escoamento incompressível bi-dimensional em regime permanente · regime permanente ... equação...
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Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento Incompressível Bi-dimensional em regime permanente
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂
∂
y
v
yx
v
y
u
xy
p
y
vv
x
vu
x
v
y
u
yx
u
xx
p
y
uv
x
uu
y
v
x
u
ννρ
ννρ
21
21
0
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento Incompressível Bi-dimensional em regime permanente
Viscosidade constante, ν=constante
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
0
y
v
x
v
y
p
y
vv
x
vu
y
u
x
u
x
p
y
uv
x
uu
y
v
x
u
νρ
νρ
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento Incompressível Bi-dimensional em regime permanente
Adimensionalização das equações
Valores de referência
VelocidadeComprimentoPressão *22
**
**
,
,
pUpU
LyyLxxL
vUvuUuU
ee
eee
ρρ =→
==→
==→
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento Incompressível Bi-dimensionalem regime permanente
( ) ( )
( ) ( )
====
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂
∂
2
2*
*2
2*
*2
*
*
*
**
*
**
2*
*2
2*
*2
*
*
*
**
*
**
*
*
*
*
1
1
0
L
UL
UU
LULUR
y
v
x
v
Ry
p
y
vv
x
vu
y
u
x
u
Rx
p
y
uv
x
uu
y
v
x
u
e
ee
eee
e
e
µ
ρ
νµ
ρ efeitos convectivosefeitos difusivosO[ ]
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento Incompressível Bi-dimensionalem regime permanente
• Aplicações práticas são normalmente escoamentos a números de Reynolds, Re, elevados
y
u
∂
∂= µτ (tensão de corte em uni-dimensional)
Ar µ ≃ 1,8×10-5kgm-1s-1 ν ≃1,1×10-5m2s-1
Água µ ≃ 1,0×10-3kgm-1s-1 ν ≃1,0×10-6m2s-1
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento Incompressível Bi-dimensionalem regime permanente
• Efeito das tensões de corte restritos a pequenas regiões em que existem grandesvariações de velocidade em pequenasdistâncias
• Camadas de corte delgadas (thin shear layers)- Espessura da camada de corte delgada, δ,é muito inferior a L, δ/L≪1
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento Incompressível Bi-dimensionalem regime permanente
Camada Limite(Boundary-layer)
Esteira(Wake)
Camada de Mistura(Mixing layer)
Jacto(Jet)
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento Incompressível Bi-dimensionalem regime permanente
Camadas de corte espessas (corpos não fuselados)(Bluff body)
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Simplificações de Prandtl(1904)
Análise da ordem de grandeza dos termos das equações da continuidade e de balanço de quantidade de movimento
Hipótese de partida Re≫1. (δ/L≪1)ν
xUR e
e =
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Simplificações de Prandtl(1904)
Ordem de grandeza da variável ξ, O[ξ], é dadapelo limite superior de variação de ξ
Ordens de grandeza conhecidas
O[x]→ L
O[y] → δ O[u]→ Ue
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Equação da continuidade
[ ]
[ ]L
Uv
v
L
U
y
v
x
u
e
e
δ
δ
=
=+
=∂
∂+
∂
∂
0
0
O
O
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Equação de Bernouilli aplicada ao escoamentoexterior (fluido perfeito)
L
U
L
p
dx
dp
dx
dUU
dx
dp
constUp
ee
ee
e
e
2
2
11
0
.2
1
==
=+
=+
ρρ
ρ
ρ
O
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Balanço de quantidade de movimento na direcção x
++=+
++=+
++=+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
2
22222
22
222
2
2
2
2
11
111
1
1
δ
δ
ν
δν
νρ
L
R
L
LUL
U
L
U
L
U
L
U
U
L
U
L
U
L
U
L
U
y
u
x
u
x
p
y
uv
x
uu
e
e
eeee
eeeee
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Balanço de quantidade de movimento na direcção x
Análise do termo difusivo
+
2
11
δ
L
Re
111
01
2
2
2
2
2
ee
e
RL
L
Rx
u
Rx
u
=⇒
=
∂
∂
≅=
∂
∂
δ
δν
ν
O
O
≪
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Balanço de quantidade de movimento na direcção y
O
O
++
∂
∂−=+
++
∂
∂−=+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
32
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
δ
δδν
ρ
δδ
δ
δν
ρ
δδ
νρ
L
L
U
L
U
LUy
p
L
U
L
U
L
U
L
U
y
p
L
U
L
U
y
v
x
v
y
p
y
vv
x
vu
ee
e
ee
eeee
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
2
2
2
2
1
111
11
L
U
y
p
Ry
p
U
L
e
ee
δ
ρ
ρδ
=
∂
∂−
++
∂
∂−=+
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Balanço de quantidade de movimento na direcção y
Como eR
L=
2
δ
O
O
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Balanço de quantidade de movimento na direcção y
Através da camada limite
pelo que
0
2
11 222
2
0
≅∂
∂
=
=
∂
∂∫
y
p
UUR
UL
dyy
pee
e
e ρρρδδ
O ≪
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
∂
∂+−=
∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂
∂
2
21
0
y
u
dx
dp
y
uv
x
uu
y
v
x
u
νρ
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
• O sistema de coordenadas tem de respeitar asseguintes condições:
1. A coordenada x tem de estar alinhada com oescoamento exterior
2. A coordenada y é normal à superfície
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
∂
∂+−=
∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂
∂
2
21
0
y
u
dx
dp
y
uv
x
uu
y
v
x
u
νρ
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
• A pressão estática é independente da coordenada y.A variação de pressão com x (dp/dx) pode ser obtidaa partir do escoamento exterior, p(x)≃pe(x), pelo quea pressão não faz parte das incógnitas.
A pressão é um dado do problema
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
• As equações deixam de exibir carácter elíptico nadirecção x. Para um valor de x qualquer, o escoamento depende apenas do que se passa a montante. Nestas condições, é possível obter a solução através de um processo de marcha na direcção x (problema de valor inicial).
∂
∂+−=
∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂
∂
2
21
0
y
u
dx
dp
y
uv
x
uu
y
v
x
u
νρ
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Integrar equações de camada limite na direcçãonormal à parede
• Equação da continuidade
∫
∫
∂
∂−=
=
∂
∂+
∂
∂
h
h
dyx
uv
dyy
v
x
u
0
00
( )δ>h
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Equação Integral de von Kármán
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Escoamento exterior (fluido perfeito)
dx
dUU
dx
dp
constUp
ee
e
−=
=+
ρ
ρ
1
.2
1 2
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Equação Integral de von Kármán
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Equação de balanço/transporte de quantidade demovimento na direcção x
∫ ∫ ∂
∂=
+
∂
∂+
∂
∂h h
dyy
udy
dx
dp
y
uv
x
uu
0 0 2
21ν
ρ
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Equação Integral de von Kármán
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
→
−=
=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∫
∫∫
w
w
hh
hh
dyy
dyy
dyy
u
τ
ρ
τ
ρ
ττ
ρ
τ
ρν
00
00 2
2
1
1
� Tensão de corte na parede
� Para h>δ, τ≃0
― Termo difusivo
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Equação Integral de von Kármán
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
[ ] ∫∫
∫ ∫
∫ ∫
−=
∂
∂
∂
∂
−=
−
∂
∂
∂
∂−
∂
∂
hhh
h y
hwe
e
y
dyygyfygyfdyygyf
dyy
udy
x
u
dydx
dUU
y
udy
x
u
x
uu
00
0
0 0
0 0
)()(')()()(')(
)2(ρ
τ
― Integração por partes do termo
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Equação Integral de von Kármán
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
∫∫∫ ∫
∫∫∫ ∫
∫
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂
∂
∂
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂
∂
∂
∂
∂=
∂
∂=
hh
e
h y
hh
yh y
h
dyx
uudy
x
uUdy
y
udy
x
u
dyux
uudy
x
udy
y
udy
x
u
y
uyg
dyx
uyf
000 0
00
00 0
0
)('
)(
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Equação Integral de von Kármán
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
∫ =
∂
∂−+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
hwe
ee dyx
u
dx
dUU
x
uU
x
uu
x
u
0
2
2
)3(
2
ρ
τ
e substituindo em (2)
― Utilizando a igualdade
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Equação Integral de von Kármán
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
( )
( )
( ) ( )∫
∫
=
−+−
∂
∂
=
∂
∂−+−
∂
∂
+∂
∂=
∂
∂
hw
ee
e
hwe
eee
ee
e
dyuUdx
dUuuU
x
dyx
u
dx
dUU
dx
dUu
x
uU
dx
dUu
x
uU
x
uU
0
2
0
2
ρ
τ
ρ
τ
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Equação Integral de von Kármán
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
( ) ( )
∫∫
∫∫
=
−+
−
=−+
−
hw
e
ee
h
ee
e
hw
ee
h
e
dyU
uU
dx
dUdy
U
u
U
uU
dx
d
dyuUdx
dUdyuUu
dx
d
00
2
00
11ρ
τ
ρ
τ
• O limite de integração h não depende de x pelo queas derivadas em ordem a x podem permutar com a integração em y
• Adimensionalizando a variável u com Ue
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Equação Integral de von Kármán
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Espessura de deslocamento, δ*
(Displacement thickness)
• Para h≥δ, u/Ue≃1, pelo que
∫
−=
h
e
dyU
u
0
* 1δ
∫
−≅
δδ
0
* 1 dyU
u
e
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Parâmetros Integrais
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Espessura de deslocamento, δ*
(Displacement thickness)
• Caudal na secção δ×1 em condições de fluido perfeito
• Caudal na secção δ×1 em condições de fluido real (viscoso)
∫=δ
ρ0
dyUQ eideal&
∫=δ
ρ0
udyQreal&
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Parâmetros Integrais
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Espessura de deslocamento, δ*
(Displacement thickness)
• A espessura de deslocamento está relacionada com o deficit de caudal devido à presença da camada limite
∫∫ −=−=δδ
ρρδρ00
*udydyUQQU erealideale
&&
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Parâmetros Integrais
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Espessura de deslocamento, δ*
(Displacement thickness)
• δ∗ equivale à distância que as linhas de corrente do escoamento exterior (fluido perfeito) são deslocadas, devido ao efeito da camada limite.
∫
−≅
δδ
0
* 1 dyU
u
e
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Parâmetros Integrais
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Definindo obtem-se
exclusivamente função do perfil adimensionalde velocidade
Espessura de deslocamento, δ*
(Displacement thickness)
δη
y=
∫
−=
1
0
*
1 ηδ
δd
U
u
e
=
δ
yf
U
u
e
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Parâmetros Integrais
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Para h≥δ, u/Ue≃1, pelo que
∫
−=
h
ee
dyU
u
U
u
01θ
Espessura de quantidade de movimento, θ(Momentum thickness)
∫
−≅
δθ
01 dy
U
u
U
u
ee
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Parâmetros Integrais
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Caudal de quantidade de movimento na secção δ×1
em condições de fluido perfeito (massa real)
• Caudal de quantidade de movimento na secção δ×1
em condições de fluido real
∫==δ
ρ0
dyuUUQM eerealideal&&
∫=δ
ρ0
2dyuM real&
Espessura de quantidade de movimento, θ(Momentum thickness)
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Parâmetros Integrais
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• A espessura de quantidade de movimento está relacionada com o deficit de quantidade de movimento devido à presença da camada limite.θ tem de ser calculado para o caudal real que atravessa a secção δ×1, tendo em consideraçãoo valor de δ*
∫∫ −=−=δδ
ρρθρ0
2
0
2 dyudyuUMMU erealideale&&
Espessura de quantidade de movimento, θ(Momentum thickness)
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Parâmetros Integrais
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Sendo θ um deficit de quantidade de movimentoa sua variação tem de estar relacionada com asforças aplicadas
Espessura de quantidade de movimento, θ(Momentum thickness)
∫
−≅
δθ
01 dy
U
u
U
u
ee
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Parâmetros Integrais
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Definindo obtem-se
exclusivamente função do perfil adimensionalde velocidade
δη
y=
Espessura de quantidade de movimento, θ(Momentum thickness)
=
δ
yf
U
u
e
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Parâmetros Integrais
∫
−=
1
01 η
δ
θd
U
u
U
u
ee
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Factor de Forma, H(Shape Factor)
• H quantifica a forma do perfil de velocidade. Comoa função integranda da definição de θ é sempreinferior à de δ*, H≥1, sendo 1 no caso limite deum perfil uniforme.
δ
θδ
δ
θ
δ
*
*
==H depende apenas de
=
δ
yf
U
u
e
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Parâmetros Integrais
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Factor de Forma, (Shape Factor)
• Coeficiente de tensão de corte superficial, Cf
θ
δ *
=H
2
21
e
wf
UC
ρ
τ=
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Parâmetros Integrais
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Substituindo os parâmetros integrais de camada limite obtem-se
( )
2
2
*2
fe
e
weee
C
dx
dU
U
H
dx
d
dx
dUUU
dx
d
=+
+
=+
θθ
ρ
τδθ
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Equação Integral de von Kármán
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
( )
( )[ ]
[ ]
( ) ( ) ( )η
νδ
δηη
FxUyxu
U
xyF
U
u
yxFU
u
e
ee
e
=
===
=
,
,
• Caso geral
• Escoamento em condições de semelhança
OOcom e
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Escoamentos semelhantes em regime laminar
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
[ ]
[ ]δ
θδ
δ
θ
δ
*
*
==H
• Nestas condições, factor de forma H é constante
O
O
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Escoamentos semelhantes em regime laminar
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Velocidade exterior obedece a uma equação do tipo
• Solução do escoamento de fluido perfeito em tornode uma cunha de abertura πβ
m
e CxU =
β
ββ
−=
+=
21
2m
m
m
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Escoamentos semelhantes em regime laminar
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• m=0→ Escoamento em gradiente de pressão nulo
• m=1→ Escoamento de ponto de estagnação
• m=-0.0904→ Perfil de velocidade com τw=0
β
ββ
−=
+=
21
2m
m
m
m
e CxU =
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Escoamentos semelhantes em regime laminar
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Soluções de camada limite semelhantes em regime laminar
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Equação Integral de von Kármán
• Gradiente de pressão nulo
• Perfil adimensional de velocidade é suficiente para obter a solução
=
δ
yf
U
u
e
2
fC
dx
d=
θ
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Equação Integral de von Kármán
• 2 incógnitas, θ e Cf, para 1 equação
.2
2
1
0
0
1
0
constanty
Uu
Udx
d
y
Uu
UC
dU
u
U
u
y
e
e
y
e
e
f
ee
=
∂
∂
=
∂
∂=
−=
=
=
∫
δ
δ
δ
ν
θ
δδδ
δδ
ν
ηδ
θ
2
fC
dx
d=
θ
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
0
2
00
0
0
2
2
2
.2
=
=
=
∂
∂
=
∂
∂
=
=
∂
∂
=
∫∫
δ
δ
δ
δ
δ
ν
θ
δδ
δ
ν
θ
δδδ
δ
ν
θ
δδδ
y
e
e
x
y
e
e
y
e
e
y
Uu
U
x
dxy
Uu
Ud
constanty
Uu
Udx
d
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Equação Integral de von Kármán
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
5.0
0
0
2
0
2
4
4
4
−
=
=
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
xe
y
e
y
e
e
y
e
e
Ry
Uu
x
y
Uu
xUx
y
Uu
U
x
δ
δ
δ
δθ
δδ
δ
ν
θ
δδ
δ
ν
θ
δδ
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Equação Integral de von Kármán
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
• Parâmetros de camada limite
( )
( ) ( )
LU
dxC
UC
LUR
xURH
duudu
y
U
uufu
e
L
w
D
e
wf
ee
ee
e
Lx
2
0
2
*
1
0
1
0
*
21,
21
,,
1,1
,
ρ
τ
ρ
τ
ννθ
δ
ηδθηδδ
δηη
∫
∫∫
==
===
−=−=
===
com
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Gradiente de pressão nulo
• Soluções aproximadas e exacta
3,464 1,732 0,578 3,00 0,578 1,16
4,64 1,74 0,646 2,70 0,646 1,29
5,84 1,752 0,687 2,55 0,687 1,37
4,791 1,741 0,655 2,66 0,655 1,31
―(5) 1,721 0,664 2,59 0,664 1,33
( )ηf
32123 ηη −
4322 ηηη +−
η
π
2sin
exacto
η
xeRxδxeRx*δ
xeRxθ Hxef RC
xeD RC
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Efeito do gradiente de pressão
• Forma do perfil de velocidade
• Aplicação da equação de Bernoulli ao longo de umalinha de corrente no interior da camada limite desprezando o efeito do atrito
• Efeito do gradiente de pressão é tanto maior quanto menor for u
dx
dp
ux
u
s
p
us
u
ρρ
11−≅
∂
∂⇔
∂
∂−≅
∂
∂
dx
dp
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
dx
dUy
U
uu
u e
e ν
δ
δη
η
2
2
2
, −=Λ==Λ=∂
∂
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Efeito do gradiente de pressão
• Forma do perfil de velocidade
• Segunda derivada na parede é função do gradientede pressão
e
2
21
y
u
dx
dp
∂
∂=ν
ρ
com
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Efeito do gradiente de pressão
• Forma do perfil de velocidade
( )43243
2
2
2
2
336
22
0011
00
ηηηηηηη
ηηη
ηη
−+−Λ
−+−=
=∂
∂=
∂
∂=⇒=
Λ=∂
∂=⇒=
u
uuu
uu
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Efeito do gradiente de pressão
• Forma do perfil de velocidade
0 0.25 0.5 0.75 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Λ=-12
Λ=-6
Λ=0
Λ=12
Λ=24
η
u
→(τw=0)
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
δ
δ *
δ
θH )1(fC
dx
dp
0>
0<
Adverso
Favorável
(1) Cf é igual a zero no ponto de separação
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Efeito do gradiente de pressão
• Forma do perfil de velocidade
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Efeito do gradiente de pressão
• Camada limite em gradiente de pressão nulo cresce por difusão de quantidade de movimento
• Equação da continuidade
• Escoamento exterior
dyx
uv
y
v
x
u y
∫ ∂
∂−=⇔=
∂
∂+
∂
∂0
0
dx
dp
Udx
dU
e
e
ρ
1=−
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Efeito do gradiente de pressão
• Efeito da convecção na taxa de crescimento(δ)
v δdx
dp
0>
0<
Adverso
Favorável
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
θ H )1(fCdx
dp
0>
0<
Adverso
Favorável
(1) Cf é igual a zero no ponto de separação
*δδ
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Efeito do gradiente de pressão
• Efeito global
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Transição de Regime Laminar a Turbulento
• Transição no escoamento em tubos
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Transição de Regime Laminar a Turbulento
• Transição em camada limite
Parâmetros que influenciam mais a transição
• Gradiente de pressão
• Características da parede (rugosidade)
• Natureza das perturbações exteriores (intensidade deturbulência do escoamento exterior)
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Transição de Regime Laminar a Turbulento
• Transição em camada limite
Reynolds crítico
Reynolds de transição
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Transição de Regime Laminar a Turbulento
• Fases do processo de transição de uma camadalimite
1. Instabilidade da camada limite a perturbações essencialmente bi-dimensionais. Ondas de
Tollmien-Schlichting
2. Aparecimento de perturbações secundárias produzindo tri-dimensionalidade
3. Formação aleatória de erupções turbulentas
4. Degenerescência em regime turbulento
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Transição de Regime Laminar a Turbulento
• Transição em camada limite
Curva de estabilidade neutra de um perfil de camada limite
• α é o número de ondada perturbação(comprimento de onda )
• Rcrit corresponde aonúmero de Reynoldsmínimo que separa aszonas estável e instáveldo diagrama
• Rtrans corresponde aonúmero de Reynolds apartir do qual temosregime turbulentoRtrans>Rcrit
α
π2=
00 >Λ≤Λ
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Transição de Regime Laminar a Turbulento
• Transição em camada limite
Curva de estabilidade neutra de um perfil de camada limite
Instabilidadeviscosa
Instabilidadeinvíscida
Perfil sem pontode inflexão
Perfil com pontode inflexão
∞→⇒∞→ ααeR
0→⇒∞→ αeR
00 >Λ≤Λ
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Transição de Regime Laminar a Turbulento
• Transição em camada limite
• Gradiente de pressãoadverso, Λ>0, favorece a ocorrência de transição
• Gradiente de pressãofavorável, Λ<0, contraria a ocorrência de transição
dx
dUe
ν
δ 2
−=Λ
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Transição de Regime Laminar a Turbulento
• Transição em camada limite
• O aumento da rugosidadefavorece a ocorrência de transição
Efeito de um elementode rugosidade no Reynoldsde transição de uma camadalimite numa placa plana
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Transição de Regime Laminar a Turbulento
• Transição em camada limite
Evolução do perfil de velocidade
θ
δ *
=H
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Transição de Regime Laminar a Turbulento
• Transição em camada limite
Evolução do perfil de velocidade
• O factor de forma, H, diminui
• A espessura de quantidade de movimento, θ, é aproximadamente constante, se xcrit≃xtrans
• A espessura de deslocamento, δ*, diminui
• O coeficiente de tensão de corte superficial,Cf, aumenta
• Expressão empírica para a determinação de H após atransição
( ) 9698,0log
4754,1
10
+=transeR
Hθ
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Rex
Re
θ
1.0x10+06 2.0x10+06 3.0x10+06 4.0x10+06 5.0x10+060
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
dp/dx=0
Transição de Regime Laminar a Turbulento
• Transição em camada limite
Correlações empíricas
com
Cebeci&
Smith
7546,0 1041022400
1174,1 ×<<
+= exex
ex
e RRR
R θ
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
H
Lo
g1
0(R
ex)
2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.95
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
dp/dx=0
Transição de Regime Laminar a Turbulento
• Transição em camada limite
com( ) 32
10 3819,37538,268066,644557,40log HHHRex +−+−= 8.21.2 << H
Correlações empíricas
exRH −
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime Turbulento
Aproximações de Reynolds(Reynolds-averaged equations)
1. Média espacial (Spatial averaging)
Turbulência homogénea(Homogeneous turbulence)
( )
n
zyxu
U
n
i
iiij
nj
∑=
∞→= 1
,,~
lim
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime Turbulento
Aproximações de Reynolds(Reynolds-averaged equations)
2. Média temporal (Time averaging)
T
dtuU
To
o
t
ti
Ti
∫+
∞→=
~
lim
O escoamento éestatisticamentepermanente/estacionário
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime Turbulento
Aproximações de Reynolds(Reynolds-averaged equations)
3. Média de conjunto (Ensemble averaging)
( )
n
tu
U
n
iij
nj
∑=
∞→= 1
)(~
lim
As propriedades médiasvariam com o tempo.A estatística requer soluções periódicas.
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Média temporal aplicada às variáveis dependentes e aos princípios de “conservação”
representa qualquer uma das variáveis dependentes(escoamento incompressível u,v,w,p)
i
t
ti
Ti
T
dtTo
o Φ==∫
+
∞→
φφ
~
lim~
__
iφ~
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Decomposição das variáveis instantâneas
→
→Φ
→
+Φ=
i
i
ii
φ
φ
φφ
~
~
Variável instantânea
Valor médio
Flutuação em torno do valor médio
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Consequências da média temporal
→=∂
∂
→=∂
∂
→=∂
Φ∂
0
0
0
ix
t
t
φ
φ__
__
Derivada temporal do valor médio é nula
Média temporal das derivadas das flutuações é nula
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Termos lineares
0
~~
=∂
∂⇒
∂
∂+
∂
Φ∂=
∂
∂
tttt
φφφ
iiiii xxxxx ∂
Φ∂=
∂
∂⇒
∂
∂+
∂
Φ∂=
∂
∂ φφφ~~
___
___
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Termos não lineares
____
z
w
y
v
x
u
zw
yv
xu iiiiii
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ φφφφφφ~~~~~~~
~~
~~
~
jj
ij
j
ij
x
u
xU
x
u
∂
∂+
∂
Φ∂=
∂
∂ φφ~~
___
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
0
0
=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
y
v
x
u
z
W
y
V
x
U
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Equação da continuidade
- Flutuações de velocidade também satisfazem
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
−
∂
∂
∂
∂+
−
∂
∂
∂
∂+
−
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂+
−
∂
∂
∂
∂+
−
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂+
−
∂
∂
∂
∂+
−
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
wwz
W
xwv
y
W
ywu
x
W
xz
P
z
WW
y
WV
x
WU
vwz
W
zvv
y
V
yvu
x
V
xy
P
z
VW
y
VV
x
VU
uwz
U
xuv
y
U
yuu
x
U
xx
P
z
UW
y
UV
x
UU
νννρ
νννρ
νννρ
1
1
1
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Equações de transporte de quantidade de movimento
__
__ __
__ __
____
__
• Tensões de Reynolds• O número de equações é inferior ao número de
incógnitas
jiuuρ−
__
__
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
jiuuρ−
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Equações de transporte de
__ __ ____
___________
____ __ __
__ ____
• Sistema continua com menos equações do queincógnitas
__
( )
k
j
k
i
i
ji
j
i
i
j
kji
k
i
j
j
i
k
j
ki
k
iji
k
ji
k
jiji
x
u
x
u
x
uu
x
pu
x
puuuu
x
x
u
x
up
x
Uuu
x
Uuu
x
uuU
t
uu
Dt
uDu
∂
∂
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂=
νν
ρ
ρ
2
1
2
2
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de tensões de Reynolds
- 6 equações de transporte adicionais
- A maioria dos termos das equações de transportedas tensões de Reynolds tem de ser modelado,incluindo as flutuações de pressão
- Existem modelos que determinam as tensões deReynolds a partir de equações algébricas
- Anisotropia da turbulência está incluida no modelo
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Hipótese de Boussinesq: as tensões de Reynoldssão proporcionais aos gradientes de velocidade média
- A constante de proporcionalidade é designadapor viscosidade turbulenta
- Anisotropia da turbulência é difícil de modelar. Maioria dos modelos são isotrópicos
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Equações de Reynolds
tef
efefef
efefef
efefef
z
W
zy
W
z
V
yx
W
z
U
xz
P
z
WW
y
WV
x
WU
y
W
z
V
zy
V
yx
V
y
U
xy
P
z
VW
y
VV
x
VU
x
W
z
U
zx
V
y
U
yx
U
xx
P
z
UW
y
UV
x
UU
ννν
νννρ
νννρ
νννρ
+=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
21
21
21
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Equações de Reynolds
−νt é a viscosidade turbulenta
- Escala de velocidade vezes escala de comprimentoda turbulência
- Diferentes tipos de modelos disponíveis
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelos algébricos
- Escala de comprimento da turbulência
- Escala de velocidade da turbulência
ωωrr
→l
Comprimento de mistura
é o vector vorticidade
→= yl κ
ωνr2
lt =
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelos algébricos
- Escala de comprimento da turbulência é multiplicadapor uma função de amortecimento na vizinhançada parede. Tem também de ser alterado para a região exterior da camada limite e para jactos
-Modelo simples, mas com muitas limitações. Implementação numérica pode ser complicada emescoamentos complexos
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelos de 1 equação (antigos)
- Escala de comprimento da turbulência é o comprimento de mistura dos modelos algébricos
- Escala de velocidade é obtida da equação dede transporte de energia cinética da turbulência
222
2
1wvuk ++=
________
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Energia cinética da turbulência, k
- Equação de transporte(balanço)
2
2
2
2
11
∂
∂−
∂
∂+
+
∂
∂−
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂=
j
i
j
jiij
jj
iji
j
j
x
u
x
k
uuupuxx
Uuu
x
kU
t
k
Dt
Dk
νν
ρ
_____
__
__
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
→
+
∂
∂−
→
∂
∂−
→∂
∂
jiij
j
j
iji
j
j
uuupux
x
Uuu
x
kU
2
11
ρ
___
__
__
Convecção
Produção de k
Difusão turbulenta
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
→
∂
∂−
→∂
∂
2
2
2
j
i
j
x
u
x
k
ν
ν
__Difusão viscosa
Taxa de dissipação, ε
• Maioria dos termos tem de ser modelada como veremos à frente para os modelos de 2 equações
Aerodinâmica I
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelos de uma equação
Spalart & Allmaras
( ) ( )[ ]
→→
−∇⋅∇+∇+⋅∇+=
∂
∂+
∂
∂
wvwbb
wwb
s
b
ffccc
dfccSc
yV
xU
,,,
~~~~~1~~
~~
1121
2
121
νννννν
σν
νν
νν ~1vt f=
FunçõesConstantes
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelo de uma equação de Spalart & Allmaras
- Aplicável junto à parede
- Viscosidade turbulenta proporcional à variáveldependente
- Necessita da distância à parede,d, e na versão original da localização da transição
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelos de 2 equações: escala de velocidade é k
- Modelo k-ε
→
−
∇
+⋅∇+=
∂
∂+
∂
∂
−
∇
+⋅∇+=
∂
∂+
∂
∂
εµ
ε
σσ
εε
σ
ννν
εεε
εσ
ννν
,,,, 21
2
2
2
1
2
k
tt
k
tt
CCC
kCS
kC
yV
xU
kSy
kV
x
kU
εν µ
2k
Ct =
Constantes
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelo k-ε
- Muito popular no cálculo de jactos e em escoamentoscom transmissão de calor
- Pouco adaptado a escoamentos com gradiente de pressão adverso
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelo k-ε
- Não é válido junto a paredes
- Pode ser combinado com um modelo de 1 equaçãojunto a paredes (modelo de 2 camadas)
- Existem variadas formulações de baixos números deReynolds para se poder aplicar junto a paredes
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelo k-ω
( )
→→
−∇⋅∇−
∇
+⋅∇+=
∂
∂+
∂
∂
−
∇
+⋅∇+=
∂
∂+
∂
∂
ωω
ω
ω
σσαββ
βωωω
ωσ
ννα
ωω
ωβσ
ννν
F
kF
Sy
Vx
U
kkSy
kV
x
kU
k
t
k
tt
,,,,*
22
*2
ων
kt =
Constantes Função
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelo k-ω
- Pode-se aplicar junto a paredes
- ω tende para infinito na parede
- Existem várias formulações sendo a mais populara SST (shear-stress transport) que inclui um limitadorpara a viscosidade turbulenta
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Modelos de viscosidade turbulenta
- Modelo k-ω
- Muito popular no cálculo de escoamentos em gradiente de pressão adverso
- Implementação numérica não é trivial e em algumasversões (SST por exemplo) requer a distância àparede
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
- Número de equações é inferior ao número de incógnitas
- Única tensão de Reynolds retida:-ρuv
Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Aproximações de camada limite
__
−
∂
∂
∂
∂+−=
∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂
∂
uvy
U
ydx
dP
y
UV
x
UU
y
V
x
U
ρµρρ
11
0
__
Aerodinâmica I
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Aproximações de camada limite
- Análise das tensões de Reynolds desprezáveis temde ser experimental
Aerodinâmica I
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Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds
• Aproximações de camada limite
- Equação integral de von Kármán mantém a mesmaforma
uvy
U
dyy
turblamturblamT
w
hh
TT
ρτµττττ
ρ
τ
ρ
ττ
ρ
−=∂
∂=+=
−=
=
∂
∂∫
,
1
00
com__
Aerodinâmica I
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Escoamento em Regime TurbulentoPerfil de velocidade média, U
• Camada da parede:
- Zona de equilíbrio local. Produção de k ≡ Dissipação de k (ε)
- Na parede, y=0, a equação de balanço de quantidade de movimento na direcção xreduz-se a
dx
dP
y
T =∂
∂τ
Aerodinâmica I
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Escoamento em Regime TurbulentoPerfil de velocidade média, U
• Camada da parede:
- Admitindo que junto à parede os efeitos convectivos são desprezáveis (U�0)
- Para gradientes de pressão próximos de zeroa camada da parede é uma região de tensãoconstante, τT≈τw
ydx
dPwT +=ττ
Aerodinâmica I
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Escoamento em Regime TurbulentoPerfil de velocidade média, U
• Camada da parede:
- Região em que as 3 variáveis fundamentais (LMT)para construir parâmetros adimensionais são
- Massa específica, ρ
- Viscosidade do fluido, ν
- Tensão de corte na parede, τw
Aerodinâmica I
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Escoamento em Regime TurbulentoPerfil de velocidade média, U
• Camada da parede:
- Velocidade de fricção (friction velocity):
- Comprimento de referência
2
f
ew
CUu ==
ρ
ττ
τ
ν
uLref =
Aerodinâmica I
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Escoamento em Regime TurbulentoPerfil de velocidade média, U
• Sub-camada linear:
- Para valores de y muito pequenos (-ρuv�0)
- Integrando e aplicando a condição de nãoescorregamento (y=0⇒U=0)
y
UlamwT
∂
∂=== µτττ
νρ
τ
µ
τ yyU ww
==
Aerodinâmica I
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Escoamento em Regime TurbulentoPerfil de velocidade média, U
• Sub-camada linear:
- Em termos adimensionais
ν
ν
ν
ν
νρ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
yuy
u
UU
yUyu
u
U
u
u
yu
u
U
==
=⇔=
=
++
++
Aerodinâmica I
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• Sub-camada linear válida para
- uτ=1m/s, νar=1,5×10-5⇒ y<7,5×10-5m
Escoamento em Regime TurbulentoPerfil de velocidade média, U
• Consequências:
- Experimentalmente é muito complicado determinara tensão de corte na parede a partir de
- Numericamente a aplicação directa da condiçãode não escorregamento requer malhas com
5<+y
12 <+y
0=
∂
∂
yy
U
Aerodinâmica I
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• Sub-camada linear válida para
Escoamento em Regime TurbulentoPerfis das variáveis dos modelos de turbulência
- Modelo de Spalart & Allmaras
- Energia cinética da turbulência, k
- “Frequência” da turbulência, ω
5<+y
νννκν ~~,~ == +++ y
( ) 2625.05.0,
*
τ
ββukkyCk k == +++++
( )( ) ( ) 22,6 τωνωβω uy == +++
Aerodinâmica I
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• Camada tampão,
Escoamento em Regime TurbulentoPerfil de velocidade média, U
- Nesta região a maior contribuição para a tensão total passa de origem laminar a turbulenta (Reynolds)
- Para a tensão turbulenta (Reynolds)é practicamente nula
- Para as tensões de corte de origemturbulenta (Reynolds) são predominantes
50305 −<< +y
5≤+y
5030 −=+y
Aerodinâmica I
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• Camada tampão,
Escoamento em Regime TurbulentoPerfil de velocidade média, U
- A zona do perfil de velocidade com y+ inferiora 30-50 é designada por sub-camada viscosa
50305 −<< +y
Aerodinâmica I
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• Lei da parede,
Escoamento em Regime TurbulentoPerfil de velocidade média, U
- Tensão turbulenta (Reynolds) é predominante
- Análise dimensional aplicada à região detensão aproxidamente constante
- O gradiente de velocidade é dado por
5030 −>+y
=
=
=
∂
∂
ννννντττττττ yu
gy
uyuf
yu
y
uyuf
u
y
U''
2
=
ντ
τ
yuf
u
U
Aerodinâmica I
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• Lei da parede,
Escoamento em Regime TurbulentoPerfil de velocidade média, U
5030 −>+y
y
u
y
U
constyu
g
κ
κν
τ
τ
=∂
∂
=≅
1
- Verifica-se experimentalmente que a função
donde
- Integrando
( ) CyUCyu
u
U+=⇔+
= ++ ln
1ln
1
κνκτ
τ
Aerodinâmica I
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Escoamento em Regime TurbulentoPerfil de velocidade média, U
2,5
41,0
≅
=
C
κ
• Lei da parede, 5030 −>+y
Aerodinâmica I
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- Pode-se determinar experimentalmente atensão de corte na parede medindo a velocidademédia numa região suficientemente afastadada parede
- As condições de fronteira de um cálculo numéricopodem ser aplicadas na região da lei da parede.Sub-camada viscosa é evitada.
• Lei da parede,
Escoamento em Regime TurbulentoPerfil de velocidade média, U
5030 −>+y
Aerodinâmica I
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Escoamento em Regime TurbulentoPerfis das variáveis dos modelos de turbulência
- Modelo de Spalart & Allmaras
- Energia cinética da turbulência, k
- “Frequência” da turbulência, ω
νννκν ~~,~ == +++ y
2,1 τµ ukkCk == ++
( ) ( ) 2,1 τµ ωνωκω uyC == +++
• Lei da parede, 5030 −>+y
Aerodinâmica I
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1. Evolução linear na sub-camada linear,
2. Evolução semi-logarítmica na lei da parede,
3. Transição contínua de 1 para 2 ao longo da camada tampão
Escoamento em Regime TurbulentoPerfil de velocidade média, U
++ = yU
5<+y
( ) 2,541,0ln1
≅=+= ++CkCyU
κ
δ2,01,0,5030 −<−>+yy
Aerodinâmica I
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3. Transição contínua de 1 para 2 ao longo da camada tampão
Escoamento em Regime TurbulentoPerfil de velocidade média, U
y+
u+
100
101
102
1030
5
10
15
20
25Viscous sublayer
Law of the wall
Blending, [8]
Aerodinâmica I
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4. Desvio do perfil em relação à lei semi-logarítmica onde a velocidade tende para
Escoamento em Regime TurbulentoPerfil de velocidade média, U
+eU
f
ee
Cu
UU
2==+
τ
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• Perfil tipo potência
• Parâmetros integrais
Escoamento em Regime TurbulentoFormas simplificadas do perfil de velocidade média
n
e
y
U
U1
=
δ
( )( ) nH
nn
n
n
21
211
1*
+=++
=+
=δ
θ
δ
δ
Aerodinâmica I
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δ=≠∂
∂y
y
U0
• Perfil tipo potência
1. Não respeita a evolução da sub-camada linear
2. Não respeita a lei da parede
3.
4.
Escoamento em Regime TurbulentoFormas simplificadas do perfil de velocidade média
n
e
y
U
U1
=
δ
0=∞=∂
∂y
y
U
em
em
Aerodinâmica I
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• Perfil tipo potência
- Por comparação com resultados experimentais
Escoamento em Regime TurbulentoFormas simplificadas do perfil de velocidade média
n
e
y
U
U1
=
δ
730
1070
70
−≈→>
−≈→<
≈→=
ndx
dP
ndx
dP
ndx
dP
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• Integração da equação integral de von Kármán
• Perfil tipo potência
• τw obtido a partir de uma lei de fricção para tubosem escoamento completamente desenvolvido
Escoamento em Regime TurbulentoEscoamento em gradiente de pressão nulo
7
1
=
δ
y
U
U
e
maxmax
4/1
2
8,0
3164,021
4
UURUU
DURR
U
emed
medee
med
w
≈≈=
===−
δ
νρ
τλ
2
e
w
Udx
d
ρ
τθ=
Aerodinâmica I
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• Tensão de corte na parede
• Equação integral de von Kármán com δ como variável dependente
Escoamento em Regime TurbulentoEscoamento em gradiente de pressão nulo
41
20225,0
=
δ
ν
ρ
τ
ee
w
UU
41
0225,072
7
=
δ
νδ
eUdx
d
Aerodinâmica I
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• Admitindo regime turbulento desde x=0 (δ=0)
Escoamento em Regime TurbulentoEscoamento em gradiente de pressão nulo
51
51
51
51
*
51
072,00576,0
29,1036,0
046,037,0
−−
−
−−
==
==
==
xx
x
xx
eDef
e
ee
RCRC
HRx
Rx
Rx
θ
δδ
Aerodinâmica I
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• Qualitativamente o efeito é semelhante ao analisado em regime laminar
• Perfil mais cheio para gradiente favorável menoscheio para gradiente adverso
Escoamento em Regime TurbulentoEfeito do gradiente de pressão
Aerodinâmica I
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• Gradientes de velocidade média na zona exteriordo perfil fundamentais para o arrastamento (produçãode energia cinética da turbulência proporcional aosgradientes de velocidade média)
Escoamento em Regime TurbulentoEfeito do gradiente de pressão
Aerodinâmica I
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Escoamento em Regime TurbulentoEfeito do gradiente de pressão
• Efeito na camada da parede
• Validade da lei da parede em escoamento separadoé bastante duvidosa
Aerodinâmica I
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
• Escoamento em regime turbulento resiste maisà separação do que em regime laminar.
1. Perfil de velocidade mais cheio junto à parede
2. Difusão muito superior à difusão em regime laminar (separação depende da razão entreforça de pressão e força de corte)
Escoamento em Regime TurbulentoEfeito do gradiente de pressão
Aerodinâmica I
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Escoamento em Regime TurbulentoControlo de Camada Limite
• Transição forçada: rugosidade ou arame de transição. Objectivo é retardar ou eviter a ocorrência de separação da camada limite
826≥=ν
arameee
dUR
arameCritério de Gibbings
Aerodinâmica I
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Escoamento em Regime TurbulentoControlo de Camada Limite
Aerodinâmica I
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Escoamento em Regime TurbulentoControlo de Camada Limite
• Sucção na parede. Retarda (ou evita) a separação da camada limite e atrasa a transição a regime turbulento
Aerodinâmica I
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Escoamento em Regime TurbulentoControlo de Camada Limite
• Sopro. Retarda ou evita a separação da camada limite,mas favorece a transição a regime turbulento
Aerodinâmica I
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Escoamento em Regime TurbulentoControlo de Camada Limite