FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA

TURMA - PDE/2012

Título: Equações do 2º Grau: Qual é o ”Problema”?

Autor Jorge Batista Paiva

Disciplina/Área MATEMÁTICA

Escola de Implementação do

Projeto e sua localização Colégio Estadual Vicente Tomazini – Ensino

Fundamental e Médio

Município da escola Francisco Alves

Núcleo Regional de

Educação

UMUARAMA

Professor Orientador Profa. Me. Tânia Marli Rocha Garcia

Instituição de Ensino

Superior

UNESPAR/FAFIPA

Relação Interdisciplinar

Resumo

As dificuldades dos alunos com os conceitos algébricos vão se acumulando ao longo do Ensino Fundamental e ficam ainda mais evidentes nas turmas de 9º Ano, onde são ensinadas as Equações de 2º Grau e uma introdução às Funções. Entre outros fatores, essas dificuldades podem estar associadas a uma prática pedagógica que reforça a ideia de que os conceitos algébricos são instrumentos para fazer manipulações algébricas e resolver mecanicamente uma lista de equações sem sentido. Essa forma de ensino só tem conseguido desenvolver uma aprendizagem memorística e uma utilização mecânica da matemática, que leva o aluno a uma produção de erros sistemáticos, difíceis de serem compreendidos pelo professor e eliminados pelo aluno. O objetivo deste trabalho é aprofundar o entendimento sobre a natureza das dificuldades dos alunos na aprendizagem desses conceitos e investigar o potencial da Resolução de problemas como meio para ensinar Equações de 2º grau, de modo que possa fazer sentido para os alunos. A análise das atividades dos alunos, desencadeadas pelas tarefas propostas, servirão de base para o relato dos resultados, em um artigo

científico.

Palavras-chave Matemática, Resolução de Problemas e Equação do 2º

grau.

Formato do Material Didático Unidade Didática

Público Alvo

Alunos do 9º ano do Ensino Fundamental

1. APRESENTAÇÃO

Ainda hoje é comum ver uma prática de ensino e aprendizagem da

Matemática, pautada numa aborgagem tradicional, portanto, conservadora, não

condizente com a proposta das DCEs – Paraná (2008). Tal prática não considera as

transformações na base epistemológica do conhecimento de que tratam as teorias

críticas mais recentes.

O ensino da Matemática consiste em desenvolver e aprimorar o raciocínio

lógico, para que aluno não se transforme em apenas um mero “reprodutor” de ideias.

Nessa perspectiva, o processo de ensino e aprendizagem da Matemática vem se

modificando nos últimos tempos. Segundo Paraná (2008), para que tais

modificações possam acontecer na prática faz-se necessário que os conteúdos

sejam trabalhados de forma diferenciada, para que os alunos não apresentem

dificuldades, quanto à construção do pensamento lógico-abstrato.

Segundo Nunes e Bryant (2003), um caminho necessário do ensino e

aprendizagem na disciplina de Matemática é preparar os alunos para lidar com

situações novas quaisquer que sejam elas. Para isto, é fundamental que os

professores façam uso de situações que auxiliem os alunos a aprender de maneira

crítica e construtiva ao ter que resolver problemas.

Considerando esses pressupostos, elaboramos essa Unidade Didática

intitulada “Equações do 2º Grau: qual é o ‘problema’?”, utilizando conteúdos teórico-

práticos significativos, tendo a resolução de problemas como Metodologia e meio

para ensinaras equações do 2º grau.

Através das sugestões propostas para o ensino de Equações, acredita-se

estar contribuindo com conhecimentos teórico-práticos dos alunos para o ensino e a

aprendizagem deste conteúdo de maneira mais prazerosa e significativa.

O objetivo desta Unidade Didática é contribuir com subsídios teórico-práticos

para o ensino e aprendizagem das equações do 2º grau, tendo como Metodologia

pedagógica a resolução de problemas.

Como no município de Francisco Alves – Paraná, onde o trabalho será

realizado, há um grande investimento na prática desportiva na modalidade

Handebol, escolhemos essa temática para contextualizar alguns problemas a

serem resolvidos pelos alunos. Compreendemos que a resolução de

problemas matemáticos tem como pressuposto que o ensino e a

aprendizagem de matemática podem ocorrer em diversas situações, como do

cotidiano, de outras ciências e também da própria matemática. Ao mesmo

tempo em que propõe a valorização do estudante no contexto social, procura

levantar problemas que sugerem questionamentos sobre situações que fazem

sentido para ele.

As possibilidades de trabalhos suscitadas pela resolução de problemas

matemáticos contribuem para a formação do estudante, de modo que ele

possa alcançar um aprendizado mais significativo.

MATERIAL DIDÁTICO

Nesse trabalho pretendemos estudar um novo tipo de equação, conhecida

como Equação do 2º. Grau ou Equação Quadrática. Mas antes vamos nos envolver

na resolução de vários problemas que nos ajudarão a compreender esse novo

conteúdo. Temos certeza de que você poderá aprender muito e se divertir também.

PARTE 1: O HANDEBOL

Handebol é um esporte muito praticado no município de Francisco Alves,

Paraná, e será tema de alguns dos problemas que iremos resolver. Que tal

conhecer um pouco mais sobre esse esporte?

Tarefa 1: Handebol

Faça uma pesquisa sobre o Handebol e organize com seu professor uma

exposição na classe.

PARTE 2: RESOLVENDO PROBLEMAS

Resolver problemas é uma atividade praticada desde a antiguidade pela

humanidade, por alguma necessidade da vida cotidiana ou somente por diversão. É

uma atividade que estimula nosso pensamento e pode ser uma boa maneira de

aprender matemática.

Tarefa 2: Utilizando a Aritmética

Todos os problemas propostos nessa etapa do trabalho podem ser

resolvidos pelo método aritmético, que não tem “receitas” ou regras específicas, e

não utiliza o “x” e as equações.

Você está livre para usar os recursos matemáticos que quiser. O importante

é encontrar uma estratégia e resolver o problema. Basta uma boa dose de

imaginação e criatividade para “inventar” o seu jeito de resolver.

Problema 1

Em um campeonato de handebol disputado em 2 turnos, cada time joga

duas vezes com cada um dos outros. Quantos jogos são realizados se o

campeonato for disputado por 8 times?

Problema 2

No município de Francisco Alves foi organizado um campeonatode Handebol

para ser disputado em 2 turnos, ou seja, cada time jogará duas vezes com cada um

dos outros. Antes de abrir as inscrições para os times, os organizadores verificaram

que poderiam realizar 182 partidas, nas quadras disponíveis.Quantos times puderam

participar do campeonato?

Problema 3 No início de um jogo de handebol, todos os 7 jogadores titulares de cada

time e os três juízes se cumprimentam uma vez. Quantos cumprimentos

aconteceram?

Problema 4

Para o jogo de abertura desse campeonato houve uma grande festa na

quadra principal. Logo no início do cerimonial todas as pessoas que estavam na

quadra se cumprimentaram uma vez. O comentarista da rádio local informou que

foram trocados exatamente 300 cumprimentos e lançou um desafio ao público:

quantas pessoas estavam na quadra?

Problema 5

Um grupo de torcedores de um time da cidade vizinha de Iporã alugou um

transporte por R$ 420,00 para ir a Francisco Alves assistir aos jogos num fim de

semana. O pagamento seria dividido igualmente entre todos, mas no momento do

acerto, 4 torcedores estavam sem o dinheiro, de modo que os outros tiveram que

completar o valor, pagando mais R$ 12,00 cada um. Quantos eram os torcedores?

Problema 6

A quadra do município de Francisco Alves mede 40 m de comprimento e 27

m de largura.

a) Qual é a área da quadra?

b) Qual é o perímetro da quadra?

c) Quantos galões de tinta são necessários para pintar a quadra, se usarmos 1

galão para cada 12 m2 ?

Problema 7

O município de Francisco Alves recebeu recursos da Secretaria de Esportes

para construir uma quadra nova no distrito de Rio Bonito, num terreno retangular que

tem 2.000 m2 de área e o comprimento é 10 m maior que a largura.

a) Quais são as dimensões do terreno?

b) Quantos metros de alambrado serão necessários para cercar completamente

esse terreno?

Problema 8

O time de handebol da cidade está participando do campeonato paranaense

e um empresário da cidade ofereceu R$ 900,00 para ser dividido entre os atletas se

o time for campeão. No dia da viagem para disputar o campeonato, três atletas não

puderam acompanhar o grupo. Os outros logo fizeram as contas e viram que com as

saída dos três, se conquistassem o campeonato, cada um receberia R$ 15,00 a mais

de prêmio.

a) Quantos atletas foram inscritos no campeonato?

b) Quanto cada um dos participantes receberá se o time for campeão?

Tarefa 3: Utilizando os recursos da Álgebra

A representação algébrica é um recurso poderoso na resolução de muitos

problemas, e foi decisivo para o desenvolvimento da Matemática.

Alguns problemas anteriores resolvidos com recursos aritméticos, também

podem ser representados e resolvidos com recursos algébricos.

Será muito interessante explorar essa possibilidade junto com seu professor

e seus colegas mais adiante.

Mas antes, é interessante recordar alguns passos que podem nos ajudar

nesse trabalho.

Passo a Passo da Resolução Algébrica

1. Represente o valor desconhecido do problema por uma letra (em geral

usamos o x).

2. Represente as informações do problema em linguagem matemática,

montando uma equação que envolva o valor desconhecido (x).

3. Encontre o valor de x, resolvendo a equação.

4. Verifique se o valor encontrado é mesmo a solução do problema.

5. Elabore a resposta para o problema.

Vamos aplicar essa estratégia no Problema 2 e no Problema 7 da Tarefa 2.

Problema 2

No município de Francisco Alves foi organizado um campeonato de

Handebol para ser disputado em 2 turnos, ou seja, cada time jogará duas vezes

com cada um dos outros. Antes de abrir as inscrições para os times, os

organizadores verificaram que poderiam realizar 182 partidas, nas quadras

disponíveis.Quantos times puderam participar do campeonato?

a) Nesse problema, o valor desconhecido é o número de times no campeonato,

que será representado por x.

b) Com a ajuda do professor, escreva uma equação usando as informações do problema.

c) Tente resolver a equação encontrada.

Problema 7

O município de Francisco Alves recebeu recursos da Secretaria de Esportes

para construir uma quadra nova no distrito de Rio Bonito, num terreno retangular

que tem 2.000 m2 de área e o comprimento é 10 m maior que a largura. Quais são

as dimensões do terreno?

a) Nesse problema há dois valores desconhecidos, o comprimento e a largura.

Mas há uma relação entre eles, de maneira que podemos usar o x para

representar um deles e escrever o outro a partir de x.

a. Vamos atribuir o valor de x à largura do terreno.

b. Largura = x

b) Como o comprimento do terreno é 10 m maior que a largura, podemos

representá-lo por:

a. Comprimento = ________________

c) Com a ajuda do professor, escreva uma equação usando as informações do problema.

d) Tente resolver a equação encontrada.

PARTE 3: UM NOVO TIPO DE EQUAÇÃO

Se você trabalhou bem, deve ter encontrado em cada problema uma

equação em que o x aparece “elevado ao quadrado” e provavelmente não

conseguiu resolvê-las com os recursos algébricos que você conhece.Mas não se

preocupe!

Esse é o novo tipo de equação que vamos estudar: a Equação do 2º.

Grau. Em breve você aprenderá algumas formas de resolver essas equações.

Antes vamos conhecer melhor esse novo tipo de equação.

Tarefa 4: Conhecendo a Equação do 2º. Grau

a) Pesquise no seu livro didático algumas informações a respeito desse

tipo de equação e anote aqui. Seu professor vai ajudá-lo a entender a

linguagem e os termos usados para as definições.

b) Com a ajuda do professor para entender a linguagem e os termos

usados nessas definições, escreva com suas palavras uma definição para a

Equação do 2º. Grau.

Uma definição comum dada para a Equação do 2º. Grau é a seguinte:

Equação do 2º grau é toda sentença matemática do tipo ax² + bx + c =

0, com a, b, c |R e a ≠ 0.

Ela também pode ser chamada de Equação Quadrática. O termo

"quadrático" vem de quadratus, que em latim significa quadrado.

Observe que os coeficientes a, b e c são números reais, de modo que

podemos fazer algumas observações:

Quando a, b e c forem números reais diferentes de 0, a equação é chamada

completa e mantém sua forma original .

Como no exemplo: x² + 3x – 4 = 0

Os coeficientes b e c podem ter o valor 0 e a equação ainda será de 2º. Grau,

mas nesses casos ela é chamada incompleta.

c) Escreva de maneira genérica como fica a equação do 2º. Grau nos três

casos que podem ocorrer:

b = 0 Equação: _________________

c = 0 Equação: _________________

b = 0 e c = 0 Equação: _________________

PARTE 4: RESOLVENDO A EQUAÇÃO DO 2º. GRAU

Como nas equações que você já conhece, resolver a Equação do 2º. Grau

significa encontrar o valor de x que torna a sentença

verdadeira. Esse valor é chamado de raiz da equação.

Há várias maneiras de resolver uma Equação Quadrática utilizando

recursos aritméticos, como você fez na Tarefa 2, recursos geométricos, como o

completamento de quadrados e recursos algébricos como a fatoração, e também a

aplicação de uma fórmula, conhecida aqui no Brasil como “Fórmula de Bhaskara”.

Nesse estudo vamos conhecer e aplicar os recursos algébricos da

Fatoração e conhecer e aplicar também a Fórmula de Bhaskara. Ao aplicar esses

recursos, você perceberá que a equação do 2º. Grau tem uma particularidade

interessante: ela pode ter duas raízes diferentes.

Resolvendo a Equação do 2º. Grau por meio da fatoração

A fatoração é um recurso que permite escrever uma expressão matemática

como um produto, ou seja em forma de multiplicação. Você deve ter conhecido esse

recurso nos anos anteriores, mas em todo caso, peça ao seu professor que faça

uma pequena revisão, se achar necessário. A fatoração é uma boa estratégia para

resolver Equações do 2º. Grau Incompletas.

Veja algumas possibilidades:

Equações do tipo ax² + bx = 0

Equações do tipo ax² + c = 0

Equações do tipo ax² = 0

x² - 9x = 0

x(x – 9) = 0

x = 0

x – 9 = 0

x = 9

S = { 0,9 }

x² - 49 = 0

x² = 49

x = √ ou x = - √

x = 7 ou x = - 7

S = {-7,7 }

3x² = 0

x² =

x² = 0

x = ± √

x = 0

S = { 0 }

Tarefa 5:

Que tal experimentar esses novos recursos para resolver alguns

problemas?

Problema 9

Perguntamos ao Professor Jorge qual é a sua idade. Ele respondeu com a

seguinte charada: “O quadrado da minha idade menos 576 é igual a 0”. Qual a

idade do Professor Jorge?

Problema 10

O time de handebol de Júlio ganhou a última partida. Quando perguntamos

ao Júlio quantos gols o time fez, ele respondeu com uma charada: o dobro do

quadrado de número de gols é igual a 288. Quantos gols o time de Júlio fez?

Problema 11

Um terreirão de secar café foi considerado pequeno para a produção da

quele ano. O dono da fazenda pediu que aumentassem 3 metros de cada Lado,

mantendo a mesma forma. O pedreiro ao chegar ao local notou que o terreirão

antigo era um quadrado, e que ao final do serviço o novo terreirão ficou com 121

m2. Qual a medida do lado do terreirão antigo?

Resolvendo a Equação do 2º. Grau com a fórmula de Bhaskara

As equações de 2º grau incompletas podem ser resolvidas facilmente,

apenas utilizando a fatoração. Algumas equações completas também podem ser

resolvidas por meio da fatoração, mas são situações bem específicas. Com o

desenvolvimento da Álgebra, os matemáticos criaram uma “fórmula” que permite

resolver qualquer equação do 2º. Grau, especialmente as equações completas.

Aqui no Brasil essa fórmula de resolução da equação de 2º grau ficou

conhecida como “Fórmula de Bhaskara”, mas em outros países é conhecida

simplesmente como fórmula geral para resolução da equação polinomial do 2º grau.

Vamos conhecer um pouco dessa história.

Assista ao vídeo “Esse tal de Bhaskara” que seu professor irá exibir, ou veja

diretamente na Internet, acessando a página:

http://www.youtube.com/watch?v=dw6wD5bP5vw

A fórmula de Bhaskara

Agora que você já conhece as origens das equações do 2º. Grau e da

fórmula geral de resolução, vamos ver como ela é aplicada.

Vamos partir da equação do 2º. Grau escrita na forma geral

, e identificar os elementos que compõem a fórmula:

x é a incógnita.

a é o coeficiente do termo que possui a incógnita ao quadrado (x2).

b é o coeficiente do termo que possui a incógnita (x).

c é o coeficiente do termo independente (que não tem x).

A fórmula é assim representada:

√

Quando os valores de a, b e c são conhecidos, podemos obter os valores

de x que fazem com que a expressão seja verdadeira, ou as raízes da equação.

Observe que na fórmula há um ± antes da raiz, isso porque é preciso

lembrar que a raiz quadrada de um número pode ser tanto positiva, quanto

negativa, e isso nos dará a possibilidade de encontrar as duas raízes da equação.

Mas vamos ver isso mais de perto, retomando a equação que escrevemos

para o Problema 2, e aplicar a fórmula para resolvê-la:

Problema 2

No município de Francisco Alves foi organizado um campeonatode

Handebol para ser disputado em 2 turnos, ou seja, cada time jogará duas vezes

com cada um dos outros. Antes de abrir as inscrições para os times, os

organizadores verificaram que poderiam realizar 182 partidas, nas quadras

disponíveis.Quantos times puderam participar do campeonato?

Nesse problema, considerando x o número de times que puderam participar

do campeonato, a equação obtida foi:

Nessa equação: a= 1, b= -1 e c= -182

Substituindo esses valores na fórmula de Báscara, temos:

( ) √( ) ( )

√

√

A partir daqui é necessário separar a equação em duas: uma com o sinal de

+ (Positivo) e a outra com o sinal de - (Negativo). Assim temos:

Com a aplicação da fórmula obtivemos dois valores para x, que se forem

substituídos na equação , tornam a expressão verdadeira.

Desse modo, dizemos que o conjunto solução da equação é

{ }.

No entanto, essa equação foi obtida a partir de um problema, cuja pergunta

era: “Quantos times puderam participar do campeonato?”

Como x é o número de times que puderam participar do campeonato,

verificamos que x = -13 não é uma resposta adequada, portanto a resposta é 14

times.

Essa fórmula permite resolver qualquer equação do 2º. Grau e é muito

usada no estudo de outros conceitos matemáticos. Portanto, vale a pena resolver

mais algumas equações e se familiarizar cada vez mais com os procedimentos

algébricos envolvidos.

PARTE 5: RESOLVENDO PROBLEMAS COM RECURSOS ALGÉBRICOS

Tarefa 6 Agora que você aprendeu novos recursos, temos alguns desafios

para você:

a) Resolva os problemas a seguir, utilizando a fórmula geral de para resolução

da equação do 2º. Grau.

b) Retome os problemas resolvidos com recursos aritméticos na Tarefa 1 e

resolva-os agora com os recursos algébricos.

c) Em seguida, discuta com seus colegas as vantagens e desvantagens de

cada recurso.

Problema 12

O quadrado da quantia que José possui, aumentado do dobro da mesma

quantia, e igual a R$ 35,00. Quanto José Possui?

Problema 13

A diferença entre o quadrado de um número positivo e o triplo desse

número é igual a 4. Qual é esse número positivo?

Problema 14

Uma das provas de Olimpíada de Matemática na escola do Bairro

Catarinense. Surgiu a seguinte situação.

O quadrado do número que representa, em anos, a idade de meu irmão,

menos o dobro desse número, é igual a cinco vezes o número aumentado de 8.

Quantos anos tem meu irmão?

Problema 15

O quadrado de um número real inteiro é igual a sete vezes o número,

menos 6. Qual é esse número?

ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS

Ao buscar elementos para a construção dessa unidade didática, nos

apoiamos na tendência da Resolução de Problemas, aqui entendida como um meio

para ensinar matemática, por acreditar que os estudantes “devem resolver

problemas não para aplicar matemática, mas para aprender nova matemática” (VAN

DE WALLE, 2009, p. 57).

Nesse material didático, os problemas são apresentados logo no início para

serem explorados e resolvidos com os conhecimentos que os alunos trazem, com o

apoio e incentivo do professor, que deve se dispor a agir como um guia, um

orientador da atividade dos alunos. É importante assumir que “o trabalho de ensinar

por meio da Resolução de Problemas deve começar sempre onde estão os alunos,

ao contrário da forma usual em que o ensino começa onde estão os professores”

(Idem).

A resolução de problemas sendo ponto de partida para o ensino da

matemática representa um rompimento nas práticas tradicionais onde o professor é

o centro do conhecimento e a aprendizagem é realizada por transmissão do

conhecimento do professor ao aluno. Trata-se de uma metodologia fundamental na

construção do conhecimento que é feito pelo aluno e conta com o papel mediador do

professor.

Como essa é a perspectiva que irá nortear o desenvolvimento de todas as

tarefas propostas, apresentamos algumas orientações para o desenvolvimento do

trabalho, quando a tarefa envolver a resolução de um problema:

1. A turma deverá estar organizada em grupos, preferencialmente de quatro

alunos cada um.

2. O professor apresenta o problema aos alunos, fazendo a leitura e discutindo

o contexto, se necessário.

3. Os alunos tentam resolver o problema com o conhecimento que têm.

4. O professor pode fazer intervenções para orientar o trabalho quando os

alunos encontram algum obstáculo a respeito do conteúdo matemático

necessário para a resolução do problema.

5. Após a resolução, os alunos apresentam e discutem suas estratégias, com

a ajuda do professor, validando aquelas que se mostram adequadas àquele

problema. O professor pode aproveitar esse momento para explicar o conteúdo

matemático envolvido.

O ensino de matemática, numa abordagem de resolução de problemas,

possibilita uma classe mais dinâmica e motivada, pois os alunos, ao resolverem

problemas poderão encontrar novos fatos sendo motivados a descobrirem outras

maneiras de solucionar o mesmo problema, e a se interessarem pelos problemas

matemáticos, ampliando sua capacidade de resolver as situações propostas.

A seguir apresentamos as partes que compõem o materia didático,

juntamente com algumas orientações mais específicas a cada tarefa.

PARTE 1: O HANDEBOL

Tarefa 1: Handebol

Essa tarefa tem como objetivo trazer para a sala de aula questões que

servirão de contexto para diversos problemas que serão resolvidos ao longo do

trabalho.

O tema pode ser subdividido e distribuido entre os grupos para a pesquisa.

Os alunos podem confeccionar cartazes com as principais informações e a

apresentação dos dados pode ser feita em forma de painel, na própria sala.

PARTE 2: RESOLVENDO PROBLEMAS

Envolve a resolução de problemas como ponto de partida para ensinar o conteúdo.

Tarefa 2: Utilizando a Aritmética

Essa tarefa é composta de oito situações-problema que podem ser

resolvidos apenas com recursos aritméticos.

O objetivo é familiarizar os alunos com a dinâmica da resolução de

problemas e apresentar os contextos que fornecerão os elementos para a

introdução das equações do 2º. Grau.

Nessa tarefa é importante que o professor siga as recomendações feitas

anteriormente para a resolução dos problemas, respeitando o tempo e as

estratégias dos alunos, pois é a partir delas que terá a oportunidade de perceber

suas dificuldades e intervir quando necessário. Sugerimos resolver e discutir um

problema por vez, pois as estratégias socializadas em cada discussão poderão

subsidiar a próxima resolução.

Tarefa 3: Utilizando os recursos da Álgebra

Nessa tarefa, o objetivo é estimular o aluno a fazer uso da representação

algébrica como um recurso para a resolução dos problemas.

A representação algébrica dos dois problemas deverá ser feita de forma

que os alunos se deparem com equações do 2º. grau.

É provável que os alunos encontrem dificuldades em traduzir a linguagem

materna dos problemas para a linguagem algébrica. Nesse caso, é fundamental que

o professor realize intervenções, oferecendo apoio, fazendo questionamentos e

dando pistas para que os alunos cheguem às representações pretendidas.

PARTE 3: UM NOVO TIPO DE EQUAÇÃO

Tarefa 4: Conhecendo a Equação do 2º. Grau

Nessa tarefa propomos que o aluno recorra ao livro didático como forma de

incentivar a leitura de textos matemáticos.

O professor deverá orientar a atividade dos alunos, auxiliando-os no

entendimento do texto do livro, esclarecendo os termos que os alunos não

conhecem e estimulando a produção escrita dos alunos.

Essa parte contém também algumas explicações a respeito das equações

do 2º. Grau que o professor poderá explorar, fazendo leitura e discutindo com os

alunos.

Por se tratar de um novo tipo de equação, é essencial que o professor

esteja à frente dessa tarefa.

PARTE 4: RESOLVENDO A EQUAÇÃO DO 2º. GRAU

Essa parte introduz os tipos de equações (completas e incompletas) e

apresenta algumas maneiras de resolvê-las algebricamente.

É um momento em que o professor assume a condução da atividade, pois

envolve a retomada de conceitos e procedimentos trabalhados em anos anteriores

que os alunos provavelmente não se lembrarão.

Tarefa 5

Nessa tarefa o objetivo é explorar os recursos e estratégias algébricas para

resolver mais três problemas. Lembramos que a dinâmica para essa resolução é a

mesma já apresentada no início das orientações.

Nessa parte também se encontra a fórmula geral para resolução das

equações do 2º. Grau (Fórmula de Bhaskara), que deverá ser apresentada pelo

professor.

A apresentação do vídeo “Esse tal de Bhaskara” tem como objetivo apresentar

alguns fatos históricos do desenvolvimento das equações, de maniera breve e divertida.

A apresentação deverá ser preparada com antecedência pelo professor, que

poderá baixar o vídeo gratuitamente da Internet, acessando a página

http://www.youtube.com/watch?v=dw6wD5bP5vw e prepará-lo para ser apresentado na TV

Pen drive, com o auxílio de um projetor ou de um aparelho de DVD.

A fórmula é apresentada na sequência, aplicando-a a um dos problemas já

resolvidos aritmeticamente.

O objetivo é apresentar ao aluno o recurso algébrico e evidenciar seu

potencial para resolver não apenas os problemas desse estudo.

As explicações constantes nessa parte são de responsabilidade do

professor e devem ser feitas cuidadosamente, retomando sempre que necessário

para promover a compreensão dos alunos.

PARTE 5: RESOLVENDO PROBLEMAS COM RECURSOS ALGÉBRICOS

Tarefa 6

Nessa tarefa o aluno deverá resolver alguns problemas novos e também os

já resolvidos anteriormente por meios aritméticos, mas agora com mais recursos

algébricos. O objetivo é experimentar esses recursos em diversas situações,

explorando seu potencial. É possível que os alunos ainda encontrem dificuldades

em traduzir a linguagem materna dos problemas para a linguagem algébrica e para

manipular algumas expressões algébricas. Nesse caso, é fundamental que o

professor realize intervenções, oferecendo apoio, fazendo questionamentos e

dando pistas para que os alunos cheguem às representações pretendidas. O

professor também pode e deve fazer uso do quadro para explicar procedimentos

algébricos com que os alunos não estejam familiarizados.

Nesse trabalho optamos por apresentar aos alunos a fórmula geral, sem a

dedução, considerando que os alunos com os quais temos lidado, têm ainda muitas

dificuldades em compreender a linguagem algébrica. No entanto, fica a critério do

professor realizar a dedução da fórmula junto com os alunos, como a que sugerimos

a seguir, baseada na ideia de completar quadrados, completando o trinômio ax² + bx

+ c de modo a torná-lo um quadrado perfeito, possível de ser fatorado.

Partindo de ax² + bx +c= 0

Multiplicamos a igualdade por 4ª, ax² + bx +c = 0 (4a)

E obtemos 4a²x² + 4abx +4ac = 0

Eliminamos o termo independente

do 1º. membro 4a²x² + 4abx = - 4ac

Somamos b² aos dois lados

igualdade 4a²x² + 4abx = - 4ac (+b²)

E obtemos um trinômio quadrado

perfeito no 1º. membro 4a²x² + 4abx + b² = b²- 4ac

Que pode ser escrito assim (2ax)² + 2(2ax)b + b² = b² - 4ac

Fatoramos o trinômio do 1º.

membro (2ax + b)² = b² - 4ac

Extraimos as raízes quadradas em

ambos os membros 2ax + b = ±

Isolamos o temo em x 2ax = - b ±

E obtemos a Fórmula de Bhaskara x =

Nesse material apresentamos somente algumas questões a respeito das

equações do 2º. Grau, considerando que o objetivo é apresentar aos alunos esse

objeto matemático e algumas representações e procedimentos relacionados, de

modo que os alunos possam fazer sentido a respeito do tema.

Os conceitos e propriedades não contemplados nesse trabalho deverão ser

trabalhados na mesma perspectiva, explorando as situações-problema sempre que

possível, a fim de que os alunos possam aprendê-los com compreensão.

10 REFERÊNCIAS

BURIASCO, R. L. C.; CYRINO, M. C. C. T.; PIRES, M. N. M. Projeto: Educação Matemática de Professores de Matemática. Londrina: Universidade Estadual de Londrina – UEL, 2007. FRAGOSO, W.C. Uma abordagem histórica da Equação do 2º. Grau. In: Revista do Professor de Matemática. No. 43, SBM. Rio de Janeiro: Editora da SBM, 2000, p. 20-25.

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ONUCHIC, L. de L. R. Ensino-Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.) Pesquisa em Educação Matemática: Concepções & Perspectiva. São Paulo: Editora UNESP, 1999, p.199-218.

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