Denomina-se equação polinomial ou equação algébrica de grau n, na variável x e C, toda equação que pode ser reduzida à forma:

1. Conceitos Iniciais

Nessa igualdade an, an1, ... , a2, a1 e a0 são números complexos chamados coeficientes; n IN*; an 0 e a0 é o termo independente.Exemplos: 3x - 4 = 0 é uma equação algébrica do 1º grau.2x2 5x + 8 = 0 é uma equação algébrica do 2º grau.4x3 + 5x2 3x + 4 = 0 é uma equação algébrica de grau 3.x5 2/3x4 + 3x 6 = 0 é uma equação algébrica de grau 5

aannxxn n + a+ an-1n-1xxn-1n-1 + a + an-2n-2xxn-2n-2 + ... + a + ... + a11xx11 + a + a00 = 0 = 0.

Denomina-se raiz ou zero de uma equação polinomial P(x) = 0 todo número complexo para o qual P() = 0 é uma sentença verdadeira.

  é raiz de P(x) é raiz de P(x) P( P() = 0) = 0

Na equação algébrica x3 + 2x2 13x + 10 = 0, por exemplo, temos:

2 é raiz da equação, pois:

(2)(2)33 + 2 + 2 (2) (2)22 13 13 (2) +10 = 0 (2) +10 = 0

 3 não é raiz da equação, pois:

(3)(3)33 + 2 + 2 (3) (3)22 13 13 (3) + 10 = 16 (3) + 10 = 16 0 0

2. Raiz ou Zero de Uma Equação

Chamamos de conjunto solução ou conjunto verdade, num certo conjunto universo U, o conjunto das raízes da equação algébrica que pertencem a U.

Quando não citarmos o conjunto universo de uma equação algébrica estaremos considerando-o como sendo o conjunto dos números complexos.

Resolver uma equação algébrica é encontrar o seu conjunto solução ou conjunto verdade.

3. Conjunto Solução

Nas equações do 1º e do 2º grau, os zeros ou raízes da equação são obtidos por fórmulas que envolvem os coeficientes das equações, as operações fundamentais e a extração de raízes.ax + b = 0 com a 0 é uma equação do 1a grau cuja raíz é:

ax2 + bx + c = 0 com a 0 é uma equação do 2º grau cujas raízes são:

, com = b2 4ac.

4. Teorema Fundamental da Álgebra

a

bS

a

b

a

be

a

b

22

a

b

a

bS

2,

2

Para a resolução de equações de grau igual ou maior que 3, utilizamos métodos baseados no teorema fundamental da Álgebra, enunciado abaixo: 

Toda equação algébrica P(x) = 0, de grau n (n Toda equação algébrica P(x) = 0, de grau n (n 1), tem pelo menos uma raiz real 1), tem pelo menos uma raiz real ou complexa.ou complexa.

4. Teorema Fundamental da Álgebra

Observe os polinômios a seguir e as suas raízes:

PP11(x) = 4x (x) = 4x 12 de raiz 3 12 de raiz 3

PP22(x) = x(x) = x22 5x + 6 de raízes 2 e 3 5x + 6 de raízes 2 e 3

PP33(x) = x(x) = x33 + x + x22 4x - 4 de raízes 4x - 4 de raízes 2, 2, 1 e 21 e 2

PP44(x) = x(x) = x44 5x 5x22 36 de raízes 36 de raízes 3, 3, 2i e 3, 3, 2i e 2i2i

Cada um dos polinômios acima pode ser escrito nas seguintes formas fatoradas: 

P1(x) = 4x 12 PP11(x) = 4(x (x) = 4(x 3) 3)

P2(x) = x2 5x + 6 PP22(x) = (x (x) = (x 2)(x 2)(x 3) 3)

P3(x) = x3 + x2 4x 4 PP33(x) = (x + 1)(x (x) = (x + 1)(x 2)(x + 2) 2)(x + 2)

P4(x) = x4 5x 36 PP44(x) = (x (x) = (x 3)(x + 3)(x 3)(x + 3)(x 2i)(x + 2i) 2i)(x + 2i)

5. Teorema da Decomposição

De maneira geral, todo polinômio

P(x) = aP(x) = annxxnn + a + ann11xxnn11 + ... + a + ... + a22xx22 + a + a11x + ax + a00

pode ser escrito na forma fatorada:

  P(x) = aP(x) = ann(x (x 11) (x ) (x 22) ... (x ) ... (x nn))

em que 1, 2 ...,n são as raízes de P(x).

Daí, podemos enunciar o seguinte teorema:

Toda equação polinomial P(x) = 0, de grau n, nToda equação polinomial P(x) = 0, de grau n, n1, tem exatamente n raízes reais ou complexas.1, tem exatamente n raízes reais ou complexas.

A forma fatorada de P(x) = an(x 1)(x 2) ... (x n) mostra que o conjunto solução da equação P(x) = 0 tem no máximo n elementos, pois não sabemos se os números 1, 2, 3, ..., n são todos

distintos dois a dois. Considerando que a ordem dos fatores não altera o produto, essa decomposição é única.

5. Teorema da Decomposição

As raízes de uma equação algébrica podem ser todas distintas ou não.

Se um número for uma só vez raiz de uma equação algébrica, ele será chamado raiz simples.

Se uma equação algébrica tiver duas raízes iguaisduas raízes iguais a um certo número, esse número será uma raiz de multiplicidade 2raiz de multiplicidade 2, isto é, será uma raiz duplaraiz dupla; se tiver três três raízes iguaisraízes iguais, o número será uma raiz de multiplicidade 3raiz de multiplicidade 3, isto é, será uma raiz triplaraiz tripla, e assim sucessivamente.

Seja a equação algébrica:

(x (x 2) 2)22.(x + 1).(x + 1)33.(x .(x 3) = 0, 3) = 0,

que pode ser colocada na forma:

(x (x 2)(x 2)(x 2)(x + 1)(x + 1)(x + 1)(x 2)(x + 1)(x + 1)(x + 1)(x 3) = 0. 3) = 0.

6. Multiplicidade de uma raiz

Podemos observar que a equação tem 6 raízes:uma raiz dupla igual a 2; uma raiz tripla igual a 1; e uma raiz simples igual a 3.

De uma maneira geral, se um polinômio P(x) é tal que:

P(x) = (x P(x) = (x ))mm Q(x) Q(x)

com Q() 0, dizemos que é raiz de multiplicidade m da equação P(x) = 0.

OBSERVAÇÃO: Toda equação algébrica, cujo termo independente é zero, admite o número zero como raiz de multiplicidade igual ao menor expoente da incógnita.Toda equação algébrica, cujo termo independente é zero, admite o número zero como raiz de multiplicidade igual ao menor expoente da incógnita.

Exemplo:

xx33 – 4x – 4x22 + 5x = 0 + 5x = 0 x(x x(x22 – 4x + 5) = 0 – 4x + 5) = 0 uma raiz nula. uma raiz nula.

6. Multiplicidade de uma raiz

Todo polinômio, com coeficientes reais, que admite uma raiz complexa não real (a + bi, com b ≠ 0) admite também o seu conjugado (a – bi, com b ≠ 0).

7. Teorema das Raízes Complexas

Observe que se 1 + i é raiz de P(x), então seu conjugado 1 – i, também será.

Exercício Resolvido 1:Dado P(x) = x4 + x2 - 2x + 6, verificar se 1 + i é raiz de P(x).

Resolução:P(1 + i) = (1 + i)4 + (1 + i)2 – 2(1 + i) + 6

P(1 + i) = – 4 + 2i – 2 – 2i + 6

P(1 + i) = 0

Observações Importantes:1) Se um número complexo é raiz de multiplicidade m de um

polinômio, então seu conjugado também será;2) Numa equação de terceiro grau, pelo menos uma das

raízes será real. Aliás, numa equação de grau ímpar pelo menos uma das raízes será real.

3) O número de raízes complexas, não reais, de um polinômio será sempre par (de duas em duas – a raiz e seu conjugado)

Exercício Resolvido 2:Qual o menor grau possível para uma equação polinomial de coeficientes reais que admita as raízes -2, 3i e 1 – i?

Resolução:

Incluindo os conjugados podemos perceber que a equação possui pelo menos 5 raízes... portanto, no mínimo, GRAU 5.

Exercício Resolvido 3:Resolver, em C, a equação polinomial x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 = 0 sabendo que 2i é uma de

suas raízes.

Resolução:

•Se 2i é raiz, então P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 = 0 é divisível por (x é divisível por (x – 2i)– 2i);

•- 2i , conjugado de 2i, também é raiz, então P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 = 0 é divisível por (x + 2i)é divisível por (x + 2i);

•Se P(x) é divisível por (x - 2i) e também é divisível por (x + 2i), então ele será divisível pelo produto (x – 2i) . (x + 2i) = xserá divisível pelo produto (x – 2i) . (x + 2i) = x22 + 4 + 4;

•Usando a regra da chave efetue a divisão de P(x) por x2 + 4;

•A partir desta divisão percebemos que a forma fatorada de P(x) pode ser escrita como (x2 + 4) . (x2 – 2x - 3) = 0;

1282 234 xxxx 402 xx2x234 40 xxx

xxx 832 23

x2

xxx 802 23

1203 2 xx

3

1203 2 xx

0

•Portanto, para achar as demais raízes de P(x) basta igualar o quociente Q(x) encontrado a zero:

0322 xx 1"3' xex

S = {2i, -2i, 3, -1}

i2

2 1 8 12

i22 i43 i6

i2 2 3

0

0

0322 xx

1

1"3' xexdemaisraízes

1

1

Também poderíamos chegar aos mesmos resultados através do dispositivo de Briot-Ruffini:

Exercício Resolvido 4:Os números complexos 1 + i e 1 – 2i são raízes de um

polinômio com coeficientes reais de grau 8. O número de raízes reais deste polinômio, no máximo, é:

Resolução:

•Se 1 + i é raiz, então 1 – i também é raiz;

•Se 1 – 2i é raiz, então 1 + 2i também é raiz

•Deste modo P(x) terá, no mínimo, 4 raízes complexas, e portanto, no máximo,

4 raízes reais

Exercício Resolvido 5:O polinômio x4 + x2 – 2x + 6 = 0 admite 1 + i como raiz,

no qual i2 = -1. O número de raízes reais deste polinômio é:

Resolução:

•Pelo enunciado sabemos que 1 + i é raiz, e também o seu conjugado 1 - i;

•P(x) é divisível por [x - (1 + i)] e também é por [(x – (1 - i)]é divisível por [x - (1 + i)] e também é por [(x – (1 - i)], então ele será divisível pelo produto: [(x – 1) - i] . [(x – 1) + i] = (x – 1)[(x – 1) - i] . [(x – 1) + i] = (x – 1)22 – i – i22 = x = x22 – 2x + 2 – 2x + 2

•Usando a regra da chave efetue a divisão: P(x) por x2 – 2x + 2;

620 234 xxxx 222 xx2x234 22 xxx

xxx 22 23

x2

xxx 442 23

663 2 xx

3

663 2 xx

0

•Portanto, para achar as demais raízes de P(x) basta igualar o quociente Q(x) encontrado a zero:

0322 xx 21"21' ixeix

Nenhuma raiz real

Exercício Resolvido 6:Resolva a equação 3x4 – 8x3 - 5x2 + 36x – 20 = 0,

sabendo que 2 + i é uma de suas raízes.

Resolução:

•Se 2 + i é raiz, então 2 – i também é;

•Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini para baixar o grau da equação temos:

3

3i2

8 5 36 20

i32 i412 i48

i2 4 4

0

0

0443 2 xx

3

2"3

2' xexdemaisraízes

Se uma equação polinomial,

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x1 + a0 = 0, de coeficientes inteiroscoeficientes inteiros, admitir uma raiz racional e possuir , admitir uma raiz racional e possuir

raiz(es) racional(is), elas estarão no conjunto p/qraiz(es) racional(is), elas estarão no conjunto p/q, tal que p seja divisor inteiro de a0 e q seja divisor de an, em que p, q são inteiros, q ≠ 0, p e q primos entre si.

8. Teorema das Raízes Racionais

Divisores inteiros de a0: (p) = ± 3, ± 1.

Exercício Resolvido 7:Encontrar as raízes racionais da equação:

2x4 - 3x3 - 6x2 – 8x – 3 = 0.

Resolução:Então, temos an = 2, a0 = -3.

Divisores inteiros de an: (q) = ± 2, ± 1.

Agora, basta testar todas elas na equação, ou por substituição ou pelo dispositivo de Briot-Ruffini.

Portanto, de acordo com o teorema das raízes racionais, as possíveis raízes da equação são da forma:

2

1,2

3,1,3

q

p

P(-3) = 210 → -3 não é raiz.

P(3) = 0 → 3 é raiz......

2

1

3 6 8 3

4 4 6 02

2

-1/2 é raiz.Por verificação conclui-se que apenas 3 e -1/2 são raízes racionais.

OBSERVAÇÕES:OBSERVAÇÕES: Este teorema não garante a existência de raízes racionais, mas, no caso de elas existirem, não garante a existência de raízes racionais, mas, no caso de elas existirem,

mostra como obtê-lasmostra como obtê-las. O teorema possibilita a formação de um conjunto de possíveis raízes racionais obtidas dos

divisores de an e a0. Se nenhum elemento desse conjunto for raiz da equação, esta não admitirá

raízes racionais. Se aSe ann = ±1 e os demais coeficientes são inteiros, a equação não admite = ±1 e os demais coeficientes são inteiros, a equação não admite

raízes fracionáriasraízes fracionárias, podendo, entretanto, admitir raízes inteiras que são divisores de an.

Em toda equação algébrica cuja soma dos coeficientes for igual a zero, o número 1 será Em toda equação algébrica cuja soma dos coeficientes for igual a zero, o número 1 será raiz da equaçãoraiz da equação.

8. Teorema das Raízes Racionais

Exercício Resolvido 8:Resolva a equação x3 - 5x2 + 9x – 5 = 0.

Resolução:

•Divisores inteiros de a0: (p) = ± 5, ± 1.

•Temos an = 1, a0 = -5.

•Divisores inteiros de an: (q) = ± 1.

•Portanto, de acordo com o teorema das raízes racionais, as possíveis raízes da equação são da forma:

5,1 q

p

•P(1) = 0 → 1 é raiz.

1

5 9 5

4 5 0

1

1

0542 xx

ix 2'

ix 2"

Exercício Resolvido 9:Resolva a equação x6 - 1 = 0, em C.

Resolução:

•1 é raiz de x3 – 1.

•Temos: x6 – 1 = (x3 - 1).(x3 + 1)

1

0 0 1

1 1 0

1

1

012 xx

2

31' ix

2

31"

ix

•-1 é raiz de x3 + 1.

1

0 0 1

1 1 0

1

1

012 xx

2

31' ix

2

31"

ix

Exercício Resolvido 10:Resolva, em C, a equação x4 – ax3 – bx2 - ax + 2 = 0, com a

e b números inteiros, sabendo que duas de suas raízes são números inteiros positivos e consecutivos.

Resolução:•Divisores inteiros de a0: (p) = ± 2, ± 1.

•Divisores inteiros de an: (q) = ± 1.

•Portanto, de acordo com o teorema das raízes racionais, as possíveis raízes da equação são da forma: 2,1/ qp•Com base no enunciado, 1 e 2 são raízes.

021.1.1.1 234 aba 32 ba

022.2.2.2 234 aba 18410 ba

18410

32

ba

ba 3a3b

•Agora que sabemos os valores de a e b, temos que a equação ficou assim:

02333 234 xxxx

•E sabemos ainda que 1 e 2 são raízes.

1

3 3 3 2

2 1 2

2 0 1

0

0

012 x

1

ixeix "' demaisraízes

1

1

Exercício Resolvido 11:Resolver a equação 2x4 – 5x3 – 2x2 - 4x + 3 = 0.

Resolução:•p {± 3, ± 1} e q {± 2, ± 1}.

•Portanto:

1,3,

2

1,2

3/ qp

•P(3/2) ≠ 0 P(-3/2) ≠ 0 P(3) = 0 P(-3) ≠ 0 P(-1/2) ≠ 0 P(1/2) = 0 P(1) ≠ 0 P(-1) ≠ 0

2

1

5 2 4 3

4 4 6

3 2 2

0

02

2

2

0222 2 xx2

31"

2

31' ixe

ix

2

31,

2

31,3,

2

1 iiS

É comum possuirmos alguma informação sobre as raízes de uma equação antes de resolvê-la. Por exemplo: uma raiz é o dobro da outra; uma raiz é dupla; o produto das raízes é 6; etc.

Quando já são conhecidas certas condições sobre as raízes de uma equação, podemos utilizar as Relações de GirardRelações de Girard, que são expressões envolvendo somas e produtos das raízes da equação e seus coeficientes.

9. Relações de Girard

Relações de Girard para equações do 2º grau

•Forma Geral: ax2 + bx + c = 0

•Raízes: x1 e x2

•Forma fatorada: a.(x – x1).(x – x2) = 0

•Desenvolvimento: ax2 – a(x1 + x2)x + ax1x2 = 0

•Comparação com a forma Geral: - a(x1+ x2) = b e ax1x2 = c b c

Desta forma temos: x1+ x2 = -b/a e x1x2 = c/a

As relações de Girard para equações do 2º grau são:

•Soma das raízes:

•Produto das raízes:

a

bxxS 21

a

cxxP 21

Relações de Girard para equações do 3º grau

•Forma Geral: ax3 + bx2 + cx + d = 0

•Raízes: x1, x2 e x3

•Forma fatorada: a.(x – x1).(x – x2).(x – x3) = 0

•Desenvolvimento:

ax3 – a(x1 + x2 + x3)x2 + a(x1x2 + x1x3 + x2x3)x – ax1x2x3 = 0

b c d

•Comparação com a forma Geral:

- a(x1+ x2 + x3) = b e a(x1x2 + x1x3 + x2x3) = c e - ax1x2x3 = d

Desta forma temos:

x1 + x2 + x3 = -b/a , (x1x2 + x1x3 + x2x3) = c/a e x1x2x3 = c/a

As relações de Girard para equações do 3º grau são:

•Soma das raízes:

•Soma dos produto das raízes, duas a duas:

a

bxxxS 3211

a

cxxxxxxS 3231212

•Produto das raízes: a

dxxxP 321

Relações de Girard para equações do 3º grau

•Forma Geral: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

•Raízes: x1, x2, x3 e x4

Repetindo o raciocínio dos casos anteriores temos que as relações de Girard para equações do 4º grau são: :

•Soma das raízes:

•Soma dos produto das raízes, duas a duas: a

bxxxxS 43211

a

cxxxxxxxxxxxxS 4342324131212

•Produto das raízes: a

exxxxP 4321

•Soma dos produto das raízes, três a três:

a

dxxxxxxxxxxxxS 4324314213213

Relações de Girard para equações de grau n

Generalizando:

•Equação: anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 = 0

•Soma das raízes:

•Soma dos produto das raízes, duas a duas:

an

aS n 11

n

n

a

aS 22

•Produto das raízes: n

n

a

aP 01

•Soma dos produto das raízes, três a três: n

n

a

aS 33

Exercício Resolvido 12:Sejam r, s e t as raízes da equação x3 – 4x2 + 6x – 5 = 0.

Calcular o valor de:

a) r + s + t

41

4

a

btsr

b) rs + rt + st

61

6

a

cstrtrs

c) rst

51

5

a

drst

d) 1/r + 1/s + 1/t

5

6111

rst

rsrtst

tsr

Exercício Resolvido 13:Resolva, a equação x3 – 8x2 + 19x – 12 = 0, sabendo que

uma das raízes é igual a soma das outra duas.

Resolução:•vamos chamar as raízes de x1, x2 e x3

•Das relações de Girard, temos:

8

1

83211

a

bxxxS

191

193231212 a

cxxxxxxS

12

1

12321

a

dxxxP

321 xxx

8321 xxx

811 xx

82 1 x41 x

4

8 19 12

4 3 0

0342 xx 1"3' xexdemaisraízes

1

1

Agora que temos uma das raízes, aplicamos o dispositivo de Briot-Ruffini, baixamos o grau da equação e encontramos as demais raízes.

Exercício Resolvido 14:Sabendo que 2 – 3i é raiz da equação x3 – 6x2 + 21x – 26 =

0, determinar as demais raízes.

Resolução:•Se 2 – 3i é raiz, então 2 + 3i também é.

•Das relações de Girard, temos:

6

1

63211

a

bxxxS

632321 iix

6221 x461 x

21 x

2,32,32 iiS

Exercício Resolvido 15:Determinar o conjunto solução da equação 4x3 – 20x2 +

17x – 4 = 0, sabendo que ela admite uma raiz dupla.

Resolução:•Chamaremos as raízes de: r, r e s

•Das relações de Girard, temos:

rs 25 4

17 srrrrr 1 srr5 srr

12 sr

4

172 2 rsr

4

17252 2 rrr

0174012 2 rr

617

21 rour

Mas, qual destes valores?

Se r = 1/2 então: 4154

1.25 s

4,2

1S

Se r = 17/6 então:

3

2

3

1715

3

175

6

17.25

s

Se substituirmos os valores encontrados na 3ª relação (a do produto das raízes), vamos observar que quando r = 17/6 e s = - 2/3 a sentença obtida é falsa (não dá certo)

Já quando substituímos r = 1/2 e s = 4, o resultado encontrado é verdadeiro.

Deste modo, o conjunto solução da equação é:

Exercício Resolvido 16:Determine o valor de k, para que as raízes da equação

x3 – 3x2 – 6x + k = 0 formem uma progressão aritmética.

Resolução:•Chamaremos as raízes de: m – r, m, m + rm – r, m, m + r

•Das relações de Girard, temos:

3

1

3321

a

bxxx

3 rmmrm

33 m1m

Agora que sabemos que 1 é uma das raízes, vamos substituir x por 1 e calcular o valor de k

016131 23 k

0631 k

8k