O Átomo de HidrogênioEquação de Schrödinger em coordenadas esféricas:

,,,,2

22

rErrV

Separação de variáveis:

FrRr ,,

,Y

Átomo de hidrogênio

Substituindo na Eq. Schrödinger obtemos 3 equações:

O Átomo de Hidrogênio

22

2

md

d

0sen

1sensen

12

2

Fm

d

dF

d

d

0

12122

22

Rr

rVEdr

dRr

dr

d

r

Equação Azimutal

Equação de Colatitude

Equação Radial

As soluções das equações angulares (azimutal e colatitude) são dadas por:

A Função Angular

...,2,1,0; mAeim

mBPF m ...,2,1,0;cos

Função angular:

imm AeBPY cos,

1, ddY encontramos AB

A Função Radial

No caso geral, a solução é dada por:

rLnr

r

nr

rrR nn

12

00

exp

,...3,2,1n número quântico principal

O número quântico n define a energia do átomo, da mesma forma que no modelo de Bohr:

eV6.132n

E

1n

Interpretação da função angular

...,,2,1,0mmLz

1...,,2,1,01 nL

número quântico magnético

número quântico orbital

L está relacionado à grandeza momento angular orbital e seu módulo é quantizado:

Lz é a componente na direção z do momento angular orbital

A Função Angular

Exemplo: 2

6122 L

2,1,0, mmLz

Observe que:- Tanto o módulo quanto a componente z do momento angular são quantizados

A Função Angular

Quando l = 0, a função de onda exibe simetria esférica.

0,0 m

4

1,00 Y

A Função Angular

0,1 m

cos8

3,10 Y

1,1 m

ieY sen8

3,11

Quando l = 1, a função de onda exibe simetria em torno do eixo z.

A Função Angular

Portanto, o par (l, ml) define o tipo de simetria da função de onda:

Orbital (s)

Orbital (p)

Orbital (d)

Orbital (f)

0

1

2

3

Resumo: Átomo de Hidrogênio• Elétron confinado em 3 dimensões: 3 números quânticos

• n determina a energia do átomo

• l e ml determinam o momento angular do átomo e e a simetria da função de onda

O elétron possui um número quântico intrínseco de “spin”, formando um total de 4 números quânticos

2

1 SSz mmS

Átomos de muitos elétronsSão descritos pelos mesmos números quânticos que o átomo de hidrogênio

Como preencher os níveis de energia?

PRINCÍPIO DA EXCLUSÃO DE PAULI: cada estado só pode ser ocupado por, no máximo, 1 elétron

MÍNIMA ENERGIA: os estados ocupados são sempre os de menor energia possível

LEI DE HUND: Deve-se maximizar o spin desde que os princípios anteriores não sejam violados.

,nfE

Átomos de muitos elétronsNúmero de estados possíveis:

212

1

0

212n

n

n = 1: 2 estadosn = 2: 8 estadosn = 3: 18 estados

Número de elementos por linha da tabela periódica!

Átomos de muitos elétrons

1) Considere as funções de onda a seguir, que representam dois estados distintos de um átomo de hidrogênio:

Considere que um elétron se encontrava inicialmente no estado descrito por 2 e, após emitir espontaneamente um fóton, passou a ocupar o estado descrito por 1. Determine:a) A energia do fóton emitido.b) O número total de estados nos quais a energia de ionização do elétron é a mesma que a representada pelo estado 2.d) A probabilidade de o elétron ser encontrado na região x > 0, após a emissão do fóton.e) A probabilidade de que, após a emissão do fóton ter ocorrido, o átomo emita espontaneamente um outro fóton em um tempo inferior a 10 ms. 2) Para cada uma das afirmativas abaixo, determine se ela é verdadeira (V) ou falsa (F). a)Os números quânticos n = 2, l = 0, ml = 0 e ms = -1/2 descrevem o estado do elétron mais energético do átomo de carbono no estado fundamental.b) Dois átomos de hidrogênio no estado fundamental possuem, necessariamente, o mesmo valor de momento angular total.c) Se dois elétrons de comprimentos de onda iguais a 10 e 5 angstroms incidem numa barreira de potencial, o primeiro tem maior probabilidade de atravessá-la do que o segundo. d) O elétron, por possuir massa, sempre se comporta como partícula, enquanto o fóton, que não possui massa, pode se comportar tanto como partícula como quanto onda, dependendo do experimento.

Exercícios

0/2/3

01

1,, rre

rr

irr esenr

re

r

r

rr

0

3/

02/3

02 6

8

1,, 0

imm

nrnr ePrLe

nr

rkr

cos,, 12

0

0