Aula 3: cinemática

•  Relembrando ....

•  Áreas de atuação da Biomecânica

•  Métodos de análise : quantitativo e qualitativo

•  Modelos Biomecânicos

Aula 3: cinemática

•  Cinemática

•  Análise 2D/ 3D

•  Vetor

•  Operações vetoriais

•  Exemplos

•  Prática

Cinemática

A cinemática descreve matematicamente as características do movimento de uma partícula/segmento, tais como posição, velocidade e aceleração, sem se preocupar com as forças que as causaram.

Cinemática

• A cinemática analisa o movimento a partir de uma perspectiva de tempo e espaço.

Planejando uma Análise Cinemática

•  Quais as questões a serem respondidas? (o que eu quero da minha análise?)

•  Quais as variáveis de interesse? (o que eu preciso medir?)

•  Como analisar? (como eu vou medir?)

Tipos de análise

2D 3D

Análise bidimensional (2D)

•  Pode ser utilizada em casos onde os movimentos predominantes ocorrem em um plano de movimento;

•  Análise realizada em 2 eixos (x,y);

(2D)

•  Ex: Salto vertical, levantamento de uma •  carga, etc.

Análise tridimensional (3D)

•  Para se realizar uma reconstrução em três dimensões, são necessárias duas ou

mais imagens.

• Utilizada em casos onde os movimentos ocorrem em diferentes planos;

•  (3 eixos = x, y, z).

(3D)

•  Ex: movimentos que exijam rotação do segmento.

Esportes são

predominantemente 2D ou 3D?

Análise 2D

•  Partícula / Pontos

•  Centro de massa

Imagens extraídas do lab. de biofísica da usp http://www.usp.br/eef/lob/

Zagueiro

•  Distância percorrida: 4558 m

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

ATAQUE DEFESA

Goleiro

•  Distância percorrida: 1969 m

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

ATAQUE DEFESA

Sistema de coordenadas

•  Objetiva estabelecer uma correlação com a magnitude real com a figura demonstrada;

•  A trajetória que o segmento descreve no sistema de coordenadas é calculada em relação a referência definida no processo de calibração (origem).

Sistema de Coordenadas

v  descrição do movimento de uma partícula (espaço ou no plano);

v  posição da partícula relacionado a um referencial;

v  posição da partícula relacionado a um referencial;

Sistema de coordenadas

EixoSagital

EixoLongitudinal

EixoTransversal

EixoSagital

EixoLongitudinal

EixoTransversal

Sistema de coordenadas aplicado

X

Y

P=(x,y)

Posição em 2 dimensões

P=(xa,ya)

Aula 3: Cinemática

•  Deslocamento •  Distância

Aula 3: Cinemática

x x1= 3

y1=3

y

x2= 7

y2=6

H = √ (7-3)2 +(6-3)2

H = √ 42 + 32

H = √ 25

H = 5

-  Um segmento de reta orientado é um par ordenado (A, B) de pontos do espaço. A é dito origem, B extremidade do segmento orientado. NOTAÇÕES: •  Vetor: indicados por letras minúsculas em negrito (a, k, v, w, x etc) •  Escalar: indicados por letras minúsculas em itálico (a, k, v, w, x etc) •  Pontos: indicados por letras maiúsculas (A, B, C, D etc) •  Retas: indicados por letras minúsculas (a, b, c, d etc) •  Planos: indicados por letras gregas minúsculas (π, α, β, γ, δ etc)

A

B

v

VETORES - Definição

Origem Direção Módulo

•  Vetor v: início na origem do sistema de referências e o fim na posição ocupada pelo corpo.

•  O número de coordenadas do vetor é igual ao número de dimensões do espaço em que ele está definido.

p (x), v (x, y), w (x, y, z)

v(x, y) v(40, 50)

VETORES - Dimensões

Vetor em uma dimensão:

Vetor em duas dimensões:

X [m]

0

p=(90) X [m]

0

p=(-30)

y[m]

x[m]

v

40

50

Vetor em três dimensões:

P (x, y, z)

VETORES - Dimensões

( )

22.967

6,7

22

22

=+=

+=

=

p

yxp

p

x

P

x= 7

y=6

y

• O MÓDULO ou NORMA ou COMPRIMENTO de um vetor é um escalar (número) associado ao vetor; é o tamanho de um vetor.

• A forma mais comum de defini-lo é pelo tamanho do segmento que une os pontos que definem seu início e fim.

VETORES - Módulo

xz

y P(x,y,z) x

z

y P(x,y,z)

xz

y P(x,y,z)

( )222

,,

zyxp

zyxp

++=

=

VETORES – Módulo em 3 dimensões

xz

y

Mais exemplos...

Rugby em cadeira de rodas. Sabendo que a origem é O(0,0) e que a quadra tem dimensões de 28 x 15m, posicione os jogadores (2, 3, 4 e 5) e calcule a distância entre os jogadores 3 e 4 do time azul.

x

y

UNICAMP

•  Componente de um vetor: projeção do vetor sobre um eixo. •  Projeção de um vetor sobre o eixo x é a sua componente x (x a) •  Projeção de um vetor sobre o eixo y é a sua componente y (y a)

•  Decomposição do vetor: processo de achar as componentes de um vetor

Exemplo com três coordenadas θ=

θ=

sencosayax

a

a

VETORES - Componentes

VETORES - Componentes

E por que decompor um vetor?

Vertical

Horizontal

θ

VETORES - Componentes

•  Cálculo do ângulo: tg θ = dV / dH = 0.2 / 0.6 θ = Tan-1 (0.2 / 0.6) θ = 18.8°

X Y

v Numa prova de salto em distância, a velocidade inicial com que a atleta sai do chão para fazer o salto é dada pelo vetor v=( 8.6,3.5) Determine:

a) a norma do vetor velocidade inicial da atleta.

b) o ângulo de saída da atleta.

Exercício

VETORES - Operações

• Definição • Sejam a e b dois vetores quaisquer. A soma de a com b é o vetor a + b.

• Assim, para a(xa, ya, za) e b(xb, yb, zb) no espaço tridimensional:

• c = a + b = (xa+xb, ya+yb, za+zb).

b

a

4 6

1

6

x[m]

y[m]

a = (2, 5) b = (4, 1) a + b = (2+4, 5+1)=(6, 6)

a+b

2

5

Adição

VETORES - Operações Subtração

Definição Sejam a e b dois vetores quaisquer. A diferença de a por b é definida por

a – b = a + (-b)

Vetor oposto O negativo de a tem o mesmo comprimento e a mesma direção de a, mas sentido oposto.

VETORES - Operações

Multiplicação por um escalar

•  Considere um vetor em um espaço tridimensional a (xa, ya, za) e um escalar k, a multiplicação de k pelo vetor a é o vetor b(k xa, k ya, k za).

Se v é um vetor não-nulo e k é um número real (escalar) não-nulo, então o produto kv é definido como o vetor de mesma direção de v cujo c o m p r i m e n t o é | k | v e z e s o comprimento de v e cujo sentido é o mesmo de v se k>0 e oposto ao de v se k<0.

x 5

4

y

6

a b

a = (5, 4) k = 1.5 b = (5*1.5, 4*1.5) b = (7.5, 6)

7.5

Multiplicação por um escalar VETORES - Operações

Se a e b são vetores no espaço bi ou tridimensional e α é o ângulo entre a e b, então o produto escalar a.b é definido por a.b = ||a|| ||b|| cos α

Componente de a ao longo da direção e do sentido positivo de b é a cos α

Componente de b ao longo da direção e do sentido positivo de a é b cos α

( )( ) ( )( )α=α= coscos. bababa

VETORES - Operações Produto escalar

Produto escalar

• Considere dois vetores em um espaço tridimensional a(xa, ya, za) e b(xb, yb, zb), e α como sendo o ângulo entre eles, o produto escalar pode ser obtido de duas formas:

• a.b = xa xb + ya yb + za zb • a.b = ||a|| ||b|| cosα Assim: • cos α = a.b / ||a|| ||b||

y b

a

a = (8,4) b = (2,6) a . b = 16 + 24 = 40 ||a|| = 8.9 ||b|| = 6.3 α = acos(40/(8.9*6.3)) α = 45°

α

x

VETORES - Operações

||||.||||/.cos baba=α

Tarefa de casa!!!

A figura abaixo representa uma atleta executando um exercício de agachamento.

Dadas as coordenadas A(10,60), B (40,40) e C (25,15), calcule: a) O tamanho dos segmentos coxa e perna b) O ângulo formado pela coxa e perna (joelho)

Resolução Coxa:

BA=B-A=(40,40)-(10,60)=(-30,20)

|BA|=36,05cm

Perna:

BC=C-B=(25,15)-(40,40)=(-15,-25)

|BC|=29,15cm

Ângulo entre Coxa e Perna:

α =(arc cos (BA . BC / |BA|*|BC|)) *180/π

α =92,72°