Cinemática em 1D

•Cinemática = Descrição Matemática do Movimento

•1D = Movimentos em linha reta, nada de curvas ou lombadas

•Para que isso? 𝐹 = 𝑚𝑎

Queda Livre Vertical

Movimento de Projéteis (queda-livre 2D)

O que é preciso para associar um número a uma posição ?

0 +10 m−8 m

ORIGEM e SENTIDO

A trajetória 𝑥(𝑡)

• Informa onde está a partícula (𝑥) a cada instante de tempo (𝑡).

• É a descrição matemática completa do movimento.

• Gostaria de saber não apenas ONDE a partícula está, mas também PARA ONDE ela está indo.

• De 𝑥(𝑡) podemos obter a velocidade 𝑣 e a aceleração 𝑎 da partícula em qualquer instante.

A interpretação do gráfico de 𝑥(𝑡)

𝑥 [m]

𝑡 [s]1 3

−1,5

2,0

0

Deslocamento ∆𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝑥 𝑡2 − 𝑥(𝑡1)

0−3m +9m∆𝑥 = +12 m

0−3 m +9 m∆𝑥 = −12 m

Velocidade Média 𝑣𝑚𝑒𝑑 𝑡1, 𝑡2 = 𝑥 𝑡2 −𝑥(𝑡1)

𝑡2−𝑡1

0−3m +9m

0−3 m +9 m

∆𝑡 = 3 s

∆𝑡 = 6 s

𝑣𝑚𝑒𝑑 = +4m/s

𝑣𝑚𝑒𝑑 = −2m/s

𝑣𝑚𝑒𝑑 no gráfico de 𝑥(𝑡)

𝑥 [m]

𝑡 [s]1 3

−1,5

2,0

0

𝑣𝑚𝑒𝑑 0,1

𝑣𝑚𝑒𝑑 1,3

=−1,5 m

1,0 s= −1,5 m/s

=+3,5 m

2,0 s= +1,8 m/s

Velocidade Instantânea 𝑣 𝑡 = lim𝑑𝑡→0

𝑥 𝑡+𝑑𝑡 −𝑥(𝑡)

𝑑𝑡

𝑥 [m]

𝑡 [s]𝑡

𝑥(𝑡)

0

𝑥 [m]

𝑡 [s]𝑡0

𝑥(𝑡)

𝑑𝑡𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑣 𝑡 > 0 𝑣 𝑡 < 0

Operacionalmente...

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑡3 → 𝑣 𝑡 = 3𝐴𝑡2

𝑥 𝑡 = 𝐴 sin(𝐵𝑡) → 𝑣 𝑡 = 𝐴𝐵 cos(𝐵𝑡)

𝑥 𝑡 = 𝐶 exp(𝐷𝑡) → 𝑣 𝑡 = 𝐶𝐷 exp(𝐷𝑡)

𝑣 𝑡 =𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡

𝑥 𝑡 = −15 m/s 𝑡 + (5 m/s2)𝑡2

𝑣 𝑡 = −15 m/s + 10 m/s2 𝑡

0

10

20

−10

𝑦 (m)

Aceleração instantânea 𝑎 𝑡 =𝑑𝑣(𝑡)

𝑑𝑡=

𝑑2𝑥(𝑡)

𝑑𝑡2

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑡3 → 𝑣 𝑡 = 3𝐴𝑡2 → 𝑎 𝑡 = 6𝐴𝑡

𝑥 𝑡 = 𝐴 sin(𝐵𝑡) → 𝑣 𝑡 = 𝐴𝐵 cos 𝐵𝑡 → 𝑎 𝑡 = −𝐴𝐵2sin(𝐵𝑡)

𝑥 𝑡 = 𝐶 exp(𝐷𝑡) → 𝑣 𝑡 = 𝐶𝐷 exp 𝐷𝑡 → 𝑎 𝑡 = 𝐶𝐷2exp(𝐷𝑡)

Inclinação e Concavidade de uma função

𝑑𝑓 𝑑𝑥 + 𝑑𝑓 𝑑𝑥 + 𝑑𝑓 𝑑𝑥 − 𝑑𝑓 𝑑𝑥 −

𝑑2𝑓 𝑑𝑥2 − 𝑑2𝑓 𝑑𝑥2 + 𝑑2𝑓 𝑑𝑥2 + 𝑑2𝑓 𝑑𝑥2 −

𝑓

𝑥

𝑓

𝑥

𝑓

𝑥

𝑓

𝑥

Os sinais de 𝑣 𝑡 e 𝑎 𝑡 e a inclinação e concavidade de 𝑥(𝑡)

v>

0

v<

0

v>

0a < 0 a > 0 a = 0

“acelerar” e “desacelerar” na linguagem comum

𝑥 𝑥

𝑡 𝑡𝑣 ↓ 𝑣 ↑ 𝑣 ↓ 𝑣 ↑

Partícula “acelera” (|𝑣| aumenta) quando 𝑎 e 𝑣 têm sinais iguais

Partícula “desacelera” (|𝑣| diminui) quando 𝑎 e 𝑣 têm sinais opostos

Movimento Uniformemente Variado (MUV)

𝑥 𝑡 = 𝐴 + 𝐵𝑡 + 𝐶𝑡2

𝑣 𝑡 = 𝐵 + 2𝐶𝑡

𝑎 𝑡 = 2𝐶 𝐶 = 𝑎2

𝐵 = 𝑣0

𝐴 = 𝑥0

𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +12𝑎𝑡2 𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡

Applet “Kinematics 1D”

Equação de Torricelli

𝑣𝐵2 − 𝑣𝐴

2 = 2𝑎(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)

• Apenas para MUV• Útil em situações onde o tempo não está envolvido

Problema 1

Um tiro é disparado contra uma parede. A bala sai com velocidade 𝑣0 do cano e penetra uma distância ∆𝑥 na parede. Supondo que a bala executa um MUV dentro da parede, (a) qual a aceleração da bala e (b) quanto tempo a bala leva para parar?

∆𝑥

𝑣0

𝑎 = −𝑣02

2∆𝑥

∆𝑡 =2∆𝑥

𝑣0

0

Problema 2

Um carro está se movendo a 45 km/h quando o sinal fica vermelho. O tempo de reação do motorista é de 0,70 s e o carro desacelera a 7,0 m/s2 quando o freio é acionado. Calcule a distância que o carro percorre desde o momento em que o sinal fica vermelho até o carro parar, e o tempo decorrido até a parada.

MU MUV

∆𝑥 = 𝑣0𝑡𝑅 +𝑣02

2|𝑎|

∆𝑡 = 𝑡𝑅 +𝑣0|𝑎|

8,8 m11 m

0,70 s 1,8 s

Problema 3

Um carro está parado em um sinal. No exato instante em que o sinal abre, uma motocicleta passa pelo carro a 100 km/h. Qual é a menor aceleração constante do carro que o permite ultrapassar a moto antes do próximo sinal a 500 m de distância?

𝑎 ≥2𝑉2

𝐷

𝑉

𝑣0 = 0

3,09 m/s2

0 𝐷

Material usado em aula

O applet kinematics_1D pode ser baixado no site do curso