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Introdução à Teoria Quântica do Espalhamento:do Espalhamento por um Potencial ao Problema

de Muitos Corpos

Márcio H. F. Bettega

Departamento de Física

Universidade Federal do Paraná

[email protected]

Minicurso sobre Espalhamento - Aula 1/3 (Parte II)

Semana Acadêmica de Física 2017

Estrutura do minicurso

I Aula 1/3 (Parte II) (60 min):

X Definições básicas: descrição do espalhamento; tipos de colisões; canais; seçãode choque.

X Espalhamento por um potencial: equação de Schrödinger independente dotempo; condição de contorno para a função de onda de espalhamento; densidadede corrente de probabilidade; relação entre seção de choque diferencial(experimento) e amplitude de espalhamento (teoria); o teorema ótico.

X Equação de Lippmann-Schwinger; a função de Green da partícula livre;expressão para a amplitude de espalhamento; aproximação de Born; potencialcomplexo.

Definições Básicas: Descrição do Espalhamento

fonte (A) zθ

colimador

detetor

alvo (B)

I Vamos considerar o espalhamento das partículas do tipo A (partículas A) porpartículas do tipo B (partículas B):X o feixe de partículas A é colimado e monoenergético (pequena largura em tornode uma energia bem definida). A interação entre as partículas A pode serdesprezada (intensidade do feixe);X o alvo contém um grande número de partículas B (centros espalhadores), cujasdistâncias são maiores do que o comprimento de onda das partículas A (podemosignorar efeitos de coerência entre as ondas espalhadas pelos centrosespalhadores);X podemos considerar que cada partícula B atua como um centro espalhadorindependente. Neste caso podemos olhar o espalhamento de uma partícula A poruma partícula B;X queremos observar um certo número de eventos: contagem das partículas Aespalhadas, pelo detetor.

Definições Básicas: Tipos de Colisões

I Tipos de Colisões:

X espalhamento elástico: não há mudança na estrutura interna das partículas A eB,A + B→ A + B;

X espalhamento inelástico : ocorre mudança no estado interno das partículas Ae/ou B,A + B→ A∗ + B∗;

X reação: as partículas A e B se decompõe em n ≥ 2 partículas,A + B→ C + D ou A + B→ C1 + C2 + · · ·+ Cn.

I Ilustração: espalhamento de elétrons por moléculas de H2 (considerando apenas aestrutura eletrônica).

X espalhamento elástico: e− + H2 → e− + H2

X espalhamento inelástico: e− + H2 → e− + H∗2

X reação (ionização): e− + H2 → 2e− + H+2

X reação (“electron attachment” – possibilidade de ocorrer a dissociaçãomolecular): e− + H2 → H−2

Definições Básicas: Canais

I Um canal é um possível modo de fragmentação do sistema A+B (estado do sistemaA+B) durante a colisão.

I No caso do espalhamento de elétrons por moléculas de H2 discutido anteriormente,temos os seguintes canais possíveis:

X canal elástico: e− + H2 → e− + H2

X canal inelástico (cada estado excitado final possível é considerado um canalindependente): e− + H2 → e− + H∗2

X canal de reação (ionização): e− + H2 → 2e− + H+2

X canal de reação (“electron attachment”): e− + H2 → H−2

I Iremos considerar aqui apenas espalhamento elástico.

Definições Básicas: Seção de Choque

I Os resultados de um processo de colisão são dados em termos de seções dechoque (total, elástica, diferencial etc).

X seção de choque diferencial (distribuição angular), fornece informaçõesadicionais sobre a colisão (interações, ondas parciais etc) e a partir da qualobtemos as seções de choque integral e de transferência de momentum:

dσ

dΩ(E; θ, φ)

I Referencial do centro de massa (centro de massa do sistema A + B em repouso) ereferencial do laboratório (partícula B em repouso antes da colisão); em ambos z éo eixo de incidência.

Espalhamento por um Potencial: Equação de Schrödinger

I Vamos considerar o espalhamento de uma partícula A por uma partícula B:X vamos utilizar a mecânica quântica (λA & d) não relativística (vA c),considerando que as partículas A e B, ambas sem spin, não possuem estruturainterna;X vamos assumir que a interação entre as partículas é do tipo VAB = V (rA − rB) (Vreal e de curto alcance).

I Com estas considerações, a equação de Schrödinger independente do tempo quedescreve a colisão (elástica) é

HΨ(rA, rB) = EΨ(rA, rB); H =p2

A

2mA+

p2B

2mB+ V (rA − rB); pα = −i~∇α, α = A,B

Definimos a coordenada relativa r e a coordenada do centro de massa R como

r = rA − rB; R =mArA +mBrB

mA +mB

onde

pα = mαrα, α = A,B→ P = MR,p = mr; M = mA +mB, m =mAmB

mA +mB


I Fazendo as substituições, a equação de Schrödinger ficaP2

2M+

p2

2m+ V (r)

Ψ(rA, rB) = EΨ(rA, rB)

ou − ~2

2M∇2

R +− ~2

2m∇2

r + V (r)

Ψ(rA, rB) = EΨ(rA, rB)

onde agora é possível escrever

Ψ(rA, rB) = χ(R)ψ(r)

o que fornece

− ~2

2M∇2

Rχ(R) = Ecmχ(R);

− ~2

2m∇2

r + V (r)

ψ(r) = Erelψ(r); E = Ecm+Erel


I Vamos discutir primeiro a solução da equação

− ~2

2M∇2

Rχ(R) = Ecmχ(R)

que descreve uma partícula livre e cuja solução é uma onda plana

χ(R) =eiK·R

(2π)32

onde

Ecm =~2K2

2M

X o centro de massa do sistema A+B move-se como uma partícula livre;X se mB mA → m ∼ mA e como consequência o centro de massa do sistemacoincide com a partícula B.


I O interesse está na solução da equação que contem a interação V− ~2

2m∇2

r + V (r)

ψ(r) = Erelψ(r)

que representa o espalhamento de uma partícula de massa reduzida m pelopotencial V (r) (de “curto alcance”).

I Na ausência de interação (fazendo V = 0), a solução é

ψ(r) =eik·r

(2π)32

com

Erel =~2k2

2m


I Na presença de V (r), a solução não é mais uma onda plana. Neste caso, podemossugerir uma condição de contorno para a função de onda deste problema na forma

ψ(+)ki

(r) −−−−→|r|→∞

N

eiki·r + fk(θ, φ)

eikr

r

onde fizemos k = ki = kz (z define a direção de incidência). A interpretação decada termo nesta expressão é (como estamos considerando apenas colisãoelástica temos que |ki| = |kf | = k)

X N : “constante de normalização”

X eiki·r: onda plana incidente

X eikr/r: onda esférica emergindo do alvo (“outgoing”)

X fk(θ, φ): amplitude de espalhamento (depende da direção r = (θ, φ) e da energiak)

Espalhamento por um Potencial: Amplitude de Espalhamento

Ωd

zθ

|r|

fk

ki r

^

I Vamos obter a relação entre a amplitude de espalhamento e a seção de choquediferencial. Para isso, vamos considerar o esquema acima para o detetor colocadoa uma distância |r| → ∞ (fora do alcance de V ).


I Definição de seção de choque diferencial [dσ/dΩ(k; θ, φ)]dΩ:

A seção de choque diferencial é igual ao número de partículas espalhadas, porunidade de tempo e por unidade de fluxo incidente, dentro do ângulo sólido dΩ emtorno da direção r = Ω(θ, φ). É portanto igual ao fluxo emergente (“outgoing") departículas espalhadas através da superfície esférica r2dΩ (considerando |r| → ∞)dividido pelo fluxo incidente.

X depende da direção de espalhamento (r = Ω(θ, φ)), da energia incidente (k ouE = ~k2/2m), mas não depende de r (devido a condição |r| → ∞).

X tem dimensões de área, o que permite uma interpretação geométrica: aspartículas do feixe incidente que atravessam a área igual a [dσ/dΩ(k; θ, φ)]dΩ,colocada perperdicularmente à direção de incidência, são espalhadas dentro doângulo sólido dΩ e são portanto registradas pelo detetor.


I Associada à equação de Schrödinger (dependente do tempo), temos uma equaçãode continuidade dada por

∂ρ(r, t)

∂t+ ∇ · j(r, t) = 0

onde ρ(r, t) é a densidade de probabilidade e j(r, t) é a densidade de corrente deprobabilidade. ρ(r, t) e j(r, t) são definidos como

ρ(r, t) = |Ψ(r, t)|2; j(r, t) =~m

Im Ψ∗(r, t)∇Ψ(r, t)

I No caso estacionário (V = V (r)→ Ψ(r, t) = ψ(r) exp(−iωt); ω = E/~)

ρ(r) = |ψ(r)|2;∂ρ(r)

∂t= 0; ∇ · j(r) = 0; j(r) =

~m

Im ψ∗(r)∇ψ(r)

∇ · j = 0→∫dV∇ · j =

∮dS · j = 0


I Considerando a condição assintótica de ψ(+)ki

(r) e lembrando que

∇ = r∂

∂r+ θ

1

r

∂

∂θ+

1

r sin θφ∂

∂φ

e que

eiki·r = eikz = eikr cos θ

temos

jout(r, t) · r =~m

Im

ψ

(+)∗ki

(r)∂ψ

(+)ki

(r)

∂r

=~m

ImN∗N

[e−ikr cos θ + f∗k (θ, φ)

e−ikr

r

]×

× ∂

∂r

[eikr cos θ + fk(θ, φ)

eikr

r

]


I Temos então 3 termos: o termo incidente, associado à onda plana incidente, oespalhado, associado à onda esférica modulada pela amplitude de espalhamento, eo de interferência, envolvendo os termos cruzados entre as ondas plana e esférica.

X termo de incidência: jinc(r, t) · z, onde

Neiki·r = Neikz; ∇ = x∂

∂x+ y

∂

∂y+ z

∂

∂z

O fluxo através de uma área unitária perpendicular à direção de incidência ki é

jinc(r, t) · z =~m

ImN∗e−ikz

d[Ne(ikz)]

dz

= N∗N

~km

X termo espalhado (considerando apenas o termo da onda esférica)

jout(r, t) · r =~m

ImN∗f∗k (θ, φ)

e−ikr

r

∂

∂r

[Nfk(θ, φ)

eikr

r

]= N∗N

~km

1

r2|fk(θ, φ)|2


I Por último, vamos considerar o termo de interferência jint(r) · r

jint(r) · r =~m

ImN∗e−ikr cos θ ∂

∂r

[Nfk(θ, φ)

eikr

r

]+

+ N∗f∗k (θ, φ)e−ikr

r

∂

∂r

[Neikr cos θ

]=

= N∗N~m

Imik

1

rfk(θ, φ)e[ikr(1−cos θ)] +

+ ik cos θ1

rf∗k (θ, φ)e[−ikr(1−cos θ)]

+ . . .

onde termos de ordem superior a 1/r foram desprezados.X pode-se mostrar que os termos jint(r) · θ e jint(r) · φ são de ordem 1/r3 eportanto podem ser desprezados no limite |r| → ∞.


I Note que jint(r) difere dos dois termos anteriores (inc e out), contribuindo apenasquando θ = 0 (onde ocorre a interferência da onda plana com a onda esférica). Issopode ser visto analisando a seguinte integral, onde consideramos umasuperposição de ondas planas com vetores de onda em um intervalo ∆k em tornode ki. ∫ k+∆k

k

dke[ikr(1−cos θ)] =

1

ir(1− cos θ)e[ikr(1−cos θ)]

k+∆k

k

Para θ 6= 0 a integral acima oscila, e neste caso

limr→∞

∫ k+∆k

k

dke[ikr(1−cos θ)] = 0


I A seção de choque diferencial pode ser escrita como

dσ

dΩ(k; θ, φ) =

|jout|r2dΩ

|jinc|= |fk(θ, φ)|2dΩ

ou

dσ

dΩ(k; θ, φ) = |fk(θ, φ)|2

Temos portanto uma relação entre a seção de choque diferencial (medida emlaboratório) e a amplitude de espalhamento (calculada, e que deve ser obtida apartir do comportamento assintótico da função de onda de espalhamento). A partirda seção de choque diferencial obtemosX seção de choque total:

σtot(k) =

∫dΩ

dσ

dΩ(k; θ, φ) =

∫dΩ|fk(θ, φ)|2

X seção de choque de transferência de momentum:

σmt(k) =

∫dΩ(1− cos θ)

dσ

dΩ(k; θ, φ) =

∫dΩ(1− cos θ)|fk(θ, φ)|2

Ilustração: Colisões e−–HCOOH

Estrutura do ácido fórmico.

Ilustração: Colisões e−–HCOOH

0 30 60 90 120 150 180

1

10

15 eV

Gianturco

Vizcaino et al.

SMCPP

0 30 60 90 120 150 180

1

10

20 eV

0 30 60 90 120 150 180

scattering angle (degrees)

0.1

1

10

cro

ss

se

cti

on

(1

0-1

6 c

m2/s

r)

30 eV

0 30 60 90 120 150 180

0.1

1

10

40 eV

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5energy (eV)

1

10

cro

ss

se

cti

on

(1

0-1

6c

m2/s

r)

SMCPPKohnAllan

1 10energy (eV)

0

20

40

60

mo

me

ntu

m t

ran

sfe

r c

ros

s s

ec

tio

n (

10

-16c

m2)

KohnSMCPP (SE)

expt.

SMCPP (SEP)

Seções de choque diferenciais (esquerda), de transferência de momentum (centro), ediferencial a 130 (direita).X M. H. F. Bettega, Phys. Rev. A 74, 054701 (2006)

Ilustração: Colisões e−–C3H7OH

Estrutura do isopropanol (direita), n-propanol (esquerda).

Ilustração: Colisões e−–C3H7OH

1

10

100

2 eV 5 eV 10 eV

0 60 120180

1

10

100

cro

ss s

ecti

on

(10

-16 c

m2/s

r)

15 eV

60 120180

scattering angle (degrees)

20 eV

60 120180

30 eV

0 5 10 15 20 25 30

energy (eV)

0

30

60

90

120

150

cro

ss

se

cti

on

(1

0-1

6 c

m2)

0 5 10 15 20 25 30

energy (eV)

0

10

20

30

40

50

cro

ss

se

cti

on

(1

0-1

6 c

m2)

X M. H. F. Bettega, C. Winstead, V. McKoy, A. Jo, A. Gauf, J. Tanner, L. R. Hargreaves, M. A. Khakoo,

Phys. Rev. A 84, 042702 (2011)

Espalhamento por um Potencial: O Teorema Ótico

I O teorema ótico diz que

σtot =4π

kImfk(θ = 0)

I Para demonstrar este teorema vamos considerar o arranjo ilustrado abaixo

z

δθr2

δ Ω

ki

Integrando o termo de interferência entre θ = 0 e δθ temos∫ 1

cos δθ

d(cos θ)e[ikr(1−cos θ)] =eikr

−ikr

e−ikr − e(−ikr cos δθ)

=

i

kr+ temos oscilantes

e portanto∫δΩ

dΩr2jint · r =

∫ 2π

0

dφ

∫ 1

cos δθ

d(cos θ)r2jint · r = −4πN∗N~m

Imfk(θ = 0)

onde fk independe de φ na direção de incidência.


I Lembrando que

∇ · j = 0→∮dS · j =

∫dΩr2j · r = 0

que é a relação que expressa a conservação do número de partículas (como V éreal, não há fontes nem sumidouros). Fazendo j = jinc + jout + jint, integrando econsiderando |r| → ∞ e

∫dΩjint · r = 0 temos

N∗N~m

k

∫dΩ|fk(θ, φ)|2 − 4πImfk(θ = 0)

= 0

ou, colocando em outra forma

σtot =

∫dΩ|fk(θ, φ)|2 =

4π

kImfk(θ = 0)

que é a expressão desejada.


I Lembrando da condição assintótica da função de onda de espalhamento . . .

Ψ(+)ki

(r) −−−−→|r|→∞

1

(2π)32

eiki.r +

eikr

rf(kf ,ki)

, N =

1

(2π)32

I A equação de Lippmann-Schwinger (solução da equação não homogênea) é

|Ψ(±)ki,f〉 = |Ski,f 〉+G

(±)0 V |Ψ(±)

ki,f〉

Os sinais (+) e (-) correspondem aos índices ki e kf respectivamente. O operadorde Green da partícula livre é

G(±)0 =

~2

2m(E −H0 ± iε)−1

Multiplicando a equação de Lippmann-Schwinger por V , obtemos uma outra formapara esta equação dada por

A(±)|Ψ(±)ki,f〉 = V |Ski,f 〉 ; A

(±) = V − V G(±)0 V


θ

z

r − r

’k

’

k − i

x

xx

x

−

−

η

Im k

Re k

’

’

k + i

η

η

η

k + i

k − i

I Considerando a geometria na figura (a) acima temos

G(±)0 (r, r ′) = − 1

8π3

∫ ∞0

dk′k ′2∫ 2π

0

dφ

∫ +1

−1

d(cos θ)eik

′|r−r ′| cos θ

k ′2 − k2 ∓ iε ′=

= − 1

8π2

∫ +∞

−∞dk′

k ′

k ′2 − k2 ∓ iε ′eik

′|r−r ′| − e−ik′|r−r ′|

O integrando tem polos para k ′ ' ±(k ± iη), como mostra a figura (b) acima.Temos assim

G(+)0 (r, r ′) → +k ±+iη;−k − iη

G(−)0 (r, r ′) → +k ±−iη;−k + iη

A equação de Lippmann-SchwingerI A solução (por resíduos) é

G(±)0 (|r− r ′|) = − 1

4π

e±k|r−r ′|

|r− r ′|I Para potenciais locais: 〈r|V |r ′〉 = V (r ′)δ(r− r ′). Assim, a equação de

Lippmann-Schwinger na base de coordenadas fica

〈r|Ψ(±)ki,f〉 =

eiki,f .r

(2π)32

− 2m

~2

∫dr ′

e±ik|r−r ′|

4π|r− r ′|V (r ′)〈r ′|Ψ(±)ki,f〉

r

−

’

r ’

o

r

k iz

kf

r

I Estamos interessados no comportamento de 〈r|Ψ(+)ki〉 no limite em que |r| → ∞ ou,

de maneira equivalente, |r| >> |r′|. Considerando o arranjo acima, podemosescrever

|r− r ′| = r − r · r ′

Princípio Variacional de Schwinger

I Podemos combinar as 3 expressões para f(kf ,ki) obtidas anteriormente de formaa construir um funcional, que será o ponto de partida para desenvolvermos ummétodo variacional para a amplitude de espalhamento (o qual será discutido naaula 3/3). A forma deste funcional é

[f(kf ,ki)] = − 1

4π

2m

~2(2π)3

〈Skf |V |Ψ

(+)ki〉+ 〈Ψ(−)

kf|V |Ski〉 − 〈Ψ

(−)kf|A(+)|Ψ(+)

ki〉

onde

A(+) = V − V G(+)0 V

X J. Schwinger, Phys. Rev. 72, 742 (1947)

I Estados ligados:X Hartree-Fock: E[χ∗, χ]X DFT: E[ρ(r)]

Aproximação de Born

I O cálculo da amplitude de espalhamento f(kf ,ki) depende do conhecimento dafunção de onda de espalhamento (solução da equação de Lippmann-Schwinger).No caso de espalhamento “fraco", podemos aproximar Ψ

(+)ki

(r) por uma onda plana(neste caso Ski(r)). Dentro desta aproximação, a amplitude fica

f (B)(kf ,ki) = − 1

4π

2m

~2(2π)3〈Skf |V |Ski〉

que é conhecida como “Primeira Aproximação de Born". Na base de coordenadasf (B)(kf ,ki) fica

f (B)(kf ,ki) = − 1

4π

2m

~2

∫dr ′ ei(ki−kf )·r ′

V (r ′)

A expressão acima representa a transformada de Fourier do potencial (calculadadentro do alcance de V ).

Ilustração - Colisões e− – OCS

Estrutura do sulfeto de carbonila.

Ilustração - Colisões e− – OCS

X M. H. F. Bettega, M. A. P. Lima e L. G. Ferreira, Aust. J. Phys. 53, 399 (2000)

Potencial Complexo

I Potencial Complexo? V (r) = VR(r) + iVI(r)

X Utilizado como ferramenta para descrever processos de espalhamento incluindoefeitos de absorção, o que permite considerar outros canais além do canal elástico(há perda de fluxo do canal elástico para outros canais). Não leva em conta o tipode processos inelásticos ou de ionização específicos associados à absorção.X É empregado, por exemplo, no estudo de espalhamento de elétrons pormoléculas.

I A equação da continuidade com V (r) = VR(r) + iVI(r) fica

∂ρ

∂t+ ∇ · j =

2

~ρVI

e no caso estacionário

∇ · j =2

~ρVI

A seção de choque fica

σtot(k) = σel(k) + σreac(k)

onde σel(k) representa a seção de choque elástica e σreac(k) a seção de choquede reação, a qual inclui todos os processos “não elásticos".

Ilustração - Colisões e− – Si(CH3)4 (tetramethylsilane - TMS)

Estrutura do TMS.

Ilustração - Colisões e− – Si(CH3)4 (tetramethylsilane - TMS)

X R. T. Sugohara, M.-T. Lee, G. L. C. de Souza, M. G. P. Homem, e I. Iga, Phys. Rev. A. 84, 062709 (2011)

Referências

X H. J. Lipkin, Quantum Mechanics - New Approaches to Selected Topics, Dover (2007).X C. J. Joachain, Quantum Collision Theory, North-Holland, Terceira Edição (1983).

X L. S. Rodberg e R. M. Thaler, Introduction to the Quantum Theory of Scattering,Academic Press (1970).

X P. G. Burke e C. J. Joachain, Theory of Electron-Atom Collisions - Part 1 PotentialScattering, Plenum Press (1995).

X S. Geltman, Topics in Atomic Collision Theory, Krieger Publishing Company;Corrected edition (May 1, 1997).

X J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Addison Wesley, Revised Edition (1994).

X E. Merzbacher, Quantum Mechanics, Wiley, Third Edition (1997).

X Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë, Quantum Mechanics ,Volume II,John Wiley & Sons (1977).

X Leslie E. Ballentine, Quantum Mechanics, Prentice Hall (1990).

X R. C. Greenhow, Am. J. Phys. 61, 23 (1993).

Agradecimentos

e ao Prof. Carlos de Carvalho pelo suporte computacional no DFis-UFPR e noLCPAD-UFPR.

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