuteba

PCN Paracircmetros Curriculares Nacionais

UFPB Universidade Federal da Paraiacuteba

UAB Universidade Aberta do Brasil

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SUMAacuteRIO

1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO 14

2 INTRODUCcedilAtildeO 16

21 Apresentaccedilatildeo do Tema 17

22 Problemaacutetica e Justificativa 18

23 Objetivos 19

231 Objetivo Geral 19

232 Objetivos Especiacuteficos 19

24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas 19

3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA 20

31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino 20

32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau 21

33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema 22

34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau 23

35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional 24

351 A foacutermula de Bhaacuteskara 25

352 Completamento dos quadrados 26

36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau 27

4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm GRAU NOS

LIVROS DIDAacuteTICOS 32

41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo 32

42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo 36

43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo 37

44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo 39

45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo 39

5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS 40

REFEREcircNCIAS

14

1 MEMORIAL DO ACADEcircMICO

Sou Joseacute de Caldas Lemos Neto nascido em 06 de dezembro de 1962 na cidade de

Satildeo Joseacute de Caiana - Paraiacuteba Com seis anos de idade vim morar na cidade de Itaporanga

onde iniciei minha vida estudantil e onde moro ateacute hoje

Tive uma infacircncia difiacutecil pois perdi meu pai com sete anos de idade e fui criado

apenas por minha matildee mulher semianalfabeta mas de muitos conhecimentos que me

incentivou ao estudo

Na primeira fase do Ensino Fundamental estudei em escolas puacuteblicas concluindo essa

fase nas Escolas Reunidas Santo Antocircnio hoje EEEF professora Terezinha Gomes da Silva

A segunda fase do Ensino Fundamental estudei no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da

Mata um dos melhores coleacutegios aqui da cidade pois o diretor me presenteou com a dispensa

da mensalidade que apesar de ser uma quantia simboacutelica eu natildeo tinha condiccedilotildees de pagar

Cursei o Ensino Meacutedio na Escola Estadual Adalgisa Teoacutedulo da Fonseca concluindo

o curso no ano de 1982

Prestei vestibular para o curso de Licenciatura em Histoacuteria na Fundaccedilatildeo Francisco

Mascarenhas na cidade de Patos - PB hoje FIP (Faculdades Integradas de Patos) onde fui

aprovado Nesse periacuteodo eu jaacute trabalhava no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata

convidado pelo diretor para lecionar como professor polivalente e posteriormente passei a

ensinar matemaacutetica na 5ordf e 6ordf seacuterie

No final do curso de Licenciatura em Histoacuteria prestei concurso puacuteblico do estado da

Paraiacuteba e fui classificado sendo admitido para trabalhar na Escola Normal professor

Francelino de Alencar Neves com a disciplina de Histoacuteria mudando depois para Matemaacutetica

a pedido do diretor nas series finais do ensino fundamental e seacuteries iniciais do Curso

Magisteacuterio antigo Pedagoacutegico

No ano de 2002 fiz o curso de poacutes-graduaccedilatildeo na FIP me especializando em

Metodologia do Ensino Superior no ano de 2003 curso este que teve a duraccedilatildeo de 405 horas-

aulas

Hoje sinto-me orgulhoso em trabalhar no Coleacutegio Diocesano Dom Joatildeo da Mata e

Escola Normal Professor Francelino de Alencar Neves lecionando Matemaacutetica pois

conquistei a confianccedila dos diretores que ali passaram e em especial dos alunos fato que me

motivou a fazer o curso superior de Licenciatura em Matemaacutetica ofertado pela Universidade

Federal da Paraiacuteba ndash UFPB Virtual pela Universidade Aberta do Brasil ndash UAB estando no

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momento no 8ordm periacuteodo Foi um periacuteodo de muitas aprendizagens conquistas e obstaacuteculos

vencidos e tudo isto tem me motivado a seguir em frente em busca do meu ideal que eacute a

formaccedilatildeo especiacutefica na aacuterea que atuo e tanto gosto

16

2 INTRODUCcedilAtildeO

A Matemaacutetica eacute a mola que move o mundo pois suas ramificaccedilotildees estatildeo inseridas em

diversas aacutereas do conhecimento que alavancam o progresso mundial Esta disciplina estaacute

presente principalmente no cotidiano das pessoas contribuindo para o esclarecimento e

oportunizando melhores condiccedilotildees de vida

Apesar de sua importacircncia a Matemaacutetica amedronta muitos alunos pois o processo

metodoloacutegico utilizado aborda esta disciplina de forma isolada tornando-a insignificante para

o aluno que sentindo-se desmotivado a rejeita Nesta concepccedilatildeo a Matemaacutetica chega ateacute os

dias atuais como o ldquobicho papatildeordquo para muitas pessoas alunos e ateacute professores de outras

disciplinas

Um novo caminho para dar sentido ao estudo da Matemaacutetica precisa ser seguido e

muitos autores apontam este caminho Considero a contextualizaccedilatildeo a resoluccedilatildeo de

problemas e o trabalho com a histoacuteria da Matemaacutetica estrateacutegias de fundamental importacircncia

para tornar esta disciplina prazerosa e significativa para os educandos

Ao longo dos anos como educador e durante o periacuteodo de Estaacutegio Supervisionado

percebi que os alunos apresentaram dificuldades com relaccedilatildeo a Equaccedilatildeo do 2ordm grau pois natildeo a

relacionam com o seu cotidiano ou com situaccedilotildees contextualizadas o que causou grandes

prejuiacutezos a aprendizagem

Diante do exposto escolhemos como tema desta pesquisa ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das

equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticosrdquo procurando analisar a essecircncia desse conteuacutedo para

trabalhar com uma proposta que decirc sentido ao estudo do mesmo analisando assim sua

abordagem nos livros didaacuteticos

Foi desenvolvido o estudo desta temaacutetica com a finalidade de mostrar sua importacircncia

procurando desenvolver o raciociacutenio de maneira coerente e dedutiva possibilitando ao

educando uma visatildeo criacutetica do mundo tornando-o ativo com seu meio social

Esta pesquisa tem uma perspectiva exploratoacuteria e bibliograacutefica que foi estruturada da

seguinte maneira

No primeiro capiacutetulo abordamos o Memorial do Acadecircmico atraveacutes da trajetoacuteria

escolar universitaacuteria e da experiecircncia como professor

O segundo capiacutetulo eacute constituiacutedo pela Introduccedilatildeo onde fazemos uma apresentaccedilatildeo do

tema da problemaacutetica da justificativa dos objetivos propostos e da Metodologia empregada

nesta pesquisa

17

No terceiro capiacutetulo explicitamos o Referencial Teoacuterico que foi construiacutedo a partir de

uma revisatildeo literaacuteriabibliograacutefica junto a autores que abordam a temaacutetica Uma anaacutelise

histoacuterica da Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros didaacuteticos tais como Guelli (2001) Fragoso

(2004) Dante (1991) entre outros e documentos oficiais como os Paracircmetros Curriculares

Nacionais do 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries)

No quarto capiacutetulo fizemos uma anaacutelise histoacuterica das equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros

didaacuteticos e no sexto capiacutetulo expomos as consideraccedilotildees finais focando-se na concretizaccedilatildeo

desta pesquisa e dos resultados almejados

21 Apresentaccedilatildeo do Tema

De acordo com os PCN (BRASIL 2001 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica mostra que

ela foi construiacuteda como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos

motivadas por problemas de ordem praacutetica por problemas vinculados a outras ciecircncias bem

como por problemas relacionados a investigaccedilotildees internas agrave proacutepria Matemaacutetica

Refletindo sobre o surgimento da Matemaacutetica percebemos a importacircncia da resoluccedilatildeo

de problemas pois foi atraveacutes de diversas situaccedilotildees que surgiu a Matemaacutetica trazendo

foacutermulas e siacutembolos

Podemos perceber que a abordagem da problematizaccedilatildeo nos conteuacutedos matemaacuteticos

por meio da histoacuteria faz com que o aluno desenvolva o pensamento criativo e reflexiacutevel

possibilitando a aprendizagem de conteuacutedos de forma significativa para a vida pois propicia

ao aluno pensar sobre a realidade

Com o passar dos tempos percebemos que o homem se esqueceu que a resoluccedilatildeo de

problemas eacute o ponto de partida da Matemaacutetica e isso fez com que ele passasse a dar mais

importacircncia agraves foacutermulas deixando as situaccedilotildees-problema que foram surgindo no dia na vida

do homem para segundo plano Por conta disso comeccedilaram a surgir as dificuldades na

aprendizagem matemaacutetica pois os conteuacutedos passaram a ser estudados de forma isolada

trazendo muitos prejuiacutezos para os alunos

Geralmente as situaccedilotildees-problema trabalhadas com os alunos se restringem a um

esquema de caacutelculo apresentados a turma de forma tradicional impossibilitando-os de

pensarem em outras maneiras para encontrarem a soluccedilatildeo O que ocasionou seacuterias

deficiecircncias nos alunos Percebemos essa praacutetica no estudo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau que na

18

maioria das vezes eacute trabalhada com os alunos apenas com o desenvolvimento de diversos

exerciacutecios com foacutermulas fazendo com que o aluno natildeo perceba a importacircncia deste conteuacutedo

Pretendemos com a anaacutelise de elementos histoacutericos nos livros didaacuteticos sobre o

conteuacutedo ldquoEquaccedilotildees do 2ordm graurdquo destacar a importacircncia do desenvolvimento de atitudes de

seguranccedila com relaccedilatildeo agrave proacutepria capacidade de construir conhecimentos matemaacuteticos de

cultivar a autoestima de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluccedilotildees

Adotando como criteacuterios para este conteuacutedo sua relevacircncia social e sua contribuiccedilatildeo para o

desenvolvimento intelectual do aluno

Percebemos que o objetivo do ensino da Matemaacutetica estaacute aleacutem de desenvolver o

pensamento cientiacutefico e o raciociacutenio loacutegico no educando pois ele proporciona uma formaccedilatildeo

que lhe permita conquistar o domiacutenio dos conteuacutedos dessa aacuterea em situaccedilotildees de contextos

diversificados atraveacutes de diferentes competecircncias matemaacuteticas que satildeo necessaacuterias para o

desenvolvimento intelectual dos alunos

22 Problemaacutetica e Justificativa

A escolha do nosso tema de investigaccedilatildeo se deu agraves dificuldades na compreensatildeo deste

conteuacutedo pelos alunos dificuldades estas que foram constatadas no Estaacutegio Supervisionado e

na minha praacutetica como educador uma vez que que os alunos natildeo conseguiam estabelecer uma

relaccedilatildeo entre esse conteuacutedo e o cotidiano

Uma abordagem ampla deste assunto seraacute de grande importacircncia considerando a atual

situaccedilatildeo em que se encontram os ensinamentos da matemaacutetica e a maneira de como eacute

transmitida em sala de aula as equaccedilotildees do 2ordm grau se fazendo necessaacuterio um trabalho

dinacircmico e adequado ao ensino deste conteuacutedo

Essas inquietaccedilotildees foram o ponto de partida para a escolha deste tema Portanto farei

a leitura e anaacutelise de diversos livros didaacuteticos Com esse estudo procuramos dar oportunidade

aos alunos para que percebam a importacircncia da matemaacutetica ao longo da histoacuteria no seu

cotidiano e no desenvolvimento do seu raciociacutenio de maneira coerente ampliando sua visatildeo

de mundo

Dessa forma a problemaacutetica deste trabalho eacute quais as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos

para o ensino do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau baseado na metodologia da histoacuteria na

Matemaacutetica

19

23 Objetivos

231 Objetivo Geral

bull Investigar os elementos histoacutericos do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau presentes nos

livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga

232 Objetivos Especiacuteficos

bull Conhecer um pouco mais sobre histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau

bull Levantar as orientaccedilotildees didaacuteticas dos Paracircmetros Curriculares Nacionais para o

conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e na literatura pertinente

bull Identificar em livros didaacuteticos adotados nas escolas puacuteblicas de Itaporanga elementos

histoacutericos

24 Consideraccedilotildees Metodoloacutegicas

A proposta da pesquisa eacute investigar como os livros didaacuteticos adotados na rede

municipal de Itaporanga abordam a parte histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilotildees do 2ordm grau e de que

forma se distanciam desta proposta

Quanto aos seus objetivos a pesquisa tem uma perspectiva Exploratoacuteria e quanto agrave

coleta de dados temos uma pesquisa Bibliograacutefica

Segundo Joatildeo Pedro da Ponte (2002) a investigaccedilatildeo sobre a proacutepria praacutetica pode

ajudar os professores a se tornarem autecircnticos protagonistas do processo educacional na

medida em que participam da construccedilatildeo dos conhecimentos do trabalho docente

Na opiniatildeo de Gil (1994 p71) ldquoa principal vantagem da pesquisa bibliograacutefica reside

no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenocircmenos muito mais ampla

do que aquela que poderia pesquisar diretamenterdquo

Dessa forma foram analisados cinco livros sendo trecircs versotildees atualizadas como eacute o caso

dos livros ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo

Bianchini e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo Ainda em

versotildees mais antigas o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro Andrini e dos autores Giovanni

e Castrucci o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo

20

3 REFLEXAtildeO TEOacuteRICA SOBRE O TEMA

31 A Histoacuteria da Matemaacutetica como metodologia de Ensino

Atualmente o ensino da Matemaacutetica conta com diversas metodologias de ensino para

facilitar e estimular a aprendizagem dos alunos e cabe ao professor escolher a que melhor se

adeque ao conteuacutedo abordado Dentre as metodologias de ensino temos a Histoacuteria da

Matemaacutetica que se bem trabalhada pode fornecer os contextos aos problemas como tambeacutem

os instrumentos para a construccedilatildeo das estrateacutegias de resoluccedilatildeo

De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p42) a Histoacuteria da Matemaacutetica pode oferecer

uma importante contribuiccedilatildeo ao processo de ensino e aprendizagem dessa aacuterea do

conhecimento Ao revelar a Matemaacutetica como uma criaccedilatildeo humana ao mostrar necessidades

e preocupaccedilotildees de diferentes culturas em diferentes momentos histoacutericos ao estabelecer

comparaccedilotildees entre os conceitos e processos matemaacuteticos do passado e do presente o

professor cria condiccedilotildees para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoraacuteveis diante

desse conhecimento

Os PCN tambeacutem nos mostram que os conceitos abordados em conexatildeo com sua

histoacuteria constituem veiacuteculos de informaccedilatildeo cultural socioloacutegica e antropoloacutegica de grande

valor formativo por isso eacute tatildeo importante trabalhar com esse recurso de ensino que eacute a

histoacuteria da Matemaacutetica

A Histoacuteria da Matemaacutetica eacute nesse sentido um instrumento de resgate da proacutepria identidade cultural Ao verificar o alto niacutevel de abstraccedilatildeo matemaacutetica de algumas culturas antigas o aluno poderaacute compreender que o avanccedilo tecnoloacutegico de hoje natildeo seria possiacutevel sem a heranccedila cultural de geraccedilotildees passadas (BRASIL 1998 p42)

Em muitos conteuacutedos o recurso agrave Histoacuteria da Matemaacutetica pode orientar os alunos

ajudando-o a compreender melhor o conteuacutedo o porquecirc do seu surgimento e onde ele poderaacute

ser usado e dessa forma iraacute contribuir para a constituiccedilatildeo de um olhar mais criacutetico sobre os

conhecimentos adquiridos

Os PCN tambeacutem nos alerta que ldquo[]essa abordagem natildeo deve ser entendida

simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaccedilo cada item do programa de

Matemaacutetica ou contar sempre em suas aulas trechos da histoacuteria da Matemaacutetica mas que a

encare como um recurso didaacutetico com muitas possibilidades para desenvolver diversos

conceitos sem reduzi-la a fatos datas e nomes a serem memorizados (BRASIL 1998 p43)

21

32 PCN abordagem do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau

O conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute abordado nos PCN no bloco Nuacutemeros e Operaccedilotildees e

as orientaccedilotildees deste documento eacute que o professor procure apresentaacute-lo atraveacutes de situaccedilotildees-

problema proporcionando ao aluno uma melhor compreensatildeo

Segundo os PCN (BRASIL 1998 p84) eacute fundamental ldquo[] a formulaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo

de problemas por meio de equaccedilotildees (ao identificar paracircmetros incoacutegnitas variaacuteveis) e o

conhecimento da lsquosintaxersquo (regras para resoluccedilatildeo) de uma equaccedilatildeordquo

Entatildeo percebemos que quando conseguimos adentrar nas situaccedilotildees-problema

inserindo as incoacutegnitas e aplicando os nossos conhecimentos por meio das regras teremos um

resultado mais satisfatoacuterio e significativo pois as foacutermulas passaratildeo a ter sentido nas

situaccedilotildees

Os PCN trazem o seguinte conceito e procedimento para a Equaccedilatildeo do 2ordm grau

Resoluccedilatildeo de situaccedilotildees-problema que podem ser desenvolvidas por uma equaccedilatildeo de segundo grau cujas raiacutezes sejam obtidas pela fatoraccedilatildeo discutindo o significado dessas raiacutezes em confronto com a situaccedilatildeo proposta (BRASIL 1998 p88)

Este procedimento apresentado pelos PCN melhor consolida a resoluccedilatildeo de problemas

como o meio para abordagem da Equaccedilatildeo do 2deg grau desde que sejam propostas discussotildees

entre os resultados encontrados e o problema proposto pois eacute importante que o aluno seja

estimulado a pensar a refletir sobre o que estaacute fazendo e natildeo apenas executar de forma

mecacircnica uma situaccedilatildeo visto que assim o conteuacutedo perderaacute o sentido para o aluno

Os PCN (BRASIL 1998 p116) tambeacutem afirmam que eacute mais proveitoso propor

situaccedilotildees que levem os alunos a construir noccedilotildees algeacutebricas pela observaccedilatildeo de regularidades

em tabelas e graacuteficos estabelecendo relaccedilotildees do que desenvolver o estudo da Aacutelgebra apenas

enfatizando as lsquomanipulaccedilotildeesrsquo com expressotildees e equaccedilotildees de uma forma meramente

mecacircnica ldquoEacute importante que os alunos percebam que as equaccedilotildees facilitam muito as

resoluccedilotildees de problemas difiacuteceisrdquo (BRASIL 1998 P121)

Quando os alunos descobrem o objetivo das equaccedilotildees acaba acontecendo uma

transformaccedilatildeo na visatildeo dos alunos pois o que antes era visto como foacutermulas e caacutelculos

imensos passam a ser vistos como estrateacutegias para se conseguir chegar a um propoacutesito Dessa

forma o aluno passa a desenvolver o gosto pelos conteuacutedos matemaacuteticos pois percebem sua

importacircncia

22

33 Polya teoria da resoluccedilatildeo de problema

Polya ao lanccedilar o tatildeo famoso e esplecircndido livro ldquoA arte de resolver problemasrdquo abriu

as portas para a didaacutetica da resoluccedilatildeo de problemas que eacute de suma importacircncia para a

aprendizagem matemaacutetica Neste livro o autor apresenta a heuriacutestica que eacute o meacutetodo

desenvolvido por ele para resoluccedilatildeo de problemas Polya (1995) propocircs as seguintes etapas a

serem seguidas ao se resolver problemas

1 Compreensatildeo do problema

2 Elaboraccedilatildeo de um plano

3 Execuccedilatildeo do plano

4 Verificaccedilatildeo da soluccedilatildeo encontrada

As etapas de Polya podem ser aplicadas a todos os conteuacutedos e cada etapa eacute suporte para

a etapa seguinte Na primeira etapa eacute preciso compreender o problema para isso eacute necessaacuterio

estimular o aluno a fazer perguntas para que ele consiga fazer uma interpretaccedilatildeo do que se

deseja

Na segunda etapa o aluno iraacute construir uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo portanto ele precisa

buscar conexotildees entre os dados e o que eacute solicitado eacute importante que nesta etapa o aluno

pense em situaccedilotildees parecidas isso facilitaraacute na elaboraccedilatildeo de um plano de resoluccedilatildeo

Na terceira etapa o aluno iraacute executar a estrateacutegia que escolheu ou seja ele iraacute executar

o plano que ele construiu na etapa anterior Nesta etapa o aluno deve ter criteacuterios para

verificar cada passo realizado

Na quarta etapa o aluno faraacute a revisatildeo da soluccedilatildeo ou seja uma retrospectiva de tudo que

foi realizado fazendo com que ele verifique os procedimentos utilizados buscando formas

mais simples de resolver o mesmo problema Nesta etapa tambeacutem eacute preciso que seja feito uma

reflexatildeo de todo o processo realizado com a finalidade de encontrar a essecircncia do problema e

do meacutetodo empregado para resolvecirc-lo pois assim aconteceraacute a aprendizagem significativa

Seguindo estas etapas conseguiremos resolver os problemas compreendendo-o dando

sentido e enriquecendo assim os conhecimentos por meio da valorizaccedilatildeo e importacircncia dos

conteuacutedos para a vida

23

34 Resoluccedilatildeo de problemas no ensino de equaccedilatildeo do 2ordm grau

Quando trabalhamos com resoluccedilatildeo de problema precisamos confiar na capacidade dos

alunos e encorajaacute-los Segundo Mariacutelia Centurioacuten (2003) alunos motivados satildeo capazes de

raciociacutenios maravilhosos e surpreendentes

Devemos incentivar os alunos e orientaacute-los no processo de resoluccedilatildeo das situaccedilotildees

problema e procurar compreender os caminhos do seu raciociacutenio

Eacute preciso trabalhar as equaccedilotildees do 2ordm grau atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas dando

significado a este conteuacutedo e as ideias dos alunos

De acordo com os PCN (BRASIL 1998 p84) ao se proporem situaccedilotildees-problema

bastante diversificadas o aluno poderaacute reconhecer diferentes funccedilotildees da Aacutelgebra

Diante dessa afirmaccedilatildeo percebemos a finalidade de inserir as Equaccedilotildees do 2ordm grau em

situaccedilotildees problema pois dessa forma os alunos ampliam seus conhecimentos atraveacutes das

diversas funccedilotildees que satildeo abordadas

Segundo Dante (1991) ldquoeacute possiacutevel por meio da resoluccedilatildeo de problemas desenvolver no

aluno iniciativa espiacuterito explorador criatividade independecircncia e a habilidade de elaborar

um raciociacutenio loacutegico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponiacuteveis para que ele

possa propor boas soluccedilotildees agraves questotildees que surgem em seu dia a dia na escola ou fora delardquo

Dante nos desperta para uma visatildeo mais ampla referente ao objetivo de trabalhar com

situaccedilotildees problema em que podemos identificar nos alunos as mudanccedilas na sua

aprendizagem se aplicarmos diariamente situaccedilotildees problema Os alunos precisam estar

habituados para inserir os conteuacutedos matemaacuteticos nas situaccedilotildees do cotidiano

O conteuacutedo da equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute visto por muitos alunos e professores apenas como

um exerciacutecio de treinamento de foacutermulas pois geralmente ele eacute trabalhado fora de um

contexto Os alunos acabam natildeo conseguindo relacionar problemas do dia a dia com este

conteuacutedo por isso devemos buscar diversos problemas que satildeo resolvidos pela Equaccedilatildeo do 2ordm

grau para que os alunos se familiarizem

Os PCN (BRASIL 1998) enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar

sua proacutepria resposta a questionar o problema a transformar um dado problema numa fonte de

novos problemas a formular problemas a partir de determinadas informaccedilotildees a analisar

problemas abertos evidencia uma concepccedilatildeo de ensino e aprendizagem natildeo pela mera

reproduccedilatildeo de conhecimentos mas pela via de accedilatildeo refletida que constroacutei conhecimentos

24

35 Tratamento das equaccedilotildees do 2ordm grau convencional

Convencionalmente trabalham-se as equaccedilotildees de 2ordm grau aplicando exerciacutecios de

forma mecacircnica A maioria dos livros didaacuteticos daacute ecircnfase mais agraves foacutermulas a questotildees em que

o aluno vai exercitaacute-las e as situaccedilotildees problema satildeo apresentadas com menos intensidade

apenas no final do capiacutetulo

Sendo abordados desta forma os alunos se deparam muitas vezes perguntando para

que este conteuacutedo Em que ele seraacute uacutetil na minha vida Perguntas que muitas vezes ficam

sem respostas porque o professor natildeo buscou aprofundar-se mais na histoacuteria do conteuacutedo e na

sua utilizaccedilatildeo na vida

De acordo com os PCN (BRASIL1998p116) isso faz com que os professores

procurem aumentar ainda mais o tempo dedicado a este assunto propondo em suas aulas na

maioria das vezes apenas a repeticcedilatildeo mecacircnica de mais exerciacutecios Essa soluccedilatildeo aleacutem de ser

ineficiente provoca grave prejuiacutezo no trabalho com outros temas da Matemaacutetica

Os livros didaacuteticos e os professores comeccedilam aplicando equaccedilotildees simples que se

estendem por muitas aulas Depois eles vatildeo aumentando os graus de dificuldades dessas

equaccedilotildees com o objetivo de fazer com que o aluno aprenda apenas depois de muitos

exerciacutecios eles aplicam alguns problemas mas procuram natildeo se estender muito pois

acreditam que os alunos natildeo satildeo capazes de acompanhar Diante dessa postura do professor o

aluno acaba se prejudicando pois natildeo consegue adquirir o haacutebito de aplicar o conteuacutedo em

situaccedilotildees problema conseguindo assimilar apenas a foacutermula sem associaacute-la a um contexto

De acordo com Toledo e Toledo (1997) os problemas de matemaacutetica muitas vezes satildeo

trabalhados de forma desmotivadora apenas como um conjunto de exerciacutecios acadecircmicos

Trabalhados desta forma os problemas e as equaccedilotildees passam a ter pouco significado para o

aluno Quando a Matemaacutetica eacute vista desta forma ela passa a ser transmitida de forma

tradicional logo os conteuacutedos como as equaccedilotildees passam a ser repassada apenas no seu

processo de algoritmos pois acredita-se que sua utilizaccedilatildeo eacute importante apenas para os

especialistas

Essa abordagem precisa mudar temos que dar sentido aos conteuacutedos para que os

alunos se encantem com tantas foacutermulas maacutegicas que foram criadas para resolvermos

diversos problemas no nosso dia a dia

Esta pesquisa procura estabelecer o levantamento histoacuterico como foco para o melhor

desenvolvimento da Matemaacutetica pois segundo Van de Walle (2009 p 139) ldquo as situaccedilotildees do

mundo real podem ser utilizadas para estabelecer a necessidade de muitos toacutepicos de aacutelgebrardquo

25

351 A foacutermula de Bhaacuteskara

Segundo Marcos Noeacute (Brasil Escola 2009) a Equaccedilatildeo do 2ordm grau possui inuacutemeras

aplicaccedilotildees no cotidiano e sua forma de resoluccedilatildeo estaacute atribuiacuteda ao indiano Bhaskara mas

aproximadamente por volta do ano de 2000 aC os babilocircnios utilizavam outra teacutecnica na

resoluccedilatildeo dessas equaccedilotildees Apenas a forma resolutiva de Bhaskara eacute ensinada na maioria das

escolas em razatildeo da praticidade de trabalhar somente com o valor dos coeficientes Mas eacute de

extrema importacircncia que o professor assuma a responsabilidade de trabalhar com os alunos a

resoluccedilatildeo atraveacutes do complemento de quadrados

Nos livros didaacuteticos encontra-se a seguinte deduccedilatildeo para a foacutermula de Bhaacuteskara

segundo Bianchini (1996 p42) Dante (2008 p58) e Bianchini (2006 112)

Consideramos a equaccedilatildeo ax2 + bx + c = 0 com ab e c isin R e a ne 0 Dividindo todos os termos

da equaccedilatildeo pelo coeficiente a pois a ne 0 Assim teremos

+ +

= 0

+ + = 0

Em seguida usando o principio aditivo vamos adicionar o termo a

cminus aos dois

membros da equaccedilatildeo a

c

a

c

a

c

a

bxx minus=minus++ 02 efetuando a adiccedilatildeo teremos

a

c

a

bxx minus=+2

Para que o primeiro membro se torne um trinocircmio quadrado perfeito devemos dividir

o termo de incoacutegnita x por 2 (termo meacutedio) e elevar o resultado ao quadrado

2

22

2

422 a

b

a

ba

b

==

Em seguida vamos adicionaacute-lo ao primeiro membro da equaccedilatildeo fazendo o mesmo

com o segundo membro a fim de obter uma equaccedilatildeo equivalente (princiacutepio aditivo)

a

c

a

b

a

b

a

bxx minus=++

2

2

2

22

44

Calculando o MMC do segundo membro obtemos 2

2

2

22

4

4

4 a

acb

a

b

a

bxx

minus=++

A expressatildeo minus 4(que eacute um nuacutemero real) eacute usualmente representada pela letra

grega ∆(delta) chamada discriminante da equaccedilatildeo substituindo ∆na equaccedilatildeo teremos

26

+ +

= ∆

Fatorando o primeiro membro dessa equaccedilatildeo atraveacutes do trinocircmio quadrado perfeito temos

2

2

42 aa

bx ∆

=

+

Extraindo a raiz quadrada do segundo membro + = plusmn ∆

42 Passando o termo

a

b

2 para o segundo membro da equaccedilatildeo

aa

bx

22

∆plusmnminus=

Reduzindo o segundo membro da equaccedilatildeo agrave um soacute denominador chegamos a foacutermula

resolutiva a

bx

2

∆plusmnminus=

352 Completamento dos quadrados

Em alguns livros didaacuteticos como Bianchini (2006 p109) e Dante (2008 p56) as

raiacutezes de uma equaccedilotildees do 2ordm grau podem ser encontradas usando o meacutetodo do

ldquoCompletamento do quadradordquo e eacute apresentado da seguinte forma

1ordm passo A equaccedilatildeo deveraacute ser multiplicada pelo quaacutedruplo do coeficiente do termo elevado

ao quadrado Veja o coeficiente eacute igual a 1 portanto o seu quaacutedruplo eacute dado por 4

4(x2 + 6x) = 74

4x2 + 24x = 28

2ordm passo Somar aos membros da equaccedilatildeo o quadrado do nuacutemero que representa o coeficiente

de x na equaccedilatildeo original nesse caso o nuacutemero eacute 6 Temos que o quadrado do nuacutemero 6 eacute 36

entatildeo vamos somar o resultado a equaccedilatildeo

4x2 + 24x + 36 = 28 + 36

4x2 + 24x + 36 = 64

3ordm passo Vamos fatorar a equaccedilatildeo Veja 4x2 + 24x + 36 = 64 eacute o mesmo que (2x + 6)2

Entatildeo (2x + 6)2 = 64 Concluindo a resoluccedilatildeo temos que S = 1-7

2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8

27

2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6

2x + 6 = 8 2x = -14

2x= 8 ndash 6 x = -7

2x = 2

x = 1

36 Desenvolvimento Histoacuterico da Equaccedilatildeo do 2ordm Grau

Uma abordagem histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau segundo Fragoso (1999) diz que os

alunos tecircm grande curiosidade sobre o desenvolvimento histoacuterico nos temas de matemaacutetica

estudados e muitas vezes os estudantes ficam esperando por esse esclarecimento num curso

mais avanccedilado Os cursos se sucedem e sua curiosidade nem sempre eacute satisfeita

Nesse estudo considera-se tambeacutem importante o uso da histoacuteria da equaccedilatildeo do 2ordm grau

para que se contextualize a necessidade desses conhecimentos e de que se explicite a trajetoacuteria

que eles percorreram

Textos babilocircnios escritos cerca de 4000 anos jaacute faziam referecircncia agrave resoluccedilatildeo de

problemas do 2ordm grau Um dos problemas mais comuns desses escritos era o que tratava da

determinaccedilatildeo de dois nuacutemeros quando conhecido a soma e o produto deles A resoluccedilatildeo

desses problemas era estritamente geomeacutetrica consideravam o produto dos dois nuacutemeros

como a aacuterea e a soma como o semiperiacutemetro de um retacircngulo As medidas dos lados do

retacircngulo correspondiam aos nuacutemeros dados que eram sempre naturais

Esse tratamento geomeacutetrico dados nos problemas do 2ordm grau era longo e cansativo o

que levou os gregos ndash e posteriormente os aacuterabes ndash a buscarem um procedimento mais

metoacutedico para resolver tais problemas

No seacuteculo IX Al-Khowarizmi um saacutebio mulccedilumano descobriu um brilhante meacutetodo

para comprovar geometricamente as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do 2ordm grau que deu iniacutecio a

chamada aacutelgebra geomeacutetrica Veja como funciona o seu meacutetodo com a seguinte equaccedilatildeo

+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)

Primeiro ele desenha o quadrado cuja aacuterea representa o termo x2 (Figura 1) O termo

10x eacute interpretado como a aacuterea de um retacircngulo de lados 10 e x (Figura 2)

28

Figura 1 Quadrado de aacuterea x2

Fonte Portal do professor (MEC)

Figura 2 Retacircngulo de lados 10 e x Fonte Portal do professor (MEC)

AL-Khowarizmi dividiu esse retacircngulo em quatro retacircngulos de aacutereas iguais

Figura 3 Retacircngulo dividido em partes iguais Fonte Portal do professor (MEC)

Em seguida aplicou cada um desses quatro retacircngulos sobre os lados do quadrado de aacuterea x2

obtendo a figura 4 a seguir

x2

10x

x

10

25

x

25

25

25

x

29

Figura 4 Uniatildeo do quadrado com os retacircngulos


A aacuterea da figura formada eacute igual a x2 + 425x = x2 + 10x Como x2 + 10x = 39 a aacuterea

dessa figura eacute 39 Em seguida Al-khowarizmi completou o quadrado

Figura 5 Quadrado de aacuterea 64 Fonte Portal do professor (MEC)

A aacuterea deste quadrado eacute igual eacute 39 + 4 (25)2 = 64 Portanto o lado do quadrado eacute 8 e

assim 25 + x + 25 = 8 resultando em x = 3 o famoso saacutebio mostrou que 3 eacute uma raiz da

equaccedilatildeo 39102 =+ xx

No seacuteculo XII o Frances Franccediloacuteis Vieacutete (1540-1603) conhecido como o pai da aacutelgebra

passou a representar a palavra mais pela letra e a palavra menos pela letra As equaccedilotildees

portanto passaram a ser expressas por meio de alguns siacutembolos algumas palavras abreviadas

e as outras palavras escritas por extenso

x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0

A 9 eacute igual a 12 A aacuterea A2 eacute igual a 0

25 25

x2

25x

25 25

25 25

x2

25x

25 25

30

Os matemaacuteticos daquela eacutepoca foram buscar com os comerciantes do Renascimento

dois sinais ainda desconhecidos na matemaacutetica para substituir as letras e nas equaccedilotildees de

Vieacutete passou a ser representado por (+) e por (-) A partir daiacute estes sinais + e ndash entraram

definitivamente para a matemaacutetica

Mais tarde baseado nos estudos feito por grandes matemaacuteticos da antiguidade Vieacutete

expressou pela primeira vez as Equaccedilotildees do 2ordm grau pela foacutermula geral (GUELLI 2001)

Anos depois o matemaacutetico inglecircs Thomas Harriot (1560-1621) introduziu o sinal de

igualdade (=) e adotou uma nova notaccedilatildeo para as potecircncias das incoacutegnitas A aacuterea rarr AA

ficando a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira B in AA + C in A + D = 0

A passagem a aacutelgebra simboacutelica iniciada por Vieacutete foi completada pelo Francecircs Reneacute

Descartes (1596-1650) que encontrou um modo bem praacutetico para expressar os siacutembolos

criados por Vieacutete veja

bull Comeccedilou a usar o expoente 2 para expressar a aacuterea

bull Substitui in pelo sinal (x) depois ()

bull Passou a representar as incoacutegnitas de uma equaccedilatildeo pelas uacuteltimas letras do alfabeto

x y z e os coeficientes literais das incoacutegnitas pelas primeiras letras a b c

Ficando a Equaccedilatildeo do 2ordm grau expressa da seguinte maneira 2x a + b x + c = 0

Veja o quadro comparativo com os siacutembolos criados por Vieacutete que foram sendo

aperfeiccediloados ao longo do tempo

Quadro 1 Comparaccedilatildeo entre as escritas simboacutelicas

Fonte Adaptado de Guelli 1992

A partir do momento em que Franccediloacuteis Vieacutete expressou uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau por

meio da foacutermula geral B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0

B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0

Vieacutete Harriot Descartes A aacuterea eacute igual a 50 AA = 50 x2 = 50 A aacuterea A2 eacute igual a 0 AA ndash A2 = 0 x2 ndash x 2 = 0 A aacuterea A5 6 eacute igual a 0 AA ndash A5 + 6 = 0 x2 ndash x 5 + 6 = 0 A aacuterea A2 1 eacute igual a 0 AA ndash A2 + 1 = 0 x2 ndash x 2 + 1 = 0 B in A aacuterea + C in A + D eacute igual a 0

B in AA + C in A + D = 0 x2 A + B x + c = 0

31

Os matemaacuteticos rapidamente foram descobrindo muitas propriedades das Equaccedilotildees

Natildeo foi o uacutenico povo nem uma uacutenica pessoa que inventou a foacutermula da Equaccedilatildeo do 2ordm grau

Trabalhando essas propriedades matemaacuteticos de vaacuterias regiotildees do Velho Mundo quase que

simultaneamente acabaram deduzindo uma foacutermula uacutenica que tornou possiacutevel a resoluccedilatildeo de

qualquer Equaccedilatildeo do 2ordm grau

32

4 ANAacuteLISE DA ABORDAGEM HISTOacuteRICA DA EQUACcedilAtildeO DE 2ordm

GRAU NOS LIVROS DIDAacuteTICOS

Apresentaremos neste capiacutetulo uma anaacutelise de livros didaacuteticos do 9ordm ano que abordam

o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau procurando verificar a proposta histoacuterica deste conteuacutedo

Dessa forma acreditamos que eacute possiacutevel analisar quais satildeo as orientaccedilotildees dos livros didaacuteticos

para que a proposta histoacuterica seja trabalhada em sala de aula

Um levantamento sobre qual o livro adotado nas escolas da rede puacuteblica de Itaporanga

mostrou que o livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Roberto Dante da editora Aacutetica eacute a referecircncia

para os professores Mas tambeacutem os livros ldquoMatemaacuteticardquo da autoria de Edwaldo Bianchini de

Aacutelvaro Andrini o livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo dos autores Giovanni e Castrucci o livro ldquoA

Conquista da Matemaacuteticardquo e de Mariacutelia Centurioacuten o livro ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo

41 Dante ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo

No livro ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo que teve sua segunda ediccedilatildeo em 2008 o autor Dante

apresenta alguns fatos histoacutericos sobre a Equaccedilatildeo do 2ordm grau para que o aluno conheccedila o

surgimento desse conteuacutedo Logo no iniacutecio do capiacutetulo depois de introduzir a resoluccedilatildeo de

equaccedilotildees do 2ordm grau completas Dante lanccedila uma pergunta ldquoVocecirc sabia no seacuteculo IX o

famoso matemaacutetico aacuterabe Al-Khwarizmi usou um interessante meacutetodo de completar

quadrados para resolver esse tipo de equaccedilatildeordquo (Figura 1) (DANTE 2008 p56)

Dando continuidade o autor apresenta o meacutetodo exemplificando para o caso da

equaccedilatildeo + 6 minus 7 = 0 e utiliza a ideia geomeacutetrica de completar quadrados por meio da

noccedilatildeo de aacuterea Dessa forma chega agrave soluccedilatildeo da equaccedilatildeo apresentando as raiacutezes = minus7e

= 1 (Figura 6)

Continuando a anaacutelise do livro Dante propotildee alguns exerciacutecios contendo equaccedilotildees do

2ordm grau e resoluccedilatildeo de problemas usando o meacutetodo de completar quadrados apresentado na

paacutegina seguinte

33

Figura 6 Vocecirc sabia (DANTE2008 p56)

Ele faz uma relaccedilatildeo entre o fato histoacuterico e o meacutetodo por meio da resoluccedilatildeo de uma

equaccedilatildeo Isso faz com que o aluno natildeo soacute aprenda este meacutetodo mas conheccedila o seu

surgimento

Dante tambeacutem propotildee aos professores que apresentem a histoacuteria da foacutermula de

Bhaacuteskara mostrando aos alunos que apesar de Bhaacuteskara ter sido um dos importantes

34

matemaacuteticos do seacuteculo XII em sua eacutepoca ainda natildeo se representavam por letras os

coeficientes de uma equaccedilatildeo Isso soacute veio a ocorrer com Franccedilois Viegravete matemaacutetico francecircs

que viveu de 1540 a 1603 (Figuras 7 e 8)

Figura 7 Foacutermula de Bhaacuteskara (DANTE2088 p58 )

Figura 8 Informaccedilotildees histoacutericas sobre foacutermula de Bhaacuteskara(DANTE 2008p58)

35

Dante conclui o conteuacutedo mostrando outra parte da histoacuteria para que os alunos leiam e

reflitam Ele nos mostra que antes de Franccedilois Viegravete era usada uma receita dos babilocircnios que

ensinava como proceder em exemplos concretos (com coeficientes numeacutericos) Como natildeo

existia uma foacutermula para encontrar os coeficientes numeacutericos os babilocircnios utilizavam o seguinte

meacutetodo eleve ao quadrado a metade da soma subtraia o produto e extraia a raiz quadrada da

diferenccedila Some ao quadrado a metade da soma com isso encontraremos o maior dos nuacutemeros

procurados Para obter o outro nuacutemero subtraia-o da soma Dessa forma os alunos satildeo motivados

a procurar dois nuacutemeros conhecidos a soma e o produto que os levaraacute a resolver a equaccedilatildeo do 2ordm

grau minus + = 0 onde ldquosrdquo eacute a soma e ldquoprdquo eacute o produto da raiacutezes (Figura 9)

Figura 9 Encontrar dois nuacutemeros dados a soma e o produto (DANTE2008 p78)

Podemos perceber que este livro traz algumas passagens histoacutericas de forma sucinta em

que os alunos vatildeo conhecendo aos poucos o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau Mas observamos

que natildeo eacute proposto nenhum problema usando a histoacuteria satildeo expostos apena exerciacutecios

normais neste caso ele soacute faz um breve relato da histoacuteria

36

42 Edwaldo Bianchini ldquoMatemaacuteticardquo

Neste livro o autor inicia ao conteuacutedo equaccedilatildeo do 2ordm grau apresentando o conceito em

seguida as raiacutezes de uma equaccedilatildeo e a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees incompletas depois ele

apresenta o texto ldquoUm pouco de histoacuteriardquo (BIANCHINI 1996 p42) em que conta o

surgimento da foacutermula resolutiva de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau e fala um pouco sobre a obra

mais conhecida de Bhaacuteskara ldquoLilavatirdquo explicando a escolha desse tiacutetulo atraveacutes de uma lenda

(Figura 10)

Figura 10 Um pouco de Histoacuteria (BIANCHINI 1996 p42)

Em seguida eacute apresentada a deduccedilatildeo da foacutermula de Bhaacuteskara e satildeo apresentados

exerciacutecios sem recorrer ao recurso da histoacuteria

Ao introduzir os problemas sobre o discriminante de uma Equaccedilatildeo do 2ordm grau o autor

apresenta livro de Albert Girard ldquoInventor Nouvelle em Algegravebrerdquo no qual demonstra as

relaccedilotildees entre as raiacutezes e os coeficientes de uma equaccedilatildeo admitindo a existecircncia das raiacutezes

negativas (BIANCHINI 1996 p 51)

A parte histoacuterica da Equaccedilatildeo do 2ordm grau eacute apresentada por este autor para que os alunos a

conheccedilam e se familiarizem com ela Logo em seguida satildeo propostos problemas para serem

encontrados a soma e o produto de acordo com as relaccedilotildees de Girard (Figura 11)

37

Figura 11 Relaccedilotildees de Girard (BIANCHINI 1996 p 51)

43 Mariacutelia Centurioacuten ldquoNova Matemaacutetica na Medida Certardquo

Este livro foi lanccedilado em 2003 e traz o conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau dentro de uma

situaccedilatildeo-problema que natildeo eacute histoacuterica veja ldquoEu deveria dividir 45 por um certo nuacutemero x

mas mim distraiacute e em vez da divisatildeo fiz a subtraccedilatildeo Ao fazer os caacutelculos encontrei no

entanto o mesmo resultado de antes Foi muita coincidecircncia isso soacute acontece para dois

valores de x Vamos descobrir quais satildeordquo (CENTURIOacuteN 2003 p 36)

Este livro tambeacutem relata a histoacuteria de Bhaacuteskara de forma ilustrativa e mostra que o

meacutetodo da resoluccedilatildeo da Equaccedilatildeo do 2ordm grau jaacute era aplicado por Al-Khowarizmi Fazendo com

38

que os alunos percebam que natildeo foi Bhaacuteskara quem criou essa foacutermula Em seguida a autora

apresenta a resoluccedilatildeo de algumas equaccedilotildees do 2ordm grau usando o trinocircmio quadrado perfeito

(Figura 12)

Figura 12 A foacutermula de Bhaacuteskara (CENTURIOacuteN 2003 p43)

Nesse livro os alunos tecircm a oportunidade de compreender a Equaccedilatildeo do 2ordm grau de

forma significativa pois satildeo levados a uma viagem ao passado para conhecer a histoacuteria da

Equaccedilatildeo do 2ordm grau

39

44 Aacutelvaro Andrini ldquoPraticando Matemaacuteticardquo

No livro ldquoPraticando Matemaacuteticardquo publicado em 1989 o autor natildeo trabalha com a histoacuteria da

Equaccedilatildeo do 2ordm grau ele aborda os conceitos e as foacutermulas trazendo muitas listas de

exerciacutecios Essa obra natildeo permite ao aluno conhecer o surgimento da Equaccedilatildeo do 2ordm grau

distanciando os alunos de uma visatildeo mais ampla e de uma melhor abordagem e compreensatildeo

pois os alunos aprendem a calcular mas natildeo conseguem aplicar este conteuacutedo no seu

cotidiano

45 Giovanni e Castrucci ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo

Este livro natildeo traz uma abordagem histoacuterica do conteuacutedo Equaccedilatildeo do 2ordm grau o mesmo foi

publicado em 1985 por ser um livro antigo os conteuacutedos eram abordados focalizando as

foacutermulas e os conceitos Apesar de ser antigo e natildeo trazer uma proposta baseada nos PCN ele

ainda eacute muito utilizado por professores que se prendem ao meacutetodo de ensino tradicionalista

40

5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS

Considerando que nas proposiccedilotildees apresentadas nas obras aqui analisadas foi possiacutevel

perceber que em resposta as questotildees relacionadas agrave educaccedilatildeo matemaacutetica eacute preciso uma

consciecircncia entre os professores na necessidade de informaccedilotildees com relaccedilatildeo agrave nova

metodologia do ensino de matemaacutetica na qual se perceba que o aluno natildeo eacute o uacutenico

responsaacutevel pelo fracasso do ensino

O professor de matemaacutetica precisa mudar a maneira de verificar a aprendizagem dos

alunos sobre o tema Equaccedilotildees do 2ordm grau

A abordagem da temaacutetica ldquoUma anaacutelise da histoacuteria das Equaccedilotildees do 2ordm grau nos livros

didaacuteticosrdquo foi de grande importacircncia considerando a atual situaccedilatildeo em que se encontram o

ensino da matemaacutetica e a maneira como eacute transmitido em sala de aula esse conteuacutedo fazendo-

se necessaacuterio um trabalho dinacircmico e adequado

O estudo aqui desenvolvido oferece ao aluno a possibilidade de conhecer a histoacuteria da

Equaccedilatildeo do 2ordm grau natildeo se limitando apenas a conhecida foacutermula resolutiva

Segundo Valdeacutes (2002) ldquoO valor do conhecimento histoacuterico natildeo consiste em ter uma

bateria de histoacuterias e anedotas curiosas para entreter os alunos a histoacuteria pode e deve ser

utilizada para entender e fazer compreender uma ideacuteia mais difiacutecil e complexa de modo mais

adequadordquo

A respeito das contribuiccedilotildees que o estudo nos proporcionou percebemos que foi

gratificante assim como a experiecircncia de estaacutegio que possibilitou um crescimento enorme no

sentido de podermos vivenciar a realizaccedilatildeo de uma proposta de ensino construtiva e vecirc que a

matemaacutetica natildeo eacute apenas uma memorizaccedilatildeo de regras e equaccedilotildees mas tambeacutem uma realidade

para a vida cotidiana dos educadores e da sociedade

As escolas puacuteblicas do municiacutepio de Itaporanga adotaram no corrente ano o livro

ldquoTudo eacute Matemaacuteticardquo do autor Dante (Editora Aacutetica) O referido livro introduz o conteuacutedo

Equaccedilatildeo do 2ordm grau envolvendo situaccedilotildees com poliacutegonos convexos Podemos perceber que a

abordagem do conteuacutedo exposta pelo autor traz o tema em estudo de forma contextualizada

atraveacutes da exposiccedilatildeo de uma situaccedilatildeo problema envolvendo poliacutegonos convexos fugindo

entatildeo das tradicionais exposiccedilotildees de foacutermulas e conceitos

Embora as escolas tenham adotado o livro com essas metodologias os professores

optam pela utilizaccedilatildeo de livros mais antigos como ldquoPraticando Matemaacuteticardquo de Aacutelvaro

Andrini e o livro ldquoA Conquista da Matemaacuteticardquo de Joseacute Ruy Giovanni e Benedito Castrucci

que abordam os conteuacutedos de maneira tradicional Esses livros abordam o conteuacutedo Equaccedilatildeo

41

do 2ordm grau apresentando primeiro a definiccedilatildeo e a foacutermula de maneira isolada fora de um

contexto Depois eles apresentam vaacuterias listas de exerciacutecios apenas com foacutermulas por uacuteltimo

eacute que satildeo trabalhadas as situaccedilotildees problemas vale ressaltar que essas situaccedilotildees satildeo

apresentadas apenas em outro capiacutetulo

Constatamos assim que eacute preciso uma conscientizaccedilatildeo dos professores da importacircncia

da problematizaccedilatildeo no estudo das Equaccedilotildees do 2ordm grau para que eles possam aproveitar os

livros que satildeo adotados pelas escolas facilitando a compreensatildeo e importacircncia deste conteuacutedo

para os alunos

Procura mostrar aos professores que ldquoao priorizar a construccedilatildeo do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno o papel do professor eacute mais o de facilitador orientador estimulador e incentivador da aprendizagem Cabe ao professor desenvolver a autonomia do aluno instigando-o a refletir investigar e descobrir criando na sala de aula uma atmosfera de busca e camaradagem onde o diaacutelogo e a troca de ideacuteias seja uma constante quer entre professor e aluno quer entre os alunosrdquo (DANTE 2005 p17)

No livro Tudo eacute Matemaacutetica o autor motiva os professores a trabalhar com diversas

metodologias e recursos materiais e tecnoloacutegicos para enriquecer a aprendizagem

matemaacutetica cabe a noacutes professores analisarmos estas propostas a fim de conseguirmos

modificar o ensino e tornaacute-lo mais significativo

Analisando as propostas de trabalhar a Equaccedilatildeo de 2ordm grau por meio da anaacutelise

histoacuterica entendemos que o professor deve procurar desenvolver na sala de aula novas

metodologias para proporcionar a meus alunos uma nova aprendizagem modificando tambeacutem

minha visatildeo e meus conhecimentos sobre este conteuacutedo Busque trabalhar inicialmente

mostrando para os alunos como surgiu a Equaccedilatildeo de 2ordm grau atraveacutes dos problemas que

foram surgindo naquela eacutepoca e necessitava desta equaccedilatildeo para solucionaacute-lo

Apresente problemas simples para que os alunos possam se habituar a esta nova

proposta pois isso fortaleceraacute sua autoconfianccedila para resolverem problemas mais complexos

Durante este processo que o professor busque valorizar as estrateacutegias utilizadas pelos alunos

e natildeo apenas o resultado encontrado transformando seus erros em novos saberes

Mostre aos poucos as etapas desenvolvidas por Polya para que os alunos as pratiquem

e percebam sua importacircncia pois logo eles estaratildeo conseguindo resolver os problemas sem

muitas dores de cabeccedila

A cada problema apresentado aos alunos que o professor proponha uma discussatildeo e

orientaccedilatildeo para que eles consigam compreendecirc-los e traccedilar a melhor estrateacutegia Aleacutem de

problemas jaacute formulados que o professor estimule a criaccedilatildeo de novas situaccedilotildees envolvendo o

42

cotidiano pois assim os alunos conseguiratildeo estabelecer a relaccedilatildeo entre os conteuacutedos e o

cotidiano

Ainda que o professor trabalhe tambeacutem com recursos tecnoloacutegicos o computador e o

data show mostrando a histoacuteria do conteuacutedo por meio de um viacutedeo e de slides para que o

aluno perceba porque foi criado o conteuacutedo

Eacute possiacutevel ainda que o professor aplique atividades relacionando os conteuacutedos com

outras aacutereas do conhecimento ou seja de forma interdisciplinar e contextualizada pois agora

percebo que estas metodologias satildeo importantes para a aprendizagem dos alunos e

valorizaccedilatildeo dos conhecimentos matemaacuteticos

43

REFEREcircNCIAS

ANDRINI Aacutelvaro Praticando Matemaacutetica 8ordf seacuterieAacutelvaro Andrini ndash Satildeo Paulo Editora do Brasil 1989

BIANCHINI Edwaldo Matemaacutetica 8ordf seacuterieEdwaldo Bianchini ndash 4ed rev e ampl ndash Satildeo Paulo Moderna 1996

BIANCHINI Edwaldo MatemaacuteticaEdwaldo Bianchini ndash 6 Ed ndash Satildeo Paulo Moderna 2006

BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo e do Desporto Secretaria de Educaccedilatildeo Fundamental Paracircmetros curriculares nacionais 3ordm e 4ordm ciclos (5ordf a 8ordf seacuteries) ndash Brasiacutelia MECSEF 1998


CENTURION Mariacutelia Novo Matemaacutetica na medida certa 8ordf seacuterie Centurioacuten Jakubovic Lellis Satildeo Paulo Scipione 2003

DANTE Luiz Roberto Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica ndash Satildeo Paulo Aacutetica 1991

DANTE Luiz Roberto Tudo eacute Matemaacutetica ensino fundamental livro do professor Luiz Roberto Dante Satildeo Paulo Aacutetica 2005

FRAGOSO Wagner da Cunha Equaccedilatildeo do 2ordm grau uma abordagem histoacuterica Rio Grande do Sul UNIJUIacute 1999 In httpwwwimeuspbr~leoimaticahistoriarequacoeshtml Acesso em 22112011

GIL Antocircnio Carlos Meacutetodos e teacutecnicas de pesquisa social 4 ed Satildeo Paulo Atlas 1994

GIOVANNI Joseacute Rui 1937-A conquista da matemaacutetica teoria aplicaccedilatildeo 8ordf seacuterieJoseacute Ruy Giovanni Benedito Castrucci ndash Satildeo Paulo FTD 1985

GUELLI Oscar Matemaacutetica uma aventura do pensamento Satildeo Paulo Aacutetica 2001

MEDEIROS Joatildeo Bosco Redaccedilatildeo cientiacutefica Satildeo Paulo Atlas 1997

NOEacute Marcos Equipe Brasil Escola httpeducadorbrasilescolacomestrategias-ensinocompletando-quadradoshtm Acesso 26112011

POLYA Georg A arte de resolver problemas 2 ed Satildeo Paulo Hermann 1995

OLIVEIRA Carlos Alberto Jesus de Puublicado em 25 de fevereiro de 2009 pelo site Portaldoprofessormecgovbrfichatecnicaaulahtmlaula=1696 Acesso 26112011

PONTE Joatildeo Pedro da Investigaccedilatildeo em educaccedilatildeo matemaacutetica percursos teoacutericos e metodoloacutegicos ndash Campinas SP Autores associados 2006 ndash (coleccedilatildeo formaccedilatildeo de professores)

37

44

SOUSA Ariana Bezerra de Universidade Catoacutelica de Brasiacutelia ndash DF Publicado em 2005

TOLEDO Mariacutelia Didaacutetica da Matemaacutetica como dois e dois a construccedilatildeo da matemaacutetica Mriacutelia Toledo Mauro Toledo_ Satildeo Paulo FTD 1997

VAN DE WALLEJohn A Matemaacutetica no Ensino fundamental formaccedilatildeo de professores e aplicaccedilatildeo em sala de aula John Van de Walle Porto Alegre Artmed 2009

2



Trabalho de Conclusatildeo de Curso apresentado agrave Coordenaccedilatildeo do Curso de Licenciatura em Matemaacutetica a Distacircncia da Universidade Federal da Paraiacuteba como requisito parcial para obtenccedilatildeo do tiacutetulo de licenciado em Matemaacutetica

Orientadora Profordf Dra Cibelle de Faacutetima Castro Assis

Itaporanga ndash PB

2011

3




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BSCCEN CDU 51(0432)

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Aprovado em _____ ______ _______


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5



esse periacuteodo


uniatildeo

6

AGRADECIMENTOS









7



Albert Einstein

8

RESUMO


9

ABSTRACT


10

LISTA DE FIGURAS


11

LISTA DE QUADROS


12

LISTA DE SIGLAS



PB Paraiacuteba




13

SUMAacuteRIO





23 Objetivos 19





















REFEREcircNCIAS

14



























aulas






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disciplinas

















seguinte maneira





nesta pesquisa

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Matemaacutetica

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23 Objetivos

231 Objetivo Geral








histoacutericos


















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desse conhecimento















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situaccedilotildees


















importacircncia

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deseja















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= 0

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cminus aos dois


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bxx minus=++

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+ +

= ∆


2

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42 aa

bx ∆

=

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42 Passando o termo

a

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∆plusmnminus=


resolutiva a

bx

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∆plusmnminus=







4(x2 + 6x) = 74

4x2 + 24x = 28




4x2 + 24x + 36 = 28 + 36

4x2 + 24x + 36 = 64



2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8

27

2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6

2x + 6 = 8 2x = -14

2x= 8 ndash 6 x = -7

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5



esse periacuteodo


uniatildeo

6

AGRADECIMENTOS









7



Albert Einstein

8

RESUMO


9

ABSTRACT


10

LISTA DE FIGURAS


11

LISTA DE QUADROS


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LISTA DE SIGLAS



PB Paraiacuteba




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SUMAacuteRIO





23 Objetivos 19





















REFEREcircNCIAS

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aulas






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disciplinas

















seguinte maneira





nesta pesquisa

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de mundo



Matemaacutetica

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23 Objetivos

231 Objetivo Geral








histoacutericos


















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desse conhecimento















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42 Passando o termo

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resolutiva a

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4(x2 + 6x) = 74

4x2 + 24x = 28




4x2 + 24x + 36 = 28 + 36

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2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8

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2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6

2x + 6 = 8 2x = -14

2x= 8 ndash 6 x = -7

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REFEREcircNCIAS


















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Aprovado em _____ ______ _______


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5



esse periacuteodo


uniatildeo

6

AGRADECIMENTOS









7



Albert Einstein

8

RESUMO


9

ABSTRACT


10

LISTA DE FIGURAS


11

LISTA DE QUADROS


12

LISTA DE SIGLAS



PB Paraiacuteba




13

SUMAacuteRIO





23 Objetivos 19





















REFEREcircNCIAS

14



























aulas






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disciplinas

















seguinte maneira





nesta pesquisa

17































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de mundo



Matemaacutetica

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23 Objetivos

231 Objetivo Geral








histoacutericos


















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desse conhecimento















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situaccedilotildees


















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deseja















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cminus aos dois


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resolutiva a

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4(x2 + 6x) = 74

4x2 + 24x = 28




4x2 + 24x + 36 = 28 + 36

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2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8

27

2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6

2x + 6 = 8 2x = -14

2x= 8 ndash 6 x = -7

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esse periacuteodo


uniatildeo

6

AGRADECIMENTOS









7



Albert Einstein

8

RESUMO


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ABSTRACT


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LISTA DE FIGURAS


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LISTA DE QUADROS


12

LISTA DE SIGLAS



PB Paraiacuteba




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SUMAacuteRIO





23 Objetivos 19





















REFEREcircNCIAS

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disciplinas

















seguinte maneira





nesta pesquisa

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de mundo



Matemaacutetica

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23 Objetivos

231 Objetivo Geral








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situaccedilotildees


















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cminus aos dois


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42 Passando o termo

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resolutiva a

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4(x2 + 6x) = 74

4x2 + 24x = 28




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2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8

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2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6

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2x= 8 ndash 6 x = -7

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= 1 (Figura 6)




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surgimento



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(Figura 10)











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(Figura 12)





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cotidiano






40


















adequadordquo
















41








para os alunos






















42


cotidiano








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REFEREcircNCIAS


















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6

AGRADECIMENTOS









7



Albert Einstein

8

RESUMO


9

ABSTRACT


10

LISTA DE FIGURAS


11

LISTA DE QUADROS


12

LISTA DE SIGLAS



PB Paraiacuteba




13

SUMAacuteRIO





23 Objetivos 19





















REFEREcircNCIAS

14



























aulas






15




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disciplinas

















seguinte maneira





nesta pesquisa

17































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de mundo



Matemaacutetica

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23 Objetivos

231 Objetivo Geral








histoacutericos


















20














desse conhecimento















21











situaccedilotildees


















importacircncia

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cminus aos dois


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42 Passando o termo

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resolutiva a

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4(x2 + 6x) = 74

4x2 + 24x = 28




4x2 + 24x + 36 = 28 + 36

4x2 + 24x + 36 = 64



2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8

27

2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6

2x + 6 = 8 2x = -14

2x= 8 ndash 6 x = -7

2x = 2

x = 1





















+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)



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x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0


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= 1 (Figura 6)




33




surgimento



34






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(Figura 10)











37










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(Figura 12)





39







cotidiano






40


















adequadordquo
















41








para os alunos






















42


cotidiano








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REFEREcircNCIAS


















37

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7



Albert Einstein

8

RESUMO


9

ABSTRACT


10

LISTA DE FIGURAS


11

LISTA DE QUADROS


12

LISTA DE SIGLAS



PB Paraiacuteba




13

SUMAacuteRIO





23 Objetivos 19





















REFEREcircNCIAS

14



























aulas






15




16










disciplinas

















seguinte maneira





nesta pesquisa

17































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de mundo



Matemaacutetica

19

23 Objetivos

231 Objetivo Geral








histoacutericos


















20














desse conhecimento















21











situaccedilotildees


















importacircncia

22














deseja















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especialistas







25













+ +

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cminus aos dois


c

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bx ∆

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42 Passando o termo

a

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∆plusmnminus=


resolutiva a

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4(x2 + 6x) = 74

4x2 + 24x = 28




4x2 + 24x + 36 = 28 + 36

4x2 + 24x + 36 = 64



2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8

27

2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6

2x + 6 = 8 2x = -14

2x= 8 ndash 6 x = -7

2x = 2

x = 1





















+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)



28








x2

10x

x

10

25

x

25

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29













x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0


25 25

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25x

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x2

25x

25 25

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= 1 (Figura 6)




33




surgimento



34






35















36







(Figura 10)











37










38



(Figura 12)





39







cotidiano






40


















adequadordquo
















41








para os alunos






















42


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REFEREcircNCIAS


















37

44




8

RESUMO


9

ABSTRACT


10

LISTA DE FIGURAS


11

LISTA DE QUADROS


12

LISTA DE SIGLAS



PB Paraiacuteba




13

SUMAacuteRIO





23 Objetivos 19





















REFEREcircNCIAS

14



























aulas






15




16










disciplinas

















seguinte maneira





nesta pesquisa

17































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de mundo



Matemaacutetica

19

23 Objetivos

231 Objetivo Geral








histoacutericos


















20














desse conhecimento















21











situaccedilotildees


















importacircncia

22














deseja















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especialistas







25













+ +

= 0

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cminus aos dois


c

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2

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= ∆


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42 Passando o termo

a

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∆plusmnminus=


resolutiva a

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4(x2 + 6x) = 74

4x2 + 24x = 28




4x2 + 24x + 36 = 28 + 36

4x2 + 24x + 36 = 64



2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8

27

2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6

2x + 6 = 8 2x = -14

2x= 8 ndash 6 x = -7

2x = 2

x = 1





















+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)



28








x2

10x

x

10

25

x

25

25

25

x

29













x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0


25 25

x2

25x

25 25

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x2

25x

25 25

30



























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= 1 (Figura 6)




33




surgimento



34






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36







(Figura 10)











37










38



(Figura 12)





39







cotidiano






40


















adequadordquo
















41








para os alunos






















42


cotidiano








43

REFEREcircNCIAS


















37

44




9

ABSTRACT


10

LISTA DE FIGURAS


11

LISTA DE QUADROS


12

LISTA DE SIGLAS



PB Paraiacuteba




13

SUMAacuteRIO





23 Objetivos 19





















REFEREcircNCIAS

14



























aulas






15




16










disciplinas

















seguinte maneira





nesta pesquisa

17































18



























de mundo



Matemaacutetica

19

23 Objetivos

231 Objetivo Geral








histoacutericos


















20














desse conhecimento















21











situaccedilotildees


















importacircncia

22














deseja















23
































24



























especialistas







25













+ +

= 0

+ + = 0


cminus aos dois


c

a

c

a

c

a


a

c

a

bxx minus=+2



2

22

2

422 a

b

a

ba

b

==



a

c

a

b

a

b

a

bxx minus=++

2

2

2

22

44


2

2

22

4

4

4 a

acb

a

b

a

bxx

minus=++



26

+ +

= ∆


2

2

42 aa

bx ∆

=

+


42 Passando o termo

a

b


aa

bx

22

∆plusmnminus=


resolutiva a

bx

2

∆plusmnminus=







4(x2 + 6x) = 74

4x2 + 24x = 28




4x2 + 24x + 36 = 28 + 36

4x2 + 24x + 36 = 64



2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8

27

2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6

2x + 6 = 8 2x = -14

2x= 8 ndash 6 x = -7

2x = 2

x = 1





















+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)



28








x2

10x

x

10

25

x

25

25

25

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29













x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0


25 25

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25 25

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25 25

30



























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32






















= 1 (Figura 6)




33




surgimento



34






35















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(Figura 10)











37










38



(Figura 12)





39







cotidiano






40


















adequadordquo
















41








para os alunos






















42


cotidiano








43

REFEREcircNCIAS


















37

44




10

LISTA DE FIGURAS


11

LISTA DE QUADROS


12

LISTA DE SIGLAS



PB Paraiacuteba




13

SUMAacuteRIO





23 Objetivos 19





















REFEREcircNCIAS

14



























aulas






15




16










disciplinas

















seguinte maneira





nesta pesquisa

17































18



























de mundo



Matemaacutetica

19

23 Objetivos

231 Objetivo Geral








histoacutericos


















20














desse conhecimento















21











situaccedilotildees


















importacircncia

22














deseja















23
































24



























especialistas







25













+ +

= 0

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cminus aos dois


c

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a

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2

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= ∆


2

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42 aa

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+


42 Passando o termo

a

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22

∆plusmnminus=


resolutiva a

bx

2

∆plusmnminus=







4(x2 + 6x) = 74

4x2 + 24x = 28




4x2 + 24x + 36 = 28 + 36

4x2 + 24x + 36 = 64



2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8

27

2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6

2x + 6 = 8 2x = -14

2x= 8 ndash 6 x = -7

2x = 2

x = 1





















+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)



28








x2

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10

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25

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x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0


25 25

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= 1 (Figura 6)




33




surgimento



34






35















36







(Figura 10)











37










38



(Figura 12)





39







cotidiano






40


















adequadordquo
















41








para os alunos






















42


cotidiano








43

REFEREcircNCIAS


















37

44




11

LISTA DE QUADROS


12

LISTA DE SIGLAS



PB Paraiacuteba




13

SUMAacuteRIO





23 Objetivos 19





















REFEREcircNCIAS

14



























aulas






15




16










disciplinas

















seguinte maneira





nesta pesquisa

17































18



























de mundo



Matemaacutetica

19

23 Objetivos

231 Objetivo Geral








histoacutericos


















20














desse conhecimento















21











situaccedilotildees


















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22














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23
































24



























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25













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42 Passando o termo

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4(x2 + 6x) = 74

4x2 + 24x = 28




4x2 + 24x + 36 = 28 + 36

4x2 + 24x + 36 = 64



2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8

27

2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6

2x + 6 = 8 2x = -14

2x= 8 ndash 6 x = -7

2x = 2

x = 1





















+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)



28








x2

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x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0


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= 1 (Figura 6)




33




surgimento



34






35















36







(Figura 10)











37










38



(Figura 12)





39







cotidiano






40


















adequadordquo
















41








para os alunos






















42


cotidiano








43

REFEREcircNCIAS


















37

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12

LISTA DE SIGLAS



PB Paraiacuteba




13

SUMAacuteRIO





23 Objetivos 19





















REFEREcircNCIAS

14



























aulas






15




16










disciplinas

















seguinte maneira





nesta pesquisa

17































18



























de mundo



Matemaacutetica

19

23 Objetivos

231 Objetivo Geral








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20














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21











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4(x2 + 6x) = 74

4x2 + 24x = 28




4x2 + 24x + 36 = 28 + 36

4x2 + 24x + 36 = 64



2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8

27

2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6

2x + 6 = 8 2x = -14

2x= 8 ndash 6 x = -7

2x = 2

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+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)



28








x2

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x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0


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32






















= 1 (Figura 6)




33




surgimento



34






35















36







(Figura 10)











37










38



(Figura 12)





39







cotidiano






40


















adequadordquo
















41








para os alunos






















42


cotidiano








43

REFEREcircNCIAS


















37

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13

SUMAacuteRIO





23 Objetivos 19





















REFEREcircNCIAS

14



























aulas






15




16










disciplinas

















seguinte maneira





nesta pesquisa

17































18



























de mundo



Matemaacutetica

19

23 Objetivos

231 Objetivo Geral








histoacutericos


















20














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21











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22














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23
































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4(x2 + 6x) = 74

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4x2 + 24x + 36 = 64



2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8

27

2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6

2x + 6 = 8 2x = -14

2x= 8 ndash 6 x = -7

2x = 2

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+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)



28








x2

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= 1 (Figura 6)




33




surgimento



34






35















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(Figura 10)











37










38



(Figura 12)





39







cotidiano






40


















adequadordquo
















41








para os alunos






















42


cotidiano








43

REFEREcircNCIAS


















37

44




14



























aulas






15




16










disciplinas

















seguinte maneira





nesta pesquisa

17































18



























de mundo



Matemaacutetica

19

23 Objetivos

231 Objetivo Geral








histoacutericos


















20














desse conhecimento















21











situaccedilotildees


















importacircncia

22














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23
































24



























especialistas







25













+ +

= 0

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42 Passando o termo

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4(x2 + 6x) = 74

4x2 + 24x = 28




4x2 + 24x + 36 = 28 + 36

4x2 + 24x + 36 = 64



2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8

27

2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6

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+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)



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x2

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x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0


25 25

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= 1 (Figura 6)




33




surgimento



34






35















36







(Figura 10)











37










38



(Figura 12)





39







cotidiano






40


















adequadordquo
















41








para os alunos






















42


cotidiano








43

REFEREcircNCIAS


















37

44




15




16










disciplinas

















seguinte maneira





nesta pesquisa

17































18



























de mundo



Matemaacutetica

19

23 Objetivos

231 Objetivo Geral








histoacutericos


















20














desse conhecimento















21











situaccedilotildees


















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23
































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4x2 + 24x + 36 = 64



2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8

27

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x2

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= 1 (Figura 6)




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surgimento



34






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(Figura 10)











37










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(Figura 12)





39







cotidiano






40


















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para os alunos






















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nesta pesquisa

17































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23 Objetivos

231 Objetivo Geral








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4x2 + 24x + 36 = 64



2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8

27

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= 1 (Figura 6)




33




surgimento



34






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(Figura 10)











37










38



(Figura 12)





39







cotidiano






40


















adequadordquo
















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para os alunos






















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cotidiano








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REFEREcircNCIAS


















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17































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de mundo



Matemaacutetica

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23 Objetivos

231 Objetivo Geral








histoacutericos


















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4(x2 + 6x) = 74

4x2 + 24x = 28




4x2 + 24x + 36 = 28 + 36

4x2 + 24x + 36 = 64



2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8

27

2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6

2x + 6 = 8 2x = -14

2x= 8 ndash 6 x = -7

2x = 2

x = 1





















+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)



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x + 9 = 12 x2 ndash 2x = 0


25 25

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= 1 (Figura 6)




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surgimento



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cotidiano






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para os alunos






















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cotidiano








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REFEREcircNCIAS


















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18



























de mundo



Matemaacutetica

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23 Objetivos

231 Objetivo Geral








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desse conhecimento















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situaccedilotildees


















importacircncia

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deseja















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especialistas







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+ +

= 0

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cminus aos dois


c

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c

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c

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2

22

2

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b

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2

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44


2

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4

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a

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26

+ +

= ∆


2

2

42 aa

bx ∆

=

+


42 Passando o termo

a

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bx

22

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resolutiva a

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2

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4(x2 + 6x) = 74

4x2 + 24x = 28




4x2 + 24x + 36 = 28 + 36

4x2 + 24x + 36 = 64



2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8

27

2x + 6 = plusmn8 2x=-8-6

2x + 6 = 8 2x = -14

2x= 8 ndash 6 x = -7

2x = 2

x = 1





















+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)



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x2

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cotidiano






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para os alunos






















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cotidiano








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REFEREcircNCIAS


















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19

23 Objetivos

231 Objetivo Geral








histoacutericos


















20














desse conhecimento















21











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22














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23
































24



























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25













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4(x2 + 6x) = 74

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4x2 + 24x + 36 = 28 + 36

4x2 + 24x + 36 = 64



2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8

27

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2x + 6 = 8 2x = -14

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2x = 2

x = 1





















+ 10 = 39 (OLIVEIRA 2009)



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REFEREcircNCIAS


















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2x + 6 = plusmn radic64 e 2x + 6 = - 8

27

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(Figura 10)











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cotidiano






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para os alunos






















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(Figura 10)











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(Figura 12)





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cotidiano






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para os alunos






















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(Figura 10)











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cotidiano






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para os alunos






















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27

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4x2 + 24x + 36 = 64



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27

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uma anÁlise da histÓria das equaÇÕes do 2° grau … · equações do 2º grau nos livros...

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