os fotões e as partículas elementares · entre os anos de 1907 e 1915 einstein desenvolveu a sua...

Os fotões e as partículas elementares

As quatro interacções da física

Prof. Carlos R. Paiva Fevereiro de 2013

Em mecânica quântica as partículas classificam-se em duas grandes classes: os bosões, com spin inteiro; os

fermiões, com spin semi-inteiro. As quatro interacções da física – gravitacional, electromagnética, nuclear

forte e nuclear fraca – são, efectivamente, o resultado de partículas elementares que são bosões. Os fotões –

mas também os gluões, as partículas W e Z e os gravitões – são exemplos desses bosões elementares que

geram, macroscopicamente, as «forças» observadas na natureza. A matéria é constituída por fermiões.

Existem, tal como na classe dos bosões, fermiões elementares – é o caso dos quarks (que sentem a

interacção nuclear forte) e dos leptões (que não sentem a interacção nuclear forte). Os fermiões que são

compostos por quarks (e sentem, portanto, a interacção nuclear forte) são conhecidos por hadrões. Os

nucleões (protões e neutrões) – que dantes se suponha serem partículas elementares – são, de facto, bariões

(um tipo de hadrões, constituídos por três quarks, que são fermiões). Existem ainda hadrões, constituídos

por um quark e um anti-quark, que são bosões instáveis e se designam por mesões.

Carlos R. Paiva Página 1

Existem, na natureza, quatro tipos de interacções:

A interacção gravitacional;

A interacção electromagnética;

A interacção nuclear forte;

A interacção nuclear fraca.

Em termos qualitativos, para se ter apenas uma noção das ordens de grandeza, apresenta-se a tabela

seguinte.

Matter is composed of fermions, while the fundamental unit of light, the

photon, is the typical boson. A fermion can emit or absorb a boson, and, in

the process, it can either remain unchanged or transform itself into another

fermion. In this sense physicists speak of bosons acting on fermions. The

shuttling of bosons back and forth between fermions produces the forces we

observe.

Anthony Zee, Fearful Symmetry – The Search for Beauty in Modern

Physics (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2007, p. 270)


2

5 0

42

INTERACÇÃO INTENSIDADE BOSÃO

nuclear forte 1 gluão

electromagnética 10 fotão

nuclear fraca 10 W , W , Z

gravitacional 10 gravitão

A interacção gravitacional e a interacção electromagnética são as mais conhecidas. A teoria da

gravitação universal, de Newton, oferece a explicação não relativista para a primeira. A teoria

electromagnética, de Maxwell, oferece – por sua vez – a explicação para a segunda. É importante

salientar que, não obstante a electrodinâmica clássica ser anterior à(s) teoria(s) da relatividade, de

Einstein, as equações de Maxwell são essencialmente relativistas. Com efeito, apesar da teoria da

relatividade restrita ser aplicável a todos os campos da física, deve notar-se que foi através do

electromagnetismo que nasceu a transformação de Lorentz e, subsequentemente, a relatividade

restrita ou SR (em inglês: special relativity).

Convém, a este propósito, citar os seguintes trabalhos científicos fundamentais que são marcos

decisivos na evolução científica e histórica da física:

Sir Isaac Newton (1642-1727). Nos anos de 1685 e 1686 Newton trabalhou na sua obra

fundamental, escrita em latim, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. A primeira

edição desta obra foi publicada em 5 de Julho de 1687.

James Clerk Maxwell (1831-1879). No ano de 1873 Maxwell publicou, em dois

volumes, a sua obra mais importante: A Treatise on Electricity and Magnetism.

Albert Einstein (1879-1955). Prémio Nobel da Física em 1921. A tese de doutoramento

de Einstein foi discutida em 30 de Abril de 1905, na Universidade de Zurique. No annus

mirabilis de 1905, Einstein publicou o seu primeiro artigo sobre a teoria da relatividade

restrita: “Zur Elektrodynamik bewegter Körper” (“On the Electrodynamics of Moving

Bodies”), na revista Annalen der Physik (Vol. 17, pp. 891-921). Entre os anos de 1907 e

1915 Einstein desenvolveu a sua teoria da relatividade geral ou GR (em inglês: general

relativity) sobre a gravitação. Em 1915 publicou, com M. Grossmann, o seu trabalho


definitivo sobre a relatividade geral: “Kovarianzeigenschaften der Feldgleichungen

der auf die verallgemeinerte Relativitätstheorie gegründeten Gravitationstheorie”

(“Covariance Properties of the Field Equations of the Theory of Gravitation Based

on the Generalized Theory of Relativity”), na revista Zeitschrift für Mathematik und

Physik (Vol. 63, pp. 215–225).

As interacções nucleares – forte e fraca – são descobertas do século XX. No século XIX apenas a

gravitação e o electromagnetismo eram conhecidos. O princípio da relatividade restrita, de 1905,

refere-se exclusivamente ao electromagnetismo. No entanto ele aplica-se, também, aos dois tipos

distintos de interacção nuclear (forte e fraca).

A interacção nuclear forte é uma descoberta posterior a 1970. A teoria que explica esta interacção é

a Cromodinâmica Quântica ou QCD (do inglês: Quantum Chromodynamics) – uma teoria da

interacção entre hadrões e gluões. Uma contribuição decisiva para a compreensão desta teoria

resulta da chamada liberdade assimptótica (1973) – uma descoberta de Frank Anthony Wilczek (n.

1951), David Jonathan Gross (n. 1941) e Hugh David Politzer (n. 1949) e que lhes valeu a

atribuição do Prémio Nobel da Física em 2004. Só através desta teoria é possível explicar como os

nucleões (protões e neutrões) se mantêm confinados no interior do núcleo atómico.

A interacção nuclear fraca é a responsável pelo decaimento radioactivo das partículas subatómicas.

Esta interacção afecta todos os fermiões, i.e., todas as partículas com spin semi-inteiro (e que

obedecem à estatística de Fermi-Dirac). Note-se que os bosões, por oposição, são as partículas de

spin inteiro (e que obedecem à estatística de Bose-Einstein). Os fermiões obedecem ao princípio de

exclusão de Pauli: dois fermiões idênticos não podem ocupar, simultaneamente, o mesmo estado

quântico. O mesmo não se aplica aos bosões: em temperaturas próximas do zero absoluto (0º K) é

possível que, num gás de bosões, algumas destas partículas ocupem o mesmo estado quântico.

Neste caso surge um condensado de Bose-Einstein – o que permite exibir, ao nível macroscópico,

características especificamente quânticas.

A teoria que melhor explica a interacção (nuclear) fraca é a teoria electro-fraca ou EWT (do inglês:

electro-weak theory). A EWT foi desenvolvida em 1968 por Sheldon Lee Glashow (n. 1932),

Mohammad Abdus Salam (1926-1996) e Steven Weinberg (n. 1933). Estes três físicos receberam o

Prémio Nobel da Física em 1979.


De acordo com o modelo padrão, ou standard, do universo (que, na realidade, é apenas um conjunto

de teorias que descrevem a interacção electromagnética e as interacções nucleares – forte e fraca,

deixando a gravitação fora do seu âmbito) existem três tipos fundamentais de partículas

elementares: (i) os quarks; (ii) os leptões; (iii) os bosões de gauge. Os quarks – embora elementares

(i.e., sem composição interna) – não podem existir isoladamente: apenas aparecem como elementos

constitutivos dos hadrões.

bosão de Higgs (spin 0)

bosões elementares bosões vectoriais de (spin 1)

partículas gravitões (spin 2)

elementaresquarks

fermiões elementaresleptões

gauge

partículasbariões fermiões

compostas hadrõesmesões bosões

por quarks

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Bosons-Hadrons-Fermions-RGB-png2.png

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Bosons-Hadrons-Fermions-RGB-png2.png


Note-se, a propósito, que existem três tipos distintos de bosões elementares: (i) o bosão de Higgs,

com spin 0; (ii) os bosões vectoriais de gauge, com spin 1 (fotão, gluão, W , W , 0Z ), ; (iii) os

gravitões, que também são bosões de gauge – embora com spin 2.

O bosão de Higgs foi, de facto, proposto em 1964 por seis físicos em três artigos distintos do

volume 13 da revista Physical Review Letters: (i) um artigo, publicado por Robert Brout e François

Englert; (iii) um artigo, publicado por Peter Higgs; (iii) um artigo, publicado por Gerald Guralnik,

C. Richard Hagen e Tom Kibble. Esta partícula elementar bosónica, de spin 0, deverá ser a

responsável pelo aparecimento da massa nos bosões de gauge, através de um processo conhecido

por quebra espontânea de simetria (em inglês: spontaneous symmetry breaking). Em 4 de Julho de

2012 o CERN anunciou a descoberta experimental do bosão de Higgs através do LHC (ver

acrónimos no fim).

Os quarks são os fermiões que estão na base da constituição dos hadrões – as partículas,

constituídas por quarks e/ou anti-quarks, que sentem a interacção nuclear forte. Os leptões são os

fermiões elementares, de spin ½, que não sentem a interacção nuclear forte, nomeadamente: (i) os

neutrinos; (ii) os electrões; (iii) as versões mais pesadas dos electrões – os muões e as partículas tau.

Os bosões de gauge – as partículas elementares que têm spin 1 ou 2 – são responsáveis por

transportar as forças ou interacções da natureza (em inglês: force carrier particles). São exemplos

de bosões de gauge os fotões (que transportam a interacção electromagnética), os gluões (que

transportam a interacção nuclear forte), as partículas W e Z (que transportam a interacção nuclear

fraca) e os gravitões (que transportam a interacção gravitacional).

Sublinhe-se que, numa eventual teoria quântica da gravitação, também deverão existir partículas

bosónicas que transportam a interacção gravitacional – são os gravitões (partículas sem massa, de

spin 2). Os fotões, também de massa nula, são partículas bosónicas elementares de spin 1. Com

efeito, enquanto que os gravitões deverão estar associados ao tensor tensão-energia (de ordem 2), os

fotões estão associados ao vector carga-corrente (um vector do espaço-tempo quadridimensional e,

portanto, a um tensor de ordem 1).

Enquanto que os leptões e os quarks são fermiões elementares, os hadrões são partículas

compósitas. Existem duas classes de hadrões: (i) os bariões (constituídos por tês quarks, que são

fermiões); (ii) os mesões (constituídos por um quark e um anti-quark, que são bosões). São

exemplos de bariões os nucleões (protões e neutrões).


http://en.wikipedia.org/wiki/File:Standard_Model_of_Elementary_Particles.svg

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Standard_Model_of_Elementary_Particles.svg


Em Fotónica os fotões são as personagens principais. Com efeito, o fotão é o quantum de energia

electromagnética: para a frequência f , a energia de um fotão é h f E (ver Apêndice).

Embora a Fotónica se possa considerar como a herdeira legítima da Óptica, devemos notar que a

Fotónica é a Óptica em todas as suas facetas (clássicas e quânticas): desde a Óptica Geométrica,

passando pela Óptica Ondulatória e pela Óptica Electromagnética, culminando na Óptica Quântica.

Óptica Geométrica

Óptica OndulatóriaFotónica

Óptica Electromagnética

Óptica Quântica

Óptica Quântica

Óptica Electromagnética

Óptica Ondulatória

Óptica Geométrica


A Óptica Geométrica é um caso particular da Óptica Ondulatória para 0 (i.e., no limite dos

comprimentos de onda muito pequenos). A Óptica Ondulatória, por sua vez, é um caso particular da

Óptica Electromagnética: corresponde ao caso limite em que se pode desprezar a natureza vectorial

do campo electromagnético e, portanto, onde o conceito de polarização não existe. Finalmente, a

Óptica Electromagnética – baseada na Electrodinâmica Clássica (i.e., nas equações de Maxwell) – é

um caso particular da Óptica Quântica: corresponde ao caso em que é possível desprezar a natureza

quântica do campo electromagnético, i.e., em que o conceito clássico de campo – como estrutura

contínua – impera.

O conceito de fotão é um conceito próprio da Teoria Quântica dos Campos ou QFT (em inglês:

Quantum Field Theory) – mais propriamente da versão quântica da teoria do campo

electromagnético, conhecida pelo nome de Electrodinâmica Quântica ou QED (do inglês: Quantum

Electrodynamics). Recorde-se, aqui, que – simultaneamente – o acrónimo QED corresponde à frase,

em latim, quod erat demonstrandum (em português: como queríamos demonstrar ou CQD; em

inglês: which had to be demonstrated). A QCD, de que se falou anteriormente, é outro exemplo –

juntamente com a QED – de uma QFT.

A Electrodinâmica Quântica é a primeira teoria física onde se verifica uma coexistência perfeita e

natural entre a mecânica quântica e a teoria da relatividade restrita. Embora seja possível falar em

fotões desde Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947) – ou, mais correctamente, desde Albert

Einstein –, só na QED é que os fotões assumem um papel inteiramente coerente. A QED atingiu a

sua plena maturidade com os físicos Sin-Itiro Tomonaga (1906-1979), Julian Seymour Schwinger

(1918-1994), Richard Phillips Feynman (1918-1988) e Freeman John Dyson (n. 1923). Tomonaga,

Classically an electromagnetic field consists of waves with well-defined

amplitude and phase. Such is not the case when we treat the field quantum

mechanically. There are fluctuations associated with both the amplitude and

phase of the field.

Marlan O. Scully and M. Suhail Zubairy, Quantum Optics (Cambridge:

Cambridge University Press, 1997, p. 46)


Schwinger e Feynman receberam, por isso, o Prémio Nobel da Física em 1965 (embora o Prémio

Nobel só possa ser atribuído a um máximo de três personalidades, foi bastante polémica a exclusão

de Dyson neste caso).

Acrónimos

CERN (1952-1954) Conseil Européen por la Recherche Nucléaire

CERN (1952-1954) European Council for Nuclear Research

CERN (desde 1954) European Organization for Nuclear Research

CQD como queríamos demonstrar

EWT Electro-Weak Theory

GR General Relativity

LHC Large Hadron Collider

QCD Quantum Chromodynamics

QED Quantum Electrodynamics

QED quod erat demonstrandum

QFT Quantum Field Theory

SR Special Relativity

Bibliografia Básica

Frank Close, Particle Physics – A Very Short Introduction (Oxford: Oxford University

Press, 2004)

Frank Close, The New Cosmic Onion – Quarks and the Nature of the Universe (Boca

Raton, FL: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2007)

David Griffiths, Introduction to Elementary Particles, Second, Revised Edition

(Weiheim: Wiley-VCH, 2008)


Bibliografia Complementar

Ian R. Kenyon, The Light Fantastic – A Modern Introduction to Classical and

Quantum Optics (Oxford: Oxford University Press, 2008)

Olivier Darrigol, Electrodynamics from Ampère to Einstein (Oxford: Oxford

University Press, 2000)

Steven Weinberg, The Discovery of Subatomic Particles, Revised Edition (Cambridge:

Cambridge University Press, 2003)

Abraham Pais, Inward Bound – Of Matter and Forces in the Physical World (Oxford:

Oxford University Press, 1986)

Abraham Pais, ‘Subtle is the Lord…’ – The Science and the Life of Albert Einstein

(Oxford: Oxford University Press, 2005)

Silvan S. Schweber, QED and the Men Who Mate It: Dyson, Feynman, Schwinger, and

Tomonaga (Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994)

Tim Maudlin, Quantum Non-Locality & Relativity – Metaphysical Intimations of

Modern Physics, Third Edition (Chichester, West Sussex: Wiley-Blackwell, 2011)

Giancarlo Ghirardi, Sneaking a Look at God’s Cards – Unraveling the Mysteries of

Quantum Mechanics, Revised Edition (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2005)


Neste apêndice mostra-se como uma partícula que viaja à velocidade limite do universo –

como, muito provavelmente, é o caso do fotão – tem, necessariamente, massa nula.

Em dinâmica relativista a energia E de uma partícula elementar (medida no referencial do

laboratório, onde se encontra em movimento), com momento linear p e energia intrínseca

(i.e., própria, medida no referencial em que a partícula se encontra em repouso) 0E , é dada

pela equação

2 2 2 2

0c p E E

em que 1299 792 458 m sc (valor exacto) é a velocidade da luz no vácuo (ou, mais

exactamente, é a velocidade limite do universo).

A energia intrínseca 0E está relacionada com a massa da partícula, m , através da relação

2

0 mcE .

A velocidade v da partícula, no referencial do laboratório, é dada por

d

vd p

E

.

A actual definição (desde 1983) de metro, enquanto unidade de

comprimento, é a seguinte: um metro é a distância percorrida, pela luz no

vácuo, no intervalo de tempo 1 299 792 458 st . Note-se que, de

acordo com uma antiga definição desta unidade, era estabelecido o seguinte: o

metro é a décima milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre. Daqui

decorria que 71m 10 2 4a onde a é o raio da Terra. Assim, de acordo

com esta antiga definição, obtém-se 6 370 kma .


Logo, vem sucessivamente

2

2 2 2 2 2

0 2 2d d c p

c p c p vd p d p

E E

E E EE

.

Deste modo, para qualquer partícula cuja velocidade seja v c (com, e.g., o fotão e o gravitão),

infere-se da última equação que

c pE .

Portanto, ao confrontar esta última equação com a relação geral

2 2 2

0c p E E

conclui-se que – para uma partícula em que v c – se tem necessariamente

2

0 0 0mc m E .

Ou seja: uma partícula com velocidade v c (como o fotão) tem massa (necessariamente) nula.

Porém, no caso do fotão, sabe-se que

c p E

onde 2h é a chamada constante de Planck reduzida e h a constante de Planck

propriamente dita: 34 26.626068 10 m kg / sh . Representa-se por 2 f a frequência

angular do fotão. Sendo

2 2f

kc c

a constante de propagação do fotão e o seu comprimento de onda, tem-se então

h

c p p p kc

E .

Em mecânica quântica, para qualquer partícula elementar, vem (e não apenas para o fotão)


pv

p k k p

E E

sendo pv a velocidade de fase. Pelo que

2

2

0 0 0

mcmc E .

Analogamente

2 2 2 2 2 2 2

0 0c p c k E E

donde, sendo gv a velocidade de grupo,

2 2 2

22 2 g

p

d d c k c p cc k v

d k d k v

E

2

g

p g

v v

v v c

que, no caso particular do fotão, dá

p gv v c .

Definindo o comprimento de onda de (Louis) de Broglie B , tal que

2

B

k

,

vem então, com 2 f ,

2 2 2 2

0 0

2B p B

h hc cf v

p

E E.

Sendo o comprimento de onda (medido no vácuo), tem-se f c e, consequentemente,


2

01g

g

B p B

vcv v c c c

v c

,

ou, ainda,

2

01v c

E

E.

Note-se que

0 E E T

onde

2

11

1

v

v

c

.

Por vezes define-se o coeficiente de inércia mI v , tal que

2 2

02

1

m m

mI v v m I v c mc

v

c

E E .

A energia total E difere, com efeito, da energia intrínseca 2

0 mcE , numa quantidade que é

a energia cinética da partícula T , dada por

2

01 mv I v m c T E .

Como 0 1 infere-se que a energia cinética da partícula se anula no referencial próprio (i.e., em

que 0v ). De acordo com o desenvolvimento binomial, para 1x , tem-se

2 3

1 1 2 1 2 11 1

2! 3! !

kk

x x x x xk

.

Logo, se se fizer


21

,2

vx

c

,

vem, neste caso,

2 2 4 6 8

1

1 3 5 2 1 1 3 15 1051

2 ! 2 8 48 384

n

nn

n v v v v vv

n c c c c c

.

Assim, obtém-se

4 6 8

2

2 4 6

1 3 15 105

2 8 48 384

v v vmv m m m

c c c T

que, no limite newtoniano (i.e., em que c ), fornece a conhecida expressão

21

2mvT .

Quando v c (caso do fotão), é T E . Este resultado levanta a indeterminação resultante de

se ter, neste caso, 0m e v c . Podemos, portanto, escrever

2

2 2 21m

vI v m

c v c c c

E

mesmo no caso limite em que v c (e, portanto, 0m ).

É fundamental sublinhar o seguinte aspecto: a teoria da relatividade supõe que

existe, necessariamente, uma velocidade limite superior – finita – para a

propagação das partículas materiais. O facto de se pensar que tal velocidade

limite, c , coincide com a velocidade dos fotões não é uma condição necessária

para a coerência interna da teoria da relatividade. Caso a velocidade dos fotões

seja efectivamente v c , então daqui deverá decorrer que a massa dos fotões é

nula. Caso se venha a verificar que é possível acelerar um fotão, então a massa

dos fotões – embora muito pequena – não será (exactamente) nula. Em qualquer

dos casos a massa dos gravitões será nula. Por enquanto toda a evidência

experimental aponta no sentido dos fotões terem massa nula.

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