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Universidade Federal do Rio Grande do Norte Operações Unitárias I

Notas de Aulas – Prof. Lair Pereira de Carvalho

SUMÁRIO DO CURSO UNIDADE 1 - CARACTERIZAÇÃO DE SÓLIDOS PARTICULADOS

Caracterização e Análise Granulométrica

Apresentação dos Resultados

Propriedades dos Sólidos Obtidas Por Análise Granulométrica

Peneiramento

UNIDADE 2 - FLUIDODINÂMICA DA PARTÍCULA

Separação no campo gravitacional

Elutriação e Câmaras Gravitacionais

Separação no campo centrífugo

Centrífugas

Ciclones e Hidrociclones

Separação no campo eletromagnético

Precipitador Eletrostático

UNIDADE 3 - ESCOAMENTO DE FLUIDOS ATRAVÉS DE MEIOS POROSOS

UNIDADE 4 - SEPARAÇÃO SÓLIDO-FLUIDO II

Filtração

Sedimentação

UNIDADE 5 - ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS EXPANDIDOS

Fluidização

Leito de Jorro

Transporte de Partículas

BIBLIOGRAFIA

Foust-Wenzel-Andersen-Maus-Clump Princípios das Operações Unitárias

Coulson-Richardson Tecnologia Química vol.2 (Calouste-Gulbenkian)

McCabe-Smith Unit Operations in Chemical Engineering (McGraw Hill)

Perry-Chilton Manual de Engenharia Química (Guanabara Dois)

G. Massarani Problemas em Sistemas Particulados (Editora UFRJ)

2Introdução - As indústrias químicas visam, fundamentalmente, a transformação de matérias-primas

em produtos acabados, prontos para o consumo por um mercado específico. Essa transformação é obtida

através de uma seqüência de etapas à qual dá-se o nome de processo unitário. Cada uma das etapas do

processo global é denominada operação unitária, que tem uma técnica específica fundamentada em leis

físicas. Assim, por exemplo, a operação unitária Filtração fará sempre a separação de sólidos de um líquido,

não importando quais sejam os sólidos e líquidos envolvidos: as leis que regem essa separação serão

iguais em todos os casos.

As Operações Unitárias estão fundamentadas em leis da ciência Fenômenos de Transporte, que tem

como objetivo o estudo do escoamento de fluidos (transporte de quantidade de movimento), o transporte de

calor e de massa. Para um melhor enfoque didático, as operações unitárias são associadas aos Fenômenos

de Transporte envolvido, nos seguintes grupos:

GRUPO 1: Operações que envolvem o transporte de quantidade de movimento Escoamento em tubulações

Mistura de Fluidos

Sedimentação

Flotação

Decantação

Filtração

Centrifugação

Fluidização

Separação por ciclones

Precipitação eletrostática.

GRUPO 2: Operações com transporte de calor Aquecimento e resfriamento de fluidos

Evaporação

Condensação

Ebulição

Liofilização

GRUPO 3: Operações envolvendo o transporte de massa Absorção

Adsorção

Extração líquido-líquido

Lixiviação

Troca iônica

GRUPO 4: Operações envolvendo o transporte simultâneo de calor e massa Destilação

Cristalização

Secagem

Secagem e umidificação de gases

Um grande número de operações trata sistemas sólido-fluido sem alterar sua composição e

propriedades físicas; em outras, as composições químicas também não são alteradas, mas as propriedades

físicas sofrem modificações sob influência de variáveis como temperatura, pressão, concentração, etc.

Neste curso estudaremos as leis do transporte de quantidade de movimento aplicadas aos sistemas

particulados, tendo como principal objetivo a separação mecânica de sistemas sólido-fluido.

3CAPÍTULO 1

CARACTERIZAÇÃO DA PARTÍCULA SÓLIDA

1 Medida do Tamanho da Partícula - A escolha de uma dimensão linear, ou “diâmetro” da partícula é

essencial para a especificação de um material pulverulento. O termo diâmetro pode ser usado para

descrever qualquer segmento linear de um perfil arbitrário.

A descrição mais completa de uma substância granulada é feita por sua distribuição de tamanhos.

Estes, podem ser obtidos por métodos de medida direta (microscópio, peneiramento...) ou métodos de

sedimentação num fluido, dentre outras técnicas. O tamanho médio das partículas obtido, pode assumir

valores diversos de acordo com a propriedade a ser acentuada: peso, volume, área ou área específica (área

superficial por unidade de massa).

1.2 Classificação Geral das Técnicas Granulométricas - Existem muitas técnicas para medir as

características dos materiais particulados. Quando a substância é constituída por esferas duras e lisas, os

resultados coincidem, quaisquer que sejam as técnicas utilizadas. Entretanto, se o pó tem partículas

anesféricas, diferentes distribuições de tamanho podem ser definidas de acordo com a técnica de medida.

Uma partícula cilíndrica, por exemplo, colocada numa peneira, terá sua passagem através da malha

condicionada ao seu diâmetro e não ao seu comprimento. Quando a mesma partícula sedimenta num fluido

viscoso, uma medida apropriada do seu tamanho é o “diâmetro de Stokes”, equivalente ao de uma esfera

com a mesma velocidade de sedimentação no fluido. As diversas técnicas granulométricas podem ser

agrupadas como a seguir:

GRUPO 1 - Métodos em que a distribuição de tamanhos é medida diretamente:

• Microscopia e peneiramento

• Métodos de escoamento (sedimentação gravitacional e centrífuga)

GRUPO 2 - Técnicas em que a subdivisão dos grãos em frações é uma característica essencial do

processo:

• peneiramento

• elutriação

GRUPO 3 - Estimativa da área superficial por adsorção

• Métodos estáticos

• Métodos de escoamento de gás

GRUPO 4 - Caracterização do pó a partir de estudos de permeabilidade

• Permeâmetros dinâmicos

• Permeâmetros estáticos

A medida direta consiste em medir realmente a dimensão da partícula usando-se instrumentos de

precisão e seguido de um tratamento estatístico dos resultados. Partículas maiores são medidas por

deslocamento de volume num picnômetro enquanto as micropartículas têm seu tamanho determinado em

4equipamentos como o contador Coulter, o Cyclosizer, ou por microscopia (medição em micrômetro ótico),

obtendo-se então um “diâmetro” médio equivalente.

O método de medida direta mais comum e usual é o peneiramento que consiste em fazer uma

amostra de partículas passar através de uma série de peneiras padronizadas, empilhadas com a de maior

abertura no topo. A abertura das malhas vai diminuindo progressivamente de tamanho, numa razão

constante, até se chegar a peneira de menor abertura, no fundo da pilha. O tamanho da partícula é

expresso como a média aritmética das aberturas das malhas da peneira sobre a qual o sólido fica retido e

da peneira imediatamente anterior. Este método é aplicável a partículas numa faixa de tamanhos entre 7 cm

e 40 µm (µm = micrômetro = 1/1000 mm = 10-6cm). Todavia, abaixo de 80 µm o peneiramento torna-se

insatisfatório.

Outros métodos utilizam princípios da mecânica dos fluidos, promovendo a separação da amostra de

acordo com a velocidade de queda livre das partículas num fluido, que é função de suas densidades e seus

tamanhos. A dimensão assim obtida é expressa como o diâmetro da esfera de igual volume que a

partícula (Dp) ou como o diâmetro da esfera cuja velocidade de queda no fluido é igual à velocidade da

queda livre da partícula, sob condições físicas semelhantes (diâmetro de Stokes).

Na técnica por elutriação, as partículas são introduzidas no topo de um tubo cilíndrico vertical no

qual se faz escoar uma corrente ascendente de água. Algumas partículas caem, por ação da gravidade, e

outras são arrastadas pela água, de acordo com seus tamanhos e/ou densidades. No fundo da coluna há

um recipiente para coletar as partículas sedimentadas. O sobrenadante de uma coluna (sólidos arrastados +

água) é canalizado para as colunas seguintes, de diâmetros sucessivamente maiores, onde se repete a

operação com a velocidade do líquido diminuindo na razão inversa do aumento do diâmetro da coluna. Ao

final de um certo tempo, os sólidos decantados em cada coluna são recolhidos, secos e pesados e suas

massas transformadas em frações ponderais da massa total alimentada.

Na sedimentação gravitacional, as partículas decantam através de um fluido em repouso, e a

velocidade de queda da partícula é obtida cronometrando-se o tempo gasto pela partícula para cair

verticalmente ao longo de uma altura pré-estabelecida.. O diâmetro é determinado a partir do valor da

velocidade encontrado, pela lei de Stokes. O método de centrifugação obedece ao mesmo princípio,

porém a força gravitacional é substituída por uma força centrífuga. Aplica-se quando as partículas são muito

pequenas.

Por quaisquer destes métodos obtém-se um tamanho característico da partícula “d”, tomado como

“diâmetro”, mesmo que a partícula não seja esférica. Uma vez estabelecida essa dimensão linear,

importantes características do material podem ser determinadas, como por exemplo, a área superficial, o

volume, a esfericidade, o número de partículas numa amostra, etc. Os diâmetros mais usualmente

empregados para definir o tamanho da partícula, são os seguintes:

• Dp - Diâmetro da esfera de igual volume que a partícula 6

3dVp π=

• DSt Diâmetro de Stokes: diâmetro da esfera que tem o mesmo comportamento dinâmico que a

partícula em movimento lento. Ou seja, ambas devem ter a mesma velocidade estabelecida de

queda (velocidade terminal) ( )ρ−ρµ

=s

vt18DSt )(

5• Da- Diâmetro da esfera com a mesma área projetada da partícula, vista perpendicularmente ao

plano de estabilidade mássica (AP = π Da2/4)

• DS - Diâmetro da esfera com mesma superfície da partícula (SP = π DS2)

• D# Diâmetro de malha: usado para partículas relativamente grandes, corresponde ao diâmetro da

abertura da malha de uma peneira padrão.

EXEMPLO 1: Estabelecer a relação entre Dp e Ds para uma partícula cúbica de lado L.

volume do cubo = VC = L3

volume da partícula = VP = π DP3/6

Como DP é o diâmetro da esfera de mesmo volume da partícula,

VCUBO = VPARTÍCULA

L6D

L6D

3p

33p

./ π=

=π

sp

Sp31

s

22s

cuboesfera

D90D6

DD6D

L6DSS

,

. e /

=

π=

π

=

=π=

Várias características importantes do material, como o número de partículas numa amostra, o volume,

a área superficial, a esfericidade, etc., são determinadas em função do diâmetro. Quando as partículas são

todas iguais, a determinação desses parâmetros é bastante simples, como se verá a seguir.

1.3 Algumas Propriedades Características dos Sólidos Particulados a) Materiais homogêneos (com partículas uniformes) 1.3.1-Superfície Externa da Partícula ( s ): sP = B.d2

B é um fator de forma relacionado à superfície da partícula; para esferas B = π , para cubos B = 6.

1.3.2Volume da Partícula ( v ) v = C.d3

C é o fator de forma relacionado ao volume: ( π/6 para esferas e 1 para cubos).

.Forma da partícula - Nos cálculos de processos, a forma é uma variável importante. Certas

características de um meio, como a porosidade e a permeabilidade, dependem da forma das partículas.

Os parâmetros de forma mais comumente utilizados para calcular algumas características importantes

dos meios porosos, são os seguintes:

61.3.3. Fator de Forma ( λ ) para cubos e esferas, λ = 6

1.3.4 Esfericidade ( φ ) - é a relação entre as áreas superficiais de uma esfera e da partícula, ambas com

mesmo volume

P

P

sv

PD6

volumemesmo com ambaspartícula da lsuperficia áreaesfera da lsuperficia área

=

=

φ

φ

1.3.5 Número de Partículas na Amostra ( N )

ρS = densidade do sólido; M = massa da amostra.

1.3.6 Superfície Externa da Amostra ( S )

1.3.7 Superfície Específica ( S ) é a relação entre a área superficial (superfície externa) e a massa total

da amostra.

1.3.8 Porosidade (ε ) É a fração volumétrica de vazios de num meio poroso. Obtém-se da relação entre o volume livre (volume de vazios) e o volume total de um meio ou amostra constituída por partículas sólidas.

TVVs1

VtotalVsólidosVtotal

−=−

==εamostra da Volumevazios de Volume

1.3.9 Densidade aparente ( ρa ) É a densidade do meio poroso, isto é, a massa por unidade de volume

do sólido particulado

( ) FSA ερρερ +−= 1

b.) Materiais Heterogêneos: O material deverá ser separado em frações com partículas uniformes em uma série de peneiras

padronizadas, numa operação conhecida como análise granulométrica em peneiras, conforme o seguinte

procedimento:

Limpar e pesar cada peneira da série; sobre a peneira cega (bandeja) empilhar as peneiras começando com a de

menor abertura; levar a pilha ao agitador, inserir a amostra (200 g, por exemplo), lacrar a pilha e prende-la

firmemente ao agitador; Agitar durante 15 minutos. Retirar cada peneira e pesar para, por diferença de peso em

relação a peneira vazia, determinar a massa retida em cada uma delas. Transformar essa massa em fração ponderal,

dividindo pela massa total da amostra. Tomar como tamanho de cada fração a média aritmética da abertura da

peneira coletora e a abertura da peneira imediatamente acima dela.

CB

=λ

3s Cd1MN

ρ==

partícula uma de volumeamostra da total volume

S N s MCd

Bd Mds s

= = =.3

2

ρλρ

S SM d s

= =λρ

71.4 - - Análise Granulométrica

As peneiras são padronizadas quanto à abertura da malha e à espessura dos fios com os quais são

feitas. Existem diversas séries padrão, dentre estas destacam-se as do British Standard (BS), do Institute of

Mining and Metallurgy (IMM), do Bureau of Standard (U.S.S), a série Tyler americana e, no Brasil, o padrão

da ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas.

A série Tyler consiste de 14 peneiras, tendo como base a peneira de 200 malhas feita com fios de

0,053 mm de espessura, o que dá uma abertura livre retangular de 0,074 mm de lado. Quando se passa de

uma peneira para a imediatamente superior, a área da abertura é multiplicada por 2 e, portanto, o lado da

malha aumenta de um fator 2 .

Tabela I - Peneiras da série padrão Tyler

mesh Aberturas (mm)3 4 6 8 10 14 20 28 35 48 65

100 150 200

6,680 4,699 3,327 2,362 1,651 1,168 0,833 0,589 0,417 0,295 0,208 0,147 0,104 0,074

As quantidades retidas nas diversas peneiras e na panela são determinadas por pesagem e as

diversas frações retidas são calculadas dividindo-se as massas retidas pela massa total da amostra

Fração retida = Xi = xiiMmi

∆=ϕ∆=

Também é comum a conversão a porcentagem, ao invés de fração ponderal. Cada fração é

associada às peneiras em que passa e que fica retida, de um dos seguintes modos: 8/10 ou -8+10, por

exemplo, significa que a amostra passou na peneira 8 e ficou retida na peneira 10.

1.4.1 Apresentação dos Resultados - Os resultados da Análise Granulométrica são registrados numa

Tabela, e representados graficamente na forma diferencial ou na forma acumulativa dos incrementos,

retidos (grossos), ou que passam (finos).

a) Análise Granulométrica Diferencial - (ou Análise de Freqüência) - Indica o intervalo de variação dos

diâmetros e as dimensões predominantes na amostra. A fração ponderal retida é mostrada em função

dos diâmetros médios das peneiras. A representação gráfica é como a mostrada na Figura 1

8Tabela II - Análise de peneiras de um certo material Figura 1 - Análise granulométrica diferencial Peneiras Abertura

(mm) (i-1) / i Di Fração

retida 4 4,699 - - 6 3,327 4/6 4,013 0,0251 8 2,362 6/8 2,844 0,1250

10 1,651 8/10 2,006 0,3207 14 1,168 10/14 1,410 0,2570 20 0,833 14/20 1,000 0,1590 28 0,589 20/28 0,711 0,0538 35 0,417 28/35 0,503 0,0210 48 0,295 35/48 0,356 0,0102 65 0,208 48/65 0,252 0,0077 100 0,147 65/100 0,178 0,0058 150 0,104 100/150 0,126 0,0041 200 0,074 150/200 0,089 0,0031

panela <0,074 -200 <0,074 0,0072

Xi

Di médio

b) Análise Granulométrica Acumulativa - Os resultados da análise acumulativa são apresentados

graficamente como a fração acumulada retida / ou que passa, na peneira i , em função do diâmetro de

cada peneira; ou seja, a fração acumulada de grossos (ϕi x Di ), ou a fração acumulada de finos (1 − ϕi)

x .Di. ( i21i ϕ∆++ϕ∆+ϕ∆=ϕ ... ) A fração acumulada em cada peneira é dada pela soma da fração

retida nesta peneira (ϕi ) com a soma acumulada das retidas nas peneiras anteriores (∆ϕi ).

Evidentemente, para a amostra total, ϕ = 1.

Tabela III - Frações acumulativas de grossos e finos Figura 2 - Gráfico da análise acumulativa

peneiras aberturas frações

mesh

Di (mm) acumulada retida, ϕi

acumulada que passa

(1−ϕ) 4 4,699 0,0000 1,0000 6 3,327 0,0251 0,9749 8 2,362 0,1501 0,8499 10 1,651 0,4708 0,5291 14 1,168 0,7278 0,2721 20 0,833 0,8868 0,1131 28 0,589 0,9406 0,0594 35 0,417 0,9616 0,0384 48 0,295 0,9718 0,0282 65 0,208 0,9795 0,0205

100 0,147 0,9853 0,0143 150 0,104 0,9894 0,0106 200 0,074 0,9925 0,0075

c) Outros tipos de diagramas utilizados

Análise Granulométrica em papel mono-log: elimina o acúmulo de pontos na região de partículas

finas, fato responsável por enganos e imprecisão de leitura do gráfico. O gráfico log-log permite extrapolar,

na região de finos, os resultados da análise de materiais moídos. Análise acumulada de finos em papel de

probabilidade - é útil para o tratamento estatístico da amostra.

1.5 Determinação de características de materiais heterogêneos à partir de dados da análise

granulométrica 1.5.1. Número de partículas na amostra

9

a) Usando-se dados da análise diferencial: ∑ρ=

n

13ii

i

si

DCxMN

xi, Ni , são, respectivamente, a fração ponderal e o número de partículas relativas ao diâmetro Di .M é a

massa total da amostra e ρS a densidade do sólido. Se “C” e ρS forem admitidos constantes para todas as

frações da amostra, resulta:

∑ρ=

n

13i

i

s Dx

CMN

Nesta expressão, o somatório deverá ser tomado para todas as frações da amostra, inclusive a presente na panela.

b) Para a análise acumulativa de retidos: quando n → ∞, a expressão anterior torna-se: ∫ρ=

1

03S D

dxCMn

A integral poderá ser calculada graficamente à partir da análise acumulada de retidos, construindo-se o

gráfico “1/D vs. X e determinando-se a área compreendida entre a curva, o eixo das abscissas e as

ordenadas levantadas em X=0 e X=1. As expressões diferencial e integral anteriores valem igualmente para

uma parte da amostra, desde que se mudem os limites do somatório ou integração. Por exemplo, para as

frações retidas entre as peneiras “L” e “K” (inclusive):

∫∑ ρ≡

∆ρ

=K

L

K

L3D

dxsC

M3Dx

sCMKNL,

1.5.2. Área Superficial das Partículas

Com base na análise diferencial Com base na análise acumulada de retidos

∑ρλ

=n

1 i

i

s DxMS ∫ρ

λ=

1

0 Ddx

sMS

Como no caso anterior, a integração gráfica pode ser obtida a partir da curva “1/D vs. X”.

1.5.3. Superfície Específica

Com base na análise diferencial Com base na análise acumulada de retidos

∑ρλ

=n

1 i

i

s Dx

MS

∫ρλ

==1

0 Ddx

sMSS

1.6 Médias características - Vários tipos de médias podem ser definidas para um dado material

constituído de partículas irregulares. Uma certa amostra apresenta características particulares como

massa, volume, superfície externa e o número de partículas, que não podem ser simultaneamente

representadas pela mesma função de uma dada dimensão linear média. Apenas uma e somente uma

propriedade da mistura de sólidos poderá ser representada por um diâmetro médio específico. As

10demais terão que ser representadas por outras tantas dimensões lineares. Os principais diâmetros

médios, utilizados para descrever uma amostra, serão apresentados a seguir.

a ) Diâmetro médio aritmético

É o diâmetro da partícula de tamanho médio. Multiplicando o diâmetro desta partícula pelo número

total de partículas, obteremos a soma de todos os diâmetros da amostra. É importante no estudo da filtração

de partículas sólidas através de malhas ou tecidos.

Sejam N1, N2, ...Nn os números de partículas presentes nas diversas frações de tamanhos

D , D ...D1 2 n . O diâmetro médio aritmético será:

∑∑=

++++++

=Ni

iDNiNnNNNnDnDNDND

21

2211a

......

usando os dados da análise da análise diferencial, ou, com os dados da análise acumulativa:

∑

∑==

3i

i

2i

i

3i

i

i3i

i

Dx

Dx

DCMx

DDC

Mx

aD

∫

∫= 1

0

1

0

3Ddx

2Ddx

aD

c) Diâmetro Médio Superficial

É o diâmetro da partícula de superfície externa média, que é aquela cuja superfície externa,

multiplicada pelo número de partículas da amostra, fornece a superfície externa total. É o diâmetro

apropriado para o estudo do escoamento de fluidos através de meios porosos. Pode ser calculado, com

base nos dados da análise diferencial, a partir da definição:

∑ ∑ ρ==

3iis

ii

2iiiii

2s

DCMxNDBNNBD sendo

como M e ρS são constantes,

∑

∑=

3ii

ii

2ii

ii

DCBxDCBx

Ds

Para um mesmo material, a forma se mantém. Assim, B e C são constantes, resultando:

∑∑=

)Dx()Dx

D 3ii

2iis

(

d) Média Superficial dos Diâmetros

É uma grandeza estatística obtida com base na superfície externa. Utiliza-se uma curva “σ vs. D”

semelhante à da análise granulométrica acumulada de retidos. A ordenada σ é a fração acumulada da

superfície externa. Para a peneira “i”, i21i σ++σ+σ=σ ...

11

∑σ

ii

iii =

SNSN

A média superficial é a abscissa média Ds' , que permite substituir

a área demarcada pelo retângulo pontilhado na figura ao lado.

∫ ∫ σ=σ=1

0

1

0

DddsD ' . Como,

assim:resultaCDMdxdN

dNBD

dNBDds3n

0

2

2 e

ρ==σ

∫

∫= 1

0 Ddx1sD ' e com dados da análise diferencial,

∑ ϕ∆=

i

is

D

1D '

e) Diâmetro Médio Volumétrico: (Dv)

É o diâmetro da partícula de volume médio, ou seja, o volume desta partícula multiplicado pelo

número de partículas da amostra, fornece o volume total de sólidos. Isto significa que o volume desta

partícula é a media aritmética dos volumes de todas as partículas da amostra.

Como a densidade foi admitida a mesma para todas as partículas, Dv será também o diâmetro médio

ponderal. Com dados da análise diferencial, teremos:

3 3iiv3

3iiv

3ii3v

D1Dcálculososefetuando

NDN

D

CDNDNC

∑∑∑

ϕ∆==

=

,

1.7 Distribuição dos Finos da Amostra - Quando representadas em coordenadas retangulares, as

curvas de distribuição obtidas com dados da análise diferencial são muitas vezes inadequadas para estudar

a distribuição das partículas finas da amostra, pois nesse trecho as curvas são quase planas.

O erro introduzido nos cálculos da superfície específica e dos diâmetros médios, quando uma fração

considerável da amostra chega à panela, muitas vezes é inaceitável. Daí, a conveniência de se extrapolar

os resultados das análises, visando relacionar ϕ com D.

Para materiais moídos de mesma estrutura cristalina, a análise granulométrica diferencial obtida com

uma série padronizada de peneiras é praticamente uma reta na região dos finos (-200mesh), quando

representada em escala logarítmica. Este fato pode ser usado com cautela para extrapolar graficamente os

resultados de análises granulométricas realizadas em peneiras.

Um método de extrapolação bastante útil é o de Gaudin: verifica-se que na região de partículas

pequenas, a curva de distribuição de tamanhos é uma função de potência do diâmetro:

12

constantes, ==ϕ

− nmmDdDd n

Esta equação pode ser utilizada para a extrapolação com boa precisão, permitindo relacionar ϕ e D

Obtenção das constantes m, n:

Seja r >1 a relação entre a abertura da malha de uma peneira qualquer e a peneira imediatamente

inferior. O método só se aplica se r for constante para duas peneiras consecutivas qualquer da série, como

no sistema Tyler, para o qual r = 1,414.

Para as peneira consecutivas i-1 e i, de aberturas Di-1 e Di, respectivamente, a equação acima pode

ser integrada entre ϕi-1 e ϕi:

se Di-1 = r Di

( ) )( 1ni1nii D1r

1nmx ++ −+

=∆=ϕ∆

1)(n ++ ≅=∆ i1n

ii kDkDx

e k é uma constante dada por ( )1r1n

mk 1n −+

= +

Assim, num gráfico log-log a curva da análise diferencial é uma reta de coeficiente angular (n+1). Este

valor poderá ser obtido diretamente no gráfico. O valor de k deverá ser calculado com as coordenadas de

qualquer ponto conveniente da reta.

Capítulo 1.II - PENEIRAMENTO

1.II.1 - A Operação de Peneiramento

((A necessidade de separar sólidos prende-se a duas finalidades: 1ª) dividir o sólido granular em

frações homogêneas; 2ª) obter frações de partículas de mesmo tamanho. Raramente se atinge os dois

objetivos simultaneamente. Quando se pretende alcançar o segundo objetivo, o peneiramento é a operação

mais econômica.

O sólido alimentado, A, é movimentado sobre a peneira. As partículas que passam pelas aberturas,

constituem os finos F, e as que ficam retidas são os grossos G. Qualquer destas duas frações poderá ser o

produto da operação.

Objetivos do Peneiramento:

- Eliminação de finos

- Separação de grossos

- Corte do material, visando posterior concentração

A

G

F

13Uma peneira separa apenas duas frações ditas não classificadas, porque só uma das medidas

extremas de cada fração é conhecida: a maior partícula da fração fina e a menor partícula da fração grossa.

Com um número maior de peneiras será possível obter frações classificadas, cada uma das quais

satisfazendo especificações de tamanho máximo e mínimo de partículas. Neste caso, a operação não é

mais um simples peneiramento, mas uma classificação granulométrica!

• O objetivo do peneiramento é separar, com a maior nitidez possível, a alimentação A nas frações F e G.

• Numa operação ideal a maior partícula da fração fina é menor do que a menor partícula da fração grossa.

• O diâmetro de corte, DC, limita o tamanho máximo das partículas na fração fina e o mínimo na fração grossa.

• Geralmente, o diâmetro de corte é escolhido em função do fim visado na operação, podendo, ou não, coincidir com a abertura de uma peneira padrão.

Suponha que o material A, cuja análise granulométrica é a representada na Figura 1, seja submetida

a um peneiramento ideal numa peneira de mesh igual a DC. A separação dará origem a uma fração ideal de

finos, FI , contendo todas as partículas mais finas que DC existentes no material, e outra fração Gi , ideal,

contendo todas as partículas maiores que DC. As análises acumuladas de retidos das frações ideais seriam

como as apresentadas na Figura 4.

As operações reais não permitem obter separações tão nítidas assim, pois algumas partículas

maiores que DC passam pela peneira juntando-se aos finos, enquanto outras tantas menores que DC ficam

retidas nos grossos. As frações reais são representadas por F e G e suas análises granulométricas

acumuladas têm o aspecto indicado na Figura 5, onde:

XA - fração acumulada de grossos (d > DC) na alimentação.

XF - fração de grossos DC nos finos F, isto é, a fração do peso total de F que é constituída de

partículas maiores que DC.

XG - fração de grossos DC (D > DC),no produto grosseiro, G. Se o peneiramento fosse ideal teríamos

XF = 0 e XG = 1.

Figura 4 - Distribuição das frações numa operação ideal

C = ponto de corte

Dc

Gi

Fi

X

D

1,

1,0

X Fi Gi

Dc

14Possíveis causas da retenção de finos nos grossos: - Aderência do pó às partículas grandes

- Aglomeração de várias partículas pequenas

- Malhas irregulares

- Mecanismo da operação ( o movimento das

partículas é paralelo ao plano de abertura das

malhas e, se o movimento for muito rápido, as

partículas finas podem saltar de um fio para

outro da malha sem jamais atingir a abertura).

Causas da passagem de grossos através das malhas:

- Irregularidade das malhas

- Carga excessiva

- Incidência favorável (de partículas com dimensão não muito maior que DC ).

1.II-2 Cálculos Relativos ao Peneiramento

Os problemas de engenharia envolvem o cálculo das quantidades das frações produzidas, da

eficiência do peneiramento e das dimensões da peneira. A solução de tais problemas interessa tanto ao

projeto, quanto à operação.

1.II-2.1 Quantidades Produzidas

Sejam: A, F, G: quantidades de alimentação, de finos produzidos e de grossos, respectivamente, em (kg/h)

xA, xF, xG:frações em peso de grossos em A, F e G, respectivamente

Atingido o regime permanente, um balanço material total dará:

A = F + G ( 1 ) Balanço material dos componentes:

AxA = FxF + GxG ( 2 ) Eliminando F em ( 1 ) e ( 2 ):

GAF −= XGXFXA GGAA +−= )(

( )( ) )( 3

xxxx

AG

GxGxAxAx

FG

FA

FGFA

−−

=

−=−

Eliminando G em (3), ( )( ) )xF(x)xA(xe

xxxx

AFA

FGAGFG

FA−=−

−−

=− )(

( )( ) ( )4

xxxx

AF

FG

AG −−

=

1

X

XG

XA

XF

G

A

F

DcD

Figura 5 - Representação de grossos, finos e alimentação, num peneiramento real

151.II-2.2 Eficiência do Peneiramento

a) Eficiência baseada na material retido (Recuperação de grossos)

É a razão entre a quantidade de material grosso, G, que é realmente retida e a quantidade de G que

entra com a alimentação, A:

A

GG

AxGxE = ( 5 )

b) Eficiência baseada no material que passa (Recuperação de finos)

É a razão entre a quantidade de finos alimentada e a quantidade obtida no peneiramento. A

quantidade de finos na alimentação é A(1 - xA). A quantidade de finos que chega à fração fina é F(1 - xF).

Então

( )( )A

FF

x1Ax1FE

−−

= (6)

c) Eficiência Global de Peneiramento - É o produto das duas eficiências anteriores:

E = EG.EF = ( )( )AA

FG

2 x1xx1x

AFG

−−

(7-a)

Levando em conta ( 3 ) e ( 4 ), também se pode escrever:

( )( ) ( )( )( )2FGAA

FGFAAG

xxx1xx1xxxxxE

−−−−−

= (7-b)

1.II-3 Equipamentos para Peneiramento

Estacionárias Rotativas Mecânicas Classificação de Peneiras Agitadas Vibradores Mecânicos Vibratórias Vibradores eletromagnéticos

1.II-3.1 - Peneiras estacionárias

de Telas - São as peneiras mais simples e econômicas. Têm pouco interesse para a engenharia química

porque se prestam apenas para sólidos grosseiros (até 5 cm). Operam descontinuamente e entopem com

facilidade. Geralmente consistem de telas inclinadas com 1 a 10cm de abertura, e são alimentadas

manualmente. São freqüentemente mais usadas na construção civil

16de Grelhas - São empregadas para separar finos das

cargas dos britadores. Consistem numa série de barras

paralelas mantidas em posição por espaçadores. As

barras são separadas de 1 a 5cm e têm de 7 a 10cm de

largura, por mais ou menos 3m de comprimento. A seção

das barras é trapezoidal. Podem ser horizontais ou

inclinadas com ângulo entre 20 e 50º.

1.II-3.2 - Peneiras Rotativas

Os tipos mais comuns são os tambores rotativos

empregados nas pedreiras para classificação do

pedregulho. É um cilindro longo, inclinado de 5 a 10º em relação à horizontal e que gira a baixa velocidade

em torno do eixo. A superfície lateral pode ser uma placa metálica perfurada ou tela, com aberturas

progressivamente maiores na direção da saída. O comprimento varia de 4 a 10m.

1.II-3.3 - Peneiras Agitadas

A agitação provoca a movimentação das partículas sobre a superfície de peneiramento. Geralmente

são inclinadas de modo que o material é transportado ao mesmo tempo em que é feito o peneiramento. A

agitação é provocada por excêntricos que permitem regular a freqüência e amplitude de modo a se

conseguir a melhor combinação destas variáveis.

171.II-3.4 - Peneiras vibratórias

Têm alta capacidade e eficiência, especialmente para material fino. Há dois tipos gerais: com

estrutura vibrada ou com tela vibrada. Nas primeiras, a estrutura é submetida a vibração mecânica por meio

de excêntricos ou eixos balanceados, ou vibração eletromagnética com solenóides.

A diferença mais importante entre as peneiras agitadas e as vibratórias está na freqüência, que é bem

maior nestas últimas (1.200 a 7.200 ciclos/minuto) e na maior amplitude de vibração (1,5 a 10mm). São

ligeiramente inclinadas em relação à horizontal: 5 a 10º para operação à úmido e 20º para operação à seco.

As malhas utilizadas na indústria química estão entre 2,5 mm a 35 mesh para peneiramento a seco, indo até

bem abaixo de 100mesh no peneiramento a úmido, chegando-se até 225 mesh em alguns casos.

Uma peneira com tela vibrada por meio de bolas de borracha, que se movem devido um movimento

de agitação provocado por um excêntrico, é a peneira Rotex,, que pode ser vista na figura abaixo.

18

Peneira vibrada eletricamente

19Exercícios

1. Deseja-se separar uma mistura de cristais em 3 frações: uma fração de grossos, retida na peneira 8

mesh, uma intermediária, que passa na peneira 8 mas fica retida na 14, e uma fração de finos, que

passa na peneira 14. São usadas duas peneiras do padrão Tyler, de 8 e 14 mesh, em série. A análise

granulométrica é dada na tabela abaixo.

Tabela 1 - Análise granulométrica Mesh Tyler Alimentação Frações obtidas

Grossos Intermediário Finos 3 / 4 4 / 6 6 / 8 8 /10 10/14 14/20 20/28 28/35 35/48

3,5 15,0 27,5 23,5 16,0 9,1 3,4 1,3 0,7

14,0 50,0 24,0 8,0 4,0 - - - -

- 4,2 35,8 30,8 18,3 10,2 0,7 - -

- - -

20,0 26,7 20,2 19,6 8,9 4,6

Total 100,0 100,0 100,0 100,0

a) Considerando que as análises são precisas, qual a proporção ponderal (de grossos, intermediários e finos) realmente obtidas em cada uma das três frações?

b) Qual a eficiência global de cada peneira? (McCabe & Smith, Unit Operations in Chemical Engineering, problema 30.1)

2 ) Solução chamando:

G = grossos (todo material + 8 mesh) M = intermediário (material - 8 + 14 mesh) F = fino (material - 14 mesh) PG = kg de grossos produzidos PM = kg de intermediários produzidos PF = kg de finos produzidos

a) Balanço global: (base = 100 kg de alimentação) PF = 100 - PG - PM b) Distribuição de grossos, intermediários e finos:

1 - na alimentação G = 3,5 + 15,0 + 27,5 = 46,0 kg M = 23,5 + 16,0 = 39,5 kg F = 100 - 46 - 39,5 = 14,5 kg

100,0 2 - nos grossos 3 - intermediário

GM = 0,40PM MF = 0,467 PF ou MF = 0,467(100 - PG - PM) FF = 0,533 PF ou FF = 0,533 (100 - PG - PM)

c) BALANÇO MATERIAL

Grossos G = GG + GM + GF

46 = 0,88PG + 0,40PM ( 1 ) Intermediário M = MG + MM + MF 39,5 = 0,12 PG + 0,491 PM + 0,467 (100 - PG - PM) - 7,2 = 0,024 PM - 0,347 PG ( 2 )

G P P

M P F

G G G

G G G

= + + =

= =

24 50 14100

0 88

0 12 0

,

,

20Resolvendo ( 1 ) e ( 2 ) simultaneamente, de ( 1 ), vem:

d) DISTRIBUIÇÃO DO PRODUTO nos grossos: GG = 0,88PG = 0,88(24,9) ∴ GG = 21,9 MG = 0,12PG = 0,12(24,9) ∴ MG = 3,0 FG = 0,0 24,9 intermediário: GM = 0,40PM = 0,40 (60,2) ∴ GM = 24,1 MM = 0,491PM = 0,491 (60,2) ∴ MM = 29,5 FF = 0,109PM = 0,109 (60,2) ∴ FM = 6,6 60,2 finos: GF = 0 MF = 0,467(100 - PG - PM) = 0,467(14,9) = 7,0 FF = 0,533(14,9) = 7,9 14,9 Conferência dos balanços: G = GG + GM + GF 46 = 21,9 + 24,1 + 0,0 = 46 (certo) M = MG + MM + MF 39,5 = 3,0 + 29,5 + 7,0 = 39, 5 (confere) F = FM + FF 14,5 = 6,6 + 7,9 = 14,5 (confere) 2) EFICIÊNCIA GLOBAL DE CADA PENEIRA 1ª PENEIRA: retido = material + 8 mesh passa = material - 8 mesh Eficiência baseada no material retido:

G = massa de retidos ( produto grosso) G = 24,9 = PG XG = fração ponderal de grossos produzidos (grossos no material retido) XG = 0,88 = XG Retido A = massa de grossos alimentada A = 46,0 = GA Xa = fração ponderal de grossos na alimentação XA = 1 = XGA

Eficiência baseada nos finos:

P P P P

substituindoem P P PPP

P

MG

M G

G M F

G

M

F

=−

∴ = −

⇔ = ⇒ = ===

=

46 0 880 4

115 2 2

2 24 9 60 2 14 924 960 214 9100

( , ),

,

( ) , , ,,,,

e

E x Gx AG

GA

=..

E G = =0 88 24 91 0 46 0

0 476, ,, ,

,

E F x A x

M F M FM F

E x x x x

E

Eficiência global da peneira

FF A

M M F F

F

F

= − −

= + + +

+

= + + ++

= =

= ≅

1 1

0 491 60 2 0 109 60 2 0 467 14 9 0 533 14 9 39 5 14 5

51 02 54

0 944

8

0 476 0 944 0 449 45%

, , ,

, ,

:

( , )( , ) ,

E =E . E E =

G F

21PENEIRA 14 mesh: Retido = material + 14 mesh; passa = material - 14 mesh A alimentação para a 2ª peneira contém: G = 3,5 + 15,0 + 27,5 = 46,0 isto é: A(3/4) + A(4/6) + A(6/8) = 46,0 M = 29,5 + 7,0 = 36,5 MM + MF = 29,5 + 7,0 = 36,5 F = 6,6 + 7,9 = 14,5 FM + FF = 6,6 + 7,9 = 14,5 75,1 kg

2. As peneiras usadas no problema 1 são peneiras vibratórias com capacidade de 4 tons/ft2-h-mm

tamanho de malha. Quantos pés quadrados de tela são necessários para cada das peneiras no problema 1 se a alimentação à primeira peneira é de 100 tons/h? (Mc Cabe-Smith, problema 30.2) Solução

Obs.: Como a capacidade do conjunto deve ser 4 toneladas/ ft2.h..mm de abertura, e temos 10 peneiras, cada uma delas deveria Ter uma capacidade de 0,4 ton. / ft2..h .mm. • Abertura da peneira do topo (8 mesh) = 2,362 mm (ver Tabela da série Tyler) • Capacidade da peneira do topo = 0,4 (ton./ ft2.h.mm de abertura) x 2,363 (mm abertura) = 0,945

ton. / h. ft2

• Área requerida = alimentação / capacidade da peneira = (100 ton. / h) / 0,945 (ton/h.ft2 ) = 105,8 ft2

• Abertura da peneira do fundo (14 mesh) = 1,168 mm

• Capacidade da peneira # 14: ( 0,4 ) (1,168) = 0,467 ton. ./ h.ft2

Base de cálculo = 100 toneladas de alimentação / hora

Alimentação total para a peneira 14 = (60,2 + 14,9) = 75,1 ton. / h (ver balanço no problema anterior)

• Área requerida = 75,1 (ton. / h) / 0,467 (ton. / h . ft2 ) = 160,8 ft2

3. Uma mistura de quartzo que tem a análise de peneira mostrada nas Tabelas I-2 e I-3 é peneirada em uma peneira de 10-mesh-por-polegada construída de arame de 0,04-polegadas. A análise de peneira cumulativa do overflow e underflow é dada na Tabela 30-1. Calcule as relações de massa de grossos e finos para alimentação e a eficiência global da tela. (McCabe-Smith

Tabela 2 - Análise Diferencial Tabela 3 - Análise acumulativa

Mesh ∆Xi Dpi mesh Dp, mm X 4/6 6/8 8/10

10/14 14/20 20/28 28/35 35/48 48/65 65/100 100/15

0 150/20

0 panela

0.0251 0.1250 0.3207 0.2570 0.1590 0.0538 0.0210 0.0102 0.0077 0.0058 0.0041 0.0031 0.0075

3.327 2.362 1.651 1.168 0.833 0.589 0.417 0.295 0.208 0.147 0.104 0.074

4 6 8 10 14 20 28 35 48 65

100 150 200

panela

4.699 3.327 2.362 1.651 1.168 0.833 0.589 0.417 0.295 0.208 0.147 0.104 0.074

0 0.0251 0.1501 0.4708 0.7278 0.8868 0.9406 0.9616 0.9718 0.9795 0.9853 0.9894 0.9925 1.0000

E P PP M

G M G M

E F F

E E

G M F

M M M M

F F A

GLOBAL

= + +

= + +

=++

=

= = =

= = =

0 4 0 467 0 4

24 1 29 524 1 36 5

0 884

7 9 14 5

0 545

0 545 0 884 0 482

2 2

2

14

, , ,

, ,, ,

,

( ) , ,

,

, , , #

22Tabela 4 - Análise de peneiras para o problema 03

X Mesh Dp mm Grossos Finos)

4 6 8 10 14 20 28 35 65

pan

4.699 3.327 2.362 1.651 1.168 0.833 0.589 0.417 0.208

-

0 0.071 0.43 0.85 0.97 0.99 1.00

- - -

- - 0

0.195 0.58 0.83 0.91 0.94 0.96 1.00

4. Calcular a esfericidade de uma partícula cúbica de aresta igual a l (Massarani, Problemas em Sistemas

Particulados II, COPPE/UFRJ, 1979) Solução Volume da esfera = volume da partícula (cubo)

5. Uma amostra de barita foi analisada no contador Coulter (que fornece como dimensão característica o

diâmetro da esfera de igual volume que a partícula, dp, e no Cyclosizer (fornece como dimensão característica o diâmetro de Stokes, dSt), apresentando os seguintes resultados):

% > d 90 80 70 60 50 40 30

Dp (µm) 8,2 13,0 15,7 18,2 22,1 26,7 32,6 DSt(µm) 7,6 12,1 14,5 16,9 20,9 24,8 30,3

À partir desses dados, calcule a esfericidade das partículas do minério(Massarani, Problemas em Sistemas Particulados II, COPPE/UFRJ, 1979)

6. d, Bd2 e Cd3 são, respectivamente, uma dimensão característica da partícula, sua área superficial e seu

volume. Estabeleça a relação entre B, C e a esfericidade, φ. Calcular a esfericidade de uma partícula cúbica de aresta igual a l (Massarani, Problemas em Sistemas Particulados II, COPPE/UFRJ, 1979)

7. Uma amostra de areia (M = 250g), com esfericidade 0,68, apresentou a seguinte análise de peneiras:

mesh (Tyler) massa retida (g) 8/10

10/14 14/20 20/28 28/35 35/48 48/65 65/100 100/150 150/200

7,5 35,0 62,5 50,0 35,0 22,5 15,0 10,0 7,5 5,0

a) fornecer gráfico acumulativo "d x. % > d"

b) determinar o diâmetro médio definido por dp = φ / ∑(xi/dmi)

(Massarani, Problemas em Sistemas Particulados II, COPPE/UFRJ, 1979)

− = =∆PL k

QA

kµ ε onde 5a

3

2

π

π

d

d = 6

3

3

3

6= l

l.φ

ππ

π

φ

= = =

=

d 2

2

13

2

26 60 806

0 806l

ll

l,

,

23

8. Um equipamento de coleta permite reter as partículas suspensas em um gás, com as seguintes

eficiências:

Tamanho das partículas (µm)

% de cada fração

Eficiência de coleta (%)

0 - 5 5 -10 10-20 20-40 40-80

80-100

10 15 35 20 10 10

20 40 80 90 95

100 Calcular:

a) a eficiência global de coleta do equipamento

b) a massa de sólido perdida por dia, sabendo-se que o gás contém 18 g/ m3 de partículas e que sua

vazão é 0,3 m3/s. (Coulson-Richardson)

9. Uma amostra de catalisador (123g) apresentou a seguinte análise granulométrica:

dimensão (µm) < 10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70massa de cada fração (g) 15,4 38,7 27,1 17,1 13,5 8,6 2,5

a) Construir o gráfico acumulativo "d vs. %>d"

b) verificar se a distribuição segue o modelo log-normal; em caso afirmativo, calcular os parâmetros da distribuição.

c) Determinar a superfície específica do catalisador, a, sabendo-se que fornece um meio de porosidade ε = 0,36 que, percolado com ar (20 C e 1 atm), sob uma queda de pressão de 20 cm de água, permite uma vazão de 50,3 cm3/ min. O meio poroso tem 5 cm de diâmetro e 1,5 cm de altura