CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

DERIVADAS E INTEGRALES

Elaborado por: Nelo Veintimilla .

LA DERIVADA. Diferencia entre recta secante y recta tangente

Recta Secante

Recta Tangente

LA DERIVADA. Significado Geométrico

Corresponde a la pendiente de la recta tangente a la curva

en un punto

Encuentre la pendiente de la recta tangente en el punto indicado

Ejercicio de aplicación 1

La función posición de una partícula que se mueve en línea recta, viene dada por la expresión:

a) Realice la grafica de posición respecto al tiempo

b) Encuentre la pendiente en t=2s.

Ejercicio de aplicación 2

a) Gráfica de posición respecto al tiempo

Regla para la derivada de un término polinómico

Encuentre la derivada de las siguientes funciones:1. f(x)= 4

2. f(x)= 2x+1

3. f(x)= 5x2+2x

4. f(x)=1/x

5. f(x)=

6. f(x)=

Ejercicio de aplicación 3

La función de posición de una partícula que se mueve en línea recta, viene dada por la expresión:

Determine mediante proceso de límite:a) La primera derivada de la función (velocidad)

respecto al tiempob) La segunda derivada de la función

(aceleración) respecto al tiempo

Ejercicio de aplicación 4

Antiderivada• Un físico que conoce la velocidad de una partícula,

podría desear conocer su posición en un instante dado

• Un ingeniero que puede medir la cantidad variable a la cual se fuga el agua de un tanque, quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto periodo.

• Un biólogo que conoce la rapidez a la que crece una población de bacterias puede interesarse en deducir el tamaño de la población en algún momento futuro

En cada caso, el problema es hallar la función F (función primitiva) y cuya derivada es un función conocida. Si tal función F existe, se llama anti derivada de f.

Integral indefinidaFunción primitiva de una función dada f(x), es otra función F(x) cuya derivada es la función dada.

F'(x) = f(x)Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee : integral de x diferencial de x.∫ es el signo de integración.f(x) es el integrando o función a integrar.dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:∫ f(x) dx = F(x) + C

La Integral definida.

න 𝑓ሺ𝑥ሻ dx𝑏𝑎 = limn→∞ 𝑓ሺ𝑥𝑖∗ሻ ∆x𝑛

𝑖=1

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.

Se representa por:

Donde:∫ es el signo de integración.a límite inferior de la integración.b límite superior de la integración.f(x) es el integrando o función a integrar.dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

ANTIDERIVADA DE UN TÉRMINO POLINÓMICO

1. =2. =3. =4. =5. =6. =

EJERCICIOS DE APLICACION

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de  f(x), el eje , y las líneas verticales x=a y x=b.

¿Qué representa la antiderivada de una función?

Calcular el área del recinto limitado por la curva y(x)=4x − x2, entre x=0 y x=4

EJERCICIOS DE APLICACION

Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x, entre x=2 y x=4

EJERCICIOS DE APLICACION

Si un objeto tiene una función s=f(t), y la función velocidad es v(t)=s’(t), entonces la función de posición es la antiderivada de la velocidad.

Del mismo modo, la función aceleración, es a(t)=v’(t), por lo tanto, la función velocidad es la antiderivada de la aceleración.

Sobre Movimiento Rectilíneo

𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 +න 𝑎𝑥 𝑑𝑡𝑡𝑡0

Una partícula se mueve en línea recta y tiene la aceleración dada por a(t)=6t+4. Su velocidad inicial es v(0)=-6 cm/s y su desplazamiento inicial es s(0)= 9 cm. Encuentre la función posición s(t)

Ejercicios de aplicación 4