cinemática da partícula – 1ª parte · 1.3 – lei do movimento descrever um movimento é...

Física 1 Universidade do Minho

Departamento de Física

(2008)

(Cinemática da Partícula e de Mecanismos)

Joaquim Carneiro 1

Cinemática da partícula – 1ª Parte

1.1 – Derivada de um vector em ordem a um escalar

Seja um vector A

função de um escalar g : )(gAA

=

Define-se

gA

ggAggA

dgAd

gg Δ

Δ=

Δ

−Δ+= →Δ→Δ

00 lim)()(lim

A

Δ

)( ggA Δ+

)(gA

Notar que sendo

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⇔++=

3

2

1

332211

AAA

uAuAuAA

vem

dgudAu

dgdA

dgudAu

dgdA

dgudAu

dgdA

dgAd 3

3332

2221

111

+++++=

pois os versores podem depender de g !

Considere-se o caso particular em que o vector A

é o vector posição r de um ponto P que se se desloca no espaço quando o tempo decorre e em que o escalar (g) é o tempo t.



(2008)


Joaquim Carneiro 2

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⇔++=

3

2

1

332211

rrr

urururr

A sua derivada em ordem ao tempo chama-se velocidade do ponto P:

dtudru

dtdr

dtudru

dtdr

dtudru

dtdr

dtrd

trv t

333

3222

2111

10lim

+++++==ΔΔ

= →Δ

rΔ

)( ttr Δ+

)(trP

Ao quociente tr

ΔΔ

chama-se velocidade média durante o intervalo de tempo Δt.

1.2 – Representação intrínseca da velocidade e da aceleração

Vamos estudar um sistema de coordenadas a que se chama “intrínseco” pelo facto de ser definido a partir da própria trajectória. Notar que, assim sendo, os versores irão depender não só da posição do ponto mas também da maneira como essa posição varia (trajectória).

r τ

η

b

x

y

z

O

ητ

ητ

∧=

⊥

b

Triedo de Frenet );;( ητb

a) Versor da tangente )(τ

dsrd

=τÉ tangente, pois rd o é;

É versor, pois 1=⇒= τ dsrd



(2008)


Joaquim Carneiro 3

b) Versor da normal )(η

dsd

Kτ

η

1=

K Curvatura da linha no ponto considerado.

dsdR τ

η

=

R Raio de curvatura da linha no ponto considerado.

u Por definição é dsdK

Rτ

==1

, pelo que o vector η

acima definido tem módulo 1, i.é, é versor.

u Verifiquemos que é τη

⊥

τττ

ττ

τττ

ττ

τττττ

⊥⇒=⋅=⋅+⋅=⋅=

⇒=⋅⇒=⋅⇒==

dsd

dsd

dsd

dsd

dsd

dsd

cte

02)(0

0)(11

Notar que não foi o facto de o módulo ser 1 que foi relevante, mas sim o facto de o módulo ser constante!

“ Se um vector depende de um escalar mas tem módulo constante (i.é, se só a sua direcção varia) a sua derivada em relação ao escalar produz um vector que lhe é perpendicular”.

C) Velocidade )(v

ττ

τ

vdtsd

dtsd

dsrd

dtrdv

v

====

==

A velocidade é um vector dirigido segundo a direcção tangente à trajectória.



(2008)


Joaquim Carneiro 4

d) Aceleração )(a

)(

tan

)(

2

2

1

centríptaounormalaceleraçãoRva

gencialaceleraçãodtvda

Rvaa

Rv

dtsd

dsd

dtdcomo

dtdv

dtvdv

dtd

dtvda

t

a

t

vR

at

→=

→=

+=⇒==

+===

===

=

η

η

ητηττ

τττ

η

À aceleração normal também pode chamar-se centrípeta porque ela aponta para o centro de curvatura da trajectória.

P1 ( t1 )

P2 ( t2 )

1η

2ηC2

C1 +

+ R2

R1

O “centro de curvatura” por definição situa-se sobre a r e c t a n o r m a l , a u m a distância da curva, “para dentro”, igual ao raio de curvatura.



(2008)


Joaquim Carneiro 5

] A componente tangencial da aceleração está associada (é igual, aliás) à variação do módulo da velocidade isto é, à variação da “rapidez”.

] A componente normal da aceleração está associada à variação da direcção do vector velocidade:

dtdvanτ

=

Assim, as acelerações ( ⇒ forças ) são necessárias não só para fazer variar a rapidez de um movimento mas também necessárias para fazer variar a direcção da trajectória.

Casos particulares

t

a

adtvd

dtdv

dtvdv

dtd

dtvda

teconsdirecçãocte

t

==+===

=

=

=

→

ττ

ττ

τ

0

)(

)tan(º1

È claro que neste caso a trajectória é uma recta como se pode verificar

0,0

);(

2

2

=∞=⇒=⇒=

+=

KRRv

dtdvaécasoneste

geralRv

dtdva

τ

ητ

Uma linha com curvatura nula (ou, equivalentemente, com raio de curvatura infinito) é uma recta.



(2008)


Joaquim Carneiro 6

2º v = cte. (movimento “uniforme” no que respeita à rapidez)

ηητ

ττ

η

aRv

dtdv

dtvdv

dtd

dtvda

a

==+===

=

=

2

0

)(

O caso R = const. ⎯ movimento circular ⎯ é um caso particular deste caso particular.

1.3 – Lei do movimento

Descrever um movimento é fornecer a lei do movimento, isto é, especificar a posição do ponto em estudo num dado sistema de referência em todos os instantes de tempo por meio de uma expressão

⎩⎨⎧

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

⇔=.).(

)()()(

)(coorddesistqq

tzztyytxx

trr

È claro que as equações anteriores são as equações paramétricas da trajectória, sendo o tempo, o parâmetro. As equações cartesianas da trajectória obtêm-se pois por eliminação do tempo.

Ex .

atrajectóridacartesianaeq

atrajectóridaasparamétriceq

z

xy

zty

tx

tt

jtitr

.

2

.

222

04

0

2

0

22

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

⇔⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⇔+=

1.3.1 – Problemas fundamentais da cinemática

)

()(

)(;;:

0 geralcasonotempodofunção

dadottiniciaiscondições

oo tavrDados

=



(2008)


Joaquim Carneiro 7

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⇔

)()()(

)()(:min

tzmovimentodoleity

txtrarDeter

È o problema mais frequente. Vejamos o método de resolução no caso particular de o vector aceleração ser constante.

)0()(

00

00

00

=+=

⇒−=−

=

=→=

∫∫

tsetavvttavv

dtavd

dtavddtvda

t

t

v

v

∫

∫∫

=−

=

=→=

t

t

t

t

r

r

dtvrr

dtvrd

dtvrddtrdv

0

00

0

200 2

1,

tatvrr

Logo

++=

Ex .

x

y

0r

0v

jgg

−=

trajectória ? )(;)(;2: 00 ctegajivjrDados =+==

zyx

tgtt

tgtt

r

tatvrr

asparamétriceq

.

22

200

0212

0210

0020

21

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⇔++=



(2008)


Joaquim Carneiro 8

A equação cartesiana da trajectória obtém-se como vimos, por substituição do parâmetro t;

2

212 xgxy

tx

−+=

⇒=

(Parábola)

1.3.2 – Alguns casos particulares

1.3.2.1 - Movimento com aceleração constante e rectilíneo )( ⋅=→

ctea

Neste caso, e escolhendo para eixo do x a própria recta sobre a qual se efectua o movimento, temos que aevvrr

00 ;;; têm todos a mesma direcção, tendo componentes apenas segundo aquele eixo. Notar em particular que a tem a direcção de v (de outro modo, a trajectória encurvaria !!).

Podemos pois escrever a seguinte relação escalar:

200 2

1 tatvxx ++=

Não esquecer que pode ser

a > 0 ⇒ aceleração positiva ⇒ (movimento uniformemente acelerado)

a < 0 ⇒ aceleração negativa ⇒ (movimento uniformemente retardado)

a = 0 ⇒ aceleração nula ( ⇒ v = vo ) ⇒ (movimento uniforme)



(2008)


Joaquim Carneiro 9

1.3.2.2 – Movimento circular

Neste caso é preferível utilizar a representação polar:

x

y

R O

τθ

≡u

ρu

η θd

⎩⎨⎧

−≡

≡

η

τ

ρ

θ

uu

ds

Velocidade / aceleração:

ρθ

ρ

θθ

η

θθ

ητ

θθ

θ

ττ

uRuRa

Entãou

RRdtd

dtsd

dtdv

Rv

dtdva

cteRRdtdRvdRds

dtdsv

vdtdsv

2

2

2

2

:

)(

)(

.)(;

)(

−=

−=

===

+=••

===⇒==

==•



(2008)


Joaquim Carneiro 10

Define-se:

θ-ângulo de rotação [rad]

ω-velocidade angular [rad/s]

α- aceleração angular [rad/s2] ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

→===

→==

angularAceleraçãodtd

dtd

angularVelocidadedtd

θθω

α

θθ

ω

2

2

Vector velocidade angular, ou Vector rotação

Define-se vector velocidade angular um vector tal que

atrajectóriRr

Notar

vectordoAemmomentoMvRv A

⊥

∧=∧

=⇔∧=

ω

ωω

ωωω

º2º1

:

)(

Existe uma correspondência entre os movimentos de rotação e os de translação, que pode ser expressa pelas seguintes relações:

)()(

αθ

ωθ

θ

ouaouv

x

↔

↔

↔

θω

α

θθ

ω

===

===

dtd

dtdva

dtd

dtdxv

;

;

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−

−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

xyyx

zxxz

yzzy

z

y

x

z

y

x

z

y

x

rrrrrr

rrr

vvv

..

..

..

ωω

ωω

ωω

ω

ω

ω

z

Rv

∧=ω

r

x

y

ω

R

O

A



(2008)


Joaquim Carneiro 11

Assim, e por exemplo, sabendo que para um movimento de translação com aceleração constante se tem

tavv

tatvxx

±=

±+=

0

200 2

1

pode escrever-se imediatamente a expressão para um movimento de rotação com aceleração constante:

2

21 ttoo αωθθ ±±=

to αωω ±=

Exemplo de aplicação: Determinar para a posição representada na figura, a velocidade linear de uma partícula que executa uma trajectória circular com um raio de 1,5 m e com velocidade angular constante de 10 rad/s.

krjrirr zyx

++=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

0)45(sin)45(cos

rr

rrr

r

z

y

x

kji zyx

ωωωω ++=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

θω

ω

ω

ω

00

z

y

x

kvjvivv zyx

++=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

×⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=×=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

061.1061.10

0)45(cos)45sin(

0)45sin()45cos(

00

rr

rr

rvvv

v

z

y

x

θ

θ

θ

ω

y

x

rv ×ω=

ω

r

o º45=θ



(2008)


Joaquim Carneiro 12

x

z

y o

Vesfera/Carro vcarro

Vesfera/carro- Velocidade da esfera em relação ao carro

Vesfera/solo- Velocidade do carro

2 - Cinemática da partícula – 2ª Parte 2.1 - Movimento Relativo de Translação

xo

zo

yo

x1

z1

y1

Ar

A

B Br

A/Br

Referencial fixo

Referencial móvel solidário com A

Na figura seguinte estão representados a posição de duas partículas onde os vectores rA e rB são as posições absolutas dessas partículas. A posição relativa entre as duas partículas é definida pelo vector rB/A, e representa a posição da partícula B em relação à partícula A.

Trajectória da partícula A

Ar

- Posição absoluta da partícula A

Br

- Posição absoluta da partícula B

- Posição relativa da partícula B em relação à partícula A e ao eixo móvel.

A/Br



(2008)


Joaquim Carneiro 13

Ø Posição:A posição da partícula B é definida como a soma vectorial da posição absoluta da partícula A e a posição relativa da partícula B em relação à partícula A

Ar

Br

A/Br

ABAB rrr /

+=

Ø Velocidade:A velocidade da partícula B é determinada a partir das derivadas dos vectores posição em ordem ao tempo.

ABAB vvv /

+=

fixo. lreferencia dopartir a medidos são

porque,absolutasvelociadessãodtrdve

dtrdvOnde B

BA

A

==

móvel refrencial dopartir a observada é dtrdv relativa deA velocida A/B

A/B

=

Bv

Av

A/Bv

Ø Aceleração:Através da derivada no tempo da velocidade é obtido aceleração absoluta e relativa, cuja relação é semelhante à obtida com os vectores posição.

ABAB aaa /

+=

Aa

Ba

A/Ba

111

B/AA/B

z,y, xmóvel eixo o com solidário

eA em colocado está se quando observamos que B aceleração a é dtvda Onde

=



(2008)


Joaquim Carneiro 14

Exemplo de aplicação:

Um comboio desloca-se a uma velocidade constante de 60km/h, atravessando uma estrada conforme a figura mostra. Se o carro se deslocar à velocidade de 45km/h, determine a velocidade relativa do comboio em relação ao carro.

ABAB vvv /

+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

z)A/B(

y)A/B(

x)A/B(

Az

Ay

Ax

Bz

By

Bx

vvv

vvv

vvv

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

zAB

yAB

xAB

vvv

)/(

)/(

)/(

0)45sin(45)45cos(45

0060

[ ]h/km082.3118.28

0)45(sen45)45cos(4560

vvv

z)A/B(

y)A/B(

x)A/B(

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

[ ]hkmjiv AB /82.3118.28/

−=



(2008)


Joaquim Carneiro 15

2.2 – Sistemas em movimento relativo de rotação

Considerem-se dois sistemas de referência centrados em O, um OXYZ fixo e outro rotativo em torno do eixo fixo OA; seja Ω a velocidade angular do sistema Oxyz num dado instante (ver figura). Considere-se agora uma função vectorial Q (t) representada pelo vector Q aplicado em O; como o tempo t varia, tanto o módulo como a direcção de Q variam. Como a variação de Q vista por um observador que usa o sistema OXYZ como referência é diferente da variação de Q vista por um que usa o sistema Oxyz, deve-se esperar que a derivada de Q dependa do sistema que for tomado como referência. Portanto, devemos designar por OXYZQ)( a derivada de Q em relação ao sistema fixo OXYZ e por OxyzQ)( a derivada em relação ao sistema rotativo Oxyz. Propomo-nos determinar a relação entre estas duas derivadas.

O X

Y

Z z

x

y

i j

k

A

Ω Q

Em primeiro lugar iremos decompor o vector Q em componentes segundo os eixos x, y e z do sistema rotativo. Designando por i, j e k os versores correspondentes, escrevemos

kQjQiQQ zyx

++=

Derivando a expressão anterior em ordem ao tempo, e considerando os versores i, j e k como fixos (pois para um observador em Oxyz são fixos), obtemos a derivada de Q em relação ao sistema rotativo Oxyz.

kQjQiQQ zyxOxyz

++=⋅



(2008)


Joaquim Carneiro 16

Para obter a derivada de Q em relação ao sistema fixo OXYZ, devemos considerar os versores i,j e k como varáveis (móveis) quando derivamos Q

)()(

)()()(

][

dtkdQ

dtjdQ

dtidQkQjQiQQ

dtkdQkQ

dtjdQjQ

dtidQiQQ

kQjQiQdtdQ

zyx

Q

zyxOXYZ

zzyyxxOXYZ

zyxOXYZ

Oxyz

+++++=

=+++++=

=++=

⋅

=

⋅

⋅

⋅

se o vector Q estivesse fixo dentro do sistema Oxyz, uma vez que

Observamos que a derivada de OXYZQ)( se reduziria aos três últimos termos da expressão anterior

OxyzQ)( seria então nulo. Mas, neste caso, OXYZQ)( representaria a velocidade de um ponto material localizado na ponta de Q e pertencente a um corpo rigidamente ligado ao sistema Oxyz. Então os três últimos termos da referida expressão representam a velocidade desse ponto material; como o sistema Oxyz tem uma velocidade angular Ω em relação a OXYZ, no instante considerado, escrevemos

QdtkdQ

dtjdQ

dtidQ

kdtkd

jdtjd

idtid

zyx

∧Ω=++⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

∧Ω=

∧Ω=

∧Ω=

)(

Sendo assim, obtemos a relação fundamental:

QQQ OxyzOXYZ

∧Ω+=

⋅



(2008)


Joaquim Carneiro 17

2.2.1 – Movimento tridimensional de um ponto material em relação a um sistema rotativo. Aceleração de Coriolis

Vimos anteriormente que, uma dada função vectorial Q(t) e dois sistemas de referência centrados em O — um sistema fixo OXYZ e um sistema móvel Oxyz — as derivadas de Q em relação aos dois sistemas satisfazem a relação

QQQ OxyzOXYZ

∧Ω+=

⋅

Supusemos, então, que o sistema Oxyz fora construído para girar em torno de um eixo fixo OA. Entretanto, a derivada, permanece válida quando o sistema Oxyz é obrigado a ter somente um ponto fixo O. Sob esta suposição mais geral, o eixo OA representa o eixo instantâneo de rotação do sistema Oxyz, e o vector Ω, a sua velocidade angular no instante considerado.

Consideremos agora o movimento tridimensional de um ponto material P em relação ao sistema rotativo Oxyz que tem uma origem fixa O. Se o vector Q representar o vector posição r de um ponto P num dado instante e Ω a velocidade angular do sistema Oxyz em relação ao sistema fixo OXYZ no mesmo instante (ver figura), então a velocidade absoluta vP do ponto material é definida como a velocidade observada do sistema fixo OXYZ e é igual à derivada OXYZr)( de r em relação ao sistema.

rrrv OxyzOXYZP

∧Ω+==

MPpP vvv += ʹ′

móvelsistemaaorelaçãoemPdevelocidadevPcomcoincideque

móvelsistemadoPpontodovelocidadevPmaterialpontodoabsolutavelocidadevonde

MP

P

P

=

ʹ′=

=

ʹ′

O X

Y

Z z

x

y

i j

k

Ω r

P

OxyzrMas define a velocidade MPv

do ponto P em relação ao sistema móvel Oxyz. Se considerarmos que o ponto P foi ligado ao sistema móvel, então vP/M representará a velocidade relativa. Por outro lado o termo Ω ∧ r representará a velocidade vP’ dum ponto P’ do sistema móvel que coincide com P no instante considerado e costuma designar-se por velocidade de transporte. Temos, então,



(2008)


Joaquim Carneiro 18

A aceleração absoluta aP do ponto material é definida como a derivada de vP em relação ao sistema fixo OXYZ. Calculando as derivadas em relação a OXYZ dos termos da relação fundamental, escrevemos

][ OxyzPP rdtdrrva

+∧Ω+∧Ω==

onde todas as derivadas estão definidas em relação a OXYZ, excepto onde for indicado de outro modo. Relembrando a relação fundamental, observamos que o último termo da expressão anterior pode ser expresso como:

OxyzOxyzOxyz rrrdtd ∧Ω+=][

Por outro lado, r representa a velocidade vP e pode ser substituído pelo membro do lado direito da expressão representativa da velocidade absoluta vP apresentada anteriormente. Assim, ficará

OxyzOxyzP

OxyzOxyzOxyzP

rrrra

rrrrra

∧Ω+∧Ω∧Ω+∧Ω+=

∧Ω++∧Ω+∧Ω+∧Ω=

2)(

)()(

O primeiro termo desta última relação representa a aceleração relativa aP/M do ponto P em relação ao sistema rotativo. A aceleração de transporte será a que existir quando a velocidade relativa (e portanto também a aceleração relativa) for nula e corresponde à soma do 2º e 3º termo da expressão anterior e está associada à aceleração aP’ do ponto P’ do sistema móvel que coincide com P no instante considerado. Ao termo que “sobra” chama-se “aceleração complementar ou de Coriolis” em homenagem ao matemático francês De Coriolis (1792 – 1843).

Note-se que a aceleração de Coriolis só existe se existirem simultaneamente :

)(.

)(.

MPto

to

vrelativomov

transportedemov

→

Ω→

e se além disso, não for MPv //Ω

cMPpP aaaa ++= ʹ′



(2008)


Joaquim Carneiro 19

Exemplo de aplicação: Considere-se um ponto P materializado por uma cursor que se move em translação (parâmetro s) com velocidade constante u ao longo de uma barra OB, que por sua vez gira com velocidade angular constante ω em torno de O e no plano vertical.

Determinar a aceleração do ponto P.

cMPpP aaaa ++= ʹ′

s

P

B

su =

O

ω

uac ω2=

2' ωsaP =

x

y

MPc

MP

p

va

constéupoisa

OPOPa

∧=

=

∧∧+∧=→→

=ʹ′

ω

ωωω

2

.)(0

)(0

Ficará:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ω

ω−

=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ω+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ω−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ω+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ω∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ω

=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ω

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ω

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ω

=

==

0u2S

a

0u20

00S

0u20

0S0

00

a

00u

00

2)00S

00

(00

a

2

P

2

P

aa

P

c'P



(2008)


Joaquim Carneiro 20

2.2.2 – Sistema de referência em movimento geral

Considere-se um sistema fixo de referência OXYZ e um sistema Axyz que se desloca de maneira conhecida em relação a OXYZ (gira e translada). Seja P um ponto material que se movimenta no espaço. A posição de P é definida, em qualquer instante, pelo vecto rP no sistema fixo, e pelo vector rp/A no sistema móvel. Designando por rA o vector posição de A no sistema fixo, virá

X

Y

Z

x

y

z

X’

Y’

Z’

P

Ar

Pr

APrΩ

APAAPAP

APAP

vvrrv

rrr

+=+=

⇒+=

Mas a velocidade vP/A de P em relação a AX’Y’Z’ pode ser obtida aplicando a relação fundamental, bastando substituir o vector Q pelo vector rP/A naquela equação. Assim virá:

APv

AxyzAPAPAP rrvv=

+∧Ω+= )(

A aceleração absoluta aP/A do ponto material é obtida derivando-se a expressão anterior, e escrevemos

APA v

AxyzAPAxyzAPAPAP

v

AP

APAPP

rrrraa

vvva

==

+∧Ω+∧Ω∧Ω+∧Ω+=

⇒+==

)()(2)(



(2008)


Joaquim Carneiro 21

3 - Cinemática de Corpos Rígidos

3.1 - Movimento no Plano

O movimento plano de corpos rígidos pode ser decompostos em três tipos de movimento diferentes, classificados a seguir por ordem crescente de complexidade:

Movimento de Translação

Movimento de Translação: Graficamente regista-se este tipo de movimento quando um qualquer segmento de recta formado por dois pontos do corpo, permanece sempre paralelo e igual ao segmento original durante o movimento sendo a trajectória dos pontos sempre equidistante.

Movimento de rotação em torno de um eixo fixo Movimento de Geral no Plano

Movimento de rotação em torno de um eixo fixo: No movimento de rotação os pontos não pertencentes ao eixo fixo têm trajectórias circulares.

Movimento Geral no Plano: Quando um corpo está sujeito ao movimento geral no plano, este pode ser sempre decomposto numa combinação de um movimento translação e num movimento de rotação.



(2008)


Joaquim Carneiro 22

Movimento de translação Movimento Geral

Movimento de rotação

Num corpo rígido sujeito a uma translação no plano x o y, a localização dos pontos A e B são definidos para um eixo fixo x,y através dos vectores rA e rB. O sistema em translação de coordenadas x’, y’ está fixo ao corpo com origem no ponto A.

Movimento de Translação

x o

y

x’ A

y’

B

Ar

Sistema de coordenadas em translação

Sistema de fixo coordenadas

Br

A/Br

Ø Posição: A posição dos pontos A e B são definidas respectivamente, pelos vectores rA e rB. A posição relativa do ponto B em relação ao ponto A é definida pelo vector rB/A. Estes relacionam-se entre si pela seguinte expressão:

Ø Velocidade: A velocidade é determinada pela derivada do respectivo vector posição em ordem ao tempo. Sendo que o vector da velocidade relativa de B em relação a A é nulo, pois o corpo é considerado indeformável.

A/BAB rrr +=

AB vv =



(2008)


Joaquim Carneiro 23

Ø Aceleração: A aceleração é calculada a partir da derivada do vector velocidade. Para o movimento de translação é expressa pela seguinte relação.

AB aa

=

Movimento de Rotação

No movimento de rotação em torno de um eixo, o movimento dos pontos que formam o corpo é caracterizado pelas seguintes quantidades: posição angular, velocidade angular e aceleração angular:

• Posição angular é definida pela variável dθ [rad]

• Vector velocidade angular é definido pela variável ω [rad/s] e a relação entre a velocidade e a posição é expressa por:

• Vector aceleração angular é definido pela variável α [rad/s2] e a relação entre as outras quantidades vem definida por:

dtdθ

=ω

dtdω

=α

2

2

dtd θ

=α



(2008)


Joaquim Carneiro 24

Velocidade Linear- Os pontos que não pertencem ao eixo de rotação possuem velocidade linear que se relaciona com a velocidade angular do corpo. Para um ponto P genérico, a velocidade linear nesse ponto é definida por:

PP rv ∧=ω

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ω

ω

ω

=ω⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

z

y

x

P

z

y

x

Pz

Py

Px

P

rrr

re,vvv

vqueem

zyx

zyxPP

rrr

kjirv ωωωω =∧=

A partir do módulo do vector velocidade linear obtemos somente a intensidade da velocidade. No sistema a duas dimensões, a direcção e sentido do vector velocidade podem ser conhecidos a partir da normal ao plano formado pelo vectores velocidade angular ω e r e por aplicação da regra da mão direita; roda-se o vector velocidade angular ω no sentido do vector r.

Aceleração Linear- Por conveniência, a aceleração linear de um ponto P que não pertence a esse eixo é decomposto em duas componentes; componente tangencial e componente normal a seguir definidas e representadas nas figuras.

o r

ta

na

a

rara

t

n

α

ω

=

= 2

( )dtrdr

dtdr

dtd

dtvda P

PP

∧+∧=∧== ωω

ω

22tn aaaa +==

PP

P rdtrdve

dtdmas

∧=== ωω

α

( )PP rra ∧∧+∧= ωωα



(2008)


Joaquim Carneiro 25

Exemplo: Um sistema de transmissão é constituído por dois discos A e B. O disco A actua sobre o disco B que provoca o enrolamento da corda; com isto faz subir o bloco C. Se inicialmente o disco A tiver velocidade angular de ωA=8 rad/s e uma desaceleração de αA = -1.5 rad/s2, determinar qual a velocidade e aceleração do bloco C ao fim de 2 s .

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=∧=

08.00

001.0

800

AAP Rv

ω

100 mm

Aω

A

C

200 mm

B

50 mm

P

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=∧=

08.00

BBP Rv

ω

C

200 mm

B

50 mm

y Bω

x

Pv

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

002.0

00

08.00

Bω

sradB /400

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=ω

100 mm

Aω

Ax

y

• Velocidade



(2008)


Joaquim Carneiro 26

C

200 mm B

50 mm

y Bω

x

smRv CBC /02.00

0005.0

400

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∧=

ω

100 mm

Aα

A

( ) 2/015.00

001.0

5.100

smRa AAtP⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∧=

α

x

y

( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∧=

015.00

BBtP Ra

α

75.0002.0

00

015.00

B

B

=α⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

α−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

2B s/rad

75.000

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=α

• Aceleração

C

200 mm

B

50 mm

y

x

( )tPa

Bα



(2008)


Joaquim Carneiro 27

C

200 mm

B

50 mm

y Bα

( ) 2/00375.00

0005.0

75.000

smRa CBtC⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=∧=

α

As equações paramétricas para o movimento uniformemente retardado do bloco C podem ser escritas:

s/m125.0)2(*0375.02.0v

tavv

s2ty

yoyy

=−=

+=

=

O movimento do bloco é caracterizado por possuir uma aceleração constante durante o movimento, pelo que esta é igual à aceleração inicial e vale:

2y s/m0375.0a −=



(2008)


Joaquim Carneiro 28

Movimento Geral no Plano

A1

B1

A2

B2

Posição inicial Posição final

O movimento geral no plano pode ser sempre decomposto no movimento em translação e num movimento relativo de rotação. A partir do exemplo anterior é apresentado graficamente esse princípio.

Na representação anterior o movimento foi decomposto num movimento de translação até fazer coincidir os pontos A1 com a posição do ponto A2; de seguida aplicou-se o movimento de rotação em torno do ponto A2 de forma a obter a configuração da posição final do corpo. Assim pode definir-se o movimento do ponto B como a soma de um movimento de translação mais um movimento relativo em rotação.

A1

B1

Posição inicial

A2

B2

Posição final

B2’

Translação θAB Rotação

Ar

Ar

ABr

A partir da derivada em ordem ao tempo do vector posição obtêm-se respectivamente para a primeira e segunda derivadas, a expressão da velocidade e da aceleração.

BAAB rrr /+=



(2008)


Joaquim Carneiro 29

Ø Velocidade

Ø Aceleração

A1

B1

Posição inicial

A2

B2

Posição final

B2’

Translação ωAB Rotação ABr

A1

B1

Posição inicial

A2

B2

Posição final

B2’

Translação ωAB αAB

Rotação ABr

( )tA/Ba

( )nA/Ba

Na figura seguinte estão representados graficamente a aceleração absoluta e a aceleração relativa, com componentes tangencial e normal.

Na figura seguinte representa-se graficamente as componentes da velocidade absoluta VA e da velocidade relativa VB/A.

As componentes da aceleração relativa (tangencial e normal) definem-se a seguir:



(2008)


Joaquim Carneiro 30

A barra AB está a rodar com a velocidade angular constante de ωΑΒ =6 rad/s, Sabendo que o ângulo θ=45º, determine as velocidades angulares BC e CD.

A

A barra AB possui um movimento de rotação em torno do ponto A. A velocidade no ponto B é definida decompondo o movimento geral em movimento de translação e no movimento relativo de rotação. Assim a velocidade do ponto B é definida:

B

x

y

ωAB

30º

A barra BC possui movimento geral no plano. A velocidade no ponto C é uma combinação da velocidade de translação de B e uma velocidade relativa de C em relação a B (Velocidade de rotação). Neste caso a velocidade no ponto C é definida da seguinte forma:

C B

x

y

C x

y

ωBC +

Translação Rotação

B -fixo C x

y

ωBC

Movimento Geral

=



(2008)


Joaquim Carneiro 31

A barra CD possui um movimento de rotação no ponto D. A velocidade no ponto C corresponde a uma velocidade de C em relação a D (Velocidade de rotação). Assim pode escrever-se a seguinte expressão:

D

C

45º ωCD

x

y

Como o ponto C é comum às barras BC e CD, então, este, deve ter as mesmas componentes de velocidade em ambas as barras. Impondo esta condição obtém-se:



(2008)


Joaquim Carneiro 32

No instante mostrado, a barra CD tem uma aceleração angular αCD=5 rad/s2 e uma velocidade angular ωCD=2 rad/s2 . Pretende-se saber qual a velocidade e a aceleração angular da barra AB.

Ø Velocidade

D

C

60º

ωCD

x

y

C B

x

y

C-fixo x

y

ωBC +


B C x

y

ωBC

Movimento Geral

=

A barra CD temi movimento de rotação centrado no ponto D.

A barra BC tem movimento geral no plano, (simultaneamente movimento de translação e movimento de rotação).



(2008)


Joaquim Carneiro 33

A

B

x

y ωAB

45º

A barra AB sofre um movimento de rotação em torno do ponto A.

Pela igualdade da velocidade no ponto B entre as barras AB e BC, obtém-se:

Ø Aceleração

D

C

60º

αCD

x

y

ωCD

A barra CD tem movimento de rotação centrado no ponto D.



(2008)


Joaquim Carneiro 34

C B

x

y

C-fixo x

y

ωBC +


B C x

y

ωBC

Movimento Geral

=

A barra BC possui movimento geral no plano, simultaneamente movimento de translação e movimento de rotação.

αBC αBC

A x

y

ωAB 45º

A barra AB tem movimento de rotação em torno do ponto A.

αAB

B

B



(2008)


Joaquim Carneiro 35

Por igualdade das acelerações no ponto B, obtém-se:

D

C

60º

B

A x

y

45º



(2008)


Joaquim Carneiro 36

3.2 - Movimento no espaço ; Rotação em relação a um ponto fixo

Quando um corpo gira em relação a um ponto fixo (por ex. o movimento de um pião), o vector velocidade angular não permanece fixo. De facto, para qualquer instante de tempo, um corpo com um ponto fixo gira instantaneamente em relação a um eixo que passa pelo ponto fixo (isto já foi referido anteriormente). Para ajudar à visualização do conceito de eixo instantâneo de rotação, daremos um exemplo específico. A figura seguinte representa um rotor cilíndrico, feito de plástico claro, contendo partículas escuras espalhadas por todo o seu volume. O rotor gira em relação ao seu eixo com velocidade angular constante ω1, e o seu eixo, por sua vez, gira em relação ao eixo vertical fixo com velocidade angular também constante ω2 nos sentidos indicados.

n

o

A

P

ω2

ω1 v1

v2

Se o rotor for fotografado num dado instante durante o seu movimento, a fotografia mostraria uma linha forte de pontos pretos, indicando que a sua velocidade, instantaneamente , seria nula. Tal linha de pontos sem movimento estabelece a posição instantânea do eixo de rotação O – n. Qualquer ponto desta linha, tal como A, teria componentes de velocidade iguais e opostas, v1 e v2 devido a ω2. Todos os outros pontos, tais como P, apareceriam fora do foco, e o seu movimento mostraria manchas com a forma de pequenos aros circulares em planos perpendiculares ao eixo O – n. Sendo assim, todas as partículas excepto aquelas sobre a linha O – n, giram em arcos circulares relativamente ao eixo instantâneo de rotação. Se fosse tirada uma sucessão de fotografias, observaríamos que o eixo de rotação seria definido por uma nova série de pontos pretos, e que o eixo teria mudado de posição, tanto no espaço com em relação ao corpo. Resumindo, diremos que para a rotação de um corpo rígido em relação a um ponto fixo, o eixo de rotação não é uma linha fixa no corpo.



(2008)


Joaquim Carneiro 37

3.2.1 – Cones do corpo e espacial

Ainda em relação ao cilindro de plástico, o eixo instantâneo de rotação O – n gira num cone circular recto em relação ao eixo do cilindro designado por cone do corpo. Como o cilindro gira também em relação ao eixo vertical, o eixo instantâneo de rotação gera também um cone circular recto em relação ao eixo vertical designado por cone espacial. A figura seguinte, caso particular em que as velocidades angulares são constantes, mostra que o cone do corpo rola sobre o cone espacial.

O

n ω

A

Cone do corpo

Cone espacial

3.2.2 – Aceleração angular

A aceleração angular α de um corpo rígido em movimento tridimensional é a derivada em relação ao temo da velocidade angular, α = dω/dt. Contrastando com o caso de rotação num plano único, em que o escalar α media apenas a variação no módulo da velocidade angular, no movimento tridimensional o vector α reflecte não só variação no módulo mas também a mudança de direcção do vector ω. A aceleração angular é um vector que, no caso particular de ω ser constante, é perpendicular a ω. Com efeito, se fizermos Ω representar a velocidade angular com que o vector ω propriamente dito gira (isto é, precessa) ao formar o cone espacial, a aceleração angular que mede a variação da direcção do vector ω pode ser escrita como:

ωα

∧Ω=



(2008)


Joaquim Carneiro 38

Cone do corpo

O

rrv

∧=ω

Cone espacial

O

ω

ωα

∧Ω=

A única diferença entre o caso de rotação em relação a um eixo fixo e rotação em relação a um ponto fixo reside no facto de que, para a rotação em relação a um ponto fixo, a aceleração angular α tem uma componente normal a ω devido à variação da direcção de ω, bem como uma componente na direcção de ω, reflectindo as mudanças no módulo de ω. Por outro lado, para a rotação em relação a um eixo fixo, α tem apenas componente, ao longo do eixo fixo, reflectindo a variação do módulo de ω. Além disso, pontos do eixo fixo de rotação não têm, obviamente, velocidade nem aceleração.

Exemplo de aplicação: A carcaça do motor e o seu suporte giram em torno do eixo Z com velocidade angular constante (precesão) dθ/dt = 3 rad/s. O eixo do motor e o disco giram a 8 rad/s em relação à carcaça do motor, na direcção mostrada. Se β for constante e igual a 30º, determine a velocidade e a aceleração do ponto A no topo do disco, e a aceleração angular α do mesmo sabendo que:

sradsradmmrmmhmmmm

/3;/8120150300350

1

==

=

=

=

=

θγ

A

z

B

Z

X Y x

y

O

h

r β

γθ1



(2008)


Joaquim Carneiro 39

Velocidade:

BABA vvv +=

Na resolução que se segue, iremos projectar todas as grandezas vectoriais no referencial móvel (i.é, o refal. Oxyz ) que designaremos por Ox2 y2 z2 enquanto que o referencial fixo, (ou seja, o refal. OXYZ ) será designado por Ox1 y1 z1 . Sendo assim, a matriz de transformação de coordenadas entre os dois referenciais, ou seja a matriz que projecta o referencial Ox1 y1 z1 no referencial Ox2 y2 z2 tem a forma:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

ββ

ββ

cossin0sincos0001

12T

Assim, Virá:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=∧=∗

0005.1

00

000

cossin0sincos0001

21

θ

θββ

ββω

hrv SBB

Além disso designaremos por:

γωθω == 21 ;

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

∧+∧=∗

βθ

βθ

θββ

ββω

ωω

cossin0

00

cossin0sincos0001

,

2

2

1

21

S

BABASBA

onde

rrv



(2008)


Joaquim Carneiro 40

Ficará:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ +−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −

=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∗

00361.0

00

)cossin(

00

00

cossin

0

0

00

cossin0

11

11

γββθγβθβθ

γ

βθ

βθ

rrrrv

rrv

BA

BA

Logo,

smvA /00689.0

00361.0

0005.1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

=

Aceleração:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−⋅

−⋅=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

∧+∧∧+∧∧=∗

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=∧∧=∗

+=

===

899.056.10

)sincossin()coscossin(

00

cossin0

cossin0

2)()(

575.1728.20

sincos0

00

cossin0

)(

21

2

21

21

12211

2

2

11

22

2

βββθ

βββθ

βθ

βθ

βθ

βθ

ωωωωω

βθ

βθ

θ

βθ

βθ

ωω

rr

ra

vrra

a

ra

aaa

tr

a

Srel

a

BA

a

SBABA

B

SBB

BABA

correltr



(2008)


Joaquim Carneiro 41

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∗

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∗

=

88.299.40

sin2cos20

00

cossin0

2

68.700

00

00

0

00

0

0

0

0

21

βγθ

βγθ

γ

βθ

βθ

γ

γ

γγγ

rr

ra

ra

r

ra

cor

rel

v

rel

rel

Finalmente,

222

2

12.8)086.8()702.0(

/086.8702.00

88.299.40

68.700

899.056.10

575.1728.20

sma

sma

A

A

=−+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

A z

B

Z

X Y x

y

O β

γθ

Aa

702.0

086.8

Aceleração angular:

2

211

/008.20

00cos

0

0

cossin0

cossin0

)(2

sm

S

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=+∧=

βγθ

α

γ

βθ

βθ

βθ

βθα

ωωωα



(2008)


Joaquim Carneiro 42

4 – Cinemática de massas

4.1 - Introdução

Para o estudo da dinâmica do sólido, que constitui o objectivo final desta disciplina, vai ser necessário estabelecer as relações que existem entre forças aplicadas aos sólidos e os movimentos que estes vão ter. Nestas relações intervêm, directa ou indirectamente, a massa, o modo como esta se distribui no espaço e as distribuições espaciais de velocidades e acelerações dos sistemas materiais.

Caracterizar-se-ão, neste capítulo, os sistemas de vectores “quantidade de movimento” e “quantidade de aceleração”, em cuja definição intervém a massa e a velocidade ou aceleração, respectivamente. Caracterizar-se-á ainda a “energia cinética” dos sistemas materiais. A compreensão deste capítulo é fulcral para o domínio das matérias que se lhe seguirão.

4.2 – Torsor das quantidades de Movimento

4.2.1 - Definições

Por vezes interessa considerar apenas a grandeza, direcção e sentido de um vector. Diz-se então que este é um vector livre.

V V

Outras vezes, interessa saber também qual a recta suporte do vector.

1V

2V

1V

Os vectores V1 são o “mesmo vector”; V1 e V2 são “equipolentes” , ou “iguais” mas não são o “mesmo” vector. Designam-se tais vectores por vectores deslizantes. A um conjunto de vectores deslizantes chama-se torsor. Outras vezes ainda, interessa (não só a grandeza, direcção, sentido e recta suporte, mas também) o ponto de aplicação (por ex., no estudo da deformação de um sólido: a sua deformação depende do ponto de aplicação da força).



(2008)


Joaquim Carneiro 43

Interessa agora definir os elementos característicos de um torsor. Considere-se um torsor (conjunto de forças, ou velocidades, p.ex.) e um ponto O no espaço. Sejam Vi o conjunto de vectores deslizantes que constituem o torsor. Chama-se vector principal, ou vector soma, V do torsor ao vector livre definido por:

∑=i

ivV

Chama-se momento resultante em relação a O Mo ao vector cuja linha de acção passa em O e tal que

)(∑∑ =∧=i

ioi

iio vMvrM

O

1r

2r

ir

1v

2v

iv

oM

oM

V

e são os elementos característicos dos torsor em O.

No caso de o vector genérico que tem vindo a ser apresentado, se tratar da velocidade de um ponto material P, então define-se “quantidade de movimento” de um ponto material, como um vector proporcional à sua velocidade, sendo a massa o factor de proporcionalidade.

Define-se “momento cinético” de um ponto material em relação a um dado pólo (ponto O), como o momento em relação a esse pólo, do vector quantidade de movimento acima definido.

vmq =

m

qOPho

∧=→

d y

z

x

o

P

→

OP

A – Ponto material isolado



(2008)


Joaquim Carneiro 44

B – Sistema material contínuo (rígido)

Para uma distribuição contínua de massa, admite-se que os sistemas são constituídos por um número infinito de pontos materiais discretos, aos quais se associa uma massa elementar “dm”. Os vectores quantidade de movimento e momento cinético num ponto, terão definição análoga, apenas substituindo o somatório (sistema discreto de pontos materiais) por um integral estendido à massa total do sistema material.

Vector quantidade de movimento - Q

GMMG

MM G

M GM GPGM

vMdmGPdmvQ

dmGPdmvQ

dmGPvdmvvdmvQ

=∧+=

=∧+=

=∧+=+==

∫∫

∫∫

∫∫∫

→

→

→

ω

ω

ω )()(

dmvGPOGdmvOPH

dmvQ

MMo

M

∫∫

∫

∧+=∧=

=

→→→

)(

Nota :

Mdm

massadecentroao

nterelativameestáticomomentodmGP

M

M

=

→=

∫

∫→

0

Conclusão : Qualquer que seja o tipo de distribuição de massa, teremos sempre

GvMQ =

r

Y o

Z

dm

(M)

dmvQd =

oH

X

G P

Gr

x

y

z



(2008)


Joaquim Carneiro 45

Vector momento cinético em O - oH

dmGPGPvMOG

dmGPGP

vdmGPdmGPOGdmvOG

dmGPGP

dmvGPdmGPOGdmvOG

dmGPvGPOG

dmvOPH

MG

M

GMMMG

M

GM MMG

M G

Mo

)(

)(

)(

)(

)()(

→→→

→→

→→→→

→→

→→→→

→→→

→

∧∧+∧=

∧∧+

∧⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∧∧+∧=

∧∧+

∧+∧∧+∧=

∧+∧+=

∧=

∫

∫

∫∫∫

∫

∫ ∫∫

∫

∫

ω

ω

ω

ω

ω

ω

no entanto,

[ ]{ }ωω

ω

ω

ω

ωωω

ωωω

ωωω

ωω

ωω

ωω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

G

z

y

x

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

M

yzMMzzM

xzMMyyM

xyMMxxM

zyx

zyx

zyx

yx

xz

zy

z

y

x

z

y

x

MM

IIIIIIIIII

dmGPGP

virá

IdmyzdmzyIdmyx

IdmxzdmzxIdmzx

IdmxydmyxIdmzy

mas

yxyzxzzyzxxyzxyxzy

xyzxyz

zyx

zyx

zyx

contudo

dmzyx

zyx

dmGPGP

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=∧∧

−=−=−=+

−=−=−=+

−=−=−=+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++−−

−++−

−−+

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−

−

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∧∧

→→

→→

∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫

)(

;)(

;)(

;)(

,

)()(

)(

,

)(

22

22

22

22

22

22



(2008)


Joaquim Carneiro 46

Assim, ficará:

[ ]{ }

[ ]{ } QOGHHouQOGIH

ouvMOGIH

Go

H

Go

GGo

G

∧+=∧+=

∧+=

→→

=

→

,ω

ω

dmyxdmrI

dmzxdmrI

dmzydmrI

zzz

yyy

xxx

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

+==

+==

+==

)(

)(

)(

222

222

222

O momento cinético de um sistema contínuo, num dado ponto O, pode ser obtido pela soma das seguintes duas parcelas:

1ª resulta da multiplicação da matriz de inércia do sistema, definida no seu centro de massa [IG], pelo vector velocidade angular (caso o corpo esteja a a rodar em torno de um eixo que passe por G, obviamente).

2ª é o produto vectorial do vector posição do centro de massa OG, pelo vector quantidade de movimento do sistema Q.

Este resultado já era esperado. Com efeito, conhecido o vector principal e o vector momento em G de um sistema de vectores deslizantes, podemos calcular o vector momento num outro ponto qualquer, utilizando a expressão fundamental dos campos dos momentos que acabou de se escrever. Tal equação traduz o conhecido primeiro teorema de Koenig e é de uso muito frequente no cálculo de vectores momento cinético.

y

z

dm

x

G x y

z

rz

rx ry

(M)



(2008)


Joaquim Carneiro 47

4.3 – Torsor das quantidades de aceleração

4.3.1 - Definições

A – Ponto material isolado

Define-se “quantidade de aceleração” de um ponto material P, como um vector igual ao produto da massa pelo seu vector aceleração.

O momento em relação a um dado ponto O desse vector, chama-se “momento dinâmico em O” do ponto material P.

amq =

m

amOPko

∧=→

d y

z

x

o

P

→

OP

B – Sistema material contínuo

Numa distribuição contínua de massa, o torsor das quantidades de aceleração terá definição semelhante, bastando apenas substituir um somatório (associado à contribuição de vários pontos materiais) por um integral estendido a toda a massa.

r

Y o

Z

dm

(M)

dma

oKX

G P

Gr

x

y

z

∫= MdmaQ

∫ ∧=→

Mo dmaOPK



(2008)


Joaquim Carneiro 48

4.3.2 – Vector quantidade de aceleração - Q

Qualquer que seja o tipo de distribuição de massa (discreta ou contínua), é sempre possível calcular o vector principal deste torsor, multiplicando a massa total pela aceleração do centro de massa. Com efeito, tem-se:

GGMMMaMvM

dtddmv

dtddmv

dtddmaQ ===== ∫∫∫ )()(

4.3.3 – Vector momento dinâmico em O - oK

∫∫∫

∫

∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫

∫

→→→→→→

→

=

→→→

→→→→→

→→→→→

→→→→→→

→→→

→

∧∧=∧∧∧+∧∧

=

∧∧+∧=

=∧∧∧+∧∧+∧⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∧∧∧+∧∧+∧=

∧∧+∧+∧+=+∧+=

+=+=

∧=

MMM

M

K

MG

MMGM

MMMG

M GM GPGo

GPG

Mo

dmGPGPdtddmGPGPdmGPGP

dmGPNota

dmGPGPdtdaMOG

dmGPGPdmGPGPadmGP

dmGPOGdmGPOGdmaOG

dmGPGPaGPOGdmaaGPOGK

então

aaaGPOGOP

contudo

dmaOPK

G

])(])([)(

0:

])(

])([)(

])([)()()(

,

)(;)(

,

ωωωω

ω

ωωω

ωωω

ωωω

Então,

G

H

G aMOGKKG

∧+=→

=

0



(2008)


Joaquim Carneiro 49

Esta última expressão, traduz o 2º teorema de Koenig e é muito utilizada no cálculo dos momentos dinâmicos como se verá adiante. Caso o sistema material seja constituído por uma associação de corpos rígidos, poderá calcular-se o momento cinético e o dinâmico de cada um deles no respectivo centro de massa, transpô-lo para o mesmo ponto e fazer então o respectivo somatório, obtendo-se assim os momentos cinético e dinâmico do corpo como um todo.

4.3.4 – Componentes do vector momento dinâmico em G, de um sólido rígido

[ ]{ } [ ] { }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

==

z

y

x

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

GGG

IIIIIIIII

IIHω

ω

ω

ωω ;;

No caso mais geral, teremos a seguinte situação:

Admitindo como opção lógica, que o referencial Gxyz é tal que a matriz de inércia é constante (em geral este referencial estará rigidamente ligado ao sólido), obtém-se:

}){][(}{}{][

])([)(])(}){][(}{}{][

ωωω

ωωωω

ωωω

GGG

I

M

I

M

HK

M

IIK

dmGPGPdmGPGPdmGPGPdtd

GGGG

∧+=

∧∧∧+∧∧=∧∧

∧=

→→

=

→→

==

→→

∫∫∫

No caso particular de o referencial Gxyz corresponder aos eixos centrais principais de inércia do sólido, então

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1

1

1

000000

z

y

x

G

II

II



(2008)


Joaquim Carneiro 50

4.4 – Energia cinética de um sistema material

4.4.1 - Generalidades

A energia cinética, energia acumulada por um corpo em movimento, pode ser encarada, como mais tarde se verá, como uma função potencial de que derivam as chamadas “forças de inércia” associadas a esse corpo.

Trata-se de uma grandeza escalar, cuja definição matemática, no âmbito do ponto material, já é de todos conhecida:

2

21 vmT =

Mais adiante, quando os conceitos de trabalho e energia forem estudados, esta expressão será justificada. Num sistema contínuo, consideram-se um número infinito de pontos materiais, cuja energia cinética global será:

∫=M

dmvT 2

21

y

z

dm

x

G (M)

P

Pv

4.4.2 – Energia cinética de um sólido em translação

( )

2

222

22

21},,{

21

21

21

21

G

zyx

z

y

x

zyx

v

GGG

G

G

G

GGG

GGMGM G

vvvMvvv

vvvM

vvMdmvdmvT

=

++=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⋅=== ∫∫

A energia cinética de um sólido em translação é exactamente igual à energia que um ponto material desse sólido (i.é, o centro de massa) teria, se nele estivesse concentrada toda a sua massa M.

Gv

G



(2008)


Joaquim Carneiro 51

4.4.2 – Energia cinética de um sólido em rotação

2

222

21

21)sin(

21

)()(21

ω

ωθω

ωω

Δ

→→

=

==

=∧⋅∧=

∫∫

∫

IT

dmrdmR

dmOPOPT

MM

M

A expressão de cálculo da energia cinética é agora formalmente idêntica à correspondente ao movimento de translação, sendo a massa substituída pelo momento de inércia em relação ao eixo de rotação e a velocidade linear pelo vector velocidade angular ou vector rotação ω.

4.4.3 – Energia cinética de um sólido em movimento qualquer

Δ

dm P

Pv

θ R

r

O (M)

ω

Um movimento arbitrário de um corpo rígido pode ser sempre decomposto na soma de um movimento de translação com o centro de massa, com um movimento de rotação em torno deste ponto. Fazendo esta decomposição de movimentos, a expressão de cálculo da energia cinética toma a forma

O

Δ ω

r p dm

(M)

Pv

GvG

Z

Y

X

z

y

x

∫∫∫

∫→→→

→→

∧⋅+∧⋅∧+=

=∧+⋅∧+=

MMM G

GM G

dmGPvdmGPGPdmv

dmGPvGPvT

)()()(21

21

)()(21

2 ωωω

ωω

Atendendo a que, na última parcela, vG e ω são constantes em relação à massa, esta anula-se, visto conter o factor “momento estático em ralação ao centro de massa”. A primeira e segunda parcelas podem ser transformadas de modo semelhante ao que foi feito na secção anterior. Assim,

222GMGM G vMdmvdmv == ∫∫

222)()( ωωωω GMMIdmrdmGPGP Δ

→→

==∧⋅∧ ∫∫



(2008)


Joaquim Carneiro 52

dando origem à seguinte forma de cálculo da energia cinética,

22

21

21

ωGG IvMT Δ+=

Esta expressão traduz o “3º Teorema de Koenig” e permite decompor a energia cinética de um sólido com movimento qualquer, em apenas duas parcelas: a energia correspondente à translação do centro de massa e a energia de rotação em torno do centro de massa.

É importante referir que, para efeitos de cálculo, a parcela referente à energia de rotação o momento de inércia IΔG , deverá ser obtido a partir de momentos e produtos de inércia em relação aos eixos baricentricos Gxyz que passam pelo ponto G, do eixo de rotação. Com efeito, tem-se

( ) [ ]( )

{ }

{ }

zxxzzyyzyxxyzzzyyyxxx

zzzyyzxxz

zyzyyyxxy

zxzyxyxxx

zyx

z

y

x

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

zyx

GGG

IIIIII

IIIIIIIII

IIIIIIIII

III

ωωωωωωωωω

ωωω

ωωω

ωωω

ωωω

ω

ω

ω

ωωω

ωωωωω

−−−++=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−−

−+−

−−

=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=

=⋅=⋅= ΔΔ

222

2

21

21

21

,,21

,,21

}{21

21

21

ou numa forma mais compacta:

[ ] }{}{21

21 2 ωωω G

tG II =Δ



(2008)


Joaquim Carneiro 53

Ou seja, tudo se passa como se houvesse uma projecção do vector momento cinético ([I] {ω}) na direcção do vector ω (obviamente colinear com o eixo de rotação). De facto, conhecida a matriz de inércia de um sólido, se quisermos obter o valor do seu momento de inércia ( IΔ ), na direcção de um dado eixo que tenha como co-senos directores l,m,n, faremos:

[ ] }{}{ λλ

II t=Δ

Onde o vector λ

, corresponde ao versor da direcção do eixo Δ, e que tem as seguintes componentes:

zyx nmlknjmil

θθθ

λ

cos;cos;cos ===

++=

Deste modo o 3º Teorema de Koenig pode ser escrito da modo mais compacto na seguinte forma:

[ ] }{}{21

21

ωω Gt

GG IvvMT +⋅=

Exemplo de aplicação:

O sistema mecânico representado na figura é constituído por:

Corpo 1 – Um veio de raio r, comprimento e massa m1, apoiado em duas chumaceiras planas A e B , que sob a acção de momento motor Mm roda em torno de um eixo horizontal X0 com velocidade angular θ e aceleração angular ⋅θ

Corpo 2 – Um disco de raio R, comprimento d e massa m2 , rigidamente ligado ao corpo 1 no ponto O.

Suponha conhecidas as matrizes de inéricia dos dois corpos, em relação a eixos centrais principais de inércia. Determine:

a) O torsor das Quantidades de Aceleração de cada corpo no respectivo centro de massa;

b) O torsor das Quantidades de Aceleração do mecanismo no ponto O;

c) A energia cinética do mecanismo.



(2008)


Joaquim Carneiro 54

G

θ

x1

z1 // z2

y1 A

B

ϕ + O

G2

x1

y1 y2

x2 a

A B

ϕ

mM θθθ ;;1

2

.2

2

1

cteOBOAaOG

GO

=

==

=

≡

ϕ

(excentricidade)

Resolução:

a) Corpo 1

00111 1

=== amamQ G

_ quantidade de aceleração

_ momento dinâmico

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

∧+=

00

000

00

00

00

00

000000

00

11

11

1

1111

1

1

1

1111

111

111

111

11

111

θθθθ

θθ

ω

xx

SG

x

SGSG

z

y

x

SGSG

SGS

GSG

IIK

IHK

II

IHK

HHK

Iremos exprimir todas as grandezas no referencial S1 ( x1 , y1 , z1 ).



(2008)


Joaquim Carneiro 55

Corpo 2

_ quantidade de aceleração

_ momento dinâmico

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

∧∧+∧+=

=

=

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθϕθ

θ

ϕθ

ϕ

ϕθθ

ϕ

ϕθ

ωωω

coscos

0

0cos0

cos00

cos00

00

cos00

0cossin

00

00

0cossin

00

)(

2

222

2

22

0

0

22

2

2

2

2

amamQ

aaaa

a

aa

aa

a

OGOGaa

amQ

G

G

G

G

[ ]

[ ][ ]⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

∧+=

→

→

ωω

ω

ω

212

22

212

2

222

222

2212

121

212

T

IH

HTH

HHK

GSG

SGSG

SGS

GSG ϕ

ϕ

u1

v1

y1

x1

⎩⎨⎧

+−=

+=⇒

⎩⎨⎧

+−=

+=

ϕϕ

ϕϕ

cossinsincos

112

112

,2,22

,2,22

vuvvuu

vvvuuu

vu

vu



(2008)


Joaquim Carneiro 56

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

0sincos

00

1000cossin0sincos

2 ϕθ

ϕθθ

ϕϕ

ϕϕ

ω

[ ]

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

+−=

+=

→=

1

1

1

2

2

2

12

112

112

21

1000cossin0sincos

cossinsincos

zvu

zvu

zzvuvvuu

T

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

Por exemplo, a matriz de transformação de coordenadas do referêncial – 1 no referêncial – 2 pode ser obtida a partir da figura anterior. Ficará

Assim, teremos

[ ]

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

=

0

sin21

cos

0sincos

0sincos

000000

2

2

2

2

2

2

2

22

222

2

22

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ω

x

x

y

x

z

y

x

SG

GSG

I

I

II

II

IH

IH

22222

222

21

xyzyz

zyx

IIIII

III

==⇒=

+=

→2xI

Notar que:

“momento polar de inércia”

De maneira inteiramente análoga, podemos obter a matriz de transformação de coordenadas do referencial – 2, no referencial – 1. Assim, ficará:

[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

== →→

1000cossin0sincos

2112 ϕϕ

ϕϕtTT



(2008)


Joaquim Carneiro 57

[ ]2212

212

2SGSG HTH

→=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧+

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧+

=

∧+=

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ω

2sin4

2sin4

)2cos3(4

2sin4

00

0

2sin4

)2cos3(4

22

2

222

2

2

2

2

2

2

12

121

212

x

x

x

x

x

x

SG

SGS

GSG

I

I

I

I

I

I

K

HHK

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧+

=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧+

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

+

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

0

2sin4

)2cos3(4

0

2sin4

)2cos3(4

0

cossin2

cossin

sin2

cos

0

sin21

cos

1000cossin0sincos

2

2

12

2

2

12

22

22

2

2

12

22

22

2

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕϕθϕϕθ

ϕθϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕϕ

ϕϕ

x

x

SG

x

x

SG

xx

xx

x

x

SG

I

I

HI

I

H

II

II

I

I

H

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧+

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∧

ϕθ

ϕθ

ϕθθ

ω

2sin4

00

0

2sin4

)2cos3(4

00

2

2

2

2

2

12

x

x

x

SGI

I

I

H



(2008)


Joaquim Carneiro 58

b) Quantidade de aceleração total (do mecanismo)

21 QQQ +=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+=

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

coscos

0

coscos

00

2

22

2

22

amam

amamQ

Momento dinâmico total do mecanismo no ponto O

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

+=∧+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==∧+=

+=

=

ϕθ

ϕθϕ

ϕ

θ

coscos

0

0cossin

00

2

2222

2

0

111

21

22

1

11

amama

aKQOGKK

IKQOGKK

KKK

GGo

x

GGo

ooo

[ ][ ]

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧+

=

ϕθ

ϕθ

ϕϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

2sin2

2sin2

cos)2cos3(4

2sin2sin

cos

2sin4

2sin4

)2cos3(4

222

2

222

222

2

2222

1

222

1

222

2

2

2

2

2

2

2

2

am

am

amI

K

amamam

I

I

I

K

x

x

I

I

x

o

x

x

x

o



(2008)


Joaquim Carneiro 59

Se por exemplo, for 30;5

;20;2;25.1;401

22 ====== ϕ

RacmRcmrmmkgm

e para um determinado instante se verificar que, 215.;290 sradcterpm === θθ

ficará:

srad

ma

mkgrmI

mkgRmI

x

x

37.30602290

04.0

104.621

8.021

2321

222

1

2

=×

=

=

⋅×==

⋅==

−

πθ

então,

mNKNQ o ⋅⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

314.185014.3316.11

;1.20

12780

[ ][ ]

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++

=

ϕθ

ϕθ

ϕϕθ

2sin2

2sin2

cos)2cos3(4

222

2

222

222

0

2

2

21

am

am

amI

I

K

x

x

I

I

xx

Então:

c) Energia cinética do mecanismo

Corpo - 1

21 TTT +=

{ } { }ωω ][21)(

21

111

0

11 Gt

GG IvvmT +⋅=

=



(2008)


Joaquim Carneiro 60

{ }

{ } 211

1

1

1

1

1

1

21

000,0,

21

00

000000

0,0,21

θ

θ

θ

θ

θ

x

x

z

y

x

ITI

T

II

IT

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Corpo - 2

{ } { }

{ }

{ } { } { }

{ } { } { }⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

∧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∧=

+⋅=

0

sin21

cos

0,sin,cos][

0sincos

000000

0,sin,cos][

)cos(cos00

cos,0,0

cos00

0cossin

00

][21)(

21

2

2

2

2

2

2

2

22

2

222

22

22

2

2

2222

ϕθ

ϕθ

ϕθϕθωω

ϕθ

ϕθ

ϕθϕθωω

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕθ

ϕ

ϕθ

ω

ωω

x

x

Gt

z

y

x

Gt

GG

G

Gt

GG

I

I

I

II

II

aa

avv

aaa

OGv

IvvmT



(2008)


Joaquim Carneiro 61

{ } { }

{ } { }

[ ]

JT

T

IIamT

IamIT

IamT

então

III

III

xx

T

x

T

x

x

xxG

t

xxGt

91.347)77.32514.22(

37.30)60cos3(8.025.0104.621)30cos04.037.30(

240

)2cos3(41

21)cos(

21

)2cos3(8

)cos(21

21

)2cos3(8

)cos(21

,

)2cos3(4

)sin21(cos][

)sin(21)cos(][

232

222

222

2

2222

222222

2222

21

2

2

1

1

2

222

222

=+=

×+×+×+××=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +++=

+++=

++=

+=+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

−

==

θϕϕθ

ϕθϕθθ

ϕθϕθ

ϕθϕϕθωω

ϕθϕθωω

cinemática da partícula – 1ª parte · 1.3 – lei do movimento descrever um movimento é...

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