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Aula 7:Mecânica Quântica e

Os Elementos

E-mail da turma: [email protected]: ufabcsigma

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mailto:[email protected]

Estudo do comportamento e das leis do movimento para partículas microscópicas

Antecedentes

Teoria da quantização da energia (M.Planck): E = h·f

Dualidade onda-partícula (L.de Broglie): λ = h / p

Princípio de incerteza (Heisenberg): Δx·Δp ≥ ħ/2, ΔE·Δt ≥ ħ/2

Energias de Bohr: En = -(Z2/n2)·E

0

Mecânica Quântica

Se o elétron é uma onda, qual é esta onda?

Na última aula. conhecemos o princípio de incerteza:

=> A posição de uma partícula não é definida com precisão.

Ela se encontra com certa probabilidade na lugar x1, com certa

probabilidade no lugar x2, etc.

A probabilidade de estadia da partícula depende da posiçãox = (x,y,z).

Ela é descrita por uma função, que depende da posição, afunção de onda Ψ(x) (letra grega psi).

A função de onda é complexa, quer dizer os valores dela têm uma parte real e uma parte imaginária.

A probabilidade de encontrar a partícula entre a posição xe x+dx = (x+dx,y+dy,z+dz) , P(x)dx, é dada pelo quadrado do módulo da função de onda:

P(x)dx = |Ψ(x)|2dx

Como a distribuição da probabilidade de estadia da partícula pode mudar com o tempo, em geral a função de onda também depende do tempo: Ψ(x,t), P(x,t)dx = |Ψ(x,t)|2dx

A Função de Onda

Exemplo de uma função de onda e a distribuição de probabilade correspondente

=>

Neste caso, os máximos e mínimos da parte real da função de onda coincidem com os pontos zero da parte imaginária, e vice-versa.Como a distribuição de probabilidade é a soma dos quadrados das partes real e imaginária, os mínimos e máximos não aparecem na distribuição de probabilidade.

Todos os fenômenos quânticos que já conhecemos, a quantização da energia, a dualidade onda-partícula, o princípio de incerteza, etc., podem ser deduzidos a partir das propriedades das funções de onda.

P(x,t)=|Ψ(x,t)|2

x

x

Ψ(x,t) (parte real)

A Função de Onda

λ

Como determinar a função de onda?

A probabilidade de encontrar a partícula numa dada posição x depende do potencial naquela posição, V(x).

x

Potencial, por exemplo altura do chãoV(x) A probabilidade de encontrar a

partícula aqui é baixa,

aqui ela é intermediária,

e aqui alta

Física Clássica

Como determinar a função de onda?

Na física quântica também:

A probabilidade de encontrar a partícula numa dada posição x, e então, a função de onda Ψ(x), depende do potencial V(x).

Esta dependência é dada pela Equação de Schrödinger (1925):

onde m é a massa da partícula, e E é uma constante. Pode se mostrar que E é a energia da partícula.Uma função de onda corresponde a uma certa energia.

Física Quântica

Erwin Schrödinger

A Equação de Schrödinger

Isto é a equação de Schrödinger independente do tempo, que vale quando V(x), e, então, Ψ(x) não variam com o tempo.Para funções de onda independentes do tempo, normalmente se usa a letra psi minuscula, ψ(x).Para o caso independente do tempo, freqüentemente é possível encontrar soluções, q. d. funções de onda, reais (sem parte imaginária).

Da mesma maneira que a equação 7+x = 13 serve para determinar a incógnita x, a equação de Schrödinger serve para determinar uma função incógnita, a função de onda ψ(x), quando o potencial V(x) é dado. Procura-se funções que satisfazem esta equação.


A Equação de Schrödinger relata a função procurada ψ(x) com o seu derivado d2ψ(x)/dx2.Uma equação deste tipo é chamada equação diferencial, e existem métodos para resolver equações deste tipo, em alguns casos simples.

=> Quando se sabe o potencial V(x) (por exemplo o potencial elétrico) de uma partícula em função da sua posição x, pode se determinar, usando a equação de Schrödinger, a função de onda ψ(x) e, então, a função probabilidade de estadia P(x) = |ψ(x)|2 da partícula.


Normalmente, há mais de uma solução ψi(x), i=1, ...

Isto significa que existem várias funções de onda possíveis, (análogo ás diferentes órbitas no átomo de Bohr).Cada função de onda ψ

i tem seu própria valor de energia E

i.

Quando as energias de duas funções de onda, ψi(x) e ψ

j(x), onde

i≠j, são iguais, Ei=E

j, se diz que este nível de energia é degenerado.

A Equação de Schrödinger é linear em ψ, o que significa que, se as funções de onda ψ

1 e ψ

2 são soluções (satisfazem a equação),

então a·ψ1+b·ψ

2 , onde a e b são constantes, também é uma

solução.

O Átomo de Hidrogênio

Um problema que pode ser resolvido usando a equaço de Schrödinger e aquele de encontrar a função de onda do elétron num átomo de hidrogênio (ou de um outro átomo com um só elétron), ou seja, determinar a probabilidade de encontrar o elétron na posição x, para cada posição x.

Como o massa do núcleo é muito maior do que aquela do elétron, o núcleo pode ser tido como parado no ponto zero do sistema de coordenadas.

Num átomo com um elétron,o potencial elétrico é dadopela distância entre o núcleoe o elétron, r = |x|:

V(r) = -Ze2/4πε0r


Este potencial e esféricamente simétrico.

=> É mais prático usar coordenadas esféricas polares,r, θ, φ.


Agora o problema é resolver a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio, ou seja, encontrar as funções de onda ψ(x) que satisfazem:

, com V(x) = -Ze2/4πε0|x|

Após alguns passos de matemática complicada, encontra-se que as soluções, as funções de onda do elétron, são da formaψ(x) := ψ

nlm(x) = R

nl(r)·Y

lm(θ,φ), onde

Rnl(r) depende só de r,

Ylm

(θ,φ) (= harmônicas esféricas) só depende de θ e φ,

n, l, m são números quânticos, que caracterizam as funções de onda:n = 1, 2, 3, ...: número quântico principall = 0, 1, ..., n-1: número quântico do momento angular, ou secundáriom (ou m

l) = -l, -(l-1), ..., -1, 0, 1, ..., l-1, l: número quântico magnético


As funções probabilidade de estadia do elétron Pnlm

que

correspondem às soluções n, l, m,

Pnlm

(x) = |ψnlm

(x)|2,

são chamadas orbitais, e são o análogo quanto-mecânico das orbitas dos elétrons.

Como os orbitais têm valores > 0 para regiões 3-dimensionais em torno do núcleo, as distâncias que os elétrons têm do núcleo não são bem definidas. Só se pode determinar distâncias médias <r>.


O que significam os números quânticos?

1. o número quântica principal n

n = 1, 2, 3, ...: determina a energia do elétron: En = -(Z2/n2)·E

0,

onde E0 = energia de Bohr.

As energias do Átomo de Hidrogênio mecanico-quântico são as mesmas do que no modelo de Bohr! Até bom, senão a mecânica quântica não conseguiria explicar o espectro de hidrogênio.

Todos as funções de onda com o mesmo n têm a mesma energia En

(são n2).

O conjunto das funções de onda com omesmo n é se chama camada.Deram letras às camadas.Exemplo: Se diz que um elétron com n=3 encontra-se na camada M.

n 1 2 3 4 5 ...

camada K L M N O ...



1. o número quântica principal n

n também é uma medida para a distância média <r> entre o elétron e o núcleo.

Esta é da ordem de rn = (n2/Z)·r

1,

onde r1 = raio de Bohr

As distâncias médias que os elétrons no Átomo de Hidrogênio mecanico-quântico têm do núcleo são da ordem dos raios das órbitas no modelo de Bohr!



2. o número quântico do momento angular, ou secundário, l

l = 0, 1, ..., n-1: determina o momento angular orbital do elétron:L = √l(l+1)·ħ, onde ħ = constante de Planck reduzidaSão quase os valores de Bohr, mas ao contrário do modelo de Bohr, não é o número quântico n que determina o momento angular.As funções de onda com omesmo n e l são da mesmasubcamada. Deram letras também.Exemplo: a subcamada com n=3, l=2 se chama 3d.

3. o número quântico magnético m (ou ml)

m (ou ml) = -l, -(l-1), ..., -1, 0, 1, ..., l-1, l: determina a componente z

do momento angular: Lz=m·ħ.

Quanto maior |m|, tanto mais achatado é o orbital na direção dos z.

l 0 1 2 3 4 5 ...

subcamada s p d f g h ...


Resumo dos orbitais (n = 1, 2, 3)

camada subcamada orbital


Resumo dos orbitais (n = 4)

camada subcamada orbital

n = 4

etc.


Os orbitais

O estado fundamental 1s: n=1, l=m=0

=> E = -E0, L = 0, <r> = r

1

- Esfericamente simétrica

- A probabilidade de estadiado elétron cai exponencialmentecom a distância do núcleo.


Os orbitais

Os outros orbitais s: l=m=0

=> L = 0

- Esfericamente simétricas

= r/r1


Os orbitais

Os orbitais p: l=1 (aqui 2p)

=> L = √2·ħ

- Formas de halteres

- existem 3 orbitais 2p, já que há 3 valores de m possíveis: m = -1, 0, 1


Os orbitais

Os orbitais d: l=2 (aqui 3d)

=> L = √6·ħ

- Existem 5 (m = -2, -1, 0, 1, 2)


Os orbitais

Os orbitais f: l=3 (aqui 4f)

=> L = √12·ħ

- Existem 7 (m = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3)


O spin do elétron

Os elétrons ainda têm um quartonúmero quântico, o número dospin, m

s, ou momento angular

intrínseco (ao contrário domomento angular orbital),

ou seja, do momento angularda rotação do elétron emtorno do próprio eixo, e nãoda revolução em torno do núcleo.(análogo à Terra no Sistema Solar)

O número quântico do spin de umelétron pode assumir apenas dois valores:m

s = ½ ou -½. Se diz: “spin pra cima” ou “spin pra baixo”.


O Estado fundamental do átomo de Hidrigênio

Resumo: O átomo de hidrogênio normalmente encontra-se no estado fundamental, quer dizer o estado de menor energia.

O único elétron está na camada 1s,n = 1, l = 0, m

l = 0, e seu spin é pra cima ou pra baixo,

ms = ±½ (tanto faz).

O Sistema periódico

E os outros átomos? Aqueles com mais de um elétron?

Como a camada K (=1s) é a camada de menor energia, será que todos os elétrons se encontram lá, alguns com spin pra cima e alguns com spin pra baixo?

Não, devido ao princípio de exclusão de Pauli, que diz que cada estado quântico n, l, m

l, m

s, pode ser ocupado por apenas um

elétron.

Ou seja: Cada orbital n, l, ml pode conter só dois elétrons, um com

spin pra cima e um com spin pra baixo.

No estado fundamental de um átomo com muitos elétrons, os elétrons ocupam os orbitais atômicos disponíveis, de modo a tornar a energia total do átomo a menor possível.

Quando se adiciona elétrons a um átomo, as camadas se enchem de baixo pra cima.

Diagrama de energias de um átomo com um elétron

, l = 0, 1, 2

, l = 0, 1, 2, 3

, l = 0, 1

, l = 0

Num átomo com um elétron, todos os orbitais com o mesmo n têm a mesma energia.Os níveis de energia são degenerados.

Porém, quando há mais de um elétron, os elétrons se repelem entre si, o que modifica os níveis de energia.

=> Desdobramento de níveis de energia.


4s, 4p, 4d, 4f

3s, 3p, 3d

2s, 2p

1s

Diagrama de energias em átomos multieletrônicos

Desdobramento de níveis de energia:

Em átomos multieletrônicos, para um dado n, as energias das subcamadas (dos orbitais com diferentes valores de l) aumentam quando l aumenta:s < p < d < f.

Agora podemos “encher o sistema periódico”, ou seja, encher as camadas e subcamadas de elétrons de baixa pra cima, simbolizando os elétrons por flechas, ↑ ou ↓, dependendo do spin.


Princípio da Construção (aumentando Z)

Z=1: Hidrogênio: 1 e- na camada 1s, Z=2: Hélio: 2 e- na camada 1s,p. e. com spin pra cima um com spin pra cima, e um pra baixo

Z=3: Lítio: 2 e- na camada 1s, 1 na 2s Z=4: Berílio: 2 e- na camada 1s, 2 na 2s



Continuando...

Regra de Hund (1927):"Os elétrons são emparelhados com spins contrários."Ou seja,durante o preenchimento das orbitais de um mesmo nível energético, deve-se colocar em primeiro lugar em todas elas um só elétron, todos com o mesmo spin, antes de se proceder à lotação completa dessas orbitais. Os próximos elétrons a serem colocados deverão apresentar spins antiparalelos em relação aos já presentes.



Continuando até o fim=> A tabela periódica de DimitriIvanovich Mendeleev (1869)

Período

Z aumenta:

Grupo Bloco


O formato da tabela periódica

A forma moderna da tabela periódica reflete a estrutura eletrônica fundamental dos elementos.

Os blocos da tabela periódica refletem a identidade dos últimos orbitais que são ocupados no processo de preenchimento.O número do período (da linha horizontal) é o número quântico principal da camada de valência. O número do grupo (coluna) está relacionado ao número dos elétrons de valência.

Elementos no mesmo período têm números atômicas da mesma ordem.

Elementos no mesmo grupo têm propriedades químicas similares, por terem o mesmo número de elétrons de valência ou de buracos na camada de valência (a última camada que contêm elétrons).


Tabela periódica atual www.iupac.org/reports/periodic_table/


Raio Atômico em função do Número Atômico Z

Z aumenta=> carga donúcleo aumenta=> Os elétronssão atraidosmais fortemente=> raio diminui

Quando umacamada estácheia, o próximoelétron vai prapróxima camada=> aumento brusco do raio

As subestruturas surgem devido às subcamadas.


Energia de Ionização em função do Número Atômico Z

Z aumenta=> carga donúcleo aumenta=> Os elétronssão atraidosmais fortemente=> E

i aumenta

Quando umacamada estácheia, opróximo elétronvai pra próximacamada=> muito menos fortemente ligado => Queda brusca de E

i

=> Anti-correlação entre raio atômico e energia de ionização.


subcamadas

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FIM pra hoje

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O Que a função de onda do elétron quer dizer?

Erwin Schrödinger


Soluções para o átomo de Hidrogênio

n l m Função Orbital

1 0 0 1,0,0 1s

2

0 0 2,0,0 2s

1-1 0+1

2,1,-12,1,02,1,1

2p(2px, 2py,

2pz)

3

0 0 3,0,0 3s

1-1 0+1

3,1,-13,1,03,1,1

3p(3px, 3py,

3pz)

2

-2-1 0+1+2

3,2,-23,2,-13,2,03,2,13,2,2

3d

(3d , 3dxy, 3dyz, 3dxz, 3d

)


Soluções para o átomo de Hidrogênio

ﾠ

E = -hW

n2

ﾠ

Ω =mee

4

8h3e02


Orbitais atômicos


Distribuição Radial dos Orbitais s, p e d e Carga Nuclear Efetiva

ﾠ

E -Zef hW

n2

Exercícios

1. Aponte uma razão para o aumento de Zef ser menor para um elétron 2p entre N e O do que entre C e N, dado que as configurações dos três átomos são C: [He]2s22p2, N: [He]2s22p3 e O: [He]2s22p4.

2. Dê as configurações eletrônicas do estado fundamental do átomo de Ti e do íon Ti3+.

Propriedades Periódicas

Raio Atômico


Carga Efetiva


Raio Iônico

Exercício

3. Arranje cada um dos seguintes pares de íons na ordem crescente do raio iônico: (a) Mg2+ e Ca2+; (b) O2- e F-.


Energia de Ionização

Exercício

4. Justifique o decréscimo na primeira energia de ionização entre o fósforo e o enxofre.


Afinidade Eletrônica

É a variação da entalpia padrão por mol de átomos quando um átomo na fase gasosa ganha um elétron.


Efeito do Par Inerte

A tendência a formar íons com carga duas unidades mais baixa do que a esperada para o número do grupo.


Relações Diagonais


Tabela Periódica

MetaisMetalóides ou SemimetaisNão-metais


Impacto das Propriedades Periódicas sobre os Materiais

CARACTERÍSTICAS DOS METAIS E NÃO-METAIS

Metais Não-Metais

Propriedades Físicas

Bons condutores de eletricidade Maus condutores de eletricidade

Maleáveis Não Maleáveis

Dúcteis Não Dúcteis

Lustrosos Não Lustrosos

Tipicamente: Tipicamente:

Sólido Sólido, líquido ou gás

Alto ponto de fusão Baixos pontos de fusão

Bons condutores de calor Maus condutores de calor

Propriedades Químcas

Reagem com ácidos Não reagem com ácidos

Formam óxidos básicos Formam óxidos ácidos

Formam cátions Formam ânions

Formam halogenetos iônicos Formam halogenetos covalentes


Tabela Periódica

Princípios gerais de mecânica quântica (revisão)

•Feynman Lectures, Cap. 3, Vol III•1. A probabilidade de um evento ocorrer pode ser representada quantitativamente pelo valor absoluto de um número complexo, chamado de amplitude de probabilidade.

•2. Quando houver mais de uma maneira de um evento ocorrer, a amplitude de probabilidade é a soma da amplitude de cada uma das possíveis maneiras.

•3. A amplitude de um evento pode ser escrita como o produto de amplitudes de eventos intermediarios. Por exemplo: a amplitude, A31 , de uma particula chegar na posição 3 a partir da posição 1, tendo passado pela posição 2 será A31 = A32 A21

•4. Se duas partículas não interagem, a amplitude total é o produto das amplitudes individuais.

Orbitais Atômicos

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