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Aula-9 Mais Ondas de Matéria I

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Aula-9 Mais Ondas de Matéria I

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Estados ligadosVimos, até agora, 3 postulados da Mecânica Quântica:a) Toda partícula possui uma função de onda associada a ela.

b) A forma e a evolução temporal desta é determinada pela equação de Schrödinger.

c) Dada a função (x,t), a densidade de probabilidade da partícula ser encontrada em um ponto x, num dado instante t, é dada por:

2t,xt,xP

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A Equação de Schrödinger e a Quantização de Energia

Quando a relação entre a energia total de uma partícula e sua energia potencial é tal que classicamente a partícula estaria confinada a uma região limitada do espaço, pois senão a energia cinética excederia a energia total fora da região, a teoria de Schrödinger prevê que a energia total da partícula é quantizada.

Quando a partícula não estiver confinada em uma região limitada, então a teoria prevê que a sua energia total pode apresentar qualquer valor.

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Elétron confinado

O confinamento de uma onda leva à quantização, ou seja, à existência de estados discretos, com energias discretas.

Analogia:

Ondas estacionárias em uma corda estados estacionários

Exemplos: Armadilhas em 1, 2 e 3 dimensões;

Átomos

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Exemplos de potenciais diversos:

0 L

U(x)

x

U0

Átomo de hidrogênio

Poço quadrado

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Equação de Schrödinger

)r(E)r()r(V)r(m

2

2

2

Equação de Schrödinger independente do tempo

0 )r(VE

Sempre que teremos estados ligados; que são quantizados.

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Na região em que E - U(x) < 0 a função de onda (x) deve tender a zero, já que a probabilidade de encontrarmos a partículas nesta região é muito pequena.

Esta imposição faz com que tenhamos um conjunto discreto n(x), de soluções para equação de Schrödinger, cada uma

delas associadas a uma energia En:

(para uma partícula classicamente confinada)

0

2 2

22

xxVEdx

xd

m

Partícula confinada em 1-D

Similar aos modos normais em uma corda

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Partícula em uma Caixa Vamos resolver a eq. de Schrödinger para uma partícula confinada a uma caixa de paredes “impenetráveis”. Isto é, partícula sujeita a um potencial de forma:

U(x) = 0, para 0 < x < L U(x) = ∞, para x < 0 ou x > L

• Como o potencial é infinito, a partícula deve encontrar-se rigorosamente no interior da caixa, portanto a devemos ter (x) = 0 , para x = 0 e x = L (condição de contorno).

0 L

U(x)

x

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No interior da caixa, temos:

ou

A solução geral desta eq. pode ser escrita como:

A condição de contorno (0) = 0 leva à:

A condição de contorno (L) = 0 leva à:

xE

dx

xd

m

2

22

2

xkx

mE

dx

xd

222

2 2

2

2

mEk

kxcosBAsenkxx

Asenkxx

0AsenkLL nkL L

nkn

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Escrita em termos dos comprimentos de onda, a última eq. leva a:

que corresponde justamente a condição de formação de ondas estacionárias.

As funções de onda serão então dadas por:

Para cada n temos uma ψn(x), n é chamado de um número quântico. Como temos um sistema unidimensional, ψ(x) é completamente determinada por apenas um número quântico.

L

xnsenAxksenAx nnnn

2nnL

Ln

n

2

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Funções de onda

L

xnsenAxksenAx nnnn

,....,,n 321

1n 2n 3n 4n

5n 6n 7n

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As energias associadas a estas funções são dadas por:

O sistema pode passar de um estado n para um n’, de energia menor, emitindo um fóton de freqüência:

m

kE

2

)( 2

22

222

82n

mL

h

m

kE n

n

'nn EEEh

E11

4E12

9E13

16E14

25E15

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O sistema pode passar de um estado n para um n’, de energia menor, emitindo um fóton de frequência:

Pode também transicionar para um estado de energia maior absorvendo um fóton.

O estado de energia mais baixa é chamado de estado fundamental.

'nn EEEh

E11

E22

E33

E44

E

E11

E22

E33

E44

E

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Normalização da Função de Onda A probabilidade de encontrarmos uma partícula, descrita por (x), em um ponto qualquer do espaço (com x entre - e + ) deve ser igual a um. Portanto, devemos ter:

Esta é a condição de normalização da função de onda.

No caso de uma partícula no interior de uma caixa, por exemplo, obtivemos:

A condição de normalização é o que nos permite determinar An.

L

xnsenAxksenAx nnnn

12

xdx

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Devemos ter:

Portanto, temos:

12

0

22

dx

L

xnsenAxdx

L

n

L

xnsen

Lxn

2

LAn

2

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Densidade de Probabilidade para o Potencial Infinito

Poço quadrado

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Princípio da Correspondência de Bohr: No limite dos números quânticos muito elevados, os resultados da física quântica tendem para os resultados da física clássica.

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Prob. 1:

L

xnsen

Lxn

222

222

82n

mL

h

m

kE n

n

50

67

21031

234

11029,7

1039,4

]10[]1011,9[8

]1063,6[

mkg

JsE

eVJE 63,371002,6 181

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Prob. 1:

h

EEEEh nn

nnnnnn'

''' )(

)(

1

''

'

' nnnn

nn

nn EE

hc

ch

EE

22

222

82n

mL

h

m

kE n

n

n

n'

Como: μmeV24,1mJ102 25 hc

13 1,24/(300,8) µm 4,12 nm

23 1,24/(188,0) µm 6,60 nm

12 1,24/(112,8) µm 11,0 nm

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Energia de ponto zero

2

2

1 8mL

hE

A energia do estado fundamental acontece para n =1

Estados confinados não podem ter n = 0 pois isto daria n(x) = 0 , ausência de elétrons no poço todo.

Sistemas confinados não podem ter energia zero, existe sempre uma energia mínima, chamada energia de ponto zero

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Partícula sujeita a um potencial harmônico:

Oscilador harmônico e estados coerentes

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Partícula em um Poço Finito

Considere agora uma partícula classicamente aprisionada em um poço de potencial, com profundidade finita U0:

As funções de onda não se anulam mais em x = 0 ou x = L.

0

2 2

22

xxVEdx

xd

m

0 L

U(x)

x

U0

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Partícula em um Poço Finito

As funções de onda apresentarão a forma ao lado.

Terão energias um pouco menores que para U0 infinito.

• Várias formas de poços são construídas em laboratório, para se estudar propriedades quânticas da matéria.

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E1= 24 eV1

E2= 109 eV2

E3=280 eV

não quantizada450

E

Energias em um poço com L = 100 pm e U0 =450 eV. (linhas tracejadas:

Poço Infinito )

Partícula em um Poço Finito

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Existem aplicações de poços finitos?

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Poços Quânticos (QW)Poços quânticos foram primeiro apresentados pelos físicos L. Esaki e R. Tsu.

Usando técnicas como MBE ou MOCVD podemos produzir heteroestruturas de cristais AlxGa(1-x)As-GaAs que se comportam como poços quânticos (QW)

MBE (Molecular Beam Epitaxy) ou MOCVD (Metal Organic Chemical Vapor Deposition) produzem nano-estruturas, depositando camadas de espessura em escala atômica (controle de monocamada).

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AlxGa(1-x)As-GaAs

0 L

U(x)

x

U0

AlxGa(1-x)As AlxGa(1-x)AsGaAs

QW duplo

Aplicações QW laser para leitores de CD e DVD

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Equação de Schrödinger em 3D A generalização da eq. de Schrödinger de uma para três dimensões é direta:

Caixa Retangular Se tivermos uma caixa retangular com potenciais infinitos, a solução da eq. de Schrödinger, no interior da caixa, pode ser escrita como:

0,,2 2

2

2

2

2

22

zyxVE

zyxm

zkykxkAzyxn 321 sensensen,,

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As condições de contorno :

Assim, temos como solução:

Observe que agora temos um sistema tridimensional e portanto são necessários três números quânticos para definir cada estado:

zyxnnn L

zn

L

yn

L

xnAzyx

321 sensensen,,

321

z

y

x

Lnk

Lnk

Lnk

33

22

11

x

y

z

Ly

Lx

Lz

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O níveis de energia serão então dados por:

23

22

212

2

83,2,1nnn

mL

hE nnn

23

22

21

222

82kkk

m

h

m

khE

Se: LLLL zyx

zyxnnn L

n

L

n

L

n

m

hE

23

22

21

2

83,2,1

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O níveis de energia são então dados por:

Estados Degenerados

Quebra da Degenerescência

2

2

1 8mL

hE

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Prob. 2 Um elétron de massa m está confinado em uma caixa cúbica de dimensões . a) Quantas frequências diferentes o elétron é capaz de emitir, ou absorver, ao sofrer uma transição entre dois níveis que estejam entre os tres de menor energia? Que múltiplo de corresponde (b) à menor, e (c) à maior frequência?

LLLL zyx

28/ mLh

2

33

2

22

2

11222 '''()8/()8/(

;

nnnmLh

EE

mLhEEh

iffiiffi

a) 3 frequências: Ver Figura

b) 36936

)8/( 1

11

1

112

min

E

EE

E

EE

mLh

c) 639

)8/( 1

112

max

E

EE

mLh

1,1,1E

2,1,1E 1,1,2E1,2,1E

2,2,1E 2,1,2E 1,2,2E

E

13E

16E

19E

23

22

2113,2,1

nnnEE nnn )( 23

22

21

1

3,2,1 nnnE

E nnn 2

2

1 8mL

hE

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Outras Armadilhas

• Pontos Quânticos (0-D)

• Fios Quânticos (1-D)

• Gás de elétrons em 2-D

• Currais

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Pontos Quânticos

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Microscópio de Tunelamento (STM)

Como tudo começou (1985)...

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Manipulação de átomos

35 átomos de Xenônio em superfície de Ni (D. Eigler et al, IBM)

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Imagem STM de Ag(001)Esquema do STM

Manipulando átomos

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Microscopiade Tunelamento

G. Medeiros-Ribeiro

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Manipulando átomos com STM

• 1- STM identifica átomo

• 2- com a ponta próxima seleciona o átomo

• 3- com a ponta próxima movimenta o átomo

• 4-5 libera o átomo na posição desejada

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Currais Quânticos

• Superfície de Cu(111)• Átomos de Fe são

depositados (physisorbed)

• A ponta do STM é aproximada de um Fe a TC aumentada

• Átomo de Fe é levado até posição

• Atomo liberado abaixando a TC.

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Curral de 48 átomos de FeCurral de 48 átomos de Fe

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Miragem quântica

Imagem de STM com Co no foco

Imagem de STM com Co fora foco

Resposta magnética com Co no foco

Resposta magnética com Co no foco