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  • Fsica 1 Universidade do Minho Departamento de Fsica

    (2008)

    (Cinemtica da Partcula e de Mecanismos)

    Joaquim Carneiro 1

    Cinemtica da partcula 1 Parte

    1.1 Derivada de um vector em ordem a um escalar

    Seja um vector A

    funo de um escalar g : )(gAA

    =

    Define-se

    gA

    ggAggA

    dgAd

    gg

    =

    +=

    00 lim)()(lim

    A

    )( ggA +

    )(gA

    Notar que sendo

    ++=

    3

    2

    1

    332211

    AAA

    uAuAuAA

    vem

    dgudAu

    dgdA

    dgudAu

    dgdA

    dgudAu

    dgdA

    dgAd 3

    3332

    2221

    111

    +++++=

    pois os versores podem depender de g !

    Considere-se o caso particular em que o vector A

    o vector posio r de um ponto P que se se desloca no espao quando o tempo decorre e em que o escalar (g) o tempo t.

  • Fsica 1 Universidade do Minho Departamento de Fsica

    (2008)

    (Cinemtica da Partcula e de Mecanismos)

    Joaquim Carneiro 2

    ++=

    3

    2

    1

    332211

    rrr

    urururr

    A sua derivada em ordem ao tempo chama-se velocidade do ponto P:

    dtudru

    dtdr

    dtudru

    dtdr

    dtudru

    dtdr

    dtrd

    trv t 3333222211110lim

    +++++==

    =

    r

    )( ttr +

    )(trP

    Ao quociente tr

    chama-se velocidade mdia durante o intervalo de tempo t.

    1.2 Representao intrnseca da velocidade e da acelerao

    Vamos estudar um sistema de coordenadas a que se chama intrnseco pelo facto de ser definido a partir da prpria trajectria. Notar que, assim sendo, os versores iro depender no s da posio do ponto mas tambm da maneira como essa posio varia (trajectria).

    r

    b

    x

    y

    z

    O

    =

    b

    Triedo de Frenet );;( b

    a) Versor da tangente )(

    dsrd

    = tangente, pois rd o ;

    versor, pois 1== dsrd

  • Fsica 1 Universidade do Minho Departamento de Fsica

    (2008)

    (Cinemtica da Partcula e de Mecanismos)

    Joaquim Carneiro 3

    b) Versor da normal )(

    dsd

    K

    1=

    K Curvatura da linha no ponto considerado.

    dsdR

    =

    R Raio de curvatura da linha no ponto considerado.

    u Por definio dsdK

    R

    ==1

    , pelo que o vector

    acima definido tem mdulo 1, i., versor.

    u Verifiquemos que

    ==+==

    ====

    dsd

    dsd

    dsd

    dsd

    dsd

    dsd

    cte

    02)(0

    0)(11

    Notar que no foi o facto de o mdulo ser 1 que foi relevante, mas sim o facto de o mdulo ser constante!

    Se um vector depende de um escalar mas tem mdulo constante (i., se s a sua direco varia) a sua derivada em relao ao escalar produz um vector que lhe perpendicular.

    C) Velocidade )(v

    vdtsd

    dtsd

    dsrd

    dtrdv

    v

    ====

    ==

    A velocidade um vector dirigido segundo a direco tangente trajectria.

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    (2008)

    (Cinemtica da Partcula e de Mecanismos)

    Joaquim Carneiro 4

    d) Acelerao )(a

    )(

    tan

    )(

    2

    2

    1

    centrptaounormalaceleraoRva

    gencialaceleraodtvda

    Rvaa

    Rv

    dtsd

    dsd

    dtdcomo

    dtdv

    dtvdv

    dtd

    dtvda

    t

    a

    t

    vR

    at

    =

    =

    +===

    +===

    ===

    =

    acelerao normal tambm pode chamar-se centrpeta porque ela aponta para o centro de curvatura da trajectria.

    P1 ( t1 )

    P2 ( t2 )

    1

    2C2

    C1 +

    + R2

    R1

    O centro de curvatura por definio situa-se sobre a r e c t a n o r m a l , a u m a distncia da curva, para dentro, igual ao raio de curvatura.

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    (2008)

    (Cinemtica da Partcula e de Mecanismos)

    Joaquim Carneiro 5

    ] A componente tangencial da acelerao est associada ( igual, alis) variao do mdulo da velocidade isto , variao da rapidez.

    ] A componente normal da acelerao est associada variao da direco do vector velocidade:

    dtdvan

    =

    Assim, as aceleraes ( foras ) so necessrias no s para fazer variar a rapidez de um movimento mas tambm necessrias para fazer variar a direco da trajectria.

    Casos particulares

    t

    a

    adtvd

    dtdv

    dtvdv

    dtd

    dtvda

    teconsdirecocte

    t

    ==+===

    =

    =

    =

    0

    )(

    )tan(1

    claro que neste caso a trajectria uma recta como se pode verificar

    0,0

    );(

    2

    2

    ====

    +=

    KRRv

    dtdvacasoneste

    geralRv

    dtdva

    Uma linha com curvatura nula (ou, equivalentemente, com raio de curvatura infinito) uma recta.

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    (2008)

    (Cinemtica da Partcula e de Mecanismos)

    Joaquim Carneiro 6

    2 v = cte. (movimento uniforme no que respeita rapidez)

    aRv

    dtdv

    dtvdv

    dtd

    dtvda

    a

    ==+===

    =

    =

    2

    0

    )(

    O caso R = const. movimento circular um caso particular deste caso particular.

    1.3 Lei do movimento

    Descrever um movimento fornecer a lei do movimento, isto , especificar a posio do ponto em estudo num dado sistema de referncia em todos os instantes de tempo por meio de uma expresso

    =

    =

    =

    =.).(

    )()()(

    )(coorddesistqq

    tzztyytxx

    trr

    claro que as equaes anteriores so as equaes paramtricas da trajectria, sendo o tempo, o parmetro. As equaes cartesianas da trajectria obtm-se pois por eliminao do tempo.

    Ex .

    atrajectridacartesianaeq

    atrajectridaasparamtriceq

    z

    xy

    zty

    tx

    tt

    jtitr

    .

    2

    .

    222

    04

    0

    2

    0

    22

    =

    =

    =

    =

    =

    +=

    1.3.1 Problemas fundamentais da cinemtica

    )

    ()(

    )(;;:

    0 geralcasonotempodofuno

    dadottiniciaiscondies

    oo tavrDados

    =

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    (2008)

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    Joaquim Carneiro 7

    )()()(

    )()(:min

    tzmovimentodoleity

    txtrarDeter

    o problema mais frequente. Vejamos o mtodo de resoluo no caso particular de o vector acelerao ser constante.

    )0()(

    00

    00

    00

    =+=

    =

    =

    ==

    tsetavvttavv

    dtavd

    dtavddtvda

    t

    t

    v

    v

    =

    =

    ==

    t

    t

    t

    t

    r

    r

    dtvrr

    dtvrd

    dtvrddtrdv

    0

    00

    0

    200 2

    1,

    tatvrr

    Logo

    ++=

    Ex .

    x

    y

    0r

    0v

    jgg

    =

    trajectria ? )(;)(;2: 00 ctegajivjrDados

    =+==

    zyx

    tgtt

    tgtt

    r

    tatvrr

    asparamtriceq

    .

    22

    200

    0212

    0210

    0020

    21

    +=

    +

    +

    =

    ++=

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    (2008)

    (Cinemtica da Partcula e de Mecanismos)

    Joaquim Carneiro 8

    A equao cartesiana da trajectria obtm-se como vimos, por substituio do parmetro t;

    2

    212 xgxy

    tx

    +=

    =

    (Parbola)

    1.3.2 Alguns casos particulares

    1.3.2.1 - Movimento com acelerao constante e rectilneo )( =

    ctea

    Neste caso, e escolhendo para eixo do x a prpria recta sobre a qual se efectua o movimento, temos que aevvrr 00 ;;; tm todos a mesma direco, tendo componentes apenas segundo aquele eixo. Notar em particular que a tem a direco de v (de outro modo, a trajectria encurvaria !!).

    Podemos pois escrever a seguinte relao escalar:

    200 2

    1 tatvxx ++=

    No esquecer que pode ser

    a > 0 acelerao positiva (movimento uniformemente acelerado)

    a < 0 acelerao negativa (movimento uniformemente retardado)

    a = 0 acelerao nula ( v = vo ) (movimento uniforme)

  • Fsica 1 Universidade do Minho Departamento de Fsica

    (2008)

    (Cinemtica da Partcula e de Mecanismos)

    Joaquim Carneiro 9

    1.3.2.2 Movimento circular

    Neste caso prefervel utilizar a representao polar:

    x

    y

    R O

    u

    u

    d

    uu

    ds

    Velocidade / acelerao:

    uRuRa

    Entou

    RRdtd

    dtsd

    dtdv

    Rv

    dtdva

    cteRRdtdRvdRds

    dtdsv

    vdtdsv

    2

    2

    2

    2

    :

    )(

    )(

    .)(;

    )(

    =

    =

    ===

    +=

    =====

    ==

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    (2008)

    (Cinemtica da Partcula e de Mecanismos)

    Joaquim Carneiro 10

    Define-se:

    -ngulo de rotao [rad]

    -velocidade angular [rad/s]

    - acelerao angular [rad/s2]

    ===

    ==

    angularAceleraodtd

    dtd

    angularVelocidadedtd

    2

    2

    Vector velocidade angular, ou Vector rotao

    Define-se vector velocidade angular um vector tal que

    atrajectriRr

    Notar

    vectordoAemmomentoMvRv A

    =

    ==

    21

    :

    )(

    Existe uma correspondncia entre os movimentos de rotao e os de translao, que pode ser expressa pelas seguintes relaes:

    )()(

    ouaouv

    x

    ===

    ===

    dtd

    dtdva

    dtd

    dtdxv

    ;

    ;

    =

    =

    xyyx

    zxxz

    yzzy

    z

    y

    x

    z

    y

    x

    z

    y

    x

    rrrrrr

    rrr

    vvv

    ..

    ..

    ..

    z

    Rv

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