Otimização Combinatória e o Problema da Alocação de Canais em Redes de

Telefonia Celular

Aldemir Malveira de Oliveira1, Nelson Maculan Filho2,

Doutorando do Programa de Engenharia de Sistemas e Computação, PESC-COPPE –UFRJ(1,2),

amoliveira@gmail.com, nelson.maculan@gmail.com,

Rosiane de Freitas Rodrigues3, Bruno Rafael Cardoso Dias4

Instituto de Computação-ICOMP-Universidade Federal do Amazonas-UFAM(3,4),

rosiane@icomp.ufam.edu.br, brunodias89@gmail.com

Resumo

O presente trabalho busca contribuir com o Planejamento de Frequências em um sistema móvel e celular

que está baseado no fato da cobertura otimizada, porém com uma quantidade mínima de interferência.

Para atingir esse objetivo recorremos aos principais benchmarks disponíveis na literatura que são as

instâncias CALMA (cujo nome vem do projeto Combinatorial Algorithms for Military Applications) e

Philadelphia. Foram implementadas as formulações para a minimização de máximo canal e de

quantidade de canais na ferramenta CPLEX (IBM/ILOG), que possui uma implementação do método

exato de branch-and-cut e funções de otimização de código, dentre outras.

1. Introdução

O fato da telefonia móvel celular estar crescendo em escala exponencial, faz com que seja necessário

um planejamento rigoroso de como aumentar a capacidade das redes já existentes, uma vez que a

disponibilidade de canais para uso das operadoras é regulamentada por orgãos governamentais, que

efetuam leilões de faixas de frequências para uso privado. Otimizar o uso segundo o cenário vigente,

propor novos cenários para distribuição e manipulação de faixas de frequências, bem como adotar

novas tecnologias e modelos, faz parte do processo de pesquisa e desenvolvimento nesta área (Audhya

et al. [2011], mobiThinking [2011]).

No cenário vigente de telefonia móvel celular, as frequências de transmissão são agrupadas em bandas

e são geralmente discretizadas em um conjunto de canais. Assim, cada ERB (estação de rádio base)

recebe uma parte do número total de canais disponíveis ao sistema inteiro. É, então, importante

estabelecer uma estratégia de forma a diminuir o uso total das frequências disponíveis (por exemplo,

para que seja possível expandir ainda mais no futuro). Infelizmente, quando se trata de comunicação

sem fio, tem-se o problema de interferência, fenômeno que representa a superposição de duas ou mais

ondas eletromagnéticas em um mesmo ponto. E, isto acontece quando os transmissores estão

localizados próximos uns dos outros, causando falhas nas comunicações estabelecidas pelos mesmos. A

interferência também acontece quando os canais usados são os mesmos ou, então, quando as

frequências alocadas são muito próximas.

Sem perda de generalidade, a partir deste ponto será adotado sempre o termo ”alocação de canais”,

mesmo quando se tratar de alocação de frequências (que representam um conjunto de canais).

Sendo assim, na modelagem de redes de telefonia celular deve-se existir uma distância entre os canais

de ERBs vizinhas (ou entre os múltiplos canais alocados a uma mesma ERB, por exemplo, para cada

uma das chamadas realizadas por intermédio da mesma antena), o que garante que os canais

distribuídos evitem interferências. Tal distância é conhecida na literatura como distância de reuso e

pode ser vista também como a distância mínima necessária entre as ERBs que utilizem o mesmo

canal.

Tais distâncias de reuso podem ser classificadas em alguns tipos [Stojmenovic – 2011], que são:

• Distância de adjacência: distância a ser respeitada entre canais de ERBs adjacentes;

• Distância co-site: distância a ser respeitada entre diferentes canais alocados a uma mesma

ERB ( quando a mesma requer mais de um canal);

• Distância inter-site: distância a ser respeitada entre canais alocados a ERBs distantes por k

unidades. Pode haver múltiplas distâncias inter-site para vários valores de k.

Um exemplo simples é ilustrado na Figura 1. Neste caso, as 6 ERBs necessitam de um canal apenas

cada uma. O raio (link entre duas ERBs) indica que uma ERB pode causar interferência na outra se

545

ISSN 2317-3297

usarem canais próximos. O valor dij em cada raio indica a distância que deve haver entre o canal da

estação i e a da estação j. Se for considerada como distância dij = 1 para todos os valores de i e j, tem-

se apenas que as estações que podem interferir entre si devem ter alocações de canais diferentes, sem

necessidade de haver um valor específico de distância.

Neste exemplo, considerando então dij = 1, como citado anteriormente, tem-se uma solução ótima

como demonstrada na Figura 2, onde o número acima da antena/ERB indica o canal alocado para a

mesma. Observa-se que, mesmo havendo seis ERBs, bastam três canais para que a rede proposta no

exemplo possa funcionar sem inteferências.

Formalmente, pode-se definir o problema de alocação de canais como segue. Dado um conjunto de n

antenas (ERBs) a receberem canais, onde cada ERB i tem uma demanda de ci canais. O k-ésimo canal alocado para a i-ésima ERB é denotado por f k i. Com isto, tem-se que para todo par (i; j) de

ERBs, existe um valor dij (a distância entre canais citada anteriormente) onde a seguinte condição

deve ser respeitada:

|f ki – f mj | ≥ dij

Ressaltando-se que f k i é o k-ésimo canal alocado para a i-ésima ERB e f mj é o m-ésimo canal alocado

para a j-ésima ERB.

Quando as ERBs i e j puderem ter o mesmo canal, tem-se que dij = 0. No caso de i = j, ou seja, o

elemento dii, pode-se considerar tal valor como a distância co-site. Assim, tem-se que para todo k = 1,

2, ... , ci e m = 1, 2, ... ,ci, existirá a seguinte condição:

| f ki - f mj | ≥ dii

É importante notar, então, que os elementos dij formam uma matriz quadrada D de ordem n.

A alocação de canais possui também um outro detalhe: para cada ERB i, existe um conjunto Fi N

chamado de Domínio da Frequência de i que contém a lista de possíveis canais que i pode assumir.

Figura 1: Exemplo de Problema de Alocação de Canais.

1

2

3

4

5

6

d12

d23

d35

d14

d45

d56

Figura 2: Solução para o Exemplo de Problema de Alocações de Canais apresentado na Figura 1.

1

23

4

5

6

d12

d23

d35

d14

d45

d561

2 1

2

3

1

A presente pesquisa está distribuída em cinco unidades onde, a primeira faz uma exposição do

problema, a segunda aponta os critérios de otimização e modelos matemáticos, a terceira, apresenta as

instâncias de benchmarks, a quarta unidade, resultados preliminares e a quinta as referências

bibliográficas.

2-Critérios de Otimização e Modelos Matemáticos

Da mesma forma que muitos outros problemas de Otimização Combinatória, não existe apenas "um"

problema de alocação de canais. Existem algumas variantes que alteram o objetivo ou restrições de

forma a modelar diferentes cenários reais, mesmo que a solução seja do mesmo tipo. Para a alocação

de canais, existem três principais variantes: Minimização do Máximo Canal (ou Minimização do Span,

dependendo do modelo); Minimização da Quantidade de Canais Usados (ou Minimização da Ordem);

e, Minimização de Interferência.

Neste trabalho abordaremos apenas o primeiro critério de otimização.

546

ISSN 2317-3297

2.1 - Minimização do Máximo Canal (ou Span)

Neste problema, dadas n ERBs, o vetor de demandas c, o domínio da frequência Fi de cada ERB i e a

matriz de distâncias D, deseja-se obter, para cada ERB i, ci canais de forma que as distâncias entre os

canais sejam satisfeitas. Neste caso, o critério a ser otimizado é o de minimizar o maior canal utilizado

(minimizar o span de canais), um problema MinMax.

É interessante verificar que o espectro total das frequências que serão consideradas na instância deste

problema é composto do intervalo entre o menor primeiro elemento de todos os domínios Fi e o maior

último elemento de todos Fi. No entanto, nem sempre o menor primeiro elemento será 0. Porém, ao

subtrair-se o valor de tal menor primeiro elemento de todos os canais, obtém-se, sem perda de

generalidade, um espectro que começa em 0. Assim, minimizando a máxima frequência, está

diminuindo-se a extensão (ou span) usada do espectro total se o primeiro canal for zero. Permitindo-se

que o primeiro canal seja arbitrário, estará se usando apenas uma parte do espectro (podendo haver

canais antecessores a parte usada), possibilitando, assim, futuros crescimentos na rede celular.

De acordo com Koster [1999], esta variante do problema de alocação de canais pode ser modelada

matematicamente como um problema de Programação Linear Inteira com variáveis xif, onde:

xif = {

Além de variáveis yf , onde:

yif = {

E, finalmente, variáveis zmax e zmin que representam, respectivamente, o maior e o menor valor de

canais usados no espectro de frequências disponível.

A formulação, então, será:

Min zmax - zmin

s.a :

∑ = ( (1)

xif + xjg = 1 ( | f – g | (2)

xif ≤ yf ( ) (3)

zmax ≥ yf ( f (4)

zmin ≤ fmax – ( fmax – f ) yf ( f (5)

xif { 0, 1} ( ) (6)

yf { 0, 1} ( f (7)

A primeira restrição deste modelo garante que cada estação terá ci canais alocados para a mesma. A

segunda restrição impede que estações com restrições de interferência recebam canais que violem as

distâncias de reuso.

A terceira restrição garante que uma estação só terá um canal se o canal for marcado como usado. A

quarta restrição faz com que nenhum canal seja alocado acima do valor da variável zmax, enquanto a

quinta restrição faz com que nenhum canal seja alocado abaixo do valor de zmin (onde fmin = maxf

F).

Finalmente, as duas últimas restrições indicam que as variáveis são binárias.

Nesta formulação, fixando-se o início do espectro usado como zero, o span será zmax - 0 = zmax. Nesta

situação, pode-se remover o uso da variável zmin e de sua restrição correspondente. Neste caso, se

minimiza o maior canal usado dentre o conjunto de todos os canais disponíveis (ou seja, F).

3-Instâncias de Benchmarks

Como ocorre com outros problemas de Otimização Combinatória, a comunidade de pesquisa provê

instâncias de problemas de alocação de canais que podem ser usadas para teste de novos algoritmos e

caracterizações. Algumas instâncias são baseadas em redes celulares reais e outras são geradas de

forma pseudoaleatória por computador. Os principais benchmarks disponíveis na literatura são as

instâncias CALMA (cujo nome vem do projeto Combinatorial Algorithms for Military Applications) e

Philadelphia. Explicações sobre as instâncias ver A. M. Oliveira [2011] .

4-Resultados Preliminares

Para um melhor estudo dos modelos matemáticos de Programação Inteira encontrados na literatura

(Koster [1999]), foram implementadas as formulações para a minimização de máximo canal e de

547

ISSN 2317-3297

quantidade de canais na ferramenta CPLEX (IBM/ILOG [2010]), que possui uma implementação do

método exato de branch-and-cut e funções de otimização de código, dentre outras. Foi utilizada a

biblioteca Concert Technology do mesmo (para linguagem C++), sendo executadas em uma m_aquina

com processador AMD Turion II X2 de 2,30GHz e 4GB de memória DDR3, e sistema operacional

Ubuntu Linux 11.10 de 64 bits. Como instâncias, escolheu-se o conjunto CALMA por possuir

diferentes funções a serem exploradas. Aardal et al. [1996], em seus testes para o algoritmo de branch-

and-cut, usou as mesmas instâncias e citou que duas instâncias CELAR são triviais, logo, as mesmas

foram solucionadas em um tempo razoável pelo solver, o que permitiu visualizar alguns resultados do

problema.

Para efeito de comparação, a instância CELAR 05 foi modificada de forma a tornar todas as

distâncias iguais a 0 e todos os operadores como >, o que equivale a dizer que, para qualquer aresta (i;

j) do grafo, tem-se que |fi – fj| ≥ 1. Esta instância artificial foi denominada de CELAR05 UNIT.

Os resultados da aplicação do método exato de branch-and-cut via CPLEX, podem ser vistos na

tabela 4.1 e as saídas da ferramenta CPLEX podem ser visualizadas no Apêndice A de A. M. Oliveira

[2011].

É importante ressaltar que, no caso da minimização de span, apesar de o modelo minimizar a

extensão do espectro usada, os resultados da literatura referenciam o maior canal usado (o valor zmax

da formulação informada anteriormente para o problema). Logo, na tabela de resultados, foram

colocados o valor da função objetivo e o valor do maior canal obtido quando o problema é deste tipo.

Tabela 4.1: Resultados da aplicação do método de branch-and-cut usando a ferramenta CPLEX.

Instância Min Função

Obj.

Máx Canal Benchmarks Tempo

CELAR 04 Canais 46 - 46 9,98 seg.

CELAR 05 Span 776 792 792 87.69 seg.

CELAR05_UNIT Span 160 512 - 5.135,86 seg.

5-Referências Bibliográficas

[3] A. M. C. A. Koster. Frequency assignment: models and algorithms. Universiteit Maastricht, 1999.

ISBN 9789090131191. URL http://books. google.com/books?id=yBqUdnh9iDAC.

[2] A. M. Oliveira, I. Protássio, and R. F. Rodrigues. Equilíbrio Econômico Parcial no Mercado de

Telefonia Móvel Celular e o Problema da Localização de ERBs na Região Norte. Anais do I Encontro

Regional de Pesquisa Operacional - ERPONO 2011, 2011.

[2] A. M. Oliveira, Maculam, Nelson F. – Sobre Problemas de Otimazação Combinatória em Redes de

Comunicação Móvel – Proposta de Tese de Doutorado – COPPE-UFRJ-2011.

[1] D. Stamatelos and A. Epheremides. Spectral e_ciency and optimal base placement for indoor

wireless networks. Journal on Selected Areas in Communication, 1996.

[3] G. K. Audhya, K. Sinha, S. C. Ghosh, and B. P. Sinha. A survey on the channel assignment

problem in wireless networks. Wireless Communications and Mobile Computing, 2011.

[3] G. R. Mateus and A. A. F. Loureiro. Introdução à computação móvel. 11ª Escola de Computação,

1998.

[3] G. L. Stuber. Principles of Mobile Communication. KAP, 2000.

IBM/ILOG. CPLEX Optimizer 12.2. http://www-01.ibm.com/software/

integration/optimization/cplex-optimizer/, 2010.

[1] I. Stojmenovic. Channel assignment in cellular networks. http://www.site. uottawa.ca/~ivan/GA-

FCA.ppt, 2011.

[3] J. B. Rosen. Global minimization of a linearly constrained concave function by partition of

feasible domain. Mathematical of the Operational Research, 1983.

[3] K. I. Aardal, A. Hipolito, C. P. M. van Hoesel, and B. Jansen. A branchand-cut algorithm for the

frequency assignment problem. Research Memorandum 96/011, 1996.

[3] M. S. Alencar. Telefonia Celular Digital. Editora _Erica, 2004.

mobiThinking. Global mobile statistics 2011. http://mobithinking.com/mobile-marketing-tools/latest-

mobile-stats, 2011.

[2] M. S. Sousa. Algoritmos de Otimização para o Planejamento de Redes Celulares de Terceira

Geração. PhD thesis, PESC/COPPE { Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2010.

[3] T. S. Rappaport. Wireless Communications: Principles and Practices. Prentice Hall, 2002.

548

ISSN 2317-3297