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Introdução à Teoria Quântica do Espalhamento:do Espalhamento por um Potencial ao Problema

de Muitos Corpos

Márcio H. F. Bettega

Departamento de Física

Universidade Federal do Paraná

[email protected]

Minicurso sobre Espalhamento - Aula 2/3

Semana Acadêmica de Física 2017

Estrutura do minicurso

I Aula 2/3 (60 min):

X O método das ondas parciais: espalhamento por um potencial que apresentasimetria esférica; deslocamento de fase; amplitude de espalhamento; expressõespara as seções de choque diferencial, integral e de transferência de momentum emtermos do deslocamento de fase.

X Solução (exata) para o poço esférico de potencial: ressonância de forma, estadovirtual e mínimo de Ramsauer-Townsend.

O Método das Ondas Parciais

I Vamos considerar o espalhamento de uma partícula de massa m por um potencialcentral V (r) (real), que satisfaz limr→∞ r

2V (r) = 0, de tal forma que podemosdefinir um alcance r = a a partir do qual V (r) ∼ 0. Iremos adotar coordenadasesféricas (r, θ, φ) onde

x = r sin θ cosφ; y = r sin θ sinφ; z = r cos θ

Neste sistema o Hamiltoniano

H = H0 + V (r) = − ~2

2m∇2

r + V (r)

fica

H = − ~2

2m

1

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2

∂φ2

+ V (r)

e L2 fica

L2 = −~2

1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

sin2 θ

∂2

∂φ2


I Desta forma podemos escrever H como

H = − ~2

2m

1

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)− L2

~2r2

+ V (r)

e a equação de Schrödinger para Ψ(+)ki

(r) pode ser escrita na forma

− ~2

2m

1

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)− L2

~2r2

Ψ

(+)ki

(r) + V (r)Ψ(+)ki

(r) = EΨ(+)ki

(r)

Como [H,L2] = [H,Lz] = 0 e [L2, Lz] = 0, podemos expandir Ψ(+)ki

(r) na baseR`,m(k, r)Y m` (θ, φ) (ondas parciais `,m), comum a estes operadores

Ψ(+)ki

(r) =

∞∑`=0

+∑m=−`

c`m(k)R`,m(k, r)Y m` (θ, φ)


I Levando em conta que

L2Y m` (θ, φ) = `(`+ 1)~2Y m` (θ, φ), LzYm` (θ, φ) = m~Y m` (θ, φ)

obtemos uma equação para a função radial R`(k, r) dada por (não depende donúmero quântico m)

− ~2

2m

[1

r2d

dr

(r2d

dr

)− `(`+ 1)

r2

]+ V (r)

R`(k, r) = ER`(k, r)

Definimos agora uma função auxiliar u`(k, r) = rR`(k, r) e o potencial reduzidoU(r) = 2mV (r)/~2. Obtemos assim uma equação radial para a função auxiliaru`(k, r) dada por

d2

dr2+ k2 − `(`+ 1)

r2− U(r)

u`(k, r) = 0

onde

E =~2k2

2m→ k =

√2mE

~


I Antes de discutirmos as condições de contorno satisfeitas pelas funções u`(k, r) eR`(k, r), vamos considerar o problema de uma partícula livre do ponto de vista deum problema de campo central com V (r) = 0. A equação radial fica

d2

dr2+ k2 − `(`+ 1)

r2

y`(k, r) = 0

Mudando a variável para ρ = kr e fazendo f`(ρ) = y`(ρ)/ρ temosd2

dρ2+

2

ρ

d

dρ+

[1− `(`+ 1)

ρ2

]f`(ρ) = 0

que é a equação diferencial de Bessel esférica, cujas soluções são as funções j`(ρ)

(Bessel esféricas), n`(ρ) (Neumann esféricas) e as funções h(1)` (ρ) e h(2)

` (ρ)(Hankel).


I Para j`(ρ) e n`(ρ) temos

j0(ρ) =sin ρ

ρ, j1(ρ) =

sin ρ

ρ2− cos ρ

ρ, j2(ρ) =

(3

ρ3− 1

ρ

)sin ρ− 3

ρ2cos ρ

j`(ρ) ∼ρ→0ρ`

(2`+ 1)!!, j`(ρ) −−−→

ρ→∞

1

ρsin

(ρ− `π

2

)

n0(ρ) = −cos ρ

ρ, n1(ρ) = −cos ρ

ρ2− sin ρ

ρ, n2(ρ) = −

(3

ρ3− 1

ρ

)cos ρ− 3

ρ2sin ρ

n`(ρ) ∼ρ→0(2`+ 1)!!

ρ`+1, n`(ρ) −−−→

ρ→∞−1

ρcos

(ρ− `π

2

)Notamos que a função j`(ρ) é regular na origem, enquanto que n`(ρ) diverge. Comisto, a base composta por autofunções de H0,L

2, Lz para a partícula livre éj`(kr)Y m` (θ, φ).


I Outra base possível é composta por autofunções de H0 e de pi (comE = ~2k2/2m, pi = ~ki, |ki| = k), que são ondas planas exp(iki · r). A relaçãoentre as bases é (para o eixo z na direção de ki)

eiki·r = eikz =∞∑`=0

(2`+ 1)i`j`(kr)P`(cos θ)

que, para qualquer escolha do eixo z, pode ser também escrita na forma

eiki·r = 4π∞∑`=0

+∑m=−`

i`j`(kr)Ym ∗` (ki)Y

m` (r)

onde utilizamos

P`(cos θ) =

(4π

2`+ 1

)1/2

Y 0` (θ); P`(cos θ) =

(4π

2`+ 1

) +∑m=−`

Y m ∗` (ki)Ym` (r)


I A condição de contorno para u`(k, r) é

u`(k, r) −−−→r→∞

krC

(1)` (k)j`(kr) + C

(2)` (k)n`(kr)

Utilizando

j`(kr) −−−→r→∞

1

krsin

(kr − `π

2

); n`(kr) −−−→

r→∞− 1

krcos

(kr − `π

2

)a condição acima pode ser escrita como

u`(k, r) −−−→r→∞

A`(k) sin

kr − `π

2+ δ`(k)

onde

A`(k) =

√[C

(1)` (k)]2 + [C

(1)` (k)]2; tan δ`(k) = −

C(2)` (k)

C(1)` (k)


I Podemos ainda escrever condição assintótica para u`(k, r) em termos de ondas dotipo exp(±ikr) na forma

u`(k, r) −−−→r→∞

A`(k)

2i(−i)`e−iδ`(k)

−(−1)`e−ikr + S`(k)eikr

onde S`(k) = exp[2iδ`(k)], é o elemento da matriz de espalhamento S.

I A quantidade δ`(k), conhecida como deslocamento de fase (“phase shift”), carregatoda a informação sobre o espalhamento. No caso em que V (r) = 0 temos queδ`(k) = 0.

I Ainda falta discutirmos a condição contorno na origem. Analisando a equaçãoradial no limite r → 0, chegamos a (solução regular na origem)

u(k, 0) = 0 com u`(k, r) ∼r→0 r`+1


I Vamos agora obter uma expressão para a amplitude de espalhamento em termosde δ`(k), olhando para

Ψ(+)ki

(r) −−−→r→∞

1

(2π)32

eiki.r +

eikr

rfk(θ, φ)

Usando

eiki·r = eikz =

∞∑`=0

(2`+ 1)i`j`(kr)P`(cos θ); j`(kr) −−−→r→∞

1

krsin

(kr − `π

2

)obtemos

Ψ(+)ki

(r) −−−→r→∞

1

(2π)32

∞∑`=0

(2`+ 1)i`sin(kr − `π

2

)kr

P`(cos θ) + fk(θ, φ)eikr

r

ou, escrevendo de outra forma temos

Ψ(+)ki

(r) −−−→r→∞

1

(2π)32

∞∑`=0

(2`+ 1)i`ei(kr−`π/2) − e−i(kr−`π/2)

2ikrP`(cos θ) + fk(θ, φ)

eikr

r


I Considerando agora a expansão de Ψ(+)ki

(r)

Ψ(+)ki

(r) =

∞∑`=0

+∑m=−`

c`m(k)R`(k, r)Ym` (θ, φ)

e olhando o comportamento quando r →∞ temos (lembrando queR`(k, r) = u`(k, r)/r e que u`(k, r) −−−→

r→∞A`(k) sin kr − `π/2 + δ`(k))

Ψ(+)ki

(r) −−−→r→∞

∞∑`=0

+∑m=−`

c`m(k)A`(k)×

×ei[kr−`π/2+δ`(k)] − e−i[kr−`π/2+δ`(k)]

2ir

Y m` (θ, φ)

Comparando as soluções obtemos para c`m(k) (os termos com exp(−ikr)) aseguinte expressão

c`m(k) =1

(2π)32

1

kA`(k)

√4π(2`+ 1)i`eiδ`(k)δm0


I Temos então

Ψ(+)ki

(r) −−−→r→∞

1

(2π)32

∞∑`=0

(2`+ 1)ièi(kr−`π/2)e2iδ`(k) − e−i(kr−`π/2)

2ikrP`(cos θ) =

=1

(2π)32

∞∑`=0

(2`+ 1)ièi(kr−`π/2)[1 + 2ieiδ`(k) sin δ`(k)]− e−i(kr−`π/2)

2ikrP`(cos θ) =

=1

(2π)32

∞∑`=0

(2`+ 1)ièi(kr−`π/2) − e−i(kr−`π/2)

2ikrP`(cos θ) +

+1

(2π)32

1

k

∞∑`=0

(2`+ 1)eiδ`(k) sin δ`(k)P`(cos θ)

eikr

r

de onde obtemos a seguinte expressão para a amplitude de espalhamento emtermos de δ`(k)

fk(θ) =1

k

∞∑`=0

(2`+ 1)eiδ`(k) sin δ`(k)P`(cos θ)


I Uma forma altenativa é

fk(θ) =∞∑`=0

(2`+ 1)f`(k)P`(cos θ)

onde

f`(k) =e2iδ`(k) − 1

2ik=S`(k)− 1

2ik

Com isto a seção de choque diferencial é dada por

dσ

dΩ(k; θ) = |fk(θ)|2 =

1

k2

∑`

∑`′

(2`+ 1)(2`′ + 1)ei[δ`(k)−δ`′ (k)] ×

× sin δ`(k) sin δ`′(k)P`(cos θ)P`′(cos θ)

e a seção de choque total fica

σtot(k) =

∫dΩ|fk(θ)|2 =

4π

k2

∞∑`=0

(2`+ 1) sin2 δ`(k)


I Definindo a seção de choque para cada onda parcial ` temos

σtot(k) =∞∑`=0

σ`(k); σ`(k) =4π

k2(2`+ 1) sin2 δ`(k)

onde

σmax` (k) =4π

k2(2`+ 1); δ`(k) =

(n+

1

2

)π, n = 0,±1,±2, . . .

eσ`(k) = 0, δ`(k) = nπ, n = 0,±1,±2, . . .

não havendo portanto contribuição da onda parcial ` para o espalhamento naenergia E = ~2k2/2m. A seção de choque de transferência de momentum é dadapor

σmt(k) =4π

k2

∞∑`=0

(`+ 1) sin2[δ`+1(k)− δ`(k)]

X As somas acima podem ser truncadas, levando em conta o parâmetro deimpacto b: b = |L|/|p| =

√`(`+ 1)/k. Para b ∼ a temos que ka ∼ `, e portanto∑∞

`=0 →∑`max∼ka`=0


Differential cross sections for (a) isopropanol,

(b) isobutane, (c) isobutanol, (d) n-propanol,

(e) n-butane and (f) n-butanol at 6, 7, 8, 9,

and 10 eV.

X M. H. F. Bettega, C. Winstead, V. McKoy,

A. Jo, A. Gauf, J. Tanner, L. R. Hargreaves,

M. A. Khakoo, Phys. Rev. A 84, 042702

(2011)

0 60 120 1801

10

100

Cro

ss S

ecti

on

(10

-16cm

2/s

r)

(a)

0 60 120 180Scattering Angle (degrees)

1

10

100

(b)

6 eV7 eV8 eV9 eV10 eV

0 60 120 1801

10

100

(c)

0 60 120 1801

10

100

Cro

ss S

ecti

on

(10

-16cm

2/s

r)

(d)

0 60 120 180Scattering Angle (degrees)

1

10

100

(e)

6 eV7 eV8 eV9 eV10 eV

0 60 120 1801

10

100

(f)


I Podemos olhar agora como fica o teorema ótico

fk(θ = 0) =1

k

∞∑`=0

(2`+ 1)eiδ`(k) sin δ`(k)

onde P`(1) = 1. Com isto

Imfk(θ = 0) =1

k

∞∑`=0

(2`+ 1) sin2 δ`(k) =k

4πσtot(k)

ou

σtot(k) =4π

kImfk(θ = 0)


I Para obtermos σtot(k), precisamos determinar δ`(k). Antes disso, vamos discutirrepidamente sobre a “normalização” da função de onda de espalhamento. Aexpansão de Ψ

(+)ki

(r) em ondas parciais fica

Ψ(+)ki

(r) =1

(2π)32

∞∑`=0

(2`+ 1)

A`(k)i`eiδ`(k)

u`(k, r)

krP`(cos θ)

O coeficiente A`(k) não tem influência sobre o espalhamento e apenas determina a“normalização” de u`(k, r), escolhida como sendo

u`(k, r) −−−→r→∞

1

k

sin

(kr − `π

2

)+ cos

(kr − `π

2

)tan δ`(k)

e

R`(k, r) −−−→r→∞

j`(kr)− tan δ`(k)n`(kr)


I Para chegar a uma expressão para δ`(k), vamos considerar o espalhamento pordois potenciais U(r) e U(r), de onde obtemos

tan δ`(k)− tan δ`(k) = −k∫ ∞0

u`(k, r)[U(r)− U(r)

]u`(k, r)dr

Fazendo U(r) = 0, u`(k, r) = rj`(kr) e u`(k, r) = rR`(k, r) temos

tan δ`(k) = −k∫ ∞0

j`(kr)U(r)R`(kr)r2dr

A integral acima precisa ser calculada na região do alcance de V . Podemostambém estabelecer que

U(r) > 0(repulsivo)→ δ`(k) < 0; U(r) < 0(atrativo)→ δ`(k) > 0

Os zeros das funções j`(kr) e u`(k, r) ficam localizados em

r =1

k

[nπ +

`π

2

]e r =

1

k

[nπ +

`π

2− δ`(k)

]Ou seja, quando U(r) é repulsivo, a onda espalhada "atrasa"em relação à ondalivre de |δ`(k)|/k, e no caso de U(r) ser atrativo, a onda espalhada adianta emrelação à onda livre de |δ`(k)|/k.


I Podemos também determinar δ`(k) impondo a continuidade da função e de suaderivada em r = a, ponto que define o alcance de V (r) (V (r) = 0 se r > a). Nestecaso

tan δ`(k) =k[j′`(ka)− γ`(k)j`(ka)]

n′`(ka)− γ`(k)n`(ka)

onde

γ`(k) =

d[lnR`(k, r)]

dr

r=a

=

1

R`(k, r)

dR`(k, r)

dr

r=a

I Como exemplo de aplicação do método, vamos considerar o espalhamento de umapartícula por um poço esférico de potencial, o qual admite solução exata. Vamosdiscutir alguns fenômenos apresentados pelo deslocamento de fase e pelas seçõesde choque deste sistema simples, os quais são de extrema importância noespalhamento de elétrons e pósitrons por moléculas.


I Vamos considerar V (r) dado por

V (r) =

−V0, r < a

0, r > a

a

−V

r

0

E1

V(r)

E2


I A equação de Schrödinger fica:d2

dr2+ κ2 − `(`+ 1)

r2

u`(r) = 0, r < a

e d2

dr2+ k2 − `(`+ 1)

r2

u`(r) = 0, r > a

onde κ2 = k2 + U0, U0 = 2V0 e k2 = 2E (estamos usando unidades atômicas onde~ = m = 1). Em termos de R`(r) temos

R`(r) = c`j`(κr), r < a

e

R`(r) = j`(kr)− tan δ`(k)n`(kr), r > a


I Neste caso γ`(k) fica

γ`(k) = γ`(κa) =κj′`(κa)

j`(κa)

e δ`(k) é dado por

tan δ`(k) =k[j′`(ka)− γ`(κa)j`(ka)]

n′`(ka)− γ`(κa)n`(ka)

I Para ` = 0

tan δ0(k) =k tanκa− κ tan ka

κ+ k tan ka tanκa

ou

δ0(k) = −ka+ arctan

k

κtanκa


I Para ka 1

δ0(k) ∼ ka

1

κatanκa− 1

Vamos definir o comprimento de espalhamento α como

α = − limk→0

tan δ0(k)

k

ou (lembrando que δ0(k)→ 0 quando k → 0)

α = a

1− tanλ0a

λ0a

onde λ0 =

√U0, e para λ0a 1, α < 0(α ∼ −aλ2

0a2). Podemos mostrar ainda

que

σtot −−−→k→0

4πα2


I Permanecendo no limite de baixas energias, podemos obter a condição para que opotencial suporte n estados ligados para ` = 0. Para isso, vamos considerar asolução da equação de Schrödinger para E = E0 < 0

u0(r) = sinκ0r, r < 0;u0(r) = Ne−k0r, r > a

onde k20 = 2E0 e κ0 =√U0 − k20 . Impondo a condição de continuidade da função e

de sua derivada em r = a obtemos

ξ0 cot ξ0 = −η0onde ξ0 = κ0a e η0 = k0a. Para k0 = 0 temos

λ0a = (n+ 1/2)π → U0a2 = (n+ 1/2)2π2

O valor crítico é λ0a = π/2→ U0a2 = π2/4 = 2, 467401, o que corresponde a

δ0(k = 0) = π/2, α = −∞ e σtot =∞. Neste caso temos um estado virtual.Aumentando U0, mais estados ligados aparecem no poço, de tal forma que

limk→0

δ0(k) = nπ


Retirado de C. J. Joachain, Quantum Collision Theory, North-Holland, Terceira Edição(1983).


X Propriedades analíticas da amplitude de espalhamento.


0 0,4 0,8 1,2 1,6 2

k(u.a.)

1

10

100

1000

se

ca

o d

e c

ho

qu

e(u

.a.)

totall=0

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2

k(u.a.)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

deslo

cam

en

to d

e f

ase(r

ad

ian

os)

Seção de choque e deslocamento de fase para a = 1 u.a. e U0 = 2, 467401 u.a.,mostrando a presença do estado virtual. Podemos notar que para baixas energias aonda-s representa a seção de choque total, ou seja σtot(k) = σ0(k), como discutidoanteriormente.


0 0,4 0,8 1,2 1,6 2

k(u.a.)

0

10

20

30

40

50

60

secao

de c

ho

qu

e (

u.a

.)

totall=0

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2

k(u.a.)

0

1

2

3

4

deslo

cam

en

to d

e f

ase(r

ad

ian

os)

Seção de choque e deslocamento de fase para a = 1 u.a. e U0 = 3 u.a., mostrando apresença do primeiro estado ligado para ` = 0. Podemos notar que para baixasenergias σtot(k) = σ0(k), como discutido anteriormente.


I O Teorema de Levinson afirma que

limk→0

δ`(k) = n`π

onde n` é o número de estados ligados para a onda parcial `.

I É possível que para baixas energias (onde apenas a onda parcial ` = 0 contribuipara a seção de choque) δ0 passe por π, para um dado valor de k. Portantoσtot(k) = σ0(k) = 0 para a energia k. Neste caso temos um mínimo deRamsauer-Townsend (como no caso dos gases nobres).

I Para ` 6= 0 existe a barreira de momentum angular. Neste caso, o potencial efetivoV (r) + `(`+ 1)/r2 pode acomodar, dependendo da energia incidente, estadosligados temporários. Neste caso, δ`(k) vai a π, passando por π/2 na energia k eσ`(k) assume seu máximo valor. Este fenômeno é conhecido como ressonância deforma.


0 0,1 0,2 0,3 0,4

k(u.a.)

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2

se

ca

o d

e c

ho

qu

e(u

.a.)

totall=0l=1l=2

0 0,1 0,2 0,3 0,4

k(u.a.)

3,12

3,14

3,16

de

slo

ca

me

nto

de

fa

se

(ra

dia

no

s)

l=0

0 0,1 0,2 0,3 0,4

k(u.a.)

0

1

2

3

4

de

slo

ca

me

nto

de

fa

se

(ra

dia

no

s) l=2

Seção de choque e deslocamento de fase para a = 2 u.a. e U0 = 5.02 u.a., mostrando apresença do mínimo de Ramsauer-Townsend para ` = 0 e de uma ressonância deforma para ` = 2.


Estrutura do propano.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1energy (eV)

0

2

4

6

8

10

cro

ss s

ecti

on

(10

-16cm

2)

A1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5energy (eV)

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

s-w

ave e

igen

ph

ase (

rad

)

Seção de choque integral elástica para espalhamento de elétrons por C3H8 para asimetria A1 e a fase para ` = 0, mostrando o mínimo de Ramsauer-Townsend.X M. H. F. Bettega, R. F. da Costa e M. A. P. Lima, Phys. Rev. A 77, 052706 (2008).


I Aprendemos no espalhamento por um potencial que:

σ(k) =

∞∑`=0

σ`(k); σ`(k) =4π

k2(2`+ 1) sin2 δ`(k)

X V atrativo: δl > 0; V repulsivo: δl < 0Para baixas energias (k → 0) o potencial pode ser atrativo o suficiente de tal formaque:

δ0(k) passa porπ; δ` 6=0 ≈ 0

Para elétrons, o potencial é

V = Vestático + Vtroca + Vpolarização

e para pósitrons é

V = Vestático + Vpolarização

O potencial resultante portanto passa de atrativo para repulsivo. Comoconsequência, δ0 muda se sinal, passando por 0, da mesma forma que V . Nestecaso não há espalhamento ("Ramsauer-Townsend minimum").


0,1 1

k(u.a.)

0,001

0,01

0,1

1

10

100

se

ca

o d

e c

ho

qu

e(u

.a.)

l=0l=1l=2l=3l=4l=5Soma

0 1 2 3 4 5 6k(u.a.)

0

1

2

3

4

de

slo

ca

me

nto

de

fa

se

(ra

dia

no

s)

Seção de choque e deslocamento de fase para a = 1 u.a. e U0 = 9.5 u.a., mostrando apresença do primeiro estado ligado para ` = 0 e de uma ressonância de forma para` = 1.


0,1 1

k(u.a.)

0,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

se

ca

o d

e c

ho

qu

e(u

.a.)


0 1 2 3 4 5 6k(u.a.)

0

1

2

3

4

de

slo

ca

me

nto

de

fa

se

(ra

dia

no

s)

Seção de choque e deslocamento de fase para a = 1 u.a. e U0 = 9.8 u.a., mostrando apresença do primeiro estado ligado para ` = 0 e de uma ressonância de forma para` = 1 (mais fina e em uma energia mais baixa do que para U0 = 9.5u.a.).


0,1 1

k(u.a.)

0,001

0,01

0,1

1

10

100

se

ca

o d

e c

ho

qu

e(u

.a.)


0 1 2 3 4 5 6k(u.a.)

0

1

2

3

4

deslo

cam

en

to d

e f

ase(r

ad

ian

os)

Seção de choque e deslocamento de fase para a = 1 u.a. e U0 = 10 u.a., mostrando apresença do primeiro estado ligado para ` = 0 e para ` = 1 ( a ressonância associada a` = 1 passou a ser um estado ligado do poço).

Dímeros e complexo

(a) Formic acid dimer (FAD), (b) formamide dimer (FD), and (c) formic acid-formamidecomplex (FAFC)


1 2 3 4 5 6energy (eV)

0

30

60

90

120

cro

ss

se

cti

on

(u

nit

s o

f a

0

2)

HCOOH...HCOOH

Bg (SE)

Bg (SEP)

Au (SE)

Au (SEP)

Au (Gianturco et al. [20])

Bg (Gianturco et al. [20])

1 2 3 4 5 6energy (eV)

0

20

40

60

80

100

cro

ss

se

cti

on

(u

nit

s o

f a

0

2)

HCONH2...HCONH

2

Bg (SE)

Bg (SEP)

Au (SE)

Au (SEP)

1 2 3 4 5 6energy (eV)

0

30

60

90

120

cro

ss

se

cti

on

(u

nit

s o

f a

0

2)

A" (SE)

A" (SEP)

HCOOH (SEP)

HCONH2 (SEP)

HCOOH...HCONH2

Seções de choque integrais elásticas para espalhamento de elétrons por dímeros deácido fórmico e de formamida e pelo complexo ácido fórmico-formamida, mostrandoressonâncias de forma.X T. C. Freitas, S. d’A. Sanchez, M. T. do N. Varella, e M. H. F. Bettega, Phys. Rev. A 84, 062714 (2011).

Referências

X C. J. Joachain, Quantum Collision Theory, North-Holland, Terceira Edição (1983).

X P. G. Burke e C. J. Joachain, Theory of Electron-Atom Collisions - Part 1 PotentialScattering, Plenum Press (1995).

X Leslie E. Ballentine, Quantum Mechanics, Prentice Hall (1990).

X R. C. Greenhow, Am. J. Phys. 61, 23 (1993).

Agradecimentos

e ao Prof. Carlos de Carvalho pelo suporte computacional no DFis-UFPR e noLCPAD-UFPR.

introdução à teoria quântica do espalhamento: do ...fisica.ufpr.br/bettega/aula2.pdf ·...

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