SISTEMA DE PARTÍCULAS

• Bola de Futebol• Bola de Tênis• Transferidor

• Cilindro Excêntrico

Sistemas DISCRETOS ou CONTÍNUOS

Sistemas RÍGIDOS ou FLEXÍVEIS

Centro de Massa

Centro de Massa (Sistema discreto)

𝑚1

𝑚2

𝐫2

𝐫1 𝐑𝐑 =(𝑚1𝐫1 +𝑚2𝐫2 +𝑚3𝐫3 +⋯)

(𝑚1 +𝑚2 +𝑚3 +⋯)

𝐑 = 𝑖𝑚𝑖𝐫𝑖𝑀

𝐑 =3kg 0,0 + 4kg 2m, 1m + (8kg)(1m, 2m)

15kg

𝐑 =16

15m,20

15m = (1,1 m, 1,3 m)

Ilustração

𝑥 [m]

𝑦 [m]

8 kg

4 kg

3 kg 21

2

1

Centro de Massa (Sistema contínuo)

𝐑𝐫

𝑑𝑚

𝐑 = 𝐫 𝑑𝑚

𝑀

Objetos homogêneos e simétricos

Onde fica o CM do paralelepípedo homogêneo?

𝐑 ∈ plano de simetria

𝐑 = 𝐫 𝑑𝑚

𝑀

𝐫′

𝐫⊥′ 𝐫⊥

𝐑 𝐫

Eixo de simetria é a interseção de infinitosplanos de simetria

Onde fica o CM do cilindro homogêneo?

𝐑

𝐑 ∈ eixo de simetria

CM do cone homogêneo

ℎ𝑧

𝑟

𝑅

𝐑 = 𝐫 𝑑𝑚

𝑀

𝑍 = 𝑧 𝑑𝑚

𝑀

= 0ℎ𝑧 𝜌𝜋𝑟2𝑑𝑧

0ℎ𝜌𝜋𝑟2𝑑𝑧

𝑟 = 𝑅ℎ𝑧

= 0ℎ𝑧3𝑑𝑧

0ℎ𝑧2𝑑𝑧

=3ℎ

4

Agrupando todos os 𝑑𝑚′𝑠 que têm

o mesmo 𝑧

CM de sistemas flexíveis muda de posição

Objetos Compostos

o CM do objeto composto é o “CM dos CMs”

𝐑

𝐑′

𝐑 = 𝑖𝑚𝑖𝐫𝑖 + 𝑖𝑚𝑖

′𝐫𝑖′

𝑀 +𝑀′

=𝑀𝐑+𝑀′𝐑′

𝑀 +𝑀′𝑀′

𝑀

CM do Sistema Terra-Lua

𝑋 =𝑀𝑇0 +𝑀𝐿𝐷

𝑀𝑇 +𝑀𝐿= 4621 km

𝐷 = 0,38 × 106 km

6371 km

Terra Lua

Em escala….

Terra = bola de futebol, Lua = bola de tênis a 9 metros de distância!

Desafio: qual é a posição do CM do disco abaixo? (ignore a espessura)

𝑅

𝑟

𝑑

densidade superficial Σ

densidade superficial 𝜎

𝑑 + 𝑟 < 𝑅

A equação de Newton para o CM

𝐅1

𝐅3

𝐅2

𝑚2

𝑚3𝑚1

𝑚1𝐚1 = 𝐅1 + 𝐟13 + 𝐟12

𝑚2𝐚2 = 𝐅2 + 𝐟23 + 𝐟21

𝑚3𝐚3 = 𝐅3 + 𝐟32 + 𝐟31

𝑚1𝐚1 +𝑚2𝐚2 +𝑚3𝐚3 = 𝐅1 + 𝐅2 + 𝐅3

Posição, Velocidade e Aceleração do CM

𝑚1𝐚1 +𝑚2𝐚2 +𝑚3𝐚3 = 𝐅1 + 𝐅2 + 𝐅3

𝐑(𝑡) = 𝑖𝑚𝑖𝐫𝑖(𝑡)

𝑀

𝐕(𝑡) = 𝑖𝑚𝑖𝐯𝑖(𝑡)

𝑀

𝐀(𝑡) = 𝑖𝑚𝑖𝐚𝑖(𝑡)

𝑀

𝑀𝐀(𝑡) = 𝐅𝑒𝑥𝑡

Eq. de Newton para o CM

Soma vetorial de TODAS as forças externas sobre o sistema

Casos onde 𝐅𝑒𝑥𝑡 = 0

Applet “Collision Lab” (trajetória do CM em colisão 2D)

1. Casos 100% elástico e 100% inelástico2. Vetores velocidade

https://www.youtube.com/watch?v=amfw2nABke4

𝑚 𝐷 + 𝐿 +𝑀(𝐷 + 𝐿 2)

𝐷′ = 𝐷 +𝑚𝐿

𝑚 +𝑀

𝐷 𝐿

𝐷′

E se fosse uma formiga, ao invés de um cachorro?

= 𝑚 𝐷′ +𝑀(𝐷´ + 𝐿 2)

Casos onde 𝐅𝑒𝑥𝑡 = 𝑀𝐠

https://www.youtube.com/watch?v=ob4sBQdJFww

https://www.youtube.com/watch?v=RaGUW1d0w8g

https://www.youtube.com/watch?v=uGBANgbRkws

Estabilidade e o CM(discussão qualitativa)

𝐶

Pêndulo Físico

Equilíbrio Estável Oscilação Equilíbrio Instável

𝐶

𝐶

Demo: CM de um transferidor

EQUILÍBRIO ESTÁVEL: quando qualquer pequeno deslocamento

ELEVA o centro de massa

𝐶

ESTÁVELINSTÁVEL

Estabilidade de mesas

𝐶

https://www.youtube.com/watch?v=pXS2YPRNjD0

Pên

du

lo E

sfér

ico

http://dev.physicslab.org/Document.aspx?doctype=3&filename=RotaryMotion_CenterMass.xml

ESTÁVEL

Rolamento

EQUILÍBRIO INDIFERENTE: quando qualquer pequeno movimento NÃO AFETA a altura do centro de massa

Rolamento de um disco HOMOGÊNEO

EQUILÍBRIO ESTÁVEL

Rolamento de um disco EXCÊNTRICO

Demo: Cilindro excêntrico